UNIVERSIDAD DE RUSIA “AMISTAD DE LOS PUEBLOS”

FUNDAMENTOS DEL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

Y SU APLICACIÓN PARA ANALISIS DE PRESAS DE TIERRA

Prof., Dr. (Sc.) Liapichev Yuri P.

Moscu, 1992

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Ratificado

por el consejo de redacción y editorial de la Universidad de Amistad de los Pueblos

En el presente material didáctico dedicado al curso "Obras hidrotécnicas" se exponen los fundamentos

de empleo del método de elementos finitos para los cálculos del estado tensado-deformado de las presas

y, ante todo, de las presas de tiérra;

Se ofrece un simple ejemplo de cálculo de la presa (problema lineal plano) que permite a los estudiantes

llegar a conocer independientemente los fundamentos de las técnicas de este cálculo. A fin de facilitar el

trabajo ulterior de los estudiantes que preparan la tesis de graduación con programas ingenieriles más

complejos de cálculo de las presas en ubicación no lineal en el manual se consideran en breve los

principales procedimientos de control en los cálculos de tales importantes factores como no linealidad de

deformación del suelo y grado de su consolidación, gradualidad de erección de la presa, llenado y

vaciado del embalse, etc.

El presente material se dedica como guía en la proyección con el fin de obtener el diploma al calcular

el estado tensado-deformado de las presas por medio del método de elementos finitos con empleo de

calculadora electrónica.

El material puede ser útil para los estudiantes-hidrotécnicos de otros centros de enseñanza, así como

para los posgraduados e ingenieros-hidrotécnicos que empiezan a especializarse en el dominio de

métodos numéricos de cálculo de las presas.

El material didáctico se ha preparado en la cátedra de hidráulica y de obras hidrotécnicas.

Censores:

V.P. Nedriga, profesor, doctor en ciencias técnicas;

Y.I. Natarius, candidato a doctor en ciencias técnicas.

Universidad de Amistad de los Pueblos, 1992.

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CONTENIDO

CAPITULO I. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS 1. Característica general del método…………………………………………………………………………..3

2. Condición de plana deformación en los cálculos del MEF………………………………………………….4

3. Formulación matemática de elementos finitos………………………………………………………………5

4. Funciones de desplazamientos…………………………………………………………………………6

5. Determinación de la matriz [B]…………………………………………………………………………..8

6. Formulación matemática de la matriz de rigidez del elemento……………………………………………..9

7. Fuerzas volumétricas distribuidas………………………………………………………………………….11

8. Potencial de las fuerzas volumétricas………………………………………………………………………12

9. Composición de la matriz geneneralizada de rigidez y del conjunto………………………………………..13

10. Generalización para todo el sector y obra…………………………………………………………………15

11. División del sector o de la obra en elementos finitos y estimación de la precisión………………………16

12. Esquema general de calculo……………………………………………………………………………….17

CAPITULO II. APLICACION DEL METODO DE ELEMENTOS FINITOS AL CÁLCULO DEL ESTADO

TENSADO-DEFORMADO DE LAS PRESAS DE TIERRA Y ENROCADO 1. Generalidades………………………………………………………………………………………………..18

2. Ejemplo de cálculo de la presa de tierra según el MEF (problema 2D de teoría de elasticidad)..………… 20

3. Control en los cálculos de no linealidad de las propiedades irregulares de los suelos……………..............26

4. Consideración de gradualidad de construcción de la presa de tierra en su cálculo………………...............33

5. Consideración de la influencia de llenado inicial del embalse........................................................37

6. El cálculo conjunto de consolidación y del estado tensado-deformado de la presa de tierra…….....................................39

7. Consideración de filtración establecida en el núcleo en los cálculos de la presa de tierra………............................48

8. Consideración de rápido vaciado del embalse en los cálculos de las presas de tierra…………….........................50

LITERATURA…………………………………………………………………………………………..51

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CAPITULO I. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

1. Carácterística general del método

En los últimos años, en distintos dominios de la técnica y de la física (hidrotécnica, geotécnica,

técnica de construcción, mecánica de construcción y teoría de elasticidad, hidro y aerodinámica, física

de calor, etc.) se ha difundido ampliamente el método de elementos finitos (MEF)* que es uno de los

más eficaces en la actualidad al llevar a cabo la solución numérica de diferentes problemas ingenieriles,

físicos y matemáticos con empleo de máquina calculadora electrónica o computadores.

El MEF, siendo uno de los métodos de variación, es equivalente al método de Relay-Ritz que se

emplea con frecuencia en la solución de los problemas de la teoría de elasticidad. En el método de Ritz

los desplazamientos suelen seleccionarse por las funciones que están determinadas en todo el dominio y

acarrean el sistema de ecuaciones que tiene una matriz de coeficientes llena y no la de cinta. En el MEF

los desplazamientos se seleccionan según los elementos y cada parámetro de grupo está enlazado sólo

con los elementos adyacentes a este grupo, a consecuencia de lo cual, la matriz de coeficientes de cinta,

se obtiena habitualmen-te poco rellena. El lugar general del MEF entre los métodos numéricos se

representa esquemáticamente en la fig. I-I. Fig. l.l. Esquema de posición del MEF

entre los métodos de cálculo: 1 - métodos de los cálculos, 2 - numéricos, 3 -

empíricos, 4 - analíticos o en forma cerrada, 5 -

solución de ecuaciones diferenciales, 6 -

método de ecuaciones integrales limítrofes, 7 -

método de elementos finitos, 8 - integración

numérica, 9 - método de diferencias finitas, 10 -

método de características, 11 - método de

discrepancias estimadas, 12 - métodos de

variación y método de Relay-Ritz, 13 - método

de Galerkin, 14 - método de colocación, 15 -

método de transformación de Green-Stokes, 16

- método de cuadrados mínimos

En el MEF a diferencia del método de Ritz suelen ser incógnitos los

desplazamientos de grupos lo que admite la simple interpretación

física y forma matemática y explica la amplia popularidad del MEF

en calidad del método ingenieril. El principal inconveniente del MEF

como método de variación, es la complejidad de estimación de la

precisión. El ingeniero debe conocer qué precisión puede ser

conseguida al disminuir las medidas de los elementos y aumentar su

cantidad. En cada caso concreto se puede estimar el error

comparando la Fig.1.2. Tipos principales de solución con la precisa solución conocida o estudiando

la convergen- elementos finitos: cia según los resultados obtenidos con diferente

número de elementos. a) triangular lineal; b) triangular cuadrático;

c) rectangular; d) cuadrangular

El MEF se reduce a la aproximación del medio continuo con número infinito de grados de libertad con

combinación de elementos discretos de elementos de forma simple (triángulos, rectángulos, tetrágonos,

tetraedros, etc.) que tienen un número finito de grados de libertad y están enlazados entre sí en grupos.

Cada elemento del sistema discreto posee ciertas propiedades físicas expresadas en forma de

ecuaciones relativamente simples de rigidez. Conociendo la influencia de cada elemento sobre todo el

sistema se puede obtener la ecuación del estado de todo el sistema.

El MEF puede tener en cuenta cualquiera geometría arbitraria del sector o de la obra, la

heterogeneidad de las propiedades de los materiales, laño linealidad de la dependencia tensiones-de-

formaciones, el carácter gradual de erección de la obra, etc.

---------------------------- * En el presente capítulo se exponen los fundamentos del MEF con aplicación al cálculo de las obras hidráulicas y ante

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todo, de las presas de térra. A fin de conocer con detalles el MEF diríjase a literatura especial [l, 2, 3].

El elemento más difundido en el problema plano de la teoría de elasticidad que se soluciona por medio

del MEF es un simple elemento triangular con tres grupos exteriores 1, 2, 3 (elemento triangular de

primer orden). En una serie de problemas más complejos a fin de obtener una solución más precisa

siendo menor la cantidad de elementos, además de grupos exteriores se introducen otros intermediarios

4, 5, 6 en los lados del triángulo (elemento triangular de segundo orden) (fig.1.2).

A otros tipos difundidos de elementos bidimensionales pertenecen los rectángulos y tetrágonos (fig.1-

2) que pueden considerarse compuestos de dos o cuatro triángulos. En el presente artículo se examina un

elemento finito más simple, o sea, el triángulo con tres grupos exteriores,

2. Condición de glana deformación en los cálculos del MEF

En el problema plano de la teoría de elasticidad son más difun didos los problemas de estados plano

deformado y plano tensado.

Las presas erguidas en los amplios planos verticales con correlación de la longitud por la cresta

respecto a la altura mayor de 3 funcionan en condiciones de deformación plana cuando la deformación en

la dirección longitudinal es igual a cero (ε2=0). A las obras hidráulicas que funcionan en deformación

plana se refieren también los toneles, excavaciones de los canales, galerías, paredes de apoyo y otras

obras de extensión lineal.

Examinemos la dependencia tensiones-deformaciones para las condiciones de un problema plano:

Escribamos, al principio, la ley generalizada de Hooke en forma general:

εx = [σx – υ(σy + σz )]/E (1a)

εy = [σy – υ(σx + σz )]/E (1b)

εz = [σz – υ(σx + σy )]/E (1c)

γxy =2(1 + υ) τxy /E (1d)

γyz =2(1 + υ) τyz /E (1e)

γzx =2(1 + υ) τzx /E (1f)

donde σx, σy, σz - son las tensiones normales en direcciones de los ejes x, y, z;

εx, εy, εz - deformaciones normales en direcciones de los ejes x, y, z;

τxy, τyz, τzx - tensiones tangentes en los planos xy, yz, zx;

γxy, γyz, γxz - deformaciones tangentes en los planos xy, yz, zx;

E, υ - módulo de elasticidad y coeficiente de Poisson respectivamente.

En caso de deformación plana el desplazamiento en dirección del eje z falta y

Igualando (εz=0) en la ecuación (le) se obtiene:

Colocando (3) en las ecuaciones (la) y (ib) se obtiene la ley de Hooke para la deformación plana

Solucionando las ecuaciones (4a), (4b) y (id) con respecto a σx, σy y τxy y expresando estas

coluciones en forma de matriz, se obtiene la ley de Hooke:

6

3. Formulación matemática de elementos finitos

3.1. Fuerzas y desplazamientos.

Examinemos un elemento triangular ABC (fig. 1.3) que tiene grupos i, j, m ó 1, 2, 3 (articulaciones) y

límites en forma de líneas rectas. Supongamos que son conocidas las propiedades elásticas de este

elemento. Las tensiones en el elemento se determinan de única manera por las fuerzas que actúan en los

grupos que dependen de la carga distribuida que actúa por el lado del elemento triangular, de

desplazamientos de los grupos y de deformación inicial del elemento. Esta deformación puede ser re-

sultado de la temperatura, de la contracción, etc.

Supongamos que F1, F2, F3 son las fuerzas en

tres grupos del elemento representados por seis

componentes (X1, Y1), (X2, Y2) y (X3, Y3) que

actúan en direcciones de los ejes y σ1 ,σ2 ,σ3, los

desplazamientos correspondientes representados

por seis componentes (U1, Y1), (U2, Y2 ) y (U3, V3)

en el sistema de coordenadas que forman un

vector. Entonces, el vector de la fuerza {F}e

correspondiente al elemento dado puede ser

expresado en forma:

Fig. 1.3. Sector plano dividido en elementos finítos

Analógicamente, si {δ}e es un vector correspondiente de desplazamiento del elemento, se tiene

Supongando que es elástico el comportamiento del sistema, la relación entre la fuerza y el

desplazamiento se expresará en forma:

{F}e = [K]

e{δ}

e + {F}

ep + {F}

eεo (8)

donde [K]e es la matriz de rigidez del elemento considerada a continuación en el párrafo 6 (ecuación

28); [K]e{δ}

e - la fuerza debida al desplazamiento {δ}

e de los grupos; {F}

ep - el vector de la fuerza

debida al grupo necesaria para equilibrar cualquiera carga distribuida {p}, que actúa sobre el elemento y

se determina como carga sobre el volumen singular del material en el interior del elemento en dirección

de desplazamiento en un punto dado; {F}eεo - el vector de la fuerza de grupo necesaria para equilibrar las

deformaciones iniciales probables {ε0}e.

3.2. Deformación

Conociendo el desplazamiento en todos los puntos del elemento, se puede determinar la deformación

en cualquier punto. A consecuencia se obtiene siempre una correlación que en forma de matriz puede ser

escrita en forma:

{ε0}e = [B]{δ}

e (9)

7

donde [B] - es la matriz de transformación de la deformación que es función de las coordenadas de

grupos. Su solución se da en el párrafo 5.

Para un problema plano la deformación general {ε} en cualquier punto del elemento puede

determinarse por medio de tres componentes de deformación que actúan en el plano x-y:

donde U, V - son los desplazamientos en direcciones de los ejes x, y respectivamente.

3.3. Tensiones

Suponiendo que es elástico el comportamiento las correlaciones entre las tensiones y las

deformaciones tienen una forma lineal y en la de matriz tiene el aspecto

{σ} = [D] {ε} (11)

donde {ε} es el vector de deformación general; [D] - la matriz de transformación de las tensiones o

matriz de elasticidad que refleja las propiedades correspondientes del material. Para el caso de deforma-

ción plana la matriz de elasticidad [D] se expresa por la ecuación (5) en forma:

(51)

En el caso general el material en los límites del elemento puede tener deformaciones iniciales debidas

a la acción de las temperaturas, de la contracción, etc. En esta ocasión, las tensiones se determinarán por

la diferencia entre las deformaciones existientes {ε} e iniciales {ε0} suponiendo que es elástico el carácter

de deformación en forma:

{σ} = [D] ({ε} -{ε0}) (12)

4. Funciones de desplazamientos

La función (modelo) de los desplazamientos describe el desplazamiento en cualquier punto en el

interior del elemento (fig. 1.3) incluyendo sus grupos, a través de las coordenadas de este punto. La forma

más común de esta función son polinomios.

La función de desplazamiento ha de satisfacer los siguientes requisitos más importantes. Ha de

garantizar la continuidad de desplazamientos en el interior del elemento y simultaneidad de

desplazamiento entre los elementos complejos ya que a lo largo de cualquier lado del triángulo ellos

varían linealmente y, por consiguiente, de la igualdad de desplazamientos en los grupos se desprende su

igualdad a lo largo de todo el límite interior. El requisito de continuidad de desplazamientos en la función

se satisface automáticamente por la continuidad del polinomio y el de simultaneidad de desplazamientos

de los elementos contiguos supone que a consecuencia de deformación de dos elementos vecinos no

ocurrirá interrupción entre los últimos, es decir, no se alterará la continuidad del medio discreto,

representado por los elementos finitos. A fin de conseguir la simultaneidad de desplazamientos hace falta

cumplir tres condiciones: l) introducir la condición de simultaneidad de desplazamientos entre los grupos

de los elementos; 2) aprovechar la misma función de desplazamiento isótropo (homogéneo) en los

elementos contiguos y 3) para cada elemento el desplazamiento en el límite con los elementos vecinos ha

de depender de los desplazamientos de grupos.

Es cómodo expresar los desplazamientos en el interior del elemento por los polinomios lineales.

Adoptando como U, V desplazamientos del punto (x, y) en dirección de los ejes x, y respectivamente en el

interior del elemento triangular (i, j, m) (fig. 1.3) se tiene:

U = α1 + α2x + α2y (13a)

V = α4 + α5x + α6y (13c)

Los coeficientes α1–α6 se consideran coordenadas generalizadas o amplitudes generalizadas de los

desplazamientos.

A fin de determinar el desplazamiento del punto hace falta conocer las magnitudes de seis constantes

α1–α6 y, por lo tanto, disponer de seis ecuaciones para tres grupos del elemento. Designemos estos grupos

8

como i, j, m, que poseen componentes correspondientes de desplazamientos de grupos (Ui, Vi), (Uj, Vj), y

(Um, Vm) y coordenadas (xi, yi), (xj, yj) y (xm, ym).

Colocando estas magnitudes en las ecuaciones (13a) y (13c) se obtiene:׀⁄⁄∑⁄√∫ ы∫в

⌠⌡│][{{}|α∂∆{{}∫∫

Solucionando las ecuaciones (14a) y (14c), las magnitudes de las constantes α1–α6 pueden ser

expresadas a través de las magnitudes de desplazamientos de grupos Ui, Uj, Um y, por fin, colocando las

constantes en (13a) se obtiene una expresión para el desplazamiento U en dirección horizontal:

donde

Los demás coeficientes se obtienen mediante el cambio cíclico de lugar de los índices i, j, m y la

magnitud 2Δ se determinará por la correlación:

Analógicamente se puede imaginar el desplazamiento V en dirección vertical:

Si las expresiones (ai + bix + ciy)/2Δ…etc. se imaginan como funciones de forma Ni, Nj, Nm …se tiene

Utilizando las mismas designaciones se puede demostrar que

o presentando en forma de matriz los desplazamientos de cualquier punto en el interior del elemento:

donde

[N] = [INi , INj , INm] (17d)

I - matriz singular de dimensión 2x2, es decir,

9

Si por el origen de coordenadas se toma el centro de gravedad del elemento, entonces:

Las funciones Ni, Nj, Nm han de elegirse de manera que al colocar en la ecuación (17c) las coordenadas

de grupos se obtengan los desplazamientos de grupos correspondientes. Es evidente que en el caso común

Ni (xi, yi) = 1 (matriz singular) mientos que

Ni (xi, yj) = Ni (xm, ym) = 0 etc.

lo que, en particular, se logra mediante la selección correspondiente de las funciones lineales con

respecto a x e y.

Las funciones [N] se denominan funciones de la forma. Juegan un gran papel en el método de

elementos finitos; en el caso en que la función de la forma que determina la geometria y los des-

plazamientos del elemento es la misma, el elemento se llama isoparamétrico.

5. Determinación de la matriz [B]

De la ecuación (9) se desprende que la deformación en cualquier punto del elemento está enlazada con

los desplazamientos de grupos a través de la matriz [B]. Diferenciando las expresiones para los

desplazamientos U, V en la ecuación (17a) y (17c) con respecto a x e y se tiene:

Similares expresiones pueden obtenerse para la derivada del desplazamiento V.

En caso del elemento triangular las derivadas U y V pueden ser escritas de la ecuación (15) en la

siguiente forma:

Colocando estas magnitudes de las derivadas de los desplazamientos U y V en la ecuación (10) se

obtienen las siguientes expresiones de deformación total en cualquier punto del elemento en forma de

matriz:

De esta manera en forma obvia se determina la matriz [B]

Anotemos que en este caso la matriz [B] no depende de las coordenadas del punto en el interior del

elemento y, por lo tanto, las deformaciones son constantes en el último. Es evidente, que estas funciones

de la forma satisfacen al criterio de constancia de la deformación

10

6. Formulacion matematica de la matriz de rigidez del elemento

Que la columna

determine las fuerzas de grupos equivalentes que estáticamente a las tensiones limítrofes y a las cargas

distribuidas que actúan sobre el elemento. Cada una de las fuerzas {Fi} ha de tener igual cantidad de

componentes que el desplazamiento de grupo correspondiente {δi} y actuar en dirección correspondiente.

Las cargas distribuidas {P} se determinan como cargas que recaen sobre una unidad del volumen del

material del elemento y actúan en direcciones correspondientes a las de los desplazamientos {f} en este

punto.

En caso particular de estado tensado plano las fuerzas de pos se anotan en forma

donde U y V son las componentes correspondientes a los desplazamientos U y V.

La carga distribuida tiene la forma;

donde X e Y son las componentes de las "fuerzas volumétricas".

Es cómodo suponer que en un momento dado de tiempo en el elemento existen ciertas tensiones

residuales {σp} las cuales pueden ser, por ejemplo, medidas, pero no se las puede predecir sin conocer la

plena historia de carga del material. Al mismo tiempo, según se ha notado ya, el material del elemento

puede tener las deformaciones iniciales {ε0} debidas a las acciones de la temperatura, de la contracción,

etc. Añadamos estas tensiones a la expresión general (12) de deformación elástica del elemento

teniendo en cuenta la diferencia entre las deformaciones existientes {ε} e iniciales {ε0}. Suponiendo que el

comportamiento es elástico las correlaciones entre las tensiones y deformaciones serán lineales:

donde [D] es la matriz de elasticidad que contiene las características del material y se ofrece en la

ecuación (5*) para las condiciones de deformación plana.

El procedimiento más simple de hacer las fuerzas de grupos {F}e equivalentes estáticamente a las

tensiones limítrofes en acción y a las cargas distribuidas consiste en presentar un desplazamiento de

grupo arbitrario (virtual) d{δ}e e igualando los trabajos exterior e interior que se efectúan por diferentes

fuerzas y tensiones en este desplazamiento.

Por medio de las correlaciones (17c) y (9) se obtienen respectivamente los desplazamientos y

deformaciones del elemento en forma:

El trabajo que efectúan las fuerzas de grupos exteriores es igual a la suma de productos de las

componentes de cada fuerza por los desplazamientos correspondientes y es igual en forma de matriz:

Analógicamente; el trabajo interior de las tensiones y de las fuerzas distribuidas que recae sobre una

unidad del volumen es igual a:

11

Con respecto a las expresiones (25), (25a) anotemos que en correspondencia con las reglas de la

álgebra de matriz el transpuesto del producto de matrices se lleva a cabo por la fórmula

Igualando el trabajo de las fuerzas exteriores al interior sumario que se obtiene integrando según el

volumen del elemento se tiene

Puesto que la correlación (26a) es justa para cualquier desplazamiento virtual, los coeficientes en las

partes derecha e izquierda han de ser iguales. Después de colocar las magnitudes {σ}, d{f} y {ε} de las

expresiones (22) y (23) en la correlación (26a) se obtiene una expresión para las fuerzas de grupos

debidas a los desplazamientos de los mismos .

Esta relación es una de las principales características de cualquier elemento. Anteriormente, esta

relación fue presentada en forma más general (8).

Comparando la relación obtenida (27) con la más general (8) se puede imaginar que la matriz de rigidez

del elemento [K]e adopta el aspecto:

Las fuerzas de grupos debidas a las cargas distribuidas {P}:

Las fuerzas debidas a la deformación inicial {ε0}:

Las fuerzas de grupos correspondientes a las tensiones iniciales {σ0}:

Si el sistema de tensiones iniciales está autoequilibrado, después de componer un conjunto, las fuerzas

que se determinan por la correlación (31) son iguales idénticamente a cero. Por esta razón, no se suelen

estimar las componentes de estas fuerzas. Sin embargo, por ejemplo, si se estudian los agujeros de los to-

neles o huecos profundos en las rocas en que existen tensiones tectónicas, hace falta tener presente que la

evacuación del material de la roca puede provocar la alteración del balance de fuerza en el sector del medio

en consideración.

Al aprovechar el elemento triangular en los problemas sobre el estado tensado plano las principales

características se obtienen después de colocación correspondiente. En este caso, la matriz [B] no depende

de las coordenadas y la integración se lleva a cabo trivialmente.

Esta se determina por medio de la correlación (28) en conformidad con la cual:

12

donde t es el espesor del elemento (en el problema plano t =1 m. lineal) y la integración se efectúa en el

área del triángulo. Si se considera que el espesor del elemento es constante, entonces, puesto que ninguna

de las matrices contiene x ó y, se tiene una simple expresión:

donde Δ es el área del triángulo.

Semejante fórmula permite luego calcular la matriz por medio de máquina calculadora electrónica. La

matriz [B] determinada por la correlación (21) se puede escribir en forma:

[B] = [Bi, Bj, Bm], donde

La matriz de rigidez del elemento sera siempre cuadrada; se la puede escribir en forma:

donde K i i , K i j ….etc. son también las submatrices cuadradas de la dimensión 2x2 (2 es el número de

componentes de la fuerza en el grupo.

Las submatrices se construyen en la siguiente forma cómoda para los cálculos:

Estas fuerzas se determinan en forma obvia por las expresiones (30, 31) que después de la integración

adquieren el aspecto:

Desmembrando las correlaciones obtenidas se puede escribir:

Las fuerzas debidas a las deformaciones y tensiones iniciales se distribuyen en los grupos del elemento

irregularmente y han de calcularse con precisión.

9. Fuerzas volumétricas distribuidas

En el caso general de estado tensado plano y deformado sobre cada elemento del área singular en el plano

x, y actúan las fuerzas:

en direcciones de ejes correspondientes.

En conformidad con (29) el aporte de estas fuerzas en las fuerzas de grupos se determina por la

expresión:

o a base de (17c)

13

a condición de que las fuerzas volumétricas X e Y sean constantes. Puesto que Ni no es constante, ha de

efectuarse la integración. Algunas fórmulas generales de integración para el triángulo se ofrecen en el

anexo III del libro [1].

Si como origen de coordenadas se ha elegido el centro de gravedad del elemento, los cálculos se

simplifican. En este caso

y, aprovechando (I7e) se obtiene

o tomando en consideración la adición (I7f), se tiene

Está claro que para cualquier elemento

Esto significa que todas las fuerzas volumétricas que actúan en dirección X e Y están distribuidas entre

tres grupos en iguales partes.

10. Potencial de las fuerzas volumétricas

En muchos casos las fuerzas volumétricas se determinan por medio del potencial de fuerzas

volumétricas Φ en forma:

y con mayor frecuencia no los valores X e Y, sino, precisamente, este potencial se conoce en todas

partes en el sector o estructura en consideración y se considera asignado en puntos angulares. Si {Φ}e

contiene tres valores del potencial en los grupos del elemento, es decir, tiene la forma de una columna,

en el caso de X e Y constantes el potencial (Φ ha de variar dentro del elemento según la ley lineal,

evidentemente, la función de la forma puede ser construida para él, igual que antes, en las expresiones

(I4a-17) en forma:

Por consiguiente,

El vector de las fuerzas de grupos debidas al potencial de las fuerzas volumétricas se describirá por la

correlación:

14

En este caso, la correlación obtenida sustituye la correlación (45).

11. Composición de la matriz geneneralizada de rigidez y del cojunto

A fin de determinar la fuerza común o desplazamiento de cualquier grupo, hace falta generalizar o

asociar la influencia de todos los grupos del sector o de la estructura en consideración. Tal generalización

se lleva a cabo sumando las matrices de rigidez en todos los elementos de la estructura.

Esta operación tiene el nombre de comgosición del_conjunto, es la principal operación del método de

elementos finitos y por esta razón, ha de asimilarse bien por el lector. Con este fin, esta operación se

examinará al principio en forma general y más tarde, en un ejemplo test concreto del cálculo.

Según se ha anotado ya, cualquier sistema {δ} de desplazamientos de grupos de que forman parte todos

los elementos, satisface automáticamente la condición de simultaneidad ya que las condi ciones de

equilibrio en el interior de cada elemento se consideran cumplidas, hace falta satisfacer las condiciones de

equilibrio en los grupos. Las ecuaciones obtenidas tendrán en calidad de incógnitas los desplazamientos de

grupos tras cuya determinación el problema de cálculo de la estructura puede considerarse resuelto

prácticamente puesto que las tensiones en el elemento pueden determinarse con facilitad por medio de

dependencias de antemano establecidas para cada elemento en forma de matriz:

donde [S]

e es la matriz de tensión del elemento y los últimos dos miembros son las tensiones debidas a

las cargas distribuidas y tensiones iniciales a falta de desplazamientos de grupos

Supongamos que además de la carga distribuida aplicada a cada elemento aislado, la estructura está

cargada con fuerzas concentradas exteriores aplicadas en los grupos. En este caso, a fin de conservar el

equilibrio en los grupos conviene introducir adicionalmente la matriz de fuerzas

Cada una de las fuerzas Ri ha de tener igual cantidad de componentes que las reacciones del elemento

en consideración. En el caso general se puede considerar un número arbitrario de componentes. En el caso

particular que se examina de las articulaciones en los grupos de los elementos triangulares el número de

componentes es igual a dos:

Si ahora hace falta satisfacer las condiciones de equilibrio en el punto de grupo i, cada una de las

componentes ha de igualarse a la suma de componentes de las fuerzas de todos los elementos que se unen

en este grupo.

De esta forma considerando todos las componentes de la fuerza se obtiene

donde F

1i es la fuerza aplicada al grupo i por el lado del elemento 1; F

2i - la fuerza aplicada al grupo i

por el lado del elemento 2, etc. Es evidente que las fuerzas distintas de cero darán sólo los elementos con

punto de grupo i, sin embargo, la adición se lleva a cabo abarcando todos los elementos de la estructura.

Colocando (8) se obtiene la expresión para las fuerzas en el grupo i:

15

También en la expresión obtenida dan aporte a la suma sólo los elementos que se unen en el grupo i.

Asociando todas similares expresiones se tiene

donde las submatrices

han sido obtenidas sumando todos los elementos de la estructura. Esta regla simple de composición del

conjunto es muy cómoda puesto que inmediatamente después de determinar el coeficiente se lo puede

enviar de repente a la célula correspondiente de la memoria de la máquina calculadora.

Si se usan diferentes tipos de elementos, al componer un conjunto se debe tener en memoria que se

pueden sumar las matrices exclusivamente de iguales dimensiones. Por consiguiente, algunas submatrices

que se incluyen en el sistema (55-56) han de contener igual número de componentes de las fuerzas y

desplazamientos.

Es evidente que es imposible resolver este sistema sin que se dé cierto número de desplazamientos que

excluyan el desvío de la estructura como cuerpo sólido, ya que valiéndose de las fuerzas dadas es

imposible determinar los desplazamientos por un procedimiento. Este hecho físico evidente se expresa

matemáticamente por el hecho de que la matriz [K] es singular, es decir carece de la inversa. La

presentación de desplazamientos correspondientes al finalizar la composición del conjunto otorga la

posibilidad de obtener la única solución borrando las líneas y columnas correspondientes de diferentes

matrices.

La colocación de desplazamientos conocidos que permitan disminuir el número total de las ecuaciones a

solucionar es una operación relativamente simple al efectuar los cálculos manuales y puede ser programada

para la calculadora electrónica. Sin embargo, resulta frecuentemente cómodo solucionar inmediatamente el

sistema para evitar la reorganización de la memoria de la calculadora electrónica. Esto se lleva a cabo por

medio de diferentes procedimientos examinados en el capítulo 20 en el libro [1] en el cual también se

describen los principales principios de composición de los programas de cálculo a base del MEF.

Hagamos anotaciones respecto a los elementos que tienen contacto con el límite. Si en el límite se han

dado los desplazamientos, incluyendo los de cero, no surgen dificultades de ninguna clase. No obstante, si

en el límite se ha dado la carga distribuida exterior {g} por una unidad del área (por ejemplo, la presión

hidroestática de aguas arriba, que actúa sobre la cara de presión de la talud superior de la presa de

hormigón o sobre la cara superior del núcleo de arcilla o de la pantalla de la presa de terraplén), entonces

hay que aplicar una carga adicional en los grupos del elemento limítrofe. Esto se hace simplemente

aprovechando el principio del trabajo virtual:

donde la integración se efectúa en el límite del elemento. Anotemos que para que sea justa la expresión

anotada más arriba, {g} ha de tener igual cantidad de componentes que el desplazamiento {f} del

elemento.

En la fig. 1.3 se representa un elemento limítrofe para el caso de problema plano. No siempre se logra

efectuar con precisión la integración en (57). Por esta razón, frecuentemente, la carga superficial se

sustituye simplemente por las fuerzas concentradas aplicadas en los grupos limítrofes que se determinan de

las condiciones de equilibrio estático. Después de determinar los desplazamientos de grupos de la solución

del sistema general de ecuaciones, de las correlaciones (9) y (22c) pueden hallarse las tensiones en

cualquier punto del elemento:

16

Esta expresión es similar a la correlación (51) teniendo la matriz de tensiones la forma

A esta matriz pueden añadirse las tensiones

La falta de la componente de la tensión de la carga distribuida {σ}

ep se explica por el hecho de que se

consideran sólo las condiciones de equilibrio general, es decir no los equilibrios en el interior de cada

elemento.

Según se propone las tensiones son constantes en el interior del elemento. Se las suele reducir al centro

de gravedad del elemento. A veces, los valores de las tensiones en los grupos se obtienen promediando las

tensiones en los elementos contiguos que convergen en el grupo en consideración. Habitualmente, con

ayuda de la máquina calculadora electrónica el cálculo se reduce a la determinación de las tensiones y

deformaciones principales y de sus direcciones en cada elemento de la estructura (sector) y a la

construcción de la isolínea de tensiones y deformaciones en el cuerpo de la estructura (presa) o sector.

12. Generalización para todo el sector y obra

En los apartados anteriores el principio del trabajo virtual ha sido aplicado al elemento singular y ha

sido introducido el concepto de la fuerza equivalente de grupo. Es evidente que para un conjunto en total se

puede utilizar la condición de equilibrio.

Las expresiones obtenidas para un elemento pueden ser empleadas inmediatamente con aplicación a

todo el cuerpo continuo, sector u obra. Se puede considerar que la correlación (17c) se refiere a toda la

obra, es decir,

donde la columna {δ} contiene todos los puntos de grupo y Ni=N

2i si el punto en consideración

pertenece al elemento e, es decir, el punto i está conjugado con este elemento. En caso de que el punto i no

pertenezca al elemento en consideración, entonces Ni=0. Analógicamente se determina la matriz [B]. Más

tarde el principio de trabajo virtual puede ser empleado con aplicación a toda la obra. Ahora no hay

necesidad de considerar las fuerzas de interacción entre los elementos y el trabajo exterior en los

desplazamientos virtuales d{δ} de todos los grupos se hace igual a

y el trabajo virtual interior adquiere el aspecto:

donde la integral se toma en todo el sector. Teniendo en cuenta que y la expresión (22c) e igualando los

trabajos interior y exterior se obtiene:

El elemento arbitrario de la matriz de rigidez tiene la forma:

donde la integral se toma en todo el sector.

Tomando en consideración las correlaciones entre [Bi] y [B]i se tiene:

donde se estima el aporte de cada elemento lo que se describe en el párrafo anterior (11).

17

Las expresiones analógicas son justas para diferentes componentes de las fuerzas que forman parte de la

ecuación (65).

Por lo tanto, al componer un conjunto, igual que antes, no se usó el concepto de fuerzas de entre los

elementos. En adelante se puede omitir el índice del elemento e y además, se admite no hacer diferencia

entre las funciones de la forma para el elemento (expresiones I4a-17) y todo el sistema.

Anotemos también que considerando el trabajo virtual del sistema en total (expresión 63) e igualándolo

a la suma de trabajos de cada uno de los elementos, se supone que entre los elementos no hay

interrupciones. Sin embargo, si surgen tales interrupciones (por ejemplo, la movilidad en el contacto del

núcleo plástico con prismas rígidos vecinos y debido al efecto de arco en el núcleo) conviene añadir el

trabajo de las tensiones en los lugares de las interrupciones o introdicir en estos lugares los asi llamados

elementos de “junta” [5].

Por lo tanto, el campo de desplazamientos que se detemine por las funciones de la forma, ha de ser tal

que en las superficies de interrupción las deformaciones sean limitadas. Ahora bien, para que sean justas

las ecuaciones generales los desplazamientos han de ser funciones continuas que se expresan por los

polinomios lineales (13a, 13c).

13. División del sector o de la obra en elementos finitos y estimación de la precisión

La cantidad, forma, dimensiones y configuración de los elementos se determinan de modo que el sector

en consideración u obras se describan por los elementos lo más cerca posible de la configuración

geométrica real. El fin principal de similar división es el empleo de elementos bastante pequeños para que

la simple función de desplazamiento pueda aproximar con bastante precisión las exactas soluciones

comunes con las posibilidades de la máquina calculadora electrónica. En cualquier método numérico en

empleo de teoría de elasticidad incluyendo el método de elementos finitos, la solución numérica ha de

reducirse a la exacta solución del problema, la cual, a su vez, dependerá de frecuencia o menudez de

división o número de elementos. Sin embargo, con cualquier número finito de elementos la solución

obtenida será aproximada. El valor aproximado de la energía de deformación será menor del valor preciso.

Esto quiere decir que las soluciones obtenidas y, por consiguiente, las tensiones serán en total, disminuidas.

Sin embargo, esto no es siempre justo para cada punto aislado del sector. Por este motivo el valor práctico

de semejante estimación no es grande.

El ingeniero debe saber qué precisión se conseguirá en el problema en consideración al disminuir las

medidas del elemento. En cada caso se puede estimar el error comparando las soluciones obtenidas con la

solución precisa conocida o estudiando la con vergencia a la exacta solución por los resultados obtenidos

con diferente número de elementos en que está dividido el sector en consideración u obra.

Al disponer de cierta experiencia el ingeniero puede evaluar de antemano el orden de precisión de los

resultados para un problema dado con número asignado de elementos.

Al dividir un sector u obra en elementos conviene guiarse por los siguientes requerimientos principales:

1. Cargas concentradas o distribuidas. En el lugar de aplicación de la fuerza concentrada se debe dis-

poner el grupo del elemento. En caso de carga distribuida se calcula la carga estática equivalente del grupo

que se considera concentrada en los grupos. En los lugares de brusco cambio de la intensidad de la carga

en distribución conviene disponer los grupos de los elementos.

2. Cambio de la configuración geométrica del sector. En los lugares de estas variaciones (talud,

forma, anchura, etc.) también se deben disponer los grupos de los elementos.

3. Cambio del tipo o de las características de los materiales. La mayoría de las obras ingenieriles, en

particular, las presas de terraplén, se construyen de distintos materiales. En semejantes casos, los lados de

los elementos suelen formar una línea de contacto de dos diferentes materiales. Por ejemplo, las líneas

continuas de los contactos filtros-núcleo y filtros-espaldones laterales han de formarse con lados continuos

de los elementos por ambos lados de los contactos. Analógicamente, las zonas de suelos débiles de la base

de la presa han de separarse también del cuerpo con línea continua de los elementos contiguos.

4. Existencia de grietas. A fin de revelar cómo influyen las grietas sobre el estado tensado de la

estructura en el lugar de su disposición o surgimiento, la división de los elementos ha de realizarse de

modo que cada lado de la grieta se considere como límite exterior y por esta razón, por cada lado de la

grieta han de disponerse los grupos de elementos.

18

5. Concentración de tensiones. A pesar de que la división en iguales elementos (correcta división) da

mejor representación e interpretación de los resultados del cálculo, en algunos casos las medidas de los

elementos han de disminuirse en los lugares de concentración de las tensiones donde el gradiente (irre-

gularidad) de las tensiones es muy alto. Ejemplos: en la zona de transición o del filtro entre el núcleo y el

prisma lateral de la presa de terraplén o por el perímetro de la estructura del tonel, en el maciso de rocas,

etc. Analógicamente, las medidas de los elementos pueden aumentarse en los lugares de bajos gradientes

de tensiones, por ejemplo, en los taludes exteriores de las presas de terraplén o en la profundidad del

macizo de rocas atravesado por el tonel, etc.

14. Esquema general del calculo

El proceso de cálculo de una obra o del sector por el método de elementos finitos se puede dividir

esquemáticamente en las siguientes etapas (fig. 1.4):

1ra

etapa. Se efectúa la división de la estructura formando cierta cantidad de elementos y grupos

afianzados en determinados lugares de las estructuras en conformidad con requisitos generales más arriba

expuestos. Los elementos y grupos han de disponer de numeración pasante. Las coordenadas de los grupos

se computan en el sistema general de coordenadas adoptado para toda la estructura en total (fig. 1.4a).

2a etaga. Se determina el vector de la fuerza de grupo dividiendo la carga común en grupos, es decir,

reduciéndola a las fuerzas concentradas de los grupos.

Fig.1.4. Esquema simplificado de

etapas principales de solución del

problema plano de la teoría de

elasticidad por el método de

elementos finitos [1]: a, b, c - ver p. 31; 3 - cinta

3a

etapa. Se calculan la matriz de rigidez y fuerzas correspondientes de grupos para cada elemento en

forma de la expresión (8). Determinando las características del elemento en el sistema general de

coordenadas, se puede introducir cada componente de rigidez o de la fuerza en lugar correspondiente en

matriz generalizada (fig. l.4b). Cada cuadrado ennegrecido corresponde a un coeficiente o submatriz del

tipo [Kij] (si se considera más de una componente de la fuerza). Aquí se muestra el aporte de cada

elemento y se puede verificar si los coeficientes se disponen debidamente.

4a etapa. Esta composición del pleno sistema de ecuaciones del tipo (55) que se obtiene

inmediatamente aprovechando las correlaciones (56) o sumando simplemente todas las componentes en la

matriz generalizada. El resultado se representa en la fig. 1.4c donde los lugares de disposición de los

coeficientes distintos de cero se han ennegrecido.

Debido a la simetría de la matriz basta determinar sólo los elementos que se sitúen en la diagonal

principal y por su debajo. Todos los coeficientes distintos de cero se disponen en el interior de la cinta cuya

anchura puede determinarse de antemano para cada tipo de uniones de grupos. De esta forma, en la

memoria operativa de la calculadora electrónica se requiere conservar sólo los elementos que se encuentran

en la parte superior de la cinta (fig. l.4c).

Al final de esta etapa han de componerse la matriz generalizada de rigidez y todo el conjunto de

matrices para toda la estructura en conformidad con los párrafos 11 y 12.

5a etapa. Consiste en la inclusión en la matriz generalizada de rigidez del sistema de condiciones

limítrofes asignadas (desplazamientos conocidos en los grupos de los elementos limítrofes). El

procedimiento de inclusión se ha examinado en el párrafo 11.

6a

etapa. Se reduce a la solución de la matriz generalizada modificada después de la inclusión de las

condiciones limítrofes (es decir, del pleno sistema de ecuaciones) con el fin de obtener todos los

19

desplazamientos de grupos de la estructura. Para la solución pueden ser aprovechados diferentes métodos

expuestos en el capítulo 20 del libro [1] y en [2,3].

7a

etapa. Es final. Se lleva a cabo a base de valores obtenidos de desplazamientos de grupos se

determinan las deformaciones y tensiones en cada elemento de la estructura.