EIGEN VECTORES, EIGEN VALORES YPOLINOMIO CARACTERISTICO DE UNA MATRIZEIGENVALUES, EIGENVECTORS AND CHARACTERISTIC POLYNOMIAL OF A MATRIX.

OMAR ARGUELLO

24 de junio de 2013

Resumen

El artıculo que se presenta a continuacion es un estudio comprensivo del concepto y aplicabi-lidad de los Eigen vectores, Eigen valores y de los Polinomios caracterısticos de una matriz.Se realiza una consulta masiva de conceptos basandose esencialmente en el libro “Linear Al-gebra and its applications” para obtener un proceso ordenado de explicacion e introduccional tema. Los resultados obtenidos seran reflejados en el aprendizaje de los conceptos basicosde dichos temas para desarrollar dentro de los temas antes vistos.Palabras clave: Aplicabilidad, Eigen vectores, Eigen valores, Polinomios caracterısticos deuna matriz.

Abstract

The following article shows a deep study of the Eigen values, Eigen vectors and Characte-ristic polynomial of a matrix’s concept and applicability. We developed a massive researchabout concepts based essentially on the “Linear Algebra and its applications” in order toobtain an ordered process of explanation and introduction to the main topic. The resultsobtained will be reflected in the basic concepts learning of each topic in order to develop itwithin the already looked at topics.Key words : Applicability, Eigen values, Eigen vectors, Characteristic Polynomial of a matrix.

INTRODUCCION

En este documento se presentara la correcta manera de encontrar los Eigen vectores, EigenValores y el Polinomio Caracterıstico de una matriz. Son conocimientos secuenciales lo cualnos indica que para entender uno de los conceptos dependemos del total comprendimientodel otro. Se estudia dichos conceptos para la busqueda de aplicaciones en las que se puedanimplementar estos conocimientos y de esta manera agilizar el trabajo y optimizar recursos.Se realiza un estudio minuicioso a cada ecuacion para determinar los teoremas y concluircon una definicion mas amigable para el estudiante.

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METODOLOGIA

EIGEN VALORES Y EIGEN VECTORES

Para entender el concepto de los Eigen valores se debe entender primero el concepto de losEigen vectores, casi todos los vectores cuando son multiplicados por A cambian de direccion,excepto en ciertos casos donde el vector X esta en la misma direccion que AX, a estos vectoresse los denomina Eigen Vectores, esto quiere decir que si multiplicamos un Eigen vector Xpor una matriz A, el valor de AX sera entonces λ veces el vector X teniendo ası:

A ∗X = λ ∗X

Dicha ecuacion determina que el valor de λ cambia su longitud mas no su direccion, dichovalor entonces es llamado Eigen Valor. Este valor indica si el vector X esta siendo alargadoo reducido cuando es multiplicado por la matriz A, pudiendo ası encontrar valores para λcomo λ = 1 o λ = 2 o λ = 1

2. El Eigen valor puede ser 0, lo que significa que el Eigen vector

se encuentra en el espacio nulo.

Si la matriz A es una matriz identidad, cada vector tiene A ∗X = X, lo que quiere de-cir que todos los vectores de I son Eigen Vectores, y todos los Eigen Valores λ son iguales a 1.

Demostracion:Siendo:

A =

[0,8 0,30,2 0,7

]Sustraemos λ ∗ x en ambos lados:

A ∗X − λ ∗X = λ ∗X − λ ∗X

A ∗X − λ ∗X = 0

Si multiplicamos una matriz Identidad por λ no cambia el sentido de la ecuacion, teniendo ası:

A ∗X − λ ∗ I ∗X = 0

Sacamos factor comun X:

(A− λ ∗ I) ∗X = 0

Para que la ecuacion no tenga soluciones triviales el determinante de A− λ ∗ I tiene que ser0 para que se cumpla la ecuacion.

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Resolvemos el ∆ para (A− λ ∗ I):

∆

[0,8− λ 0,3

0,2 0,7− λ

]

∆ = λ2 − 3λ

2+

1

2

Factorizando obtenemos:

(λ− 1) y (λ− 12)

Se obtienen dos Eigen valores: λ = 1 y λ = 12. Para dichos valores la ecuacion A− λ ∗ I = 0

Primer paso:Reemplazamos el valor de λ en la ecuacion

A− λ ∗ I = 0

B = 0Igualamos A− λ ∗ I = B

Obtenemos:

B =

[0,8 0,30,2 0,7

]− λ ∗

[1 00 1

]Para el valor de λ = 1 calculamos los Eigen Vectores:

B =

[0,8− 1 0,3

0,2 0,7− 1

]Entonces: [

−0,2 0,30,2 −0,3

]=

[00

]Resolvemos por Gauss Jordan:

1. F2 − F1 [−0,2 0,3

0 0

]=

[00

]

3

2. −5 ∗ F1 [1 −1,50 0

]=

[00

]Obtenemos:

X1 −3X2

2= 0

X1 =3

2X2

X =

[32∗X2

X2

]X2 = α

X = α ∗[

32

1

]Debido a que α puede ser cualquier numero perteneciente a los R excepto el 0, asignamos

un valor cualquiera, en este caso asignaremos el valor de 2, entonces:[32

]=

[32

]∗[

0,8 0,30,2 0,7

][

32

]=

[2,4 + 0,60,6 + 1,4

][

32

]=

[32

]Por lo tanto los Eigen Vectores para la Matriz A son:

X = α ∗[

32

1

]| α 6= 0

Para el valor de λ = 12

calculamos los Eigen Vectores:

B =

[0,8− 1

20,3

0,2 0,7− 12

]Entonces: [

0,3 0,30,2 0,2

]=

[00

]Resolvemos por Gauss Jordan:

4

1. 0,3 ∗ F2 − 0,2 ∗ F1 [0,3 0,30 0

]=

[00

]

Obtenemos:

0,3 ∗X1 + 0,3 ∗X2 = 0

0,3 ∗X1 = −0,3 ∗X2

X1 = −X2

X =

[−X2

X2

]X2 = β

X = β ∗[−11

]Debido a que β puede ser cualquier numero perteneciente a los R excepto el 0, asignamos

un valor cualquiera, en este caso asignaremos el valor de 1, entonces:

λ ∗[−11

]=

[−11

]∗[

0,8 0,30,2 0,7

][−1

212

]=

[−0,8 + 0,3−0,2 + 0,7

][−1

212

]=

[−1

212

]Por lo tanto los Eigen Vectores para la Matriz A son:

X = β ∗[−11

]| β 6= 0

POLINOMIO CARACTERISTICO DE UNA MATRIZ

En algebra lineal, se asocia un polinomio a cada matriz cuadrada llamado polinomio carac-terıstico. Dicho polinomio contiene una gran cantidad de informacion sobre la matriz, losmas significativos son los valores propios, su determinante y su traza.Siendo:

A =

[a bc d

]

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De la deduccion vista en Eigen Vectores y Eigen Valores acerca del determinante de A−λ∗Iigualandolo a 0 podemos decir entonces que:

A− λ ∗ I =

[a bc d

]− λ ∗

[1 00 1

]A− λ ∗ I =

[a bc d

]−[λ 00 λ

]A− λ ∗ I =

[a− λ bc d− λ

]A− λ ∗ I = 0

0 =

[a− λ bc d− λ

]El polinomio caracterıstico de λ tiene que ser igualado a 0, teniendo ası:

P(λ) = ∆(A− λ ∗ I)

P(λ) = ∆

[a− λ bc d− λ

]P(λ) = (a− λ) ∗ (d− λ)− b ∗ c

P(λ) = a ∗ d− a ∗ λ− d ∗ λ+ λ2 − b ∗ cOrdenando:

P(λ) = λ2 − λ ∗ (a+ d)− b ∗ c+ a ∗ dSi observamos (a ∗ d− b ∗ c) es el ∆(A).Teniendo en cuenta que la traza de la matriz A [Tr(A)] esta presente en la ecuacion delpolinomio caracterıstico deducimos que el coeficiente de la variable λ en dicha ecuacion esla traza de la matriz A [Tr(A)].Deducimos ası que el polinomio caracterıstico de la matriz esta dado de la siguiente manera:

P(λ) = λ2 − λ ∗ Tr(A) + ∆(A)

CONCLUSIONES

• Los Eigen Valores no cambian la direccion del vector, pero pueden cambiar de distintasmaneras la longitud del mismo.• Para calcular los Eigen Vectores a partir de una matriz dada se debe despejar el polinomiocaracterıstico de la matriz y de esta concluir mediante procesos matematicos los valores quepuede tomar λ para cumplir los requisitos de una matriz para tener Eigen Valores en un noespacio nulo.• Los Eigen vectores de una matriz pueden ser varios, siempre y cuando el coeficiente α nosea igual a 0.

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BIBLIOGRAFIA

• Strang,G. (2009). ”Introduction to Linear Algebra, 4th Edition”.Massachusetts Instituteof Technology. Chapter 6:Eigenvalues.• Butcher, D. (18 de Enero del 2013). ”Finding all Eigenvectors (Nonzero Eigenspace) foran Eigenvalue. http://www.youtube.com/watch?v=5CQ8QB6zrfg.• Butcher, D. (18 de Enero del 2013). ”How to Find an Eigenvalue and all it’s Eigenvectors.http://www.youtube.com/watch?v=UIW2tePm2hw.• Butcher, D. (18 de Enero del 2013). ”The Characteristic Polynomial for a 2x2 Matrix.http://www.youtube.com/watch?v=qvy1FF2k66Y• Lay, D. Linear Algebra and its applications”. Chapter 5: Eigen values and Eigen vectors.

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