valores propios y vectores propios - matevbv · en´ particular, hay a lo mas n valores propios...

Valores Propios Vectores Propios

Valores Propios y Vectores Propios

Veronica Briceno V.

noviembre 2013

Veronica Briceno V. Valores Propios y Vectores Propios

En esta Presentacion...

En esta Presentacion veremos:

Valores Propios y Vectores Propios de una Matriz

Espacio Propio AsociadoDiagonalizacion




Valores Propios y Vectores Propios de una MatrizEspacio Propio Asociado

Diagonalizacion




Valores Propios y Vectores Propios de una MatrizEspacio Propio AsociadoDiagonalizacion


Valores Propios

DefinicionSi A es una matriz de orden n × n.

Un escalar λ, se llama un valor propio de A si existe unvector ~u (donde ~u 6= 0V , ~u ∈Mn×1(R) tal que A~u = λ~u.El conjunto de todos los valores propios de la matriz A esdenotado por σ(A) y es llamado el espectro de A.Sea λ ∈ σ(A), un vector ~u ( donde ~u 6= 0V , ~u ∈Mn×1(R))tal que A~u = λ~u, se llama vector propio de A asociado alvalor propio λ.


Valores Propios


Un escalar λ, se llama un valor propio de A si existe unvector ~u (donde ~u 6= 0V , ~u ∈Mn×1(R) tal que A~u = λ~u.

El conjunto de todos los valores propios de la matriz A esdenotado por σ(A) y es llamado el espectro de A.Sea λ ∈ σ(A), un vector ~u ( donde ~u 6= 0V , ~u ∈Mn×1(R))tal que A~u = λ~u, se llama vector propio de A asociado alvalor propio λ.


Valores Propios


Un escalar λ, se llama un valor propio de A si existe unvector ~u (donde ~u 6= 0V , ~u ∈Mn×1(R) tal que A~u = λ~u.El conjunto de todos los valores propios de la matriz A esdenotado por σ(A) y es llamado el espectro de A.

Sea λ ∈ σ(A), un vector ~u ( donde ~u 6= 0V , ~u ∈Mn×1(R))tal que A~u = λ~u, se llama vector propio de A asociado alvalor propio λ.


Valores Propios


Un escalar λ, se llama un valor propio de A si existe unvector ~u (donde ~u 6= 0V , ~u ∈Mn×1(R) tal que A~u = λ~u.El conjunto de todos los valores propios de la matriz A esdenotado por σ(A) y es llamado el espectro de A.Sea λ ∈ σ(A), un vector ~u ( donde ~u 6= 0V , ~u ∈Mn×1(R))tal que A~u = λ~u, se llama vector propio de A asociado alvalor propio λ.


Importante

Proposicion

Si λ es un valor propio de la matriz A de orden n × n. EntoncesWλ = {~u : A~u = λ~u} es un espacio vectorial, al quellamaremos espacio propio asociado a λ.

Notacion:vp: λ~vp = ~u = u


Importante

ProposicionSi λ es un valor propio de la matriz A de orden n × n. EntoncesWλ = {~u : A~u = λ~u} es un espacio vectorial, al quellamaremos espacio propio asociado a λ.

Notacion:vp: λ~vp = ~u = u


Importante

En forma equivalente, podemos decir que:

Definicionλ, es un valor propio de la matriz A si y solo sidet(A− λI) = 0.

Ademas,p(λ) = det(A− λI) se llama polinomio caracteristico.det(A− λI) = 0 se llama ecuacion caracteristica.Observacion:1) Como ~u es ~vp, entonces ~u debe verificar:(A− λI)~u = 0V .2) Si A es de orden n × n entonces el polinomio caracterısticotiene grado n, por lo tanto tiene n posibles raıces complejasque satisfacen la ecuacion (contando multiplicidades). Enparticular, hay a lo mas n valores propios reales de A.


Importante


Definicion

λ, es un valor propio de la matriz A si y solo sidet(A− λI) = 0.



Importante





Importante



Ademas,p(λ) = det(A− λI) se llama polinomio caracteristico.

det(A− λI) = 0 se llama ecuacion caracteristica.Observacion:1) Como ~u es ~vp, entonces ~u debe verificar:(A− λI)~u = 0V .2) Si A es de orden n × n entonces el polinomio caracterısticotiene grado n, por lo tanto tiene n posibles raıces complejasque satisfacen la ecuacion (contando multiplicidades). Enparticular, hay a lo mas n valores propios reales de A.


Importante



Ademas,p(λ) = det(A− λI) se llama polinomio caracteristico.det(A− λI) = 0 se llama ecuacion caracteristica.

Observacion:1) Como ~u es ~vp, entonces ~u debe verificar:(A− λI)~u = 0V .2) Si A es de orden n × n entonces el polinomio caracterısticotiene grado n, por lo tanto tiene n posibles raıces complejasque satisfacen la ecuacion (contando multiplicidades). Enparticular, hay a lo mas n valores propios reales de A.


Importante



Ademas,p(λ) = det(A− λI) se llama polinomio caracteristico.det(A− λI) = 0 se llama ecuacion caracteristica.Observacion:

1) Como ~u es ~vp, entonces ~u debe verificar:(A− λI)~u = 0V .2) Si A es de orden n × n entonces el polinomio caracterısticotiene grado n, por lo tanto tiene n posibles raıces complejasque satisfacen la ecuacion (contando multiplicidades). Enparticular, hay a lo mas n valores propios reales de A.


Importante



Ademas,p(λ) = det(A− λI) se llama polinomio caracteristico.det(A− λI) = 0 se llama ecuacion caracteristica.Observacion:1) Como ~u es ~vp, entonces ~u debe verificar:(A− λI)~u = 0V .

2) Si A es de orden n × n entonces el polinomio caracterısticotiene grado n, por lo tanto tiene n posibles raıces complejasque satisfacen la ecuacion (contando multiplicidades). Enparticular, hay a lo mas n valores propios reales de A.


Importante





Ejemplos

Calcular los vp y ~vp de las matrices:

A =

(4 −52 −3

)

A =

(0 11 0

)A =

(0 1−2 −3

)A =

0 0 10 2 03 0 0

A =

0 2 02 0 00 0 3

A =

−3 1 −320 3 102 −2 4


Ejemplos


A =

(4 −52 −3

)A =

(0 11 0

)

A =

(0 1−2 −3

)A =

0 0 10 2 03 0 0

A =

0 2 02 0 00 0 3

A =

−3 1 −320 3 102 −2 4


Ejemplos


A =

(4 −52 −3

)A =

(0 11 0

)A =

(0 1−2 −3

)

A =

0 0 10 2 03 0 0

A =

0 2 02 0 00 0 3

A =

−3 1 −320 3 102 −2 4


Ejemplos


A =

(4 −52 −3

)A =

(0 11 0

)A =

(0 1−2 −3

)A =

0 0 10 2 03 0 0

A =

0 2 02 0 00 0 3

A =

−3 1 −320 3 102 −2 4


Ejercicios

Sea A una matriz real de orden n y sea λ ∈ σ(A). Verificar que:

1 El conjunto de vectores propios de A asociados al valorpropio λ es un subespacio vectorial del espacio dematrices complejas de orden n × 1.

2 El conjunto de vectores propios de A asociados al valorpropio λ que tienen todos sus coeficientes reales es unsubespacio vectorial del espacio de matrices reales deorden n × 1.


Importante

Observacion

Como los vectores propios de A asociados al valor propio λ noson unicos, se acostumbra obtener los vectores propiosunitarios.

DefinicionSea λ ∈ σ(A).Llamaremos multiplicidad algebraica del valor propio λ a lamultiplicidad de λ como raız del polinomio caracterıstico yllamaremos multiplicidad geometrica a la dimension de Wλ,espacio propio asociado.


Importante

ObservacionComo los vectores propios de A asociados al valor propio λ noson unicos, se acostumbra obtener los vectores propiosunitarios.



Importante


Definicion

Sea λ ∈ σ(A).Llamaremos multiplicidad algebraica del valor propio λ a lamultiplicidad de λ como raız del polinomio caracterıstico yllamaremos multiplicidad geometrica a la dimension de Wλ,espacio propio asociado.


Importante




Proposicion:

Sea A una matriz:

La suma de los valores propios de A (contandomultiplicidad algebraica) es igual a la traza de A.El producto de los valores propios de A (contandomultiplicidad algebraica) es igual al determinante de A.Los valores propios de una matriz triangular son loselementos de su diagonal principal.


Proposicion:

Sea A una matriz:

La suma de los valores propios de A (contandomultiplicidad algebraica) es igual a la traza de A.

El producto de los valores propios de A (contandomultiplicidad algebraica) es igual al determinante de A.Los valores propios de una matriz triangular son loselementos de su diagonal principal.


Proposicion:

Sea A una matriz:

La suma de los valores propios de A (contandomultiplicidad algebraica) es igual a la traza de A.El producto de los valores propios de A (contandomultiplicidad algebraica) es igual al determinante de A.

Los valores propios de una matriz triangular son loselementos de su diagonal principal.


Proposicion:

Sea A una matriz:

La suma de los valores propios de A (contandomultiplicidad algebraica) es igual a la traza de A.El producto de los valores propios de A (contandomultiplicidad algebraica) es igual al determinante de A.Los valores propios de una matriz triangular son loselementos de su diagonal principal.


Teorema:

Para cada valor propio se cumple que la multiplicidadgeometrica es menor o igual que la multiplicidadalgebraica.

Los valores propios de una matriz simetrica son reales.Los valores propios de una matriz antisimetrica sonimaginarios puros.


Teorema:

Para cada valor propio se cumple que la multiplicidadgeometrica es menor o igual que la multiplicidadalgebraica.Los valores propios de una matriz simetrica son reales.

Los valores propios de una matriz antisimetrica sonimaginarios puros.


Teorema:

Para cada valor propio se cumple que la multiplicidadgeometrica es menor o igual que la multiplicidadalgebraica.Los valores propios de una matriz simetrica son reales.Los valores propios de una matriz antisimetrica sonimaginarios puros.


Teoremas:

Sea λ ∈ σ(A), entonces Wλ ≤ Cn

Sean λ1, λ2, ..., λm ∈ σ(A) distintos, con sus respectivos~u1, ~u2, ..., ~um vectores propios.Entonces ~u1, ~u2, ..., ~um son l.i.Sea A una matriz de orden n.Entonces, A tiene n vectores propios l.i. si y solo si lamultiplicidad geometrica de todo vp es igual a lamultiplicidad algebraica.


Teoremas:


Sean λ1, λ2, ..., λm ∈ σ(A) distintos, con sus respectivos~u1, ~u2, ..., ~um vectores propios.Entonces ~u1, ~u2, ..., ~um son l.i.

Sea A una matriz de orden n.Entonces, A tiene n vectores propios l.i. si y solo si lamultiplicidad geometrica de todo vp es igual a lamultiplicidad algebraica.


Teoremas:


Sean λ1, λ2, ..., λm ∈ σ(A) distintos, con sus respectivos~u1, ~u2, ..., ~um vectores propios.Entonces ~u1, ~u2, ..., ~um son l.i.Sea A una matriz de orden n.Entonces, A tiene n vectores propios l.i. si y solo si lamultiplicidad geometrica de todo vp es igual a lamultiplicidad algebraica.


Ortonormal

Definicion

Diremos que una base B = {u1,u2, ...,un} de un espaciovectorial V es una base ortonormal, si los vectores de la baseson ortogonales y tienen norma 1.


Ortonormal

DefinicionDiremos que una base B = {u1,u2, ...,un} de un espaciovectorial V es una base ortonormal, si los vectores de la baseson ortogonales y tienen norma 1.


Diagonalizacion

Definicion

Dada una matriz cuadrada A, y una matriz invertible P delmismo orden:La matriz B = P−1AP se llama matriz similar a la matriz A.La operacion P−1AP se llama transformacion de similaridad.La matriz P se llama matriz de paso.

Las Propiedades de....

DeterminanteTrazaValores y Vectores Propios

de una matriz, son invariantes bajo una transformacion desimilaridad.

Demostrar !!!


Diagonalizacion

DefinicionDada una matriz cuadrada A, y una matriz invertible P delmismo orden:

La matriz B = P−1AP se llama matriz similar a la matriz A.La operacion P−1AP se llama transformacion de similaridad.La matriz P se llama matriz de paso.




Demostrar !!!


Diagonalizacion

DefinicionDada una matriz cuadrada A, y una matriz invertible P delmismo orden:La matriz B = P−1AP se llama matriz similar a la matriz A.

La operacion P−1AP se llama transformacion de similaridad.La matriz P se llama matriz de paso.




Demostrar !!!


Diagonalizacion

DefinicionDada una matriz cuadrada A, y una matriz invertible P delmismo orden:La matriz B = P−1AP se llama matriz similar a la matriz A.La operacion P−1AP se llama transformacion de similaridad.

La matriz P se llama matriz de paso.




Demostrar !!!


Diagonalizacion

DefinicionDada una matriz cuadrada A, y una matriz invertible P delmismo orden:La matriz B = P−1AP se llama matriz similar a la matriz A.La operacion P−1AP se llama transformacion de similaridad.La matriz P se llama matriz de paso.




Demostrar !!!


Diagonalizacion


Las Propiedades de....Determinante

TrazaValores y Vectores Propios


Demostrar !!!


Diagonalizacion


Las Propiedades de....DeterminanteTraza

Valores y Vectores Propios


Demostrar !!!


Diagonalizacion


Las Propiedades de....DeterminanteTrazaValores y Vectores Propios


Demostrar !!!


Diagonalizacion

Definicion

Si A ∈Mn×n(K) tiene n vectores propios l.i. y formamos unamatriz T cuyas columnas son estos vectores propios:

Entonces D = T−1AT produce una matriz diagonal.Los elementos de D son los valores propios de A.La matriz A se dice DIAGONALIZABLE (forma diagonal).

Observacion:

No todas las matrices tienen forma diagonal.Si una matriz tiene n valores propios distintos, entoncestiene n vectores propios distintos.y si A tiene valores propios repetidos????puede o no puede tener forma diagonal.


Diagonalizacion

DefinicionSi A ∈Mn×n(K) tiene n vectores propios l.i. y formamos unamatriz T cuyas columnas son estos vectores propios:


Observacion:



Diagonalizacion


Entonces D = T−1AT produce una matriz diagonal.

Los elementos de D son los valores propios de A.La matriz A se dice DIAGONALIZABLE (forma diagonal).

Observacion:



Diagonalizacion


Entonces D = T−1AT produce una matriz diagonal.Los elementos de D son los valores propios de A.

La matriz A se dice DIAGONALIZABLE (forma diagonal).

Observacion:



Diagonalizacion



Observacion:



Diagonalizacion



Observacion:

No todas las matrices tienen forma diagonal.

Si una matriz tiene n valores propios distintos, entoncestiene n vectores propios distintos.y si A tiene valores propios repetidos????puede o no puede tener forma diagonal.


Diagonalizacion



Observacion:

No todas las matrices tienen forma diagonal.Si una matriz tiene n valores propios distintos, entoncestiene n vectores propios distintos.

y si A tiene valores propios repetidos????puede o no puede tener forma diagonal.


Diagonalizacion



Observacion:



Teoremas

Valores propios correspondientes a vectores propiosdiferentes son linealmente independientes.

Una matriz es diagonalizable ssi para todo valor propio: lamultiplicidad geometrica es igual a la multiplicidadalgebraica.Corolario: Si todos los valores propios son distintos (esdecir, cada uno de ellos tiene multiplicidad algebraica 1),entonces la matriz es diagonalizable (el recproco no esverdad).


Teoremas

Valores propios correspondientes a vectores propiosdiferentes son linealmente independientes.Una matriz es diagonalizable ssi para todo valor propio: lamultiplicidad geometrica es igual a la multiplicidadalgebraica.

Corolario: Si todos los valores propios son distintos (esdecir, cada uno de ellos tiene multiplicidad algebraica 1),entonces la matriz es diagonalizable (el recproco no esverdad).


Teoremas

Valores propios correspondientes a vectores propiosdiferentes son linealmente independientes.Una matriz es diagonalizable ssi para todo valor propio: lamultiplicidad geometrica es igual a la multiplicidadalgebraica.Corolario: Si todos los valores propios son distintos (esdecir, cada uno de ellos tiene multiplicidad algebraica 1),entonces la matriz es diagonalizable (el recproco no esverdad).


Procedimiento de Diagonalizacion

A. Analizar si A es Diagonalizable.

Calcular polinomio caracteristico y hallar los valorespropios.Para cada valor propio λ, calcular la dimension del espaciopropio Wλ.Sumar las dimensiones de todos los Wλ.Si la suma es n, entonces la matriz A es diagonalizable.e.o.c. no es diagonalizable.




Calcular polinomio caracteristico y hallar los valorespropios.

Para cada valor propio λ, calcular la dimension del espaciopropio Wλ.Sumar las dimensiones de todos los Wλ.Si la suma es n, entonces la matriz A es diagonalizable.e.o.c. no es diagonalizable.




Calcular polinomio caracteristico y hallar los valorespropios.Para cada valor propio λ, calcular la dimension del espaciopropio Wλ.

Sumar las dimensiones de todos los Wλ.Si la suma es n, entonces la matriz A es diagonalizable.e.o.c. no es diagonalizable.




Calcular polinomio caracteristico y hallar los valorespropios.Para cada valor propio λ, calcular la dimension del espaciopropio Wλ.Sumar las dimensiones de todos los Wλ.

Si la suma es n, entonces la matriz A es diagonalizable.e.o.c. no es diagonalizable.




Calcular polinomio caracteristico y hallar los valorespropios.Para cada valor propio λ, calcular la dimension del espaciopropio Wλ.Sumar las dimensiones de todos los Wλ.Si la suma es n, entonces la matriz A es diagonalizable.e.o.c. no es diagonalizable.



B. Diagonalizar.

Formar una base de cada espacio propio (se usa el pasoanterior), eligiendo los ~vp, asociados a los vp de la matrizA.La matriz P se forma usando en sus columnas los ~vp deesta base.La matriz D es diagonal, sus elementos son los vp.Para que D sea de orden n, se necesitan n valorespropios. Por tanto, en la diagonal de D se deben repetir losvp λ, tantas veces como indique la dim(Wλ).Ademas, se debe respetar el orden al colocar los vp de Dy los ~vp en la columna de P.Ası, P−1AP .



B. Diagonalizar.Formar una base de cada espacio propio (se usa el pasoanterior), eligiendo los ~vp, asociados a los vp de la matrizA.

La matriz P se forma usando en sus columnas los ~vp deesta base.La matriz D es diagonal, sus elementos son los vp.Para que D sea de orden n, se necesitan n valorespropios. Por tanto, en la diagonal de D se deben repetir losvp λ, tantas veces como indique la dim(Wλ).Ademas, se debe respetar el orden al colocar los vp de Dy los ~vp en la columna de P.Ası, P−1AP .



B. Diagonalizar.Formar una base de cada espacio propio (se usa el pasoanterior), eligiendo los ~vp, asociados a los vp de la matrizA.La matriz P se forma usando en sus columnas los ~vp deesta base.

La matriz D es diagonal, sus elementos son los vp.Para que D sea de orden n, se necesitan n valorespropios. Por tanto, en la diagonal de D se deben repetir losvp λ, tantas veces como indique la dim(Wλ).Ademas, se debe respetar el orden al colocar los vp de Dy los ~vp en la columna de P.Ası, P−1AP .



B. Diagonalizar.Formar una base de cada espacio propio (se usa el pasoanterior), eligiendo los ~vp, asociados a los vp de la matrizA.La matriz P se forma usando en sus columnas los ~vp deesta base.La matriz D es diagonal, sus elementos son los vp.

Para que D sea de orden n, se necesitan n valorespropios. Por tanto, en la diagonal de D se deben repetir losvp λ, tantas veces como indique la dim(Wλ).Ademas, se debe respetar el orden al colocar los vp de Dy los ~vp en la columna de P.Ası, P−1AP .



B. Diagonalizar.Formar una base de cada espacio propio (se usa el pasoanterior), eligiendo los ~vp, asociados a los vp de la matrizA.La matriz P se forma usando en sus columnas los ~vp deesta base.La matriz D es diagonal, sus elementos son los vp.Para que D sea de orden n, se necesitan n valorespropios. Por tanto, en la diagonal de D se deben repetir losvp λ, tantas veces como indique la dim(Wλ).

Ademas, se debe respetar el orden al colocar los vp de Dy los ~vp en la columna de P.Ası, P−1AP .



B. Diagonalizar.Formar una base de cada espacio propio (se usa el pasoanterior), eligiendo los ~vp, asociados a los vp de la matrizA.La matriz P se forma usando en sus columnas los ~vp deesta base.La matriz D es diagonal, sus elementos son los vp.Para que D sea de orden n, se necesitan n valorespropios. Por tanto, en la diagonal de D se deben repetir losvp λ, tantas veces como indique la dim(Wλ).Ademas, se debe respetar el orden al colocar los vp de Dy los ~vp en la columna de P.

Ası, P−1AP .



B. Diagonalizar.Formar una base de cada espacio propio (se usa el pasoanterior), eligiendo los ~vp, asociados a los vp de la matrizA.La matriz P se forma usando en sus columnas los ~vp deesta base.La matriz D es diagonal, sus elementos son los vp.Para que D sea de orden n, se necesitan n valorespropios. Por tanto, en la diagonal de D se deben repetir losvp λ, tantas veces como indique la dim(Wλ).Ademas, se debe respetar el orden al colocar los vp de Dy los ~vp en la columna de P.Ası, P−1AP .


Caso Matrices Simetricas

Sea A una matriz real y simetrica entonces:

Teorema

A es diagonalizable.Si λi 6= λj ⇒Wλi ⊥Wλj .Esto es, vp distintos de A, implica que los elementos desus respectivos espacios propios son perpendiculares.Existe una base ortonormal de ~vp asociados a A.La diagonalizacion se realiza: VAV T = D donde V es unamatriz ortonormal, es decir V T = V−1 y sus columnas sonlos ~vp ortonormales y D es la matriz diagonal que tiene losvp en su diagonal principal.A es una matriz real simetrica si y solo si existe una matrizortonormal V y una matriz diagonal D tal que: A = VDV T .




TeoremaA es diagonalizable.

Si λi 6= λj ⇒Wλi ⊥Wλj .Esto es, vp distintos de A, implica que los elementos desus respectivos espacios propios son perpendiculares.Existe una base ortonormal de ~vp asociados a A.La diagonalizacion se realiza: VAV T = D donde V es unamatriz ortonormal, es decir V T = V−1 y sus columnas sonlos ~vp ortonormales y D es la matriz diagonal que tiene losvp en su diagonal principal.A es una matriz real simetrica si y solo si existe una matrizortonormal V y una matriz diagonal D tal que: A = VDV T .




TeoremaA es diagonalizable.Si λi 6= λj ⇒Wλi ⊥Wλj .Esto es, vp distintos de A, implica que los elementos desus respectivos espacios propios son perpendiculares.

Existe una base ortonormal de ~vp asociados a A.La diagonalizacion se realiza: VAV T = D donde V es unamatriz ortonormal, es decir V T = V−1 y sus columnas sonlos ~vp ortonormales y D es la matriz diagonal que tiene losvp en su diagonal principal.A es una matriz real simetrica si y solo si existe una matrizortonormal V y una matriz diagonal D tal que: A = VDV T .




TeoremaA es diagonalizable.Si λi 6= λj ⇒Wλi ⊥Wλj .Esto es, vp distintos de A, implica que los elementos desus respectivos espacios propios son perpendiculares.Existe una base ortonormal de ~vp asociados a A.

La diagonalizacion se realiza: VAV T = D donde V es unamatriz ortonormal, es decir V T = V−1 y sus columnas sonlos ~vp ortonormales y D es la matriz diagonal que tiene losvp en su diagonal principal.A es una matriz real simetrica si y solo si existe una matrizortonormal V y una matriz diagonal D tal que: A = VDV T .




TeoremaA es diagonalizable.Si λi 6= λj ⇒Wλi ⊥Wλj .Esto es, vp distintos de A, implica que los elementos desus respectivos espacios propios son perpendiculares.Existe una base ortonormal de ~vp asociados a A.La diagonalizacion se realiza: VAV T = D donde V es unamatriz ortonormal, es decir V T = V−1 y sus columnas sonlos ~vp ortonormales y D es la matriz diagonal que tiene losvp en su diagonal principal.

A es una matriz real simetrica si y solo si existe una matrizortonormal V y una matriz diagonal D tal que: A = VDV T .




TeoremaA es diagonalizable.Si λi 6= λj ⇒Wλi ⊥Wλj .Esto es, vp distintos de A, implica que los elementos desus respectivos espacios propios son perpendiculares.Existe una base ortonormal de ~vp asociados a A.La diagonalizacion se realiza: VAV T = D donde V es unamatriz ortonormal, es decir V T = V−1 y sus columnas sonlos ~vp ortonormales y D es la matriz diagonal que tiene losvp en su diagonal principal.A es una matriz real simetrica si y solo si existe una matrizortonormal V y una matriz diagonal D tal que: A = VDV T .


Ejercicios

Diagonalizar, si es posible:

A =

(5 41 2

)

A =

(−2 11 −2

)

A =

0 0 10 2 03 0 0


Ejercicios

Diagonalizar, si es posible:

A =

(5 41 2

)A =

(−2 11 −2

)

A =

0 0 10 2 03 0 0


Aplicaciones

Ecuaciones Diferenciales

Matriz ExponencialPotencia de MatricesSecciones Conicas Rotadas (que veremos con masdetalle).


Aplicaciones

Ecuaciones DiferencialesMatriz Exponencial

Potencia de MatricesSecciones Conicas Rotadas (que veremos con masdetalle).


Aplicaciones

Ecuaciones DiferencialesMatriz ExponencialPotencia de Matrices

Secciones Conicas Rotadas (que veremos con masdetalle).


Aplicaciones

Ecuaciones DiferencialesMatriz ExponencialPotencia de MatricesSecciones Conicas Rotadas (que veremos con masdetalle).


Proceso de Ortogonalizacion de Gram-Schmidt

Hemos visto que un conjunto de vectores ortogonales formanuna base para un espacio vectorial.

Ahora bien, siempre es posible construir un conjunto devectores ortogonales a partir de un conjunto de vectoreslinealmente independientes.Este metodo de ortogonalizacion se conoce como el metodode Gram Schmidt... en honor de estos dos matematicosalemanes que NO inventaron el metodo...... el cual al parecer se le debe al matematico frances P.S.Laplace.



Hemos visto que un conjunto de vectores ortogonales formanuna base para un espacio vectorial.Ahora bien, siempre es posible construir un conjunto devectores ortogonales a partir de un conjunto de vectoreslinealmente independientes.

Este metodo de ortogonalizacion se conoce como el metodode Gram Schmidt... en honor de estos dos matematicosalemanes que NO inventaron el metodo...... el cual al parecer se le debe al matematico frances P.S.Laplace.



Hemos visto que un conjunto de vectores ortogonales formanuna base para un espacio vectorial.Ahora bien, siempre es posible construir un conjunto devectores ortogonales a partir de un conjunto de vectoreslinealmente independientes.Este metodo de ortogonalizacion se conoce como el metodode Gram Schmidt... en honor de estos dos matematicosalemanes que NO inventaron el metodo...

... el cual al parecer se le debe al matematico frances P.S.Laplace.



Hemos visto que un conjunto de vectores ortogonales formanuna base para un espacio vectorial.Ahora bien, siempre es posible construir un conjunto devectores ortogonales a partir de un conjunto de vectoreslinealmente independientes.Este metodo de ortogonalizacion se conoce como el metodode Gram Schmidt... en honor de estos dos matematicosalemanes que NO inventaron el metodo...... el cual al parecer se le debe al matematico frances P.S.Laplace.


Teorema

Si ~u1, ~u2, ..., ~um son vectores l.i. en Rn , entonces es posibleconstruir vectores ortogonales ~w1, ~w2, ..., ~wm tales que paracada k = 1,2, ...,m se cumple:

G( ~u1, ~u2, ..., ~um) = G( ~w1, ~w2, ..., ~wm)

Los vectores ~wi se construyen siguiendo el procedimiento:~w1 = ~u1~w2 = ~u2 − <~u2, ~w1>

|| ~w1||2~w1

...~wk+1 = ~uk+1 −

∑ki=1

< ~uk+1, ~wj>

|| ~wk ||2~wk


TeoremaSi ~u1, ~u2, ..., ~um son vectores l.i. en Rn , entonces es posibleconstruir vectores ortogonales ~w1, ~w2, ..., ~wm tales que paracada k = 1,2, ...,m se cumple:

G( ~u1, ~u2, ..., ~um) = G( ~w1, ~w2, ..., ~wm)


|| ~w1||2~w1

...~wk+1 = ~uk+1 −

∑ki=1

< ~uk+1, ~wj>

|| ~wk ||2~wk



G( ~u1, ~u2, ..., ~um) = G( ~w1, ~w2, ..., ~wm)

Los vectores ~wi se construyen siguiendo el procedimiento:

~w1 = ~u1~w2 = ~u2 − <~u2, ~w1>

|| ~w1||2~w1

...~wk+1 = ~uk+1 −

∑ki=1

< ~uk+1, ~wj>

|| ~wk ||2~wk



G( ~u1, ~u2, ..., ~um) = G( ~w1, ~w2, ..., ~wm)


|| ~w1||2~w1

...~wk+1 = ~uk+1 −

∑ki=1

< ~uk+1, ~wj>

|| ~wk ||2~wk


Ejemplos

Aplicar G-S, a los siguientes vectores:~u1 = (3,0,4), ~u2 = (−1,0,7), ~u3 = (2,9,11) en R3.

~u1 = (1,0,2,1), ~u2 = (1,1,0,1) en R4.


Ejemplos

Aplicar G-S, a los siguientes vectores:~u1 = (3,0,4), ~u2 = (−1,0,7), ~u3 = (2,9,11) en R3.~u1 = (1,0,2,1), ~u2 = (1,1,0,1) en R4.


Ejercicios Propuestos

Dada la matriz A =

1 a aa 1 aa a 1

donde a es una

constante real. Determine: 1. El polinomio caracteristicode A.2. Los valores y vectores propios de A y sus subespaciospropios asociados.3. ¿Para que valores de a, la matriz A es diagonalizable?4. Determine en caso de existir la matriz que diagonaliza aA.

Muestre que la matriz A =

(1 −1−1 1

)es diagonalizable

y determine una matriz X tal que X 5 = A


valores propios y vectores propios - matevbv · en´ particular, hay a lo mas n valores propios...

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