POLINOMIOSDencn y propedadesRaces de un ponomoMtodo de Newton RaphsonMtodo de BseccnMATRICESINTERPOLACION DE FUNCIONES POLINOMICASInterpoacn por ponomos de LagrangeMtodo de dferencas de Newton Impementacn de funcones eementaesECUACIONES DIFERENCIALESEcuacones Dferencaes de Prmer OrdenApcacn de ecuacones dferenca de prmer OrdenEcuacones dferencaes de Segundo OrdenApcacn de ecuacones dferencaes de segundo orden Divisin de polinomios:En genera a divisin de un ponomo Pdividendo por un ponomo d divisor orgna un ponomocociente q y un ponomoresto r, de modo que (Teorema de a Dvsn)p=qd+r, o o que es o msmo,x), ( ) ( ) ( ) ( + = x r x d x q x p E grado de r es menor que e grado de d o ben r es nuoE|empo:(resto)) (cuociente3 22 311 2 32 3 1 2) 2 3 /( ) 1 2 (223 32 2 32 2 3+ + + + + + + xx xx xx x x xx x x x xx x x x x-1 1 -igualdad la quedando) 3 0 2 ( ) 1 0 ( ) 2 0 3 0 ( ) 1 0 0 2 0 (0 x x a un valorasignamos) 3 2 ( ) 1 ( ) 2 3 ( ) 1 2 () (2 2 32 2 3= + + + = + = + + + = + + =Luegox x x x x x xr d q x pUsando e e|empo anteror demostraremos e teorema de a dvsonCuando e resto sea gua a cero dremos que e dvdendo es dvsbe por e dvsor, es decr, que a dvsn es exactaEste mtodo, e cua es un mtodo teratvo, es uno de os ms usados y efectvos. A dferenca de otros mtodos , e mtodo de Newton-Raphson no traba|a sobre un ntervao sno que basa su frmua en un proceso teratvo. Supongamos que tenemos la aproximcina la razde Trazamos la recta tangente a la curva en el puntosta cruza al ejeen un puntoque ser nuestra siguiente aproximacin a la raz.Para calcular el punto, calculamos primero la ecuacin de la recta tangente. Sabemos que tiene pendiente Y por o tanto a ecuacn de a recta tangente es:HacemosY despe|amosRAICES DE UN POLINOMIONEWTON RAPHSONesta a frmua teratva de Newton-Raphson para cacuar a sguente aproxmacn:s1 3161 023231 3 ) ( '16 ) (++ + =+ =+ + =xx xx xx x fx x x fE|empoComenzamos a teracon con x=1Iterando 6 veces egamos a un margen de error de un 0,000003 % con respecto a a proxmdad de a raz.% 000003 , 0 % 1003392 2,387686 -3392 -2,387686 3392 2,387686 -= =+eError1 - 3!" ) ( '2 # ! - !$ ) (==x f x fComenze a teracon con X0=- -1,4Como se puede observar en a 5ta teracon f(x)=0, dando a raz-1,5214, con un error =0Sea f : [a; b] IR IR una funcin continua en [a; b] tal que f(a) x f(b) < 0, esdecir, que tiene distinto sino en a ! en b" #ntonces, existe $ (a; b) tal que f(c) % 0E Teorema de Bozano arma que s una funcn es contnua en un ntervao cerrado y acotado y en os extremos de msmo sta toma vaores con sgnos opuestos, entonces exste a menos una raz de a funcn en e nteror de ntervaoMetodo de biseccionSea f : [a; b] IR IR continua en [a; b], ! tal que f(a) < f(b) entonces, &aracualquier ' tal que f(a) < ' < f(b) existe (0 (a; b) tal que f((0) % 'Bscamente e Teorema de Vaor Intermedo nos dce que toda funcn contnua en un ntervao cerrado, una vez que acanz certos vaores en os extremos de ntervao, entonces debe acanzar todos os vaores ntermedos.El mtodo de la biseccin se basa en estos teoremas y se empea para aproxmar ceros de funcones.Supngase que queremos encontrar os ceros de una funcn f(x) continua" )ados dos puntos a ! b tal que f(a) ! f(b) tenan sinos distintos, sabe*os &or el +eore*a de Bozano que f(x) debe tener, al *enos, una ra,- en el intervalo [a; b]" #l *.todo debseccn dvde e ntervao en dos, usando un tercer punto c %(a / b)01". En este momento, exsten dos posbdades: f(a) ! f(c), f(c) ! f(b) tienen distinto sino" #l *.todo debseccn se apca a subntervao donde e cambo de sgno ocurre. Este proceso puede apcarse tantas veces como sea necesaro para acanzar a precsn que se requera.E|empoOcuparemos a msma ecuacon utzada en e metodo de Newton Raphson % 223 - 2 -& i'era(ion)rimera *asigno de (am+io el (om)rovar)ara ,ra-ique (-2,-3)% in'ervalo el ensolu(ion (on.un'o uns en(on'ramo +olsano, de 'eorema el u'ili/amos16 ) (3 = =+ + =Six x x fen este e|empo con un error de 0.003; se encuentra a tma raz(Xm): !"#$%&%#!'!($$ con 14 teraccones.