tratatimiento numerico de ecuaciones diferenciales (2)

Pedro Fernando Quiroga Novoa Xiomara Rodríguez Castelblanco

Ecuaciones elípticas:

Ecuación de Laplace Técnicas de solución

Ecuaciones parabólicas:

Ecuación de conducción de calor Método de Crank-Nicholson

Ecuaciones ElípticasEcuaciones Elípticas Ecuación de Laplace Ecuación de Laplace

Para explicar esta ecuación se usara una placa sobre la cual se realizara un balance de calor.

Considerando que la placa está aislada excepto en los extremos, permite suponer que la transferencia de calor este limitada a las direcciones x y y, y el flujo de calor hacia el elemento en una unidad de tiempo debe ser igual al flujo de salida.

Dividiendo entre se tiene

A partir de la definición de la derivada

Haciendo uso de la ley de Fourier de conducción de calor: es el coeficiente de difusividad térmica

es la densidad del material es la capacidad calorífica del material es la temperatura

Se obtiene entonces la ecuación de Laplace:

Técnicas de solución Técnicas de solución

A partir de la serie de Taylor se tiene una expresión numérica para las segundas derivadas así:

La ecuación laplaciana en diferencias La ecuación laplaciana en diferencias

Entonces la ecuación de Laplace expresada como diferencias seria:

Técnicas de solución Técnicas de solución La ecuación laplaciana en diferencias La ecuación laplaciana en diferencias

Ejemplo:

Considerando la placa con la ecuación de Laplace se reduce a:

Esta ecuación satisface todos los puntos interiores de la placa y es la ecuación laplaciana en diferencias.

Usando la ecuación se hace un balance en cada nodo, por ejemplo nodo (1,1)

Usando las condiciones de frontera se sabe que:


Haciendo el balance para cada nodo se obtendrán 9 ecuaciones como se muestra a continuación:


Al solucionar el sistema de ecuaciones por el método de Gauss Jordan se obtienen los siguientes resultados:


Técnicas de solución Técnicas de solución Método de Liebmann Método de Liebmann

Los métodos aproximados representan un buen procedimiento para obtener soluciones de EDP elípticas. El método más común es el de Gauss-Seidel, que aplicado a las EDP se conoce como el método de Liebmann

Considerando el mismo ejemplo, con el método de Liebmann se tendría:

La ecuación se resuelve de manera iterativa para (i=1, 2, 3…m y j=1, 2, 3,…n).

Método de Liebmann Método de Liebmann

Para aplicar la sobrerelajación se usa la ecuación:

Las iteraciones se repiten hasta que los valores absolutos de todos los errores relativos estén por debajo de un criterio preespecificado.


Ejemplo:

Calcule la temperatura de la placa del ejemplo anterior usando el método de Liebmann. Emplee la sobrerelajación con un valor de 1.5 e itere hasta

Primera iteración: Para i=1 y j=1 Para i=2 y j=1


Primera iteración: Para i=3 y j=1


Al realizar el mismo procedimiento para las otras 6 ecuaciones se obtiene:

Como todos los valores iníciales son cero los errores de la primera iteración son 100%

Los resultados de las tres primeras iteraciones son:


Una ecuación diferencial parcial se encuentra definida de la siguiente manera:

a, h, b, f, g, c son constantes. Por comparación con una cónica

Si: = 0 la ecuación diferencial es parabólica; además la derivada de primer orden debe estar definida respecto al tiempo.

Las ecuaciones de conductividad térmica y de difusión, conducen a ecuaciones de tipo parabólico.

La ecuación mas simple de conductividad térmica es:

Como sabemos la ecuación del calor modela la distribución de

temperaturas en un alambre aislado, cuyos extremos se mantienen a

temperaturas constantes c1 y c2, a partir de una distribución inicial de

temperaturas a lo largo del alambre f(x).

1. Se sumerge a una temperatura de 100ºC2. Se saca y en los extremos se mantiene hielo a 0ºC

¿Cual sera la temperatura de la barra en cualquier lugar y en cualquier tiempo ?

Ley I La cantidad de calor necesario para elevar la temperatura de un objeto de masa m en una cantidad Δu es ms Δ u, donde s es una constante que depende del material usado y se llama calor especifico .

Ley II La cantidad de calor que fluye a través de un área (B o C) por unidad de tiempo es proporcional a la tasa de cambio de la temperatura con respecto a la distancia perpendicular al área.

Si tomamos como positiva la dirección de izquierda a derecha, podemos escribir:

Si aplicamos esta ecuación de calor para los puntos B y C y aplicamos la LEY I obtenemos:

Y si la ordenamos llegamos a

Teniendo en cuenta las condiciones iniciales tenemos:

si evaluáramos cuando el calor fluye en 3 dimensiones tendríamos:

1. Estudiamos las condiciones iniciales (t=0) y las condiciones frontera (x=0, x=L).

2. Asumiendo una solución u= XT , e igualando a una constante λ^2 tenemos:

XT’=KX’’T

3. Luego se constituye el serial donde:

y el serial queda:

4. Con ello tenemos que:

5. Se reemplazan los valores de A calculados en la ecuación del punto 3 y con ello obtenemos la solución:

Una barra metálica de 100 cm de longitud tiene sus extremos x = 0; x = 100 mantenidos a 0oC. Inicialmente, la mitad de la barra esta a 60oC, mientras que la otra mitad esta a 40oC. Asumiendo un coeficiente de difusividad de 0.16 unidades c.g.s. y un entorno aislado, encontrar la temperatura en cualquier posicion de la barra en cualquier tiempo.

Como ejemplo parabólico consideramos la ecuación de calor unidireccional:

Analizamos las condiciones iniciales y las condiciones frontera.

C.I

C.F

Este esquema implícito, inventado por John Crank y Phyllis Nicholson, se basa en la construcción de una aproximación numérica al valor de la solución de la ecuación del calor en que es un punto situado entre dos filas de la malla. Concretamente, para usamos la aproximación que se obtiene a partir de la formula de diferencias centradas.

Y para un usamos como aproximación el valor medio de las aproximaciones a y

Sustituimos esta expresiones en la ecuación de calor y teniendo la denotación: obtenemos la ecuación en diferencias:

Decimos que ya que estas son constantes del material. Y despejamos los tres valores aun por calcular:

Este reordenamiento produce una ecuación de diferencias implícitas

Los términos del lado derecho son conocidos, formando un sistemas lineal tridiagonal, AX=B

Se suele decir que el coeficiente r=1, quedando la ecuación de la siguiente manera:

En la primera y en la ultima de estas ecuaciones hay que usar las condiciones de contorno, es decir:

Las ecuaciones se escriben de forma especialmente atractiva en su forma tridiagonal AX = B

CHAPRA, Steven C. y CANALE, Raymond P.: Métodos Numéricos para Ingenieros. McGraw Hill 2002.

ROMERO, Sixto, MORENO, Francisco y RODRÍGUEZ, Isabel: Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales

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