Unidad 4 Elipse, Circunferencia y sus ecuaciones cartesianas 4 - 28

ECUACIÓN GENERAL DE UNA ELIPSE

Hasta aquí hemos presentado las ecuaciones de elipses en la forma que lla-

mamos ordinaria, donde los cuadrados de los binomios se quedan indicados.

Esta forma nos fue muy útil para identificar con rapidez los valores de pará-

metros a y b, así como las coordenadas del centro (h, k).

Ahora obtendremos la llamada forma general de la ecuación de la elipse,

desarrollando los cuadrados indicados en la forma ordinaria y reagrupando algu-

nos términos.

Para la elipse horizontal con centro C(h, k)

1)()(

2

2

2

2

b

ky

a

hx

Efectuando un proceso algebraico en el que eliminamos los denominadores,

desarrollamos los binomios al cuadrado, agrupamos términos semejantes e igua-

lamos a cero, obtenemos la ecuación:

022 222222222222 bakahbkyahxbyaxb

En la que podemos renombrar los coeficientes constantes y expresarla así:

022 FEyDxCyAx , que es la buscada ecuación general de una elip-

se horizontal con centro C(h, k).

Para la elipse vertical con centro C(h, k)

1)()(

2

2

2

2

a

ky

b

hx.

Siguiendo el mismo proceso algebraico que para la elipse horizontal, llegamos a la

ecuación:

022 222222222222 bakbhakybhxaybxa

En la que podemos renombrar los coeficientes constantes y expresarla así:

022 FEyDxCyAx , que es la ecuación general de una elipse vertical con

centro C(h, k).

De lo anterior se puede concluir que la ecuación de una elipse con centro en

un punto cualquiera y ejes paralelos a los coordenados, siempre puede expresar-

se en la forma general:

4 - 29 Unidad 4 Elipse, Circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

022 FEyDxCyAx

Donde los coeficientes A y C serán diferentes de cero y del mismo signo.

Sugerencias para quien imparte el curso

Recomendamos preguntar a los alumnos cómo distinguir, si la elipse es horizontal o vertical teniendo solamente la ecuación en su forma general.

Dependiendo de las combinaciones de valores con los otros coeficientes, la ecuación general podría representar sólo un punto o ningún lugar geométrico real.

Inversamente: una ecuación de segundo grado que carece del término xy, en

la que los coeficientes de los términos en x2 y y2 tienen el mismo signo, representa

una elipse con ejes paralelos a los ejes coordenados, un punto o ningún lugar

geométrico real.

Expresar en forma general cada una de las siguientes ecuacio-

nes dadas en forma ordinaria.

1. 149

)2(

36

)5( 22

yx

2. 17

)4(

16

)1( 22

yx

3. 164

)3(

25

22

yx

Intentemos el problema inverso.

¿Cómo expresar en forma ordinaria la ecuación de una elipse dada en forma general?

Ejercicio 1

Unidad 4 Elipse, Circunferencia y sus ecuaciones cartesianas 4 - 30

Dada la ecuación 2 24 9 40 54 145 0x y x y ,

Indicar de qué curva se trata, obtener sus elementos y graficarla

Expresémosla en forma ordinaria, de manera que podamos obtener más in-

formación sobre esta posible elipse (centro, focos, vértices, etc.), para lograrlo rea-

liza el procedimiento siguiente:

1. Dejar en el primer miembro los términos que tienen x y los que tienen y, agrupándolos según la variable.

2 24 40 9 54 145x x y y

2. Factorizar el 4 para los términos en x y el 9 para los de y

2 24( 10 ) 9( 6 ) 145x x y x

3. Completar trinomios cuadrados perfectos dentro de cada paréntesis, su-mando lo que sea necesario a ambos miembros de la igualdad

2 24( 10 25) 9( 6 9) 145 100 81x x y x

4. Factorizar los trinomios cuadrados perfectos, como binomios al cuadrado y reducir términos semejantes

2 24( 5) 9( 3) 36x y

5. Dividir la ecuación entre 36, obteniendo

2 2

5 31

9 4

x y

Así, llegamos a una ecuación con la que estamos más familiarizados.

¿De qué curva se trata, es horizontal o vertical? Dar las coordenadas del

centro, el valor de cada una de las constantes a, b y c, las coordenadas de los fo-

cos, de los vértices, la excentricidad, la longitud de los ejes mayor, menor y del

lado recto.

La elipse es horizontal.

Ejemplo 5

4 - 31 Unidad 4 Elipse, Circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

Las coordenadas del centro son 5, 3C .

El valor de cada una de las constantes es 3, 2, 9 4 5a b c

Las coordenadas de los focos son 5 5, 3 ´ 5 5, 3F y F

Las coordenadas de los vértices son 8, 3 ´ 2, 3V y V

La excentricidad es 5

3e

La longitud del lado recto es 8

3

Y su gráfica es:

Hagamos las transformaciones algebraicas necesarias para llevar esta ecua-

ción general a la forma ordinaria.

1. x2 – 12x + 8y

2 – 16y = 36

2. (x2 - 12x) + 8 (y

2 – 2y) = 36

Ejemplo 6

Dada la ecuación x2 + 8y

2 – 12x – 16y – 36 = 0,

encontrar todas las características de la curva que

representa.

Unidad 4 Elipse, Circunferencia y sus ecuaciones cartesianas 4 - 32

3. Completando los trinomios cuadrados perfectos.

(x2 - 12x + 36) + 8 (y

2 – 2y + 1) = 36 + (36) + 8 (1)

4. Factorizando: ( x - 6)2 + 8 (y - 1)

2 = 80

5. Dividiendo entre 80:

80

80

80

18

80

622

yx

Esta ecuación puede escribirse en la forma con la que estamos más familia-

rizados:

1

10

1

80

622

yx

a) ¿De qué curva se trata?

b) ¿Es horizontal o vertical? Es horizontal

c) Las coordenadas del centro son C 6,1C

d) El valor de cada una de las constantes es: 80, 10,a b

80 10 70c

e) Las coordenadas de los focos son 6 70,1 ´ 6 70,1F y F

f) Las coordenadas de los vértices son 6 80,1 ´ 6 80,1V y V .

g) La excentricidad es 70

80e .

h) La longitud de los ejes es: eje mayor = 2 80 , eje menor = 2 10 y

i) La longitud del lado recto es 20

80

Y su gráfica se muestra enseguida:

4 - 33 Unidad 4 Elipse, Circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

Expresémosla en forma ordinaria, de manera que podamos obtener más in-

formación sobre esta elipse (centro, focos, vértices, etc.).

1. Dejamos en el primer miembro los términos que tienen x y los que tienen y, agru-

pándolos según la variable:

49x2 –196x + 25y

2 - 300y = 129.

2. Factorizamos el 49 para los términos en x y el 25 para los de y:

2 249 4 25 12 129x x y y .

3. Completamos trinomios cuadrados perfectos dentro de cada paréntesis,

sumando lo que sea necesario a ambos miembros de la igualdad:

2 249 4 4 25 12 36 129 49(4) 25(36)x x y y

4. Factorizamos los trinomios cuadrados perfectos, como binomios al cua-

drado y reduciendo términos semejantes:

2 2

49 2 25 6 1225x y

5. Dividimos entre 1225 toda la ecuación:

2 2

49 2 25 6 1225

1225 1225 1225

x y

6. Reduciendo las fracciones:

2 2

2 61

25 49

x y

Ejemplo 7

Dada la ecuación de segundo grado, en dos

variables y sin término en xy:

,realizar lo siguien-

te:

a) Identificar el tipo y posición de la curva. b) Obtener las coordenadas del centro, de los fo-

cos y de los vértices. c) Escribir las longitudes de los ejes y del lado

recto. d) Calcular la excentricidad de la curva.

Unidad 4 Elipse, Circunferencia y sus ecuaciones cartesianas 4 - 34

Observamos que se trata de una elipse y es vertical

Las coordenadas del centro son: 2, 6C

El valor de cada uno de los parámetros 7, 5, 49 25 24a b c

Las coordenadas de los focos son 2, 6 24 ´ 2, 6 24F y F

Los vértices son los puntos 2,1 ´ 2, 13V y V

b) La excentricidad es 24

7e .

c) La longitud de los ejes el mayor mide 14 y el menor 10

d) La longitud del lado recto es 50

7

Y su gráfica es:

1. 100x

2 + 49y

2 + 200x – 686y – 2399 = 0

2. x2 + 4y

2 – 10x + 16y – 7 = 0

3. y2 + 25x

2 + 12y – 150x – 214 = 0

4. x2 + 81y

2 + 162y = 0

Para cada una de las ecuaciones anteriores:

a) Identificar el tipo y posición de la curva.

b) Obtener las coordenadas del centro, de los focos y de los vértices.

c) Escribir las longitudes de sus ejes ( mayor y menor) y su lado recto.

d) Calcular la excentricidad.

Ejercicio 2

Llevar a la forma ordinaria cada una de las siguientes ecuaciones dadas en forma general:

4 - 35 Unidad 4 Elipse, Circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

La intención de esta sección se alcanzará plenamente sólo

si reflexionamos detenidamente cada una de las ideas incluidas en los problemas, la forma en que se relacionan los conceptos

que maneja cada ejercicio con los desarrollos teóricos que hemos efectuado. Una figura te será de mucha utilidad en cada caso.

1. La distancia mínima del planeta Mercurio al Sol es 45 052 000 km y su ex-

centricidad es 5

1e .

a) Calcular la distancia máxima de Mercurio al Sol.

b) Comparar la diferencia entre las distancias máxima y mínima de Mercurio al Sol con la misma diferencia de la Tierra al Sol, expresarlas en porcentaje.

2. Dos vértices de un triángulo son los puntos A(5,0) y B(-5,0), si el tercer vér-

tice puede moverse en el plano por todas las posiciones posibles, siempre que el

perímetro del triángulo sea 26 unidades, ¿qué lugar geométrico describe el tercer

vértice?. Obtener su ecuación.

3. Un arco de forma semielíptica subtiende un claro de 104 m. Si la altura del

arco es de 15 metros a una distancia de 4 m medida desde un extremo, ¿cuál es

su altura máxima?

Ejercicio 3