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TEORÍA DE CONJUNTOS
George Cantor
•Defendió su tesis doctoral en 1867 sobre teoría de números•Demostró que los números reales son no enumerables•Es considerado el fundador de la teoría de conjuntos
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Simbología
{ } Conjunto.
∈ Es un elemento del conjunto o pertenece al conjunto.
∉ No es un elemento del conjunto o no pertenece al conjunto.
| Tal que.
n(C ) Cardinalidad del conjunto C.
U Conjunto universo.
φ Conjunto vacío.
⊆ Subconjunto de.
⊂ Subconjunto propio de.
⊄ No es subconjunto propio de.
> Mayor que.
< Menor que.
≥ Mayor o igual que.
≤ Menor o igual que.
∩ Intersección de conjuntos.
∪ Unión de conjuntos.
A Complemento del conjunto A.
= Símbolo de igualdad.
≠ No es igual a.
. . . El conjunto continúa.
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⇒ Entonces.
⇔ Si y sólo si.
∼ No (es falso que).
∧ y
∨ o
Proposiciones Lógicas
Las proposiciones que pueden ser falsas o verdaderas se llaman Proposiciones Lógicas
a) El triángulo es una figura de 4 lados ( )
b) 3 + 5 = 8 ( )
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Conjuntos
Un conjunto es una colección de cosas u objetos con características defi nidas. Los conjuntos se representan con letras mayúsculas y sus elementos se delimitan con llaves y se separan con comas.
a) El conjunto de las vocales.
A = { a, e, i, o, u }
b) El conjunto de los dígitos.
B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
c) El conjunto de los números naturales.
N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, … }
Observación: los puntos suspensivos indican que el conjunto continúa y que los elementos siguientes conservan la misma característica.
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d ) El conjunto de los días de la semana.
S = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}
e) El conjunto de los números naturales entre 5 y 10.
P = { 6, 7, 8, 9 }
Para indicar que un elemento pertenece o no a un conjunto se utilizan los símbolos y .∈ ∉
Ejemplos.
1.- Sea el conjunto A = { a, e, i, o, u }, entonces
u pertenece al conjunto A y se representa u ∈A.
x no pertenece al conjunto A y se representa x ∉A.
2.- Sea el conjunto B = { 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10 }, entonces
2 ∈B, 5 ∈B, 1 ∉B, 11 ∉B
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EJERCICIO 1
Dados los conjuntos: A = { a, e, i, o, u } y B = { 1, 2, 3, 4, 5 } coloca o ∈ ∉según corresponda:
1. a _____ B 7. i _____ A
2. c _____ A 8. o _____ B
3. 2 _____ B 9. e _____ A
4. 3 _____ A 10. 8 _____ B
5. u _____ A 11. b _____ B
6. 5 _____ B 12. 1 _____ A
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Escritura y representación de conjuntos
Los conjuntos se representan de dos formas:
• Por ENUMERACIÓN O EXTENSIÓN. Cuando se indican uno por uno los elementos del conjunto.
- Representa en forma enumerativa el conjunto M = {m ∈ N | m < 5}. SoluciónEl conjunto se lee: los números naturales que son menores que 5 y su representación en forma enumerativa es:
M = {1, 2, 3, 4}
- Representa en forma enumerativa el conjunto: A = {x ∈ Z | x + 8 = 10}.SoluciónEste conjunto lo forman los números enteros que sumados con 8 dan como resultado 10, por tanto, su forma enumerativaes:
A = {2}
Ya que 2 + 8 = 10
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• Forma descriptiva o por comprensión. Se hace mención a la característica principal de los elementos del conjunto.
Representa en forma descriptiva el conjunto S = { x ∈ N | x es divisor de 6 }.
SoluciónEste conjunto se lee:
x pertenece al conjunto de los números naturales, tal que x es un divisor de seis.
x es una variable que cumple con las características del conjunto S.
Si Q = {2, 3, 5, 7, 11} representa su forma descriptiva.
Solución
Q = {q ∈ N | q es primo menor que 12}
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Ejemplo.
Expresar por extensión y por comprensión el conjunto de días de la semana.
Por Extensión : D = { lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo }
Por Comprensión : D = { x / x = día de la semana }
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Subconjunto El conjunto A es subconjunto de B, A B, si y solo si todo elemento de A es también un elemento de B
a) {1,2} {1,2,3,4,5}
b) {1,2,6} {1,2,3,4,5}
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Sean A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5,6}, C={1,6} indique si se presentan las siguientes relaciones entre conjuntos:
•A B
•A C
•B A
•B C
•C A
•C B
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Sean P={1,2}, Q={1,2,3}, R={1,2,3}, indique si:
•P R
•Q R
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Subconjunto propio El conjunto A es subconjunto propio de B, A B, si y solo si, A B y A B
Sean P={1,2}, Q={1,2,3}, R={1,2,3}, se cumple:
• P R
• P R
• Q R
• Q R
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Al número de elementos que tiene un conjunto Q se le llama CARDINAL DEL CONJUNTO y se le representa por n(Q).
Por ejemplo
A= {a,b,c,d,e} su cardinal n(A)= 5
B= {x,x,x,y,y,z} su cardinal n(B)= 3
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Diagramas de VennEs la representación de un conjunto o conjuntos y sus operaciones, que delimitan figuras planas como círculos orectángulos.Por lo general los círculos delimitan a los elementos del conjunto o conjuntos dados y los rectángulosdelimitan al conjunto universo.
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Representa en un diagrama de Venn el conjunto A = { 1, 2, 3, 4 }.Solución
2 Representa en un diagrama de Venn el conjunto:B = { x ∈ N | x es múltiplo de 3 menor que 17 }
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