3.4 Prueba de Hipotesis

UNIDAD III.- Analisis

Hipótesis estadística

Afirmación de lo que creemos sobre una población. Por lo general se refiere a los parámetros de la población acerca de la

cual se quiere hacer la afirmación. Prueba de hipótesis

Prueba, test o contraste de hipótesis es una técnica

estadística que se sigue para decidir si rechazamos o no una

hipótesis estadística en base a la información de una muestra.

PASOS PARA LA PRUEBA DE HIPOTESIS

1. Plantear las hipótesis• Ho : μ1 - μ2 = 0

• H1 : μ1 - μ2 ≠ 02. Establecer el nivel de significación α = 0.05

3. Aplicar el estadístico de prueba, previo comprobación de supuestos como la distribución de la población, igualdad de varianzas, etc.

4. Establecer regla de decisión

5. Sacar la conclusión

Plantear hipótesis

Para este fin se plantea:

Una hipótesis Nula (H0): Formulada con el único propósito de rechazarla o invalidarla, de la no diferencia, del no cambio, de que no es bueno, de la no asociación (independencia), etc.

Una hipótesis alternativa (H1): Es la hipótesis que difiere de la hipótesis nula, si H0 plantea =, H1 planteará >, <, ò ≠

Contraste de hipótesis

Planteadas H0 y H1 se procederá a contrastarlas pero para ello debe fijarse las reglas de decisión.

Suponiendo que una hipótesis particular es cierta pero los resultados hallados en una

muestra aleatoria difieren notablemente de lo esperado entonces diremos que las diferencias observadas son significativas y nos veremos

inclinados a rechazar la hipótesis o al menos a no aceptarla pero cabe la posibilidad de

equivocarnos.

Grado de confianza y nivel de significación

Grado de confianza: Probabilidad de que no me equivoco al no rechazar Ho verdadero generalmente es de 95%, puede ser 90%, 99%, etc.

Nivel de significación (α): Probabilidad de equivocarme y rechazar Ho cuando Ho es verdadero, generalmente se usa valor de 0.05, máximo 0.10 puede ser 0.01 ó menos en casos especiales.

Ho verdadero Ho Falso

Rechazar Ho Error tipo I (α) Decisión correcta

No rechazar Ho Decisión correcta Error tipo II (β)De

cisi

ón

est

adís

tica

Grado de potencia y β

Grado de potencia o valor predictivo: Probabilidad de que no me equivoco al rechazar Ho falso generalmente es de 80%.

β : Probabilidad de equivocarme al no al rechazar Ho que es falso generalmente se usa valor de 0.2

Ho verdadero Ho Falso

Rechazar Ho Error tipo I (α) Decisión correcta

No rechazar Ho Decisión correcta Error tipo II (β)De

cisi

ón

est

adís

tica

= 0.05

área de rechazo de Ho

Area de no rechazo de Ho

Z

t

F

x2

Grado de confianza

Significación

Estadísticos de prueba

Contraste de una cola

Grado de confianza : 90% 95% 99% z :1.28 1.645 2.33

REGLAS DE DECISIÓN

/2= 0.025

área de rechazo de Ho

- /2= 0.025

área de rechazo de Ho

Área de no rechazo de

Ho

Z

t

F

x2

Grado de confianza

Significación

Grado de confianza : 90% 95% 99% z/2 : 1.64 1.96 2.58

Estadísticos de prueba

Contraste de dos colas

REGLAS DE DECISIÓN

Zonas de error

Grado de confianza 0.95 ó

95%

Grado de potencia

0.8 ó 80%

α ó nivel de significación

0.05 ó 5%

β

0.2 o 20%

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA MEDIA DE UNA SOLA POBLACION

Ho : μ1 = 30H1 : μ1 ≠ 30

Supuesto distribución normal

varianza poblacional

conocida desconocida

n

xz

n

Sx

t

Puede darse Ho : μ1 30 ó Ho : μ1 30

COMPARACIÓN DE DOS MEDIAS INDEPENDIENTES

2

)1()1(

21

222

2112

nn

SnSnSp

Ho : μ1 - μ2 = 0H1 : μ1 - μ2 ≠ 0

En la práctica el valor de varianzas poblacionales se desconoce y las varianzas muéstrales siempre tienen pequeñas diferencias por ello se saca la

varianza mancomunada.

2121 /1/1

)21

(21)2(

nnS

xxt

pnn

EJEMPLO 1

PRUEBA DE UNA SOLA MUESTRA CON RESPECTO A UNA SOLA MEDIA (VARIANZA CONOCIDA)

DatosH0: µ1=800 H1: µ2=788σ=40 horasX=788Significancia=0.04

Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye de forma aproximadamente normal con una media de 800 horas y una desviación

estándar de 40 horas. Pruebe la hipótesis de que µ≠800 horas si una muestra aleatoria de 30 focos tiene una duración promedio de 788 horas. Utilice un nivel de

significancia de 0.04.

Con la resolución del ejercicio se llega a la conclusión de que la duración media de

los focos si corresponde a 800 horas por lo que la hipótesis nula es aceptada.

Solución

z=-1.75 z=1.75z=-1.64

Zona de aceptacion

Zona de Rechazo

Zona de Rechazo

Ejemplo

Se lleva a cabo un experimento para comparar el desgaste por abrasivo de dos diferentes materiales laminados. Se prueban 12 piezas del material 1 mediante la exposición de cada pieza a una maquina para medir el desgaste. 10 piezas del material 2 se prueban de manera similar. En cada caso, se mide la profundidad del desgaste. Las muestras del material 1 dan un desgaste promedio de 85 unidades con una desviación estándar muestral de 4, mientras que las muestras del material 2 dan un promedio de 81, desviación estándar muestral de 5. ¿Podemos concluir con un nivel de significancia del 0.05 que el desgaste abrasivo del material 1 excede el del material 2 en 2 unidades?

Solución:

Representemos con µ₁ y µ₂ las medias poblacionales

del desgaste abrasivo para el material 1 y 2,respectivamente.1. H₀: µ₁ - µ₂ = 22. H₁: µ₁ - µ₂ ≠ 23. α = 0.054. Región critica: con v= 20 grados de

libertad t > 1.725 Las regiones criticas unilaterales rechaza a H₀: µ₁ -

µ₂ = d₀ cuando t > tαn₁+n₂-2

Cálculos:

81

85

2

1

x

x

5

4

2

1

s

s10

12

2

1

n

n

De aquí:

2-1012

)25)(9()16)(11(

ps )10/1()12/1(478.4

2)8185(

t= 4.478,

= 1.04

P = P(T>1.04) ≈ 0.16

Decisión: No rechazar H₀. Somos incapaces de concluir que el desgaste abrasivo del material 1 excede el del material 2 en mas de dos unidades

Prueba de bondad y ajuste

Los valores que se adjunta corresponden a la fabricación de un producto realizada en tres días sucesivos. La especificación para ese producto es de 50000 ± 6000 milílitros. Pruebe con un nivel de confianza de 0,01que los datos siguen un comportamiento con base en una distribución normal.

Ho: La distribución normal con un α de 0,01es una buena descripción del proceso de fabricación del producto X.

H1: La distribución normal con un α de 0,01 no es una buena descripción del proceso de fabricación del producto X.

LI LS Frec Frec. Acom

Xk D Frec*D Frec*D² Prob. Esperada

Frec. Esperada

Frec. Esp acom

35000 40000 6 6 37500 -3 -18 54 0.0087 2.61

40000 45000 15 21 42500 -2 -30 60 0.0677 20.31 22.92

45000 50000 58 79 47500 -1 -58 58 0.2428 72.84 72.84

50000 55000 139 218 52500 0 0 0 0.3687 110.61 110.61

55000 60000 66 284 57500 1 66 66 0.2385 71.55 71.55

60000 65000 11 295 62500 2 22 44 0.0654 19.62 21.96

65000 70000 5 300 67500 3 15 45 0.0078 2.34

300 -3 327

LI LS Frec Frec. Acom

Xk D Frec*D Frec*D² Prob. Esperada

Frec. Esperada

Frec. Esp acom

35000 40000 6 6 37500 -3 -18 54 0.0087 2.61

40000 45000 15 21 42500 -2 -30 60 0.0677 20.31 22.92

45000 50000 58 79 47500 -1 -58 58 0.2428 72.84 72.84

50000 55000 139 218 52500 0 0 0 0.3687 110.61 110.61

55000 60000 66 284 57500 1 66 66 0.2385 71.55 71.55

60000 65000 11 295 62500 2 22 44 0.0654 19.62 21.96

65000 70000 5 300 67500 3 15 45 0.0078 2.34

300 -3 327

A=Punto medio de la clase que contiene a la media supuesta (d=0)D=Desviacion del punto medio con respecto a la posición de la media supuesta, es medida en unidades de intervalo de clase.i= amplitud o intervalo de clasenk = número de clasesx = valores de la variable en estudion = tamaño de la muestra

Probabilidad esperada

Frecuencia Esperada

Frecuencia observada

Frecuencia esperada Fo-Fe (Fo-Fe)^2 (Fo-Fe)^2/Fe

21 22.92 -1.92 3.69 0.1658 72.84 -14.84 220.23 3.02

139 110.61 28.39 805.99 7.2966 71.55 -5.55 30.80 0.4316 21.96 -5.96 35.52 1.62

X² 12.52

Valor de X² cuando v=4 X²=13.277

Como conclusión podemos determinar que la distribución normal con un α de 0,01es una buena descripción del proceso de fabricación del

producto X. Por lo que la hipótesis es aceptada.

Una muestra: Prueba Sobre una Sola Proporción

Las pruebas de hipótesis que se relacionan con proporciones son muy utilizadas en muchas áreas. El político se interesa en conocer que fracción de votantes lo favorecerá en la siguiente elección. Todas las empresas fabricantes se preocupan por la proporción de artículos defectuosos cuando se realiza un embarque.

Consideremos el problema de probar la hipótesis de que la proporción de éxitos en un experimento binomial es igual a algún valor especifico. Es decir, probaremos la hipótesis nula H0, que p = p0 donde p es el parámetro de la distribución binomial. La hipótesis alternativa puede ser una de las alternativas bilaterales usuales:

H0: p=p0

H1: p<p0

Una muestra: Prueba Sobre una Sola Proporción

Utilizamos la distribución binomial para calcular el valor p

P=P(X≤x) cuando p=p0\

El valor x es el numero de éxitos en nuestra muestra de tamaño n. si este valor P es menor que o igual a α, nuestra prueba es significativa en el nivel α y rechazamos H0 a favor de H1. De manera similar, para probar la hipótesis

H0: p=p0

H1: p>p0

En el nivel de significancia α,

P=P(X≥x) Cuando p=p0

Y rechazamos H0 a favor de H1 si este valor P es menor que o igual a α. Finalmente, para probar la hipótesis.\

H0: p=p0

H1: p≠p0

al nivel de significancia α, calculamosP= 2P(X ≤ x cuando p=p0) si x < np0, o P= 2P(X ≥ x cuando p=p0)\

Si x> np0 y se rechaza H0 a favor de H1 si el valor P calculado es menor o igual a α.

1. H0: p=p0

2. H1: las alternativas son p < p0 ,p > p0, o p≠p0

3. Elegir un nivel de significancia igual a α4. Estadística de prueba: variable binomial X con p=p0

5. Cálculos: Encontrar x, el numero de éxitos, y calcular el valor P apropiado.

6. Decisión: Extraer las conclusiones apropiadas basadas en el valor P.

Los pasos para probar una hipótesis nula, contra varias alternativas:

Un constructor afirma que se instalan bombas de calor en 70% de todas las casas que se construyen hoy en día en la ciudad de Richmond. ¿Estaría de acuerdo con esta afirmación si una investigación de casas nuevas en esta ciudad muestra que 8 de 15 tienen instaladas bombas de calor? utilice un nivel de significancia de 0.10

Ejemplo

1. H0: p=0.7

2. H1: p=0.7

3. α= 0.10

4. Estadística de prueba: Variable binomial X con p= 0.7 y n= 15

5. Cálculos x=8 y np0=(15)(0.7)=10.5. por tanto, de la tabla A.1, el valor P calculado es

6. P= 2P(X ≤ 8 cuando p=0.7)= 0.1622>0.10

7. Por lo tanto no se pude rechazar H0, por lo que concluimos que no ha razón suficiente para dudar de la afirmación del constructor.

Solución

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