Control de calidad Aplicado a la Ingeniera[ESTADISTICA INFERENCIAL] < Ing. Edmundo Alarcn Cceres > 1 MDULO 5: CONCEPTOS PROBABILSTICOS AZAR y DESCONOCIMIENTO.Elazarestrelacionadoconeldesconocimiento.Unejemplonospuedeayudar;pienseenun procesoindustrialqueproducegrandescantidadesdeunartculodeterminado.Notodoslos artculosproducidossonidnticos,cadaartculopuedecalificarsecomo"bueno''o"defectuoso''. Sidetodalaproduccinseescogeunartculo"aciegas'',eseartculopuederesultarbuenoo defectuoso. Esta es una situacin azarosa (o aleatoria) y la parte esencial de este azar es que no sabemossielartculoseleccionadoesdefectuoso.Claroqueconexperienciaenelprocesoes posible cuantificar de una manera numrica qu tan probable es que el artculo sea defectuoso o n.AZAR e INCERTIDUMBRE.Hay otro concepto asociado al azar y es el de incertidumbre. Veamos un ejemplo. Respecto a una inversin,podemosestarcontemplandoinvertirunacantidaddedinero.Elretornosobrela inversinpuedeserfijo,comoenelcasodeunacuentaenunbancoconintersfijo;pero pensemosenuna empresa. Elnegocio puederesultar desde un granxitohastaun fracaso, es decir, la ganancia no es fija, sino que depende del xito a obtener. Si no podemos evaluar qu tan factibleescadamontoposibledelaganancia,tenemosunasituacindeincertidumbre.Porel contrario,sipodemostenerunaideadequtanprobablessonlosdiferentesresultadosy entonces tendremos una situacin de riesgo. Esta ltima es la que llamamos aleatoria o azarosa.DEFINICIONES Probabilidad: valor entre cero y uno, inclusive, que describe la posibilidad relativa de que ocurra un evento.Experimento: proceso que conduce a la ocurrencia de una de varias observaciones posibles.Resultado: lo que resulta en particular de un experimento.Evento: conjunto de uno o ms resultados de un experimento.ENFOQUES DE LA PROBABILIDAD Probabilidadclsicasebasaenlaconsideracindequelosresultadosdeunexperimentoson igualmente posibles. Utilizando el punto de vista clsico, tenemos lo siguiente: ESPACIO MUESTRAL Y PROBABILIDAD.El prrafo anterior se resume diciendo que en las situaciones o experimentos aleatorios tenemos dos elementos esenciales:Una lista de posibilidades a futuro: espacio muestralUnacuantificacindelaincertidumbresobreesalistadeposibilidades:asignacinde probabilidades.Cualquier problemaosituacin enlaprobabilidad, parte deesosdos elementos: Espacio Muestral y Probabilidades. ESPACIO MUESTRAL (S).El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento o situacin aleatoria.Control de calidad Aplicado a la Ingeniera[ESTADISTICA INFERENCIAL] < Ing. Edmundo Alarcn Cceres > 2 S = : { a1, a2, a3, ..., an } Ejemplo: Si en una caja hay 10 manzanas y 2 estn echadas a perder, al extraer tres manzanas y vercuantassonbuenaspodemosobtener1,2o3buenas(0buenasesimposible!).Demodo que en este ejemplo el espacio muestral es: S = { 1, 2, 3 }.Ejemplo: Considere el experimento de lanzar dos monedas al mismo tiempo.El espacio muestral S = {CC, CS, SC, SS}Considere el evento de una cara.Probabilidad de una cara = 2/4 = 1/2 EVENTOS o SUCESOS.Cuandosetieneunespaciomuestralllamamos,formalmenteeventoosucesoacualquier subconjunto del espacio muestral.Decimosqueunsucesoserealiza,cuandoelresultadodelexperimento aleatorio esunodelos sucesos posibles.Eventosmutuamenteexcluyentes:laocurrenciadecualquiereventoimplicaqueningnotro puede ocurrir al mismo tiempo.En el anterior, los cuatro resultados posibles son mutuamente excluyentes.Eventos colectivamente exhaustivos: por lo menos uno de los eventos debe ocurrir cuando se realiza un experimento.En el EJEMPLO, los cuatro resultados posibles son colectivamente exhaustivos.En otras palabras, la suma de las probabilidades es = 1 = (0.25 + 0.25 + 0.25 + 0.25) Concepto de frecuencias relativas. La probabilidad de que un evento ocurra a largo plazo se determina observando en qu fraccin de tiempo sucedieron eventos semejantes en el pasado: Ejemplo: A lo largo de su carrera,el profesor de fsica ha otorgado 186 calificaciones de A entre sus 1200 estudiantes.Cul es la probabilidad de que un estudiante de su clase en este semestre reciba una A?Aplicando el concepto de frecuencias relativas, la probabilidad de una A es: 186 /1200 = 0.155 Probabilidadsubjetiva:laposibilidad(probabilidad)dequesucedauneventoespecficoque asigna una persona con base en cualquier informacin disponible.EjemplosdelaprobabilidadsubjetivasonestimarlaprobabilidaddequelosSalgadodeSalta ganenlaLoteraelprximoaoyestimarlaprobabilidaddequeocurraunterremotoenLos ngeles este ao. Reglas bsicas de probabilidad Siloseventossonmutuamenteexcluyentes,laocurrenciadecualquiereventoimpidequeotro evento ocurra.Control de calidad Aplicado a la Ingeniera[ESTADISTICA INFERENCIAL] < Ing. Edmundo Alarcn Cceres > 3 Reglasdeadicin:SidoseventosAyBsonmutuamenteexcluyentes,lareglaespecialde adicinindicaquelaprobabilidad dequeocurra AoBesigual alasuma desusprobabilidades respectivas:P(A o B) = P(A) + P(B) Ejemplo: Aerolneas Argentinas acaba de proporcionar la siguiente informacin de sus vuelos de Buenos Aires a Rosario: LlegadaFrecuencia Antes de tiempo100 A tiempo800 Demorado75 Cancelado25 Total1000 Si A es el evento de que un vuelo llegue antes de tiempo, entonces: P(A) = 100 /1000 = 0.1 Si B es el evento de que un vuelo llegue demorado, entonces: P(B) = 75 /1000 = 0.075 La probabilidad de que un vuelo llegue antes de tiempo o demorado es: P(A o B) = P(A) + P(B) = 0.1 + 0.075 = 0.175 Regla del complemento: La regla del complemento se utiliza para determinar la probabilidad de que ocurra un evento restando del nmero 1 la probabilidad de que un evento no ocurra.Si P(A) es la probabilidad del evento A y P(~A) es el complemento de A,P(A) + P(~A) = 1 o P(A) = 1 - P(~A). Diagrama de Venn que ilustra la regla del complemento: Ejemplo: Si C es el evento de que un vuelo llegue a tiempo, entonces: P(C) = 800 /1000 = 0.8 Si D es el evento de que un vuelo sea cancelado, entonces: P(D) = 25 /1000 = 0.025 Utilice la regla del complemento para mostrar que la probabilidad de que el vuelo llegue antes de tiempo (A) o demorado (B) es: P(A o B) = 1 - P(C o D) = 1 - [0.8 + 0.025] = 0.175 Regla general de adicin Si A y B son dos eventos que no son mutuamente excluyentes, entonces P(A o B) se calcula con la siguiente frmula:P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B) Diagrama de Venn que ilustra esta regla: Control de calidad Aplicado a la Ingeniera[ESTADISTICA INFERENCIAL] < Ing. Edmundo Alarcn Cceres > 4 Ejemplo: En una muestra de 500 estudiantes, 320 dijeron tener un estreo, 175 dijeron tener una TV y 100 dijeron tener ambos: Siunestudianteesseleccionadoaleatoriamente,culeslaprobabilidaddequetengasloun estreo, slo una TV y uno de cada uno?P(S) = 320 /500 = 0.64P(T) = 175 /500 = 0.35 P(S y T) = 100 /500 = 0.20Si un estudiante es seleccionado aleatoriamente, cul es la probabilidad de que tenga un estreo o una TV en su habitacin?P(S o T) = P(S) + P(T) - P(S y T) = 0.64 +0.35 - 0.20 = 0.79 Regla especial de multiplicacin. LareglaespecialdemultiplicacinrequierequedoseventosAyBseanindependientes. DoseventosAyBsonindependientessilaocurrenciadeunanoafectalaprobabililidadde ocurrencia del otro. La regla especial se escribe:P(A y B) = P(A) * P(B) Ejemplo:Chrisposeedosinventariosindependientesunodeotro.Laprobabilidaddequeel inventario A aumente su valor el prximo ao es 0.5; La probabilidad de que el B aumente el suyo es 0.7 Cul es la probabilidad de que ambos aumenten su valor el prximo ao?P(A y B) = (0.5)(0.7) = 0.35 Cul es la probabilidad de que al menos uno aumente su valor el prximo ao (esto implica que cualquiera de los dos o ambos aumenten)?As, P(A)(al menos uno) = (0.5)(0.35) + (0.5)(0.7) + (0.7)(0.5) = 0.875 As, P(B)(al menos uno) = (0.7)(0.35) + (0.5)(0.7) + (0.7)(0.5) = 0.945 Probabilidad conjunta: Probabilidad conjunta es una probabilidad que mide la posibilidad de que dos o ms eventos ocurran juntos.UnejemploseraelhechodequeunestudiantetengatantounestreocomounaTVensu habitacin. Probabilidadcondicional:Probabilidadcondicionaleslaprobabilidaddequeocurraunevento en particular, dado que ocurri otro evento.NOTA: la probabilidad de que ocurra el evento A dado que ya ocurri B se denota como P(A|B). Regla general de multiplicacin A B A y B Estreo 320 TV 175 Ambos 100 Control de calidad Aplicado a la Ingeniera[ESTADISTICA INFERENCIAL] < Ing. Edmundo Alarcn Cceres > 5 Lareglageneraldemultiplicacinseutilizaparadeterminalaprobabilidadconjuntadeque ocurrandoseventosyestablece:paradoseventosAyB,laprobabilidadconjuntaqueambos ocurran se encuentra multiplicando la probabilidad de A por la probabilidad condicionalde B dado que A ocurri.La probabilidad conjunta, P(A y B) est dada por la siguiente frmula:P(A y B) = P(A) * P(B|A)o P(A y B) = P(B) * P(A|B) Ejemplo: La directora de la escuela de administracin en Miami recolect la siguiente informacin acerca de los estudiantes de licenciatura del colegio: reaHombreMujerTotal Contabilidad170110280 Finanzas120100220 Mercadotecnia16070230 Administracin150120270 Total6004001000 Si un estudiante se selecciona al azar, cul es la probabilidad de que el estudiante sea mujer del rea de contabilidad?P(A y F) = 110 / 1000.Dado que la estudiante es mujer, cul es la probabilidad que est en el rea de contabilidad?P(A|F) = [P(A y F)] / [P(F)] = [110 / 1000] /[400 / 1000] = 0.275 Diagrama de rbol. Eldiagramaderbolesmuytilparavisualizarlasprobabilidadescondicionalyconjuntayen particular para el anlisis de decisiones administrativas que involucran varias etapas.Ejemplo: una bolsa contiene 7 fichas rojas (R) y5 azules (B), se escogen 2 fichas, una despus de la otra sin reemplazo. Construya el diagrama de rbol con esta informacin. Teorema de Bayes R1 7/12 5/12 B1 6/11 5/11 7/11 4/11 R2 B2 R2 B2 Control de calidad Aplicado a la Ingeniera[ESTADISTICA INFERENCIAL] < Ing. Edmundo Alarcn Cceres > 6 Las formulas de Bayes nos permiten calcular la probabilidad condicional de un evento cualquiera pertenecienteaunafamiliadeeventosexhaustivosymutuamenteexcluyentes,sisabemosque ha ocurrido un evento B del espacio, siempre que P(Ai) y P(B/Ai) sean conocidas. ElTeoremadeBayesseapoyaenelprocesoinversodelTeoremadelaProbabilidadTotal,el cualindicaquea partir delas probabilidades delsuceso A(probabilidad dequellueva ode que hagabuentiempo)deducimoslaprobabilidaddelsucesoB(queocurraunaccidente).Porlo tanto,elTeoremadeBayes:apartirdequehaocurridoelsucesoB(haocurridounaccidente) deducimos las probabilidades del suceso A (estaba lloviendo o haca buen tiempo?). El teorema de Bayes se representa con la frmula:

Ejemplo: El parte meteorolgico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana:a)Que llueva: probabilidad del 50%.b)Que nieve: probabilidad del 30%c)Que haya niebla: probabilidad del 20%. Segnestosposiblesestadosmeteorolgicos,laposibilidaddequeocurraunaccidenteesla siguiente: a)Si llueve: probabilidad de accidente del 20%.b)Si nieva: probabilidad de accidente del 10%c)Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%. Resultaqueefectivamente ocurre unaccidenteycomonoestbamosenlaciudadnosabemos quetiempohizo(llovo,nevohuboniebla).ElteoremadeBayesnospermitecalcularestas probabilidades:Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente se denominan "probabilidades a priori" (lluvia con el 50%, nieve con el 30% y niebla con el 20%).Una vez que incorporamos la informacin de que ha ocurrido un accidente, las probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P(A/B), que se denominan"probabilidades a posteriori". Vamos a aplicar la frmula: a) Probabilidad de que estuviera lloviendo: Laprobabilidaddequeefectivamenteestuvieralloviendoeldadelaccidente(probabilidada posteriori) es del 71,4%.b) Probabilidad de que estuviera nevando: La probabilidad de que estuviera nevando es del 21,4%. c) Probabilidad de que hubiera niebla: Control de calidad Aplicado a la Ingeniera[ESTADISTICA INFERENCIAL] < Ing. Edmundo Alarcn Cceres > 7 La probabilidad de que hubiera niebla es del 7,1%Ejemplo: La compaa Duff Beer ha recibido varias quejas debido a que sus botellas no van bien llenas. Una queja fue recibida hoy pero el gerente de produccin no puede identificar cul de las dosplantasSpringfield(Ao B)llen esta botella.Culeslaprobabilidad dequela botellamal llenada haya salido de la planta A? Plantas Springfield% de produccin total% de faltante en botellas A1 (A)553 A2 (B)454

Algunos principios de conteo. Frmuladelamultiplicacin:sihaymmodosdehacerunacosaynformasdehacerotra, existen m x n formas de hacer ambas.Ejemplo:elDoctorPrisstiene10camisasy8corbatas.Cuntosconjuntosdecamisas /corbatas tiene?(10)(8) = 80 Permutacin:unarregloderobjetosseleccionadosapartirdeungruponicodenobjetos posibles. NOTA: el orden del arreglo es importante en las permutaciones. Combinacin: el nmero de modos para elegir r objetos de un grupo de n objetos sin considerar el orden. Ejemplo: El entrenador Alexis tiene que elegir 5 jugadores entre los doce del equipo para incluirlos en alineacin.Cuntos grupos diferentes se pueden formar?12C5 = ( 12! ) / [ 5! ( 12 - 5 )! ] =792Suponga que el entrenador Alexis debe clasificarlos en orden:12P5 = ( 12! ) / ( 12 - 5 )! = 95,040 MDULO 6: DISTRIBUCIONES PROBABILSTICAS DISCRETAS Variables aleatorias Una variable aleatoria es un valor numrico determinado por el resultado de un experimento. Ejemplo: considere un experimento aleatorio en el que se lanza tres veces una moneda. Sea X el nmero de caras. Sea H el resultado de obtener una cara y T el de obtener una cruz.El espacio muestral para este experimento ser: TTT, TTH, THT, THH, HTT, HTH, HHT, HHH. Entonces, los valores posibles de X (nmero de caras) son x = 0, 1, 2, 3.El resultado cero caras ocurri una vez. Control de calidad Aplicado a la Ingeniera[ESTADISTICA INFERENCIAL] < Ing. Edmundo Alarcn Cceres > 8 El resultado una cara ocurri tres veces. El resultado dos caras ocurri tres veces. El resultado tres caras ocurri una vez. De la definicin de variable aleatoria, la X definida en este experimento, es una variable aleatoria. Distribuciones probabilsticasUna distribucin probabilstica es la enumeracin de todos los resultados de un experimento junto con las probabilidades asociadas.Para el Ejemplo anterior,Nmeros de carasProbabilidad de los resultados 01/8 = 0.125 13/8 = 0.375 23/8 = 0.375 31/8 = 0.125 total8/8 = 1 Caractersticas de una distribucin probabilstica La probabilidad de un resultado siempre debe estar entre 0 y 1. La suma de todos los resultados mutuamente excluyentes siempre es 1. Variable aleatoria discreta Unavariablealeatoriadiscretaesunavariablequepuedetomarslociertosvaloresdiferentes que son el resultado de la cuenta de alguna caracterstica de inters. Ejemplo: sea X el nmero de caras obtenidas al lanzar 3 veces una moneda. Aqu los valores de X son X = 0, 1, 2, 3Variable aleatoria contnua. Lamedia:Indicalaubicacincentraldelosdatos.Eselpromedio,alalarga,delvalordela variablealeatoria,tambinseconocecomoelvaloresperado,E(x),enunadistribucinde probabilidad. Es un promedio ponderado.La media se calcula con la frmula:Varianzadeunadistribucinprobabilsticadiscreta:Lavarianzamidelacantidadde dispersin (variacin) de una distribucin. La varianza de una distribucin discreta se denota por la letra griega 2 (sigma cuadrada). La desviacin estndar se obtiene tomando la raz cuadrada de 2 La variancia de una distribucin de probabilidad discreta se calcula a partir de la frmula: Donde representa la media y P(x) es la probabilidad de los diferentes resultados X. Ejemplo:DanDesch,propieatariodeCollegePainters,estudisusregistrosdelasltimas20 semanas y obtuvo los siguientes nmeros de casas pintadas por semana: # de casas pintadassemanas 105 116 127 132 TOTAL20 Control de calidad Aplicado a la Ingeniera[ESTADISTICA INFERENCIAL] < Ing. Edmundo Alarcn Cceres > 9 Distribucin probabilstica: # de casas pintadas, XProbabilidad, P(X) 105/20 = 0.25 116/20 = 0.30 127/20 = 0.35 132/20 = 0.10 Total20/20 = 1.00 Calcule el nmero medio de casas pintadas por semana: = (10)(0.25)+(11)(0.30)+(12)(0.35)+(13)(0.10) = 11.3 Calcule la variancia del nmero de casas pintadas por semana: 2 = 0.4225 + 0.0270 + 0.1715 + 0.2890 2 = 0.91 Distribucin probabilstica binomial. Lasdistribucinbinomiales partedeladistribucindeBernouillidebidoa queladistribucinde Bernouilliseaplicacuandoserealizaunasolavezunexperimentoquetienenicamentedos posibles resultados (xito o fracaso), por lo que la variable slo puede tomar dos valores: el 1 y 0. Ladistribucinbinomialseaplicacuandoserealizanunnmero"n"deveceselexperimentode Bernouilli, siendo cada ensayo independiente del anterior. La variable puede tomar valores entre: 0: si todos los experimentos han sido fracason: si todos los experimentos han sido xitos Su expresin matemtica es X B( n, p ) donde: n = poblacin y p = probabilidad La distribucin binomial tiene las siguientes caractersticas: -un resultado de un experimento se clasifica en una de dos categoras mutuamente excluyentes: xito o fracaso. -los datos recolectados son resultados de contar. -la probabilidad de xito es la misma para cada ensayo. -los ensayos son independientes.Paraelaborarunadistribucinbinomial,seanelnmerodeensayosxelnmerodexitos observados,t probabilidad binomial es:

Ejemplo:LaSecretaradelTrabajodelestadodeAlabamareportaque20%delafuerzade trabajoenMobileestdesempleada.Deunamuestrade14trabajadores,calculelassiguientes probabilidades con la frmula de la distribucin binomial (n=14, t=0.2):Tres estn desempleados (20% de 14): P(x=3)=0.250Control de calidad Aplicado a la Ingeniera[ESTADISTICA INFERENCIAL] < Ing. Edmundo Alarcn Cceres > 10 NOTA: stos tambin son ejemplos de distribuciones probabilsticas acumulativas: Tres o ms estn desempleados:P(x 3) = 0.250 + 0.172 + 0.086 + 0.032 + 0.009 + 0.002 = 0.551 Al menos un trabajador est desempleado: P(x 1) = 1 - P(x=0) =1 - 0.044 = 0.956 A lo ms dos trabajadores estn desempleados: P(x 2) = 0.044 + 0.154 + 0.250 = 0.448 Media y varianza de la distribucin binomialLa media est dada por: La varianza est dada por: Del ejemplo anterior, recuerde que t = 0.2 y n = 14 As, la media = n t = 14(0.2) = 2.8 La varianza = n t (1 - t ) = (14)(0.2)(1 - 0.2) = 2.24 Distribucin hipergeomtrica La distribucin hipergeomtrica suele aparecer en procesos muestrales sin reemplazo, en los que se investiga la presencia o ausencia de cierta caracterstica.Por ejemplo, en un procedimiento de control de calidad en una empresa farmacutica, durante el cual seextraenmuestras delascpsulas fabricadasysesometen a anlisispara determinarsu composicin. Durante las pruebas, las cpsulas son destruidas y no pueden ser devueltas al lote delqueprovienen.Enestasituacin,lavariablequecuentaelnmerodecpsulasqueno cumplenloscriteriosdecalidadestablecidossigueunadistribucinhipergeomtrica.Portanto, esta distribucin es la equivalente a la binomial, pero cuando el muestreo se hace sin reemplazo. Frmula: Donde N es el tamao de la poblacin, S es el nmero de xitos en la poblacin, xes el nmero de xitos de inters, n es el tamao de la muestra, y C es una combinacin. Useladistribucinhipergeomtricaparaencontrarlaprobabilidaddeunnmeroespecficode xitos o fracasos si: -La muestra se selecciona de una poblacin finita sin reemplazo (recuerde que un criterio para la distribucin binomial es que la probabilidad de xito es la misma de un ensayo a otro). -El tamao de la muestra n es mayor que 5% del tamao de la poblacin N. Ejemplo: La National Air Safety Board tiene una lista de 10 violaciones a la seguridad reportadas por ValueJet. Suponga que slo 4 de ellas son en realidad violaciones y que el Safety Board slo podrinvestigarcincodelasviolaciones.Culeslaprobabilidaddequetresdelascinco violaciones seleccionadas al azar para investigarlas sean en realidad violaciones? N=10, S=4, X=3, n=5 Control de calidad Aplicado a la Ingeniera[ESTADISTICA INFERENCIAL] < Ing. Edmundo Alarcn Cceres > 11 MDULO 7: DISTRIBUCIN PROBABILSTICA NORMAL Caractersticas de la distribucin probabilstica normalLa curva normal tiene forma de campana con un solo pico justo en el centro de la distribucin. La media, mediana y moda de la distribucin aritmtica son iguales y se localizan en el pico. La mitad del rea bajo la curva(50% )est a la derecha del pico, y la otra mitad(50% ) est a la izquierda.La distribucin normal es simtrica respecto a su media. Ladistribucinnormalesasinttica-lacurvaseacercacadavezmsalejexpero enrealidad nunca llega a tocarlo.Esta distribucin viene definida por dos parmetros:XN ( , o2 ) Donde: : eselvalormediodeladistribucinyesprecisamentedondesesitaelcentrodela curva (campana de Gauss).o2 : es la varianza, indica si los valores estn ms o menos alejados del valor central: si la varianzaesbajalosvaloresestnprximosalamedia;siesalta,entonceslosvalores estnmuyalejadosdeella.Serepresentaporo2porquesurazcuadrada,o,esla denominada desviacin estndar. Distribucin normal estndarCuando una distribucin normal tieneuna media igual a 0 yuna varianza igual a 1 se denomina distribucinnormalestndar,ysuventajaresideenquehaytablas,orutinasdeclculoque permitenobteneresosmismosvalores,dondeserecogelaprobabilidadacumuladaparacada punto de la curva de esta distribucin.ZN ( 0 , 1 ) Adems,todadistribucinnormalsepuedetransformarenunanormaltipificadallamada estandarizacin, donde X se distribuye en la distribucin normal estandarizada de valor Z, la cual esladistanciaentreunvalorseleccionado,designadocomoX,ylapoblacinmedia,dividida entre la desviacin estndar de la poblacin . Control de calidad Aplicado a la Ingeniera[ESTADISTICA INFERENCIAL] < Ing. Edmundo Alarcn Cceres > 12 Ladistribucinnormaltipificadaoestandarizadatienelaventajadequelasprobabilidadespara cadavalordelacurvaseencuentranrecogidasenunatabladeDistribucindeFrecuencia Acumulada Normal (anexo 1).Cmo se lee esta tabla? La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremosconocer.Laprimerafilanosindicaelsegundodecimaldelvalorqueestamos consultando.reasbajolacurvanormal.ParapoderdeterminarlaprobabilidaddelvalorobtenidodeZ, existen siete casos para calcular la probabilidad segn le corresponda la posicin en la curva de la normal estandarizada (anexo 2). Ejemplo:Unacorporacingrande ofrece alosgraduados enMBAuningresomensualquetiene una distribucin normal con media de $2000 y desviacin estndar de $200.Cul es el valor z para un ingreso de $2200? y cul para uno de $1700?Para X = $2200, z = (2200 - 2000) /200 = 1.0 probabilidad = 0.3416 (ver tabla 1) Para X = $1700, z = (1700 - 2000) /200 = - 1.5 probabilidad = 0.4332 (ver tabla 1) Unvalorziguala1indicaque elvalor de $2200esmayorquelamediade$2000,ascomoel valor z igual a -1.5 indica que el valor de $1700 es menor que la media de $2000.Ejemplo:ElconsumodeaguadiarioporpersonaenNewProvidence,NuevaJerseytieneuna distribucin normal con media de 20 galones y desviacin estndar de 5 galones.a).CuleslaprobabilidaddequeunapersonadeNewProvidenceseleccionadaalazaruse menos de 20 galones por da?El valor z asociado es:P(X 30), sea cual sea ladistribucindelavariabledeinters,ladistribucindelamediamuestralser aproximadamente una normal. Adems, la media ser igual a y la varianza ser igual a 2/n. Unaconsecuenciadeesteteoremaeslasiguiente:dadacualquiervariablealeatoriacon esperanza y para n lo bastante grande, la distribucin de la variable es:

Ejemplo:Elconsumedecombustibleporlasunidadesdetransportedemineralsedistribuyen casi normalmente con una media de 11.8 galones y una desviacin estndar de 3.5 gl., se toma una muestra de tamao 49.a). Cul es la probabilidad que el promedio muestral sea mayor que 12 gl.? yb).Culeslaprobabilidaddequeelpromediomuestralvareentre10.5y12.5galones respectivamente? Consideremos la variable X = consumo de combustible. Sabemos que su media es 11.8 galones ysudesviacinestndares3.5gl.lamuestraevaluadaesn=49unidades.Es decir,tenemos una muestra x1, x2, ..., xn de nuestra variable. Por el teorema del lmite central sabemos que la media muestral se comporta como una normal de esperanza 11.8 y desviacin estndar de 3.5:

a. Debemos calcular:

= 0.5 - P[ 0 Z 0.4 ] 11.8 X>12 Control de calidad Aplicado a la Ingeniera[ESTADISTICA INFERENCIAL] < Ing. Edmundo Alarcn Cceres > 19 = 0.5 0.15542 = 0.3446 b. Debemos calcular:

) = 0.4953 + 0.4192 = 0.9145 Ladesviacinestndardeladistribucinmuestraldeunestadsticoseconocecomoerror estndar del estadstico. Para el ejercicio anterior el error estndar de la media denotado por ox, es1.58.Conestose puede demostrar quesi deuna poblacinse eligenmuestras detamaon conreemplazo,entonceselerrorestndardelamediaesigualaladesviacinestndardela distribucin de los errores muestrales. Dondeoesladesviacinestndardelapoblacindedondesetomanlasmuestras,nesel tamao delamuestrayN eldelapoblacin.Comoregladeclculo,si elmuestreosehace sin reemplazoyeltamaodelapoblacinesalmenos30veceseltamaodelamuestra(N30), entonces se puede usar la frmula. Este factor se denomina factor de correccin para una poblacin finita. FrmulaObtiene nxxo= oError estndar de la media para una poblacin infinita. 1 Nn Nnxx o= oError estndar de la media para una poblacin finita. Comienzo Es la poblacin infinita? Se muestrea con reemplazo? Es N30n? No Si Si No Si Control de calidad Aplicado a la Ingeniera[ESTADISTICA INFERENCIAL] < Ing. Edmundo Alarcn Cceres > 20 Estimaciones puntualesUna estimacin puntual es un valor (punto) que se usa para estimar un parmetro de la poblacin. Ejemplos de estimaciones puntuales son media muestral, desviacin estndar muestral, variancia muestral, relacin proporcional de la muestra. Ejemplo 2: se registra el nmero de defectos producidos durante 5 horas seleccionadas al azar en una semana de 40 horas. Los defectos observados fueron 12, 4, 7, 14 y 10. La media muestral es 9.4. Entonces la estimacin puntual para el promedio de defectos por hora es 9.4. Estimaciones de intervalo Unaestimacindeintervaloestablecelaamplitudenlaquequizseencuentreunparmetro poblacional.Elintervalodentrodelcualseesperaqueestunparmetropoblacionalsellama intervalo de confianza. Para ello vamos a establecer la notacin a utilizar: Hemosdichoquevamosaproponerunintervalodondeseencontrarelparmetroaestimar, con una probabilidad de acierto alta. Al valor de esta probabilidad la representaremos por 1-, y la llamaremos nivel de confianza. A mayor valor de 1- , ms probabilidad de acierto en nuestra estimacin, por tanto eso implica que tendr que ser pequeo, prximo a 0. Recordemos que 1- representa siempre una probabilidad por lo que ser un valor entre 0 y 1, si bien en la mayora de los enunciados de los problemas suele ser enunciado en trminos de tanto por ciento. As cuando, por ejemplo, se dice que el nivel de confianza es del 90%, significa que 1- vale 0,9 y por tanto vale 0,1. (-Z) (-t) (Z) (t) Intervalos de Confianza para la media () conocida la deviacin tpica de la poblacin.En general, un intervalo de confianza para la media se calcula mediante: Ejemplo: El director de la escuela de administracin desea estimar el nmero medio de horas por semanaqueestudianlosalumnos.Unamuestrade49estudiantesdiounamediade24hcon desviacin estndar de 4 h.La estimacin puntual es 24 h (media muestral). Control de calidad Aplicado a la Ingeniera[ESTADISTICA INFERENCIAL] < Ing. Edmundo Alarcn Cceres > 21 Culeselintervalodeconfianzade95%paraelnmeropromediodehorasporsemanaque estudian los alumnos?Si se usa un IC de 95% para la media poblacional, se tiene Los puntos terminales del intervalo de confianza son los lmites de confianza. El lmite inferior de confianza es 22.88 y el lmite superior de confianza es 25.12 Intervalos de Confianza para la media () desconocida la deviacin tpica de la poblacin.Sigueunadistribucinllamadat-Studentcon(n-1)gradosdelibertadyparaunalfade(1-confianza), que presenta una forma en la curva muy similar a la de la distribucin normal. Estamos pues ante la siguiente situacin:

Ejemplo:La puntuacinmediadeunamuestra de20bolsas demineral,elegidosalazar, para una misma prueba, present una media de 9,8525 kilos y una cuasi desviacin tpica muestral de 0,0965 kilos. Calcular un intervalo de confianza con un 95% para el peso medio. (Suponemos que la variable que mide el peso sigue una distribucin normal.) Estamosenelcasodeunintervalodeconfianzaparalamediadesconociendoladesviacin tpica de la poblacin. Datos: Media = 9,8525,cuasi desviacin = 0,0965,n = 20,confianza 0,95 Tenemos que buscarun valort,de modo que en la distribucin t-Student cong.l.= (n-1) = 19 grados de libertad deje una rea de probabilidades igual a = (1-0.95)= 0.05. Dicho valorle corresponde un valor de t =2,0930. As pues el intervalo buscado es:

= 9,8525 0,045 L.C.S. = 9,8525 + 0,045 = 9.807 L.C.I. = 9,8525 - 0,045 = 9.897 La media se estima en 9,8525 ms menos un margen de error de 4,5% Intervalo de confianza para una relacin proporcional de poblacin El intervalo de confianza para una relacin proporcional de una poblacin se estima como: L.C.S. L.C.I. 25.12 24.00 22.88 Control de calidad Aplicado a la Ingeniera[ESTADISTICA INFERENCIAL] < Ing. Edmundo Alarcn Cceres > 22 Donde es el error estndar de la proporcin: Ejemplo:MattWilliams,planificadorfinanciero,estudialosplanesderetiroparajvenes ejecutivos. Una muestra de 500 ejecutivos que son dueos de sus casas revel que 175 planean venderlasyretirarseenArizona.Desarrolleunintervalodeconfianzade98%parala proporcin de ejecutivos que planean vender e irse a Arizona. Aqu, n=500, p=175/500=0.35 y z=2.33 el IC de 98% es:

L.C.S. = 0.35 + 0,0497 = 0.3997 L.C.I. = 0.35 - 0,0497 = 0.3003 0.3003 0.3997 30.03% 39.97% Control de calidad. Uno de los casos ms habituales en los que podemos aplicar el teorema del lmite central es a la horadehacerunprocesodecontroldecalidad.Entenderemosporcontroldecalidadel seguimientodeciertavariablealeatoriaenunprocesodeproduccinapartirdelamediade muestras sucesivas. Estableceremos un intervalo,de manera que las medias que caigan fuera deeste intervalo nos indicarn que existe alguna anomala en el proceso de produccin en aquelinstante. Los lmites de este intervalo se denominan lmites de control. Si es la esperanza de la variable de inters, la desviacin tpica y consideramos una muestra de esta variable de tamao n, los lmites de control vendrn dados por + 3 n y - 3 n. Es decir, calculamos tres veces el error estndar a lado y lado de la media. Por tanto, la longitud del intervalo es dos veces el triple del error estndar. Por qu tomamos este intervalo? Si aplicamos el teorema del lmite central sobre la variable de inters, sabemos que la media de n datos se distribuye como una normal con media y varianza n. Se demuestra fcilmente que la probabilidad de que una media est fuera del intervalo + 3 n y - 3 n es de 0,001 (esto significa que un valor fuera de este intervalo, si el proceso funcionase correctamente, se puede dar slo con una probabilidad de 0,001). Por tanto, cuando sedunvalorfueradelintervalo,pensaremosquenoescasualidadyqueenelproblemala variable no se comporta como suponamos. Ejemplo de realizacin de un control de calidad Consideremosunamquinaquellenatarrosdepegamento.Supongamosque,demedia,cada tarrocontiene125gramosdepegamentoconunadesviacintpicade1,5gramos.Todaslas semanas hacemos un control de la mquina: analizamos una muestra de30 tarros y calculamos la media de cada uno. En este ejemplo el error estndar es:

Control de calidad Aplicado a la Ingeniera[ESTADISTICA INFERENCIAL] < Ing. Edmundo Alarcn Cceres > 23 Por tanto, los lmites de control sern: 125 + 3 0,274 = 125,82 125 - 3 0,274 = 124,18 Aspues,silamediadelasmuestrassemanalesdetamao30estentreestosdosvalores, consideraremos que todo est correcto, mientras que si es inferior a 124,18 o superior a 125,82 supondremos que hay alguna anomala en el proceso de produccin, y habr que revisarlo. Portanto,enestecontroldecalidadslosedesperdiciatreintatarrosalasemanaporque contienen un error en el llenado. Seleccin del tamao de muestra Existen 3 factores que determinan el tamao de una muestra, ninguno de ellos tiene una relacin directa con el tamao de la poblacin. Los factores son: -El grado de confianza elegido.-El error mximo permitido.-La variacin en la poblacin.Tamao de la muestra para la media. El tamao de la muestra es la siguiente: Cuando N > 100,000Cuando N 1,500Cuando N > 1,500

Donde: E es el error permitido, Z es el valor normal estndar asociado con el grado de confianza seleccionado y es la desviacin estndar estimada del estudio piloto.Ejemplo:Ungrupodeconsumidores deseaestimarlamediamensualenlosrecibos deluz para unacasaunifamiliar.Segnestudiossimilaresladesviacinestndarseestimaen$20.00.Se deseaunnivel deconfianzade 99%,conunaprecisinde$5.00.Qutamao demuestrase requiere? Tamao de la muestra para proporciones. La frmula para determinar el tamao de la muestra en el caso de una proporcin es: Cuando N > 100,000Cuando N 1,500Cuando N > 1,500

Donde p es la proporcin estimada, basada en la experiencia o en un estudio piloto;Z es el valor asociado con el nivel de confianza deseado; E es el error mximo que tolerar el investigador. Ejemplo: El American Kennel Club desea estimar la proporcin de nios que tienen un perro como mascota. Si el club quiere la estimacin dentro de 3% de la relacin proporcional, cuntos nios debern contactar? Suponga 95% de nivel de confianza y que el club estim que 30% de los nios tienen un perro como mascota.N = (0.30)(0.70)(1.96/0.03)2 = 896.3733 896 Control de calidad Aplicado a la Ingeniera[ESTADISTICA INFERENCIAL] < Ing. Edmundo Alarcn Cceres > 24 MDULO 9: PRUEBAS DE HIPTESISQu es una hiptesis? Enunainvestigacinnosoloserequiereestimarun parmetro,sinoqueelinvestigadorpuede proponerhipotticamenteunvalorovaloresparaelparmetro;valorbasadoensupropia experienciaprofesionalosegnorienteelmarcoterico,delainvestigacin.Portanto,es necesariodecidirsiseconsideraesesupuestooserechaza,obviamenteseefectaenbasea datosobtenidosdeunamuestraaleatoria,yempleandolapruebadehiptesisestadsticaso llamado tambin contraste de hiptesis estadstica, o simplemente prueba de hiptesis. Quesunapruebadehiptesis?Unapruebadehiptesiseselprocesomedianteelcual,a partir de los valores de una muestra aleatoria extrada de una poblacin bajo estudio, se decide si mantiene el supuesto que plantea el investigador para el parmetro, o se rechaza; con cierta probabilidad de error (riesgo) por tomar una decisin. Procedimiento de la Prueba de hiptesis 1.- Plantear adecuadamente la hiptesis nula y la alternativa. 7.- Compara el valor de la estadstica de prueba con el valor crtico. No rechazar la Hiptesis Nula 6.- Calcular el estadstico seleccionado para realizar la prueba de hiptesis. 5.- Definir la regin de rechazo, segn la hiptesis alternativa propuesta. 3.- Elegir el estadstico para la prueba, de acuerdo a los requisitos que exige la teora estadstica inferencial. 2.- Elegir el nivel de significancia (o ). Rechazar la Hiptesis Nula y aceptar la Alterna Control de calidad Aplicado a la Ingeniera[ESTADISTICA INFERENCIAL] < Ing. Edmundo Alarcn Cceres > 25 Definiciones Ho es la hiptesis nula, y es la que se somete a contraste. H1 es la hiptesis alternativa a H0, y es la negacin de Ho. Mientras que Ho es exacta, H1 suele ser inexacta.Nivel de significancia de la prueba: La probabilidad o es el nivel de significacin de la prueba, es el riesgo o la probabilidad que el investigador asume de manera voluntaria para equivocarse alrechazarlahiptesisnula,cuandoenrealidadesverdadera.Estambin laconfiabilidadde decidir si se rechaza o no la hiptesis nula. La decisin (H0 s o H0 no?). La decisin requiere, en primer lugar, trazar un punto de corte (o dos, en el contraste bilateral), que definir dos zonas, una de rechazo (o crtica) y otra de aceptacin. Ese punto de corte vendr dada por elnivel de confianza y el nivel de riesgo, La decisin consisteenrechazarlaHosielestadsticodecontrastecaeenlareginderechazo,y mantenerla si cae en la regin de aceptacin. MantenerlaHosignificaquelahiptesisescompatibleconlosdatos.Rechazarlaimplicaque ambos son incompatibles, luego consideramos la Ho falsa.decisin Estado real H0 es verdaderaH0 es falsa Rechazar H0Error de tipo IOK. No rechazar H0OK.Error de tipo II Error Tipo I: rechazar la hiptesis nula cuando en realidad es verdadera.Error Tipo II: aceptar la hiptesis nula cuando en realidad es falsa. Estadstico de prueba: Para rechazar o no la hiptesis nula se toma una muestra aleatoria de la poblacinbajoestudioylosresultadoscontenidaenellaseusaenexpresionesllamadas estadsticos o estadsticas de prueba e indican el grado de discrepancia entre la hiptesis nula y los datos muestrales que estn resumidos en las estadsticas. Valor crtico: el punto que divide la regin de aceptacin y la regin de rechazo de la hiptesis nula. Pruebas unilaterales y bilaterales. a). Contraste Unilateral Derecho: H0 : 0 H1 : > 0 b). Contraste Unilateral Izquierdo: H0 : 0 H1 : < 0 c). Contraste Bilateral: H0 : = 0 H1 : 0 Rechazar H 0 si el valor de laRechazar H 0 si el valor de la estadstica Z < zo , en caso Rechazar H 0 si el valor de la Regin de Aceptacin Regin de Rechazo Control de calidad Aplicado a la Ingeniera[ESTADISTICA INFERENCIAL] < Ing. Edmundo Alarcn Cceres > 26 estadstica Z > zo , en caso contrario no se rechaza H 0. contrario no se rechaza H 0. estadstica Z < zo / 2 Z > zo / 2 , en caso contrario no se rechaza H 0 . Pruebas de significancia Prueba de significancia de una cola. Una prueba es de una cola cuando la hiptesis alterna, H1, establece una direccin, como:H0: el ingreso medio de las mujeres es menor o igual al ingreso medio de los hombres.H1: el ingreso medio de las mujeres es mayor que el de los hombres.Distribucin de muestreo para el valor estadstico z, prueba de una cola, nivel de significancia de 0.05Prueba de significancia de dos colas. Una prueba es de dos colas cuando no se establece una direccin especfica de la hiptesis alterna H1, como: H0: el ingreso medio de las mujeres es igual al ingreso medio de los hombres. H1: el ingreso medio de las mujeres no es igual al ingreso medio de los hombres.Distribucin de muestreo para el valor estadstico z, prueba de dos colas, nivel de significancia de 0.05 MDULO 9: PRUEBAS DE HIPTESIS PARA MUESTRAS GRANDES PRUEBA PARA LA MEDIA POBLACIONAL: Desviacin estndar poblacional conocida - El estadstico de prueba est dado por:

Desviacin estndar poblacional desconocida - Se estimar con la desviacin estndar de la muestra S,z puede aproximarse con:

Pruebas respecto a relaciones proporcionales Parte fraccional o porcentaje que indica la parte de la poblacin o muestra que tiene un atributo particular de inters. P = Relacin proporcional poblacional

Control de calidad Aplicado a la Ingeniera[ESTADISTICA INFERENCIAL] < Ing. Edmundo Alarcn Cceres > 27 p = Relacin proporcional muestral Prueba de dos medias poblacionales Suponga que los parmetros para dos poblaciones son: Cuando 1 y 2 no se conocen pero el tamao de muestra n1 y n2 30, el estadstico de prueba es:

Prueba de la diferencia entre dos relaciones proporcionales de poblacin

P = La media ponderada de la Relacin proporcional poblacional p = Relacin proporcional muestral

Ejemplo: Los fabricantes de Fries Catsup indican en su etiqueta que el contenido de la botella es de 16 onzas. Cada hora se toma una muestra de 36 botellas y se pesa el contenido, el cual tiene unadistribucinnormaldeprobabilidad.Lamuestradelaltimahoratieneunpesomediode 16.12 onzas con una desviacin estndar de 0.5 onzas. Est el proceso fuera de control para un nivel de significancia de 0.05? Caso generalEjemplo especifico 1. Hiptesis Contr. Bilateral: H0 : = 0 H1 : 0 Contr. Unil. Der.: H0 : 0 H1 : > 0 Contr. Unil. Izq.: H0 : 0 H1 : < 0 Est el proceso fuera de control para un nivel de significancia de 0.05? Media de la poblacin = 16 Media de la muestra X = 16.12 Nivel de Confianza = 0.95; n = 36, = 0.5 H0 : = 16 H1 : 16 2. Supuestos a). Poblacin con distribucin normal b). Muestra aleatoria de tamao n. Tenemos n suficientemente grande para garantizar una Distribucin Media de la Muestra normal. 3. Estadstico de contraste

4. Definir la regin Primero, la zona de rechazo segn Contraste Bilateral: Contraste Unilateral Derecho: Contraste Unilateral Izquierdo: = 1 NC = 1 0.95 = 0.05; /2 = 0.05/2 = 0.025 p = 0.95/2 = 0.475 Tabla de D.N. Z0.475 = 1.96 Contraste bilateral, luego Z < zo / 2 Z > zo / 2 = 1.96 -1.96+1.96 H0 se rechaza si z < - 1.96 z > 1.96 /2 = 0.025/2 = 0.025 Control de calidad Aplicado a la Ingeniera[ESTADISTICA INFERENCIAL] < Ing. Edmundo Alarcn Cceres > 28 5. Calcular el estadstico Del estadstico seleccionado para realizar la prueba de hiptesis.

6. La regla de decisin Se rechaza H0 si Zemp cae en la zona de rechazo determinada por Zteor. El estadstico de contraste cae en la regin de aceptacin: Z emp < Z teor 1.44 < 1.96 Luego mantenemos la H0: los resultados son compatibles con una media igual a 16, es decir, son compatibles con los aciertos esperados por azar. MDULO 10: PRUEBAS DE HIPTESIS, MUESTRAS PEQUEAS Caractersticas de la distribucin t de Student La distribucin t tiene las siguientes propiedades: -es continua, tiene forma de campana y es simtrica respecto al cero como la distribucin z. -existe una familia de distribuciones t que comparten una media de cero pero con desviaciones estndar diferentes. -la distribucin t est ms dispersa y es ms plana en el centro que la distribucin z, pero se acerca a ella cuando el tamao de la muestra crece. PRUEBA PARA LA MEDIA POBLACIONAL: desviacin estndar poblacional desconocida El estadstico de prueba para el caso de una muestra est dado por la t de student tiene una distribucin t, con v = n-1 grados de libertad.

Regin de rechazo-1.96Regin de aceptacin1.441.44 < 1.96Regin de rechazo+1.96Control de calidad Aplicado a la Ingeniera[ESTADISTICA INFERENCIAL] < Ing. Edmundo Alarcn Cceres > 29 Comparacin de dos medias poblacionales se requieren tres suposiciones: -las poblaciones deben tener una distribucin normal o normal aproximada -las poblaciones deben ser independientes -las variancias de las poblaciones desconocidas pero deben ser igualesVariancia muestral combinada:

Comparacin de dos medias poblacionales se requieren tres suposiciones: -las poblaciones deben tener una distribucin normal o normal aproximada -las poblaciones deben ser independientes -las variancias de las poblaciones desconocidas y diferentes

Prueba con observaciones por pares -Las muestras independientes que no estn relacionadas. -Las muestras dependientes estn pareadas o relacionadas de alguna manera. -Por ejemplo, cotizacin de precios.Donde: d= promedio de las diferencias Sd = desviacin estndar de las diferencias n = es el nmero de pares (diferencias)

Ejemplo: La tasa actual para producir fusibles de 5 amp en Neary Electric Co. es 250 por hora. Se compr e instal una mquina nueva que, segn el proveedor, aumentar la tasa de produccin. Una muestra de 10 horas seleccionadas al azar el mes pasado indica que la produccin media por hora en la nueva mquina es 256, con desviacin estndar muestral de 6 por hora. Con0.05 de nivel de significancia, puede Neary concluir que la nueva mquina es ms rpida? Caso generalEjemplo especifico 1. Hiptesis Contr. Bilateral: H0 : = 0 H1 : 0 Contr. Unil. Der.: H0 : 0 H1 : > 0 Contr. Unil. Izq.: H0 : 0 H1 : < 0 puede Neary concluir que la nueva mquina es ms rpida? Media de la poblacin = 250 Media de la muestra X = 256 Nivel de Confianza = 0.95; n = 10, = 6 H0 : 250 H1 : > 250 2. Supuestos a). Poblacin con distribucin normal b). Muestra aleatoria de tamao n. Tenemos n suficientemente pequea para garantizar una Distribucin Media de la Muestra normal. 3. Estadstico de contraste

4. Definir la regin Primero, la zona de rechazo segn Contraste Bilateral: = 1 NC = 1 0.95 = 0.05; Para una cola es: 1/ = 1/0.05 = 20 /2 = 20/2 = 10 g.l. = n-1 = 10 1 = 9 Tabla de t de una cola t(g.l.),NC = t9,0.05

Control de calidad Aplicado a la Ingeniera[ESTADISTICA INFERENCIAL] < Ing. Edmundo Alarcn Cceres > 30 Contraste Unilateral Derecho: Contraste Unilateral Izquierdo: t9,0.05 = 1.8331 Contraste Unilateral Derecho, luego Contraste unilateral derecho, luego tteor = tn1,1 = t 9,0.95 =1.8331 +1.8331 H0 se rechaza si temp > 1.8331 5. Calcular el estadstico Del estadstico seleccionado para realizar la prueba de hiptesis.

6. La regla de decisin Se rechaza H0 si temp cae en la zona de rechazo determinada por tteor. El estadstico de contraste cae en la regin de rechazo: t emp > t teor 3.1623 > 1.8331 Luego rechazamos H0: La nueva mquina es ms rpida. MDULO 11: JI CUADRADO Y ANLISIS DE VARIANCIA - ANOVA Hasta ahora hemos trabajado con una o dos muestras. De una muestra, para determinarsi una mediaoproporcinerasignificativamentediferentedelvalorhipotetizadoy dedosmuestras, para determinar si la diferencia de medias o proporciones es significativa. La prueba de Ji cuadrado nos permite trabajar con ms de dos proporciones y ANOVA (anlisis devarianzas)nospermitirprobarsimsdedosmediasdepoblacionespuedenconsiderarse iguales. PRUEBA JI CUADRADO Granpartedelainformacinrecolectadaeninvestigacionesestadsticaesnominalo categrica. Cuando tenemosms de dos poblaciones,utilizaremos la pruebaJi cuadrado, es la distribucindeunavariablealeatoriasiemprepositiva,conunaposicinoblicuahaciala derecha y unimodal. EnrealidadladistribucinJi-cuadradaesladistribucinmuestraldeS2.Esdecirquesise extraen todas las muestras posibles de una poblacin normal y a cada muestra se le calcula su varianza, se obtendr la distribucin muestral de varianzas. Regin de aceptacin1.8331Regin de rechazo3.16233.1623 > 1.8331/2 = 10 Control de calidad Aplicado a la Ingeniera[ESTADISTICA INFERENCIAL] < Ing. Edmundo Alarcn Cceres > 31 La siguiente figura ilustra tres distribuciones X2 La tabla que se utilizar esta en el anexo de probabilidad para valores crticos Ji cuadrado X2 a grados de libertad para valores especiales de o. Para denotar el valor crtico de una distribucin X2 con g.l. grados de libertad se usa el smbolo X2 o (gl); por ejemplo para encontrar X2 0.05(6) en la tabla se localiza 6 g.l. en el lado izquierdo y o=0.05 a o largo del lado superior de la misma tabla. Se utiliza para demostrar: -Prueba de bondad de ajunte. -Prueba de independencia. -Prueba de homogeneidad. Deseamos saber si dos caracteres de una poblacin son dependientes o independientes, tambin se trabaja con tablas de contingencias como por ejemplo: El clculo de probabilidad en una distribucin muestral de varianzas nos sirve para saber como sevaacomportarlavarianzaodesviacinestndarenunamuestraqueprovienedeuna distribucin normal. El clculo de la prueba Ji cuadrado, se realiza con la siguiente formula: Control de calidad Aplicado a la Ingeniera[ESTADISTICA INFERENCIAL] < Ing. Edmundo Alarcn Cceres > 32

Donde X2 se distribuye con (n-1) g.l. S2 = Varianza poblacional 2 = Varianza muestral Las hiptesis a plantearse son: Contraste Unilateral Izquierdo: Contraste Bilateral: Contraste Unilateral Derecho:

SiaceptamoslaH0,podemosconsiderarquenotenemosevidenciaquenoshagan suponeruna dependencia entre las dos variables a un nivel de confianza = 1- Ejemplo: Una compaa que produce una parte maquinada para un motor, afirma que tiene una varianza de dimetro no mayor a 0.0002 pulgadas. Una muestra aleatoria de 10 de dichas partes dio una varianza de muestra S2=0.0003. Si se supone que las medidas del dimetro se distribuyen en forma normal, hay evidencia para refutar lo que afirma el proveedor? Use o= 0.05 Solucin: Como en todos los ensayos de hiptesis que se han realizado anteriormente el procedimiento es elmismo.Despusdequeseidentificanlosdatos,seplantealahiptesisparadeterminarel tipo de ensayo. Datos: 2= 0.0002 n = 10 S2 = 0.0003 o = 0.05 Ensayo de hiptesis:

Regla de decisin: Si X2 16.919 no se rechaza Ho. Si X2 > 16.919 se rechaza Ho. Control de calidad Aplicado a la Ingeniera[ESTADISTICA INFERENCIAL] < Ing. Edmundo Alarcn Cceres > 33 Clculos:

Justificacin y decisin: Como 13.5 no es mayor que 16.919 por lo tanto no se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia de 0.05 que no se puede refutar la afirmacin del proveedor. ANOVA (Analysis Of Variance) Es un mtodo de clculo para probar la hiptesis de que las medias de dos o ms poblaciones son iguales.EnunestudioANOVA,seaplicantratamientos(programasdecapacitacin,mtodosde enseanza,ingresopercpita,etc.)aentidadesdenominadosunidadesexperimentales (estudiantes,clientes,consumidores,trabajadores). Elatributodelasentidades,quese desea medir recibe el nombre de factor. En un estudio ANOVA se pueden aplicar modelos de efectos fijos o aleatorios. En unmodelo de efectos fijos, se seleccionan tratamientos especficos o se fijan antes del estudio determinstico. Enunmodelodeefectosaleatorios,lostratamientosutilizadosenelestudioseseleccionan aleatoriamente. Como por ejemplos:1). Comparacin de kilometraje logrado por cinco clases de gasolina. 2).Cual de los cuatro mtodos de capacitacin produce el rpido aprendizaje.3).La dosificacin de drogas en un paciente. Lanecesidaddedisponerdemtodosestadsticosparacompararlasvarianzasdedos poblaciones es evidente a partir del anlisis de una sola poblacin y para la solucin de este tipo deestudiosseaplicaladistribucinFdeFISHER.Frecuentementesedeseacompararla precisindeuninstrumentodemedicinconladeotro,laestabilidaddeunprocesode manufactura con la de otro. LavariablealeatoriaFesnonegativa,yladistribucintieneunsesgohacialaderecha.La distribucinFtieneunaaparienciamuysimilaraladistribucinJicuadrada;sinembargo,se encuentracentradarespectoa1,ylosdosparmetrosv1yv2proporcionanunaflexibilidad adicional con respecto a la forma de la distribucin. SiS12ys22sonlasvarianzasmuestralesindependientesdetamaon1yn2 tomadasde poblacionesnormalesconvarianzas12y22,respectivamente,entoncessetienelaprueba estadstica de F con ((n1 1), (n2 1)) grados de libertad:

Las tablas tienen la siguiente estructura: ParamanejarlastablasdeFishersetendrquebuscarlosgradosdelibertadn1yn2,para calcular el valor de F. n25% (normal) y 1% (negritas) puntos para la distribucin F n1 grados de libertad (para el mayor cuadrado medio) 11234567824500 2 1963.621 49.782 44.41241.531 39.727 38.475 37.558 36.8636.307 2.11 2.92 33.804 32.363 32.058 31.621 2046.071 34.794 30.457 28.114 26.645 25.633 24.891 24.324 23.88 21.828 20.649 20.409 20.045 Ejemplos: Encontrar el valor de F, en cada uno de los siguientes casos: a). El rea a la derecha de F, es de = 5% conb). El rea a la derecha de F, es de = 1% con Control de calidad Aplicado a la Ingeniera[ESTADISTICA INFERENCIAL] < Ing. Edmundo Alarcn Cceres > 34 n1 = 24 y n2 = 19. n1 = 24 y n2 = 19. Las hiptesis se plantean de la siguiente manera: Contraste Unilateral Derecho:

Se debe cumplir las siguientes condiciones: Las poblaciones estn distribuidas normalmente. Las poblaciones tienen varianzas iguales Las muestras se seleccionan de modo independiente. Ejemplo:Lavariabilidadenlacantidaddeimpurezaspresentesenunlotedeproductos qumicos, utilizada para un proceso en particular, depende del tiempo que tarda el proceso. Un fabricante que emplea dos lneas de produccin 1 y 2, hizo un pequeo ajuste al proceso 2, con laesperanzadereducirlavariabilidad,ascomolacantidadmediadeimpurezasenlos productos qumicos. Muestras de n1=25 y n2=20 mediciones de dos lotes produjeron las siguientes medias y varianzas: Presentanlosdatosevidenciasuficienteparaindicarquelasvariacionesdelprocesoson menores para el 2? Realice una prueba con un a = 0.05. Solucin: Datos: Ensayo de hiptesis:

Estadstico de prueba:

Control de calidad Aplicado a la Ingeniera[ESTADISTICA INFERENCIAL] < Ing. Edmundo Alarcn Cceres > 35 Lasugerencia quesehaceesqueelnumeradorseaeldevalormayor.Entonceslosgrados de libertad uno ser el tamao de la muestra de la poblacin uno menos uno. v1= 25 - 1 = 24 y v2 = 20 1 = 19. Regla de decisin: Si F 2.11 No se rechaza Ho, Si F > 2.11 se rechaza Ho. Clculo:

Decisin y Justificacin: Como2.04esmenorque2.11noserechazaHo,yseconcluyeconuna=0.05quenoexiste suficiente evidencia para decir que la varianza del proceso 2 es menor que la del proceso 1. MDULO 12: REGRESIN LINEAL Y CORRELACIN Anlisisdecorrelacin:seusaungrupodetcnicasestadsticasparamedirlafuerzadela relacin(correlacin)entredosvariables.Alanalizarunconjuntodedatosbivariadoses convenienteobteneralgnconocimientoacercadelarelacinquepuedeexistirentreestas variables cuantitativas, por ejemplo, analizar la relacin entre: XYUNIDAD ESTADSTICA IngresosEgresos Municipio de Lima Metropolitana PesoEdad Personal obrero de una constructora Ingresos generados GastosCentro hospitalario Puntaje en prueba de habilidad matemtica Puntaje en prueba de habilidad verbal Alumno de nivel secundaria en Ate Lanaturalezaeintensidad de lasrelacionesentrevariables pueden serexaminadaspormedio delanlisisderegresinycorrelacin,dostcnicasestadsticasrelacionadasperoquesirven para propsitos diferentes. Elanlisisserealizaconjuntamentedosvariablescuantitativas,unadeellasllamadavariable dependienteoderespuesta(y)cuyocomportamientosedebeoseexplicaporotravariable llamada independiente (x), a sta ltima se le denomina tambin variable explicativa o variable regresora. Diagrama de dispersin:Control de calidad Aplicado a la Ingeniera[ESTADISTICA INFERENCIAL] < Ing. Edmundo Alarcn Cceres > 36 Grfica que describe la relacin entre las dos variables de inters. Es de gran utilidad porque los puntos graficados nos mostrarn la naturaleza y la fuerza de la relacin entre dichas variables: 5.4. Modelo de regresin lineal simple poblacional Para las variables bajo estudio, el modelo se escribe: y =|0 +|1x +c Es la ecuacin que describe como se relaciona y con x y el trmino error aleatorio. Donde: y : variable dependiente o de respuesta. Es la variable por modelar o predecir. x : variable independiente o regresora. Es la variable que se utiliza para modelar o predecir. o: parmetro del modelo; es la ordenada en el origen, 1:parmetrodelmodelo,pendientedelarecta,indicalamagnituddelincrementoo decremento de y por cada unidad de incremento en x. e: error o perturbacin aleatoria, explica la variabilidad en y, que no puede ser explicada en el modelo. Supuestos: 1. Los valores de la variable independiente x son "fijos". 2. La variable x se mide sin error (se desprecia el error de medicin en x) 3. Los errores son aleatorios, se distribuyen normalmente con media cero y variancia uno. Suposiciones fundamentales de regresin lineal -Para cada valor de X, existe un grupo de valores de Y que tienen una distribucin normal. -LasmediasdeestasdistribucionesnormalesdevaloresdeYdebenestarsobrelarectade regresin. Correlacin negativa perfectaCorrelacin positiva perfecta Correlacin ceroCorrelacin positiva fuerte Control de calidad Aplicado a la Ingeniera[ESTADISTICA INFERENCIAL] < Ing. Edmundo Alarcn Cceres > 37 -Las desviaciones estndar de estas distribuciones normales son iguales. -Los valores de Y son estadsticamente independientes.Es decir, que en la seleccin de una muestra, los valores elegidos de Y para un valor particular de X no depende de los valores de Y para otro valor de X. Estimacin de los Parmetros del Modelo de regresin lineal simple. El modelo de regresin lineal simple ajustado, se obtiene en base a los datos de una muestra:

Donde: y: Es el valor estimado de y para un determinado valor de x. |0: Es el estimador de la ordenada en el origen. |1: Es el estimador de la pendiente de la recta. Para estimar los parmetros del modelo se utiliza el Mtodo de los mnimos cuadrados, que es unprocedimientoquepermiteencontrarlosestimadoresdelosparmetrosdelmodelo,que minimizalasumadeloscuadradosdelasdesviacionesentrelosvaloresdelavariablede respuesta (valores de la muestra) y los valores estimados de la variable de respuesta (obtenidos en la ecuacin estimada de regresin): Anlisis de regresin Propsito:determinarlaecuacinderegresin;seusaparapredecirelvalordelavariable dependiente (Y) basado en la variable independiente (X). Procedimiento:seleccionarunamuestradelapoblacinyenumerarlosdatosporparespara cadaobservacin;dibujarundiagramadedispersinparavisualizarlarelacin;determinarla ecuacin de regresin. La ecuacin de regresin:

Donde: = Valor promedio pronosticado de Y para cualquier valor de X. a = Intercepcin en Y, o el valor estimado de Y cuando X = 0 b = Pendiente de la recta, o cambio promedio en Y por cada cambio de una unidad en X se usa el principio de mnimos cuadrados para obtener a y b: Coeficiente de covarianza. Llamadatambinvarianzasimultaneaocompartida,eselestadgrafaquemidelavarianza conjunta de las variables, se le representa por:

Varianza residual. a = Y - bX Control de calidad Aplicado a la Ingeniera[ESTADISTICA INFERENCIAL] < Ing. Edmundo Alarcn Cceres > 38 Es el estadgrafo que mide el grado de dispersin de los datos respecto a la recta de ajuste,

Por tanto la varianza residual de la regresin del Y en funcin de X es:

Y la varianza residual de la regresin del X en funcin de Y es:

Ejemplo:Ejemplo:DanIreland,presidentedelasociedad editoradelibros,estpreocupadoporelcostodeloslibros. Para tener un panorama del problema elige una muestra de 8 librosdeventaenlalibrera.Desarrollarunaecuacinde regresinparalainformacin dada para estimar elprecio de venta basado en el nmero de pginas. Por el principio de mnimos cuadrados,b = 0.01714 y a = 16.0 = 16.0 + 0.01714X Error estndar de la estimacin El error estndar de la estimacin mide la dispersin de los valores observados alrededor de la recta de regresin. La frmula usada para calcular el error estndar es la raz cuadrada positiva de la varianza Residual. Ejemplo: del ejercicio anterior calcule el error estndar de la estimacin: Coeficiente de correlacin, r Elcoeficientedecorrelacin(r)esunamedidadelaintensidaddelarelacinentredos variables. Esta correlacin permite tomar decisiones o calificar a la relacin existente entre X i Y, se le representa por r Puedetomarvaloresentre-1.00y1.00.(-1 1/oo12345678910 100.16.31372.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.8125 200.0512.70624.30273.18242.77652.57062.44692.36462.30602.26222.2281 400.02525.45196.20544.17653.49543.16342.96872.84122.75152.68502.6338 500.0231.82106.96454.54073.74693.36493.14272.99792.89652.82142.7638 1000.0163.65599.92505.84084.60414.03213.70743.49953.35543.24983.1693 2000.005127.321114.08927.45325.59754.77334.31684.02943.83253.68963.5814 10000.001636.577631.599812.92448.61016.86855.95875.40815.04144.78094.5868 20000.00051273.155244.703516.326110.30517.97566.78826.08155.61705.29115.0489 100000.00016370.5444100.135828.014215.534511.17599.08047.88837.12006.59386.2119 200000.0000512664.7949141.263035.315818.514712.889510.26328.78247.85107.21776.7614 1000000.0000163476.5625314.712560.796727.716217.881413.560111.17599.76038.82898.1584 2000000.000005126953.125457.763776.293933.378620.563615.199212.517010.72889.61128.7917 10000000.000001625000.0915.5273133.51447.683728.610220.265615.497213.113011.920910.7288 20000000.00000052500000.01220.7031152.58857.220538.147023.841919.073514.305113.113011.9209 gl --> 1/oo11121314151617181920 100.11.79591.78231.77091.76131.75311.74591.73961.73411.72911.7247 200.052.20102.17882.16042.14482.13152.11992.10982.10092.09302.0860 400.0252.59312.56002.53262.50962.48992.47292.45812.44502.43342.4231 500.022.71812.68102.65032.62452.60252.58352.56692.55242.53952.5280 1000.013.10583.05453.01232.97682.94672.92082.89822.87842.86092.8453 2000.0053.49663.42843.37253.32573.28603.25203.22243.19663.17373.1534 10000.0014.43694.31784.22094.14034.07284.01493.96513.92173.88333.8496 20000.00054.86334.71664.59724.49954.41684.34644.28584.23324.18694.1461 100000.00015.92325.69505.51345.36445.23875.13395.04314.96634.89884.8382 200000.000056.40756.14675.92795.75565.60665.48555.37845.28995.20615.1409 1000000.000017.63687.26436.96636.70556.51936.33306.18406.07225.96055.8487 2000000.0000058.19567.74867.45067.15266.92906.70556.55656.40756.25856.1840 10000000.0000019.53678.94078.64278.34477.74867.74867.45067.15267.15266.8545 20000000.000000510.72889.53679.53678.94078.34478.34478.34477.74867.74867.1526 gl --> 1/oo21222324252627282930 100.11.72071.71711.71391.71091.70811.70561.70331.70111.69911.6973 200.052.07962.07392.06872.06392.05952.05552.05182.04842.04522.0423 400.0252.41382.40552.39792.39102.38462.37882.37342.36852.36382.3596 500.022.51762.50832.49992.49222.48512.47862.47272.46712.46202.4573 1000.012.83142.81882.80732.79702.78742.77872.77072.76332.75642.7500 2000.0053.13523.11883.10403.09053.07823.06693.05653.04703.03803.0298 10000.0013.81933.79223.76763.74543.72513.70673.68953.67393.65953.6460 20000.00054.10954.07694.04754.02073.99653.97443.95403.93483.91773.9017 100000.00014.78474.73584.69394.65434.61944.58684.55654.53094.50534.4820 200000.000055.07575.01984.97334.92674.88484.84754.81494.78234.75444.7311 1000000.000015.77425.69975.62525.56935.51345.45765.42035.36445.32725.2899 2000000.0000056.07225.99775.92325.84875.77425.73695.66245.62525.58795.5507 10000000.0000016.85456.70556.55656.55656.55656.25856.25856.25856.25856.1095 Control de calidad Aplicado a la Ingeniera[ESTADISTICA INFERENCIAL] < Ing. Edmundo Alarcn Cceres > 42 20000000.00000057.15267.15267.15267.15266.55656.55656.55656.55656.55656.5565 gl --> 1/oo405060708090100125150175 100.11.68391.67591.67061.66691.66411.66201.66021.65711.65511.6536 200.052.02112.00862.00031.99441.99011.98671.98401.97911.97591.9736 400.0252.32892.31092.29902.29062.28442.27952.27572.26872.26412.2608 500.022.42332.40332.39012.38082.37392.36852.36422.35662.35152.3478 1000.012.70452.67782.66032.64792.63872.63162.62592.61572.60902.6042 2000.0052.97122.93702.91462.89872.88702.87792.87072.85772.84922.8431 10000.0013.55103.49603.46023.43503.41643.40193.39053.37013.35653.3469 20000.00053.78843.72303.68083.65083.62873.61183.59843.57423.55823.5472 100000.00014.32134.22824.16884.12694.09554.07224.05364.01983.99773.9814 200000.000054.54494.43784.37024.32134.28874.26084.23984.20034.17704.1584 1000000.000015.04784.91744.82434.76844.71254.67524.65664.60074.57284.5449 2000000.0000055.25275.10365.02914.95464.89884.84294.82434.76844.73114.7125 10000000.0000015.81155.66245.51345.36445.36445.21545.21545.21545.06645.0664 20000000.00000055.96055.96055.66245.66245.36445.36445.36445.36445.36445.3644 gl --> 1/oo200225250275300325350375400450 100.11.65251.65171.65101.65041.64991.64961.64921.64891.64871.6482 200.051.97191.97061.96951.96861.96791.96731.96681.96631.96591.9652 400.0252.25842.25652.25502.25372.25272.25182.25112.25042.24992.2489 500.022.34512.34302.34142.34002.33882.33792.33702.33632.33572.3347 1000.012.60062.59792.59562.59382.59232.59102.58992.58902.58822.5868 2000.0052.83852.83502.83222.82992.82792.82632.82492.82372.82272.8210 10000.0013.33983.33433.32993.32633.32323.32073.31863.31673.31513.3123 20000.00053.53873.53203.52683.52273.51923.51633.51373.51143.50933.5064 100000.00013.96983.96163.95463.94883.94423.93953.93603.93253.93023.9255 200000.000054.14444.13514.12814.12114.11644.11184.10714.10254.10014.0955 1000000.000014.52624.52624.50764.50764.48904.48904.48904.47974.47034.4703 2000000.0000054.69394.67524.65664.65664.65664.63804.63804.61944.61944.6194 10000000.0000015.06645.06645.06645.06645.06644.99194.99194.99194.91744.9174 20000000.00000055.36445.36445.06645.06645.06645.06645.06645.06645.06645.0664 gl --> 1/oo500550600650700750800100020003000 100.11.64791.64761.64741.64721.64701.64691.64681.64641.64561.6454 200.051.96471.96431.96391.96361.96341.96311.96291.96231.96121.9608 400.0252.24822.24762.24702.24662.24622.24592.24562.24482.24312.2425 500.022.33382.33312.33262.33212.33172.33132.33102.33012.32822.3276 1000.012.58572.58482.58412.58342.58292.58242.58202.58072.57832.5775 2000.0052.81952.81842.81752.81672.81602.81542.81482.81332.81022.8091 10000.0013.31013.30823.30683.30563.30443.30363.30273.30023.29543.2938 20000.00053.50383.50183.50003.49833.49713.49603.49513.49223.48633.4846 100000.00013.92203.91973.91623.91503.91273.91163.91043.90693.89873.8953 200000.000054.09084.08854.08624.08384.08154.07924.07924.07454.06524.0606 1000000.000014.46104.46104.45174.45174.45174.45174.45174.44244.43314.4238 2000000.0000054.61944.61944.61944.60074.60074.60074.60074.58214.58214.5821 10000000.0000014.91744.91744.91744.91744.91744.91744.91744.91744.91744.9174 20000000.00000055.06645.06645.06645.06645.06645.06645.06645.06645.06645.0664 Control de calidad Aplicado a la Ingeniera[ESTADISTICA INFERENCIAL] < Ing. Edmundo Alarcn Cceres > 43 TABLAS DE DISTRIBUCIN JI CUADRADA Tablas de distribucin "Ji Cuadrada" o X2, los grados de libertad se encuentran en la primera fila. g.l. NIVEL DE SIGNIFICANCIA 0.1/0.900.05/0.950.025/0.9750.01/0.990.005/0.995 12.70553.84155.02396.63497.8794 24.60525.99157.37789.210410.5965 36.25147.81479.348411.344912.8381 47.77949.487711.143313.276714.8602 59.236311.070512.832515.086316.7496 610.644612.591614.449416.811918.5475 712.01714.067116.012818.475320.2777 813.361615.507317.534520.090221.9549 914.683716.91919.022821.66623.5893 1015.987218.30720.483223.209325.1881 1117.27519.675221.9224.72526.7569 1218.549321.026123.336726.21728.2997 1319.811922.36224.735627.688229.8193 1421.064123.684826.118929.141231.3194 1522.307124.995827.488430.57832.8015 1623.541826.296228.845331.999934.2671 1724.76927.587130.19133.408735.7184 1825.989428.869331.526434.805237.1564 1927.203630.143532.852336.190838.5821 2028.41231.410434.169637.566339.9969 2129.615132.670635.478938.932241.4009 2230.813333.924536.780740.289442.7957 2332.006935.172538.075641.638344.1814 2433.196236.41539.364142.979845.5584 2534.381637.652540.646544.31446.928 2635.563238.885141.923145.641648.2898 2736.741240.113343.194546.962849.645 2837.915941.337244.460848.278250.9936 2939.087542.556945.722349.587852.3355 3040.25643.77346.979250.892253.6719 3141.421744.985348.231952.191455.0025 3242.584746.194249.480453.485756.328 3343.745247.399950.725154.775457.6483 3444.903248.602451.96656.060958.9637 3546.058849.801853.203357.34260.2746 3647.212250.998554.437358.619261.5811 3748.363452.192355.66859.892662.8832 3849.512653.383556.895561.16264.1812 3950.659854.572258.120162.428165.4753 4051.80555.758559.341763.690866.766 Control de calidad Aplicado a la Ingeniera[ESTADISTICA INFERENCIAL] < Ing. Edmundo Alarcn Cceres > 44 4152.948556.942460.560664.9568.0526 4254.090258.12461.776766.206369.336 4355.230259.303562.990367.459370.6157 4456.368560.480964.201468.709671.8923 4557.505361.656265.410169.956973.166 4658.640562.829666.616571.201574.4367 4759.774364.001167.820672.443275.7039 4860.906665.170869.022673.682676.9689 4962.037566.338770.222474.919478.2306 5063.167167.504871.420276.153879.4898 5164.295468.669372.61677.38680.7465 5265.422469.832273.809978.615682.0006 5366.548270.993475.001979.843483.2525 5467.672872.153276.192181.068884.5018 5568.796273.311577.380482.29285.7491 5669.918574.468378.567183.513686.994 5771.039775.623779.752284.732788.2366 5872.159876.777880.935685.950189.477 5973.278977.930582.117487.165890.7153 6074.39779.08283.297788.379491.9518 6175.514180.232184.476489.591293.1862 6276.630281.38185.653790.801594.4185 6377.745482.528786.829692.009995.6492 6478.859783.675288.00493.216796.8779 6579.97384.820689.177294.42298.1049 6681.085585.964990.348895.625699.3303 6782.197187.10891.519396.8277100.5538 6883.307988.250292.688598.0283101.7757 6984.417989.391293.856599.2274102.9961 7085.52790.531395.0231100.4251104.2148 7186.635491.670396.1887101.6214105.4323 7287.743192.808397.353102.8163106.6473 7388.849993.945398.5162104.0098107.8619 7489.956195.081599.6784105.2019109.0742 7591.061596.2167100.8393106.3929110.2854 7692.166297.351101.9992107.5824111.4954 7793.270298.4844103.1581108.7709112.7037 7894.373599.617104.3159109.9582113.9107 7995.4762100.7486105.4727111.144115.1163 8096.5782101.8795106.6285112.3288116.3209 8197.6796103.0095107.7834113.5123117.524 8298.7803104.1387108.9373114.6948118.7261 8399.8805105.2672110.0902115.8762119.927 84100.98106.3949111.2422117.0566121.1262 Control de calidad Aplicado a la Ingeniera[ESTADISTICA INFERENCIAL] < Ing. Edmundo Alarcn Cceres > 45 85102.0789107.5217112.3933118.2356122.3244 86103.1773108.6479113.5436119.4137123.5218 87104.275109.7733114.6929120.5909124.7176 88105.3723110.898115.8415121.7672125.9123 89106.4689112.022116.989122.9422127.106 90107.565113.1452118.1359124.1162128.2987 91108.6606114.2679119.282125.2893129.4902 92109.7556115.3898120.427126.4616130.6812 93110.8501116.511121.5714127.633131.8705 94111.9442117.6317122.7152128.8032133.0589 95113.0377118.7516123.858129.9725134.2466 96114.1307119.8709125.0001131.1411135.4327 97115.2232120.9897126.1414132.3089136.6188 98116.3153122.1077127.2821133.4756137.803 99117.4069123.2252128.4219134.6415138.9869 100118.498124.3421129.5613135.8069140.1697 Control de calidad Aplicado a la Ingeniera[ESTADISTICA INFERENCIAL] < Ing. Edmundo Alarcn Cceres > 46 Control de calidad Aplicado a la Ingeniera[ESTADISTICA INFERENCIAL] < Ing. Edmundo Alarcn Cceres > 47 Control de calidad Aplicado a la Ingeniera[ESTADISTICA INFERENCIAL] < Ing. Edmundo Alarcn Cceres > 48 Control de calidad Aplicado a la Ingeniera[ESTADISTICA INFERENCIAL] < Ing. Edmundo Alarcn Cceres > 49