ma09 probabilidades

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UNIDAD: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES

PROBABILIDADES

NOCIONES ELEMENTALES

Experimento: Procedimiento que se puede llevar a cabo, bajo las mismas condiciones, unnúmero indefinido de veces.

Experimento aleatorio: Experimento cuyo resultado no se puede predecir, existiendo unconjunto de resultados posibles (espacio muestral).

Evento (o suceso): Es un resultado particular del espacio muestral.

Evento cierto: Es el propio espacio muestral.

Evento imposible: Es aquel que no tiene elementos, es decir, el subconjunto vacío delespacio muestral.

Eventos mutuamente excluyentes: Son aquellos eventos donde la ocurrencia de uno deellos impide la ocurrencia del otro.

Eventos complementarios: son aquellos que no tienen elementos comunes pero juntoscompletan el espacio muestral.

EJEMPLOS

1. ¿Cuál(es) de los siguientes experimentos no es (son) aleatorio(s)?

I) Sacar una carta de un naipe inglés y ésta sea un rey.II) Sacar una bolita de una caja con sólo 5 bolitas azules, y anotar su color.

III) Comprar un boleto de Lotería y ganar el premio mayor.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) I, II y III

2. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral del experimento aleatorio “Lanzar d dadosy m monedas”

A) d2 · m6

B) m2 · d6

C) 2d + 6m

D) 36 · 2E) 6d · 2m

C u r s o : Matemática

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Profesor :Daniel Caceres 3ro C

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3. ¿Cuál de los siguientes eventos es imposible al lanzar 3 dados?

A) Obtener 3 números consecutivosB) Obtener una suma que sea cuadrado perfectoC) Obtener 1 número par y 2 números imparesD) Obtener 2 primos y 1 numero compuestoE) Obtener una suma igual a 19

4. Un vendedor del servicio de televisión por cable visita tres casas, anotando v si vende y nsi no vende. El evento “Vender el servicio a lo más en una de las casas” estárepresentado por

A) [nnn, nnv, nvn, vnn]B) [nnv, nvn, vnn]C) [vvv, vvn, vnv, nvv]D) [vvn, vnv, nvv]E) [nnn]

5. Dado el espacio muestral V = {a, e, i, o, u} y los eventos A = {a, i, u}, B = {e, o} yC = {i, u}, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) A y B son complementarios.II) B y C son mutuamente excluyentes.

III) A y C son mutuamente excluyentes.

A) Sólo IB) Sólo IIIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III

6. Al lanzar dos dados considere el evento “la suma de sus puntos sea múltiplo de 5”.¿Cuántos elementos tiene este evento?

A) 8B) 7C) 6D) 5E) 4

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PROBABILIDAD CLÁSICA

La probabilidad de un suceso A se obtiene como la razón entre el número de casos favorablesal evento A y el número total de casos posibles.

OBSERVACIONES:

La probabilidad de que un suceso A no ocurra es igual a uno menos la probabilidad de que

ocurra. A’ = A no ocurre

0 P(A) 1 o bien 0% P(A) 100%

EJEMPLOS

1. Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener una suma igual a 7?

A)1

18

B)112

C)16

D)1136

E)13

2. Un equipo de futbol está integrado por 2 argentinos, 5 brasileños, 3 españoles y 1chileno, si se lesiona un jugador, ¿cuál es la probabilidad que sea un argentino?

A)112

B)115

C)103

D)111

E)101

P(A) =Número de casos favorables (A)

Número total de casos

P(A’) = 1 – P(A)

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3. Una urna contiene 20 bolitas numeradas de 1 al 20. Si se saca una al azar, ¿cuál es laprobabilidad que esta sea un número primo?

A)720

B)25

C)920

D)12

E)1120

4. Una caja tiene 10 bolitas numeradas desde el 0 al 9. Al extraer una bolita al azar,¿cuál es la probabilidad de que salga una bolita con un número par?

A)49

B)95

C)25

D)12

E)39

5. Si la probabilidad que mañana llueva es 0,8 entonces, la probabilidad que mañana nollueva es

A) -0,2B) -0,8C) 0,2D) 0,8E) 1

6. Pedro tiene en su monedero 3 monedas de $ 500, 4 monedas de $ 100 y 2 monedas de$ 50. Si saca una moneda al azar, ¿cuál es la probabilidad que le alcance para comprarun berlín que vale $ 450?

A)92

B)31

C)94

D)32

E)95

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11C 1S

1C2 2CS 1S2

1C3 3C2S 3CS2 1S3

1C4 4C3S 6C2S2 4CS3 1S4

TRIÁNGULO DE PASCAL

Representa una regularidad numérica que se ilustra en la siguiente figura:

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

Se pueden observar algunas regularidades y estas son:

Los coeficientes primero y último de cada fila son siempre 1. Cualquier otro coeficiente de una fila se obtiene como la suma de los dos valores que

están justo arriba en la fila anterior. Si se suman los números de cada fila el resultado es siempre una potencia de 2. Existe una simetría en cada fila respecto a su centro.

OBSERVACIÓN: El triángulo de Pascal también se utiliza en experimentos aleatorios quetengan dos sucesos equiprobables de ocurrencia, como por ejemplo: lanzar una moneda,el sexo de una persona, respuestas de preguntas del tipo verdadero o falso, etc.

Al lanzar una moneda cuatro veces (o lanzar 4 monedas a la vez) se obtienen 16 resultadosposibles, que al determinarlos a través del triángulo de Pascal son:

Esta situación se grafica de la siguiente manera

OBSERVACIÓN: 4C3S significa

O sea, 4C3S indica que hay cuatro casos favorables para obtener 3 caras y 1 sello.

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 1

Cero lanzamiento 20

Un lanzamiento 21

Dos lanzamientos 22

Tres lanzamientos 23

Cuatro lanzamientos 24

CCCS

CCSC

CSCC

SCCC

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EJEMPLOS

1. Un matrimonio tiene 5 hijos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)verdadera(s)?

I) La probabilidad que sean 3 hijos varones es18

.

II) La probabilidad que a los más sean 3 hijas mujeres es1316

.

III) La probabilidad que sean a lo menos 3 hijos varones es12

.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

2. Se lanzan 4 monedas, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La probabilidad que no salgan caras es116

.

II) Que salgan 4 caras ó 4 sellos son eventos equiprobables.

III) La probabilidad que salgan 2 caras y 2 sellos es38

.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

3. En una prueba de 6 preguntas del tipo verdadero-falso, si un alumno contesta todas laspreguntas, ¿cuál es la probabilidad que conteste correctamente a lo menos 5 de ellas?

A) 132

B) 332

C) 164

D) 564

E) 764

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PROBABILIDADES DE EVENTOS

Si A y B son dos sucesos no excluyentes (pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), laprobabilidad de que ocurran A o B o ambos está dada por:

Si A y B son dos sucesos excluyentes (no pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), laprobabilidad de que ocurra A o B está dada por:

EJEMPLOS

1. En una urna hay 20 fichas numeradas del 1 al 20. Si se saca una al azar, ¿cuál es laprobabilidad que sea número par o múltiplo de 3?

A)1620

B)1920

C)320

D)1320

E)3

10

2. Si las probabilidades de que Pedro o Blanca puedan ganar una carrera son 1/2 y 1/3,respectivamente, ¿cuál es la probabilidad que ganen Pedro o Blanca?

A)16

B)26

C)36

D)46

E)56

P(A o B) = P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

P(A o B) = P(A B) = P(A) + P(B)

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Los sucesos A y B se consideran independientes cuando la ocurrencia o noocurrencia de uno no influye sobre la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia del otro.

EJEMPLOS

1. En un curso se formaron tres grupos para preparar un trabajo sobre la vida y obra de:Pitágoras, Euclides y Descartes como se muestra en la siguiente tabla:

La profesora elige al azar a un sólo integrante de cada grupo para que exponga el tema.¿Cuál es la probabilidad de que en los tres grupos la representante sea una dama?

A) 12

B) 916

C) 526

D) 124

E) 18

2. Se tienen tres canastas, A, B y C. La canasta A contiene 4 fichas blancas y 6 rojas, lacanasta B contiene 5 fichas blancas y 7 rojas y lo canasta C contiene 9 fichas blancas y 6rojas. Si se saca al azar una ficha de cada canasta, ¿cuál es la probabilidad que las tresfichas sean rojas?

A)3

17

B)1937

C)750

D)950

E)1

252

P(A y B) = P(A B) = P(A) · P(B)

Grupo Tema Damas Varones1 Pitágoras 5 32 Euclides 4 43 Descartes 4 6

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Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral. La probabilidad condicional deA, dado B, se calcula como la probabilidad del suceso A, bajo la condición de que el sucesoB ha ocurrido.

EJEMPLOS

1. Un lote de 10 artículos tiene 2 defectuosos. Se toma al azar tres artículos, uno tras otro¿cuál es la probabilidad que los tres estén buenos?

A)8 7 6

+ +10 9 8

B)8 7 6

· ·10 9 8

C)8 7 6

· ·10 10 10

D)8 7 6

+ +10 10 10

E) Ninguna de las anteriores.

2. Una urna tiene 20 fichas, numeradas del 1 al 20. Si se extrae una ficha al azar y este esun número par, entonces ¿cuál es la probabilidad que sea múltiplo de seis?

A) 320

B)12

C) 15

D) 310

E) 110

3. Al lanzar tres dados, si la suma de los puntos obtenidos es 4, entonces ¿cuál es laprobabilidad que aparezca un dos?

A)3

216

B)1

216

C)136

D)12

E) 1

P(A/B) = P(A B)P(B)

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DEFINICIONES

Una variable es una cantidad o magnitud que no es constante, que es susceptible de variar.Una variable aleatoria es una variable cuyos valores son determinados por el resultado deun experimento aleatorio.

Una variable aleatoria X está determinada si se conoce:

Los valores que toma: x1, x2, x3, ... xk

La probabilidad con que toma cada uno de esos valores: p1, p2, p3, ... Pk dondep1 + p2 + p3 + ... + pk = 1

Con todo lo anterior se dice que se tiene definida una distribución de probabilidad.

El gráfico que representa las probabilidades de cada uno de los valores de la variable aleatoriase denomina ley de probabilidad de la variable aleatoria.

EJEMPLOS

1. ¿Cuál de los siguientes enunciados define una variable aleatoria?

A) El número accidentes automovilísticos que hay por día en la ciudad de Puerto Montt.B) El número de autos blancos estacionados frente al preuniversitario.C) El tiempo empleado en responder esta pregunta.D) El número de varones de una familia con cinco hijos.E) Todas las anteriores.

2. ¿Cuál(es) de los siguientes enunciados no define una variable aleatoria?

I) Soltar una piedra.II) Las horas de duración de una pila.

III) El número de departamentos de un edificio.

A) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

3. Se define X como el número de llamadas de urgencia a un servidor y se sabe quep(X = 3) = 0,1; p(X = 2) = 0,2; p(X = 1) = 0,4; siendo 3 el número máximo de llamadasposibles. ¿Cuál es la probabilidad que se reciba a lo más una llamada?

A) 0,70B) 0,60C) 0,40D) 0,30E) 0,21

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4. El gráfico de la figura 1, representa la ley de probabilidad de la variable aleatoria X,definida como el número de sellos obtenidos al lanzar tres veces una moneda. ¿Cuál es laprobabilidad que X sea menor que tres?

A)41

B)21

C)32

D)85

E)87

5. ¿Cuál(es) de las siguientes gráficas representa(n) una ley de probabilidad?

I) II) III)

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) Sólo I y III

6. En una prueba de seis preguntas con verdadero o falso, se define la variable aleatoriacomo el número de falsas que se obtienen. Si m es la probabilidad de que la variablealeatoria tome su menor valor, y n es la probabilidad de que la variable aleatoria tome sumayor valor, entonces m + n es igual a

A) 13

B) 16

C) 132

D) 136

E) 164

fig. 1

0 1 2 3

38

18

x

y

1 2 3 4 5

412

312

112

x

y

1 2 3 4 5 x

y36

26

16

x

y

1 2 3 4 5 6

39

29

19

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RESPUESTAS

DMCAMA09

EjemplosPágs. 1 2 3 4 5 6

1 y 2 B E E A C B

3 y 4 C A B D C B

6 D E E

7 D E

8 E C

9 B D E

10 y11 E A A E E C

Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra webhttp://www.pedrodevaldivia.cl/

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