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DISTRIBUCIONES
CONTINUAS INFERENCIA ESTADISTICA
LIC. MIGUEL CANO.
En esta sección se estudian las distribuciones
más importantes de las variables aleatorias
continuas unidimensionales.
Algunas distribuciones continuas notables
son:
Distribución uniforme.
Distribución exponencial.
Distribución normal,
esta última es la que más se aplica, por eso
sólo citaremos brevemente a la distribución
uniforme y a la exponencial.
Distribución uniforme
Una variable aleatoria continua X posee una
distribución uniforme en el intervalo [a, b], si
su función de probabilidad es la siguiente:
FUNCION DISTRIBUCION
VAOR ESPERADO Y VARIANZA
La media o valor esperado es dado por:
La varianza es dado por:
Distribución exponencial
La distribución exponencial describe
procesos en los que nos interesa saber el
tiempo hasta que ocurre determinado
evento, sabiendo que, el tiempo que pue-da
ocurrir desde cualquier instante dado t hasta
que ello ocurra en un instante cualquiera ti ,
no depende del tiempo transcurrido
anteriormente en el que no ha
pasado nada.
FUNCION DE DENSIDAD Y
DISTRIBUCION
Su función de densidad es:
Graficas de la función
probabilidad y la distribución
Función densidad Función de distribución
Valor esperado y varianza
El valor esperado y la varianza de una variable
aleatoria X con distribución exponencial son:
Ejemplo:
El tiempo de vida de una bacteria (en horas)
sigue una distribución exponencial
con media de 16 horas.
a. Cuál es la probabilidad de que dicha
bacteria tenga un tiempo de vida menor
de 20 horas?
b. Si la bacteria vive más de 5 horas, ¿cuál es
la probabilidad de que viva hasta 25
horas?
DISTRIBUCION NORMAL
La distribución normal es, sin duda, la distribución
de probabilidad más importante del cálculo de
probabilidades y de la Estadística. Fue reconocida
por primera vez por el francés Abraham de Moivre
(1667-1754). Posteriormente, Carl Friedrich Gauss
(1777-1855) elaboró desarrollos más profundos y
formuló la ecuación de la curva; de ahí que
también se la conozca, más comúnmente, como
la “Campana de Gauss”.
Función de probabilidad
Se ha encontrado experimentalmente que la función
de distribución normal describe satisfactoriamente
aquellos sistemas en los que las mediciones en estudio
vienen afectadas por un número grande de errores que actúan todos independientemente.
Gráfica de la función de
probabilidad de la
Distribución Normal
Características función de
probabilidad de la
Distribución Normal a. Forma acampanada.
b. Asintótica respecto al eje X.
c. Es unimodal ya que solo tiene un valor máximo
en el que coincide la media , mediana y la
moda.
d. El punto central en la distribución es la media e
indica la posición de la campana (parámetro de
centralización); mientras que las distancias de la
media se expresan en función de la desviación
estándar ya que es el parámetro de dispersión.
Características función de
probabilidad de la
Distribución Normal
e. El área bajo la curva representa la
probabilidad de que ocurra una observación
dentro de los límites del área.
f. El área total bajo la curva se considera igual a la
unidad.
g. Este valor indica la proporción de la población
que se encuentra en determinados intervalos
centrados en la media.
Observación
Estos dos parámetros μx y σ2 coinciden
además con la media (esperanza) y la
varianza respectivamente, es decir:
E(X) = μx y V(X) = σ2
La forma de la función de densidad es la
llamada campana de Gauss.
Observación
Si una variable aleatoria X tiene una distribución
normal y queremos calcular la probabilidad de
que X caiga entre dos valores a y b entonces, se
debe hallar el área debajo de la curva entre a y
b; es decir, se debe integrar de la siguiente
manera:
Distribución normal estándar
Sea X una variable aleatoria continua que se
distribuye normalmente X ~ N(μx; σ2), esta
variable se puede transformar en otra variable
normal con media 0 y varianza 1, la cual se le
conoce como Distribución Normal Estándar y
se representa por Z.
La estandarización de cualquier normal es de
la siguiente manera:
Característica de la
Distribución normal estándar
El valor esperado o media es 0 y la
varianza 1, es decir: E(Z) = 0 V(Z) = 1
Esta distribución es simétrica respecto a su
media
La gráfica es asintótica respecto al eje
de abscisas
Usando la Distribución Normal
Ejemplo:
Si X ~ N(15;4). Calcular
A) P(X ≤ 16)
B) P(X > 14,5)
Solucion:
A)
𝑝(𝑥 ≤ 16) = 𝑝𝑥−𝑢𝑥
𝜎𝑥≤
16−15
2 = P(Z ≤ 0,5) =
F(0,5) = 0,69146
B) 𝑝(𝑥 > 14,5) = 𝑝𝑥−𝑢𝑥
𝜎𝑥>
14,5−15
2=P(Z > –0,25) =
P(Z < 0,25) = F(0,25) = 0,59871
UTILIZANDO TABLAS
ESTADISTICAS
Ejercicio
En el laboratorio de química, se realizó estudios
acerca de la duración de unas laminillas de
acero sumergidas en el agua. Los resultados
mostraron que la duración de dichos productos
están distribuidos normalmente con una
duración media de 491 horas y una desviación
estándar en la duración de dichas laminillas , de
5 horas. Calcular la probabilidad de que las
laminillas tengan una duración comprendida
entre 480 y 500 horas.
Aproximación de la binomial a la normal
Una variable aleatoria discreta con distribución
binomial se puede aproximar mediante una
distribución normal si n es suficientemente
grande y p no está ni muy próximo a 0 ni a 1.
Como el valor esperado y la varianza de X son
respectivamente np y npq, la aproximación
consiste en decir que:
Aproximación de la binomial a la normal
Cuando ocurren las condiciones anteriores, la gráfica de la distribución Binomial, es muy parecida a la distribución Normal, por lo que es adecuado calcular probabilidades con la Normal en lugar de la Binomial y de una forma más rápida.
Ejercicio
Si 35% de los productos manufacturados en
cierta línea de producción son defectuosos,
¿cuál es la probabilidad de que entre los
siguientes 1000 productos
manufacturados en esa línea
a. Menos de 354 productos sean
defectuosos?
b.Entre 342 y 364 productos sean
defectuosos?
Distribuciones relacionadas
con la normal, distribuciones
para muestras pequeñas
La teoría de la distribución normal se desarrolla a
partir de tamaños de muestra suficientemente
grandes, generalmente mayores a 30
observaciones y no aplicable a muestras
pequeñas.
En el laboratorio no podemos permitirnos la libertad de realizar un gran número de observaciones y, por ello, las pruebas de hipótesis estadísticas basadas en la distribución normal llevarían al químico a falsas conclusiones.
El hecho fue reconocido por W. S. Gosset, un químico irlandés que en 1908 publicó, bajo el pseudónimo de Student, un trabajo titulado “El error probable de una medida”. En parte por consideraciones teóricas y en parte por el uso de muestras aleatorias, obtuvo la distribución teórica del promedio de tamaños de muestra pequeñas (n< 30), ajustada a una distribución normal.
Distribución X2 (Chi-cuadrado)
Tiene un sólo parámetro denominado grados
de libertad.
La función de densidad es asimétrica positiva.
Sólo tienen densidad los valores positivos.
La función de densidad se hace más simétrica
incluso casi gaussiana cuando aumenta el
número de grados de libertad.
Normalmente consideraremos anómalos
aquellos valores de la variable de la
“cola de la derecha”.