probabilidades congraficos
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ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
2
IDEN
TIFIC
AR,D
ISTIN
GUIR,
DEFIN
IRC
ALC
ULA
RC
ALC
ULA
R,IN
TER
PRETA
RC
ON
STRU
IR,T
RA
DU
CIR
ORGA
NIZA
R,IN
TERP
RETA
R,CA
LCUL
ARID
ENTIF
ICAR
,DIST
INGU
IR,DE
FINIR
RESOLVER PROBLEMAS
Relativosporcentuales
Diagramapoligonal
Diagramade barras
Diagramade sectores
Datos Absolutos
Tablas
Gráficas Infograma
ÍndicesTasas
Población Atributos Frecuenciaabsoluta
FrecuenciarelativaVariables
Parámetros
Moda
Mediana
Media
Recorrido
Muestra
Sucesos Imposible Seguro
ProbablePosible
Elementales
Compuestos
Equiprobables
Probabilidad
???
5
• Hoy en día es muy común observar datos y gráficas quenos hablan de temas relacionados con la Estadística y laProbabilidad en muchos ámbitos de la vida diaria.
Observa estos gráficos y dibujos y comenta las informa-ciones que veas a ellos asociadas.
DATOS Y TABLAS
6
1ACTIVIDAD
En esta tabla se recogen los resultados del torneo de aje-drez desarrollado con 10 jugadores. Todos los jugadoreshan jugado con todos solamente una vez.
En cada casilla aparece un valor que puede ser 0, 0,5, 0,1,según se anote pérdida, empate o triunfo.
- ¿Cuál es el resultado de la partida jugada por Rivas y Judasin?
- ¿Cuál es la puntuación total obtenida por Morozevich?
- ¿Qué jugador ha empatado más veces?
- ¿Quién ha perdido más partidas?
- ¿Quién ha ganado más partidas?
- ¿Cuál es la puntuación de J. De la Villa?
- Completa la tabla, añadiendo una columna a la derechapara el total de puntos obtenidos.
- Clasifica a los jugadores según el número de puntosobtenidos.
- ¿Cuántos puntos le ha sacado el que más puntos ha con-seguido al que menos ha logrado?
Número 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 0,5 1 0 1 0,5 1 0,5 0 1
2 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
3 0 0,5 0 1 0 0,5 0,5 0 0,5
4 1 0,5 1 1 1 1 1 0,5 0
5 0 0,5 0 0 0 0,5 0 0,5 0,5
6 0,5 0,5 1 0 1 1 0,5 0,5 0,5
7 0 0,5 0,5 0 0,5 0 1 0 1
8 0,5 0,5 0,5 0 1 0,5 0 0 0
9 1 0,5 1 0,5 0,5 0,5 1 1 0,5
10
Jugadores
V.Topalov
L. Judasin
V. Korchnoi
A. Morozevich
M. Rivas
J. Magem
L. Comas
Z. Franco
V. Zujaginsev
J. De la Villa 0 0,5 0,5 1 0,5 0,5 0 1 0,5
ANÁLISIS
DATOS Y TABLAS
7
2ACTIVIDAD
Otoño lluvioso
La tabla “Otoño lluvioso” que presentamos a continuaciónes una tabla rectangular 11 x 12 que contiene 132 casillasy alguna de ellas tiene dos datos. Toda esta informaciónsería inmanejable en un texto narrado.
- Selecciona cinco datos de esta tabla e indica su significado.
- ¿En qué lugar y mes se ha dado la temperatura mediamáxima más alta?
- ¿En qué lugar y mes se ha dado el mayor número de díascon temperatura mínima menor que 7 ºC?
- ¿En qué lugar, mes y día se ha recogido la mayor precipi-tación total?
Haz un pequeño informe con el clima de las diversas regio-nes, teniendo en cuenta la temperatura máxima y mínima.
- ¿En qué zona y mes ha llovido menos días?
- ¿En qué zona y mes ha llovido más días?
ANÁLISIS
SEPTIEMBRE-NOVIEMBRE 1993
Temperatura máxima absolutaDía
27,03
21,011
18,55
3,530
1,030
-5,517
20,1 14,3 11,7
8,8 8,3 0,7
14,4 10,5 6,2
0 0 0
8 15 25
30,022
23,54
14,530
101,5 71,4 46,5
12 13 8
19,58
14,010
18,017
ÁLAVA (Arkaute)
Temperatura mínima absolutaDía
Media de máximas
Media de mínimas
Media de estación
Número de días con T>30 ºC
Número de días con T<7 ºC
Máxima precipitaciónDía
Precipitación total (mm de agua)
Número de días de precipitación
Máxima oscilación térmicaDía
SEP OCT NOV
32,33
22,511
20,94
3,828
3,725
-2,716
23,4 15,3 12,2
15,2 7,5 3,3
19,3 11,3 8,0
3 0 0
4 13 22
36,521
8,711
10,930
62,7 55,0 19,4
17 23 9
21,12
13,420
15,616
ÁLAVA (Rioja alavesa)
SEP OCT NOV
21,011
24,510
21,51
8,330
4,127
0,17
21,5 17,4 15,1
12,9 10,6 5,7
17,2 14,0 10,4
0 0 0
0 2 18
29,525
11,42
18,96
91,7 79,2 66,3
17 21 12
14,612
12,330
14,917
BIZKAIA (Sondika)
SEP OCT NOV
29,720
25,311
23,31
10,028
6,027
1,216
21,3 18,3 15,3
13,9 11,1 7,2
17,9 14,7 10,9
0 0 0
0 5 14
53,021
23,31
25,56
210,2 122,4 97,4
17 21 11
14,720
11,930
12,717
GIPUZKOA (Donostia)
SEP OCT NOV
Fuente: Datos propios y del Servicio Vasco de Meteorología.
INVESTIGACIÓN
FOTO
La tabla nos permite:- Acceder de forma rápida a cualquier dato.- Comparar valores.- Valorar los datos y establecer conjeturas o
apreciaciones.
GRÁFICAS - DIAGRAMAS POLIGONALES
8
3ACTIVIDAD
La ocupación del museo
Observa este gráfico.Te resultará familiar, pues lo has vistoen muchos lugares. En este gráfico se representa el núme-ro de personas que hay en un museo a distintas horas deldía.
- Construye una tabla que recoja los datos del gráfico.
- ¿A qué hora ha sido máxima la ocupación del museo?
- ¿Cómo ha evolucionado la ocupación del museo a lolargo de la mañana?
- ¿En qué intervalo de tiempo ha sido máxima la variaciónde ocupantes? ¿Ha sido ésta positiva o negativa?
- Imagina que la siguiente tabla recoge el número de ocu-pantes del museo otro día cualquiera:
- Construye el diagrama correspondiente a los nuevosdatos. Puedes copiar también en el mismo papel el dia-grama superior de esta hoja. Compara los diagramas, yrealiza un comentario sobre la distinta ocupación uno uotro día.
100
200
300
400
500
600
700
800
10 h 11 h 12 h 13 h 14 h
Número de personasen el museo
Hora
ANÁLISIS
A este tipo de diagrama cartesiano se le llama diagra-ma poligonal.
10 h 11 h 12 h 13 h 14 h
150 300 400 350 200
100
200
300
400
500
600
700
800
0 2 3 4
Número de personasen el museo
Hora
GRÁFICAS - DIAGRAMAS POLIGONALES
9
El siguiente gráfico presenta la evolución de la incidenciadel virus del SIDA en la Comunidad Foral de Navarradurante un cierto periodo de tiempo.
- Las observaciones realizadas, ¿a qué intervalos de tiempocorresponden? ¿Cuál es, en consecuencia, la unidad detiempo considerada?
- ¿Qué representan las tres series de tiempo superpuestas?
- ¿Cuál es el periodo de tiempo en el que ha habido unmayor descenso de infección por VIH?
- ¿Qué año registra el mayor número de muertes?
- Elabora una tabla que recoja la información presentadaen el gráfico. Amplia la tabla añadiendo la relación por-centual existente entre:
Los casos de SIDA (desarrollar la enfermedad) y lasmuertes y el número de enfermos en cada una de lasobservaciones realizadas.
En la siguiente dirección de Internet tienes informaciónestadística de todo tipo, referente a la Comunidad Autó-noma del País Vasco.
www.eustat.es
En esta otra tienes información estadística sobre Navarra.
www.nafarroa.net
Consulta esas fuentes de información, busca datos, y pre-para un pequeño informe sobre un tema de tu gusto.
3ACTIVIDAD
50
100
150
Infección por VIH171
147
136
94
86
62
4135 33
8391
75
43 41
33
22
13
87
37
57 54 63
27
1319
11
8
Casos de SIDA
Muertes
1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
Evolución del virus del SIDA en la Comunidad Foral NavarraFuente: Gobierno de Navarra
INVESTIGACIÓN
ANÁLISIS
4GRÁFICAS - DIAGRAMAS DE BARRAS
10
ACTIVIDAD
- Construye una tabla que recoja estos datos.
- ¿A qué intervalo corresponde el mayor número de per-sonas?
- ¿Cuántos hay en ese colectivo que miden más de 1,80 m?
- ¿Cuántos hay en ese colectivo que miden menos de 1,70 m?
- ¿Cuántos hay que miden entre 1,60 y 1,90 m?
- ¿Cuántos hay que sean más altos que 1,90 m o más bajosque 1,60 m?
- Imagina que la siguiente tabla indica la altura de un colec-tivo de 60 personas.
- Copia en el cuaderno el diagrama del dibujo superior, yen el mismo lugar construye el diagrama de barras quecorresponde a los nuevos datos con otro color. Compa-ra los diagramas, y realiza un comentario sobre las altu-ras de uno y otro colectivo.
ANÁLISIS
La altura de la población
El gráfico que tienes a continuación muestra la altura de uncolectivo de 50 personas.
5
10
15
20
25
1,50
Número depersonas
Altura(m)
1,60 1,70 1,80 1,90 2,00
2 5 25 12 6
Un diagrama de barras es un diagrama cartesiano quese utiliza cuando en el eje x se representan intervalos,de manera que da lugar a rectángulos o barras, y no alíneas como el diagrama poligonal.
1,50a
1,60 m
160a
1,70 m
1,70a
1,80 m
1,80a
1,90 m
1,90a
2,00 m
4 8 30 12 6
GRÁFICAS - DIAGRAMAS DE BARRAS
11
- ¿En qué parte del mundo es mayor el consumo porcen-tual de agua para la agricultura?
- América del Norte y Europa consumen más agua queAmérica Latina y El Caribe, pero las barras del diagramason más cortas. ¿Por qué?
- La suma de los porcentajes correspondientes a cadaregión del mundo da como resultado 100. ¿Por qué?
- Completa la siguiente tabla. Ordena en orden decreciente.
- Indica alguna consecuencia que seas capaz de extraer deesta información.
4ACTIVIDAD
50
100
Mundial África CIS y losEstadosBálticos
CercanoOriente
Asia AmericaLatina y
El Caribe
Americadel Norte
Europa
Extracción de agua por región y por sector en %
60
70
80
90
40
30
20
10
0
Agricultura Doméstico Industria
ZonaConsumo % de agua parael consumo doméstico.
El siguiente texto y gráfico está extraído de la dirección deInternet.
www.fao.org
Analízalo con detenimiento.
Hasta el 90 por ciento de agua que se extrae para el sumi-nistro doméstico vuelve a los ríos y acuíferos como aguaresidual. La industria consume aproximadamente el 5 porciento del agua extraída. Las aguas residuales del alcantari-llado doméstico e industrial tienen que ser tratadas antesde verterse a los ríos, y, en lo posible, deben ser utilizadas,aunque a menudo están muy contaminadas.
ANÁLISIS
INVESTIGACIÓN
GRÁFICAS - PIRÁMIDES DE POBLACIÓN
12
5ACTIVIDAD
- Analiza en primer lugar cómo está construido este dia-grama.
Como puedes apreciar, a cada lado del eje central se repre-sentan datos de las poblaciones femenina y masculina.
Si miras atentamente por separado las representacionesde la población en ambos sexos, cada uno de ellos es undiagrama de barras, con la particularidad, en este caso, deque sobre cada barra se distinguen las personas inactivas,paradas y ocupadas.
- Elige un tramo de edad, e indica qué miles de personasde los tipos se corresponden a ese nivel de edad.
- En el mismo tramo de edad, pero en mujeres, ¿cómo sedistribuye la población femenina? ¿Cómo interpretas estainformación? ¿Crees que puede considerarse a las muje-res ama de casa inactivas?
- En la barra correspondiente a hombres con edad entre25-29 años, ¿qué parte o fracción representan los para-dos, aproximadamente?
- A la vista de esta representación ¿en qué tramo de edadempieza a distinguirse la población activa, inactiva y parada?
La denominación de “pirámide” con la que se caracteri-za este tipo de diagrama, se ha consolidado en los estu-dios de población, ya que durante mucho tiempo la quecorrespondía a los primeros intervalos de edad solía sermayor:
- En el eje horizontal se representa la población en milesde personas.
- En el vertical se colocan intervalos de edad, en estecaso de 5 en 5 años. Observa que se trata de dos dia-gramas de barras, uno para mujeres y otro para varo-nes.
- Las pirámides de población son un tipo especial de dia-gramas de barras, en el que se invierten los ejes x e y.
ANÁLISIS
Inactivos
0-4
1000
5-910-1415-1920-2425-2930-3435-3940-4445-4950-5455-5960-6465-6970-7475-7980-84
85 y más
1400 600 200 0 200 600 1000 1400
ParadosOcupados
HOMBRES MUJERES
Miles de personas
Año
s de
eda
d
Poblaciónparada
Poblacióninactiva
Poblaciónactiva
050
100150
200250
30035050
100150
200250
300350
050
100150
200250
30035050
100150
200250
300350
Varones Mujeres Varones Mujeres
Proyección del 31-12-1995 Proyección del 31-12-2025
En miles de personas
Edad
es
Edad
es
GRÁFICAS - PIRÁMIDES DE POBLACIÓN
13
Una pirámide que envejece
Las dos pirámides de población que puedes ver a continua-ción representan la situación en 1995 y la proyección o pre-visión para el año 2025.
- Comparando la pirámide del año 1995 y la prospecciónpara el año 2025, ¿cómo interpretas el progresivo estre-chamiento de “la base” de la pirámide?
- Teniendo en cuenta la información que aporta la pirámidecorrespondiente al año1995 y la prospección para el año2025, ¿crees que la proporción de personas entre 20 y 35años va a ser semejante a la actual? Razona la respuesta.
- ¿Qué influencia tendrá la creciente emigración a la hora dealterar las previsiones para el 2025?
- ¿En qué tramos de edad será más necesaria la asistenciasocial en el año 2025?
Internet
En la dirección de Internetwww.eumed.net/cursecon/2/piramides_de_población.htmtienes la información sobre pirámides de población demuchos países.
Escoge algunas, y prepara un informe señalando:
- Los países elegidos.
- Las características de la población en cada una de ellos.
- La diferencia entre esos países y las razones de las mismas.
5ACTIVIDAD
INVESTIGACIÓN
GRÁFICAS - INFOGRAMAS
14
6ACTIVIDAD
Observa, con atención, el siguiente diagrama.
Los infogramas son diagramas que se sirven del dibujopara hacer más atractivo y fácil el acceso a la información.
- Si observas con atención, podrás ver que la suma de losvalores que corresponden a los diferentes tipos de refres-cos no se corresponde con el total. En estas situaciones sesuele crear una nueva categoría, denominada “otros tipos”.
Completa la siguiente tabla, indicando los valores en litros.
- Indica el consumo de refrescos de limón en la franja deedad de 20-29 años.
- Indica en qué franja de edad es máximo el consumo derefrescos.
- Indica en qué franja de edad es máximo el consumo decolas.
ColasNaranjasLimónOtrosTotal
6 – 11 años6,519,433,841,9101,6
12 – 19 años 20 – 29 años 30 – 39 años
- La información relativa al “consumo de bebidas refrescan-tes” en el tramo de edad 12-19 años advierte que el con-sumo de naranjada por persona y año es de 27,9 litros.¿Crees que esto quiere decir que todas las personas deesas edades consumen dicha cantidad de refresco?
¿Qué quiere poner de relieve este infograma?Exprésalo mediante un texto breve que recoja la infor-
mación que aporta la representación gráfica.
De 6 a 11 años De 12 a 19 años De 20 a 29 años De 30 a 39 años
Total debebidasrefrescantes
Colas
Naranja
Limón
Mercado de bebidas refrescantesConsumo estimado per cápita y grupo de edad(litros por persona y año)
EXPRESIÓN PORCENTUAL DE LOS DATOS
15
- Construye las correspondientes tablas, y calcula los por-centajes de consumo que corresponden a otras franjas deedad.
- Una vez que tengas esos datos, compara los consumosrelativos o porcentajes de consumo de los diferentesrefrescos a distintas edades.
- ¿En qué tramo de edad es mayor el consumo relativo derefrescos de naranja?
- ¿En qué tramo de edad es menor el consumo relativo derefrescos de limón?
- Completa una única tabla, recogiendo todos los datos. Lasuma de porcentajes de las columnas da 100. ¿Por qué?
6ACTIVIDAD
En muchas situaciones, más interesante que conocer losdatos en sí, resulta conocer el porcentaje o fracción queestos representan con relación a un total.
Así, si queremos saber en qué fracción de edad se consu-men relativamente más refrescos de cola, no basta consaber los datos en sí.
Dado que estos valores se refieren a totales diferentes, losignificativo es saber qué porcentajes suponen estos valo-res con relación al total.
Si observamos los valores absolutos de consumo en lafranja 12-19 y 20-29, parecen muy similares: 86,7 y 80,9litros.
Los valores relativos que indican el porcentaje de ese con-sumo con relación al total de esa edad ya son bien distin-tos: 61,6% y 49,9%.
En muchas situaciones los valores relativos son más signifi-cativos que los absolutos.
Refrescos de cola6 – 11 años
33,812 – 19 años
86,720 – 29 años
80,930 – 39 años
26
Refrescos de
cola en %
6 – 11 años
33,8101,6
x 100 33,3%=
12 – 19 años
86,7140,8
x 100 61,6%=
20 – 29 años
80,9162,2
x 100 49,9%=
30 – 39 años
2671
x 100 36,6%=
EJERCICIOS
Para calcular el porcentaje que una parte representacon relación a un todo, basta con dividir la parte porel todo y multiplicar por 100.
- ¿Qué parte es 12 con relación a 49?
- ¿Qué porcentaje representa 12 con relación a 49?
1249
0,24=
1249
x 100 24%=
EXPRESIÓN PORCENTUAL DE LOS DATOS - TASAS
16
7ACTIVIDAD
La siguiente tabla indica la tasa de natalidad en la ComunidadAutónoma del País Vasco entre los años 1990 y 2000.
EUSTAT SERIE. NACIDOS VIVOS Y TASAS DE NATALIDAD
- Imagina que estás en un pueblo de 35.000 habitantes.¿Cuántos nacimientos puedes esperar que se produzcan?
- Observa cómo ha ido cambiando la tasa de natalidad en elconjunto de la CAPV y realiza un comentario valorativo.
- ¿Existen diferencias significativas en torno a estos valoressegún se observen los datos de una u otra provincia?
- ¿En qué año y provincia ha sido máxima esa tasa?
- ¿Cuántos nacimientos se han dado por cada 1.000 habi-tantes en Bizkaia en el año 1995?
- ¿Te atreverías a pronosticar qué sucederá con esa tasasobre a 2006?
CAPVNACIDOS TASA
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996 (a)
1997 (a)
1998 (a)
1999 (a)
2000 (a)
16.361 7,8
16.228 7,7
16.250 7,7
15.801 7,5
15.248 7,3
15.322 7,3
15.987 7,6
16.325 7,8
16.113 7,7
16.787 8,1
17.316 8,4
Araba/ÁlavaNACIDOS TASA
2.290 8,4
2.276 8,3
2.221 8,0
2.239 8,1
2.024 7,2
2.082 7,4
2.249 8,0
2.226 7,9
2.249 7,9
2.321 8,2
2.487 8,7
BizkaiaNACIDOS TASA
8.724 7,5
8.557 7,4
8.587 7,5
8.203 7,1
7.991 7,0
7.879 6,9
8.148 7,1
8.333 7,3
8.216 7,3
8.599 7,7
8.818 7,9
GipuzkoaNACIDOS TASA
5.347 7,9
5.395 8,0
5.442 8,0
5.359 7,9
5.269 7,8
5.361 7,9
5.590 8,3
5.766 8,5
5.648 8,4
5.867 8,8
6.011 9,0
(a) Tasas provisionales
¿Serías capaz, utilizando estos datos, de calcular elnúmero de habitantes de cada provincia y del total de laCAPV?
La tasa de natalidad indica por lo tanto el número depersonas nacidas por cada 1.000 habitantes.
Así, una tasa de natalidad de 7,9 indica que por cada 1.000habitantes nacen 7,9 cada año.
ANÁLISIS
EXPRESIÓN PORCENTUAL DE LOS DATOS - ÍNDICES
17
8ACTIVIDAD
Lee con atención los datos contenidos de esta tabla.
En la siguiente tabla se toma el dato correspondiente a unaño, en este caso 1994, como valor de referencia, y se lehace corresponder el número 100. Para poder comparar elresto de los valores con el referente 100, tendremos quetransformarlos, calculando los porcentajes correspondientes.
El cálculo del índice se hace comparando proporcionalmente.
23.292 x 10020.830
111,9=X =
Si 20.830 100 %
23.292 X
17.800 x 10014.902
119,45=X =
Si 14.902 100 %
17.800 X
- Completa la tabla, calculando los índices que faltan.
- Si revisas la columna de “índices de CDs”, ¿en qué momen-to comienza a disminuir dicho índice y en cuántos “puntos”?
- ¿Qué significado otorgas al dato 92,2% en los “índices decasetes”?
- El índice de ventas de casetes en el 2000 en relación con lasventas de 1994 ha disminuido en 64,9 “puntos” (100-35,10).Comprueba, a partir de los valores absolutos, si este dato escorrecto.
ANÁLISIS
CDs(en miles)
Casetes(en miles)
ÍndiceCDs %
Índicecasetes %
1994 20.830 14.902 100 100
1995 23.292 17.800 111,82 119,45
1996 27.240 20.563 …………… 137,99
1997 23.572 18.105 113,16
1998 23.142 16.611 …………… 111,47
1999 21.260 9.649 …………… ……………
2000 19.206 5.230 …………… ……………
- Haz un pequeño informe valorativo sobre la evo-lución de esas ventas en el periodo indicado.
- Compara los datos correspondientes a 1994 y 1998 envalores absolutos y en índices e interpreta el hecho deque, siendo la variación absoluta bastante diferente, lavariación de los índices es casi la misma.
52 %
8 %9 %
21 %
10 %
Sin hijos 1 hijo 2 hijos
3 hijos Más de 3 hijos
GRÁFICAS - DIAGRAMAS DE SECTORES
18
9ACTIVIDAD
1/ Observa con atención el siguiente diagrama:
Estos diagramas muestran datos relativos a la ocupación de lapoblación en el transporte.
- ¿Cuál es el porcentaje de la población ocupada que se dedi-ca al transporte? ¿Y el porcentaje de la población que sededica a otra ocupación?
- Suponiendo que la población activa de ese país es de2.500.000 personas, ¿cuántas se ocupan en el sector deltransporte?
- ¿Cuántas personas están ocupadas en el sector del trans-porte?
- Teniendo en cuenta este último dato, calcula el número depersonas empleadas en el transporte terrestre.
- Si el transporte terrestre se divide en transporte por carre-tera y por tren, ¿cuál es el porcentaje del transporte portren con relación al terrestre?
- ¿Cuántas personas emplea el transporte por tren?
El siguiente diagrama de sectores proporciona informaciónrelativa al número de hijos por familia en un municipio.
Si en ese municipio hay 650 familias, indica el número deellas que:
- no tienen hijos.- tienen 1 hijo.- tienen 2 hijos.- tienen 3 hijos.- tienen más de 3 hijos.
EMPLEO Datos nacionales
Población ocupada
4,6 % Sector transporte
Empleo en el sector transporte
76 % Transporte terrestre
Transporte terrestre
69 % Transporte por carretera
Empleo en el sectortransporte por sexos
4 % mujeres96 % hombres
ANÁLISIS
GRÁFICAS - DIAGRAMAS DE SECTORES
19
En la actividad anterior hemos trabajado la lectura de undiagrama de sectores. En ésta queremos explicar cómose construye.
Lo más habitual es partir de una tabla que contiene lainformación en forma porcentual. En caso contrario, hayque calcular los porcentajes correspondientes. Cojamoslos datos del consumo de diversos tipos de refrescos enla edad de 6-11 años.
Construir un diagrama de sectores consiste en dividir elcírculo en sectores proporcionales a los porcentajes.Equivale a dividir el ángulo central (360º) de maneraproporcional a 6,4; 19,4; 33,8 y 41,9.
10ACTIVIDAD
Colas
6 – 11 años
6,5 l
%
Colas Naranja
Limón Otros
19,4 %
33,2 %
41,9 %
6,4 %6,5
101,6x 100 6,5%=
Naranja 19,4 l19,4101,6
x 100 19,1%=
Limñon 33,8 l33,8101,6
x 100 33,2%=
Otros 41,9 l41,9101,6
x 100 41,2%=
Total 101,6 l 100 %
Colas 360c
Si 1006,4
Colas Naranja
Limón Otros
69,8º
23,04º
150,84º
119,5º
360 x 6,4100
c = 23,04º=
Naranja 360n
Si 10019,4
360 x 19,4100
n = 69,8º=
Limon 360l
Si 10033,2
360 x 33,2100
l = 119,5º=
Otros 360o
Si 10041,9
360 x 41,9100
o = 150,84º=
1/ Construye los diagramas de sectores que correspon-den a los consumos de refrescos en las otras franjas deedad.
2/ Datos sobre el origen de inmigrantes.
Construye un diagrama de sectores que representeesta información
GRÁFICAS - DIAGRAMAS DE SECTORES
20
10ACTIVIDAD
3/ Datos sobre el número de turistas (en miles de perso-nas) que llegan a una ciudad en un mes, según los dife-rentes tipos de transportes.
Construye el diagrama de sectores correspondiente aestos datos.
4/ Datos sobre el número de televidentes (en cientos demiles de personas), según los tipos de programas en unfin de semana.
5/ Datos sobre la producción ganadera anual de una regiónen miles de cabezas de ganado.
Construye el diagrama de sectores correspondiente aestos datos.
Construye el diagrama de sectores correspondiente aestos datos.
EJERCICIOS
12 – 19
Colas
Naranja
Limón
Otros
Total
%
20 – 29
Colas
Naranja
Limón
Otros
Total
%
30 – 39
Colas
Naranja
Limón
Otros
Total
%
OrigenAmérica
latinaMagreb
Este deEuropa
Otros
% 35 % 27 % 18 % 20 %
Deporte Cine Informativos Concursos Otros
50 20 42 18 36
Avión Carretera TrenOtrosmedios
14 80 9 15
Bovina Ovina Porcina Avícola
14 9 6 25
DATOS - TABLAS Y GRÁFICAS
21
11ACTIVIDAD
Las tareas que te proponemos en esta actividad tienen porobjetivo repasar lo aprendido en las anteriores.
La siguiente tabla gráfica muestra el estado de salud de lapoblación en los años 1992 y 1997 en el ámbito de laCAPV (Comunidad Autónoma del País Vasco).
- Construye un diagrama de sectores que representeestos datos. Uno para el año 1992 y otro para el año1997.
- Toma como 100 el número de personas con cada tipode situación de salud en el año 1992, y calcula los índicesde mejora o empeoramiento de la situación en el año1997.
- Haz un pequeño informe de cómo evolucionó la situa-ción en 5 años.
Salud detectada. Población de 16 años y más (%) CAPV
10
0
20
30
40
50
60 Agricultura Doméstico
Muy buena Buena Normal Mala Muy mala
- Completa la siguiente tabla.
SÍNTESIS
Habitantes estimados en la CAPV
2.800.000
Muy buena
92 97
Buena
92 97
Normal
92 97
Mala
92 97
Muy mala
92 97
El siguiente diagrama de sectores muestra la evolución dela población rural y urbana en el Ecuador.
DATOS - TABLAS Y GRÁFICAS
22
12ACTIVIDAD
- Representa estos índices en un diagrama poligonal en elque se sitúen en el eje x los años y en el y los índices.Utiliza un color para cada tipo de índice.
- Haz un pequeño informe, comentando la evolución delos dos tipos de la población.
- La población del Ecuador en el año 2001 era de12.156.608 personas. Calcula el número de personasque habitan en zonas rurales y urbanas.
- Si tomas los datos de 1950 como 100, indica los índicesde crecimiento y de decrecimiento de cada tipo depoblación.
SÍNTESIS
29 %
71 %
35 %
65 %
41 %59 %
51 % 49 % 45 % 55 %39 %
61 %
1950 1962 1974 1982 1990 2001
Censos: 1950-2001
EVOLUCIÓN DE LA POBLACIÓN URBANA Y RURAL www.inec.gov.ec
rural urbana
Poblaciónrural
Poblaciónurbana
Indice P. rural
Indice P. urbana
1950 29 71
1962 35 65
1974
1982
1990
2001
20
40
60
80
100
1950 1962 1974 1982 1990 2001
POBLACIÓN - CARACTERES
23
13ACTIVIDAD
Con esta actividad nos iniciamos en el estudio de la Esta-dística y algunos de sus conceptos básicos.
En una ciudad se va a hacer un polideportivo, y el concejalde deportes desea saber cuáles son los deportes y juegospreferidos de los jóvenes. Para lo cual realiza una encuestaentre chicos y chicas cuya edad está correspondida entre12 y 25 años.
- Se llama POBLACIÓN al colectivo sobre el que se haceel estudio.
• ¿Cuál es la población en este caso?
- Se llama ELEMENTO a cada uno de los componentes dela población.
• Si esa ciudad tiene 8.000 habitantes y el 25% son jóvenesentre 12 y 25 años, ¿cuántos elementos tiene la pobla-ción a estudiar?
• Se llama CARÁCTER a una cualidad o propiedad de loselementos.
- La edad es un carácter en este caso.
- Lo es el género, es decir, ser “chico” o “chica”.
- Los caracteres son de dos tipos:
- Cualitativos o atributos: por ejemplo, el nombre.
• Indica otros atributos de los elementos de esta pobla-ción.
- Cuantitativos o variables: se expresan mediante números.
Por ejemplo, la edad.
• Indica, si las hubiera, otras variables propias de los ele-mentos de esta población.
INVESTIGACIÓN
ANÁLISIS
- Piensa en una cuestión que se pudiera indagar por mediode una encuesta.
Descríbela. Indica luego la población, los elementos y loscaracteres de ambos tipos más relevantes.
- Piensa en otro tema que pudiera indagarse en la mismapoblación.
Indica cuáles serían en este caso los elementos y caracte-res de ambos tipos más relevantes.
Compara las decisiones tomadas en un caso y otro ycomenta las diferencias.
13POBLACIÓN - CARACTERES
24
ACTIVIDAD
1/ Indica cuáles son los elementos de cada una de laspoblaciones siguientes:
a1 Agricultores andaluces
b1 Libros publicados en un país
c1 Jóvenes de una ciudad
d1 Empresas Europeas
Señala para cada una de ellas un carácter a estudiar.
2/ Señala tres caracteres-atributo y tres caracteres-varia-bles, que puedan estudiarse en la población de alumnosde tu clase. Señala las posibles modalidades y la natura-leza discreta o continua de las variables estudiadas.
3/ Pon un ejemplo de carácter cualitativo y otro cuantita-tivo de una población de 50 personas.
4/ En una empresa se estudia la edad, estado civil, númerode hijos y la nacionalidad de los empleados. ¿Cuál es lapoblación y la naturaleza de los caracteres estudiados?
5/ Escribe tres caracteres que puedan estudiarse en lapoblación “coches matriculados en Vitoria”. Indica a quétipo pertenecen.
¿Qué caracteres de los que has escrito son cuantitativosy cuáles cualitativos? ¿Por qué?
6/ Explica un carácter cuantitativo de una población que teinventes.
7/ La gráfica muestra la evolución del censo de Ecuadorentre los años 1958 y 2001. ¿A qué población hacenreferencia estos datos? ¿Cuáles son los caracteres estu-diados y de qué tipo son?
3.202.7574.564.080
6.521.710
8.138.9749.697.979
12.156.608
1950 1962 1974 1982 1990 2001
EJERCICIOS
POBLACIÓN DE 15 Y MÁS AÑOS CON ORDENADOR EN EL HOGAR SEGÚNSEXO, EDAD, NIVEL DE INSTRUCCIÓN Y RELACIÓN CON LA ACTIVIDAD PORTRIMESTRE (%)
POBLACIÓN - CARACTERES
25
13ACTIVIDAD
Población (en miles)
SEXO
VARÓN MUJER
EDAD
15 – 24 25 – 34 35 – 44 45 y más
NIVEL DE INSTRUCCIÓN
PRIMARIO SECUNDARIO SUPERIOR
RELACIÓN CON LA ACTIVIDAD
ESTUDIANTES OCUPADOS INACT. y PARAD.
2002 IV Trimestre 876,4 932,3 238,5 341,2 328,6 900,4 638,3 835,1 335,3 176,9 873,2 758,6
2001
II Trimestre 47,7 42,8 75,1 46,6 55,8 32,7 25,7 51,7 70,8 78,2 54,6 27,0
IV Trimestre 50,0 46,3 76,5 49,4 59,8 35,1 25,8 54,5 75,3 81,5 56,9 30,2
2002
II Trimestre 52,2 45,6 76,8 53,4 61,3 35,4 26,3 54,8 77,7 86,3 57,0 29,4
IV Trimestre 52,7 47,1 75,4 55,3 61,5 36,7 27,1 56,3 76,9 86,7 58,6 31,1
Fuente: EUSTAT. Encuesta de la Sociedad de la Información -ESIFUltima modifcación: 31 de Enero de 2003
8/ La siguiente tabla muestra el equipamiento domésticoen ordenadores.
Indica:
a1 La población a la que hacen referencia estos datos.
b1 Los caracteres estudiados y de qué tipo son.
INVESTIGACIÓN
Se quiere hacer un estudio en tu colegio sobre el equipa-miento en ordenadores de los alumnos. Además de losdatos que aparecen en la tabla del EUSTAT, ¿tú qué otrospedirías? Indica de qué tipo son y por qué los incluirías.
POBLACIÓN - MUESTRA
26
14ACTIVIDAD
Busca información estadística en la prensa o en Internet, yseñala en qué casos población y muestra coinciden y enqué casos no.
1/ ¿Para llegar a esas conclusiones piensas que se consultóa toda la población? ¿Por qué?
2/ ¿Por qué se emplea una muestra en lugar de una pobla-ción? ¿Cómo tiene que ser la muestra para ser válida?Elige una muestra que no sea válida en la población deautomóviles de tu ciudad, e indica por qué.
3/ Explica, con tus propias palabras, qué es población, ele-mento, carácter y variable en un estudio estadístico.
4/ Explica las diferencias y semejanzas entre población ymuestra.
ANÁLISIS
Busca algún caso que conozcas donde puedancoincidir población y muestra, y otro en el que no suce-
da tal cosa.
Como el número de elementos de una poblaciónpuede ser muy grande, resulta complicado considerar-los a todos. Para facilitar el estudio, se elige un subcon-junto de la población que llamamos MUESTRA. Lamuestra debe elegirse de tal manera que nos dé unaidea muy completa de la población. Cuando esto ocu-rre, decimos que la muestra es representativa o válida.
INVESTIGACIÓN
LA OPINIÓN PÚBLICA SOBRE LA ADHESIÓN A LA UE EN LOS PAISES CANDIDATOSEl Eurobarómetro no ha publicado recientemente encuestas de opinión pública sobre la adhesión a laUE en los países candidatos. La frecuencia de los estudios de opinión pública difiere de unos países aotros, pues algunos de ellos realizan controles más regulares.Según los datos del Eurobarómetro de la primavera de 1998, la opinión pública sobre las negociacionespara la adhesión seguía siendo positiva en todos los países de la primera tanda, e incluso había mejoradoen algunos casos. El resto de los países experimentó la misma tendencia positiva, excepto Rumanía.
FRECUENCIA DE UN VALOR
27
15ACTIVIDAD
Se ha realizado una encuesta entre 30 familias sobre elnúmero de sus miembros, obteniéndose el siguiente resul-tado:
1, 2, 3, 1, 3, 4, 4, 3, 1, 5, 4, 4, 6, 5, 7, 4, 5, 2, 3, 2, 4, 3, 7, 4, 3, 4,5, 4, 2, 1
A partir de estos datos puedes elaborar la siguiente tablaestadística:
• Elige, de los diagramas que conozcas, un par de ellos (losque consideres más adecuados para representar estosdatos), y construye esas gráficas.
• En una ciudad próxima se ha repetido la encuesta conlos siguientes resultados: 1, 2, 3, 3, 4, 3, 5, 3, 1, 3, 2, 5, 6, 2,1, 4, 5, 3, 3, 4, 2, 5, 4, 2, 3.
Calcula la frecuencia absoluta, acumulada y relativa quecorresponde a cada uno de estos valores. Compara losresultados de ambas encuestas y coméntalas, indicandoparecidos y diferencias.
ANÁLISIS
N.º demiembros
1
Frecuencia
4
Frecuenciaacumulada
4
Frecuencia relativa
430
x 100 13%=
2 4 8
3 6
4 9
5
6
7 30
INVESTIGACIÓN
Haz un sondeo sobre el mes de nacimiento delos alumnos de tu clase, y elabora una tabla estadísticacon los datos obtenidos, presentando, además de lasfrecuencias absolutas, las relativas y los porcentajes.
IIII
IIII
IIIIIIIIIIIII
La frecuencia absoluta de un valor es el número deveces que se repite.
En el caso de las variables, una vez ordenados los valo-res, la frecuencia acumulada de un valor se calculasumando la frecuencia absoluta de ese valor y las detodos los anteriores.
La frecuencia relativa de cada valor o modalidadindica el valor porcentual de esa frecuencia con rela-ción al número total de valores recogidos y se cal-cula dividiendo la frecuencia absoluta por el númerode elementos de la población, para luego multiplicarpor 100.. Estas frecuencias relativas se expresan entérminos de porcentajes.
PARÁMETROS ESTADÍSTICOS
28
16ACTIVIDAD
Supongamos que los siguientes valores indican las califica-ciones obtenidas por un grupo de 8 alumnos en una esca-la de 1 a 5: 2, 3, 3, 2, 4, 4, 3 y 5.
El estudio de estos datos y de su significado se hace pormedio de una serie de valores numéricos, llamados pará-metros.
En primer lugar están los parámetros centrales:media aritmética, mediana y moda.
Moda: es el valor que se repite más veces; puedehaber más de uno.
En nuestro caso, el 3 es la moda, porque es el valormás repetido, 3 veces.
Moda = 3
Mediana: es el valor que ocupa el lugar central de losdatos una vez ordenados, es decir, 3.
Si el número de datos es impar, coincide con el valor situa-do en medio.
Suma de todos los valores=Media aritmética
Número de ellos
2+3+3+2+4+4+3+5=X
8= 3,25=Media
3+3=
2= 3Mediana
2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 54 4
- En segundo lugar están los parámetros de dispersión.
Por ahora sólo estudiaremos uno: el recorrido.
Recorrido: conjunto ordenado de valores que tomala variable.
En nuestro caso: Recorrido = 2, 3, 4 y 5
- ¿En qué escala califica vuestro profesor las Matemáticas?
- Recoge las notas de una docena de compañeros, y cal-cula la media aritmética, la moda y la mediana, y el reco-rrido de esos datos.
ANÁLISIS
INVESTIGACIÓN
altura media del vado
40 cm.
No se nadar,¿podre pasar sin
ahogarme?
PARÁMETROS ESTADÍSTICOS
29
1/ Una persona que camina por la orilla de un río y queno sabe nadar llega a un vado y ve un cartel que pone:“Altura media del vado 40 cm”. ¿Te parece prudenteque se aventure a cruzar el río por ese lugar?
2/ Queremos adquirir un termómetro digital y en la tien-da observamos que dos termómetros dan distintamedida de la temperatura. El vendedor nos enseña seistermómetros del modelo que hemos elegido y lastemperaturas que marcan son:
18,4 ºC; 18 ºC; 18,3 ºC; 18,2 ºC; 18 ºC; 17,8 ºC; 18 ºC.
¿Qué termómetro elegirías?
3/ Nos interesa comparar el tipo de ocio que desarrollandistintos grupos de jóvenes. Se ha preguntado a dosgrupos de 10 chicos cada uno el número de veces quehan ido al cine en el último año. Las respuestas delgrupo A han sido: 17, 21, 14, 19, 20, 20, 13, 15, 18, 21.Las del grupo B han sido: 14, 11, 15, 9, 18, 7, 12, 16, 13,8. ¿Cuál de los grupos podemos decir que tiene mayorafición al cine?
4/ Las edades de los componentes de un coro de jóvenesson: 18, 20, 18, 21, 16, 19, 17, 18, 15, 22, 19, 23. Calculala edad media aritmética, la mediana y la edad modadel grupo. Indica el recorrido.
5/ Las tallas en centímetros de los nacidos en una sema-na en un hospital han sido: 51, 49, 50, 51, 52, 47, 52, 46,49, 50, 48 y 50. Calcula la talla media, la mediana y lamoda. Indica el recorrido.
6/ Las alturas medidas en centímetros de los alumnos deun curso son: 149, 145, 157, 144, 150, 164, 148, 152,158, 146, 143 y 148. Calcula el recorrido de la variable.
16ACTIVIDAD
PROBLEMAS
1/ Un alumno tiene las siguientes calificaciones en unaescala de 1 a 5: 3, 2, 1 y 1. Para aprobar tiene quesacar 2,5 de media. ¿Cuál es la nota mínima quedebe sacar en el próximo examen?
2/ Un caminante que realiza un trayecto muy largorecorre las siguientes distancias cada día: 12 km, 16km, 19 km, 23 km, 21 km y 19 km. Calcula el kilo-metraje medio recorrido en esos 6 días.Tiene inten-ción de terminar el camino que tiene 400 km en 20días. ¿Llegará a tiempo si sigue la media actual?
En todas las situaciones hasta ahora estudiadas hemosconsiderado que cada valor de la variable se daba unaúnica vez, y, así, para calcular la media, los hemos sumadotodos y el resultado lo hemos dividido por el número devalores.
Pero actuar así es muy costoso cuando hay muchosdatos, y conviene que aprendas un método más rápido.
Supongamos la siguiente situación:
En una clase de 30 alumnos se han obtenido los siguien-tes datos relativos al número de hermanos y hermanas(contando la propia persona):
1, 2, 1, 2, 2, 2, 3, 1, 2, 3, 2, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 4, 2, 2, 3, 2, 1, 4, 1,2, 1, 2, 3, 2
Variable a estudiar :
x = número de hermanos.
Construir una tabla de frecuencias.
- Se multiplican los valores de las variables por las fre-cuencias.
- Se suman todos estos valores: 59.
- Se divide este valor por el número total de valores(30).
La media de un valor x suele representarse de dosmaneras: x y Xm. Nosotros usaremos la segunda: Xm.
La letra griega ∑ (sigma mayúscula) se utiliza para indicarsumas de valores. Por eso se escribe:
x: valor
f: frecuencia
n: número total de casos
Ahora queremos representar estos valores en un dia-grama poligonal.
La media aritmética divide el polígono resultante en dospartes de igual área. Es decir, el área que corresponde alas partes roja y azul son iguales.
17CÁLCULO DE LA MEDIA ARITMÉTICA
30
ACTIVIDAD
∑ f • x= n
Xm
59= 30
Xm = 1,96
x f x • f
1 10 10
2 13 26
3 5 15
4 2 8
total 30 59
15
10
5
1 2 3 4
f
x
Xm = 1,96
CÁLCULO DE LA MEDIA ARITMÉTICA
31
1/ La siguiente lista indica el número de horas de sol queha habido en un mes de treinta días. Calcula la mediade horas de sol en ese mes:
4, 6, 1, 4, 3, 2, 5, 0, 7, 10, 6, 4, 2, 3, 2, 5, 4, 7, 8, 2, 6, 5, 7, 8,4, 3, 5, 4, 9, 10
2/ La siguiente lista indica el número de kilómetros que hahecho un atleta durante un mes de treinta días. Calcu-la la media de kilómetros realizados por día duranteese mes:
8, 12, 9, 10, 8, 0, 10, 12, 8, 16, 8, 0, 10, 9, 7, 11, 9, 8, 10,12, 0, 6, 8, 12, 10, 12, 14, 10, 8, 12
3/ El siguiente gráfico muestra las calificaciones de 0 a 5que se han obtenido en un examen en el que han par-ticipado 70 alumnos. Calcula el valor medio de las cali-ficaciones obtenidas.
Dibuja el valor medio sobre el diagrama, y compruebaque las áreas de las dos partes en las que se divide elpolígono de frecuencias son iguales.
4/ Calcula la media de la siguiente distribución de valoressin cálculo alguno. Razona tu respuesta.
5/ Estas dos tablas muestran el número de piezas de frutaque consume en una semana un grupo de personas de20 a 30 años y otro de 30 a 40 años. Calcula la mediade cada colectivo por separado y compara los resulta-dos. Calcula, luego, la media de todo el colectivo.
17ACTIVIDAD
PROBLEMAS
5
10
15
20
0 1 2 3 5
Número dealumnos
Calificación
4
N.º depiezas
1
Frecuencia
2
2 4
3 12
4 8
5 10
6 6
N.º depiezas
30 – 40 años
1
Frecuencia
1
2 6
3 8
4 12
5 14
6 9
El siguiente diagrama de sectores indica el por-centaje que corresponde al número de televisores quehay en los hogares de una ciudad. Calcula la media quecorresponde a ese valor.
Como ayuda te podemos decir que puedes partir deque el número total de televisores es 100
40 %1 TV
35 %2 TV
5 % 4 TV
15 %3 TV
5 % 0 TV
20 – 30 años
5
10
15
3 4 5 6
f
nº depersonas / vehículo7
Les gustó la pelicula
ESTADÍSTICA
32
18ACTIVIDAD
Las siguientes actividades te pueden servir para repasar lotratado en la última parte destinada a la Estadística.
1/ Para poder acceder a una página Web nos solicitan lossiguientes datos:
- Nombre:
- Dirección:
- Número de teléfono:
- Horas de conexión que deseamos contratar :
Indica cuáles de estos valores son atributos y cuálesvariables.
2/ En un pueblo de 10.000 habitantes se quiere pasar unaencuesta para conocer cuáles son los gustos de sushabitantes para pasar el tiempo de ocio. Con ese fin seeligen 500 personas a las que realizar la encuesta. Indi-ca:
- La población a la que hacen referencia estos datos.
- Atributos o variables piensas que deberían ser tenidos encuenta.
3/ Esta tabla muestra los resultados de una encuesta realiza-da entre 100 personas a la salida de un cine.
Indica: Población, muestra, atributos y variables estudiadas.
4/ Los siguientes datos indican el número de clientes queatiende un médico en el ambulatorio cada día durante unmes.
20, 18, 21, 17, 20, 22, 21, 20, 18, 17, 22, 21, 10, 21, 20, 22, 21,19, 22, 20, 18, 19, 20, 22, 16, 20, 18, 17, 16, 18
- Construye una tabla, y calcula las frecuencias de cadavalor, las frecuencias acumuladas y las relativas o porcen-tuales.
5/ Cuando se trata de medidas de precisión es bastante habi-tual utilizar valores medios. Por ejemplo: en un catálogo deartículos de ferretería se da como valor del peso de undeterminado tornillo 5,70 g. Un ferretero se ha entreteni-do en pesar con su balanza de precisión siete tornillos y haencontrado los siguientes valores: 5,77; 5,70; 5,71; 5,72;5,74; 5,72; 5,70. ¿Crees que es aceptable la estimación delcatálogo?
6/ Se ha calculado el precio de la comida del mediodía parauna familia a lo largo de la semana.Evidentemente,este cál-culo está realizado sobre la base del precio más importan-te de la comida y estimando los ingredientes y comple-mentos utilizados. De cualquier forma, a ella le interesasaber el precio medio de la comida del mediodía teniendoen cuenta los siguientes datos:
Lunes 5,7 €
martes 7,2 €
miércoles 7,5 €
jueves 5,6 €
viernes 8,1 €
sábado 6,4 €
domingo 6,8 €
- Calcula el gasto medio por día.
- Si este gasto medio se mantiene, ¿cuánto se gastará en 4semanas?
SÍNTESIS
Cuantas vecesvan al cine al mes
Edad
6
NO
4
20 10
15 18
17 10
– 10 años
10 – 20años
20 – 40años
> 40años
2
3
3
4
SI
ESTADÍSTICA
33
7/ Los siguientes datos representan el número de niños naci-dos por semana durante las últimas 20 semanas en unpueblo de 20.000 habitantes: 3, 5, 2, 1, 4, 6, 4, 3, 3, 2, 4, 3, 1,2, 0, 2, 2, 6, 3, 2
Construye una tabla de frecuencia que contenga estosdatos, y calcula el número medio de nacimientos porsemana en ese periodo.
8/ Las siguientes gráficas indican los resultados obtenidos enMatemáticas en dos clases de 2º de ESO en una escala 0-10.
5
10
15
0
Número de alumnosde la clase B
Calificación1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5
10
15
0
Número de alumnosde la clase A
Calificación1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
40 %2 l
20 %1 l
25 %3 l15 %
4 l
9/ He aquí los datos porcentuales del número de perso-nas que viajan en cada coche que pasa por el peaje dela autopista:
1 persona 45 %
2 persona 25 %
3 persona 10 %
4 persona 6 %
5 persona 4 %
Calcula el número medio de personas por coche que cir-cula por la autopista.
10/ El siguiente diagrama de sectores representa los por-centajes que corresponden al número de litros de aguaque bebe un grupo de personas al día:
Calcula el consumo medio de ese colectivo en litros aldía.
11/ ¿Cuántos kilómetros debe caminar una persona eloctavo día de marcha, si en los 7 anteriores ha recorri-do respectivamente 18, 22, 17, 19, 20, 21 y 23 km, ydesea mantener una media de 20 km al día?
18ACTIVIDAD
a1 Calcula la media que corresponde a cada clase.
b1 Considera ahora que juntamos las calificaciones deambos grupos. ¿Cuál es la media del conjunto dealumnos de 2.º de ESO?
SUCESOS SEGUROS, IMPOSIBLES Y PROBABLES
34
19ACTIVIDAD
1/ Observa las siguientes situaciones, e indica si son segu-ras, posibles o imposibles.
- Si la temperatura baja de 0 grados, el agua se conver-tirá en hielo.
- Si lanzas un dado, saldrá un tres.
- Si dejas caer una piedra, quedará suspendida en el aire.
- Si lanzas una moneda al aire, saldrá cara.
- Si sumas dos números positivos, el resultado será nega-tivo.
- Si sumas dos números menores que 10, el resultadoserá menor que 10.
2/ Indica de una manera intuitiva cuál de estos pares desucesos te parece más probable y por qué.
- Que al lanzar un dado salga un número par o salgaseis.
- Que al ir a mirar en qué día de la semana toca el 6de noviembre sea domingo o sea cualquier otro díade la semana.
- Que en un sorteo en el que hay 1.000 números elpremio caiga en uno menor que 200 o mayor que200.
3/ La probabilidad está muy unida a situaciones de azar.¿En cuál de estas situaciones te parece que intervieneel azar?
- La lotería.
- El día del cumpleaños de un amigo.
- El resultado de una operación aritmética.
- El bingo.
- Una carta extraída sin orden de una baraja.
- El número que sale de una ruleta.
4/ Indica un suceso seguro y otro imposible. Indica unsuceso posible y, a continuación, su grado de probabili-dad.
5/ Imagina que lanzas un dado. Indica un suceso más pro-bable que:
- salga 3
- salga menor que 3
- salga mayor que 4
- salga par
ANÁLISIS Al grado de posibilidad se le llama probabilidad.
Un suceso posible puede ser más o menos probable.
La probabilidad se mide en una escala de 0 a 1.
A los sucesos imposibles se les asocia una probabili-dad 0.
A los seguros una probabilidad 1.
A
4321
SUCESOS EQUIPROBABLES
35
20ACTIVIDAD
1/ Echamos 60 canicas a un laberinto, como el de la figu-ra A, de una en una.
2/ Echamos 50 canicas a un laberinto, como el de la figu-ra B, de una en una.
3/ ¿Son equiprobables o no los sucesos “salir color rojo”,“salir color azul”, “salir color blanco” en las siguientesruletas?
4/ Al lanzar un dado pueden darse 6 sucesos. ¿Son equi-probables?
5/ Al lanzar una moneda pueden darse 2 sucesos. ¿Sonequiprobables?
6/ Si coges una goma de borrar y la lanzas sobre la mesapueden darse 2 casos. ¿Son equiprobables?
7/ Imagina que viajas por una carretera y consideras quete puedes cruzar con un coche, un camión, una motoo una bicicleta. ¿Son equiprobables estos sucesos?
Busca situaciones que den lugar a sucesos equiprobables yotros que no lo son.
Por ejemplo, ¿cuando nace un bebé el suceso ser chico ochica es equiprobable?
A B C
ANÁLISIS
B
1 2 3
¿A cuál de los 4 recipientes piensas que llegarán máscanicas? ¿Por qué?
¿Cuál de los posibles sucesos te parece más probable?
- ¿A cuál de los 3 recipientes piensas que llegarán máscanicas? ¿Por qué?
- ¿Cuál de los posibles sucesos te parece más probable?
- ¿Son equiprobables estos 3 sucesos?
A aquellos sucesos que tienen la misma probabili-dad de suceder se les llama equiprobables.
INVESTIGACIÓN
PROBABILIDAD
36
21ACTIVIDAD
Vamos a ver cómo se calcula la probabilidad en casos sencillos.
Lanzamos un dado y queremos saber el valor de la pro-babilidad de que salga un 5.
- Si se lanza un dado, el espacio muestral es 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
El número de veces que puede salir el 5 es: 1.
El número total de sucesos posibles es: 6.
P (5) = 1/6
ANÁLISIS
Definimos la probabilidad de un suceso elementalcomo el cociente entre el número de veces quepuede suceder y el número total de sucesos posiblescuando son equiprobables.
A los posibles resultados que se obtienen al realizarun experimento se les llama sucesos elementales.“Salir cara” y “salir cruz” son los sucesos elementalesasociados al experimento lanzar una moneda.
En el caso del lanzamiento de un dado, los sucesoselementales son: “salir 1”, “ salir 2”, “salir 3”... “salir 6”.
Al conjunto de resultados posibles asociados a unexperimento se le llama espacio muestral. (1, 2, 3, 4, 5,6) y (cara, cruz) son los espacios muestrales asociadosa un dado o a una moneda respectivamente.
número de veces que puede suceder “a”=p (a)
número total de sucesos posibles
• Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos al lan-zar un dado:
- Que salga 4.
- Que salga 5 ó 6.
- Que salga un número mayor que 3.
- Que salga un número mayor que 7.
- Que salga un número par.
- Que salga un número impar.
- Que salga un número que no sea 5.
- Que salga un número que no sea ni 2 ni 3.
FOTO
1/ Indica un suceso cuya probabilidad sea 1/2 al lanzarun dado.
2/ Indica un suceso cuya probabilidad sea 1/3 al lanzarun dado.
3/ Indica un suceso cuya probabilidad sea 2/3 al lanzarun dado.
4/ Indica un suceso cuya probabilidad sea 0 al lanzarun dado.
PROBABILIDAD
37
1/ Observa con atención las tres ruletas del dibujo.
Calcula la probabilidad que tiene cada color de serseleccionado al hacer girar la ruleta.
2/ Cojo al azar una carta de una baraja de 40.
- ¿Qué probabilidad hay de que sea oros?
- ¿Y de que sea una figura?
- ¿Y de que sea un as?
- ¿Y de que no sea de copas?
- ¿Y de que sea una figura de oros?
3/ En el sorteo de la lotería, qué probabilidad hay de quela última cifra sea:
- Un 3.
- Sea par.
- No sea par.
- Sea mayor que 4.
- Sea menor que 5.
- No sea ni 6 ni 8.
- Sea par y mayor que 6.
- Sea impar y menor que 5.
21ACTIVIDAD
PROBLEMAS
Azul
Probabilidad
Verde
Rojo
Ruleta A
Azul
Probabilidad
Verde
Rojo
Ruleta B
Azul
Probabilidad
Verde
Rojo
Ruleta C
PROBABILIDAD - SUCESOS COMPUESTOS
38
22ACTIVIDAD
• Estudiemos la situación que se da cuando se lanza unamoneda al aire varias veces.
- Si se hace una vez, sólo existen un par de sucesoselementales. ¿Cuáles?
- Si representamos por 0 el “salir cara” y por x el “salircruz”, calcula:
p (0) = ... p (x) = ...
• Imagina ahora que se lanza una moneda 2 veces seguidas.
El siguiente diagrama de árbol representa todos lossucesos posibles en este caso:
La probabilidad de que salgan dos caras es:
P (0, 0) = 1/4 Casos favorables 1Casos posibles 4
La probabilidad de que salga primero cara y luego cruz es:
P (0, x) = . . . . . . . . . . . . Casos favorables . . . . . . . . . . .
Casos posibles . . . . . . . . . . . . . . .
La probabilidad de que salga primero cruz y luego cara es:
P (x, 0) = . . . . . . . . . . . . Casos favorables . . . . . . . . . . . .
Casos posibles . . . . . . . . . . . . . . .
La probabilidad de que salgan dos cruces es:
P (x, x) = . . . . . . . . . . . . Casos favorables . . . . . . . . . . . .
Casos posibles . . . . . . . . . . . . . . .
Primera tirada
Segunda tirada
Sucesos
- Calcula la posibilidad de que salga cara y cruz en cual-quier orden
- Calcula la probabilidad de que no salga cara ni una solavez.
- Calcula la probabilidad de que salga las dos veces lomismo.
- Calcula la probabilidad de que no salgan dos cruces.
ANÁLISIS
A los sucesos que combinan sucesos elementalesse les llama compuestos.
PROBABILIDAD - SUCESOS COMPUESTOS
39
1/ Para poder ganar el premio hay que acertar el colorde las dos ruletas.
Venden boletos que contienen dos colores en esemismo orden:
Construye un diagrama de árbol para representartodas las posibles combinaciones.
• Calcula, a continuación, la probabilidad de los siguientessucesos:
- Tengo un único boleto: rojo / azul. ¿Qué probabilidadtengo de que no toque?
- Tengo dos boletos: azul / azul y amarillo / azul. ¿Quéprobabilidad tengo de que no toque?
- Tengo todos los boletos con el color rojo. ¿Qué pro-babilidad tengo de que no toque?
- Tengo todos los boletos con los dos colores iguales.¿Qué probabilidad tengo de que no toque?
Rojo Azul Azul Amarillo
2/ En un partido de fútbol pueden darse 3 sucesos ele-mentales:
1 Gana el equipo de casa.
X Empatan.
2 Gana el equipo de fuera.
Supón que los tres sucesos son equiprobables.
Haz un diagrama de árbol que represente los posiblesresultados en 2 partidos.
- Calcula la probabilidad de que en los dos gane elequipo que juega en casa.
- Calcula la probabilidad de que en alguno de ellos seproduzca un empate.
- Calcula la probabilidad de que no gane
3/ Imagina que tienes 3 cartas boca abajo y dos de ellasson iguales. ¿Cuál es la probabilidad de que al cogerdos al azar resulten ser las que son iguales?
22ACTIVIDAD
PROBLEMAS
Piensa que se lanza una moneda 3 veces seguidas.
- Calcula la probabilidad de que salgan las tres cruz.
- Calcula la probabilidad de que salga una cruz.
- Calcula la probabilidad de que salgan dos cruces.
- Calcula la probabilidad de que no salga ni una cruz.
PROBABILIDAD
40
23ACTIVIDAD
Estas actividades te pueden servir para repasar lo que hasaprendido sobre probabilidad.
1/ Escribe un par de sucesos seguros, otro par de suce-sos imposibles y cuatro posibles, dos de ellos muy pro-bables y otros dos muy poco probables.
2/ ¿Es correcto decir que un suceso es muy posible?
3/ ¿En cuál de las siguientes situaciones te parece queinterviene el azar?
- En la bonoloto.
- En el precio del litro de leche.
- En el número de crías de un animal.
- En el palo de una carta extraída de una baraja.
- En el número que sale al lanzar un dado.
4/ Se deja caer una bola por el siguiente tobogán.
- ¿Cuántos sucesos elementales hay, si lo relevante esel número de puntos a conseguir?
- ¿Cuál es el espacio muestral?
- ¿Son equivalentes todos los sucesos?
- ¿Cuál es el más probable?
5/ Tenemos que escoger una entre seis cajas. Dos de ellasno tienen premio, otras dos tienen 20 € de premio, laquinta tiene 30 € y la que queda 50 €?
- ¿Cuántos sucesos elementales hay, si lo relevante esel valor del premio a recoger?
- ¿Cuál es el espacio muestra?
- ¿Cuál es la probabilidad de quedarse sin premio?
- ¿Cuál es la probabilidad de obtener un premio igualo mayor que 30?
- ¿Cuál es la probabilidad de obtener un premiomenor que 50?
6/ Cogemos las 10 cartas del palo de oros de una bara-ja. Cogemos luego una al azar.
- ¿Cuál es el espacio muestra?
- ¿Cuál es la probabilidad de obtener una figura?
- ¿Cuál es la probabilidad de que sea una carta másalta que el 4?
- ¿Cuál es la probabilidad de que sea una carta másbaja que el 7?
6/ En una rifa se reparten 50 boletos numerados del 1 al50.
- ¿Cuál es el espacio muestral?
- ¿Cuál es la probabilidad de que el premio sea mayorque 20?
- ¿Cuál es la probabilidad de que me toque si tengo 4boletos?
- ¿Cuál es la probabilidad de que no me toque sitengo 5 boletos?
SÍNTESIS
50 p 20 p 30 p
¿Qué te parece más probable al coger una cartade una baraja de 40, que sea una carta de espadas oque sea una figura? ¿Por qué?
PROBABILIDAD
41
7/ En una máquina tragaperras muy sencilla pueden salirtres dibujos:
He aquí un caso posible:
- Construye un diagrama de árbol para representartodos los sucesos posibles.
- Se consigue premio si coinciden dos dibujos iguales.Calcula la probabilidad de que esto último suceda.
8/ Observa estas ruletas numéricas.
- Construye un diagrama de árbol para representar losdiferentes números que se pueden obtener al hacergirar las ruletas.
- Indica la probabilidad de que el número obtenidosea:
Par ImparMayor que 40 Menor que 58Menor que 20 Menor que 65
9/ Lanzas una moneda al aire tres veces y apuntas losresultados.
- Calcula la probabilidad de que no salga ninguna cruz.
- Calcula la probabilidad de que salga al menos unacruz.
- Calcula la probabilidad de que salgan 3 cruces.
Argazkia: tragaperra makina bat
23ACTIVIDAD
D
3
U5
6
4
9
6
Imagina que coges solamente las cuatro primerascartas (as, 2, 3 y 4) del palo de bastos de una baraja.Sacas una al azar, y, sin devolver, sacas otra.
• Construye un diagrama de árbol para representar losposibles resultados.
• Calcula la probabilidad de que:
- La suma de los valores de las cartas sea mayor que 4.
- La suma de los valores de las cartas sea menor que 6.
- Ambas cartas sean mayores que 2.
- Ambas sean menores que 4.
- Una de ellas sea mayor que 3.
Categoría Porcentaje0 - 55 - 1010 - 2020 - 4040 - 100
12345
¿QUÉ HEMOS APRENDIDO?
42
COMPRENSIÓN
1/ Observa con atención esta tabla con datos extraídos dewww.unicef.org/spanish/pubsge
- Indica un dato que represente un valor absoluto yotro que represente un valor relativo.
- ¿Cuál es el país que más dinero da a UNICEF? ¿Y elque menos?
- ¿Cuál es el país que más dinero da por habitante?
- ¿Cuánto dinero más da, en proporción, un noruegoque un alemán?
- ¿Y cuánto menos, en proporción, un griego que unjaponés?
2/ Identifica un país que corresponda a cada porcentajeindicado en el mapa y cítalo.
- Haz un pequeño informe sobre la situación de la infra-estructura de riego en diferentes zonas del mundo.
LOS 20 PRINCIPALES DONANTES A LOS RECURSOS ORDINARIOS DEL UNICEF, 2001Gobiernos Contribuciones Contribución per cápita
(en miles de dólares (en dólares EEUU)
EEUU)
Comités pro Contribuciones Contribución per cápitaUNICEF (en miles de dólares (en dólares EEUU)
EEUU)
Estados Unidos 109.758 0,39Noruega 34.510 7,72Países Bajos 31.744 2.00Suecia 29.748 3,36Japón 25.596 0,20Reino Unido 24.638 0,41Dinamarca 22.456 4,22Italia 11.621 0,20Finlandia 10.480 2,03Suiza 9.551 1,33Canadá 8.599 0,28Francia 6.631 0,11Alemania 3.870 0,05Irlanda 3.463 0,91Bélgica 3.131 0,31Australia 2.625 0,14España 1.606 0,04República de Corea 1.500 0,03China 1.217 0,001Arabia Saudita 1.000 0,05
Japón 66.332 0,52Alemania 28.620 0,35Países Bajos 24.928 1,57Italia 21.352 0,37Francia 18.156 0,31España 12.923 0,32Estados Unidos 9.463 0,03Reino Unido 8.093 0,14Suiza 7.103 0,99República de Corea 3.967 0,08Portugal 3.356 0,34Hong Kong 3.228 0,47Bélgica 2.841 0,28Grecia 2.628 0,25Finlandia 2.101 0,41Dinamarca 1.625 0,31Austria 1.319 0,16Suecia 1.305 0,15Eslovenia 916 0,46Noruega 835 0,19
LOS TRES MAYORES GOBIERNOS DONANTES
En recursos totales: Estados Unidos, Japón, Reino UnidoEn recursos totales por persona: Noruega, Suecia, Dinamarca
Fuentes: Las cifras de contribuciones en 2001 fueron tomadas del UNICEF. La contribución per cápitase calculó utilizando las poblaciones que figuran en el Estado Mundial de la Infancia 2002.
ÁREA CON INFRAESTRUCTURA DE RIEGO COMO UN PORCENTAJE DEL ÁREA (1998)
www.fao.org/DOCREP/005/Y3918S/y3918s03.htm
¿QUÉ HEMOS APRENDIDO?
43
3/ Observa con atención los datos de estos gráficos ycompleta la tabla y los porcentajes que corresponden aldiagrama de sectores. Estos datos indican el número dediversos tipos de transportes que pasan por dos carre-teras A y B.
50
100
150
200
250
300
1 2 3 4 5
Carretera A
Carretera B
245
95
20 6 020 16 6
15
150
1- Coches 2- Camiones 3- Autobuses 4- Motos 5- Otros
… %… %
… %
0 %
… %… %
… %
… %
… %… %
1 2 3 4 5
Carretera A
Relativo %
68 %
Absoluto
245Coches
Camiones
Autobus
Motos
Otros
Carretera B
Relativo %Absoluto
Coches
Camiones
Autobus
Motos
Otros
Suceso
0Entre0 y 1
1
Probabilidad
Que al sumar dos números negativos el resul-tado sea positivo.
Que al multiplicar dos números menores que10 el resultado sea mayor que 100.
Que al multiplicar dos números pares el resul-tado sea par.
Que un número con tres cifras distintas decero sea mayor que 100.
Que un número mayor que 100 sea impar.
Que un número impar sea mayor que 100.
COMUNICACIÓN
1/ La siguiente tabla indica el número de coches de lasdiversas marcas matriculadas en una ciudad durante unmes.
¿QUÉ HEMOS APRENDIDO?
44
4/ Queremos saber en qué ocupan su tiempo libre losalumnos de dos clases de 1.º de ESO. Con ese finhemos decidido pasar una encuesta a la mitad de losalumnos de cada clase. Nuestra intención es pregun-tarles: el nombre, la edad, el género, tipo de ocio queprefieren y número de horas que dedican a la semanaal mismo.
Indica: población, muestra, y los caracteres señalando sison atributos o variables.
5/ Indica, sin calcular, si 4 puede ser el valor medio de lossiguientes números: 5, 6, 7, 7 y 8.
6/ Completa la tabla:
7/ Observa la siguiente ruleta.
- Indica cuáles son los sucesos elementales y el espaciomuestral.
- ¿Son equiprobables todos esos sucesos?
1
23
4
56
71
Abril
50
12
40
8
40
Marzo
40
10
30
5
25
Marca
Renault
Toyota
Ford
Audi
Opel
1615Fiat
- Calcula los porcentajes de aumento o disminución delas ventas en cada marca.
- Construye el diagrama poligonal y de sectores quecorresponde a estos datos.
- Haz un pequeño informe explicando qué coche sevende más o menos y si esa venta ha variado de unmes a otro.
2/ Explica, con tus propias palabras y poniendo ejemplos,los conceptos de: población, muestra, característica, atri-buto, frecuencia absoluta y frecuencia relativa.
¿QUÉ HEMOS APRENDIDO?
45
3/ Explica qué proceso hay que seguir para calcular la pro-babilidad de un suceso elemental en el caso de sucesosequiprobables.
4/ Tenemos dos ruletas.
Cogiendo una cifra de cada ruleta, se construyen núme-ros de dos cifras. Haz un diagrama de árbol que repre-sente todos los sucesos compuestos posibles.
3
2
1
3
2
1
CÁLCULO
1/ La siguiente tabla muestra las variaciones en la venta deCDs por tipo de música en dos meses consecutivos.
2/ Calcula el valor medio de los siguientes valores: 3, 6, 2,5, 4, 7 y 8.
- Calcula el índice de aumento o disminución de esasventas, tomando como 100 las ventas del primer mes.
- Calcula, así mismo, el porcentaje que le correspondea cada tipo de música en el total de las ventas en cadames.
- Haz una tabla que recoja todos estos datos.
- Haz un pequeño informe, señalando las variaciones enlas ventas.
Diciembre
465
6.800
1.289
95
290
Noviembre
Venta de CDs
378
3.816
987
80
130
Folk
Pop
Rock
Jazz
Música clásica
5070Música étnica
3/ La siguiente tabla recoge los valores de la variable x ylos de la frecuencia que le corresponden. Calcula elvalor medio de x. Indica, así mismo, la moda y mediana.
4/ Separamos las 12 figuras de una baraja, las barajamosbien y cogemos una.
Calcula la probabilidad de que:
- Sea de oro.
- Sea una sota.
- No sea de copas.
- No sea un rey.
- Sea una sota de espadas.
- Sea una sota pero no de oros.
- Sea de espadas pero no el rey.
x • ffx
41
62
83
104
85
66
27
total
46
PROBLEMAS
1/ Prepara una encuesta para conocer la opinión de tuscompañeros de clase sobre su tipo de música preferida.Basta con que elijas a 10 compañeros para pasar elcuestionario. Antes de nada define:
- La población
- La muestra
- Los atributos o variables que piensas recoger
- La pregunta que vas a hacer y el recorrido de ese atri-buto. Prepara el cuestionario.
- Prepara la tabla para recoger los datos. Completa latabla con frecuencias absolutas y relativas.
- Construye un diagrama poligonal (valores absolutos)y de sectores (valores relativos).
- Haz un pequeño informe con los resultados obteni-dos.
2/ En un sorteo hay tres ruletas con cifras del 0 al 9. Cal-cula la probabilidad de que:
- El número que salga sea par.
- El número que salga sea mayor que 700.
- El número que salga acabe en 2 ó en 4.
- El número que salga sea menor que 400.
3/ Imagina que tienes dos dados cuyo desarrollo puedeverse en el dibujo. Lanzas los dos dados a la vez:
- Calcula la probabilidad de que la suma sea 4.
- Calcula la probabilidad de que el producto sea 6.
¿QUÉ HEMOS APRENDIDO?