FACULTAD DE INGENIERIA CARRERA: INGENIERIA ELECTRONICA ESTADSTICA Y PROBABILIDAD PROFESORA: BLANCA UZCTEGUI

DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD (VARIABLES DISCRETAS)Integrantes: Caracciolo, Ronald Daz, Mauricio Fazio, Alexander Maldonado, Harvy Naranjo, Jorrich Punto Fijo, Agosto de 2010

Variable AleatoriaCantidad que es resultado de un experimento y debido al azar, puede tomar valores diferentes.

Variable aleatoria discreta Toma valores claramente separados, generalmente se produce por conteo.

Variable aleatoria continua Cantidades que toman infinitos valores, dentro de un rango permitido, generndose una distribucin de probabilidades continuas.

Qu es una distribucin de probabilidad?Muestra todos los resultados posibles de un experimento y la probabilidad de cada resultado. Cmo generamos una distribucin de probabilidad? Supongamos que se quiere saber el numero de caras que se obtienen al lanzar cuatro veces una moneda al aire? Es obvio que, el hecho de que la moneda caiga de costado se descarta. Los posibles resultados son: cero caras, una cara, dos caras, tres caras y cuatro caras. Si realizamos el experimento obtenemos el siguiente espacio muestral:

NUMERO DE CARAS 0 1 2 3 4

FRECUENCIA 1 4 6 4 1

DISTRIBUCIN DE PROBABILIDADES 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16

Distribucin de ProbabilidadesMedia Se encuentra multiplicando cada valor posible de x por su propia probabilidad y luego sumando todos los productos:

Suma de la variable x multiplicada por su propia probabilidad Por ejemplo: Consideremos la variable X del ejemplo de caras observadas en dos lanzamientos de monedas. Es decir, X tal que su distribucin de probabilidad sea: X 0 1 2 Entonces, para calcular su media m se realiza: P(X=x)

Distribucin de Probabilidadesla varianza de una distribucin de probabilidad de una variable discreta sea:

Consecuentemente, la desviacin estndar de una distribucin de probabilidad de una variable discreta es:

Por ejemplo: Considerando la misma distribucin de probabilidad que en el ejemplo anterior, su desviacin estndar se calcula:

La distribucin binomialConsideremos los llamados ensayos Bernoulli, stos son aquellos experimentos cuyo resultado es uno de dos posibles y mutuamente excluyentes, a los que se denominarn xito y fracaso. Por ejemplo: Los siguientes son ensayos Bernoulli. Un tornillo, puede estar defectuoso o no defectuoso. El sexo de un beb al nacer: nio o nia. La respuesta correcta o incorrecta en un examen.

Si consideramos una serie de ensayos Bernoulli que tiene como caractersticas: 1. la probabilidad de xito permanece constante, ensayo tras ensayo; y 2. los ensayos son independientes entre s; Entonces se tiene lo que se denomina experimento binomial, donde el nmero de ensayos se denota con n, la probabilidad de xito con p y la de fracaso con q. Hay que notar que las probabilidades de xito y de fracaso estn relacionadas de la siguiente manera: p+q=1.

Por ejemplo: Consideremos un examen con tres preguntas de opcin mltiple, con cuatro opciones, y que ser contestado al azar.

1.- Las flores de la carrastrana frislea son: a) rojas b) azules c) amarillas

d) naranjas

2.- Don Luis Inocuo descubri el trideralto de magnesio en: a)1518 b)1635 c)1457 d)1706

3.- El significado de la palabra ^Xkz es a) lpiz b) rbol c) miedo

d) fiera

Con esto contamos con un experimento binomial, ya que la probabilidad de xito permanece constante en las tres preguntas (p=) y las respuestas de una a otra pregunta son independientes entre s. Se cuenta con una cantidad n=3 de ensayos y q = 1-p = 3/4. Hay que decir que n y p son los llamados parmetros de la distribucin. Tenemos ahora la variable aleatoria X que representar el nmero de respuestas correctas, siendo sus posibles valores: 0, 1, 2, y 3. Para calcular la distribucin de probabilidad correspondiente, consideraremos como E los xitos y como F los fracasos (el subndice indica el nmero de pregunta). As pues, tenemos que:P(X=0) = P(F1F2F3) = P(F1)P(F2)P(F3) = (3/4)3 =81/ 27/ 64

= 1(3/4)3(1/4)0 = 3(3/4)2(1/4)1 = 3(3/4)1(1/4)2

P(X=1) = P[(E1F2F3)(F1E2F3)(F1F2E3)] = P(X=2) = P[(E1E2F3)(E1F2E3)(F1E2E3)] = P(X=3) = P(E1E2E3)

256

9/

64

= P(E1)P(E2)P(E3) = (1/4)3 = 1/64 = 1(3/4)0(1/4)3

Al presentar esta informacin como tabla y su respectivo histograma se obtiene:

X 0 1 2 3

P(X=x) 0.422 0.422 0.141 0.016

En general, si se tienen n ensayos Bernoulli con probabilidad de xito p y de fracaso q, entonces la distribucin de probabilidad que la modela es la distribucin de probabilidad binomial y su regla de correspondencia es:

, para x=0,1,2,,n.

El nmero de formas en que pueden ocurrir exactamente x xitos en n ensayos = (n/x) Para el ejemplo anterior n = 3 x puede ser: 0, 1, 2, 3

La probabilidad de x xitos = px px corresponde a x segn la tabla anteriorX 0 1 2 3 P(X=x) 0.422 0.422 0.141 0.016

La probabilidad de que en los (n x) ensayos restantes ocurrirn fracasos, q n-x En el ejemplo anterior q = 3/4

La media y la desviacin estndar de la distribucin binomialLa media de una distribucin probabilstica binomial con parmetros n y p es:

Por otro lado, la desviacin estndar de una distribucin probabilstica binomial con parmetros n y p es:

La media y la desviacin estndar de la distribucin binomial

Por ejemplo: Consideremos la distribucin resultante de aplicar los exmenes del ejemplo anterior. Sus parmetros son n=3 y p=0.25, entonces la media de la distribucin es:Q= (3)(0.25) = 0.75

Y la desviacin estndar es:

Esto quiere decir que si se aplicara este examen, en teora, el promedio de aciertos sera de 0.75 (casi de un acierto) con una dispersin de 0.75.