distribución de probabilidad normal

Instituto Tecnológico de Minatitlán

Ing. Néstor Gutiérrez Merino Depto. Ingeniería Industrial Sistema Escolarizado

1

Estadística 1 Unidad 1 Distribuciones de Probabilidad Continua

Unidad 1 Distribuciones de Probabilidad Continua

1.3 Distribución de Probabilidad Normal

Contenido 0. Introducción ............................................................................................................................ 2

1. Características de la Distribución Normal Estándar ................................................................ 2

2. Distribución de probabilidad Estándar .................................................................................... 3

3. Áreas Bajo la Curva y Cálculo del Área. ................................................................................... 3

3.1. Manejo de la Tabla de Z .................................................................................................. 4

3.2. Determinación del área bajo la curva normal estándar. ................................................. 5

4. Ejercicios ................................................................................................................................ 10

5. Bibliografía ............................................................................................................................ 12

6. ANEXOS ................................................................................................................................. 13

6.1. ANEXO 1 ........................................................................................................................ 13



2


0. Introducción

Recordemos que una variable aleatoria puede asumir dos tipos de valores; discretos o continuos.

Dejando en claro que los valores discretos solo pueden asumir un valor determinado en un

intervalo con incrementos definidos por ejemplo 1, 2 3, 4 o bien 2, 4, 6; siendo valores aceptados

solo los del intervalo y nunca un valor intermedio entre dos valores definidos. En cambio un valor

continuo es aquel que si se permite validar un numero intermedio entre dos números, o en otras

palabras los valores que puede asumir una variable aleatoria continua son infinitos dentro de un

intervalo de valores definidos ejemplo, entre 1 y 2 existen infinidad de valores.

La familia de distribuciones de probabilidad continua incluye la familia de las distribuciones de

probabilidad normal, en ingeniería la mayoría de los datos que manejamos se ajustan a la forma

de la curva normal por el hecho de ser variables continuas.

Entre los ejemplos que mas podemos mencionar de datos continuos, el peso en gramos o libras de

un producto de una línea de envasado de alimentos, el ciclo de vida de una batería alcalina, la

durabilidad de un neumático, los tiempos de operaciones de la industria automotriz por

mencionar algunos ejemplos del área de ingeniería industrial.

1. Características de la Distribución Normal Estándar

La distribución de probabilidad norma cuenta con 3 características específicas que la define.

a) La curva normal es acampanada, es unimodal; es decir tiene un solo pico al centro por lo

cual en esta área de la misma se

encuentran la media, mediana y

moda

b) Es simétrica respecto a la

media, es decir existe 50% a cada

lado de la media.

c) Es una curva asintótica, es

decir nunca toca la curva el eje de las

x, por lo que decimos que

teóricamente se extiende hasta

infinito en ambos sentidos respecto a

la media.

Otra de las características que

resaltan en base a las tres anteriores



3


son el de la forma de acuerdo al valor de la media y desviación estándar.

A mayor desviación estándar la curva tiende al eje de las x, es decir su forma es mas

“achatada”

Si el valor de la media cambia, lo que se ocasiona es que la curva se mueva de forma

horizontal sobre el eje de las x.

2. Distribución de probabilidad Estándar

Existe una infinidad de familias de la distribución normal, por lo que tener una tabla de

probabilidad definida para cada una de ellas sería imposible, pero este hecho se soluciona al

convertir una distribución normal en una distribución normal estándar, como logramos este

objetivo; bueno al enfrentar el dato menos la media dividido por el valor de la desviación estándar

encontramos un valor estándar conocido como valor Z, observe la siguiente fórmula:

Formula 1

Donde Z es el valor normal estándar; X es el valor a observar, µ es la media de los datos, σ es la

desviación estándar. De lo anterior podemos simplificar el decir que el valor de z mide la distancia

de un dato cualquiera en la distribución respecto a la media.

3. Áreas Bajo la Curva y Cálculo del Área.

Xz



4


Como consideraciones previas estableceremos una regla en base a lo que se da en la curva normal

estándar respecto al área bajo la curva:

Aproximadamente el 68% de los datos se encuentra dentro de 1 desviación estándar

Aproximadamente el 94% de los datos se encuentran dentro de 2 desviaciones

estándar.

Aproximadamente el 99% de los datos se localizan dentro de 3 desviaciones (3 sigmas)

El decir 6 Sigma consideramos 6 desviaciones estándar, con lo que numéricamente

representa tener 3 elementos por cada millón de la muestra o población.

3.1. Manejo de la Tabla de Z

Supóngase que se desea encontrar el valor de P(x) para z = 1.93, nos dirigimos en el eje vertical

hasta el valor z = 1.90 después sobre el eje horizontal nos desplazamos hasta el valor de 0.03 (1.90

+ 0.03 = 1.93) y encontramos el valor de P(x)= .4732. Ver figura.

Tabla completa Anexo 1



5


3.2. Determinación del área bajo la curva normal estándar.

3.2.1. Calculo del Valor de Z

El cálculo del valor de z como lo marca el apartado 2 de este documento se determina mediante la

fórmula 1con la cual determinamos un valor que corresponde a un punto dentro del eje horizontal

de la curva de distribución, es decir un intervalo desde el valor de la media hasta el valor

determinado de Z (Curva normal para una cola) ver anexo 1.

3.2.1.1. Ejemplo 1

Los Ingresos semanales de supervisores de construcción de vivienda en Estados Unidos tienen una

distribución normal con media igual a 2000 dólares, y desviación estándar de 200 dólares. ¿Cuál es

el valor de z correspondiente al ingreso de un supervisor que gana 2100 a la semana? ¿Cuál es el

valor de z para otro supervisor que gana 1900 dólares a la semana?

Usando la Formula 1 tenemos que los valores de z que buscamos son 2 para X(2100 y 1900)

quedando el desarrollo de la formula como sigue la ecuación:

00.1100

20001900

1900

00.1100

20002100

2100

xz

X

xz

X

Por lo tanto el valor de Z que buscaremos en la tabla será z=1



6


3.2.2. Calculo del Área de Z

El cálculo del área de probabilidad de interés depende del valor de x evaluado, asi mismo como la

posición de este respecto a la media.

3.2.2.1. Ejemplo 2

Una distribución con media 14, un valor de x igual a 18, el conocer la P(x) “probabilidad de X” de

que algo sea mayor, menor a este valor gráficamente seria:

Menores a 18

Mayores a18

Recuerde que debajo de la curva de la distribución normal, el área total es igual a 1 (100%), y cada

mitad su área es de .5 (50%), como se muestra en la siguiente figura:

Área de Probabilidad

de interés

Área de Probabilidad

de interés



7


Considerando lo anterior el cálculo del área y probabilidad para z se realiza de la siguiente forma.

3.2.2.2. Ejemplo 3

Suponga que DELL fabricante de Computadoras establece un mínimo de horas de tiempo de vida

útil de una Laptop Inspiron 1525; las pruebas de PC World demostraron que la media de vida útil

para este modelo de laptop es de 7000 horas con una desviación estándar de 380 horas. El

fabricante ha puesto en anuncio una duración de 7500 horas. ¿Qué probabilidad existe de que lo

que afirma DELL sea falso, es decir que una Laptop tenga una vida útil menor de 7500 horas? ¿Cuál

es la probabilidad de que la duración se extienda hasta 8000 horas?

De acuerdo a lo planteado en el enunciado anterior, lo que nos da como datos el laboratorio

evaluador es el hecho que una laptop tenga una vida menor a 7500 horas, o bien sea mayor a

8000 horas.

De manera a planteamiento matemático, los cuestionamientos serian: (x < 7500) y (8000 < x)

1. Planteando primeramente lo que deseamos gráficamente, señalando las áreas de interés para

cada caso serian:



8


2. Realizamos los cálculos de z correspondientes

32.1380

70007500

7500

xz

X

63.2380

70008000

8000

xz

X

3. Buscamos el numero z en la tabla para encontrar la probabilidad correspondiente

z= 1.32 es .4066

z=2.63 es .4967

Estos datos de acuerdo la tabla de z presente en el anexo 1

4. Indicamos para cada caso la probabilidad requerida

En caso de que una Laptop su vida útil sea menor a 7500 se a la probabilidad de .4066 para el valor

z=1.32, pero si observamos bien esta probabilidad considera de la media (centro de la curva) hacia

la x=7500 es decir solo consideramos la mitad de la distribución, observe la siguiente figura.

Por lo tanto el área de probabilidad correcta seria sumar el área no contemplada (0.5) mas el área

encontrada (0.4066) esto seria igual a: 0.5 + 0.4066 = 0.9066, que convertido en porcentaje es

90.66%, es decir el 90.66% de las laptop dell tendrán una vida útil inferior a 7500 horas, ahora si



9


consideramos que toda duración debajo de la media (7000 horas) es algo fuera de calidad, la

pregunta más importante en este punto seria ¿Qué probabilidad existe de que una laptop tenga

una vida menor a 7500 horas, pero nunca inferior a la media (7000 horas)?.

Esto se respondería con el área sombreada de azul en la figura anterior; 0.4066 (40.66%) del

hecho cual una laptop Dell tendrá una vida inferior a 7500 pero mayor a la 7000 horas en un

40.66%.

Para el caso donde z=2.63, se debe analizar qué sucede con las probabilidades para una vida

superior a 8000 horas, para esto nos auxiliaremos de la siguiente figura.

Obsérvese que el área de interés sombreada de rojo esta justo después del valor de z=2.63 pero lo

que encontramos por medio de la tabla es el área marcada desde z=0 a z=2.63. ¿Cómo encontrar

el área deseada?, bueno si el hecho es que de la media al dato de referencia existe una

probabilidad de 0.4957 el área sobrante de esta mitad de la curva cuyo valor es de 0.5000 lo

encontramos por diferencia el valor total de la mitad (0.5) menos el valor de la media a x (0.4957)

quedando por ecuación : 0.5 – 0.4957 = .0.0143 que en porcentaje representa el 1.43%, lo que nos

diría que solo 1.43% de las laptops Inspiron 1525 tendrían una vida útil mayor a 8000 horas.



10


4. Ejercicios

1. Una población de distribución normal tiene una media igual a 20.0, y una desviación estándar

igual a 4.0.

a. Determine el valor de z cuando x es 25

b. ¿Qué proporción de la población está entre 20 y 25, expréselo en forma a ≤ x ≤ b?

c. ¿Qué porcentaje de la población es menor a x= 18.0?

2. Una población normal con media 12.2 y desviación estándar de 2.5

a. Determine el valor de z igual a x = 14.3

b. ¿Qué proporción de la población está entre 12.2 y 15.8, expréselo en forma a ≤ x ≤ b?

c. ¿Qué porcentaje de la población es mayor a x= 16.0

3. La empresa INCSEAA está considerando comenzar un nuevo proyecto de inversión para el

segundo semestre del año 2009, se trata de lo que se conoce como “obra blanca” en casas

habitación; se ha determinado la cuota de mercado para el sector de Guadalajara y sabemos

que la distribución de los datos se ajustan a una curva normal. Si tenemos una media de 45

casas con una desviación estándar de 4 casas. Determine lo siguiente:

a. ¿Qué valor de casas corresponde para 1 desviación estándar, 2 desviaciones, 3

desviaciones?

b. ¿Qué probabilidad existe de realizar entre38 y 55 casas?

c. ¿Qué probabilidad existe para poder realizar más de 55 casas?

d. ¿Qué probabilidad existe de realizar menos de 38 casas?

e. Grafique los casos anteriores.

4. Las cantidades de dinero en solicitudes de préstamo para casas que recibe ScotiaBank Inverlat,

están distribuidas de tal forma que se ajustan a la curva normal con media de $1,000,000 y

desviación estándar de $200,000. Una solicitud de préstamo se recibió esta mañana. ¿Cuál es

la probabilidad de que:

a. La cantidad solicitada sea de $800,000 o mayor.

b. La cantidad solicitada este entre $650,000 y $800,000

c. La cantidad solicitada sea inferior al valor de la media.

5. Las ventas netas y el número de empleados de la empresa TENARIS-TAMSA productora de

tubos y aceros se organizaron de tal forma que su distribución se ajusta a la forma normal. La

media de las ventas netas es de $180 millones de dólares, la desviación de las ventas netas es

igual a $25 millones de dólares. La media del número de empleados es de 1500, con una

desviación estándar de 120.



11


a. ¿Qué porcentaje de probabilidad existe para que nomina existan 2800 empleados,

1000 empleados, 700 empleados?

b. Si para el año 2009 se pronosticaron ventas por $200 millones de dólares, ¿Qué

probabilidad existe de que esto suceda? ¿Cuánta probabilidad de que las ventas sean

mayores a $200 millones?

c. ¿Dentro de cuantas desviaciones esta el valor pronosticado de $200 millones?

6. El director del servicio de emergencia de un hospital analizo el tiempo de espera de los

pacientes. El tiempo de espera se define como el tiempo transcurrido desde que el paciente

llega al lugar donde se otorga el servicio, hasta que es atendido por un médico. El estudio

indica que los tiempos de espera siguen una distribución normal con media de 22 minutos y

desviación de 8 minutos.

a. ¿Cuál es la fracción del total de pacientes que es atendida en un tiempo entre 15 y 22

minutos?

b. ¿Cuál es la fracción que es atendida en menos de 15 minutos?

c. ¿Cuál es la fracción que es atendida en un tiempo superior a 15 minutos pero inferior

a 32 minutos?

d. ¿Cuál es la fracción que es atendida en un tiempo superior a 25 minutos, pero inferior

a 32 minutos?

e. ¿Con que rapidez son atendidos 5% de los pacientes (por debajo de la media)?



12


5. Bibliografía

Lind D., Marchal W., Mason R. (2004) 11ª Edición. Estadística para administración y economía.

México. AlfaOmega Editores.

MendenHall W, Sincich T. 4ª Edición. Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. México.

Pearson.



13


6. ANEXOS

6.1. ANEXO 1

Distribución Normal para una cola

distribución de probabilidad normal

Documents