diseño y compensación de sistemas en el dominio de la ...rtapia/unidad3.pdf · • compensadores...
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Compensación, es el termino que describe el ajuste de un controlador para lograr un mejor desempeño.
De manera general se pueden clasificar como:• Compensadores de atraso. Mejoramiento de la respuesta transitoria y un
cambio pequeño en la precisión en estado estable, y puede acentuarlosruidos a altas frecuencias.
• Compensadores de adelanto. Mejoramiento de la precisión en estadoestable a costa de un aumento del tiempo transitorio, y suprime los efectosde ruido a altas frecuencias.
• Compensadores adelanto-retraso. Combinación de ambos, y eleva el ordendel sistema en 2 por lo que se vuelve mas complejo el sistema.
Diseño y compensación de sistemas en el dominio de la frecuencia
1
Compensador de adelanto de fase → Filtro pasa-altas que introduce undefasamiento positivo inferior a 90 , que permite aumentar el margen de fasedel sistema.
Se utiliza el compensador en adelanto siguiente:
Compensador de adelanto de fase
1 donde ;
1
1
as
as
a
sa
s
sGc
a ωm αa
ϕm
ϕ
-a-αa
2
La función de transferencia sinusoidal es,
Compensador de adelanto de fase
a
ja
j
jGc
1
1
Y su ángulo de fase ,
Usando la identidad,
Haciendo
aaj
11 tantan
21
21
tantan1
tantantan
m
aa
21 y
aa
aam
1
tan 1 (2)
(1)
3
Simplificando,
Compensador de adelanto de fase
Reordenando,
Para obtener el máximo de (3), derivamos el argumento e igualamos a cero,
22
1
2
22
21 1
tantan
a
a
a
aa
aa
m
a
a
m
1tan 1
(3)
0
11
1
2
2
a
a
a
a
d
a
a
d
d
d m
4
De lo cual se obtiene,
Compensador de adelanto de fase
resolviendo,
Cuyo ángulo corresponde al triangulo rectángulo de la figura,
01
2
a
a
22 a
La fase máxima ocurre en, am
Sustituyendo este valor en (3), se obtiene,
2
1tan
1tan
1tan 111
a
a
a
am
1
11
senm
2
1
1
m
(4)
5
El máximo ángulo de un compensador de adelanto es menor a 90 ̊, en lapractica los valores de α mas grandes son de 20 y corresponden a ϕm=64.8 ̊
Compensador de adelanto de fase
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
70
60
50
40
30
20
10
ϕm
α
6
Este diseño se basa en el conocimiento previo del margen de fase y deganancia del sistema a controlar, así como la frecuencia a la que se requierenlos parámetros. Se parte de la expresión (2), la cual se reescribe como:
Compensador de adelanto de faseDiseño de la función de transferencia dados ϕc y Mc a una
frecuencia ωc
2
22
2
2
22
11
tan
a
a
a
aa
a
a
aaq
c
c
c
c
c
simplificando,
2
1
tan
a
aq
c
c
c
O bien,
a
q cc
;
1tan
2(5)
7
(4a)
Por otra parte, la magnitud del compensador, se obtiene a partir de (1),
Compensador de adelanto de faseDiseño de la función de transferencia dados ϕc y Mc a una
frecuencia ωc
222
222
a
ajG
c
c
definiendo,
Usando , se obtiene:a
c
2
2
2
2
2
222
2
222
222
2221
1
1
a
a
aa
a
a
ac
c
c
c
c
c
c
22
22 1
c
Transformando la magnitud en decibeles, se tiene,
ccjGc 102
1
1010 log202
1log20log20
(6)
8
Así,
Compensador de adelanto de faseDiseño de la función de transferencia dados ϕc y Mc a una
frecuencia ωc
donde esta en dBc
22
22
102 1
10
c
jGc
Reacomodando (6) se tiene,
1
2
22
2
aac cc
2
222
2
ac
ac cc
cca
c
122
2
Por lo tanto,
c
c
ac
2
22
2 1
(7)
9
Compensador de adelanto de faseDiseño de la función de transferencia dados ϕc y Mc a una
frecuencia ωc
Ahora se tiene la información necesaria para resolver (5) y tener una ecuaciónque determine α. Elevando al cuadrado (5) y reescribiendo,
22
2
2
2
2 1
aaq cc
Desarrollando el cuadrado,
22
2
24
2 12
aaaq ccc
Sustituyendo (7) en la expresión anterior se tiene,
22
22
2
3
22
242 1
1121
c
c
c
c
c
cq
Multiplicando por
ccccccq 222222232222 11121
ccccccq 22222223242 11121
10
Compensador de adelanto de faseDiseño de la función de transferencia dados ϕc y Mc a una
frecuencia ωc
Reacomodando términos,
El término del lado izquierdo pude verse como un cuadrado perfecto,
desarrollando,
ccccccq 222222232222 11121
ccccq 2222222 111
ccccq 2222222 11
factorizando,
cccq 222222 111
finalmente,
cccq 2222222 111
simplificando,
cccq 222 1
desarrollando, cccccq 222222 2
Arreglando en términos de α,
0121 2222 cccqcqcq
11
Compensador de adelanto de faseDiseño de la función de transferencia dados ϕc y Mc a una
frecuencia ωc
Analizando la ecuación cuadrática resultante, observamos que:1) q>0 con lo cual ϕc>02) c<1 de tal forma que3) c>
Así, para cual ϕc>0 y µc>0 se podrá encontrar un compensador de adelantocon α>1.Finalmente, una vez resuelta la ecuación cuadrática de (8), se utiliza (7) paraobtener el parámetro a.
0121 2222 cccqcqcq
12 q
01 ccG
(8)
1
2
c
ca c
(9)
12
Implementación del Compensador de adelanto de fase
El compensador puede ser implementado usando amplificadoresoperacionales.
Para determinar su función de transferencia se consideran las impedancias dela primera etapa.
1R
2R
3R
4R1C
2C
sVi sV0
sVx
1Z2Z
13
Implementación del Compensador de adelanto de fase
La ganancia de la primera etapa es,
11
1
1//
11
1
1
1
1
1
1
11
sCR
R
sCR
sCR
sCRZ
11
1
1//
22
2
2
2
2
2
2
22
sCR
R
sCR
sCR
sCRZ
1
1
1
1
22
11
1
2
11
1
22
2
2
1
sCR
sCR
R
R
sCR
R
sCR
R
Z
Z
sV
sV
i
x
La ganancia de la segunda etapa es,
3
40
R
R
sV
sV
x
Por lo tanto la ganancia total del circuito es,
1
1
22
11
31
420
sCR
sCR
RR
RR
sV
sV
i
14
Implementación del Compensador de adelanto de fase
Reacomodando,
Y simplificando,
Comparando con la función de transferencia del compensador se deduce,
22
22
11
11
31
420
1
1
CRsCR
CRsCR
RR
RR
sV
sV
i
22
11
23
140
1
1
CRs
CRs
CR
CR
sV
sV
i
11
1
CRa
22
1
CRa
as
assGc
23
14
CR
CR
Para que el circuito opere como una red de adelanto se debe cumplir que: 2211 CRCR
15
Implementación del Compensador de adelanto de fase
Ejemplo. Determine la función de transferencia de un compensador enadelanto que proporcione un adelanto de fase de 40 grados y una ganancia deω=9 dB en 7 rad/seg. Diseñe los parámetros de un circuito para implementardicho compensador.
16
Compensador de atraso de fase → Filtro pasa-bajas que introduce undefasamiento negativo , que permite disminuir el margen de fase del sistema.
Se utiliza este tipo de compensador con la finalidad de mejorar la exactitud enrégimen estacionario a expensas de afectar el tiempo de establecimiento y larobustez; el compensador tiene la siguiente función de transferencia:
O bien:
(10)
Compensador de atraso de fase
1 donde ;1
as
assGc
bωmβb
-ϕm
ϕ
-b -βb
abab
bs
bssGc
,1
,1
1 donde ;
17
De manera similar al compensador de adelanto, se tiene:o Máximo defasamiento negativo:
o Angulo:
o De manera similar, aprovechando la ecuación cuadrática calculada para elcompensador en adelanto, se tiene:
en este caso se requiere 0<c<1 y q<0 para asegurar que los coeficientes de βsean positivos.Por lo que habrá una solución real positiva para β si q2c+c-1<0, para tener unaraíz positiva de β, se tiene:
Compensador de atraso de fase
bm
1
1
1
1sensenm
1
2
c
cb c
0121 2222 cccqcqcq
18
(11)
(12)
(13)
Implementación del Compensador de atraso de fase
El compensador puede ser implementado usando amplificadoresoperacionales en su configuración de seguidores, para evitar el efecto decarga.
Para determinar su función de transferencia se consideran las impedancias.
1R
2R
C
sVi sV0 sVx
1Z
2Z sVy
19
Implementación del Compensador de atraso de fase
Como, y entonces,
1
1
1
1
21
2
21
2
21
2
CsRCsR
CsRsV
CsRR
CsRsV
ZZ
sVZsV x
x
xy
1
1
21
20
CsRCsR
CsR
sV
sV
i
Reordenando la ecuación con el fin de compararla con (10), se tiene,
sVsVy 0
donde,
sVsV xi
21
21
2
2
21
21
2
2
21
2
2
0
1
1
1
1
1
1
RRCsRR
CRsR
RRCsRRC
CRsCR
RRCs
CRsCR
sV
sV
i
21
2
RR
R
CRb
2
1
21
1
RRCb
20
Implementación del Compensador de atraso de fase
21
Ejemplo. Diseñe un compensador de atraso con un ángulo de 45 ̊ y unaatenuación de 10dB en ω=2 rad/seg.
Compensador de adelanto-atraso → La combinación de ambas estrategiaspermite eliminar el error en estado estacionario y ampliar el ancho de bandapara tener un grado aceptable de estabilidad relativa.
Su función de transferencia esta dada por,
Considerando αβ=1, α>1 y a>b, se puede escribir como,
Compensador de adelanto-atraso
bs
bs
as
assGc
22
-b -βb-αa -α bβb
ϕ
αaa
bs
bs
as
assGc
(14)
Para obtener la ecuación que permita diseñar los parámetros del controlador,se tiene que tomar en cuenta que el margen de ganancia del compensadordebe ser negativo (µc < 0) y ωc debe ser mas grande que b.El diseño puede ser simplificado si se considera que la parte de atraso produceuna atenuación de 20log β en ωc y solamente un pequeño ángulo de fase ϕ2
(de 1 a 5). Así, la parte de adelanto se diseñara para obtener una pequeñaganancia con adelanto de la fase igual a ϕc + ϕ2 en ωc.Por lo tanto, partiendo de (14) y tomando en cuenta las consideracionesdescritas, se tiene,
Diseño de la función de transferencia de un compensador adelanto-atraso a partir de φc y µc
para una ωc
Utilizando las propiedades de los logaritmos,
23
1log20log20
222
22
1010
si
a
a
c
c
c
2
222
2
22
2
1
222
22
222
22222
22
1
1
log2
20log20log20log20
aa
aa
a
a
a
a
a
a
c
c
c
c
c
cc
c
c
Simplificando,
Diseño de la función de transferencia de un compensador adelanto-atraso a partir de φc y µc
para una ωc
Reordenando la expresión a fin de obtener el para metro a , se tiene:
24
Se sabe que: , por lo tantocc 10log202
1
2
2
2
1
a
ac
c
c
1
2
2
2
ac
ac cc
11 2
2
cc
ac
1
1 22
c
c
ac
Finalmente, despejando a,
21
1
c
ca c
(15)
2
2
2
1
log10
a
a
c
c
c
Para el ángulo de fase son tomadas en cuenta las consideraciones de diseño(fase igual a ϕc + ϕ2 en ωc) que fueron tomadas en cuenta para la parte deadelanto,
Diseño de la función de transferencia de un compensador adelanto-atraso a partir de φc y µc
para una ωc
Sustituyendo (15) en la expresión anterior se obtiene,
25
por lo tanto, si se toma la expresión (4a) se tiene,
aacc
c
11
2 tantan
22
1
tan
a
aq
c
c
c
11
111
1
1
11
1
2
21212
2
212
cc
cc
c
c
c
c
q
Reordenando términos,
Diseño de la función de transferencia de un compensador adelanto-atraso a partir de φc y µc
para una ωc
26
Factorizando el lado izquierdo,
22222 11111 ccccq
2222 11111 cccq
Simplificando, cccq 111 222
Desarrollando el cuadrado y lado derecho de la ecuación,
cccccq 121 222222
Resolviendo para α , se obtiene la siguiente ecuación cuadrática,
0121 2222 cqcqcccq
En este caso las condiciones para obtener un valor positivo de α son:1. q2c + c – 1 < 02. O bien c < 1/(q2 + 1)
Para diseñar la parte del compensador de atraso, se tiene que determinar elvalor de b, de tal manera que el compensador contribuya con una fasenegativa φ2 en ωc, de esta manera su ángulo será:
Diseño de la función de transferencia de un compensador adelanto-atraso a partir de φc y µc
para una ωc
27
bbcc
11
2 tantan
Usando la identidad trigonométrica,
1
1
tan22
b
bb
c
cc
Factorizando y utilizando , tenemos
22
1
1
tan
b
b
c
c
1
Reacomodando la ecuación,
Diseño de la función de transferencia de un compensador adelanto-atraso a partir de φc y µc
para una ωc
28
22
2
22
1
1
1
tan
c
c
c
c
c
c
b
b
b
b
b
b
c
b
Resolviendo para el factor ,
2
2
tan
1
c
c
b
b
0tan
1
2
2
cc
bb
Así,
Al resolver esta última ecuación se debe elegir la raíz positiva que tenga elmenor valor de b.
Implementación del Compensador de adelanto-atraso
La siguiente figura muestra la implementación del compensador de adelanto-atraso.
Para determinar su función de transferencia se considera el divisor de tensiónformado por las dos impedancias.
29
1R
2R
C
sVi sV0 sVx
1Z
2Z sVy
1C
Implementación del Compensador de adelanto-atraso
Como, y entonces,
sCsCR
sCRsCRsCR
sC
sCRsV
sC
sCR
sCR
R
sC
sCRsV
ZZ
sVZsV
xx
xy
211
221121
2
22
2
22
11
1
2
22
21
2
1
11
1
1
1
1
sVsVy 0 sVsV xi
30
1
1//
11
1
1
11
sCR
R
sCRZ
1
1//
22
2
2
22
sCR
R
sCRZ
Así, tenemos que
Simplificando,
11
11
221121
2211
sCRsCRsCR
sCRsCR
sV
sV
x
y
11
11
221121
22110
sCRsCRsCR
sCRsCR
sV
sV
i
Implementación del Compensador de adelanto-atraso
O bien,
Simplificando la expresión,
11
1
CRa
22
1
CRb
baCR
ba 12
1
31
1
11
211121
2
2211
2211
2211
0
sCRCRCRsCRCR
CRs
CRsCRCR
sV
sV
i
2211121122
2
22110
1111
11
CRCRs
CRCRCRs
CRs
CRs
sV
sV
i
Comparando los factores del numerador con (14), se observa que:
y comparando los factores del denominador desarrollado de (14), se obtiene:
baCR
111
12
Implementación del Compensador de adelanto-atraso
32
Ejemplo. Diseñe un compensador de adelanto-atraso con un ángulo de 45 ̊ yuna atenuación de 10dB en ω=6 rad/seg.
Diseño de Compensadores Utilizando Diagramas de Bode
33
No se requiere conocer la función de transferencia de la planta para diseñar elsistema de control, se puede obtener de un diagrama experimental.Requerimientos:• Especificar los coeficientes de error en estado estable kp o kv.• Margen de fase φm
• Margen de ganancia Gm
• La frecuencia de corte ωc (velocidad de respuesta)
Procedimiento:1. Ajustar la ganancia de lazo, para satisfacer la especificación del error en
estado estable.Para calcular el error en estado estable de un sistema con retroalimentaciónunitaria se utiliza el teorema del valor final,
Donde R(s) es la entrada. Si la entrada es considerada como una rampa deamplitud A y además se define a Gp(0) como la constante de error de posición(kp), se tiene
sG
ssRe
ps
ss
1
lim0
Diseño de Compensadores Utilizando Diagramas de Bode
34
Donde la constante de error es:
011lim
0pp
sss
G
A
sGs
As
e
sGks
p0
lim
De tal manera que el error del seguimiento para una entrada escalón, estarádado por,
p
ssk
Ae
1
Ahora, si se considera una entrada tipo rampa, y además el sistema tiene unintegrador, se tiene,
ssG
A
ssGs
A
sGs
As
ep
sp
sp
sss
00
2
0limlim
1lim
En este caso el error en estado estable se obtiene de,
v
ssk
Ae
Diseño de Compensadores Utilizando Diagramas de Bode
35
Donde kv es definida como la constante de error de la velocidad, y se calculacomo,
ssGk ps
v0
lim
2. Se obtiene el margen de fase de la función de transferencia de lazo abiertoincluyendo el ajuste de ganancia, pero sin compensar, conviene tambiéntener una tabla de valores.
3. Si la función de transferencia no satisface la especificación del margen defase, se debe incluir un compensador de adelanto, atraso o de adelantoatraso en cascada con la planta.
4. Seleccionar el tipo de compensador• Para un compensador de adelanto, la ganancia en la frecuencia de cruce
debe ser negativa y el atraso de fase debe ser mayor de 180 grados• Para un compensador en atraso, la ganancia en la frecuencia de cruce
debe ser positiva, y el atraso de fase debe ser menor de 180 grados• Para el compensador de adelanto-atraso, la ganancia a la frecuencia de
cruce deseada debe ser positiva, y el atraso de fase debe ser mayor de 180grados
Para todos los casos, la magnitud del corrimiento de fase proporcionado por elcompensador debe ser menor a 90 grados, preferiblemente menor de 70.
Diseño de Compensadores Utilizando Diagramas de Bode
36
Las consideraciones pueden ser resumidas en el siguiente diagrama polar
φm
Real-1
Imaginario
φ1
φ2
φ3
A
B
C
M1
M2
M3
Compensador en adelanto.- (punto A) provee un adelanto igual a φ1 y unaganancia igual a 1/M1, en la frecuencia ω1. (M1<1)Compensador en atraso.- (punto B) provee un ángulo de atraso φ2 y unaganancia 1/M2, a la frecuencia ω2. (M2>1)Compensador en adelanto-atraso.- (punto C) provee un adelanto igual a φ3 yuna ganancia igual a 1/M3, en la frecuencia ω3. (M3>1)
Diseño de Compensadores Utilizando Diagramas de Bode
37
La elección del compensador depende de la aplicación particular a resolver. Lasiguiente tabla resume las características mas importantes de los trescompensadores.
Tipo de compensador Especificaciones
Adelantoamplificación
Atrasoatenuación
Adelanto-atrasoatenuación
1
1101
1
20
c
c
dB logc
2
2102
2
20
c
c
dB logc
3
3103
3
20
c
c
dB logc
Diseño de Compensadores Utilizando Diagramas de Bode
38
Ejemplo compensador en adelanto.- Considere la función de transferencia deuna planta en lazo abierto y diseñe un compensador de adelanto de fase quecumpla con las siguientes especificaciones:o Proporcionar un error en estado estacionario ante una entrada escalón
unitario menor del 1%o Proveer un margen de fase de 45 ̊
29101.0
22
sss
ssGp
Diseño de Compensadores Utilizando Diagramas de Bode
39
Ejemplo compensador de atraso.- Para la función de transferencia de lazoabierto, diseñe un compensador de atraso de fase que cumpla con lassiguientes especificaciones:o Proporcionar un error en estado estacionario ante una entrada rampa, para
tener una constante de error de velocidad de kv=20o Proveer un margen de fase de 45 ̊
210
ss
ksGp
Diseño de Compensadores Utilizando Diagramas de Bode
40
Ejemplo compensador de adelanto-atraso.- El sistema de control delembobinado de un rotor se muestra en la figura, el objetivo del sistema esautomatizar el proceso para bobinar un cable de cobre en rotores de motoresde pequeña capacidad.En el diagrama mostrado cada motor tiene tres arrollamientos separados devarios cientos de vueltas de cable. En este sistema el operador únicamenteinserta un rotor completamente bobinado.El motor de CD se utiliza para lograr arrollamientos precisos y rápidos, por locual, el objetivo es lograr una alta precisión en estado estacionario tanto parala posición, como para la velocidad.Diseñar un compensador de adelanto-atraso para proporcionar al sistema unmargen de fase de 50 ̊ , considerando una constante de error de velocidad dekv=10.
Diseño de Compensadores Utilizando Diagramas de Bode
41
controlador
referencia
Motor de CD
Motor de pasos
Cable de armadura
Cuña de aire
Suministro de aire
Lazo de arrollamientos
105
1
ssssGp
Referencia,
Lázaro Castillo I.I., 2008, Ingeniería de Sistemas de Control Continuo, Editorial Universitaria.
Diseño y compensación de sistemas en el dominio de la frecuencia
42