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Compensadores de adelanto, atraso y combinación de ambos

Alejandro Palacios ÁvilaPaulo Jiménez MataDevon Mora Gal

Contenidos

● Introducción al dominio de la frecuencia.○ Diagrama de Bode.

○ Parámetros del diagrama de Bode.

○ Estabilidad

○ Diseño de controladores en el dominio de la frecuencia.

● Compensadores de adelanto

● Compensadores de atraso

● Compensadores de atraso-adelanto

Diagrama de Bode

● Es una representación gráfica de la respuesta en frecuencia de un sistema lineal.

● Consiste de dos gráficas:

○ Ganancia (dB = 20 log(y)) vs. frecuencia (log)

○ Fase (en grados) vs. frecuencia (log)

● Es muy ́util para el diseño de sistemas de control y la identificación de sistemas.

● Se puede construir de forma muy sencilla.

Parámetros del diagrama de Bode

● Gcc: Ganancia cuando ω→0, también llamada ganancia en corriente directa.

● fr: Frecuencia de resonancia: frecuencia donde ocurre el sobreimpulso en

magnitud.

● Mp: Pico de resonancia.Valor máximo en magnitud.

● fc: Frecuencia de corte. Frecuencia donde la magnitud paso por 0 dB.

● fb: Ancho de banda. Rango de frecuencias donde la magnitud es mayor a-3 db.

Estabilidad

ΦMF= 180−|φg|

Margen de Fase Margen de Ganancia

MG= 0db−20 log(Mg)

En donde φg es el valor de la fase cuando la ganancia en dB cruza por cero.

En donde Mg es el valor de la ganancia cuando la fase pasa por -180°.

Para que el sistema GLC sea estable el margen de fase y el margen de ganancia deben ser mayores que cero.

[3]

Diseño de controladores en el dominio de la frecuencia

Procedimiento recomendado:

1. Definir las especificaciones en el dominio de la frecuencia.

2. Identificar el/los compensador/es necesarios para alcanzar las respuesta

deseada.

3. Verifica el transitorio por medio de simulaciones.

4. Volver al paso 2 en caso de que no se obtenga la respuesta deseada.

Diseño de controladores en el dominio de la frecuencia

Especificaciones en frecuencia:

● El sistema en lazo cerrado debe ser estable → MG y ΦMF mayor a cero.

● Error en régimen permanente→Identificar tipo de sistema y ganancia del

sistema.

● Sobreimpulso → Margen de fase.

● Tiempo de estabilización→Frecuencia de corte.

Compensadores de adelanto

Función de Transferencia

del Compensador

Con b > 1

Diagrama de Bode del

Compensador

Efectos sobre GTD

● Agrega ΦMF en una región deseada.● Introduce ganancia para altas frecuencias.

[3]


● Para valores de frecuencia mayores a se introducirá un incremento en

la magnitud y fase de GTD.

● Para valores de frecuencia mayores a se tendrá un incremento en la

magnitud de GTD de 20 log(b) y no se tendrá ningún efecto en la fase.

● existe un valor de en donde el compensador de adelanto introducirá un

valor máximo de fase, al cual designaremos .


Proceso de diseño:

● Identificar la cantidad de fase que se desea agregar con el compensador de

adelanto→Encontrar → De esta expresión se despeja b.

● Identificar dónde se quiere agregar la fase adicional→Encontrar →De esta expresión

se obtiene .

Aspectos prácticos:

● Se recomienda utilizar un factor de seguridad de 15°.

● No es recomendable agregar más de 55°.

Ejemplo de implementación


Requerimiento único:

Ejercicio de implementación

Compensadores de atraso

Compensador de retardo electrónico usando amplificadores operacionales

El requerimiento para que el circuito

sea un compensador de atraso

Función de transferencia

Donde,

Compensadores de atraso: Caracteristicas

● El compensador tienen un cero en s = - 1/T y un polo en s = - 1/(βT).

● El compensador en atraso es esencialmente un filtro paso bajas

● Mejora respuesta en estado estacionario

● Reduce la ganancia a altas frecuencias sin reducirla a bajas frecuencias.

● Aumenta el tiempo del transitorio

Diseño de un compensador de atraso

Un sistema posee la siguiente una función de transferencia en lazo abierto

Se desea diseñar un compensador de atraso con los siguientes requerimientos:

● Un margen de fase ΦMF ≥ 40°

● Un margen de ganancia MG ≥ 12dB

● Una constante de error de velocidad estática Kv ≥ 4 seg-1


● Primero se calcula el Kv del sistema

● Se calcula el error de estado estacionario del sistema ante una entrada de rampa


Simulación en Simulink

ESS


● A continuación se determina la ganancia a agregar al sistema

● Se vuelve a calcular el error de estado estacionario para una entrada rampa


Simulación agregando la ganancia del

compensador

K

ESS


Se traza el diagrama de bode (lazo abierto) con el fin de conocer el ΦMF y MG del

sistema con ganancia K de 2

Los márgenes actuales no cumplen con los requerimientos solicitados.


● A continuación se calcula el margen de fase deseado que corresponde al margen

de fase requerido más un agregado entre 5º y 12º

● Para este caso se agregara 5º de margen de fase

● Ahora sumándole a -180º, 45º nos da que el sistema original va a presentar una

fase de -135 grados, donde esto se cumple a una frecuencia de 2.45 rad/s,

llamada frecuencia de transición de ganancia

Ángulo de compensación


Frecuencia de transición de la ganancia requerida

Nueva frecuencia


● La frecuencia de corte más alta del compensador debería ser entre 2 a 10 veces

menor de esta frecuencia

● Utilizando el diagrama de bode del sistema, la ganancia que se obtiene a la

frecuencia de 2.45 rad/s es de 2.63 dB

Periodo

Cero del compensador


● Se utiliza la siguiente fórmula para hallar la constante de separación entre el

polo y el cero βPolo del compensador


● Definir ganancia de compensador

Con todos los parámetros hallados se procede a determinar la estructura del

compensador


Diagrama de bode del compensador


Función de transferencia de

sistema compensado

ESS


Los márgenes de ganancia y fase cumplen con los requerimientos de diseño

Compensación en atraso-adelanto

La compensación de adelanto básicamente acelera la respuesta e incrementa la

estabilidad del sistema.

La compensación de atraso mejora la precisión en estado estable del sistema, pero

reduce la velocidad de la respuesta.

Si se desea mejorar tanto la respuesta transitoria como la respuesta en estado

estable, debe usarse en forma simultánea un compensador de adelanto y un

compensador de atraso.


[1]

Para 0 < ω < ω1 actúa como compensador de atraso.

Para ω1 < ω < ∞ actúa como compensador de adelanto.

La frecuencia ω1 es aquella en la cual el ángulo de fase es 0.

[1]


[1]


Se requiere cumplir con:

El coeficiente estático de error de velocidad Kv = 10 seg⁻¹

Un margen de fase MF = 50°

Margen de Ganancia de MG ≥ 10 dB


El coeficiente estático de error de velocidad:

Como se requiere Kv = 10 entonces:

Margen de fase no compensado: -32°

G(jw) = -180° en ω = 1.5 rad/seg

Nueva frecuencia de cruce 1.5 rad/seg para

adelanto de fase de 50°

Frecuencia esquina de retardo de fase es igual

a ω = 1/T2 por lo tanto ω = 0.15 rad/seg

[1]

Con β=10 se obtiene una margen de fase maxima de 54.9°

Frecuencia de esquina ω = 1/βT2 por lo tanto ω = 0.015 rad/seg

Función de transferencia de la parte de retardo

Parte de retraso

Parte de adelanto

G(j1.5) = 13 dB

Pendiente de 20dB/década que atraviesa el

punto 1.5 rad/seg, -13 dB

Intersecciones con 0db y -20dB determinan

las frecuencias esquina.

Frecuencias esquina de 7 rad/seg y 0.7

rad/seg respectivamente.

[1]


Con Kc=1 se obtiene la función de transferencia del compensador retardo-adelanto:

Función de transferencia a lazo abierto compensada:

Referencias

[1] K. Ogata, Modern Control Engineering. Upper Saddle River, NJ, USA,

Prentice Hall PTR., 2001.

[2] Dorf, Richard, Bishop Robert. „Sistemas de control moderno“, 10ª Ed.,

Prentice Hall, 2005, España

[3]C. Meza Benavides, "Control en el Dominio de la Frecuencia",

2018[Diapositivas de PowerPoint].

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