Autor: Mario A. Jordán

Fundamentos de Control Realimentado

NOTA: Esta Copia de Power-Point es para uso exclusivo del Alumnado de FCR,2do. Cuatrimestre 2013. Contiene los conceptos fundamentales en el marco de la

Bibliografía disponible y es una contribución didáctica para el Curso. Esta versión está sujeta a futuras mejoras y extensiones.

Este es un Power Point Show realizado en Power Point Professional Plus 2007

Clase 29 Versión 1 - 2013

Contenido:

Criterio de Estabilidad de Nyquist

Otros Métodos de Diseño de un SC en la frecuencia

Compensadores dinámicos de adelanto

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Compensadores dinámicos de atraso

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Compensaciones Dinámicas en el Dominio Frecuencial

Método de Diseño IICompensadores de adelanto de fase

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Compensador Dinámico por Adelanto de Fase

Frente al Controlador PD visto, es conveniente emplear Compensadores Dinámicos de Adelanto (lead) cuando el problema de ruido del sensor es significativo (típicamente en bandas de altas frecuencias, más allá deLa última frecuencia de corte de la planta).

Así, la estructura de un comp. lead obedece a:

con 1>a>0 zp

1-aa 1/T

-1/T-1/aT

s

w

Ejemplo con =0.1

4

Ejemplo con =0.1

Similarmente, si la separación entre p y z es alta ( 1a >>1) , el polo no

tiene mucho efecto de filtrado de ruido en altas frecuencias.

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Características propias de la Compensación Lead

La fase del compensador es:

Derivando f respecto a w e igualando a 0:

, y reemplazando wmax en f queda:

La relación normal entre el polo p y el cero z es de 1/a entre 5 y 10

Contrariamente, si p y z se juntan (a=1) no hay un adelantamiento de fase significativo (se compensan sus efectos por cancelación de p y z!)

wmax= T a1

(d[atan()]/d=1/(1+2))

5

= arcsen 1/ -1a1/ +1a

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Método de diseño II – Justificación6

Idea central

La forma de elegir el cero-polo del compensador en adelanto es sencilla.La idea central consiste en sumar una fase adicional con el compensador a la fase de la planta, es decir G(c)+Lead (c), para alcanzar el valor

deseado

Si una planta no tiene suficiente Margen de Fase, y se desea aumentarlo para especificar por ejemplo un menor Mp del SCLC, entonces se debe adelantar la fase justo en la frecuencia de cruce por cero c de la planta G

Por conveniencia, el aporte de fase del lead se elige igual a su fase máxima en c, quedando definida la posición relativa entre el cero y el polo del lead.

El compensador tiene todavía una variable más que es la ganancia K.La misma puede elegirse para satisfacer condiciones del estado estacionario, por ejemplo disminuir el error de control a largo plazo

Por último el cálculo definitivo de ellos se logra imponiendo un valor 1/ apropiado, el cual debe estar entre 5 y 10

Con una relación 101/a5 se desprende que el margen de fase máximoQue puede aportar el compensador cumple 40º MF 55º.

7

1/ (relación de polo sobre cero)

MF

le

ad

El diseño del compensador por adelanto comienza estableciendo 2 especificaciones del SCLC:

Método de diseño II – Especificaciones

1) El sobrepico Mp máximo deseado en la respuesta al escalón

2) Un máximo error permitido ess del estado estacionario

Para diseñar un compensador que satisfaga las 2 condiciones se utiliza la siguiente gráfica:

Por último, el cumplimiento de un error máximo permitido ess se lograaumentando K apropiadamente

1ra Gráfica de Diseño

Re(s)

Plano s

-1

Im(s)

T+1T+1

G (jw)

Interpretación de la compensación en adelanto

G(wc)+max(wc)

G (jw)

1/

w=

1

w=0T+1T+1

w=0+

w=

wc

8

/G(wc)/=1

wc

30º

Diagrama de Nyquist del compensador

Frecuencia de cruce por 0dB

El compensador aporta 30º más a la fase de

la planta en 1, es decir, en la frecuencia de

cruce por cero de la planta.

PlantaPlanta y compensador Lead

Planta compensada

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Planta

30º

/KDG(w c

)/=1

wc Con ello, la planta compensada y realimentadase aleja del límite de estabilidad al adquirir un mayor margen de fase igual a:

Circunferenciaunitaria

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Ejemplo: Diseño II para una Antena Satelital

Se desea controlar un sistema de rastreo de una antena satelital:

1

s(s+1)G(s)=Especificaciones:

Especificación 1: 1/Kv menor a 0.1

Especificación 2: Mp inferior o igual al 22%

Se usa un compensador lead para satisfacer ambas especificaciones.

Solución:

Es sabido que la realimentación proporcional de este sistema no puede ofrecer un adecuado amortiguamiento s (verificar con LR!) y por ende los ts son prolongados y/o tr pequeños (notar que: ts=4.6/ , s tr=1.8/wn y s =zwn)

Por ello probamos con un compensador lead para mejorar la fase delSCLA (desplazándola hacia arriba en el DB de fase) y proveer un mayor margen de fase (ver Diagrama de Bode total)

9

2da Gráfica de Diseño

Continúa Ejemplo de Diseño II

El error de estado estacionario del sistema tipo I es:

Para R(s)=1/s2 se obtiene:

ess = 1 / KD(0) = 1/Kv 0.1

Se elige K=10 , la cual con D(0)=1, se verifica la primera especificación.

Como se sabe que el SCLC tendrá dos polos complejos conjugados, se emplea la figura de diseño como aproximación.

Observamos además un Mr de 1.2 en la frecuencia de resonancia.

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Ahora falta cumplir con Mp.

10

Se nota que un Mp de alrededor de 22%se logra con un MF de 45°

MF

Sob

repi

co r

ta a

l esc

alón

Mp

Sob

repi

co d

e re

sona

ncia

Mr

1s(s+1)

G(s)=10

s(s+1)KG(s)=

Primero se sube la curva de ganancia con K=10=20dB para lograr ess=1/Kv=1/K=0.1

Se nota que la planta sola, incorpora 18° de MF. Un compensador deberíaaportar por lo menos 27° más (en total 45º) en la frecuencia de cruce w=3 rad/s de KG para lograr el Mp requerido de 22% como máximo

Continúa Ejemplo de Diseño

3x100

polo cero polointegrador

K=10

11

-80

-60

-40

-20

0

20

40

-180

-135

-90

10 -1 100

101

102

18º

Faltan 27º de aporte del Comp.

Sin embargo pedir un max de 27º significa juntar demasiado el cero y el polo del compensador. Notar en la tabla que 1/ nos da un valor de 2.6, el cual es inadmisible. Entonces tomamos el menor posible que es 1/=5.

Con 1/a=5 buscamos ahora la posición del cero a través de: = 3 rad/swmax= T a1

De aquí sale: 1/T = 2.17 y 1/aT = 10.87. Adoptamos el cero en -2 y polo en -10

Nos da en exceso un aporte de 40º .

MF total 53º

12º

En realidad la nueva frecuencia para medir el MF se corrió a la derecha, puesel compensador aporta adelanto de fase. Si medimos en esa frecuencia vemosque el aporte del compensador es de 41º y la planta en ese punto tiene sólo 12º

El MF total queda de 53º el cual produce un Mp menor del especificado igual a 15%. También el pico de resonancia es levemente superior a 0dB.

MF

Sob

repi

co r

ta a

l esc

alón

Mp

Sob

repi

co d

e re

sona

ncia

Mr

El diseño puede finalizar en este paso, o refinar el Mp al valor máximo solicitado. Se puede proceder iterativamente con max junto a 1/ o seguir el camino más fácil de aumentar levemente la ganancia K para disminuir el MF a 45º . Esto a su vez disminuye más el ess.

s(s+1)(s/10+1)

10 (s/2+1)KDG(s)=

aporte de 41º 41º 45º

El aumento de K es de 6dB=2, y ahora Kv=20.

Fin del Diseño II para ejemplo de Antena satelital

20 (s/2+1)KDG(s)=

s(s+1)(s/10+1)

1/ (relación de polo sobre cero)M

F

lead

Tiempo s1,03s

Respuesta del sistema de lazo cerrado al escalón

0

1.4

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Respuesta Temporal del Sistema Antena Controlado

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0.21s0.58s

20% Mp es levemente diferente al indicado de 22%. Esta respuesta corresponde a un de MF=53°

5%

NOTA: las curvas de Mp vs. MF son válidas para un sistema subamortiguado puro.Aquí el sistema SCLC posee además un cero en s=-2.

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Respuesta Temporal del Sistema Antena Controlado

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Respuesta al escalón del sistema de lazo cerrado

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tiempo (seg)

s(s+1)(s/10+1)

20 (s/2+1)KDG(s)=

s(s+1)(s/10+1)

10 (s/2+1)KDG(s)= MF=45º

MF=53º

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Diseño resultante visto en Lugar de las Raíces

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=MF/100=0.45Polo y cero del compensador de adelanto

Planta realimentada con K pero no compensada

Planta realimentada y compensada

Resumen del Método de Diseño II

Determinar la ganancia de baja frecuencia tal que el error de estado estacionario ess esté dentro de los límites de la especificación

Graficar el Diagrama de Bode para KG y extraer frecuencia de cruce

El camino alternativo y más sencillo es subir la ganancia hasta dar con el MF

Método

Se requiere cumplir especificaciones de Kv y Mp. Se elige Comp. Lead

Leer para esta frecuencia el MF y el aporte necesario de fase para cumplir el Mp pedido (Gráfica de Diseño Mp vs. MF). Este aporte lo provee el comp.

lead con su fmax. Se verifica que 1/ esté en los límites correctos

Como la frecuencia de cruce se correrá, se verifica que el fmax sea sufi-ciente, esto es porque la curva de ganancia se corre hacia la derecha

Con este nuevo fmax se entra a la Gráfica de Diseño 1/ vs. MF y se elige 1/a

Con la expresión wmax=1/ Ta1/2 igual a la frecuencia de cruce de KG se halla

1/T y 1/Ta , y se recalcula fmax con fmax =arcsin((a-1- 1)/(a-1+1)) Graficando Bode de KDG se verifica el MF, si es menor o mayor se incre-menta 1/a o se disminuye para dar con el valor correcto iterativamente

15

Resumen del Método de Diseño II

Parámetros especificados en el Método de Diseño

La ganancia de baja frecuencia K que determina el ess (ó Kv)

EL sobrepico Mp la que determina la performance del SC

El margen de fase MF que determina el sobrepico Mp y con él el amortiguamiento z

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Parámetros auxiliares del Método de Diseño

El factor 1/ que determina la posición relativa del cero y el polo del compensador de adelanto

Verificación de la justeza del Método de diseño con el ploteode la respuesta al escalón del SC.

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Compensaciones Dinámicas en el Dominio Frecuencial

Método de Diseño IIICompensador PI

Propiedades de estado estacionario

17

Diseño de un Compensador PI

Sea el compensador PI:1

sKD(s)= s +

1

TI

w (log10 w)

q [

°]

0°

-90°

-180°

w (log10 w)

/KD

/, d

b

PI-20db/dec

La ganancia es muy alta para bajas frecuencias ( para w=0), y debido aesto, la fase de KDG(jw) puede verse comprometida en la frecuencia de cruce wc de la planta, pues la fase de KD(jw) arranca con -90°.

Por ello el Criterio de Diseño es por un lado elegir 1/TI bien a la izquierda de la frecuencia de cruce wc de la planta

Por otro lado se modifica la ganancia K

para proveer un error de estado estacionario adecuado (por Ej. ess=0.05).

wc1/TI

wc1/TI

18

Veamos un ejemplo en Matlab.

MATLAB

19

>> G=tf([4],conv([20 1],[25 10 1])) Transfer function: 4---------------------------------------500 s^3 + 225 s^2 + 30 s + 1 >> roots([500 225 30 1])

ans =

-0.2000 -0.2000 -0.0500

>> rlocus(G)>> bode(G)

>> PI=tf(0.005*[1/0.005 1],[1 0]) Transfer function:s + 0.005-------------- s >> hold on>> bode(PI*G)>>>> close all>> rlocus(G)>> hold on>> rlocus(PI*G)>>

Ejemplo de Diseño III de un PI - MATLAB

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Compensaciones Dinámicas en el Dominio Frecuencial

Compensador de Atraso de Fase (lag)Método de Diseño IV

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Diseño de un Compensador con Atraso de Fase

Un compensador con atraso de fase provee esencialmente suficienteganancia en bajas frecuencias (ganancia finita en w=0) como para disminuir el error de estado estacionario ess

Por ello conserva la propiedad fundamental de un PI. Sin embargo, el aporte de fase negativa no es tan grande como en este controlador

Notar que en un compensador con atraso de fase se cumple que:

con D(0) = a y D()=1, z/p=a>1

es decir, el compensador provee un aumento de la ganancia estática

en la proporción D(0)= >a 1.Sabemos que el papel fundamental de este compensador es colocar el polo y el cero (a la izquierda), ambos muy cercanamente del eje imaginario, pero de tal manera que la fase de KG(jw) no sea alteradarespecto al resultado de la compensación DKG(jw). El margen de fase en la frecuencia de corte ya fue logrado previamente variando K en KG.

aD(s) =Ts+1

aTs + 1

FCR Mario Jordán21

Método de Diseño IV con Compensador de Atraso

Determinar la Ganancia de Lazo Abierto K de KG que cumpliría los requerimientos de un MF deseado en wcruce.

Dibujar en Diagrama de Bode de KG con esa ganancia del paso anterior y evaluar la ganancia de baja frecuencia para cumplir ess

deseadoDeterminar la ganancia a para lograr el error de estado estacionario ess deseado, por ejemplo en sistemas tipo 1 ess=1 / KG(0)

Elegir la frecuencia de quiebre w=1/T del cero de D(s) de tal manera que quede a dos octavas (por lo menos) a la izquierda de wcruce

La otra frecuencia del polo w=1/aT ya queda establecida con a

Como el MF disminuye con DKG, Iterar el procedimiento alterando

levemente las ganancias K y a hasta lograr el MF!

Pasos de diseño

Dar un poco más MF, pues la fase del compensador lag retrasa en wcruce y disminuirá el MF real

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Ejemplo de Diseño con Lag para un Sistema Térmico

Sea la planta:

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo en s

y(t)

Especificaciones de Diseño IV: SCLC con un ess no mayor a 10% y con un MF mayor o igual a 40°

23

u(t)

Planta no compensada con K=1

Sistema térmico

Ejemplo de Diseño con C. Lag para un Sistema Térmico

Se empleara un compensador de atraso pues existe un requerimientode estado estacionario.

e () = lim ss 0

1

1+KD(0)G(0)

1s = 1/(1+Kp)=1/10 = 0.1 ess=

Adicionalmente:

Kp = lim KD(s)G(s)s 0

Investigamos ahora el comportamiento frecuencial de KG mediante un Diagrama de Bode. Ajustamos K para lograr para lograr MF entre 40° y 55º .

FCR Mario Jordán24

Por definición:

Claramente, ni la planta y ni el compensador tienen un integrador, entonces el sistema es de tipo cero y por ende el SCLC tendrá un ess

Entonces Kp = KDG(0) = K = 9 (o mayor)

D

Construimos el Diagrama de Bode para G(jw)

Continúa Ejemplo de Diseño con C. Lag

Diagrama de Bode

Damos un MF inicial mayor de 40°, por Ej. 53° y encontramos un wcruce=0.89 rad/sSubimos /G/ en el valor de 9.54 db=3 justo en wcruce=0.89 rad/s Como pedimos un Kp=9 esto se logra con Kp=a*3G(0)=a*3 Esto impone un a=3 para el compensador lag. Fijamos la wquiebre del polo al menos una década a la izq. de wcruce: 1/aT=10-1 0.891/15 Luego corremos la wquiebre del cero 2 octavas del polo: 22*1/T1/3 y trazamos D(jw)El resultado es un Compensador Lag: 3*(5s+1)/(15s+1).

Mag

nitu

d (d

b)F

ase

(°)

-40

-20

0

20

10-2 10-1 100 101 102-270

-225

-180

-135

-90

-45

0

10-3

G

3DG

MFfinal=45°

-127°

MFinicial=53°

wcruce=0.89 rad/s

wcruce=0.89 rad/s

3G

La curva compensada 3DG cumple con un MF de 45° y un Kp=9. No se itera más.

FCR Mario Jordán25

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Respuesta Temporal de la Planta y de la Planta Controlada

FCR Mario Jordán

y(t) del sistema controlado en el diseño final

y(t) de la planta

SISTEMA TÉRMICO

ess=0.1

26

27

Fin del Curso FCR

2do. Cuatr. 2014