ELABORADO POR: GRUPO #5

-Hanliet Lira 2007-21950

-Claudia Mendez 2007-21558

-Sergio Mendieta 2007-21604

-Sabrina Mendoza 2007-21557

-Francisco Sevilla 2007-21835

-Frederick Ramirez 2007-21655

GRUPO 4T1 – ELECTRONICA

Ejemplo 7.5

Un sistema de control con

es inestable para todos los valores positivos de la ganancia K.

1. Dibuje los lugares de las raices del sistema

2. Usando esta grafica, demuestre que este sistema se estabiliza al añadir

un cero al eje real negativo o modificando G(s) a G1(s), donde

)1()(

2

ss

KsG

)1(

)()(

21

ss

sKsG

1)( sH

)10(

Ejemplo 7.5 Representación en diagrama de bloques

1)( sH

1

R(s) C(s)K)1(

12 ss

)1()(

2

ss

KsG

)1()()(

2

ss

KsHsG

Ganancia en Lazo Abierto

)()(1

)(

)(

)(

sHsG

sG

sR

sC

Función de Transferencia

Compensador

G(s)

H(s)

0)()(1 sHsG

Ecuación Característica

¿Cómo se comporta el sistema cuando K varía de 0 a infinito?

¿Respuesta Transitoria y Respuesta Estacionaria?

Ejemplo 7.5

Medida de desempeño del sistema

td Tiempo de retardo

tr Tiempo de subida

tp Tiempo pico

ts Tiempo de asentamiento

Mp Sobreenlongación

ess Error en estado estacionario

ζ Factor de Amortiguamiento relativo del sistema

ωn Frecuencia natural no amortiguada

• Todo el desempeño transitorio puede ser trasladado en

términos de un par de polos en lazo cerrado dominantes

• Ofrecen completamente el

desempeño transitorio del sistema

Ejemplo 7.5

Medida de desempeño del sistema

ζ Factor de Amortiguamiento relativo del sistema

Ejemplo 7.5

Lugar de las raices #1

Es una descripción total del sistema en términos del parámetro de diseño

(parametro K)

A parir del lugar de las raíces es claro observar el desempeño del sistema a las

variaciones del parámetro de diseño

¿Cómo se comporta el sistema cuando K varía de 0 a infinito?

n

j

j

m

i

i

ps

zs

KsHsG

1

1

)(

)(

)()(

0)()(1 sHsG

Ecuación Característica

0)(1 sF

Siempre es posible

El grafico del lugar de las raíces serán todos los

puntos que satisfacen la ecuación

)1()()(

2

ss

KsHsG

Ganancia en Lazo Abierto

Del ejemplo:

Condición de Magnitud

La condición de magnitud se satisface

siempre para todos los puntos en el plano S

debido que K varia de 0 a infinito

Condición de Angulo

por tanto para hacer el grafico del lugar

de las raíces se buscan los puntos que

satisfacen la condición de Angulo

1)( sF

180)12()( qsF

Ejemplo 7.5

Lugar de las raices #1 Simetría

Segmentos del eje real

Centro de las Asíntotas

Dirección de Asíntotas

Punto de separación

Angulo de salida un polo complejo

Angulo de llegada a un zero complejo

K0

Si el numero de polos y ceros a la derecha

del punto de prueba es impar entonces ese

segmento del eje real es parte de una rama

del lugar de las raíces

)1()()()(

2

ss

KsHsGsF

Ganancia en Lazo Abierto

Del ejemplo:

jω

σ

Plano S

0-1

0K

Polo doble

0K

Ejemplo 7.5

Lugar de las raices #1 Simetría

Segmentos del eje real

Centro de las Asíntotas

Dirección de Asíntotas

Punto de separación

Angulo de salida un polo complejo

Angulo de llegada a un cero complejo

K0

El centro de las asíntotas

)1()()()(

2

ss

KsHsGsF

Ganancia en Lazo Abierto

Del ejemplo:

mn

cerosderealpartepolosderealparteA

jω

σ

Plano S

0-1

0K

Polo doble

0K

0,3 mn

3

1

3

0)100(

AA

-1/3

Ejemplo 7.5

Lugar de las raices #1 Simetría

Segmentos del eje real

Centro de las Asíntotas

Dirección de Asíntotas

Punto de separación

Angulo de salida un polo complejo

Angulo de llegada a un zero complejo

K0

La dirección de las asíntotas

)1()()()(

2

ss

KsHsGsF

Ganancia en Lazo Abierto

Del ejemplo:

mn

qA

180)12(

jω

σ

Plano S

0-1

0K

Polo doble

0K

0,3 mn

300,180,60A

-1/3

1,,1,0 mnq

K

K

K

Ejemplo 7.5Utilizando MATLAB para graficar el lugar de las raíces obtenemos para:

Como hay dos ramas en el

semiplano derecho, el

sistema es inestable para

cualquier valor

K > 0

)1()()()(

2

ss

KsHsGsF

Ganancia en Lazo Abierto

Del ejemplo:

Lugar de las raices #1

Ejemplo 7.5

Lugar de las raices#2 Simetría

Segmentos del eje real

Centro de las Asíntotas

Dirección de Asíntotas

Punto de separación

Angulo de salida un polo complejo

Angulo de llegada a un zero complejo

K0

jω

σ

Plano S

0-1

0K

Polo doble

0K

Ganancia en Lazo Abierto

Del ejemplo:

)1(

)()()(

21

ss

sKsHsG

5.0

K

-0.5

Ejemplo 7.5

Lugar de las raices#2 Simetría

Segmentos del eje real

Centro de las Asíntotas

Dirección de Asíntotas

Punto de separación

Angulo de salida un polo complejo

Angulo de llegada a un zero complejo

K0

El centro de las asíntotas

mn

cerosderealpartepolosderealparteA

1,3 mn

4

1

2

)5.0()100(

AA

Ganancia en Lazo Abierto

Del ejemplo:

)1(

)()()(

21

ss

sKsHsG

5.0

jω

σ

Plano S

0-1

0K

Polo doble

0K K

-1/4-0.5

Ejemplo 7.5

Lugar de las raices#2 Simetría

Segmentos del eje real

Centro de las Asíntotas

Dirección de Asíntotas

Punto de separación

Angulo de salida un polo complejo

Angulo de llegada a un zero complejo

K0

La dirección de las asíntotas

mn

qA

180)12(

1,3 mn

270,90A

1,,1,0 mnq

Ganancia en Lazo Abierto

Del ejemplo:

)1(

)()()(

21

ss

sKsHsG

5.0

jω

σ

Plano S

0-1

0K

Polo doble

0K K

-1/4

K

K

-0.5

Ejemplo 7.5Utilizando MATLAB para graficar el lugar de las raíces obtenemos para:

1)( sH

La adición de un cero a la

función de transferencia

G(s) inclina las ramas del

semiplano derecho a la

izquierda y lleva todas las

ramas del lugar de las

raíces al semiplano

izquierdo

Por tanto es ESTABLE

)1(

)()(

21

ss

sKsG

)10(

Lugar de las raices#2

Ejemplo 7.5

Es una descripcion total del sistema en terminos de un parametro (parametro K)

El amortiguamiento del sistema

El tiempo de establecimiento con el criterio del 2%, (4T)

El denominador es la parte real de los polos en lazo cerrado

El efecto de un zero dará

un pico en la respuesta transitoria.

PERO ESTABILIZARA EL SISTEMA

cosn

4

Lugar de las raices

jω

σ

Plano S

0-1

0K

Polo doble

0K K

-1/4

K

K

Ejemplo 7.5

Lugar de las raices (COMPARACION)

Ganancia en Lazo Abierto

Del ejemplo:

)1(

)()()(

21

ss

sKsHsG

5.0

jω

σ

Plano S

0-1

0K

Polo doble

0K K

-1/4

K

-0.5

)1()()()(

2

ss

KsHsGsF

Ganancia en Lazo Abierto

Del ejemplo:

jω

σ

Plano S

0-1

0K

Polo doble

0K

-1/3

K

K

K

Ejemplo 7.5

Lugar de las raices (COMPARACION)

Ganancia en Lazo Abierto

Del ejemplo:

)1(

)()()(

21

ss

sKsHsG

5.0

)1()()()(

2

ss

KsHsGsF

Ganancia en Lazo Abierto

Del ejemplo:

Obtener la función de transferencia del sistema mecánico de la

figura. Suponga que el desplazamiento xi es la entrada y el

desplazamiento xo es la salida.

Tomando la trasformada de Laplace de estas

dos ecuaciones y suponiendo condiciones

iniciales cero obtenemos:

Ejemplo 7.1

Obtener la función de transferencia del sistema mecánico de la

figura. Suponga que el desplazamiento xi es la entrada y el

desplazamiento xo es la salida.

Como el valor de α es menor que 1, se

trata de una red de adelanto.

Ejemplo 7.1

Considere la red eléctrica de la figura. Obtenga la función de

transferencia de la red.

Ejemplo 7.3

Considere la red eléctrica de la figura. Obtenga la función de

transferencia de la red.

Ejemplo 7.3

Considere la red eléctrica de la figura. Obtenga la función de

transferencia de la red.

Como el valor de α es menor que 1, se trata de una red de

adelanto.

Ejemplo 7.3

Obtener la función de transferencia del sistema mecánico de la

figura.

Ejemplo 7.2

Ejemplo 7.2

Transformada de Laplace y condiciones iniciales

de cero

Ejemplo 7.2

Ejemplo 7.2

Sistema Mecánico de red de adelanto

A partir de esta función de transferencia se observa que este

sistema mecánico es una red de retardo – adelanto.

Ejemplo 7.2

Considere la red eléctrica de la figura. Obtenga la función de

transferencia de la red.

Ejemplo 7.4

Ejemplo 7.4

Ejemplo 7.4

Esta es una red de retardo - adelanto.

)1(