Tpicos Selectos de Transferencia de Masa

Tpicos Selectos de Transferencia de MasaPrediccin del coeficiente de difusin

INTRODUCCIN

En la transferencia de masa el trmino coeficiente de difusin es utilizado para el trasporte molecular de masa que ocurre usualmente por un gradiente de concentracin, pero en ocasiones es debido a un gradiente de temperatura, presin o por la accin de alguna fuerza impulsora. Est es una propiedad del sistema que depende tanto de la temperatura y la presin, como de la naturaleza de los componentes y se determina por medio del modelo matemtico planteado por Fick en su primera ley.

Las expresiones empricas para calcular el coeficiente de difusin se utilizan cuando se tienen datos experimentales; teniendo en cuenta que para mezclas binarias de gases, estas ecuaciones estn basadas en la teora cintica de los gases y no dependen de la composicin de la mezcla pero si son inversamente proporcionales a la presin y se incrementan con el aumento de la temperaturaEn este trabajo se mencionan las diferentes correlaciones empricas para el clculo del coeficiente de difusin a bajas y altas presiones.

PREDICCION DEL COEFICIENTE DE DIFUSION PARA SISTEMAS GASEOSOS BINARIOS Y DE MEZCLAS MULTICOMPONENTES.

1. Coeficiente de Difusin El trmino coeficiente de difusin o difusividad es una propiedad del sistema que depende de la temperatura, presin y de la naturaleza de los componentes; suele emplearse como una medida de la tasa de transferencia de masa en ausencia de mezcla, ya sea mecnica o convectiva. Las expresiones para calcular la difusividad cuando no se cuenta con datos experimentales, estn basadas en la teora cintica de los gases, sin embargo en la etapa de pregrado se utilizan en alto grado los clculos empricos, los cuales cuentan con una gran exactitud pero dependen de los datos experimentales. En este trabajo solo se tendrn en cuentan los mtodos de clculo empricos para determinar el coeficiente de difusin.

2. Clculo del coeficiente de difusividad

El coeficiente de difusividad es funcin de la temperatura y presin tal como lo es la viscosidad y la conductividad trmica que son las propiedades usadas en cantidad de movimiento y transferencia de calor respectivamente.

Para una mezcla binaria, gaseosa a baja presin se encuentra que:

Si p => DAB Si T => DAB Si xi o xi => DAB constante

Para el clculo del coeficiente de difusividad se han propuesto diversas correlaciones dependiendo de la fase, del intervalo de presin y/o temperatura en la que se encuentre el sistema.

De la siguiente ecuacin:

Se aplica al caso de la difusin en el sentido z nicamente, con y constantes (estado estacionario), las variables se separan fcilmente y si es constante, se puede integrar:

En donde el 1 indica el principio de la trayectoria de difusih ( elevado) y el 2 el final de la trayectoria de difusih (bajo). Sea -=z

(1)

(2)

Cuando se puede aplicar la ley de los gases ideales, la ecuacin (1) puede escribirse de manera ms adecuada para su uso con gases. Entonces

En donde

= presin parcial del componente A

=presin total

=concentracin de fraccin de molar

ADEMS:

De tal forma que la ecuacin (2) se convierte en

(3)

(4)

Para utilizar estas ecuaciones, debe conocerse la relacin entre y. sta generalmente se fija por otros motivos. Por ejemplo, si se va a fraccionar metano sobre un catalizador,

En circunstancias tales que el (A) se difunda hacia la superficie de fraccionamiento y el (B) se difunda al seno del fluido, entonces la estequiometria de la reaccin fija la relacin , y

En otras ocasiones, en ausencia de reaccin qumica, la relacin puede fijarse por razones de entalpa. En el caso de las operaciones puramente separacionales, se presentan con frecuencia dos casos.2.1. Difusin en estado estacionario de A travs del no difundente B

Esto puede suceder, por ejemplo, si se fuera a absorber amoniaco (A) del aire (B) en agua. Puesto que el aire no se disuelve apreciablemente en agua y si no se toma en cuenta la evaporacin del agua, en la fase gaseosa slo se difunde el amoniaco. Entonces, = 0, = const.,

De la ecuacin (3):

Puesto que entonces

Sea:

Entonces:

Esta ecuacin se muestra grficamente en la figura 2.3. La sustancia A se difunde debido a su gradiente de concentracin, - dp,/dz. La sustancia B tambin se difunde con relacin a la velocidad molar promedio con un flux JB que depende de - dp/dz, pero al igual que un pez que nada a contracorriente a la misma velocidad que el agua que fluye con la corriente, Na = 0 relativo a un lugar fijo en el espacio .

2.2. Contradifusin equimolar en estado estacionario

Esta es una situacin que se presenta con frecuencia en las operaciones de destilacin. const.

O para este caso

2.3. Coeficiente de difusin para Sistemas Multicomponentes

Las expresiones para la difusin en sistemas multicomponentes se vuelven muy complicadas, pero con frecuencia se pueden manejar utilizando una difusividad efectiva, en donde la difusividad efectiva de un componente puede obtenerse a partir de sus difusividades binarias con cada uno de los otros componentes. As en estas ecuaciones se puede reemplazar por donde es positivo si la difusin es en la misma direccin que A y negativo si es en la direccin opuesta;

Puede reemplazarse por la efectiva

Los son las difusividades binarias. Esto indica que puede variar considerablemente de uno de los lados de la trayectoria de difusin al otro, empero, generalmente se puede suponer una variacin lineal con la distancia, par realizar clculos prcticos. Una situacin bastante comn es que todas las N excepto sean cero, es decir, cuando todos los componentes, excepto uno, estn estancados, entonces la ecuacin anterior se transforma:

Donde es la fraccin mol del componente i, libre de A.

Ejemplo 1:Calcular la rapidez de difusin del oxgeno (A) gas que no se est difundiendo es una mezcla de metano (B) e hidrgeno (C) en la relaci6n en volumen 2:1. La presin total es , y la temperatura es 273 K. La presin parcial de oxgeno en dos planos separados por 2.0 mm es, respectivamente, 13 000 y 6 500 . Se ha calculado que las difusividades son: ,

Solucin:

2.4. Difusividad de gases a baja presin

2.4.1. Difusividad en mezclas gaseosas a baja densidad

En gases, la difusividad aumenta con la temperatura, y disminuye al aumentar la presin. Tambin disminuye al aumentar el peso molecular. En un gas a baja presin, la difusividad es independiente de la concentracin, por lo que si se cumple que:

Para la prediccin de la difusividad en gases se han planteado diferentes modelos a partir de diferentes teoras, como la teora cintica clsica, la teora cintica de Chapman y Eskog, y teoras de estados correspondientes.

a. Difusividad mediante la ley de estados correspondientes

En esta ecuacin los parmetros tienen las siguientes unidades

A y B son constantes y esos valores estn determinados para los siguientes casos: Para gases no polares

Para el agua (H2O) y un gas no polar

En el caso de que solo tuviramos datos de la Difusividad a una T1 y P1 y quisiramos calcular la Difusividad para una condicin (2) que es T2 y P2. Dato experimental

Dividiendo (1) / (2) tenemos:

Grado de error de esta ecuacin es de 5% y 19%El comportamiento de esta ecuacin no es muy buena a presiones altas.Tabla B.1 parmetros crticos Bird.Ejemplo 2:Se tienen los siguientes datos:

Calculamos:

Ejemplo2:Se esparce en un cuarto un gas en el suelo, hipoclorito de calcio, para que libere cloro

() Distancia entre los centros de las partculas = (Camino libre medio) distancia promedio entre dos colisiones sucesivasXA Fraccin molar del componente A (componente cloro) desprendidoXA Alta concentracin de cloro en el piso casi al 100%(a) Distancia entre planos imaginarios

Concentracin del cloro a una distancia (y)

Concentracin del cloro a una distancia (y-a)

Concentracin del cloro a una distancia (y+a)

Ejemplo 3:La partcula se desplaza y recorre una distancia a1, a2, a3.. en promedio la distancia es menor ().Si tuviese que recorrer ms que () chocara con otra partcula para poder chocar con el plano.

a = Distancia promedio que recorre la partcula despus de chocar con otra hasta un plano imaginario hasta un choque.SI a No es choque entre molculas si que es choque con el plano imaginario.Si a > Antes de chocar con el plano choca con una partcula y luego con el plano.Si a = Choca con una partcula en el aire.Por definicin:

Analizando la figura 4:

Con ayuda de la pendiente del complemento del ngulo

Despejando (b):

Reemplazando en (1) y en (2) tenemos:

N = Conjunto de molculas que atraviesan el plano por unidad de volumen (Cl2 + Aire) o tambin de moles unidad de volumen.N0 = Concentracin total

Ecuacin del flujo cuando el cloro se mueve a travs del aire

1. Comparando esta ecuacin con la ley de Fick para el ejemplo:

Movimiento del cloro y del aire) (Movimiento individual del cloro)Las ecuaciones 1 y 2 son semejantes

Velocidad media de las partculas

De la ecuacin de gases generales

Esta ecuacin se usa cuando y Son resultado de la teora cintica: cuando las partculas son esfricas, cuando las partculas son iguales cuando se trata de mezclas.

Ecuacin para calcular la difusividad en estados correspondientes cuando no hay fuerzas de atraccin y repulsin (ecuacin error del 5%)En tablas del libro Bird se tiene el

Parmetros:

En el caso de que solo tuviramos datos de la Difusividad a una T1 y P1 y quisiramos calcular la Difusividad para una condicin (2) que es T2 y P2.

Dividiendo (1) y (2) tenemos:

Para hallar calculamos pero no hay en tablas (B-2) y (B-1)Entonces: y hay en tablas La difusin en gases alta densidad significa que la presin es mayor a los 10 Atm. (P>10Atm.).Alta densidad P > 10 atm

Parmetros reducidos estn en funcin de la composicin se puede utilizar para cualquier mezcla gaseosa.

El numerador de esta relacin es el producto de la presin alta por la difusividad a una temperatura cualquiera, y el denominador es el producto de una presin baja o multiplicada por la difusividad a la presin baja y a una temperatura igual a la difusividad del numerador.

b. Modelo de la teora cintica de CHAPMAN-ENSKOG

Se basa en el modelo de Lennard-Jones para la energa potencial de interaccin entre una molcula de A y una de B:

Donde (energa caracterstica, que se suele usar dividida entre la constante de Boltzmann K ) y (dimetro de colisin) son parmetros que dependen de las molculas que interactan y se obtienen a partir de los valores de las sustancias puras:

y son valores reportados y se recomienda que vengan de las misma fuente bibliogrfica. Cuando no se tienen estos valores reportados, se pueden estimar con la temperatura y el volumen molar en el punto de ebullicin normal:

La integral de colisin se puede consultar tabulada en funcin de la temperatura adimensional , definida como:

o bien

Donde:

Tabla 1. Parmetros de Leonard-Jones y otras propiedades

Tabla 2. Integral de Colision (Leonnard-Jones)

Ejemplo 4:Estime el coeficiente de difusion para la mezcla de CO2-N2 a 590k y 1bar.Experimentalmente se ha reportado en 1872 una difusividad de 0.583 cm2/s.Solucion:Datos

Hallamos

Hallamos

Reemplazamos en la siguiente ecuacin:

Hallamos el factor de coalicin:

Finalmente remplazamos en la ecuacion para hallar la difusividad

c. Teora modificada por BROKAV para gases polares Cuando uno o ambos de los gases son polares, se puede obtener mejores estimaciones de la difusividad. Esta modificacin emplea la misma frmula bsica para calcular la difusividad pero los parmetros se obtienen de forma diferente:

Primero es necesario calcular un parmetro polar adimensional en base al momento dipolo . Este parmetro se emplea luego para calcular la energa caracterstica y el dimetro de colisin para cada una de los dos compuestos:

La energa caracterstica combinada y el dimetro de colisin combinado se calculan de la misma forma que en la Teora Cintica de Chapman- Enskog. Tambin se calcula un parmetro polar combinado

Se agrega una correccin a la integral de colisin:

Donde:

Es el valor obtenido de las tablas de datos. Finalmente, la difusividad se calcula empleando la misma ecuacin del mtodo de Chapman y Enskog.

d. Mtodo de FULLER

Donde:DAB: Difusividad (cm2/s)T: Temperatura (K)P: Presin (atm)V: Volumen atmico o molecular (cm3/mol)MA y MB: Pesos moleculares

Los valores de se obtienen por contribucin de grupos de acuerdo a la tabla siguiente. Para algunas molculas simples se recomienda emplear los valores especiales indicados consecuentes.Tabla 3 Contribuciones de grupo para volmenes moleculares de difusin(Mtodo de Fuller)

Tabla 4. Volmenes Moleculares de difusin para algunas molculas simples (Mtodo de Fuller)

Ejemplo 5:El vapor de cadmio es toxico. Determine la difusividad en aire a la presin de 1 atm y T=1038 k, v=14 cm3/mol para el cadmio , PM=112.4 gr/mol. Para el aire PM=29 gr/mol y V=20.1 cm3/molSolucin:Utilizamos la siguiente formula:

e. Mtodo de la extrapolacin de HIRSCHFELDERSe emplea para estimar la difusividad a una cierta temperatura y presin cuando ya se tiene como dato la difusividad a otra temperatura y presin conocidas.

Cuando el rango de temperatura es grande, se necesita incluir tambin un factor adicional relacionando las integrales de colisin a ambas temperaturas:

Ejemplo 6:El coeficiente de difusin del CO2 en aire a 1 atm de presin y 400k es 2.63x10-5 cm2/s .Calcular La difusin de CO2 en aire a 600k y 5 atm.

SolucinUtilizamos la extrapolacin de Hirschfelder

2.5. Difusividad en gases a alta presin

No existe un valor especfico de presin a partir del cual se considere "alta". Normalmente los mtodos para gases a baja presin comienzan a mostrar desviaciones significativas a presiones de 5 atm o mayores. A diferencia de los gases a baja presin, a alta presin la difusividad s depende de la composicin. Los mtodos para gases a alta presin generalmente requieren de datos a baja presin a la misma temperatura del sistema (indicado con un superndice +). Esta baja presin suele ser presin atmosfrica, aunque puede ser otra presin si ya se tienen datos a esa presin, pero todos esos datos deben ser a la misma presin. Normalmente se requieren tambin propiedades pseudocrticas de la mezcla ( ,c AB T , ,c AB P y AB ) para calcular propiedades reducidas. a. Mtodo de estados correspondientes de TAKAHASHI

La relacin entre el producto DAB P y su correspondiente valor a baja presin (DAB P)+ est dado en funcin de las condiciones reducidas de acuerdo a la Figura 1.

b. Mtodo de RIAZI Y WHITSON

Para calcular la presin reducida r P se emplea la presin pseudocrtica de la mezcla, mientras que b y c son funciones del factor acntrico de la mezcla WAB: B= -0.38 WAB - 0.27 c= 0.1WAB - 0.05Este mtodo falla para bajas presiones ya que no se obtiene el valor correcto de difusividad. Otra dificultad que presenta es que la viscosidad y la viscosidad a baja presin + generalmente dependen tambin de la composicin.

3. Conclusiones

Estos mtodos de clculo son efectivos para tenerlos en cuenta a nivel estudiantil o para hacer simulaciones a nivel experimental ya que estos se basan en datos experimentales, los cuales no son tan confiables para tenerlos en cuenta en los clculos de diseo de equipos a escala industrial.

Estos mtodos deben ser utilizados en la fase estudiantil ya que son de gran utilidad para comprender fenmenos de trasferencia de masa en procesos de separacin no convencionales como destilacin, absorcin, extraccin, etc.

4. Bibliografa

ROBERT BIRD. Fenmenos de Transporte. Segunda Edicin. Mxico. ROBERT E. TREYBAL. Operaciones de Transferencia de Masa. Segunda Edicin. S. Chapman y T. G. Cowling, The Mathematical Theory of Nonuniform Gases, Cambridge University Press, 3rd edition, 1970. J. H. Ferziger y H. G. Kaper, Mathematical Theory of Transport Processes in Gases, North-Holand, 1972.

17