DIAGNÓSTICO AUTOMÁTICO DE FALLOS PARA SISTEMAS DINÁMICOS NO LINEALES

L. Felipe Blázquez Dpto. Ingeniería Eléctrica y Electrónica. Univ. de León. E.II.I.I. Campus de Vegazana s/n, 24071 León

E-mail: diefbq@unileon.es

Luis J. de Miguel Dpto. Ingeniería de Sistemas y Automática. Univ. de Valladolid. E.T.S.I.I. Paseo del cauce s/n, 42011 Valladolid

E-mail: luimig@eis.uva.es

Resumen Esta comunicación presenta una visión general de las principales técnicas de detección y diagnóstico de fallos basadas en el modelo de la planta que se aplican a los sistemas dinámicos no lineales. Con el objetivo de que el trabajo quede lo más completo posible, se citan en la introducción otros métodos de diagnóstico existentes, y se dedica una sección para tratar brevemente los comportamientos y tipos de no linealidades que más frecuentemente aparecen en los sistemas dinámicos de control. Palabras Clave: Detección y diagnóstico de fallos; redundancia analítica; sistemas no lineales. 1 INTRODUCCIÓN Es un hecho que los modernos sistemas de control se vuelven cada vez más complejos y que los algoritmos de control que se implementan son cada vez más sofisticados. En consecuencia, las características de fiabilidad, disponibilidad, seguridad y protección medioambiental adquieren cada vez mayor importancia. Dichas características son importantes no solo en aquellos sistemas cuya seguridad es crítica, tales como centrales nucleares, plantas químicas y aeronaves, sino en cualquier tipo de proceso de fabricación automatizado como los implicados por ejemplo en el sector del automóvil. Para los sistemas en los que la seguridad es crítica, las consecuencias de los fallos pueden ser extremadamente serias en términos de vidas humanas, impacto medioambiental y pérdidas económicas; por lo que existe una necesidad creciente en la supervisión en línea y en el diagnóstico de fallos con el objetivo de incrementar la fiabilidad, teniendo en cuenta que los síntomas que presentan fallos que se están desarrollando pueden ayudar a evitar fallos irreversibles como caídas del sistema y catástrofes. Para aquellos sistemas donde la seguridad no es crítica, las técnicas de diagnóstico de

fallos en línea se pueden utilizar para mejorar la eficiencia, mantenibilidad, disponibilidad y fiabilidad de la planta. Los métodos modernos de diagnóstico de fallos pueden aportar información del estado del sistema que permita implementar un mejor plan de mantenimiento. Los métodos tradicionales de detección y diagnóstico de fallos se basan en la comparación de variables medidas del proceso con valores límite constantes y preestablecidos (chequeo de umbrales) o la aplicación de sensores redundantes (redundancia física). Otros métodos más avanzados se basan en la aplicación de test (univariables o multivariables) de hipótesis a propiedades estadísticas de las variables del proceso [164]. Dentro de los multivariables, se encuentran aquellos métodos basados en análisis estadísticos de los datos (data-driven), especialmente indicados para grandes sistemas que producen una gran cantidad de datos, ya que reducen esa gran cantidad de información quedándose con la parte más significativa [28]. Entre estos métodos están el análisis de la componente principal (PCA), [73], [74], [76], análisis del discriminante de Fisher (FDA), mínimos cuadrados parciales (PLS) y análisis de variables canónicas (CVA).

Figura 1: Redundancia física frente a redundancia analítica

Otros métodos se basan en la redundancia analítica, figura 1, es decir la comparación del comportamiento actual de la planta con el esperado obtenido mediante un modelo matemático de la misma [29], [75], [48],

Proceso

Conjunto extra de Sensores

Lógica de Diagnóstico

Algoritmo FDI utilizando un Modelo Matemático

Conjunto 1 de Sensores

Alarma

Alarma

Salida

Redundancia Física

Redundancia Analítica

Entrada

Lógica de Diagnóstico

[77]. Algunos de estos métodos tienen un marco determinista, como las ecuaciones de paridad a partir del modelo de espacio de estado [29], [75], ecuaciones de paridad a partir del modelo entrada-salida [68], [77], [40], [70], [71], y observadores [30], [48], [49], [23], [26], [154], [199]; mientras que otros métodos se formulan en un contexto estocástico, como los filtros de Kalman [218], [238], [127], y la estimación de parámetros [91]. La teoría lineal de estos métodos está bien desarrollada y sus relaciones bien establecidas. La equivalencia entre algunos de los métodos anteriores ha sido estudiada por varios autores, por ejemplo [69], [152], [72], [103]. Aunque desde los primeros años de la década de los 70 se vienen produciendo avances significativos en el campo del diagnóstico de fallos tanto en la teoría como en la práctica, ha sido en los últimos años cuando las investigaciones en este campo más se han dirigido hacia los sistemas de control no lineales. Tradicionalmente, el problema del diagnóstico de fallos en sistemas dinámicos no lineales se ha manejado en dos etapas. En la primera se linealiza el modelo alrededor de un punto de operación, para en una segunda etapa aplicar técnicas robustas para generar los residuos [119], [15], [14], [234]. En general, la mayoría de los sistema físicos dan lugar a modelos prácticos y reales de alto orden, variables en el tiempo y no lineales. En sistemas de control, sin embargo, es importante mantener el sistema en un punto de equilibrio y se puede considerar la respuesta del sistema a señales pequeñas en torno a dicho equilibrio. Este método solo funciona bien cuando la linealización no causa mucha diferencia entre los modelos lineal y no lineal y el sistema opera cerca del punto de operación especificado. Al tratar con sistemas con no linealidades altas y amplios rangos de operación, el problema del diagnóstico de fallos debe manejarse utilizando directamente técnicas no lineales. Existen desarrollos y aplicaciones de diagnóstico de fallos con ecuaciones de paridad no lineales [109], [108], [14], [16]. La implementación de filtros extendidos de Kalman para procesos no lineales fue presentada en [22]. Resultados con observadores no lineales fueron publicados por Frank y sus colaboradores [62] y otros [102]. Cuando los modelos analíticos no son lo suficientemente fiables, una red neuronal correctamente entrenada se puede usar como modelo dinámico no lineal de un sistema [25]. Algunas veces se requiere información cualitativa para que el modelo represente adecuadamente al sistema, y es aquí donde la lógica borrosa y las redes neuro-borrosas tienen su papel en aplicaciones de diagnóstico de fallos [50], [64], [19]. En otros trabajos se utilizan herramientas de programación evolutiva para diseñar observadores

[219] y redes neuronales [142]. Recientemente en la literatura de diagnóstico de fallos, a estos métodos basados en modelos analíticos que incorporan técnicas cualitativas se les llama métodos de software computacionales [159], [19] El trabajo sobre diagnóstico de fallos en la comunidad de la Inteligencia Artificial se enfocó inicialmente sobre métodos basados en el conocimiento o sistemas expertos [203], donde se aplica la heurística para asociar explícitamente los síntomas con las hipótesis de fallos. Las deficiencias de estos métodos llevaron al desarrollo de técnicas de diagnóstico de fallos basadas en modelos cualitativos en la forma de ecuaciones diferenciales cualitativas, gráficos dirigidos con signo [202], modelos funcionales cualitativos, modelos estructurales, etc. [107], [215], [216], [179], [180], [28]. La mayoría de los trabajos de diagnóstico e fallos que utilizan métodos basados en el conocimiento trabajan con modelos del sistema en presencia de fallos. En general no es posible obtener un modelo del sistema para cada fallo en particular, ya que el sistema podría dañarse debido al fallo, o bien es peligroso provocar el fallo o porque no es posible provocar todos los fallos. En los últimos años se han publicado algunos trabajos que hacen uso de support vector machine [66] para detección y diagnóstico de fallos. Este método está basado en fundamentos similares a técnicas de inteligencia artificial con sistemas de autoaprendizaje. Los resultados que se han obtenido sen optimistas. En [93] y [208] se puede encontrar la terminología adoptada por el comité técnico del IFAC Symposium on Fault Detection, Supervision and Safety for Technical Processes SAFEPROCESS. Esta conferencia de periodicidad trianual es posiblemente el foro donde se han presentado en los últimos años las principales tendencias en el campo de la detección y diagnóstico de fallos, especialmente relativo a los métodos basados en el modelo de la planta, que constituye la comunidad FDI (Fault Detection and Isolation).

Figura 2: Diagnóstico de fallos y lazo de control La principal ventaja del diagnóstico de fallos basado en el modelo de la planta [41], [25] es que no es necesario añadir componentes hardware al proceso

Diagnóstico de fallos Supervisión

y(t)

Sistema en lazo abierto

entrada de referencia

controlador actuadores planta sensores

salida medida

u(t) yref(t)

entrada

yR(t) uR(t)

actuación salida

para implementar un algoritmo FDI. Dicho algoritmo se puede implementar en la propia computadora que controla el proceso. Además, las medidas necesarias para el control del proceso son en muchos casos suficientes para los algoritmos FDI, por lo que no se necesita instalar nuevos sensores. Así, solo es necesario una computadora más potente y aumentar la capacidad de almacenamiento de información para implementar un algoritmo FDI basado en el modelo de la planta. El enorme desarrollo en tecnología de computadores de los últimos años ha hechos factible la aplicación práctica de tales métodos [48]. La figura 2 muestra la relación entre el sistema de detección y diagnóstico de fallos con el lazo de control del proceso. Se observa que el sistema de detección y diagnóstico de fallos utiliza un modelo del proceso monitorizado en lazo abierto, aunque dicho proceso opere globalmente en lazo cerrado. La figura 3 muestra la arquitectura de un sistema de detección y diagnóstico de fallos basado en el modelo de la planta. El punto de partida es el sistema de adquisición de datos S.A.D., que suministra la información disponible del proceso. A continuación se encuentra el generador de residuos donde se van a calcular dichos residuos que deberían ser cero en ausencia de fallo. Posteriormente se analizan los cambios existentes en los citados residuos, cuya información va a ser indicativa de la presencia de fallos [7], [9], [8]. El modulo de decisión es el que tiene la función de analizar dichos cambios y ofrecer un diagnóstico final. El módulo de adaptación es necesario para realizar la acomodación de fallos, que es la característica que define los sistemas tolerantes a fallos [151], [21].

Figura 3: Sistema de detección y diagnóstico de fallos basado en el modelo de la planta

Esta comunicación está organizada de la siguiente manera. Inicialmente se definen los comportamientos y propiedades de los sistemas de control no lineales, para posteriormente realizar una exposición ordenada de los distintos tipos de no linealidades que frecuentemente existen en los sistemas de control, y a continuación se describen brevemente las herramientas analíticas existentes para el análisis de los sistemas de control no lineales. Seguidamente se presentan los principales métodos de detección y diagnóstico de fallos basados en el modelo de la

planta que se aplican en los sistemas de control no lineales. Dichos métodos se agrupan básicamente en dos categorías. Por un lado se encuentran aquellos que son extensiones o generalizaciones de los métodos basados en modelos lineales, aplicados a los sistemas no lineales. Por otro lado están los métodos que utilizan un aproximador universal como herramienta para construir el modelo de la planta, incluso considerando la incorporación de información cualitativa en dicho aproximador. 2 GENERALIDADES SOBRE LOS

SISTEMAS NO LINEALES Se dice que un sistema es no lineal si no cumple el principio de superposición en algún caso [112], [147], [191], [120], [99]. Este hecho tan importante es la causa de que no se hayan desarrollado las técnicas de análisis de sistemas no lineales tanto como las de los sistemas lineales. Así, el modelo de estado de un sistema no lineal debe abarcar funciones no lineales, ecuación (1) y no es válido el modelo de estado en el formato matricial vectorial con todos los elementos de las matrices A y B constantes o funciones del tiempo e independientes de x e y, ecuación (2), propio de los sistemas lineales; por lo que no se pueden aplicar las técnicas que se basen en dichos modelos. Además, la aplicación de la transformada de Laplace o el álgebra fasorial requiere un modelo de sistema lineal e invariante con el tiempo y una ecuación característica es una propiedad de un modelo lineal. También hay que tener en cuenta que la respuesta en estado estacionario de un sistema no lineal a una entrada sinusoidal se ve como una forma de onda no sinusoidal.

(1)

(2) Una de las características más importantes de los sistemas no lineales, es la dependencia en el comportamiento de respuesta del sistema, de la magnitud y tipo de entrada, además del propio modelo. Por ejemplo, un sistema no lineal puede comportarse de forma completamente distinta en respuesta a entradas escalón de diferentes valores. Con el carácter del comportamiento sensible al nivel de excitación, criterios tales como sobreelongación y tiempo de asentimiento son dependientes del nivel de excitación y un sistema no lineal puede ser estable en una región de operación e inestable en otra. Así, la estabilidad debe especificarse como se observa en la vecindad de un punto de operación particular. Para analizar este concepto, la estabilidad se evalúa típicamente en la proximidad de una condición potencialmente estática conocida como un estado de

generador de residuos S.A.D.

entradas externas

detector de cambios

módulo de decisión

módulo de adaptación

proceso monitorizado

declaración del fallo

x = f(x,u) · x = Ax + Bu ·

equilibrio. Un modelo no lineal puede tener más de un estado de equilibrio y más de un modo de oscilación [143], [122]. El converger a uno de los puntos de equilibrio u otro va a depender de las condiciones iniciales. Esta dependencia de las condiciones iniciales también puede manifestarse en la estabilidad de los sistemas no lineales [122]. Otros comportamientos que se dan en sistemas no lineales son las respuestas de valores múltiples, las resonancias de salto y una variedad de movimientos periódicos tales como oscilaciones sub o superarmónicas. Normalmente, un sistema de control debe operar cerca de un punto de equilibrio, por lo que cuando las magnitudes de las señales en dicho sistema están limitadas en intervalos en los cuales los componentes del sistema exhiben una característica lineal, el sistema es esencialmente lineal. En esta situación es válida la consideración de un modelo de pequeña señal o un modelo lineal a tramos que permite la adaptación de una técnica lineal a un modelo de sistema que no es estrictamente lineal. Dependiendo de los objetivos de un estudio de un sistema no lineal y del carácter del modelo, el análisis puede ser responsable de la obtención de un modelo lineal aproximado que es aplicable en la vecindad de un estado específicamente seleccionado. Utilizando un procedimiento conocido como linealización [146], se puede desarrollar un modelo que es utilizable con pequeñas variaciones del nivel de señal respecto de un estado de equilibrio. Las técnicas de análisis y diseño lineal, incluyendo la evaluación de la estabilidad, son aplicables entonces cuando se operan con pequeñas desviaciones del equilibrio. Cuando las magnitudes de las señales se extienden más allá del intervalo de porción lineal, dependiendo de la severidad de la no linealidad, el sistema no se debe seguir considerando lineal. Por ejemplo, una resistencia experimentará un cambio notable en su valor, o se fundirá, si la corriente excede un valor razonable; un condensador se romperá si la tensión es demasiado alta; un resorte estará totalmente comprimido o alcanzará su límite elástico si se estira más allá de lo permitido y una autoinducción con un núcleo magnético alcanzará la saturación si la densidad de flujo es suficientemente alta, los amplificadores usados en los sistemas de control a menudo exhiben un efecto de saturación cuando la señal de entrada es muy grande; el campo magnético en un motor normalmente tiene propiedades de saturación. Otros efectos no lineales que se encuentran en sistemas de control son el juego entre dos engranajes acoplados, la característica de resorte no lineal, la fuerza de fricción no lineal o par entre dos miembros móviles, etc. Muy a menudo las características no lineales son introducidas en forma intencional en un sistema de control para mejorar su

desempeño o proveer un control más efectivo. Por ejemplo, para alcanzar un control de tiempo mínimo, un tipo de controlador encendido-apagado (relevador) se emplea en muchos misiles o sistemas de control de naves espaciales. Los comportamientos más típicos encontrados en los sistemas no lineales son los siguientes [143], [189], [122], [31], [99]:

• Oscilación subarmónica • Oscilación autoexcitada o ciclo límite • Arrastre de frecuencia • Bifurcación • Caos

2.1 TIPOS DE NO LINEALIDADES EN

SISTEMAS DE CONTROL En este apartado se van a revisar la no linealidades que se encuentran en los sistemas de control. En la figura 4 se muestra el diagrama de bloques típico de un sistema de control. Se compone de cuatro partes: una planta que va a ser controlada, sensores para las medidas, actuadores para las acciones de control y una ley de control generalmente implementada en una computadora. Las no linealidades pueden ocurrir en cualquier parte del sistema, dando lugar a los sistemas de control no lineales.

Figura 4: Diagrama de bloques de un sistema de control

A la hora de analizar el efecto de las no linealidades inherentes en la exactitud estática, hay que tener en cuenta que una característica de los sistemas de control es que la potencia es transmitida por el paso directo, mientras que la exactitud estática del sistema es determinada por los elementos en el paso de realimentación. Por esto, el elemento de medición determina el límite superior de exactitud estática; la exactitud estática no puede ser mejor que la exactitud de este dispositivo de medición. Por tanto, cualquier no linealidad inherente en los elementos de realimentación debe ser mínima. Las no linealidades pueden ser intencionadas (artificiales) y accidentales o inherentes (naturales). Las no linealidades intencionadas se emplean para mejorar la respuesta del sistema o para simplificar su construcción o por ambas causas. En general, el empleo de elementos no lineales da lugar a sistemas más pequeños y que funcionan mejor que los lineales. Un sistema no lineal adecuadamente diseñado para cumplir cierta función, frecuentemente

controlador

r(t) y(t) actuadores

sensores

planta

es mejor desde un punto de vista económico, de espacio y de confiabilidad frente a sistemas lineales diseñados para cumplir la misma tarea. El ejemplo más simple de un sistema no lineal intencional es un sistema corriente accionado por un relé. Se pueden encontrar otros ejemplos en sistemas de control óptimo y control adaptativo que frecuentemente emplean controles no lineales complicados. Debe notarse que aunque los sistemas no lineales intencionales, pueden mejorar el comportamiento del sistema bajo ciertas condiciones de funcionamiento especificadas, en general degradan el comportamiento del sistema en otras condiciones de funcionamiento [143], [117]. Las no linealidades inherentes son aquellas que vienen de forma natural en el hardware o movimiento del sistema, por lo que son inevitables en los sistemas de control. Las siguientes son ejemplos de tales no linealidades: saturación; zona muerta; histéresis; juego; fricción estática, fricción de Coulomb y otras fricciones no lineales; resorte no lineal; compresibilidad de fluido; fuerza centrípeta en movimiento rotacional. En términos generales, la presencia de estas no linealidades en el sistema de control, afecta adversamente el comportamiento del sistema, por lo que dichos sistemas deben estar adecuadamente diseñados para compensarlas. Por ejemplo, el juego puede producir inestabilidad en el sistema y la zona muerta a su vez puede producir error de régimen. También se pueden clasificar las no linealidades como blandas o continuas y duras o discontinuas [34], [189], [117]. Si un elemento se desvía gradualmente de la operación lineal cuando el nivel de excitación aumenta o la temperatura asociada gradualmente se eleva, este hecho se puede describir como una no linealidad blanda o continua. Hay también no linealidades duras o discontinuas que se observan cuando los elementos cambian abruptamente en un nivel específico de excitación. Un ejemplo de este tipo de fenómeno es la limitación que ocurre cuando el nivel de salida de un amplificador operacional se aproxima a la magnitud de la tensión de suministro de continua. La elevada ganancia en el camino directo y la acción de realimentación negativa del circuito tienden a proporcionar una operación casi lineal dentro de un rango limitado de niveles de señal, pero hay un nivel en el que los transistores de salida se fuerzan para trabajar en saturación y aparece abruptamente una limitación. 2.1.1 No linealidades continuas Las no linealidades continuas aparecen en las ecuaciones del sistema en forma de términos

senoidales, potencias, exponenciales de una variables, productos de diferentes variables. Un caso particular de sistemas con no linealidades continuas son los sistemas bilineales, que son aquellos en los que los únicos términos no lineales que aparecen en sus ecuaciones de estado son productos de variables de estado con variables de entrada. Las no linealidades continuas se eliminan usualmente de la ecuación diferencial asignando márgenes restringidos a las variables y mediante aproximaciones lineales para representar los coeficientes no lineales. Se reconoce, indudablemente, que la verdadera respuesta no será exactamente la predicha. Sin embargo, la diferencia debe ser pequeña en tanto lo sea la perturbación. De interés inmediato es la estabilidad del sistema. Mediante la teoría de Lyapunov, puede llegarse a la conclusión de que el empleo de la aproximación lineal de ecuaciones no lineales da un análisis correcto de la estabilidad. Sin embargo, este sólo es válido para pequeñas perturbaciones [34], [189], [31], [116], [99]. 2.1.2 No linealidades discontinuas Las no linealidades discontinuas o duras también se las conoce como no linealidades rápidas, significando con ello que el modo de operar cambia rápidamente comparándolo con el tiempo de respuesta del sistema [143], [34], [189], [31], [116], [205], [99]. A continuación se presentan las no linealidades duras que más habitualmente se presentan en los sistemas de control. Fricción de Coulomb y precarga La fricción de Coulomb existe en todo sistema físico con movimiento de deslizamiento. Así, por ejemplo, está presente entre las escobillas y el colector de un motor, entre engranajes apretados y en cojinetes. La fuerza de fricción es de magnitud constante y siempre de dirección opuesta al movimiento, por lo que aparece una discontinuidad en el instante en que se invierte el movimiento [144], [117]. Una precarga tiene la misma característica que una fricción de Coulomb. La fuerza puede variar de más a menos el valor de la precarga sin producir desplazamiento. La precarga se emplea a menudo para eliminar el arrastre de una posición neutral. Saturación o limitación Cuando se incrementa la entrada de un dispositivo físico, a menudo se observa el siguiente fenómeno: cuando la entrada es pequeña, su incremento causa

un incremento (frecuentemente proporcional) correspondiente en la salida; pero cuando la entrada alcanza cierto nivel, su incremento posterior produce un incremento pequeño o no produce incremento alguno en la salida. La salida simplemente permanece alrededor de su valor máximo. Cuando esto ocurre, se dice que el dispositivo está en saturación. Como ejemplos tenemos amplificadores de transistor y amplificadores magnéticos. Una no linealidad de saturación es usualmente causada por los límites en el tamaño de los componentes, propiedades de los materiales, potencia disponible. Una típica no linealidad de saturación se representa en la figura 5, donde la línea gruesa es la no linealidad real y la línea fina es una no linealidad de saturación ideal [122], [79].

Figura 5: No linealidad de saturación La mayoría de los actuadores presentan características de saturación [189], [121], [116], [205]. Por ejemplo, el par de salida de un servomotor de dos fases no puede incrementarse indefinidamente y tiende a saturarse, debido a las propiedades del material magnético. Análogamente, válvulas controladas por servomotor hidráulico se saturan por los máximo y mínimo caudales permitidos. La saturación tiene efectos complicados sobre las prestaciones de un sistema de control. En general, la presencia de saturación tiende a reducir la ganancia del dispositivo (por ejemplo el amplificador) según se incrementa la entrada. Como resultado, si un sistema es inestable en su rango lineal, este comportamiento divergente se puede convertir en una oscilación automantenida, debido a la inhibición creada por el componente de saturación sobre las señales del sistema. Por otro lado, si el sistema es estable en su rango lineal, la saturación tiende a ralentizar la respuesta del sistema, ya que reduce la ganancia efectiva [189]. No linealidad todo-nada Un caso extremo de saturación es la no linealidad todo-nada o relé. Ocurre cuando el rango de linealidad se reduce a cero y la pendiente de dicho rango se hace vertical. Importantes ejemplos de no linealidades todo-nada incluyen pares de salida de propulsores a gas para control de naves espaciales y,

por supuesto relés eléctricos. Las no linealidades todo-nada tienen similares efectos que los de las no linealidades de saturación. Además pueden provocar vibraciones en sistemas físicos debido a su naturaleza discontinua [189]. Zona muerta En muchos dispositivos físicos, la salida es cero hasta que la magnitud de la entrada supera un determinado valor δ, tal y como muestra la figura 6. Dicha relación de entrada-salida se conoce como zona muerta, umbral, trozo llano o espacio muerto [189], [112]. Si por ejemplo se considera un motor de corriente continua, en un modelo ideal se asume que cualquier voltaje aplicado al bobinado causará movimiento de rotación, por lo que con pequeño voltaje se provoca pequeño movimiento. En realidad, debido a la fricción estática del eje del motor, la rotación ocurrirá solo si el par proporcionado por el motor es suficientemente grande. Análogamente, cuando se transmite movimiento por conexión de componentes mecánicos, aparecen zonas muertas por los espacios debidos a la fabricación. Fenómenos similares a la zona muerta ocurren en los actuadores neumáticos de válvulas controladas y en componentes hidráulicos [198].

Figura 6: No linealidad de zona muerta Las zonas muertas tienen un número de posibles efectos en los sistemas de control. Su efecto más común es disminuir la precisión de la salida estática. También pueden dar lugar a ciclos límite o inestabilidad en el sistema debido a la ausencia de respuesta en la zona muerta. En algunos casos, sin embargo, pueden estabilizar de hecho un sistema o eliminar las auto-oscilaciones. Por ejemplo, si se añade una zona muerta a un relé ideal se reduce la oscilación de los contactos del relé. Esto reduce el arco eléctrico que pudiera producirse entre ellos y, por tanto, el desgaste de los mismos, reduciéndose también la fatiga del equipo. Es posible utilizar una técnica de zona muerta para mejorar la robustez de sistemas de control adaptativo con respecto al ruido en la medida.

entrada

salida

lineal

saturación saturación

k

zona muerta

δ

–δ

entrada

salida

Holgura e histéresis La holgura ocurre a menudo en sistemas de transmisión. Es causada por los pequeños espacios que existen en los mecanismos de transmisión. En trenes de engranajes siempre hay pequeños espacios entre un par de engranajes acoplados, debidos a los errores inevitables en fabricación y montaje [189], [112]. La figura 7 muestra una situación típica. Como resultado de los espacios, cuando el engranaje conductor gira un ángulo más pequeño que el espacio b, el engranaje conducido no se mueve en absoluto, que corresponde a la zona muerta (segmento OA en la figura 7); después que se haya establecido el contacto entre los dos engranajes, el engranaje conducido sigue la rotación del engranaje conductor de un modo lineal (segmento AB). Cuando el engranaje conductor gira en sentido contrario una distancia de 2b, el engranaje conducido vuelve a no moverse, que se corresponde con el segmento BC en la figura 7. Después de restablecerse el contacto entre los dos engranajes, el engranaje conducido sigue la rotación del engranaje conductor en el sentido contrario (segmento CD). Así, si el engranaje conductor tiene movimiento periódico, el engranaje conducido se moverá siguiendo el camino cerrado EBCD. Se hace notar que la altura de B, C, D, E en esta figura depende de la amplitud de la entrada sinusoidal [198]. Para reducir la holgura en engranajes desgastados es preciso un buen ajuste de los dientes y reducción de las excentricidades.

Figura 7: No linealidad de holgura Una característica crítica de la holgura es su naturaleza multivaluada. Correspondiente a cada entrada, son posibles dos valores de la salida. Que uno de los dos ocurra depende de los valores pasados de la entrada. Se remarca que una no linealidad multivaluada similar es la histéresis, que se observa frecuentemente en componentes de relé. Las no linealidades multivaluadas como la zona muerta y la histéresis generalmente dan lugar a almacenamientos de energía en el sistema. El almacenamiento de energía es causa frecuente de inestabilidad y de oscilaciones automantenidas [189]. 2.2 TÉCNICAS DE ANÁLISIS DE

SISTEMAS NO LINEALES No hay un método general para tratar todos los sistemas no lineales, porque las ecuaciones

diferenciales no lineales no disponen de un método general de ataque. Se pueden hallar soluciones exactas solamente en ciertos tipos simples de ecuaciones diferenciales no lineales. Para muchas ecuaciones diferenciales no lineales de importancia práctica, sólo se pueden hallar soluciones aproximadas y estas soluciones sólo mantienen su validez, aun cuando son halladas, bajo condiciones limitadas. Como no hay un método general, se puede tomar cada ecuación no lineal o grupo de ecuaciones similares individualmente y tratar de desarrollar un método de análisis que se aplique satisfactoriamente a ese grupo particular. Nótese que aunque es posible una generalización muy limitada dentro de un grupo de ecuaciones similares, tal generalización es imposible de forma amplia a partir de una solución particular. 2.2.1 Plano fásico El análisis del plano fásico es un método gráfico para estudiar sistemas no lineales de segundo orden. La idea básica es resolver gráficamente una ecuación diferencial de segundo orden, en vez de buscar una solución analítica. El resultado es una familia de trayectorias de movimiento del sistema en un plano de dos dimensiones, llamado el plano fásico, en el cual se puede visualizar los patrones de movimiento del sistema. Aunque el análisis del plano fásico tiene un número importante de ventajas, tiene como principal desventaja el ser aplicable solo a sistemas que pueden ser bien aproximados por dinámicas de segundo orden. Debido a su naturaleza gráfica, se utiliza frecuentemente para proporcionar pistas sobre los efectos no lineales. En concreto, el plano de fase es útil para determinar la estabilidad y la respuesta temporal de sistemas de segundo orden con no linealidades [143], [189], [212], [116], [117], [205], [99]. 2.2.2 Teoría de Lyapunov La teoría básica de Lyapunov comprende dos métodos introducidos por Lyapunov, el primer método o método indirecto y el segundo método o método directo [143], [144], [145], [146], [189], [59], [212], [31], [122], [116], [10], [205], [99]. Método indirecto El método indirecto o método de linealización, establece que las propiedades de estabilidad de un sistema no lineal en las proximidades de un punto de equilibrio son esencialmente las mismas que las de su correspondiente sistema linealizado simple [45], [121], [112], [79], [99]. Algunos ejemplos

ángulo de salida

b -b

C B

D

pendiente 1O A

ángulo de entrada

E

b

engranaje conductor

engranaje conducido

importantes son la técnica de análisis de pequeña señal que se aplica a circuitos de transistores y el modelo de pequeña señal que se aplica al análisis del péndulo. El método sirve como la justificación teórica para usar control lineal para sistemas físicos, los cuales son inherentemente no lineales. Así, por ejemplo, en el diseño de sistemas de control, es práctico primero diseñar el controlador con base en un modelo de un sistema lineal despreciando las no linealidades del sistema. Entonces, el controlador diseñado se aplica al modelo del sistema no lineal para su evaluación o rediseño mediante simulación en computadora. En muchos casos prácticos, el interés primario es la estabilidad de los sistemas de control no lineales, y pueden no ser necesarias las soluciones analíticas de las ecuaciones diferenciales no lineales, puesto que establecer criterios de estabilidad es mucho más simple que obtener soluciones analíticas. Otra situación donde es aplicable la linealización es cuando la operación del sistema no lineal se caracteriza por cambios abruptos en el modelo que ocurren en niveles de señales específicos. Este tipo de operación sucede con la presencia de fenómenos tales como rozamiento estático y de Coulomb o puede generarse mediante la introducción a propósito de una característica no lineal, tal como la acción de un controlador tipo relé. Es posible entonces desarrollar múltiples modelos lineales para describir los diferentes modos de operación. La simulación es lineal a tramos y cada uno de los modelos lineales es aplicable bajo condiciones definidas cuidadosamente. Cuando se detecta una condición para cambiar modelos, la información que se necesita para continuar la simulación es una descripción del nuevo modelo y una descripción del estado del sistema. Si se utiliza un modelo de estado para describir cada uno de los diferentes modos de operación de un sistema lineal a tramos, toda la información que se requiere está disponible. En el instante que el modelo cambia, el estado final del modelo previo se convierte en el estado inicial del nuevo modelo [117]. Los modelos obtenidos a partir de linealización son simples de manejar y permiten un estudio analítico de los sistemas, no obstante es importante tener en cuenta lo siguiente:

• En general, los modelos lineales sólo son válidos alrededor del punto de operación.

• Las variables implicadas en el modelo son cambios sobre el punto de operación.

• Es posible obtener modelos diferentes para condiciones de operación diferentes.

• Los parámetros de los modelos lineales pierden su significado físico original.

Método directo El segundo método de Lyapunov o método directo es una herramienta poderosa para el análisis de sistemas no lineales, por lo que el llamado análisis de Lyapunov a menudo se refiere de hecho al método directo. El método directo es una generalización de los conceptos de energía asociados con un sistema mecánico: el movimiento de un sistema mecánico es estable si el total de su energía mecánica disminuye todo el tiempo. Al utilizar el método directo para analizar la estabilidad de un sistema no lineal, la idea es construir una función escalar de energía (una función de Lyapunov) para el sistema y ver si decrece [31], [79], [99]. La potencia de este método viene de su generalidad: es aplicable a todos los tipos de sistemas de control, sean variantes o invariantes con el tiempo, de dimensión finita o infinita. La limitación de este método recae en el hecho de que a menudo es difícil encontrar una función de Lyapunov para un sistema dado. Así, el segundo método de Lyapunov puede ser aplicado a análisis de estabilidad de cualquier sistema no lineal, pero su aplicación puede ser obstaculizada por la dificultad en hallar funciones de Lyapunov para sistemas no lineales complicados. Aunque el método directo de Lyapunov es originalmente un método de análisis de estabilidad, se puede utilizar para otros problemas de control no lineal. Una aplicación importante es el diseño de controladores no lineales. La idea es de algún modo formular una función escalar positiva de los estados del sistema, y entonces escoger una ley de control que haga esa función decrecer. Un sistema de control así diseñado tendrá garantizada su estabilidad. Tal enfoque de diseño ha sido utilizado para resolver muchos problemas complejos de diseño en robótica y control adaptativo. El método directo también se puede utilizar para estimar las prestaciones de un sistema de control y estudiar su robustez. 2.2.3 Función descriptiva El método de la función descriptiva es una técnica aproximada para estudiar los sistemas no lineales. La idea básica del método es aproximar los componentes no lineales en los sistemas de control no lineales por sus sistemas lineales equivalentes, y así utilizar técnicas del dominio de la frecuencia para analizar los sistemas resultantes. El método de la función descriptiva da información respecto a la estabilidad del sistema no lineal, pero no da información exacta respecto a las características de respuesta temporal [143], [34], [189], [212], [31], [116], [117], [205], [99].

Al contrario que el plano fásico, no se restringe a los sistemas de segundo orden. Al contrario que los métodos de Lyapunov, en los cuales su aplicabilidad a un sistema específico depende del éxito en una búsqueda basada en prueba y error de una función de Lyapunov, la aplicabilidad de la función descriptiva es directa para los sistemas no lineales que satisfagan ciertas condiciones fáciles de comprobar. Este método es utilizado principalmente para predecir ciclos límite en sistemas no lineales dando una medida aproximada de la magnitud y de la frecuencia. Otras aplicaciones incluyen la predicción de generación de subarmónicos, fenómenos de salto y la determinación de la respuesta del sistema frente a una excitación sinusoidal. El método de la función descriptiva presenta ciertas ventajas:

• Se puede aplicar a sistemas de bajo orden y a sistemas de alto orden siguiendo el mismo procedimiento directo.

• Debido a su similitud con el análisis en el dominio de la frecuencia de sistemas lineales, es conceptualmente simple y físicamente atractivo, permitiendo al usuario manejar conceptos de física e ingeniería en sistemas de control.

• Puede manejar las no linealidades duras que frecuentemente se encuentran en sistemas de control sin dificultad alguna.

Las desventajas del método están ligadas a su naturaleza aproximativa e incluyen la posibilidad de predicciones inexactas (falsas predicciones pueden ser hechas si ciertas condiciones no se satisfacen) y restricciones en los sistemas a los cuales se aplica, por ejemplo, es complicado de aplicar a sistemas con múltiples no linealidades. 2.2.4 Simulación Con las computadoras modernas, se han desarrollado nuevos métodos para tratar los problemas no lineales. Las técnicas de simulación con el uso de computadoras analógicas y/o digitales, son muy poderosas para analizar y diseñar sistemas de control no lineales. Ahora es posible manejar sistemas no lineales complicados en tiempo razonable utilizando computadoras. Cuando la complejidad de un sistema impide el uso de cualquier método analítico, las simulaciones en computadora pueden ser una forma ventajosa de obtener la información necesaria a los fines del diseño [143], [162], [32], [33], [34], [116], [117], [67], [131], [205].

3 DIAGNÓSTICO DE FALLOS EN SISTEMAS NO LINEALES

La mayoría de los métodos de diagnóstico de fallos basados en modelos consideran modelos lineales de los sistemas. Para sistemas no lineales, el problema del diagnóstico de fallos se ha abordado en dos pasos. En primer lugar se linealiza el modelo alrededor de un punto de operación, y posteriormente se aplican técnicas robustas para generar los residuos que sean insensibles a variaciones en los parámetros del modelo dentro de un pequeño intervalo en la vecindad del citado punto de operación [119], [15], [234], [14]. Las técnicas robustas que se aplican son las desarrolladas para modelos lineales [35], [71], [25], [158]. Esta estrategia sólo funciona bien si el modelo linealizado no se comporta muy diferente del propio sistema no lineal, pues los residuos se han diseñado para ser lo suficientemente robustos para tolerar pequeñas perturbaciones del modelo alrededor de su punto de operación, y el sistema opera cerca del punto de operación especificado. Sin embargo, para sistemas con grandes no linealidades y amplios rangos de operación dinámica, la técnica de linealización no puede dar resultados satisfactorios. Un modelo linealizado es una descripción aproximada de un sistema dinámico no lineal alrededor de su punto de operación. Sin embargo, cuando el rango de operación se hace más amplio, el modelo linealizado no es capaz de representar la dinámica del sistema. Una posible solución es utilizar varios modelos linealizados que se corresponden con varios puntos de operación. Sin embargo, esto implicaría un gran número de sistemas de diagnóstico, uno por cada punto de operación, cosa que no es muy práctica para aplicaciones en tiempo real. Así, para sistemas dinámicos con grandes no linealidades y amplios rangos de operación, es necesario utilizar métodos de diagnóstico de fallos que manejen modelos dinámicos no lineales directamente. Ha habido varios intentos de utilización de observadores no lineales para resolver problemas de diagnóstico de fallos en sistemas no lineales. El primer trabajo fue [87] donde se utilizó un observador no lineal identidad. Este método fue posteriormente considerado por [1]. Sin embargo, un método de diseño de la matriz de ganancias que asegure la estabilidad del observador no ha sido desarrollado. En [51] y [110] se revisan, desde diferentes perspectivas, los desarrollos de los métodos de diagnóstico de fallos en sistemas no lineales anteriores a 1994. La técnica de observador de entrada desconocida fue extendida para incluir términos no lineales [222], [58], [173], [54], [158], [96], [97]. Se han propuesto varios métodos de diagnóstico de fallos basados en un observador adaptativo para ciertas clases de sistemas no lineales

[44], [165], [213], [39], [236], [201], [119], [164], [163], [13], [232]. En [209] se propone un observador adaptativo para el diagnóstico robusto de fallos en sensor aplicado a una clase de modelos no lineales en tiempo discreto. En [42] se propone un método geométrico para caracterizar el problema de la detección y aislamiento de fallos para una clase de modelos no lineales, estableciendo la condición necesaria y suficiente (expresada en términos de distribuciones no observables) de existencia de un observador que se puede utilizar como generador de residuos. En [210] se propone un método numéricamente factible para el diagnóstico robusto y estable de fallos en sistemas modelados mediante ecuaciones combinadas algebraicas y diferenciales no lineales. Desde un punto de vista puramente matemático, el diagnóstico preciso de fallos en sistemas dinámicos no lineales es algo muy ambicioso. Este objetivo se vuelve considerablemente más difícil cuando existe incertidumbre en el sistema. Así, es necesario restringirse a una clase de sistemas no lineales en el estudio de los métodos de diagnóstico de fallos [211], [232], [183]. Una clase de sistemas no lineales que ha sido ampliamente estudiada son los sistemas de dinámica bilineal. Estudios importantes de diagnóstico de fallos es sistemas bilineales se pueden encontrar en [230], [226], [229], [227], [177], [224], [228], [132], [4], [171], [84], [235]. La idea principal es tratar los términos no lineales como perturbaciones y desacoplar sus efectos del residuo utilizando un observador de entrada desconocida. Esta idea se demuestra en un ejemplo práctico en [25]. El observador de modo deslizante (sliding mode observer) [188], [46], también se ha aplicado a diagnóstico de fallos en sistemas no lineales [176], [47], [100], [101], [2], [197], [95], [27]. Hay estudios que extienden el método de las relaciones de paridad a sistemas no lineales [109], [108], [111], [80], [14], [16]. Al contrario que en los sistemas lineales, en los sistemas no lineales no hay una relación directa entre los métodos de diagnóstico de fallos basados en relaciones de paridad y los basados en observadores. Debido a nuevos desarrollos en observadores no lineales [167], [223], el problema del diagnóstico de fallos se ha investigado para sistemas no lineales más generales [172], [62], [82], [83], [25], [158], [12], [178]. Los modelos analíticos, en los que se basan las técnicas de observador no lineal, no son fáciles de obtener en la práctica. Algunas veces el sistema no se puede modelar mediante modelos matemáticos explícitos. Sin un modelo, el diagnóstico de fallos basado en observador es imposible. Para resolver este problema, es deseable encontrar un modelo aproximado universal que pueda usarse para

representar cualquier sistema no lineal de forma aproximada. Además, debería haber un mecanismo que pueda identificar automáticamente ese modelo universal. La red neuronal puede ser tal poderosa herramienta para manejar problemas no lineales. Una de las más importantes ventajas de las redes neuronales es su capacidad para implementar transformaciones no lineales por problemas de aproximación funcional. Así, las redes neuronales son capaces de generar una aproximación arbitrariamente cercana a cualquier función continua no lineal, dando los factores de peso y una arquitectura de red adecuada [141], [90], [140]. Hay muchos modos sistemáticos de establecer modelos de red neuronal basados en la poderosa habilidad de aprender de las redes neuronales. Hay un gran número de publicaciones sobre diagnóstico de fallos basado en redes neuronales [214], [137], [88], [194], [217], [193], [98], [115], [139], [138], [126], [157], [104], [153], [56], [129], [38], [37], [150], [36], [130], [135], [149], [125], [61]. La red neuronal, como herramienta de aproximación óptima para manejar problemas no lineales, se puede usar para superar las dificultades de las técnicas tradicionales a la hora de tratar con no linealidades. Según Chen y Patton [25], hay poco que ganar mediante la aplicación de redes neuronales a sistemas lineales invariantes con el tiempo. Las redes neuronales están propiamente dirigidas a procesos mal definidos, complejos, no lineales y estocásticos. Las redes neuronales tienen muchas ventajas y se pueden utilizar de varias maneras para abordar problemas de diagnóstico de fallos en sistemas dinámicos no lineales. En el uso de las redes neuronales para el diagnóstico de fallos, hay dos problemas principales que acompañan la mayorías de las primeras publicaciones. El primer problema es que la mayoría de los estudios solo tratan con procesos en estado estacionario. Para alcanzar el diagnóstico en línea de fallos en presencia de comportamientos transitorios, hay que considerar la dinámica del sistema. El segundo problema es que la red neuronal solo se usa como un clasificador del fallo y otras ventajas de las redes neuronales no han sido totalmente explotadas. En estas aplicaciones, las redes neuronales son simplemente utilizadas para examinar la posibilidad de fallo o comportamiento anormal de las salidas del sistema y dar una señal de clasificación del fallo que declare si el sistema tiene o no tiene fallo. Puede ser válido para algunos sistemas estáticos utilizar solo salidas del sistema para diagnosticar fallos, sin embargo este no es el caso de los sistemas dinámicos porque el cambio en las entradas del sistema puede también afectar a las salidas el sistema. Un método de diagnóstico que solo utilice información de las salidas podría dar información incorrecta sobre los

fallos en el sistema cuando cambian las entradas de dicho sistema. Esto es especialmente cierto para sistemas no lineales. Hay que señalar que este problema ya ha sido resuelto en diagnóstico de fallos basado en modelos utilizando el concepto de generación de residuos en el que tanto las entradas como las salidas del sistema monitorizado se utilizan para generar un indicador del fallo. Se puede desacoplar el efecto de la entrada del residuo y así el residuo solo contiene información del fallo. El diagnóstico de fallo basado en este residuo adecuadamente diseñado puede dar información del diagnóstico fiable. Recientemente, los conceptos de generación y evaluación del residuo han sido combinados con redes neuronales para formar una poderosa herramienta de diagnóstico de fallos para sistemas dinámicos no lineales. En [157] se estudiaron procesos dinámicos en lugar de estáticos y se propusieron modos de utilizar las redes neuronales para la generación y evaluación del residuo. En ese estudio se utilizaron las poderosas propiedades de las redes neuronales para modelar y clasificar. Estas ideas se desarrollaron posteriormente en [104], [153], [56],[25], [19]. Para abordar el problema de la precisión y exactitud en el diagnóstico de fallos, se han desarrollado métodos basados en lógica borrosa [43], [55], [94], [204], [169], [50], [92]. Sin embargo, la técnica de la lógica borrosa en el diagnóstico de fallos no es por su propia naturaleza eficiente para detectar fallos incipientes. También por su propia naturaleza, la técnica de la lógica borrosa está limitada a sistemas relativamente simples, ya que en otro caso daría lugar a un número extenso e inmanejable de reglas. Además tales esquemas son difíciles de relacionar con las técnicas clásicas de diagnóstico de fallos, las cuales proporcionan una herramienta poderosa de diseño y análisis y no están limitadas tan severamente por la complejidad del sistema. Hay mucho beneficio que ganar al combinar lógica borrosa con los conceptos de diagnóstico de fallos basado en modelos [11], [55], [94], [169], [114], [170], [124], [64], [136], [105]. Sin embargo la mayoría de los estudios de diagnóstico de fallos basados en lógica borrosa utilizan solamente las capacidades de interpretación y razonamiento de la lógica borrosa. Takagi y Sugeno probaron en [196] que lógica borrosa se puede utilizar para formar el modelo borroso, el cual es muy poderoso a la hora de modelar sistemas dinámicos no lineales. Esta habilidad de modelado ha sido utilizada en el diseño de observadores borrosos para diagnóstico de fallos en sistemas dinámicos no lineales [124], [25], [19], [192]. Dentro de los observadores borrosos se encuentran los basados en el modelo borroso de Takagi-Sugeno [192], los observadores borrosos

cualitativos [237] y los basados en algoritmos genéticos [155]. Actualmente hay algunos estudios que combinan las redes neuronales con la lógica borrosa para formar el llamado método neuro-borroso para diagnóstico de fallos en sistemas dinámicos no lineales [11], [231], [5], [160], [57], [6], [19], [168], [207]. Con un método combinado, las ventajas de ambos métodos pueden ser totalmente explotadas. 3.1 OBSERVADORES NO LINEALES En la práctica muchos sistemas no lineales no se pueden representar mediante modelos lineales, en particular cuando dichos sistemas no operan en un punto fijo de operación nominal. Este es el caso normal en el diagnóstico de fallos, ya que al ocurrir un fallo el proceso diverge de su punto de operación.

(3) Así, se debe utilizar un modelo no lineal como el que aparece en la ecuación (3) donde x(t) es el vector de estado, y(t) es el vector de salida, u(t) es el vector de entrada, f(t) es el vector del fallo, d(t) es el vector de perturbaciones y g(·,·,·,·) y h(·,·,·,·) representan funciones no lineales.

(4) El problema del diagnóstico de fallos es generar un vector de residuos r(t) utilizando la estructura de observador indicada en la ecuación (4). El residuo debe satisfacer la condición mostrada en la ecuación (5). El principal reto es diseñar las funciones no lineales gr(·,·,·) y hr(·,·,·).

(5) 3.1.1 Observador no lineal identidad Este método inicialmente fue propuesto en [87] para la detección y aislamiento de fallos en componentes. Posteriormente se describieron consideraciones de diseño en [1]. Análogamente al caso lineal, este método se basa en el observador identidad para el sistema monitorizado.

(6) Considerando el modelo no lineal del sistema dado en la ecuación (6), un observador identidad no lineal para ese sistema se puede diseñar mediante la ecuación (7).

x(t) = g(x(t),u(t),f(t),d(t)) y(t) = h(x(t),u(t),f(t),d(t)) ·

ξ(t) = gr(ξ(t),u(t),y(t)) r(t) = hr(ξ(t),u(t),y(t))

·

≠>>=≈

0)t( cuando 00)t( cuando 0

||)t(||ff

r

x(t) = g(x(t),u(t)) + R1f(t) y(t) = h(x(t),u(t)) + R2f(t) ·

(7) El residuo r(t) y el error de estimación de estado

)t(ˆ)t()t( xxe −= se gobiernan por la ecuación (8), donde O1(e2(t),t) y O2(e2(t),t) representan términos de segundo y mayor orden con respecto a e(t).

(8) Se puede ver que al residuo solo le afecta el vector del fallo f(t) si el error de estimación de estado e(t) converge asintóticamente a cero. El problema es diseñar la matriz ))t(),t(ˆ( uxK tal que e(t) = 0 sea un punto de equilibrio asintóticamente estable de la ecuación (8). En muchas situaciones prácticas, incluso una matriz K constante es suficiente para este propósito. Hay que indicar que no se conoce un algoritmo general aplicable que proporcione una solución a este problema de estabilidad. Ya que el problema es no lineal, pueden aparecer números complejos y dificultades computacionales. Así pues, este método no es realmente práctico [25]. 3.1.2 Observador de Thau Thau en [200] desarrolló un observador para una clase especial de sistemas no lineales. Este observador ha sido aplicado a la detección y aislamiento de fallos en sistemas no lineales [110], [172] y utiliza el modelo no lineal del sistema mostrado en la ecuación (9).

(9) Se puede ver que el sistema tiene términos lineales y no lineales. El modelo del sistema satisface las siguientes condiciones: el par (C,A) es observable, la función no lineal g(x(t),u(t)) es continuamente diferenciable y tiene una constante de Lipschitz ρ que satisface la ecuación (10)

(10) Cuando se satisfacen estas condiciones, un observador estable para el sistema de la ecuación (9) es el que muestra la ecuación (11), donde K es la matriz de ganancia del observador expresada en la ecuación (12), Pθ es la solución a la ecuación de

Lyapunov [172] expresada en la ecuación (13) y θ es un parámetro positivo que se escoge para que la ecuación (13) tenga una solución definida positiva.

(11)

(12)

(13) Un tratamiento detallado del observador de Thau y sus aplicaciones se puede encontrar en [172]. Este ha sido combinado con el concepto de filtro de detección de fallos para generar vectores dirigidos de residuos para sistemas no lineales [65], [62]. En [177] se desarrolla un observador de estructura como la de Thau para sistemas de descriptor no lineal. 3.1.3 Observador no lineal de entrada

desconocida La idea del diagnóstico de fallos mediante observador de entrada desconocida fue primero extendida a una cierta clase de sistemas no lineales por Wünnenberg [222]. Dicha clase de sistema no lineales se modela con la ecuación (14) donde f(t) es el vector del fallo y d(t) es el vector de entrada desconocida.

(14) Hay que indicar que el término no lineal B(y(t),u(t)) depende solo de u e y los cuales son directamente disponibles. Así, es posible compensar completamente la no linealidad utilizando un observador de la forma expresada en la ecuación (15).

(15) Las condiciones que deben cumplir las matrices del observador para proporcionar robustez frente a entradas desconocidas y sensibilidad frente a los fallos se muestran en la ecuación (16) [222], [51], [52].

(16) Si dichas condiciones se cumplen en su totalidad, las dinámicas del residuo r(t), y del error de estimación de estados e(t) = ξ(t) – Tx(t), se gobiernan mediante la ecuación (17).

))t(),t(ˆ()t(ˆ uxhy =)t(ˆ)t()t( yyr −=

[ ])t(ˆ)t())t(),t(ˆ())t(),t(ˆ()t(ˆ yyuxKuxgx −+=·

)t())(t(t),ˆ()t()t),(t(O)t()t()t( 21 fRuxKfReeFe 21 −++=·

)t()t),(t(O)t()t()t( 22 fReeHr 2++=

)t())(t(t),ˆ()t(ˆ

)t)(),t(ˆ()t( HuxKx

uxgF −∂

∂=

)t(ˆ)t)(),t(ˆ()t(

xuxhH

∂∂

=

x(t) = Ax(t) + Bu(t) + R1f(t) + g(x(t),u(t)) y(t) = Cx(t) + R2f(t) ·

|| g(x1,u) – g(x2,u) || ≤ ρ||x1 – x2||

)t(ˆ)t(ˆ xCy =))t(ˆ)t(())t(),t(ˆ()t()t(ˆ)t(ˆ yyKuxgBuxAx −+++=·

T1CPK −θ=

0TT =θ+−+ θθθ PCCAPPA

x(t) = Ax(t) + B(y(t),u(t)) + E1d(t) + R1f(t) y(t) = Cx(t) + E2d(t) + R2f(t) ·

ξ(t) = Fξ(t) + J(y(t),u(t)) + Gy(t) r(t) = L1ξ(t) + L2y(t)

·

TA – FT = GC ; F estable J(y,u) = TB(y,u) GE2 – TE1 = 0

L2E2 = 0 L1T + L2C = 0

rango(GR2 – TR1) = rango(R1) rango(L2R2) = rango(R2)

(17)

El problema de esta extensión de la teoría de observador lineal de entrada desconocida a una clase de sistemas no lineales es que la clase de sistemas descritos por el modelo de la ecuación (14) es bastante limitada. Muchos sistemas físicos no lineales no pueden ser modelados de este modo. Así, un modelo dado debe ser transformado en la forma requerida por una adecuada transformación no lineal de estado. Las condiciones de existencia para tal transformación son muy restrictivas. Consecuentemente, la clase de modelos que son transformables de hecho es bastante pequeña [51], [52]. Pero incluso si se satisfacen las condiciones de existencia, encontrar la transformación será difícil por la necesidad de resolver las ecuaciones en derivadas parciales de alto orden. Un método alternativo de diagnóstico de fallos en sistemas no lineales fue desarrollado por Seliger y Frank [58], [173], [174], [175], [158]. Este método requiere condiciones de existencia más débiles y extiende la clase de sistemas transformables al modelo más general expresado en la ecuación (18).

(18) La tarea de diseño consiste en encontrar una transformación no lineal ξ = T(x) separando la parte perturbada de la parte no perturbada del modelo. Esta separación se puede alcanzar si y solo si se verifica la ecuación (19).

(19) Esta ecuación constituye un sistema de ecuaciones en derivadas parciales lineales de primer orden las cuales se resuelven simultáneamente por ξ = T(x). Suponer que existen las soluciones ξ = T(x) de la ecuación (19) y que también existe una relación x = Ψ(ξ,y*), entonces el modelo se puede rescribir según muestra la ecuación (20) [58], [173], [174], [175], [51], [52], donde la salida y* = C*(y) indica un subconjunto del conjunto total de medidas disponibles y = C(x) que satisface la condición dim(y*) < dim(y).

(20) Suponer además que existe la relación Q(T(x),C(x)) = 0. Entonces se puede establecer un observador no lineal para estimar la parte no perturbada ξ del estado x. El observador resultante se muestra en la ecuación (21), donde la libertad en el diseño proporcionado por la matriz de realimentación K puede utilizarse para estabilizar la ecuación diferencial que gobierna la dinámica de la estimación del error e.

(21)

Este es por naturaleza un observador no lineal de entrada desconocida, también a menudo referenciado como observador de perturbación desacoplada de entrada desconocida [58], [173], [174]. Las ecuaciones del residuo y la que gobierna la dinámica del error de estimación son (22) y (23) respectivamente, donde el sistema de ecuaciones diferenciales no lineales de la ecuación (23) deben diseñarse tal que el punto de equilibrio e = 0 sea al menos asintóticamente estable.

(22)

(23) El residuo convergerá a cero en el caso de ausencia de fallo. Por otro lado todos los fallos en f se verán reflejados en e si se cumple la condición mostrada en la ecuación (24).

(24) Si, además de las condiciones de las ecuaciones (19) y (24) se verifican también las de la ecuación (25), entonces se puede diseñar un generador de residuos con dinámica del error lineal y estable [173]. En dicha ecuación F es una matriz estable constante y Φ0(C(x)) y Φ1(C(x)) son adecuadas transformaciones de la salida.

(25) El generador de residuos se puede implementar entonces tal y como indica la ecuación (26). En este caso la estimación del error y el residuo evolucionan según indica la ecuación (27).

(26)

(27) Es importante indicar que las ecuaciones (15) y (26) son estables en el dominio completo de desacoplo de perturbación [51], [52]. Tal afirmación no se la puede asignar al observador descrito en la ecuación (21). 3.1.4 Observador bilineal Como una clase especial de sistemas no lineales, los modelos bilineales se usan frecuentemente para representar una variedad de sistemas industriales

e(t) = Fe(t) + GR2f(t) – TR1f(t) r(t) = L1e(t) + L2R2f(t) ·

x(t) = A(x) + B(x)u + E(x)d + R(x)f y(t) = Cx(t) ·

0)()(

=∂

∂ xExxT

))()()(()( fxRuxBxA

xxT

++∂

∂ξ = ·

x = Ψ(ξ,y*)

)),(),,()ˆ()ˆ((

ˆ)ˆ( y Qux KuxBxA

xxT

++∂

∂ξ = ·

ξ^ξ ^

x = Ψ(ξ,y*)^

),(),( ye Qy Qr +== ξξ ^

fxRxxT )()(

∂∂

−e = ρ(e,t) ·e = ξ – ξ ; ^

)(rango)()(rango xRxRxxT

=

∂∂

))()()()( xC xFTxA

xxT

+=∂

∂Φ0

))(()()( xC xBxxT

=∂

∂Φ1

r = Q(ξ,y) ^

ξ ^ uy y F )()( ++= Φ1 Φ0 ξ ·

· fxRxxTFee )()(

∂∂

−=

))(,)(( xCexTQr +=

incluyendo procesos químicos, sistemas de transmisión hidráulica, sistemas de horno de gas y sistemas de intercambio de calor [229]. El diagnóstico de fallos en sistemas bilineales ha sido ampliamente estudiado [230], [226], [229], [227], [177], [224], [228], [132], [102]. Todos los estudios se basan en el uso de observadores bilineales. Hay dos métodos principales a la hora de diseñar un observador bilineal. El primer método propuesto inicialmente por Funahashi [60] utiliza la técnica de Lyapunov. El segundo método se basa en la utilización de técnicas desarrolladas para observadores lineales de entrada desconocida. La idea básica es tratar los términos no lineales como si fueran entradas desconocidas y desacoplar sus efectos del error estimado del estado. Aunque el sistema es bilineal, el observador utilizado para estimar el estado es de hecho lineal [25]. Este método fue inicialmente estudiado por Hara y Furuta [85] para sistemas bilineales sin entradas desconocidas y posteriormente extendido por Hać [81] para sistemas bilineales con entradas desconocidas. La mayoría de los estudios sobre diagnóstico de fallos en sistemas bilineales se basan en extensiones del método de observador de entrada desconocida desarrollado por Hać [81], donde se considera el sistema bilineal expresado en la ecuación (28) donde x, y y d son los vectores de estado, salida y de perturbación desconocida respectivamente; ui, i = 1,2, ..., r son entradas del vector de entradas desconocidas u; A, Bi, C, E1 y E2 son matrices reales con las dimensiones correspondientes. Sin pérdida de generalidad se asume que la matriz [C E2] tiene rango completo por filas.

(28) Un estudio más reciente sobre diseño de observadores bilineales se puede encontrar en [89], [25], [102], [84]. En [89] además se incluyen ejemplos que ilustran dicho diseño. 3.1.5 Programación genética Este subapartado describe la aplicación de los algoritmos evolutivos al diseño de observadores no lineales. En particular, se emplea la técnica de la programación genética [106] para resolver el problema de seleccionar adecuadamente la matriz de ganancia del observador [219], [19]. Se considera el sistema no lineal discreto de la ecuación (29) donde u(k) es la entrada, y(k) es la salida, x(k) es el estado y f(·) y g(·) son funciones no lineales.

(29)

El problema es determinar el estado estimado )k(x a partir de un conjunto de medidas entrada-salida. Para abordar este problema, se propone la estructura de observador mostrada en la ecuación (30) donde ε–(k) indica el error a priori de la salida, )k(ˆ −x es el estado a priori estimado, y K(·) es la matriz de ganancia que consta de ciertas funciones, así por ejemplo, cada entrada de la matriz de ganancia es una función del error a priori de la salida y de la entrada al sistema.

(30) Así, en el caso en que se conozca el modelo del sistema, el problema se reduce a seleccionar esas funciones. Debido al hecho de que cada función se puede representar como un árbol estructurado, es posible emplear la programación genética para identificarlas de modo que se minimice la influencia del modelo y de la incertidumbre de la condición inicial en el residuo [220]. Con ello el observador propuesto será robusto frente a dichos factores que pueden causar una detección no fiable del fallo. Hay que señalar que en el caso que se desconozca el modelo del sistema el problema se puede reducir a la identificación simultanea del modelo del sistema y de la matriz de ganancia [219]. En ambas técnicas, la suma de las diferencias normalizadas entre la salida real y la salida estimada en el modo libre de fallo, se toma como función de evaluación. Resultados experimentales confirman que estos métodos proporcionan alta calidad en el modelado así como robustez frente a varios factores que podrían degradar la fiabilidad en la detección de fallos [19], [221]. 3.2 ECUACIONES DE PARIDAD

DINÁMICAS NO LINEALES

Figura 8: Generador de residuos Se puede extender la técnica de las relaciones de paridad para aplicarla al diagnóstico de fallos en sistemas no lineales. Krishnaswami and Rizzoni [109] propusieron un esquema de generador de

rd(k)

Planta u(k) y(k)

Modelo directo y(k)

Modelo inverso

+

−

^

u(k)

+

−

^

ri(k)

x(k + 1) = f(x(k),u(k))y(t) = h(x(k))

))k(ˆ()k()k( −− −= xhyε

)k( ))1k(),k( ()k(ˆ)k(ˆ −−− −+= uKxx ε ε

· )t()t()t(u)t()t(r

1ii dExBAxx 1i ++= ∑

=

)t()t()t( dECxy 2+=

residuos robusto ante perturbaciones integrado en una ecuación de paridad no lineal que utiliza modelos dinámicos directos e inversos del sistema, figura 8, y su aplicación al problema de diagnóstico de fallos en sensor y actuador en un motor de combustión [108]. Otros estudios y aplicaciones de la mencionada generalización se encuentran en [111], [80], [181], [101], [184], [72], [17], [182], [78], [14], [16]. 3.3 REDES NEURONALES EN

DIAGNÓSTICO DE FALLOS DE SISTEMAS NO LINEALES

Este apartado contiene la aplicación de las redes neuronales supervisadas al diagnóstico de fallos en sistemas no lineales. Problemas tales como la selección de la estructura de la red y los algoritmos de entrenamiento no se consideran aquí, sino que se toma la red neuronal como un herramienta matemática bien establecida. Este apartado trata de cómo las redes neuronales pueden utilizarse en el diagnóstico de fallos y de sus ventajas frente a otras técnicas convencionales basadas en modelos. Una red neuronal se utiliza para modelar un sistema dinámico no lineal de múltiples entradas y múltiples salidas. Después del entrenamiento, la red neuronal puede dar una estimación muy exacta de la salida del sistema. Utilizando el concepto de generación de residuos desarrollado en el diagnóstico de fallos basado en modelos, la diferencia ponderada entre las salidas real y estimada se utiliza como residuo para detectar fallos. Cuando la magnitud de dicho residuo excede un umbral predefinido, es probable que el sistema tenga un fallo. De cara a localizar el fallo en el sistema (aislamiento del fallo) de manera fiable, se utiliza una red neuronal secundaria para examinar las características del residuo. Una característica particular debería corresponder a una localización particular del fallo. Basado en la extracción de características y en principios de clasificación, la red neuronal secundaria puede localizar fallos de manera fiable. 3.3.1 Redes neuronales como modelos de

sistemas dinámicos no lineales El modelo linealizado no es una representación muy adecuada para sistemas con no linealidades grandes y amplios rangos de operación. Para tales sistemas es más eficiente utilizar modelos no lineales para el diagnóstico de fallos. Para sistemas complejos y con incertidumbre, la obtención de modelos analíticos a partir de relaciones físicas puede resultar muy complicado y llevar mucho tiempo. A veces es muy difícil, incluso imposible, obtener ecuaciones analíticas para algunos sistemas, tales como sistemas hidráulicos y aerodinámicos. Es por ello que una

herramienta universal y barata que modele sistemas automáticamente es deseable. La red neuronal puede ser dicha herramienta ya que puede extraer automáticamente las características del sistema a partir de datos históricos de entrenamiento utilizando el algoritmo de aprendizaje, el cual requiere poco o nulo conocimiento a priori del sistema. Esto proporciona una gran flexibilidad a la hora de modelar sistemas no lineales complejos. Además, el aprendizaje se puede llevar a cabo fuera de línea. Esto hace fácil el modelar sistemas variantes en el tiempo. Una de las ventajas más importantes de las redes neuronales es su habilidad para implementar transformaciones no lineales para problemas de aproximación funcional, así por ejemplo las redes neuronales son capaces de formar una aproximación arbitrariamente cercana a cualquier función continua no lineal, dando unos factores de peso adecuados y una arquitectura de red determinada [141], [90], [140], [38], [25], [19], [149], [135]. Una red neuronal es un conjunto de unidades elementales, denominadas neuronas, conectadas masivamente y de forma paralela entre sí. Las entradas a cada neurona se combinan produciendo una salida. La red perceptrón multicapa con arquitectura feedforward y las redes recurrentes son dos clases principales de redes. Desde un punto de vista de la teoría de sistemas, la red feedforward es solo una estructura estática no lineal entre entradas y salidas. Sin modificación, la red feedforward no se puede utilizar para representar sistemas dinámicos [25]. La red recurrente se puede utilizar para modelar sistemas dinámicos no lineales, ya que se puede introducir realimentación dinámica en la red [161], [225], [118], [37], [36], [19]. Debido a la propia realimentación, la red puede ser inestable. Este es quizás el aspecto más importante que se debe tratar antes de que se pueda aplicar en la práctica todo el potencial de la red recurrente. Narendra y Parthasarthy [141] estudiaron las formas de representar sistemas dinámicos no lineales mediante redes feedforward. Utilizaron varias combinaciones de sistemas dinámicos lineales con redes feedforward. De esta forma, el sistema dinámico no lineal se separa en subsistemas que caen dentro de dos categorías: el sistema dinámico lineal (representado por una función de transferencia) y el sistema estático no lineal (representado por un red feedforward). La forma más simple de representar un sistema dinámico no lineal es utilizar una combinación de red feedforward con algunas unidades de tiempo de retraso. Se asume que un sistema dinámico no lineal se describe por la ecuación (31), donde u(k) ∈ ℜr es el vector de entrada, y(k) ∈ ℜm es el vector de salida y F(·, ...,·) representa una función genérica no lineal.

(31) Una red feedforward con matriz de pesos W puede utilizarse para representar dicha función estática no lineal. La salida de la red neuronal se expresa en la ecuación (32), donde n es el orden del sistema.

(32) De este modo, se puede modelar un sistema dinámico no lineal mediante un red feedforward en combinación con algún tipo de retraso de unidades de tiempo. El modelo ilustrado en la figura 9 a veces se le llama modelo de predicción de un paso. La ventaja de las redes neuronales sobre métodos de identificación conveccionales es que pueden manejar universalmente sistemas lineales y no lineales, aunque no es muy eficiente representando sistemas lineales. La estructura de la red, normalmente se escoge en base a la experiencia junto con un procedimiento de prueba y error. La matriz de pesos W se determina durante el entrenamiento, teniendo en cuenta que se quiere minimizar el error de modelado, ecuación (33). El algoritmo de retropropagación (backpropagation) es uno de los métodos de entrenamiento más utilizados [141], [37], [36], [149].

(33)

Figura 9: Modelo de un sistema dinámico no lineal con red neuronal

3.3.2 Redes neuronales como clasificadores Después de generar el residuo, se debe utilizar un mecanismo de decisión para determinar la ocurrencia y localización del fallo. Tradicionalmente, el módulo de decisión se ha implementado mediante lógica de umbrales utilizando umbrales fijos o adaptativos o variables o métodos basados en tests estadísticos. La principal tarea del módulo de decisión es clasificar los residuos en un número de patrones distinguibles

correspondientes a diferentes situaciones de fallo. Así, el módulo de decisión puede basarse en el principio de reconocimiento de patrones [25]. El reconocimiento de patrones implica ciertas acciones iniciales basadas en la observación de datos de entrada. La entrada que representa un patrón se la conoce como el vector de medida o el vector característico. La función obtenida mediante un sistema de reconocimiento de patrones es el encuadre del vector característico de entrada en una de las varias clases de decisión. En diagnóstico de fallos, estas clases de decisión son los diferentes tipos (o localización) de fallos que ocurren en el sistema. Una de las ventajas de las redes neuronales es su capacidad para particionar el espacio de patrones para problemas de clasificación. Así, se puede utilizar una red neuronal como clasificador (o reconocedor de patrones) para particionar patrones de residuo y activar señales de alarma. Puede por lo tanto detectar y aislar fallos. En el entrenamiento de redes neuronales para clasificar fallos se utilizan valores de 0.1 y 0.9 en los nodos de salida para indicar la ausencia y presencia de fallo respectivamente. En la aplicación a diagnóstico de fallos, valores superiores a 0.5 en los nodos de salida indican un fallo. Si se conocen los patrones de fallo que ocurren ante fallos específicos, esta información podría almacenarse en la red neuronal eligiendo su conjunto de entrenamiento en concordancia con los fallos conocidos. 3.3.3 Redes neuronales para manejar

información analítica y heurística Ya se ha apuntado anteriormente que las prestaciones del diagnóstico de fallos se pueden mejorar considerablemente integrando información cuantitativa y cualitativa. Hay muchos estudios en diagnóstico de fallos que utilizan o bien información cuantitativa o bien información cualitativa. Sin embargo, la teoría y herramientas matemáticas utilizadas en ambas áreas son tan diversas que hay pocos investigadores que consideren su integración. Esta diversidad en el uso de términos y herramientas matemáticas hace que la integración de información sea muy difícil. Sería ideal disponer de una herramienta matemática universal que pudiese manejar tanto información cuantitativa como información cualitativa. No hay duda que las redes neuronales pueden manejar información cuantitativa. Sin embargo, la información cualitativa normalmente se expresa con lógica boleana o lógica borrosa. Es posible implementar cualquier relación de lógica boleana con redes neuronales [134]. Además, la lógica borrosa también se puede manejar con las redes neuronales utilizando el concepto de red neuronal borrosa [86]. Todas estas capacidades hacen de las redes neuronales una herramienta ideal para la

y(k) = F(y(k – 1), ..., y(k – n), u(k), ..., u(k – n))

)k(y = NN(W, y(k – 1), ..., y(k – n), u(k), ..., u(k – n))

||)k(ˆ)k(|| yy −

z–1

u(k–n)

z–1 · · · z–1

y(k–n)

z–1 · · ·

capa de entrada

capa oculta

capa de salida

red multicapa feedforward

y(k) ^

y(k–1) u(k)

integración de la información. Además se puede utilizar una red neuronal entrenada para evaluar la fiabilidad de la información proporcionada ya sea mediante métodos cuantitativos o mediante métodos cualitativos y decidir que pesos se deberían utilizar a la hora de integrar la información. La idea de los métodos de diagnóstico que integran información cuantitativa y cualitativa se muestra en la figura 10.

Figura 10: Estructura conceptual del método integrado de diagnóstico de fallos

3.3.4 Diagnóstico de fallos basado en redes

neuronales La figura 11 muestra el esquema de diagnóstico de fallos desarrolado por Patton, Chen y Siew [157], [25]. Este esquema se compone de dos etapas: generación de residuos y toma de decisión. El esquema de generación de residuos descrito aquí está basado en la comparación de las respuestas real y estimada del sistema. La respuesta estimada del sistema se genera mediante una modelo basado en red neuronal como el que se muestra en la figura 9. El vector de residuos se genera calculando la diferencia entre la salida real y la salida estimada, tal y como indica la ecuación (34).

(34) La salida estimada se muestra en la ecuación (35), donde NN(·, ...,·) indica una estructura funcional no lineal basada en red neuronal.

(35)

Figura 11: Esquema de detección y aislamiento de fallos con dos redes neuronales

Los residuos generados de este modo, deberían ser independientes del estado de operación del sistema

bajo condiciones nominales de operación de la planta. En ausencia de fallos, al residuo solo le afecta el ruido y las perturbaciones. Cuando ocurre un fallo en el sistema, el residuo se desvía de cero de unas formas características. En la segunda etapa del diagnóstico de fallos, se utiliza un clasificador basado en red neuronal para colocar al vector de residuos dentro de los patrones que corresponden a diferentes situaciones de sistema con fallo. La red neuronal se entrena para reconocer características complejas en los residuos y dar así información de detección y aislamiento. Para diagnosticar fallos de una manera fiable, la red clasificadora tiene que ser entrenada utilizando datos de todas las posibles situaciones con fallo. Una red neuronal entrenada solamente en la situación de ausencia de fallo no se puede esperar que funcione bien en situaciones con fallo. Hay que indicar que en el esquema introducido aquí, se utiliza la red neuronal como alternativa a un estimador de estado tradicional, como puede ser un observador de Luenberger o un filtro de Kalman. Una característica importante de utilizar la red neuronal para predecir la salida es que la red aprenderá la dinámica del sistema durante una sesión de entrenamiento realizada en varios ciclos de entrenamiento, con datos de entrenamiento provenientes o bien de simulaciones previas o bien con datos reales en línea. Después de cada ciclo de entrenamiento, la red neuronal sabrá más sobre el comportamiento dinámico del sistema. Una de las características importantes de la red neuronal es su habilidad para aprender automáticamente el comportamiento dinámico de un sistema no lineal, siempre que la arquitectura de la red neuronal disponga al menos de tres capas (la de entrada, la de salida y una oculta). Los métodos basados en redes neuronales tienen varias ventajas potenciales sobre otros métodos tradicionales de estimación, por citar algunas: propiedades de estructura no lineal, tolerancia al ruido, capacidades de autoaprendizaje y procesamiento paralelo.

Figura 12: Esquema de detección y aislamiento de fallos con una red neuronal

La técnica en dos etapas es algo complicada, ya que se necesita entrenar dos redes neuronales. La predicción de la salida es innecesaria si solo se

Sistema

Información cuantitativa

Modulo de decisión con red neuronal

que integra información

Red neuronal de generación

de residuos

Red neuronal borrosa

Información cualitativa

Información del fallo

Toma de decisión

Red neuronal de clasificación

de residuos

Generación de residuos

Alarma Red neuronal de modelo

de predicción

z–1

r(k) –

Sistema u(k)

+

y(k)

Entrada Salida

Residuo

Fallo

y(k) ^

Alarma Red neuronal de detección y aislamiento de

fallos

Sistema u(k) y(k)

Entrada Salida

Fallos

)k(ˆ)k()k( yyr −=

))nk(..., ),k(),nk(..., ),1k(,()k(ˆ −−−= uuyyWNNy

precisa diagnosticar fallos, aunque es muy importante para la reconfiguración del sistema. Para incrementar la eficiencia en la computación, se pueden combinar las dos etapas en una, es decir combinar las dos redes neuronales en una sola. El esquema de diagnóstico de fallos utilizando una sola red neuronal se muestra en la figura 12. Este esquema utiliza una sola red neuronal cuyas entradas son las entradas u y salidas y del sistema. La salida de dicha red es la señal de alarma que declara la ocurrencia y localización de fallos. Chen y Patton en [25] muestran la aplicación de los esquemas de detección y aislamiento de fallos de las figuras 11 y 12 a un sistema de control de nivel de tres tanques de agua acoplados. En [129], [63], [206], [135], [130], [195] también se aplican redes neuronales para detectar y aislar fallos en un sistema de control de nivel de tres tanques de agua acoplados. Otras aplicaciones de diagnóstico de fallos con redes neuronales se pueden encontrar en [37], [36], [19], [61]. 3.4 OBSERVADORES BORROSOS Este apartado presenta un esquema de detección y aislamiento de fallos para sistemas dinámicos no lineales que combina la lógica borrosa con los métodos de diagnóstico de fallos basados en modelos. Este esquema se le conoce como el método de los observadores borrosos y se basa en la utilización del modelo borroso de Takagi-Sugeno [196]. Utilizando este modelo, un sistema dinámico no lineal se describe mediante un número de modelos linealizados localmente. Dentro del esquema de observadores borrosos, se diseña un número de observadores lineales locales y se estima el estado mediante una combinación borrosa de las salidas de los observadores locales. La señal de diagnóstico (residuo) es la diferencia entre la salida real del sistema y la salida estimada. Aunque todos los observadores locales sean estables, el observador global no es necesariamente estable (ya que, por ejemplo, la estimación del estado puede no converger). Se puede utilizar el método de la desigualdad matricial lineal para analizar la estabilidad global del observador borroso. En [25] se expone detalladamente el modelo borroso de Takagi-Sugeno, así como el concepto y estructura de los observadores borrosos, además de aplicaciones prácticas que ponen de manifiesto la eficacia de dicho esquema de diagnóstico de fallos. Otras aplicaciones del modelo borroso de Takagi-Sugeno se pueden encontrar en [156], [128], [185], [187], [192]. En [148] se utilizan reglas borrosas para obtener una descripción cualitativa de la tendencia de las medidas numéricas del sensor.

Otro tipo de observador borroso es el denominado observador borroso cualitativo [237]. Dicho observador se puede diseñar utilizando información cualitativa del proceso para producir los residuos. Estos observadores cualitativos se pueden utilizar cuando no se dispone de toda la información cuantitativa del proceso. Los algoritmos evolutivos también se pueden aplicar para optimizar el diseño de observadores para la generación de residuos [155], [19]. Esta técnica utiliza un método multiobjetivo en base a criterios de diseño relativos a sensibilidad y robustez para mejorar la respuesta del residuo ante los fallos y minimizar los efectos de las perturbaciones y ruidos que actúan en diferentes frecuencias. 3.5 MÉTODO NEURO-BORROSO Se puede facilitar el diagnóstico de fallos utilizando tanto información cuantitativa como información cualitativa del sistema monitorizado [53]. Este apartado presenta el método neuro-borroso [11], [24], [3], [195], [168], [20], [133], [207], que integra ambos tipos de información para el diagnóstico de fallos. Este método combina en un marco único tanto conocimiento numérico como conocimiento simbólico del proceso. El método es capaz de estructurar un modelo cuantitativo de modo que el conocimiento cualitativo pueda ser tanto incluido como extraido. La idea básica consiste en estructurar una red neuronal, la cual puede modelar eficientemente sistemas no lineales, en un formato de lógica borrosa. La red puede así ser entrenada más rápidamente y describirá también explícitamente las causas de los fallos. El conocimiento del experto también se puede incluir en el mismo marco. Se puede utilizar una red neuronal B-Spline en el marco unificado. Esta red, que incorpora tanto información cuantitativa como información cualitativa, se utiliza en la generación y evaluación del residuo dentro del diagnóstico de fallos. 3.5.1 Redes neuronales B-Spline e interpretación

de lógica borrosa La red de la función B-Spline se ha utilizado como uno de los métodos neuro-borrosos para el control y modelado de sistemas [113], [18]. Dentro de la detección y aislamiento de fallos, se utiliza dicha herramienta para generar y evaluar los residuos [25], [206]. Una red neuronal B-Spline, mostrada en la figura 13, incorpora un espacio de entradas, funciones básicas y factores de peso.

Figura 13: Red B-Spline de tres entradas, tres funciones básicas y una salida

En la figura 13 se observa como todas las entradas de la red se aplican a funciones básicas que están asociadas a celdas. Estas funciones básicas realizan transformaciones no lineales sobre las entradas en una cantidad acotada en el intervalo [0,1]. Sus formas y tamaños determinan las capacidades de modelado de la red resultante. La salida es una combinación lineal ponderada de las salidas de las funciones básicas. Los factores de peso se ajustan durante el entrenamiento de la red. Tomando N particiones de la entrada dentro del intervalo X = [xmin,xmax], la salida de una red B-Spline dimensional de la forma expresada en la ecuación (36), se puede construir aproximando la señal objetivo φ = F(x) utilizando una combinación lineal de los B-Splines Bn,j(x), ponderados por los coeficientes wi.

(36) La secuencia de B-Splines normalizados Bn,1(x), Bn,2(x), ..., Bn,p(x) construidos sobre los nodos λ0, λ1, ..., λN se pueden evaluar a partir de la expresión recurrente indicada en la ecuación (37) con B1,j(x) el valor expresado en la ecuación (38).

(37)

(38) El índice j del B-Spline se asocia con la región local admisible λ(j–n) ≤ x ≤ λ(j). Entonces, el entrenamiento de la red consiste en encontrar un conjunto de coeficientes de peso wi tal que se minimice la función de coste mostrada en la ecuación (39), donde N indica el número de conjuntos de entrenamiento, mientras que φ(t) y )t(φ indican la señal objetivo y la salida de la red respectivamente.

(39) Se pueden utilizar varios métodos para entrenar tales redes, dependiendo si el entrenamiento se realiza en línea o fuera de línea. Se asume que el diseñador dispone de un conjunto de datos de entrenamiento.

Así, y debido a que el modelo es una combinación lineal del conjunto de funciones básicas, se utiliza la pseudo inversa ponderada de Moore-Penrose [11] para encontrar el conjunto óptimo de factores de peso. Para un sistema de múltiples entradas y múltiples salidas, se utilizan modelos B-Spline multidimensionales. Dichos modelos se construyen como productos de modelos unidimensionales. Sus correspondientes funciones básicas se forman por multiplicación directa de las funciones básicas unidimensionales, según indica las ecuaciones (37) y (38). Por ejemplo, la ecuación (40) define una función básica p-dimensional.

(40) Es interesante indicar que la salida de la red, dada por la ecuación (34), es muy similar a la de una red de memorias asociativas borrosa. De hecho, considerando una regla borrosa Rij como la de la ecuación (39) donde Ωi y Ψj indican conjuntos borrosos en los espacios de partición de entrada y salida respectivamente, y cij el nivel de confianza en que la regla Rij sea verdadera, se muestra que la salida de una regla borrosa continua viene dada por las ecuaciones (41) y (42).

(41)

(42) Brown y Harris [18] mostraron que, dado un conjunto de pesos wi de redes B-Spline óptimas, es posible encontrar la representación borrosa equivalente con los coeficientes cij dados por la ecuación (43).

(43) Esta relación entre redes B-Spline y lógica borrosa muestra que no solo las redes B-Spline pueden entrenarse a partir de datos numéricos, sino que también se puede incluir (o extraer) información simbólica en ellas. Esta importante característica facilita la integración de los conocimientos numérico y simbólico en un marco único. 3.5.2 Generación de residuos y detección de

fallos con redes B-Spline La principal tarea del diagnóstico de fallos es generar señales de diagnóstico (residuos). Los métodos para generar residuos para sistemas dinámicos no lineales con redes neuronales se introdujeron en el apartado anterior. La idea básica es entrenar la red para que

Factores de peso

Funciones básicas

w1

x1(k)

x2(k)

Entradas

Salida

B1

B2

B3

w2

w3

φ(k) ^∑

∑=

=φp

1iij,n wBˆ

)x(B

x)x(B

x)x(B j,1n

1njj

j1j,1n

nj1j

njj,n −

+−−−

−−

−

λ−λ

−λ+

λ−λ

λ−=

∈

=caso otro 0

I xsi 1)(tB j

j,1

∑

=

φ−φ=N

1i

2))t(ˆ)t((N1J

∏

=

=p

1ipp )x(B)x(B

∑

=Φµ=φ

p

1iiw)x()x(

i

∑= c

jiji ycw

)w(c iBij jµ=

reconozca la ocurrencia de un fallo y encontrar la función optima F que transforme el sistema entradas-salidas en la señal de residuo, como muestra la ecuación (44) donde u(k) = [u(k),u(k–1),...,u(k–n)]T e y(k) = [y(k),y(k–1),...,y(k–n)]T son las entradas y salidas del sistema sobre una determinada ventana temporal. La entrada de la red incluye valores actuales y pasados de las medidas para capturar la información temporal.

(44) En diagnóstico de fallos en sistemas no lineales las redes neuronales B-Spline se utilizan para resolver las desventajas que presentan las redes perceptrón multicapa. En concreto, las entradas y salidas medidas del sistema se procesan a través de una red de memoria asociativa, al contrario que una red perceptrón multicapa. Es importante indicar que el objetivo de los observadores de detección de fallos, o de los generadores de residuos, no es estimar el estado de la planta, sino responder adecuadamente a la ocurrencia de un fallo. Así, el generador de residuos produciría un valor de 1 cuando se desarrollara un fallo en el sistema y un 0 en otro caso. Se puede decir que dicha técnica es una alternativa a los observadores tradicionales en detección de fallos. Una característica importante de la red neuronal, es que aprenderá durante una sesión de entrenamiento realizada en varios ciclos de entrenamiento, con datos de entrenamiento tomados en diferentes puntos de operación. Sin embargo, antes de empezar el entrenamiento de la red, se debe escoger el orden de la red B-Spline. En este caso se escoge una función básica de segundo orden y dos lineales. Tal configuración permite dividir el espacio normalizado de entrada en tres variables lingüísticas Pequeño, Mediano y Grande, tal y como muestra la figura 14.

Figura 14: Funciones B-Spline definidas sobre el espacio de entrada normalizado

Una vez realizado el entrenamiento, se utiliza un conjunto óptimo de pesos wi (i = 1, ..., p) para dar la descripción borrosa correspondiente del generador de residuos. Además, debido a que las funciones básicas se pueden interpretar lingüísticamente, se puede

obtener un modelo cualitativo del generador de residuos. Este proporciona al operador una explicación más entendible sobre la causa del fallo que la de una red neuronal tal cual. 3.5.3 Aislamiento de fallos con redes de función

B-Spline En este subapartado se utiliza la red neuronal B-Spline para aislar fallos. Se asume que el diseñador conoce la localización de los fallos que deben ser diagnosticados. Así, el diseñador tiene que simular el sistema con todos los posibles fallos para generar los correspondientes datos de entrenamiento. La red de aislamiento entonces, tiene tantas salidas como clases de comportamientos. Así, para un sistema con dos tipos de fallos, la salida de la red será un vector de tres dimensiones, el cual incluye los modelos asociados a los dos fallos así como el correspondiente al caso sin fallo.

Figura 15: Arquitectura de red para aislamiento de fallos

Para entrenar la red, se necesita un conjunto de (M+1) submodelos de múltiples entradas múltiples salidas (donde M es el número de clases de fallo) y encontrar el conjunto óptimo de factores de peso para cada submodelo. Cuando la red se aplica a un punto de test (u(k),y(k)), la salida de la red es un vector de dimensión (M+1). Se puede ver en la figura 15 que cada componente i de dicho vector de salida (i = 1, 2, ..., M+1) se define como una clase de comportamiento, que puede ser un Fallo i, o el modelo nominal sin fallo. Cuando el sistema opera en sus condiciones nominales, todas las salidas de la red son nulas excepto la última. Sin embargo, cuando se produce en el sistema un fallo específico, la salida correspondiente se desviará de cero, confirmando que existe un fallo en el sistema. En [11] y [25] se encuentra la aplicación del esquema de diagnóstico presentado a un sistema real de dos tanques de agua interconectados. 4 COMENTARIOS FINALES En esta comunicación se ha presentado la aplicación de los principales métodos de detección y diagnóstico de fallos basados en el modelo de la planta a los

pequeño 1

0 0.5 1

mediano grande

y(k)

u(k) Fallo 1 B1 B2 B3 · · · Bp

w1 w2 w3 · · · wp

∑

∑

∑

∑

Fallo 2

Fallo M

Sin fallo

r(k) = F(u(k),y(k))

sistemas dinámicos no lineales. Dicha aplicación se puede realizar básicamente de dos formas:

• Extendiendo los métodos de diagnóstico de fallos de sistemas lineales a los sistemas no lineales, como son los observadores y las ecuaciones de paridad. Dichas extensiones solo pueden hacerse si se restringe a su vez los sistemas no lineales a los que se les aplica (por ejemplo los sistemas bilineales), a partir del cual se realiza el desarrollo analítico correspondiente, con la limitación que ello supone.

• Mediante la utilización de una herramienta de modelado universal que incorpore información cualitativa del sistema dinámico. Dicha herramienta de modelado universal puede ser una red neuronal que a su vez incorpore información cualitativa del sistema mediante lógica borrosa. La aplicación de esta herramienta es adecuada cuando la información del sistema o el conocimiento de las variables del mismo no tienen precisión cuantitativa suficiente para utilizar otro tipo de métodos.

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