INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE SISTEMASGEOMÉTRICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESDE ECUACIONES LINEALES

CON TRES INCÓGNITAS

Representación matricial y vectorialRepresentación matricial y vectorial

El sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas siguiente:

bxaxaxa

El sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas siguiente:

puede escribirse en forma matricial como sigue:

nn

nn

b..........................

bxa...xaxabxa...xaxa

22222121

11212111

mnmnmm bxa...xaxa 2211

n bxa...aa 1111211

mnmnmm

n

b...b

x...x

.

a...aa............

a...aa 22

21

22221 O abreviadamente A . X = B , siendo :

n

n

a...aaa...aa

22221

11211

A=

xx

2

1

X =

bb

2

1

mnmm a...aa

............

21

nx

...

mb

...y B =

La matriz A se llama matriz de coeficientes de S

ba...aa 111211

n

n

...............ba...aaba...aa

222221

111211

y la matriz A* =

se denomina matriz ampliada u orlada de S.

mmnmm ba...aa 21

Si llamamos a1 , a2, …, an a los vectores columna de A :

aj =

j

j

aa

2

1

si j = 1, 2,…, n, S puede escribirse como :j

mja...

B l ió i l d Sx1 . a1 + x2 . a2 +…..+ xn. an = B que es la expresión vectorial de S.

Teorema de Rouché - Fröbenius

El sistema de ecuaciones lineales S tiene solución el rango de la

matriz de coeficientes es igual al de la matriz ampliada

(rango A = rango A *)(rango A = rango A )

Discusión de un sistema general:

Consideremos el sistema general :

n

n

bb

xx

.a...aaa...aa

2

1

2

1

22221

11211

Puede ocurrir:

mnmnmm b...

x...

a...aa............

21

Rango A = rango A* = n = nº de incógnitas S compatible determinado.

Rango A = rango A* = r < nº de incógnitas S es compatible indeterminado.

Rango A rango A* S es incompatible.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALESSISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES

CON TRES INCÓGNITASCada ecuación lineal con tres incógnitas, representa a un plano en el espacio. Consideremos elCada ecuación lineal con tres incógnitas, representa a un plano en el espacio. Consideremos el sistema S formado por las ecuaciones de ambos. Sean A y A* las matrices de coeficientes y

ampliada de este sistema

1

2

1 = 2

Si rango A = rango A* = 2 el sistema es compatible indeterminado y los dos planos

Si rango A = rango A* = 1 el sistema es compatible indeterminado y los dos planoscompatible indeterminado y los dos planos

son secantes.compatible indeterminado y los dos planos

son coincidentes.

1

Si rango A = 1 rango A* =2 el sistema es incompatible y los dos planos son

2

es incompatible y los dos planos son paralelos.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE UN SISTEMA DE 3 ECUACIONES LINEALES CON 3 INCÓGNITASDE 3 ECUACIONES LINEALES CON 3 INCÓGNITAS

Consideremos ahora el sistema SConsideremos ahora el sistema S formado por las tres ecuaciones

generales de tres planos dados. Sea A la matriz de coeficientes y A* la matriz

li d d iampliada de este sistema

Si rango A = rango A* = 3 S sistema compatible determinado los tres planos tienen un único punto P común.Si x = x0, y = y0, z = z0 es la solución del i ( ) l d d d lsistema (x0, y0, z0) son las coordenadas del

punto P común.

Si rango A = rango A* = 2 S sistema compatible p

indeterminado y los tres planos pasan por una misma

recta rLa solución del sistema nos proporciona sus ecuaciones

paramétricas .

Si rango A = rango A* = 1 S sistema compatible

indeterminado yindeterminado y los tres planos coinciden .

Si S i t i tiblSi S sistema incompatible con

rango A =2 , rango A* =3

y cada subsistema de dos ecuacionesy cada subsistema de dos ecuaciones es compatible indeterminado con rango 2 planos secantes dos a

dosdos

Si S sistema incompatible con

rango A 2 rango A* 3rango A =2 , rango A*=3, exactamente un subsistema de dos ecuaciones es incompatible y los

otros dos subsistemas sonotros dos subsistemas son compatibles indeterminados con

rango 2

dos planos son secantes y el tercero paralelo a uno de los anteriores

S sistema incompatible con rango A =1 , rango A* =2p g g

y los tres subsistemas de dos ecuaciones incompatibles los tres planos son paralelos