PROPORCIONALIDAD

GEOMÉTRICA

MATEMÁTICAS 2º ESO

¿QUÉ VAMOS A VER?

1.- Segmentos en el plano y segmentos proporcionales.

4.- Escalas

2.- Teorema de Tales

3.-Semejanza de triángulos. Criterios y triángulos en Posición de tales. Aplicaciones

1. SEGMENTOS EN EL PLANO y SEGMENTOS 1. SEGMENTOS EN EL PLANO y SEGMENTOS PROPORCIONALESPROPORCIONALES

1.1 Definiciones

1. SEGMENTOS EN EL PLANO y SEGMENTOS 1. SEGMENTOS EN EL PLANO y SEGMENTOS PROPORCIONALESPROPORCIONALES

1.2 Razón de dos segmentos

1.3 Segmentos proporcionales

C

D

F

E

A

B

L1

L2

L3

2. Teorema de Thales

Sean L1 // L2 // L3, entonces:

Si tres o más rectas paralelas son intersectadas por dos transversales, los segmentos determinados por las paralelas son proporcionales. Este teorema tiene tres formas de presentarse:

a) Forma de Escalera:

Sean L1 // L2, entonces:

L1

L2

A

C

B

O

D

AOOD

BOOC

= ABCD

AOOD

= ABCD

BOOC

=

c) Forma de Reloj de Arena:

C

A’

C’

B’

A

B

2. Ejemplosa) Forma de Escalera:

3 cm 2 cm

4 cm

b) Forma de «A» o Teorema Particular de Thales:

Calcula las longitudes que faltan en el dibujo

A

O

C

D

B

L1

L2

5 cm 4 cm 10 cm

y

x

b) Forma de «A» o Teorema Particular de Thales:

Calcula la longitud que falta en el dibujo

O

A

B

A’ B’

1,5 cm

3 cm

2 cm

Calcular las longitudes de los segmentos BO y CD

L1

L2

A

C

B

O

D

AOOD

BOOC

=

ABCD

AOOD

=

ABCD

BOOC

=

c) Forma de Reloj de Arena:

7 cm

3 cm1,5 cm

15 cm

3. Semejanza de triángulos3.1 Triángulos semejantes

A A’

B B’

C C’

3.2 Triángulos en posición de TalesDos triángulos están en posición de tales si: - Tienen un ángulo en común - Los lados opuestos al ángulo común son paralelos

Dos triángulos en posición de Tales son siempre semejantes

A B

C

D

F

A

C

B D

F

E

3.2 Criterios de semejanzas de triángulosExisten tres criterios para determinar si dos triángulos son semejantes

PRIMER CRITERIO: Lado, lado, lado (L.L.L.)

Dos triángulos son SEMEJANTES si tienen sus lados proporcionales

Ejemplo:

48

510

36

Dos triángulos son semejantes si dos ángulos son iguales

A B

C

E

F

D

Ejemplo:

Los triángulos ABC y DEF son semejantes porque tienen dos ángulos iguales.

SEGUNDO CRITERIO: ángulo, ángulo (A.A.)

Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales

A B

C

E

F

D

2,5

5

5

10

Ejemplo:

Los triángulos ABC y DEF semejantes

TERCER CRITERIO: Lado, ángulo, lado (L.A.L.)

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes, y sus lados homólogos proporcionales.

Ejemplos Triángulos Semejantes

Ejemplo:

A B

C

E

F

D

5

3

15

94

12

Son semejantes aplicando el primer criterio

ABDE

BCEF

ACDF

13

= = = = k

P

Q

R

A B

C

Ejemplos Triángulos Semejantes

Ejemplo:

4

5

8

10

Son semejantes, según el tercer principio, es decir: El ángulo A y el R son iguales y miden 90º Dos de sus lados son proporcionales

3.3 Aplicaciones de la semejanza de triángulos

La semejanza de triángulos, la aplicaremos para resolver muchas situaciones reales. Como por ejemplo: la altura de un árbol o un edificio, la sombra que se proyecta…..

3.3 Aplicaciones de la semejanza de triángulos

3.3 Aplicaciones de la semejanza de triángulos

4. ESCALAS

Tipos de escalas

2:1

1:2

EJEMPLOS ESCALAS

1:50Calcula las dimensiones reales de la habitación.

1 50

20 x

D

x= 1000 cm= 10 m de largo

D

1 50

18,5 x

x= 925 cm = 9,25 m de ancho