derivada-implicita (1)

Sergio Yansen Núñez

Derivación Implícita

1. Sea una función definida implícitamente por la ecuación:C œ 0ÐBÑ

C † C � B � BC œ B � #%$a b# # #

Determine la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación , en elC œ 0 Ba bpunto de abscisa .B œ !

Solución:

Sea el punto de la curva donde se desea determinar la tangente.Ð!ß 5Ñ

Reemplazando el punto en la ecuación se obtiene:C † C � B � BC œ B � #%$a b# # #

5 † 5 � ! � ! † 5 œ ! � #%$ Í 5 œ #%$ Í 5 œ $a b# # &#

Cálculo de :C Ð!Ñw

/ C † C � B � BC œ B � #%$a b# # # ..B

C † C � B � C † # C � B Ð#C † C � #BÑ � C � BC œ "w # # # # w w#a b a b reemplazando en la ecuación anterior se obtiene:B œ !ß C œ $

(0) 3 0 3 3 0 3 (0) 0 3 0 (0)C † � � † # � Ð# † † C � # † Ñ � � † C œ "w # # # # w w#a b a b (0) 81 (0) (0)C † � $#%C � $ œ " Í C œ w w w #

%!& Sea la ecuación de la recta tangenteC œ 7B � ,

7 œ Ê C œ † B � ,# #%!& %!&

Reemplazando el punto en la ecuación se obtieneÐ!ß $Ñ C œ † B � , #%!&

, œ $

Por tanto, la ecuación de la recta tangente es 3 .C œ �#B%!&


2. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definidaC œ 0ÐBÑimplícitamente por la ecuación en el punto ÈC � BC œ & Ð%ß "Ñ Þ#

Solución: ÈC � BC œ & y# ..B

"#† CÈ C � C � #BCC œ !w # w

Š ‹"

#† CÈ � #BC C œ Cw #

C œw

�C

�#BC

#

"#† CÈ

C œ wÐ%ß"Ñ¸ #

"(

La pendiente de la recta tangente en el punto indicado es 7 œ #

"(

Sea la ecuación de la recta tangenteP À C œ 7B � ,

Reemplazando y en se obtiene Ð%ß "Ñ 7 œ C œ 7B � , , œ# #&"( "(

Por tanto, la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto es:Ð%ß "Ñ

C œ B �# #&"( "( .

3. Determine la pendiente de la recta normal a la curva del diabloC � *B œ %C � B Ð$ß #Ñ% # # % en el punto .

Solución: C � *B œ %C � B Î% # # % .

.B

%C † C � ")B œ )C † C � %B$ w w $

C œw %B �")B

%C �)C

$

$

C œ w

Ð$ß�#Ñ¹ #(

)

la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto es Ð$ß #Ñ #(

)

la pendiente de la recta normal a la curva en el punto es Ð$ß #Ñ 827


4. Sea una función definida implícitamente por la ecuaciónC œ 0ÐBÑB � BC � C œ $# # . Determine la ecuación de la recta tangente a la curvaC œ 0ÐBÑ C œ "en el punto, ubicado en el primer cuadrante, de ordenada .

Solución:

Sea el punto donde se determinará la tangente a la curva.Ð2ß "Ñ

Reemplazando en la ecuación Ð2ß "Ñ B � BC � C œ $# # se obtiene: 2 � 2 � " œ $#

2 � 2 # œ !#

Ð2 "ÑÐ2 � #Ñ œ !

pues pertenece al primer cuadrante2 œ " Ð"ß "Ñ

B � BC � C œ $ Î# # ..B

#B � C � B † C � #C † C œ !w w

ÐB � #CÑC œ C #Bw

C œw�C�#BB�#C

C Ð"Ñ œ œ "w �"�#"�#

Recta tangente: donde C œ 7B � , 7 œ C Ð"Ñ œ "w

Se tiene C œ B � ,

Reemplazando en se obtiene Ð"ß "Ñ C œ B � , " œ " � , Í , œ #

Por tanto, la ecuación de la recta tangente es C œ B � #


5. Sea una función definida implícitamente por la ecuaciónC œ 0ÐBÑBC œ / � / #B C .

Determine la ecuación de la recta tangente a la curva dada por en elC œ 0ÐBÑpunto .Ð!ß !Ñ

Solución:

BC œ / � / #B C

es un punto de la curva, puesÐ!ß !Ñ

0 † ! œ / � / #! !

! œ !

BC œ / � / #B C ‚ ..B

C � BC œ / � / † Cw B C w

BC / † C œ / Cw C w B

C B / œ / Cw C Bˆ ‰ C œw / � C

B� /

B

C

C œ œ "w

ÐBßCÑœÐ!ß!Ñº / � !

!� /

!

!

La recta tangente donde X À C œ 7B � , 7 œ " X À C œ B � ,

Ð!ß !Ñ − X ! œ ! � , , œ !

Por tanto, la recta tangente viene dada por la ecuación C œ B


6. Sea una función definida implícitamente por la ecuaciónC œ 0ÐBÑB � BC � )/ œ !$ $ C .

Determine la ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto de ordenadaC œ !.

Solución:

Sea un punto de la curva, reemplazando las componentes de Ð2ß !Ñ Ð2ß !Ñen se obtiene .B � BC � )/ œ ! 2 � ) œ ! Ê 2 œ #$ $ C $

Cálculo de :C Ð #Ñw

/B � BC � )/ œ !$ $ C ..B

$B � C � B † $C † C � )/ † C œ !# $ # w C w

Ð$BC � )/ ÑC œ $B C# C w # $

C œw

�$B �C$BC �)/

# $

# C

C Ð #Ñ œ œ w �$Ð�#Ñ �!$†Ð�#Ñ†! �)/ #

$# $

# !

Sea la recta tangente con X À C œ 7B � , 7 œ C Ð #Ñ œ w $#

Reemplazando en se obtiene .Ð #ß !Ñ C œ B � , , œ $$#

Por tanto, la recta tangente es X À C œ B � $$#


7. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva , definidaC œ 0ÐBÑimplícitamente por la ecuación , en el punto de abscisa68ÐCÑ BC œ / "#B

B œ !.

Solución: Si B œ !

68ÐCÑ œ ! Ê C œ "

T œ Ð!ß "Ñ

68ÐCÑ BC œ / " Î#B ..B

"C .B .B

.C .C† C � B † œ #/Š ‹ #B

"C .B .B

.C .C† C B † œ #/ Î † C#B

.C .C.B .B C BC † œ #C/# #B

+ Š ‹" BC † œ #C/ C.C.B

#B #

.C #C/ � C.B "�BCœ

#B #

.C.B "�!

#�"¹Ð!ß"Ñ

œ œ $

X À C œ $B � ,

Ð!ß "Ñ − X Ê " œ ,

X À C œ $B � "


8. Considere la ecuación que define implícitamente a como#BC

#

#BC � $ œ ! C

función de . Determine el valor de cuando e es un valor positivo.B C B œ " Cw

Solución

Reemplazando en se obtieneB œ " #BC � $ œ !#BC

#

# "C # #C � $ œ ! Ê C œ ” C œ #

Como , se tienen que C � ! C œ #

#B .C .B

#

#BC � $ œ ! Î

# #ÐC � BC Ñ œ ! Î †Š ‹#BC � B C CC #

# w #

#w

#BC B C C BC C œ !# w $ # w

#BC C œ ÐB � BC ÑC$ # # w

C œw#BC � CB �BC

$

# #

C œ œ w

Bœ"ß Cœ#¹ %�) %

"�% &


9. Considere la relación que define implícitamente a ÐB � C Ñ œ BC � "' C# # #

como función de . Determine el valor de cuando la abscisa es negativa y laB Cw

ordenada es .C œ !

Solución:

ÐB � C Ñ œ BC � "'# # #

#ÐB � C ÑÐ#B � #C † C Ñ œ C � B † C# # w w

%BÐB � C Ñ � %CÐB � C Ñ † C œ C � B † C# # # # w w

%CÐB � C Ñ † C B † C œ C %BÐB � C Ñ# # w w # #

Š ‹%CÐB � C Ñ B C œ C %BÐB � C Ñ# # w # #

C œwC � %BÐB �C Ñ%CÐB � C Ñ�B

# #

# #

Para , se obtiene C œ ! B œ #

C œ "'w

Ð�#ß!Ñ¹

derivada-implicita (1)

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