curso de algebra ii

7/26/2019 Curso de Algebra II

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CURSO DE ALGEBRA

VOLUME II

(Versao Preliminar)

Abramo Hefez

12 de novembro de 2002


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Sumario

1 POLINOMIOS 7

1.1 Series de Potencias e Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Divisao de Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3 Polinomios com Coeficientes em Corpos . . . . . . . . . . . . . 251.4 Polinomios sobre Ce sobre R . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.5 Polinomios em Varias Indeterminadas . . . . . . . . . . . . . . 32

2 DERIVACAO E MULTIPLICIDADE 412.1 Derivada Primeira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2 Divisao por X a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.3 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3 POLINOMIOS COM COEFICIENTES NUM DFU 573.1 Razes emKde polinomios em D[X] . . . . . . . . . . . . . . 573.2 O Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.3 Metodo de Kronecker para fatoracao em Z[X] . . . . . . . . . 663.4 Criterios de divisibilidade emQ[X] . . . . . . . . . . . . . . . 693.5 A Resultante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4 AS EQUACOES DE GRAU4 814.1 A Equacao do Segundo Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.2 A Equacao do Terceiro Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.3 A Equacao do Quarto Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5 O GRUPO SIMETRICO 955.1 Relacoes Entre Coeficientes e Razes . . . . . . . . . . . . . . 955.2 Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.2.1 A nocao de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

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4 SUMARIO

5.2.2 Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.2.3 Grupos Cclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.3 Estrutura deOrbitas de uma Permutacao . . . . . . . . . . . . 114

5.3.1 Decomposicao de uma permutacao em um produto dec i c l o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 4

5.4 O Grupo Alternante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.5 Funcoes Simetricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.6 Conjugacao emSn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6 O METODO DE LAGRANGE 133

7 EXTENSOES DE CORPOS 147

7.1 A Algebra Linear da Extensao de Corpos . . . . . . . . . . . . 1477.2 Construcoes com Regua e Compasso . . . . . . . . . . . . . . 156


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SUMARIO 5

NOTACOES

Anel = Anel comutativo com unidade

N ={1, 2, 3, . . .}= Conjunto dos numeros naturais

Z ={. . . , 2, 1, 0, 1, 2, . . .}= Anel dos numeros inteiros

Z+ =

{0, 1, 2, 3, . . .

}= Subconjunto dos numeros inteiros nao negativos

Q = Corpo dos numeros racionais

R = Corpo dos numeros reais

C = Corpo dos numeros complexos

YX = Conjunto da funcoes de X em Y

A = Conjunto dos elementos invertveis do anel A

Kern = nucleo do homomorfismo


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6 SUMARIO


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Captulo 1

POLINOMIOS

Neste Captulo iniciaremos o estudo das propriedades algebricas basicasdos polinomios com coeficientes num anel comutativo com unidade.

Nas disciplinas de Calculo os polinomios sao vistos como funcoes particu-lares de variavel real e como tal sao estudados. A necessidade de se distinguiros polinomios das funcoes polinomiais surge pela consideracao de polinomioscom coeficientes em corpos finitos, de uso cada vez mais frequente por causade suas inumeras aplicacoes praticas.

Muito do estudo das propriedades dos polinomios em uma indeterminadaesta relacionado com o desenvolvimento da Teoria das Equacoes Algebricas a

qual estao associados os nomes de Tartaglia, Lagrange, Ruffini, Gauss, Abel,culminando com as contribuicoes fundamentais de Abel e Galois.

As propriedades dos polinomios em varias indeterminadas foram pesqui-sadas inicialmente por suas conexoes com a Geometria Analtica, evoluindono que hoje se chama Geometria Algebrica.

Atualmente os polinomios desempenham papel relevante em muitas par-tes da Matematica.

1.1 Series de Potencias e Polinomios

SejaA um anel, considerado, uma vez por todas, comutativo com unidade,e seja X uma indeterminada sobre A. Uma serie de potencias f(X) comcoeficientes em A e uma soma formal infinita do tipo:

f(X) =

i=0

aiXi =a0X

0 + a1X1 +a2X

2 +

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8 CAPITULO 1. POLINOMIOS

com ai A, para todo i Z+. Os Xi sao provisoriamente vistos apenascomo smbolos indicadores de posicao.

Duas series de potencias f(X) =

i=0 aiXi eg(X) =

i=0 biX

i sao con-sideradas iguais se ai =bi para todo iZ+. Os elementos ai sao chamadosde coeficientes e a parcelaaiX

i de monomio de graui. Convenciona-se omitiro monomio aiX

i quando ai = 0 e costuma-se denotar a0X0 por a0 e a1X

1

por a1X.

O conjunto de todas as series de potencias com coeficientes em A e de-notado por A[[X]] e nele definimos as seguintes operacoes:

Adicao:

i=0

aiXi +

i=0

biXi =

i=0

(ai+ bi)Xi.

Multiplicacao: i=0

aiXi

i=0

biXi

=

i=0

i

j=0

aj bij

Xi.

Note que com esta definicao de produto, temos que Xi Xj = Xi+j, paratodo i e j, dando assim um sentido de potencia ao smbolo Xi.

PROPOSICAO 1.1. O conjunto A[[X]]com as operacoes acima definidase um anel.

DEMONSTRACAO: A associatividade e a comutatividade da adicao saode verificacoes imediatas. O elemento neutro da adicao e 0 =

i=00X

i,enquanto que o simetrico de f(X) =

i=0 aiX

i ef(X) =

i=0(ai)Xi.

A comutatividade da multiplicacao e imediata e a propriedade distributivae facil de ser verificada. A unica propriedade que merece verificacao e aassociatividade da multiplicacao. Sejam

f(X) =

i=0

aiXi, g(X) =

i=0

biXi e h(X) =

i=0

ciXi.


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1.1. SERIES DE POTENCIAS E POLINOMIOS 9

Temos que

(f(X) g(X)) h(X) = i=0

diXi,

onde

di=i

k=0

k

j=0

aj bkj

cik =

++=i

abc.

Por outro lado,

f(X) (g(X) h(X)) =

i=0eiX

i,

onde

ei=i

k=0

ak

ik

j=0

bjcikj

=

++=i

abc.

Portanto,di= ei, para todo i, provando assim a associatividade da mul-tiplicacao.

E claro que A A[[X]], pois todo elemento a A pode ser visto comoa0+ 0X+ 0X

2 + e portanto como elemento de A[[X]]. Alem disso, sef(X) =a e g(X) =b, temos que

f(X) + g(X) =a + b e f(X) g(X) =a b,

onde as operacoes nos primeiros membros sao efetuadas em A[[X]] e as dossegundos membros o sao em A. Vemos com isto que as operacoes definidasem A[[X]] estendem as operacoes definidas em A, fazendo com que A sejaum subanel de A[[X]].

Um outro subanel de A[[X]] que se destaca e o anelA[X] dospolinomiosem uma indeterminada com coeficientes em A. Como conjunto, este anel edescrito como

A[X] =

a0+ a1X+ a2X2 + A[[X]]| n tal queai= 0 se i >0

Todo elemento de A[X] e chamado de polinomio e pode ser representadocomo soma finita, p(X) =

ni=0 aiX

i , para algum n Z+.


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PROPOSICAO 1.2. A[X] e um subanel deA[[X]].

DEMONSTRACAO:Basta, de acordo com I-7, Proposicao 1, mostrar que1A[X], o que e obvio; e que se p(X)q(X)A[X], entao p(X) q(X)A[X] e p(X) q(X)A[X].

De fato, se p(X) =n

i=0 aiXi eq(X) =

ni=0 biX

i, entao

p(X) q(X) =max{n,m}

i=0

(ai bi)Xi A[X]

e

p(X) q(X) =n+m

j=0 cjXj A[X] onde cj = i+k=j ai bk.

Dado um polinomiop(X) =a0+ a1X+ anXn A[X] {0}, define-segrau de p(X) como sendo o inteiro

gr(p(X)) = max{i Z+; ai= 0}.Note que o polinomio nulo e o unico polinomio que nao possui grau e que

gr(p(X))> 0 se, e somente se, p(X)A[X] A.O coeficiente do termo de grau igual ao gr(p(X)) e chamado de coeficiente

lder de p(X). Um polinomio cujo coeficiente lder e igual a 1 e chamado

de polinomio monico. Um polinomio nulo ou de grau zero sera chamado depolinomio constante.Vejamos agora como a hipotese sobre A de ser domnio se reflete sobre

A[X].

PROPOSICAO 1.3. Seja A um domnio. Se p(X), q(X) A[X] {0},entao p(X) q(X)= 0 egr(p(X) q(X)) = gr(p(X)) + gr(q(X)).

DEMONSTRACAO: Considere os polinomios p(X), q(X)A[X] dadospor

p(X) =a0+ a1X+ + anXn e q(X) =b0+ b1X+ + bmXm

onde an= 0 e bm= 0. Entao,p(X) q(X) =a0 b0+ (a0 b1+ a1 b0)X+ + an bmXn+m.

Como A e domnio, segue que an bm= 0, logop(X) q(X)= 0 e gr(p(X) q(X)) =n + m= gr(p(X) + q(X)).


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COROLARIO 1.1. SeA e um domnio, ent ao A[X] e domnio.

Em particular, se K e um corpo entao K[X] e um domnio.

COROLARIO 1.2. SejaA um domnio. Sep(X), q(X) A[X] {0} saotais quet(X) dividep(X), entao gr(t(X))gr(p(X)).

DEMONSTRACAO: Existe por hipotese, um polinomio nao nulo q(X)em A[X] tal que t(X) q(X) = p(X) . Logo pela Proposicao 3, segue quegr(p(X)) gr(t(X)) = gr(q(X))0 . Da segue a desigualdade desejada.

COROLARIO 1.3. Seja A um domnio. Um elemento p(X) A[X] einvertvel se, e somente se, p(X)A e e invertvel emA. Em smbolos,

(A[X])=A.

DEMONSTRACAO: Se p(X) A[X] e invertvel, entao p(X)= 0 eexisteq(X)A[X] {0}tal que p(X) q(X) = 1. Tomando graus e usandoa Proposicao 3 temos que gr(p(X)) + gr(q(X)) = 0 . Logo gr(p(X)) =gr(q(X)) = 0 e, portanto p(X), q(X) A e p(X) e invertvel em A. Arecproca e imediata.

Um fato que merece ser evidenciado e a diferencaa existente entre po-linomios e funcoes polinomiais, dois conceitos que frequentemente sao inde-vidamente confundidos.

A um polinomio p(X) A[X] associa-se uma funcao p AA chamadafuncao polinomial, definida por

p: A Aa p(a) =a0+ a1 a+ + an an.

O elemento p(a) de A e chamado de valor de p(X) em a. E evidente que a

dois polinomios iguais sao associadas duas funcoes polinomiais iguais. Emcontrapartida, dois polinomios distintos podem dar origem a duas funcoes po-linomiais iguais. Por exemplo,p(X) =X2 Xeq(X) = 0, como polinomiosde Z2[X] sao distintos, porem, as funcoes polinomiais a eles associadas saoiguais. Mais geralmente, se p e um numero primo positivo, decorre do Pe-queno Teorema de Fermat (I-6, Problema 1.10) que os polinomios Xp X


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e0 de Zp[X] determinam a mesma funcao polinomial. Veremos na proxima

secao 2, Corolario 4 do Teorema 1, que se A e infinito tal fato nao ocorre.Uma tecnica muito util ao lidarmos com polinomios e o chamado metodo

dos coeficientes a determinarque utiliza basicamente as definicoes da igual-dade e das operacoes no anel de polinomios. Ilustraremos o metodo comalguns exemplos.

EXEMPLO 1: Mostraremos neste exemplo queX4 + 4 pode ser escritocomo produto do dois polinomios de segundo grau com coeficientes inteiros.

De fato, escreva,X4 + 4 = (aX2 + bX+ c) (aX2 + bX+ c). Efetuandoo produto, tem-se que

X4 +4 =a aX4 +(ab+a b)X3 +(ac+bb+ca)X2 +(bc+cb)X+cc.Pela igualdade de polinomios acima, obtem-se o sistema de equacoes:

a a = 1a b+ a b= 0a c+ b b+ c a = 0b c+ c +c b= 0c c = 4

Procuremos as solucoes inteiras deste sistema de equacoes. Da primeira

equacao, obtem-se que a = a =1. Da segunda, segue que b+ b e daquarta, b (c c) = 0, logo b= 0 ouc = c.

Caso 1: b= 0. Da terceira equacao tem-se que c + c = 0, donde c=c.Substituindo na quinta equacao tem-se c2 =4, o que e impossvel.

Caso 2: c= c. Da quinta equacao tem-se que c= c =2. Da segunda,segue que b + b = 0, logo da terceira obtem-se b b =2a c=4 . Dondeb=b =2. Testando os valores obtidos temos queX4 + 4 = (X2 2X+ 2) (X2 + 2X+ 2) = (X2 + 2X 2) (X2 2X2).

EXEMPLO 2: Determinaremosa e b em Z7 de modo que X4 +4X3 +

aX2 4X+ b Z7[X] seja o quadrado de um polinomio de Z7[X] .Da igualdade,

X4 +4X3 + aX2 4X+ b = (X2 + cX+ d)2= X4 +2cX3 + (2d + c2)X2 +2cdX+ d2


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obtemos o sistema: 2 c=

42 d + c2 =a

2 c d=4d2 =b

que resolvido, nos fornece c=2, d =1, b=1 e a=2. Portanto,

X4 + bar4X3 +2X2 4X+1 = (X2 +2X 1)2

PROBLEMAS 1.1.

1. Um elemento a= 0 de um anel comutativo com unidade A e chamadoregularounao divisor de zero emAse a b= 0, para todo bA {0}.Em particular, todo elemento invertvel de A e regular.

(a) Se p(X), q(X)A[X], com coeficiente lder de p(X) ou de q(X)regular, entao gr(p(X) q(X)) = gr(p(X)) + gr(q(X)).

(b) Se p(X), t(X)A[X], com coeficiente lder de t(X) regular e set(X)|p(X), entao gr(t(X))gr(p(X)).

(c) Calcule gr(p(X)q(X)) onde p(X) = 3X3

+2X+1 e q(X) =2X2 +3X+ 1 em Z6[X].

(d) Mostre que (2X2 +2X+1)|3 em Z6[X] .2. Determine a Ztal que

(a) O polinomioX4aX3 +8X2 +aseja o quadrado de um polinomiode Z[X].

(b) O polinomio X4 + X3 + aX2 + X + 1 seja o produto de doispolinomios do segundo grau emZ[X].

3. Determine a, b Z7 tais que(a) O polinomio X4 +3X3 +5X2 +aX+b seja o quadrado de um

polinomio de Z7[X].

(b) O polinomioX3 + aX+ 5 seja divisvel porX2 + 5X+ 6 em Z7[X].


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4. Mostre que a funcao avaliacao emaA:Ava :A[X] A

p(X) p(a)e um homomorfismo de aneis.

5. Seja p um numero primo positivo ef(X) Zp[X]. Mostre que f(X) ef(Xp) determinam a mesma funcao polinomial.Sugestao: Use o Pequeno Teorema de Fermat.

6. Sejamp(X)C[X] e uma raiz n-esima primitiva da unidade em C .

(a) Se gr(p(X))< n, mostre que

p(X) +p(X) +p(2X) + +p(n1X) = n p(0).

(b) Deduza uma formula para esta soma se gr(p(X))n .

7. Mostre quef(X) =

i=0aiX

i A[[X]] e invertvel em A[[X]] se, e somente se,a0e invertvel em A[X].Sugestao: Seja g(X) =

i=0biX

i. Tem-se que f(X) g(X) = 1 se, e somente se,a0 b0 = 1 e

ij=0ajbij = 0, para todo i 1. Mostre que se b0 = a10 , entao a

equacao acima determina bi em funcao dos ajs e de b0, b1, . . . , bi1, determinando

assim g (X) = (f(X))1.

8. SejaKum corpo. Mostre que 1 X e invertvel em K[[X]] e que(1 X)1 =

i=0

Xi.

Se aK {0}, determine (a X)1.

9. Sejaf(X) =

i=0aiXi A[[X]] {0}.Defina a ordem de f(X) com sendo

ord(f(X)) = min{i|ai= 0}.

Mostre que se A e um domnio e se f(X), g(X) A[[X]] {0}, entao

ord(f(X) g(X)) = ord(f(X)) + ord(g(X)).Isto prova que se A e um domnio, entao A[[X]] tambem e um domnio.

10. Seja Kum corpo.

(a) Dado f K[[X]] K, mostre que existem m N e u invertvel em K[[X]]tais que f=Xm u.


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1.2. DIVIS AO DE POLINOMIOS 15

(b) Mostre queK[[X]] e um domnio principal. Conclua que K[[X]] e um domnio

de fatoracao unica (DFU).Sugestao: Veja I-Teorema 2, Captulo 4.

(c) Descreva o corpo de fracoes de K[[X]].

11. Sejam fi(X) A[[X]], i Z+, tais que ord(fi(X)) i. Mostre que

i=0fiX

i ebem definido como elemento de A[[X]]. Mostre que se f(X), g(X) A[[X]] comf(X) =

i=0aiXi, entao

i=0

aiXi g(X) = f(X) g(X).

12. Suponha que B seja um subanel de A. Mostre que B[[X]] e B[X] sao respectiva-

mente subaneis de A[[X]] e de A[X].

1.2 Divisao de Polinomios

Mostraremos nesta secao que sob certas condicoes, a semelhanca dos in-teiros, e possvel efetuar a divisao com resto pequenode um polinomio poroutro.

TEOREMA 1.1. (ALGORITMO DA DIVIS AO) SejaA um anel e sejam

p(X) e t(X) polinomios em A[X]. Se t(X) = 0 possui coeficiente lderinvertvel, ent ao existemq(X) er(X) emA[X] tais que

p(X) =t(X) q(X) + r(X), com r(X) = 0ou gr(r(X))< gr(t(X)).

Alem disso, q(X)er(X)sao univocamente determinados por estas condicoes.

DEMONSTRACAO: Sejam

p(X) =a0+ a1X+ + anXn e t(X) =b0+ b1X+ + bmXm,

com an= 0 e bm invertvel.Existencia: Se p(X) = 0 ou n < m, faca q(X) = 0 e r(X) = p(X).

Suponha agora p(X)= 0 e n m. Tomandoq1(X) = b1manXnm A[X]tem-se que

p(X) q1(X) t(X) =r1(X), (1.1)


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com r1(X) = 0 ou gr(r1(X))< gr(p(X)).

Se r1(X) = 0 ou se gr(r1(X)) < gr(t(X)), o problema fica resolvidotomando r(X) =r1(X) e q(X) =b

1m anX

nm .Se gr(r1(X))gr(t(X)), repete-se o procedimento acima com r1(X) no

lugar de p(X), obtendo

r1(X) q2(X) t(X) =r2(X), (1.2)

com r2(X) = 0 ou gr(r2(X))< gr(r1(X)).Se r2(X) = 0 ou se gr(r2(X)) < gr(t(X)), o problema fica resolvido pois

p(X) = (q1(X) + q2(X)) t(X) + r2(X).Se gr(r2(X))

gr(t(X)), repete-se o procedimento acima com r2(X) no

lugar de r1(X), obtendo

r2(X) q3(X) t(X) =r3(X), (1.3)

com r3(X) = 0 ou gr(r3(X))< gr(r2(X)).E assim sucessivamente, obtendo r1(X), r2(X), r3(X), . . .tais que

gr(r1(X))> gr(r2(X))> gr(r3(X))>

Segue entao que para certosN, tem-sers(X) = 0 ou gr(rs(X))< gr(t(X)).Levando em conta (1), (2), (3), . . .temos que

p(X) = (q1(X) + q2(X) + + qs(X)) t(X) + rs(X)

bastando entao tomarq(X) =q1(X)) + q2(X) + + qs(X)) er(X) =rs(X).

Unicidade: Suponha que

t(X) q(X) + r(X) =t(X) q1(X) + r1(X)

comr(X) = 0 ou gr(r(X))< gr(t(X)) er1(X) = 0 ou gr(r1(X))< gr(t(X)).Da igualdade acima, obtemos que

t(X)[q(X) q1(X)] =r1(X) r(X) (1.4)

Pelas condicoes impostas a r(X) e r1(X) temos que

r1(X) r(X) = 0 ou gr(r1(X))< gr(t(X)).


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Se r1(X) r(X)= 0, segue de (1.4) e do Problema 1.1 (b) que

gr(r1(X) r(X))gr(t(X)),

o que e uma contradicao. Portanto r1(X) = r(X) e consequentemente de(1.4) temos que q1(X) =q(X).

OBSERVACAO 1: Seguindo os passos da demonstracao do Teorema,obtemos o algoritmo da divisao longa de dois polinomios:

anXn + an1Xn1 + + a0 bmXm + + b0

anXn b1m bm1anXn1 b1m b0anXnm b1m anXnm +

r1(X)...

OBSERVACAO 2: SeA e um corpo entao e sempre possvel efetuar adivisao por qualquer polinomiot(X)= 0.

OBSERVACAO 3: Suponha que p(X), t(X) B[X] onde B e um su-banel de A e o coeficiente lder de t(X) e invertvel em B. Entao q(X) er(X) calculados pelo algoritmo da divisao em A[X] terao necessariamentecoeficientes em B.

OBSERVACAO 4: Os polinomios p(X), t(X), q(X) e r(X) no algoritmoda divisao sao chamados respectivamente de dividendo, divisor, quociente eresto.

EXEMPLO 1 : E possvel efetuar a divisao de 3X5 + 2X3 + X2 5X+ 7por 2X3 + 3X+ 1 em Q[X] mas nao e possvel faze-lo em Z[X] .


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3X5

+ 2X3

+ X2

5X+ 7 2X3

+ 3X+ 1

3X5 92

X3 32

X2 32

X2 54

52

X3 12

X2 5X+ 752

X3 + 154X+ 5

4

12

X2 54

X+ 334

Neste caso q(X) = 32 X

2

54 e r(X) =

12 X

2

54 X+

334.

EXEMPLO 2: O fato de bm nao ser invertvel nao quer dizer que nao sepossa efetuar a divisao. Por exemplo, sejam dados p(X) = 2X3 3X2 + 1 et(X) = 2X+ 1, temos em Z[X]:

2X3 3X2 + 1 2X+ 1

2X3 X2 X2 2X+ 1

4X2 + 1

4X2 + 2X2X+ 1

2X 10

Neste caso q(X) =X2 2X+ 1 e r(X) = 0.

Damos a seguir alguns corolarios do Teorema, cuja importancia ficaramais clara na proxima seccao.

COROLARIO 1.4. Sejam a, b A com a invertvel e p(X) A[X]. Oresto da divisao dep(X) poraX+ b ep

ba

.


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DEMONSTRACAO: Pelo Teorema 1, existem q(X), r(X) A[X] taisque p(X) = (aX+b)q(X) +r(X) com r(X) = 0 ou gr(r(X)) < 1. Emqualquer caso r(X) e um polinomio constante, logo

p

b

a

= 0 q

b

a

+ r

b

a

=r(X).

COROLARIO 1.5. Sejam a, b A com a invertvel e p(X) A[X]. Opolinomio p(X) e divisvel poraX+ b se, e somente sep

ba

= 0.

DEFINICAO 1.1. Sep(X)A[X]eA sao tais quep() = 0, dizemosque eraizdo polinomio p(X).

Segue do Corolario 2 que e raiz de p(X) se e somente se (X ) dividep(X).

COROLARIO 1.6. SejaA um domnio. Sep(X)A[X] {0} tem graun, entao p(X) tem no maximo n razes distintas.

DEMONSTRACAO: Vamos provar isto por inducao em n. Se n = 0,entao p(X) e uma constante nao nula e portanto tem zero razes, estabe-lecendo o resultado neste caso. Suponha agora o resultado valido para ne seja p(X) um polinomio de grau n+ 1. Se p(X) nao tem razes, nada

temos a provar. Se p(X) tem uma raiz , entao p(X) = (X)q(X),com q(X) A[X] e gr(q(X)) = n. Pela hipotese de inducao, q(X) temno maximo n razes distintas e sendo A um domnio, as razes de p(X) saoas razes de q(X) e as razes de (X), logop(X) tem no maximon+1 razes.

COROLARIO 1.7. Seja A um domnio infinito. Se p(X), q(X) A[X]sao tais que p(a) = q(a) para todo a A (i.e. as funcoes polinomiais saoiguais), entao p(X) =q(X) (i.e. os polinomios sao iguais).

DEMONSTRACAO: Suponha por absurdo que p(X)q(X)= 0. Entao,

pelo Corolario 3,p(X)q(X) tem um numero finito de razes. Isto contradiza hipotese p(a) =q(a) para todo aA poisA e infinito.

Considere a aplicacao

: A[X] AAp(X) funcao polinomial associada ap(X)


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Usando o exerccio 1.4 e facil verificar que e um homomorfismo de aneis.

O Corolario 4 mostra que se A e um domnio infinito, entao N() ={0}.

DEFINICAO 1.2. Dizemos que um corpo K e algebricamente fechadose todo polinomio nao constante deK[X] tem pelo menos uma raiz emK.

COROLARIO 1.8. SejaKum corpo algebricamente fechado e seja aindap(X)K[X] um polinomio nao constante. Segr(p(X)) =n, entao existemelementos1, 2, . . . , nK eaK tais que

p(X) =a

(X

1)

(X

2)

(X

n)

DEMONSTRACAO: A prova pode ser feita por inducao sobre n e a dei-xamos a cargo do leitor.

PROPOSICAO 1.4. SeK e um corpo algebricamente fechado, entao K einfinito.

DEMONSTRACAO: Suponha por absurdo que K seja finito, digamosqueK={a0, a1, . . . , an1} onde a0= 0 e a1 = 1. Considere o polinomio

p(X) = (X a0) (X a1) (X an1) + a1.

Verifica-se diretamente que p(X) nao tem razes em K o que e uma con-tradicao, pois p(X) e nao constante e K e algebricamente fechado.

Nem todo corpo e algebricamente fechado, por exemplo, sep e um numeroprimo positivo, o corpo Zp nao e algebricamente fechado por ser finito. Ocorpo R , apesar de infinito, nao e algebricamente fechado pois o polinomionao constante X2 + 1 R[X] nao possui razes em R.

O famoso Teorema Fundamental da Algebragarante que C e algebrica-mente fechado. Este Teorema possui uma longa historia e muitas demons-tracoes, nenhuma delas porem se faz com metodos puramente algebricos,devendo-se sempre usar metodos da analise. Vamos ao longo do texto admi-tir este resultado cuja demonstracao encontra-se no Apendice 1.


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EXEMPLO 3: O polinomio p(X) = 2X4 7X3 2X2 + 13X+ 6 e di-visvel pelo polinomioX

2

5X+ 6 em Z[X].De fato, tem-se queX25X+6 = (X2)(X3). Comop(2) = 0, temos

quep(X) = (X 2) q(X) comq(X) Z[X]. Por outro lado, p(3) = 0, logoq(3) = 0 e portanto q(X) = (X 3) q1(X) com q1(X)Z[X]. Conclui-seque p(X) = (X 2) (X 3) q1(X).

Pede-se ao leitor generalizar a argumentacao acima mostrando que se Ae um domnio, p(X) A[X] e 1, 2, . . . , n sao elementos distintos de Atais que p(i) = 0, i= 1, 2, . . . , n, entao (X 1) (X 2) (X n)

dividep(X).

EXEMPLO 4 : O polinomiop(X) =X3k+2 +X3m+1 +X3n com n,m,kN e divisvel por X2 + X+ 1 em Z[X].

De fato, podemos escrever X2 +X+ 1 = (X w) (X w2) em C[X]onde w e uma raiz cubica primitiva de 1. Temos tambem que

p(w) = w3k+2 + w3m+1 + w3n =w2 + w+ 1 = 0e

p(w2) = w6k+4 + w6m+2 + w6n =w+ w2 + 1 = 0

Portanto pela argumentacao acima, temos que (X2 + X+ 1)|p(X) em C[X],logop(X) = (X2 +X+1) q1(X) para algumq1(X) C[X]. Pela Observacao3 temos que q1(X) Z[X], provando assim a nossa afirmacao.

EXEMPLO 5: Seja = cos 2n

+ i sen 2n

. Vamos provar a identidade

1 + X+ X2 + + Xn1 = (X ) (X 2) (X n1).De fato, sendop(X) = 1+X+X2 + +Xn1 euma raizn-esima primitivada unidade, temos que , 2, . . . , n1 sao distintos e

p() =p(2) = =p(n1) = 0.Logo p(X) e divisvel por (X ) (X 2) (X n1). Por serem domesmo grau p(X) e este ultimo polinomio, segue que existe a C {0} talque

p(X) =a (X ) (X 2) (X n1).


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Comparando os coeficientes dos termos de mais alto grau dos polinomios

acima, conclui-se que a= 1, provando assim a identidade.

PROPOSICAO 1.5. (POLINOMIO DE INTERPOLACAO DE LAGRANGE).SejaK um corpo. Sejamai, biK, i= 1, 2, . . . , n, com osai dois a dois distintos e osbinao todos nulos. Considere os polinomios

pi(X) = bi(X a1) (X ai1) (X ai+1) (X an)(ai a1) (ai ai1) (ai ai+1) (ai an),

parai= 1, 2, . . . , n. Entao o polinomio

p(X) =

n

i=1 pi(X)e o unico polinomio de grau menor do quen tal quep(ai) = bi, para todos i= 1, 2, . . . , n.

DEMONSTRACAO: O polinomiop(X) e de grau menor do que n e e talquep(ai) =bi, i = 1, 2, . . . , n, pois

pi(aj) =

0 se i=jbj se i= j

Agora so falta provar a unicidade de p(X). Suponha queq(X) seja um

polinomio que satisfaz as mesmas condicoes que p(X) satisfaz. Segue entaoque p(X)q(X) e um polinomio de grau menor do que n com n razesa1, a2, . . . , an, logo, pelo Corolario 3 do Teorema 1, tem-se que p(X) =q(X).

O polinomio p(X) acima e chamado Polinomio de Interpolacao de La-grange e desempenha papel importante na apresentacao de Galois da suaTeoria das Equacoes.

PROBLEMAS 1.2.

1. Ache q(X) e r(X) nas seguintes situacoes:

(a) p(X) = 3X2 + 5X+ 7, t(X) =X3 + 7X2 + 9 em Z[X].

(b) p(X) =X4 + X3 + X2 + X+ 1, t(X) =X4 X3 + X2 X+ 1em Z[X].


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(c) p(X) =X7 + 3X6 X5 + 4X2 + 1, t(X) =X4 X+ 1 em Z[X].(d) p(X) =X10 + X5 + 1, t(X) =X2 + X+ 1 em Z[X].

(e) p(X) =X5 + 3X4 + X3 + X+ 1, t(X) = 2X2 + 3X+ 1 em Z[X].

(f) p(X) =X3 +3X2 + X+3, t(X) =X2 +4X+3 em Z5[X].

2. Ache os possveis valores de a para que o polinomio

a2 X4 + 4X3 + 4 a X+ 7seja divisvel por X+ 1 em Z[X].

3. SejamA um domnio ea

A {

0}

.

(a) Mostre que o polinomio Xn an e divisvel por X aem A[X].(b) Sob que condicoes Xn + an e divisvel por X+ aem A[X] ?

(c) Sob que condicoes Xn an e divisvel por X+ a em A[X] ?4. Sem efetuar a divisao, mostre que

(a) 2X6 + 2X5 + X4 + 2X3 + X2 + 2 e divisvel por X2 + 1 em Z[X].

(b) X6 + 4X5 + 3X4 + 2X3 +X2 + 1 e divisvel por X2 +X+ 1 emZ[X].

(c) X444 +X333 + X222 +X111 +1 e divisvel por X4 + X3 +X2 +X+1em Z[X].

(d) Paran N, (X+ 1)2n X2n 2X 1 e divisvel porX (X+ 1) (2X+ 1) em Q[X].

5. Para quais valores den N tem-se que(a) 1 + X2 + X4 + + X2n2 e divisvel por 1 + X+ + Xn1?(b) 1 + X3 + X6 + + X3n3 e divisvel por 1 + X+ + Xn1?(c) Generalize.

6. SejamKum corpo e sejam p(X)K[X] ea, bKcoma=b. Mostreque o resto da divisao de p(X) por (X a) (X b) e

p(a) p(b)a b X+

ap(b) bp(a)a b .


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7. Determine o polinomio p(X) Q[X] de grau 7 tal que

p(1) =p(2) = =p(7) = 8 e p(0) = 1

8. (a) Resolva a equacao 20X3 30X2 + 12X 1 = 0 sabendo-se que 12

e uma de suas razes.

(b) Uma raiz da equacaoX3 (2a + 1)X2 + a(a + 2)X a(a + 1) = 0e a + 1, ache as outras duas.

9. Ache o polinomio de menor grau que tem razes 0, 1 + i, 1 ie assumeos valores 2 e

2 em

1 e 1 respectivamente.

10. Sejam os polinomios p1(X), . . . , ps(X) K[X] onde K e um corpo.Sejam aindar1(X), . . . , rs(X)K[X] os respectivos restos das divisoesdestes polinomios por t(X)= 0. Fixados os elementos 1, . . . , sK,mostre que o resto da divisao de p(X) =

si=1 ipi(X) por t(X) e o

polinomio r(X) =s

i=1 iri(X) .

11. (a) Mostre que o resto da divisao do polinomiop(X) =n

i=0 aiXi por

Xn a e r(X) = ni=0 airi(X), onde ri(X) e o resto da divisaode Xi por Xm a.Sugestao: use o exerccio 2.10.

(b) Se i = im + i com 0 < m, mostre que ri(X) =aiXi .(c) Conclua que r(X) =

ni=0 a

iXi, justificando a seguinte regrapratica para calcularr(X): Substitua emp(X) todos osXm quepuder por a.

(d) Sob quais condicoes Xn an e divisvel por Xm am ?(e) Ache os restos da divisao de X60 1 e de X100 1 por X3 1.(f) Mostre que sea= 0, entao (Xn an, Xm am) =Xd ad, onde

d= (m, n) .

12. Considere a igualdade do Exemplo 5,

1 + X+ X2 + + Xn1 = (X ) (X 2) (X n1),

onde = cos 2n

+ i sen 2n

.


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1.3. POLINOMIOS COM COEFICIENTES EM CORPOS 25

(a) Na igualdade acima, fazendo X = 1 e tomando os modulos em

ambos os lados, mostre a seguinte identidade trigonometrica:

sen

n sen2

n sen(n 1)

n =

n

2n1

Sugestao: Use a identidade sen = 1cos22

.

(b) Se p >2 e um numero primo, mostre que

(X 1) (X2 1) (Xp1 1) pe divisvel por 1 + X+ + Xp1.

1.3 Polinomios com Coeficientes em Corpos

No que segue estudaremos propriedades especficas do anel de polinomioscom coeficientes num corpo K. Neste caso, o Teorema 1 nos garante que adivisao com resto pode ser efetuada, tendo como dividendo um polin omioqualquer e como divisor um polinomio nao nulo arbitrario. Note tambemque, neste caso, de acordo com o Corolario 3 da Proposicao 2,u(X)

K[X]

e invertvel se, e somente se, u(X) K {0}, ou seja gr(u(X)) = 0. Por-tanto, dois polinomios p(X) e q(X) sao associados se, e somente se, existec K {0} = K tal que q(X) = cp(X). Segue disto que todo polinomionao nulo de K[X] e associado a um unico polinomio monico.

TEOREMA 1.2. Todo ideal I de K[X] e principal. Se I= 0 entao I egerado por qualquer um dos seus elementos de menor grau.

DEMONSTRACAO: Se I ={0}, nada temos a provar. Suponha queI

=

{0

} e seja p(X)

= 0 um polinomio em I de grau mnimo. Como

p(X) I segue que I(p(X)) I. Por outro lado, se g(X) I, pelo al-goritmo da divisao, existem polinomiosq(X) er(X) emK[X] comr(X) = 0ou gr(r(X))< gr(p(X)) tais que g(X) =p(X) q(X) + r(X). Segue da quer(X) I e como p(X) tem grau mnimo em I, conclui-se que r(X) = 0 eportanto g (X)I(p(X)). Isto acaba de mostrar que I=I(p(X)).


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O fato que K[X] e um anel principal tem varios corolarios que passamos

a enunciar.

COROLARIO 1.9. Sejam dados os polinomiosp1(X), . . . , ps(X)K[X].Entao existe umMDCdestes elementos. Alem disso, todoM DCdeles e daformap1(X) q1(X) + +ps(X) qs(X) para elementosq1(X), . . . , q s(X)K[X].

DEMONSTRACAO: Isto decorre do Teorema 2 e de I-4, Corol ario 1 daProposicao 6.

Como todo associado de umM DCde dados elementos e um M DCdesteselementos (cf. I-4, Corolario da Proposicao 4), segue que dados elementosp1(X), . . . , ps(X)K[X] nao todos nulos, estes elementos possuem um unicoMDCmonico que sera chamado de oM DCdestes elementos e denotado por(p1(X), . . . , ps(X)).

Do fato de K[X] ser principal segue tambem que existe MMC de ele-mentos quaisquer de K[X] (Veja I-4, Problema 2.8)

COROLARIO 1.10. Os polinomiosp1(X) e p2(X) emK[X] sao primos

entre si, se e somente se, existem q1(X), q2(X) K[X], tais que p1(X)q1(X) +p2(X) q2(X) = 1.DEMONSTRACAO: Como p1(X) E p2(X) sao primos entre si, se, e so-

mente se, (p1(X), p2(X)) = 1, a relacao entre p1(X), p2(X) e 1 segue doCorolario 1.

COROLARIO 1.11. EmK[X] um elemento e primo se e somente se elee irredutvel.

DEMONSTRACAO: Isto decorre do Teorema 2 e de I-4, Proposicoes 8 e

9.

COROLARIO 1.12. K[X] e um domnio de fatoracao unica.

DEMONSTRACAO: Isto decorre do Teorema 2 e de I-4, Teorema 2.


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1.3. POLINOMIOS COM COEFICIENTES EM CORPOS 27

COROLARIO 1.13. Todo elemento p(X)K[X] Kpode ser escrito demodo unico, a menos da ordem dos fatores, sob a forma

p(X) =c (p1(X))1 (pr(X))r

onde c K {0} e p1(X), . . . , pr(X) sao polinomios monicos irredutveisdistintos emK[X] ei N, para i= 1, 2, . . . , r.

Observe que o Corolario 5 nao e construtivo, pois garante a existencia dafatoracao de um polinomio em polinomios irredutveis sem entretanto indi-car como obte-la. O problema de determinar algortmos rapidos para fatorarpolinomios e importante e atual.

Tal como no caso dos inteiros, pelo fato de existir em K[X] um algo-ritmo para efetuar divisoes com resto pequeno, pode-se calcular efetivamenteo MDCde dois polinomios usando o algoritmo de Euclides.

EXEMPLO 1 : Determinaremos o MDC em Q[X] dos polinomios

2X5 + 2X4 + X3 2X2 X 4 e X3 2X2 + X 2.Efetuando o algoritmo de Euclides, temos

2X5 + 2X4 + X3

2X2

X

4 =

= (X3 2X2 + X 2) (2X2 + 6X+ 11) + 18X2 + 18

X3 2X2 + X 2 = 18X2 + 18 118

X19

+ 0.

Logo um MDCdestes polinomios e 18X2 + 18 e portanto

MDC

2X5 + 2X4 + X3 2X2 X 4, X3 2X2 + X 2 =X2 + 1SejamKeFcorpos tais que K e um subcorpo deF. Sejamp1(X), p2(X)

emK[X]. Em princpio, o M DCdestes elementos emF[X] tem coeficientes

emF. Seguindo porem, atraves do algoritmo de Euclides, o calculo doM DCdestes elementos, e facil convencer-se que tal MDC esta em K[X]. Seguedesta observacao que dois polinomios de K[X] tem um fator comum naoconstante emF[X] se, e somente se, eles tem um fator comum nao constanteemK[X].


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EXEMPLO 2: Considere o homomorfismo de aneis

: A[X] AAp(X) funcao polinomial associada ap(X)

definida no paragrafo 2. Suponha queA = Zp onde p e um numero primopositivo. Note que Xp X N(). Note tambem que Xp X tem graumnimo em N() pois qualquer polinomio nao nulo de N(), em se anulandoem todos os elementos de Zp, tem que ter grau maior ou igual a p. Segueentao do Teorema 2 que N() =I(Xp X).

PROBLEMAS 1.3.

1. Determine o M DCdos seguintes pares de polinomios de Q[X]:

(a) X5 + 4X3 + 3X2 + X+ 1 e X3 + X+ 1.

(b) X5 + 10X4 + 40X3 + 80X2 + 80X+ 32 e X3 + 6X2 + 12X+ 8.

(c) X4 + X3 + 2X2 + X+ 1 e X4 + 3X3 + 5X2 + 3X+ 4.

(d) X3 X2 X 2 e X3 3X 2.

2. Seja F uma extensao de um corpo K. Sejamp1(X), p2(X) K[X] eF. Mostre que e raiz comum de p1(X) e p2(X) se e somente se e raiz de (p1(X), p2(X)). Ache as razes comuns em Cdos pares depolinomios do problema 3.1.

3. Resolva em Q[X] a seguinte equacao diofantina:

(X3 +3X2 +3X+2) u+(X3+2X2 +2X+1) v= X4 +X3 +2X2 +X+1.

4. Seja Kum corpo.

(a) Mostre que todo polinomio de grau 1 e irredutvel em K[X].

(b) Sejam a, b K com a= b. Mostre que para todosn, m N, ospolinomios (X a)n e (X a)m sao primos entre si.

(c) Se K e algebricamente fechado, os unicos polinomios irredutveisde K[X] sao os de grau 1.


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1.4. POLINOMIOS SOBREC E SOBRER 29

5. (a) Mostre que se um polinomio de grau maior do que 1 em K[X] tem

uma raiz em K, entao ele e redutvel em K[X]. De um exemplomostrando que nao vale a recproca.

(b) Mostre que um polinomio de grau 2 ou 3 em K[X] e redutvel se,e somente se, ele possui uma raiz em K. Este resultado vale paragraus maiores do que 3 ?

(c) Determine todos os polinomios irredutveis de graus 2, 3 e 4 emZ5[X].

6. Mostre queaX2 + bX+ c R[X] e irredutvel se, e somente se, tem-se< 0 onde =b2 4ac


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As razes de p(X) sao os1, . . . , re o inteironi, i= 1, . . . , r, e chamado

demultiplicidade da raiz i. Como gr(p(X)) =n1+ + nr, segue que todopolinomio em C[X] de grau n tem exatamente n razes, desde que contadascom suas multiplicidades.

Seja p(X) = a0 +a1X+ + anXn C[X]. Define-se o polinomioconjugado dep(X) como sendo

p(X) = a0+ a1X+ anXn C[X]onde ai e o conjugado de ai, i= 0, 1, . . . , n.

A conjugacao de polinomios goza das seguintes propriedades, cujas veri-ficacoes deixamos a cargo do leitor.

1. Se p(X) =p1(X) +p2(X) entao p(X) =p1(X) +p2(X).

2. Se p(X) =p1(X) p2(X) entao p(X) =p1(X) p2(X).3. p(X) =p(X) se, e somente se, p(X) R[X].4. Se aC[X] entao p(a) =p(a)

Da propriedade (4) acima deduz-se facilmente que e raizp(X) se, e somente

se, e raiz de p(X).

PROPOSICAO 1.6. Sejap(X) R[X]. Se C e raiz de multiplicidadem dep(X). entao, e raiz de multiplicidadem dep(X).

DEMONSTRACAO: Se C e raiz de multiplicidade mdep(X) entaop(X) = (X )m q(X), comq(X) C[X] e q()= 0. Como p(X) R[X],temos quep(X) = p(X) = (X )m q(X). Note agora que q() =q()= 0e portanto e raiz de multiplicidade mde p(X).

COROLARIO 1.14. Todo polinomio de grau mpar com coeficientes reaistem pelo menos uma raiz real.

DEMONSTRACAO: As razes complexas aparecem aos pares e como opolinomio e de grau mpar, o resultado segue.


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1.4. POLINOMIOS SOBREC E SOBRER 31

PROPOSICAO 1.7. i)aX+ bcoma, b Rea= 0 e irredutvel emR[X].ii) aX

2

+ bX+ c coma, b, c Rea= 0 e irredutvel emR[X]se, e somentese, =b2 4ac


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5. Mostre que se n N, entao(a) X2n 1 = (X 1)(X+ 1) n1k=1 X2 2Xcos kn + 1.(b) X2n+1 1 = (X 1) n1k=1 X2 2Xcos 2k2n+1 + 1.

6. Fatore em R[X] os seguintes polinomiosa)X24 1 b)X12 1 c)X13 1.

1.5 Polinomios em Varias Indeterminadas

Seja A[X1] o anel dos polinomios a coeficientes em A na indeterminadaX1. Se X2 e uma indeterminada sobre o anel A[X1], define-se:

A[X1, X2] = (A[X1]) [X2].

Pode-se entao definir recorrentemente,

A[X1, X2, . . . , X n] = (A[X1, X2, . . . , X n1]) [Xn].

Se A e um domnio de integridade, pelo Corolario 1 da Proposicao 3, temos

queA[X1] tambem e um domnio de integridade. Usando o mesmo argumentoiteradamente, conclui-se queA[X1, X2, . . . , X n] e um domnio de integridade.

Todo elemento p(X1, . . . , X n)A[X1, . . . , X n] pode ser escrito na forma

p(X1, . . . , X n) =

ai1...inXi11 Xinn ,

0i1r1...

0inrn

onde r1, . . . , rn

Z+ e ai1,...,in

A e e chamado polinomio em n indetermi-

nadas.

Cada termo da forma ai1,...,inXi11 Xinn e chamado monomio e o seugrau

e definido como sendo i1+i2+ +in. Dois monomios sao semelhantes seeles tem o mesmo grau. O grau de um polinomio em n indeterminadas eo maior dos graus de seus monomios nao nulos. Um polinomio e chamado


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1.5. POLINOMIOS EM VARIAS INDETERMINADAS 33

homogeneo de grau m se todos os seus monomios tem grau m. Dado um

polinomio emA[X1, . . . , X n], a soma dos seus monomios de graum e um po-linomio homogeneo de graumchamadocomponente homogeneo de graum dopolinomio. Entao todo polinomio e soma de polinomios homogeneos de grausdois a dois distintos, pois ele e a soma das suas componentes homogeneas. Ograu de um polinomio p(X1, . . . , X n) e simbolizado por gr(p(X1, . . . X n)).

Exemplo 1 : Seja

p(X1, X2, X3) = 3 + 5X1+ 3X2+ X1X2+ X32 + X2

3X3+ 7X15.

Este polinomio e de grau 5, suas componentes homogeneas sao:

de grau zero: 3; de grau um: 5X1+ 3X2 ; de grau dois: X1X2+ X32 ; de grau tres: nao tem; de grau quatro: X23X3 ; de grau cinco: 7X15 .

PROPOSICAO 1.8. ai1...inX

i11 Xinn = 0

0i1r1...

0inrn

se, e somente se, ai1...,in = 0 para cada0i1r1, . . . , 0inrn.DEMONSTRACAO: Em uma direcao vamos provar por inducao em n.

Se n= 1, a assercao e verdadeira pela definicao da igualdade de polinomios

em uma indeterminada. Vamos supor a assercao valida para n 1. Seja ai1...inX

i11 Xinn = 0,

0i1r1...

0inrn


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podemos escrever,

0 = ai1...inXi11 Xinn =0i1r1

...0inrn

=

(ai1...inXi11 Xin1n1)Xinn .

0inrn 0i1r1

...0in1rn1

Pela definicao da igualdade em (A[X1, . . . , X n1])[Xn], segue que ai1...inX

i11 Xin1n1 = 0

0i1r1...

0

in

rn

para todo in, 0in rn. Pela hipotese de inducao, segue que ai1,...,in = 0para cada 0i1r1 ,. . . , 0inrn.

A recproca e imediata.

Seja Aum domnio de integridade. Pode-se verificar facilmente que parap(X1, . . . , X n), q(X1, . . . , X n)A[X1, . . . , X n], tem-se

gr(p(X1, . . . , X n)

q(X1, . . . , X n)) = gr(p(X1, . . . , X n)) + gr(q(X1, . . . , X n)).

Portanto e imediato se checar que o polinomio p(X1, . . . , X n) e invertvelem A[X1, . . . , X n] se, e somente se, p(X1, . . . , X n) A e e um elementoinvertvel de A. E claro que os polinomios X1, . . . , X n sao irredutveis emK[X1, . . . , X n], onde K e um corpo.


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SejaAum domnio de integridade. O corpo de fracoes (cf. I-2) do domnio

A[X1, . . . , X n] e o corpo

A(X1, . . . , X n) =

p(X1, . . . , X n)

q(X1, . . . , X n)| p(X1, . . . , X n), q(X1, . . . , X n)

A[X1, . . . , X n] eq(X1, . . . , X n)= 0

E facil ver que se K e o corpo de fracoes de A, entao

A(X1, . . . , X n) =K(X1, . . . , X n).

Dado um polinomio

p(X1, . . . , X n) =

ai1...inX

i11 Xinn A[X1, . . . , X n],

0

i1

r1

...0inrn

podemos definir a funcao polinomial:

p: An A(1, . . . , n)

ai1,...,in

i11 inn =p(1, . . . n).

0i1r1...

0inrn

Dois polinomios iguais determinam a mesma funcao polinomial, mas doispolinomios distintos podem definir a mesma funcao polinomial. Isto nova-mente nao ocorre se A e um domnio infinito, como veremos adiante.

PROPOSICAO 1.9. Sejam A e um domnio infinito e p(X1, . . . X n) umpolinomio emA[X1, . . . , X n]{0}. Entao existem infinitos(1, . . . , n)Antais quep(1, . . . , n)= 0.

DEMONSTRACAO: Vamos provar por inducao emn. Se n = 1, o resul-tado segue do Corolario 3 do Teorema 1. Suponha o resultado valido para

n 1 e sejap(X1, . . . , X n) =

ai1...inX

i11 Xinn =

0i1r1...

0inrn


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= (ai1...inXi11 Xin1n1)Xnin.0inrn 0i1r1

...0in1rn1

Como p(X1, . . . , X n)= 0, para algum in temos que, ai1...inX

i11 Xin1n1 = 0,

0i1r1...

0in1rn1

logo, pela hipotese de inducao, existem 1, . . . n1A tais que, ai1...in

i11 in1n1 = 0,

0i1r1...

0in1rn1

logo o polinomiop(1, . . . , n

1, Xn) =

=

ai1...ini11 in1n1

Xinn A[Xn]

0inrn 0i1r1...

0inrn

e nao nulo e logo possui um numero finito de razes. Para infinitos valores denA (os elementos de A que nao sao razes de p(1, . . . , n1, Xn)) temosquep(1, . . . , n)= 0, o que prova o resultado.

COROLARIO 1.16. Seja A um domnio infinito. Sejam ainda os po-linomiosp(X1, . . . , X n) eq(X1, . . . , X n) emA[X1, . . . X n] tais que

p(1, . . . , n) =q(1, . . . , n) (1, . . . , n)An.Entao p(X1, . . . , X n) =q(X1, . . . , X n).


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DEMONSTRACAO: Suponha por absurdo que

p(X1, . . . , X n) q(X1, . . . , X n)= 0,

logo pela proposicao 9, existem (1, . . . , n)An tais que

p(1, . . . , n) q(1, . . . , n)= 0.

Mas, pela proposicao, existem 1, . . . , nA tais que

p1(1, . . . , n) p2(1, . . . , n)= 0,

o que e uma contradicao.

PROPOSICAO 1.10. SejaKum corpo algebricamente fechado e seja

f(X1, . . . , X n)K[X1, . . . , X n] K com n2.

Entao o conjunto

VK(f) ={(1, . . . , n)Kn |f(1, . . . , n) = 0}

e infinito.

DEMONSTRACAO: Como f(X1, . . . , X n) nao esta em K, entao pelomenos uma das indeterminadas figura em f(X1, . . . , X n). Sem perda de ge-neralidade, podemos supor que seja Xn. Escrevemos

f(X1, . . . , X n) =

f0(X1, . . . , X n1) + f1(X1, . . . , X n1)Xn+ + fd(X1, . . . , X n1)Xdncomo polinomio em (K[X1, . . . , X n1])[Xn], com fd(X1, . . . , X n1) = 0 ed

1. Pela Proposicao 9, existem infinitos elementos (1, . . . , n)

Kn1

tais quefd(1, . . . , n1)= 0 e para cada escolha de tais (1, . . . , n1) existenKn1 raiz da equacaof(1, . . . , n1, Xn) = 0, poisK e algebricamentefechado, o que prova a assercao.


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PROBLEMAS 1.5.

1. SejamAum domnio de integridade e p, qA[X1, . . . , X n].Mostre que,

(a) gr(p q) = gr(p) + gr(q).(b) Se pe qsao homogeneos, entao p q e homogeneo.(c) Se p e homogeneo e p = p1p2 em A[X1, . . . , X n], entao p1 e p2

sao homogeneos.

2. Seja K um corpo. Se Fm, Fm+1 K[X1, . . . , X n] sao homogeneos degraus respectivamente m e m+ 1, sem fatores nao constantes em co-mum, mostre que Fm+ Fm+1 e irredutvel em K[X1, . . . , X n].

3. SejaKum corpo. Mostre que Y2 +p(X1, . . . , X n)K[X1, . . . , X n, Y],onde p(X1, . . . , X n) K[X1, . . . , X n], e irredutvel se, e somente se,p(X1, . . . , X n) nao e o quadrado de um polinomio em K[X1, . . . , X n].Em particular, mostre que Y2 X(X 1)(X ), com K, eirredutvel em K[X, Y] .

4. Seja Kum corpo algebricamente fechado. Seja p(X1, X2)K[X1, X2]um polinomio homogeneo de grau m1.Mostre que existem i, iK, i= 1, . . . , mtais que,

p(X1, X2) = (1X1+ 1X2) (2X1+ 2X2) (mX1+ mX2).

5. (a) Seja A um anel. Sejam p(X1, . . . , X n) A[X1, . . . , X n] e Y umaindeterminada sobre A[X1, . . . , X n]. Mostre que p(X1, . . . , X n) eum polinomio homogeneo de grau mse, e somente se,

p(Y X1, . . . , Y X n) =Ymp(X1, . . . , X n)

(Como polinomio em A[X1, . . . , X n]).

(b) Sejap(X1, X2, X3) R[X1, X2, X3]. Mostre queV R(p) e um conecom vertice na origem de R3 se, e somente se, p(X1, X2, X3) e umpolinomio homogeneo.

6. O polinomiof(X1, X2) =X21+ X

22 e irredutvel em R[X1, X2] ? Deter-

mineV R(f). Responda as mesmas perguntas em C[X1, X2].


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7. Seja Kum corpo algebricamente fechado e f(X1, . . . , X n) um polinomio

em K[X1, . . . , X n]. Mostre que VK(f) e nao vazio se, e somente se,f(X1, . . . , X n) K. De um exemplo onde nao vale o resultado seK= R.


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Captulo 2

DERIVACAO E

MULTIPLICIDADE

2.1 Derivada Primeira

Seja Kum corpo. Define-se o operadorDX1 em K[[X]] (i.e. D1X e uma

aplicacao de K[[X]] em si proprio) como segue

D1X : K[[X]] K[[X]]

f(X) = i=0 aiXi D1Xf(X) = i=0 iaiXi1Este e chamado operador de derivacao de ordem 1 e tem propriedades

notaveis que o tornam muito util. A serie de potencias D1X e chamada deri-vada primeiraou simplesmente derivadadef(X). Usa-se tambem a notacaoD1X=f

(X). Segue claramente da definicao que D1X(K[X])k[X].

PROPOSICAO 2.1. Sejamf(X), g(X)K[X], aKemN. Temosque

1. D1X(f(X) + ag(X)) =f(X) + ag(X).

2. D1X(f(X) g(X)) =f(X) g(X) + f(X) g(X).3. D1X((f(X))

m =m(f(X))m1 f(X) .Demonstracao:

41


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42 CAPITULO 2. DERIVACAO E MULTIPLICIDADE

1. A demonstracao deste item segue diretamente da definicao.

2. Em virtude do Problema 1.4 do Captulo 1, basta provar a formulapara produtos da forma Xng(X). Seja g(X) =

i=0 biX

i, temos que

D1X(Xng(X)) =D1X

i=0

biXn+i

=

i=0

(n+ i)biXn+i1 =

=nXn1

i=0

biXi + Xn

i=0

ibiXi =

D1XX

n

g(X) + XnD1Xg(X)

3. A demonstracao pode ser feita por inducao sobre m e a deixamos a

cargo do leitor.O proximo resultado vai caracterizar aquelas series de potencias que tem

derivada nula.

PROPOSICAO 2.2. 1. Se car(K) = 0 entao, D1Xf(X) = 0 se, e so-mente se, f(X)K.

2. Suponha car(K) = p > 0. Entao D1Xf(X) = 0 se, e somente se,f(X) =b0+ b1X

p + b2X2p + , combiK, i Z+

Demonstracao: Seja f(X) =i=0 aiX

i

K[[X]]. D1Xf(X) = 0 se, e

somente se, iai = 0 para todo i Z+. Por I-7, Problema 3.1, esta ultimacondicao e equivalente a i0 mod car(K) ou ai= 0.

1. Se car (K) = 0, isto e equivalente a 0 = a1 = a2 = , isto e,f(X) =a0K.

2. Se car (K) =p >0, isto e equivalente a i0 modp se ai= 0. Assim,D1Xf(X) = 0 se, e somente se, f(X) = a0+ apX

p +a2pX2p + . O

resultado segue definindo bj =ajp , j Z+.Se um polinomio p(X) e divisvel por (X )m, onde K e m N,

e nao e divisvel por (X

)m+1, dizemos que e raiz de multiplicidade

m de p(X). Se m 2, dizemos que e raiz multipla de p(X). Note quese (X)l dividep(X), entao e raiz de multiplicidade pelo menos ldep(X).

Damos a seguir uma caracterizacao daqueles polinomios que tem razesmultiplas em termos de derivadas.


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2.1. DERIVADA PRIMEIRA 43

PROPOSICAO 2.3. Um elementoK e raiz m ultipla dep(X)K[X]se, e somente se, p() =p() = 0.

Demonstracao: Por um lado, suponha que p(X) = (X )m q(X) comm2. Logo, pela Proposicao 1, (2) e (3) temos que

p(X) = (x )m q(X) + m(X )m1 q(X).

Comom2 e claro quep() =p() = 0. Reciprocamente, Comop() = 0,temos quep(X) = (X)q(X). Derivando ambos os lados desta igualdade,temosp (X) =q(X) + (X ) q1(X). Desta igualdade e dep() = 0 segueque q() = 0 e da que q(X) = (X

)

q1(X) para algum q1(X)

K[X].

Consequentementep(X) = (X)2 q1(X) e portantoe uma raiz multiplade p(X).

COROLARIO 2.1. Seja K um corpo algebricamente fechado. p(X) K[X] nao tem razes multiplas emKse, e somente se, (p(X), p(X)) = 1.

Demonstracao: SendoKum corpo algebricamente fechado, os polinomiosp(X) e p(X) tem raiz comum se, e somente se, eles tem um fator nao cons-tante comum. O resultado segue entao da Proposicao 3.

COROLARIO 2.2. Se car(K) = 0 e sep(X)K[X] e irredutvel, ent aop(X) nao pode ter raiz multipla em nenhuma extensao F deK.

Demonstracao: Note inicialmente que se car (K) = 0 e p(X) e irredutvelentao p(X)= 0 e (p(X), p(X)) = 1. A primeira destas assercoes segue daProposicao 2. Para a segunda, suponha por absurdo que (p(X), p(X))= 1,logo p(X) e p(X) tem um fator nao constante em comum e como p(X) eirredutvel este fator comum e um associado dep(X), o que e impossvel poisgr(p(X)) < gr(p(X)). Como (p(X), p(X)) = 1 em K[X], o mesmo ocorre

emF[X], logo pelo Corolario 1,p(X) nao tem razes multiplas em F.

PROPOSICAO 2.4. Sejap(X K[X]) com car(K) = 0. Entao e raizde multiplicidadem1 dep(X) se, e somente se, e raiz dep(X) e raizde multiplicidadem 1 dep(X).


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Demonstracao: Por um lado, suponha que seja uma raiz de multiplici-

dade mde p(X). Temos entao que

p(X) = (X )mq(X), com q(X)K[X] e q()= 0.Segue entao quep(X) =m(X)m1q(X)+(X)mq(X),portanto temosclaramente que (X )m1 |p(X).Vamos provar que (X )m nao dividep (X). De fato, se (X )m |p(X),entao (X )m | m(X )m1q(X), logo (X )| mq(X) e portantomq() = 0. Como car(K) = 0, segue que q() = 0 o que e uma contradicao.Reciprocamente, suponha que p() = 0 e q ue e raiz de multiplicidadem 1 dep (X). Sejar a multiplicidade da raiz dep(X), logor1 e pelaprimeira parte da demonstracao, e raiz de multiplicidade r 1 de p (X) eportanto r 1 =m 1 e portanto r= m.

Dado um polinomio p(X)K[X] podemos definir as suas derivadas ite-radas do seguinte modo:

p(X) e a derivada de p(X), ou seja p(X) =D1X(D1X(p(X)),

p(X) e a derivada de p(X), ou seja p(X) =D1X(D1X(D

1X(p(X))),

..

.

...

...

p(n)(X) e a derivada de p(n1)(X), ou seja p(n)(X) =D1X(D(n1)X (p(X)).

COROLARIO 2.3. Seja car(K) = 0ep(XK[X]). Um elementoKe raiz de multiplicidadem2 dep(X) se, e somente se,

p() =p() = =p(m1)() = 0 e p(m)()= 0.Demonstracao: Por um lado, se e raiz de multiplicidade m de p(X),

entao e raiz de multiplicidade m 1 de p(X), logo raiz de multiplicidade(m 2) de p(X), etc. ate concluirmos que e raiz de multiplicidade 1 dep(m1)(X) e portanto p(m) = 0. Segue entao que

p() =p() = =p(m1)() = 0 e p(m)()= 0.Reciprocamente, sendop(m1)() = 0 e p(m)()= 0 tem-se que e raiz demultiplicidade 1 de p(m1)(X) e portanto de multiplicidade 2 de p(m1)(X)


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2.1. DERIVADA PRIMEIRA 45

e assim sucessivamente ate concluirmos que e raiz de multiplicidade m de

p(X).

Exemplo 1 : A derivacao permite obter algumas formulas interessantes.Por exemplo, derivando ambos os membros a identidade:

(X+ 1)n =

n0

Xn +

n1

Xn1 + +

nn 1

X+

nn

,

e fazendo X= 1 obtemos a igualdade

n

2n1 =n n0 + (n 1) n1 + + nn 1 .Exemplo 2: Na Proposicao 5, Captulo 1, demos a formula de interpolacao

de Lagrange. Recordando, e o unico polinomio de grau menor do que n queassume o valorbi quando avaliado emai onde osai

s sao dois a dois distintose os bis nao sao todos nulos,i= 1, . . . , n e o polinomio

p(X) =

ni=1

bi(X a1) . . . (X ai1) (X ai+1) (X an)(ai a1) (ai ai1) (ai ai+1) (ai an)

Podemos reescrever esta formula, usando derivadas, do seguinte modo maissintetico:

p(X) =n

i=1

f(X)

(X ai) bif(ai)

, onde f(X) = (X a1) (X an).

PROBLEMAS 2.1.

1. Ache a multiplicidade da raiz 1 do polinomio

X5 3X4 + 5X3 7X2 + 6X 2.

Determine as demais razes.

2. Ache as razes da equacaoX3(3+2)X2 +(1+22)X+(1+2) = 0,sabendo-se que esta tem uma raiz dupla.


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3. Mostre que o polinomio X(Xn1 nan1) +an(n 1) e divisvel por(X a)

2

, mas nao e divisvel por (X a)3

, onde a= 0 e n2.4. Mostre que se n3, entao (1 X)3 divide o polinomio

(1 Xn)(1 + X) 2nXn(1 X) n2Xn(1 X)2

5. Determine os possveis valores de m, p e q em C de modo que o po-linomio X6 + mX4 + 10X3 +pX+ qtenha uma raiz quadrupla em C.Determine, neste caso, as razes do polinomio.

6. Seja = 1 uma raiz n-esima da unidade e seja

p(X) =X

n

1

+ X

n

2

+ + X+ 1.Mostre que:

(a) p() = n(1) .

(b) + 22 + + (n 1)n1 = n1 .

7. (a) Mostre que o resto da divisao de um polinomio p(X)K[X] port((X) = (X x1) (X xn), onde x1, . . . , xnK sao dois a doisdistintos, e

n

i=1t(X)

(X xi)

p(xi)

t(xi)(Sugestao: Use a formula do Exemplo 2)

(b) Ache o resto da divisao deX9 +3X7 +4X6 +X4X3 +2X2X+1por X(X+ 1)(X 1)

8. De um contraexemplo para o Corolario 1 quando K= R.

9. De um contraexemplo para a Proposicao 4 quando car(K)> 0.

10. (a) Mostre que

(Xi

)(n)

= 0, se i < ni(i 1) (i n + 1)Xin, se in.(b) Mostre que se ncar(K), entao (p(X))(n) = 0 p(X)K[X].(c) Conclua que se car(K) = 2, entao

(p(X))(n) = 0 p(X)K[X], n2.


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2.2. DIVIS AO PORX A 47

2.2 Divisao por X

a

Frequentemente dividiremos polinomios por X a, por isso desenvolve-mos um metodo pratico para efetuar tais divisoes.

Seja p(X) = a0+ a1X+ +anXn A[X], vamos usar o metodo doscoeficientes a determinar para acharq(X) =b) +b1X+ +bn1Xn1 A[X]e rA tais que

p(X) = (X a) (b0+ b1X+ + bn1Xn1) + r= bn1Xn + (bn2 a bn1)Xn1 + (bn3 a bn2)Xn2 + +

+ (b0 a b1)X+ r a b0Igualando os coeficientes correspondentes, obtem-se

bn1 = anbn2 = an1+ a bn1bn3 = an2+ a bn2

...b0 = a1+ a b1r = a0+ a b0

Destas igualdades, deduz-se o seguinte dispositivo pratico:

an an1 an2 a1 a0a an an1+ a bn1 an2+ a bn2 a1+ a b1 a0+ a b0

bn1 bn2 bn3 b0 r= p(a)

Exemplo 1 : Dividamos p(X) = 8X6

7X5 + 4X4 +X3

3X2 + 1 por

X+ 2

8 7 4 1 3 0 1

2 8 23 50 99 195 390 781


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Portantoq(X) = 8X523X4 +50X399X2 +195X390 er = p(2) = 781.

Exemplo 2: Dividamos p(X) =X5 + 4X4 + 2X2 + X+ 1 por 2X+ 1

1 4 0 2 1 1

12

1 92

94

258

4116

7332

Portanto

p(X) = X1

2 X4 +

9

2

X3 +9

4

X2 +25

8

X+41

16+73

32

,

segue da que

p(X) = (2X 1)

1

2X4 +

9

4X3 +

9

8X2 +

25

16X+

41

32

+

73

32,

logo

q(X) =1

2X4 +

9

4X3 +

9

8X2 +

25

16X+

41

32 e r= p

1

2

+

73

32.

Exemplo 3: Dividamos p(X) =Xn

an

por X a1 0 0 0 an

a 1 a a2 an1 0

Portantoq(X) =Xn1 + a Xn2 + a2 Xn3 + + an1 er = p(a) = 0.

Sejam p(X) A[X] um polinomio de grau n e a A. Considere asseguintes igualdades:

p(X) = (X a) q1(X) + r0q1(X) = (X a) q2(X) + r1q2(X) = (X a) q3(X) + r2

... =qn1(X) = (X a) qn(X) + rn1


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Por consideracao de graus, temos que qn(X) A. Pondo rn = qn(X) esubstituindo uma equacao na outra, no sistema acima, obtemos

p(X) =r0+ r1 (X a) + r2 (X a)2 + rn1 (X a)n1 + rn (X a)n.

Esta e a expressao de p(X) em potencias crescentes de (X a). As divisoessucessivas por (X a) nos fornecem um algoritmo pratico para determinartal expressao.

Seja p(X) = a0+ a1X+a2X2 + +anXn. Obtemos r0, r1, r2, . . . , rn

como segue

an an1 a1 a0 an

a Coeficientes deq1(X) r0a Coeficientes deq2(X) r1... a Coeficientes deqn(X) rn1a rn

Exemplo 4 : Vamos expandir X5 1 em potencias crescentes de X 1.

1 0 0 0 0 11 1 1 1 1 1 01 1 2 3 4 51 1 3 6 101 1 4 101 1 5

1

Assim,X51 = 5(X1)+10(X1)2 +10(X1)3 +5(X1)4 +(X1)5.

Exemplo 5: Vamos expandirp(X) =X6 +4X5 +7X43X3 +X22X+1em potencias crescentes de X+ 2.


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1 4 7 3 1 2 12 1 2 3 9 17 36 732 1 0 3 15 47 1302 1 2 7 29 1052 1 4 15 102 1 6 272 1 8

1

Assim,

p(X) = 73

130(X+ 2) + 105(X+ 2)2

59(X+ 2)3+

+27(X+ 2)4 (X+ 2)5 + (X+ 2)6.SejamK um corpo, p(X)K[X] e aK. Derivando sucessivamente a

igualdade

p(X) =r0+ r1 (X a) + r2 (X a)2 + rn1 (X a)n1 + rn (X a)n.

temos que,

p(X) = r1+ 2r2(X a) + 3r3(X a)2 + + nrn1(X a)n1p(X) = 2r2+ 3 2r3(X a) + 4 3r4(X a)2 +

...pi(X) = i!ri+ (i + 1) i!ri+1(X a) +

...p(n)(X) = n!rn

Avaliando este polinomios em a, obtemos que

r0 = p(a),r1 = p

(a),r2 =

12!

p(a),

...ri =

1i!p(i)(a),

...rn =

1n!

p(n)(a).

Portanto se car(K) = 0 ou car(K)> n, temos a formula de Taylor,


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p(X) =p(a) +p(a) (X a) + p(a)2!

(X a)2 + + p(n)(a)n!

(X a)n.

Observe tambem que as derivadas sucessivas p(a), p(a), . . . , p(n)(a) po-dem ser calculadas a partir de r0, r1, . . . , rn mediante divisoes sucessivas por(X a).

Exemplo 6: Seja p(X) =X6 + 4X5 + 7X4 3X3 + X2 2X+ 1 Q[X].Pela discussao acima e pelos calculos do Exemplo 5, temos que

p(2) = 73, p(2) = 130,p(2) =

12! 105

1052 , p(2) =

13! (59) =

596,

p(4)(2) = 14! 27 = 9

8, p(5)(2) = 1

5! (8) = 1

15

p(6)(2) = 16!

= 1720

.

PROBLEMAS 2.2.

1. Divida:

(a)X4 + 7X3 4X2 por X+ 3,(b) X4 + 5X3 + 7X

1 por X

3,

(c) 10X3 2X2 + 3X 1 por 2X 3,(d) X4 + X3 X2 + 1 por 3X+ 2.

2. Seja nN. Ache o quociente e o resto da divisao de(a) nXn+1 (n + 1)Xn + 1 por (X 1)2,(b) nXn+2 (n + 2)Xn+1 + (n + 2)X n por (X 1)3.

3. Resolva a equacao 2X3 + 3X2 4X 6 = 0, sabendo-se que ela temuma raiz=3

2.

4. Resolva a equacao 2X4 + 5X3 + 5X2 2 = 0 sabendo-se que ela temuma =1 e outra raiz = 1

2.

5. Seja p(X) = X7 +2X6 +X5 +3X4 X3 +4X2 2X+5 Z13[X].Desenvolva p(X) segundo as potencias crescentes de X1. Calculep(i)(1) para i = 0, 1, 2, . . . , 7.


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2.3 Derivadas de ordem superior

SejaKum corpo e sejaf(X)K[[X]]. SeY e uma indeterminada sobreK[[X]], podemos considerar f(X+ Y) como elemento deK[[X]][[Y]] e comotal tem uma expressao unica da forma

f(X+ Y) =f0(X) + f1(X)Y + f2(X)Y2 + + fm(X)Ym + ,

com f0(X), f1(X), f2(X), . . . , K[[X]].

Definimos uma famlia infinita de operadores em K[[X]] como segue,

m

Z+:

DmX : K[[X]] K[[X]]f(X) DmXf(X) =fm(X)

PROPOSICAO 2.5. DmXXn =

nm

Xnm m, n Z+.

Sef(X) =

i=0 aiXi K[[X]], entao DmXf(X) =

i=0 aiD

mXX

i.

Demonstracao: Pela formula do binomio de Newton temos que

(X+ Y)n =n

m=0 nm

XnmYm,

de onde segue a primeira afirmacao. A segunda afirmacao segue da ob-servacao que o coeficiente de Ym emf(X+ Y) =

i=0 ai(X+ Y)

i e a soma, i Z+, dos coeficientes de Ym em ai(X+Y)i (que e igual a ai vezes ocoeficiente de Ym em (X+ Y)i).

Segue imediatamente da Proposicao 5 queDmX(K[X])K[X]m Z+.

TEOREMA 2.1. Sejam f(X), g(X) K[[X]] e c K. A famlia deoperadores(D

m

X)mZ+ possui as seguintes propriedades:1. D0X=I d; D

1X= derivacao de ordem1; D

mXc= 0 m N.

2. DmX(f(X) + cg(X)) =DmXf(X) + cD

mXg(X) m Z+.

3. DmX(f(X) cg(X)) =m

i=0 DiXf(X) DmiX g(X) m Z+.


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2.3. DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR 53

4. DmX

DnX= m + n

n Dm+nX m Z+.Demonstracao:

1. Da Proposicao 5 temos que D0XXn = Xn e D1XX

n = nXn1. Dasegunda afirmacao da Proposicao 5 temos que D0Xf(X) = f(X) eD1Xf(X) = f

(X). A igualdade DmXc = 0 m N segue direta-mente da definicao.

2. Segue facilmente da Proposicao 5.

3. Denotando por (f g)(X+ Y) a serie de potencias em K[[X]][[Y]]correspondente af(X)g(X) onde se substituiXpor X+Y, o resultadosegue da seguinte igualdade em K[[X]][[Y]]:

(f g)(X+ Y) =f(X+ Y) g(X+ Y).

4. Pela Proposicao 5, DmXf(X) e calculavel por linearidade a partir dosvalores deDmXX

i, i Z+. Portanto para provar (4) basta verificar quevale a igualdade quando os dois operadores sao aplicados a Xi, paratodo i Z+. De fato,

D

m

X Dn

XX

i

=D

m

X in Xin = in im+ n e

m + nn

Dm+nX X

i =

m + n

n

im+ n

Xi(m+n)

Uma verificacao direta mostra que in

i nm

=

m + n

n

im + n

,

o que prova o resultado.

Os operadores DmX permitem generalizar para cacaterstica positiva al-guns dos resultados da Secao 1 provados para car(K) = 0.

Usaremos a seguinte notacao, se K, f(X)K[X] e m Z,DmXf() =Av(D

nXf(X))


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onde Av e a funcao avaliacao introdizida no Captulo 1, Problema 1.8.

O proximo resultado e uma generalizacao do Corolario da Proposicao 4.

PROPOSICAO 2.6. Sejap(X) K[X]. Um elemento K e raiz demultiplicidadem2 dep(X) se, e somente se,

p() =D1Xp() = Dm1X p() = 0 e DmXp()= 0.

Demonstracao: Na expressao

f(X+ Y) =f(X) + D1Xf(X)Y + + DmXf(X)Ym + ,substituindo Xpor e Y por (X ), temos que

f(X) =f() + D1Xf()(X ) + + DmXf()(X )m + .O resultado segue imediatamente da expressao acima.

Do Teorema 1 (4) e por inducao, segue facilmente que

(D1X)m =D1X

D1X

D1X=m!D

mX.

Portanto, se car(K) = 0, temos que DmX = 1m!

(D1X)m, m Z+ e con-

sequentemente, os operadores DmX sao todos determinados por D1X atraves

de iteracoes.

Se car(K) = p > 0, o quadro e bem diferente. Por exemplo, se p < m,entao (D1X)

m = 0, sem que DmX seja nulo. Portanto as iteracoes de D1X nao

sao suficientes para determinar todos os operadores DmX. Afim de esclarecera situacao temos o seguinte resultado:

TEOREMA 2.2. SejaKum corpo de caractersticap > 0 e sejam Z.Considere a expansaop-adica dem, isto e, m =

si=0 mip

i, com0mi< p.Tem-se que

DmX= 1

m0! ms! (Dps

X)ms (D1X)m0.


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2.3. DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR 55

Demonstracao: Se 0 1 < p e r Z, temos que (DprX)l = l! Dlpr

X . Isto

segue do Teorema 1 (4), inducao sobre l e a congruencia ipsps

i modp(cf. I-6, Problema 1.16). Agora usando argumentos semelhantes temos que

Dmipi

X Dm0+m1p++mi1pi1

X =

=

m0+ mipi

m0+ + mi1pi1

Dm0++mi1pi1

X =Dm0++mipiX .

Da segue que

(Dps

X)ms

(D1X)

m0 =m0!

ms!D

msps++m0X =m0!

ms!D

mX,

o que prova o resultado.

O Teorema 2 em particular nos mostra que os operadores DmXsao gerados

por composicoes dos operadores D1X, DpX, D

p2

X, . . . , Dps

X, . . .No calculo diferencial em caracterstica p e fundamental compararmos os

desenvolvimentos p-adicos de dois inteiros. Sejam

m = m0+ m1p1 + + msps, 0mi< p, i= 0, 1, . . . , s

e n = n0 + n1p1 + + nsps, 0ni < p, i = 0, 1, . . . , s

Dizemos que n e p-adicamente maior ou igual do que m , escrevendo,npm, se, e somente se, nimi, i = 0, 1, . . . , s.

Da congruencia fundamental (I-6, Problema 1.16) sabemos que nm

n0m0

nsms

mod p,

e, portanto, nm

= 0 modp npm.

Os operadoresDmX foram introduzidos por H. Hasse em 1936, sendo fun-damentais no desenvolvimento da Geometria Algebrica em caracterstica po-sitiva. Estes operadores, nesta mesma decada, foram extensivamente usa-dos por F. K. Schmidt na sua teoria de pontos de Weierstrass para curvasalgebricas definidas sobre corpos de caracterstica positiva e por isto sao usu-alemnte chamados de operadores diferenciais de Hasse-Schmidt. Fato curioso


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e que estes operadores tenham sido independentemente redescobertos entre

1948 e 1950 por J. Dieudonne que os chamou de semi-derivacoes.

PROBLEMAS 2.3.

1. Sejamm, n Z+. Mostre que DmXXn = 0 npm.2. Sejam f(X)K[X] com car(K) =p >0 e m, nZ+. Mostre que se

mpn e DnXf(X) = 0 entao DmXf(X) = 0.3. Seja car(K) =p e seja s

Z+, determine

Ker (Dps

X) ={f(X)K[X]|DpsXf(X) = 0}.4. Seja f(X) K[T] com car(K) = p > 0 e seja q uma potencia de p.

Mostre que

DnXf(Xq) =

(DjTf(T)(X

q)), se n= jq

0, se n= 0 modq

onde (DjTf(T))(Xq) e o polinomio que se obtem substuindo T por Xq

no polinomio D

j

Tf(T).


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Captulo 3

POLINOMIOS COM

COEFICIENTES NUM DFU

Decidir se um polinomio e irredutvel ou nao em Q[X] e bem mais com-plicado do que decidir se e ou nao irredutvel em C[X] ou em R[X]. Mostra-remos ainda neste captulo que existem polinomios irredutveis de todos osgraus em Q[X]. Um primeiro passo no sentido de estudar a irredutibilidadede um polinomio em Q[X] sera de tentar determinar as suas razes em Q.Como esta teoria se desenvolve naturalmente em situacao mais geral, e nestecontexto que nos colocamos.

Em todo este captulo D sera umD.F.U.e Ko seu corpo de fracoes.

3.1 Razes em K de polinomios em D[X]

TEOREMA 3.1. SejamD umD.F.U. eKo seu corpo de fracoes. Sejamaindap(X) = a0+ a1X+ anXn D [X] er, s D primos entre si coms= 0. Se r

s e uma raiz dep(X), entao r|a0 es|an.

Demonstracao: Sendo rs

raiz de p(X), tem-se que

a0+ a1r

s+ + an1 r

n1

sn1+ an

rn

sn = 0.

Multiplicando ambos os membros desta igualdade por sn segue que

sna0+ sn1ra1+ srn1an1+ rnan = 0.

57


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58 CAPITULO 3. POLINOMIOS COM COEFICIENTES NUM DFU

Esta ultima igualdade pode ser reescrita nas duas formas seguintes:

s(sn1a0+ sn2ra1+ + rn1an1) =rnan (3.1)

e

r(rn1an+ srn2an1+ + sn1a1) =sna0 (3.2)

Como r e s sao primos entre si, o mesmo ocorre com r e sn e para sn e rn.Como de (5) e (6) temos que s| rnan e r| sna0, segue que s| an e r| a0(veja I-4, Problema 3.2 (i)).

COROLARIO 3.1. Sep(X) D[X] e m onico, entao toda raiz de p(X)emK, encontra-se emD e dividea0 =p(0).

Exemplo 1 : Determinaremos todas as razes racionais do polinomio se-guinte: p(X) = 4X3 + 11X2 + 45X 12 Z[X].

De acordo com o Teorema 1 toda raiz racional rs

dep(X) comr, s Z[X]e primos entre si e tal que r| 12 e s| 4. Portanto as possibilidades saoas seguintes: r =1, 2, 3, 4, 6, 12 e supondo sem perda de

generalidade s > 0, s = 1, 2, 4. Em princpio teramos 36 valores possveispara rs

a serem testados. Eliminando as repeticoes, ficamos reduzidos a 20possibilidades:

r

s

1,2,3,4,6,12, 12

, 32

, 14

, 34

.

Apos algumas tentativas, podendo ser numerosas, chega-se a conclusao quep(X) possui uma unica raiz racional que e 1

4.

O Exemplo acima nos sugere que pode ser muito trabalhoso determinar

as razes racionais de um polinomio. Existem varios criterios para excluirvalores que nao sao razes.

O metodo que descreveremos a seguir e particularmente simples e bas-tante eficiente.


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3.1. RAIZES EMKDE POLINOMIOS EMD[X] 59

Seja p(X) =a0+ a1X+ + anXn D[X]. Pondo X= Yan obtem-se,

p

Yan

= a0+ a1

Yan

+ + an Ynann == 1

an1n(a0a

n1n + a1 an2n Y + + Yn) =

= 1an1n

q(Y).

As razes em K (logo em D) do polinomio monico q(Y) D[Y], quandodivididas por an nos fornecem as razes em K de p(X). Podemos entao noslimitar aos polinomios monicos com coeficientes em D.

Sejam q(Y)

D[X],

D uma raiz de q(Y) e c

D um elemento

qualquer. Como q(Y) = (Y ) t(Y) com t(Y) D[Y], temos queq(c) = (c ) t(c), e portanto (c )|q(c).

Esta observacao nos fornece o seguinte metodo de exclusao:Para achar as razes em Kde um polinomio p(X) D[X], basta achar

as razes em D do polinomio monico q(Y)D[Y] e divid-las por an. Pelocorolario do Teorema 1, os candidatos a razes em K(e portanto em D) deq(Y) sao o divisores do coeficiente do seu termo independente a0a

n1n .

Escolhe-se um candidatoc a raiz emD de q(Y) e calcula-se q(c) usando o

metodo pratico de divisao deq(Y) porYc. Dois casos podem se apresentar:1. Um sucesso, isto e, q(c) = 0. Tem-se entao uma raiz c de q(Y) e a

procura das outras razes de q(Y) se reduz a procura das razes dopolinomio monico.

2. Um insucesso, isto e,q(c)= 0. Deve-se excluirc dentre os candidatos arazes de q(Y). Pela observacao feita acima, devem ser excludos dentreos candidatos a raiz em D os elementos tais que c nao divideq(c). Isto transforma o fracasso em algo extremamente util.

Daremos a seguir um exemplo da aplicacao deste metodo.

Exemplo 2: Sejap(X) =X4X313X2+16X48. Procuremos as razesracionais deste polinomio. Como o polinomio ja e monico nao necessitamosefetuar nenhuma transformacao nele. As razes racionais de p(X) devem serprocuradas entre os inteiros que dividem48 que sao:


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1,2,4,8,16,3,6,12,24,48.Calculemos p(1) e p(1):

1 1 13 16 48

1 1 0 13 3 45 =p(1)

1 1 2 11 27 75 =p(1)1 devem ser excludos pois nao sao razes. Se fosse raiz, deveramos

ter (1

)

| p(1) e (

1

)

|p(1). Isto nos permite excluir os seguintes

valores:8,16,3,6,12,24,48.

Resta somente testar os seguintes candidatos: 2, 4. Calculemos osvalores p(2) e p(2):

1 1 13 16 48

2 1 2 11 6 60 =p(2)

2 1 3 7 30 108 =p(2)2 devem ser excludos pois nao sao razes. Se fosse raiz, deveramos

ter (2 )| p(2) e (2 )| p(2). Isto nao nos permite excluir nenhumoutro candidato. Resta entao verificar se4 sao razes de p(X). De fato,

1 1 13 16 48

4 1 3 1 12 0

4 1 1 3 0Portanto 4 e

4 sao razes de p(X). Temos que

p(X) = (X 4)(X+ 4)(X2 X+ 3).Isto nos permite achar todas as razes de p(X) que sao

4,4, 12

+

11

2 i e

1

2

11

2 i.


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3.1. RAIZES EMKDE POLINOMIOS EMD[X] 61

Exemplo 3: Sejam an N tais que a nao e potencia n-esima de umnumero natural. Vamos mostrar que

n

a nao e um numero racional. Defato, pondob = n

a, temos que b e raiz do polinomioXn a. Seb fosse raci-

onal, pelo Corolario do Teorema 1,b seria inteiro e portanto a seria potencian-esima do numero natural b, o que e uma contradicao.

Exemplo 4 : Sejap(X) = X5 + 4X4 + 2X3 13X2 19X 5. Vamosdeterminar, se existirem, as razes em Z[i]. Pelo Teorema 1, tais razes saodivisores de 5 em Z[i], que sao1,(1 2i) e(1 2i). Dentre esteselementos basta verificar se sao razes os numeros1, 1 + 2i,12i,2 + ie 2 i pois os outros sao conjugados destes (lembre-se que p() = 0 se, e

somente se p() = 0). Testando estes valores, verifica-se que:p(1)= 0, p(1 + 2i)= 0, p(1 2i)= 0, p(2 + i) = 0 e p(2 i) = 0.

Logo as razes de p(X) em Z[i] sao2 + i e2 i.

PROBLEMAS 3.1.

1. Ache as razes racionais dos seguintes polinomios:

a) X4

X3

X2 + 19X

42 b) X3

9X2 + 22X

24

c) 2X3 X2 + 1 d) 10X3 + 19X2 30X+ 9e) 6X5 + X4 14X3 + 4X2 + 5X 2

2. Determine se e redutvel ou nao em Q[X] cada polinomio abaixo:

a) 2X2 3X+ 1 b) X2 2c) X2 + X+ 1 d) 4X3 + 3X2 + 3X 1e) X3 + 5X2 + 4X+ 1 f) X3 + 6X2 + 8X 1

3. (a) Mostre que =

2 +

3 e raiz do polinomio X4 10X2 + 1 eprove que e irracional.

(b) Mostre que

5 +

7 e irracional.

(c) Mostre que 3

2 3 e irracional.4. (a) Mostre que cos20 satisfaz a equacao 8X3 6X 1 = 0.

(Sugestao: Veja I-9, Problema 3.5).


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(b) Prove que cos20 e irracional.

5. Determine os inteiros tpara os quais a equacao

X4 3X3 + tX2 4X+ t 1 = 0tenha uma raiz racional.

6. (a) Seja p(X) Z[X], a,b Zem N. Mostre que se ab modmentao p(a)p(b) modm.

(b) Seja{r1, r2, . . . , rm} um sistema completo de resduos modulo m.Mostre que, se p(X) tem uma raiz em Z, entao pelo menos um

dos seguintes numeros e divisvel por m: p(r1), p(r2), . . . , p(rm).(c) Prove que sep(X) Z[X] e sep(0) ep(1) sao mpares, entaop(X)

nao tem razes inteiras.

(d) Mostre que se p(X) Z[X] e se nenhum dos numeros inteirosp(1), p(0) e p(1) e divisvel por 3, entao p(X) nao tem razesinteiras.

3.2 O Teorema de Gauss

SejaD um domnio de fatoracao unica e sejaXuma indeterminada sobreD. Seja p(X)D[X]. Um conteudo de p(X) e um maximo divisor comumdos seus coeficientes. O polinomio p(X)D[X] sera chamado primitivo seos seus coeficientes sao primos entre si, ou seja, se ele possui um conteudoinvertvel.

LEMA 3.1. Seja D um D.F.U. e K o seu corpo de fracoes. Dado umpolinomio p(X) D[X], existem a K {0} e q(X) D[X] primitivo,unicos, a menos de fatores invertveis emD, tais quep(X) =aq(X).

Demonstracao: Multiplicando p(X) por um elemento d D {0} con-veniente, de modo a eliminar os denominadores dos seus coeficientes, temosqued p(X)D[X] {0}. Pondo em evidencia um maximo divisor comumcdos coeficientes de c p(X), obtemos

p(X) =1

d d p(X) = c

d q(X),


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3.2. O TEOREMA DE GAUSS 63

com cdK {0}e q(X)D[X] um polinomio primitivo.

Provaremos agora a unicidade. Suponha quec1d1

q1(X) = c2d2

q2(X) (3.3)

onde c1, c2, d1, d2 D {0} e q1(X), q2(X) D[X] sao primitivos. Entaotemos que c1d2q1(X) = c2d1q2(X), e como q1(X) e q2(X) sao primitivos,temos que c1d2 e um conteudo de c1d2q1(X) e c2d1 e um conteudo dec2d1q2(X). Como estes polinomios sao iguais, segue que c1 d2 e c2 d1 saoassociados emD , isto e, existe uD invertvel tal que c1d2 = uc2d1, ou seja

c1

d1 =u

c2

d2 (3.4)Substituindo (7) em (8) obtemos que q2(X) =uq1(X), o que termina a provado Lema.

Observe no Lema anterior que se p(X)D[X] {0}, entaoaD {0}.

LEMA 3.2 (Gauss). Sef(X), g(X) D[X] sao primitivos entao f(X) g(X) e primitivo.

Demonstracao: Escrevamos

f(X) =a0+ a1X+ + anXn e g(X) =b0+ b1X+ + bmXm.Suponha, por contradicao, que

f(X) g(X) =c0+ c1X+ c2X2 + + cn+m1Xn+m1 + cn+mXn+m

nao seja primitivo e seja d um divisor primo de c0, c1, c2, . . . , cn+m1, cn+m.Como f(X) e g(X) sao primitivos temos que

A = {iN |0in e dnao divideai} = e B = {j N |0jm e d nao dividebj} = .

Sejam r= min A,s= min B e

cr+s= ar+sb0+ ar+1bs1+ arbs+ ar1bs+1+ + a0br+s.Como por definicao der e s temos qued|cr+s, segue da igualdade acima qued|arbs. Comod e primo, segue que d|ar oud|bs, o que e uma contradicaocom a definicao de r e s.


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COROLARIO 3.2. Sejam f(X), g(X) D[X]. Entao todo conteudo def(X)g(X)e associado ao produto de um conteudo def(X)por um conteudodeg(X).

Demonstracao: Escrevamos f(X) = a1q1(X) e g(X) = a2q2(X), ondeq1(X), q2(X)D[X] ea1, a2D sao os conteudos def(X) eg(X) respecti-vamente. Temos entao que f(X) g(X) =a1a2q1(X)q2(X). Por outro lado,podemos escreverf(X)g(X) =aq(X), ondeae um conteudo def(X)g(X)eq(X) e primitivo e portanto, pelo Lema 1, temos queaea1a2sao associadosem D , o que prova o resultado.

LEMA 3.3. Sejap(X)D[X]primitivo e sejaKo corpo de fracoes deD.Entao p(X) e redutvel emD[X] se, e somente se, ele e redutvel emK[X].Demonstracao: Suponha que p(X) seja irredutvel em D[X]. Se p(X) e

redutvel em K[X], temos que

p(X) =p1(X) p2(X), com p1(X), p2(X)K[X] {K}.Pelo Lema 1, existem a1, a2 K e q1(X), q2(X)D[X] primitivos tais quep1(X) =a1q1(X) e p2(X) =a2q2(X). Portanto,

p(X) =a1a2q1(X)q2(X) (3.5)

onde a1, a2 K e q1(X)q(X) e primitivo (Lema 2). Como p(X) e pri-mitivo, pelo Lema 1, temos que a1a2 e associado de 1 em D e portantoesta em D. Temos entao de (9) que p(X) e redutvel em D[X] o que euma contradicao. Reciprocamente, Suponha que p(X) seja irredutvel emK[X]. Se p(X) e redutvel em D[X], existiriam p1(X), p2(X) D[X] taisque p(X) =p1(X)p2(X) com p1(X), p2(X) nao invertveis em D[X]. Temosque p1(X), p2(X) / D[X], pois caso contrario, pelo menos um deles teriaconteudo nao invertvel e portanto um conteudo dep(X) seria nao invertvel,o que contradiria o fato de p(X) ser primitivo.

TEOREMA 3.2 (Gauss). SejamD umD.F.U. eXuma indeterminadasobreD. Entao D[X] e umD.F.U.

Demonstracao: Sejap(X)D[X]{D}. Podemos escreverp(X) =aq(X)com a D{0} e q(X) D[X] primitivo. Seja a = a1 ar uma decom-posicao de a em fatores irredutveis em D. Seja K o corpo de fracoes de


65/165

3.2. O TEOREMA DE GAUSS 65

D. ComoK[X] e umD.F.U.(Corolario 2 do Teorema 2, Captulo 1), pode-

mos escrever q(X) = t1(X) ts(X), onde t1(X), . . . , ts(X) sao irredutveisem K[X]. Pelo Lema 1, podemos escrever q(X) = b1 bs q1(X) qs(X)onde b1, . . . , bs K {0} e q1(X), . . . , q s(X) D[X]D sao primitivos(Lema 2), logo irredutveis (Lema 3). Como q(X) D[X] e primitivo, eq1(X) qs(X) e primitivo (Lema 2), entao da igualdade acima e da unici-dade garantida pelo Lema 1, segue que b1, . . . , bs D. Temos entao quep(X) =a1 ar (b1 bs) q1(X) qs(X) e uma decomposicao dep(X) emfatores irredutveis em D[X]. Vamos agora demonstrar a unicidade de talfatoracao. Suponha que

a1

ar

q1(X)

qs(X) =c1

cl

g1(X)

gm(X)

onde os elementos dea1, . . . , ar, c1, . . . , cl deD sao irredutveis emD e os po-linomios q1(X), . . . , q s(X), g1(X), . . . , gm(X) sao irredutveis em D[X] (por-tanto primitivos). Usando o Lema 1, temos que a1 ar e c1 cl sao asso-ciados, e como D e um D.F.U., temos que r =l e cada ai e associado a umcj e reciprocamente. Por outro lado, pela unicidade da fatoracao em K[X],sabe-se que cada q(X) e associado em K[X] a um q(X) e reciprocamente.Como estes polinomios sao primitivos eles diferem por um elemento invertvelde D. Da segue a unicidade da fatoracao em D[X].

COROLARIO 3.3. Z[X] e umD.F.U.

COROLARIO 3.4. Se D e um D.F.U. e X1, . . . X n sao indeterminadassobreD, entao D[X1, . . . X n] e umD.F.U.

Demonstracao: Pelo Teorema, D [X1] e umD.F.U., logo novamente peloTeorema, D[X1, X2] = (D[X1])[X2] e um D.F.U.etc.

COROLARIO 3.5. Se K e um corpo e X1, . . . , X n sao indeterminadas

sobreK, entao K[X1, . . . , X n] e umD.F.U.

PROBLEMAS 3.2.

1. Quais dos seguintes polinomios em Z[X] sao primitivos?


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(a) 2 + 3X+ p(X) onde p(X) Z[X], gr(p(X))> 1.(b) (3 + 5X+ 7X2 + 5X3)54.

(c) 2 + 4X+ 6X2 + 14X3.

2. Quais dos seguintes polinomios de Z[X] sao irredutveis?

a) 2 + 2X b)X3 + X2 + X+ 1 c)X3 2 d)X4 + 6X2 + 9

3. SejaDumD.F.U.com corpo de fracoesK. Mostre que sep(X)D[X]tem uma raiz em K entao p(X) e redutvel emD[x].

4. Determine um M.D.C.em Z[X] para cada par de polinomios abaixo

(a) 2X+ 4 e 6X2 + 4X+ 2

(b) 4X+ 12 e 2X4 + 12X2 + 18

(c) 3X3 3 e 2X2 + 2X+ 2

3.3 Metodo de Kronecker para fatoracao emZ[X]

Na secao anterior vimos que Z[X] e um D.F.U. Nada porem dissemossobre fatorar um polinomiop(X) em Z[X] nos seus fatores irredutveis. Des-creveremos abaixo um metodo devido a Kronecker para realizar esta tarefa.Tal metodo apesar de conceitualmente simples, na pratica e muito trabalhosoe, portanto nada eficiente. Existe atualmente um algoritmo muito eficiente,mas nao totalmente determinstico envolvendo uma parte probabilstica. Sejaum polinomio com coeficientes inteiros. Para decomporp(X) em fatores ir-redutveis basta supor p(X) primitivo e determinar um divisor seu de menorgrau, em seguida aplica-se o metodo ao polinomio quociente de p(X) por taldivisor.

a) Procura dos divisores do primeiro grau.

Suponha que aX+b Z[X] seja um fator de p(X). Portanto existeq(X) Z[X] tal que

p(X) = (aX+ b)q(X) (3.6)


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3.3. METODO DE KRONECKER PARA FATORACAO EMZ[X] 67

Seja um numero inteiro qualquer. Entao

p() = (a+ b) q() (3.7)e portanto (a+ b)| p(). O problema e determinar a e b de modo que(10) seja verificado. Portanto basta procurar a e b entre os inteiros para osquais a+ b divide p() para arbitrariamente escolhido em Z. Pode-seentao determinar possveis valores de a e b escolhendo dois inteiros e com = , tais que p()= 0 e p()= 0 e em seguida resolvendo todos ossistemas de equacoes

a+ b = d1a+ b = d2

variando d1 (respectivamente d2 ) dentre os divisores de p() (respective-mente de p()). Assim obtemos todos os possveis candidatos a divisoreslineares aX+ bde p(X).

A escolha de e acima deve ser feita com certa astucia pois quantomenores forem os numeros dos divisores de p() e de p(), menor sera onumero de sistemas de equacoes que teremos que resolver.

b) Procura dos divisores do segundo grau.

Para determinar os divisores quadraticosaX2 + bX+ cde p(X) em Z[X],escolha tres inteiros , e , dois a dois distintos, e tais que nenhum delesseja raiz de p(X). SeaX2 + bX+ c e um divisor de p(X) em Z[X], devemoster,

a2 + b+ c = d1a2 + b+ c = d2a2 + b+ c = d3

onde d1 e um divisor de p(), d2 e um divisor de p() e d3 e um divisor dep(). A resolucao deste numero finito de sistemas de tres equacoes linearesnas tres incognitas a, b e c, nos fornecem os possveis candidatos a divisores

quadraticos aX2 +bX+c de p(X). Aqui tambem vale a recomendacao daescolha astuciosa de , e .

c) Para a determinacao dos divisores de grau maior do que 2 procede-sede modo inteiramente analogo ao que foi feito nos casos a) e b).


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3.4. CRITERIOS DE DIVISIBILIDADE EMQ[X] 69

Experimentando estes tres polinomios, achamos queX2 +X+1, eX2 +X1dividem p(X) e portanto

p(X) = (X2 + X+ 1)(X2 + X 1).

PROBLEMAS 3.3.

1. Decomponha em fatores irredutveis em Z[X] os seguintes polinomios:

a) 2X5 + 3X4 + 3X3 2X2 1 b)X5 + X3 + X2 + 1.

3.4 Criterios de divisibilidade emQ[X]

TEOREMA 3.3 (Criterio de Einsenstein). Seja

q(X) =a0+ a1X+ + anXn Z[X].

Suponha que para algum numero inteiro primo p, se tenha

p|a0, p|a1, . . . , p|an1, p nao dividean p2 nao dividea0.

Entao q(X) e irredutvel emQ[X].

Demonstracao: Podemos supor sem perda de generalidade que q(X) sejaprimitivo. Suponha que exista um numero primo pcumprindo as exigenciasdas hipoteses do Teorema. Suponha, por contradicao, queq(X) seja redutvelem Q[X]. Logo podemos supor que q(x) =q1(X) q2(X), com

q1(X) =b0+ b1X+

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