cálculo diferencial e integral cuatérnico

BIBLIOTECA CIENCIASEXACTAS Y NATURALES

QA304.873

DE SONORAWOS ESTUDIOS

115/T917

Cálculo Diferencial e Integral Cuatérnico

TE S I SQue para obtener el título de

ECENCIADO EN MATEMATICASprese n t a

AGUSTIN BRAU ROJAS

HERMOSILLO, SONORA , MEXICO1979

A30473

UNIVERSIDAD DE SONORAESCUELA DE ALTOS ESTUDIOS

Cálculo Diferencial e Integral Cuatérnico

BIBLIOTECADE CIENCIAS EXACTAS

Y NATURALESEl-SABER DI MIS RIJO&

RARA MI GRANDEZA

T E S I SQue para obtener el título de

LICENCIADO EN MATEMATICASpres e n t a

AGUSTIN BRAU ROJAS

HERMOSILLO, SONORA, MEXICO1979

Con ínmen4o aman a una belia

mujeA y talentoza Matemdtica:

Mí compañera.

A mí hijo Aguatín.

A mis padtes,

pot su amor BIBLIOTECADE CIENCIAS EXACTAS

Y NATURALESEL SABER DE MIS HIJO&

RARA MI GRANDEZA

A mi tía Socollo,

pon su nobleza y geneps(dad.

A Don Clemente,

pon 4u ejemplo de (mol patelnat,

A/ Pnole4on Enníque Vatie Ffokee

pon zu enonine laboA en la fioAma-

ean de matenidtícoe en Sonona.

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

CUATERN I CO


Y NATURALESEL SABER

INDICE HARÁ W GRAN1E2A

•

O. Int/u/cluecan:

I. Cuatexnío4 ReaLeis.

beáLníción. Caxacteitízacan Aigebnaíca y Topotógíca.

Repte4entacan

Funcione', Cuaténnícae Ana/Á:ti:cae

FuncLone$ Cuatékníccus Dexívabiez. Multo de Fuetex.

Ctuvah Cuaténníca4 Etíptica.s.

E4thuctuxa4 Q - anaLtaccus. Tono Cuatétnico. Redeis

Cuatéknícaz.

INTRODUCCION

El objetivo inicial de este trabajo eta mostnan

posibilidades de un Cálculo Dilenencial e Integral Cuatén.

níco. Dentro de esa idea demostramos un teorema que canac

teniza las lunclones cuatánnicas duivableh; el asaltado -

es eScenclamente negativo ya que esta clase de lanciones

resulta sumamente restringida pana desarrollan con ella -

un cálculo dlletencLal e integral. Mediante un en6oque -

distinto del concepto de negaanidad,el matemático alemán

Fuetee y sus seguidores 1541 eluden la dilicatad pasen

tada y crean un cálculo en el que se obtienen resultados

análogos a los del cálculo complejo. En vez de seguir es-.

ta alternativa, que sólo comentamos brevemente en el Cap/

talo II, nos inclinamos pon. dan a este trabajo una onien-

tación geométnica. Esto ícte motivado pon los estudios que

actualmente se realizan pana clasilican las estructuras -

alíneS en variedades complejas (vease pon ejemplo UZII. -

ya que toda vanhedad con una Q,- est/menta es una vanie

dad compleja de dimensión 2 con una estructura a6/n. A pe

sdn de todo lo anterior, pon motivos extra académicos, la

tesis conservó su título original.

Debo mencionan mí agradecimiento al Pnoleson Enrique

Va/le Flotes que phoponcion6 el tema de esta tesis y a -

loes doctotes Zenaida Elvíta Ramos y Xaviek Gámez Mont pot

eu paciente aseeotta. Lee he oltecído a cambio de su -¿siva

hable ayuda ezóotzatme pon dinalizat cate tnabajo delíni

taamente inconcluso. Aphovecho también ceta °casan pata

agnadecet al M. en C. Fetnando Avita Mukítto eu ayuda e -

intetéa en mi ptepanaeión matemática.

CAPITULO 1

La eztnuctuna matemática de tos cuatekncoz creada pon

e/ matemdtíco Lnlandez WLLLLam R. Hamilton en 1843. loti-

vado pon bu pnezentacan de tos námetos comptejos como pa

xejaz de mime/Loe nealez, Hamílton se planteé el ifloblema

de extenden bu eztnuctuxa -ezpecílicamente /a multipli_ca-

can- a Las ternas de namenoz reates. Una magnL ISica y muy

vexozímí/ dezen.ípctón de 40.4 Lntento6 ínpluctuozoz pon ne

zolven el problema y de como estos lo llevanon a de8eu -

bnin lo que hoy conocemos que ez la única algebna azocía-

Uva con divisan de dímenzan cuatro sobre loz nealez, -

no.d. /a phoponchona Van den Waenden en [L]

Fl dezeubnímiento de Hami/ton ez pues un resultado -

de /oz .intentos pon amp/Lan el concepto de número 12] y _

conztítuye uno de tos antecedentes más .importantes de /a

teoría de d/gebnaz línealeá.

De6Lnícan 1.2.1. Un e8pacLo vectonial de dímenzan £LnL

ta A zobne un campo F se dice un álgebna lineal aso-

ciativa sobre F 'sí en A ze tiene ademdz una multiplí

.cacíán que ez

L) azocíatíva:

a(bc) = (ab)c

pana cualezquívta a, b, c E F y

te.) baínea/:

a(rb = sc) = r(ab) + s(ac) y

(ra + sb)c = r(ac) + s(bc)

parta cuateaquíexa a, b, c E A y r, s e F.

Equíva/entemente ae puede de6inik un d/gebta lineal aao -

eiatíva amobte un campo F como un anLUo azocíatívo A

que ea adenia un emoacío vectotial de dimenaan 6íníta eo

bite F y tal que pana cua/eaquívta a, b E A y r E F ae

aatíelace que r(ab) = (ra)b = a(rb)

Loa eiguíentee típoe pattícu/atee de álgeboaa Unea/e4s -

aon ímpottantea.

De6inicione4 1.2.2. Sea A un digeiv¿a Línea/ aaocíatíva.

Al) Si pata todo a E A -{0} exiate un invetao mut-tija/A:ca-

tivo a-', A ae denomina Ilgeboa con divia-Len.

tí.) La not.ma de a E A, Ial, con .teapecto a /a baae {e1,

.., e n } ee de6íne como

Ial = al + + a 2 , donde a = a e + + at en .

A ea un agebta notmada dí aatíalace

•

labi = I a l Ibi

pana todo a, b e A.

DeSinican 1.2.3. Sea Q el eapacío vectotia/ de dímen -

e.L6n cuatno aobhe el campó tea/ y 1 = d i = (1,0,0,0), -

1 = e 2 = (0,1,0,0), j = e 3 = (0,0,1,0), k = e, = (0,0,0,1)

- 2

t. k

1 k1..1.

e

-14. .4. -1

1 -1-k11 -.t


Y NATURALES. 11C Ww1; liU0SI GkANDF-ZA

su base canóníca. Delinimos la multiplicación de dos y ac-/ 4tones en Q, p = 2 x„ 4, y 1 ' 2 &PI en..., nr.,mediante la Onmula

4 4

(1) PI- s 2 E ( x“ -dm)( en e„,)nr-t la 2%

y la siguiente tabla de multiplicación de los elementos. -

de /a base

Teoitema 1.2.1. E/ sistema (4, t,-,e) dado pon la de.P.-

nícan 1.2.3. C4 un dlgebna con división sobte el campo -

/Leal. Se le llama el algebta de /os cuaten.nios tea/es.

Demosttacan. Pana Imobat que el espacio vectoxia/ Q con

la multiplicación ad/ de6ínída ea un algeb.a, basta con -

vetilícat que satísfiace la ley asocíatíva, ya que es cla-

ramente bilineal. No lo hartemos mediante un cálculo dime

to con (1) y .(2) sino utítízando otra loimulacan de Q.

El conjunto Hl -4 XI 4. I- Z3 4- X4 k = 14= 0.1

e.6 una. copia ízomot4a del campo complejo mediante la co -

v/24 pondencía índucída pot.

( 1, 0, o, o) (1,0)6 r. (o, I ,o, 0)i---> (0,1)6 Ir

- 3

además /a identidad

t izi fi t X3 = (x i t xi 2) 4. (z3 4, x4 f.: )

no4 pitopontiona una nepne4entación ártica de q E H de /a

fioxma q = w + zj con w, z E Q , bajo la cual él pito -

dueto de /o4 cuatennio4 q = w, + z 1 j y qi wa + z2j

queda expAessado cuí:

= (w 1 W2 — z,i2) t (0,; t 4.72 2 ) j

donde Zmy-its pana

La ahocíatívídad he venílica entonce8 Ocílmente:

%vis 1 (wm, -z,12)+(ta,z nzaz,8.1(£43 t Z3

= 101 Wz -21 22)% (w1 z1 t ‘7, za 23 ]tt(cd -Ze22)54-

(ki lla ;32 231131 S = ( at (113 -23 13 ) 21 (17124 t i2143)1+'

[w, (W214 t 47i3z.) + z, (I; 47/3 2;23) = [W, (Wa W3 -224 —

%I (42 23 + (13 Z2 ) 94; ( 112 + 143 z2) + z, (14/4177.2Ñ] á == (vro.

Ob4exvemo4 que Q contiene ízomonlamente el campo 'Etat:

z i 4 x2 4: + 1.3 j xi k : x2 = IR

y que eate eub.si4tema (que identilicakemo4 con 01 pon bite

vedad de notación) us ioneciasamente el centno de Q, o zea

le Q. : 4 1 1 = II I rió, todo 4 e Ce lige

Si defiínímoh= — x2 — x3 6 —x4 k. 5

111 1 = +

- 4 -

pana 1 = Xi t 72 i + x3 1+ :11{t (lit° 61_ ,40 y

pon lo tanto e/ elemento

y'.11/2

ea el inoexzo muttiplicativo de 191 0 . Q es pon /o tanto

un álgebra con divízan.

Fácilmente be puede venL ISA:can que

7,15 =de donde

nl a (M I = (,:it)(1z;) =1-a( V:ia (121e)(1-,I2)=

( 12%)(11) 11,1212,

por /o tanto Q es un álgebra nonmada y el ezpacio vecto

tial normado subyacente es el euclidiano 4-dímen4ional. -

Además las identídadez

I 7

15( =1}1nos aseguran que /a multiplicación y la lunción r(q) = q-1

son continuas con respecto a la topología índucida pon /a

norma. Vale entonces el teorema siguiente:

Teorema 1.2.2. Q es un anillo con dívizan continuo, co-

nexo y localmente compacto, extenzan linita de de gut

do cuatro.

Pana linallzax la sección, enuncíamoz ALA demoz dtxacián dos

teoremas que establecen /a nata/La/era singular de /a es -

txuctuna algebraica y topológLca de los cuatexnioz.

Teorema 1.2.3. (Fu/hen-luz). Toda álgebra con dLvL4Lón al-

- 5 -

gebtaica zobite el campo tea/ es i6omonfa a uno de /0.6 si-

guientes anillos: IR , e

Tecutema 1.2.4. (Ponttiagin) Todo anillo topológico con di

visión, conexo y localmente compacto es isomoklo a IR, C

o Q.

3. Reprtesentación Mal/LA:cía/ de Q.

Déliníción 1.3.1. Una kepkesentacan de un dlgebna A -

con mal/acta r x r babee un campo k e4 un homomorfis-

mo de álgebxas

§ : A r(K)

Si § es inyectiva se ,dice que la xepitesentación es fiel.Definición 1.3.2. Dos nepxesentaciones 1 Al de un dlgeIota A en M11,(k) se dicen equivalentes 4i existe M en

/ny(k) no singa/ar tal que

la m

Ptoposición 1.3.1. La aplicación 4I I :Q--071(4)tai que

es una teptesentación fiel.

Demos-bucean. Considexemos a Q como un espacio vedo -

nial complejo derecho. Pana cada definamos

:


Y NATURALESEL SABER DE MIS IlL/AS

RARA MI GRANDEZA

- 6

mediante

T/ (p) ... *P,

e4 un endomokli4mo de Q Icon4idetado como e4pacio

vectoníal 4obne. ). La conte4pondencia

1- T>1.e4 un homomo41i4mo inyectivo entke e/ anulo Q y e/ a-

nillo de /04 endomon4i4mo4 de Q, eiSectivamente:

5:1. % ( = /1 )1) a %e +12 ? = (r) ti-a( 3

SI % (f) (%13)? = 1;(42P) A • Tya y

=0 i y) .0 , de donde hlucleo (T) s (0),Tomemos como base de. Q a h in, ; a.L I.: °mai entonces

T* 0) ui+zi oi+ji

-r ( i ) = —z + icz

de donde /a kepte4entación ma.tuicial de T está dada pon

E4 un hecho conocido que la apticach6n que a cada endo -

monlamo de un espacio vectorial de dímenzlón 4inita /e

azocía .4u mattíz (con ne4pecto a una base detenminada) -

2.4 un i..somon.11.4mo de d/gebna4, pox Co tanto e/ teoxema -

4e. 4ígue.

Sí nepetimo4 e/ ptocedimiento ante/c.-ton con /a haat

• {11-6}obtenemos /a kepte4entación:

- 7 -

zzi

(-7 cri ).

que ea f, donde f ea el automonlízmo.de Q dado

pon f.(6.)+,rd) Ca—Zi

Laa doa teptezentaclonez aon equLvalentea ya que

1 O wZ lo w —2

( o —I ) (-2 c7))( o —L) 2 ( 2Ademaz de /az xeptezentaclonez tendhemoz opoxtunidad de

utí/ízax loa antíkomomotlízmoz inyectívoz. Sí en el de-

zat.xotto de la demozttachón de /a ptopozican 1.3.1. -

conzídexamoz a Q como un ezpacío vectoxía/ complejo -

ízqulendo y eztab/ecemoz la tonkezpondencía

14 ,--) 11

donde TI Q, —4 Q. está delinhdo mediante

ry p) = obtenditemo4 análogamente la

apticacl6n

11(u: 1-2j)::(

z —I

que ea un antatomomorgízmo ínyectívo de Q en 9772 (c)

ya que zatízlace:•

- 8 -


Y NATURALES12 (11) +112 (1z) = 12(11+42)

41,( 1M9,1 = / 2 (?,T:) y

Nticleo (§3) = (°)A paAtit de la4 tepte4entacione4 (y antihomomotlí4mo4)

complejas ob.tenLda4, podemo4 obtener Aepte4entacíone4 -

(y antihomomok4amo4) teale4 vía alguna xepte4entacíón

de con mattíces 2 X 2 itealez, pos ejemplo con

: C °Mz ( lin 3 te (A+ bz) ( a -b)

I, a

4e obtLenen

a c

co —7) wacic

(4) JAI +zi) _c « di bz tA/

d -c -I a

que denotatemo4 con Ta -I) -4 -d

k(5) (0 tzj

(`» ~I (Z 1-14 c a 6

I) a -c

que denotanemo4 con 172 ; en (4) y (5), w = a + bi y z

c + di.

EL SABER DE MIS NIDOSNARA MI GRANDEZA

c —1 a,

- 9

En 171 4se wtí/íza la tepte4entación tea/

a -6 -e -d

Tú (6 a -d e

o.)

+6.4:+cj+cik a

e a

que ze puede obtenen tambLtn con e/ pkocediffiLento utili-

zado en /a pxopozsícan 1.3.1., ahorra con4idenando a Q•

como un eapacío vectotía/ ata/. Eata itepfteesentacan ea -

equíva/ente a /a que no.sotno4 utaizaftemo4:

— 1 0 1

0 1 O4Á.

o i 0 1 entonce4

o 1 0

SZS 4=113 y JetSto,

- 10 -

CAPITULO II

FUNCIONES CUATERNICAS ANALITICAS

En ea-te capítu/o demo4txamo4 que /a4.,LIníca.s lune/enea

cuaténnica4 dexíva6/e4 en una /Legan son 4a4 Q - a4Z-

ne4. Exponemos 6/Levemente e/ concepto de analítteídad

de Fuete/t., zu telación con /a íntegta/ cuatétníca y al

gunaa prtopLedadez de /a4 luncíonez analíticaz en tete

sentado.

2.1. En uta eeccan enuncíamo4 dos teoftemaA dementa/ea -

acexca de 4uncione4 de doá va/Liallez comp/eja4 que uta

/ízamo4 fiundamenta/mente en la aígutente ieccan, pana

su demoatAacan nemítímo4 a I 8 , Cap. III.

Sea O un conjunto abiento de 4C 2 y 'U: 1)-->C2U€02).

St denotamos

9:5 — -2-1(P14 ) 21 — ' )2Zi 2 371, 91 g 225 1/4

914 = .1,-;(1+1.23-4 au _ zu 314\'Pi 9%2 7 2 2 3x4)

donde = y Z2 .21:t c , entokce4 pode-

mos expite4a4 SU como una combínaean tLneal de laa dí

lett-encía/ea 52.11- y

(i) du 92- 2-1-` a az JEgZi

dz+ dz2Z2 2 22. 922 z •

Sí ademáz denotamoz

= dz,gu d 5u = " + au9;72z 2 3 92, 5-2. 3 2

entoncez podemo4 ezcxíbít (1) en /a lotmá

du = ?u + 5 u

DeAínícan 2.1.1. Una lunean -Fé ci(0) ze diceMon& en 044: 5u=0 (ecuaci.one4 de Cauchy - Ríemann).

Teoxema 2.1.1. Sí U ez banomoxla en e/ po/ídízco

{z: 121;14:15- ,ssia entoncez

nr / 2 u coN 1" I »t al \ ce, at(3) LUZ) Z- •4!•4! ) -Sr z2-22

con convetgencía norma/.

En el .teorema antexíox, pon convexgencía norma/ de la

zenit G a.„ )

/Lie 2 Aokozatt „ I -.1„.1(2.,4)!

pacto.

entendemoz que /a ze-

convenge pata todo com-

Ezto ímp/íca que la zexíe en (3) converge y 4u /imíte

no depende de xeotdenacionez.

Teonema 2.1.2. Sí U eá una fiunción con valoxez compte-.

j44 delínída en el conjunto abíexto D C ICt

y 'hl ez ara

Itaca en cada vaníabte 25, Z2 pana cada va/ox

jo axbíttatio de la otita vaitíable, entoncez IÁ e4 bao

/omotla en D

- 12 -


Y NATURALESSABER DE MIS MAR

RARA M1 GRANDEZA

2.2. Definición 2.2.1. Sea F: G1, D un zubconjunto ablex

to de 4. F ea Q - analítica pot la izquietda en ID

al e/ límite:

(4) hm p-' [F( ItP)-F(4)]P-, o

exate pana todo 1.60.

Análogamente:

Definición 2.2.2. Sea , D un subconjunto abLek

to de Q. F e4 Q - analítica pon la deteeha en

el limite

un' [F(M) — F (1-)] r

existe parta todo le D.

Teorema 2.2.1. Sea C) una Aegan -de Q y F una luncián

Q - analítica pon la izquierda en D . Entonces existen

conztantea lo y 4, tal que F está dada pon

F(4) = +

pata todo $e O.

Demostración: Denotemos e/ límite (4) con F9 (1) . Tene

mo4 entonce4 que pata todo E>0 existe 5)0 tal que

• o< 1 pl . < 5 -=> 1 p-1 (Feur) -F(1)) - MU NE

de donde

< I P I < d> I F (In) - F (1) — p rico <£ I PI

Como la tnan4lokmacan fi —) (In) - Línea, en-

tonee4 F ea dileneneía5.1e y JF(* r) = r r o n:). Sí r12

- 13 -

t ea-pl.-tu/o ante -

homamonlamo detinído e ►t eJ aco() Lana de -

debe cumptin que .t.a inatn... “z e debe tenen. -

(La a 29 (Ft1)) o sea qu'e-

paf. 01 Mi <I) . Dif,(1) Rit, in\

pot on Pala (II Vi () D412(

h (1) ;43 U) 03f3(*) ;MI)

Dico. f4 tt 1144 M1(%) RAM

r(11 a t bi + c i tdk rs- F. 4-

+3 + +4unchonea

ta íguaidad (51 be obtiene que tab

2=1 3 2, 3,1 deben aat4:46aeeir- ¿as sisu-Lentes

ne exatizadas Iuaciones (de Cauchy - Riemann

D,f, =palas tift: Di

Dce: - PA = =;f3

f3 = =

0, as It (Sta ..pifs

Sí eonsídenamos a F, y FL como

pote-tones de dos vanía

biza compiejaz (1.=(w,z)) podemos

es extbi.4 Zas ecua-

aones (61 en /a lonma nessumída:

U-)zn 9F.= r.O

91 ai

ar, er,(0) al PO/ Tia ste. sal

ft:

- 14 -

Como F. y ra zon di6enenciab/ez izan componentes de -una lunean díletenciab/e) y datízlacen Caz ecuacLo -

ne.6 (1), zon entonces no/omonlaz en cada una de Caz -

vatíabiez W Z lijando la va/fiable ite8tante (teotema

2.3.1.).

El teotema 2.1.2. nos azeguna que F, Pi 4on guncio-

nez bilio/omongaz y tienen pon Co tanto (tea/Lema 2.1.

1.), un de8attollo en sedes de potencias:

F ("s i n= 2. ans. 44)" (=-2.)^?esa

F2 (O = z. 410“ (a. es4 ) 1 ( - Ze)'"

RM

o tea que pana cada (44, rd)G Q exLate un poi-Lasco

cO con centko en (04,4) tal que (1),ze zatízgace

pana todo (ce,r)6/1.

Pon atta paute, de Cae ecuacane4 (8) te obtiene

47

n005 (€---10.)"-1(z-zdr= m ( e- 7.)IBS 1 II 4011=0 Mai

e. t»

2 m ano, (9)- °Jan( z sze r n 2. —11 liom1=0 Mea

/m i gue antoja

9P, 91 „ _ 9P,'

-so = b.a 4 . n ] Noto w

zz Pid

o sea que pana a/gunaz ClI st C(ca , Z ) = a lo co +Gni + e , y F2 ( co•n= -Cel td ta,o2 +C2

(1)

- 15 -

poniendo entonceh = + e2 I. Y /0 = ao boj«

con 0, r- 010 Y á. = - he obtiene

F (I) F (w +zs) = (a,(4- 10 z ) 4- (lo° 1-5•z) = + 9 9.1. 9;

pana toda á

Fina/mente, como O eh oteo - conexo, podemoh unan -cualquiex pan de puntoá de I) con una cadena de poli-

di4coó en /oh que F eh de /a loxma (10). De/ hecho -de que doh 6uncioneh de la lomna (10) que coinciden -

en un d'Unto están detexminadah pon /as mihmah cona-

tantea T.,4, he higue que deben exibtix conetantez

1. , 1 1 tal que

F (/) = 41.411

pana todo ¶E 0.

Análogamente he puede demohtuu el teoxema

Teoxema 2.2.2. Sea O una itegi6n de Q y F una lun-

can Q - analítica pon /a dexecha en O . Entonceh -exihten conztanteh %, y 1, tal que F eht& dado pon

F (I) .1 %I 41.

pana toda 1. 6 .

. Eh conveniente enAatizax que loe téxminoa "analítica

pon /a izquiexda" y "analítica pon la de/techa" no tie

- 16 -


Y NATURALESEL SABER DE MIS rung

RARA MI GRANDLZA

nen relación alguna con las denivadas izquierda y de-

hecha de Díni, eataa últimas ae /tette/ten al rinden de

loa nealea y las pnímenaa a la no-conmutativídad de -

la multiplicación en Q.

2.3. Cálculo Dí4exencíal de Fuetex.

Como hemos visto en la aeccan antction, /a exigencia,

de la existencía del límite del cociente dilenencial

(4) - o (5)-xestxinge luextemente la clase de gane-to-

nes Q - analltícas, Hamílton mismo había observado -

ya que este ilmíte no existe palta algunas de las lun-

cianea cuatexnícas elementales, las polínómicas pon -

ejemplo -; no se puede hacen entonces un cálculo dite

xencía/ análogo al complejo con esta noción de ana/L-

' deidad. La de‘iníción de íuncíón regulan de la escue

la de Fuetea no ínvo/ucxa el concepto de dexívabílí -

dad en el sentido ondínaxío. La estrecha conexión -

existente entre el cálculo dí lIenencíal y el cálculo -

íntegto./ en los caaoa /Leal y complejo es establecida,

en cambio como punto de partida pana el desarrollo -

del cálculo cuaténníco • las hipótesis del teorema de

Morrena - adecuadas a /os cuatenníos - son las condi. -

clones que definen laa lunciones cuatexnicas regula -

xes.

A manera de ilustración pxesentaxemos algunos elemen-

tos del cálculo diferencial de Fuetea. Pana eludir el

uzo de la integtal cuatétnica - cuya de6ínican y uzo

tequieken técnicas 'Saeta del alcance de ea.te ttabajo -

datemoz una motivación meramente iSonmal de la deflini -

cí.6n de 6uncián regulan cuatátnica. En [71 ze demuez -

tta que esta del/A-Le-L(5n ez equivalente a la obtenida a

pattit del Teotema de Moteta.

Si análogamente a como se hace en la sección 1 defiiní-

moe loa opexadoitez 9 y 2 pana luncionez complejas de -

valtíable compleja mediante

=_pm — 1 /e «hl al )

( -1) yh 29 = ax2 ( 2 2i

entonces vale el siguiente teortema:

Teorema 2.3.1. Sea _acc una tegián y f : I/ C

una luncián dí líertenciable iconzidetada como una ticanz-

lotmacián del plano en el plano) en cada punto de 11.

-Entonces fe H(12)(e4 holommla en-I2) 441 y 4610 el

(5 f)(:) = o

pat.a. toda Z E 12 .

En ese cazo tenemoz que

V(z) = Optz)

pana toda Z e .12.

Pata 4u demozttación nemitimoz al lectora a [g]

- 18 -

E/ teotema antenion sugLeke que con /os openadotes di-

lenencía/es cuaténn¿cos

4. 14:4 2—s+ k-k=k+= " 2)(2 9x5 " 2w

9 2-k = iL 2= J.5 el 37t i9)12 ‘ As 2x4 9w 9z

delínamos:

Delínícan 2.3.1. Sea un subconjunto abLento de Q.

F e C ien 4e dice neguían pox la ízquíenda en D sí

(ilF)(z1 o

pana toda Z t D

En ese caso a la luncan DF se /e //ama /a denívada

ízquíenda de F.

SimItxícamente tenemos:

Delíníción 2.3.2. Sea D un subconjunto abíexto de Q .

F e e(0).6e dice negatan pon. la denecha en D

(p )(z) pana. toda 2 e D.

En ese caso a /a 6uncan FD se le llama /adekívada

dexecha de F.

Las clanes de lunciones dadas pon las delínícíones -

2.3.1. y 2.3.2. no son una ex/tensan de las dadas pon

- 19 -

2.2.1. y 2.2.2. tezpectivamente, ya que

ti [(aco c) + (bia taz -1-4)J'J _ — = -a—by

f(aw-bff + (az +6,:.0 Q=-('.b) =

zin embaxgo zi ez notablemente mdz amplía: En [7] ze

propone un método pata genemm 6uncionez cuatétnicaz

negulatez a pantix de 6uneionez complejas analíticaz.

El ziguiente conjunto nos ptopoteiona ejemplos zenci-

floz de luncloneá /Lega/atea pon la izqulexda

F : a a. : F (td,z)(f,(w) 1- gicz))+(#2<z) 02(0,0

donde filfa zon luncionez complejas -

analítícaz I

Un conjunto análogo ze puede dan pata el cazo dehecho.

Pnopozican 2.2.1. Sí. F= m +5 1 ' ea regulan pon /a

izquietda (detechal entoneez 4U4 componentes comple -

ja4 F y F2 zatí46acen .las etuacionez de Cauchy - Rie

mann izquietdaz (detecha41

aF 9W 9F2 _ av,un a' = 2a az 95;

(n) 7: --- 2 = - ---aw " 914 el

2 9F,ab 9E2

Ptopozíción 2 . 3. 2. Si ri g F a r. O entonen

Demozttación. De (11) y ( 121 ze obtiene

- 20 -


Y NATURALESEL SA MER Uf MIN HIJOS

MARA MI GRANDEZA

0 3) 2F_as1 - = al

aw az Pto - az

de donde

PF, sart

OF — + a 2 .--aW

) •-77 d

9F1 , 9F2 )F

Diq pw

La pnopozícan antenLon juzti‘Lea /a zíguiente delí-

nicl6n.

De6ínicí6n 2.3.3. Sí Fea tegu/ax pox la ízquíexda y

negu/an pon /a dexecha ze díce -que ea negu/an. Al va

/ox común de ap y Ffin le llama la dexívada de F y

ze denota con Fi.

Ejemplos zeneL//oz de luneLonez negu/atez eztán da -

do:, pon /az luneL:mea de /a Ionma

F = f (w1 +

donde y zon 6uneLonez complejas analíticaz, pata

ellae

F i (w t zj ) V(101 ji(z)

Pnopozican 2.3.3. Sí FE C1 ea test/Jan pon /a Lz -

quíenda (denecha) entoneez zuz componentez nea/ez -

- 21 -

zon hatmónicaz.

Demozttación. A pattit de /az ecuacíonez (1)

FIPI DI DE 91-t —Dz a DZ2 9922

91 9fi 2- 241PZa PZI pzi az , 322•

9 P 99 •D<F,— =

2—= c.%) = _2. D zn

az2 az 2; 3 da, 2222 2

de donde

(14) dfz = 9x;

921c tfc t pifc _ 2— o 4=1,

9s, 9x: Dx;

ya que /az zegundaz paucía/ez míxtaz zon ígua/ez. And

/ogamente ze prueba que Ilf¿ =. 0 pata C=3,4

Pkopozíción 2.3.4. Sí FE . a t ea hegulat pon 1.a íz -

quiet.da (derecha entoneez zu detívada ízquívtda, tIFI

'también ea tegu/at pon /a ízquístda Idetecha).

4

Demoattacián: Como D(ÓF) = 2.4“ = 17 12 la3

la a4ítmacíón ze zígue ínmedíatamente de la ptopozi -

can '2 . 3 . 3 .

De /a ptopozieíón antetíot detívamoz un .importante -

teorema análogo a uno de vatiab/e compleja:

Ptopoziean 2.3.5. Sí fr c C m ea una ¿unción tegu/at

entoneez Fthene detívada de todoz loa 6Adenea.

- 22 -

Pheaentamoa pon á/timo un neau/tado análogo a/ teone-

ma de Liouvíne:

Pxopoaíción 2.3.6. Laa ánícaa luncíonea cuatéxnícaa -

hegu/anea pon /a /2ga/encía Idetechal con notma acota-

da en todo O aon /aa conatantea. -

Demoatkacan: Se aígue de /a phopozicián 2.3.3. y de/

pníncípío de/ máxímo pana anucionea de la ecuación -

de Laplace.

- 23 -


Y NATURALESEL SABER DE ABS HIJOS

HARÁ MI GRAI1DEZA

CAPITULO III

CURVAS CUATERNICAS ELIPTICAS

De una maneta análoga a como ze hace con vakLable comple

ja, de tlinimoz en eáte capítulo lao vatiedadez cuatehni -

caz. Dotaxemoz a lao zapexl.ic-tez (hea/ez de dimenzión 4)

con una ezttuctuta analítica mediante la claze de luncío

'tez Q - analítica4 en el zentido de /a delinición 11.1

y obtendkemoz lao vehzionez cuatéhnicaz de alguno4 he-

zultadoz eztablecidoz pata lao zupehliciez compleja4 -

elíptica-á - Sexta de4de luego po4Lble exp/otah ezte te -

hheno utilizando la claze má4 amplia de 6uncione4 anall-

ticaz en el zentido de Fuete/E, peto en ezte trabajo no -

atacamoz eze phoblema.

En el thanzeutzo de ezte capítulo poh una 6unción Q -

analítica entendekemoz una luncan Q - analítica por la

LzquLexda. Toda4 lao delínicionez y teonemaz tienen zu -

vehzión dual parta 6uncione4 Q - analttLca4 pon la deke-

cha.

Exponemoz inícialmente (zin demoztxación) alguno4 concen

taz y hezu/tadoz e/ementa/ez de topología algebkaLca con

el lin de e4tablece4 un teorema que utilizahemoz bdzíca-

.mente en el dezattono poztetion.

3.1. Teohema de exíztencia de levantamientoz.

Dettníe.ión 3.1 .1 . Una aupekliche ea un eapacio topolagi

co hauadon.1 .6 conexo M dotado de una lamitia de "cax.taa

coondenaa" ((u« ¶t) tal que:

j.) e.6 una cubietta abierta de Pl.

U) Cada ifi« Q.6 un homeomontiemo de Va aolvte un ab-Lento -

Va de Q.

De6inieLones 3.1.2. Sean yv y vicios supe/clic-tes, y un -

mapeo f: . De.C.-al0.6 que. La panela (Vill,f) ea una

aupex iSicie cubtiente de W al f ez un homeomondiamo lo

cal, ea decírt, 4l todo ; en W tiene una vecindad -

tal que fl Vses un homeomonlizmo. Llamanemo4 a f

la 'Sanción proyección de. W * ao bne

Un subconjunto abLexto '/ de. W ea cubLeAto-pazejamente pon

(Vi* y f)al toda componente. de r i (V) eátá en couteopon

dencia ()Laca-Uva (mediante f) con V .

(Vitl nee dice completa al todo punto tiene una vecin-

dad ab-Lenta eabLenta parejamente.

Sea ir un aneo sobneVi , o sea, un mapeo continuo

b) --> W

Decimos que e • aneo-y: [e,b]-->w*

cubre a ó, o que 'V puede levanta/La g a 7*, 6i.

(t)) -r(e)

- 25 -

pana toda f e La, 6]

Teonema 3.1.1. Sí (14$2 -0e4 comp./eta, todo aneo Tpuedelevantarse a un único 1*

dude ata/quien punto inicia/

ro .obre P. , e/ punto inicia/ de eir .

Detinichonez 3.1.3. Sean

a; ir (0)1] --> wdo4 arcos zobneW con puntoz extremos comunez, e4 decir,

tal que ( o) _ «f(o)

tr (1 ) si ira)

Dee1.11104 que 6.1 son homot6pico4, 41. existe un ma-

peo continuo

L

tal que

il F(s )o) t. cr(S) pana toda S e Cal l)U) F(5 1 1) = T(s) pata toda s 4 ro, il 1

1

un Ne, t) n P. pana toda te t e. , il J1

iv) F(1 1 4) = 11 pana toda t e NO

Fácilmente .eve queli P— ez una relación de equivalencia ,

de donde podemoz eonzidenan lao aazez de homotopia ( 6)de afteoz de e a Pa homot6pico6 entre 61.

Si ii t zon anees de 1 a e y de ri is 1 nezpectiva-mente, delínímoz el aneo OT de P. a r2 mediante

- 26 -

El SABER DE MI RU21RARA VI GRANDEZA


Y NATURALES

.110-(2t) 2(0"2")(t)

T(2t -1), i. 1 t 11

El pnoducto de leca elaaea Col y Ct l queda &Len de6inído

de la manexa nata/tal: (r]( z) (r-r1 , ya que

iny o- , -c= t i => cr-c (7'1".

Teortema 3.1.2. Sea

( 194 ) {rol : 0(0)=0-0)=r4Con la multiplicación de lfín-Lola antekíokmente ir1 (mi))

ea un gkupo en el cual el elemento neutto ea [C] donde

C(*)--: F. pana toda t , y el ínvertao de [ o. ] e4 (7-13

donde

17 4 (t) r- 011 —t ) pana .toda

Lema 3.1.1. Palta cualquiek pan de puntea ro,m enW 4e

llene que A; (w, ro) ea laomonlo a rr, (w, n).

Debido al lema antenlort podemoa coneidexak el napa abe

tnacto (IN) al que ae llama el gxupo 6undamental de W.

De6inici6n 3.1.4. Una aupexlície ae llama eimplemente -

conexa al ¿u. grtupo 6undamental e.6 el gx.upo Paula/.

Dadaz din aupexfilelea Wi y 14(2 , un mapeo contputo

f w i INt tal que f (r,) ° f

(lieW1)1.21Wa).Lnduce un homomonfiiemo

t 1r, 1-1 (W235)

- 27 -

de6ínído medíante

f ([01) tf-T]Teotema 3.1.3. Conaidene La eítuacan dada pon el día-

gtama.

(y,* r')

f i /Tc

-> (w,

donde f ea una 6uncan contínua y It La luncan ptoyec-cíón de 5011.sobAeNd. Entonce4 exízte un LevantamLento

f l de f (una 'Sanean contínua f' tal que el diavtama -

conmuta) aL y 4610 a/

kbri (" F:» c. N* TÍ.% W te,

Cokolanío 3.1.1. Sí Wi ea aímplemente conexo e/ levan-

tamíento f' aiempne exLate.

3.2. De6ínícan 3.2.1. Una cueva cuatennhca C4 un eapacLo -

topo/6g./co Hauadon“ conexo ,4 pkovizto de una lamilía

de "cankaa coondenadaa li f(4001 con tia aLguLentea -

pnopíedadea:

pj4 1 ea una cubLexta abíekta de P4

LL) Cada 9:1 ea un homeomon4i4mo de C/L aobne un abietto

Vd de Q.

111

- 28 -

oía

'We in% Ili/R as kineomer f o a Si Mediante •F (rental- - •

<e : a --? t'y t 42, t gi ,l1 ,i. 4.11,

17‘ 117 i>7‘ hl411.4c4la t'isla+ alli I--- ► CIA) +C% ti i-4,51,3 ttada

es un ntrnennrtfisrm esst ny° , de dee de 4

q ; pfs --> 1 ,1. t la> L f %I> .i. 1.4E

Isa fi27 /ft 1/47L

es %ni IoNeentt + 'sin.

LLL) si Um fl Up entoncea la lunción

9 :a C1 b : (Cc (ud num) ( Ud A up)

delinida mediante =y o w ea Q - analítica.

ap p •Aloe intexezanemoa pon un tipo pant./calan de cunvat. cua-

ténnicaz:

Delinición 3.2.2. Una clava watt:mica elíptica ea una'

cunva cuatétnica topolágicamente equivalente a

Si % %s in. donde S r z uzo I t(tono /Lea/ 4 - dimenzional)

Ejemplo: Sea A- 2 11,12 ,13 ,14 ] la ned 71— módulo)

genexada port loa cuatennioz línea/mente in

dependientes aobne loa neale.6. Conaidenemoa en ek la -

topología cociente nelativa a /a 'Sanción pnoyección -

(Homomoklamo natunal):

z a/ 3 s =rt

El espacio topológico nesaultante ea homeomogo al laxo

atril 4 - dimenzionat:

- 29 -

Pata todo lea ex-tate una vecindad V de tal que al

., ) 1.2 e y y 1.1 # 1.2 entonee4 # ( 1-2 1. Efiectívamen

te, tomando

e 4

2 r = In+ i 12.'15151 1%14.01#°

entoneez la bola 8(I' l e 4at4.44ace la condición pedí-

da ya que .61. 11,12 6 VI) e ) # t2 y Els] =027,entonee4

/z = 4 5 ni 1,

con 2 ins , #0 y pot lo tanto

1% — ti = I 2 nst I e cc/.

que contnadice nueatta elecean de P.

En han a lo antetiot, podemoz toma& como eattaz conde

nadad a la fiamilia

{ (o; ((4 ): je ay

(donde \1 di Chi n (42* //I) t3 ny)) y te =. ;

entoncee elatamente la 4unean de txanaLean eztatá da-

da pot

(tu (4) = <42 . ; ni ) •

y tata lunean e4 4 - analítica.

En el ttan4eut4o de la demo4ttación antetiot quedó tam-

- 30 -


Y NATURALESSABER DE MIS HIJOS

FIARA GRANIDEZA

bien ptobado que Tr e4 homemomonlamo local y pon Lo -tanto que Q e4 una 4upetlicie cubtiente de 41.21.

A /a cuitva cuatétnica obtenida le //amatemo4 Tono Cua-

tétnico.

Aunque e4 obvio Lo que debe entendern pon una lune...Can

Q - analítica entne doe cutvaá cuatéknica4, /o eecAibi

mo4 en la 4íguiente:

De lfín-Cu:6n 3.2.3. Una ¡Sanción f: P1-104 1 e4 Q - ana/í-

tiea áí pata cua/e4quiena pan de luncione4 coohdenada4—e

ql y y pana /ab que y/0 4:o «( e4té delinida, eá.

Q - anatttica.

f (u'o ) n uct

UCEO up n f (4,)

C/a4i6icaxemo4 ahona /04 toicois cuatértnicoa e4encialmen

te diíetente4 en e/ 4entido foxecidso de /a delínic¿én -

ziguiente.

De lfín-tu:5n 3.2.4. DO4 cutvad4 cuatétnica4 11414e di-

- 31 -

cen Q equivatentee 4L exi4te una patean

f : ---> ms

Q - analítíca y bLyeatíva.

Deflínican 3.2.5. Do4 xede4 cuallAnicas A .4.1 4on -equivaiente4 4i exL&te 10 60 tal que fts=A-44

En /a4 das detinicane4 ante/Linee 4e han e4tablecido

Aelacíone4 de equivalencia en la &mita de cukva4 -

cuatUnicas y en la gamílía de nede4 Ae4pectivamente.

Fi 4íguíente teorema e4tabLece una cotteepondencia -

biunívoca entae. /04 das conjuntas de cia4e4 de equLva

leneLa índucidas:

Teorema 3.2.1. Los tonos cuaténnico4 11, y A4/. 4on

equivalente4 44: y 4610 44:. /a4 hede445. y it' lo tion.

Demo4tItacan:

L) Supongamo4 que it' s JI • I.lentonce4 la taan45oxmación

tinta/ = 11; e4 tal que L(A)=A: y podemo4

delinix entonce4 te bLuntvoca medíantefan) 414111 ( f Resulta ademde un homomoxiltsmo

de vagan). Claramente 41, %han (10# entoncest-

la fiuncan 2" e4 O - atta/atea donde e4-té detenida:

• f • le, —' )(1-) = 4- `11.1

pata algún 51

"Á) Supongamo4 ahora que exi..ste f % —3> Se, bLyectL-

- 32 -

va y Q - analítica tal que (4ín pértdída de genenali

dad) -Ro) = o ,

Sabemos que ext6te F*: Q--)Q continua tal que ..

F* (0) = O y e/ 4iguiente díaghama conmuta:

F*Q —> a

le I

ya que, haciendo F= &a, 1o4 elemento.6 del dlagnama

4a-ti46acen taz hi.p6te4L4 del conolanio 3.1.1.

Altana venemo4 que. F e ess localmente Q - analítica, €.6 -

decía, que todo P « Q tiene una. vecindad V. tal que

riv )(4) Ir. t fi

Electivamente, tomemoe una vecindad U de F it(p) 41 que—

e.6 un homeomon.U4mo y hagamo4 V = (F*) 1 19,1

entonce4F i/ rh = Iii• f • 11 •

•paica alguno4 r i a. .•

- 33 -

EL SABER DE MIS BUORMAÑA MI GRANDEZA


Y NATURALES

P./tabernas 4inalmente que loe cuatennios r; y e no dependen del punto p r o sea que Pez Q - analítica en Q.

Esto se sigue inmediatamente de /az siguientes (girola -

cianea:

í) Si doa tnansloxmaciones allites coinciden en un abien

to entoncea coinciden en todo Q.

ií) Dados doa puntos p y p, existe una cadena de vecíndades )19» de r a r' tale4 que

gr iv•b ¿si ..•

ea agn.

Finalmente, como r oho F debe ¿en necesaxiamentede la doxma

f il ( 4\ = gf%

pana Ligan 1.0 6 &pon lo tanto ze debe tener que

A' = A -1,

3. El plan inicia/ de tete trabajo contemplaba la demo4txa

can de un teorema de cla4ígícacan de las canvas uta -

ténnícas elípticas peno surgieron dílicuttades que no -

se pm/Le/ton zupexax hasta el momento y se optó pon dílSe

xíx zu presentación a un trabajo pasten-Un. Enunciamos

dicha pm/posición a nivel de conjetura:

Conjetura 3.3.1. Sea Muna,ctuva cuatUníca elíptica. -

Existe entonces una red A s [1 1 ,53251 1.4 ] 4¿1¿,",..,4

- 34 -

Línea/mente índependíente4 4obte gatat que e4 equíva-

lente a o>. . E4 decía toda cueva euatétníea elíptica -

2.e un tono euatekníeo.

Pata línalLzat el capítulo danemo4 uan ptímeta apxotíma

ojón al pkobtema de detexmínax un domínío íundamentat -

pana tutee euatéxníea4, es decía, a un teotema de moda-

ti. Esta apt.oxímaean con4ízte en dan una t'el:m.4./6n eua

té/Lit-Lea de la condición de que el volumen encantado de

la base de la hed

A = [4.39r2lisi4.]sea pozítívo, o sea

ch• ,13,13,14) >o-

Ptopozícan 3.3.1. -

da (t' 1 12 7443 314) (4411.2.133.4 411%14%

%% , l4% t 4̀31-4 git

4- %II VIS2 % lira% ).

Demo4tkaean. Poniendo

4,43/41. tad+ a4 k ti=ditd2 <+dgj+dt k,

y de4axxollando en menone4 de oftden dos Crecían de La-

place): az a, a4

b. b3 13 ItJet (1„t)13 ,; ):1 0 , c2 C3 =

el, da J3 j4

- 35 -

Pon °VEA paxte

/3 % —=

b3

1 C3 Cj —

aiza

ca c4i 4

b2

C2

11:3

C3

, k2

j3 J4 J2 J4 a3d3

11-1

2

2 +421 % ¡a% as k b2IL

a, al

I b, 63 /

I el C2 I c

1 «I I 012 d, 2

- 36 -

de donde Jet (i,S ,%,%,') =

Re [

1,1z-i-A, 13 '431 - 13 132 t i2/ti2 2

Todo eambío de baze de la hedit uta- dado pox una ma -

txíz del gxupo 6,-(4110 . E/ aigno de la expxezión

41% `l-s 12X-1511 . %; t•.1%2 2 2 a

ea entonces invaxiante ante eambLoa de han dados pox

matxLeea del gxupo SL (4,7L), en paxtículax pana loa -

cambío4 de hm dados pon

(0 I 0 0 (i I O 0P= O O 1 O

S =o 1

0" I o O

Yo o o O 10

..1 o o O pool

que son loa genetadote4 de SL (4,2t).

- 37 -


Y NATURALESEl SABER DE MIS HIJOS

HARÁ Ml GILARIAZA

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