Cálculo Diferencial e IntegralDerivada

• Retas tangentes e função derivada• Derivada de funções e regras de derivação• Derivada de ordem superior• Estudo da variação de funções• Aplicações de máximos e mínimos

Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRNCentro de Ciências e Exatas da Terra – CCET

Departamento de Estatística – DESTPrograma de Educação Tutorial - PET

Retas tangentes e função derivada

• Reta tangente ao gráfico de uma função em um ponto do mesmo, é aquela que contém o ponto e que “melhor aproxima” o gráfico de nas vizinhanças deste ponto. Assim, a reta tangente pode ser determinada por seu coeficiente angular e pelo ponto de tangência.

x

y

• Seja a função que está representada no gráfico, e sejam e dois valores de seu domínio.

• A razão incremental é dada por: =• Denomina-se função derivada o limite de quando tende a zero. E indica-

se por:

x

y

x0 x0+e

f(x0)

f(x0+e)

• A função derivada nada mais é do que o coeficiente angular da reta tangente com o gráfico de no ponto .

OBS: Como a derivada é um limite, então se o limite existir no ponto especificado, a função é contínua naquele ponto e consequentemente é derivável também, caso contrário a função não é derivável no ponto.

Exemplo 1:

Dada a função , definida em , calcular a função derivada .

Solução

Exemplo 2:

Qual é a equação da reta tangente à curva no seu ponto de abscissa 4?

Solução

Então é o ponto de tangência

Portanto, o coeficiente angular da reta tangente é 5 e sua equação é:

Exercícios

Determine, em cada caso, a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto .

Derivada de funções e regras de derivação

• Derivada de função constante: • Derivada da função identidade:• Derivada da função potência:Exemplos:

• Derivada da função seno:• Derivada da função cosseno: • Derivada da função exponencial: • Derivada da função logarítmica neperiana:

Regras de derivação

• Derivada da soma:

Exemplos

Regras de derivação

• Derivada do produto:

Exemplos

Regras de derivação

• Derivada do quociente:

Exemplos

Regras de derivação

• Regra da cadeia:

Exemplos

• Fazendo , então

• Fazendo , então

• Fazendo , então

• Fazendo , então

Exercícios

1. Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções

2. Calcule a derivada da função no ponto .

3. Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto de abscissa -2.

Derivada de ordem superior

• Suponha que é uma função derivável no intervalo I. Se a função ’(x), chamada de derivada primeira de , é derivável no mesmo intervalo, então existe a função derivada de , indica como que é chamada de derivada segunda de . Diz-se então que é duas vezes derivável.

• Seguindo esse procedimento sucessivamente e, supondo que é n vezes derivável, obtém-se a função derivada enésima, ou derivada de ordem n, de indicada como . As funções , são as derivadas sucessivas de .

Estudo da variações de funçõesExtremos de uma função: Máximos e mínimos

• Diz-se que a função admite um máximo em um ponto , se o valor da função em , , é maior que aqueles valores da função em todos os pontos de uma vizinhança de .

• Diz-se que a função admite um mínimo em um ponto , se o valor da função em , , é menor que aqueles valores da função em todos os pontos de uma vizinhança de .

OBS: Não confundir máximo/ mínimo com o maior/menor valor da função num intervalo.

• Se a função , derivável no intervalo , tem um máximo ou um mínimo no ponto , então a derivada de é nula em , ou seja, . Se para e para então existe um máximo em e se para e para então existe um mínimo em . Outro modo de verificar se um ponto é de máximo ou de mínimo é fazendo o cálculo de derivadas sucessivas, se então existe um mínimo em e se então existe um ponto de máximo em .

X1+DX X1+DX x1X1+DX X1+DX

X1+DX

X1+DX

x1

f´(x1)=0

f´(x1)=0

x1X1+DX

X1+DX

MÁXIMO MÍNIMO

X1

X2

X3

X4

MÁXIMOS E MÍNIMOS

Crescimento e decrescimento de uma função

• Uma função é crescente num ponto se .• Uma função é decrescente num ponto se .

Concavidade

Seja uma função contínua no intervalo e derivável no ponto . Dizemos que o gráfico de tem concavidade positiva em se, e somente se, existirem uma vizinhança de tal que, para ,os pontos do gráfico de estão acima da reta tangente à curva no ponto .

Analogamente, se existe uma vizinhança de tal que, para , os pontos do gráfico de estão abaixo da reta tangente à curva no ponto , dizemos que o gráfico de tem concavidade negativa.

concavidade positiva concavidade negativa

• Se é uma função derivável até segunda ordem no intervalo , é interno a e , então:

a) Quando , o gráfico de tem concavidade positiva em ;b) Quando , o gráfico de tem concavidade negativa em .

x

y

x

y

Ponto de Inflexão

• Seja uma função contínua no intervalo e derivável no ponto . Dizemos que é um ponto de inflexão do gráfico de se, e somente se, existe uma vizinhança de tal que nos pontos do gráfico de para e a concavidade tem sempre o mesmo sinal, que é contrário ao sinal da concavidade nos pontos do gráfico para .

x

y

• Seja uma função com derivadas, até terceira ordem em . Seja . Se e , então é abscissa de um ponto de inflexão.

Variação das funções

• Para caracterizar como varia uma função , procuramos determinar:a) O domínio;b) A paridadec) Os pontos de descontinuidaded) As interseções do gráfico com os eixos e ;e) O comportamento no infinito;f) O crescimento ou decréscimo;g) Os extremantes;h) Os pontos de inflexão e a concavidade;i) O gráfico

Exemplo

1. Estudar a variação da função .

a) Seu domínio é

b) A função não é par nem ímpar, pois: não é idêntica a nem a .

c) A função polinomial é contínua em .

d) Fazendo , temos , isto é, ou ou

As interseções com os eixos são os pontos

ou crescente

decresente

g) ou

Então tem um mínimo em e um máximo em .

h) concavidade negativa concavidade positiva

Como o sinal da concavidade muda em , o gráfico tem um ponto de inflexão em .

i) Gráfico de .

x

y

1

Exercícios

Nos exercícios a seguir, determine o domínio, a paridade, os pontos de descontinuidade, as interseções do gráfico com os eixos, o comportamento no infinito, o crescimento ou decrescimento, os extremantes, a concavidade, os pontos de inflexão e o gráfico de .

Aplicações de máximos e mínimosExemplo

1. Um fabricante precisa produzir caixas de papelão, com tampa, tendo na base um retângulo com comprimento igual ao triplo da largura. Calcule as dimensões que permitem a máxima economia de papelão para produzir caixas de volume V.

Solução

O que estamos interessados em fazer é minimizar a quantidade de papel utilizado que é dado pela lei , onde , e é a largura, comprimento e a altura, respectivamente, da caixa. Para isso, precisamos encontrar de modo que seja mínimo. Para facilitar os cálculos escreveremos e em função de para trabalharmos apenas com uma variável independente.

Sabemos que o volume é dado por e o comprimento é dado por conforme o problema nos informa, então:

Dessa forma conseguimos escrever e em função de , agora podemos escrever P em função apenas de , lembrando que é uma constante dada.

Para encontrarmos o valor de que minimiza devemos derivar em relação a e igualar a zero e depois verificar se a segunda derivada é maior que zero no ponto encontrado que satisfaz a equação .

Como verificamos que é sempre maior que zero, então o valor de encontrado é aquele que de fato minimiza , sendo assim o valor de e que minimiza P é dado por:

Exercícios

1. Calcule o raio da base e a altura do cone de máximo volume que se pode inscrever numa esfera de raio .

2. Determine as dimensões do cone da área total mínima que pode circunscrever uma esfera de raio R.

3. Ache o ponto situado sobre a hipérbole de equação e que está mais próximo da origem.