Cálculo Diferencial e IntegralLimite

• Limites de funções (introdução intuitiva)• Limites laterais• Funções contínuas (introdução intuitiva)• Limites infinito e limites no infinito• Propriedades de limites e técnicas para calcular limites• Limites de funções trigonométricas

Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRNCentro de Ciências e Exatas da Terra – CCET

Departamento de Estatística – DESTPrograma de Educação Tutorial - PET

Limites de funções (introdução intuitiva)

• O estudo de limite visa estabelecer o comportamento de uma função quando o seu argumento se aproxima de um determinado valor.

Exemplo 1:

• Observando o gráfico notamos que para valores de x próximos de 2, maiores ou menores que 2, o valor da função se aproxima de 4, no entanto

2

4

x

y

• Também podemos observar essa aproximação atribuindo valores para x próximos de 2.

• Atribuindo a x valores próximos de 2, porém menores que 2, temos:

• Se atribuirmos a x valores próximos de 2, porém maiores que 2, temos:

• Observa-se em ambas as tabelas que, quando x se aproxima cada vez mais de 2, f(x) aproxima-se cada vez mais de 4, isto é, quanto mais próximo de 2 estiver x, tanto mais próximo de 4 estará f(x).

x 1,9 1,99 1,999

f(x) 3,61 3,96 3,996

x 2,1 2,11 2,111f(x) 4,41 4,04 4,004

Exemplo 2:Seja a função:

Calcule .

• Como no cálculo do limite de uma função, quando x tende a , interessa o comportamento da função quando x se aproxima de e não o que ocorre com a função quando x=, temos que .

2

4

x

y

2

Limites laterais• Quando nos tratamos de limites laterais, estamos interessados em saber o

comportamento da função quando o seu argumento se aproxima de um determinado valor numa dada direção.

• Se x se aproxima de através de valores maiores que ou pela sua direita, escrevemos:

• Se x se aproxima de através de valores menores que ou pela sua esquerda, escrevemos:

Exemplo 3:

Seja a função:

A partir desta função obtemoso gráfico a direita:

1

-1

x

y

• Observando o gráfico podemos perceber que quando x se aproxima de 0 para valores maiores que 0, a função assume o valor 1, mas quando x se aproxima de 0 para valores menores que 0 a função assume o valor -1, então dizemos que e .

Teorema

• Seja um intervalo aberto contendo e seja uma função definida para . Temos se, e somente se, existirem e e forem ambos iguais a .

• No exemplo 3 vimos que , então não existe e nos exemplos 1 e 2 vimos que existe, logo .

Funções contínuas (introdução intuitiva)

• Dizemos que uma função é contínua se o gráfico puder ser desenhado em todos os pontos pertencentes ao domínio sem levantar o lápis.

Exemplo 4:

x

yPercebe-se que ao desenhar o gráfico ao lado teríamos que levantar o lápis quando x=0 para prosseguir o desenho, com isso a função ao lado não é contínua no seu domínio.

Exemplo 5:

• OBS: Em contextos avançados, este critério que estamos utilizando para identificar se uma função é ou não contínua é errado, mas para o momento tal análise é suficiente.

x

y

Veja que na função ao lado, em nenhum momento levantaríamos o lápis para desenha-la em todo o seu domínio, com isso não é difícil notar que a função é contínua.

Definição de função contínua utilizando limites:

• Uma função é contínua num ponto se são satisfeitas as três condições seguintes:

i. é definida num intervalo aberto contendo .ii. existe

• Se não é contínua em , dizemos que é descontínua em , ou que tem uma descontinuidade em .

• Nos exercícios 1 a 3, é dada uma função . Calcule os limites indicados se existirem; se os limites não existirem, especifique a razão.

a) b) c)

2. b) b) c)

c) b) c)

Limites infinito e limites no infinito• Considere a função , vamos observar o que acontece com o valor da

função quando e quando .

• A tabela acima sugere que o valor da função fica cada vez mais próximo de 0 quando , quando isto ocorre escrevemos . A tabela sugere também que o valor da função fica cada vez mais próximo de quando , quando isto ocorre escrevemos .

x 1 10 100 1000

f(x) 1 0,1 0,01 0,001

x 1 0,1 0,01 0,001

f(x) 1 10 100 1000

• O gráfico abaixo sugere que o valor da função fica cada vez mais próximo de 0 quando , isto é, e sugere também que o valor da função fica cada vez mais próximo de quando , isto é, .

y

x

• Considere a mesma função , vamos observar o que acontece com o valor da função quando e quando .

• A tabela acima sugere que o valor da função fica cada vez mais próximo de 0 quando , quando isto ocorre escrevemos . A tabela sugere também que o valor da função fica cada vez mais próximo de quando , quando isto ocorre escrevemos .

x -1 -10 -100 -1000

f(x) -1 -0,1 -0,01 -0,001

x -1 -0,1 -0,01 -0,001

f(x) -1 -10 -100 -1000

• O gráfico abaixo sugere que o valor da função fica cada vez mais próximo de 0 quando , isto é, e sugere também que o valor da função fica cada vez mais próximo de quando , isto é, .

yx

Limites do tipo e no infinito

• Seja , então:

• Seja , então:

1𝑥𝑛 𝑠𝑒𝑛 é í𝑚𝑝𝑎𝑟

𝑥𝑛 𝑠𝑒𝑛é 𝑝𝑎𝑟𝑥𝑛 𝑠𝑒𝑛é í𝑚𝑝𝑎𝑟

1𝑥𝑛 𝑠𝑒𝑛 é𝑝𝑎𝑟

Propriedades de limites e técnicas para calcular limites

• Sejam e duas funções de x, e que existam e tais que= e = (quando )Valem as propriedades:

Técnicas para calcular limites

• Se é uma função definida por uma única equação que está definida no ponto , então .

Exemplos:

• Se é uma função racional, indefinida no ponto tal que implicaria em uma indeterminação do tipo , sendo uma constante, então os limites laterais tendem para ou .

Exemplos:

• Se é uma função racional, indefinida no ponto tal que implicaria em uma indeterminação do tipo , para calcular devemos mexer algebricamente na função de modo que elimine a indeterminação para depois substituir por .

Exemplos:

• Seja a função polinomial . Então:

• De forma análoga para , temos:

Exemplos:

Algumas fórmulas que auxiliam as simplificações nos cálculos dos limites.Produtos notáveis:

Fatorações:

1. )

Conjugado de radicais:2.

Exercícios

Calcule os limites abaixo:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k) l)

m) n) o)

p) q) r)

s) t) u)

w) x) y)

z)

Limites de funções trigonométricasLimite fundamental trigonométrico• O limite fundamental trigonométrico trata de um limite cuja

indeterminação é do tipo envolvendo a função trigonométrica . Este limite é muito importante, pois com ele resolveremos outros problemas.

Exemplos

Exercícios

a) b) c)

d) e) f)