cÁlculo diferencial e integral

UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN

FACULTAD DE CIENCIAS INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN

TEXTO UNIVERSITARIO

AUTORES

Mo. Benigno Walter Moreno Mantilla

Mo. Cristián Iván Escurra Estrada

Lic. Stalein Jackson Tamara Tamariz

HUACHO – PERÚ

2013

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Autores

Mo. Benigno Walter Moreno Mantilla Docente Principal

Adscrito al Departamento Académico de Matemática y

Estadística de la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional José Faustino Sánchez Carrión

Email: [email protected]

Mo. Cristián Iván Escurra Estrada Docente Auxiliar

Adscrito al Departamento Académico de Matemática y

Estadística de la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional José Faustino Sánchez Carrión

Email: [email protected]

Lic. Miguel Aguilar Luna Victoria

Docente Asociado

Adscrito al Departamento Académico de Matemática y Estadística de la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional

José Faustino Sánchez Carrión Email: [email protected]

HUACHO – PERÚ

2013

mailto:[email protected]



ÍNDICE DE CONTENIDOS

Pág.

Presentación 09

Resumen 10

UNIDAD I. Sistema de los números reales

Sistema de los números reales 12

Representación gráfica 13

Ecuaciones e inecuaciones 14

Ecuación lineal 15

Ecuación cuadrática 16

Ecuaciones con factores 19

Ecuaciones con radicales 21

Ejercicios de aplicación Nº 01 22

Desigualdades e inecuaciones 23

Intervalo 24

Inecuación lineal 28

Inecuación de grado superior 29

Método de los puntos críticos 33

Valor absoluto de un número real 35


UNIDADII: Relaciones y funciones

Nociones preliminares 43


Relación Binaria 50

Propiedades de las relaciones 52

Dominio e imagen de una relación 59

Gráfica de relaciones 62

Discusión de la gráfica de una ecuación 65


Función 76

Dominio e imagen de una función 76

Modelos básicos para gráfica de funciones 79


Gráfica de funciones con diferentes reglas de comportamiento 83


Funciones especiales 85


Algebra de funciones 95

Composición de funciones 97


Gráfica de regiones definidas por inecuaciones 104


Aplicación al contexto empresarial, la gráfica de regiones 108


UNIDADIII: Límites y continuidad

Idea de límite 111

Definición de límite 112

Recomendaciones para la demostración de límites 113


Límites laterales 117


Límites al infinito 119

Límites infinitos 120


Propiedades de límites 122

Operaciones con el infinito y expresiones indeterminadas 123

Límites de expresiones indeterminadas 124

Límites notables 125



Continuidad de una función en un punto 132

Clases de discontinuidad 133


Continuidad de una función en un intervalo 137

Continuidad a derecha e izquierda de funciones 137


UNIDADIV: La derivada de una función de valor real

Introducción 141

Interpretación geométrica 142

Definición de la derivada de una función de valor real 146

Derivadas laterales 152

Propiedades de las derivadas 156


Tabla de las derivadas más usuales 159

Derivada de una función compuesta 161

Regla de la cadena compuesta 163


Derivada de una función implícita 166

Derivada de orden superior 170


UNIDADV: Aplicaciones de la derivada

Regla de L’Hospital 173


Recta tangente y normal 176

La diferencial 178


Velocidad y aceleración 184


Máximos y mínimos 190

Teorema del punto crítico 191

Monotonía y concavidad 196

Puntos de inflexión 197


UNIDADVI: La integral indefinida

Definición de antiderivada 203

Propiedades 205

Tabla de integrales indefinidas más usuales 207

Técnicas de integración 209

Integración por sustitución 209


Integración por partes 211


Integración de potencias de senos y cosenos 214


Integración por sustituciones trigonométricas 219


Integración de funciones racionales por descomposición en fracciones parciales 227


UNIDADVII: La integral definida

Sumatorias 241

Sumatorias especiales 242

Introducción a áreas 244


Suma de Riemann 251


Definición de la integral definida 255

Teorema de integrabilidad 256

Teorema Fundamental del Cálculo 257

Propiedades de la integral definida 260

Teorema del valor intermedio 263

Teorema del valor intermedio para integrales 263


UNIDADVIII: Aplicaciones de la integral definida

Interpretación geométrica de la integral definida 269

Cálculo de áreas bajo una curva 270

Cálculo de áreas entre dos curvas 274

Ejemplos de aplicación Nº 33 280

Sólido de revolución 281

Volumen de un sólido de revolución 285

Método del disco 286

Definición de un sólido de revolución empleando el método del disco 288


Método del anillo 293

Definición del volumen de un sólido de revolución empleando el método del anillo 295


Aplicaciones del cálculo integral a la longitud de arco 300

Definición de una curva plana suave 302

Proceso de deducción de la definición de la longitud de arco 302


Aplicaciones del cálculo integral a los momentos, Centro de gravedad y de masa 307

Momentos 307

Centro de gravedad 311

Centro de masa 311

Coordenadas del centro de gravedad de un sistema de partículas 312

Cálculo de las coordenadas del centro de masa de un cuerpo por integración 313


Bibliografía 323

PRESENTACIÓN

Docentes y estudiantes nos encontramos en una realidad de permanente cambio como

resultado de la globalización y de los crecientes avances de las ciencias, las tecnologías y las

comunicaciones.

Estar preparados para el cambio y ser protagonistas del mismo exige que todas las

personas, desde pequeñas desarrollen capacidades, conocimientos y actitudes para actuar de

manera competente en el mundo y en cada realidad particular.

En este contexto, el desarrollo del pensamiento matemático y el razonamiento lógico

adquieren significativa importancia en la educación, permitiendo al estudiante estar en

capacidades de responder a los desafíos que se le presentan, planteando y resolviendo con

actitud analítica los problemas de su realidad.

La matemática forma parte del pensamiento humano y se va estructurando desde los

primeros años de vida en forma gradual y sistemática a través de las interacciones cotidianas.

Estas interacciones les permite plantear hipótesis, encontrar regularidades, hacer

transferencias, establecer generalizaciones, representar y evocar aspectos diferentes de la

realidad vivida, interiorizarlas en operaciones mentales y manifestarlas utilizando símbolos.

De esta manera el estudiante va desarrollando su pensamiento matemático y

razonamiento lógico, pasando progresivamente de las operaciones concretas a mayores

niveles de abstracción.

Ser competente matemáticamente supone tener habilidad para usar los conocimientos

con flexibilidad y aplicarlos con propiedad en diferentes contextos.

Desde su enfoque cognitivo, la matemática permite al estudiante construir un

razonamiento ordenado y sistémico.

Desde su enfoque social y cultural, le dota de capacidades y recursos para abordar

problemas, explicar los procesos seguidos y comunicar los resultados obtenidos.

La significativa responsabilidad del docente universitario, es la difusión de

conocimientos y experiencias para el progreso del saber, es misión ineludible de la universidad

apoyar a los docentes para alcanzar tal objetivo.

Los Autores

RESUMEN

El presente trabajo de investigación titulado “Cálculo Diferencial e Integral”, tiene como

objetivo contribuir con una de las tareas más urgentes del momento, la de dotar a los

estudiantes, especialmente de las Carreras Profesionales de Ciencias e Ingeniería, de un

material bibliográfico útil y práctico, capaz de ser usado en el transcurso de su formación

profesional.

Para el desarrollo de este trabajo, se han considerado ocho unidades, teniendo el

especial cuidado de que en cada unidad se explica la parte teórica, se establecen las fórmulas

o modelos matemáticos a usarse, se resuelven problemas de aplicación y se plantean

ejercicios de aplicación para que el estudiante refuerce sus conocimientos.

En la primera unidad, se desarrollaron temas referentes al conjunto de los números

reales, su definición axiomática, su representación gráfica, la teoría de ecuaciones sus

métodos de solución, la teoría de e inecuaciones sus procesos de solución y el valor absoluto

de un número real, con sus respectivas propiedades

En la segunda unidad, se desarrollaron temas referentes a las relaciones y funciones,

su definición sus clases su diseño gráfico, funciones especiales. Algebra de funciones y

composición de funciones, discusión de la gráfica de una ecuación, gráfica de regiones

definidas por inecuaciones, problemas de aplicación al contexto real y empresarial de la gráfica

de sistemas de inecuaciones.

En la tercera unidad, se desarrollaron temas referentes a la teoría de límites y

continuidad, su definición, sus propiedades, los límites laterales, los límites infinitos, los límites

al infinito, sus formas indeterminadas, las operaciones con el infinito, los límites notables,

límites trigonométricos, continuidad de una función en un punto y continuidad de una función en

un intervalo,

En la cuarta unidad, se desarrollaron temas referentes a la derivada de una función de

valor real, su interpretación geométrica, su definición, sus propiedades, la derivada de una

función compuesta, la derivada implícita y la derivada de orden superior,

En la quinta unidad, se desarrollaron temas referentes a las aplicaciones de la

derivada: tales como: regla de L’Hospital, rectas tangentes y normales, los diferenciales y los

máximos y mínimos de una función.

En la sexta unidad, se desarrollaron temas referentes a la integral indefinida, su

definición, sus propiedades, las técnicas o métodos de integración tales como: integración por

sustitución, integración por partes, integración de potencias de seños y cosenos, integración

por sustituciones trigonométricas e integración de funciones racionales por descomposición en

fracciones parciales.

En la séptima unidad, se desarrollaron temas referentes a la integral definida, definición

de sumatorias, sumatorias especiales, introducción a áreas, área de una región, suma

Riemanniana, Teorema de integrabilidad y Teorema Fundamental del Cálculo y propiedades de

la integral definida.

En la octava unidad, se desarrollaron temas referentes a las aplicaciones de la integral

definida: Cálculo de áreas de regiones planas, exponiéndose los casos típicos y

estableciéndose los modelos matemáticos generalizados, se desarrollaron temas referentes a

los sólidos de revolución y al cálculo de sus respectivos volúmenes, exponiéndose los casos

típicos (método del disco y método del anillo) y estableciéndose los modelos matemáticos

generalizados, también se desarrollaron temas referentes a la longitud de arco, a los

momentos, a los centros de masas y a los centros de gravedad; estableciéndose los modelos

matemáticos generalizados para realizar los cálculos correspondientes.

Por último debemos acotar que la principal característica de este Texto es que no se ha

escatimado esfuerzo alguno para conseguir una forma de exposición detallada y clara de los

temas, manteniendo al mismo tiempo un nivel de precisión y exactitud, así como también los

procesos intermedios de la gama de ejemplos ilustrativos resueltos son tan claros que

cualquier estudiante podrá entenderlo a plenitud, resolver los ejercicios planteados y aplicarlos

a otros campos de la ciencia.

Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria

12

UNIDAD I

SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES

Definición

El sistema de los números reales es un conjunto denotado por , provisto de las operaciones de

adición, multiplicación y una relación de orden denotado por (que se lee “menor que”) y

que satisface los siguientes axiomas:

A.- Axiomas con respecto a la adición

A1.- (Ley de clausura o cerradura para la adición)

A2.- (Ley conmutativa)

A3.- ( ) ( ) (Ley asociativa)

A4.- (Existencia y unicidad del elemento neutro

aditivo).

A5.- ( ) , ( )- (Existencia y unicidad del elemento inverso

aditivo)

B.- Axiomas con respecto a la multiplicación

B1.- (Ley de clausura o cerradura para la multiplicación)

B2.- (Ley conmutativa)

B3.- ( ) ( ) (Ley asociativa)

B4.- (Existencia y unicidad del elemento neutro

multiplicativo)

B5.- ( ) ( ) (Existencia y unicidad del elemento inverso

multiplicativo)

B6.- se cumple que:

i) ( ) (Ley distributiva del producto con respecto a la adición)

ii) (( ) (Ley distributiva de la adición con respecto al producto)

C.- Axiomas con respecto a la relación de orden

C1.- Ley de la Tricotomía

se verifica una y solo una de las siguientes tres condiciones:


13

i) ii) iii)

C2.- Ley de la dicotomía de la adición con respecto a la relación menor

C3.- Ley de la dicotomía de la multiplicación con respecto a la relación menor

C4.- Ley transitiva

Representación gráfica del conjunto de los números reales

El conjunto de los números reales, está representado gráficamente por una línea recta infinita.

-

Existe una relación buinívoca, entre el conjunto de los números reales y los puntos de una recta;

es decir: a cada número real le corresponde un único punto en la recta real y a cada punto de la

recta le corresponde un único número real.

Además si consideramos al punto llamado origen, denotado por cero y tomando cualquier

escala, los números correspondientes a los reales negativos están a la izquierda del origen

denotado por los números correspondientes a los reales positivos están a la derecha del

origen, denotado por

gráfica:

-5/2

-3 3 0

-


14

Ecuaciones e inecuaciones

Igualdad

Una igualdad es una indicación de que dos expresiones algebraicas tengan el mismo valor:

Ejemplos:

a) 6 + 4 = 7 + 3

b) 4x –2 = 6 + 2x

c) 2x2 – 4 = 2x

d) 3x2 – 4xa – 6 = 0

e) 6x + 2b = 4+ 3x – a

Clases de igualdades

Las igualdades son de dos clases:

a) Igualdades Numéricas.- Son igualdades en las que intervienen solamente números.

b) Igualdades literales.- Son igualdades en la que intervienen letras y números.

Ecuación

Una ecuación es una igualdad literal que contiene varias y/o constantes.

Solución o raices

Las soluciones o raices son los valores numéricos que satisfacen una ecuación.

Variable o Incógnita

Una variable es una cantidad a la que se le puede asignar durante el curso de un proceso de

análisis un número ilimitado de valores y que generalmente se representan por los últimas letras

de nuestro alfabeto.

Constante

Es una cantidad que durante el curso de un proceso tiene un valor fijo y se divide en:


15

a) Constante numérica o absoluta.- Es la que conserva el mismo valor en todo el proceso.

b) Constante arbitraria o parametro.- Es aquella en que se puede asignar valores

numéricos y que durante todo el proceso conserva ese valor asignado y generalmente se

represntan por las primeras letras de nuestro alfabeto.

Ecuación lineal

Una ecuación lineal es una ecuación en donde el exponente de su incógnita es igual a la unidad

Forma general

La forma general de cualquier ecuación lineal es:

Solución o raíz

La solución o raíz se encuentra despejando la incógnita o variable:

Ejemplos: Resolver las siguientes inecuaciones:

a) 152

)8(3

xx d) 1

b

bx

a

ax

b)

1

14

310

7

5 xx e) 114 XX

c) xx

x

x

x

1

4

1

3

1

1

solución a)

Eliminamos denominadores dando mínimo común múltiplo:

15(x-8) = 2x + 10 15x + 120 = 2x + 10

15x – 2x = 120 + 10 13x = 130 x = 10

solución b)

Procedemos en forma similar al caso anterior.

10x = 10 (3x + 14) 10x = 30x + 140 10x – 30x =140

-20x = 140 -x = 7 x= -7


16

solución c)

Procediendo en forma similar al caso anterior:

(x + 1)(x + 1) – (x + 3)(x – 1) = 4(x – 1)

x2 + 2x + 1 - x

2 + x – 3x + 3 = 4x – 4

4 = 4x – 4 4x = 8 x = 2

solución d)

Procediendo en forma similar al caso anterior:

(x + a) (b) – (x + b)(a) = ab

bx + ab – ax – ab = ab

(b – a)(x) = ab x = ab

ab

solución e)

114 xx 4x = 1 + 1x

Elevamos al caudrado a ambos miembros:

x + 4 = 1 + 2 1x + x – 1 1x = 2

Nuevamente se eleva al cuadrado a ambos miembros:

x – 1 = 4 x = 5

Ecuación cuadrática

Una ecuación cuadrática es una ecuación en donde el exponente de la incógnita es igual a dos

Forma general

La forma general de cualquier ecuación cuadrática es:

Soluciones o raíces

Para encontrar las soluciones o raíces de una ecuación cuadrática existen tres procedimientos, sin

embargo se recomienda en primer lugar realizar el análisis del discriminante para poder

determinar si las soluciones son reales o imaginarias o complejas.


17

Análisis de la cantidad subradical

El análisis de la cantidad subradical nos permite determinar si las soluciones de la ecuación

cuadrática son números reales o complejos.

Asi tenemos que:

a) si , entonces la ecuación cuadrática tiene dos soluciones complejas

diferentes

b) si , entonces la ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales

iguales.

c) Si , entonces la ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales

diferentes.

Además por números complejos se conoce que: √

Factorización Este método consiste en factorizar la ecuación cuadrática en factores lineales, siempre y cuando

sea posible, es decir su discriminante debe ser mayor o igual a cero y luego cada factor lineal se

iguala a cero y se resuelve para la variable, estos valores constituyen las soluciones de la

ecuación cuadrática

Ejemplo

Hallar las raíces de la ecuación

Calculamos el discriminante de la ecuación cuadrática

( ) ( )( )

La ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales diferentes

( )( )

Fórmula general La fórmula genaral se utiliza para hallar las raíces de cualquier ecuación cuadrática, con raíces

reales o imaginarias y esta expresada por: √

Ejemplo


Calculamos el discriminante de la ecuación cuadrática dado que:

( ) ( )( )


18

La ecuación cuadrática tiene dos soluciones imaginarias o complejas

Usamos la fórmula general: √

√

Completando cuadrados

Con este proceso se puede resolver cualquier ecuación cuadrática; para aplicar este proceso a al

ecuación cuadrática en primer lugar el coeficiente del término cuadrático

debe ser igual a la unidad

, luego el término independiente se pasa a la

derecha

, se saca la mitad del coeficiente del término lineal

, posteriormente

se escribe en el primer miembro el cuadrado de la suma o diferencia del factor conformado por la

raíz del termino cuadrático y la mitad del coeficiente del término lineal .

/

y al segundo

miembro se le suma el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal

.

/

.

/

, por último se despeja la variable

√

.

/

En consecuencia las soluciones serán:

√

.

/

√

.

/

Ejemplo


Completando cuadrados ( ) ( )

√

Proceso inverso

El proceso inverso consiste en encontrar la ecuación cuadrática conociendo sus raices:

Para encontrar la fórmula se sigue el siguiente proceso:

Sea: la forma general de una ecuación cuadrática cuyas raices son:

√

√

Entonces: [ √

] [

√

]


19

[ √

] [

√

]

Luego dividimos por a toda la ecuación general:

Ahora reemplazando a

por sus equivalentes tenemos: ( )

que es la fórmula general para encontrar la ecuación cuadrática dada sus raíces.

Ejemplo:

Hallar la ecuación cuadrática cuyas raíces son: √ √

solución

La fórmula de la ecuación cuadrática es: ( ) , entonces debemos

encontrar: [ √ ] [ √ ] [ √ ] [ √ ]

Por lo tanto:

Ecuaciones con factores

Se llama ecuaciones con factores porque su primer miembro aparece expresado como un

producto de factores, cuya forma general es: ( ) ( ) ( ) ( )

El método de solucion consiste en agrupar ciertos factores y luego realizar un cambio de variable.

Ejemplos:

Resolver las siguientes ecuaciones

a) ( )( )( )( )

b) ( )( )( )

solución a)

Como se trata de resolver una ecuación con cuatro factores, implica que la ecuación es de cuarto

grado y por lo tanto tendrá cuatro raices o soluciones:

Para solucionarlo procedemos en primer lugar a agrupar el primer factor con el tercero y el

segundo factor con el cuarto.


20

Asi: ,( )( )-,( )( )- ( )( )

Luego hacemos el cambio de variable

sea: ( )( )

el resultado es una ecuación cuadrática cuya incognita es m , resolvemos factorizando:

( )( )

Ahora: si

resolvemos esta ecuación cuadrática usando la fórmula general:

√

√

√

Si

Resolvemos aplicando la fórmula general:

√

√

√

solución b)

En primer lugar factorizamos a la ecuación en forma lineal

( )( )( )( )

Agrupando el primer termino con el segundo y el tercer término con el cuarto

,( )( )-,( )( )- ( )( )

Hacemos el cambio de variable

( )( )

el resultado es una ecuación cuadrática cuya incognita es m , resolvemos factorizando:

( )( )

Ahora: si

resolvemos esta ecuación cuadrática usando la fórmula general:

√

√

√

Si

Resolvemos aplicando la fórmula general:


21

√

Ecuaciones con radicales

Se denomina ecuaciones con radicales cuando aparecen expreciones con radicales.

El método de solución consiste en hacer un cambio de variable para eliminar al radical.

Ejemplos Resolver las siguientes ecuaciones:

a) √

√

b) √

solución a)

Resolvos esta ecuación haciendo cambio de variable:

√

√

, reemplazando estos valores en la ecuación dada

.

/

Luego resolvemos esta ecuaciòn cuadrática para aplicando la fórmula general:

√

√

Ahora si

√

.

/

4√

5

Si

√

.

/ 4√

5

Soluciòn b)

Procedemos en forma similar al ejercicio anterior, es decir arreglamos, la ecuaciòn, hacemos el

cambio de variable y resolvemos

√ ,haciendo el cambio de variable √

( )( )


22

Ahora si √ ( ) (√ )

rersolvemos aplicando la fòrmula general:

√

√

√

√

√

√

Si 3 √ ( ) (√ )

rersolvemos aplicando la fòrmula general:

√

√

Ejercicios de aplicación Nº 01

I.- Resolver las siguientes ecuaciones lineales:

1) 2) ( )

3)

.

/

4)

–

5)

–

6) √ –√

II.- Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas, haciendo previamente el análisis de la

cantidad subradical:

7) 8) 9)

10) 11) 12)

III.-Resolver las siguientes ecuaciones utilizando cualquier criterio

13) 14) 15)

16) 17) ( )(√ ) 18) (√ )

19) 20) ( ) 21)

22) ( ) 23) 24) ( ) ( )


23

25) Hallar los valores de m para que la ecuación ( ) , tenga raíces reales

iguales

26) Hallar los valores de m para que la ecuación , no tenga soluciones reales

IV.- Hallar las ecuaciones cuadráticas cuyas raíces son:

27) -3, 2 28) 1+2i, 1-2i 29) -2+1, -2-i 30)

√

√

V.- Resolver las siguientes ecuaciones haciendo cambio de variable:

31)

32) √

√ 33) √

√

34) ( )( )( )( )

35) ( )( )( )

36)

√

( )

Desigualdades e inecuaciones Desigualdad

Una desigualdad es una expresiòn que indica que una cantidad es mayor o menor que otra.

Signos Los signos que se utilizan en las desigualdades son los siguientes:

“<”, que se lee “menor que”

“”, que se lee “menor o igual que”

“>”, que se lee “mayor que”

“”, que se lee “mayor o igual que”

Miembros

Se denomina primer miembro de una desigualdad a la expresiòn que se encuentra a la

izquierda del signo de mayoraciòn y se denomina segundo miembro a la expresiòn que se

encuentra a la derecha del signo de mayoraciòn.


24

Ejemplos:

a)

b)

Propiedades

Se cumplen las siguientes propiedades:

a) Un tèrmino cualquiera de una desigualdad se puede transponer de un miembro a otro

cambieno de signo ( )

b) Si

c) Si

d) Si

e) Si

f) Si

g) Si √

√

h) Si los dos miembros de una desigualdad son negativos y se elevan a una potencia par,

entonces el signo de la desigualdad se invierte: Si donde

i) Si los dos miembros de una desigualdad o uno de ellos es negativo y se elevan a una

potencia impar, entonces el signo de la desigualdad no cambia.

INTERVALO

Sean y dos nùmeros reales diferentes, se dice que el nùmero està entre y o

peertenece al intervalo, si

gràfica:

–

b a


25

Clases de intervalos

Existen dos clases de intervalos:

a) Intervalos finitos

b) Intervalos infinitos

Clases de intervalos finitos

Entre los intervalos finitos tenemos los siguientes:

1.- Intervalo abierto

Se denota y define por:

( ) * +

gràfica:

2.- Intervalo cerrado

Los intervalos cerrados se definen y denotan por:

, - * +

gràfica:

3.- Intervalo abierto cerrado

Se denota y define por:

( - * +

–

b a

–

b a


26

–

a

gràfica:

4.- Intervalo cerrado abierto

se denota y define por:

, ) * +

gràfica:

Clases de intervalos infinitos

Entre los intervalos infinitos tenemos los siguientes:

1.- ( ) * +

gràfica:

2.- , ) * +

gràfica:

3.- ( ) * +

gràfica:

–

b a

–

b a

–

a

–

a


27

4.- ( - * +

gràfica:

5.- ( ) * +

gràfica:

Ejemplos:

Ilustrar graficamente los siguientes intervalos:

a) b) c)

soluciòn a)

soluciòn b)

soluciòn c)

Inecuaciòn

Una inecuaciòn es una desigualdad, en la que existe una o màs cantidades desconocidas

(llamadas incògnitas) y que se verifican solamente para determinados valores de las incògnitas.

A las inecuaciones se les llama tambièn desigualdades condicionadas.

Observaciones

–

a

–

–

3 2

–

2

5

–

5

a


28

1) Cuando se tiene el signo “ ” entre dos inecuaciones, entonces el intervalo solución general

es la uniòn de los intervalos soluciòn de cada inecuaciòn.

2) Cuando se tiene el signo “ ” entre dos inecuaciones, entonces el intervalo soluciòn general

es la intersecciòn de los intervalos soluciòn de cada inecuaciòn.

Inecuaciòn lineal

Una inecuaciòn se dice lineal, cuando el exponente de su incògnita es igual a la unidad.

El proceso de soluciòn es semejante a resolver ecuaciones lineales; pero teniendo en cuenta las

propiedades de las desigualdades.

Ejemplos

Hallar el intervalo soluciòn de las siguientes inecuaciones y trazar su gràfica:

a) c)

b) d)

solución a)

Si

( )

gràfica:

solución b)

.

/

gràfica:

solución c)

–

-4

–

½


29

( - 0

) 0

1

gràfica:

Solución d)

( ) .

/ ( )

I.S.G.=( )

gràfica:

Inecuación de grado superior

Una inecuación se dice de grado superior, cuando el exponente de su incògnita es mayor o igual

que dos.

Existen dos procedimientos o métodos que permiten solucionar las inecuaciones:el método del

análisis y el método de los puntos críticos.

Método del análisis

Este método consiste en desarrollar en forma secuencial los siguientes pasos:

Paso1.- La inecuación dada se desiguala a cero y se factoriza en forma lineal tanto al numerador

como al denominador, si es que hubiera.

Paso2.- Se eliminan los denominadores aplicando el artificio matemático de multiplicar y dividir

por una misma expresión.

8

–

2

11

–

-4


30

Paso3.- Con los factores encontrados se realiza el análisis correspondiente para que se cumpla

la inecuación factorizada.

Paso4.- El análisis realizado se convierte a inecuaciones lineales que ya es conocido su proceso

de solución.

Ejemplos

Hallar el intervalo soluciòn de las siguientes inecuaciones y graficarlo.

a) c)

b) d)

Solución a)

Paso 1.- Factorizamos en forma lineal a la inecuación cuadrática

( )( )

Paso 2.- Obviamos este paso porque la inecuación notiene denominador

Paso 3.- Realizamos el análisis correspondiente para que se cumpla la inecuación factorizada

Paso 4.- El análisis realizado lo convertimos a inecuaciones lineales y resolvemos.

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) I S G ( )

gráfica

( + ) ( )

( ) ( + )

a n

ális

is

( )( )

-3 -2


31

Solución b)

Solucionamos esta inecuación siguiendo la secuencia de pasos sin indicarlos

( )( )

( ) ( ) , ) , )

( ) ( ) ( - ( -

, ) ( - I S G ( - , )

gráfica

Solución c)

Procedemos en forma similar a los casos anteriores

( )

.

/ .

/

( )( )

( ) ( )( )

( + ) ( )

( ) ( )

a n

ális

is

( )( )

-2 3

( + ) ( )

( ) ( )

a n

ális

is

( )( )


32

( ) ( ) , ) , )

( ) ( ) ( - ( -

, ) ( - I S G ( - , )

gráfica

Solución d)

Procedemos en forma similar a los casos anteriores

( )( )

( )( )

.

/ .

( )( )

/ .

( )( )( )

/ ( )( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 7

+ + -

+ - +

- - -

- + +

a n

á l i s

i s

( ) ( )( )


33

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

I S G ( ) ( )

gráfica

Método de los puntos críticos

Este método consiste en desarrollar en forma secuencial los siguientes pasos:

Paso 1.- La inecuación dada se desiguala a cero y se factoriza en forma lineal tanto al

numerador como al denominador, si es que hubiera.

Paso 2.- Cada factor lineal se iguala a cero y se resuelve para , estos valores se denominan

puntos críticos, los cuales no deben repetirse.

Paso 3.- Se ubican en la recta real los puntos críticos y se separan tantos intervalos como

puntos críticos existan.

Paso 4.- El signo del primer intervalo de izquierda a derecha, está en función del número de

factores obtenidos en el paso uno; si el nùmero de factores es par, entonces el signo

del primer intervalo es positivo y si el número de factores es impar , entonces el signo

del primer intervalo es negativo, los demas intervalos tienen signos alternados

Paso 5.- a) Cuando se está resolviendo una inecuación factorizada con signo ,

entonces el intervalo solución general (ISG) es igual a la unión de todos los

intervalos con signo negativo

b) Cuando se está resolviendo una inecuación factorizada con signo ,

entonces el intervalo solución general (ISG) es igual a la unión de todos los

intervalos con signo positivo.

0 1

-1


34

Ejemplos

Hallar el intervalo soluciòn de las siguientes inecuaciones usando el método de los puntos críticos

y graficarlo.

a) c)

b) d)

Solución a)

Paso 1.- Factorizamos en forma lineal a la inecuación ( )( )

Paso 2.- Los factores lineales lo igualamos a cero y resolvemos para para encontrar los puntos

críticos ( ) ( )

Paso 3.- Los puntos críticos lo ubicamos en la recta y separamos los intervalos

Paso 4.- El signo del primer intervalo es positivo porque existen dos factores

Paso 5.- El ( )

Solución b)

Utilizamos el mismo criterio anterior ( )( )

( ) ( )

( - , )

-3

-2

+

-

- +

-3 -2

-2

3

+

-

- +

-2 3


35

Solución c)

Utilizamos el mismo criterio anterior

( )

( ) ( )

( - , )

Solución d)

Procedemos en forma similar al caso anterior

( )( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

Valor absoluto de un número real

El valor absoluto de un número real se define y denota por.

| | 2

El valor absoluto de un número real nunca es negativo

Propiedades

Se cumplen las siguientes propiedades

2

7

+

-

- +

2 7

-1

1

+ -

- +

0

-

0 1

-1


36

1) | |

2) | |

3) | |

4) | |

5) | |

Otras propiedades:

6) | | | | | |

7) |

|

| |

| |

8) | | | | | |

9) | | | |

10) | | {

11) | |

Ejemplos

Aplicando las propiedades de valor absoluto, resolver las siguientes ecuaciones e inecuaciones:

a) | | d) | | | | g) |

|

b) | | | | e) | | h) |

|

c) | | f) | | i) | | | |

Solución a) Por definición de valor absoluto esta ecuación no tiene solución por que el valor absoluto de un número real nunca es negativo

Solución b) Por propiedad 9) se tiene que:

Si | | | | ( )

Por lo tanto: 2

3

Solución c) Por propiedad 10) se tiene que:


37

| | {

{

{

Por lo tanto: * + Solución d) | | | | ,haciendo cambio de variable: | |

( )( ) Ahora si | |

* + Ahora si | |

* +

Por lo tanto: * + Solución e) Usando la propiedad 1)

| |

Por lo tanto: .

/

Solución f) Usando la propiedad 3)

| |

Por lo tanto: ( ) .

/

Solución g) Usando la propiedad 4)

|

|

Por lo tanto: .

/ .

/


38

Solución h) Usando la propiedad 2)

|

|

( ) ( )

( ) ( )

2 (

1 ( )3 * ( ) , )+ (

1 , )

Por lo tanto: (

1 , )

Solución i) Por propiedad 1)

| | | | | | | | | | | | | | | | * + * + * + * +

* + * + * + * + *( ) ( ) + * ( ) ( )+ *( )+ * ( )+ ( )

Por lo tanto: ( ) Observaciones:

1) Si un punto crítico se repite dos veces, entonces el signo del intervalo que le antecede es

igual al signo del intervalo que le precede

2) En forma general si un punto crítico tiene una multiplicidad par, entonces se procede

como si se repitiera dos veces

3) Si un punto crítico tiene una multiplicida impar , entonces se procede como si no se

reìtiera ninguna vez

3

+

- - +

8

+

- - +


39

4) Si el discriminante de una inecuación cuadrática es negativo ( ), entonces,

el intervalo solución general de la inecuación está dado por todos los

números reales ( ) cuando no se encuentra acompañada de otros factores, en

caso contrario este factor cuadrático con discriminante negativo se elimina

5) Si el discriminante de una inecuación cuadrática es negativo ( ), entonces,

el intervalo solución general de la inecuación es el conjunto vacío

( ) cuando no se encuentra acompañada de otros factores, en caso contrario

este factor cuadrático con discriminante negativo se elimina

Ejemplos:

Hallar el intervalo solución de las siguientes inecuaciones:

a) d)

b) e) ( )( )

c) f)

Solución a)

Si ( )( )

es un punto crítico que se repite dos veces

Por lo tanto: * + Solución b)

La inecuación tiene discriminante negativo, ( )( ) - y no

está acompañada con más factores y además como , entonces el conjunto solución

es todos los números reales

Por lo tanto: ( )

3

+

-

+


40

Solución c)

Si ( )( ) , como la expresión cuadrática

tiene discriminante negativo, ( )( ) - y esta acompañada de

otro factor, se desprecia o elimina y solamente se procede a solucionar la inecuación con el factor restante

Entonces ( ) ( )( ) son los puntos críticos

Por lo tanto: ( ) Solución d)

Si ( )( ) es un punto crítico que se repite

dos veces

Por lo tanto: ( ) Solución e)

Si ( )( ) ( )( )

( )( )( ) , como la expresión cuadrática ( ) tiene

discriminante negativo, ( ) ( )( ) - y esta acompañada de otro

factor, se desprecia o elimina y solamente se procede a solucionar la inecuación con el factor

restante Entonces ( )( ) son los puntos críticos

Por lo tanto: ( - , ) Solución f)

A la lo factorizamos aplicando Ruffinni

( )( )( ) .

/

son los

puntos críticos

1

+

- - +

-1

+

-

+

2

+

- - +


41

Por lo tanto: .

/ ( )


I.- Hallar el intervalo solución de las siguientes inecuaciones y graficar dicho intervalo solución

1) 2)

3) 4)

( ) ( )

( )

5)

( )

( ) 6)

7) 8)

9) 10)

11)

12)

13)

14)

15) 16)

17) 18) ( )

19) ( )( ) 20) ( )( )( )

21)

22)

23) ( )( ) 24) ( )( )

25) 26)

27) 28) ( ) ( )

II.-Aplicando las propiedades de valor absoluto, resolver las siguientes Ecuaciones e inecuaciones:

-

+

-

- -

+ +

4 -1 2


42

29) | | 30) | |

31) | | 32) | |

33) | |

34) | |

35) |

| 36) |

|

37) | | |

| 38) | |

39) || | | 40) | |

41) | | | | 42) | | | |


43

UNIDAD II

RELACIONES Y FUNCIONES Nociones Preliminares 1.- Par ordenado.- Es un conjunto ordenado que consta de dos elementos y es denotado por

( ); donde es el primer elemento (o primera componente) y es el segundo elemento

(o segunda componente).

Un par ordenado no solo depende de los elementos a y b; sino también del orden en que

ambos son tomados.

Propiedades: a) ( ) ( )

b) ( ) ( )

c) ( ) ( )

Ejemplo: Determinar el valor de e tal que:

a) ( ) ( )

b) ( ) ( )

Solución a) Aplicando la definición de igualdad de pares ordenados se tiene que:

( ) ( )

{

Solución b) Aplicando el mismo argumento de la parte a) se tiene que

( ) ( )

{


44

Par ordenado real.- Es un conjunto ordenado que consta de dos elementos y es

denotado por ( ); donde es el primer elemento (o primera componente) y es el

segundo elemento (o segunda componente).

Un par ordenado real se caracteriza porque sus componentes son números reales

Nota.- La representación gráfica de un par ordenado de valor real se hace en el sistema

cartesiano Birrectangular (o plano)

2.- Terna ordenada.- Es un conjunto ordenado que consta de tres elementos denotado por

( ) donde es el primer elemento, es el segundo elemento y es el tercer elemento.

Terna ordenada.- Es un conjunto ordenado que consta de tres elementos denotado por

( ) donde es el primer elemento, es el segundo elemento y es el tercer elemento,

pero sus componentes son números reales

.La representación gráfica de una terna ordenada de valor real se hace en el sistema

cartesiano Trirrectangular (o espacio)

(x, y)

Y

X

Y

Z

X

(x, y,z)


45

3.- N-ada ordenada.- Es un conjunto ordenado que consta de n.elementos y es denotado

por ( ) 4.- Producto cartesiano.- Sean y dos conjuntos cualesquiera diferentes del vacío,

llamaremos producto cartesiano de los conjuntos y al conjunto formado por todos los

pares ordenados ( ) , denotado por

Simbólicamente: *( ) +

Nota.- El concepto de producto cartesiano se puede extender a más de dos conjuntos no

vacíos Propiedades:

1) Si al menos uno de los conjuntos es vacío, entonces el producto cartesiano de estos

conjuntos se definen como vacíos; es decir

2) Si

. 3) Si

4) ( ) ( ) ( )

5) ( ) ( ) ( )

6) Si

7) ( ) ( ) ( )

8) Si ( ) ( ) ( )

Ejemplos de aplicación:

1) Hallar el producto cartesiano * + * + Solución: Se sabe que ( ) ( ) ( )

*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

2) Hallar el producto cartesiano * + * + * + Solución: Se sabe que

( ) ( ) ( ) ( )

*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+


46

Observación.- Existe un diagrama que nos permite visualizar el conjunto de pares

ordenados del producto cartesiano, conocido con el nombre de diagrama del árbol

Así, el diagrama del árbol correspondiente al ejemplo 1) es el siguiente:

A B A X B a ( 1 , a ) 1 b ( 1 , b ) a ( 2 , a ) 2 b ( 2 , b ) a ( 3 , a ) 3 b ( 3 , b ) El diagrama del árbol correspondiente al ejemplo 2) es el siguiente:

A B C A X B x C n ( c, 2, n ) 2 m ( c, 2, m ) c n ( c, 4, n ) 4 m ( c, 4, m ) n ( d, 2, n ) 2 m ( c, 2, m ) d n ( d, 4, n ) 4 m ( d, 4, m ) Representación gráfica del producto cartesiano

Para la representación gráfica del producto cartesiano, se tiene en cuenta dos criterios:

a) Cuando los conjuntos son finitos y sus elementos discretos

b) Cuando los conjuntos son infinitos con elementos no discretos


47

Para la representación gráfica del producto cartesiano cuando los conjuntos son finitos existen

tres tipos de diagramas:

1) Diagrama Sagital o de flechas

2) Diagrama Tabular o de doble entrada

3) Diagrama cartesiano

Ejemplo Sean los conjuntos * + * +, ilustrar gráficamente el producto

cartesiano mediante los tres tipos de diagramas

Diagrama Sagital o de flechas:

Este diagrama consiste en ubicar o representar a los conjuntos mediante un diagrama de

Venn Euler y trazar las flechas según el diagrama del árbol

A B

Diagrama Tabular o de doble entrada

Como su nombre lo indica se construye una tabla de doble entrada

B A

2 4

1

( 1, 2 )

( 1, 4 )

2

( 2, 2 )

( 2, 4 )

3

( 3, 2 )

( 3, 4 )

1

2

3

2

4


48

Diagrama Cartesiano Se trazan dos rectas perpendiculares, una horizontal y la otra vertical; en la recta horizontal se

ubican los elementos del primer conjunto (en este caso del conjunto A) y en la recta vertical se

ubican los elementos del segundo conjunto (en este caso del conjunto B), luego se trazan

rectas paralelas imaginarias a las trazadas inicialmente por los puntos y se resaltan las

intersecciones que constituyen los puntos del producto cartesiano.

B 4 º º º 2 º º º A 1 2 3 . Para la representación gráfica del producto cartesiano cuando los conjuntos son infinitos y sus

elementos no son discretos, se procede de la siguiente manera:

a) Se traza un plano bidimensional ( )

b) Se ubica el primer conjunto en la recta horizontal

c) Se ubica el segundo conjunto en la recta vertical

d) La intersección de estos segmentos representan el producto cartesiano

Ejemplo

Sean los conjuntos:

* + * +

( - , )

Ilustrar gráficamente el producto cartesiano indicado

a) b)


49

Solución a)

Se conoce que: , - , - Gráfica

Solución b)

Se conoce que: ( - , )

XxY

Y

X

5 4 3 2 1

1

2

3

4

AxB

Y

X

5 4 3 2 1

1

2

3

4

-1 -2

o

-5

-2

-3

-4


50

Ejercicios de aplicación Nº 03 Representar gráficamente, los siguientes productos cartesianos

a) b) c) d) e) Donde:

* + * +

* + * +

* + * +

* + * +

* + * +

Relación Binaria Sean y dos conjuntos cualesquiera, diferentes del conjunto vacío, entonces se

denomina relación binaria de en (o relación entre elementos del conjunto con

elementos del conjunto ) a todo conjunto

El conjunto puede obtenerse de acuerdo a algún criterio o en forma arbitraria

En otras palabras:

Ejemplos Sean los conjuntos:

* + * +

Encontrar los elementos de las siguientes relaciones:

a) *( ) +

b) *( ) +

c) *( ) +

d) *( ) +

e) *( ) +

f) *( ) +


51

Solución Se sabe que una relación es un subconjunto de un producto cartesiano, entonces

encontramos primeramente el producto cartesiano de

*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ Entonces:

a) *( ) ( )+

b) * ( )+

c) *( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

d) *( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )+

e) *( ) ( )+

f) Como *( ) + *( ) +, entonces para

encontrar sus elementos se debe tener en cuenta lo siguiente:

Si

Si * + ( )

Si * + ( ) ( ) ( )

Si * + ( ) ( ) ( )

Luego: *( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

Observaciones:

1.- Si tiene elementos, entonces tiene subconjuntos, en

consecuencia existen relaciones de en .

2.- Se dice que a está relacionado con si y solo si ( )

3.- Si ( ) ( )

4.- Se dice que es una relación en un conjunto si

5.- Son de especial interés en la matemática, las relaciones de , cuyas proposiciones

están dadas por ecuaciones o inecuaciones de dos variables.


52

Propiedades de las relaciones

Sea una relación en el conjunto , entonces se verifican las siguientes condiciones:

a) Relación Reflexiva

Se dice que es una relación reflexiva en si ( )

Es decir es reflexiva en si todo elemento de está relacionado consigo mismo.

Ejemplo

Sea * + y sean las relaciones:

*( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

*( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

Analizar si son o no reflexivas:

Analizamos Si ( ) Si ( ) Si ( ) Si ( ) Se concluye que es reflexiva por que ( )

Analizamos Si ( ) Si ( ) Si ( ) Si ( ) Se concluye que no es reflexiva por que ( )

b) Relación Simétrica

Se dice que es una relación simétrica en si ( ) ( )

Ejemplo Sea * + y sean las relaciones:

*( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )+

*( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

Analizar si son o no simétricas:


53

Analizamos

Si ( ) ( )

Si ( ) ( )

Si ( ) ( )

Se concluye que es una relación simétrica en

Analizamos

Si ( ) ( )

Si ( ) ( )

Si ( ) ( )

Si ( ) ( ) no cumple

Se concluye que no es una relación simétrica en

c) Relación Transitiva

Se dice que es una relación transitiva en si ( ) ( ) ( )

Ejemplo Sea * + y sean las relaciones:

*( ) ( )( ) ( )+

*( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

Analizar si son o no transitivas:

Analizamos

Si ( ) ( ) ( )

Si ( ) ( ) ( )

Si ( ) ( ) ( )

Si ( ) ( ) ( )

Si ( ) ( ) ( )

Se concluye que es una relación transitiva en


54

Analizamos

Si ( ) ( ) ( )

Si ( ) ( ) ( ) no cumple

Si ( ) ( ) ( )



Si ( ) ( ) ( )

Si ( ) ( ) ( )

Si ( ) ( ) ( )

Se concluye que no es una relación transitiva en

d) Relación de Equivalencia

Una relación en se dice que es de equivalencia, si es simultáneamente reflexiva,

simétrica y transitiva. Ejemplo Sea * + y sean las relaciones:

*( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )+

*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

Analizar si son o no relaciones de equivalencia

Analizamos Debemos averiguar si es reflexiva, simétrica y transitiva

Analizamos si es reflexiva

Si ( ) Si ( ) Si ( ) Si ( ) Se concluye que es reflexiva en Analizamos si simétrica

Si ( ) ( )

Si ( ) ( )

Se concluye que es una relación simétrica en


55

Analizamos es una relación transitiva

Si ( ) ( ) ( )

Si ( ) ( ) ( )

Si ( ) ( ) ( )

Si ( ) ( ) ( )

Si ( ) ( ) ( )

Si ( ) ( ) ( )

Se concluye que es una relación transitiva en

Por lo tanto es una relación reflexiva, simétrica y transitiva en , en consecuencia es

una relación de equivalencia en

Analizamos

Debemos averiguar si es reflexiva, simétrica y transitiva

Analizamos si es reflexiva

Si ( ) Si ( ) Si ( ) Si ( ) Se concluye que no es reflexiva en

Analizamos si es simétrica



Si ( ) ( )

Si ( ) ( )

Se concluye que no es una relación simétrica en

Analizamos es una relación transitiva

Si ( ) ( ) ( )

Si ( ) ( ) ( )

Si ( ) ( ) ( )

Si ( ) ( ) ( )

Si ( ) ( ) ( )

Si ( ) ( ) ( )


56

Si ( ) ( ) ( )

Si ( ) ( ) ( ))

Si ( ) ( ) ( ))

Se concluye que no es una relación transitiva en

Por lo tanto no es una relación reflexiva, simétrica y transitiva en , en consecuencia

no es una relación de equivalencia en

e) Relación Antisimétrica

Se dice que es una relación antisimétrica en si ( ) ( )

Es decir si ( ) esta en y ( ) también está en , entonces debe ser igual

que

Ejemplo

Sea *( ) +, demostrar que es antisimétrica Demostración

Si ( ) ( ) , - , -

)()(),(),( xyxyyxyxxyyxRxyRyxSi

Tomando intersecciones se concluye que

Por lo tanto es una relación Antisimétrica en

f) Relación Conexa

Se dice que es una relación conexa en si dado dos elementos diferentes

cualesquiera de , estos están relacionados

Es decir: ( ) ( ) Ejemplo 1 Sea * + y sea la relación:

*( ) ( )( )+

Analizar si es o no conexa en


57

Solución

( ) ( ) ( )

Por lo tanto se concluye que es una relación conexa en

Ejemplo 2

Sea *( ) +

Se dice que es una relación conexa en el conjunto de los números reales ( ), ya que,

dado por la ley de la tricotomía

g) Relación de Orden Parcial

Una relación , se dice que es de orden parcial en , si es simultabeamente reflexiva,

antisimétrica y transitiva.

h) Relación de Orden Total

Una relación , se dice que es de orden total en , si además de ser de orden parcial es

conexa

Ejemplo 1 Sea * + * + y sea la relación:

*( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

Analizar si es una relación de orden parcial o total en

Solución

Analizamos si es reflexiva en

Si ( )

Si ( ) Si ( ) Si ( ) Si ( )

Se concluye que es una relación reflexiva

Analizamos si es una relación Antisimétrica en

Si ( ) ( ) Si ( ) ( ) Si ( ) ( ) Si ( ) ( )


58

Si ( ) ( ) Se concluye que es una relación antisimétrica en

Analizamos si es una relación transitiva en Si ( ) ( ) ( ) Si ( ) ( ) ( ) Si ( ) ( ) ( ) Si ( ) ( ) ( ) Si ( ) ( ) ( ) Se concluye que es una relación transitiva en

Por lo tanto es una relación de Orden Parcial en

Analizamos si es una relación conexa en ( ) ( ) , no cumple

( ) ( ) , no cumple

( ) ( ) , no cumple

( ) ( ) , no cumple

( ) ( ) , no cumple

( ) ( ) , no cumple

( ) ( ) , no cumple

( ) ( ) , no cumple

( ) ( ) , no cumple

( ) ( ) , no cumple

Se concluye que no es una relación conexa en

Por lo tanto , no es una relación de Orden Total en

Ejemplo 2 Sea * + y sea la relación:

*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

Analizar si es una relación de orden parcial o total en

Solución

Analizamos si es reflexiva en

Si ( ) Si ( ) Si ( )

Se concluye que es una relación reflexiva

Analizamos si es una relación Antisimétrica en

Si ( ) ( ) Si ( ) ( )


59

Si ( ) ( ) Se concluye que es una relación antisimétrica en

Analizamos si es una relación transitiva en Si ( ) ( ) ( ) Si ( ) ( ) ( ) Si ( ) ( ) ( ) Si ( ) ( ) ( ) Si ( ) ( ) ( ) Si ( ) ( ) ( ) Si ( ) ( ) ( ) Si ( ) ( ) ( ) Se concluye que es una relación transitiva en

Por lo tanto es una relación de Orden Parcial en

Analizamos si es una relación conexa en

( ) ( ) ( ) Se concluye que no es una relación conexa en

Por lo tanto , es una relación de Orden Total en

Dominio e imagen de una relación Dominio de una Relación Sea , se llama dominio de la relación , al conjunto de todos los elementos

, tales que exista por lo menos un tal que ( )

Es decir, el dominio de una relación es un subconjunto de , cuyos elementos son las

primeras componentes de los pares ordenados que pertenecen a y es denotado por

( )

Simbólicamente

( ) * ( ) + Imagen de una relación Sea , se llama imagen de la relación , al conjunto de todos los elementos

, tales que exista por lo menos un tal que ( )


60

Es decir, la imagen de una relación es un subconjunto de , cuyos elementos son las

segundas componentes de los pares ordenados que pertenecen a y es denotado por

( )

Simbólicamente ( ) * ( ) + Observaciones: 1.- Al dominio de una relación también se le llama: conjunto de partida

2.- A la imagen de una relación también se le llama rango o conjunto de llegada

3.- Si es una relación de en , entonces el dominio de es un subconjunto de y

la imagen de es un subconjunto de

4.- Si es una relación de valor real (es decir de en ), entonces el dominio e imagen

de las relaciones son subconjuntos de los números reales ( )

5.- Para encontrar el dominio de una relación de valor real se debe tener despejada la

variable dependiente y analizar para que valores de está bien definida la

variable dependiente.

6.- Para encontrar la imagen de una relación de valor real se debe tener despejada la

variable independiente y analizar para que valores de está bien definida la

variable independiente.

Ejemplos Hallar el dominio e imagen de las siguientes relaciones

a) *( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

b) *( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

c) *( ) +

d) *( ) +

Solución a)

Por definición se tiene que:

( ) * + ( ) * +


61

Solución b)

Por definición se tiene que:

( ) * + ( ) * +

Solución c)

De acuerdo a la observación 4) dada anteriormente, como se trata de relaciones de valor

real, entonces para hallar el dominio de la relación se despeja la variable dependiente

( ) en función de la variable independiente ( ) y se analiza para que valores de

reales está bien definida la variable dependiente; así .está bien

definida , por lo tanto el ( ) ( )

De acuerdo a la observación 5) dada anteriormente, como se trata de relaciones de valor

real, entonces para hallar la imagen de la relación se despeja la variable

independiente ( ) en función de la variable dependiente y se analiza para que valores de

reales está bien definida la variable independiente; así en nuestro ejemplo despejando

la variable independiente de la ecuación se tiene que:

√ , esta expresión está bien definida , resolviendo esta

inecuación se tiene que , )

Por lo tanto la ( ) , )

Solución d) Procedemos en forma idéntica al ejercicio anterior

Para hallar el ( ), despejamos la variable de la ecuación

en efecto √

, esta expresión está bien definida

, Resolviendo esta

inecuación cuadrática utilizando el método de los puntos críticos y recordando que en el

intervalo solución general se le debe despreciar los valores de que hacen cero al

denominador tenemos que: ( ) ( ) ( ) * +

Para hallar el ( ), despejamos la variable de la ecuación


62

en efecto √

, esta expresión está bien definida

, Resolviendo esta

inecuación cuadrática utilizando el método de los puntos críticos y recordando que en el

intervalo solución general se le debe despreciar los valores de que hacen cero al

denominador tenemos que: ( ) ( ) ( ) * +

Gráfica de Relaciones Para graficar cualquier tipo de relaciones, se consideran los valores de su dominio en el

eje y los valores de su imagen en el eje , ubicándose los puntos en el plano (cuando

son relaciones de valor discreto)

Si son relaciones de valor real se emplea el proceso denominado tabulación que consiste

en dar algunos valores arbitrarios a la variable independiente del dominio de la relación y

obtener valores para la variable dependiente

Estos valores encontrados para las dos variables constituyen pares ordenados que

representan puntos en el plano cartesiano birrectangular, los cuales son unidos por una

líea continua que se prolonga infinitamente desde el hasta el , pero siguiendo el

compòrtamiento de la ubicación de los puntos.

Ejemplos

Graficar en las siguientes relaciones:

a) *( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

b) *( ) +

c) *( ) +

d) *( ) +

e) *( ) ( )( ) +

Solución a) Se sabe que:

( ) * + ( ) * +


63

Gráfica: Solución b) Se sabe que:

( ) ( ) ( ) ( )

Para que un par ordenado se encuentre en , sus dos componentes deben ser iguales;

algunos pares de son: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Gráfica

Y

X

1 2 3 4 5

3

2

1 º

º º

º

º

º

º

Y

X

1 2 3 -2 -1

2

1

-2


64

Solución c) Se sabe que:

( ) * + ( ) ( )

Algunos elementos son los pares ordenados:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , es decir la primera componente es

constante en y la segunda componente no tiene restricción en

Gráfica: Solución d) Análogamente al ejercicio anterior, se puede observar que la gráfica de la relación ,

corresponde a una recta horizontal, que pasa a la altura de ; es decir la primera

componente de no tiene restricción en y la segunda componente es constante:

Entonces ( ) ( ) ( ) * +

Gráfica:

Y

X 1 3 -1 -2

-1

2

1

-2

3

2

4

y = 3

Y

X 1 3 -1 -2 -1

2

1

-2

x = 2


65

Solución e) Recordamos que en el conjunto de los números reales se cumple

Entonces en nuestro ejemplo particular:

( )( )

luego por tener el conectivo de la disyunción incluyente, la gráfica consistirá de la unión de

ambas rectas:

Gráfica

Discusión de la gráfica de una ecuación La discusión de la gráfica de una ecuación consiste en realizar un previo análisis antes de

diseñar su gráfica

Es decir se debe encontrar las intersecciones con los ejes cartesianos, las simetrias, la

extensión, las asíntotas y por último algunos puntos mediante la tabulación

I.- Intersección con los ejes cartesianos

a) Con el eje .- Se llama intersección de una curva con el eje a la abscisa del

punto de intersección de la curva con el eje

Para encontrar los puntos de intersección de la curva con el eje se reemplaza a

en la ecuación y se resuelve para

Y

X 1 -1 -2

-1

2

1

-2

3

2

4

x =3

y =2


66

b) Con el eje .- Se llama intersección de una curva con el eje a la ordenada del

punto de intersección de la curva con el eje

Para encontrar los puntos de intersección de la curva con el eje se reemplaza a

en la ecuación y se resuelve para

Ejemplo

Hallar los puntos de intersección con los ejes de la curva cuya ecuación es

( )

Solución

a) Hallamos intersección con el eje

Si ( )

Por lo tanto los puntos de intersección de la curva con el eje son:

( ) ( )

b) Hallamos intersección con el eje

Si ( )


( ) ( )

II.- Extensión

La extensión indica los intervalos maximales en los cuales las variables toman

valores permisibles para la ecuación dada; es decir es el rectámgulo dentro del cual se

encuentra ubucada la gráfica de la ecuación

El intervalo de extensión sobre el eje constituye el dominio de la relación y el intervalo

de extensión sobre el eje consituye la imagen de la relación

Para encontrar la extensión sobre el eje , se despeja la variable en función de la

variable , luego se analiza para que valores de estábien definida la variable

Para encontrar la extensión sobre el eje , se despeja la variable en función de la

variable , luego se analiza para que valores de estábien definida la variable


67

Luego se gradican estos dos intervalos en los ejes cartesianos correspondientes,

formándose un rectángulo, dentro del cual debe estar ubicada la gráfica de la curva.

Ejemplo Hallar el rectángulo de extensión de la curva cuya ecuación es

( )

Solución

a) Hallamos el intervalo del dominio de la ecuación, Para ello despejamos la variable

dependiente en función de la variable independiente

Si ( ) ( ) √ ( )

Se observa que esta última expresión está bien definida para todo

( ) , luego resolviendo esta inecuación cuadrática se tiene que

, -

b) Hallamos el intervalo de la imagen de la ecuación, Para ello despejamos la variable

independiente en función de la variable dependiente

Si ( ) ( ) √


, luego resolviendo esta inecuación cuadrática se tiene que

, -

Gráfica del rectángulo dentro del cual debe estar ubicada la curva

Y

X 8

5

-2

-5


68

III.- Simetrias

1) Simetría con relación a un punto.- Se dice que dos puntos son

simétricos entre si con respecto a un punto , si es el punto medio del

segmento .- El punto se denomina punto de simetría

2) Simetría con relación a una recta.- Si es una recta y un punto

cualquiera, entonces se dice que es simétrico a con respecto a , si

i) es perpendicular al segmento

ii) intersecta al segmento en su punto medio

La recta es llamada eje de simetría de los puntos y actúa como un espejo.

Gráfica

a) Simetría con respecto al eje

Si la ecuación de la curva no se altera cuando la variable es reemplazada por ( ) ,

entonces se dice que es simétrica con respecto al eje

Ejemplo

b) Simetría con respecto al eje

Si la ecuación de la curva no se altera cuando la variable es reemplazada por ( ) ,

entonces se dice que es simétrica con respecto al eje

Ejemplo

M

P Q


69

c) Simetría con respecto al origen

Si la ecuación de la curva no se altera cuando las variables son reemplazadas

por (– ) ( ) , entonces se dice que la curva es simétrica con respecto al origen

Ejemplo

Nota

Si una curva es simétrica con respecto a ambos ejes coordenados, entonces es también

simétrica con respecto al origen; pero lo recíproco no necesariamente se cumple.

III.- Asíntotas

Si la distancia de un punto de una curva a una recta fija , va disminuyendo (tendiendo

a cero) conforme el punto se aleja ilimitadamente del origen, entonces dicha recta es

denominada Asíntota de la curva.

Siendo las asíntptas líneas rectas, entonces pueden tener cyalquiera de las tres

posiciones siguientes:

Si es paralela o coincide con el eje , se denomina asíntota horizontal y es

representada `pr la ecuación:

Si es paralela o coincide con el eje , se denomina asíntota vertical y es

representada `pr la ecuación:

Si no es paralela a ninguno de los ejes coordenados , sedenomina asíntota oblicua y

es representada por la ecuación:

Observaciones:

1) En este estudio analizaremos unicamente el caso de las asíntoyas horizintales y

verticales

2) Una curva puede tener más de una asíntota o también no poseer asíntotas

a) Asíntotas horizontales

Para obtener las asíntotas horizontales se despeja la variable independiente en función

de la variable dependiente , se hallan los valores de que hacen cero al denominador

(si los ubiera), estos valores coincidirán con las ecuaciones de las rectas o asíntptas

horizontales de la forma: .

b) Asíntotas verticales

Para obtener las asíntotas verticales se despeja la variable dependiente en función de

la variable independiente , se hallan los valores de que hacen cero al denominador (si


70

los ubiera), estos valores coincidirán con las ecuaciones de las rectas o asíntptas

verticales de la forma: .

Ejemplo

Encontrar las asíntotas de la curva cuya ecuación está dada por:

Solución

Para calcular las asíntotas horizontales, despejamos la variable independiente en

función de la variable dependiente ,

En efecto:

en esta expresión se observa que el denominador se anula para el

valor de esto implica que la ecuación de la asíntota horizontal es que es

una recta horizontal coincidente con el eje

Para calcular las asíntotas verticales, despejamos la variable dependiente en función de

la variable independiente ,

En efecto: ( )

en esta expresión se observa que el

denominador se anula para el valor de esto implica que la ecuación de la asíntota

vertical es que es una recta vertical paralela al eje

IV.- Tabulación

El proceso de tabulación consiste en construir una tabla de valores, dando valores

arbitrarios a la variable independiente y obteniendo valores para la variable dependiente,

es decir se encuentran algunos otros puntos de la gráfica de la ecuación.

Ejemplos de aplicación

Discutir y trazar la gráfica de las siguientes ecuaciones:

a) ( ) ( )

b)


71

Solució a)

Para la discusión de la gráfica de la ecuación ( ) ( ) debemos

analizar los cinco casos

I. Intersecciones


Si ( ) √ √


( ) ( )


Si ( ) ( ) ( )

Por lo tanto el punto de intersección de la curva con el eje es: ( )

II. Extensión



Si ( ) ( ) ( ) ( )

√ ( ) √ ( )



, -, que representa el dominio de la ecuación, representado por

( ) , -



Si ( ) ( ) ( ) ( )

√ ( ) √ ( )



, -, que representa la imagen de la ecuación, representado por

( ) , -


72

III. Simetrías


Reemplazos a la variable por ( )

En efecto: ( ) ( ) , se observa que la ecuación varía por lo

tanto no existe simétrica con respecto al eje




tanto no existe simétrica con respecto al eje


Reemplazos a la variable por ( ) y a la variable por ( )


tanto no existe simétrica con respecto al origen

IV. Asíntotas

a) Asíntotas Horizontales

Despejando la variable independiente en función de la variable dependiente

tenemos

√ ( ) , en donde se observa que no existe denominador, por lo

que no existen asíntotas horizontales

b) Asíntotas Verticales

Despejando la variable dependiente en función de la variable independiente

tenemos √ ( ) , en donde se observa que no existe

denominador, por lo que no existen asíntotas verticales

V. Tabulación

Construimos una tabla , dando valores arbitrarios a la variable independiente y obteniendo

valores para la variable dependiente

X 0 1 2 3 4 5 6

y 1 1,2

-3,2

1,8

-3,8

2

-4

1,8

-3,8

1,2

-3,2

-1


73

Gráfica

Solució b)

Para la ecuación procedemos en forma similar al caso anterior

I.- Intersecciones


Si ( ) ( ) es un absurdo, por lo tanto no existe

intersección con eje


Si ( )

Por lo tanto el punto de intersección de la curva con el eje es: ( )

II.- Extensión



Si ( )

( )( )

Se observa en esta última expresión que está bien definida para todo

Por lo tanto el ( ) * + ( ) ( ) ( )



-4

2

6

Y

X


74

Si ( )

√

, se observa que esta última expresión está bien definida para todo

, luego resolviendo esta inecuación tenemos

( - ( ) por lo tanto ( ) ( - ( )

III.- Simetrías



En efecto, si ( ) ( )

se observa que la ecuación varía por lo tanto no existe

simétrica con respecto al eje



En efecto, si ( )

se observa que la ecuación no varía por lo tanto si existe

simétrica con respecto al eje


Como no existe simetría con respecto al eje se concluye que no existe simetría con

respecto al origen

IV.- Asíntotas

a) Asíntotas Horizontales

Despejando la variable independiente en función de la variable dependiente

tenemos

√

, en donde se observa que existe denominador, por lo que existe

asíntota horizontal cuya ecuación es recta horizontal que coincide con el eje


75

b) Asíntotas Verticales

Despejando la variable dependiente en función de la variable independiente

tenemos

( )( ), en donde se observa que si existe denominador, por lo que

existen asíntotas verticales cuyas ecuaciones son:

v) Tabulación

Construimos una tabla , dando valores arbitrarios a la variable independiente y obteniendo

valores para la variable dependiente

Gráfica

Ejercicos de aplicación Nº 04 Discutir y trazar la gráfica de las siguientes ecuaciones:

1)

2)

3) ( )

4)

5) ( )( )

-1

x=-1

Y

X

x=1


76

Función

Sean y dos conjuntos cualesquiera, diferentes del conjunto vacío y una relación

, entonces se dice que es una función de de en si para cada existe un

único elemento tal que ( )

Simbólicamente:

( )

En general si es una función que tiene como conjunto de partida a y como conjunto de

llegada a , esta es denotada por:

tal que

( )

Gráfica

Nota.- Toda función es una relación; pero lo recíproco no se cumple.

Generalmente trabajaremos con funciones de valor real; es decir que su dominio e imagen

serán los números reales o un subconjunto de el y están denotadas por:

tal que

( )

Donde se denomina la variable dependiente y a la variable independiente

Dominio e Imagen de una Función El dominio de una función

es el conjunto de partida denotado por ( )

Para calcular el dominio de una función se sigue el mismo procedimiento que para las

relaciones

1

2

3

2

4

función

A B

1

2

3

2

4

relación

A B


77

La imagen de una función es el conjunto de llegada, denotada por ( ), también se le llama

Rango

Para calcular la imagen de una función se sigue el mismo procedimiento que para las

relaciones

Pero también se puede deducir el dominio e imagen de una función trazando la gráfica y

observando los valores que toma la variable independiente y la variable dependiente.

Nota.- Se dice que es una función de valor real si y solo si toda recta vertical corta a su

gráfica a lo más en un punto.

Gráfica de una función Para graficar funciones de valor real se emplea en primera instancia el proceso denominado

tabulación, que se discutión en la gráfica de relaciones

Ejemplos

Graficar las siguientes funciones

a)

b)

c)

d)

Gráfica de a)

Como el ( ) ( ) es decir no tiene restricción, entonces construimos una tabla

de valores para cercanos al origen

x -2 -1 0 1 2

y -2 -1 0 1 2

Y

X

1 2 3 -2 -1

2

1

-2


78

Gráfica de b)



Gráfica de c)



x -2 -1

0

1 2

y 4 1

0

1 4

x -2 -1

0

1 2

y 3 0

-1

0 3

Y

X

1 2 -1

-2 -1

2

1

-2

Y

X

1 2 3 -2 -1

2

1

-2


79

Gráfica de d)

Como el ( ) ( ) * + es decir tiene la restricción para , entonces

construimos una tabla de valores para cercanos al origen

Modelos básicos para gráfica de funciones

Estos modelos sirven para diseñar la gráfica de la función sin la necesidad de realizar el

proceso de tabulación, simplemente teniendo en cuenta las reglas establecidas y son los

siguientes:

Modelo 1.- La función Identidad definida por , cuya gráfica es es una línea recta que

pasa por el origen con una inclinación de 45º y cuyo ( ) ( )

x -2 -1

1 2

y

-1 -2 2 1

Y

X

1 2 -1

-2 -1

2

1

-2

Y

X

1 2 -2 -1

2

1

-2


80

Modelo 2- La función cuadrática canónica definida por , cuya gráfica es la curva

conocida como parábola que se abre hacia arriba y su vértice está en el origen, donde

( ) ( ) ( ) , )

Modelo 3- La función valor absoluto definida por | |, cuya gráfica son dos rectas

convergente en el origen, donde ( ) ( ) ( ) , )

Y

X

1 2 3 -2 -1

2

1

-2

Y

X

1 2 -2 -1

2

1

-2

-1


81

Modelo 4- La función raíz cuadrada definida por |√ |, cuyo ( )

, ) ( ) , )

Reglas para graficar funciones usando los modelos básicos

Son tres regla fundamentales:

a) Cuando a una función se suma una constante interiormente, su gráfica se traslada

sobre el eje , hacia la derecha del origen si la constante es negativa y

hacia la izquierda si la constante es positiva

b) Cuando a una función se le cambia de signo, su gráfica se invierte o rota 180º sobre el

eje ,

c) Cuando a una función se suma una constante exteriormente, su gráfica se traslada

sobre el eje o en su dirección, hacia arriba del del origen si la

constante es positiva y hacia la abajo si la constante es negativa.

Ejemplos

Usando los modelos básicos graficar las siguientes funciones:

a)

b) ( )

c) | |

d) √

Y

X

1 2 -1

2

1

-1


82

Gráfica de a)

Gráfica de b)

Gráfica de c)

Y

X

Y

X

Y

X

+2

Y

X

Y

X

( )

1

Y

X

( )

1

1

| |

Y

X

| |

Y

X

| |

Y

X

| |

Y

X


83

Gráfica de d)

Ejercicos de aplicación Nº 05 Usando los modelos básicos graficar las siguientes funciones:

1)

2) ( )

3) | |

4) √

Gráfica de funciones con diferentes reglas de correspondencia

Para graficar funciones con diferentes reglas de correspondencia , se procede a graficar regla

por regla utilizando los criterios ya conocidos.


Graficar las siguientes funciones utilizando cualquier criterio e indicar su dominio e imagen

a) ( ) 2

b) ( ) {

Y

X

√ Y

X

√

-3

Y

X

√

-3

-1


84

Gráfica de a)

Gráfica de b)


Graficar las siguientes funciones utilizando cualquier criterio e indicar su dominio e imagen

1) ( ) {

4) ( ) {

2) ( ) 2

5) ( ) {

3) ( ) {

6) ( ) {

Y

X

2

1

-2

-1 o

o

-2

2

( )

( ) , - * +

Y

X

2

1

-2

-1

1

o

o

( ) * + ( ) ( )


85

Funciones Especiales

1.- Función Identidad

La función identidad está denotada y definida por:

Gráfica:

2.- Función Constante

La función cuyo dominio es el conjunto de los números ( ), y cuya imagen consiste de un

solo elemento y es denotada y definida por:

Gráfica:

y

x

IRIDm )(

IRI )(Im

Dm (c) = R

Im (c) = C

y

x

C

( )

( )


86

3.- Función Escalón Unitario

Esta función está denotada y definida por:

2

Gráfica

Nota: Si ( ) ( ) {

{

Gráfica

4.- Función Signo

Esta denotado y definida por:

0,1

0,0

0,1

)(

xsi

xsi

xsi

xsig

1

y

x

o 0

( )

( ) * +

1

y

x

o

a

( )

( ) * +

1

-1

y

x

o

o

( )

( ) * +


87

5.- Función Valor Absoluto

La función valor absoluto esta denotado y definido por:

| | 2

6.- Función Raíz Cuadrada

Esta denotada y definida por:

xxf )(

Gráfica

7.- Función Cuadrática

Esta definida y denotada por:

Donde: son constantes con

Análisis del Discriminante ( )

a) Si el discriminante , entonces la función cuadrática tiene dos raíces reales

diferentes ( ), lo que permite factorizar la función cuadrática

y

x

(| |)

(| |)

y

x

( )

( )

( )


88

( ) ( )( )

b) Si el discriminante , entonces la función cuadrática tiene dos raíces reales

iguales ( ), lo que permite factorizar la función cuadrática

( ) ( )

c) Si el discriminante , entonces la función cuadrática no tiene raíces reales y

no admite factorización en por lo que se debe completar cuadrados

En forma general, la gráfica de una función cuadrática es una parábola cuyo eje de simetría es

paralelo al eje , su vértice es el punto .

/

Si ( ) , completando cuadrados tenemos:

( ) .

/

donde:

Formas básicas de la gráfica una función cuadrática:

Caso 1: Donde 0 , corta al eje X

a) Si 0a 0a

a

D

a

b

4,

2

1x

2x

X

Y

a

D

a

b

4,

2

1x

2x X

Y


89

Caso 2: 0 , toca en un punto al eje X

a) Si 0a b) Si 0a

Caso 3: 0 no corta al eje x

a) Si 0a b) Si 0a

Ejemplos Graficar las siguientes funciones cuadráticas:

a) 263)( xxxf

b) 12)( 2 xxxf

c) 106)( 2 xxxf

0,

2a

b

X

Y

0,

2a

b

X

Y

X

Y

m

a

D

a

b

4,

2

X

Y

m

a

D

a

b

4,

2


90

Solución a):

263)( 2 xxxf , entonces

060)2)(3(4)6(4,03 22 acba ,

503624)6()2()3(44 22 bacD

5,1)3(4

60,

)3(2

6

4,

2VV

a

D

a

bV

Luego 5)1(3)( 2 xxf , en consecuencia la gráfica de la función es una parábola que

corta al eje X en dos puntos, se abre hacia abajo y tiene como vértice el punto )5,1(V

Gráfica

Solución b): 12)( 2 xxxf

)0,1(,)1()(,0,0

044)1)(1(4)2(4

2

22

Vvérticexxfa

acb

Entonces la gráfica de la función es una parábola que se abre hacia arriba, corta al eje X en un

solo punto, cuyo vértice es el punto )0,1(V

X

Y

1

5

( 1, 5 )


91

Gráfica

Solución c): 106)( 2 xxxf

)1,3(:

1)3()(,0,0

044036)10)(1(4)6(4

2

22

VVertice

xxfa

acb

Entonces la gráfica de la función es una parábola que se abre hacia arriba y no corta al eje X,

cuyo vértice es el punto )1,3(V

Gráfica 8.- Función Mayor Entero

Esta función está denotada y definida por:

( ) ⟦ ⟧

X

Y

-1 (-1, 0 )

X

Y

3

1

( 3, 1 )


92

Esto significa que: ⟦ ⟧ es el mayor entero que no supera a x , por esta razón esta

función ( ) ⟦ ⟧, es llamada también Función Máximo Entero, su dominio es el conjunto

de los números reales y su imagen es el conjunto de los números enteros

Para poder diseñar su gráfica damos algunos valores:

Si , ) ( ) ⟦ ⟧

Si , ) ( ) ⟦ ⟧

Si , ) ( ) ⟦ ⟧

Si , ) ( ) ⟦ ⟧

Si , ) ( ) ⟦ ⟧

Si , ) ( ) ⟦ ⟧

Gráfica Ejemplos de aplicación Graficar las siguientes funciones:

a) ( ) ⟦√ ⟧ b) ( ) ⟦ ⟧ c) ( ) ⟦ ⟧

Solución a)

( ) ⟦√ ⟧ √ ( )

o

o

o

o

o

o

o

X

Y

1

2

3

-1

-2

-3


93

Encontramos algunos valores para observar el comportamiento de la gráfica de la función

Si √ √ √ √

( ) , )

Si √ √ √ √

( ) , )

Si √ √ √ √

( ) , )

Si √ √ √ √

( ) , )

Solución b)

( ) ⟦ ⟧


Si

( ) ⟦ ⟧ [

)

Si

( ) ⟦ ⟧ [

)

4 9 16 1

2

3

o

1 o

o

o

Y

X

( )

I ( )


94

Si

( ) ⟦ ⟧ [

)

Si

( ) ⟦ ⟧ [

)

Si

( ) ⟦ ⟧ [

)

Si

( ) ⟦ ⟧ [

)

Solución c)

( ) ⟦ ⟧ hacemos ( ) ⟦ ⟧


Si ( ) ⟦ ⟧ ( )

Si ( ) ⟦ ⟧ ( )

Si ( ) ⟦ ⟧ ( )

Y

X

-2

2 -1

-2

1

-3

2

1

3

( )

I ( )


95

Si ( ) ⟦ ⟧ ( )

Si ( ) ⟦ ⟧ ( )

Si ( ) ⟦ ⟧ ( )

Si ( ) ⟦ ⟧ ( )


Graficar las siguientes funciones indicando su dominio y su imagen

1) ( ) ⟦ ⟧ 6) ( ) ( )

2) ( ) ⟦ ⟧ 7) ( ) . /

3) ( ) ⟦ ⟧ 8) ( ) ( ) ( )

4) ( ) ( ) 9) f( ) ( )

5) ( ) | | 10) ( ) | |

Algebra de funciones Igualdad de funciones Se dice que dos funciones son iguales si y solo si se cumple lo siguiente:

a) ( ) ( )

b) ( ) ( ) ( ) ( )

Y

X

( )

I ( ) ( -


96

Operaciones con funciones

Sean dos funciones cualesquiera, entonces las operaciones con funciones son

denotadas y definidas de la siguiente manera

a) Suma o adición de funciones

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

b) Resta o diferencia de funciones

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

c) Multiplicación o producto de funciones

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

d) División o cociente de funciones

(

) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

Ejemplo 1 Hallar si las funciones son

*( ) ( ) ( ) ( )+

*( ) ( ) ( ) ( )+

Solución

Se conoce que ( ) * + y ( ) * +

Entonces: ( ) ( ) ( ) * +

Luego

Si ( )( ) ( ) ( )

Si ( )( ) ( ) ( )

Por lo tanto *( ) ( )+

Ejemplo 2 Hallar si las funciones son


97

( ) { , -

, - ( ) {

| | ( ) ( )

Solución

Se conoce que ( ) , - , - y ( ) ( ) ( ) * +

Entonces: ( ) ( ) ( ) , ) ( ) * +

Luego su regla de correspondencia será

( )( ) { | | , )

( )

Observación

Para realizar operaciones con funciones, con diferentes reglas de correspondencia, se puede

realizar directamente regla por regla, teniendo presente que cuando la intersección de sus

dominios es el conjunto vacío, entonces no existe la operación indicada

Composición de funciones

Sean conjuntos cualesquiera diferentes del vacío y sean las funciones tales

que: donde ( ) ( )

Entonces la composición de la función con la función se denota y define por:

( )( ) , ( )- para todo ( ) ( ) ( ) ( )

Gráfica

C

B A

x

, ( )-

( )


98

Dominio de la función Composición Sean las funciones donde ( ) ( )

Entonces el dominio de la función compuesto con la función se denota y define por:

Ilustración gráfica Ejemplo 1 Sean las funciones definidas en forma discreta por los siguientes pares ordenados

*( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

*( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

f

)( fmI

)(gmD

)()( gDmfmI

g fog

)( fDm

)( fogmI )(gmI

( ) * ( ) ( ) ( ) ( )+


99

Hallar la función ( ) Solución

Como ambas funciones son conjuntos finitos, se puede trabajar con cada elemento del dominio de

la función

Se conoce que ( ) * + , ( ) * +

y ( ) * +

Entonces ( ) ( ) * +

Luego:

Si ( ) ( ) ( ) , ( )- ( )

Entonces el par ( )

Si ( ) ( ) ( ) , ( )- ( )

Entonces el par ( )

Si ( ) ( ) ( ) , ( )- ( )

Entonces el par ( )

Si ( ) ( ) ( ) , ( )- ( )

Entonces el par ( )

Si ( ) ( ) ( ) , ( )- ( )

Entonces el par ( )

Por lo tanto:

*( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

( ) * +

( ) * +

Ejemplo 2 Sean las funciones definidas en forma discreta por los siguientes pares ordenados

*( ) ( ) ( ) ( )+

*( ) ( ) ( ) ( )+

Hallar la función ( ) Solución


Se conoce que ( ) * + , ( ) * +


100

y ( ) * +

Entonces ( ) ( ) * +

Luego:

Si ( ) ( ) ( )

Si ( ) ( ) ( )

Si ( ) ( ) ( )

Si ( ) ( ) ( ) , ( )- ( )

Entonces el par ( )

Por lo tanto:

*( )+

( ) * +

( ) * +

Ilustración Gráfica


101

Observaciones 1.- Cuando las funciones están definidas por conjuntos discretos finitos de pares ordenados, hallar

su composición es inmediata ya que sus dominios e imágenes son conjuntos finitos

2.- Cuando las funciones son de valor real, sus dominios son intervalos o unión de intervalos o

aún más las funciones tienen varias reglas de correspondencia, entonces no es fácil calcular su

dominio y su regla de correspondencia de la función composición.

Ejemplo 3 Hallar el dominio y la regla de correspondencia de definidas por

( )

, - ( ) √ , -

Solución

Encontramos en primer lugar el dominio de la función composición

( ) * ( ) ( ) ( ) ( )+

Se conoce: ( ) , -, ( ) , -

Falta calcular ( ), lo calculamos partiendo del ( )

Si ( )

√ √ ( ) √ ( ) [ √ ]

Entonces ( ) ( ) [ √ ] , - [ √ ] lo que implica que si existe

composición

Luego:

( ) * ( ) ( ) ( ) ( )+

{ , - ( ) [ √ ]}

* , - , -+

* , -+ , -

Entonces: ( ) , -

Luego la regla de correspondencia será:

( )( ) , ( )- 0√ 1

√

Por lo tanto ( )( )

√ , -


102

Ejemplo 4 Hallar el dominio y la regla de correspondencia de definidas por

( ) { , )

, ) ( )

Solución

Se observa que la función tiene dos reglas de correspondencia

( ) { ( ) , )

( ) , )

Entonces

( )( ) { ( )( ) ( )( )

Hallamos

Calculamos en primer lugar su dominio

( ) * ( ) ( ) ( ) ( )+

Encontramos ( ) ( )

Se conoce que ( ) , )

Calculamos ( )

Como ( ) √ ( )

( ) , )

Luego ( ) ( ) , ) , ) , )

Entonces

( ) * ( ) ( ) ( ) ( )+

* ( ) ( ) , )+

Por otro lado si ( ) , ) ( )

√ [ √ )

Luego

( ) * ( ) ( ) ( ) ( )+

* ( ) ( ) , )+

{ ( ) [ √ )}

{ [ √ )}

Por lo tanto


103

( ) [ √ )

Su regla de correspondencia será:

( )( ) , ( )- , - ( )

Procedemos en forma similar para hallar

Calculamos en primer lugar su dominio

( ) * ( ) ( ) ( ) ( )+

Encontramos ( ) ( )

Se conoce que ( ) , ) ( ) , )

Luego ( ) ( ) , ) , ) , )

Entonces

( ) * ( ) ( ) ( ) ( )+

* ( ) ( ) , )+

Por otro lado si ( ) , ) ( )

√ √ [√ √ )

Luego

( ) * ( ) ( ) ( ) ( )+

* ( ) ( ) , )+

{ ( ) [√ √ )}

{ [√ √ )}

Por lo tanto

( ) [√ √ )

Su regla de correspondencia será:

( )( ) , ( )- , -

Por lo tanto la solución general será la unión de las dos soluciones:

( )( ) { ( )( )

[ √ )

( )( ) [√ √ )


1) Sean las funciones:

*( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

*( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

Hallar: a) b)


104


*( ) ( ) ( ) ( )+

*( ) ( ) ( ) ( )+

Hallar: a) b)


( ) , -

( )

Hallar: a) b)


( ) √

( )

Hallar: a) b)


( ) {

( ) {

Hallar:


( ) { , -

( -

( ) √ , -

Hallar:

Gráfica de regiones definidas por inecuaciones

Para graficar regiones definidas por inecuaciones se debe tener presente la manera como está

expresada la inecuación:

a)

b)


105

Entonces la gráfica de la región siempre tendrá como frontera la ecuación definida por la igualdad

, además la gráfica de la región definida en la parte a) corresponde a

todos los puntos debajo de la frontera o sobre la frontera sin incluir la frontera y la gráfica de la

región definida en la parte b) corresponde a todos los puntos debajo o sobre la frontera incluyendo

la frontera

Observaciones

1) Cuando una región está definida por dos o más inecuaciones, entonces se trata de

sistemas de inecuaciones y su gráfica estará constituida por uniones o intersecciones de

regiones

2) Cuando se tiene el signo entre dos inecuaciones, entonces la gráfica general de la

región está constituida por la intersección de las dos regiones

3) Cuando se tiene el signo entre dos inecuaciones, entonces la gráfica general de la

región está constituida por la unión de las dos regiones

4) Para graficar una región, en primer lugar se debe arreglar la desigualdad, teniendo

presente que la variable independiente siempre debe de estar en el primer miembro y

además de signo positivo


Graficar las siguientes regiones definidas por:

1) 5)

2) 6)

3) 7) | | | | | |

4) | | 8)

Solución 1)

La región estará constituida por todos los puntos debajo de la frontera o borde definido por

X

Y


106

Solución 2)

La región estará constituida por todos los puntos sobre la frontera o borde definido por

incluido la frontera

Solución 3)

Para diseñar la gráfica de la región definida por , en primer lugar se

descompone a las desigualdades usando las propiedades correspondientes y teniendo en cuenta

las observaciones anteriores:

Usamos la propiedad siguiente: Si , en este caso se tendrá:

luego ordenando según las observaciones tenemos:

En consecuencia la región solución estará constituida por la intersección de las tres regiones

cuyas fronteras están definidas por:

X

Y

X

Y


107

Solución 4)

Para diseñar la gráfica de la región definida por | | , en primer

lugar se descompone a las desigualdades usando las propiedades correspondientes y teniendo

en cuenta las observaciones anteriores:

Usamos la propiedad: Si y también la propiedad del valor

absoluto | | , en este caso se tendrá:

{ } * +

{ } * +

{ } * +

En consecuencia la región solución estará constituida por la intersección de las cuatro regiones

incluido sus fronteras, cuyas fronteras están definidas por:

{ } * +


Graficar las siguientes regiones definidas por:

1) 6)

2) 7)

3) 8) | | | | | |

4) 9)

5) 10)

Y

X


108

Aplicación en el contexto empresarial la gráfica de regiones de sistemas de

desigualdades

Un área muy importante en donde se usa la gráfica de regiones de sistemas de desigualdades

con dos variables es la rama de las matemáticas denominada Programación Lineal.

Este aspecto se utiliza ampliamente en la industria, los negocios, la economía, la tecnología y el

análisis de muchos problemas sociales.

La programación lineal se usa para analizar problemas tales como el de maximizar las ganancias,

minimizar los costos o el uso de materiales con ciertas restricciones en la producción.

Problema práctico

Una empresa fabrica dos tipos de sistemas de altoparlantes para equipos estereofónicos: los de

buena calidad y los de óptima calidad

La producción de los sistemas requiere el armado de los altoparlantes y la producción de las cajas

en las cuales se los instala.

El sistema completo de buena calidad requiere de 3 horas hombre para el armado de los

altoparlantes y de 2 horas hombre para la producción de las cajas.

El sistema completo de óptima calidad requiere de 4 horas hombre para el armado de los

altoparlantes y de 6 horas hombre para la producción de las cajas.

El máximo de mano de obra disponible es de 480 horas hombre por semana para el armado de

los altoparlantes y de 540 horas hombre por semana para la producción de las cajas.

Se anticipa que todos los sistemas serán vendidos y que se obtendrá una ganancia de 10 dólares

por cada sistema de buena calidad y 25 dólares por cada sistema de óptima calidad.

¿Cuántos sistemas de cada tipo debe fabricar la empresa para obtener la máxima ganancia?

Solución del problema

La solución de este problema consiste en aplicar los conocimientos de la teoría de inecuaciones y

la gráfica de regiones definidas por sistemas de inecuaciones sujetas a las restricciones

planteadas por la empresa.

La gráfica resultante será un polígono dentro del cual estarán las diferentes posibilidades del

número de tipos de sistemas de altoparlantes que puede fabricar la empresa; sin embargo el

punto que maximice la ganancia de la empresa será uno de los vértices del polígono, lo que

significa que existe la posibilidad de que solo se pueden fabricar un solo tipo de producto.

Procedimiento

Construimos el modelo matemático

Sean:

Número de sistemas de altoparlantes para equipos estereofónicos de buena calidad

fabricados por la empresa en una semana


109

Número de sistemas de altoparlantes para equipos estereofónicos de óptima calidad

fabricados por la empresa en una semana

Ganancia de la empresa, donde

En consecuencia el problema se solucionará maximizando la ganancia sujeta a las siguientes

restricciones:

estas variables no pueden tomar valores negativos

restricción del armado de los altoparlantes

restricción de la producción de las cajas

Gráfica

Conclusión

Todos los puntos del gráfico sombreado (polígono), es un punto factible, sin embargo los puntos

que pueden maximizar la ganancia es uno de los vértices de dicho polígono, descartando el

origen.

Al realizar la comprobación se demuestra que el punto factible que maximiza la ganancia de la

empresa es el ( )

Por lo tanto para que la empresa maximice su ganancia debe fabricar 72 sistemas de

altoparlantes para equipos estereofónicos de buena calidad y 66 sistemas de altoparlantes para

equipos estereofónicos de óptima calidad

150

25

50

75

X

100

125

100 50 150 200 250 300

Y

( )

( )

( )

( )

( )


110

Ejercicio complementario

Analizar el problema de la máxima ganancia de la empresa, si por cada sistema de altoparlante

para equipos estereofónicos de de buena calidad su ganancia es de 20 dólares, los demás datos

se mantienen similares.


1) La compañía “Pinocho” produce dos modelos de licuadoras:

El modelo A requiere de 10 horas de trabajo en la línea de ensamblaje I y 2 horas en la línea

de ensamblaje II por semana

El modelo B requiere de 3 horas de trabajo en la línea de ensamblaje I y 3 horas en la línea

de ensamblaje II por semana

La línea de ensamblaje I tiene hasta 150 horas por semana y la línea de ensamblaje II hasta

54 horas por semana, para dedicarlas a la producción de licuadoras. ¿Qué cantidad de cada

modelo de licuadoras debe producir la empresa para maximizar su utilidad, si el modelo A

proporciona una utilidad de S/ 80,00 por licuadora y el modelo B tiene una utilidad de S/ 60,00

por licuadora?

2) Se requiere programar una dieta con dos alimentos S y T:

La unidad del alimento S contiene 100 calorías y 15 gramos de proteínas

La unidad del alimento T contiene 200 calorías y 10 gramos de proteínas

La dieta requiere como mínimo 1000 calorías y 90 gramos de proteínas diarias

Si el precio de cada unidad de alimento S es de S/.400,00 y el precio de cada unidad de

alimento T es de S/. 300,00

¿Cuántas unidades de cada alimento debe contener la dieta para minimizar el costo

3) Un elaborador de helados pone a la venta dos sabores de helados, pero desea maximizar la

ganancia de la venta de estos productos:

El primero produce una ganancia de 1,50 nuevos soles por unidad y el segundo una ganancia

de 2,00 nuevos soles por unidad

Pruebas de mercado y recursos disponibles han indicado las siguientes restricciones

El nivel de producción combinado no debe exceder de 1200 unidades mensuales, la demanda

del segundo sabor de helados es menor o igual que la mitad de la demanda del primer sabor

y el nivel de producción de helados del primer sabor es menor o igual que 600 unidades más

tres veces el nivel de producción del segundo sabor.

111


UNIDAD II

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCION DE VALOR REAL Introducción Los problemas que se pueden resolver con los métodos del Algebra y la Trigonometría son muy

numerosos; sin embargo hay muchos otros problemas que se presentan en los diversos campos

de la Tecnología, cuya solución requiere de métodos más avanzados.

Los temas tratados en los cursos básicos son parte de lo que se llama pre-cálculo, es decir

proporcionan los fundamentos del Cálculo, pero no son Cálculo.

La idea de Límite es la noción más importante del Cálculo, este concepto se encuentra

prácticamente en todo el análisis matemático.

Idea de Límite

Sea la función 1)( xxf , una función de valor real, con variable independiente y variable

dependiente , es decir )(xfy .

Luego analicemos el comportamiento de la función en una vecindad de 3x , es decir para

valores cercanos a 3 tanto al aproximarse por la derecho como por la izquierda, para ello

construimos una tabla de valores tabulando:

Valores de )(xf cuando x se acerca o aproxima a 3x por la izquierda

Valores de )(xf cuando x se acerca o aproxima a 3x por la derecha

Se observa en las tablas anteriores que a medida que x se acerca o aproxima cada vez más a 3,

)(xf se aproxima cada vez más a 4 y cuanto más cerca esté x de 3, más cerca estará )(xf de

4 Además: 4)( xf se puede hacer tan pequeño como se quiera haciendo | |

suficientemente pequeño

x 2 2.25 2.5 2.75 2.9 2.99 2.999

)(xf 3 3.25 3.5 3.75 3.9 3.99 3.999

x 3.001 3.01 3.10 3.25 3.5 3.75 4

)(xf 4.001 4.01 4.10 4.25 4.5 4.75 5

112


Se acostumbra a usar los símbolos y para estas pequeñas diferencias; entonces diremos

que 4)(xf , siempre que 3x , donde 03 x ya que 3x

En otras palabras:

Dado cualquier número positivo 0 tan pequeño como se quiera, debe existir 0)(

tal que 4)(xf siempre que | |

Cuando esto ocurre se dice que 4 es el límite de )(xf cuando x tiende a 3

Simbólicamente se representa por: 4)1(3

xLimx

Definición de Límite

Sea f una función de valor real, denotada por , y sea un punto que no

necesariamente pertenece al Dm(f); pero que toda vecindad de contiene puntos del Dm(f);

entonces el Límite de )(xf cuando x se aproxima (tiende o se acerca) a 0x , es L y se denota

como: LxfLimxx

)(

0

; si para cualquier >0 tan pequeño como se quiera, existe un

0)( tal que Lxf )( , siempre que | |

Simbólicamente:

Ilustración gráfica

LxfLimxx

)(

0

, si dado 0 existe un 0)( tal que | ( ) | ,

siempre que | |

X

Y

( )

•

113


Observaciones:

1) No es necesario de que la función esté o no definida en el punto para que exista el

límite

2) La explicación geométrica de la definición de límite expresa que dado épsilon ( ) , debe

ser posible encontrar un delta ( ), tal que la gráfica de la función se encuentre en el

rectángulo limitado por las rectas:

3) Surge la siguiente interrogante: ¿Qué tan cerca de se debe tomar el valor de para

que ( ) diste del valor de en un número muy pequeño prefijado?

Ejemplo

Si ( )

. ¿Qué tan cerca de debe de estar para que | ( ) | ?

Solución

Dado debemos encontrar un ( ) tal que | ( ) | , siempre

que | |

En efecto

| ( ) | |( ) | | | | || | | |

⇒| | ⇒

Este resultado significa que si dista de en menos de , entonces ( ) dista de

en menos de

Recomendaciones para la demostración de límites

Para la demostración del límite de cualquier función de valor real dada por ( ) , se

debe tener presente las siguientes recomendaciones:

1) Según la definición de límite, es necesario probar que dado cualquier , es posible

encontrar un tal que si | | entonces | ( ) | , inicialmente se

debe descomponer | ( ) | en dos factores, teniendo cuidado de que uno de estos

factores debe ser necesariamente | | y el otro factor restante una función denotada

por ( ), es decir | ( ) | | || ( )| ( ) , en este caso el problema se

reduce a acotar a la función ( ) , para ello se elige un delta particular, el cual debe ser un

valor pequeño, se acostumbra a elegir a este delta particular igual a la unidad ( ), sin

embargo este valor puede resultar inadecuado (muy grande) en algunos casos, por lo que

se debe tomar otro valor más pequeño, así se tendrá que | | | ( )| ,

donde es la cota de la función ( ), reemplazando en la expresión (*) se tendrá:

| | ⇒ | |

, luego tomando a * + se concluye

que ( )

114


2) Se debe recordar también algunas propiedades de desigualdades y de valor absoluto:

a) Si | | ⇒

b) Si ⇒ | | *| | | |+

c) Si ⇒ *| | | |+

d) | |

e) Si ⇒


Demuestre los siguientes límites

1) ( ) 4) .

/

2) ( ) 5) .

/

3) ( ) 6) .

√ /

Demostración 1)

Dado cualquier , debemos ser capaces de encontrar un ( ) tal que

|( ) | , siempre que | |

En efecto: |( ) | | | | ( )| | | ⇒ | |

⇒ | |

, siempre que | |

Por lo tanto: ( )

Demostración 2)



En efecto:

|( ) | | | |( )( )| | || | (*)

En esta última expresión se observa que | | , está acotada; pero el factor

| ( )| | | falta acotar, para ello elegimos un delta particular ( ) y buscamos el

número tal que | |

Entonces: si ⇒ | | ⇒ ⇒

⇒ | |

Luego reemplazando en (*) y sacando extremos tenemos, siempre que

115


|( ) | | || | | | ⇒ | |

,

siempre que | |

Luego tomando a 2

3 , se concluye que ( )

Demostración 3)



En efecto:

| | |( )( )| | || | (*)


| ( )| | | falta acotar, para ello elegimos un delta particular ( ) y buscamos el

número tal que | |


⇒ | |

Luego reemplazando en (*) y sacando extremos tenemos que:

|( ) | | || | | | ⇒ | |

, siempre que

| |

Luego tomando a 2

3 , se concluye que ( )

Demostración 4)


|.

/

| , siempre que | |

En efecto:

|

| |

( )| |

( )

( )| |

| |

| | |

|

| | | (*)


| ( )| |

| falta acotar, para ello elegimos un delta particular ( ) y buscamos el

número tal que |

|


⇒

⇒ |

|


116


|

|

|

| | | .

/ .

/ | | ⇒ | | , siempre que

| |

Luego tomando a * + , se concluye que .

/

Demostración 5)


|.

/ | , siempre que | |

En efecto:

|

| |

( )

)| | | |

| | | |

| | | (*)


| ( )| |

| falta acotar, para ello elegimos un delta particular ( ) y buscamos el

número tal que |

|

Entonces:

si ⇒ | | ⇒ ⇒ ⇒

⇒ ⇒

⇒ |

|


|

| |

| | | ( ) .

/ | | ⇒ | |

, siempre que

| |

Luego tomando a 2

3 , se concluye que .

/

Demostración 6)


|.

√ /

| , siempre que | |

En efecto:

|

√

| |

√

√ | |

( √ )( √

( √ )( √ )| |

( )

( √ ) ( )| |

( √ )|

|

| | | |

√ |

| | |

√ | (*)


117


| ( )| |

√ | falta acotar, para ello elegimos un delta particular ( ) y buscamos el

número tal que |

√ |

Entonces:

si ⇒ | | ⇒ ⇒ ⇒

Luego por un lado tenemos: (▲)

Por otro lado tenemos: √ √ √ ⇒ √ √ √ (▲▲)

Sumando (▲) y (▲▲) tenemos: √ √ √

⇒

√

√

√ ⇒ |

√ |

√


|

√

|

| | |

√ | .

√ / | | ⇒ | | ( √ ) ,

siempre que | |

Luego tomando a { ( √ ) } , se concluye que .

√ /


Demuestre los siguientes límites

1) ( ) 4) .

√

/

2) ( ) 5) .

/

3) ( ) 6) (√ )

Límites Laterales (derecha e izquierda)

Cuando se definió el límite de una función, no se hizo ninguna restricción sobre la manera como

debe acercarse o tender x a , solamente x se consideró móvil y fijo:

Entonces:

a) Cuando x tiende o se acerca a por la derecha, el límite se llama, límite a la derecha de la

función )(xf en el punto y es denotado por LxfLimxx

)(

0

b) Cuando x tiende o se acerca a por la izquierda, el límite se llama, límite a la izquierda de la

función )(xf en el punto y es denotado por LxfLimxx

)(

0

Observaciones:

118


1.- Se dice que: LxfLimxx

)(

0

)(

0

xfLimxx

= )(

0

xfLimxx

; es decir existe el

límite de una función si y solo si existen los límites laterales y son iguales.

2.- Generalmente cuando la función tiene diferentes reglas de correspondencia para

, es necesario calcular los límites laterales de la función.

Ejemplos:

1.- Hallar los límites laterales de la función signo cuando x tiende a 0 y trazar la gráfica

correspondiente.

2.- Calcular el límite de la función cuando x tiende a 1, si existe y trazar su gráfica de:

11

11

13

)(

2

xsix

xsi

xsix

xg

Solución 1)

La función signo es definida por:

0,1

0,0

0,1

)(

xsi

xsi

xsi

xsig

gráfica

Los límites laterales izquierdo y derecho son:

, ( )- , ( )-

Como estos límites laterales son diferentes se concluye que no existe el límite de la función signo

cuando se acerca a cero, es decir , ( )- no existe

Solución 2)

Graficamos a la función: ( ) {

1

-1

y

x

o

o

( )

( ) * +

119


Los límites laterales izquierdo y derecho son:

, - , -

Como estos límites laterales son iguales se concluye que si existe el límite de la función cuando

se acerca o tiende a 1, es decir , ( )-


En las siguientes funciones encontrar el límite si existe en el punto indicado: y trazar la gráfica

correspondiente:

a)

21

212)(

xsi

xsixxf ?)(

2

xfLim

x

b)

12

14)(

2

2

xsix

xsixxg ?)(

1

xgLim

x

c)

127

12

132

)(

xsix

xsi

xsix

xh ?)(1

xhLimx

Límites al infinito

Definición 1.- Sea una función que está definida en todos los números reales de algún

intervalo ( ) , entonces el límite de )(xf cuando x crece sin límite

(x ) es L y se denota como: LxfLimx

)( , si para cualquier 0 tan

pequeño como se quiera, existe un N > 0 tal que: Lxf )( siempre que x > N

X

Y

-3

1

-2

-1

o

-2 2

•

120


Definición 2.- Sea una función que está definida en todos los números reales de algún

intervalo ),( a : entonces el límite de )(xf cuando x decrece sin límite (x

) es L y se denota como: LxfLimx

)( , si para cualquier 0 tan

pequeño como se quiera, existe un N > 0 tal que: Lxf )( siempre que x

< N

Definición 3.- Generalizando se dice que:

LxfLimx

)( Si y solo si dado 0 existe N > 0 tal que:

NxxLxf ,)(

Ejemplo:

11 2

2

x

xLim

x

gráfica

En la gráfica se observa que cuando decre sin limite, La función se acerca a ; lo mismo

sucede cuando crece sin limite

LIMITES INFINITOS

En los límites infinitos se observa que cuando 0xx , f(x) crece o decrece sin límite y se

escribe:

)(

0

xfLimxx

o

)(

0

xfLimxx

Definición 1.- Sea una función que está definida en algún intervalo , que contenga a ,

excepto posiblemente el mismo , entonces a medida que se aproxima a

, ( ) crece sin límite, lo cual es denotado por: ( ) (*)

121


Si para cualquier número , existe un tal que ( ) , siempre que

| |

Definición 2.- Sea una función que está definida en algún intervalo , que contenga a ,

excepto posiblemente el mismo , entonces a medida que se aproxima a ,

( ) decrece sin límite, lo cual es denotado por: ( ) (**)

Si para cualquier número , existe un tal que ( ) ,siempre que

| |

Observaciones:

1) La ecuación (*) se puede leer como el límite de ( ) cuando se aproxima a es infinito

positivo; en tal caso el límite de la función no existe, pero el símbolo indica el

comportamiento de los valores de la función ( ) a medida que se acerca cada vez más a

2) La ecuación (**) se puede leer como el límite de ( ) cuando se aproxima a es infinito

negativo; en tal caso el límite de la función no existe, pero el símbolo indica el

comportamiento de los valores de la función ( ) a medida que se acerca cada vez más a

Ejemplo:

Sea la función: 2)2(

3)(

xxf , una función de valor real 2x

Luego averigüemos los valores de )(xf cuando x se acerca a 2 tanto por la derecha como por la

izquierda

Si hacemos que x se aproxime a 2 por la derecha, )(xf crece rápidamente sin límite, por lo que

podemos escribir

22 )2(

3

xLim

x

En forma similar si hacemos que x se aproxime a 2 por la izquierda, f(x) crece rápidamente sin

límite, por lo que podemos escribir

22 )2(

3

xLim

x

Y

122


Por lo tanto como los límites laterales son iguales se concluye que:

2

2 )2(

3

xLim

x

gráfica:


Graficar y calcular el límite de las siguientes funciones:

a) 3)3(

1)(

2

xcuando

xxf

b) 2)2(

3)(

2

xcuando

xxf

c) 11

2)(

xcuando

x

xxf

Propiedades de Límites

En la teoría de límites se cumplen las siguientes propiedades:

1) Si C es una constante cualquiera, entonces CCLimxx

0

2) Si m y b son constantes cualesquiera, entonces CbxmCbxmLim oxx

)(

0

3) Si LxfLimxx

)(

0

y MxgLimxx

)(

0

, entonces se verifican que:

a) Si K es una constante, entonces LKxfLimKxfKLimxxxx

.)(..)(.

00

b) MLxgLimxfxfLimxgxfLimxxxxxx

)()()()()(

000

c) MLxgLimxfxfLimxgxfLimxxxxxx

.)(.)()()(.)(

000

2

Y

X

123


d) 0)(

)(

)(

)(

0

0

0

M

M

L

xgLim

xfLim

xg

xfLim

xx

xx

xx

Nota.- El caso b) y c) se pueden generalizar para n-funciones

4) Si LxfLimxx

)(

0

y n es cualquier entero positivo, entonces se verifica lo siguiente:

a) nn

xx

n

xxLxfLimxfLim

)()(

00

b) nn

xx

n

xxLxfLimxfLim

)()(

00

5) Si LxfLimxx

)(

0

, donde: L >0 y 00 x , entonces

)()()(

00

LLogxfLimLogxfLogLim axx

aaxx

Operaciones con el Infinito

El infinito no es un número real, pero si es posible operar con el infinito y los números reales de

acuerdo a las siguientes reglas:

a) b) c)

d) ( ) e) f) ( )

g) h) ( ) i) ( )

j) ( ) k)

l)

m)

n)

Expresiones indeterminadas

Son aquellas que no se les pueden asignar valores únicos, entre ellas tenemos:

a)

b)

c) ( ) d)

e) f) ( ) g) ( ) h)

124


Límites de expresiones indeterminadas

Para el cálculo del límite de expresiones de formas indeterminadas, es necesario levantar la

indeterminación, lo que se consigue por lo general, transformando la expresión propuesta por otra

equivalente.

Observaciones:

1.- En nuestro estudio inicialmente solamente calcularemos límites de expresiones

indeterminadas de la forma:

,

, ( ) , , más adelante cuando se estudie la

derivada y apliquemos la regla de L.Hospital completaremos las demás formas

indeterminadas.

2.- Para calcular los límites de funciones racionales, cuando al reemplazar directamente se

presenta la forma indeterminada

, se trasforma la expresión dada factorizando tanto al

denominador como al numerador y reduciendo

.

3.- Para calcular los límites al infinito de funciones racionales cuando al reemplazar directamente

se presenta la forma indeterminada

, se levanta la indeterminación, dividiendo tanto al

numerador como al denominador entre la máxima potencia de la variable de la función

racional y posteriormente se resuelve aplicando las propiedades de límites ya conocidas.

4.- Para calcular los límites al infinito de funciones cuando al reemplazar directamente se

presenta la forma indeterminada , se levanta la indeterminación, multiplicando tanto al

numerador como al denominador por la respectiva conjugada

5.- Debemos mencionar el caso del cálculo de límites de función, de función o de la forma:

, ( )- ( )

Para calcular este tipo de límites se debe tener presente los siguientes casos:

Caso 1.- Si existen los límites y son finitos de las funciones:

, ( )-

y , ( )-

Entonces: , ( )- ( ) ( )

Caso 2.- Si , ( )- y , ( )-

,

Entonces:

a) Si A > 1 se tiene que

125


, ( )- ( ) ( ) ∨ , ( )- ( )

( )

b) Si 0< A < 1, se tiene que

, ( )- ( ) ( ) ∨ , ( )- ( )

( )

Caso 3.- Si , ( )-

y , ( )-

Entonces:

, ( )- ( ) ( ) , ( ) -, ( )-

Límites Notables

Los límites notables son resultados que se pueden utilizar en la solución de límites más

elaborados, entre ellos tenemos los siguientes:

a) exx

xLim

1

01 b) ex

k

x k

xLim

1

0

c) ex

xxLim

1

01 d) 1

)(

0

x

xSenLim

x

e) 0)(1

0

x

xCosLim

x f) 1

1

0

xLim

xe

x

g) 01

0

nx xLim h) 1

)(

0

x

xTgLim

x

i) 2

1)(1

20

x

xCosLim

x j) 1

)(1

0

x

xSenLim

x

k) 1)(1

0

x

xTgLim

x l) 1,0()(

1

0

aaaLn

xLim

x

x

a

m) ex

x xLim

11 n)

kx

xe

x

kLim

1

126


o) ex

x xLim

11 p) 0

1

1

x

xSen

Limx

q) 01

nx xLim r) 0

1

nx xLim

s) 2

)(1

xTgLim

x t)

2)(1

xTgLim

x

u) 1)(

1

1

xLn

xLim

x v) 1

)(0

xSen

xLimx


1.- Calcular los siguientes límites:

a) )57( 2

3

xxLim

x b) )12( 2

2

xxLim

x

c)

12

65

2

2

3 xx

xxLim

x d)

3

273

3 x

xLim

x

e)

2

83

2 x

xLim

x f)

5

32

2

3

2 x

xxLim

x

g)

x

xLim

x

22

0 h)

11

11

30 x

xLim

x

i)

2

2

1 x

xLim

x j)

1

432

4

2

x

xxLimx

k)

13

)64)(53)(32(

3 xx

xxxLim

x l)

xxLimx

45

m)

)2(2

4 4

16

x

x x

xLim n)

x

x x

xLim

3

12

o) xx

xLim2

031

p)

3

)2(

3 x

xLnLim

x

127


Solución a)

( ) ( )

Solución b)

( ) ( )

Solución c)

0

1 ( ) ( )

( ) ( )

forma indeterminada, entonces

levantamos la indeterminación factorizando tanto al numerador como al denominador

6

7

6( )( )

( )( )7

(

)

Solución d)

También es uma forma indeterminada

, entonces factorizamos al numerador como una diferencia

de cubos

6

7

6( )( )

7

( )

( ) ( )

Solución e)

También es una forma indeterminada

, entonces factorizamos al numerador como una suma de

cubos

6

7

6( )( )

7

( )

( ) ( )

Solución f)

*√

+ *√

( ) ( )

( ) + √

√

128


Solución g)

0

√ √

1 √ √

es una forma indeterminada, para levantarla aplicamos el

artificio matemático de multiplicar y dividir por el conjugado del numerador

6

√ √

7

6√ √

7 6√ √

√ √ 7

[

√ √ ]

√ √

√ √

Solución h)

0

√

√

1

es una forma indeterminada, para levantarla en primer lugar aplicamos el

artificio matemático de multiplicar y dividir por el conjugado del numerador

6

√

√

7

6√

√

7 6√

√ 7

6

. √

/(√ )7

0

(√ )1 6

. √

/7

, se observa que el segundo limite sigue siendo una forma indeterminada para levantarla

aplicamos la diferencia de cubos al denominador

6

( √

)7 * .( √

) √

/

( √

) √

+

*

.( √

) √

/

+

0 ( √

) √

1

Entonces:

6

( √

)(√ )7

6

(√ )7 [ . √

/ √

]

6

(√ )7 [ . √

/ √

] ( )

Solución i)

.

/

forma indeterminada que se levanta dividiendo término a

término tanto al numerador como al denominador entre la máxima potencia , en este caso por

129


4

5

Solución j)

(

√ )

( )

√

forma indeterminada, se procede en forma similar

al caso anterior

(

√

)

(

√

)

√

Solución k)

0

( )( )(

1

procedemos en forma similar al caso anterior

[

. / .

/ .

/

] *

. / .

/ .

/

+

Solución l)

(√ √ ) √ ( ) √ √ √ forma indeterminada

que se levanta aplicando el artificio matemático de multiplicar y dividir en este caso por el

conjugado del numerador

(√ √ )4

√ √

√ √ 5

4

√ √ 5

.

√ √ / , se observa que este

último limite sigue siendo una forma indeterminada para levantarla dividimos tanto al numerador

como al denominador entre la máxima potencia en este caso

4

√ √ 5

(

√ √ )

(

√ √ )

Solución m)

Como se trato de límites de la forma , ( )- ( ) , procedemos a realizar el análisis

correspondiente de la función base y de la función exponente

.

/

( ) ( )

130


Entonces 0

1( )

( )

Solución n)


.

/

( )

Entonces 0

1( )

( )

Solución o)


( )

.

/

Entonces , -.

/ ( )

( ).

/ ( )

( ) ( )

Solución p)

.

(

/

(

( )

, es una forma indeterminada, para levantarla en

primer lugar aplicamos las propiedades de logaritmo para transformar la función

(

(

)

[ ( ) ] [

( ) ]

Ahora como la expresión dentro del corchete es un límite de la forma , ( )- ( ) ,

procedemos a calcularlo

( )

.

/

Luego: , -.

/ ( )

( ).

/ ( )

( ) ( )

Entonces .

(

/ 0

( )

1 ,( ) -

Ejercicios de aplicación Nº14

Calcular los siguientes límites

1.- ( ) 16.-

.

/( )

2.- ( ) 17.-

.

/

3.- ( ) 18.-

( ).

/

131


4.- .

√ / 19.-

. (

/

5.- .

/ 20.-

.

/

6.-

.

/ 21.-

.

/

7.- .

√

/ 22.-

4√

5

8.- .

/ 23.-

.√

√

/

9.- .

/ 24.-

.

√ /

10.- .

/ 25.-

.

/

11.- 4√

5 26.-

.

√ /

12.- .

√ √

/ 27.-

.

/

13.- .

√ / 28.-

.( )( )( )

/

14.- .

/ 29.-

( )

15.- (√ √ ) 30.- .

( ) ( )

( ) ( )/

( )

Ejercicios de aplicación Nº 15 (límites trigonométricos)


1.- 0

( )

1 14.-

[√ ( ) √ ( )

]

2.- 6

.

/

7 15.-

0 ( ) ( )

1

3.- 0

( )

1 16.-

0 ( ) ( )

1

4.- 0

( )

√ 1 17.-

0 ( )

1

132


5.- 0

( )

1 18.-

0 ( )

( )1

6.-

0 ( )

( ) ( )1 19.-

0 ( )

1

7.- 0

( ) ( )

1 20.-

0 ( )

( )1

8.-

6 .

/

( )7 21.-

0 ( )

1

9.- 0

( ) ( )

1 22.-

0 ( )

( )1

10.- 0

( )

( )1 23.-

0

( )

( ) 1

11.- 0

( )

1 24.-

0 ( )

1

12.- 0

( )

( )1 25.-

0 ( )

( )1

13.- 0

( )

( )1 26.-

0 ( ) ( )

( ), ( )-1

Continuidad de una función de valor real

La continuidad se ocupa del estudio de de la gráfica de una función que tiene un buen

comportamiento.

Las funciones que tienen un buen comportamiento, son las funciones derivables.

Una función derivable es aquella que, en cada punto de su gráfica se puede trazar una recta

tangente o también se dice que la gráfica tiene una dirección definida en todo punto.

Continuidad de una función en un punto

Motivación

Sea ( ) ( )( )

, cuya gráfica es:

X

Y

3

4 o

-3

1

133


En esta gráfica se observa que está definida para todos los valores de ,excepto para ,

la gráfica lo constituye todos los puntos de la curva excepto el punto ( ) ; es decir existe un

salto, por lo que se afirma que la función es discontinua en

Si redefinimos a ( ) , entonces la función está definida para todo , pero existe un salto

en la gráfica y la función sigue siendo discontinua en

Pero si aún más volvemos a redefinir a ( ) , entonces no existe salto en la gráfica de la

función, por lo tanto se dice que la función es continua para todos los valores de

Definición

Se dice que la función es continua en el número si y solo si se cumple las siguientes tres

condiciones:

a) ( )

b) , ( )-

c) , ( )- ( )

Observación

Si una o más de las condiciones anteriores no se cumplen para se dice que la función es

discontinua en

Clases de discontinuidad

Discontinuidad Evitable o removible

Si es una función discontinua en el número ; pero existe el , ( )- , se dice que la

discontinuidad es evitable y se puede redefinir a la función para convertirla en continua

Discontinuidad Esencial

Si es una función discontinua en el número ; en donde no existe el , ( )- , se dice

que esta discontinuidad es esencial, es decir no se puede evitar


Dadas las siguientes funciones:

Trazar su gráfica

Determinar los puntos donde existe un salto en la gráfica

Mostrar cual de las condiciones de la definición no se cumplen

Si la discontinuidad es evitable redefinir a la función para convertirla en continua

134


a) ( ) 8( )( )

c) ( ) 2

b) ( ) 8

d) ( ) {

| |

Solución a)

( ) {( )( )

Gráfica

La gráfica muestra que existe un salto en

Averiguamos que condición de continuidad no se cumple en

a) ( ) existe, entonces cumple

b) 0

( )( )

1

( ) existe, entonces cumple

c) , ( )- ( ) no cumple

Por lo tanto se concluye que la función es discontinua en

Pero como existe el límite se puede redefinir a la función en para convertirla en continua

( ) {( )( )

Solución b)

( ) {

X

Y

3

4 o

-3 1

• 2

135


Gráfica




b) Para calcular el límite de la función aplicamos límites laterales 0

1 y

0

1 como los límites laterales son diferentes se concluye que no existe el

límite de la función, entonces no cumple

c) Tampoco cumple

Por lo tanto se concluye que la función es discontinua en

Y como no existe el límite la discontinuidad es esencial en

Solución c)

( ) 2

Gráfica

X

Y

3 •

2

X

Y

3

4

o

-3 1

2

•

3

136





b) , - y

, - , como los límites laterales son

diferentes, se concluye que , ( )- ( ) no existe, no cumple esta

condición

c) Como no existe el límite tampoco cumple esta condición

Por lo tanto se concluye que la función es discontinua en , con una discontinuidad esencial

Solución d)

( ) {| |

Gráfica




b) Para calcular el límite de la función , calculamos los límites laterales

, ( )-

, ( )-

Como estos límites laterales son iguales se concluye que

, ( )- existe, cumple

c) , ( )- ( ) no cumple

Por lo tanto se concluye que la función es discontinua en y tiene una discontinuidad

evitable

Redefinimos a la función para convertirla en continua en

( ) 2| |

1 3 2 X

Y

• 3 --

2 --

1 --

137


Ejercicios de Aplicación Nº 16

Dadas las siguientes funciones:

i) Trazar su gráfica

ii) Mostrar cual de las tres condiciones de la definición no se cumple en el punto

indicado

iii) Si la discontinuidad es evitable redefinir a la función para convertirla en continua

1. ( )

2. ( ) {

3. ( ) 8

4. ( ) 2| |

5. ( ) 8

6. ( ) 8

| |

Continuidad de una función en un intervalo

Se dice que una función es continua en un intervalo si y solo si es continua en todo punto del

intervalo abierto.

Ejemplo:

( )

¿En que intervalo abierto es continua?

Solución

La función es cointinua en todo punto excepto en el punto

Por lo tanto es continua en todo intervalo que contenga al número 3; es decir es continua en

todo punto del intervalo ( ) ( )

Continuidad a derecha e izquierda de funciones

Definición 1

Se dice que la función es continua por la derecha del número si y solo si las siguientes tres

condiciones se cumplen

a) ( )

b)

, ( )-

138


c)

, ( )- ( )

Definición 2

Se dice que la función es continua por la izquierda del número si y solo si las siguientes tres

condiciones se cumplen:

a) ( )

b)

, ( )-

c)

, ( )- ( )

Definición 3

Un función cuyo dominio incluye el intervalo semi abierto por la derecha , ), se dice que es

continua en , ) si solo si es continua en el intervalo abierto ( ) y continua por la derecha de

Definición 4

Una función cuyo dominio incluye el intervalo semi abierto por la izquierda ( -, se dice que es

continua ( - si y solo si es continua en el intervalo abierto ( ) y continua por al izquierda de

Definición 5

Una función cuyo dominio incluye el intervalo cerrado , -, se dice que es continua , - si y

solo si es continua en el intervalo abierto ( ) así como también continua por la derecha de y

continua por la izquierda de


1.- Sea la función definida por ( ) √

Determinar si es continua o discontinua en cada uno de los siguientes intervalos: ( ) ;

( -; , ) , -

Solución

En primer lugar determinamos el dominio de la función

estará bien definida

Resolviendo esta inecuación se tiene que ( - ( )

139


i) Luego por definición se puede afirmar que la función es continua en el intervalo abierto

( )

ii) Averiguamos si la función es continua en el intervalo semi abierto por la izquierda

( -

Por definición, se dice que la función es continua en el intervalo semi abierto ( - si y

solo si es continua en ( ) y continua por la izquierda de 2.

Lo primero cumple, falta probar la continuidad por la izquierda de 2

a) ( )

b) 6√

7

c) 6√

7 ( )

Por lo tanto se concluye que es continua en el intervalo ( -

iii) Averiguamos si la función es continua en el intervalo semi abierto por la derecha

, )

Por definición, se dice que la función es continua en el intervalo semi abierto , ) si y

solo si es continua en ( ) y continua por la derecha de

Lo primero cumple, falta probar la continuidad por la derecha de

a) ( )

b)

6√

7

c)

6√

7 ( )

Por lo tanto se concluye que no es continua en el intervalo , )

iv) Averiguamos si la función es continua en el intervalo cerrado , -

Por definición, se dice que la función es continua en el intervalo cerrado , - si y solo si

es continua en ( ) , que cumple por i) ; además debe ser continua por la izquierda de

de que cumple por ii) y debe ser continua por la derecha de de que no cumple por

iii)

Por lo tanto se concluye que no es continua en el intervalo cerrado , -

2.- Demuestre que la función ( ) √ es continua en el intervalo cerrado , -

Solución

En primer lugar determinamos el dominio de la función

140


La función está bien definida resolviendo esta inecuación cuadratica se tiene que

, -, es decir ( ) , -

Entonces por definición se dice que es continua en el intervalo cerrado , - si solo si es

continua en el intervalo abierto ( ) y además continua por la derecha de y continua por la

izquierda de

i) Averiguamos si la función es continua por la derecha

a) ( )

b)

[√ ]

c)

[√ ] ( )

Por lo tanto se concluye que es continua por la derecha de

ii) Averiguamos si la función es continua por la izquierda de

a) ( )

b) [√ ]

c) [√ ] ( )

Por lo tanto se concluye que es continua por la izquierda de

En conclusión se ha demostrado que es continua en el intervalo cerrado -


Dadas las siguientes funciones, determinar si dichas funciones son continuas o discontinuas en los

intervalos indicados:

1) ( )

( ) , - , )

2) ( ) √ ( - , - , )

3) ( ) √

( ) , ) , -

4) ( ) √

( ) , ) ( - , -

141


UNIDAD IV

LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DE VALOR REAL

Introducción

La definición de derivada es uno de los conceptos básicos del Cálculo Diferencial e Integral

Los dos problemas importantes que propiciaron el concepto de derivada y que dio un gran

impulso al desarrollo de de la ciencia fueron:

Determinar la ecuación de la recta tangente a una curva dada en un punto dado

(Arquímedes 287-212 A.C)

Determinación de la velocidad de una partícula que se mueve sobre una recta en cada

instante (Kepler, Galileo; Newton 1564-1727)

Estos dos problemas, uno geométrico y el otro mecánico a simple vista parecen no tener

mucha relación sin embargo ambos son problemas son gemelos idénticos.

Actualmente los problemas importantes que se presentan se refieren a la razón de variación de

una cantidad con respecto a otra

Entre algunos ejemplos de estas razones de variaciones tenemos:

La razón de variación de la distancia con respecto al tiempo

La razón de variación de una barra metálica con respecto a la temperatura

La razón de variación de la intensidad de la luz con respecto a la fuente luminosa

La razón de variación de la corriente eléctrica con respecto al tiempo

La razón de variación de la utilidad con respecto al precio de un producto

La razón de variación del precio de un producto con respecto al tiempo

La razón de variación del volumen de una esfera con respecto a su radio

El índice de crecimiento de un microorganismo (biología)

La utilidad marginal (economía)

La densidad de un cable (física)

Los índices de solución (química), etc.

El buen sentido matemático sugiere que inicialmente estudiemos este concepto en forma

independiente de estos vocabularios especializados y de sus diversas aplicaciones

Por lo tanto la derivada se puede interpretar como la razón de variación instantánea de la

variable dependiente con respecto a la variable independiente

142


Motivación

Veamos primeramente la manera como definir la recta tangente a una curva en un punto dado

Inicialmente se definió a la recta tangente como una línea recta que toca a una curva en un

solo punto; definición que es insatisfactoria para la mayoría de las demás curvas

Posteriormente a ello se definió a la recta tangente a una curva en un punto , como la recta

que mejor se aproxima a ella en las cercanías de ; pero aún esta definición es muy vaga,

para la presición matemática

El concepto de límite proporcionará la mejor manera de definir a la recta tangente.

Interpretación Geométrica

Sea )( xf una función continua definida en un intervalo abierto ),( ba y sean

21 xyx puntos dentro de este intervalo, entonces se desea definir la pendiente de la recta

tangente a la gráfica de )( xf en el punto )(, 11 xfxP

X

Y

3

4

o

-3 1

2

•

3

P P

•

143


Para ello consideremos otro punto )(, 22 xfxQ , cercano al punto

Tracemos una recta que pase por los puntos QyP , la cual será una recta secante, ya que

corta a la curva en dos puntos

Denotemos la diferencia de las abscisas de QyP por x , que puede ser positivo o

negativo: xxxxxx 1212

Se sabe que la pendiente de esta recta secante que pasa por los puntos QyP esta dada por

la ecuación

x

xfxxf

xx

xfxfm

)()()()( 11

12

12sec

Por lo tanto

x

xfxxfm

)()( 11sec es la pendiente de la recta secante

Ahora mantengamos al punto como un punto fijo y acerquemos el punto a través de la

curva hacia , esto es equivalente a establecer que x tiende a cero )0( x

Entonces se observa que a medida que esto sucede, la recta secante gira sobre el punto ,

hasta tomar una posición límite; esta posición límite corresponde a la posición de la recta

tangente a la gráfica en el punto

Es decir que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función )( xf en el punto

es el límite de la pendiente de la recta secante cuando x se acerca o tiende a cero

)0( x , si este límite existe y si

.0

Secx

mLim , entonces la recta tangente a

la gráfica de )( xf en el punto es paralela al eje Y cuya ecuación esta dada por 1xx


144


Definición

Si la función f es continua en 1x , entonces la recta tangente a la gráfica en el punto

)(, 11 xfxP es:

a) La recta a través de P , que tiene pendiente )( 1xm definida por

x

xfxxfxm Lim

x

)()()( 11

0

1 , si existe el límite

b) La recta 1xx , si

x

xfxxfLim

x

)()( 11

0

Observación

Si no se cumple ninguna de estas dos condiciones, entonces diremos que no existe recta

tangente a la gráfica de f en el punto )(, 11 xfxP

Ejemplo

Calcular la pendiente de la recta tangente a la curva 342 xxy en el punto

),( 11 yxP

X

Y

Secante

Tangent

e

, ( )-

, ( )-

145


Solución

Se sabe que

x

xfxxfxm Lim

x

)()()( 11

0

1

Entonces: Si 34)( 2 xxxf 34)( 1211 xxxf

3)(4)()( 12

11 xxxxxxf

344)(2)( 12

1211 xxxxxxxxf

Luego: x

xfxxfxm Lim

x

)()()( 11

0

1

=

x

xxxxxxxxLim

x

34()344)(2( 1211

21

21

0

= 42)42(

11

0

xx

xxxLim

x

Por lo tanto 42)( 11 xxm

Para graficar la función y algunas rectas tangentes construimos una tabla tabulando

Tabla:

-1 0 1 2 3 4

( ) 8 3 0 -1 0 3

( ) -6 -4 -2 0 2 4

146


Gráfica

Observación

Se hace notar que la gráfica tiene una tangente horizontal paralela al eje X, cuando la

pendiente es igual a cero

En el ejemplo anterior en el punto que tiene como abscisa 2x la pendiente 0)2( m y

por lo tanto la recta tangente es paralela al eje X

Definición de la derivada de una función de valor real

Sea: una función de valor real definida en el punto , se dice que f es derivable

en , y es denotada por )(! xf si

x

xfxxfLim

x

)()(

0

existe y es finito.

Es decir: x

xfxxfxf Lim

x

)()()(

0

!

Observaciones:

1.- Si la función f es derivable en , )(! xf se llama derivada de f en

Y

X

)( xfy

0)( 1 xm

2)( 1 xm2)( 1 xm

147


x

xfxxfxf Lim

x

)()()( 11

0

1!

2.- La notación )(! xf es debido a Lagrange; pero también se usan otras notaciones tales

como:

dx

xfd )(, )(xf x , )( xf

, )(xfD

3.- Si )()( ! xfxfy es la derivada de con respecto a , se usa la notación

dx

dyy !

4.- Si 1x es un número particular en el dominio de f , entonces

, si existe el límite

5.- La definición de la pendiente de la recta tangente a una curva en el

Punto )(, 11 xfxP es dado por

, si , si existe el límite

Nota: Comparando , se observa que la pendiente de la recta tangente a la

gráfica de la curva definida por )( xfy en el punto )(, 11 xfxP es

precisamente la derivada de f evaluada en 1x .


Utilizando la definición de derivada, calcular la derivada de las siguientes funciones:

a) 123)( 2 xxf b) 0)( xxxf

c) IRxexf x )( d) IRxaxf x )(

e) 0)()( xxLnxf f) 0)()( xxLogxf a

x

xfxxfxm Lim

x

)()()( 11

0

1

148


g) )()( xSenxf h) )()( xCosxf

Solución de a)

Según la definición

x

xfxxfxf Lim

x

)()()(

0

!

Luego: Si 123)( 2 xxf , entonces

12)(3)( 2 xxxxf 12)(3)(63 22 xxxx

Reemplazando

x

xxxxxxf Lim

x

12312)(3)(63)(

222

0

!

xxxLimx

6)36(0

Por lo tanto xxf 6)(!

Solución de b)


x

xfxxfxf Lim

x

)()()(

0

!

Luego: Si xxf )( , entonces xxxxf )(

Reemplazando

)(

)()()(

00

!

xxxx

xxxxxx

x

xxxxf LimLim

xx

xxxxxxxx

xxxLimLimxx 2

11

)(

)(

00

149


Por lo tanto

xxf

2

1)(!

Solución de c)


x

xfxxfxf Lim

x

)()()(

0

!

Luego: Si xexf )( , entonces

xxexxf )(

Reemplazando

xx

x

xx

x

x

xxx

x

ex

ee

x

ee

x

eexf LimLimLim

11)(

000

!

Por lo tanto xexf )(!

Solución de d)


x

xfxxfxf Lim

x

)()()(

0

!

Luego: Si xaxf )( , entonces

xxaxxf )(

Reemplazando

x

aa

x

aaxf

xx

x

xxx

x

LimLim1

)(00

!

aLnax

aa x

x

x

x Lim .1

0

Por lo tanto )()(! aLnaxf x

150


Solución de e)


x

xfxxfxf Lim

x

)()()(

0

!

Luego: Si )()( xLnxf , entonces )()( xxLnxxf

Reemplazando

x

xxx x

xxLn

x

x

xxLn

x

xLnxxLnxf LimLimLim

1

000

! )()()(

xeLn

xeLn

x

xLn x

xx

x

x

Lim1

)(1

1

1

1

0

Por lo tanto 01

)(! xx

xf

Solución de f)


x

xfxxfxf Lim

x

)()()(

0

!

Luego: Si 0)()( xxLogxf a ,entonces

)()( xxLogxxf a

Reemplazando

xa

x

a

x

aa

x x

xxLog

x

x

xxLog

x

xLogxxLogxf LimLimLim

1

000

! )()()(

151


)(

1.

1)(

11

1

1

0 aLnxeLog

xeLog

x

xLog a

xa

xx

x

x

a Lim

Por lo tanto 0)(.

1)(! x

aLnxxf

Solución de g)

Según la definición x

xfxxfxf Lim

x

)()()(

0

!

Luego: Si )()( xSenxf , entonces )()( xxSenxxf

Reemplazando

x

xSenxxSenxf Lim

x

)()()(

0

!

x

xSenxSenxCosxCosxSenLim

x

)()()()()(

0

x

xSenxCosxCosxSenLim

x

)()(1)()(

0

x

xSenxCos

x

xCosxSen LimLim

xx

)()(

)(1)(

00

x

xSenxCos

x

xCosxSen LimLim

xx

)()(

)(1)(

00

)()1()()0()( xCosxCosxSen

Por lo tanto )()(! xCosxf

152


Solución de h)


x

xfxxfxf Lim

x

)()()(

0

!

Luego: Si )()( xCosxf , entonces )()( xxCosxxf

Reemplazando

x

xCosxxCosxf Lim

x

)()()(

0

!

x

xCosxSenxSenxCosxCosLim

x

)()()()()(

0

x

xSenxSenxCosxCosLim

x

)()(1)()(

0

x

xSenxSen

x

xCosxCos LimLim

xx

)()(

)(1)(

00

x

xSenxSen

x

xCosxCos LimLim

xx

)()(

)(1)(

00

)()1()()0()( xSenxSenxCos

Por lo tanto )()(! xSenxf

Derivadas Laterales

Sea: una función de valor real y sea un punto que pertenece al dominio de la

función ( ( ))

153


Definición 1

La derivada por la izquierda de f en el punto a , es denotada y definida por:

ax

afxf

x

afxafaf LimLim

axx

)()()()()(

0

!

Es decir si este límite existe y es finito, se dice que f es derivable por la izquierda en a

Definición 2

La derivada por la derecha de f en el punto a , es denotada y definida por:

ax

afxf

x

afxafaf LimLim

axx

)()()()()(

0

!

Es decir si este límite existe y es finito, se dice que f es derivable por la derecha en a

Definición 3

Se dice que f es derivable en a si y solo si existen y son iguales las derivadas laterales por

izquierda y derecha ))()(( !! afaf , cuya equivalencia es dada por:

ax

afxfaf Lim

ax

)()()(!

Teorema.- Si existe )(! af , entonces f es continua en a

Demostración:

Para la demostración de este teorema necesitamos demostrar que

)()( afxfLimax

En efecto:

154


Por un artificio matemático axaxax

afxfafxf

)(.

)()()()(

Entonces tomando límite cuando ax

)(.

)()()()( ax

ax

afxfafLimxfLim

axax

)(.)()(

)( axLimax

afxfLimafLim

axaxax

)()0()()( ! afafaf

Por lo tanto: )()( afxfLimax

Observación

El recíproco de este teorema es falso; es decir si una función f es continua en a , no implica

que f tenga derivada en a

Para mejor comprensión examinemos la función xxf )( en el origen (es decir en

0a

La función

0

0)(

xsix

xsixxxf

gráfica

Y

X

155


Esta función es continua en 0a , pero no tiene derivada en este punto ( ya que es un punto

anguloso)

Demostraremos que xxf )( no es derivable en 0a

En efecto:

x

x

x

x

x

fxff LimLimLim

xxx 000

! 0

0

)0()()0(

Pero este límite no existe puesto que sus límites laterales son diferentes

1)1(

000

LimLimLimxxx

x

x

x

x

1)1(

000

LimLimLimxxx

x

x

x

x

Por lo tanto f no es derivable en 0a , sin embargo f si es continua en 0a

Ejemplo

Analizar la derivada de la función definida por:

2224

22)(

2

2

xen

xsixx

xsixxf

Gráfica

(2, -2)

Y

X

-2

2

156


En el gráfico se observa que f es continua en 2x ; pero no es derivable en este punto

porque no existe )2(!f ya que sus derivadas laterales no son iguales

2

)2(2

2

)2()()2(

2

22

!

x

x

x

fxff LimLim

xx

4)2(2

)2()2(

2

4

22

2

2

xx

xx

x

xLimLimLimxxx

2

)2(24

2

)2()()2(

2

22

!

x

xx

x

fxff LimLim

xx

0)2(2

)2()2(

2

44

22

2

2

xx

xx

x

xxLimLimLimxxx

Nota

En general en cualquier punto en el que la gráfica de una función presenta una esquina aguda,

es continua pero no diferenciable

Propiedades de las derivadas

1.- Si kxf )( , donde k es una constante, entonces 0)(! xf

2.- Si xxf )( , entonces 1)(! xf

3.- Si )(.)( xfkxg , donde k es una constante y )(! xf existe, entonces

)(.)( !! xfkxg

4.- Si nxxf )( , donde Qn , entonces

1! .)( nxnxf

5.- Si )( xf y )( xg son funciones derivables y si )()()( xgxfxh

Entonces )()()( !!! xgxfxh

157


Generalización:

Si )(,...,)(,)(,)( 321 xfxfxfxf n , son funciones derivables y si

)(...)()()()( 321 xfxfxfxfxh n

Entonces xfxfxfxfxh n (...)()()()(!!

3!

2!

1!

6.- Si )( xf y )( xg son funciones derivables y si )(.)()( xgxfxh

Entonces )(.)()(.)()( !!! xfxgxgxfxh

7.- Si )( xf y )( xg son funciones derivables con 0)( xg y si

)(

)()(

xg

xfxh

Entonces

2

!!!

)(

)(.)()(.)()(

xg

xgxfxfxgxh


Calcular la derivada de las siguientes funciones, aplicando las propiedades

a) 10)( xf b)

2)(

xxf

c) 3)( xxf d) 3242)( 23 xxxxf

e) )4()32()( 2523 xxxxxf f) 5

12)(

2

x

xxf

Solución a) Como 10 es una constante, entonces 0)(! xf

Solución b) 2

1)1(

2

1)(

2

1)( !! xxf

158


Solución c) 213! 3)(3)( xxxf

Solución d) !!!2!3! )3()2()4()2()( xxxxf

02)2(4)3(2 2 xx

286 2 xx

Por lo tanto: 286)( 2! xxxf

Solución e)

!2325!2523! )32.()4()4().32()( xxxxxxxxxf

)66.()4()220().32( 225423 xxxxxxxx

3467 12108464 xxxx

Por lo tanto: 3467! 12108464)( xxxxxf

Solución f) 2

!2!2!

)5(

)5().12()12().5()(

x

xxxxxf

2

22

2

2

)5(

12204

)5(

)1().12()4().5(

x

xxx

x

xxx

Por lo tanto 2

2!

)5(

1202)(

x

xxxf


Calcular la derivada de las siguientes funciones, aplicando las propiedades

a) 32

35)(2

345 x

xxxxf b) 33 ).132()( xxxxf

159


c)

x

xxf

2

3)( d)

222

42

)(cba

abxcxxf

e) 12)( 2 xxxf f) 32 )32()( xxf

Tabla de las derivadas más usuales

1) 0cdx

d

2) dx

duu

dx

d.1

3) dx

ducuc

dx

d..

4) dx

duunu

dx

d nn .. 1

5) dx

dv

dx

duvu

dx

d

6) dx

duv

dx

dvuvu

dx

d...

7) dx

duwv

dx

dvwu

dx

dwvuwvu

dx

d........

8) 2

..

v

dx

dvu

dx

duv

v

u

dx

d

9) dx

du

du

dy

dx

dy.

10)

dy

dxdx

dy 1

11)

du

dxdu

dy

dx

dy

160


12) dx

duuCosuSen

dx

d.

13) dx

duuSenuCos

dx

d.

14) dx

duuSecuTg

dx

d.2

15) dx

duuCouCotg

dx

d.sec 2

16 dx

duuTguSecuSec

dx

d..

17) dx

duuCotaguCouCo

dx

d..secsec

18) dx

du

uuSen

dx

d.

1

1)(

2

1

19) dx

du

uuCos

dx

d.

1

1)(

2

1

20) dx

du

uuTg

dx

d.

1

1)(

2

1

21) dx

du

uuCotg

dx

d.

1

1)(

2

1

22) dx

du

uuuSec

dx

d.

1.

1)(

2

1

23) dx

du

uu

uCodx

d.

1.

1)(sec

2

1

24) dx

duee

dx

d uu .

25) dx

duaLnaa

dx

d uu ..

26) dx

du

uuLn

dx

d.

.

1

161


27) dx

du

aLnuuLog

dx

da .

.

1

28) dx

duuCoshuSenh

dx

d.

29) dx

duuSenhuhCos

dx

d.

30) dx

duuSechuTgh

dx

d.2

31) dx

duuhCouCotgh

dx

d.sec 2

32) dx

duuTghuSechuSech

dx

d..

33) dx

duuCotghuhCouhCo

dx

d..secsec

Derivada de una función compuesta (Regla de la Cadena)

Motivación

Supongamos que deseamos calcular la derivada de la función f definida por:

602 )142()( xxxf

Para empezar tendríamos que multiplicar 60 veces entre si al trinomio 142 2 xx ,

obteniéndose un polinomio de grado 120 y posteriormente derivar a cada término del

polinomio.

Afortunadamente existe otra manera de proceder a derivar esta función (Regla de la Cadena).

Después de definir esta regla se observará que la derivada de la función propuesta es

inmediata y está dada por: )44()142(60)( 592! xxxxf

Definición

162


Sean las funciones: )(ufy una función de u , donde

du

dy existe y )( xgu una

función de x , donde

dx

du existe, entonces decimos que:

)()()( xgfxgfy es la función compuesta en x cuya derivada está

definida por: )()()(.)( !!!! xgfxgxgfy , o equivalentemente

también por la siguiente expresión:

dx

du

du

dy

dx

dy. denominada la derivada de la función

compuesta o regla de la cadena


1) Si 602 )142()( xxxfy , calcular

dx

dy

Solución: 142 260 xxuuy , donde 5960udu

dy y 44 x

dx

du,

entonces )44(60. 59 xudx

du

du

dy

dx

dy

Por lo tanto: )44(.)142(60 592 xxxdx

dy

Nota.- La Regla de la cadena ha permitido calcular la derivada del ejemplo de la motivación

en forma inmediata

2) Si 523 )452( xxy , calcular

dx

dy

Solución: Sea 452 235 xxuuy , donde 45u

du

dy y ,

xxdx

du106 2 , entonces )106(5. 24 xxu

dx

du

du

dy

dx

dy

163


Por lo tanto: )106(.)452(5 2423 xxxxdx

dy

3) Si 35 )72(

1

xy , calcular

dx

dy

Solución: Sea 721 53

3 xuu

uy , donde

43 udu

dy y,

410 xdx

du , entonces )10(3. 44 xu

dx

du

du

dy

dx

dy

Por lo tanto: 45

4445

)72(

30)10(.)72(3

x

xxx

dx

dy

4) Calcular

13

4

3

3

12

t

tt

dt

d

Solución: Se debe calcular dt

du

du

dy

dt

dy.

3

124

313

t

ttuuy ,

donde 1213u

du

dy y

24

3324

)3(

)4()12()23()3(

t

tttttt

dt

du, entonces

24

234612

4

3

)3(

6946

3

1231.

t

tttt

t

tt

dt

du

du

dy

dt

dy

Por lo tanto:

24

234612

4

3

)3(

6946

3

1231

t

tttt

t

tt

dt

dy

Regla de la cadena Compuesta

Si )(ufy una función de u , donde du

dy existe

164


)(vgu una función de v , donde

dv

du existe

)( xhv una función de x , donde

dx

dv existe

Entonces:

dx

dv

dv

du

du

dy

dx

dy..

Observaciones

1.- En forma similar la regla de la cadena compuesta se puede generalizar para n-funciones

2.- En la práctica se harán mentalmente estas sustituciones, procediendo a eliminar los signos

de colección de afuera hacia adentro


Calcular

dx

dy de las siguientes funciones:

a) )3( xCosy b) )4(3 xSeny

c) , ( )- d) , ( )-

Solución a)

)3(.3)3(.)3()3(! xSenxdx

dxSenxCos

dx

d

dx

dyy

Por lo tanto: )3(.3 xSendx

dy

Solución b)

33! )4()4( xSendx

dxSen

dx

d

dx

dyy

)4(.)4(.)4(3)4(.)4(3 22 xdx

dxCosxSenxSen

dx

dxSen

165


)4(.)4(.12)4(.)4(.)4(3 22 xCosxSenxCosxSen

Por lo tanto: )4(.)3(.12 2 xCosxSendx

dy

Solución c)

2

222! )3()3( xCosSendx

dxCosSen

dx

d

dx

dyy

2222 )3(.)3( xCos

dx

dxCosCos

)3(.)3(2.)3( 222

2 xCosdx

dxCosxCosCos

)3(.)3(.)3(.)3(.2 2222

2 xdx

dxSenxCosxCosCos

)6(.)3(.)3(.)3(.2 222

2 xxSenxCosxCosCos

Por lo tanto: )3(.)3(.)3(.12 2222 xSenxCosxCosCosxdx

dy

Solución d)

2332! )2()2( xCosLndx

dxCosLn

dx

d

dx

dyy

, ( )-

*, ( )- +

, ( )- ( )

, ( )-

( ) , ( )-

( )

, ( )-( ) ( )

166


Por lo tanto: )2(.12 32 xTgxdx

dy


Calcular la derivada de las siguientes funciones

a)

3

)2(

)(

xCos

xSeny b) )2( 32 xSenLny

c) 223 )3()12( xxy d)

32 )235( xxy

e)

21.

x

xTgArcy f)

)()(

)()(

xTgxSec

xTgxSecy

Derivada de una función implícita

Una función se dice que está expresada en forma Explícita si tiene la forma de )( xfy ,

es decir está despejada la variable dependiente )(y en función de la variable independiente

)( x , por ejemplo 153 2 xxy

Una función se dice que está expresada en forma Implícita si tiene la forma de

0),( yxf , es decir la variable dependiente )(y no está despejada en función de la

variable independiente )( x , por ejemplo 012 xy , sin embargo en este caso si es

posible expresarlo en forma explícita mediante las funciones: √ o √

Ahora si tenemos la ecuación

No podemos expresarlo explícitamente; pero puede existir una o más funciones f tales que si

)( xfy , entonces la ecuación lo podemos transformar en

2566 32 yyyxx

167


2566 )()()(32 xfxfxfxx lo cual es cierto para todos los

valores de x en el dominio de f .- En este caso se dice que y está definida Implícitamente

como una función de x .

Es necesario recalcar que no toda función dada implícitamente puede ser representada en

forma explícita, es decir en la forma )( xfy , tal es el caso de la función implícita dada

por: 04)(27 xSenxyy

Finalmente diremos que no toda ecuación define una función implícita, por ejemplo la ecuación

0422 yx no define ninguna función

Para calcular la derivada implícita de una función existen dos procedimientos:

Primero

Se deriva a la función dada tanto con respecto a x como con respecto a y ; pero cada vez

que se derive con respecto a y se debe multiplicar por su respectivo operador de la derivada

)( !y , 0

dx

dy

Ejemplos

Hallar

dx

dy de las siguientes ecuaciones

a) 22 34 xxy

b) 2566 32 yyyxx

c) 0422 yx

Solución a) 22 34 xdx

dxy

dx

d x

dx

dyy 61.2

168


y

x

dx

dy

2

61

Solución b) 2566 32 yyydx

dxx

dx

d

dx

dyy

dx

dyy

dx

dyyx .2.5.1826 455

262518 545 xyyydx

dy

yyy

x

dx

dy

2518

2645

5

Solución c) 0422

dx

dyx

dx

d 0.22

dx

dyyx

xdx

dyy 2.2

y

x

y

x

dx

dy

2

2

Segundo

Si la ecuación 0),( yxE define implícitamente una función, entonces la

dx

dyestá

definida por la siguiente fórmula !

!

y

x

E

E

dx

dy , donde

!xE es la derivada de ),( yxE con

respecto a x , considerando a la variable y como constante y !yE es la derivada de

),( yxE con respecto a y , considerando a la variable x como constante

Ejemplos

Hallar

dx

dy de las siguientes ecuaciones

169


a) 22 34 xxy

b) 3694 22 yx

c) 486

2

532

x

yyyxx

Solución a)

En primer lugar a la ecuación dada lo expresamos en la forma 0),( yxE

Entonces: 043 22 xxy , luego: !

!

y

x

E

E

dx

dy

Donde: yExE yx 261 !!

Reemplazando en la fórmula: y

x

y

x

dx

dy

2

61

2

61

Solución b)


Entonces: 03694 22 yx , luego: !

!

y

x

E

E

dx

dy

Donde: yExE yx 188 !!

Reemplazando en la fórmula: y

x

y

x

dx

dy

9

4

18

8

Solución c)


170


Entonces: 0486486 25322532 xyyyxxxyyyxx

luego: !

!

y

x

E

E

dx

dy

Donde: 422!! 5388166 yyxExyxE yx

Reemplazando en la fórmula: 422422 538

6168

538

8166

yyx

yxx

yyx

xyx

dx

dy

Derivada de orden superior

Sea: Sea: una función de valor real y

xenderivableesffDmxB /)(

Entonces se dice que existe la derivada de f respecto a x o la primera derivada !f

Admitiendo que existe un subconjunto no vacío de B en la cual !f es derivable, se dice que

existe la segunda derivada de f y es denotada por cualquiera de las siguientes expresiones:

)(!! xf , )2

xfDx

, )( xf

, yDx

2,

2

2 )(

dx

xfd,

2

2

dx

yd

Si )( 0!! xf existe, se dice que f es dos veces derivable en 0x y el número )( 0

!! xf se

denomina segunda derivada de f en 0x

Si )(!! xf es una función derivable, su derivada !

!! )( xf , se denomina tercera

derivada de f y es denotada por cualquiera de las siguientes expresiones:

)(!!! xf , )3 xfDx

, )( xf

, yDx

3,

3

3 )(

dx

xfd,

3

3

dx

yd

171


Generalización

Derivando sucesivamente la función f (siempre que sea posible), se obtiene la n-ésima

derivada o derivada de orden n de f , denotada por cualquiera de las siguientes

expresiones:

)()( xf n, )xfDn

x, , yDn

x,

n

n

dx

xfd )(,

n

n

dx

yd


1.- Si 12

12

3

5

5

4

3

3

,,,:),2(dx

yd

dx

yd

dx

yd

dx

ydcalcularxSeny

2.- Si 6

6

3

323 ,:,8742

dx

yd

dx

ydcalcularxxxy

3- Si )(2

1

12

)( xfcalcularxx

xy n

Solución 1

)2(2)2( xCosxSendx

d

dx

dy

)2()2()2(2 2

2

2

xSenxCosdx

d

dx

yd

dx

dy

dx

d

)2()2()2(4 3

3

3

2

2

xCosxSendx

d

dx

yd

dx

yd

dx

d

)2()2()2(8 4

4

4

3

3

xSenxCosdx

d

dx

yd

dx

yd

dx

d

172


)2()2()2(16 5

5

5

4

4

xCosxSendx

d

dx

yd

dx

yd

dx

d

Generalizando: )2()2()2()2( 1211

12

12

xSenxCosdx

d

dx

yd

Solución de 3)

202

2

! )12(2)12()12(

1)(

xx

xxf

31!! )12(.2.2)( xxf

42!!! )12(.3.2.2)( xxf

53! )12(.4.3.2.2)( xxf V

64 )12(.5.4.3.2.2)( xxf V

Generalizando

)1(

11)1(11)(

)12(

!.2.)1()12(.!.2.)1()(

n

nnnnnn

x

nxnxf


Calcular la derivada de las siguientes expresiones

1) Hallar 2

2

dx

yd de la ecuación 632 22 yx

2) Hallar 2

2

dx

yd de la ecuación 4

x

y

y

x

3) Si )(32

52)( )(

2

2

xfcalcularxx

xxxf n

173


UNIDAD V

APLICACIONES DE LA DERIVADA

La teoría de la derivación tiene una infinidad de aplicaciones, mencionaremos algunas de ellas:

Regla de L’ Hospital

Si en el cálculo de límites de funciones, cuando se presentan las formas indeterminadas

o

Es decir

)(

)(

0

0

)(

)(

xg

xfLim

xg

xfLim

oo xxxx , para levantar la indeterminación

se aplica la Regla de HospitalL !.

Entonces:

)(

)(

)(

)(!

!

xg

xfLim

xg

xfLim

oo xxxxsiempre que exista este último límite;

en caso de que este segundo límite también sean formas indeterminadas, la regla de

HospitalL !, se puede generalizar hasta la derivada n-ésima; es decir que

)(

)(

)(

)()(

)(

xg

xfLim

xg

xfLim

n

n

xxxx oo

Ejemplos:


a)

30

)(

x

xSenxLimx

b)

23

21

x

xLimx

c)

)()2(2)3(

122

0 xCosxCosxCos

eeLim

xx

x d) x

xexLim 23 .

174


Solución a)

0

0

)0(

)0(0)(330

Sen

x

xSenxLimx


0

0

3

)(1

][

)]([)(20!3

!

030

x

xCosLim

x

xSenxLim

x

xSenxLim

xxx

Volvemos a aplicar la Regla de HospitalL ! ( para la segunda derivada)

0

0

6

)(

]3[

])(1[)(

0!2

!

030

x

xSenLim

x

xCosLim

x

xSenxLim

xxx

Volvemos a aplicar la Regla de HospitalL ! ( para la tercera derivada)

6

1

6

)0(

6

)(

]6[

])([)(

0!

!

030

CosxCosLim

x

xSenLim

x

xSenxLim

xxx

Por lo tanto : 6

1)(30

x

xSenxLimx

Solución b)

22 )(3

)(21

3

21

x

xLimx


02

)(6

2

6

2

]3[

]21[

3

21!2

!

2

xLim

x

xLim

x

xLim

xxx

Por lo tanto: 03

212

x

xLimx

Solución c)

])0(3[])0(3[2])0(3[

12

)()2(2)3(

12 0)0(22

0 CosCosCos

ee

xCosxCosxCos

eeLim

xx

x

)0()0(2)0(

121

CosCosCos

0

0

121

0

forma indeterminada,

175


entonces aplicando límite a la primera derivada

0

0

)0()0(4)0(3

22

)()2(4)3(3

22 0)0(22

0

SenSenSen

ee

xSenxSenxSen

eeLim

xx

xVolvemos a

aplicar la Regla de HospitalL ! ( para la segunda derivada)

12

2

)0()0(8)0(9

24

)()2(8)3(9

24 0)0(22

0

CosCosCos

ee

xCosxCosxCos

eeLim

xx

x

Por lo tanto 1)()2(2)3(

122

0

xCosxCosxCos

eeLim

xx

x

Solución d)

)(2

3

2

323 )(

.ee

xLimexLim

xx

x

x forma indeterminada, entonces

)(22

2

!2

!3

2

3

2

)2(3

2

3

][

][

ee

xLim

e

xLim

e

xLim

xxxxxx

Volvemos a aplicar la Regla de HospitalL ! ( para la segunda derivada)

)(22!2

!2

2

3

4

)(6

4

6

]2[

]3[

ee

xLim

e

xLim

e

xLim

xxxxxx

Volvemos a aplicar la Regla de HospitalL ! ( para la tercera derivada)

06

8

6

8

6

]4[

]6[)(22!2

!

2

3

ee

Lime

xLim

e

xLim

xxxxxx

Por lo tanto: 0.2

323

xx

x

x e

xLimexLim


Utilizando la Regla de HospitalL !, calcular los siguientes límites:

a) 1

0

x

xCosLimx

b) 35

52

233

0

xax

xaxxaLimx

176


c) 2

8y3

2

yLnLim

y

d) 1

123x2

2

xx

xLimx

e) )1(

x

eLnLim

x

x f)

xTg

xSenLimx 3

2

0

g)

x

xSen

Limx 3

2

0 h)

xCosx

xSenxTgLimx 0

Recta tangente y normal

Sea: , una función de valor real, definida por )( xfy y sea ),( 00 yxP un

punto de . Entonces )( 0! xf es la pendiente de la recta tangente a la curva )( xfy

en el punto 0x .

Ecuación de la recta tangente

La ecuación de la recta tangente está dada por la siguiente expresión:

Ecuación de la recta normal

La recta normal a una curva en un punto dado, es la recta perpendicular a la recta tangente en

ese punto, cuya ecuación está dada por:

00!

0 )( xxxfyy

0

0!0

)(

1xx

xfyy

177



1) Encontrar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva 3 xy , en el punto

)3,6(P

Solución

Para la solución, en primer lugar se debe encontrar )( 0! xf

Como 3)( xxfy , entonces: 32

1)(!

xxf , luego

6

1

92

1

362

1)( 0

!

xf

Ahora:

La ecuación de la recta tangente a la curva en el punto P estará dada por

0126618666

13 yxxyxy

La ecuación de la recta normal a la curva en el punto P estará dada por

3663)6(636

6

1

13 xyxyxy

0396 xy

2) Encontrar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva 0255 xyyx , en

el punto )1,1(P

Solución

Para la solución, en primer lugar se debe encontrar )(

00!

,),(

oo yxdx

dyyxf , por

que la ecuación de la curva está dada en forma implícita

178


Entonces: )(

!

!

)(00

!

,,),(

oooo yxy

x

yx E

E

dx

dyyxf , donde:

xyEyxE yx 2525 4!4! ,Luego:

125

52

25

25)1,1( )1,1(4

4

)1,1(4

4

)1,1(!

!

)1,1(!

xy

xy

xy

yx

E

E

dx

dyf

y

x

Ahora:

La ecuación de la recta tangente a la curva en el punto P estará dada por

0211111 yxxyxy

La ecuación de la recta normal a la curva en el punto P estará dada por

011111 yxxyxy

La Diferencial

La diferencial de una función f es igual al producto de su derivada por el incremento de la

variable independiente denotado por:

0,)(! xdxdondexxfdyy

Por lo tanto

dx

dyxf )(!

, es la diferencial expresada como el cociente de dos funciones.

Interpretación Geométrica

Sea. , una función de valor real y sea PQ el arco de la gráfica de la función f ,

entonces:

y es la diferencia entre las ordenadas correspondientes a los puntos QyP

dy es la elevación (o caída) de la tangente en el punto P al variar x desde xxax

(incremento de la ordenada de la tangente)

179


Gráfica

Donde:

PT = Tangente en el punto )(, xfxP

xdeldiferenciaxdeincrementodxxNM

dyAT incremento de la ordenada de la tangente (o cambio a lo largo de la tangente)

)(! xfdx

dy

x

ATpendiente de la tangente en P

Observaciones:

1) dxxfdy )(! es una muy buena aproximación al valor del incremento de y ,

donde 0),()( xcuandoxfxxfy

Por esta razón se puede establecer la siguiente relación:

Esta relación se denomina: “Propiedad de aproximación del valor de una función por

diferenciales”

2) Los diferenciales nos permiten calcular las estimaciones de errores.- Es decir: Si un

investigador mide cierta variable x , para obtener un valor 0x , con un posible error de

M

xx

N

x

N

=

x2

Tangente

X

Y

dy

y

x

)(xf

)( xxf

P

Q

A

T

dydxxfxfxdxfy )()()( !

180


magnitud de x y si el valor de 0x se usa para calcular un valor 0y de otra variable

y , que depende de x , entonces el valor de 0y queda superditado al error de x que se

cometió al medir 0x .

Equivalentemente: Cuando una cantidad )( 00 xfy se aproxima mediante la

cantidad )( 0 xxf con un error )()( 00 xfxxfy

Entonces:

Se llama error relativo al valor denotado y definido por:

)( 00 xf

y

y

yrelativoErrorEr

Se llama error porcentual al valor denotado y definido por:

)%100()(

%10000

xf

y

y

yporcentualErrorEp

Además como )( 0xfddyy

Entonces:

)(

)(

0

0

xf

xfdaproximadorelativoErrorEr

%100

)(

)(

0

0

xf

xfdaproximadoporcentualErrorEp

181



1) Usando diferenciales, encuentre una buena aproximación para calcular 6,4

Solución:

Una buena aproximación se obtendrá aplicando la relación de diferenciales

)()()(! xfxdxfdxxfdy , para ello establecemos la función

xxfy )( , ahora

Si 46,06,44 xdxxdondeadecambiax , entonces

6,44 adecambiax

Hallamos: 25,04

1

42

1)4(

2

1)( !! f

xxf

Entonces 15,0)6,0()25,0()(! dydxxfdy

Luego: 15,2415,06,415,0)()( xfxxf

Por lo tanto 15,26,4

2) El lado de un cubo mide 11, 4 Cm. Con un posible error de .05,0 Cm ¿Evalué el

volumen del cubo e indique una estimación del error de este volumen?

Solución

Se conoce que el volumen de un cubo de lado x está dado por 3xV

Entonces 33 1482)4,11( CmV

Por otro lado si dxxdVxV 23 3 , donde se conoce que

.05,0.4,11 CmdxCmx , luego32 19)05,0()4,11(3 CmdV

Por lo tanto se podrá reportar el volumen del cubo como 3191482 Cm

3) En cuanto aumentará aproximadamente el lado de un cuadrado, si su área aumenta de

22 1,99 mam

182


Solución

Si y es el lado de un cuadrado de área x , se tiene que xy , luego por las

condiciones del problema se tiene que 22 1,09 mdxmx

Además .016,0)1,0(92

1

2

1)(! mdydx

xdydxxfdy

Por lo tanto, el lado del cuadrado aumentará aproximadamente en 0, 016 m.

4) Se mide el radio de un cilindro de 25 pulgadas de altura, encontrándose que es de 20

pulgadas, con un posible error de 0,05 pulgadas. Encontrar el porcentaje de error

aproximado al calcular:

a) El volumen

b) La superficie lateral

c) El área de la base

Solución

Para la solución de este problema, en primer lugar debemos recordar las fórmulas que

permiten calcular el volumen de un cilindro, la superficie lateral de un cilindro, el área de la

base de un cilindro y las formulas del error porcentual aproximado aplicado a cada caso

Entonces

hrVVolumen 2

%100)(

)()(

0

0

rV

rVdVEp

hrSlateralSuperficie 2

%100)(

)()(

0

0

rS

rSdSEp

2rBbaseladeArea

%100)(

)()(

0

0

rB

rBdBEp

Por las condiciones del problema se tiene que:

adaspuh lg25 , adaspur lg200 , adaspudr lg05,0

Solución de a)

Si 00010)25()20()( 20

2 rVhrV

Luego 50)05,0()25()20(2)(2 0 rdVdrhrdV

183


Entonces:

%5,0)%100(00010

50%100

)(

)()(

0

0

rV

rVdVEp

Por lo tanto el error porcentual aproximado del volumen es de 0, 5 %

Solución de b)

Si 1000)25()20(2)(2 0 rShrS

Luego 50,2)05,0()25(2)(2 0 rdSdrhdS

Entonces:

%25,0)%100(0001

50,2%100

)(

)()(

0

0

rS

rSdSEp

Por lo tanto el error porcentual aproximado de la superficie lateral es de 0, 25 %

Solución de c)

Si 400)20()( 20

2 rBrB

Luego 2)05,0()20(2)(2 0 rdBdrrdB

Entonces:

%5,0)%100(400

2%100

)(

)()(

0

0

rB

rBdBEp

Por lo tanto el error porcentual aproximado del área de la base es de 0, 5 %


1) Usando diferenciales, encuentre una buena aproximación para calcular

a) 005,9 b) 3 1002

2) Al medir el radio de un círculo de 6 pulgadas, es posible que se haya cometido el error de

adaspu lg3,0 ¿Cuál será el error aproximado que se cometa al calcular el área del

círculo?

3) Un globo esférico tiene un diámetro de 10 pies.- ¿En cuanto aumentará aproximadamente

el volumen, si su diámetro aumenta en una pulgada?

4) Si el radio de una pompa de jabón aumenta de 3 pulgadas a 3, 025 pulgadas.- ¿En cuanto

aumentará el área aproximadamente de la pompa de jabón?

184


5) Calcule el volumen de material usado en la construcción de una cáscara esférica cuyo

radio interior es de 5 Cm. y el exterior de 5, 125 Cm.

VELOCIDAD Y ACELERACIÓN

Si la variable s mide la distancia y la variable t mide el tiempo, entonces la razón de cambio

de la distancia con respecto al tiempo se llama velocidad

Velocidad Promedio

Si s es la función de posición de un punto móvil P sobre una recta, entonces la velocidad

promedio de P entre el tiempo t y el tiempo tt , es denotada y definida por:

t

tsttstv

)()()(

Velocidad Instantánea

Si s es la función de posición de un punto móvil P sobre una recta, entonces la velocidad

instantánea de P en el tiempo t , es denotada y definida por:

t

tsttsLimtvt

)()()(

0

Observaciones:

1) No necesitamos precisar que este límite exista, puesto que trabajamos en el reino del

mundo físico, debe suponerse que cualquier punto P en movimiento, tiene velocidad en

cualquier instante t dado.

2) Si se define una función f en un intervalo ba, , entonces:

a)

ab

afbf

)()(, es la razón de cambio promedio de baenf ,

b)

x

xfxxfLimbaxx

)()(,,

0, es la razón de cambio

instantáneo de xenf , si existe límite, observándose que este límite es la derivada de

185


xenf .- Por lo tanto )(! xf puede considerarse como la razón de cambio

instantánea de xenf

3) En la función de posición s de un punto P , la velocidad instantánea es equivalente a la

derivada de la función s .- Es decir )()( ! tstv , observándose que:

a) Si Ptv 0)( se mueve hacia la derecha

b) Si Ptv 0)( se mueve hacia la izquierda

c) Si Ptv 0)( se encuentra en reposo

d) Los únicos puntos críticos de la función s son aquellos en que 0)(! ts

e) Además diremos que un punto que está en movimiento sobre una recta, no puede

cambiar su dirección sin pasar por el reposo

4) Existe un distinción técnica entre las palabras velocidad y rapidez:

La velocidad tiene un signo asociado a ella, puede ser positiva o negativa

La rapidez, se define como el valor absoluto de la velocidad )( tv ; pero no nos indica

cual es la dirección del movimiento.

Aceleración Promedio

La aceleración promedio se define como la razón de cambio de la velocidad respecto al tiempo.

Por lo tanto, si v es la función de velocidad del punto móvil P , la aceleración promedio de P

del tiempo tttiempoalt es dada por: t

tvttvt

)()()(

Aceleración

Si v es la función de velocidad de un punto móvil P , entonces la aceleración de P en el

tiempo t , se denota y define como: )()()()(

)( !!!

0tstv

t

tvttvLimtt

186


Ejemplos de Aplicación

1) Un objeto se mueve a lo largo del eje coordenado de modo que su posición en el instante

t está dado por 206)( 23 ttts , donde s se mide en centímetros y t en

segundos.- Discutir el movimiento del objeto:

a) Cuando la velocidad es cero ( 0 )

b) Cuando la velocidad es positiva

c) Cuando se mueve hacia atrás el objeto (es decir hacia la izquierda)

d) Cuando la aceleración es positiva

Solución

Se sabe que: 126)()(123)(2

2!2 t

td

sdtvttt

dt

dstv

a) Si 400)4(301230)( 2 tttttttv

Es decir la velocidad es cero cuando 40 tt

b) Si ),4()0,(0)4(301230)( 2 ttttttv

Es decir la velocidad es positiva ),4()0,( t

c) El objeto se mueve hacia la izquierda cuando 0)( tv

Si )4,0(0)4(301230)( 2 ttttttv

Es decir la velocidad es negativa )4,0(t

d) La aceleración es positiva cuando 0)( t

Si ),2(20)2(601260)( ttttt

Es decir la aceleración es positiva ),2( t

2) En una cisterna cónica fluye agua a razón de 8 pies cúbicos por minuto.- Si la altura de la

cisterna es de 12 pies y el radio de su base circular es de 6 pies.- ¿Con qué rapidez sube

el nivel del agua cuando esta tiene 4 pies de profundidad?

187


Solución

Denotemos con h la profundidad del agua en la cisterna en un momento t y sea r el radio

correspondiente de la superficie del agua

Gráfica

Se conoce que el volumen V del agua en la cisterna aumenta a razón de 8 pies cúbicos por

minuto, es decir: 8dt

dV; se quiere saber que tan rápido sube el agua en el momento en

que 4h ; es decir la variación de la altura con respecto al tiempo (

dt

dh )

Entonces necesitamos encontrar una ecuación que relacione a el volumen (V) y la altura (h)

La fórmula del volumen del agua en la cisterna está dada por hrV 2

3

1 , pero como

necesitamos encontrar

dt

dh, expresamos el volumen solamente en función de h, entonces por

semejanza de triángulos en el gráfico se tiene que

212

6 hr

h

r , luego reemplazando

en el volumen se tiene que: 1223

1 32h

hh

V

, ahora calculamos la

dt

dV,

derivando implícitamente ya que h depende de t

En efecto

dt

dhh

dt

dv

12

3 2, pero como se conoce que 8

dt

dV y 4h

Entonces: 637,02

12

)4(38

2

dt

dh

dt

dh

12

h

6

188


Por lo tanto cuando la profundidad del agua es de 4 pies su nivel sube a razón de 0, 637 pies

por minuto.

Si analizamos un momento, nos daremos cuenta de que el nivel del agua sube cada vez

despacio a medida que pasa el tiempo

Así si 102,0100

3210

dt

dhh , es decir cuando la profundidad del agua es de

10 pies su nivel sube a razón de 0, 102 pies por minuto.

El análisis anterior nos conduce a decir que la aceleración 2

2

dt

hdes negativa

Para calcular una fórmula de esta aceleración en cualquier instante de t , derivamos en forma

explicita la expresión

32

48 2

2

dt

dhh

dt

dhh

En efecto: 0202

2

2

22

2

22

dt

dhh

dt

hdh

dt

dhh

dt

dh

dt

hdh

2

2

22 2

dt

dhh

dt

hdh

2

2

2 2

dt

dh

hdt

hd

Por lo tanto la fórmula de la aceleración está dada por

2

2

2 2

dt

dh

hdt

hd

3) En un instante dado la longitud de un cateto de un triángulo rectángulo es de 10 pies y está

aumentando a razón de 1 pie por minuto; y el otro cateto es de 12 pies y está

disminuyendo a razón de 2 pies por minuto.- Hallar la razón de cambio respecto al tiempo

del ángulo agudo opuesto al cateto que en ese instante mide 12 pies.

Solución

Como se desea encontrar la razón de cambio del ángulo agudo opuesto al cateto que en ese

instante mide 12 pies, con respecto al tiempo, nuestra incógnita será

dt

d

189


Gráfica

Se conoce que: piesy 120 , piesx 100 , 2dt

dy , 1

dt

dx, además

x

yTg )( , luego hallamos

dt

d, derivando en forma implícita a

x

yTg )(

En efecto: 2

2_

)(x

dt

dxy

dt

dyx

dt

dSec

, luego por una identidad trigonométrica se

conoce que )(1)( 22 TgSec , además reemplazando en el instante 0t se tiene

que:

100

244

10

121)(

22

Sec

Luego reemplazando los otros datos se tiene que:

61

8

)10(

)1(12_)2(10

100

2442

dt

d

dt

d

Por lo tanto el ángulo está disminuyendo a razón de

61

8 pies por minuto (por que

61

8

dt

d)


1) Un punto se mueve a lo largo de un eje coordenado horizontal de tal forma que su posición

en el momento t , está especificado mediante la ecuación

303612)( 23 tttts , donde s se mide en centímetros y t en segundos

Analizar el movimiento del objeto.

x

y

190


a) Cuando la velocidad es cero ( 0 )

b) Cuando la velocidad es positiva

c) Cuando se mueve hacia atrás el objeto (es decir hacia la izquierda)

d) Cuando la aceleración es positiva

2) Supongamos que se arroja una pelota hacia arriba desde lo alto de un edificio de 160 pies

de altura, con una velocidad inicial de 64 pies por segundo.

a) ¿Cuándo alcanza la altura máxima?

b) ¿Cuál es la altura máxima?

c) ¿Cuándo llega al piso?

d) ¿Con qué velocidad llega al piso?

e) ¿Cuál es la aceleración en el momento en que 2t ?

3) Dentro de un tan que cónico está entrando agua a razón constante de ./3 3 Segm , el

radio del cono es de 5m. y su altura es de 4m.

Encontrar:

a) La velocidad con que asciende la superficie libre del agua

b) La razón de cambio (o variación) respecto al tiempo de la velocidad de subida cuando

la profundidad del agua es de 2m.

4) Una vía de ferrocarril cruza una carretera bajo un ángulo de 60º .- Una locomotora dista

160 m del cruce, y se aleja de él a la velocidad de 100Km por hora.- Un automóvil dista del

cruce 160 m. y se acerca a él a la velocidad de 50 Km. Por hora.- ¿A qué razón varía la

distancia entre ellos?

MAXIMOS Y MINIMOS

Definición

Sea , una función de valor real y sea c un punto del dominio de f , entonces:

a) )(cf es el valor máximo de f si )()()( fDmxxfcf (llamado

máximo global o absoluto)

b) )(cf es el valor mínimo de f si )()()( fDmxxfcf (llamado

mínimo global o absoluto)

c) )(cf es llamado un valor extremo de f si es un valor máximo o un valor mínimo

191


Teorema de la existencia del máximo y mínimo

Si f es continua en un intervalo cerrado ba, , entonces f tiene un valor máximo y un

valor mínimo

Gráfica

Teorema del punto crítico

Sea ,una función de valor real, definida en un intervalo I , que contiene a un puntoc

Si )(cf es un valor extremo, entonces c debe ser un punto crítico, es decir puede tomar

los siguientes nombres:

a) Un punto frontera en I

b) Un punto estacionario de f (Si 0)(! xf )

c) Un punto singular de f (Si existenoxf )(!)

Gráfica

X

Y

máximo

mínimo

a b

máximo

mínimo

a

b

X

Y

X

Y

máximo

mínimo

a

b Puntos frontera

máximo

mínimo

a

b

X

Y

Puntos estacionarios

192


Observaciones:

1) En un punto estacionario la tangente a la gráfica es una recta horizontal

2) Los valores extremos con frecuencia se presentan en los puntos estacionarios

3) Un punto singular es un punto en el que la gráfica tiene un vértice agudo, una tangente

vertical o existe un salto


1) Hallar los valores máximos y mínimos de las funciones definidas por

a) IRxxxxf 4)( 2

b) 2,1)( 3 2 xxxf

c) 16,83)( 3

2

xxxxf

Solución a)

Hallamos los puntos críticos, para ello encontramos la derivada de la función, lo igualamos a

cero y resolvemos para x

Punto singular

máximo

mínimo

a

b

X

Y

193


204242)(! xxxxf

Hallamos el valor mínimo de la función ya que se trata de una parábola que se abre hacia

arriba

Si 484)2(4)2()2(2 2 fx

Por lo tanto el mínimo de la función es 4 , tomado en 2x

Solución b)

Hallamos los puntos críticos, para ello encontramos la derivada de la función

3

!

3

2)(

xxf , se observa que )(! xf no existe para 0x , en consecuencia

los posibles puntos críticos de 2,1enf son: 2,0,1 xxx

Calculamos los valores máximos y mínimos

Si 0x , entonces 0)0( f

Si 1x , entonces 1)1()1( 3 2 f

Si 2x , entonces 6,14)2()2( 33 2 f

Por lo tanto el valor máximo de la función es 6,143 , tomado en 0x y su valor

mínimo de la función es 0 , tomado en 0x

4

2

X

Y

mínimo

xxxf 4)( 2

194


Gráfica

Solución c)

Hallamos los puntos críticos, para ello encontramos la derivada de la función, lo igualamos a

cero y resolvemos para x

3

3!

3

3

3

3

1

! 2)(

22121)(

x

xxf

x

x

xxxf

Ahora si 0x , entonces )(! xf no existe, luego los posibles puntos críticos son:

168,8,0 xxxx

Calculamos los puntos máximos y mínimos

Si 0x , entonces 0)0(30)0( 3

2

f

Si 8x , entonces 20128)8(38)8( 3

2

f

Si 8x , entonces 4128)8(38)8( 3

2

f

Si 16x , entonces

2,32,1916)6,1(121641216)16(316)16( 33

2

f

Por lo tanto el valor máximo de la función es 0 , tomado en 0x y el valor mínimo de la

función es 20 , tomado en 8x

1 2

X

Y

máximo

1

mínimo

195


2) Se desea construir una caja rectangular con una pieza de cartón de 24 pulgadas de largo

por 9 pulgadas de ancho, cortando cuadrados idénticos en las cuatro esquinas y doblando

los lados.- Encuentre las dimensiones de la caja de máximo volumen y calcule dicho

volumen

Solución

Sea x el lado del cuadrado que se va a cortar y V el volumen de la caja resultante

Gráfica

Entonces: 32 466216)224()29( xxxxxxV

Pero además podemos afirmar que 5,40 x , por lo tanto nuestro problema consiste

en maximizar el Volumen sobre 5,4;0

Hallamos los puntos críticos, para ello encontramos

dx

dV, lo igualamos a cero y resolvemos

para x

212132216 xxdx

dV 012132216 2 xx 021613212 2 xx

0)1811(1221613212 22 xxxx

0)2()9()1811( 2 xxxx 29 xx , pero como 9 no

está en el intervalo 5,4;0 , se desprecia y solamente se pueden considerar tres puntos

críticos 5,42,0 xxx

Pero en los puntos frontera del intervalo el volumen es nulo (0)

Ahora si 200)20()5(2)2(224)2(29(22 Vx

x

x

24

9

196


Por lo tanto concluimos que la caja tiene volumen máximo de 200 pulgadas cúbicas cuando

sus dimensiones son: 20 pulgadas de largo, 5 pulgadas de ancho y 2 pulgadas de altura o

profundidad.

Monotonía y Concavidad

Definición

Sea , una función de valor real definida sobre un intervalo I , entonces se dice que:

a) f es una función creciente sobre I , si para cada par de números Ixx 21 , , con

21 xx , entonces )()( 21 xfxf

b) f es una función decreciente sobre I , si para cada par de números Ixx 21 , , con

21 xx , entonces )()( 21 xfxf

c) f es una función estrictamente monótona sobre I , si es creciente o decreciente sobre I

Teorema de Monotonía

Sea f una función continua en un intervalo I y diferenciable en todo punto interior de I ,

entonces se verifica que:

a) Si 0)(! xf para todo x interior a I , se dice que f es creciente

b) Si 0)(! xf para todo x interior a I , se dice que f es decreciente

Este teorema nos permite conocer los intervalos donde la función es creciente y decreciente.

Teorema de Concavidad

Sea f una función dos veces diferenciable sobre un intervalo abierto ba, , entonces se

verifica que:

a) Si arribahaciacóncavaesfbaxxf ),(0)(!!

b) Si abajohaciacóncavaesfbaxxf ),(0)(!!

197


Punto de inflexión

Sea f una función continua en c , decimos que el punto )(, cfcP es un punto de

inflexión de la gráfica de f si la función es cóncava hacia arriba, hacia un lado de c y

cóncava hacia abajo, hacia el otro lado de c

Es decir el punto de inflexión, es el punto límite en donde termina la concavidad hacia un lado y

comienza la concavidad hacia el otro lado

Observación.- Se puede suponer que los puntos de inflexión son aquellos en

existenoxfxf )(0)( !!!!


En las siguientes funciones:

a) 71232)( 23 xxxxf b) 433

)( 23

xxx

xf

Determinar:

i) Los puntos críticos

ii) Los puntos de inflexión

iii) Los valores máximos y mínimos

iv) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento

v) Los intervalos de concavidad (hacia arriba y hacia abajo)

vi) Diseñar la gráfica de la función

Solución a)

Para la solución en primer lugar calculamos )()( !!! xfxf

612)(1266)( !!2! xxfxxxf

i) Para encontrar los puntos críticos igualamos la primera derivada a cero y resolvemos para

x , entonces 01266 2 xx

Luego 120)1()2(022 xxxxxx

198


Por lo tanto 12 xx son los puntos críticos

ii) Para encontrar los puntos de inflexión igualamos la segunda derivada a cero y resolvemos

para x , entonces 0612 x

Luego

2

1012 xx 7

2

112

2

13

2

12

2

123

f

2

11

4

3

4

176

4

13

8

12

2

1

f

Por lo tanto el punto de inflexión es

2

1,

2

1P

iii) Para encontrar los valores máximos reemplazamos en la función los valores de los puntos

críticos

Si 2x 7)2(12)2(3)2(2)2( 23 f

137241216)2( f

Si 1x 7)1(12)1(3)1(2)1( 23 f

1371233)1( f

Por lo tanto: El valor máximo es 13 dado en el punto 13,1P

El valor mínimo es -13 dado en el punto 13,2 P

iv) Para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento desigualamos a cero la primera

derivada y encontramos los intervalos solución

Es decir si 0)(! xf , la función es creciente y si 0)(! xf , la función es

decreciente

Solucionamos la inecuación cuadrática aplicando puntos críticos

120)1()2(022 xxxxxx

+ + -

-1 2

199


Por lo tanto:

La función crece ),2()1,( x

La función decrece )2,1( x

v) Para hallar los intervalos de concavidad hacia arriba y hacia abajo desigualamos a cero la

segunda derivada y encontramos los intervalos solución

Es decir si 0)(!! xf , la función es cóncava hacia arriba y si 0)(!! xf , la

función es cóncava hacia abajo

En efecto:

,

2

1

2

10120)(!! xxxxfSi

2

1;

2

10120)(!! xxxxfSi

Por lo tanto:

La función es cóncava hacia arriba para todo

,

2

1x

La función es cóncava hacia abajo para todo

2

1,x

vi) Gráfica

Y máximo

mínimo

2

1

X

10

5

5

10

2

1,

2

1

200


Solución b)

Para la solución en primer lugar calculamos )()( !!! xfxf

22)(32)( !!2! xxfxxxf

i) Para encontrar los puntos críticos igualamos la primera derivada a cero y resolvemos para

x Entonces: 130)1()3(0322 xxxxxx

Por lo tanto 13 xx son los puntos críticos

ii) Para encontrar los puntos de inflexión igualamos la segunda derivada a cero y resolvemos

para x , entonces 1022 xx

Luego 4)1(3)1(3

)1()1( 2

3

f

3

1431

3

1)1( f

Por lo tanto el punto de inflexión es

3

1,1P

iii) Para encontrar los valores máximos reemplazamos en la función los valores de los puntos

críticos

Si 3x 54)3(3)3(3

)3()3( 2

3

f

Si 1x3

174)1(3)1(

3

)1()1( 2

3

f

Por lo tanto:

El valor máximo es

3

17 dado en el punto

3

17,1P

El valor mínimo es 5 dado en el punto 5,3 P

iv) Para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento desigualamos a cero la primera

derivada y encontramos los intervalos solución

Es decir si 0)(! xf , la función es creciente y si 0)(! xf , la función es

decreciente

201


Solucionamos la inecuación cuadrática aplicando puntos críticos

130)1()3(0322 xxxxxx

Por lo tanto:

La función crece ),3()1,( x

La función decrece )3,1( x

v) Para hallar los intervalos de concavidad hacia arriba y hacia abajo desigualamos a cero la

segunda derivada y encontramos los intervalos solución

Es decir si 0)(!! xf , la función es cóncava hacia arriba y si 0)(!! xf , la

función es cóncava hacia abajo

En efecto: ,110220)(!! xxxxfSi

1;10220)(!! xxxxfSi

Por lo tanto:

La función es cóncava hacia arriba para todo ,1x

La función es cóncava hacia abajo para todo 1,x

+ + -

-1 3

202


vi) Gráfica

Ejercicios de aplicación nº 24

En las siguientes funciones:

a) 21

)(x

xxf

b) x

xxf 2

6)(

3

c) 652)( 23 xxxxf d)

32

203)(

35 xxxf

Determinar:

ii) Los puntos críticos

ii) Los puntos de inflexión

iii) Los valores máximos y mínimos

iv) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento

v) Los intervalos de concavidad (hacia arriba y hacia abajo)

vi) Diseñar la gráfica de la función

Y máximo

mínimo

3

1

X

5

5

3

1,1

203


UNIDAD VI

LA ANTIDERIVADA O INTEGRAL INDEFINIDA

Definición de antiderivada

La función se llama una antiderivada de la función , en un intervalo , si o

⌈ ⌉ para todo valor de en

Ejemplo:

Encuentre una antiderivada de la función en el intervalo

Solución:

Tratemos de encontrar una función que satisfaga la igualdad

Por nuestra experiencia en derivación sabemos que es una de tales funciones; si

analizamos nuestro resultado podemos observar que la función

también satisface la igualdad , por lo tanto también es una

antiderivada de ; de hecho que la función , donde es cualquier

constante, es una antiderivada de la función en

Por lo tanto podemos concluir que si dos funciones tienen la misma derivada, entonces dichas

funciones deben diferir en una constante.

Teniendo en cuenta la conclusión anterior podemos afirmar que si una función tiene una

antiderivada, tendrá una familia completa de ellas.

Llamaremos a esta familia de funciones “ La antiderivada general de f ”

Conclusión

Si es una antiderivada de ; entonces

Es decir [ ]

[ ] ( )

Por lo tanto la antidiferenciación es el proceso inverso de encontrar la antiderivada más general de

una función dada, cuyo símbolo es ∫ que se conoce con el nombre de integral y que denota la

antidiferenciación

Entonces aplicando el operador de integración a la expresión ( ) se tiene que:

∫ [ ] ∫ ( )

∫

204


Observaciones:

1.- La ecuación ( ) nos dice que cuando antidiferenciemos la diferencial de una función, se

obtiene la función más una constante arbitraria.

2.- A ) se le llama la antiderivada o primitiva o integral indefinida.

Ejemplos:

Encontrar la antiderivada de las siguientes funciones y graficar algunas curvas de dicha familia de

funciones: a) b)

Solución a)

Si se tiene la función , entonces la primitiva o antiderivada más general será

ya que

Gráfica:

Solución b)

Si se tiene la función , entonces la primitiva o antiderivada más general será

ya que

Y

X

205


Gráfica:

Propiedades

Se cumplen las siguientes propiedades:

1.- ∫

2.- ∫ ∫ , donde es una constante cualquiera

3.- ∫[ ] ∫ ∫

4.- ∫[ ] ∫ ∫

∫ ∫

5.- ∫

6.- ∫ ∫

7- ∫[ ] [ ]


Calcular las siguientes integrales indefinidas aplicando las propiedades anteriores.

Y

X

206


a) ∫ b) ∫

c) ∫[ √ ] d) ∫[

√ ]

e) ∫[ √

√ ] f) ∫[

]

g) ∫ h) ∫ [ ]

i) ∫ √

Solución a)

∫ ∫ ∫

Solución b)

∫ ∫ ∫

Solución c)

∫* √ + ∫[ ]

√

Solución d)

∫[

√ ] ∫ ∫

=

√

Solución e)

∫[ √

√ ] ∫[

] ∫[

]

∫ *

+ ∫ *

+

∫ *

+ ∫

√

207


Solución f)

∫[

] ∫[

]

∫ ∫ ∫

∫

Solución g)

∫

Solución h)

∫ [ ] [ ]

[ ]

Solución i)

Para solucionar este ejemplo es necesario emplear un artificio matemático (hacer un cambio de

variable, usando ) por lo tanto explicaremos la solución de este ejercicio más adelante

cuando estudiemos la técnica de integración por sustitución por el momento aceptaremos como

resultado el siguiente:

∫ √

√

Tabla de integrales indefinidas más usuales

1.- ∫

,

2.- ∫

, el valor absoluto del logaritmo es para garantizar de que sea positivo.

3.- ∫ ∫

4.- ∫

,

5.- ∫

6.- ∫

7.- ∫

8.- ∫

9.- ∫

10.- ∫

208


11.- ∫

12.- ∫

13.- ∫

14.- ∫

15.- ∫

16.- ∫

17.- ∫

18.- ∫

|

|

19.- ∫

(

)

20.- ∫

|

|

21.- ∫

,

∫

- ,

22.- ∫

√ (

) ,

23.- ∫

√ | √ |

24.- ∫

√ | √ |

25.- ∫√

√

| √ |

26.- ∫√

√

(

)

27.- ∫√

√ |

√

|

28.- ∫√

√ (

)

29.- ∫ √

30.- ∫ √

31.- ∫

32.- ∫

33.- ∫ | √ |

34.- ∫ | √ |

35.- ∫

36.- ∫

37.- ∫

209


38.- ∫

39.- ∫ [ ]

40.- ∫ | (

) |

41.- ∫

[ ⌊ ⌋]

Técnicas de integración

Son procedimientos que permiten calcular la integral indefinida con facilidad

Entre ellas tenemos las siguientes:

A.- Integración por sustitución

Esta técnica consiste en sustituir el integrando por otra función de tal manera que no altere el valor

de esta y se convierta en una integral más simple de calcularla


Calcular las siguientes integrales por sustitución

a) ∫ √ d) ∫ √

b) ∫ e) ∫[ ]

c) ∫ √ f) ∫

Solución a)

Para calcular ∫ √ , hacemos el cambio de variable siguiente: , luego

diferenciando con respecto a se tiene que:

, luego reemplazando

estos nuevos valores en la integral dada se tiene que:

∫ √ ∫ √

∫ √ ∫

√

√

Por lo tanto: ∫ √

√

Solución b)

Para calcular∫ , hacemos el cambio de variable siguiente: , luego

diferenciando con respecto a se tiene que:



210


∫ ∫

∫

Por lo tanto: ∫

Solución c)


diferenciando con respecto a x se tiene que:

, luego reemplazando estos

nuevos valores en la integral dada se tiene que:

∫ √ ∫√

∫ √

∫

=

0

1

0

1

*

+

√


√

Solución d)


diferenciando con respecto a x se tiene que:



∫ √ ∫ √

∫ √

∫

[

] [

] [

]

√


√

Solución e)

Para calcular ∫[ ] , hacemos el cambio de variable siguiente: ,

luego diferenciando con respecto a se tiene que:

, luego reemplazando estos nuevos valores en la integral

dada se tiene que:

∫[ ] ∫

∫

Por lo tanto: ∫[ ]

[ ]

Solución f)

Para calcular ∫

, hacemos el cambio de variable siguiente:

211


, luego diferenciando con respecto a se tiene que:

, luego reemplazando estos nuevos valores en la integral

dada se tiene que:

∫

∫

∫

Por lo tanto: ∫

Ejercicios propuestos N° 25

Calcular las siguientes integrales por sustitución

1) ∫ 5) ∫ √

2) ∫ 6) ∫ √

3) ∫

7) ∫

4) ∫

√ 8) ∫

B.- Integración por partes

Esta técnica o método se basa en la inversión de la fórmula para la diferencial del producto de

funciones

Recordamos que si son funciones derivables, entonces:

[ ]

Para deducir la fórmula de integración por partes se procede de la siguiente manera:

Se multiplica a los dos miembros de la expresión por obteniéndose

, haciendo trasposición de términos se obtiene:

, ahora aplicando a ambos miembros el operador de integración se

tiene la fórmula de integración por partes

Esta fórmula nos permite cambiar el problema de integrar la forma ∫ a la forma ∫ , la

cual debe ser más fácil de operar

Observaciones:

1.- El éxito de esta técnica depende generalmente de la elección tanto de y

2.- Es mejor incluir en nuestra selección para la parte más complicada del integrando, pero que

seamos capaces de poderlo integrar.

∫ ∫

212


3.- Algunas veces hay que aplicar la técnica de integración por partes varias veces.


Empleando la técnica de integración por partes calcular las siguientes integrales:

a) ∫ d) ∫

b) ∫ e) ∫

c) ∫ f) ∫

√

Soluciones

Para Calcular integrales empleando la técnica de integración por partes se utiliza la fórmula

∫ ∫ y nuestra primera tarea es decidir que parte del integrando hará las

veces de y , es obvio que debe ser incluido en

Solución a)

Para calcular∫ , elegimos: y

y ∫ ∫

Luego reemplazando estos nuevos valores en la fórmula tenemos:

∫ ∫

Por lo tanto: ∫

Solución b)

Para calcular ∫ , elegimos: y

y ∫ ∫

Luego reemplazando estos nuevos valores en la fórmula se tiene que:

∫ ∫

, a esta última integral lo integramos por

sustitución: ∫

Por lo tanto: ∫

Solución c)


y ∫ ∫


∫ ∫ , a esta última integral lo integramos nuevamente

por partes, eligiendo: y

y ∫ ∫ , entonces:

213


∫ ∫

Luego ∫ [ ]+C

Por lo tanto: ∫

Solución d)

Para calcular ∫ , expresamos el integrando de la siguiente manera:

∫ ∫ , ahora elegimos: y

y ∫ ∫


∫ ∫

∫

∫[ ]

∫ ∫

Sacando extremos tenemos:

∫ ∫ ∫

∫

[ ∫ ]

Por lo tanto:

∫

[ ]

Solución e)


y ∫ ∫


∫ ∫ , a esta última integral lo integramos nuevamente

por partes, eligiendo: y

y ∫ ∫ , entonces:

∫ ∫

Luego ∫ [ ]+C

Por lo tanto: ∫

Solución f)

Para calcular ∫

√ , elegimos: y

√

y ∫ ∫

√

214



∫

√ ∫ , a esta última integral lo integramos

nuevamente por partes, eligiendo: y

y ∫ ∫ √ ,entonces:

∫ * √ + ∫ * √ +

√ ∫ ∫ √

Sacando extremos y simplificando se tiene que:

∫

* √ +

[∫ √ ]

A esta última integral ∫ √ , lo integramos por sustitución, haciendo

, luego diferenciando se tiene que:

Entonces: ∫ √ *

+

∫

Luego reemplazando todos los valores tenemos que:

∫

√ {

* √ +

[

]}

√

Por lo tanto: ∫

√ * √

√ +


Calcular las siguientes integrales por partes

1) ∫ 4) ∫√

2) ∫ 5) ∫ √

3) ∫ 6) ∫

C.- Integración de potencias de senos y cosenos

Esta técnica es utilizada para calcular integrales de la forma:

∫ , ∫ o ∫

Se presentan cuatro casos diferentes:

CASO 1.- Calcular integrales de la forma: ∫ o ∫ , cuando n es un

entero IMPAR

Para la solución de este tipo de integrales se debe tener en cuenta la primera identidad

trigonométrica pitagórica: de donde se deducen lo siguiente:

y

215



Calcular las siguientes integrales:

a) ∫ b) ∫

Solución a)

Se descompone al y se reemplaza al por su

equivalente, entonces:

∫ ∫ ∫[ ]

∫ ∫

La primera integral es inmediata ∫ , la segunda integral se integra por

sustitución, haciendo , luego diferenciando se tiene que:

, entonces:

∫ ∫

∫

Por lo tanto: ∫

Solución b)

Se descompone al [ ] y se reemplaza al por su

equivalente, entonces:

∫ ∫[ ]

∫[ ]

∫ ∫ ∫

La primera integral es inmediata ∫ , la segunda integral se integra por

sustitución, haciendo , luego diferenciando

, entonces:

∫ ∫

∫

Y a la tercera integral también lo integramos por sustitución, haciendo , luego

diferenciando

, entonces:

∫ ∫

∫

216


Por lo tanto: ∫

CASO 2.- Calcular integrales de la forma: ∫ o ∫ , cuando n es un

entero PAR

Para la solución de este tipo de integrales se debe tener en cuenta las funciones trigonométricas

del seno y coseno del ángulo mitad, expresados de la siguiente manera:

y



a) ∫ b) ∫

Solución a)

Se reemplaza al integrando por el equivalente de

∫ ∫

∫

∫

La primera integral es inmediata ∫ , la segunda integral se integra por sustitución, haciendo

, luego diferenciando

, entonces:

∫

∫

Por lo tanto: ∫

Solución b)

Se descompone al [ ] y se reemplaza al por su equivalente,

entonces:

∫ ∫ *

+

{∫[ ] }

{∫ ∫ ∫ }

,∫ ∫ ∫ *

+ -

,∫ ∫

∫

∫ -

La primera y tercera integral son inmediatas ∫ , la segunda y cuarta integral se integra por

sustitución, haciendo y , entonces:

∫

y ∫

Por lo tanto:

217


∫

{ [

]

[

]}

,

-

CASO 3.- Calcular integrales de la forma: ∫ donde al menos una de los

exponentes es entero IMPAR

La solución de este tipo de integrales se similar al caso 1

Ejemplo de aplicación

Calcular la siguiente integral ∫

Solución:

∫ ∫

∫[ ]

∫ ∫

Luego integrando a la primera y segunda integral por sustitución tenemos

∫

∫

Por lo tanto: ∫

CASO 4.- Calcular integrales de la forma: ∫ donde ambos n y m son

enteros PARES

La solución de este tipo de integrales se similar al caso 2


Calcular las siguientes integrales

a) ∫

b) ∫

c) ∫

Solución a)

∫ ∫ [ ] , luego reemplazando al y

por su equivalente tenemos:

218


∫ ∫ [

] [

]

{∫[ ][ ] }

{∫[ ] }

{∫ ∫ ∫ ∫ }

2∫ ∫ ∫ 0

1 ∫[ ] 3

{

∫

∫ ∫ }

La primera integral es inmediata ∫

La segunda integral lo integramos por sustitución ∫

La tercera integral también lo integramos por sustitución

∫

Por lo tanto:

∫

{

}

Solución b)

Primero recordamos que:

Entonces *

+

Luego ∫ ∫ *

+

∫

∫ [ ]

∫ [

]

∫

[ ]

[∫ ∫ ∫ ]

{∫ ∫ ∫ [

] }

{

∫ ∫

∫ }



La tercera integral también lo integramos por sustitución

219


∫

Por lo tanto:

∫

{

[

] }

∫

Solución c)

Primero recordamos que:

Entonces:

Luego: ∫ ∫ *

+

∫

∫



Entonces: ∫

[ ]

*

+

Por lo tanto: ∫

Ejercicios de aplicación N° 27

Calcular las siguientes integrales que incluyen potencias de senos y cosenos

1) ∫ 6) ∫

2) ∫ 7) ∫

3) ∫ 8) ∫

4) ∫ 9) ∫

5) ∫ 10) ∫ (

)

D.- Integración por sustituciones trigonométricas

Esta técnica consiste en transformar expresiones con radicales de la forma:

√ , √ , √ , , a funciones trigonométricas, mediante

Pitágoras e integrar estas nuevas funciones

Se presentan tres casos fundamentales:

Caso1.- Cuando se presenta una expresión de la forma √ , se hace la sustitución

, de donde se obtiene que:

(

) , ,

220


Además de la expresión

, mediante Pitágoras y según el triángulo rectángulo

siguiente:

Se obtiene que: √

, de donde



a) ∫√ b) ∫√

Solución a)

Para calcular la ∫√ ∫ √ , hacemos la sustitución:

Además: (

) ,

Luego de la expresión


siguiente:

Se obtiene que: √

, de donde

Ahora remplazando en la integral dada se tiene que:

∫√ ∫ ∫

∫ *

+ [∫ ∫ ]

√

x

√

a

x

√

2

√

221


La primera integral es inmediata: ∫

La segunda integral lo integramos por sustitución

∫

Luego: ∫√ *

+

Además

Reemplazando por sus equivalentes tenemos

∫√ (

) *

+ 0

√

1

(

)

(√ )

Por lo tanto:

∫√ (

)

(√ )

Solución b)

Para calcular la ∫ [√

] ∫ [√

] , hacemos la sustitución:

Además: (

) ,

,

Luego de la expresión


siguiente:

Se obtiene que: √

, de donde

Ahora remplazando en la integral dada se tiene que:

∫0√

1 ∫ [

]

∫ *

+ ∫ ∫[ ]

∫ ∫

Estas últimas integrales son inmediatas:

∫ , ∫

x

√

3

√

222


Entonces: ∫ [√

] – , además:

√

√

Por lo tanto, reemplazando por sus equivalentes tenemos

∫0√

1

√

(

)



(

) , ,



siguiente:

Se obtiene que: √

, de donde



a) ∫√ b) ∫ √

Solución a)

Para calcular la ∫√ ∫ 0 √(√ ) 1 , hacemos la sustitución: √ ,

de donde se obtiene que:

(

√ ) , √ ,

√


√ , mediante Pitágoras y según el triángulo rectángulo

siguiente:

Se obtiene que: √

√ , de donde

√

√ √

x

√

√

x

√

a

223


Ahora remplazando en la integral dada tenemos

∫√ ∫√ √ ∫

Esta última integral ya ha sido calculada anteriormente

∫

[ ]

Luego, reemplazando por sus equivalentes

∫√

0.

√

√ / (

√ ) |

√

√

√ | 1

Por lo tanto:

∫√

√

|

√

√ |

Solución b)

Para calcular la ∫ √ ∫ 0 √(√ ) 1 , hacemos la sustitución:

√ , de donde se obtiene que:

(

√ ) , √ ,

√ , √


√ , mediante Pitágoras y según el triángulo rectángulo

siguiente:

Se obtiene que: √

√ , de donde

Ahora remplazando en la integral dada tenemos:

∫ √ ∫ √ √ √

√ ∫

√ {∫ [ ] }

√ {∫ [ ] [ ] }

√ {∫ ∫ [ ] }

A la primera integral lo integramos por sustitución, haciendo

√ √

x

√

√

224


Luego:

∫ ∫

∫

=

A la segunda integral también lo integramos por sustitución, haciendo

Luego:

∫ ∫

∫

=

Entonces reemplazando en la integral inicial por sus equivalentes se tiene que:

∫ √ √ {

}

√ 2

[

√

√ ]

[

√

√ ]

3


[ ]

[ ]



(

) , ,



siguiente:

Se obtiene que: √

, de donde



a) ∫√

b) ∫

[ ]

√

x

√

a

225


Solución a)

Para calcular ∫√

∫ √ , se hace la sustitución


(

) , ,



siguiente:

Se obtiene que: √

, de donde

Luego reemplazando se tiene que:

∫√

∫√

∫

∫ ∫[ ]

[∫ ∫ ]

La primera integral ya ha sido integrada anteriormente y la segunda integral esta expresada a

través de una fórmula

∫

[ ]

∫

Entonces:

∫√

{

[ ] }

Luego reemplazando por sus equivalentes tenemos

∫√

√

|

√

|

√ |

√

|

Por lo tanto: ∫√

√ |

√

|

√

x

√

2

226


Solución b)

Para calcular ∫

[ ]

, se hace la sustitución , de donde se obtiene:

(

) , ,



siguiente:

Se obtiene que: √

, de donde

Luego reemplazando se tiene que:

∫

[ ]

∫

[ ]

∫

[ ]

∫

∫

La expresión

puede ser reemplazada por su equivalencia que se obtiene por identidades

trigonométricas recíprocas

Así:

y

Entonces:

*

+ *

+

Luego:∫

∫

Por lo tanto reemplazando se tiene que: ∫

[ ]

√


Calcular las siguientes integrales por sustituciones trigonométricas

a) ∫

√ f) ∫

[ ]

[ ]

b) ∫

√ g) ∫

[ ]

√

x

√

1

227


c) ∫

√ h) ∫

√

d) ∫

[ ]

i) ∫ √

e) ∫

[ ]

j) ∫ √

E.- Integración de funciones racionales por descomposición en

fracciones parciales

Definición.- Una función racional se define como el cociente de dos funciones polinomiales

Así: si es una función racional, entonces

, donde y son

polinomios

Además se sabe que existen funciones racionales propias e impropias

Una función racional se dice propia cuando el grado del polinomio del denominador es mayor que

el grado del polinomio del numerador

Una función racional se dice impropia cuando el grado del polinomio del denominador es menor

que el grado del polinomio del numerador

Ejemplo

Convertir la función racional impropia

a propia

Solución

Para convertir una función racional impropia a propia se divide el numerador por el denominador

Entonces:

Ahora si se desea integrar la función racional , se tendría que integrar a su equivalente

Es decir:∫ ∫

∫ *

+

∫ ∫ ∫

Las dos primeras integrales son inmediatas, el problema está en calcular la integral de la tercera

que es una función racional propia.

En conclusión se desea integrar funciones racionales de la forma:

∫ ∫

, donde el grado del polinomio del denominador sea mayor que el grado

del polinomio del numerador

Para ello frecuentemente es necesario escribir la función racional propia como una suma de

fracciones parciales

228


Los denominadores de las fracciones parciales se obtienen factorizando como un producto

de factores lineales y cuadráticos

A veces es muy difícil encontrar los factores de , si embargo por un teorema de algebra

avanzada afirma que teóricamente esto se puede realizar

Teorema.- Cualquier polinomio con coeficientes reales puede ser expresado como un producto

de factores lineales y cuadráticos de tal forma que cada uno de los factores tiene

coeficientes reales

Después de que haya sido factorizado en producto de factores lineales y cuadráticos; el

método de determinar las fracciones parciales depende de la naturaleza de estos factores.

Se presentan cuatro casos típicos.

Caso 1.- Cuando los factores de son todos lineales y ninguno se repite.

En este caso la descomposición en fracciones parciales es la siguiente:

, donde:

Son las constantes que se van a determinar.



a) ∫ *

+ b) ∫ *

+

Solución a)

En primer lugar observamos que la función racional es propia ya que el grado del polinomio del

denominador es mayor que el grado del polinomio del numerador.

Luego factorizamos el denominador y lo descomponemos en fracciones parciales

En efecto:

Posteriormente determinamos los valores de las constantes A, B y C

Dando mínimo Común múltiplo tenemos:

Entonces:

Si

229


Si

Si

Por ultimo sustituyendo los valores de las constantes tenemos:

∫[

] ∫[

] ∫

∫

∫

= ∫

∫

∫

∫

∫

∫

[ ]

[ ]

0

1

Por lo tanto ∫ *

+

*

+

Nota.- Existe otra manera de encontrar los valores de las constantes A, B y C

Este método consiste en operar el segundo miembro, agrupando términos semejantes y

ordenando el polinomio en forma descendente.

Así:

Luego para que sea una identidad, los coeficientes del polinomio de la izquierda deben ser

iguales a los coeficientes del polinomio de la derecha.

Por lo tanto se forma un sistema de ecuaciones lineales cuyas incógnitas son A, B y C

Es decir se tiene:

Luego este sistema de ecuaciones lineales puede resolverse por cualquier método conocido,

inclusive por trasformaciones elementales de fila de matrices

Así:

,

,

230


Solución b)

En primer lugar observamos que la función racional que se desea integrar es impropia ya que el

grado del polinomio del denominador es igual al grado del polinomio del numerador.

Convertimos esta función racional impropia a propia dividiendo el numerador por el denominador,

obteniéndose la siguiente integral equivalente

∫0

1 ∫ [

] ∫ ∫ [

]

Luego nuestro problema se convierte en integrar la función racional propia

Para ello factorizamos el denominador y lo descomponemos en fracciones parciales

En efecto:

Posteriormente determinamos los valores de las constantes A y B

Dando mínimo común múltiplo tenemos:

Entonces:

Si

Si

Sustituyendo los valores de las constantes tenemos:

∫[

] ∫[

] ∫

∫

= ∫

∫

∫

∫

0

1

Entonces: ∫ *

+

*

+

Por lo tanto: ∫ *

+

*

+

Caso 2.- Cuando los factores de son todos lineales y algunos se repiten.

Supongamos que el factor se repite p-veces; entonces la descomposición en

fracciones parciales correspondiente a este factor es la siguiente:

231


, donde:

Son las constantes que van a ser determinadas.

Nota. A partir de este caso para hallar el valor de las constantes se emplearán solución de

sistemas de ecuaciones lineales


Calcular la siguiente integral: ∫ *

+

Solución:

Observamos que el integrando es una función racional propia, además el factor lineal se

repite dos veces y el factor lineal se repite tres veces

Entonces la descomposición de la función racional en fracciones parciales será la siguiente:

, Luego procedemos a calcular el valor de

las constantes: A, B, C, D y E

Eliminamos denominadores y agrupamos términos semejantes

Luego del hecho en que: dos polinomios son iguales si y solo si tienen los mismos coeficientes, se

obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales

Es un sistema lineal de 5 ecuaciones con 5 incógnitas, por lo que tiene solución única

Resolviendo se tiene:

,

,

,

y

Reemplazando los valores de las constantes en la descomposición de fracciones parciales se

tiene.

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

232


Integrando tenemos:

∫0

1

∫

∫

∫

∫

∫

|

|

Por lo tanto: ∫ *

+

|

|

Caso 3.- Cuando los factores de son lineales y cuadráticos y ninguno de los factores

cuadráticos se repiten

Entonces correspondiente al factor cuadrático del denominador, le corresponde la

siguiente descomposición parcial



a) ∫ *

+ b) ∫ *

+

Solución a)

Se observa que el integrando es una función racional propia, por lo tanto su descomposición en

fracciones parciales será la siguiente

, Luego eliminado denominadores y agrupando

términos tenemos:

De estos polinomios iguales obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Este sistema de ecuaciones lineales se puede resolver por cualquier método

Resolvemos el sistema utilizando transformaciones elementales de de tipo H (de filas)

En efecto la matriz aumentada del sistema de ecuaciones lineales será:

[

]

[

]

233


[

]

(

)

[

]

[

⁄

⁄]

[

⁄

⁄

⁄]

Entonces los valores de las copnstantes son:

,

,


tiene.

(

)

(

)

(

)

Integrando:

∫0

1

∫

∫

∫

En la integral

∫

observamos que el diferencial del denominador es ,

entonces sumamos y restamos 1 al numerador

∫

∫

∫

∫

Entonces:

∫0

1

∫

∫

∫

Luego por sustitución: ∫

y ∫

La integral ∫

lo adecuamos a la forma general ∫

(

)

Entonces: ∫

∫

234


Por lo tanto:

∫ *

+

Solución b)

∫ 0

1

Se observa que el integrando es una función racional impropia, por lo tanto en primer lugar lo

convertimos en función racional propia, Así:

Luego ∫ *

+ ∫ *

+

∫ ∫ ∫

Las dos primeras integrales son inmediatas. ∫

y ∫

Luego el integrando de la integral ∫

es una función racional propia, cuya

descomposición en fracciones parciales será:

Ahora eliminando denominadores y agrupando términos semejantes tenemos:


Resolvemos el sistema utilizando transformaciones elementales de de tipo H (de filas)

En efecto la matriz aumentada del sistema de ecuaciones lineales será:

[

]

[

]

[

]

(

)

[

⁄]

235


[

⁄

⁄

]

[

⁄

⁄

⁄]

Entonces los valores de las constantes son:

,

,


tiene.

(

)

(

)

(

)

Integrando:

∫0

1

∫

∫

∫

Luego por sustitución: ∫

y ∫

La integral ∫

lo adecuamos a la forma general ∫

(

)

Entonces: ∫

Luego:

∫0

1

Por lo tanto:

∫ 0

1

Caso 4.- Cuando los factores de son lineales y cuadráticos y algunos de los factores

cuadráticos se repiten

236


Si el factor es un factor cuadrático que se repite n-veces, entonces

correspondiente es este factor cuadrático se tendrá la siguiente descomposición en fracciones

parciales

Así por ejemplo si el denominador contiene el factor cuadrático

Su descomposición en fracciones parciales será la siguiente:


Calcular la siguiente integral: ∫ *

+

Solución

Como el integrando es una función racional propia y el denominador tiene un factor lineal y un

cuadrático repetido, su descomposición en fracciones parciales será la siguiente:

Ahora eliminando denominadores y agrupando términos semejantes tenemos:


Resolviendo este sistema se tiene:

,

,

,

,

Reemplazando los valores de las constantes en la descomposición de fracciones parciales.

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

237


Luego aplicando el operador de integración tenemos:

∫

( )

∫(

)

∫(

)

∫(

)

∫(

)

∫

Ahora buscamos la equivalencia de las integrales y ya que en ambas se observa que

el diferencial del denominador es , entonces sumando y restandao 2 al numerador

tenemos:

* = ∫ (

) ∫ (

)

∫.

/ ∫(

)

** = ∫ (

) ∫ (

)

∫.

/ ∫(

)

Reemplazando las equivalencias en la integral original tenemos:

∫

( )

∫(

)

∫(

)

∫(

)

∫(

)

∫

La primera integral lo calculamos por sustititución, haciendo

*

**

238


Luego: ∫(

)

La segunda integral ∫ (

) ∫ (

[ ] ) lo integramos por sustituciones

trigonométricas, utilizando la forma √ , en donde la sustitución trigonométrica es:

Para este caso particular la sustitución trigonométrica será:

y

Luego por Pitágoras se tendrá las siguientes equivalencias:

√

√

Ahora reemplazando en la integral tenemos:

∫(

) ∫(

[ ] ) ∫(

( ) ) ∫(

)

∫ ∫

[ ∫ ∫ ]

Luego: ∫ (

)

A la tercera integral también lo calculamos por sustitución haciendo

1

√

239


Entonces: ∫ (

)

Para calcular la cuarta integral lo edecuamos a la forma: ∫

(

)

Entonces: ∫ (

) ∫ (

) =

Por último reemplazando todos los recultados de las cuatro integrales tenemos:

∫

( )

[

]

[

]

*

+

[ ]

[ ] +C

*

+

[ ]

*

+

[ ]

[ ]

[ ] +C

[

]

[ ]

[

]

0 |

| 1

Por lo tanto:

∫

[

]

[ ]

[

]

0 |

| 1


Calcular las siguientes integrales por descomposición en fracciones parciales

1) ∫

7) ∫

2) ∫

8) ∫

240


3) ∫

9) ∫

4) ∫

10) ∫

5) ∫

11) ∫

6) ∫

12) ∫

241


UNIDAD VII

LA INTEGRAL DEFINIDA

Conceptos Preliminares

Sumatoria

Una sumatoria es una indicación de una suma abreviada, cuya representación simbólica se hace

mediante la letra griega sigma mayúscula denotada por , que corresponde a la letra de

nuestro alfabeto

Toda sumatoria consta de los sumandos y los índices superior e inferior.

Es decir, una sumatoria sugiere recorrer los enteros positivos, empezando en el índice inferior y

terminando en el índice superior

Ejemplos

∑

∑

∑

∑

Propiedades de linealidad de las sumatorias

∑ ∑

∑( ∑

∑

Ejemplos

∑

∑

242


∑(

∑(

Solución a)

∑(

∑

∑ ∑

( ( (

∑(

Solución b)

∑(

∑

∑ ∑

( (

∑(

Sumatorias Especiales

Se denominan sumatorias especiales porque están representadas equivalentemente por fórmulas

especiales, las cuales serán utilizadas en los tópicos que desarrollaremos más adelante.

Entre estas sumatorias especiales tenemos las siguientes:

∑

∑

(

∑

( (

243


∑

[ (

]

∑

( (

Ejemplos

Calcular las siguientes sumatorias

∑

∑

∑

∑ (

Solución a)

∑

(

(

Solución b)

∑

( (

( (

Solución c)

∑

( (

( (

Solución d)

∑ (

∑

∑

* ( (

+ *

(

+

* ( (

+ *

(

+

244


Introducción a Áreas

Existen dos problemas fundamentales, ambos geométricos, los cuales motivaron las dos más

grandes ideas del Cálculo Diferencial e Integral

El problema de la tangente, nos condujo a la derivada y el problema del área nos llevará a la

integral definida

Consideremos una región R en el plano cartesiano que está acotada por el eje de las , las

rectas y la curva que tiene como ecuación ( , donde es una

función continua en el intervalo cerrado [ ] y además por simplicidad tomemos a

( [ ]

Gráfica:

Nuestro problema consiste en asignar un número A , a la medida del área de la región R

Para resolver este problema haremos uso de un proceso límite similar al empleado por

Arquímedes, en la definición del área del círculo

El área del círculo se define como el límite de las áreas de los polígonos regulares inscritos,

cuando el número de lados aumenta sin límite

Definiremos una región poligonal continua en R (es decir rectángulos inscritos en la región R )

y dividiremos al intervalo [ ] en n-subintervalos; por simplicidad, tomamos cada uno de estos

intervalos de igual longitud, denotándolo por

Entonces:

, así mismo, los puntos extremos de estos subintervalos estarán dados

por , donde:

Y

X

b a

R

(

R

245


(

(

En consecuencia el i-ésimo subintervalo es denotado por [ ]

Además se sabe que: si es una función continua en el intervalo cerrado [ ] , es también

continua en cada subintervalo cerrado

El teorema del valor extremo, asegura que si existe un número en cada subintervalo para el cual

tiene un valor mínimo absoluto

Sea entonces un número en el i-ésimo subintervalo tal que ( y por lo tanto

( es el valor mínimo absoluto de en el intervalo cerrado [ ]

Consideremos entonces n-rectángulos, cada uno con unidades de ancho y una altura o largo

de ( unidades

La suma de las áreas de los n-rectángulos está dada por: unidades

Donde: ( ( ( (

∑ (

Gráfica

Y

(

X

(

246


Luego observamos que, si multiplicamos a por dos, entonces el número de rectángulos se

duplican y el ancho de cada rectángulo se reduce a la mitad, en consecuencia el área sombreada

se aproxima más al área real de la región R

Por lo tanto mientras crece sin límite, el valor de se aproxima a un límite y este límite se

toma como la medida real de la región R

∑ (

Definición

Supongamos que es una función continua en el intervalo cerrado [ ] , con

( [ ] y que R es la región acotada por la curva ( , el eje y

las rectas:

Dividamos al intervalo [ ] en n-subintervalos cada uno de longitud

y sea un punto del i-ésimo subintervalo, entonces la medida del área de la región R está dad

por:

∑ (

Y

(

X

(

247


Y

X

(

Observación

Análogamente se puede tomar rectángulos circunscritos y en este caso tomamos como altura de

los rectángulos el valor máximo absoluto de en cada subintervalo

Por lo tanto:

∑ (

Donde ( es el valor máximo absoluto en el intervalo cerrado [ ]


1.- Encontrar el área de la región R acotada por la curva , el eje y la recta ,

tomando rectángulos inscritos

Solución

El área de la región estará dada por:

∑ (

Gráfica

Dividimos al intervalo cerrado [ ] en n-subintervalos, cada uno de longitud , entonces:

248


Donde: , , , , , ( ,

, , ( ,

Además como es una función creciente en [ ] , entonces el valor mínimo absoluto de en

el i-ésimo subintervalo [ ] es ( , en consecuencia:

∑ (

Ahora como ( ( ( donde

Luego:

∑ (

∑ [( (

)] (

)

(

) ∑(

(

) [∑

∑

]

(

) *

+

[

]

Por lo tanto: El área de la región R es:

2.- Encontrar el área de la región acotada por la curva , el eje y la recta ,


Solución

En primer lugar ilustramos la gráfica de la región con el i-ésimo rectángulo característico

Gráfica

Y

X

249


El área de la región estará dada por:

∑ (

Entonces dividimos al intervalo cerrado [ ] en n-subintervalos, cada uno de longitud ,

entonces:

Donde: , , , , , ( ,

, , ( ,

Además como es una función creciente en [ ] , entonces el valor mínimo absoluto de en

el i-ésimo subintervalo [ ] es ( , en consecuencia:

∑ (

Ahora como ( ( ( [( ] donde

Entonces: ( *( (

)+

(

Luego:

∑ (

∑

( (

)

(

) ∑(

(

) [∑

∑ ∑

]

(

) *

( (

(

+ *

+

(

) *

+

*

+


3.- Encontrar el área del trapezoide, acotado por la ecuación , el eje y las rectas

, tomando los rectángulos circunscritos

Solución

En forma similar al caso anterior ilustraremos gráficamente la región con el i-ésimo rectángulo

característico

250


X

Gráfica

Entonces dividimos al intervalo cerrado [ ] en n-subintervalos, cada uno de longitud ,

entonces:

Como la ecuación es una función decreciente en [ ] y además se está tomando rectángulos

circunscritos, entonces el valor máximo absoluto de

En el i-ésimo subintervalo [ ] es ( , en consecuencia el área del trapecio estará

dada por:

∑ (

Donde:

, , , , ,

, , ( , , , (

y como ( , entonces:

( ( [ ( (

)] [ ( (

)]

(

Luego

∑ [

( ] (

)

(

) [ ∑

∑

∑

]

(

) (

(

)


Y

251



En los siguientes problemas utilizando límites y sumatorias calcular el área de las regiones

indicadas

1) La región limitada por la curva , tomando rectángulos

inscritos

2) La región limitada por la curva , tomando

rectángulos circunscritos

3) La región limitada por la curva ,




5) La región limitada por la curva ,

tomando cualquier tipo de rectángulos


rectángulos inscritos

7) La región limitada por la curva

, tomando


Suma de Riemann o Suma Integral

Para precisar el concepto de integral definida, debemos considerar un nuevo proceso de limitación

(lo anterior sería un caso particular)

Sea una función en el intervalo cerrado [ ] , dividamos este intervalo en n-subintervalos,

escogiendo cualquier ( puntos intermedios entre

Sean: , donde los puntos

No son necesariamente equidistantes

Sean:

Y así sucesivamente tal que

El conjunto de todos estos subintervalos del intervalo [ ] se llama una partición de dicho

intervalo y es denotada por: (delta)

252


La partición contiene n-subintervalos; uno de estos subintervalos es el mayor longitud, sin

embargo puede haber más de uno

La longitud del subintervalo más largo de la partición , se llama la norma de la partición y

denotado por: ‖ ‖

Escojamos un punto muestra en cada subintervalo de la partición

Así:

[ ]

[ ]

[ ]

Y así sucesivamente tal que

[ ]

Luego formamos la siguiente suma

∑ (

( ) (

) (

) (

∑ (

Observación

Además como a ( no se restringe a valores negativos, algunos ( podrian ser

negativos, entonces la suma de Riemann sería la suma de las áreas de los rectángulos que están

sobre el eje , más las áreas de los rectángulos que están debajo del eje

Ahora si tomamos ‖ ‖ de todas las particiones del intervalo [ ] suficientemente

pequeñas, para todas las posibles elecciones de los números donde

,

entonces el área de la región R estará dada por:

Esta última expresión es equivalente a la integral definida


1,- Evalúe la suma Riemanniana de ( ( ( (

sobre el intervalo [ ] , usando la partición con puntos de separación en:

⟦ ⟧

∑ (

253


y los correspondientes puntos muestras son:

Solución

La suma Riemanniana estará denota por:

∑ (

( ) (

) (

) (

) (

)

Gráfica:

Entonces:

( ( ( ( ( ( ( ( ( (

( ( ( ( ( ( ( ( ( (

∑ (

Observación:

El signo negativo de las ( indican que la sección poligonal se encuentra debajo del eje

En consecuencia la suma Riemanniana es el área de las secciones poligonales sobre el eje ,

más el área de las secciones poligonales debajo del eje

Y

2,5 3,6

0,5 1,5

5 X

254


2.- Evalúe la suma Riemanniana de ( sobre el intervalo [ ] , usando los

puntos de separación equidistantes: , con el

punto muestra que se encuentra en la mitad del n-ésimo subintervalo.

Solución

La suma Riemanniana estará denota por:

∑ (

( ) (

) (

) (

) (

) (

)

Gráfica:

Entonces:

( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (

[ ](

∑ (


En los siguientes problemas evaluar las sumas Riemannianas indicadas

Y

0, 5 1 1,5 2 - 0,5 X

255


1) Para ( sobre el intervalo [ ], usando la partición , con los puntos de

separación en : y los correspondientes puntos muestras en:

2) Para ( sobre el intervalo [ ], usando la partición , con los puntos

de separación en: y los correspondientes puntos muestras en:

3) Para (

sobre el intervalo [ ] , dividiéndolo en 6 subintervalos iguales y

tomando los puntos muestras en la mitad de cada subintervalo

4) Para ( sobre el intervalo [ ] , dividiéndolo en 8 subintervalos iguales y

tomando los puntos muestras en la mitad de cada subintervalo

Definición de la Integral Definida

Si es una función definida en el intervalo [ ] , entonces la integral definida de la función

desde hasta está denotada y definida por:

Si el límite existe, donde:

(

Observación

No toda función es integrable, por ejemplo la función no acotada ( ,

no es

integrable en [ ]

Esto se debe a que cualquier suma Riemanniana del subintervalo que contenga a puede

hacerse arbitrariamente grande, al escoger el punto muestra con la suficiente proximidad a

cero

∫ ( ‖ ‖

∑ (

256


Gráfica

El razonamiento anterior demuestra que cualquier función que sea integrable en [ ] , debe ser

acotada.- Es decir debe existir una constante tal que: | ( | [ ]

Teorema de Integrabilidad

Si está acotada en [ ] y si es continua en ese intervalo, con excepción de un número finito

de puntos, entonces es integrable en [ ]

En particular, si es continua en todo el intervalo [ ], es integrable sobre [ ]

Consecuencia

Como consecuencia de este teorema, son integrables las siguientes funciones en el intervalo

cerrado [ ]

a) Las funciones polinomiales

b) Las funciones seno y coseno

c) Las funciones racionales, toda vez que el intervalo [ ] no contenga puntos en los que

el denominador sea cero

Teoremas Fundamentales

En las Carreas Profesionales de Ciencias, nos encontramos con varios Teoremas

Fundamentales.- Así tenemos:

Y

2 X

257


El Teorema Fundamental de la Aritmética que dice: “Un número entero compuesto

puede factorizarse de manera única como producto de números primos”

El Teorema Fundamental del Algebra afirma que: “Una ecuación polinomial de grado n

tiene exactamente n soluciones, si se cuentan las multiplicidades”

Entonces cualquier Teorema que tenga este título debe ser estudiado con cuidado y depositado

permanentemente en la memoria

Teorema Fundamental del Cálculo (TFC)

Sea una función continua (y por lo tanto integrable) en [ ] y sea su antiderivada

cualquiera de en dicho intervalo, entonces:

Demostración

Sea una partición del intervalo [ ] donde:

Entonces mediante el artificio matemático de sumar y restar se tiene:

( ( ( ( ( ( ( (

∑[ ( ( ]

Luego recordando el Teorema del Valor Medio para derivadas que dice: “Si es continua en

[ ] y diferenciable en su interior ( , entonces existe al menos un número tal que:

( – (

( ( – ( ( ( ”

Entonces aplicando este teorema al intervalo [ ] se tiene:

( – ( ( )( (

) , para algún

del intervalo (

Por lo tanto sacando extremos tenemos:

( ( ∑ ( )

Observamos en esta última expresión que la parte izquierda es una constante y la derecha es una

suma Rienmanniana para sobre el intervalo [ ]

Luego tomando límite a ambos miembros cuando ‖ ‖ se tiene:

∫ ( ( (

258


‖ ‖

[ ( ( ] ‖ ‖

[∑ (

] ∫ (

Sacando extremos y ordenando tenemos: ∫ ( ( (


1.- Demuestre que: ∫ [ ]

En efecto:

( ( (

∫ ( ( ( (

(

Por lo tanto: ∫ (

2.- Demuestre que: ∫

En efecto:

(

(

(

∫ ( (

(

)

Por lo tanto: ∫

3.- Demuestre que: ∫

En efecto:

(

(

(

∫ ( (

(

)

Por lo tanto: ∫

259


Observación

Una conclusión del Teorema Fundamental del Cálculo (TFC) es que:

∫ ( [ ∫ ( ]

Es decir, encontramos primero la integral indefinida, aplicando cualquier técnica ya conocida y

luego reemplazamos los límites de integración (límite superior menos límite inferior)

Observamos además que la constante de integral indefinida, se cancela siempre en la integral

definida.- Eta es la razón por la cual en el Teorema Fundamental del Cálculo se haya usada la

frase: “Una antiderivada cualquiera”

En particular podemos escoger siempre a en la aplicación del Teorema Fundamental del

Cálculo


Evaluar las siguientes integrales definidas

a) ∫

b) ∫ (

c) ∫ √ (

Solución a)

∫

*

+

Por lo tanto: ∫

Solución b)

∫ (

[ ( ]

[ ( ]

[ ( ( ] ( (

Por lo tanto: ∫ (

Solución c)

∫ √ (

* (

⁄ +

*(

⁄ +

(

⁄

Por lo tanto: ∫ √ (

260


Propiedades de la Integral Definida

1.- Sea una función integrable en el intervalo [ ] y sea k una constante también integrable

en [ ], entonces: ∫ (

∫ (

2.- Sean y funciones integrables en [ ] , entonces:

∫[ ( ( ]

∫ (

∫ (

3.- Sea una función integrable en el intervalo [ ] y si y son números tales que

( [ ] , entonces: ( ∫ ( (

,

llamada la propiedad de acotamiento

Gráfica

Obsérvese en el gráfico que ( es el área del rectángulo pequeño que se encuentra en la

parte inferior y que ( es el área del rectángulo grande y que ∫ (

es el área

bajo la curva ( 4.- Sean y funciones integrables en [ ] y si ( ( [ ], entonces:

∫ (

∫ (

llamada la propiedad de comparación

m

b a

M

Y

X

(

261


Gráfica:

Observamos en el gráfico que el área bajo la curva ( es más pequeña que el área bajo la

curva (

5.- Sea una función integrable en el intervalo [ ] y si un punto tal que ,

entonces: ∫ ( ∫ ( ∫ (

, llamada la propiedad aditiva

de intervalos

Gráfica

6.- Sea es una función continua en el intervalo [ ] y si es un punto variable de (

entonces: [∫ (

] (

7.- Si ( [ ], entonces: ∫ (

∫ (

b a

Y

X

(

(

b a

Y

X

(

c

262


8.- Si es una función integrable en el intervalo [ ] entonces:

∫ (

∫ (

9.- Si es una función par en el intervalo [ ] entonces: ∫ (

∫ (

llamada la propiedad de simetría

Gráfica

Se observa que el área de la izquierda del eje de las ordenadas es igual al área de la derecha del

eje de las ordenadas

10.- Si es una función impar en el intervalo [ ] entonces: ∫ (

también

llamada la propiedad de simetría

Gráfica

(

Se observa que el área de la parte inferior del eje de las abscisas neutraliza al área de la parte

superior del eje de las abscisas

a -a

Y

X

(

+ -a

Y

X

(

a

+

- -

-

263


11.- Si es una función periódica de periodo integrable en el intervalo [ ] entonces:

∫ ( ∫ (

Teorema del Valor Intermedio

Si la función es continua en el intervalo [ ] y si ( ( , entonces para cualquier

número entre ( y ( , existe un número entre y tal que (

Gráfica

Teorema del Valor Intermedio para Integrales

Si la función es continua en el intervalo cerrado [ ], entonces existe un número entre y

( tal que: ( ∫ (

, que es llamado el valor medio o valor

promedio de en el intervalo [ ]


Evalué las siguientes integrales definidas utilizando las propiedades

∫(

∫[ ( ]

∫ (

)

∫ *

+

[∫(

] [∫(

⁄

√ )

]

b a c

( k

f ( a )

f ( b )

Y

X

264


[∫(

] [ ∫( √ )

]

[∫ (

]

Solución a)

∫(

∫

∫

∫

(

)

(

)

(

)

*

(

+ *

(

+ *

(

+

[

] [ ] [

]

∫(

Solución b)

∫[ ( ]

∫

∫(

∫

(

)

((

)

[

] [

]

∫[ ( ]

Solución c)

∫ (

)

∫

∫

∫

265


Para la solución de esta integral, en primer lugar observamos que el intervalo de integración es

simétrico, entonces debemos averiguar si la función ( (

) es Par o Impar

En efecto: ( (

) (

) ( , lo que demuestra que la función

( (

) es una función Par, luego por una propiedad 9) se tiene:

∫ (

)

∫ (

)

∫ (

⁄

( ( )

⁄ ( (

) ( )

⁄

*√

+ √

∫ (

)

√

Solución d)

∫ *

+

También observamos que el intervalo de integración es simétrico, entonces debemos averiguar si

la función ( *

+ es Par o Impar

En efecto: ( *(

( + *

+ ( , lo que demuestra que la función

( *

+ es una función Impar, luego por propiedad 10) se tiene: ∫ *

+

∫ *

+

Solución e)

Para la solución de este tipo de ejercicios [∫ (

] , existen dos procedimientos

La forma más fácil es aplicando la siguiente propiedad: [∫ (

] (

Entonces: [∫ (

]

La otra forma más elaborada consiste en evaluar la integral y derivar después

266


[∫(

] *

+

*

+

(

[∫(

]

Solución f)

Utilizando la misma propiedad anterior tenemos:

[∫(

⁄

√ )

]

⁄

√

Solución g)

Utilizando las propiedades [∫ (

] ( ∫ (

∫ (

tenemos

[∫(

] [ ∫(

]

[∫(

] (

[∫(

] (

Solución h)

Para poder resolver el ejercicio *∫ ( √ )

+ aplicamos las propiedades 6) y 8) y

además la regla de la cadena

[ ∫ ( √ )

] [∫ ( √ )

]

Haciendo: ∫ √

Luego:

[∫ ( √ )

] [∫√

] ( (√ ) ( √

267


[ ∫( √ )

] √

Solución i)

Para poder resolver el ejercicio *∫ (

+ aplicamos las propiedades 6) , pero

además como el límite superior es aplicamos la regla de la cadena

Haciendo: ∫ (

Luego:

[∫ (

] [∫(

] ( ( ( (

[ ∫( √ )

]


I.- Use las propiedades de la integral definida para calcular las siguientes integrales donde

∫ (

, ∫ (

, ∫ (

, ∫ (

1) ∫ (

6) ∫ (

2) ∫ [ ( ( ]

7) ∫ [ ( ( ]

3) ∫ (

8) ∫ [ ( ( ]

4) ∫ (

9) ∫ ( ∫ (

5) ∫ (

10) ∫ ( ∫ (

II.- Calcular el equivalente de las siguientes integrales

11) [∫ (

] 16) *∫ √

+

12) [∫ (

] 17) *∫ ( (

+

13) [∫ √

] 18) *∫ √ (

+

14) *∫ ( (

+ 19) *∫ √

+

268


15) *∫ (

⁄

+ 20) *∫ (

+

III.- Evaluar las siguientes integrales definidas

1) ∫ (

6) ∫ [

(

⁄]

2) ∫ (√ )

7) ∫ ( (

⁄

3) ∫ *

( +

8) ∫ *

(

( +

⁄

4) ∫ (√ ) √

9) ∫ [ ( ]

5) ∫ *

+

10) ∫ [ ( ( ]

⁄

IV.- Evaluar las siguientes integrales usando como ayuda la simetría y la periodicidad

1) ∫ (

6) ∫ {( ( }

√

√

2) ∫ (

7) ∫ (

3) ∫ *

+

⁄

⁄

8) ∫ | ( |

4) ∫ | |

10) ∫ [| | ]

269


UNIDAD VIII

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Existe una gama de aplicaciones de la integral definida, abordaremos algunas de ellas

Interpretación Geométrica de la Integral Definida

Se presentan tres casos típicos de interpretación geométrica que corresponden al cálculo de

aéreas de regiones:

Caso 1.- Si ( ) ∫ ( )


Caso 2.- Si ( ) ∫ ( )


b a

Y

X

( ) A A

b a

Y

X

( )

A

270


Caso 3.- Si ( ) , tiene parte positiva y negativa

∫ ( )

∫ ( )


Aplicación de la integral definida al cálculo de áreas de regiones planas

I.- Cálculo de áreas bajo una curva

Para el cálculo de áreas limitadas por una curva plana se presentan dos casos:

Caso 1.- El área de la región R comprendida entre el eje o abscisas y las ordenadas

correspondientes a , está dada por la siguiente fórmula:

∫ ( )


c b

a

Y

X

( )

dx b a

Y

X

( )

R

271


Caso 2.- El área de la región R comprendida entre el eje u ordenadas y las abscisas

correspondientes a , está dada por la siguiente fórmula:

∫ ( )



1.- Calcular el área de la región acotada por por la curva , el eje y las rectas

Solución

Se observa por las condiciones del problema que el área de la región estará dad por la fórmula:

∫ ( )

Gráfica

dy

d

c

Y

X

( )

R

dx 3 1

Y

X

y

R

272


El gráfico muestra además que la región se encuentra debajo del eje , en consecuencia:

∫( )

6

7

64

( ) 5 4

( ) 57

.

/ .

/

Por lo tanto:

2.- Calcular el área de la región acotada por la curva , el eje y

las rectas

Solución

En primer lugar se construye la gráfica de la curva para observar la región de la cual se desea

calcular el área, para ello se deben realizar algunos cálculos previos

Calculamos los puntos donde la gráfica corta a los ejes

( )

( )( )( )

( ) ( ) ( )

Hallamos los puntos críticos, para determinar donde la función toma sus valores máximos y

mínimos relativos

( )

En consecuencia

La función toma su valor máximo en ( ) y su valor mínimo en ( )

273


Gráfica

De acuerdo al esquema gráfico se observa que existe porciones de área tanto sobre el eje

como debajo del eje , en consecuencia el área estará dada por: Donde:

∫ ( )

∫( ) 6

7

∫ ( )

∫( ) 6

7

Entonces:

Por lo tanto:

3.- Hallar el área de la región comprendida entre la curva , el eje y las

rectas

Solución

En primer lugar construimos la gráfica de la región

-2 1 -1 dx dx

Y

dx 2

X

274


De acuerdo al gráfico se observa que el área de la región estará dada por:

∫ ( )

∫( )

6

7

( ) (

)

Por lo tanto:

II.- Cálculo de áreas entre dos curvas

Para calcular el área entre dos curvas también se presentan dos casos:

CASO I.- Sean y dos funciones continuas definidas en el intervalo cerrado , - con

( ) ( ) ( ) ( ) , entonces el área de la

región estará dada por:

∫ ( )

∫ ( )

∫, ( ) ( )-

∫ ( )

Donde: ( ) ( ) ( ) es llamada la sección transversal vertical

R

dy

3

-1

Y

X

275



CASO II.- Sean y dos funciones continuas definidas en el intervalo cerrado , - con

( ) ( ) , - , entonces el área de la región estará

dada por:

∫ ( )

[ ∫ ( )

] ∫, ( ) ( )-

∫ ( )

Donde: ( ) ( ) ( ) es llamada la sección transversal vertical


Observación.- Análogamente se podrán tomar secciones transversales horizontales y el

área estará dada por:

a b X

Y ( )

( )

( )

a

b X

Y ( )

( )

( )

276


∫ ( )

∫, ( ) ( )-

Donde: ( ) ( ) ( ) es llamada la sección transversal horizontal


1.- Encontrar el área de la región acotada por las curvas:

Solución

En primer lugar encontramos los puntos de intersección de las dos curvas, para ello

resolvemos las ecuaciones simultáneamente.

En efecto:

( )

Ahora: si ( )

( )

Por lo tanto los puntos de intersección de las curvas son: ( ) y ( )

Gráfica

En el gráfico se observa que: ( ) ( ) , entonces

( ) ( ) ( ) ,( ) ( )-

Luego:

( ) ( ) ( ) ( )

(0,0)

(2, 4)

Y

X

( )

( )

277


∫ ( )

∫, ( ) ( )-

∫,( ) ( )-

∫( )

[

]

Por lo tanto:

2.- Encontrar el área de la región acotada entre las curvas:

Solución:

En primer lugar calculamos los puntos de intersección de las curvas resolviendo las ecuaciones

en forma simultánea

( )( )

Entonces los puntos de intersección son: ( ) ( ) ( )

Gráfica de la región

Según la gráfica, el área de la región está dada por: , donde

∫ ( )

∫ ( )

6

7

( ) (0,0)

(1, 1)

Y

X

(-1,-1)

( )

( )

278


∫ ( )

∫ ( )

6

7

Luego:

Por lo tanto el área de la región es:

3.- Encontrar el área de la región limitada por las curvas:

Solución

En primer lugar construimos la gráfica, que muestra la región que se desea calcular el área

Gráfica

Luego se puede calcular el área de esta región de dos maneras diferentes:

a) Tomando la sección transversal vertical

b) Tomando la sección transversal horizontal

(0,0)

(4, 2)

Y

X

( ) √ ( √ )

√

√

279


Tomando la sección transversal vertical se tiene el siguiente gráfico

Entonces:

∫ ( )

∫ ( √ )

[

( )

]

[

√ ]

Tomando la sección transversal horizontal se tiene el siguiente gráfico

Entonces:

Y

( )

( )

(0,0)

(4, 2)

Y

X

(0,0)

(4, 2)

X

( ) √ ( √ )

√

√

280


∫ ( )

∫ ( )

6

7

.

/ .

/

Por lo tanto el área de la región es


En los siguientes problemas dibuje la región limitada por las ecuaciones y calcule el área de

dicha región:

a) ,

b) ,

c)

, ,

d) ,

e) ,

f) ,

g) √

,

h) √ ,

i) ,

j) ,

k) ,

l) √ ,

281


Aplicaciones de la integral definida al cálculo de volúmenes de sólidos de

revolución

Sólido de revolución

Un sólido de revolución, es aquel cuerpo que se obtiene al hacer rotar una región plana

alrededor de una recta en el mismo plano, esta recta es llamada eje de revolución

Ejemplos de sólidos de revolución

1) Rotamos una región cualquiera cuya base descansa sobre el eje , y tomamos como eje

de revolución el eje

El sólido revolución resultante es parecido a un tonel

Región

Eje de revolución

( )

Región plana cualquiera

282


2) Rotamos la región definida por un triángulo rectángulo cuyo cateto mayor descansa sobre

el eje , tomando como eje de revolución el eje

El sólido revolución resultante es el

cono de revolución

( )

Sólido de revolución

( )

( )

283


3) Rotamos la región definida por un rectángulo cuyo lado mayor descansa sobre el eje ,

tomando como eje de revolución el eje

El sólido generado es el cilindro de revolución o cilindro recto

4) Rotamos la región acotada por un semi círculo, tomando como eje de revolución su

diámetro

( )

( )

a b

( )

284


El sólido generado es la esfera

5) Rotamos el círculo con centro en el punto ( ) y radio , alrededor del eje

El sólido generado se denomina Toro de revolución o Dona

( )

a

( )

a

( )

285


6) Rotamos la región acotada por la parábola en el intervalo , - , alrededor del

eje

El sólido generado se denomina paraboloide ( que tiene la forma de una vasija)

Volumen de un sólido de revolución

Según las aplicaciones anteriores, en adelante se puede decir que casi toda cantidad que

puede ser pensada como resultado de descomponer en pequeños trozos, calcular el valor

aproximado de cada pieza, sumar todos los valores y tomando el límite cuando las piezas

disminuyen de tamaño; puede ser interpretado como una Integral Definida

En particular esto es cierto con los volúmenes de ciertos sólidos que son generados por la

rotación de regiones planas sobre un eje

Existen dos casos para el cálculo de estos volúmenes:

Caso 1.- Cuando el eje de revolución es una frontera de la región que se va a rotar

3 0

3 0

286


En este caso para calcular el volumen del sólido de revolución se emplea el denominado

método del disco

Método del disco

Para deducir la fórmula que permita calcular el volumen del sólido de revolución generado

recordamos la fórmula que usamos para calcular el volumen de un cilindro recto

Se sabe por geometría, que el volumen de un cilindro recto es denotado y definido por:

Donde y son respectivamente el número de unidades en el radio de la base y la altura

Proceso de deducir el volumen de un sólido macizo usando el método del

disco

Definimos en primer lugar el sólido de revolución del cual deseamos calcular su volumen

Sea una función continua en el intervalo cerrado , - y supongamos que

( ) , -

Sea entonces la región R, acotada por la curva ( ) , el eje y las rectas

Sea en consecuencia , el sólido de revolución obtenido al hacer rotar la región R,

alrededor del eje

h

r

287



El proceso de encontrar el volumen es similar al empleado en el cálculo de áreas

Particionamos el intervalo cerrado , - en n-subintervalos ( ) tal que:

Donde , - es el i-ésimo subintervalo cuya longitud es , luego

se escoge un punto muestra tal que

y luego trazamos el i-ésimo

rectángulo que tiene un ancho de unidades y una altura de ( ) unidades

Ahora hacemos rotar este i-ésimo rectángulo alrededor del eje , obteniéndose un disco

circular en forma de un cilindro recto circular, cuyo radio de su base es ( ) unidades y

cuya altura es unidades

Gráfico del disco circular

x=b

x=a

X

S

( )

Y

( )

288


Entonces la medida del volumen de este disco circular (o cilindro recto achatado) es denotado

y definido por: [ ( )]

o también [ (

)]

Pero como existen n-rectángulos, se obtienen n-discos circulares, entonces la suma de las

medidas de los volúmenes de estos n-discos circulares estará dado por la fórmula:

∑

∑ 0 ( )1

La cual es una suma Riemanniana

Entonces mientras más pequeña se tome la partición (‖ ‖) , mayor será la aproximación del

volumen del sólido

Por lo tanto definiremos el volumen de este sólido de revolución como el límite de la Suma

Riemanniana cuando ‖ ‖

Definición del volumen de un sólido de revolución empleando el método

del disco

Sea una función continua en el intervalo cerrado , - y supongamos que

( ) , -

Si , es el sólido de revolución obtenido al rotar alrededor del eje , la región R, acotada

por la curva ( ) , el eje y las rectas y si

es el volumen del sólido en unidades cúbicas, entonces:

‖ ‖

∑ [ ( )]

∫, ( )-

Observación

Una definición similar se aplica cuando el eje de revolución es el eje

289



1) Encontrar el volumen del sólido de revolución generado al hacer rotar alrededor del eje ,

la región acotada por la curva , el eje X y las rectas

Solución

En primer lugar graficamos el sólido de revolución

Luego el volumen de este sólido estará dado por:

∫, ( )-

∫, -

∫, -

6

7

[

]

Por lo tanto:


la región acotada por la curva √ , el eje y la recta

x=2

x=1

290


Solución

En primer lugar graficamos el sólido de revolución


∫, ( )-

∫[√ ]

∫

6

7

[

]

Por lo tanto:


la región acotada por la recta

, el eje X y la recta

Solución

En primer lugar graficamos el sólido de revolución del que se desea calcular su volumen

√

x=3

291



∫, ( )-

∫0

1

∫6

7

∫

6

7

[

]

Por lo tanto:


la región acotada por el arco de la curva ( ) y el eje

Solución

Graficamos el sólido de revolución

x=3

( )

( ,0)

(0,0)

292



∫, ( )-

∫, ( )-

∫, ( )-

∫ [ ( )

]

[

( )

]

[(

( )

) (

( )

)]

( )

Por lo tanto:


En los siguientes problemas, calcular el volumen de los sólidos de revolución generados por la

rotación alrededor del eje X, la región indicada:

1)

2)

3)

4)

5) √

6)

Caso 2.- Cuando el eje de revolución no es una frontera de la región que va a rotar

En este caso para calcular el volumen del sólido de revolución se emplea el denominado

método del anillo

Se sabe por geometría, que un anillo cilíndrico, es el sólido contenido entre dos cilindros

oncéntricos.

El volumen de un anillo cilindro de radio interior , radio exterior y altura , está

determinado por la fórmula:

(

)

293


Gráfica de un anillo cilíndrico

Metodo del anillo

Definamos en primer lugar el sólido de revolución del cual deseamos calcular su volumen

Sean y dos funciones continua definidas en el intervalo cerrado , - y supongamos

que ( ) ( ) , -

Sea entonces la región R, acotada por las curvas ( ) , ( ) y las rectas

Sea en consecuencia , el sólido de revolución generado al hacer rotar la región R,

alrededor del eje


h

X

Y

x=b

x=a

S

( )

( )

( ) ( )

294


Proceso de encontrar el volumen

El proceso de encontrar el volumen es similar al caso anterior

Particionamos el intervalo cerrado , - en n-subintervalos ( ) tal que:

Donde , - es el i-ésimo subintervalo cuya longitud es , luego se

escoge un punto muestra tal que

y luego trazamos el i-ésimo rectángulo

que tiene un ancho de unidades y una altura de [ ( ) (

)] unidades

Ahora hacemos rotar este i-ésimo rectángulo alrededor del eje , obteniéndose un anillo

circular cuya altura unidades, su radio interior es ( ) y su radio exterior es

( ) unidades

Gráfico del anillo circular

Entonces la medida del volumen de este anillo circular es denotado y definido por:

2[ ( )]

[ (

)]

3

Pero como existen n-rectángulos, se obtienen n-anillos circulares, entonces la suma de las

medidas de los volúmenes de estos n-anillos circulares estará dado por la fórmula:

∑

∑ 2[ ( )]

[ (

)]

3

La cual es una suma Riemanniana

( )

( )

295


Entonces mientras más pequeña se tome la partición (‖ ‖) , mayor será la aproximación del

volumen del sólido

En consecuencia definiremos el volumen de este sólido de revolución como el límite de la

Suma Riemanniana cuando ‖ ‖ y tal límite existe ya que son funciones

continuas en , - , puesto y son continua en , -

Definición del volumen de un sólido de revolución empleando el método

del anillo

Sean y dos funciones continua definidas en el intervalo cerrado , - y supongamos

que ( ) ( ) , -

Si , es el sólido de revolución obtenido al rotar alrededor del eje , la región R, acotada

por las curvas ( ) , ( ) y las rectas y si

es el volumen del sólido en unidades cúbicas, entonces:

‖ ‖

∑ 2[ ( )]

[ (

)]

3

∫*, ( )- , ( )- +

Observación

Una definición similar se aplica cuando el eje de revolución es el eje , y cualquier recta

paralela al eje o al eje


1) Encontrar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje , la región acotada

por la parábola y la recta

Solución

Para graficar el sólido y la región, en primer lugar encontramos los puntos de intersección,

para ello resolvemos en forma simultanea las ecuaciones dadas

296


( )( )

Ahora: Si ( )

y si ( )

Gráfica

Entonces el volumen esta dado por la fórmula:

∫*, ( )- , ( )- +

∫*, - , - +

∫( )

6

7

( )

( )

( )

( )

297


[(

) (

)]

Por lo tanto

2) Encontrar el volumen del sólido generado por la rotación alrededor del eje , la región

acotada por las parábolas y

Solución

Procedemos en forma similar al caso anterior, encontramos los puntos de intersección de

las curvas dadas

√ ( )

Ahora: Si ( )

y si ( )

Gráfica

( )

√ ( )

( )

( )

298


Entonces el volumen esta dado por la fórmula:

∫*, ( )- , ( )- +

∫2[√ ] , - 3

∫( )

6

7

[(

)]

Por lo tanto

3) Encontrar el volumen del sólido generado al rotar sobre la recta , la región

semicircular, limitada por la curva √ y el eje

Solución

Procedemos en primer lugar a graficar el sólido

En segundo lugar, como la región es rotada alrededor de una recta paralela al eje

( )

( )

( ) √

( )

299


( ) , entonces:

Por un lado: ( ) √ ( )

y por otro lado: ( ) ( )

Luego para calcular el volumen usamos la fórmula:

∫*, ( )- , ( )- +

∫{0 √ 1

, - }

∫2 √ 3

{ ∫√ ∫

∫

}

6 .

/

√

7

(

)

( )

Por lo tanto

( )


I.- En los siguientes problemas, calcular el volumen de los sólidos de revolución generados por

la rotación alrededor del eje X, la región acotada por las siguientes curvas:

1) √

2) √

3) ( )

4)

5)

6)

7) √

8)

II.- En el volumen de los sólidos de revolución generados por la rotación alrededor del eje

indicado, la región acotada por las siguientes curvas:

1)

2) √

300


3)

4)

5)

Aplicaciones del cálculo integral a la longitud de arco

Introducción

Supongamos que se desea medir la longitud de la curva espiral siguiente

Si fuese un trozo de cuerda, lo estiraríamos para poderla medir, pero si es la gráfica de una

ecuación, resulta difícil realizarlo

Por otro lado debemos precisar también que es una curva plana

Hasta ahora hemos usado el término curva de manera informal y es el momento de ser más

precisos

Citaremos algunos ejemplos para realizar tal precisión:

Así:

1) La gráfica de la curva ( ) es una curva plana

2) La gráfica de la curva es una curva plana

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c5/Archimedean_spiral.svg

301


3) Sin embargo la gráfica de la curva (ecuación de la circunferencia con

centro en el origen y radio a) sugiere otra forma de pensar con lo que respecta a curvas

Por trigonometría se conoce que las ecuaciones paramétricas:

( ) ( ) , describe la ecuación de la

circunferencia

Donde es una variable auxiliar, que en lo sucesivo lo llamaremos parámetro (tanto como

están expresadas en términos de este parámetro)

En consecuencia si construimos la gráfica de las ecuaciones paramétricas:

( ) ( ) se obtendría una curva parecida a la

espiral que se tomó como ejemplo inicial

Aun más, podemos definir las funciones:

( ) en forma paramétrica del

modo siguiente:

( )

Que describen las mismas curvas de los ejemplos 1 y 2

Por lo tanto una curva plana está determinada por un par de ecuaciones paramétricas:

t

a (x, y)

a

302


( ) ( ) , donde se supone que y son funciones

continuas en el intervalo cerrado , -

Además podemos pensar en como la medida del tiempo, cuando aumenta desde hasta

; el punto ( ) traza una curva en el plano

Definición de una curva plana suave

Una curva plana es suave si puede ser determinada por un par de ecuaciones paramétricas

( ) ( ) donde no son ceros al mismo tiempo

El adjetivo suave se usa para indicar que un objeto que se mueve a lo largo de la curva, de

modo que en el instante su posición sea el punto ( ) , no sufra cambios bruscos de

dirección (esto lo asegura la continuidad de ), ni saltos o retrocesos (esto se

asegura por que ( ) ( ) no son ceros al mismo tiempo)

Con estos conocimientos previos, estamos en condiciones de poder definir la longitud de una

curva suave dada en forma paramétrica mediante: ( ) ( )

Gráfica:

Proceso de deducción de la definición

Sea una partición del intervalo , - ; es decir dividimos al intervalo , - en

n-subintervalos, tal que:

Esto implica el fraccionamiento de la curva en n-trozos, con sus correspondientes puntos

extremos:

Y

b a X

303


Entonces podemos aproximar la longitud de la curva, mediante el cálculo de las longitudes de

las poligonales trazadas.

Es decir; calcular la longitud de cada poligonal, empleando la fórmula de la distancia entre dos

puntos, sumar todas estas longitudes y después tomar el límite cuando la norma de la partición

tiende a cero.

Gráfica:

Tomemos el i-ésimo trozo de la curva microscópicamente y calculemos la longitud de la i-èsima

poligonal

Luego mediante el teorema de Pitágoras tenemos que: √( ) ( ) y

mediante la fórmula de la distancia entre dos puntos tenemos que:

√, ( ) ( )- , ( ) ( )-

Ahora por el valor medio para derivadas se sabe que existen puntos ⏞ en , -

tales que: ( ) ( ) ( ) y ( ) ( ) ( ⏞ )

Donde

En consecuencia: √[ ( ) ] [ ( ⏞ ) ]

entonces

X

Y

b a

, ( ) ( ) -

, ( ) ( ) -

304


√, ( ) - [ ( ⏞ ) ]

Luego tomando sumatoria tenemos:

∑

∑6√, ( ) - [ ( ⏞ ) ] 7

Esta última expresión es casi una suma Riemanniana, con la única diferencia de que ⏞

probablemente no sean el mismo punto; sin embargo esto no importa cuando se toma el límite

Por lo tanto, podemos definir la longitud de la curva dada en forma paramétrica por

( ) ( ) como el límite de la suma Riemanniana cuando la norma

de la partición tiende a cero.

Esto es:

‖ ‖

∑0√, ( ) - , ( ) - 1

∫ 0√, ( ) - , ( ) - 1

O también: ∫ 6√0

1

0

1

7

Se observa además que existen dos casos de interés:

a) Cuando la curva está determinada por:

( ) , entonces ∫ 6√ 0

1

7

b) Cuando la curva está determinada por:

( ) , entonces ∫ 6√ 0

1

7


1) Encontrar la longitud de arco de la curva desde el punto ( ) hasta el

punto ( )

Solución

Como la curva está definida por: ( ) , entonces empleamos la

fórmula ∫ 6√ 0

1

7

305


En efecto

Entonces:

∫[√ ]

∫

√ ∫

√ , - √

Por lo tanto: √

2) Calcular la longitud de arco de la curva

desde el punto ( ) hasta el

punto ( )

Solución

Usamos el mismo criterio anterior ya que: ( )

, entonces

empleamos la fórmula ∫ 6√ 0

1

7

En efecto

Entonces:

∫

[ √ [

]

]

∫[√

]

∫

[ √

]

∫

[ √

]

A esta última integral lo integramos por sustitución

Sea

( )

( )

Además:

306


Reemplazando se tiene:

∫

[ √

]

∫ [

√

]

∫ , -

[

( )

]

0√ 1

[ √ √ ]

Por lo tanto:

3) Encontrar la longitud de la circunferencia definida por:

Solución

En primer lugar expresamos a la circunferencia a través de sus ecuaciones paramétricas:

( ) ( )

Luego para calcular su longitud utilizamos la fórmula: ∫ 6√0

1

0

1

7

En efecto:

( )

( ) ( )

( )

Reemplazando tenemos:

∫ [√, ( ) - , ( )- ]

∫

Por lo tanto:


1) Use la fórmula de integración en x, para encontrar la longitud de la recta

entre los puntos ( ) y ( ) , compruebe su respuesta mediante la fórmula de la

distancia

2) Use una integración en y, para encontrar la longitud del segmento de la recta

entre y compruebe su respuesta mediante la fórmula de la

distancia

3) En los siguientes ejemplos encuentre la longitud de la curva que se indica:

307


a) ⁄ entre

b)

( ) ⁄

entre

c) ( ⁄ ) ⁄

entre

d)

e) ( ) ( )

Aplicaciones del cálculo integral a los momentos, centro de gravedad y

centro de masa

Momentos

Supóngase que dos masas de magnitudes y están colocadas en un balancín a las

distancias y a lados opuestos de él, entonces el balancín se equilibra si y solo si

Un buen modelo matemático para esta situación se obtiene remplazando el balancín con un eje

coordenado horizontal que tenga su origen en el fulcro.

Entonces la coordenada de de es , la de es y la

condición del equilibrio es

El producto de la masa de una partícula por su distancia dirigida a un punto (su brazo de

palanca) se llama momento de la partícula con respecto a ese punto, y se denota por:

308


Mide la tendencia de la masa a producir una rotación alrededor de ese punto.

La condición para que dos masas sobre una recta se equilibren en un punto es que la suma de

sus momentos con respecto al punto sea cero

La situación recién descrita se puede generalizar

El momento total (con respecto al origen) de un sistema de masas de magnitudes

situadas en los puntos del eje de las es la suma

de sus momentos individuales; es decir:

∑

La condición de equilibrio en el origen es que

Por supuesto, que no se puede esperar equilibrio en el origen sino en circunstancias

especiales; pero es seguro que cualquier sistema de masas se equilibrará en alguna parte. La

cuestión es donde.

¿Cuál es la coordenada del punto donde debe colocarse el fulcro para que se equilibre el

sistema de masas ilustradas en el siguiente gráfico?

Llamemos a la coordenada deseada, el momento total con respecto a él debe ser cero; es

decir:

( ) ( ) ( ) ( )

O también:

Si despejamos tenemos:

Fulcro

309


∑

∑

El punto llamado centro de masa, es el punto de equilibrio.

Obsérvese que no es más que el momento total con respecto al origen dividido entre la masa

total


1. En los puntos respectivamente, están colocadas masas de

libras, a lo largo del eje X.- Encuentre el centro de masa

Solución

En primer lugar ilustramos la gráfica

Luego: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

2. A lo largo de una recta están ubicadas en tres partículas

de masa .¿Cuál es el centro de masa?

Solución

En primer lugar ilustramos la gráfica

310


Luego: ( )( ) ( )( ) ( )( )

Observación 1

Cuando las partículas o masas se encuentran ubicadas en un plano (en puntos específicos),

entonces el cetro de masa o centroide se encontrará ubicado en el punto ( )

Donde ∑

∑

,

∑

∑

∑ ∑

Es decir es necesario calcular los momentos con respecto al eje y con respecto al eje


1. Calcular los momentos y el centros de masa del sistema de objetos cuyas masas son:

y están ubicadas respectivamente en los puntos:( ) ( ) y ( )

Solución

En primer lugar diseñamos un bosquejo gráfico de la ubicación de las masas

Calculamos los momentos con respecto a los ejes coordenados

∑ ∑

( )( ) ( )( ) ( )( )

∑ ∑

( )( ) ( )( ) ( )( )

-1 1 -2

2

1

2

3

m1 = 3

-1

X

m3=8

m2 =4

Y

( ) (

)

311


∑

∑

Luego :

∑

∑

∑

∑

Por lo tanto el centro de masa será el punto: ( ) .

/

Centro de gravedad

Se llama centro de gravedad al punto donde actúa el peso de un cuerpo.- Si se trata de un

sistema de cuerpos o partículas, el centro de gravedad es el punto donde actúa el peso total

del sistema

El peso de un cuerpo se define como:

donde: es la aceleración de la gravedad y la masa del cuerpo o partícula

Centro de masa

Se llama centro de masa al punto donde se considera concentrada toda la masa de un cuerpo.-

Si se trata de un sistema de cuerpos o partículas, el centro de masa es el punto donde se

considera concentrada la masa total del sistema

Geométricamente el centro de gravedad y el centro de masa están representados por un

mismo punto.- En los cuerpos de geometría regular y distribución uniforme de mása, el centro

de gravedad o centro de masa coincide con el centro geométrico (o centroide) de la figura

∑

P

312


Coordenadas del centro de gravedad de un sistema de particulas

Consideremos un sistema de partículas distribuidas a lo largo del eje

En la figura representan las coordenadas de cada partícula ( )

respecto al punto y representa la coordenada del centro de gravedad del sistema respecto

al mismo punto. Aplicando el criterio de momentos de fuerza respecto al punto tenemos:

,

y como ∑

Entonces la ecuación puede escribirse como:

Análogamente se puede obtener las coordenadas: , si el sistema está en tres

dimensiones, entonces

Si las ecuaciones (1) , (2) y (3) se expresan en términos de masa, se denominan ecuaciones

de las coordenadas del centro de masa, esto se consigue sustituyendo la definición de peso

∑

∑

( 1 )

∑

∑

( 2 )

∑

∑

( 3 )

∑

X 0

313


( ) en el numerador y denominador de las ecuaciones y eliminando la constante ,

se obtiene:

Con las ecuaciones anteriores se puede determinar centros de gravedad o centros de masa de

sistemas de cuerpos o partículas

Cálculo de las coordenadas del centro de masa de un cuerpo por

integración

Cuando no se conoce la ubicación del centro de gravedad de un cuerpo, debemos usar las

técnicas del cálculo integral para localizar dicho punto.- En este caso se toma un elemento

diferencial de línea, de área o de volumen en algún punto arbitrario del cuerpo, de acuerdo a la

configuración de la distribución de masa que tenga el cuerpo.

Los cuerpos pueden tener distribuciones lineales de masa (cuerdas, alambres, vigas, etc.),

distribuciones superficiales (tableros, planchas, etc.) y distribuciones volumétricas de masa

(cilindros, conos, esferas, etc.)

De acuerdo a la distribución de masa se definen tres densidades de masa, así en la forma

diferencial tenemos:

a) Densidad lineal de masa

b) Densidad superficial de masa

c) Densidad volumétrica de masa

Obsérvese que las ecuaciones (4), (5) y (6), expresadas como sumatorias para casos discretos

se pueden expresar como integrales para casos continuos, es decir:

∑

∑ ( 4

)

∑

∑ ( 5 )

∑

∑ ( 6 )

∫

∫ ( 7 )

314


En estas ecuaciones son las coordenadas del centro de gravedad del elemento

diferencial considerado

Cuando en las ecuaciones (7), (8) y (9) sustituimos en el numerador y denominador por el

elemento correspondiente, de acuerdo al tipo de distribución de masa del cuerpo,

obtenemos las siguientes ecuaciones:

a) Para distribuciones lineal de masa:

b) Para distribuciones superficial de masa:

c) Para distribuciones volumétrica de masa:


1) Determinar las coordenadas del centro de gravedad de la barra doblada en forma de

arco de cuadrante mostrada en la figura:

∫

∫

( 8 )

∫

∫ ( 9 )

∫

∫

∫

∫

∫

∫ ( 10 )

∫

∫

∫

∫

∫

∫ ( 12 )

∫

∫

∫

∫

∫

∫ ( 11 )

315


Gráfica

Solución

Según la gráfica se tiene que:

∫

∫

∫ ( )

∫

∫ ( )

∫

∫ ( )

∫

Además como es constante y

, entonces:

∫ ( ) ∫ (

) , ( )-

0 .

/ ( )1

∫ ∫

, -

0

1

Luego reemplazando tenemos: ∫ ( )

∫

( )

En forma similar calculamos

∫

∫

∫ ( )

∫

∫ ( )

∫

∫ ( )

∫


, entonces:

∫ ( ) ∫ (

) , ( )-

0 .

/ ( ( ))1

∫ ∫

, -

0

1


∫

( )

Por lo tanto las coordenadas del centro de gravedad de la barra son: ( ) .

/

( )

( )

316


2) Determinar las coordenadas del centro de gravedad de la placa en forma de cuadrante de

círculo mostrada en la figura:

Solución

Según la gráfica se tiene que:

∫

∫

∫ ( )

∫

∫ ( )

∫

∫ ( )

∫


, entonces:

∫ ( ) ∫ (

) , ( )-

0 .

/ ( )1

∫ ∫

, -

0

1

Luego reemplazando tenemos: ∫

∫

∫ ( )

∫

( )

En forma similar calculamos

∫

∫

∫ ( )

∫

∫ ( )

∫

∫ ( )

∫


, entonces:

∫ ( ) ∫ (

) , ( )-

0 .

/ ( ( ))1

∫ ∫

, -

0

1

( )

( )

r

317



∫

( )

Por lo tanto las coordenadas del centro de gravedad de la placa son: ( ) .

/

Observación:

El centro de masa de una lámina homogénea no depende de su densidad o de su masa, sino

solo de la forma de la región correspondiente en el plano. Por lo tanto, nuestro problema

resulta geométrico en lugar de físico. De acuerdo con ello, a menudo hablaremos del

Centroide de una región plana en lugar del centro de masa de una lámina homogénea

3) Encuentre el centroide de la región limitada por las curvas √

Solución

En primer lugar graficamos la región de la cual se pide calcular su centroide

Según la gráfica y conociendo que:

∫ , ( ) ( )-

∫ , ( ) ( )-

∫ {, ( )- , ( )- }

∫ , ( ) ( )-

Además como , ( ) √ ( )

Se tiene que:

√

( )

( )

1

0

1

dA

318


∫ [√ ]

∫ [√ ]

∫ [( )

]

∫ [√ ]

[

]

[

]

∫ *, ( )- , ( )- +

∫ , ( ) ( )-

∫ 2[√ ]

, - 3

∫ [√ ]

∫ , -

∫ [√ ]

[

]

[

]

Por lo tanto el centroide de la región se encuentra en el punto ( ) .

/

4) Encuentre el centroide de la región bajo la curva ( )

Solución

En primer lugar graficamos la región de la cual se pide calcular su centroide

Según la gráfica, se observa que la región es simétrica con respecto a la recta

, por

lo que podemos concluir, sin integración que

En efecto, es intuitivamente obvio y cierto que, si una región tiene un eje de simetría

vertical u horizontal, el centroide estará sobre esa recta

( )

x

1

0

( )

319


Su intuición también le dirá que estará a menos de puesto que la mayor parte del

área está cerca del eje de las , pero para encontrar este número con exactitud,

debemos calcularlo

El centroide se encontrará en el punto ( ) donde:

∫ [ ( )]

∫ [ ( )]

∫ [ ( )]

∫ [ ( )]

Entonces:

∫ [ ( )]

∫ [ ( )]

∫ [ ( )]

∫ [ ( )]

A la integral del numerador lo integramos por partes:

∫ , ( )-

, ( ) ( )-

La integral del denominador es inmediata: ∫ , ( )-

, ( )-

Entonces:

Ahora calculamos

∫ [ ( )]

∫ [ ( )]

∫ [ ( )]

∫ [ ( )]

A la integral del numerador lo integramos usando la fórmula ( ) ( )

∫ , ( )-

∫ 0

( )

1

0

( )

1

Entonces:

.

/

Por lo tanto el centroide de la región se encuentra en el punto ( ) .

/

5) Determinar las coordenadas del centro de gravedad del cono de altura y base de radio

que se muestra en la figura:

Solución:

En primer lugar graficamos el sólido de revolución del cual se nos pide calcular su

centroide o centro de gravedad

320


Solución

Observamos que por simetría , en consecuencia la coordenada del

centro de gravedad es: ∫

∫

Luego tomando una rebanada del cono, como elemento diferencial, el volumen de esta

rebanada será:

Entonces: ∫

∫ , para integrar debemos transformar la variable x en función de y,

para esto tomamos triángulos semejantes:

.

/

Ahora: ∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

Integrando independientemente al numerador y denominador para todo tenemos:

∫ ∫ 6

7

∫ ∫ 6

7

Por lo tanto: ∫

∫

321


Observación:

∫

∫ , por que para el centro de gravedad del elemento diferencial de

volumen

∫

∫ , por que para el centro de gravedad del elemento diferencial de

volumen

Ejercicios de aplicación Nª 37

1. Calcular los momentos y centro de masa del sistema de objetos cuyas masas son 3, 4 y

8 y están respectivamente en los puntos: (-1, 1), (2, -1) y (3, 2)

2. Encuentre el centro de masa de una placa semicircular de radio

3. Localizar el centroide de la región limitada por las curvas:

( )

4. Encuentre el centroide de la región limitada por la recta y la parábola

5. Calcule los momentos y encuentre el lugar del centro de masa del sistema de partículas

que se encuentran ubicadas en los puntos

( ) ( )



( ) ( ) ( )



( ) ( ) ( )



( ) ( ) ( ) ( )




12. Localizar el centroide de la región limitada por las curvas: √

322


13. Localizar el centroide de la región limitada por las curvas: √



BIBLIOGRAFÍA

1. Leithold Luis “Cálculo con Geometría Analítica”,Edit.Harla S.A. Mexico, 1999

2. Purcell Edwin J. “Cálculo con Geometría Analítica”, Edit. Prentice – Hall, 1998

3. Cerdán Martín, Joan “Cálculo Integral”, Edit. Universitat de Barcelona, 2001

4. García A. “Cálculo II”, Edit. Clagsa, 2002

5. Cerdan Martín, Joan “Cálculo Integral”, Edit. Universitat de Barcelona, 2001.

6. Pita Ruiz, Claudio “Cálculo de una Variable”, Edit. Printice-Hall, México, 1998

7. Espinoza Ramos, Eduardo “Análisis Matemático II”, Edit. Servicios Gráficos J.J, Lima, 1998

8. Serway, Raymond A. “Física”, Tomo I, Edit. McGraw-Hill, 1996

9. Beer - Johsnton “Mecánica Vectorial para Ingenieros”, Estàtica, Edit. McGraw-

Hill, 1993.

cÁlculo diferencial e integral

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