cálculo diferencial e integral iii

Indaial ndash 2019

CaacutelCulo DiferenCial e integral iiiProfa Jaqueline Luiza HorbachProf Leonardo Garcia Santos

1a Ediccedilatildeo

Copyright copy UNIASSELVI 2019

Elaboraccedilatildeo

Profa Jaqueline Luiza Horbach

Prof Leonardo Garcia Santos

Revisatildeo Diagramaccedilatildeo e Produccedilatildeo

Centro Universitaacuterio Leonardo da Vinci ndash UNIASSELVI

Ficha catalograacutefica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri

UNIASSELVI ndash Indaial

Impresso por

H811c

Horbach Jaqueline Luiza

Caacutelculo diferencial e integral III Jaqueline Luiza Horbach Leonardo Garcia Santos ndash Indaial UNIASSELVI 2019

211 p il

ISBN 978-85-515-0347-8

1 Caacutelculo diferencial ndash Brasil 2 Caacutelculo integral ndash Brasil I Santos Leonardo Garcia II Centro Universitaacuterio Leonardo Da Vinci

CDD 5153

III

apresentaccedilatildeoPrezado acadecircmico Seja bem-vindo agrave disciplina de Caacutelculo Diferencial

e Integral III Neste livro continuaremos o estudo iniciado nas disciplinas de Caacutelculo Diferencial e Integral I e II No momento adentraremos em um estudo com qual natildeo estaacutevamos acostumados Deixaremos muitas vezes de trabalhar com o plano e estaremos voltados agraves discussotildees de funccedilotildees no espaccedilo assim como explorado na uacuteltima unidade do Caacutelculo Diferencial e Integral II

Outro ponto bastante peculiar desta disciplina seratildeo as aplicaccedilotildees existentes no campo da fiacutesica como base fundamental Em diversos momentos verificaremos que antes do conceito fiacutesico a ser explorado haveraacute uma contextualizaccedilatildeo e justificativa fiacutesica para o conceito algo que ateacute entatildeo natildeo era praticado nas disciplinas teoacutericas da matemaacutetica

Por exemplo ao verificar o fluxo de um fluiacutedo escoando em um espaccedilo limitado poderemos conhecer dado um ponto a quantidade deste fluiacutedo que escoa por unidade de tempo Para tal iniciaremos compreendendo as influecircncias da densidade e da velocidade do fluiacutedo para apenas na sequecircncia enunciarmos o conceito de ldquodivergente de um campo vetorialrdquo Conceito este riquiacutessimo em aplicaccedilotildees praacuteticas e que possui uma matemaacutetica extremamente rigorosa por detraacutes

Este material fala mais especificadamente do Caacutelculo Vetorial e estaacute dividido em trecircs unidades Na primeira unidade definiremos integral para funccedilotildees de mais de uma variaacutevel Em especial as integrais duplas e triplas e suas respectivas mudanccedilas de coordenada Na Unidade 2 teremos uma introduccedilatildeo importantiacutessima para o estudo posterior do caacutelculo vetorial Neste ponto abordaremos os conceitos baacutesicos de curvas no plano e espaccedilo e enunciaremos os principais campos vetoriais (e escalares) que seratildeo necessaacuterios para os importantes teoremas que trataremos na Unidade 3 Unidade esta que trabalharaacute com aplicaccedilotildees do Caacutelculo na Aacuterea da Fiacutesica e em especial nos casos em que as grandezas a serem estudadas sejam representadas por vetores

Sabemos acadecircmico que para ter sucesso nesta disciplina eacute preciso

disciplina organizaccedilatildeo e um horaacuterio de estudos preacute-definido Em sua caminhada acadecircmica vocecirc eacute quem faz a diferenccedila Como todo texto matemaacutetico por vezes denso vocecirc necessitaraacute de papel laacutepis borracha calculadora muita concentraccedilatildeo e dedicaccedilatildeo Aproveitando esta motivaccedilatildeo iniciemos a leitura desde livro A melhoria constante deve ser o objetivo de todo acadecircmico

IV

Vocecirc jaacute me conhece das outras disciplinas Natildeo Eacute calouro Enfim tanto para vocecirc que estaacute chegando agora agrave UNIASSELVI quanto para vocecirc que jaacute eacute veterano haacute novidades em nosso material

Na Educaccedilatildeo a Distacircncia o livro impresso entregue a todos os acadecircmicos desde 2005 eacute o material base da disciplina A partir de 2017 nossos livros estatildeo de visual novo com um formato mais praacutetico que cabe na bolsa e facilita a leitura

O conteuacutedo continua na iacutentegra mas a estrutura interna foi aperfeiccediloada com nova diagramaccedilatildeo no texto aproveitando ao maacuteximo o espaccedilo da paacutegina o que tambeacutem contribui para diminuir a extraccedilatildeo de aacutervores para produccedilatildeo de folhas de papel por exemplo

Assim a UNIASSELVI preocupando-se com o impacto de nossas accedilotildees sobre o ambiente apresenta tambeacutem este livro no formato digital Assim vocecirc acadecircmico tem a possibilidade de estudaacute-lo com versatilidade nas telas do celular tablet ou computador Eu mesmo UNI ganhei um novo layout vocecirc me veraacute frequentemente e surgirei para apresentar dicas de viacutedeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto em questatildeo

Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas institucionais sobre os materiais impressos para que vocecirc nossa maior prioridade possa continuar seus estudos com um material de qualidade

Aproveito o momento para convidaacute-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de Desempenho de Estudantes ndash ENADE Bons estudos

NOTA

Esperamos que ao final deste estudo vocecirc consiga notar a evoluccedilatildeo do seu entendimento matemaacutetico e consiga aplicar estes conhecimentos na sua aacuterea de atuaccedilatildeo Desta forma a disciplina pretende oportunizar a compreensatildeo da construccedilatildeo dos conhecimentos aqui trabalhados e servir de subsiacutedio para os conhecimentos subsequentes

Bons estudos

Profa Dra Jaqueline Luiza HorbachProf Me Leonardo Garcia Santos

V

Olaacute acadecircmico Para melhorar a qualidade dos materiais ofertados a vocecirc e dinamizar ainda mais os seus estudos a Uniasselvi disponibiliza materiais que possuem o coacutedigo QR Code que eacute um coacutedigo que permite que vocecirc acesse um conteuacutedo interativo relacionado ao tema que vocecirc estaacute estudando Para utilizar essa ferramenta acesse as lojas de aplicativos e baixe um leitor de QR Code Depois eacute soacute aproveitar mais essa facilidade para aprimorar seus estudos

UNI

VI

VII

UNIDADE 1 ndash INTEGRAIS MULTIPLAS E FUNCcedilOtildeES VETORIAIS 1

TOacutePICO 1 ndash INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS 31 INTRODUCcedilAtildeO 32 INTEGRAIS DUPLAS 4

21 INTEGRAIS DUPLAS SOBRE RETAcircNGULOS 522 INTEGRAL DUPLA DE REGIOtildeES NAtildeO RETANGULARES 11

3 INTEGRAL TRIPLA 2031 INTEGRAL TRIPLA EM UMA REGIAtildeO COM FORMATO DE UM PARALELEPIacutePEDO 21

RESUMO DO TOacutePICO 1 23AUTOATIVIDADE 25

TOacutePICO 2 ndash MUDANCcedilA DE VARIAacuteVEIS NAS INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS 291 INTRODUCcedilAtildeO 292 MUDANCcedilA DE VARIAacuteVEL NA INTEGRAL DUPLA 30

21 COORDENADAS POLARES 313 MUDANCcedilA DE VARIAacuteVEIS NA INTEGRAL TRIPLA 36

31 INTEGRAL TRIPLA EM COORDENADAS CILIacuteNDRICAS 3732 INTEGRAL TRIPLA EM COORDENADAS ESFEacuteRICAS 41


TOacutePICO 3 ndash APLICACcedilOtildeES 511 INTRODUCcedilAtildeO 512 MASSA DE UM CORPO 513 CARGA ELEacuteTRICA 544 CENTRO DE MASSA 565 MOMENTO DE INEacuteRCIA 61LEITURA COMPLEMENTAR 66RESUMO DO TOacutePICO 3 70AUTOATIVIDADE 71

UNIDADE 2 ndash INTEGRACcedilAtildeO E DERIVACcedilAtildeO VETORIAL 73

TOacutePICO 1 ndash FUNCcedilOtildeES VETORIAIS E CURVAS 751 INTRODUCcedilAtildeO 752 FUNCcedilOtildeES VETORIAIS 753 CURVAS 79

31 CURVAS PARAMEacuteTRICAS EM 2 E EM 3 844 DERIVADA E INTEGRAL DE FUNCcedilOtildeES VETORIAIS DE UMA VARIAacuteVEL REAL 89

41 RETA TANGENTE 9342 COMPRIMENTO DE ARCO 95


sumaacuterio

VIII

TOacutePICO 2 ndash CAMPOS VETORIAIS 1071 INTRODUCcedilAtildeO 1072 CAMPO VETORIAL 1073 GRADIENTE 1114 ROTACIONAL 1145 DIVERGENTE 118RESUMO DO TOacutePICO 2121AUTOATIVIDADE 123

TOacutePICO 3 ndash INTEGRAIS DE LINHA1271 INTRODUCcedilAtildeO 1272 INTEGRAL DE LINHA DE CAMPOS ESCALARES 1273 INTEGRAL DE LINHA DE CAMPOS VETORIAIS 132LEITURA COMPLEMENTAR 139RESUMO DO TOacutePICO 3147AUTOATIVIDADE 148

UNIDADE 3 ndash TEOREMAS DO CAacuteLCULO VETORIAL 151

TOacutePICO 1 ndash TEOREMA DE GREEN 1531 INTRODUCcedilAtildeO 1532 TEOREMA DE GREEN 1543 TEOREMA DA DIVERGEcircNCIA 161RESUMO DO TOacutePICO 1165AUTOATIVIDADE 166

TOacutePICO 2 ndash TEOREMA DE GAUSS 1691 INTRODUCcedilAtildeO 1692 INTEGRAL DE SUPERFIacuteCIE DE UM CAMPO ESCALAR 1723 INTEGRAL DE SUPERFIacuteCIE DE UM CAMPO VETORIAL 1734 TEOREMA DE GAUSS176RESUMO DO TOacutePICO 2183AUTOATIVIDADE 184

TOacutePICO 3 ndash TEOREMA DE STOKES 1871 INTRODUCcedilAtildeO 1872 TEOREMA DE STOKES 188LEITURA COMPLEMENTAR 198RESUMO DO TOacutePICO 3208AUTOATIVIDADE 209

REFEREcircNCIAS 211

1

UNIDADE 1

INTEGRAIS MUacuteLTIPLASE FUNCcedilOtildeES VETORIAIS

OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM

PLANO DE ESTUDOS

A partir do estudo desta unidade vocecirc deveraacute ser capaz de

bull definir integral de muacuteltiplas variaacuteveis e funccedilotildees vetoriais

bull apresentar teacutecnicas de mudanccedila de variaacuteveis

bull conhecer as principais propriedades de funccedilotildees vetoriais

bull parametrizar curvas definidas por funccedilotildees vetoriais

bull calcular o gradiente de capocircs escalares

bull calcular o divergente rotacional de campos vetoriais

bull entender a motivaccedilatildeo fiacutesica de divergente e rotacional

bull definir e calcular integral de linha de campos vetoriais

bull conhecer os Teoremas de Green e Stokes e suas aplicaccedilotildees

Esta unidade estaacute dividida em trecircs toacutepicos No decorrer da unidade vocecirc encontraraacute autoatividades com o objetivo de reforccedilar o conteuacutedo apresentado

TOacutePICO 1 ndash INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS

TOacutePICO 2 ndash MUDANCcedilA DE VARIAacuteVEIS NAS INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS

TOacutePICO 3 ndash APLICACcedilOtildeES

2

3

TOacutePICO 1UNIDADE 1

INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS

1 INTRODUCcedilAtildeOAo longo da construccedilatildeo do conhecimento matemaacutetico jaacute era conhecido

que problemas que envolviam medidas ou ainda comprimentos aacutereas e volumes vieram se aperfeiccediloando ao longo dos anos Vimos anteriormente que as integrais possibilitam um avanccedilo substancial nestes casos em que por exemplo calculamos aacutereas abaixo de curvas e volumes de superfiacutecies de revoluccedilatildeo

Jaacute no Egito antigo jaacute se fazia necessaacuterio o caacutelculo de aacuterea de campos e volume de gratildeos Poreacutem a ideia de integrais duplas e triplas comeccedilou a ser desenvolvida quando Gilles Personne de Roberval (1602-1675) usando o princiacutepio de Cavalieri tentou calcular a aacuterea sob um arco da cicloide Esse estudo de integrais duplas e triplas soacute foi aprofundado por Blaise Pascal (1623-1662) que calculou aproximaccedilotildees por somas triangulares (no caso de integral dupla) e piramidais (no caso de integrais triplas)

Agora no Caacutelculo III apoacutes conhecer os conceitos de derivadas parciais de funccedilotildees de mais de uma variaacutevel real em que podemos fixar uma das variaacuteveis e realizar o processo de derivaccedilatildeo em relaccedilatildeo a uma delas apenas por vez estenderemos este conceito de modo anaacutelogo para integrais indefinidas em que a integraccedilatildeo pode ser realizada em cada variaacutevel de modo especiacutefico Por exemplo

43 2 2 3 2

4

= = +

int intxx y dx y x dx y C

Note que consideramos os valores de y como constantes e realizamos a integraccedilatildeo em torno apenas da variaacutevel x Este seraacute o ponto central destes nossos primeiros conceitos

UNIDADE 1 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS E FUNCcedilOtildeES VETORIAIS

4

em que f(x) eacute uma funccedilatildeo contiacutenua e natildeo negativa no intervalo fechado [a b] eacute definida como sendo a aacuterea limitada abaixo da funccedilatildeo f(x) acima do eixo X e lateralmente pelas retas x = a e x = b O que seraacute realizado eacute a extensatildeo deste conceito para uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis

2 INTEGRAIS DUPLASSabemos que o caacutelculo das integrais de uma variaacutevel eacute simbolicamente

dado por

( ) b

a

f x dxint

2 sube rarr f D

contiacutenuas na regiatildeo D (compacta) como por exemplo em nossas primeiras anaacutelises no retacircngulo

( ) 2 e = isin le le le lexyD x y a x b c y d

GRAacuteFICO 1 ndash RETAcircNGULO

FONTE Os autores

Nas duas proacuteximas subseccedilotildees estudaremos como calcular integral dupla e tripla de funccedilotildees e algumas propriedades importantes sobre o assunto

x

y

TOacutePICO 1 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS

5

21 INTEGRAIS DUPLAS SOBRE RETAcircNGULOS

Vamos iniciar o estudo de integrais duplas sobre retacircngulos considere entatildeo uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis z = f(x y) contiacutenua e com domiacutenio na regiatildeo retangular compacta

[ ] [ ] ( ) 2 e = times = isin le le le lexyD a b c d x y a x b c y d

Suponha ainda que f eacute natildeo negativa ou seja a superfiacutecie gerada por f estaacute acima do plano XY Definiremos integral dupla em alguns passos para facilitar o entendimento poreacutem na praacutetica prezado acadecircmico vocecirc deve imaginar-se calculando o volume que estaacute acima do plano XY e abaixo da superfiacutecie descrita por z = f(x y)

Inicialmente devemos particionar a regiatildeo do domiacutenio retangular D na

direccedilatildeo do eixo X e do eixo Y conforme descrito a seguir

0 1 1 0 1 1 e minus minus= lt lt helliplt lt = = lt lt helliplt lt =m m n na x x x x b c y y y y d

respectivos aos intervalos [a b] e [c d] Em seguida o processo eacute formar retacircngulos [xi xi+1] x [yj yj+1] a partir das

particcedilotildees formando uma quantidade de m middot n retacircngulos de lados iguais a

1 1 e + +minus minus

∆ = minus = ∆ = minus =i i j jb a d cx x x y y y

m n

Retomando o conceito de limites sabemos que quando as quantidades m e n aumentam os lados dos retacircngulos tendem a zero

Apoacutes este fato tomaremos um ponto interno de cada um destes retacircngulos e calcularemos o valor da funccedilatildeo z = f(x y) ou seja calcularemos zij = f (ui vj) Como ui e vj representam conjuntamente um retacircngulo e o valor da funccedilatildeo zij a ldquoalturardquo da superfiacutecie em questatildeo podemos imaginar o produto zij = f (ui vj) como sendo o volume de uma pequena fatia abaixo da superfiacutecie conforme apresenta o graacutefico a seguir


6

GRAacuteFICO 2 ndash REPRESENTACcedilAtildeO DA INTEPRETACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA DA INTEGRAL DUPLA

FONTE Os autores

O proacuteximo passo eacute recorrer ao mesmo processo que utilizamos na interpretaccedilatildeo da integral simples o das somas de Riemann Aqui cada parcela f (ui vj) middot ∆x∆y ao serem somadas geram

( )0 0

= =

= ∆ ∆sumsumn m

m n i ji j

S f u v x y

Esta soma de Riemann trata-se de uma aproximaccedilatildeo por falta ou por excesso do volume do soacutelido de base D (retacircngulo) e superfiacutecie descrita pela funccedilatildeo f(x y) Ao realizarmos o limite desta soma teremos o volume real deste soacutelido e teremos definido este fato como sendo a integral dupla da funccedilatildeo f(x y) sobre o retacircngulo de aacuterea D como mostrado a seguir

Sendo que o produto dxdy = dA eacute a aacuterea infinitesimal

( ) 0

0 0

lim ( )rarr

= =

∆ ∆ =sumsum intintn m

i jm ni j D

f u v x y f x y dxdy

A integral dupla reza as mesmas propriedades da integral simples Dentre elas podemos destacar as propriedades de linearidade aditividade e valor meacutedio

NOTA


7

Obviamente para calcular uma integral dupla (volume abaixo de uma superfiacutecie) natildeo teremos que recorrer sempre ao processo das somas de Riemann Desta forma para este fim verificaremos agora o dispositivo de caacutelculo necessaacuterio para esta resoluccedilatildeo o Teorema de Fubini

Teorema de Fubini

Seja uma funccedilatildeo f de duas variaacuteveis contiacutenua no domiacutenio retangular

entatildeo

em que


( )( ) =intint intintd b

D c a

f x y dxdy f x y dxdy

( ) ( ) ( ) d b d b b d

c a c a a c

f x y dxdy f x y dx dy f x y dy dx

= =

intint int int int int

Note que a ordem em que a integral eacute calculada natildeo modifica o resultado alcanccedilado Por este modo o Teorema de Fubini eacute conhecido como o teorema das integrais iteradas Neste processo por exemplo resolvemos a integral

( ) b

a

f x y dxint

mantendo temporariamente a variaacutevel y constante e em seguida integramos o resultado alcanccedilado com relaccedilatildeo a variaacutevel y no intervalo [c d]

Vamos analisar o caacutelculo de uma integral dupla resolvendo alguns exemplos

Exemplo calcular a integral dupla sobre o retacircngulo [01] x [01] e abaixo da superfiacutecie

( ) 2 f x y xy=


8

Resoluccedilatildeo verificando o enunciado para este exemplo temos que a integral dupla a ser resolvida seraacute

1 1

0 0

sup2 xy dxdyintint

Como a primeira integral a ser resolvida eacute com relaccedilatildeo agrave variaacutevel x iremos momentaneamente admitir a variaacutevel y como sendo uma constante e assim sendo teremos

1 12

0 0

y x dx dy

sdot

int int

ou seja primeiro resolveremos a integral interna aos colchetes do modo jaacute verificado para as integrais simples

11 12 2 22 2

0 00

1 0 2 2 2xy dy y dy

sdot = minus

int int1 2

0

2y dy= int

Agora a integral soacute depende de y e resolvemos normalmente

112

00

1 1 sup3 1 2 2 3 6

yy dy = sdot = int

Procure calcular a integral invertendo a ordem da integraccedilatildeo realizando

Note que este fato soacute eacute possiacutevel com esta naturalidade (sem demais preocupaccedilotildees) pois a regiatildeo do domiacutenio de integraccedilatildeo eacute um retacircngulo

IMPORTANTE

1 1

0 0

sup2 intintxy dydx


9

Exemplo calcular o volume do soacutelido S acima da regiatildeo retangular [01] x [01] e abaixo da superfiacutecie plana x + y + z = 2

Resoluccedilatildeo observe antes de resolvermos o exemplo em questatildeo o fato que estamos calculando um volume antes complicado de ser resolvido de um modo mais tranquilo atraveacutes da integraccedilatildeo dupla Observe o graacutefico a seguir que mostra graficamente a situaccedilatildeo apresentada no exemplo

GRAacuteFICO 3 ndash REPRESENTACcedilAtildeO DO VOLUME DESCRITO NO EXEMPLO

FONTE Os autores

A integral dupla para o caso eacute construiacuteda da seguinte forma

1 1

0 0

2 x y dxdyminus minusintint

Para a sua resoluccedilatildeo utilizando o Teorema de Fubini teremos

1 1

0 0

2 x y dx dy

minus minus

int int

Lembrando que devemos manter a variaacutevel y como constante e integrando em relaccedilatildeo a x na primeira integral a ser resolvida assim

11 12

0 00

32 2 2xx xy dy y dy

minus minus = minus

int int


10

Agora a funccedilatildeo dentro da integral soacute depende de y e integramos normalmente

11 2

0 0

3 3 3 1 12 2 2 2 2

y yy dy

minus = minus = minus =

int

Exemplo determinar o volume do soacutelido R sobre o retacircngulo [ndash11] x [01] e abaixo da superfiacutecie ciliacutendrica z = 1 ndash x2

Resoluccedilatildeo para ilustrar analisemos o graacutefico


FONTE Os autores

Usando a definiccedilatildeo de integral dupla e iniciando a integraccedilatildeo pela variaacutevel y temos que o volume eacute

1 12

10

1V x dydxminus

= minusint int1 1

1 0

1 sup2 x dy dxminus

= minus

int int1

2

1

10minus

= minus int y x y dx

12

1

1 x dxminus

= minusint


11

Integrando com relaccedilatildeo a x teremos

12

1

1 V x dxminus

= minusint13

13xx

minus

= minus

( ) ( )311 41 1 3 3 3

minus = minus minus minus minus =

22 INTEGRAL DUPLA DE REGIOtildeES NAtildeO RETANGULARES

O proacuteximo passo acadecircmico eacute pensar em regiotildees que natildeo satildeo retangulares como calculamos a integral dupla nesse caso A ideia eacute recorrer agrave mesma teoria vista para as regiotildees retangulares Deveremos tomar como base o fato de que a regiatildeo D (natildeo retangular) estaraacute totalmente inscrita em um retacircngulo conforme mostra o graacutefico seguir

GRAacuteFICO 5 ndash REPRESENTACcedilAtildeO DA INTEGRAL DUPLA EM UMA REGIAtildeO NAtildeO RETANGULAR

FONTE Os autores

Por este motivo podemos tratar este tipo de integral do mesmo modo da integral dupla vista anteriormente Da mesma maneira utilizaremos o Teorema de Fubini para o caacutelculo destas integrais eacute claro que em uma visatildeo um pouco mais geral e sendo a regiatildeo D uma regiatildeo dita ldquosimplesrdquo ou seja com uma das direccedilotildees do domiacutenio fixada em valores fixos e a outra direccedilatildeo podendo variar ao longo de uma funccedilatildeo Seratildeo dois casos importantes


12

Regiatildeo vertical simples

Neste caso inicial teremos uma regiatildeo do domiacutenio do tipo

( ) ( ) ( ) 22 1 e = isin le le le lexR x y a x b g x y g x

em que g1 g2 satildeo funccedilotildees contiacutenuas O graacutefico a seguir representa uma regiatildeo vertical simples Temos variaccedilatildeo fixa em intervalo no eixo X e funccedilotildees delimitando a variaccedilatildeo no eixo Y

GRAacuteFICO 6 ndash REPRESENTACcedilAtildeO DE UMA REGIAtildeO VERTICAL SIMPLES

FONTE Os autores

A integral a ser resolvida fica da forma

( )( )

( )

( )1

2

=

intint int intx

g xb

R a g x

f x y dxdy f x y dy dx

Vamos entender como trabalhar com esse caso atraveacutes de exemplos

Exemplo calcular a integral dupla sobre a funccedilatildeo

( ) 2 f x y xy=

em que o domiacutenio eacute o quarto de ciacuterculo no primeiro quadrante

( ) 2 0 1 e 0 1 sup2 = isin le le le le minusD x y x y x


13

Resoluccedilatildeo utilizando o Teorema de Fubini sobre a regiatildeo vertical simples originada teremos

2 21 1 1 12 2

0 0 0 0

x x

xy dy dx x y dy dxminus minus

= sdot

int int int int211 3

0 03

xyx dx

minus

= sdot

int1 3

2 2

0

1 1 3

x x dx = sdot sdot minus int

Observe que para realizar a integral devemos utilizar o meacutetodo da substituiccedilatildeo Considere u = 1 ndash x2 e assim sendo du = ndash2x dx ou seja

1 1 332 22

0 0

1 11 3 6

= sdot sdot minus = minus sdot int intx x dx u du

152

0

1 26 5

u

= minus sdot

( )15

2 2

0

1 2 11 6 5 15

x

= minus sdot minus =

Exemplo calcular a integral dupla

( )

3

3 D

x y dA+intint

em que D eacute a regiatildeo limitada pelas curvas y = x2 e y = 2x

Resoluccedilatildeo quando a regiatildeo natildeo estaacute delimitada devemos analisar o graacutefico observe que o graacutefico eacute apresentado no graacutefico a seguir


14

GRAacuteFICO 7 ndash REPRESENTACcedilAtildeO DO DOMIacuteNIO D

FONTE Os autores

Em seguida apesar de jaacute estar claro na figura devemos saber quais os pontos de intersecccedilatildeo das duas curvas e para isso basta resolver a equaccedilatildeo x2 = 2x nesse caso encontramos os valores x = 0 e x = 2 Portanto a regiatildeo pode ser vista como vertical simples cujo domiacutenio seraacute

( ) 2 0 2 e sup2 2 = isin le le le leD x y x x y x

Com o Teorema de Fubini temos

( )2 2

22 2 2 23 3

0 0

33 2

xx

x x

yx y dy dx x y dx

+ = +

int int int

( ) ( )22 223 3 2

0

33 22

2 2xx

x x x x dxsdotsdot

= sdot + minus sdot minusint2 4

4 2 5

0

32 62xx x x dx= + minus minusint

( )2

5 4 2

0

1 2 12 2

x x x dx= sdot minus + +int26 5 3

0

1 2 122 6 5 3

x x x = minus + +

6 5 31 2 2 2 12 2

2 6 5 3 sdot sdot

= minus + +

1 64 32 12832 2 3 5 15

= minus + + =


15

Exemplo (aacuterea a partir de uma integral dupla) calcular por integral dupla a aacuterea da regiatildeo compreendida entre as curvas

2 2 16 2 4x y e x y+ = + =

Resoluccedilatildeo incialmente devemos fazer a seguinte anaacutelise a fim de compreender o dispositivo de caacutelculo que seraacute utilizado neste exemplo imaginemos uma funccedilatildeo f(x y) = 1 que se trata de uma superfiacutecie de altura constante igual a 1 Ora todo prisma de altura igual eacute 1 possui volume numericamente igual a aacuterea da base isto eacute

( )

1 D

A D dA= intint

Agora com este conhecimento determinaremos os limites para o domiacutenio indicado Para encontrar a regiatildeo indicada primeiro isolando o y nas duas equaccedilotildees temos

e

2 216 82 2

x xy minus= = minus

4 22 2

x xy minus= = minus

agora encontramos os pontos de intersecccedilatildeo resolvendo a equaccedilatildeo

216 4x xminus = minus2 12 0x xminus minus =

por Bhaskara encontramos as seguintes soluccedilotildees x = ndash3 e x = 4 podemos observar isso no graacutefico a seguir


16

GRAacuteFICO 8 ndash REPRESENTACcedilAtildeO DA REGIAtildeO DO EXEMPLO

FONTE Os autores

Portanto a regiatildeo D pode ser descrita por

( )2

2 3 4 e 2 82 2

= isin minus le le minus le le minus

x xD x y x y

e pelo Teorema de Fubini temos que a aacuterea eacute

2 284 42

3 322

821

22

minus

minus minusminus

minus =

minus

int int intx

x

x

dy dx y dxx

4 2

3

8 22 2x x dx

minus

= minus minus +int4 2

3

62 2x x dx

minus

= + minusint

( )4

3

1 34312 sup2 2 12

x x dxminus

= sdot + minus =int


17

Exemplo calcular a aacuterea via integral dupla da regiatildeo D entre as curvas y = x2 e x = y2Resoluccedilatildeo verificamos que as funccedilotildees dadas natildeo estatildeo com a mesma variaacutevel como independente Logo a funccedilatildeo x = y2 seraacute reescrita como y = radicx Os pontos de intersecccedilatildeo satildeo x = 0 e x = 1

Desta forma o Teorema de Fubini para o caacutelculo desta aacuterea fica escrito como

( )2

1 12

0 0

1 x

x

dy dx x x dx

= minus

int int int13 3

2

0

2 1 3 3 3

= minus =

xx

Regiatildeo horizontal simples

Neste caso teremos uma regiatildeo do domiacutenio do tipo

( ) ( ) ( ) 21 2 e = isin le le le lexR x y h y x h y c y d

em que h1 h2 satildeo funccedilotildees contiacutenuas O graacutefico a seguir representa uma regiatildeo horizontal simples Temos variaccedilatildeo fixa em intervalo no eixo Y e funccedilotildees delimitando a variaccedilatildeo no eixo X

GRAacuteFICO 9 ndash REPRESENTACcedilAtildeO DE UMA REGIAtildeO HORIZONTAL SIMPLES

FONTE Os autores


( )( )

( )

( )2

1

=

intint int intx

h xd

R c h x

f x y dxdy f x y dx dy


18



( )

3

3 D

x y dA+intint


Resoluccedilatildeo sabemos que o graacutefico dessa regiatildeo eacute


FONTE Os autores

Podemos escrever o domiacutenio da regiatildeo acima isolando o x e nesse caso encontramos

( ) 2 e 0 4 2

= isin le le le le

yD x y x y y



19

( )4 4 4

3

0 022

3 3 4

yy

yy

xx y dx dy yx dy

+ = + int int int

( )4

44

0

23 34 4 2

yy yy y y dy

= + minus minus sdotint

4 32 4 22

0

334 64 2y y yy dy= + minus minusint4 32 4

2

0

5 34 64y yy dyminus

= + minusint45

3 52

0

5 612 5 320y y y

= minus + minus

53 525 4 6 44

12 5 320sdot

= minus + minus

80 192 16 128 3 5 5 15

= minus + minus =

( )2

1 12

0 0

1 y

y

dx dy y y dy = minus

int int int13 3

2

0

2 1 3 3 3

= minus =

yy

Observe que encontramos o mesmo resultado mesmo com meacutetodos diferentes

Exemplo calcular a aacuterea via integral dupla da regiatildeo D entre as curvas y = x2 e x = y2

Resoluccedilatildeo verificamos que as funccedilotildees dadas natildeo estatildeo com a mesma variaacutevel como independente Em vez de isolar o y como fizemos no caso anterior aqui isolaremos o x logo a funccedilatildeo y = x2 seraacute reescrita como x = radicy e os pontos de intersecccedilatildeo satildeo y = 0 e y = 1

Pelo Teorema de Fubini a aacuterea eacute


20

Podemos supor ainda que a regiatildeo D pode ser decomposta em duas ou mais regiotildees simples Do tipo vertical ou horizontal Apoacutes isto a integral dupla eacute calculada pela propriedade aditiva das integrais

NOTA

( ) ( ) ( )1 2

= +intint intint intintD D D

f x y dA f x y dA f x y dA

3 INTEGRAL TRIPLAPara o estudo da integraccedilatildeo tripla para fins de simplificaccedilatildeo tomaremos

como compreendidas as mesmas construccedilotildees definiccedilotildees e propriedades da integral dupla Assim temos por definiccedilatildeo que a integral tripla de f sobre uma regiatildeo espacial R eacute dada por

( ) intintintR

f x y z dV

em que dV = dx middot dy middot dz eacute uma unidade infinitesimal de volume

Caso tenhamos f (x y z) = 1 estamos calculando o volume da regiatildeo espacial R assim como similarmente tinhamos uma propriedade para a integral dupla

NOTA


21

31 INTEGRAL TRIPLA EM UMA REGIAtildeO COM FORMATO DE UM PARALELEPIacutePEDO

Dada uma funccedilatildeo 3f R sub rarr contiacutenua e compacta seguindo os seguintes pontos

( ) 3 R x y z a x b c y d e z f= isin le le le le le le

entatildeo a integral tripla de f sobre R eacute dada por

( ) fb d

a c e

f x y z dz dy dx

int int int

e ainda de modo idecircntico o Teorema de Fubini se aplica podendo-se permutar a ordem de integraccedilatildeo

Exemplo calcular a integral tripla da funccedilatildeo f (x y z) = xyz em que a regiatildeo de domiacutenio eacute dada por

( ) 3 1 2 0 1 1 2 = isin le le le le le leR x y z x y z

Resoluccedilatildeo a partir da regiatildeo mostrada no exemplo podemos afirmar que ela se trata de um paralelepiacutepedo reto-retacircngulo que pode ser notado como [1 2] x [0 1] x [1 2] logo

2 1 2

1 0 1

xyz dx dy dzminus

int int int22 1 2 12

1 0 1 01

3 2 2x yz dy dz yz dy dz

minus

= = sdot


1 10

3 3 9 2 2 4 8

y z dz z dz

= sdot = sdot =

int int

Assim como nas integrais duplas eacute possiacutevel tambeacutem termos o caacutelculo de integrais triplas com regiotildees natildeo retangulares em que neste caso as duas integrais calculadas incialmente possuem variaccedilatildeo de acordo com funccedilotildees de duas e uma variaacutevel respectivamente e a uacuteltima integral a ser calculada varia entre intervalo fixo


22

Exemplo calcular a integral tripla

2 2 2

R

x y z dV+ +intintint

em que R eacute delimitada pelos planos x + y + z = 2 x = 0 y = 0 e z =0

Resoluccedilatildeo para iniciar a resoluccedilatildeo desta questatildeo vamos analisar o graacutefico a seguir que exemplifica o caso

GRAacuteFICO 11 ndash REPRESENTACcedilAtildeO DO EXEMPLO

FONTE Os autores

Analisando os limites da regiatildeo dada verificamos que

( ) 3 0 2 0 2 0 2R x y z x y x z x y= isin le le le le minus le le minus minus

o que resulta na integral tripla a seguir cujo resultado seraacute obtido pelo Teorema de Fubini

22 22 2 2

0 0 0

x yx

x y z dz dy dxminus minusminus

+ +

int int int

( ) ( )2 2

2 2

0 0

1 2 3 3 2 sup2 3

x

x y x y x y dy dxminus

= sdot minus minus sdot + + minus minus

int int

( ) ( )2

2 2

0

1 82 2 1 3 5

= sdot sdot minus minus + =int x x x dx

23

Neste toacutepico vocecirc aprendeu que

bull Uma integral dupla eacute uma extensatildeo do conceito da integraccedilatildeo simples e ainda

bull Para integrais duplas de regiotildees natildeo retangulares podemos analisar o domiacutenio segundo


bull Uma integral dupla aleacutem do caacutelculo do volume abaixo de uma superfiacutecie o caacutelculo de aacuterea de uma regiatildeo D (domiacutenio) atraveacutes de


bull A resoluccedilatildeo de uma integral dupla eacute feita a partir do Teorema de Fubini

RESUMO DO TOacutePICO 1

( ) ( ) =intint intintd b

D c a


( ) ( ) ( ) d b d b b d

c a c a a c


= =


( )( )

( )

( )1

2

=

intint int intx

g xb

R a g x


( )( )

( )

( )2

1

=

intint int inty

h xd

R c h x


( )

1 D

A D dA= intint

24

bull Uma integral tripla tem a forma

E eacute calculada por

( )

R

f x y z dVintintint

( ) fb d

a c e

f x y z dz dy dx

int int int

25

Acadecircmico um dos princiacutepios da UNIASSELVI eacute ldquoNatildeo basta saber eacute preciso saber fazerrdquo Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica os conceitos sobre matrizes estudados neste toacutepico

1 Calcular as integrais duplas

a)

2 Um dos primeiros princiacutepios e utilizaccedilotildees para as integrais muacuteltiplas eacute o caacutelculo de aacutereas e volumes de figuras eou soacutelidos os quais natildeo possuem formatos usuais Isso pode estar fortemente ligado agrave elaboraccedilatildeo de uma peccedila em um processo produtivo ao qual necessitamos saber qual eacute a quantidade de material utilizado ou qual o espaccedilo exato que esta peccedila ocuparaacute dentro de um componente Considere a regiatildeo delimitada por x = 2 x = 8 y = 2x + 2 y = 2x

Faccedila o que se pede

a) Construa no sistema cartesiano de coordenadas a regiatildeo correspondenteb) Se esta regiatildeo representa a aacuterea de uma peccedila de viscose talhada calcule esta

aacuterea por meio de uma integral dupla

3 Assinale a opccedilatildeo que delimita o volume do tetraedro dado pela intersecccedilatildeo do plano x + y + z = 1 e o primeiro octante

b)

AUTOATIVIDADE

( )3 2

2 0

2 6xy dydx+intint

( )3 4

1 2

40 2xy dydxminusintint

26

a) ( ) 16b) ( ) 12c) ( ) 13 d) ( ) 14e) ( ) 15

4 Define-se o valor meacutedio de uma funccedilatildeo sobre uma regiatildeo R no espaccedilo por

bull Maria afirma que a integral para o caso eacute

( ) = intintintmR

V F F dV

05 24

0 0

8 2 4 x

x y dydxminus +

minus minusint int

2 42

0 0

8 2 4 y

x y dxdyminus +

minus minusint int

Considerando a funccedilatildeo F(x y z) = x y z o valor meacutedio de F sobre o cubo limitado pelos planos x = 4 y = 4 e z = 4 no primeiro octante eacute igual a

a) ( ) 512b) ( ) 643c) ( ) 64 d) ( ) 8

5 Por integraccedilatildeo dupla a aacuterea da regiatildeo limitada por y = x2 e y = radicx em unidades de aacuterea eacute igual a

a) ( ) 13b) ( ) 23c) ( ) 56d) ( ) 76

6 Maria e Joseacute estatildeo discutindo a lista de exerciacutecios de integrais duplas e triplas para calcular o volume do soacutelido S obtido a partir da intersecccedilatildeo das superfiacutecies 2x + 4y + z = 8 z = 0 y = 0 e x = 0

bull Joseacute afirma que a integral para resolver o caso eacute

27

Em relaccedilatildeo agraves soluccedilotildees propostas por Maria e Joseacute julgue a verdadeira

a) ( ) Maria estaacute incorreta e Joseacute corretob) ( ) Maria estaacute correta e Joseacute incorretoc) ( ) Ambos estatildeo corretosd) ( ) Ambos estatildeo incorretos

7 Considere a funccedilatildeo f(x y) e a regiatildeo D no plano delimitada pelas retas x = 0 x = 6 ndash y e a paraacutebola y = x2 com x gt 0 Assinale a opccedilatildeo que calcula o volume abaixo da superfiacutecie de f(x y) e acima da regiatildeo D

a) ( )

b) ( )

c) ( )

d) ( )

( )22

0 6

x

x

f x y dx dyminus

int int

( )2

2 6

3

x

x

f x y dy dxminus

minusint int

( )2

2 6

0

x

x

f x y dy dxminus

int int

( )2 sup2

36

x

x

f x y dy dxminus minusint int

28

29

TOacutePICO 2

MUDANCcedilA DE VARIAacuteVEIS

NAS INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS

UNIDADE 1

1 INTRODUCcedilAtildeOAcadecircmico vocecirc jaacute estudou algumas teacutecnicas de resoluccedilatildeo de integrais

no toacutepico anterior poreacutem existem integrais que precisam de teacutecnicas mais elaboradas O objetivo deste toacutepico eacute abordar a teacutecnica de substituiccedilatildeo de variaacuteveis para resolver integrais duplas e triplas dependendo das funccedilotildees que estamos integrando vamos usar uma substituiccedilatildeo adequada

Quando estudamos a teacutecnica de integrais simples por substituiccedilatildeo o que estamos realizando eacute uma mudanccedila de variaacuteveis para conseguir utilizar uma integral da tabela de primitivas O que fazemos eacute tomar uma funccedilatildeo [ ] f a b rarr contiacutenua e [ ] g c d rarr derivaacutevel sendo que g eacute integraacutevel e ainda g(c) = a e g(d) = b para obter

( )

( )

( ) ( )( ) ( ) acute g d d

g c c

f x dx f g u g u du= sdotint int

Para relembrar o processo vamos utilizar o seguinte exemplo Calcular a integral

Logo

1

0

1 sup2 x dxminusint

Para resolver tal integral devemos lembrar que se tomarmos f(x) = radic1 ndash x2 0 le x le 1 com a substituiccedilatildeo x = g(u) = sen(u) obtemos

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 sup2 cos e ainda acute cos com 0 2π

= minus = = le lef g u sen u u g u u u

( )1 2

2

0 0

1 sup2 x dx cos u du

π

minus =int int


30

agora sabendo que ( ) ( )( )2 1cos 1 cos 2 2

u u= + concluiacutemos que

( )( )1 2

2

0 0

11 1 cos 2 2

x dx u du

π

minus = sdot +int int

( )21 22 2 40

ππ

+ =

sen uu

O proacuteximo passo eacute deduzir o processo de mudanccedila de variaacutevel para integrais com mais de uma variaacutevel

2 MUDANCcedilA DE VARIAacuteVEL NA INTEGRAL DUPLANesta seccedilatildeo a ideia eacute resolver as integrais duplas usando mudanccedilas de

variaacutevel no primeiro momento entenderemos como realizar o processo de mudanccedila de variaacuteveis na integraccedilatildeo dupla de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis Em geral trabalharemos com duas variaacuteveis f = f(x y)

Para funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis devemos recorrer a uma transformaccedilatildeo do tipo 2 sup2T rarr tal qual

( )( )

x x u v

Ty y u v

= =

sendo que as funccedilotildees que chamaremos de ldquofunccedilotildees coordenadasrdquo x(u v) e y(u v) possuem derivadas parciais de primeira ordem contiacutenuas

Aleacutem desta suposiccedilatildeo inicial deveremos considerar o Jacobiano que eacute definido pelo determinante das derivadas parciais de x e y em relaccedilatildeo agraves novas variaacuteveis u e v ou seja

( ) u v

u v

x xJ T

y y=

TOacutePICO 2 | MUDANCcedilA DE VARIAacuteVEIS

31

Visto isto definiremos para a mudanccedila de variaacutevel de uma funccedilatildeo com duas variaacuteveis a seguinte expressatildeo

( ) ( ) ( )( ) ( )

xy uvR R

f x y dxdy f x u v y u v J T dudv= sdotint int int int

Esta foacutermula representa a mudanccedila de variaacuteveis neste caso das coordenadas cartesianas x e y para qualquer outro referencial de coordenadas u e v Sabemos tambeacutem que isto permite-nos uma seacuterie de tipos de troca de variaacutevel poreacutem em algumas situaccedilotildees natildeo teremos grandes aplicaccedilotildees praacuteticas deste processo o que natildeo eacute o objetivo deste material Assim exemplificaremos para este item inicialmente um tipo de troca de variaacuteveis bastante uacutetil em diversos casos que eacute a mudanccedila para coordenadas polares

21 COORDENADAS POLARES

Antes de iniciarmos o processo de caacutelculo em si para a troca de coordenadas devemos imaginar a seguinte questatildeo

Estamos bastante acostumados ateacute o momento a identificar um ponto no plano cartesiano atraveacutes de suas coordenadas (vertical e horizontal) No entanto seraacute que existe outra forma de conseguirmos localizar este ponto aleacutem dessa

A resposta eacute sim Para tal devemos informar a distacircncia que este ponto se

encontra da origem do sistema e ainda qual o acircngulo formado entre o segmento de reta que liga este ponto agrave origem com o eixo das abscissas (eixo X) Note que o ponto localizado com um par (r θ) ou seja distacircncia e acircngulo eacute uacutenico e assim sendo conseguimos tal localizaccedilatildeo

Analisando o graacutefico a seguir podemos notar que existe uma relaccedilatildeo

(transformaccedilatildeo) para cada x e y utilizando-se de novas variaacuteveis (r θ) conforme reza a regra que vimos anteriormente para a troca de variaacuteveis

GRAacuteFICO 12 ndash REPRESENTACcedilAtildeO DE COORDENADAS POLARES

FONTE Os autores


32

Note que a transformaccedilatildeo que devemos considerar jaacute que podemos usar as formas trigonomeacutetricas do triacircngulo retacircngulo eacute

( )( )

cos

senθθ

= sdot = sdot

x rT

y r

A transformaccedilatildeo inversa eacute dada por r2 = x2 + y2 e ( ) ytgx

θ = E para a transformaccedilatildeo T temos o seguinte Jacobiano

( ) ( ) ( )( ) ( )

cos sensen cos

rJ T

rθ θθ θ

minus sdot=

sdot

( ) ( )2 2 r cos r sen rθ θ= sdot + sdot =

Deste modo sempre que utilizarmos a mudanccedila de variaacutevel de coordenadas retangulares (padratildeo) para coordenadas polares teremos que substituir a aacuterea elementar dxdy por

( ) J T drd r drdθ θ= sdot

assim como visto na foacutermula para mudanccedila de variaacuteveis Por fim indica-se que esta mudanccedila de variaacuteveis eacute bastante uacutetil para aacutereas

e domiacutenios que possuem similaridade com circunferecircncias

A equaccedilatildeo de uma circunferecircncia eacute dada por x2 + y2 =r2 Acadecircmico natildeo se esqueccedila da equaccedilatildeo da circunferecircncia ela seraacute muito uacutetil nos caacutelculos em que utilizaremos a mudanccedila para coordenadas polares

NOTA


( )

2 2

log xyR

x y dA+int int


33

em que Rxy eacute a regiatildeo delimitada pelos ciacuterculos x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4

Resoluccedilatildeo percebemos que esta integral dupla eacute uma seacuteria candidata a utilizaccedilatildeo de coordenadas polares Vejamos no graacutefico a seguir a representaccedilatildeo da regiatildeo Rxy indicada

GRAacuteFICO 13 ndash REPRESENTACcedilAtildeO DA REGIAtildeO Rxy

FONTE Os autores

Perceba que a faixa que estamos interessados em analisar possui raio variando entre 1 e 2 e por ser uma regiatildeo do primeiro quadrante o acircngulo variando entre 0 e π2

Sendo assim a regiatildeo Rxy quando transformada na regiatildeo (jaacute para

coordenadas polares) Rrθ passa a ser

( ) 2 1 2 0 2rR r rθπθ θ = isin le le le le

Logo lembrando que x2 + y2 = r2 e a aacuterea elementar dA = r middot drdθ teremos uma nova visatildeo da integral dupla agora em coordenadas polares

( ) ( ) 2 2

2 2 2

0 1

log log xyR

x y dA r r drdπ

θ+ = sdotint int int int

( )2 2

2

0 1

log r r dr dπ

θ

= sdot

int int

Agora para a resoluccedilatildeo desta integral interna devemos lembrar o processo de caacutelculo por substituiccedilatildeo simples visto na disciplina de Caacutelculo II Ou seja


34

sup2u r=

2 2

= =dudu r dr r dr

Assim sendo

( ) ( )2 4

2

1 1

1log log 2

r r dr u dusdot =int int

( )( )4

1

log 12u u = sdot minus

( )( ) ( )( )4 1log 4 1 log 1 12 2

= minus minus minus

( ) ( )1 32log 4 2 0 2log 4 2 2

= minus minus + = minus

Finalizando o caacutelculo da integral dupla

( ) ( ) ( )2

0

3 3 32log 4 2 log 4 log 4 22 2 40

π ππθ θ π minus = minus sdot = sdot minus

int d

Caro acadecircmico vocecirc jaacute percebeu que vamos utilizar muito o conceito de integraccedilatildeo que estudamos na disciplina Calculo Diferencial e Integral I

UNI


2

14 sup2 xyR

x y dAminus minusint int

em que Rxy eacute a regiatildeo delimitada pelos ciacuterculos 4 le x2 + y2 le 9


35

Resoluccedilatildeo observando que esta integral possui domiacutenio delimitado por ciacuterculos eacute interessante realizar a troca de variaacuteveis para coordenadas polares com raio variando entre 2 e 3 e acircngulo de volta completa ou seja de zero a 2π Devemos lembrar que x2 + y2 = r2 Entatildeo

( ) 2 3

2

0 2

14 ( sup2) 14 sup2 π

θminus + = minus sdotint int int intxyR

x y dA r r drd

Que resolvendo temos

32 3 2 2 43

0 2 0 2

1414 2 4r rr r drd d

π π

θ θ

minus = minus

int int int2 4 4

2 2

0

3 27 3 7 24 4

dπ

θ

= sdot minus minus sdot minus

int

( )2

0

8163 28 44

dπ

θ = minus minus minus int

22

00

81 81 81 4 4 2

ππ πθ θ = = = int d


2 2

xyR

x x y dxdy+int int

em que Rxy eacute a regiatildeo do primeiro quadrante delimitada pelos ciacuterculos 1 le x2 + y2 le 4

Soluccedilatildeo observe que nesse caso o raio estaacute variando entre 1 e 2 e o acircngulo eacute um quarto de volta ou seja de zero a

2π Devemos lembrar que x2 + y2 = r2 e que x = rcos(θ) entatildeo

( ) 22

2 2 2

0 1

π

θ θ+ = sdot sdotint int intintxyR

x x y dxdy r cos r r drd


36


( ) ( ) 2 42 2

3

0 1 0

2cos cos

41

rr drd d

π π

θ θ θ θ=intint int

( )42

0

2 1cos 4 4

d

π

θ θ

= minus

int

( ) ( )2

0

15 15cos 24 4 0

π πθ θ θ= =int d sen

( )15 15 150 4 2 4 4

sen senπ = minus =

Acadecircmico preste muito atenccedilatildeo na mudanccedila de coordenadas cartesianas para polares para natildeo perder informaccedilatildeo Sempre que possiacutevel desenhe o graacutefico da regiatildeo em que vocecirc estiver integrado usando algum software como o Geogebra ou WolframAlpha

3 MUDANCcedilA DE VARIAacuteVEIS NA INTEGRAL TRIPLANo caso de integrais triplas a funccedilatildeo a ser integrada eacute uma funccedilatildeo de

trecircs variaacuteveis e da mesma forma que na seccedilatildeo anterior fazer uma mudanccedila de variaacutevel eacute essencial para conseguimos calcular mais facilmente algumas integrais triplas Nessa seccedilatildeo estudaremos como fazer a mudanccedila de variaacutevel para as integrais triplas

Para realizar o processo de mudanccedila de variaacuteveis na integraccedilatildeo tripa devemos recorrer a uma transformaccedilatildeo do tipo

3 3 T rarr

de uma forma totalmente anaacuteloga a mudanccedila de variaacutevel na integral dupla tal qual

( )( )( )

x x u v wT y y u v w

z z u v w

=

= =


37

sendo que as funccedilotildees que chamaremos de ldquofunccedilotildees coordenadasrdquo x(u v w) y(u v w) e z(u v w) possuem derivadas parciais de primeira ordem contiacutenuas

Aleacutem desta suposiccedilatildeo inicial deveremos considerar o seguinte Jacobiano (nova definiccedilatildeo)

( ) u v w

u v w

u v w

x x xJ T y y y

z z z=

Visto isto definiremos para a mudanccedila de variaacutevel de uma funccedilatildeo com trecircs variaacuteveis a seguinte expressatildeo

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

xyz uvwR R

f x y z dxdydz f x u v w y u v w z u v w J T dudvdw= sdotint int int int int

A ideia eacute modificar a integral de forma que essa nova integral seja mais simples de ser calculada quando estamos em trecircs dimensotildees uma das mudanccedilas de variaacuteveis mais eficaz eacute a mudanccedila de coordenadas cartesianas para coordenadas ciliacutendricas

31 INTEGRAL TRIPLA EM COORDENADAS CILIacuteNDRICAS

Para este tipo de mudanccedila de variaacuteveis vamos considerar no plano a mudanccedila de variaacutevel para coordenadas polares jaacute estamos em duas dimensotildees e a altura z envolvida permanece inalterada Desta forma teremos a seguinte transformaccedilatildeo para a mudanccedila de coordenadas ciliacutendricas

( ) ( ) ( )( ) θ θ θ=T r z rcos rsen z

Lembre-se de que a transformaccedilatildeo inversa eacute e 2 2 2r x y= + ( ) ytgx

θ =

Quanto ao Jacobiano ele seraacute exatamente o mesmo das coordenadas polares dado por r e desta forma uma integral tripla do tipo

( )

R

f x y z dVintintint


38

seraacute calculada por

( ) ( ) ( )( )

θ

θ θ θ= sdotint int int int int intxyz r zR R

f x y z dV f rcos rsen z r dzdrd

ou seja em coordenadas ciliacutendricas o volume elementar dV seraacute dado por r dzdrdθ

Acadecircmico lembre-se de que a integral tripla da funccedilatildeo constante 1 eacute o volume do soacutelido ou seja

NOTA

= intintintD

Volume dV

Exemplo calcular utilizando integral tripla o volume de um cilindro de raio R e altura h

Resoluccedilatildeo seguindo o conceito visto para coordenadas ciliacutendricas teremos extremos de integraccedilatildeo para a integral tripla

0 2 0 0 r zR r R z hθ θ πle le le le le le

E assim

[ ]2 2

00 0 0 0 0

R h R

hr dzdrd r z drdπ π

θ θ= sdotint intint int int2

0 0

R

h r drdπ

θ= sdotint int2 2

0 0

2

Rrh d

π

θ

= sdot

int2

22 2R h R hπ π= sdot = sdot


39

Exemplo utilize coordenadas ciliacutendricas para determinar a integral tripla

D

xy dVintintint

em que a regiatildeo D eacute limitada por x2 + y2 le 1 e 0 le z le 1

Resoluccedilatildeo observando que a expressatildeo x2 + y2 le 1 eacute a regiatildeo interna de um cilindro de raio 1 e tomando a altura variando de 0 ateacute 1 temos a integral escrita em coordenadas ciliacutendricas como sendo

( ) ( )( ) 2 1 1

0 0 0

D

xy dV rcos rsen r dzdrdπ

θ θ θ= sdotintintint int intint

lembre-se de que x = rcos(θ) e y = rsen(θ) logo

( ) ( ) 2 1 1

2

0 0 0

cos D

xy dV r sen dzdrdπ


( ) ( )2 1

2

0 0

1cos

0r sen z drd

π

θ θ θ= sdot sdotint int

( ) ( )2 1

2

0 0

cos r sen drdπ

θ θ θ= sdotint int

( ) ( )12 3

0 0

cos3r sen d

π

θ θ θ

=

int

( ) ( )2

0

1 cos 3

sen dπ

θ θ θ= int

para calcularmos essa uacuteltima integral devemos usar a mudanccedila de variaacutevel u = cos(θ) e como du = ndashsen(θ)dθ temos que

2

0

1 3D

xy dV u duπ

= minusintintint int

( )2

2

2 21 1 cos 3 2 6

0 0

uπ π

θ= minus = minus

( ) ( )2 21 1cos 2 cos 0 06 6

π= minus + =


40

Nesse caso a integral tripla pode ser igual a zero pois natildeo estamos falando de volume e sim simplesmente de integraccedilatildeo

Exemplo calcule a integral tripla

D

dxdydzint int int

com D o conjunto x2 + y2 le z le 2 ndash x2 ndash y2

Resoluccedilatildeo observe que nesse caso a limitaccedilatildeo de z tambeacutem vai precisar ser modificada jaacute que natildeo temos constantes mas sim funccedilotildees que limitam z Primeiro fazemos a integraccedilatildeo em relaccedilatildeo a z

2 2

2 2

2minus minus

+=intintint intint int

xy

x y

x yD D

dxdydz dz dxdy

2 2

2 2

2 minus minus=

+intintxyD

x yz dx dy

x y2 22 2 2 = minus minusintint

xyD

x y dxdy

Vamos considerar

2 2 2r x y= +

( )cosx r θ=

( ) y r sen θ=

observe tambeacutem que x2 + y2 = 2 ndash x2 ndash y2 eacute uma circunferecircncia de raio 1 e centro (0 0) concluiacutemos assim que o raio varia de 0 ateacute 1 e que o acircngulo varia de 0 ateacute 2π Assim a integral tripla apoacutes a mudanccedila de coordenadas cartesianas para ciliacutendricas fica

( )2 1 2

0 02 2

πθ= minusintintint int int

D

dxdydz r rdrd

2 1 3

0 02 2

πθ= minusint int r r drd

42 22

0 0

1 102 2

π πθ θ= minus =int int

rr d d

21 02π

θ π= =


41

Lembre-se acadecircmico de que a mudanccedila de variaacutevel eacute uma teacutecnica de integraccedilatildeo vocecirc vai ter que decidir qual eacute a melhor teacutecnica a ser usado para cada uma das integrais quando temos um domiacutenio que eacute uma circunferecircncia ou parte a teacutecnica de mudanccedila de variaacutevel cartesiana para ciliacutendrica eacute muito recomendada

32 INTEGRAL TRIPLA EM COORDENADAS ESFEacuteRICAS

Outra teacutecnica usada para integrais triplas eacute a mudanccedila de coordenadas cartesianas para a esfeacuterica Nesse caso a transformaccedilatildeo usada eacute

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) cos cos ρ θ φ ρ φ θ ρ θ φ ρ φ=T sen sen sen

ou seja

x = ρ sen(ϕ) cos(θ)y = ρ sen(θ) sen(ϕ)

z = ρ cos(ϕ)

ou ainda

2 2 2x y zρ = + +

yarctgx

θ =

2 2 2arccos z

x y zφ

= + +

e cuja interpretaccedilatildeo geomeacutetrica eacute dada no graacutefico a seguir

GRAacuteFICO 14 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DA MUDANCcedilA DE VARIAacuteVEL CARTESIANA PARA ESFEacuteRICA

FONTE Os autores


42

O Jacobiano dessa transformaccedilatildeo eacute dado por

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )2

cos cos cos cos cos

cos 0

φ θ ρ φ θ ρ φ θφ θ ρ φ θ ρ φ θ ρ φ

φ ρ φ

minus= + =

minus

sen sen senJ T sen sen sen sen sen

sen

Ou seja em coordenadas esfeacutericas a transformaccedilatildeo se reduz

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2

cos cos ρθφ

ρ φ θ ρ θ φ ρ φ ρ φ ρ φ θ= sdotint int int int int intxyzR R

f x y z dV f sen sen sen sen d d d

Vamos resolver algumas integrais triplas usando a mudanccedila de variaacutevel cartesiana para esfeacuterica nos exemplos a seguir

Exemplo (STEWART) Calcule a integral

2 2 2

( )32 x y z

D

e dxdydz+ +int int int

com D a bola unitaacuteria ( ) 3 2 2 2 1 D x y z x y z= isin + + le

Resoluccedilatildeo como estamos trabalhando com uma esfera teremos

0 1ρle le 0 2θ πle le 0 φ πle le

2 2 2 2x y zρ = + +

GRAacuteFICO 15 ndash GRAacuteFICO ESFERA DE RAIO 1

FONTE Os autores

11

ndash1

x

y

z


43

Entatildeo a integral fica

( )2 2 2 32 3 2 1

( ) 2

0 0 0

π πρ ρ φ ρ φ θ+ + =int int int int intintx y z

D

e dxdydz e sen d d d

( ) 32 1

2

0 0 0

sen e d d dπ π

ρφ ρ ρ φ θ= int int int

Para resolvermos a primeira integral vamos usar a mudanccedila de variaacutevel u = ρ3 logo du = 3ρ2dρ portanto

31 1

2

0 0

13

ue d e duρ ρ ρ =int int

( )1

1 1 1 3 3

0

ue e= = minus

Assim

( ) ( )2 2 2 32 2

( )

0 0

1 13

π π

φ φ θ+ + = minusint int int int intx y z

D

e dxdydz e sen d d

( ) ( )2

0

1 1 cos 3

0e d

π πφ θ= minus minus int

( )2

0

2 13

e dπ

θ= minus int

( ) ( )2

2 41 1 3 3

0e e

ππθ= minus = minus

Exemplo (STEWART) Determinar o volume do soacutelido que eacute interior agrave esfera x2 + y2 + z2 = z e ao cone

( )23 sup2 z x y= +

Resoluccedilatildeo para idealizar qual o volume estamos lidando vamos inicialmente analisar o graacutefico a seguir


44

GRAacuteFICO 16 ndash REPRESENTACcedilAtildeO DO SOacuteLIDO DESCRITO NO EXEMPLO

FONTE Os autores

Note que os dois soacutelidos se interceptam quando

( ) ( )2 2 2 23 sup2 3 sup2x y x y x y+ + + = +

( ) ( )2 2 24 3 sup2x y x y+ = +

( ) ( )22 2 2 216 3x y x y+ = +

ou seja quando (x y) = (0 0) ou quando

2 2 316

x y+ =

uma circunferecircncia de centro (0 0) e raio 34

nesse caso como estamos trabalhando com uma circunferecircncia temos que θ varia de 0 ateacute 2π Falta determinar a variaccedilatildeo de ρ e ϕ como

2 2 2x y z z+ + =

fazendo a mudanccedila de variaacutevel temos

( )2 cosρ ρ φ=

ou seja

( )cosρ φ=


45

concluiacutemos assim que ρ varia de 0 ateacute cos(ϕ) E por uacuteltimo temos que

( )2 23z x y= +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2cos 3 cos 2 3 2ρ φ ρ φ π ρ π φ= +sen sen sen

( ) ( )2 2cos 3 senρ φ ρ φ=

( ) ( )cos 3 senρ φ ρ φ=

( ) 1 63

tg πφ φ= sdot =

Desta forma a integral tripla fica descrita como

( )

( ) ( )( )cos2 2 36 6

2

0 0 0 0 0

cos

30

sen d d d sen d d

π πφπ π φ

ρρ φ ρ φ θ φ φ θsdot =int int int int int

( ) ( )32 6

0 0

cos

3sen d d

ππ φ

φ φ θ= int int

Note que para resolvermos a integral

( ) ( )36

0

cos

3sen d

π

φφ φint

precisamos utilizar a substituiccedilatildeo de variaacutevel considere u = cos(ϕ) logo du = ndashsen(ϕ)dϕ e temos

( ) ( )3 36 6

0 0

cos

3 3usen d du

π π

φφ φ = minusint int

( )44 cos6

12 12 0

πφ= minus = minus

u


46

( )4 44cos cos 0 1 3 1612 12 12 2 12

π = minus + = minus +

9 1 7

192 12 192= minus + =

Concluiacutemos que o volume do soacutelido eacute

( )

( )cos2 26

2

0 0 0 0

7 192

sen d d d d d

πφπ π

ρ φ ρ φ θ φ θsdot =int int int int2

7 7 192 96

0

ππθ= =

Acadecircmico a determinaccedilatildeo dos limites de integraccedilatildeo eacute de fundamental importacircncia cada soacutelido tem seus limites preste muito atenccedilatildeo na hora de encontraacute-los

NOTA

47

RESUMO DO TOacutePICO 2Neste toacutepico vocecirc aprendeu que

bull A forma geral para a mudanccedila de variaacuteveis na integral dupla eacute dada por

bull Para escrever uma integral dupla em coordenadas polares Teremos

bull Para a mudanccedila de variaacuteveis na integral tripla devemos utilizar

bull Nas coordenadas esfeacutericas utilizamos

bull Nas coordenadas ciliacutendricas utilizamos

( ) ( ) ( )( ) ( )

xy uvR R


( )( ) ( )2 2 2 θ

θθ

= sdot = + = = sdot

x r cos yT ou r x y e tgy r sen x

Cujo Jacobiano eacute

( ) ( ) ( )( ) ( )

cos sen

sen cosr

J T rr

θ θθ θ

minus sdot= =

sdot

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

xyz uvR R


( ) ( ) ( )( )

θ



( ) ( )

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ρθφ


f x y z dV f sen cos sen sen cos sen d d d

48

em que

ou ainda

e( ) ( ) cos x senρ φ θ= ( ) ( ) ρ θ φ=y sen sen ( ) cosz ρ φ=

e2 2 2x y zρ = + +yarctgx

θ = 2 2 2

arccos zx y z

φ = + +

49

Prezado acadecircmico chegou a hora de vocecirc testar seus conhecimentos sobre o caacutelculo dos determinantes e suas propriedades Laacutepis e borracha em matildeos e boa atividade

1 Calcule as integrais duplas a seguir

a)

2 Calcule as integrais triplas a seguir usando coordenadas ciliacutendricas

4 Escreva uma integral dupla em coordenadas polares para calcular a aacuterea da regiatildeo formada por x = ndash2 x = 2 y gt 0 e x2 + y2 = 4

5 Calcular a aacuterea da regiatildeo delimitada pelas curvas x2 + y2 = 9 e x2 + y2 = 1

3 Calcule as integrais triplas a seguir usando coordenadas esfeacutericas

b)

a)

a)

b)

b)

AUTOATIVIDADE

22 22 2

0 0

x

x y dy dxminus

+int int21 1

0 0

x

x dy dxminus

int int

2

2 2

2 4 22 2

0 0

x

x y

x y dz dy dxminus

+

+int int int

2112 2

1 0 0

y x

x y dz dx dyminus

minus

+int int int

2 2 2 em que eacute o conjunto 0 4D

x dxdydz D x x y zge + + leint int int

2 2 2 em que eacute o conjunto1 4 e 0le + + le geint int intD

z dxdydz D x y z z

50

6 Calcular o volume dado pela integral

7 Calcule o volume do soacutelido limitado pelo plano z = 0 e pelo paraboloide z = 1 ndash x2 ndash y2 Em seguida assinale a opccedilatildeo que apresenta este valor

a) ( ) πb) ( ) 4

π

c) ( ) 2πd) ( ) 2

π

e ( ) 4π

8 O sistema de coordenadas ciliacutendricas eacute muito importante ele pode ser usado para simplificar os nossos estudos sobre integraccedilatildeo muacuteltipla Este sistema foi concebido a partir da definiccedilatildeo das coordenadas polares em segunda instacircncia pode-se pensar nele como uma evoluccedilatildeo do modelo polar adaptado para o espaccedilo tridimensional Efetuando a mudanccedila para coordenadas ciliacutendricas ou esfeacutericas faccedila o que se pede

a) Calcule o volume gerado pelo soacutelido limitado pelos planos z = ndash4 + x2 + y2 e z = 5

b) Calcule o volume gerado pelo soacutelido limitado pelos planos z2 = 3 + x2 + y2 e z = 2

c) Calcule o volume gerado pelo soacutelido limitado pelos planos z2 = 8 ndash x2 ndash y2 e z = ndash2

( )2

2 22 4

0 0

minus

+int intx

x ye dydx

z

yx

(0 0 1)

0

D

51

TOacutePICO 3

APLICACcedilOtildeES

UNIDADE 1

1 INTRODUCcedilAtildeOAleacutem de determinarmos os procedimentos de caacutelculo necessaacuterios para se

trabalhar com as integrais muacuteltiplas (duplas e triplas) um aspecto importante eacute o fato de trabalharmos com as aplicaccedilotildees possiacuteveis para estes dispositivos de caacutelculo e anaacutelise Neste toacutepico verificaremos algumas dessas aplicaccedilotildees

Um ponto importante a ser dito aqui logo no iniacutecio eacute que focaremos nas aplicaccedilotildees das integrais duplas tomando como conhecido que para integrais triplas os processos satildeo anaacutelogos poreacutem para aplicaccedilotildees que em alguns casos satildeo mais trabalhosas de se representarem

Dentre as aplicaccedilotildees que estudaremos teremos caacutelculo da massa de um corpo (e sua respectiva densidade se necessaacuterio) centro de massa momento de ineacutercia e cargas eleacutetricas

2 MASSA DE UM CORPOVamos supor uma chapa (lacircmina) acondicionada em uma regiatildeo D do

plano cartesiano com densidade conhecida em qualquer um de seus pontos A densidade seraacute dada pela funccedilatildeo

δ(x y)

em que garante-se que ela seja contiacutenua e integraacutevel no intervalo considerado Desta forma definiremos a massa elementar por unidade de aacuterea

calculada por integraccedilatildeo dupla como sendo δ(x y)dxdy sendo a massa total do corpo dada por

( ) δ= intintD

m x y dxdy

Utilizando este procedimento conseguimos determinar a massa de quaisquer chapas (lacircmina) no plano A uacutenica premissa inicial eacute o fato de possuirmos a funccedilatildeo densidade do corpo antecipadamente

52


Exemplo dada uma chapa de veacutertices situados no plano XY nos pontos (0 0) (4 0) (0 2) e (4 2) formando um retacircngulo Calcule a massa da chapa em gramas sabendo que a funccedilatildeo densidade de massa por aacuterea em qualquer ponto P eacute δ(xy) = 3xy

Resoluccedilatildeo a fim de calcular a massa desta chapa utilizaremos o conceito de integraccedilatildeo dupla e a foacutermula vista anteriormente Como o graacutefico eacute um retacircngulo podemos facilmente desenhar esta regiatildeo

GRAacuteFICO 17 ndash REPRESENTACcedilAtildeO DA CHAPA DADA NO EXEMPLO

FONTE Os autores

Assim temos que o conjunto D eacute dado por

( ) 2 0 4 e 0 2= isin le le le leD x y x y

e a massa total eacute

( ) 3 δ= =intint intintD D

m x y dxdy xy dxdy

2 4 2 4

0 0 0 0

3 3 xy dx dy y x dx dy

= =

int int int int

2 22

0 0

43 24

20

xy dy y dy= =int int

22

24 482

0

y= =

TOacutePICO 3 | APLICACcedilOtildeES

53

Assim temos que a massa total da chapa eacute de 48 gramas

Exemplo (GUIDORRIZI) Calcule a massa de um semiciacuterculo de raio R sendo a densidade superficial no ponto P proporcional agrave distacircncia do ponto ao centro do ciacuterculo

Resoluccedilatildeo sabemos que a distacircncia do ponto P = (x y) ao centro da circunferecircncia (podemos supor que o centro estaacute sobre o ponto (0 0)) eacute dado por

R R

(x y)

2 2d x y= +

assim a densidade superficial eacute

( ) 2 2x y k x yδ = +

com k a constante de proporcionalidade

Portanto a massa eacute

( ) 2 2 δ= = +intint intintD D

m x y dxdy k x y dxdy

vamos usar a mudanccedila de variaacutevel polar r2 = x2 +y2 como estamos trabalhando com um semiciacuterculo temos que 0 le θ le π e 0 le r le R logo

2

0 0

R

m kr dr dπ

θ

=

int int

3 3

0 0

3 3

0

Rr kRk d d

π π

θ θ= =int int

3 3

3 3

0

kR k Rπ

πθ= =

54


Observe que no primeiro exemplo natildeo usamos a mudanccedila de variaacutevel cartesiana para polar pois a integraccedilatildeo segue de maneira simples jaacute no segundo exemplo fez-se necessaacuterio

3 CARGA ELEacuteTRICA De modo anaacutelogo ao conceito anterior vamos supor uma regiatildeo D do

plano cartesiano com densidade agora de carga eleacutetrica conhecida em qualquer um de seus pontos A densidade de carga seraacute dada pela funccedilatildeo δ(x y) em que garante-se tambeacutem que ela seja contiacutenua e integraacutevel no intervalo considerado

Desta forma definiremos a carga elementar por unidade de aacuterea calculada

por integraccedilatildeo dupla como sendo δ(x y)dxdy sendo a carga total do corpo como sendo

( ) δ= intintD

q x y dxdy

Exemplo sabendo que a carga eleacutetrica distribuiacuteda sobre uma regiatildeo D situada no retacircngulo de veacutertices (32) (02) (30) e (00) estaacute associada a uma funccedilatildeo densidade de carga definida por δ(xy) = x2y em coulomb por metro quadrado (Cmsup2) Calcule a carga total desenvolvida nesta regiatildeo

Resoluccedilatildeo para calcular a carga total sabemos que se deve analisar graficamente a regiatildeo considerada

GRAacuteFICO 18 ndash REPRESENTACcedilAtildeO DA REGIAtildeO DADA NO EXEMPLO

FONTE Os autores

Sendo assim temos que a regiatildeo D eacute dada por

( ) 2 0 3 e 0 2 = isin le le le leD x y x y


55

e a carga total eacute

( ) 2δ= =intint intintD D

q x y dxdy x ydxdy

2 3 2 32 2

0 0 0 0

x y dx dy y x dx dy

= =

int int int int

2 23

0 0

3 9

30


22

9 9 2 182

0

y= = sdot =

Logo a carga total na regiatildeo D eacute de 18 coulombs

Exemplo sabendo que a carga eleacutetrica distribuiacuteda sobre uma regiatildeo triangular de veacutertices (00) (11) e (10) estaacute associada a uma funccedilatildeo densidade de carga definida por δ(x y) = (x ndash x2)(y ndash y2) em coulomb por centiacutemetro quadrado (Ccmsup2) Calcule a carga total desenvolvida nesta regiatildeo

Resoluccedilatildeo segundo os dados retirados do problema temos que a regiatildeo eacute

( ) 2 0 1 e 0 = isin le le le leD x y x y x


( ) ( )( )1

2 2

0 0

δ= = minus minusintint intintx

D

q x y dxdy x x y y dydx

( )1

2 2

0 0

x

x x y y dy dx

= minus minus

int int

( )1 2 3

2

0

2 3

0

xy yx x dx

= minus minus

int

( )1 2 3

2

0 2 3x xx x dx

= minus minus

int

1 3 4 5

0

5 2 6 3x x x dx= minus +int

56


4 5 61

1 1 1 8 6 18 8 6 18

0

x x x= minus + = minus +

9 12 4 1 72 72

minus += =

Logo a carga total na regiatildeo D eacute de 172

coulombs

4 CENTRO DE MASSAAtraveacutes dos conceitos de resistecircncia de materiais sabemos que

simbolicamente o centro de massa de um corpo eacute um ponto (xy) que centraliza teoricamente a massa de um corpo nele Atraveacutes de integraccedilatildeo dupla definimos centro de massa como sendo

( )

( )

δ

δ= =

intint

intinty D

D

x x y dxdyM

xm x y dxdy

e

( )

( )

δ

δ= =

intint

intintx D

D

y x y dxdyMym x y dxdy

Nesta relaccedilatildeo temos m a massa total do corpo que jaacute vimos o seu procedimento de caacutelculo anteriormente e Mx e My satildeo os momentos do corpo com relaccedilatildeo a cada um dos eixos orientados x e y Isso quer dizer estamos respeitando o conceito fiacutesico que indica o fato de ser o centro de massa calculado pelo produto da massa pela distacircncia em que esta massa estaacute localizada

Neste centro de massa teremos o ponto referecircncia de equiliacutebrio do corpo Teoricamente seria como se toda a massa do corpo estivesse concentrada nele

Exemplo inicialmente calcule a massa e em seguida o centro de massa de uma chapa triangular de veacutertices (00) (02) e (10) em que sua funccedilatildeo densidade eacute δ(xy) = 1 + 3x + y

Resoluccedilatildeo representando o graacutefico temos


57


FONTE Os autores

Assim notamos (realizando a equaccedilatildeo da reta y = 2 ndash 2x) que a regiatildeo eacute delimitada por x = 0 y = 0 e y = 2 ndash 2x Logo a regiatildeo a ser integrada eacute dada por

( ) 2 0 1 e 0 2 2 = isin le le le le minusD x y x y x

Deste modo para a massa

( ) ( ) 1 3δ= = + +intint intintD D

m x y dxdy x y dxdy

1 2 2

0 0

1 3 x

x y dy dxminus

= + +

int int

1 2

0

2 23

20

xyy xy dx

minus

= + +

int

( ) ( )21

0

2 22 2 3 2 2

2x

x x x dxminus

= minus + minus +int

1 32

0

144 4 4 3

0

xx dx x= minus = minusint

4 84 3 3

= minus =

58


Para os momentos temos

( ) 2 3δ= = + +intint intintxD D

M x y dxdy y xy y dxdy

1 2 22

0 0

3 x

y xy y dy dxminus

= + +

int int

1 2 2 3

0

2 23

2 2 30

xy xy y dx

minus

= + +

int

( ) ( ) ( )2 2 31

0

2 2 3 2 2 2 22 2 3

x x x xdx

minus minus minus= + +int

1 3 22 2 3

0

8 24 24 82 4 2 6 12 63

x x xx x x x x dxminus + minus += minus + + minus + +int

1 32

0

14 106 2 3 3

xx x dx= minus minus +int

3 42

114 2 53

3 3 60

x x xx= minus minus +

14 2 5 113 3 3 6 6

= minus minus + =

( ) 2 3 δ= = + +intint intintyD D

M x y dxdy x x xy dxdy

1 2 22

0 0

3 x

x x xy dy dxminus

= + +

int int

1 22

0

2 23

20

xxyxy x y dx

minus

= + +

int

( ) ( ) ( )212

0

2 22 2 3 2 2

2x x

x x x x dxminus

= minus + minus +int1

2 2 3 2 3

0

2 2 6 6 2 4 2x x x x x x x dx= minus + minus + minus +int

13 4 2

0

14 4 2

0x x dx x x= minus + = minus +int


59

1 2 1= minus + =

Assim segue que

e

11 e 16x yM M= =

Em que finalmente para o centro de massa teremos

1 38 8 3

yMx

m= = =

11116 8 16

3

xMym

= = =

Finalizando com o centro de massa no ponto ( ) 3 11 8 16

x y =

como mostra o graacutefico a seguir

GRAacuteFICO 20 ndash REPRESENTACcedilAtildeO DO CENTRO DE MASSA RESULTANTE

FONTE Os autores

( ) 3 11 8 16

x y =

()311 816

xy =

60


Exemplo (GUIDORRIZI) Calcule o centro de massa de um semiciacuterculo de raio R sendo a densidade superficial no ponto P proporcional agrave distacircncia do ponto ao centro do ciacuterculo

Resoluccedilatildeo jaacute sabemos que a densidade superficial eacute dada pela funccedilatildeo

e

( ) 2 2 x y k x yδ = +

com k a constante de proporcionalidade e a massa eacute igual a 3

3

k Rπ Para determinar o centro de massa precisamos calcular Mx e My para isso vamos usar novamente a mudanccedila de variaacutevel cartesiana para polar x = rcos(θ) e y = rsen(θ) com 0 le θ le π e 0 le r le R

( ) ( )3

0 0

π

δ θ θ= =intint intintR

xD

M y x y dxdy k r sen dr d

( )4

0

4

0

Rrk sen d

π

θ θ= int

( )4

04Rk sen d

π

θ θ= int

( )4 4

cos 4 2

0

R kRkπ

θ= minus =

( ) ( )3

0 0

π


yD

M x x y dxdy k r cos dr d

( )4

0

4

0

Rrk cos d

π

θ θ= int

( )4

04kR cos d

π

θ θ= int

( )4

sen 04

0

Rkπ

θ= =


61

e

Portanto o centro de massa eacute

30 0

3

yMx

k Rm π= = =

4

332 2

3

x

kRM Ry

k Rm π π= = =

5 MOMENTO DE INEacuteRCIASabemos do conceito fiacutesico de momento de ineacutercia de uma partiacutecula de

massa m que ele eacute definido por mr2 em que r eacute a distacircncia da partiacutecula ateacute o eixo de rotaccedilatildeo desta partiacutecula Poreacutem este conceito eacute restrito para distribuiccedilotildees discretas de massa

Ao estender este conceito para uma distribuiccedilatildeo contiacutenua como por exemplo o momento de ineacutercia de uma barra uma chapa ou uma esfera devemos conhecer a funccedilatildeo que descreve a densidade do corpo δ(xy) que deve ser contiacutenua no intervalo considerado (regiatildeo D do plano XY) e aplicando o conceito teoacuterico de integraccedilatildeo dupla conforme veremos agora e trataremos como momento de ineacutercia para uma distribuiccedilatildeo contiacutenua de massa

bull O momento de ineacutercia em torno do eixo x seraacute determinado por

bull O momento de ineacutercia em torno do eixo y seraacute determinado por

( )2 δ= intintxD

I y x y dxdy

( )2 δ= intintyD

I x x y dxdy

Se tratarmos do momento de ineacutercia em torno da origem que por vaacuterios autores eacute chamado de momento de ineacutercia polar (ou do eixo z) teremos

62


0 x yI I I= +

( ) ( )2 2 δ δ= +intint intintD D

x x y dxdy y x y dxdy

( )2 2( ) δ= +intintD

x y x y dxdy

Exemplo calcular os momentos de ineacutercia em x y e z referentes ao disco maciccedilo D com densidade constante δ(xy) = k com centro na origem e raio de valor a

Resoluccedilatildeo teremos como delimitaccedilatildeo para a regiatildeo D O ciacuterculo x2 + y2 = a2 que em coordenadas polares teremos que D eacute descrito por

( ) 2 0 e 0 2 θ θ π= isin le le le leD r r a

Calculando Ix temos

( ) ( )( )2

22

0 0

π

δ θ θ= =intint int inta

xD

I y x y dxdy k r sen r drd

se considerarmos a mudanccedila de variaacutevel cartesiana para polar y = r sen(θ) logo

( )2 4

2

0

4

0x

arI k sen d

π

θ θ= int

( )24

2

04ka sen d

π

θ θ= int

como 2 sen2(θ) = 1 ndash cos(2θ) temos que

( )24

0

1 cos 28x

kaI dπ

θ θ= minusint

( )42

2

8 20

senkaπ

θθ

= minus

4 4

2 8 4

ka k aππ= sdot =


63

Assim o momento de ineacutercia em torno do eixo x eacute 4

4xk aI π

=

Vamos calcular agora o momento de ineacutercia em torno de y Iy temos

( ) ( )( )2

22

0 0

π


yD

I x x y dxdy k r cos r drd

se considerarmos a mudanccedila de variaacutevel cartesiana para polar y = r cos(θ) logo

( )2 4

2

0

cos 4

0y

arI k d

π

θ θ= int

( )24

2

0

cos4

ka dπ

θ θ= int

como 2 cos2(θ) = 1 + cos(2θ) temos que

( )24

0

1 cos 28y

kaI dπ

θ θ= +int

( )42

2

8 20

senkaπ

θθ

= +

4 4

2 8 4

ka k aππ= sdot =

Assim o momento de ineacutercia em torno do eixo y tambeacutem eacute 4

4yk aI π

=

O fato que Ix = Iy eacute consequecircncia da simetria de um disco e ainda pelo fato de que a densidade distribuiacuteda eacute constante

Como jaacute possuiacutemos Ix e Iy para calcular o momento de ineacutercia polar basta somar estes resultados entatildeo

4 4 4

0 4 4 2x y

k a k a k aI I I π π π= + = + =

64


GRAacuteFICO 21 ndash REGIAtildeO DELIMITADA POR y2 = 4x x = 4 E y = 0

FONTE Os autores

Vamos agora calcular os momentos de ineacutercia

( )4 2

2 2

0 0

δ= =intint int intx

xD

I y x y dxdy y dydx

4 4 332

0 0

28

3 30

xy dx x dx= =int int

5522

48 16 512 453 15 15

02

x= = =

Portanto o momento polar eacute 4

0 2k aI π

=

Exemplo determine o momento de ineacutercia Ix Iy e I0 da regiatildeo limitada pelas curvas y2 = 4x x = 4 e y = 0 considerando a densidade igual a 1

Resoluccedilatildeo note que a regiatildeo pode ser expressa como 0 le x le 4 e 0 le y le 2radicx e eacute dada pelo graacutefico a seguir


65

e

( )4 2

2 2

0 0


yD

I x x y dxdy x dydx

4 4 52 2

0 0

2 2 0

xx y dx x dx= =int int

7722

44 5122 4 7 7 7

02

x= = =


0512 512 11264 15 7 105x yI I I= + = + =

66


LEITURA COMPLEMENTAR

APLICACcedilAtildeO PRAacuteTICA DE CAacuteLCULO INTEGRAL EDIFERENCIAL EM UM BALAtildeO DE AR QUENTE

Para realizar um estudo sobre o Caacutelculo necessitariacuteamos de uma pesquisa muito extensa cujo resultado seria sem duacutevida um texto longo que estaria aleacutem do propoacutesito deste trabalho O nosso intuito eacute o de apresentar um estudo que possa fazer com que o Caacutelculo seja melhor compreendido dentro do nosso cotidiano e para isso nos aprofundamos em sua aplicaccedilatildeo dentro de um dos interesses mais antigos do homem o voo

Desde a mitologia grega ateacute os tempos atuais o voo eacute um fasciacutenio do homem A histoacuteria nos apresenta um astrocircnomo e matemaacutetico grego Archytas de Tarentum quem construiu o primeiro dispositivo capaz de ldquovoarrdquo semelhante agrave asa de um paacutessaro poreacutem o dispositivo natildeo se mantinha muito tempo no ar devido a ter apenas um impulso para alccedilar voo e permanecia planando no ar por um longo tempo

Esses voos proporcionaram muitas descobertas nos estudos realizados e entatildeo podemos acompanhar o filoacutesofo matemaacutetico fiacutesico e inventor grego Arquimedes de Siracusa (287 aC ndash 212 aC) em seu livro intitulado Sobre o Equiliacutebrio dos Corpos Flutuantes que diz Quando um corpo flutua em um fluido (liacutequido ou gaacutes) seu peso eacute igual ao do fluido deslocado e quando submerso seu peso diminui daquela quantidade Apoacutes isso esse princiacutepio passou a ser conhecido como o Princiacutepio de Arquimedes (PA)

Apesar de muito empenho naquela eacutepoca nenhum dispositivo que fosse capaz de transportar as pessoas no ar foi capaz de levantar voo

A primeira maacutequina voadora que alccedilou voo foi construiacuteda pelo cientista e inventor brasileiro o padre secular Bartolomeu Lourenccedilo de Gusmatildeo (1685-1724) que tambeacutem precisou de uma longa jornada de tentativa e erro para que apenas em 03 de outubro de 1709 na ponte da Casa da Iacutendia fizesse uma nova experiecircncia conseguindo elevar um balatildeo maior que os demais utilizados em outras ocasiotildees poreacutem ainda incapaz de carregar uma pessoa e que flutuou por um tempo e pousou suavemente

O primeiro balatildeo tripulado foi construiacutedo pelos irmatildeos Montgolfier Joseph Michel (1740-1810) e Jaques Eacutetienne (1745-1799) Em 5 de junho de 1783 eles exibiram um balatildeo que tinha 32 m de circunferecircncia feito de linho e que foi cheio com fumaccedila de uma fogueira de palha seca subindo cerca de 300 m voou durante cerca de 10 minutos e pousou depois de percorrer uma distacircncia em torno de 3 km

Como todas as descobertas da ciecircncia apoacutes as primeiras tentativas bem-sucedidas pocircde ser aprimorada e adaptada agrave vaacuterias situaccedilotildees hoje encontramos lugares em que os passeios de balatildeo acontecem e satildeo perfeitamente dominados


67

Para compreender o desenvolvimento desta experiecircncia eacute preciso se aprofundar nos estudos de Caacutelculo Integral poreacutem eacute difiacutecil descrever com precisatildeo onde este se originou muitos matemaacuteticos contribuiacuteram para o desenvolvimento das teacutecnicas e estudo das aplicaccedilotildees alguns ateacute natildeo tatildeo estruturados quanto outros A conciliaccedilatildeo das partes conhecidas e utilizadas aliada ao desenvolvimento e aperfeiccediloamento das teacutecnicas aconteceu com Newton e Leibniz que deram origem aos fundamentos mais importantes do Caacutelculo as Derivadas e as Integrais

Na Greacutecia havia um problema chamado quadraturas (A palavra quadratura eacute um termo antigo que se tornou sinocircnimo do processo de determinar aacutereas) eram as de figuras curviliacuteneas como o ciacuterculo ou figuras limitadas por arcos de outras curvas nesse contexto Arquimedes eacute novamente uma figura importante para solucionar essa questatildeo sendo uma das maiores contribuiccedilotildees para o Caacutelculo surgiu por volta do ano 225 aC trata-se de um teorema para a quadratura da paraacutebola

Outras integraccedilotildees foram realizadas por Arquimedes a fim de encontrar o volume da esfera e a aacuterea da superfiacutecie esfeacuterica o volume do cone e a aacuterea da superfiacutecie cocircnica a aacuterea da regiatildeo limitada por uma elipse o volume de um paraboloide de revoluccedilatildeo e o volume de um hiperboloide de revoluccedilatildeo Neste caso utilizaremos as integraccedilotildees para encontrar o volume

O Caacutelculo Integral eacute o estudo das definiccedilotildees propriedades e aplicaccedilotildees de dois conceitos relacionados as integrais indefinidas e as integrais definidas O processo de encontrar o valor de uma integral eacute chamado integraccedilatildeo Temos entatildeo dois tipos de integral Indefinida e Definida

Nosso estudo permeia a integral definida que se insere uma funccedilatildeo e extrai um nuacutemero o qual fornece a aacuterea entre o graacutefico da funccedilatildeo e o eixo do x A definiccedilatildeo teacutecnica da integral definida eacute o limite da soma das aacutereas dos retacircngulos chamada Soma de Riemann A noccedilatildeo de integral definida pode ser estendida para funccedilotildees de duas ou mais variaacuteveis Para o desenvolvimento dos caacutelculos aplicaacuteveis ao exemplo do voo do balatildeo a integral dupla que eacute a extensatildeo para a funccedilatildeo de duas variaacuteveis seraacute fundamental

Instigados por esse interesse comum no voo do balatildeo desenvolvemos os caacutelculos que nos apresentam como eacute possiacutevel que um objeto flutue no ar apresentando as forccedilas atuantes e as teorias envolvidas

Partimos da teoria do Empuxo que representa a forccedila resultante exercida pelo fluido sobre um corpo Arquimedes descobriu que todo o corpo imerso em um fluido em equiliacutebrio dentro de um campo gravitacional fica sob a accedilatildeo de uma forccedila vertical com sentido oposto a este campo aplicada pelo fluido cuja intensidade eacute igual a intensidade do Peso do fluido que eacute ocupado pelo corpo

68


A Hidrostaacutetica eacute a parte da Fiacutesica que estuda os fluiacutedos (tanto liacutequidos como os gasosos) em repouso ou seja que natildeo estejam em escoamento (movimento) Para aplicarmos a teoria de Arquimedes precisaremos definir a massa especiacutefica do ar e a massa especiacutefica do gaacutes dentro do balatildeo

A equaccedilatildeo que define a massa especiacutefica do ar Onde P = pressatildeo [Pa]M = Massa Molar KG

KMOL

R = Constante universal do gaacutes perfeito (831JmolK)T = Temperatura [K]Definimos entatildeo o empuxo a partir da equaccedilatildeo

Nessa equaccedilatildeo precisaremos do volume que seraacute definido a partir da integral dupla

Considerando os trecircs eixos x y e z o volume do ciacuterculo seraacute dado a partir da equaccedilatildeo

2 2 2 2z R x y= minus minus2 2 2z R x y= plusmn minus minus

( ) 2 2 2z f x y R x y= = minus minus


69

Integraremos apenas metade do volume do ciacuterculo

2 2

0

R

R r r drminusint

2

2 20

2 2

2

R

u R rduu du rdr

durdr

= minus

= minusminus =

minus

int

2

0

1 2

R

u duint2

321

30

Ru

( )3

2 321 13 3

R R=

23

0

1 2 3V R d

π

θ= int

3

21

2 30

V Rπ

θ=

31 2 2 3V R π=

34 3

V Rπ=

Esse volume que pode ser encontrado na equaccedilatildeo do Empuxo de Arquimedes pode entatildeo ser tambeacutem definido por integral

Finalizamos com a equaccedilatildeo abaixo que compotildee todas as equaccedilotildees encontradas

Massa =( ρ ar frio - ρ gaacutes )

FONTE CASTRO Fernando Andrade CASTRO Karine Oliveira VILELA Luana Cruz Aplicaccedilatildeo praacutetica de caacutelculo integral e diferencial em um balatildeo de ar quente Curitiba UNIBRASIL 2016

70


Neste toacutepico vocecirc estudou que

bull A massa de um corpo eacute calculada por

bull A carga eleacutetrica eacute calculada por

bull O ponto que caracteriza o centro de massa de um corpo pode ser calculado por

bull O momento de ineacutercia de um corpo em torno do eixo x eacute dado por

bull Podemos tambeacutem determinar o momento de ineacutercia em torno da origem tambeacutem chamado de momento polar de ineacutercia ou momento de ineacutercia em torno do eixo Z

bull Da mesma forma o momento de ineacutercia em torno do eixo y eacute dado por

e

( ) δ= intintD

m x y dxdy

( ) δ= intintD

q x y dxdy

( )

( )

δ

δ= =

intint

intinty D

D

x x y dxdyM

xm x y dxdy

( )

( )

δ

δ= =

intint

intinty D

D

x x y dxdyM

xm x y dxdy

( )2 δ= intintxD

I y x y dxdy

( )2 δ= intintyD

I x x y dxdy

( ) ( )2 20 δ= + = +intintx y

D

I I I x y x y dxdy

yy

71

Acadecircmico o processo de resoluccedilatildeo de sistemas lineares pode parecer complicado no comeccedilo no entanto natildeo desista Eacute normal escolhermos caminhos que natildeo nos levem agrave resposta esperada nas primeiras tentativas mas o importante eacute reconhecer que a escolha foi errada e recomeccedilar outra vez Laacutepis borracha e matildeos agrave obra

1 Em engenharia eacute costumeiro natildeo nos depararmos com superfiacutecies com densidades regulares Existe para isto uma funccedilatildeo f(xy) gt 0 em que podemos calcular a densidade de um corpo em qualquer ponto chamada de funccedilatildeo densidade Isso auxilia muito na anaacutelise do centro de massa de um corpo que eacute amplamente necessaacuterio no equiliacutebrio estaacutetico dos corpos na engenharia como um todo Sendo assim

a) Calcule as coordenadas do centro de massa de um corpo que possui a forma de uma lacircmina triangular limitada por x = 0 y = 4 e ndash 2x + y = 0 e que possui funccedilatildeo densidade f(xy) = 2xy

b) Calcular a massa total e o centro de massa de uma chapa que tem a forma de uma regiatildeo D limitada pela paraacutebola y = x2 pelas retas x = 4 e y = 0 e tem densidade δ(xy) = x

c) Sendo a densidade constante e igual a 4 calcule os momentos de ineacutercia Ix Iy e I0 para a lacircmina limitada por x + y = 2 x = 0 e y = 0

d) Calcule a massa e o centro de massa quando δ(xy) = y na regiatildeo 0 le x le 1 e 0 le y le 1

e) Calcule a massa e o centro de massa do conjunto de todos os pontos tais que 1 le x2 + y2 le 4 e y ge 0 sabendo que a densidade eacute proporcional agrave distacircncia do ponto a origem

f) Sabendo que a carga eleacutetrica distribuiacuteda sobre uma regiatildeo D situada no retacircngulo de veacutertices (42) (02) (40) e (00) estaacute associada a uma funccedilatildeo densidade de carga definida por δ(xy) = xy em coulomb por metro quadrado (Cmsup2) calcule a carga total desenvolvida nesta regiatildeo

AUTOATIVIDADE

72

73

UNIDADE 2

INTEGRACcedilAtildeO E DERIVACcedilAtildeO VETORIAL


PLANO DE ESTUDOS

A partir do estudo desta unidade vocecirc seraacute capaz de

bull definir curvas em 2 3 e 2 3

bull calcular o vetor tangente de uma funccedilatildeo vetorial

bull calcular a derivada direcional gradiente divergecircncia rotacional

bull definir campo escalar e vetorial

bull definir e calcular integrais de linha


TOacutePICO 1 ndash FUNCcedilOtildeES VETORIAIS E CURVAS

TOacutePICO 2 ndash CAMPOS VETORIAIS

TOacutePICO 3 ndash INTEGRAIS DE LINHA

74

75

TOacutePICO 1

FUNCcedilOtildeES VETORIAIS E CURVAS

UNIDADE 2

1 INTRODUCcedilAtildeOA principal motivaccedilatildeo para definirmos curvas foi observando como as

partiacuteculas se moviam ou seja os pesquisadores queriam determinar a trajetoacuteria que a partiacutecula descrevia no plano descrever sua posiccedilatildeo em cada instante de tempo Para isso em cada instante de tempo t foi associado a um vetor que depende de t esse vetor representa a posiccedilatildeo da partiacutecula no instante de tempo t

Iniciaremos o estudo de curvas com as curvas em duas dimensotildees ( 2 ) para entatildeo estender o conceito para curvas em 3 Eacute importante ressaltar que o foco principal desta unidade eacute o estudo das integrais de linhas poreacutem sem o conceito de curvas isso se torna praticamente impossiacutevel

O estudo de campos vetoriais e principalmente de integrais de linha se deu no iniacutecio do seacuteculo XIX para resolver problemas que envolviam o escoamento de fluidos que eacute umas das principais aplicaccedilotildees desse assunto Outros exemplos de aplicaccedilotildees podem ser quando trabalhamos com forccedilas elasticidade e magnetismos

2 FUNCcedilOtildeES VETORIAIS Iniciando nosso estudo vamos definindo o que satildeo funccedilotildees vetoriais Ateacute

agora jaacute estudamos funccedilotildees reais que satildeo funccedilotildees que associam uma variaacutevel real a outra variaacutevel real e as funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis reais que satildeo as funccedilotildees que associam vaacuterias variaacuteveis reais a uma variaacutevel real Nos dois casos de funccedilotildees estudadas o contradomiacutenio das funccedilotildees sempre estava contido em as funccedilotildees vetoriais estendem esse contradomiacutenio podendo ser n para qualquer n ge 1

Em geral as funccedilotildees vetoriais mais utilizadas satildeo as que tecircm contradomiacutenio contido em 2 e 3 tambeacutem estudaremos as funccedilotildees vetoriais que tecircm apenas uma variaacutevel real

Definiccedilatildeo uma funccedilatildeo vetorial de uma variaacutevel real t com t Iisin e I um intervalo eacute uma funccedilatildeo que associa a variaacutevel t a um vetor de n ou seja

( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 nf t f t f t f t=

UNIDADE 2 | INTEGRACcedilAtildeO E DERIVACcedilAtildeO

76

em que f1 f2 middotmiddotmiddot fn satildeo funccedilotildees de uma variaacutevel real

Para denotar que estamos trabalhando com uma funccedilatildeo vetorial geralmente usamos a seta sobre a funccedilatildeo ( f ) Quando o contradomiacutenio da funccedilatildeo estaacute contido no conjunto 2 podemos usar a seguinte notaccedilatildeo

com i

e j

a base canocircnica de 2 ( ) 1 0i =

e ( ) 01 j =

com i

j

e k

a base canocircnica de 3 ( ) 1 0 0i =

( ) 01 0j =

e ( ) 0 01 k =

( ) ( ) ( )1 2 f t f t i f t j= +

E quando o contradomiacutenio estiver contido em 3 podemos usar a notaccedilatildeo

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 f t f t i f t j f t k= + +

Satildeo exemplos de funccedilotildees vetoriais

( ) ( )2 3 1f t t t= minus +

( ) ( ) 3 3 2 2 f t i t j t k= + minus minus

Aqui tambeacutem podemos operar com as funccedilotildees vetoriais poreacutem precisamos ficar atentos acadecircmico na operaccedilatildeo de soma (subtraccedilatildeo) precisamos trabalhar com funccedilotildees em que os contradomiacutenios sejam iguais

Considere as funccedilotildees vetoriais

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 1 2 e n nf t f t f t f t g t g t g t g t= =

e a funccedilatildeo real h(t) entatildeo

a) Soma(subtraccedilatildeo) somamos (subtraiacutemos) cada coordenada separadamente

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 n nf t g t f t g t f t g tplusmn = plusmn plusmn

TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES VETORIAIS E CURVAS

77

b) Multiplicaccedilatildeo por uma funccedilatildeo real

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 nh t f t h t f t h t f tsdot =

Exemplo sejam ( ) ( ) 3 3 2 2 f t i t j t k= + minus minus

( ) 2 2 g t t i t j t k= + minus

e ( ) 22 h t t= + Calcule as operaccedilotildees a seguir

a) ( ) ( ) f t g t+

Resoluccedilatildeo basta somarmos cada uma das coordenadas

b) ( ) ( ) f t g tminus

c) ( ) ( ) f t h tsdot

d) ( ) ( ) f t g ttimes

( ) ( ) ( )( ) ( )3 2 3 2 2 2 f t g t i t j t k t i t j t k+ = + minus minus + + minus

( ) ( ) ( )2 33 2 2 2 t i t t j t t k= + + minus + + minus minus

( ) ( ) ( )2 23 2 2 1 t i t t j t t k= + + + minus minus +

Resoluccedilatildeo basta subtrairmos cada uma das coordenadas

( ) ( ) ( )( ) ( )3 2 3 2 2 2 f t g t i t j t k t i t j t kminus = + minus minus minus + minus

( ) ( ) ( )2 33 2 2 2 t i t t j t t k= minus + minus minus + minus +

( ) ( ) ( )2 23 2 2 1 t i t t j t t k= minus + minus + minus + minus +

Resoluccedilatildeo aqui devemos calcular cada coordenada de f

por h

( ) ( ) ( )( ) ( )3 2 3 2 2 2f t h t i t j t k tsdot = + minus minus sdot +

( ) ( ) ( ) ( )2 2 3 23 2 2 2 2 2 t i t t j t t k= sdot + + minus sdot + minus +

( ) ( ) ( )2 3 2 3 53 6 2 4 2 4 2 t i t t t j t t k= + + + minus minus minus +

( ) ( ) ( )2 3 2 5 33 6 2 2 4 2 4 t i t t t j t t k= + + minus + minus minus +


78

Resoluccedilatildeo esta situaccedilatildeo soacute ocorre quando trabalhamos com funccedilotildees vetoriais que tecircm contradomiacutenio em 3 (produto vetorial) nesse caso calculamos o determinante das coordenadas das funccedilotildees de f

e g

como a seguir

( ) ( ) 3

2

3 2 2

2

i j kf t g t t t

t t ttimes = minus minus

minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 2 2 2 2 3 2 3 2 2i t t j t t k t i t t j t k t t= sdot minus sdot minus + sdot minus sdot + sdot sdot minus sdot minus sdot minus sdot sdot minus minus sdot minus sdot

( ) ( )2 4 2 5 24 2 2 3 2 6 2 t t i t j t k t i t j t t k= minus minus + + + + minus

( ) ( ) ( )5 2 4 22 2 4 2 6 2 2 t t t i t t j t t k= minus + + minus + + +

Naturalmente acadecircmico aqui tambeacutem introduziremos o conceito de limite de funccedilotildees vetoriais e como a definiccedilatildeo de funccedilotildees vetoriais eacute uma composiccedilatildeo de funccedilotildees reais a definiccedilatildeo de limite tambeacutem segue o mesmo padratildeo ou seja calcular o limite de uma funccedilatildeo vetorial eacute o mesmo que calcular o limite em cada uma das suas coordenadas

( ) ( ) ( )( )0 0 0

1lim lim lim nt t t t t tf t f t f t

rarr rarr rarr=

Exemplo calcule o limite

22

2 2lim 4 4t

ttt trarr

minus minus

Resoluccedilatildeo para calcular o limite vamos trabalhar com cada coordenada separadamente jaacute que

2 22 2 2 2

2 2 2 2lim 4 lim lim 4 lim 4 4t t t t

t tt tt t t trarr rarr rarr rarr

minus minus = minus minus

Como

2

2 2lim 12t trarr

= =

2lim 4 4 2 8t

trarr

= sdot =


79

( )( )22 2 2

2 2 1 1 1 lim lim lim4 2 2 2 2 2 4t t t

t tt t t trarr rarr rarr

minus minus= = = =

minus minus + + +

concluiacutemos que

22

2 2 1lim 4 1 8 4 4t

ttt trarr

minus = minus

Tendo a definiccedilatildeo de limite de funccedilotildees vetoriais podemos estender a definiccedilatildeo de continuidade para funccedilotildees vetoriais Dizemos que uma funccedilatildeo vetorial eacute contiacutenua no ponto t0 se todas as suas componentes satildeo contiacutenuas em t0 ou seja se

estaacute definido

existe

( )0) i f t

( )0) i f t

( )0

) lim t t

ii f trarr

( )

0

) lim t t

ii f trarr

( ) ( )0

0) lim t t

iii f t f trarr

=

( ) ( )0

0) lim t t

iii f t f trarr

=

A funccedilatildeo vetorial do exemplo anterior natildeo eacute contiacutenua em t0 = 2 pois ( ) 2f

natildeo estaacute definido Poreacutem ela eacute contiacutenua em t0 = 1 pois

( ) 2 1 2 1) 1 4 1 2 41 1 4 3

i f minus = sdot = minus

21

2 2 1) lim 4 2 44 3t

tii tt trarr

minus = minus ( ) ( )

1) lim 1

tiii f t f

rarr=

Se uma funccedilatildeo vetorial eacute contiacutenua em todos os pontos do seu domiacutenio dizemos que a funccedilatildeo eacute contiacutenua

3 CURVAS

Se uma funccedilatildeo vetorial ( ) f t

eacute contiacutenua para todo t Iisin entatildeo chamamos de curva o lugar geomeacutetrico formado pelos pontos de n que tem como vetor posiccedilatildeo a funccedilatildeo ( ) f t

No caso de uma funccedilatildeo cujo contradomiacutenio eacute 3 temos

a seguinte representaccedilatildeo de curva


80

GRAacuteFICO 1 ndash REPRESENTACcedilAtildeO DE CURVA

FONTE Flemming e Gonccedilalves (2007 p 104)

z

y

x

C

f(t)

Exemplo esboce a curva dada pela funccedilatildeo vetorial

( ) 2 3 f t t i j= +

no intervalo de ndash1 le t le 2

Resoluccedilatildeo nesse caso o contradomiacutenio estaacute contido em logo a curva estaacute em 2 vamos determinar alguns pontos dessa curva

t (xy)

0 (03)

1 (23)

2 (43)

ndash1 (ndash23)

( ) f t

( ) 0 0 3 f i j= +

( ) 1 2 3 f i j= +

( ) 2 4 3 f i j= +

( ) 1 2 3 minus = minus + f i j


81

GRAacuteFICO 2 ndash REPRESENTACcedilAtildeO DA CURVA

FONTE Os autores

Observe que natildeo estamos considerando x como variaacutevel independente mas sim t o plano cartesiano xy ajuda na representaccedilatildeo graacutefica da curva Outra observaccedilatildeo importante eacute que a representaccedilatildeo parameacutetrica dessa curva eacute dada por

[ ]2 para todo 1 2

3=

isin minus =

x tt

y

As equaccedilotildees x = 2t e y = 3 satildeo chamadas de equaccedilotildees parameacutetricas da curva e t eacute chamado de paracircmetro

Para curvas em 3 dada pela funccedilatildeo vetorial

( ) ( ) ( ) ( ) [ ] f t x t i y t j z t k t a b= + + isin

as equaccedilotildees parameacutetricas satildeo

( )x x t=

( )y y t=

( )z z t=

com paracircmetro t Iisin e [ ]I a b= um intervalo de


82

Exemplo alguns exemplos de curvas em 3

a) ( ) ( ) f t t t t=

para 0 le t le 2 A curva eacute uma reta

b) ( ) ( ) ( )( ) cos f t t sen t t=

para 0 le t le 2π Essa curva eacute chamada de heacutelice circular

1

1-1

-1-1

-2

-2

-3

-3

-4

-40

0

1

2

2

2

3

3

3

4

4

1

11

-1

-1 -1-2 -2-3 -3-4 -4

00 0

2

22

3

33

4

44

5

6


83

c) ( ) ( ) ( )( ) cosf t t sen t t=

para ndash2π le t le 2π

d) ( ) ( ) ( ) ( )( ) cos senf t t sen t t= minus

para 0 le t le 2π

A partes pontilhadas das curvas significam que elas estatildeo abaixo do plano

Satildeo muitas as curvas jaacute estudadas pelos matemaacuteticos o site lthttpswww

matematicaptutilcurvasphpgt fez uma compilaccedilatildeo das curvas em 2 mais famosas jaacute

estudadas

DICAS

-1

1

11

00 0

2

2234

3 4

-1-1

-2

-2-2 -3-3-4 -4

-1

-1-1

1

1

00

0

2

2

23

34

-2

-2

-2-3

-3-4


84

Podemos classificar as curvas em 3 como sendo planas ou reversas quando a curva eacute plana significa que ela estaacute contida sobre um plano no espaccedilo como as curvas a) e d) do exemplo anterior jaacute as curvas b) e c) satildeo reversas pois natildeo estatildeo contidas em um plano

Nas duas proacuteximas subseccedilotildees parametrizaremos algumas curvas iniciaremos parametrizando curvas em 2 e entatildeo curvas em 3

31 CURVAS PARAMEacuteTRICAS EM E EM

As curvas em 2 satildeo funccedilotildees vetoriais com duas componentes Jaacute as curvas em 3 satildeo funccedilotildees vetoriais com trecircs componentes Apresentaremos a parametrizaccedilatildeo de algumas curvas nesses dois espaccedilos

Para parametrizar uma reta tanto em 2 quanto em 3 precisamos ter um ponto da reta P0 e o vetor direccedilatildeo da reta v entatildeo a equaccedilatildeo parameacutetrica da reta eacute

( ) 0 r t P vt= +

Exemplo dados os pontos A = (111) e B = (123) da reta r determine sua equaccedilatildeo parameacutetrica

Resoluccedilatildeo neste exemplo o ponto P0 pode ser tanto A quando B vamos escolher P0 = A mas natildeo temos o vetor direccedilatildeo v

poreacutem o vetor direccedilatildeo eacute o vetor que liga

os pontos A a B e esse vetor eacute calculado como a diferenccedila entre os pontos

( ) ( ) ( )123 111 012v B A= minus = minus =

assim a equaccedilatildeo parameacutetrica da reta que passa pelos pontos P e P0 eacute

( ) ( ) ( )111 012r t t= +

ou ainda

( )( )

( )( )

11

1 2

x tr t y t t

z t t

== = + = +

2 3


85

GRAacuteFICO 3 ndash RETA QUE PASSA PELOS PONTOS A E B

FONTE Os autores

A mesmo ideia eacute usada para determinar a equaccedilatildeo parameacutetrica de uma reta em 2

Avanccedilando o nosso estudo de curvas parameacutetricas vamos considerar agora uma elipse em 2 dada pela equaccedilatildeo reduzida

( ) ( )2 22 11

4 9x yminus +

+ =

Observe que a elipse tem centro no ponto (2 ndash1) seu eixo maior mede 3 e o eixo menor mede 2 Reescrevendo a equaccedilatildeo anterior temos

2 22 1 12 3

x yminus + + =

A equaccedilatildeo anterior lembra muito a identidade trigonomeacutetrica

( ) ( )2 2cos 1t sen t+ =

-1

-1

-1

10

00

1

2

3

4

12

23

3

-2

-2-3

-2-3


86

assim se igualarmos

( )2 cos2

x tminus=

( )13

y sen t+=

temos

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2cos

1 3x t t

r ty t sen t

= += = minus +

Como o periacuteodo das funccedilotildees seno e cosseno eacute igual a 2π podemos impor que o paracircmetro t esteja no intervalo de 0 ateacute 2π (0 le t le 2π)

No caso geral se o centro da elipse eacute (x0y0) e a medida dos eixos satildeo a e b entatildeo a equaccedilatildeo parameacutetrica eacute dada por

( ) ( ) ( )( ) ( )

0

0

cos

x t x a tr t

y t y b sen t = += = +

para todo 0 le t le 2π

Quando trabalhamos com uma elipse no espaccedilo que for paralela ao plano xy basta determinar um valor constante para z Poreacutem quando a elipse natildeo eacute paralela ao plano xy temos que utilizar outro artifiacutecio Para as elipses que satildeo paralelas ao plano xy a parametrizaccedilatildeo da elipse centrada em (x0y0z0) e com a medida dos eixos iguais a a e b eacute dada por

( )( ) ( )( ) ( )( )

0

0

0

cos

= += = + =

x t x a t

r t y t y b sen tz t z



87


As observaccedilotildees acima satildeo feitas para uma elipse paralela ao plano xy os mesmos argumentos podem ser utilizados para elipse paralela ao plano xy ou yz nesses casos vamos considerar o valor constante como sendo y ou x respectivamente Uma outra observaccedilatildeo importante eacute que a deduccedilatildeo feita anteriormente vale para elipse mas como as circunferecircncias satildeo casos particulares de elipses podemos usar a mesma parametrizaccedilatildeo apenas considerando a = b

Exemplo determine a equaccedilatildeo parameacutetrica da circunferecircncia formada pela interseccedilatildeo do plano x = 2 com o soacutelido y2 + z2 = 16

Resoluccedilatildeo note que aqui a equaccedilatildeo y2 + z2 = 16 soacute depende de y e z entatildeo sua parametrizaccedilatildeo no plano yz eacute

( ) ( ) ( )( ) ( )

4cos4

y t tr t

z t sen t == =

para todo 0 le t le 2π jaacute que a equaccedilatildeo eacute uma circunferecircncia de centro (00) e a medida do raio (eixos) eacute 4 Como a curva estaacute no plano x = 2 temos que a equaccedilatildeo parameacutetrica da curva eacute

( )( )( ) ( )( ) ( )

2 4cos4

x tr t y t t

z t sen t

== = =

GRAacuteFICO 4 ndash CIRCUNFEREcircNCIA NO ESPACcedilO

FONTE Os autores

2ndash2

ndash2ndash2

ndash4

ndash4

ndash4

ndash6

00

0

2

2

4

4

4

6

6


88

Lembre-se de que uma circunferecircncia eacute um caso particular de elipse jaacute que na circunferecircncia a = b

NOTA

Quando a curva parameacutetrica tem o mesmo valor para o ponto inicial e final de t como no caso da circunferecircncia ( ) ( )0 2r r π=

dizemos que a curva eacute

fechada se soacute existirem esses dois paracircmetros onde a curva eacute igual entatildeo dizemos que a curva eacute simples

Seguindo o mesmo raciociacutenio para parametrizar uma elipse no espaccedilo

apenas tornando o valor de z (ou x ou y) natildeo mais constante mas sim dependendo de t encontramos curvas totalmente diferentes Note que nos dois exemplos estudados anteriormente as curvas eram planas pois estavam sobre um plano Quando trocamos adequadamente o valor de z (ou x ou y) para algo que dependa de t encontramos curvas reversas como eacute o caso da curva chamada de heacutelice circular

Exemplo considere a curva dada pela parametrizaccedilatildeo

( )

( )

( ) ( )( ) ( )

24cos4

tx t

r t y t tz t sen t

=

= = =


Resoluccedilatildeo neste exemplo aumentamos o intervalo de t no outro exemplo aumentar o intervalo de t natildeo interfere na curva pois ela fica sobre ela mesma mas aqui natildeo como podemos ver no graacutefico a seguir


89

GRAacuteFICO 5 ndash HEacuteLICE CIRCULAR

FONTE Os autores

AUTOATIVIDADE

Usando o software Geogebra (ou outro de sua preferecircncia) construa graacuteficos de curvas apenas alterando o valor de x no exemplo anterior

4 DERIVADA E INTEGRAL DE FUNCcedilOtildeES VETORIAIS DE UMA VARIAacuteVEL REAL

Como vocecirc jaacute deve imaginar acadecircmico no caso de derivadas procedemos de maneira anaacuteloga ao que fizemos para calcular o limite calculamos a derivada de uma funccedilatildeo vetorial calculando as derivadas das componentes Dada uma funccedilatildeo vetorial

( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 nf t f t f t f t=

a sua derivada em relaccedilatildeo agrave t eacute

( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 prime primeprime prime=

nf t f t f t f t

Aqui reforccedilamos a seguinte observaccedilatildeo a funccedilatildeo eacute vetorial poreacutem soacute tem uma variaacutevel independente

6

4

2

20

00 2

ndash2

ndash2ndash2

ndash4

ndash4ndash6ndash6

ndash8

ndash8ndash10

44

6

6

8

8

10

10

1214

8


90

Exemplo calcule a derivada da funccedilatildeo vetorial ( ) 22 4 f t t i tj k= + minus

Resoluccedilatildeo temos que trabalhar com as componentes separadamente

( ) ( )21 12 4prime= rarr =f t t f t t

( ) ( )2 2 1prime= rarr =f t t f t

( ) ( )3 34 0prime= minus rarr =f t f t

Portanto a derivada da funccedilatildeo vetorial eacute

( ) 4 0 f t ti j kprime = + +

Se quisermos saber a derivada em um ponto t0 basta aplicarmos esse valor na derivada Considere t0 = 3 entatildeo

( )3 12 0 f i j kprime = + +

Aqui tambeacutem valem as seguintes regras de derivaccedilatildeo

i)

ii)

iii)

com c uma constante

iv)

( ) ( )( ) ( ) ( )plusmnprimeprimeplusmn = prime f t g t f t g t

( )( ) ( )= primeprime cf t c f t

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )prime prime+prime=

f t h t f t h t f t h t

( )( )( ) ( )( ) ( ) primeprime = prime f h t f h t h t

Quando a curva f(t) tem derivada primeira e a sua derivada eacute contiacutenua e diferente de zero dizemos que a curva eacute suave No Toacutepico 3 trabalharemos com as integrais de linha para isso utilizaremos sempre as curvas que satildeo suaves

A integraccedilatildeo de uma funccedilatildeo vetorial tambeacutem vai ser feita componente a componente ou seja dada uma funccedilatildeo vetorial

( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 nf t f t f t f t=


91

a sua integral em relaccedilatildeo agrave t eacute

( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 =int int int int

nf t dt f t dt f t dt f t dt

Exemplo calcule a integral da funccedilatildeo vetorial

( ) ( ) ( )( ) 2 4cos 4 f t t sen t=

Resoluccedilatildeo note que esta funccedilatildeo vetorial eacute uma circunferecircncia de raio igual a 4 e paralela ao plano yz essa curva jaacute foi estudada em um exemplo anterior Sua integral eacute

( ) ( ) ( )( ) 2 4cos 4 = int intint intf t dt dt t dt sen t dt

Como as integrais das componentes da funccedilatildeo satildeo

12 2= +int dt t c

( ) ( ) 24cos 4= +int t dt sen t c

( ) ( ) 34 4cos= minus +int sen t dt t c

temos que

( ) ( ) ( )( )1 2 3 2 4 4cos = + + minus +intf t dt t c sen t c t c

A integraccedilatildeo tambeacutem pode ser definida vamos integrar a funccedilatildeo no intervalo de 0 ateacute 2π

( ) ( ) ( )2 2 2 2

0 0 0 0

2 4cos 4sen f t dt dt t dt t dtπ π π π

=

int int int int


92

como

2

0

22 2 2 2 2 0 4

0dt t

π ππ π= = sdot minus sdot =int

( ) ( ) ( ) ( )2

0

24cos 4 4 2 4 0 0

0t dt sen t sen sen

π ππ= = minus =int

( ) ( ) ( ) ( )2

0

2 4sen 4cos 4cos 2 4cos 0 0

0

π ππ= minus = minus + =int t dt t

temos

( ) ( )2

0

4 0 0 π

π=intf t dt

Exemplo suponha que uma partiacutecula estaacute se movendo com a seguinte aceleraccedilatildeo a(t) = (4t6t1) e sabendo que sua velocidade inicial era v(0) = (1ndash11) determine a velocidade da partiacutecula no tempo t

Resoluccedilatildeo lembre-se de que a aceleraccedilatildeo eacute a derivada da velocidade

( ) ( )a t v t=

logo a velocidade eacute

( ) ( ) ( )4 6 1= =int int int intv t a t dt tdt tdt dt2 2

1 2 34 6 2 2t tc c t c

= + + +

Para determinar as constantes c1 c2 e c3 vamos utilizar a velocidade inicial

( ) ( ) ( )1 2 31 11 0 v c c cminus = =


93

Portanto a velocidade eacute

( )2 24 61 1 1

2 2t tv t t

= + minus +

41RETA TANGENTE

Quando trabalhamos com uma funccedilatildeo de uma variaacutevel real f(x) sabemos que a equaccedilatildeo da reta tangente ao graacutefico no ponto x0 eacute dada pela equaccedilatildeo

( ) ( )( )0 0 0y f x f x x xprime= + minus

e tambeacutem aprendemos na seccedilatildeo anterior que a equaccedilatildeo parameacutetrica de uma reta eacute dada por

( ) 0r t P vt= +

com P0 um ponto da reta e v um vetor direccedilatildeo da reta

Veja que haacute muita semelhanccedila entre as duas equaccedilotildees Suponha que queremos saber a reta tangente a curva ( )g t

quando t = t0 nesse caso se avaliarmos ( )g t

no ponto t0 sabemos que ( )0g t eacute um ponto da curva mas

tambeacutem pertence agrave reta entatildeo seraacute o nosso P0 aleacutem disso o vetor direccedilatildeo da reta tangente eacute dado pela derivada da curva avaliada no ponto t0 ( )( )0v g t=

portanto a reta tangente a uma curva ( )g t

no ponto t0 eacute

( ) ( ) ( )0 0 r t g t g t tprime= +

O vetor tangente unitaacuterio de uma curva ( )g t eacute dado pela foacutermula

( ) ( )( )

g tT t

g t=

Jaacute o vetor normal unitaacuterio a uma curva eacute dado pela foacutermula

( ) ( )N t T t= prime

Para estudar o movimento de uma partiacutecula em geral decompomos a aceleraccedilatildeo dessa partiacutecula em duas componentes uma na direccedilatildeo da tangente e outra na direccedilatildeo normal


94

Exemplo uma partiacutecula estaacute se movendo segundo a funccedilatildeo velocidade v(t) = (2t t2) Determine vetor normal e vetor tangente da velocidade no instante t = 1

Resoluccedilatildeo vamos derivar a funccedilatildeo velocidade em relaccedilatildeo a t

( ) ( )2 2v t t=prime

e a norma desse vetor eacute

( ) ( )22 2 22 2 4 4 2 1v t t t tprime = + = + = +

logo o vetor tangente unitaacuterio eacute

( ) ( )2 2 2

2 2 1 2 1 1 1

t tT tt t t

= =

+ + +

Jaacute o vetor normal unitaacuterio eacute

( ) ( )( ) ( )

2

3 2 32 2

1 11 1

minus = = minus

+ +prime

+

t tN t T ttt t

Portanto os vetores tangente unitaacuterio e normal no instante t = 1 satildeo

( ) ( )1 1 1 11 e 1 2 2 2 2 2 2

minus = =

T N

Veja a representaccedilatildeo desses vetores no graacutefico a seguir


95

GRAacuteFICO 6 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DOS VETORES TANGENTE E NORMAL

FONTE Os autores

42 COMPRIMENTO DE ARCO

Quando temos uma curva ( ) f t

definimos o comprimento desse arco como

( ) b

a

C f t dtprime= int

como a e b o ponto inicial e final da curva No caso de duas dimensotildees temos ( ) ( ) ( )( ) f t x t y t=

entatildeo o comprimento de arco eacute dado pela expressatildeo

( )( ) ( )( )2 2

b

a

C x t y t dt+prime prime= int

Jaacute no caso de trecircs dimensotildees temos ( ) ( ) ( ) ( )( ) f t x t y t z t=


( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 2

b

a

C x t y t z t dt= + +prime prime primeint


96

Vejamos um exemplo de arco sabemos que o comprimento de uma circunferecircncia eacute C = 2πr com r o raio da circunferecircncia Vamos verificar que essa expressatildeo eacute verdadeira utilizando a foacutermula anterior sabemos que a curva que parametriza uma circunferecircncia em 2 eacute

com r o raio da circunferecircncia entatildeo a derivada de ( ) f t

eacute

( ) ( ) ( )( ) f t r cos t r sen t=

( ) ( ) ( )( ) cos = minusprimef t r sen t r t

para 0 le t le 2π entatildeo o comprimento de arco eacute

( )( ) ( )( )2

2 2

0

cos π

= minus +intC r sen t r t dt

( ) ( )( )2

2 2 2

0

cosr sen t t dtπ

= +int

como sen2(t) + cos2(t) = 1 concluiacutemos que o comprimento da circunferecircncia eacute

2

0

2 2 0 2

0C r dt rt r r r

π ππ π= = = sdot minus sdot =int

Quando trabalhamos com uma circunferecircncia em 3 o comprimento deve ser igual a 2πr em que r eacute o raio da circunferecircncia Verifique que vale a igualdade

NOTA


97

Vejamos mais um exemplo de comprimento de arco

Exemplo calcule o comprimento da heacutelice circular

( )

( )

( ) ( )( ) ( )

24cos4

tx t

r t y t tz t sen t

=

= = =


Resoluccedilatildeo temos que encontrar a derivada das componentes da curva logo

e o comprimento da heacutelice circular eacute

( ) 12

x tprime =

( ) ( )4prime = minusy t sen t

( ) ( )4prime =z t cos t

( )( ) ( )( )26

2 2

2

1 4 4cos2

π

π

= + minus + intC sen t t dt

( ) ( )( )6

2 2

2

1 16 cos4

sen t t dtπ

π

= + +int6 6

2 2

1 6516 4 2

dt dtπ π

π π

= + =int int6

65 65 65 6 2 2 65 2 2 2

2t

ππ π π

π= = sdot minus sdot =

Outra informaccedilatildeo que podemos retirar das curvas eacute sua curvatura a curvatura indica quanto a curva muda de direccedilatildeo para calcular a curvatura de uma curva ( ) f t

usamos a seguinte foacutermula

( )( )( )| |

κprime

= T t

tf t


98

em que T(t) eacute o vetor tangente unitaacuterio

Exemplo calcule a curvatura de uma circunferecircncia de raio r que pertence ao plano z = 1

Resoluccedilatildeo sabemos que a parametrizaccedilatildeo em 3 eacute

( ) ( )( ) ( 1 )f t r cos t r sen t=

Vamos calcular a derivada da curva

( ) ( )( ) ( ) 0prime = minusf t r sen t r cos t

e sua norma eacute

( ) ( )( ) ( )( )2 2 2 0 prime = minus + + =f t r sen t r cos t r

Agora vamos calcular o vetor tangente unitaacuterio

( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( ) 0 ( 0)

minusprime= = =

prime

r sen t r cos tf t

T t sen t cos trf t

e a norma da derivada do vetor tangente unitaacuterio eacute

( ) ( ) ( )2 2 cos sen 1= + =T t t t

Portanto a curvatura da circunferecircncia eacute

( )( )( )

1 | |

κprime

= =T t

trf t

A curvatura de qualquer circunferecircncia de raio r eacute sempre igual a 1r mesmo que

esta pertenccedila a 3 ou 2

NOTA

= minus minus( ) ( cos( ) ( )0)T t t sen t

99


bull Uma funccedilatildeo vetorial de uma variaacutevel real t com t Iisin e I um intervalo eacute uma funccedilatildeo que associa a variaacutevel t a um vetor de n ou seja

bull Dadas as funccedilotildees ( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 nf t f t f t f t=

( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 ng t g t g t g t=

e h(t) podemos calcular

bull O limite de uma funccedilatildeo vetorial eacute o mesmo que calcular o limite em cada uma das suas componentes

bull Uma funccedilatildeo vetorial ( ) f t

eacute contiacutenua se todas as suas componentes tambeacutem forem

bull Uma curva eacute a representaccedilatildeo graacutefica de uma funccedilatildeo vetorial Quando a derivada de uma curva eacute contiacutenua e diferente de zero dizemos que essa curva eacute suave

bull A equaccedilatildeo parameacutetrica da reta eacute ( ) 0 r t P vt= +

bull A equaccedilatildeo parameacutetrica da elipse no plano eacute


( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 nf t f t f t f t=



( ) ( ) ( )( )0 0 0


rarr rarr rarr=

( ) ( ) ( )( ) ( )

0

0

cos

x t x a tr t

y t y b sen t = += = +

para todo 0 le t le 2π em que (x0 y0) eacute centro da elipse e a e b satildeo as medidas dos eixos

100

bull A equaccedilatildeo parameacutetrica da elipse no espaccedilo eacute

para todo 0 le t le 2π em que (x0 y0 z0) eacute centro da elipse e a e b satildeo as medidas dos eixos

bull Dada uma funccedilatildeo vetorial ( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 nf t f t f t f t=

a sua derivada em relaccedilatildeo a t eacute a derivada em relaccedilatildeo a t das suas componentes


a sua integral em relaccedilatildeo a t eacute igual agrave integral das suas componentes

bull A reta tangente a uma curva ( )g t no ponto t0 eacute ( ) ( ) ( )0 0 r t g t g t tprime= +

bull O vetor tangente unitaacuterio de uma curva ( )g t eacute dado pela foacutermula

bull Quando temos uma curva ( ) f t

no intervalo a le t le b definimos o comprimento desse arco como

bull Para calcular a curvatura de uma curva ( ) f t



bull O vetor normal unitaacuterio a uma curva ( )g t eacute dado pela foacutermula

( )( ) ( )( ) ( )( )

0

0

0

cos

= += = + =

x t x a t



nf t f t f t f t

( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 = int int intint


( ) ( )( )

g t

T tg t

prime=

prime


( ) b

a

C f t dtprime= int

( )( )( )| |

κprime

= T t

tf t

101

AUTOATIVIDADE

Acadecircmico o processo de entendimento total do conteuacutedo finaliza aqui Utilize estas questotildees para realmente absorver os conteuacutedos explorados neste toacutepico Bom estudo

1 Dadas as funccedilotildees vetoriais ( ) 2 4f t t i tj= +

( ) ( ) ( )2 2g t sen t i t j= minus minus

e ( ) ( )32 3h t t t= + calcule o que se pede

a) ( ) ( )f t g t+

b) ( ) ( )f t g tminus

c) ( ) ( )f t h tsdot

d) ( ) ( )h t g tsdot

e) ( ) ( )1 1f t g t+ + minus

2 Esboce a curva formada pela funccedilatildeo vetorial

a) ( ) 2 4f t t i tj= +

b) ( ) ( )22 1f t ti t j= + minus

c) ( ) ( ) ( )( )3cos 3f t t sen t=

para [ ]02t πisin

3 O movimento de um besouro que desliza sobre a superfiacutecie de uma lagoa pode ser expresso pela funccedilatildeo

em que m eacute a massa do besouro A posiccedilatildeo do besouro no instante de tempo t = π eacute

a) ( ) ( )( )1 2 2 1mm

π +

b) ( ) ( )( )1 0 2 1mm

π +

c) ( ) ( )( )1 2 2 1mm

π minus

d) ( ) ( )( )1 0 2 1mm

π minus

( ) ( ) ( )1 cos2

t t sen tg t i t j

m m minus minus

= + +

102

4 Calcule o limite a seguir

a) ( ) 2

0 lim t

sen tt

trarr

b) ( ) ( )2

320

lim cos 2t

t

te tsen t

minus

rarr

c) ( )2

1lim 8 cos 2

1t

t t t ttrarr

minus+ minus

d) 3

31lim

2 1t

t

t tte tsent t

minus

rarrinfin

+ minus

5 Calcule a derivadas das funccedilotildees vetoriais a seguir

a) ( ) ( )( )2 32 3 1 2f t t sen t= + minus

b) ( ) ( ) ( )( )4 cos 3 f t t sen t= + +

c) ( ) 4 tf t i j e k= minus +

d) ( ) ( )2

ln 1 3tf t e i j t k= minus + +

e) ( ) ( )2 1 f t t i t t j tsen t kπ= + minus +

6 Encontre a equaccedilatildeo parameacutetrica da reta tangente no ponto ( )0f t

das funccedilotildees a seguir

a) ( ) ( )202

4 0 2f t t t tt

= isin infin =

b) ( ) ( ) ( )2 20 2 3 4 1 5 2f t t t t t= minus + + isin =

c) ( ) ( ) ( )( ) [ ] 04 3 0 3

f t sen t sen t t t ππ= isin =

7 Uma curva eacute o lugar geomeacutetrico de uma funccedilatildeo vetorial em que essa funccedilatildeo vetorial representa o vetor posiccedilatildeo Suponha que dois carros estatildeo se movendo segundo os vetores posiccedilatildeo

( )2

1 2 22tr t t

= + minus +

( ) ( )278 7 1 2

r t t i t j = minus + + minus +

103

Sabendo o vetor posiccedilatildeo em relaccedilatildeo ao tempo dos dois carros determine se eacute possiacutevel os dois carros se chocarem

a) ( ) Sim quando t = 10b) ( ) Sim quando t = 127c) ( ) Sim quando t = 1000d) ( ) Natildeo

8 Calcule a integral das funccedilotildees vetoriais a seguir

a) ( ) ( ) ( )( )2 2f t t sen t t tcos t=

b) ( ) ( ) ( )( )4 cos 3 f t t sen t= + +

c) ( ) 3 5 3f t t i t j t k= minus +

d) ( ) ( )2 1 f t t i t t j tsen t kπ= + minus +

9 Determine o vetor tangente unitaacuterio e o vetor normal unitaacuterio das curvas a seguir no ponto dado

a) ( ) ( ) ( )( ) cos 3 f t t t sen t t π= =

b) ( ) ( )2 22 3 4 2f t t t t= minus + + =

c) ( ) ( ) ( )( )4 3 2

f t sen t sen t t π= =

10 Determine o comprimento de curva e a curvatura das curvas a seguir

a) ( ) ( ) ( )2 2) 2 3 4 1 5b f t t t t= minus + + isin

b) ( ) ( ) ( )( ) [ ]4 3 0f t sen t sen t t π= isin

104

11 A curva a seguir nos mostra a famosa representaccedilatildeo graacutefica da helicoidal

Sua representaccedilatildeo eacute dada pela seguinte parametrizaccedilatildeo ( ) ( ) ( )( ) 9 t sen t cos tγ = Sendo que se trata de uma parametrizaccedilatildeo em sup3

Pensando agora nas parametrizaccedilotildees em sup3 analise as sentenccedilas a seguir e as classifique em V para as verdadeiras e F para as falsas Em seguida assinale a opccedilatildeo correta

( ) A parametrizaccedilatildeo (tt2) refere-se agrave curva gerada pela paraacutebola y = x2( ) A parametrizaccedilatildeo (2sen(t)2cos(t)) refere-se agrave curva gerada pela

circunferecircncia x2 + y2 = 2( ) A curva x = y2 + 1 do ponto (21) ateacute (103) tem com parametrizaccedilatildeo (t2 + 1t)

com 2 le t le 10( ) A parametrizaccedilatildeo da curva y = x3 pode ser vista como (t3t3)

A sequecircncia CORRETA eacutea) ( ) V ndash V ndash V ndash Fb) ( ) V ndash F ndash V ndash Fc) ( ) V ndash F ndash F ndash Fd) ( ) F ndash V ndash F ndash V

12 A funccedilatildeo vetor tangente a uma curva trata-se de um conjunto de vetores que indicam os sentidos que a curva toma ao longo de seu percurso A imagem a seguir lida com esta definiccedilatildeo fazendo uma associaccedilatildeo com o vetor velocidade

2

P0

(xy) = P0 + tvv

105

Eacute de conhecimento tambeacutem que a norma do vetor tangente ldquomederdquo a intensidade (comprimento) do vetor tangente Desta forma dada a parametrizaccedilatildeo (sen(t) cos(t) t) com 0 le t le 1 assinale a opccedilatildeo que apresenta corretamente o comprimento de seu vetor tangente

a) ( ) 1b) ( ) 2c) ( ) frac12d) ( ) radic2

106

107

TOacutePICO 2

CAMPOS VETORIAIS

UNIDADE 2

1 INTRODUCcedilAtildeONo toacutepico anterior iniciamos o estudo das funccedilotildees vetoriais poreacutem apenas

estudamos as funccedilotildees vetoriais que tecircm o domiacutenio como sendo um subconjunto dos nuacutemeros reais neste toacutepico estenderemos o conceito de funccedilotildees vetoriais estendendo o domiacutenio ou seja agora teremos uma funccedilatildeo cujo domiacutenio estaacute contido em n para todo n gt 1 estudaremos funccedilotildees da forma

n nf rarr ( ) ( ) ( )( )1 1 1 1 n n n nf x x f x x f x x=

com n nuacutemero natural

As propriedades estudadas anteriormente continuam valendo para essas novas funccedilotildees mas aqui tambeacutem estudaremos outras propriedades como campos vetoriais e escalares Em relaccedilatildeo agraves derivadas seratildeo introduzidos outros conceitos como divergente e rotacional

2 CAMPO VETORIALO estudo dos campos vetoriais vai muito aleacutem de apenas um conceito

matemaacutetico No dia 22022019 o meteorologista Leandro Puchalski em sua paacutegina na internet (disponiacutevel em lthttpswwwnsctotalcombrcolunistaspuchalskium-fim-de-semana-de-praia-e-muito-calorgt Acesso em 17 maio 2019) divulgou uma mateacuteria prevendo que no final de semana o estado de Santa Catarina teria altas temperatura em sua mateacuteria ele escreveu os seguintes paraacutegrafos

A presenccedila de ventos em altitude que trazem ar quente do Centro Norte do Brasil colabora para termos um fim de semana de altas temperaturas Aleacutem disso um ar quente que antecede uma frente fria sistema de chuva tambeacutem iraacute colaborar para um domingo muito quente

Previsatildeo de temperaturas durante as tardes dos dois dias entre 35 e 37ordmC em muitas cidades com picos um pouco acima disso em cidades do Sul Vale do Itajaiacute e Norte


108

Para justificar o que ele estava prevendo foi inserida na mateacuteria a figura a seguir que mostra como o ar estaacute se deslocando sobre a Ameacuterica do Sul principalmente no Brasil Ele afirma que os ventos trariam o ar quente que estaacute no Centro do Brasil para o Sul e isso eacute possiacutevel ver na figura jaacute que as setinhas brancas que estatildeo sobre o Centro do Brasil estatildeo direcionadas para o Sul

FIGURA 1 ndash IMAGEM DAS CORRETES DE AR DO DIA 22022019

FONTE lthttpsfilesnsctotalcombrs3fs-publicstylesteaser_imagepublicgraphql-upload-filesSem20tC3ADtulo_80jpg2b6UgGH2wi6fNjmYSAIZNi5gEZHlhMTampitok=ApMs73Mbgt

Acesso em 17 maio 2019

Outros exemplos de aplicaccedilotildees de campo vetorial satildeo correntes mariacutetimas forccedilas magneacuteticas As aplicaccedilotildees podem aparecer em diversas aacutereas como na fiacutesica engenharias meteorologia

Para representar os campos vetoriais usamos funccedilotildees vetoriais cujo domiacutenio estaacute contido em n para n gt 1 e a imagem tambeacutem estaacute contida em n Quando n = 2 um campo vetorial eacute definido por

2 2 F A sub rarr ( ) ( ) ( ) F x y P x y i Q x y j= +

como P e Q funccedilotildees reais (imagem estaacute contida em ) e ( )1 0i =

e ( )01j =

a base canocircnica de 2 Este campo eacute chamado de campo vetorial bidimensional

Quando n = 3 temos um campo vetorial tridimensional e eacute definido por

3 3 F A sub rarr ( ) ( ) ( ) ( ) F x y z P x y z i Q x y z j R x y z k= + +

TOacutePICO 2 | CAMPOS VETORIAIS

109

como P Q e 3R rarr e ( )1 0 0i =

( )01 0j =

e ( )0 01 k =

a base canocircnica de 3

Observe que natildeo podemos representar graficamente uma funccedilatildeo cujo domiacutenio eacute 2 e imagem em 2 pois precisariacuteamos de quatro dimensotildees e sabemos que natildeo existe representaccedilatildeo disso Para representar graficamente a funccedilatildeo colocamos tanto o domiacutenio quanto a imagem no mesmo plano o domiacutenio seraacute representado por pontos e a imagem seraacute representada por vetores O mesmo acontece com um campo vetorial em 3

Exemplo represente graficamente o campo vetorial ( ) F x y j=

Resoluccedilatildeo observe que para qualquer valor de x e y temos que F(xy) = (01) ou seja eacute constante por exemplo se (xy) = (00) temos que F(00) = (01) marcamos o ponto (xy) = (00) e o vetor que sai do ponto (00) e tem sentido e direccedilatildeo do vetor (01)

GRAacuteFICO 7 ndash CAMPO VETORIAL DE ( ) F x y j=

FONTE Os autores

Agora vamos considerar o ponto (xy) = (11) temos que F(11) = (01) entatildeo marcamos o ponto (11) e o vetor que sai do ponto (11) e tem sentido e direccedilatildeo do vetor (01) Natildeo importa o ponto (xy) em 2 que escolhermos o vetor sairaacute desse ponto e teraacute sentido e direccedilatildeo do vetor (01)


110


FONTE Os autores

FONTE Os autores

Exemplo represente graficamente o campo vetorial F(xy) = (ndashyx)

Resoluccedilatildeo primeiro precisamos considerar alguns valores

(xy) F(xy)

(00) (00)

(10) (01)

(ndash10) (0ndash1)

(01) (ndash10)

(0ndash1) (10)

GRAacuteFICO 9 ndash CAMPO VETORIAL DE F(xy) = (ndashyx)


111

Nem sempre eacute tatildeo simples construir o campo de vetores para isso podemos usar o software GeoGebra para representar campos vetoriais disponiacutevel em lthttpswwwgeogebraorgmZGgddgVDgt O campo de vetores do exemplo eacute dado pelo graacutefico a seguir


FONTE Os autores

3 GRADIENTE Lembre-se de que no curso de Caacutelculo Diferencial e Integral 2 estudamos

as funccedilotildees que tinham mais de uma variaacutevel real mas que seu contradomiacutenio era o conjunto dos nuacutemeros reais essas funccedilotildees tambeacutem satildeo chamadas de campos vetoriais e satildeo funccedilotildees da forma

nf rarr ( ) ( )1 1 n nx x f x xrarr

Tambeacutem aprendemos vaacuterias propriedades envolvendo essas funccedilotildees e uma delas eacute como calcular as derivadas parciais de funccedilotildees com vaacuterias variaacuteveis caso vocecirc natildeo se lembre como fazer as derivadas parciais sugerimos acadecircmico que vocecirc volte ao livro de Caacutelculo Diferencial e Integral 2 e revise esse assunto


112

( ) 2 3 4 f x y y x y= minus

Exemplo calcule as derivadas parciais de primeira ordem da funccedilatildeo

Resoluccedilatildeo as derivadas parciais dessa funccedilatildeo satildeo

( ) 3 2f x y xyx

part= minus

part

( ) 2 2 4 3 f x y x yy

part= minus

part

Definimos o gradiente da funccedilatildeo ( ) 2 3 4f x y y x y= minus como sendo o vetor

( ) ( )3 2 2 2 4 3 f x y xy x ynabla = minus minus

O gradiente eacute o vetor formado pelas derivadas parciais da funccedilatildeo

Dada uma funccedilatildeo f(x1 middotmiddotmiddot xn) como as derivadas parciais 1

n

f fx x

part partpart part

entatildeo o gradiente eacute dado por

( )11

nn

f ff x xx x

part partnabla = part part

Quando n = 2 temos a funccedilatildeo f(xy) e as derivadas parciais fx

partpart

e fy

partpart

entatildeo o gradiente eacute

( ) f ff x yx y


Quando n = 3 temos a funccedilatildeo f(xyz) e as derivadas parciais fx

partpart

fy

partpart

e fz

partpart


( ) f f ff x y zx y z

part part partnabla = part part part


113

Note que o gradiente de um campo escalar eacute um campo vetorial por isso muitas vezes eacute chamado de campo gradiente Uma propriedade interessante de gradiente eacute que ele eacute perpendicular as curvas de niacutevel da funccedilatildeo e aponta para a direccedilatildeo e sentido de maior variaccedilatildeo A seguir apresentamos uma aplicaccedilatildeo de gradiente

Exemplo considere a funccedilatildeo de duas variaacuteveis reais f(xy) = x2 + y2 determine o gradiente dessa funccedilatildeo

Resoluccedilatildeo note que o gradiente eacute

( ) ( ) 2 2 f ff x y x yx y

part partnabla = = part part

Sabemos tambeacutem que as curvas de niacutevel satildeo ciacuterculos centradas na origem a seguir apresentamos a representaccedilatildeo graacutefica das curvas de niacutevel e campo gradiente da funccedilatildeo observe que o gradiente eacute sempre perpendicular agraves curvas de niacutevel e aponta no sentido de maior variaccedilatildeo

GRAacuteFICO 11 ndash CURVAS DE NIacuteVEL E GRADIENTE DA FUNCcedilAtildeO f(xy) = x2 + y2

FONTE Os autores


114

4 ROTACIONAL Agora que temos a definiccedilatildeo de campo vetorial definiremos operaccedilotildees

essenciais quando trabalhamos com aplicaccedilotildees A primeira operaccedilatildeo que estudaremos eacute a rotacional de um campo vetorial esse conceito mostra o quanto os vetores do campo vetorial se aproximam ou se afastam de um vetor normal a essa superfiacutecie uma aplicaccedilatildeo desse conceito eacute um campo de velocidades de um corpo em rotaccedilatildeo se o rotacional de um campo eacute diferente de zero entatildeo o campo eacute chamado de voacutertice por exemplo um tornado o rotacional mede a capacidade de giro do campo vetorial

Suponha que vocecirc encheu a pia de aacutegua e que o ralo esteja exatamente no centro da pia Quando vocecirc abre o ralo e deixa escoar a aacutegua vocecirc cria um campo vetorial vamos imaginar que seja F(xy) = (ndashyx) como estudamos na seccedilatildeo anterior sabemos que seu campo eacute representado por


FONTE Os autores

Agora se colocarmos uma moeda dentro da aacutegua esta vai se deslocar conforme o campo vetorial da aacutegua poreacutem ela tambeacutem vai girar no seu proacuteprio eixo A capacidade de a moeda girar em seu proacuteprio eixo eacute medida pelo rotacional do campo vetorial


115

GRAacuteFICO 13 ndash CAMPO VETORIAL QUANDO O ROTACIONAL Eacute MAIOR QUE ZERO

FONTE Os autores

Todavia como calculamos o rotacional de um campo vetorial Vamos comeccedilar estudando o rotacional de um campo vetorial bidimensional

Definiccedilatildeo considere um campo vetorial bidimensional F(xy) = (P(xy)Q(xy)) dizemos que o rotacional de F eacute

0 0 Q Prot Fx y

part part= minus part part

Q Prot F kx y


com ( )0 01 k =

Observe que o rotacional tambeacutem eacute um campo vetorial mas nesse caso ele eacute um campo vetorial tridimensional

No caso do campo vetorial F(xy) = (ndashyx) do exemplo anterior o seu rotacional eacute

( )( ) ( ) 1 1 2 0 0 2 rot F k k= minus minus = =

x

y


116

GRAacuteFICO 14 ndash CAMPO VETORIAL GERADO PELO ROTACIONAL DE F(xy) = (ndashyx) CRIADOCOM A AJUDA DO SOFTWARE GEOGEBRA

FONTE Os Autores

3 20

-1

-1

0

1

-3

-3-2

-1

12

34

-4

-2

Quando estamos trabalhando com campos vetoriais tridimensionais o rotacional tambeacutem eacute um campo vetorial tridimensional

Definiccedilatildeo considere um campo vetorial tridimensional

F(xyz) = (P(xyz) Q(xyz) R(xyz))

dizemos que o rotacional de F eacute

R Q P R Q Prot Fy z z x x y

part part part part part part= minus minus minus part part part part part part

R Q P R Q Prot F i j ky z z x x y

part part part part part part = minus + minus + minus part part part part part part

com i j e k


Exemplo calcule o rotacional do campo vetorial F(xyz) = (xyxyzndashy2)

Resoluccedilatildeo para encontrar o rotacional temos que calcular as derivadas parciais de P(xyz) = xy Q(xyz) = xyz e R(xyz) = ndashy2 que satildeo

2R yy

part= minus

part0R

xpart

=part

Q xyz

part=

partQ yzx

part=

part

0Pz

part=

partP xy

part=

part


117

Assim o rotacional de F eacute



( ) ( ) ( )2 0 0y xy i j yz x k= minus minus + minus + minus

( )( )2 0 y x yz x= minus + minus

Quando o rotacional de um campo vetorial for igual a zero dizemos que o campo vetorial eacute conservativo Quando o rotacional de um campo vetorial eacute igual a zero tambeacutem dizemos que ele eacute irrotacional ou seja ele natildeo tem rotaccedilatildeo no caso da moeda que vimos no iniacutecio da seccedilatildeo se o rotacional do campo vetorial for zero a moeda natildeo vai girar em seu eixo

GRAacuteFICO 15 ndash CAMPO VETORIAL QUANDO O ROTACIONAL Eacute ZERO

FONTE Os autores

Exemplo mostre que o campo vetorial

( ) 2 3 3 2 2 2 3F x y z y z i xyz j xy z k= + +

eacute conservativo

Resoluccedilatildeo temos que calcular o seu rotacional Como P(xyz) = y2z3 Q(xyz) = 2xyz3 e R(xyz) = 3xy2z2 e as suas derivadas parciais satildeo

x

y


118

26R xyzy

part=

part2 23R y z

xpart

=part

26Q xyzz

part=

part32Q yz

xpart

=part

2 23P y zz

part=

part32P yz

ypart

=part




( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 3 36 6 3 3 2 2xyz xyz i y z y z j yz yz k= minus + minus + minus

( )0 0 0 =

Portanto o campo vetorial F eacute conservativo

5 DIVERGENTE O divergente de um campo vetorial eacute usado para calcular como os vetores

de um campo vetorial se dispersam (divergecircncia dos vetores) Estudaremos o conceito de divergecircncia no acircmbito matemaacutetico e depois utilizar desse conceito em aplicaccedilotildees

Considere um campo vetorial F = (F1(x1 middotmiddotmiddotxn) middotmiddotmiddotFn(x1 middotmiddotmiddotxn)) o divergente do campo vetorial F eacute o campo escalar definido

( ) ndiv F rarr

e dado por

( ) 1

1

n

n

FFdiv Fx x

partpart= + +

part part

Ou seja o divergente eacute a soma das derivadas parciais das componentes da F em relaccedilatildeo agrave variaacutevel da entrada equivalente

Quando n = 2 temos um campo vetorial F(xy) = (P(xy) Q(xy)) entatildeo o divergente desse campo eacute dado por


119

( ) ( ) ( ) P Qdiv F x y x yx y

part part= +

part part

Quando n = 3 temos um campo vetorial F(xyz) = (P(xyz) Q(xyz) R(xyz)) entatildeo o divergente desse campo eacute dado por

( ) ( ) ( ) ( ) P Q Rdiv F x y z x y z x y zx y z

part part part= + +

part part part

Uma outra notaccedilatildeo para divergente que tambeacutem eacute muito usada acadecircmico eacute o produto escalar do gradiente com a funccedilotildees vetorial

( ) div F F= nabla sdot

Exemplo calcule o rotacional do campo vetorial

( ) ( )2 F x y z xy xyz y= minus

Resoluccedilatildeo como as derivadas parciais das componentes satildeo

( ) P x y z yx

part=

part

( ) Q x y z xzy

part=

part

( ) 0R x y zz

part=

part

temos que o divergente da funccedilatildeo vetorial eacute

( ) div F y xz= +

Observe acadecircmico que o rotacional eacute um campo vetorial jaacute o divergente eacute um escalar Na seccedilatildeo anterior calculamos o rotacional da funccedilatildeo vetorial F(xyz) = (xyxyzndashy2) e encontramos

rot F = (ndashy(x + 2)0yz ndash x)


120

O que acontece se calcularmos o divergente deste campo (divergente do rot(F))

Note que o divergente de rot(F) eacute

( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 0div rot F y x yz xx y z

part part part= minus + + + minus

part part part0 0y y= minus + + =

O que acabamos de verificar sempre acontece ou seja para todo campo vetorial em 3 dado por F(xyz) = (P(xyz)Q(xyz)R(xyz)) em que as componentes tecircm derivadas parciais de segunda ordem satisfaz a equaccedilatildeo div(rot(F)) = 0

Note que o contraacuterio natildeo pode ser calculado rot(div(F)) pois o div(F) eacute um escalar e o rotacional soacute pode ser calculado de um campo vetorial

Quando temos um campo escalar por exemplo f(xy) = 4y ndash x2y3 sabemos que o gradiente desse campo escalar eacute ( ) ( )3 2 2 2 4 3 f x y xy x ynabla = minus minus Agora se calcularmos o divergente desse campo encontramos

( )( ) ( ) ( )3 2 2 2 4 3div f x y xy x yx y

part partnabla = minus + minus

part part3 22 6 y x y= minus minus

O divergente do gradiente de um campo escalar eacute chamado de Laplaciano e tambeacutem eacute representado pelo siacutembolo Δ (delta) e eacute calculado da seguinte maneira

( ) ( )( ) ( ) ( )2 2

1 1 1 12 21

part part∆ = nabla = + +

part part n n n n

n

f ff x x div f x x x x x xx x

O Laplaciano eacute a soma das segundas derivadas parciais da funccedilatildeo escalar Os conceitos de gradiente e Laplaciano satildeo muito usados em equaccedilotildees diferencias parciais

Apresentaremos mais exemplos e aplicaccedilotildees de divergente rotacional e gradiente na proacutexima unidade na qual estudaremos os principais Teoremas de caacutelculo diferencial

121


bull Um campo vetorial satildeo funccedilotildees vetoriais cujo domiacutenio estaacute contido em n para n gt 1 e a imagem tambeacutem estaacute contida em n

bull Quando n = 2 temos um campo vetorial bidimensional e eacute definido por


como P e Q funccedilotildees reais

bull Quando n = 3 temos um campo vetorial tridimensional e eacute definido por


como P Q e 3 R rarr

bull O gradiente de um campo escalar f(xy) eacute

bull Quando n = 3 o gradiente de f(xyz) eacute

bull O rotacional de um campo vetorial bidimensional F(xy) - (P(xy)Q(xy)) eacute da forma

( ) f ff x yx y




0 0 Q P Q Prot F kx y x y

part part part part= minus = minus part part part part

122

bull O rotacional de um campo vetorial tridimensional F(xyz) = (P(xyz)Q(xyz)R(xyz)) eacute da forma

bull Quando o rotacional eacute igual a zero dizemos que o campo vetorial eacute conservativo

bull O divergente do campo vetorial F = (F1(x1 middotmiddotmiddot xn) middotmiddotmiddot Fn(x1middotmiddotmiddotxn)) eacute dado por

bull O divergente do rotacional de um campo vetorial eacute sempre 0

bull O Laplaciano de uma funccedilatildeo escalar eacute calculado por

R Q P R Q P R Q P R Q Prot F i j ky z z x x y y z z x x y

part part part part part part part part part part part part = minus minus minus = minus + minus + minus part part part part part part part part part part part part

( ) 1

1

n

n

FFdiv Fx x

partpart= + +

part part

( ) ( )( ) ( ) ( )2 2

1 1 1 12 21

n n n nn



part part

123

AUTOATIVIDADE


1 Represente graficamente os campos vetoriais a seguir

a) F(xy) = (xy)b) F(xy) = (01)c) F(xy) = (x20)

2 Calcule o gradiente e o laplaciano dos campos escalares a seguir

a) f(xy) = x3y3 ndash xyb) f(xy) = x2 + xy + y2 ndash 3yc) f(xy) = e2x-y + 2x + 2yd) f(xyz) = x2 + 3y2 + 4z2e) f(xyz) = zex-y + z3f) f(xy) = cos(xy) + ex

3 Encontre a funccedilatildeo f(xy) cujo gradiente eacute ( ) ( ) 2 3nabla =f x y x y

4 Calcule o rotacional e o divergente dos campos vetoriais a seguir

a) ( ) ( )F x y z y x z= minusb) ( ) 2 2F x y x i y j= +

c) ( ) ( )2 F x y xy x= minus

d) ( ) F x y z yz i xzj xyk= + +

e) ( ) 2 2 2 2 y xF x y i jx y x y

minus= +

+ +

f) ( ) ( ) ( )( ) 1 F x y z sen z ycos z=

g) ( ) ( ) yz yz yzF x y z e xze xye=

5 Um dos campos mais utilizados eacute campo radial F(xy) = (xy) ou F(xyz) = (xyz) calcule o divergente e o rotacional desses campos

6 Quais dos campos vetoriais da Questatildeo 4 satildeo conservativos

7 Verifique que dados dois campos vetoriais F e G entatildeo vale que

124

rot(F + G) = rot(F) + rot(G)

e

div(F + G) = div(F) + div(G)

8 Os campos vetoriais satildeo altamente utilizados no estudo do comportamento de forccedilas em um espaccedilo O campo vetorial a seguir eacute dado pela funccedilatildeo

( )F x y yi xj= minus +

Acerca deste campo vetorial podemos afirmar quea) ( ) O campo rotacional gerado por ele eacute nulob) ( ) Seu divergente eacute nuloc) ( ) Ele pode ser chamado de campo radiald) ( ) Possui gradiente igual agrave proacutepria caracteriacutestica do vetor

9 No caacutelculo vetorial o gradiente (ou vetor gradiente) eacute um vetor que indica o sentido e a direccedilatildeo na qual por deslocamento a partir do ponto especificado obteacutem-se o maior incremento possiacutevel no valor de uma grandeza a partir da qual se define um campo escalar para o espaccedilo em consideraccedilatildeo Em particular pode-se descrever um campo de temperaturas conforme o GRADIENTE DE TEMPERATURAS

125

Assim dado o campo escalar T(xyz) = x2y + y3z analise as sentenccedilas e assinale a opccedilatildeo CORRETA

I- O gradiente de temperatura aponta para a direccedilatildeo de maior taxa de variaccedilatildeo da temperatura

II- O gradiente de temperatura eacute a funccedilatildeo ( ) ( )2 22 3 sup3T xy i x y z j y knabla = + + +

III- O gradiente aplicado no ponto P(121) eacute o vetor (432)IV- O gradiente aplicado no ponto P(121) eacute o vetor (4138)

a) ( ) I e II estatildeo corretasb) ( ) II e III estatildeo corretasc) ( ) I II e IV estatildeo corretasd) ( ) III e IV estatildeo corretas

10 Em matemaacutetica um campo vetorial ou campo de vetores eacute uma construccedilatildeo em caacutelculo vetorial que associa um vetor a todo ponto de uma variedade diferenciaacutevel (como um subconjunto do espaccedilo euclidiano por exemplo) Isso eacute um campo de vetores eacute uma funccedilatildeo vetorial que associa um vetor a cada ponto P(xyz) do espaccedilo xyz

Sabemos que existem campos especiais que podem ser calculados a partir de um campo vetorial que eacute o divergente e o rotacional Sendo assim analise as sentenccedilas como V (verdadeiro) ou F (falso) e em seguida assinale a opccedilatildeo CORRETA

CAMPO VETORIAL ( ) ( )2 3 sup2F x y i y zx j z k= + minus +

( ) O rotacional deste campo eacute dado por xi + (ndashz ndash x2)k( ) O rotacional indica que um corpo que entra neste campo natildeo possui

rotaccedilatildeo em torno do proacuteprio eixo na direccedilatildeo de j(eixo y)( ) O rotacional deste campo aplicado no ponto (122) eacute rotF = ndash1i ndash 3k( ) O rotacional determina o fluxo pontual deste campo em uma unidade de

volume

a) ( ) V ndash V ndash F ndash Vb) ( ) V ndash F ndash V ndash Fc) ( ) F ndash F ndash V ndash Vd) ( ) V ndash V ndash V ndash V

126

127

TOacutePICO 3

INTEGRAIS DE LINHA

UNIDADE 2

1 INTRODUCcedilAtildeOA integral de linha ou integral curviliacutenea eacute uma integral que se assemelha

muito com a integral definida que estudamos ateacute o momento a principal diferenccedila eacute que em vez de integrarmos sobre um intervalo [ab] integramos sobre uma curva e por isso o melhor nome seria integral de curvas Como jaacute comentamos anteriormente o estudo de integrais de linha teve iniacutecio no seacuteculo XIX no estudo de escoamento de fluiacutedos

Comeccedilamos o estudo com as integrais sobre campos escalares mostrando que a definiccedilatildeo de integrais de linhas sobre campos escalares eacute motivado por um problema fiacutesico que eacute encontrar a massa sobre uma curva A definiccedilatildeo de integral de linha de campos vetoriais tambeacutem eacute motivada por um problema fiacutesico que eacute encontrar o trabalho que um campo de forccedila realiza ao movimentar uma partiacutecula sobre uma curva

2 INTEGRAL DE LINHA DE CAMPOS ESCALARESVamos iniciar o estudo das integrais de linha com uma funccedilatildeo escalar de

duas variaacuteveis reais considere a funccedilatildeo escalar

2 f rarr ( ) ( ) x y f x yrarr

e a curva γ(t) = (x(t) y(t)) suave

Suponha que f(xy) eacute a funccedilatildeo densidade no ponto (xy) e que vocecirc quer saber qual eacute a densidade em todos os pontos da curva γ(t) ou seja qual vai ser a massa nessa curva Como fariacuteamos para encontrar essa massa

Vamos considerar a funccedilatildeo f(xy) = 2 + x2y e a curva parametrizada

( ) ( ) ( )( ) ( )

cosx t tt

y t sen tγ

== =

para todo [ ]0 t πisin Lembre-se de que o graacutefico da curva acima eacute da forma trigonomeacutetrica

128


GRAacuteFICO 16 ndash CURVA PARAMEacuteTRICA γ(t)

FONTE Os autores

ndash1 0

y

x1

Agora fazemos uma particcedilatildeo do intervalo [0 π] Vamos fazer uma particcedilatildeo com n intervalos e Δti = ti ndash ti-1 como mostra o graacutefico a seguir

GRAacuteFICO 17 ndash PARTICcedilAtildeO DO INTERVALO [0π]

FONTE Os autores

Cada ti para todo i = 1 middotmiddotmiddotn gera um ponto na curva e a curva fica dividida em pequenos elementos de curvas Se esse pedaccedilo de curva for suficientemente pequeno podemos dizer que a massa nesse pedaccedilo eacute igual a f(x(ti)y(ti)) vezes o comprimento do arco que chamamos de ds Para finalizar somamos todos esses pedacinhos e encontramos a aproximaccedilatildeo para a massa em toda a curva ou seja

( ) ( )( )0

n

i i ii

massa f x t y t ds=

cong sdotsum

t0 t1 tindash1 ti tn

TOacutePICO 3 | INTEGRAIS DE LINHA

129


FONTE Os autores

FONTE Os autores

Poreacutem temos um problema como encontrar o comprimento desse arco A princiacutepio natildeo conseguimos relacionar o vetor tangente ao comprimento de arco no item a) do graacutefico a seguir marcamos o vetor tangente da curva no ponto ti ou seja marcamos γ(ti)

GRAacuteFICO 19 ndash VETOR TANGENTE E COMPRIMENTO DE ARCO

No item b) do graacutefico anterior marcamos o vetor tangente da curva vezes o valor de Δti ou seja o vetor γ(ti) middot Δti Agora fica visiacutevel que esse vetor eacute muito parecido com o arco que liga os pontos γ(ti) ateacute γ(ti+1) E com isso podemos aproximar o comprimente desse pedacinho de arco pelo moacutedulo do vetor γ(ti) middot Δti dSi = |γ(ti)|Δti

ndash1 0

y

xγ(t0)γ(tn)

γ(ti-1)γ(ti)

1

1

ndash1 0

1 1

y

x

γ(ti-1)γ(ti)

γ(ti)

a) b)

1 ndash1 0

y

x

γ (ti-1)γ (ti)

γ(ti) ∆ti

1

130


Portanto a aproximaccedilatildeo para a massa em toda a curva eacute

0( ( ) ( )) | ( ) |

n

i i i ii

massa f x t y t t tγminus

cong ∆sum

Se fizermos uma particcedilatildeo cada vez mais refinada ou seja fazer n tender para infinito temos a massa exata em toda a curva

0lim ( ( ) ( ) | ( ) |

n

i i i in imassa f x t y t t tγ

rarrinfinminus

= ∆sum

essa ideia eacute a mesma que usamos para definir integrais laacute da disciplina de Caacutelculo Diferencial Integral II portanto concluiacutemos que

( )( ) ( )2

0

massa f t t dtπ

γ γ= primesdotint

Entatildeo para determinar a massa basta resolvermos a integral acima note que a derivada da curva eacute

( ) ( )( )

sen t

tcos t

γminus=

logo a norma da derivada de γ eacute

( ) ( )( ) ( )( )2 2cos 1t sen t tγ prime = minus + =

assim a massa eacute

( ) ( )2

2

0

2 massa cos t sen t dtπ

= +int

( ) ( )2 2

2

0 0

2 dt cos t sen t dtπ π

= +int int


131

Como as integrais satildeo

2

0

22 2 4

0dt t

π ππ= =int

e usando mudanccedila de variaacutevel temos

( ) ( ) ( )32 32 2

0

2cos 1 1 0

3 3 3 30

π π= minus = minus = minus = minus + =int int

tucos t sen t dt u du

com u = cos(t) e du = ndashsen(t)

Portanto concluiacutemos que a massa eacute m = 4π

Essa massa eacute definida como a integral de linha de uma funccedilatildeo escalar sobre uma curva γ e eacute denotada por

( ) ( )( ) ( )

b

a

f x y ds f t t dtγ

γ γ prime= sdotint int

em que ( ) ( ) ( )2 2 t x t y tγ = +prime

em que ( ) ( ) ( )2 21 nt x t x tγ = + +prime

A mesma ideia pode ser usada para calcular a integral de linha de uma curva qualquer se f(x1middotmiddotmiddotxn) uma funccedilatildeo escalar e γ(t) uma curva parametrizada no intervalo [ab] Dizemos que a integral de linha da funccedilatildeo f sobre a curva γ eacute

Quando f(x1 middotmiddotmiddotxn) entatildeo a integral de linha dessa funccedilatildeo sobre uma curva nos fornece o comprimento da curva

( )

1 b

a

C Comprimentode ds t dtγγ

γ γ prime= = =int int

1( ) ( ( )) ( )b

ny af x x ds f y t y t dt= sdotint int

132


Exemplo calcule o comprimento da heacutelice circular γ(t) = (cos(t) sen(t) t) para 0 le t le 4π

Resoluccedilatildeo como jaacute temos a curva parametrizada vamos calcular a sua derivada que eacute γ(t) = (ndashsen(t)cos(t)1) e seu moacutedulo eacute

( ) ( )( ) ( )( )2 2 2cos 1 2t sen t tγ prime = minus + + =

jaacute que sen2(t) + cos2(t) = 1

Portanto o comprimento de arco eacute

4

0

22 2 2 2

0

t

C dt tγ

ππ= = =int

3 INTEGRAL DE LINHA DE CAMPOS VETORIAIS A integral de linha de campos escalares eacute motivada pelo caacutelculo de

massas para campos vetoriais a integral de linha seraacute motivada pelo caacutelculo do trabalho realizado pelo campo de forccedilas sobre um movimento Suponha que uma partiacutecula esteja se movendo ao longo de uma trajetoacuteria γ (uma curva suave) a ideia eacute calcular o trabalho exercido pelo campo de forccedilas F e o movimento de uma partiacutecula ao longo da trajetoacuteria

Lembre-se de que em fiacutesica quando uma forccedila produz um deslocamento em um corpo (objeto) isso eacute chamado de Trabalho (τ) A unidade de medida usada para o trabalho eacute Joule (j)Quando τ gt 0 a forccedila tem a mesma direccedilatildeo do movimentoQuanto τ lt 0 a forccedila tem direccedilatildeo contraacuteria ao movimentoQuando o deslocamento eacute paralelo a forccedila aplicada para mover o objeto calculamos o trabalho da seguinte forma τ = F middot Δs em que F eacute a forccedila e Δs eacute o deslocamento feito pela partiacutecula

NOTA

O graacutefico a seguir eacute a representaccedilatildeo graacutefica de um campo de forccedilas F(xyz) e o movimento de uma partiacutecula ao longo da trajetoacuteria γ(t) = (x(t)y(t)z(t)) com a le t le b


133

GRAacuteFICO 20 ndash CAMPO DE VETORES AGINDO SOBRE UMA CURVA

FONTE Os autores

FONTE Os autores

Fazendo uma particcedilatildeo na curva temos n pedacinhos de curva e cada pedacinho tem comprimento dSi que podemos estimar por dSi = |γ(ti)|Δti Note que tambeacutem que se multiplicarmos o campo de forccedilas pelo vetor tangente unitaacuterio encontramos a componente tangencial da forccedila

( )( ) ( )( )i

tF t

tγ

γγ

sdotprime

prime

e fisicamente quem realiza o trabalho eacute a componente tangencial do campo de forccedilas

GRAacuteFICO 21 ndash COMPORTAMENTO TANGENCIAL DO CAMPO DE FORCcedilAS

xγ(a)

γ(b)γ(t)

y

z

x

γ(b)

y

z

γ(a)

134


Portanto concluiacutemos que o trabalho feito pela forccedila F para mover a partiacutecula do ponto γ(ti) ateacute γ(ti+1) eacute aproximadamente

( )( ( )) ( ) ( ( )) ( )( )i i i i i itF t t t F t t tt

γγ γ γ γγ

sdot sdot ∆ = ∆

jaacute que os dois satildeo paralelos

Fazendo a particcedilatildeo cada vez mais refinada concluiacutemos que o trabalho eacute dado pela integral

( )( ) ( ) b

a

F t t dtτ γ γ prime= sdotint

Usando a ideia anterior definimos a integral de linha de um campo vetorial F sobre uma curva suave γ como sendo a

( )( ) ( )

b

a

Fd F t t dtγ

γ γ γ= primesdotint int

Note que essa definiccedilatildeo vale para qualquer campo vetorial em n inclusive para n = 2 e 3

Exemplo calcule a integral de linha do campo vetorial ( ) ( )2 F x y z z xy y= minus ao longo da curva

( ) ( )2 t t t tγ =

para 0 le t le 1

Resoluccedilatildeo primeiro precisamos determinar a derivada da curva

( ) 12 1 2

t tt

γ prime =


135

Portanto a integral de linha fica

( ) 1

3 2

0

1 2 1 2

Fd t t t t dttγ

γ = minus sdot

int int1 2

3

0

22tt t t dt

t= + minusint

1 13 3 33 32 2 2

0 0

1 32 2 2

t t t dt t t dt= + minus = +int int5

4 21

3 1 3 2 54 2 4 2 502

t t= + = + sdot

1 3 17 4 5 20

= + =

Podemos calcular o trabalho que um campo de forccedilas faz ao realizar a movimentaccedilatildeo de um objeto de um ponto A = γ(a) ateacute o ponto B = γ(b) atraveacutes de uma integral de linha Considere γ(t) uma curva parametrizada que liga os pontos A = γ(a) e B = γ(b) e o campo de forccedilas F(xyz) entatildeo o trabalho realizado para movimentar o objeto eacute

( )( ) ( )

γ

τ γ γ γ prime= = sdotint intb

a

Fd F t t dt

Exemplo encontre o trabalho realizado pelo campo de forccedilas

( ) ( ) F x y z x y z=

na movimentaccedilatildeo de um objeto ao longo da curva parametrizada

( ) ( ) ( )( )2cos t t t sen tγ π π=

para 0 le t le 1

136


Resoluccedilatildeo vamos primeiro calcular a derivada da curva

( ) ( ) ( )( ) 2 cost sen t t tγ π π π π= minusprime

entatildeo o trabalho eacute

( ) ( )( ) ( ) ( )( )1

2

0

cos 2 τ π π π π π π= sdot minusint t t sen t sen t t cos t dt

( ) ( ) ( ) ( )1

3

0

cos 2 cost sen t t sen t t dtπ π π π π π= minus + +int

1 43

0

12 2 12 4 4 2

0

tt dt= = = =int

Outra situaccedilatildeo que podemos utilizar a integral de linha eacute para escoamento de fluidos seja F um campo de velocidades de um fluido escoando por uma regiatildeo como podemos ver na figura a seguir

FIGURA 2 ndash ESCOAMENTO DE UM FLUIDO

FONTE Os autores

Exemplo encontre o escoamento ao longo da curva γ(t) = (cos(t) sen(t)t) para 0 le t le 2π do campo de velocidades F(xyz) = (xyz)

Resoluccedilatildeo vamos primeiro calcular a derivada da curva γ(t) = (ndashsen(t) cos(t) 1) entatildeo o escoamento eacute

( ) ( )( ) ( ) ( )( )2

0

cos cos 1Escoamento t sen t t sen t t dtπ

= sdot minusint

( ) ( ) ( ) ( )2

0

cos cost sen t sen t t tdtπ

= minus + +int

2 2 22

0

24 2

2 20

ttdtπ π

π π= = = =int


137

Sobre uma curva parametrizada γ(t) com a le t le b definimos o escoamento ao longo dessa curva como a integral de linha do campo de velocidades sobre a curva

Se γ1(t) = ndashγ2(t) entatildeo a integral de linha sobre γ1(t) de um campo vetorial eacute

1 2

1 2Fd Fdγ γ

γ γ= minusint int

Exemplo considere as curvas γ1(t) = (cos(t) sen(t)) com 0 le t le π

e

γ2(S) = (cos(π ndash s) sen(π ndash s)) com π le s le 2π

Mostre que

1 2

1 2Fd Fdγ γ

γ γ= minusint int

para F(xy) = (21)

Resoluccedilatildeo primeiro vamos mostrar que γ2(t) = ndashγ1(t) Usando as propriedades de seno e cosseno temos

cos(π ndash s)= cos(π)cos(ndashs) + sen(π)sen(ndashs)= ndashcos(ndashs) = ndashcos(s)

pois cosseno eacute uma funccedilatildeo par e

( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos cossen s sen s sen sπ π πminus = minus minus minus

( ) ( ) sen s sen s= minus = minus

pois seno eacute uma funccedilatildeo iacutempar Assim

( ) ( ) ( )( )2 cos t t sen tγ π π= minus minus

( ) ( )( ) ( )1cos t sen t tγ= minus minus = minus

138


Portanto γ2(t) = ndashγ1(t) vamos verificar agora que as integrais satildeo iguais

Para γ1 temos que

logo

( ) ( ) ( )( )1 cos γ prime = minust sen t t

( ) ( ) ( )( )1

10

21 cos Fd sen t t dtπ

γ

γ = sdot minusint int

( ) ( )0

2 cos sen t t dtπ

= minus +int

( ) ( )2cos 0

t sen tπ

= +

( ) ( ) ( ) ( )2cos 2cos 0 0sen senπ π= minus + minus2 2 0 0 4= minus minus + minus = minus

Para γ2 temos que

( ) ( ) ( )( )2 cos γ π πprime = minus minus minuss sen s s

logo

( ) ( ) ( )( )2

2

2 21 cos Fd sen s s dsπ

γ π

γ π π= sdot minus minus minusint int

( ) ( )2

2 cos sen s s dsπ

π

π π= minus minus minusint

( ) ( )2

2cos s sen sπ

π ππ

= minus minus minus minus

( ) ( ) ( ) ( )2cos 2 2cos 2sen senπ π π π π π π π= minus minus + minus minus minus + minus2 2 0 0 4= + + minus =

Portanto concluiacutemos que vale a igualdade

1 2

1 2Fd Fdγ γ

γ γ= minusint int


139


ANAacuteLISE MATEMAacuteTICA DA ORIGEM FORMACcedilAtildeO E CLASSIFICACcedilAtildeO DOS VENTOS UMA APLICACcedilAtildeO DOS OPERADORES DIFERENCIAIS

Joseacute Vicente Cardoso SantosMelina Silva de Lima

RESUMO

Descreve-se aqui os aspectos matemaacuteticos das leis que mais contribuem para a formaccedilatildeo dos ventos e dos fenocircmenos meteoroloacutegicos a eles associados Objetiva-se agrave demonstraccedilatildeo para os estudantes dos cursos de aacutereas correlatas agraves matemaacuteticas uma aplicaccedilatildeo praacutetica e intuitiva dos operadores diferenciais e suas aplicaccedilotildees ao cotidiano Como objetivos especiacuteficos tem-se apresentar a evidecircncia intuitiva de termos cotidianos que refletem os itens firmados pelos proacuteprios operadores e a evidecircncia de aspectos matemaacuteticos na formaccedilatildeo dos ventos trazendo resultados de uma revisatildeo de literatura na aacuterea Para tal relata-se as equaccedilotildees que regem estes fenocircmenos e evidencia-se a ordem de grandeza de suas contribuiccedilotildees sobre a origem e classificaccedilatildeo dos ventos de forma isomoacuterfica agrave formaccedilatildeo e escrita dos respectivos operadores diferenciais a citar divergente rotacional gradiente e o laplaciano Evidencia-se em especial a correlaccedilatildeo de cada tipo de vento com as condiccedilotildees de contorno de cada equaccedilatildeo de formaccedilatildeo aleacutem da aplicabilidade dos operadores diferenciais natildeo soacute na origem como tambeacutem na classificaccedilatildeo dos tipos de ventos Demonstra-se a necessidade do conhecimento matemaacutetico dos operadores diferenciais para os profissionais que trabalham com a previsibilidade de condiccedilotildees meteoroloacutegicas tais como meteorologistas navegadores pilotos de aviotildees e helicoacutepteros etc Por fim os autores proporcionam um exemplo de aplicaccedilatildeo e entendimento do uso destes operadores

Palavras-chave Operador diferencial Meteorologia Classificaccedilatildeo dos ventos

INTRODUCcedilAtildeO

O planeta terra eacute um sistema termodinacircmico aberto e por esta razatildeo recebe de forma ininterrupta energia externa sob forma de massa luz e calor oriundos do sol aleacutem disto a forma de distribuiccedilatildeo de toda esta energia eacute completamente aleatoacuteria e por esta razatildeo perturba todo o sistema de distribuiccedilatildeo de massa do planeta Esta perturbaccedilatildeo ocorre em diversas escalas e com diversas ordens de importacircncia que variam de acordo com o tipo da massa (soacutelido liacutequido e gaacutes) Os soacutelidos e os liacutequidos satildeo regidos em primeira ordem pelas forccedilas gravitacionais e em segunda e terceira ordem pelas forccedilas teacutermicas Jaacute os gases (atmosfera) satildeo regidos em primeira instacircncia pelas leis fiacutesicas da termodinacircmica (RUBENS 2013)

140


Ainda segundo Rubens (2013) neste cenaacuterio a anaacutelise da formaccedilatildeo classificaccedilatildeo e entendimento dos processos e desdobramentos dos ventos e fenocircmenos anaacutelogos perpassa pelo entendimento dos significados fiacutesicos anaacutelogos dos operadores diferenciais e suas formas de aplicaccedilatildeo Objetiva-se esta analogia e uma demonstraccedilatildeo para os estudantes dos cursos de aacutereas correlatas agrave matemaacutetica visando uma aplicaccedilatildeo praacutetica e intuitiva dos operadores diferenciais e suas aplicaccedilotildees a fenocircmenos cotidianos Busca-se ainda a evidecircncia intuitiva de termos cotidianos que refletem os itens firmados pelos proacuteprios operadores aleacutem da evidecircncia de aspectos matemaacuteticos na origem formaccedilatildeo e classificaccedilatildeo dos ventos

Utiliza-se uma metodologia de revisatildeo de literatura nas aacutereas de meteorologia e matemaacutetica diferencial relatando-se as equaccedilotildees que regem estes fenocircmenos e evidenciando-se a ordem de grandeza da contribuiccedilatildeo das equaccedilotildees sobre a origem e classificaccedilatildeo dos ventos de forma isomoacuterfica agrave formaccedilatildeo e escrita dos respectivos operadores diferenciais a citar divergente rotacional gradiente e o laplaciano Demonstra-se a necessidade do conhecimento matemaacutetico dos operadores diferenciais para os profissionais que trabalham com a previsibilidade de condiccedilotildees meteoroloacutegicas tais como meteorologistas navegadores pilotos de aviatildeo e helicoacuteptero etc

FENOcircMENOS RELACIONADOS COM A ORIGEM E FORMACcedilAtildeO DOS VENTOS

A ORIGEM DOS VENTOS

O estudo da origem dos ventos nos reporta agrave anaacutelise de montagem de equaccedilotildees matemaacuteticas associadas agraves leis fiacutesicas da mecacircnica termodinacircmica e aacutereas correlatas Quaisquer tipos de movimentos do ar atmosfeacuterico na superfiacutecie ou a grandes alturas podem ser designados genericamente de ventos (SONNEMAKER 2012)

Assim ainda segundo o mesmo autor a grande dificuldade na anaacutelise da origem e mensuraccedilatildeo dos ventos eacute o fato de tanto o planeta quanto a atmosfera estarem constantemente em movimento pois o planeta tem no miacutenimo movimentos de rotaccedilatildeo e translaccedilatildeo e a atmosfera ao sofrer o movimento associado de rotaccedilatildeo e tambeacutem por natildeo ser soacutelida sofre movimentos secundaacuterios de forccedilas de rotaccedilatildeo e torccedilatildeo gerando diversos outros tipos de movimento

FENOcircMENOS BAacuteSICOS DE FORMACcedilAtildeO DOS VENTOS

Conforme preconiza Sonnemaker (2012) a anaacutelise dos fenocircmenos eou leis baacutesicas que regem esta situaccedilatildeo nos permite elencar

bull a velocidade angular do planeta eacute um fato relevante no movimento relativo de toda a atmosfera Ela gera movimento interno dos soacutelidos liacutequidos e principalmente os gases (atmosfeacutericos)


141

bull o aparecimento da forccedila centriacutepeta e da forccedila centriacutefuga associadas eacute fato tambeacutem relevante para o equiliacutebrio do sistema pois em consonacircncia gera movimentos curvos de vento

bull a conservaccedilatildeo do momento angular torna o equiliacutebrio das velocidades de rotaccedilatildeo de cada parte constituinte da atmosfera algo fundamental para a sua movimentaccedilatildeo tanto na horizontal quanto na vertical

bull a forccedila gravitacional e a massa do ar atmosfeacuterico criam uma distribuiccedilatildeo heterogecircnea da massa de ar e consequentemente uma distribuiccedilatildeo tambeacutem heterogecircnea de pressatildeo

bull as forccedilas de fricccedilatildeo das massas de ar proporcionam um movimento horizontal das mesmas

bull a velocidade de rotaccedilatildeo da Terra em combinaccedilatildeo vetorial com velocidades horizontais e verticais de movimentos de massas de ar gera o que se denomina de forccedila de coriolis Esta forccedila proporciona aceleraccedilotildees destas massas no sentido norte-sul eou sul-norte do planeta Estas aceleraccedilotildees satildeo as responsaacuteveis em grande parte pela geraccedilatildeo de ventos redemoinhos ciclones entre outros

DESCRICcedilAtildeO MATEMAacuteTICA

Para expressar todos estes fenocircmenos recorre-se agraves seguintes equaccedilotildees matemaacuteticas

bull Equaccedilatildeo de estado dos gases

bull Equaccedilatildeo do equiliacutebrio hidrostaacutetico

bull Equaccedilatildeo geral do movimento (para corpos em rotaccedilatildeo)

bull Equaccedilatildeo da continuidade

1PV NRT Eq=

2dP g Eqdz

ρ= minus

12 3TdV V g F Eqdt

ρρ

= minus Ω and minus nabla + +

( ) 0 4V Eqtρ ρpart

+ nabla =part

142


em que

P = pressatildeo V = Volume N = Nuacutemero de moleacuteculas T = Temperatura I = altura p = densidadeg = aceleraccedilatildeo da gravidade Ω = Velocidade Angular

g =

Aceleraccedilatildeo da gravidade rF =

Forccedila resultante

Observa-se que as equaccedilotildees principalmente as diferenciais descritas ainda natildeo podem ser resolvidas de forma completa pois natildeo existem soluccedilotildees analiacuteticas e simples para todas elas mesmo com a oferta de condiccedilotildees de contorno e outros elementos simplificadores (COURANT 2000)

A equaccedilatildeo geral do movimento por exemplo eacute bastante complicada por tratar-se de uma equaccedilatildeo diferencial em quatro dimensotildees (trecircs espaciais com o operador ldquonablardquo associado e uma temporal) Como resolver estas equaccedilotildees de forma concomitante e com isto obter respostas fisicamente aceitaacuteveis para os movimentos de massas de ar Como fazer isto de forma raacutepida e providencial do ponto de vista meteoroloacutegico Estas e outras questotildees satildeo de fundamental importacircncia para a aacuterea pois a busca de soluccedilatildeo implicaraacute em uma capacidade de previsibilidade com brevidade do comportamento do tempo e esta informaccedilatildeo aleacutem de ser estrateacutegica sempre foi o principal objetivo da meteorologia

As formas atuais de soluccedilatildeo satildeo as teacutecnicas numeacutericas utilizando-se a ciecircncia da computaccedilatildeo e seus processos algoritmizados e automatizados Entretanto podemos associar algumas caracteriacutesticas das classes ou tipos de ventos com caracteriacutesticas das equaccedilotildees de contorno para a sua montagem ou seja podemos explicar as origens e tambeacutem classificar os tipos de vento de acordo com o comportamento da atuaccedilatildeo dos operadores diferenciais sobre as funccedilotildees incoacutegnitas destas equaccedilotildees (FLEMMING 2007)

Para tal ainda segundo Sonnemaker (2012) vale descrever algumas das propriedades observadas de forma empiacuterica e fenomenoloacutegica sobre os ventos a citar as razotildees entre as velocidades horizontais e verticais satildeo de 10sup3 ou seja o vento praticamente soacute sopra na horizontal a equaccedilatildeo da continuidade deixa claro atraveacutes do uso do operador divergente que quando entra mais massa por unidade de volume do que sai eacute porque existe uma convergecircncia do fluxo de ventos no volume considerado (ou seja eacute como se houvesse um sumidouro de correntes de ar na regiatildeo) a equaccedilatildeo tambeacutem permite situaccedilotildees inversas ou seja quando sai mais massa por unidade de volume estaacute havendo a divergecircncia do fluxo de calor (isto eacute eacute como se houvesse um gerador de correntes de ar na regiatildeo) Sabe-se entretanto que natildeo existem ldquosumidourosrdquo nem ldquogeradoresrdquo de correntes de ar Trata-se da resultante da combinaccedilatildeo de forccedilas tais como as de rotaccedilatildeo centriacutefuga centriacutepeta que proporcionam o deslocamento eou compressatildeo destas massas de ar na regiatildeo de estudo


143

CLASSIFICACcedilAtildeO DOS VENTOS

Ainda segundo Sonnemaker (1999) para estudar e classificar os movimentos das massas atmosfeacutericas devemos considerar ao menos duas camadas distintas em que os possiacuteveis escoamentos possuam caracteriacutesticas proacuteprias uma eacute identificada como camada-limite-planetaacuteria e a outra como atmosfera-livre A primeira estende-se ateacute no maacuteximo dois ou trecircs quilocircmetros do solo e a segunda como o proacuteprio nome indica eacute livre ateacute os limites superiores da atmosfera

Em funccedilatildeo destas duas camadas e do comportamento delas sob accedilatildeo dos operadores nas equaccedilotildees de composiccedilatildeo temos os seguintes tipos de ventos previamente classificados

Vento Geostroacutefico

Trata-se de um escoamento horizontal uniforme paralelo agraves isoacutebaras Ocorre nos niacuteveis superiores da atmosfera (atmosfera livre) onde os efeitos de fricccedilatildeo satildeo despreziacuteveis No caso deste tipo de vento alguns componentes destas equaccedilotildees tornam-se despreziacuteveis a ponto de simplificaacute-las bastante e proporcionar escoamentos paralelos agraves isoacutebaras e com velocidades constantes Assim como este tipo de vento eacute sempre paralelo agraves isoacutebaras no hemisfeacuterio norte as baixas pressotildees estaratildeo sempre agrave esquerda do vento neste hemisfeacuterio e no hemisfeacuterio sul agrave sua direita (lei de Buys-Ballot) (Veja figura 1) Este tipo de vento soacute tem componentes de forccedila horizontais e a sua velocidade seraacute sempre em funccedilatildeo do gradiente de pressatildeo segundo a equaccedilatildeo 4 Nas regiotildees do equador ocorrem turbulecircncias e as simplificaccedilotildees das equaccedilotildees deixam de ser vaacutelidas

144


Vento gradiente

Trata-se de um escoamento horizontal paralelo agraves isoacutebaras as quais satildeo curvas e ocorre nos niacuteveis superiores da atmosfera (atmosfera livre) onde os efeitos de fricccedilatildeo satildeo despreziacuteveis sendo constante o moacutedulo do vetor velocidade Este tipo de vento eacute caracterizado pelos ciclones e anticiclones Os ciclones e anticiclones satildeo escoamentos curvos fechados em torno dos centros de baixa pressatildeo (Veja figura 2)

A figura 2 mostra uma circulaccedilatildeo anticiclocircnica (sentido anti-horaacuterio) sobre a Ameacuterica do Sul Nela tem-se um escoamento divergente a partir do centro de alta pressatildeo os ventos satildeo relativamente fracos e as isoacutebaras encontram-se relativamente distantes uma da outra o que indica um menor gradiente de pressatildeo


145

A Figura 3 mostra linhas isoacutebaras (unem pontos de igual pressatildeo) Nela a intensidade do vento eacute diretamente proporcional ao ldquoapertordquo isobaacuterico ou seja onde as linhas encontram-se menos afastadas Isto eacute o maior gradiente de pressatildeo nos daacute uma maior intensidade do vento Ainda na mesma figura vecirc-se que o gradiente eacute maior no ponto (2) sendo a intensidade do vento maior

Se apenas o gradiente de pressatildeo fosse o responsaacutevel pela direccedilatildeo e intensidade do vento este sopraria sempre dos pontos de alta pressatildeo para os de mais baixa jaacute que este seria o caminho natural

Vento Ciclostroacutefico

Trata-se de um escoamento atmosfeacuterico curvo (em relaccedilatildeo agrave superfiacutecie do solo) de escala horizontal suficientemente pequena como nos tornados e redemoinhos em que a forccedila de corioacutelis pode ser desprezada quando comparada com a forccedila do gradiente de pressatildeo Este tipo de vento soacute ocorre em um centro de baixa pressatildeo Trata-se de um caso particular do escoamento gradiente pois trata-se dos ventos fortes e raacutepidos ou ateacute de pequenos tornados

Classificaccedilatildeo Segundo Observaccedilotildees Locais

Embora os ventos sejam simplesmente representados pelo seu vetor velocidade em algumas regiotildees recebem nomes especiais Eacute o caso do Bora do Adriaacutetico Mistral do vale do Roacutedano Foehn da Suiacuteccedila Vento Leste do litoral brasileiro etc Desta forma podemos classificaacute-los tambeacutem com a seguinte denominaccedilatildeo

Brisa de terra e de mar - Satildeo brisas de dias quentes que cruzam a linha da costa

Brisa de montanha e de vale - Satildeo brisas que ocorrem devido ao aumento de temperatura dos picos de montanhas e o seu gradiente de temperatura provoca correntes de convecccedilatildeo locais (FIGURA 3)

800 mb900 mb

1000 mb

146


Ventos drenados - Satildeo bolsotildees de ar frio acumulados em regiotildees montanhosas que satildeo desagregados devido ao gradiente de temperatura local

Vento Foehn ou Chinook - Satildeo ventos fortes secos e quentes que sopram encostas abaixo devido ao preenchimento diferencial do gradiente de temperatura da montanha

Ventos locais - Satildeo ventos com caracteriacutesticas especiacuteficas e com denominaccedilatildeo local Os nomes satildeo tiacutepicos mas natildeo demostram singularidades diferenciadas das anteriormente citadas

COMENTAacuteRIOS FINAIS

Apesar destas classificaccedilotildees empiacutericas verifica-se a existecircncia de diversos tipos de ventos com caracteriacutesticas singulares que estatildeo relacionadas diretamente com as particularidades da resoluccedilatildeo das equaccedilotildees de estado para o mesmo no seu ambiente de aplicaccedilatildeo Neste sentido eacute evidente a associaccedilatildeo entre as propriedades dos operadores diferenciais ldquonablardquo (divergente rotacional gradiente e laplaciano) e os comportamentos de escoamento velocidade temperatura e pressatildeo da atmosfera atraveacutes do perfil dos ventos no nosso planeta quiccedilaacute outros

Desta forma para o matemaacutetico o estabelecimento da correlaccedilatildeo entre as propriedades matemaacuteticas dos operadores e os possiacuteveis significados dos mesmos eacute de extrema importacircncia para a formaccedilatildeo da sua heuriacutestica e do seu estilo de uso praacutetico e didaacutetico da matemaacutetica

FONTE lthttprevistaadmmadeestaciobrindexphpcienciaincenabahiaarticleviewFile23751166gt Acesso em 17 maio 2019

147



bull A integral de linha de uma funccedilatildeo escalar sobre uma curva γ e eacute denotada por

bull Se f(x1 middotmiddotmiddotxn) = 1 entatildeo a integral de linha dessa funccedilatildeo sobre uma curva nos fornece o comprimento da curva

bull A integral de linha de um campo vetorial F sobre uma curva suave γ como sendo a

bull Se γ1(t) = ndashγ2(t) entatildeo a integral de linha de um campo vetorial eacute


( ) ( )( ) ( )

1 b

na

f x x ds f t t dtγ

γ γsdot prime=int int

( )

1 b

a

Comprimentode ds t dtγ

γ γ prime= =int int

( )( ) ( )

b

a

Fd F t t dtγ


1 2

1 2Fd Fdγ γ

γ γ= minusint int

148


1 Calcule as integrais de linha das funccedilotildees escalares a seguir

a) ( ) ( )( )

3 3 0 2

x t ty ds com t para t

y t tγ

γ == le le =

int

2 Um aro circular de raio 1 rola sem deslizar ao longo de uma linha reta Calcule o comprimento da trajetoacuteria descrita por um ponto do aro entre dois contatos consecutivos com o solo Note que a curva que parametriza esse caminho eacute γ(t) = (ndashsen(t)ndashcos(t)) com 0 le t le 2π

3 Calcule a massa de uma bobina de mola descrita por γ(t) = (cos(t) sen(t)t) com 0 le t le 2π cuja densidade no ponto (xyz) eacute x2 + y2 + z2

4 Calcule a massa de um fio com forma de uma heacutelice com equaccedilotildees parameacutetricas x = 3cos(t) y = 3sen(t) e z = 4t com 0 le t le

2π sendo a funccedilatildeo de

densidade

AUTOATIVIDADE

2 2 2b) 2 1 x y ds com a metade superior docirculounitaacuterio x y

γ

γ+ + =int

( ) 2 1

=+xF x y zy

149

5 Calcule a integral de linha sobre o caminho γ(t) = (ttt) para 0 le t le 1 dos campos vetoriais a seguir

7 Encontre o trabalho realizado pela forccedila F(xy) = (xyy ndash x) sobre o segmento de reta que liga os pontos (11) e (2 3)

8 Encontre o escoamento do campo de velocidade F(xy) = (x + y ndashx2 ndashy2) ao longo do segmento de reta que liga os pontos (10) e (-10)

9 Um arame tem a forma curva dada pela curva parametrizada

para 0 le t le π Sabendo que a densidade em cada ponto do arame eacute dada por f(xyz) = xy

Podemos afirmar que a massa total do arame eacute

a) ( ) 2 umb) ( ) 4 umc) ( ) 6 um d) ( ) 8 um

6 Calcule a integral de linha a seguir

a)

a)

b)

c)

b)

c)

d)

e)

( ) ( ) 3 2 4F x y z y x z=

( ) 21 0 0

1F x y z

x = +

( ) ( ) 2 F x y z z x y= minus

( ) ( ) F x y z xy yz xz=

( ) ( )2 3 3 3 1 F x y z x x z= minus

( ) ( ) ( ) ( )2 4 8 2 1 0 2F x y z xy y e t t t com tγ= minus = le le

( ) ( ) ( ) ( )2 2 0 3 4 0 1F x y z x yz y e t t t com tγ= = le le

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 cos 0 0 F x y z x y x e t t sen t com tγ π= minus = le le

( )( )( )( )

1 cos

2 1 cos

t

t sen tt

γ

+

= minus

150

10 Calcule o trabalho realizado pela partiacutecula na trajetoacuteria indicada

onde γ eacute o segmento de reta que liga (12) ateacute (48)

Podemos afirmar que a massa total do arame eacutea) ( ) 12b) ( ) 45c) ( ) 69d) ( ) 99

2 y dx x dy

γ

+int

151

UNIDADE 3

TEOREMAS DO CAacuteLCULO VETORIAL


PLANO DE ESTUDOS


bull conhecer o Teorema de Green e utilizaacute-lo em aplicaccedilotildees

bull conhecer o Teorema de Gauss e utilizaacute-lo em aplicaccedilotildees

bull conhecer o Teorema de Stokes e utilizaacute-lo em aplicaccedilotildees

bull diferenciar os Teoremas de Green Gauss e Stokes

Esta unidade estaacute dividida em trecircs toacutepicos No decorrer do texto vocecirc encontraraacute autoatividades com o objetivo de reforccedilar o conteuacutedo apresentado

TOacutePICO 1 ndash TEOREMA DE GREEN

TOacutePICO 2 ndash TEOREMA DE GAUSS

TOacutePICO 3 ndash TEOREMA DE STOKES

152

153

TOacutePICO 1

TEOREMA DE GREEN

UNIDADE 3

1 INTRODUCcedilAtildeOAcadecircmico lembre-se de que na Unidade 1 estudamos as integrais duplas

cuja principal aplicaccedilatildeo era o caacutelculo do volume sobre uma superfiacutecie jaacute na Unidade 2 estudamos as integrais de linha sobre um campo vetorial cuja principal aplicaccedilatildeo eacute o caacutelculo do ldquoTrabalhordquo Neste toacutepico noacutes estudaremos o Teorema de Green que faz uma conexatildeo entre as integrais duplas e as integrais de linha Essa conexatildeo pode ateacute parecer estranha jaacute que estamos conectando volume com Trabalho poreacutem vocecirc perceberaacute que o Teorema de Green tem muitas aplicaccedilotildees e ajuda muito no caacutelculo de certas integrais

O principal personagem deste toacutepico eacute George Green matemaacutetico e fiacutesico inglecircs que viveu de 1793 ateacute 1841 No livro intitulado Caacutelculo II os autores Haword Anton Irl Bivens e Stephen Davis apresentam a seguinte biografia desse importante matemaacutetico

BIOGRAFIA DE GEORGE GREEN

George Green (1793-1841) matemaacutetico e fiacutesico inglecircs Green abandonou a escola com pouca idade para trabalhar na padaria de seu pai e consequentemente teve pouca educaccedilatildeo baacutesica formal Quando seu pai abriu um moinho o rapaz usava o aposento superior como sala de estudos onde aprendeu Fiacutesica e Matemaacutetica sozinho usando livros de biblioteca Em 1828 Green publicou seu trabalho mais importante Na Essay on the Aplication of Mathematical Analysis to the Theories of Eletricity and Magnetism (Um Ensaio sobre a Aplicaccedilatildeo da Anaacutelise Matemaacutetica agraves Teorias de Eletricidade e Magnetismo) Apesar do Teorema de Green ter aparecido naquele trabalho o resultado passou virtualmente despercebido devido agrave pequena tiragem e agrave distribuiccedilatildeo local Apoacutes a morte de seu pai em 1829 Green foi instigado por amigos a procurar a educaccedilatildeo superior Em 1833 apoacutes quatro anos de estudos autodidaacuteticos para cobrir as lacunas de sua educaccedilatildeo elementar Green foi admitido na Universidade Caius em Cambridge Formou-se quatro anos mais tarde mas com desempenho desapontador em seus exames finais ndash possivelmente porque estava mais interessado em sua proacutepria pesquisa Depois de uma secessatildeo de trabalhos sobre luz e som foi nomeado Membro Perse da Universidade de Caius Dois anos mais tarde ele morreu Em 1845 quatro anos apoacutes sua morte seu trabalho de 1828 foi publicado e as teorias nele desenvolvidas por esse obscuro autodidata filho de padeiro ajudaram a desbravar o caminho das teorias modernas da eletricidade e magnetismo

FONTE ANTON Howard BIVENS Irl DAVIS Stephen Caacutelculo II 8 ed v 2 Porto Alegre Bookman 2007

UNIDADE 3 | TEOREMAS DO CAacuteLCULO VETORIAL

154

Por ter sido uma pessoa muito simples e sem condiccedilatildeo natildeo existe retrato desse matemaacutetico

Como estaremos trabalhando com integrais duplas e integrais de linha eacute importante que estes dois conceitos estejam bem entendidos Caso vocecirc tenha alguma duacutevida sugerimos que volte agraves unidades anteriores e reforce o estudo nos conceitos de integrais duplas integrais de linha e curvas

2 TEOREMA DE GREENO Teorema de Green conecta as integrais duplas com integrais de linha de

um campo vetorial esse campo vetorial eacute um campo vetorial no plano por isso vamos considerar o seguinte campo vetorial em 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) F x y P x y i Q x y j P x y Q x y= + =

Tambeacutem precisamos considerar um campo bem regular e um domiacutenio tambeacutem bem regular a seguir apresentamos o enunciado do Teorema de Green

Teorema (Green) dada uma regiatildeo fechada D sendo ela limitada em 2 e com a fronteira partD orientada positivamente (sentido anti-horaacuterio) formada por uma quantidade finita de curvas simples fechadas temos que se uma funccedilatildeo vetorial

( ) ( ) ( ) F x y P x y i Q x y j= +

respeita estas condiccedilotildees a integral de linha a seguir pode ser calculada por

ou ainda

+

rarr rarr

part

part partsdot = minus part part

int intintDD

Q PF d r dxdyx y

+part

part partsdot + = minus part part

int intintDD

Q PP dx Qdy dxdyx y

Geralmente utilizamos o Teorema de Green nos casos em que a integral de linha original eacute difiacutecil de ser resolvida e a saiacuteda mais faacutecil eacute atraveacutes de uma integraccedilatildeo dupla O procedimento eacute realizar a integral dupla da diferenccedila das derivadas parciais das parcelas Q e P da funccedilatildeo vetorial dada

TOacutePICO 1 | TEOREMA DE GREEN

155

Veja um exemplo de regiatildeo que satisfaz as hipoacuteteses do teorema

GRAacuteFICO 1 ndash CURVA QUE SATISFAZ AS HIPOacuteTESES DO TEOREMA

FONTE Os autores

y

xD

Dpart

A regiatildeo eacute fechada A fronteira eacute orientada positivamente pois as flechas estatildeo no sentido anti-horaacuterio e eacute fechada pois inicia e termina no mesmo ponto Tambeacutem eacute uma curva simples pois a curva natildeo intercepta ela mesma em nenhum ponto

Outro ponto importante a se ressaltar acadecircmico eacute que trocamos uma integral de linha sobre uma curva (curva Dpart ) para uma integral dupla sobre uma regiatildeo (regiatildeo D) Ou seja o trabalho realizado sobre a curva Dpart eacute igual agrave integral dupla sobre a regiatildeo D Vamos resolver alguns exemplos para entender melhor como o Teorema de Green se comporta

Exemplo considere a funccedilatildeo vetorial

( ) (2 ) (3 4 ) F x y x y i y x j= + + +

Calcule a integral de linha para a regiatildeo determinada pelo triacircngulo de veacutertices (00) (10) e (01)


FONTE Os autores


156

Resoluccedilatildeo pela figura temos que a regiatildeo eacute dada pela intersecccedilatildeo AO cup AB cup BO Vamos calcular a integral de linha pelo meacutetodo tradicional e na sequecircncia comparar com a utilizaccedilatildeo do Teorema de Green

Usando a Integral de Linha Como satildeo trecircs curvas vamos estudar uma de cada vez Parte 1 o segmento AO eacute dado por y = 00 le x le 1 Portanto dy = 0 Entatildeo

1

0

( 0)AO

F dr P x dxrarr rarr

sdot =int int

12

0

12 1

0xdx x= = =int

Parte 2 o segmento AB eacute dado por x = 1 ndash y0 le y le 1 Portanto dx = ndashdy

[ ] [ ]

1

01

01

01

0

(1 )( ) (1 )

2(1 ) 3 4(1 )

2 2 3 4 4

12 2 2

0

rarr rarr

sdot = minus minus + minus

= minus minus + + + minus

= minus + minus + + minus

= = =

int int

int

int

int

AB

F dr P y y dy Q y y dy

y y dy y y dy

y y y ydy

dy y

Parte 3 o segmento BO eacute dado por x = 00 le y le 1 Portanto dx = 0 Entatildeo

1

0

21

0

(0 )

13 33 02 2

rarr rarr

sdot = minus

= minus = minus = minus

int int

int

BO

F dr Q y dy

yydy

Para finalizar sabemos que precisamos realizar a soma das trecircs partes para ldquofecharrdquo a integral de linha Logo


157

3 31 22 2D

F drrarr

part +

sdot = + minus =int

Usando o Teorema de Green se utilizarmos o Teorema de Green para este caso (notando que ele soacute pode ser utilizado pelo fato de que a curva considerada no exemplo eacute fechada e simples) o processo se torna muito mais simples e raacutepido

( )4 1 part partminus = minus part part

intint intintD D

Q P dxdy dxdyx y

jaacute que

e

assim

(3 4 ) 4Q y xx x

part part= + =

part part

(2 ) 1part part= + =

part partP x yy y

3 part partminus = part part

intint intintD D

Q P dxdy dxdyx y1 1

0 0 0

3 30

= =int int inty y

dxdy x dy

1 2

0

13 33 02 2

= = =intyydy

Acadecircmico vocecirc deve ter percebido que o curso de Caacutelculo vai cada vez mais abordando assuntos delicados e que precisam de um cuidado extra para a intepretaccedilatildeo dos problemas O site Khan Academy pode ajudar vocecirc nessa jornada acesse o link a seguir e veja os conteuacutedos sobre o Teorema de Green lthttpsptkhanacademyorgmathmultivariable-calculusgreens-theorem-and-stokes-theoremgreens-theoremgt Acesso em 23 maio 2019

DICAS


158

Exemplo considere o campo vetorial

( ) ( ) ( ) sup2 sup2 F x y x y i xy j= minus +

em que a regiatildeo de integraccedilatildeo eacute o disco centrado na origem e raio 1 Calcule a integral de linha desta funccedilatildeo vetorial orientada no sentido anti-horaacuterio


FONTE Os autores

Resoluccedilatildeo percebemos agora que o resultado se torna bastante simples atraveacutes do Teorema de Green Como as derivadas parciais satildeo

e

( )2 2Q xy yx x

part part= =

part part

( )2 2P x y xy y

part part= minus = minus

part part

pelo Teorema de Green temos

2 2( )+

rarr rarr

part

part partsdot = minus = + part part

int intint intintD DD

Q PF d r dxdy y x dxdyx y


159

Notamos agora que para a resoluccedilatildeo desta integral dupla pelo fato de que a regiatildeo eacute um disco e a funccedilatildeo no integrando trata-se de algo muito similar agrave equaccedilatildeo de uma circunferecircncia o caminho mais tranquilo eacute a aplicaccedilatildeo da transformaccedilatildeo para Coordenadas Polares Onde

Sabendo tambeacutem que x2 + y2 = r2 temos

2

1 23 3

0 0

41 3

0

12 2

04 2

θ

θ

π

θ

θ θ

ππ π

+

rarr rarr

part

sdot = sdot

= =

= = =

int intint

intint int int

int

r

r

DD

D

F d r r r drd

r drd r d dr

rr dr

Lembre-se acadecircmico de que para resolver as integrais duplas temos vaacuterias teacutecnicas umas delas eacute a que usamos no exemplo anterior mudanccedila de coordenadas cartesianas para polares

Exemplo Dada a funccedilatildeo vetorial

( ) 2 2 sup2 sup2

y xF x y i jx y x y

= minus + + +

Sendo D a regiatildeo formada por todos os pontos do plano internos a curva exceto a origem calcular a integral de linha sobre a curva fechada C x2 + y2 = a2 com a gt 0


160


FONTE Os autores

Resoluccedilatildeo este exemplo foi aqui citado pelo fato de que a regiatildeo citada no exemplo natildeo estaacute definida em todos os valores necessaacuterios e se torna um caso em que natildeo eacute possiacutevel utilizar o Teorema de Green Note que (00) pertence agrave regiatildeo interna da curva C poreacutem ( )00 Dnotin Neste caso teremos que aplicar o processo de parametrizaccedilatildeo da curva dada

( ) ( )a cos 0 2 x t e y a sen t com t π= sdot = sdot le le

Assim temos que

( ) ( ) cos dx a sen t dt e dy a t dt= minus sdot = sdot

Entatildeo

2 2 2 2

2

2 20

22 2

02

0

( ) cos( )( ( ) ) cos( )

( ) cos ( )

2

C C

y xF d r dx dyx y x y

a sen t a ta sen t dt a t dta a

sen t t dt

dt

π

π

π

π

+ +

rarr rarr

sdot = minus ++ +

= minus minus +

= +

= =

int int

int

int

int

x0 andasha

ndasha

a

y


161

3 TEOREMA DA DIVERGEcircNCIAO Teorema da Divergecircncia eacute uma extensatildeo do Teorema de Green e trata-se

de uma forma que pode ser vista como ldquoa forma vetorialrdquo do Teorema de Green Em que para obtecirc-lo temos que na praacutetica aplicar o Teorema de Green no campo

( ) ( )G Q x y i P x y jrarr rarr

= minus +

em vez de aplicar no campo F

Como em geral o divergente eacute mais usado para campos em 3 esse Teorema tem uma generalizaccedilatildeo quando estamos em trecircs dimensotildees que estudaremos no proacuteximo toacutepico o Teorema de Gauss Veremos a seguir o enunciado do Teorema de Divergecircncia para campos vetoriais em duas dimensotildees e apenas um exemplo pois o estudo do Teorema da Divergecircncia seraacute aprofundado no proacuteximo toacutepico

Teorema (Divergecircncia) dada uma regiatildeo fechada D sendo ela limitada em 2 e com a fronteira Dpart formada por uma quantidade finita de curvas simples

fechadas temos que se uma funccedilatildeo vetorial

( ) ( ) ( ) F x y P x y i Q x y j= +

respeita estas condiccedilotildees e n o vetor normal unitaacuterio que se direciona para o exterior de D a integral de linha a seguir pode ser calculada por

+

rarr rarr rarr

part

sdot = int intint

DD

F n ds div F dxdy

lembre-se tambeacutem de que o divergente de um campo vetorial de duas dimensotildees eacute

( ) ( )( ) ( )( ) div F P x y Q x yx y

part part= +

part part

Exemplo utilizando o teorema da divergecircncia calcule a integral de linha

C

sF n drarr

sdotint


162

onde

( ) ( ) ( )2

2 yF x y x xy e i x y j= + + + minus

e C = C1UC2 com C1 sendo o semiciacuterculo de raio 2 centrado na origem e contido no semiplano y ge 0 (sentido anti-horaacuterio) e C2 o segmento de reta que une os pontos (-20) ateacute (00) e o vetor normal n aponta sempre para fora do semidisco 0 le x2 + y2 le 4 y ge 0

Resoluccedilatildeo aplicaremos o teorema da divergecircncia no semidisco descrito no exemplo notando que as curvas C1 e C2 constituem parte da fronteira deste Note tambeacutem que teremos que determinar uma terceira curva C3 que une a origem a (20) para que a curva se torne ldquofechadardquo

GRAacuteFICO 5 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DA REGIAtildeO

FONTE Os autores

Temos que a integral de linha sobre a regiatildeo D eacute reescrito como

3

D C C

F n ds F n ds F n dsrarr rarr rarr rarr rarr rarr

partsdot = sdot + sdotint int int

Note que para calcularmos a

CF n dsrarr rarr

sdotint


163

precisamos calcular as outras duas integrais de linha A integral de linha sobre a fronteira de D pode ser calculada usando o teorema da divergecircncia Calculando o divergente do campo vetorial temos que

( ) ( ) ( )2

2 ydiv F x xy e x yx y

part part= + + + minus

part part1 2 1 2 y y= + minus =

Portanto a integral de linha sobre a curva Dpart usando o Teorema da divergecircncia eacute

( )2 2

0 0

3

0

4

0

2 ( )

22 ( )03

2 ( )3

16 32( cos( )) 03 3

π

π

π

θ θ

θ θ

θ θ

πθ

rarr rarr

partsdot =

=

=

=

= minus =

int intint

int int

int

int

D

D

F n ds div F dxdy

r sen dr d

r sen d

sen d

Note que na integraccedilatildeo anterior usamos a mudanccedila de coordenadas cartesianas para coordenadas polares para resolver

Agora vamos calcular a integral de linha sobre a curva C3 O vetor normal exterior a D na curva C3 eacute dado por (0ndash1) Logo na componente da curva C3 teremos que

( ) ( )0 0 1F n x xsdot = sdot minus = minus

e assim sendo

3

2

0

2 22

02

rarr rarr

sdot =

= =

int intCF n ds x dx

x


164

Conseguimos assim finalizar o que se pede no enunciado

3 3

32 382 3 3

C D CF n ds F n ds F n dsrarr rarr rarr rarr rarr rarr

partsdot = sdot minus sdot

= + =

int int int

165



bull O teorema de Green soacute pode ser aplicado nas integrais de linha de curva fechada e simples

bull O teorema de Green transforma uma integral de linha difiacutecil de ser calculada em uma integral dupla sobre a diferenccedila das derivadas parciais das parcelas da funccedilatildeo vetorial dada sendo

bull O teorema da divergecircncia eacute uma extensatildeo do teorema de Green sendo visto como sua ldquoversatildeo vetorialrdquo e eacute dado pela expressatildeo

+

rarr rarr

part +part

part partsdot = + = minus part part

int int intint D DD

Q PF d r P dx Q dy dxdyx y

+

rarr rarr rarr

part

sdot = int intint

DD

F n ds div F dxdy

166


1 Calcule a integral de linha

Pelo meacutetodo direto e depois compare com a utilizaccedilatildeo do Teorema de Green sabendo que C eacute o caminho fechado formado pelas curvas y = x2 e y = x no sentido anti-horaacuterio

2 Usando o Teorema de Green determine

onde C eacute a curva fechada formada por y = 0 x = 1 y = 1 e x = 0 no sentido anti-horaacuterio

3 Podemos utilizar o Teorema de Green para calcular

onde C eacute a circunferecircncia x2 + y2 = 1 no sentido anti-horaacuterio Utilize a forma parametrizada para calcular este caso

4 Sabemos que o trabalho realizado por um campo de forccedilas sobre uma partiacutecula eacute dado pela integral de linha sobre uma curva parametrizada Podemos entatildeo afirmar que o trabalho realizado pelo campo de forccedilas

em uma partiacutecula que percorre uma vez o ciacuterculo x2 + y2 = 1 no sentido anti-horaacuterio eacute

AUTOATIVIDADE

2

C

x dx y dy+int

2

2 ( )1minus

= ++int

C

x yI dx arctg x dyx

2 2 2 2minus

++ +int

C

y xdx dyx y x y

( ) ( )( )3 3 ( ) cos= minus + +

xF x y e y i y x j

167

a) ( ) 2π

a) ( ) 2503

c) ( ) 1512

b) ( ) 32π

b) ( ) 87

d) ( ) 32

d) ( ) 127

c) ( ) π

5 Usando o Teorema de Green podemos determinar o trabalho realizado pelo campo de forccedilas F em uma partiacutecula que se move ao longo do caminho especificado Se

e a partiacutecula comeccedila em (5 0) percorre o semiciacuterculo superior x2 + y2 = 25 e retorna ao seu ponto de partida ao longo do eixo x entatildeo o trabalho realizado pelo campo de forccedilas eacute

( ) 21 2

= +

F x y xy x xy

168

169

TOacutePICO 2

TEOREMA DE GAUSS

UNIDADE 3

1 INTRODUCcedilAtildeONas unidades anteriores estudamos o conceito de fluxos de campos

vetoriais atraveacutes de superfiacutecies que sejam fechadas a ideia que o Teorema de Gauss traz eacute poder resolver as integrais de linhas sobre essas superfiacutecies de uma maneira mais simples associando com integrais triplas

O foco principal desse toacutepico eacute estudar o Teorema de Gauss Gauss eacute um dos maiores matemaacuteticos da era moderna Carl Friedrich Gauss viveu de 1777 ateacute 1855 Os autores Haword Anton Irl Bivens e Stephen Davis no livro intitulado Caacutelculo II apresentam a seguinte biografia de Gauss

BIOGRAFIA DE CARL FRIEDRICH GAUSS

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Matemaacutetico e cientista alematildeo Chamado algumas vezes de ldquopriacutencipe dos matemaacuteticosrdquo Gauss eacute classificado juntamente com Newton e Arquimedes como um dos trecircs maiores matemaacuteticos da histoacuteria Seu pai um trabalhador era um homem rude mas honesto que teria preferido que Gauss abraccedilasse a profissatildeo como jardineiro ou pedreiro mas o gecircnio do rapaz na matemaacutetica natildeo poderia ser negado Em toda a histoacuteria da matemaacutetica nunca houve uma crianccedila tatildeo precoce como Gauss ndash por sua proacutepria iniciativa trabalhou os rudimentos da aritmeacutetica antes de poder falar Um dia antes que tivesse completado trecircs anos seu gecircnio tornou-se aparente para seus pais de um modo muito contundente Seu pai estava preparando a folha de pagamento semanal dos trabalhadores sob sua reponsabilidade enquanto o garoto observava calmamente de um canto No fim dos caacutelculos longos e cansativos Gauss disse a seu pai que havia um erro no resultado e deu a resposta que ele obteve de cabeccedila Para grande surpresa de seus pais a verificaccedilatildeo dos caacutelculos mostrou que Gauss estava certo

Para sua educaccedilatildeo elementar Gauss foi matriculado numa escola fraca dirigida por um homem chamado Buumlttner cuja principal teacutecnica de ensino era o espancamento Buumlttner tinha por haacutebito passar longos problemas de adiccedilatildeo que desconhecidos de seus alunos eram progressatildeo aritmeacuteticas que ele resolvia usando foacutermulas No primeiro dia que Gauss entrou na aula de

170


Aritmeacutetica foi pedido aos alunos que somassem os nuacutemeros de 1 a 100 Mas nem bem Buumlttner havia terminado de enunciar o problema Gauss mostrou sua lousa e exclamou em seu dialeto camponecircs ldquoLigget serdquo (Aqui estaacute) Por quase uma hora Buumlttner fitou Gauss que ficou sentado com os dedos entrelaccedilados enquanto seus colegas se esfalfavam Quando Buumlttner examinou as lousas no fim da aula a lousa de Gauss continha um uacutenico nuacutemero 5050 ndash a uacutenica soluccedilatildeo correta na classe Para seu creacutedito Buumlttner reconheceu o gecircnio de Gauss e com a ajuda de seu assistente John Bartels levou-o ao conhecimento de Karl Wilhelm Ferdinand Duque de Brunswick O rapaz tiacutemido e desajeitado que tinha entatildeo quatorze anos cativou de tal maneira o Duque que ele subsidiou seus estudos preparatoacuterios universitaacuterios e o iniacutecio de sua carreira

De 1795 a 1798 Gauss estudou matemaacutetica na Universidade de Goumlttingen recebendo seu diploma ldquoin absentiardquo da Universidade de Helmstadt Em sua dissertaccedilatildeo fez a primeira demonstraccedilatildeo completa do teorema fundamental da aacutelgebra que diz que cada polinocircmio tem tantas soluccedilotildees quanto seu grau Com a idade de 19 anos resolveu o problema que aturdiu Euclides inscrevendo em poliacutegono regular de 17 lados num ciacuterculo usando a reacutegua e compasso e em 1801 com a idade de 24 anos publicou sua primeira obra-prima Disquisitiones Arithmeticae considerado por muitos como uma das mais brilhantes realizaccedilotildees na Matemaacutetica Neste livro Gauss sistematizou o estudo da teoria dos nuacutemeros (propriedades dos inteiros) e formulou os conceitos baacutesicos que constituem o fundamento desse assunto

No mesmo ano em que Disquisitiones foi publicado Gauss aplicou de novo sua fundamental habilidade de caacutelculo de maneira contundente O astrocircnomo Giuseppi Piazzi tinha observado o asteroide Ceres ao longo de 140 de sua oacuterbita mas perdeu-o no sol Usando somente trecircs observaccedilotildees e o ldquomeacutetodo dos miacutenimos quadraacuteticosrdquo que tinha desenvolvido em 1795 Gauss calculou a oacuterbita com tal precisatildeo que os astrocircnomos natildeo tiveram qualquer dificuldade em reencontraacute-lo no ano seguinte Essa realizaccedilatildeo trouxe-lhe reconhecimento imediato como o principal matemaacutetico da Europa e em 1807 foi nomeado Professor de Astronomia e chefe do observatoacuterio astronocircmico de Goumlttingen

Nos anos que se seguiram Gauss revolucionou a matemaacutetica introduzindo padrotildees de precisatildeo e rigor nunca imaginados por seus predecessores Ele tinha paixatildeo pela perfeiccedilatildeo que o levou a polir e trabalhar seus escritos em vez de publicar trabalhos menos elaborados em maior quantidade ndash seu lema favorito era ldquoPauca sed maturardquo (Pouco mas maduro) Como resultado muitas das suas descobertas importantes ficaram escondidas em diaacuterios que permaneceram sem publicaccedilotildees durante anos apoacutes sua morte

Entre a miriacuteade de suas realizaccedilotildees Gauss descobriu a curva de Gauss ou curva em forma de sino fundamental na probabilidade fez a primeira interpretaccedilatildeo geomeacutetrica dos nuacutemeros complexos e estabeleceu seu papel fundamental na matemaacutetica desenvolveu meacutetodos de caracterizaccedilatildeo de

TOacutePICO 2 | TEOREMA DE GAUSS

171

superfiacutecies intrinsicamente por meio das curvas que elas contecircm desenvolveu a teoria das aplicaccedilotildees conformes (que preservam acircngulo) e descobriu a Geometria natildeo-euclidiana 30 anos antes que as ideias fossem publicadas por outros Na fiacutesica fez contribuiccedilotildees relevantes na teoria das lentes e accedilotildees capilar e com Wilhelm Weber realizou trabalho fundamental em eletromagnetismo Gauss inventou o heliotroacutepio o magnetocircmetro bifilar e um eletroteleacutegrafo

Gauss era profundamente religioso e aristocrata na conduta Dominava liacutenguas estrangeiras com facilidade lia extensivamente e gostava de Mineralogia e Botacircnica como hobby Detestava lecionar e usualmente era frio e desencorajador com outros matemaacuteticos possivelmente porque jaacute havia antecipado o trabalho deles Jaacute foi dito que se Gauss tivesse publicado todas as suas descobertas o estado atual da matemaacutetica estaria avanccedilado em 50 anos Ele foi sem duacutevida o maior matemaacutetico da era moderna


FIGURA 1 ndash CARL FRIEDRICH GAUSS

FONTE lthttpsptwikipediaorgwikiCarl_Friedrich_Gaussgt Acesso em 13 maio 2019

Acadecircmico vocecirc percebeu que Gauss foi um matemaacutetico excepcional e suas contribuiccedilotildees para a matemaacutetica e para a fiacutesica satildeo inuacutemeras esperamos que a breve apresentaccedilatildeo biograacutefica que apresentamos a vocecirc sobre Gauss motive ainda mais o estudo do teorema que leva o nome dele Como iremos associar as integrais de linha com integrais triplas lembramos aqui que eacute de fundamental importacircncia que as teacutecnicas de integraccedilotildees triplas estejam bem compreendidas por vocecirc

172


2 INTEGRAL DE SUPERFIacuteCIE DE UM CAMPO ESCALARAo adentrar no estudo do Teorema de Gauss antecipadamente

necessitamos compreender o conceito de integral de superfiacutecie de campo escalar Pelo fato deste conceito ser apenas um preacute-requisito para o estudo do Teorema de Gauss iremos abordaacute-lo apenas de modo matemaacutetico sem nos preocuparmos aqui com suas aplicaccedilotildees praacuteticas

Definiccedilatildeo uma integral de superfiacutecie de um campo escalar f(xyz) contiacutenuo sobre uma superfiacutecie S que possui uma parametrizaccedilatildeo dada por φ(uv) onde ( )u v Disin eacute dada por

onde

( ) ( ( )) ϕ ϕϕ part part= = times

part partintint intint intintS S D

dS

fdS f x y z dS f u v dudvu v

dS dudvu vϕ ϕpart part

= timespart part

eacute o elemento de aacuterea

Vamos agora compreender este conceito com a resoluccedilatildeo de um exemplo

Exemplo calcule a integral de superfiacutecie do campo escalar f(xy) = xy ou seja calcule

intintS

xy dS

onde S eacute parametrizada por φ(uv) = (u ndash vu + v2u + v + 1) e ainda ( )u v Disin eacute dada por 0 le u le 1 e 0 le v le u

Resoluccedilatildeo inicialmente calculamos as derivadas parciais de φ com relaccedilatildeo a u e v logo

(11 2) e ( 111)ϕ ϕpart part= = minus

part partu v


173

Na sequecircncia realizando o produto vetorial das derivadas parciais

( )1 1 2 1 3 2 1 1 1

i j k

u vϕ ϕpart part

times = = minus minuspart part

minus

Calculando a norma encontramos

1 9 4 14u vϕ ϕpart part

times = + + =part part

ou seja o elemento de aacuterea eacute

14 dS du dv=

Aplicando na expressatildeo da integral de superfiacutecie

2 2

1 2 2

0 0

31 2

0

1 3

0

4

( )( ) 14

14

14

1403

2 143

12 14 14 03 4 6

= minus +

= minus

= minus

= minus

=

= =

intint intint

intint

int int

int

int

S S

Du

xy dS u v u v du dv

u v du dv

u v dv du

uvu v du

u du

u

3 INTEGRAL DE SUPERFIacuteCIE DE UM CAMPO VETORIALAssim como realizamos o estudo das integrais de superfiacutecie de campos

escalares como preacute-requisito para o estudo do Teorema de Gauss iremos abordar do mesmo modo as integrais de superfiacutecie de campos vetoriais

Lembramos que quando vimos as integrais de linha para campos vetoriais vimos que a definiccedilatildeo dependia da orientaccedilatildeo da curva ou seja

174


rarr rarr rarr rarr

minus

sdot = minus sdotint intC C

F d r F d r

Aqui para o estudo da integral de superfiacutecie que pode ser vista como a integral que calcula o fluxo do campo vetorial atraveacutes desta superfiacutecie a definiccedilatildeo tambeacutem iraacute depender da orientaccedilatildeo (dentro para fora ou fora para dentro)

Definiccedilatildeo dada uma superfiacutecie S orientaacutevel onde o vetor normal n representa esta orientaccedilatildeo Seja ainda um campo vetorial contiacutenuo F

temos que a integral

de superfiacutecie (fluxo φ) atraveacutes de S eacute dada pela integral de superfiacutecie do campo escalar de F nsdot

rarr rarr

Φ = sdotintintS

F n dS

Definiccedilatildeo 2 (orientaccedilatildeo) sendo S uma superfiacutecie orientada por n Dizemos que o ldquobordordquo de S descrito por Spart estaacute orientado positivamente se tivermos S sempre a nossa esquerda

FIGURA 2 ndash SUPERFIacuteCIE ORIENTADA POSITIVAMENTE

FONTE Os autores

Lembre-se acadecircmico de que a normal eacute calculada usando a foacutermula a seguir

NOTA

ϕ ϕϕ ϕ

times=

times u v

u v

n


175

Exemplo calcule o Fluxo do campo

( ) ( ) 2 2 F x y z xi x y j xyk= + + minus

atraveacutes da superfiacutecie

e

( ) ( )2 2 1 S u v u v u vϕ = minus minus

com ( ) 0 1u v D uisin le le e 0 le v le 1

Resoluccedilatildeo calculando as derivadas parciais temos

( )1 0 2u uϕ = minus

( )01 2 v vϕ = minus

Assim o produto escalar das derivadas eacute

1 0 2 (2 2 1)0 1 2

ϕ ϕ

rarr rarr rarr

times = minus =minus

u v u u vv

i j k

E entatildeo o fluxo de F eacute dado por

2 2

2 2

1 1 2 2

0 0131 2

00

2

( ( ))

( ( )) ( )

(2 2 ) (2 2 1)

(4 2 2 2 )

(4 2 )

(4 2 )

4 23

4 23

ϕ ϕϕ ϕ ϕϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

rarr rarr rarr

rarr

timessdot = sdot sdot times

times

= sdot times

= + minus sdot

= + + minus

= +

= +

= +

= +

intint intint

intint

intint

intint

intint

int int

int

u vu v

u vS D

u vD

D

D

D

F n dS F u v dudv

F u v dudv

u u v uv u v dudv

u uv v uv dudv

u v dudv

u v dudv

u uv dv

v1

0

13

0

4 23 3

4 23 32

= +

= +

=

int dv

v v

176


2 2

2 2

1 1 2 2

0 0131 2

00

2

( ( ))

( ( )) ( )

(2 2 ) (2 2 1)

(4 2 2 2 )

(4 2 )

(4 2 )

4 23

4 23

ϕ ϕϕ ϕ ϕϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

rarr rarr rarr

rarr


times

= sdot times

= + minus sdot

= + + minus

= +

= +

= +

= +

intint intint

intint

intint

intint

intint

int int

int

u vu v

u vS D

u vD

D

D

D

F n dS F u v dudv

F u v dudv

u u v uv u v dudv

u uv v uv dudv

u v dudv

u v dudv

u uv dv

v1

0

13

0

4 23 3

4 23 32

= +

= +

=

int dv

v v

4 TEOREMA DE GAUSSEnunciaremos portanto e finalmente o Teorema de Gauss Por vezes ele

pode ser chamado de Teorema da Divergecircncia e estabelece uma relaccedilatildeo entre uma integral tripla sobre um soacutelido W com uma integral de superfiacutecie em sua fronteira Este teorema eacute um dispositivo de caacutelculo poderoso para modelos fiacutesicos tais como o fluxo de fluidos fluxos de campos eleacutetricos ou magneacuteticos calor etc

Teorema (Gauss) Dado sup3W sub um soacutelido com fronteira Wpart orientado de modo positivo e n exterior a W Seja ainda ( ) F x y z

contendo W entatildeo

( ) rarr rarr rarr

=part

sdot =intint intintintS W W

F n dS div F dx dy dz

Prezado acadecircmico vocecirc deve revisitar o conceito de divergente visto na Unidade 2 deste material Sabemos que

se F = (P Q R)

NOTA

( ) P Q Rdiv Fx y z

part part part= + +

part part part


177

Vamos verificar que vale o Teorema de Gauss calculando a integral de superfiacutecie e a integral tripla

Exemplo verifique o Teorema de Gauss quando o campo vetorial eacute

( ) ( ) F x y z x y x y z= minus +

e a superfiacutecie eacute a esfera

2 2 2 1x y z+ + =

Resoluccedilatildeo vamos iniciar calculando a integral de superfiacutecie Lembre-se de que a normal exterior a uma esfera de raio 1 eacute ( ) n x y z=

entatildeo

2 2 2

2 2 2

( ) ( )

( ) 4 π

rarr rarr

sdot = minus + sdot

= minus + + +

= + +

= = =

intint intint

intint

intint

intint

S S

S

S

S

F n dS x y x y z x y z dS

x xy xy y z dS

x y z dS

dS Aacuterea S

Note que o fato de a superfiacutecie ser uma esfera nos ajudou no caacutelculo da integral de superfiacutecie aleacutem disso eacute preciso sempre calcular o vetor normal agrave superfiacutecie Calcularemos agora o outro lado da igualdade do Teorema de Gauss usando integrais triplas Note que o divergente do campo eacute

( ) 1 1 1 3div F = + + =

Portanto temos que

3 3 ( )=intintintW

dxdydz V W

o caacutelculo dessa integral jaacute foi feito na Unidade 1 deste livro e como o volume de uma esfera eacute

( )34 4

3 3rV W π π

= =

178


concluiacutemos que

43 4 3π π

rarr rarr

sdot = sdot =intintS

F n dS

Portanto concluiacutemos que vale o Teorema de Gauss jaacute que a integral de superfiacutecie do campo eacute igual agrave integral tripla do divergente Acadecircmico eacute importante que vocecirc perceba que muitas vezes eacute mais faacutecil calcular a integral tripla do divergente do que calcular a integral dupla do campo vetorial Poreacutem fazer a integral tripla requer na maioria das vezes fazer a mudanccedila de variaacutevel de coordenadas cartesianas para esfeacutericas ou ciliacutendricas

Acadecircmico lembre-se de que jaacute associamos as integrais triplas com o volume de um soacutelido e associamos as integrais duplas com a aacuterea de uma superfiacutecie

UNI

Vejamos mais alguns exemplos em que a utilizaccedilatildeo do Teorema de Gauss facilita o caacutelculo da integral de superfiacutecie de um campo vetorial

Exemplo Calcule a integral a seguir

rarr rarr

sdotintintS

F n dS

onde ( ) ( )2 Z x yF x y z x ye y ze z xe= + + +

e S eacute a fronteira do soacutelido dado pelo interior do cilindro x2 + y2 = 1 entre os planos x = 0 e z = x + 2

Resoluccedilatildeo para compreender melhor o exemplo verifique a figura que apresenta a representaccedilatildeo graacutefica do soacutelido apresentado no enunciado


179

GRAacuteFICO 6 ndash REPRESENTACcedilAtildeO DA SUPERFIacuteCIE

FONTE Os autores

z

n

n

n

y

ndash2ndash1 1

1

y

x1

1

ndash1

Note que o divergente de F

eacute

( ) 1 1 2 2 2 div F z z= + + = +

Pela definiccedilatildeo do Teorema de Gauss vista teremos

( )

2 2

rarr rarr rarr

=part

sdot =

= +

intint intintint

intintintS W W

W


z dx dy dz

aplicando os limites de integraccedilatildeo temos

2

0

2

2

2

2 2

22

0

2( 2) ( 2)

6 8

+rarr rarr

=part

sdot = +

+= +

= + + +

= + +

intint intint int

intint

intint

intint

x

S W D

D

D

D

F n dS z dz dx dy

xz z dx dy

x x dx dy

x x dx dy

180


usando a mudanccedila de coordenadas cartesianas para polares temos

logo

( ) ( ) e x r cos y r senθ θ= =

2 1 220 0

2 13 2 2

0 02 4 3 2

2

02

0

( cos ( ) 6 cos( ) 8)

cos ( ) 6 cos( ) 8

16 8cos ( ) cos( )04 3 2

1 cos 2( ) 2cos( ) 4 4

π

π

π

π

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

rarr rarr

=part

sdot = + +

= + +

= + +

= + +

intint int int

int int

int

int

S W

F n dS r r rdr d

r r r dr d

r r r d

d

Vamos calcular cada uma das integrais separadamente

e

2 2

0

21 1 (2 )cos ( )04 4 2 4 4

π πθ θ πθ θ = + = int

send

2

0

22cos( ) 4 2 ( ) 4 8

0π π

θ θ θ θ π+ = + =int d sen

Portanto concluiacutemos que

338 4 4π ππ

rarr rarr

=part

sdot = + =intintS W

F n dS

Assim como comentamos no toacutepico anterior o site Khan Academy pode ajudar vocecirc a estudar o Teorema de Gauss acesse o link a seguir e veja os conteuacutedos sobre o Teorema de Gauss lthttpsptkhanacademyorgmathmultivariable-calculusgreens-theorem-and-stokes-theoremdivergence-theoremgt Acesso em 23 maio 2019

DICAS


181

Exemplo usando o Teorema da divergecircncia calcule o fluxo de saiacuteda do campo vetorial

( ) 2 2 2 4 F x y z x i y j y x k= + +

atraveacutes de uma superfiacutecie compreendida pelo cilindro circular x2 + y2 = 9 e os planos z = 0 e z = 2

Resoluccedilatildeo graficamente a superfiacutecie que vamos estudar eacute dada pelo graacutefico a seguir


FONTE Os autores

Para usar o Teorema da Divergecircncia precisamos calcular o divergente do campo vetorial

2 2 2( ) ( ) (4 ) ( )

2 8

div F x y y xx y z

x y

part part part= + +

part part part= +

portanto

( )

2 8

rarr rarr rarr

=part

sdot =

= +

intint intintint

intintintS W W

W


x y dx dy dz

0 y

z

x

182


Fazendo a mudanccedila de coordenadas cartesianas para ciliacutendricas (x = rcos(θ) y = rsen(θ) e z = z) temos

2 3 2

0 0 0

2 3 2 2

0 0

3 32

0

2

0

(2 cos( ) 8 ( ))

2(2 cos( ) 8 ( ))

0

34 16cos( ) ( )03 3

102cos( ) 144 ( )

2102 ( ) 144cos( ) 0

0

π

π

π

π

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

πθ θ

rarr rarr

=part

sdot = +

= +

= +

= +

= minus =

intint int int int

int int

int

int

S W

F n dS r rsen r dz dr d

r r sen z dr d

r r sen d

sen d

sen

Portanto concluiacutemos que o fluxo de saiacuteda eacute nulo

0rarr rarr

=part

sdot =intintS W

F n dS

183



bull Uma integral de superfiacutecie de um campo escalar f(xyz) contiacutenuo sobre uma superfiacutecie S que possui uma parametrizaccedilatildeo dada por φ(uv) em que ( )u v Disin eacute dada por

bull Dada uma superfiacutecie S orientaacutevel em que o vetor normal n representa esta orientaccedilatildeo Seja ainda um campo vetorial contiacutenuo temos que a integral de superfiacutecie (fluxo φ) atraveacutes de S eacute dada pela integral de superfiacutecie do campo escalar de F nsdot

bull Sendo S uma superfiacutecie orientada por n dizemos que o ldquobordordquo de S descrito por Spart estaacute orientado positivamente se tivermos S sempre a nossa esquerda

bull Dado sup3W sub um soacutelido com fronteira Wpart orientado de modo positivo e n exterior a W Seja ainda ( ) F x y z


Onde



dS



= timespart part

rarr rarr

Φ = sdotintintS

F n dS

div rarr rarr rarr

=part


F n dS F dxdydz

184

AUTOATIVIDADE


1 Verifique que o Teorema de Gauss do campo vetorial

vale para o soacutelido limitado pelas superfiacutecies z = x2 + y2 z = 4 e normal exterior a W Utilize algum recurso para plotar o graacutefico desse soacutelido

2 Calcule o fluxo exterior do campo vetorial

atraveacutes da superfiacutecie formada pelos planos x = 0 x = 1 y = 0 y = 1 z = 0 e z = 1

3 Utilize o Teorema de Gauss para calcular o fluxo exterior de um campo vetorial

atraveacutes da regiatildeo limitada pelos planos x = ndash1 x = 1 y = ndash1 y = 1 z = ndash1 e z = 1


atraveacutes da regiatildeo limitada pelo cilindro x2 + y2 le 4 e os planos z = 0 e z = 1


atraveacutes da regiatildeo limitada pela esfera x2 + y2 + z2 le 4

( ) ( ) F x y z x y z=

( ) ( ) F x y z x y z=

( ) F y x z y y x= minus minus minus

( )2 2 2 F x y z=

( )2 3F x xz z=

185

6 Usando o Teorema da divergecircncia calcule o fluxo de saiacuteda do campo vetorial



atraveacutes do cubo unitaacuterio cujos veacutertices satildeo (000) (100) (010) (110) (001) (101) (011) e (111)

( ) 3 3 2 F x y z x i y j z k= + +

( ) 2 2 3 F x y z xi yj z k= + +

186

187

TOacutePICO 3

TEOREMA DE STOKES

UNIDADE 3

1 INTRODUCcedilAtildeOPara finalizar o estudo das integrais de campos vetoriais estudaremos o

Teorema de Stokes que assim como os Teoremas de Green e Gauss generaliza os teoremas fundamentais do caacutelculo para o espaccedilo O Teorema de Stokes eacute uma generalizaccedilatildeo do Teorema de Green para superfiacutecies em trecircs dimensotildees Neste associamos uma integral de linha de um campo vetorial com a integral de superfiacutecie do rotacional do campo vetorial

Como nos toacutepicos anteriores aqui estudaremos a histoacuteria de George

Gabriel Stokes Stokes era um matemaacutetico e fiacutesico irlandecircs que viveu de 1819 ateacute 1903 No livro intitulado Caacutelculo II dos autores Haword Anton Irl Bivens e Stephen Davis temos a seguinte biografia de Stokes

BIOGRAFIA DE GEORGE GABRIEL STOKES

George Gabriel Stokes (1819-1903) Matemaacutetico e fiacutesico irlandecircs Nascido em Skreen Irlanda Stokes veio de uma famiacutelia de raiacutezes profundas na Igreja da Irlanda Seu pai era paacuteroco sua matildee era filha de um paacuteroco e trecircs de seus irmatildeos receberam ordens sagradas Recebeu sua educaccedilatildeo elementar de seu pai e de um escritoacuterio paroquial local Em 1837 entrou na Universidade de Pembroke e depois de formar-se com honrarias aceitou um cargo na faculdade Em 1847 foi nomeado professor lucasiano de Matemaacutetica em Cambridge posiccedilatildeo que jaacute havia sido ocupada por Isaac Newton mas que havia perdido seu prestiacutegio ao longo dos anos Em virtude de suas realizaccedilotildees Stokes acabou restaurando a posiccedilatildeo agrave eminecircncia que teve um dia Infelizmente o cargo pagava muito pouco e Stokes viu-se forccedilado a lecionar na Escola de Minas do Governo durante a deacutecada de 1850 para solucionar a receita

Stokes foi um dos muitos cientistas de destaque do seacuteculo XIX que

ajudou a voltar as ciecircncias fiacutesicas para uma direccedilatildeo mais empiacuterica Estudou sistematicamente hidrodinacircmica elasticidade dos soacutelidos e comportamento das ondas em soacutelidos elaacutesticos e difraccedilatildeo da luz Para Stokes a matemaacutetica era uma ferramenta para seus estudos fiacutesicos Escreveu artigos claacutessicos sobre o movimento de fluidos viscosos que abriram as fundaccedilotildees de hidrodinacircmica moderna aperfeiccediloou a teoria das ondas de luz e escreveu artigos sobre variaccedilatildeo gravitacional que estabelecem como um fundador da Geodeacutesia moderna


188

Stokes foi homenageado nos seus uacuteltimos anos com graus medalhas e participaccedilotildees em sociedades estrangeiras Em 1889 recebeu o tiacutetulo de nobre Durante toda a sua vida ele dedicou generosamente seu tempo para as sociedades eruditas e auxiliava imediatamente aqueles que procuravam sua ajuda para resolver problemas Era profundamente religioso e preocupado com a relaccedilatildeo entre a ciecircncia e religiatildeo


FIGURA 3 ndash GEORGE GABRIEL STOKES

FONTE lthttpsptwikipediaorgwikiGeorge_Gabriel_Stokesgt Acesso em 13 maio 2019

2 TEOREMA DE STOKESPara enunciar o Teorema de Stokes e sabendo que ele eacute uma generalizaccedilatildeo

do Teorema de Green precisamos do conceito de fronteira de uma superfiacutecie que eacute chamado de bordo e o que seria a orientaccedilatildeo positiva Considere uma superfiacutecie no espaccedilo tridimensional como no graacutefico a seguir

TOacutePICO 3 | TEOREMA DE STOKES

189

GRAacuteFICO 8 ndash SUPERFIacuteCIE EM TREcircS DIMENSOtildeES


FONTE Os autores

FONTE Os autores

Observe que a superfiacutecie tem dimensatildeo dois e a parte onde ela termina que chamamos de bordo tem dimensatildeo um o bordo eacute uma curva em 3 Caso a superfiacutecie seja fechada como por exemplo uma esfera bordo eacute um conjunto vazio jaacute que natildeo existe borda para a esfera Jaacute bordo de uma semiesfera eacute uma circunferecircncia

Olhando para o bordo da superfiacutecie como uma curva podemos orientaacute-la no sentido horaacuterio e anti-horaacuterio Jaacute a orientaccedilatildeo da superfiacutecie seraacute orientada pelo vetor unitaacuterio para o bordo e a superfiacutecie terem uma orientaccedilatildeo coerente e para isso devemos usar a regra da matildeo direita em que o dedo polegar representa o vetor normal e os dedos palmares devem seguir a orientaccedilatildeo do bordo como mostra o graacutefico a seguir

y

z

x

y

z

x


190

Vamos agora enunciar o Teorema de Stokes

Teorema (Stokes) Seja U um conjunto aberto de 3 e ( ) F P Q R=

um campo vetorial Seja S uma superfiacutecie regular orientada pelo vetor unitaacuterio n Logo se notarmos Spart ao bordo de S entatildeo

( ) rarr rarr rarr rarr

part

sdot = sdotintint intS S

rot F n dS F d r

Lembre-se de que se ( ) ( ) ( ) ( )( ) F x y z P x y z Q x y z R x y z=

temos que o rotacional desse campo eacute calculado como a seguir

( )

i j k

rot Fx y z

P Q R

part part part=

part part part

R Q P R Q Pi j ky z z x x y


Observe que agora relacionamos a integral de linha de um campo vetorial com a integral de superfiacutecie do rotacional de um campo vetorial Estudamos o conceito de rotacional na Unidade 2 deste livro caso vocecirc tenha alguma duacutevida eacute importante que reveja a unidade anterior

Aqui tambeacutem deixamos o site Khan Academy como sugestatildeo para ajudar vocecirc a estudar o Teorema de Stokes acesse o link a seguir e veja os conteuacutedos sobre o Teorema de Stokes lthttpsptkhanacademyorgmathmultivariable-calculusgreens-theorem-and-stokes-theoremstokes-theoremgt Acesso em 23 maio 2019

DICAS

Vamos ver alguns exemplos sobre o Teorema de Stokes

Exemplo verifique que vale o Teorema de Stokes para o campo vetorial

F(xyz)= (3z4xy)


191

considerando o paraboloide z = 4 ndash x2 ndash y2 com z ge 0 a superfiacutecie orientada para cima

Resoluccedilatildeo note que a superfiacutecie eacute dada da seguinte forma

GRAacuteFICO 10 ndash PARABOLOIDE Z = 4 ndash X2 ndash Y2

FONTE Os autores

-2

-2

-2

-3

-3

-4

-4

-5

-5

-6

-1

-1-1

1

2

3

4

5

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

11

0

Observe que S eacute a superfiacutecie C eacute o ciacuterculo e D eacute a regiatildeo dentro do ciacuterculo C Observe que o bordo dessa superfiacutecie eacute uma circunferecircncia de raio igual a 2 e sabemos que a parametrizaccedilatildeo de uma circunferecircncia em trecircs dimensotildees eacute da forma

x = 2cos(t) y = 2sen(t) e z = 0

para 0 le t le 2π Usando a regra da matildeo direita como a norma aponta para cima da superfiacutecie temos que o bordo tem orientaccedilatildeo no sentido anti-horaacuterio

Usando a integral de linha temos

2

0

3 4

3 0 ( 2 ( ) ) 4(2cos( )) (2cos( ) ) 2 ( ) 0

C C

F d r z dx x dy ydz

sen t dt t t dt sen tπ

rarr rarr

sdot = + +

= sdot sdot minus + sdot + sdot

int int

int

jaacute que dx = ndash2sen(t)dt dy = 2cos(t)dt e dz = 0


192

2 2

016cos ( )

216 16 (2 ) 16 02 4

π

ππ

rarr rarr

sdot =

= + =

int intC

F d r t dt

t sen t

Agora vamos usar a integraccedilatildeo dupla como

( ) ( )

1 3 4

3 4

i j k

rot Fx y zz x y

part part part= =

part part part

e a norma unitaacuteria eacute ( ) 2 2 1n x y= minus minus

e dS = dx dy concluiacutemos assim que

( ) (13 4) ( 2 2 1)

( 2 6 4)

rarr rarr

sdot = sdot minus minus

= minus minus +

intint intint

intintD D

D

rot F n dS x y dx dy

x y dx dy

usando a mudanccedila de coordenadas cartesianas para polares (x = rcos(θ) e y = sen(θ)) temos

2 2

0 0

2 2 2 2

0 0

32 3 2

0

2

0

( ) ( 2 cos( ) 6 ( ) 4)

( 2 cos( ) 6 ( ) 4 )

22 cos( ) 2 ( ) 203

16 cos( ) 16 ( ) 83

216 ( ) 16cos( ) 803

0 0 16 16 16 0 16

π

π

π

π

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

πθ θ θ

π π

rarr rarr

sdot = minus minus +

= minus minus +

= minus minus +

= minus minus +

= minus + +

= minus + + minus + minus =

intint int int

int int

int

int

D

rot F n dS r r sen r drd

r r sen r drd

r r sen r d

sen d

sen

Portanto concluiacutemos que o Teorema vale jaacute que as duas formas de integraccedilatildeo chegaram no mesmo resultado


193

Acadecircmico lembre-se de que a norma sempre aponta para a direccedilatildeo do vetor gradiente no caso de uma superfiacutecie z = z(xz) a normal eacute dada por

a) Se a orientaccedilatildeo eacute para cima temos 1 z znx y

part part= minus minus part part

b) Se a orientaccedilatildeo eacute para baixo temos 1 part part= minus minus minus part part

z znx y

UNI

Exemplo calcule a circulaccedilatildeo do campo

( ) sup2F x y z yi xzj z k= + +

ao redor da curva C que eacute o bordo do triacircngulo definido pelo plano x + y + z = 1 no primeiro octante no sentido anti-horaacuterio

Resoluccedilatildeo o graacutefico que necessitamos analisar estaacute descrito a seguir

GRAacuteFICO 11 ndash REPRESENTACcedilAtildeO DA CURVA DO EXEMPLO

FONTE Os autores

xy

z

1

1

1

C

A integral de linha pelo Teorema de Stokes seraacute delimitada pela superfiacutecie S grifada pela parte do plano indicado neste exemplo com fronteira C assim como mostra o graacutefico


194

GRAacuteFICO 12 ndash REPRESENTACcedilAtildeO DA SUPERFIacuteCIE DO EXEMPLO

FONTE Os autores

FONTE Os autores

z

xy1

1

1

S nC S= part

A superfiacutecie indicada S eacute z = 1 ndash x ndash y com ( )x y Disin sabendo que D eacute a projeccedilatildeo no plano XY conforme o graacutefico

GRAacuteFICO 13 ndash REPRESENTACcedilAtildeO DA PROJECcedilAtildeO D

y

y = 01

1

y = 1 ndash x

D x + y = 1

x

Sendo ( )111 =N apontando para cima (pelo sentido anti-horaacuterio) E

normalizando N

teremos

( )111 = =n e dS dxdy

Pelo teorema de Stokes temos

( )rarr rarr rarr rarr

sdot = sdotint intintCD

F d r rot F n dS


195

onde o rotacional do campo vetorial eacute

( ) ( )2

0 1

i j k

rot F x zx y zy xy z

part part part= = minus minus

part part part

concluiacutemos assim que

( )

( 0 1) (111)

( 1)

rarr rarr rarr rarr

sdot = sdot

= minus minus sdot

= minus + minus

int intint

intint

intint

CD

D

D

F d r rot F n dS

x z dxdy

x z dxdy

como x + y + z = 1 temos que z = 1 ndash x ndash y e portanto

1 1

0 0

21

0

21

0

21 2

0

21

0

3 2

( )

2

12

02

(1 )2 (1 )2

12 22 2

3 12 2

1 1 1 1 1 02 2 2 2 2 2 2

rarr rarr

minus

sdot = minus minus minus

= minus minus

minus= minus minus

minus= minus minus minus

= minus + minus + minus

= minus minus

= minus minus = minus minus = minus

int intint

int int

int

int

int

int

CD

x

F d r x x y dxdy

x y dydx

xyxy dx

xx x dx

xx x x dx

x x dx

x x x

Exemplo utilizando o Teorema de Stokes calcule o trabalho realizado pelo campo vetorial

( ) 2 3 2 4 F x y z x i xy j y x k= + +

numa partiacutecula que percorre o retacircngulo C limitado pelos planos x = 0 x = 1 y = 0 e y = 2 no plano z = x + y com orientaccedilatildeo positiva


196

Resoluccedilatildeo vamos primeiro verificar graficamente qual a superfiacutecie

FONTE Os autores

GRAacuteFICO 14 ndash REPRESENTACcedilAtildeO DO RETAcircNGULO C

Para usar o Teorema de Stokes primeiro temos que calcular o rotacional do campo

( ) ( )2 3

2 2

2 4

4

i j k

rot F xy y yx y z

x xz y x

part part part= = minus

part part part

e que a normal unitaacuteria eacute

( ) 1 1 11z znx y

part part= minus minus = minus minus part part

concluiacutemos assim que o trabalho eacute

2 3

2 3

( )

(2 4 ) ( 1 11)

( 2 4 )

rarr rarr rarr rarr

sdot = sdot

= minus sdot minus minus

= minus + +

int intint

intint

intint

CD

D

D

F d r rot F n dS

xy y y dx dy

xy y y dx dy

y

z

x

1

01

2


197

Como o retacircngulo eacute limitado pelos planos x = 0 x = 1 y = 0 e y = 2 temos

1 2 2 3

0 0

31 2 4

0

1

0

1

0

2

( 2 4 )

203

84 163

56 43

156 56 502 2 03 3 3

rarr rarr

sdot = minus + +

= minus + +

= minus + +

= minus

= minus = minus =

int int int

int

int

int

CF d r xy y y dy dx

yxy y dx

x dx

x dx

x x


198


GEORGE GREEN O HOMEM E O TEOREMA

Heloisa B Medeiros Lucia M Menezes e Denise Oliveira Pinto

1 HOMEM

George Green eacute um nome bastante familiar para os matemaacuteticos de hoje e seus resultados (especialmente o famoso ldquoTeorema de Greenrdquo e as ldquofunccedilotildees de Greenrdquo) satildeo amplamente conhecidos Todavia natildeo eacute muito claro mesmo para os seus bioacutegrafos mais dedicados em que fontes ou conhecimentos poderia ter se baseado para desenvolver seus trabalhos as evidecircncias sugerem a obra de um gecircnio autodidata muito mais do que o esforccedilo e a interlocuccedilatildeo de um grupo de cientistas Ele proacuteprio no prefaacutecio de seu primeiro (e mais importante) trabalho An Essay on the Application of Mathematical Analysis tothe Theories of Electricity and Magnetism relata peculiaridades que provavelmente constituem os aspectos mais marcantes de sua biografia a ausecircncia de intimidade com o meio acadecircmico a escassa oportunidade de um estudo mais formal e a pouca disponibilidade de tempo para o aprofundamento de suas ideias

Should the present Essay tend in any way to faci-litate the application of analysis to one of the moreinteresting of the physical sciences the author willdeem himself amply repaid for any labour he mayhave bestowed upon it and it is hoped the difficulty of the subject will incline mathematicians to read the work with indulgence more particularly when they are informed that it was written by a young man who has been obliged to obtain the little knowledge he possesses at such intervals and by suchmeans as other indispensable avocations which of-fer few opportunities of mental improvement affor-ded1[7 8]

1Se este estudo de algum modo facilitar o uso da anaacutelise [matemaacutetica] em algum dos problemas mais interessantes das ciecircncias da natureza o autor se sentiraacute amplamente recompensado pelo esforccedilo a ele dedicado espera-se que a dificuldade do tema leve os matemaacuteticos a ler o trabalho com benevolecircncia particularmente quando informados que foi escrito por um jovem obrigado a obter o pouco conhecimento que possui em condiccedilotildees de tempo e recursos limitadas por outras atribuiccedilotildees indispensaacuteveis que possibilitam poucas oportunidades de desenvolvimento intelectual

[]

2 O TEOREMA

Na ocasiatildeo em que Green publicou seu Essay o resultado que hoje conhecemos como Teorema de Green foi escrito com uma notaccedilatildeo quase incompreensiacutevel para os matemaacuteticos atuais Uma formulaccedilatildeo moderna do Teorema (bem como sua demonstraccedilatildeo) pode ser vista em qualquer livro de caacutelculo ou anaacutelise de vaacuterias variaacuteveis como por exemplo [9]


199

O teorema se refere a uma regiatildeo fechada e limitada do plano Em linhas gerais afirma a igualdade entre a integral de linha de um campo vetorial na fronteira desta regiatildeo e a integral dupla (no interior da regiatildeo) de determinada expressatildeo envolvendo derivadas parciais do campo No enunciado que usamos aqui (bem conhecido dos cursos de caacutelculo) aparece o conceito de regiatildeo simples Lembramos que uma regiatildeo de 2 eacute dita simples se a interseccedilatildeo de sua fronteira com qualquer reta paralela a um dos eixos coordenados ocorre no maacuteximo duas vezes Em todo caso o Teorema se refere agrave uniatildeo finita de regiotildees simples o que eacute bem pouco restritivo

Teorema 1 Seja D uma regiatildeo limitada no plano formada pela uniatildeo finita de regiotildees simples cujos bordos satildeo curvas seccionalmente suaves (isto eacute de classe C1 por partes) Seja σ uma parametrizaccedilatildeo orientada positivamente de Dpart (bordo de D) e 2G D Dcup part rarr um campo vetorial de classe C1 Entatildeo

2 1 ( ) σ

part partminus = sdot part part

intint intD

G G dxdy G x y drx y

(21)

onde G(xy) = (G1(xy)G2(xy))

A demonstraccedilatildeo do Teorema eacute bastante teacutecnica e transcende o escopo deste trabalho Todavia ndash jaacute foi comentado ndash pode ser encontrada com facilidade em livros de caacutelculo ou anaacutelise Nossa intenccedilatildeo eacute ilustrar ouso do Teorema em alguma aplicaccedilatildeo

Embora originalmente proposto no contexto da teoria de eletromagnetismo o Teorema de Green pode ser empregado em inuacutemeras outras situaccedilotildees Escolhemos uma delas que nos pareceu interessante a mensuraccedilatildeo de aacutereas atraveacutes de um instrumento conhecido como planiacutemetro polar muito usado por cartoacutegrafos e outros profissionais

A necessidade de medir aacutereas planas eacute um problema que se apresenta de maneira natural e inuacutemeras soluccedilotildees tecircm sido propostas desde a Antiguidade Em1854 Amsler construiu o planiacutemetro polar instrumento muito bem recebido por engenheiros e cartoacutegrafos para calcular a aacuterea de uma regiatildeo limitada por uma curva fechada A Figura 1 (gentilmente cedida por [5]) mostra uma foto do instrumento enquanto na Figura 2 temos sua representaccedilatildeo esquemaacutetica

Um planiacutemetro eacute composto essencialmente por dois braccedilos unidos por uma articulaccedilatildeo O primeiro (conhecido como braccedilo fixo) tem uma de suas extremidades presa ao papel (como a ponta seca de um compasso) enquanto a outra se move para permitir o deslocamento do segundo braccedilo (conhecido como braccedilo moacutevel) Preso ao braccedilo moacutevel e perpendicular a ele existe um disco que encosta no papel e pode girar livremente Pela posiccedilatildeo desse disco ele eacute arrastado em movimentos paralelos ao braccedilo moacutevel e rola sem escorregar em movimentos perpendiculares ao braccedilo A consequecircncia disso havendo condiccedilotildees razoaacuteveis de atrito eacute que esse disco captura apenas a componente perpendicular ao braccedilo do movimento descrito por seu centro


200

A posiccedilatildeo exata do disco neste braccedilo varia dependendo do planiacutemetro especiacutefico que se esteja usando

Vamos supor aqui que o disco se localiza exatamente na extremidade livre do braccedilo moacutevel De fato essa situaccedilatildeo natildeo eacute praacutetica porque essa ponta deve estar desimpedida para o usuaacuterio do planiacutemetro seguir a curva mas facilita nossa exposiccedilatildeo Comentaremos no final por que natildeo eacute difiacutecil obter resultados semelhantes em outras posiccedilotildees

Para medir uma aacuterea deve-se fixar a ponta do primeiro braccedilo no papel e fazer o disco no segundo braccedilo percorrer a fronteira da regiatildeo saindo de um ponto e caminhando sempre em uma mesma direccedilatildeo ateacute retornar ao ponto inicial Alguns siacutetios da web como [11] e [12] apresentam simuladores do processo Ao final do percurso um contador informa o nuacutemero (natildeo necessariamente inteiro) de voltas que o disco efetuou e a partir deste nuacutemero eacute possiacutevel calcular a aacuterea da regiatildeo Eacute importante que o percurso da fronteira seja sempre seguido na mesma direccedilatildeo e vamos admitir que eacute feito na direccedilatildeo positiva (mantendo a regiatildeo agrave esquerda)


201

Em um primeiro momento a relaccedilatildeo entre o nuacutemero de voltas do disco e a aacuterea a ser calculada natildeo eacute evidente e natildeo se sabe ao certo que raciociacutenio teria levado Amsler a conceber seu planiacutemetro Fato eacute que sua publicaccedilatildeo a respeito do assunto ndash Uumlber das Planimeter ndash natildeo menciona os resultados de Green (embora Amsler e Green tenham sido contemporacircneos) e segue uma linha de raciociacutenio mais proacutepria da geometria plana [5] De qualquer forma nossa intenccedilatildeo aqui eacute entender o funcionamento deste instrumento de mediccedilatildeo a partir do Teorema de Green e eacute nessa direccedilatildeo que vamos argumentar

Na Figura 3 um esquema eacute colocado no plano cartesiano A origem representa o ponto em que estaacute fixado o primeiro braccedilo (a b) eacute o ponto de articulaccedilatildeo entre os dois braccedilos e (x y) eacute um ponto da fronteira da regiatildeo Vale observar que (a b) depende de (x y)

Para desenvolver nosso raciociacutenio supomos que o ponto fixo estaacute fora da regiatildeo (isto eacute a origem natildeo pertence agrave regiatildeo cuja aacuterea se quer medir) Pelas convenccedilotildees e nomenclatura que aqui utilizamos ||(ab)|| = R ou seja a distacircncia entre um valor possiacutevel de (a b) e a origem eacute exatamente igual ao tamanho do braccedilo fixo (ver Figura 4) Aleacutem disso para cada (a b) o braccedilo moacutevel pode percorrer um ciacuterculo de raio r que eacute o seu comprimento em torno de (a b) Tomando a envoltoacuteria destes ciacuterculos como fronteira definimos um anel em torno da origem como

( ) A x y R r x y R r= minus le le +

e verificamos que para que um ponto seja alcanccedilado pela extremidade do braccedilo moacutevel ele deve pertencer agrave regiatildeo A Todavia se admitirmos que algum ponto da fronteira de D pertence ao bordo no anel isto eacute ( ) x y Disinpart e ||xy|| = R ndash r ou ||(xy)|| = R estaremos admitindo a possibilidade de que durante o percurso da fronteira os dois braccedilos se alinhem Essa possibilidade deve ser evitada Na verdade para cada ( )x y Disinpart existem duas posiccedilotildees possiacuteveis para (a b) Passar continuamente de uma a outra implicaria em alinhar os dois braccedilos ao longo do processo Uma consequecircncia negativa desta possibilidade seria permitir que saiacutessemos de um ponto com uma das determinaccedilotildees de (a b) percorrecircssemos a fronteira continuamente e retornaacutessemos ao mesmo ponto com outra determinaccedilatildeo Como (a b) deve ser funccedilatildeo de (x y) evitamos esta dupla possibilidade exigindo que D esteja contido no interior de A Isto eacute admitindo que D eacute um conjunto fechado (conteacutem seu fecho) queremos que ( ) ( ) x y D R r x y R risin hArr minus lt lt +

Se o braccedilo moacutevel se desloca ao longo da sua proacutepria direccedilatildeo o disco natildeo gira apenas translada Como queremos entender o significado do nuacutemero de rotaccedilotildees estamos interessados em analisar o movimento que ocorre na direccedilatildeo perpendicular ao braccedilo moacutevel pois eacute este o deslocamento que provoca a rotaccedilatildeo O nuacutemero de rotaccedilotildees eacute evidentemente proporcional agrave distacircncia percorrido pelo disco no sentido perpendicular ao braccedilo moacutevel


202

Chamamos de D a regiatildeo e de Dpart a sua fronteira que parametrizamos com orientaccedilatildeo positiva por uma funccedilatildeo ( ) ( ) ( )( ) [ ] t x t y t tσ α β= isin Como σ descreve posiccedilatildeo σ(t) descreve a velocidade do disco Para determinar a componente da velocidade perpendicular ao braccedilo moacutevel verificamos que este braccedilo tem a direccedilatildeo de (x ndash ay ndash b) e sua direccedilatildeo perpendicular (no sentido anti-horaacuterio) eacute ( ) ( ) G x y y b x a= minus + minus Portanto se r eacute o comprimento do braccedilo moacutevel concluiacutemos que

( ) ( )1 F x y y b x ar

= minus + minus

eacute um vetor unitaacuterio na direccedilatildeo perpendicular ao braccedilo moacutevel se a extremidade livre desse braccedilo estaacute em (x y) A componente da velocidade na direccedilatildeo ortogonal ao braccedilo moacutevel seraacute portanto v(t) = F(σ(t)) middot σ(t) onde middot denota o produto escalar A velocidade angular ω do disco eacute entatildeo obtida pela expressatildeo

( ) ( ) v t

tωρ

=

onde ρ eacute o raio do disco

Integrando a velocidade angular obtemos

( ) t dtβ

αωΩ = int


203

Sendo Ω a integral da velocidade dividida por ρ ela mede a distacircncia percorrida pelo disco no movimento de rotaccedilatildeo (dividida por ρ) e portanto Ω = 2πn0 onde n0 eacute o nuacutemero de voltas (observe que n0 natildeo eacute necessariamente um nuacutemero inteiro) Concluiacutemos pois que

0

1( ) ( ( )) ( )

1 ( ( )) ( )

2

t dt F t t dt

G t t dtr

n

β β

α α

β

α

ω σ σρ

σ σρ

π

Ω = = sdot

= sdot

=

int int

int (22)

(23)

A uacuteltima integral de (22) eacute a integral de linha de G ao longo de σ e sabemos pelo Teorema de Green que

2 1 σ


int intintD

G GG dr dxdyx y

Resta-nos apenas calcular essa integral dupla

Da expressatildeo de G calculamos

( ) ( )2 1 2 2 x yG G a b Div a bx y

part partminus = minus + = minus part part


204

Para obter Div(ab) observamos a Figura 4 para escrever as equaccedilotildees

( ) ( )

2 2 2

2 2 2

a b R

x a y b r

+ =

minus + minus =(24)

(25)

Nas equaccedilotildees acima podemos confirmar aquilo que a intuiccedilatildeo nos diz sobre a posiccedilatildeo do ponto de articulaccedilatildeo (a b) para cada (x y) fixo qual seja poderiam existir dois valores de (a b) para cada ponto na curva Todavia considerando as hipoacuteteses explicitadas anteriormente apenas um ponto eacute possiacutevel e prosseguimos sem culpa assumindo que (a b) eacute funccedilatildeo de (x y)

Derivando (24) em x temos que

( )( ) ( )( )2 2 0

2 1 2 0

x x

x x

aa bbx a a y b b

+ = minus minus + minus minus =

Assim

( )( ) ( )( )

1 0

xx

x x

aabb

x a a y b b

= minus minus minus + minus minus =

Logo ( )( ) ( )1 0xx

aax a a y bb

minus minus + minus = e portanto

( ) ( ) ( ) 0x

a y ba x a x a

b minusminus minus + + minus =

isto eacute

( )xaya x x ab

minus + = minus minus

e por conseguinte

( ) x

b x aa

xb yaminus

=minus


205

(26)

(27)

Vamos repetir esse processo derivando agora as equaccedilotildees (24) em y

( )( ) ( )( )2 2 0

2 2 1 0

y y

y y

aa bb

x a a y b b


Assim

( )( ) ( )( )

1 0

yy

y y

bba

ax a a y b b

= minus

minus minus + minus minus =

Logo ( ) ( )( )1 0yy

bbx a y b b

aminus + minus minus = e portanto

( ) ( ) ( ) 0ybb x a y b y ba

minus + minus + minus =

isto eacute

( ) yxbb y y ba

minus = minus minus

e por conseguinte

( ) y

a y bb

xb yaminus minus

=minus

Finalmente somando (25) com (26) temos que

( ) x yDiv a b a b= +

( ) ( )b x a a y bxb ya xb ya

minus minus minus= +

minus minus

1 bx ayxb ya

minus= =

minus


206

Concluiacutemos entatildeo que Div(ab) = 1 e portanto

2 1 1G Gx y

part partminus =

part part

Pelo Teorema de Green sabemos que

2 1 ( ) D

G G dxdy G x y drx y σ

part partint int minus = sdot part part

int (28)

(29)

Ora o lado esquerdo de (28) eacute exatamente a aacuterea da regiatildeo envolvida enquanto o lado direito vale 2πρ r n0 Obtemos assim uma associaccedilatildeo entre a aacuterea da regiatildeo e o nuacutemero de voltas dadas pelo disco

Considerando que ρ e r precisariam ser medidos a constante 2πρr poderia introduzir um erro grande no caacutelculo da aacuterea Para minimizar este problema costuma-se estimar seu valor procedendo de forma experimental Isto eacute utiliza-se o planiacutemetro para medir uma aacuterea conhecida (por exemplo um quadrado) e com este resultado pode-se determinar um valor com boa aproximaccedilatildeo para 2πρr

Suponha agora que o disco natildeo esteja sobre a extremidade livre do braccedilo moacutevel Na foto mostrada na Figura 1 o disco estaacute instalado atraacutes da articulaccedilatildeo e seu centro natildeo estaacute sobre a linha do braccedilo moacutevel Neste caso o centro do disco percorre a curva

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) r aq st t t t G tr r

σ σ σ σ σ= + minus +

onde q isin (no caso do aparelho da Fig 1 q gt 1) σa(t) = (a(x(t)) b(x(t))) eacute a parametrizaccedilatildeo do movimento da articulaccedilatildeo e |S| daacute a distacircncia entre o centro do disco e a linha central do braccedilo moacutevel Note que G(σ(t)) pela maneira como foi definido eacute a rotaccedilatildeo de σa(t) ndash σ(t) no sentido horaacuterio Se Ω eacute a rotaccedilatildeo liacutequida total do disco entatildeo

( ( )) ( )

( ( )) ( ) ( ( )) ( ( ) ( ))

( ( )) ( ( ))

r

a

r G t t dt

qG t t dt G t t t dtr

s dG t G tr dt

β

α

β β

α α

β

α

ρ σ σ

σ σ σ σ σ

σ σ

Ω = sdot

= sdot + sdot minus

+ sdot

int

int int

int


207

A primeira integral eacute a mesma que jaacute calculamos usando o Teorema de Green e vale a aacuterea da figura contornada Vamos mostrar que as outras duas integrais satildeo nulas concluindo assim que a posiccedilatildeo do disco natildeo altera o resultado da integral de linha

Como G(σ(t)) tem norma constante e igual a r a imagem da curva t rarr G(σ(t)) estaacute contida no ciacuterculo de raio r e centro na origem Portanto sua derivada eacute sempre ou nula ou ortogonal agrave posiccedilatildeo e assim o produto escalar da terceira integral eacute zero Em seguida escrevemos

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) cos at t r t sen tσ σ θ θminus =

Logo G(σ(t) = r(ndashsen(θ(t)) cos(θ(t))) e o segundo integrando fica igual a θ(t) A integral

( )t dtβ

αθint

poderia dar qualquer muacuteltiplo de 2π mas daacute zero se o nuacutemero de voltas liacutequidas do braccedilo moacutevel for zero Ora mas isso segue do fato de que o nuacutemero de voltas liacutequidas do braccedilo fixo eacute zero e tambeacutem do fato de que o acircngulo entre os dois braccedilos na articulaccedilatildeo soacute varia num intervalo de tamanho π

[]

FONTE lthttpsrmusbmorgbrwp-contentuploadssites27201803n50_n51_Artigo02pdfgt Acesso em 9 jul 2019

208



bull O bordo de uma superfiacutecie tem dimensatildeo um e eacute a borda da superfiacutecie onde a superfiacutecie acaba

bull A orientaccedilatildeo da superfiacutecie eacute dada pela orientaccedilatildeo da normal e deve estar coerente com a orientaccedilatildeo do bordo seguindo a regra da matildeo direita

bull Seja U um conjunto aberto de sup3 e ( ) F P Q R=

um campo vetorial Seja S uma superfiacutecie regular orientada pelo vetor unitaacuterio n Logo se notarmos Spartao bordo de S entatildeo

bull O rotacional do campo vetorial ( ) ( ) ( ) ( )( ) F x y z P x y z Q x y z R x y z=

eacute calculado da seguinte forma

S

S

rot F n dS F d rrarr rarr rarr rarr

part

int int sdot = sdotint

( )

i j k

rot Fx y z

P Q R

part part part=

part part part



209

AUTOATIVIDADE


1 Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial

F(xyz) = (3z4xy)

considerando o paraboloide z = 4 ndash x2 ndash y2 com z ge 0 a superfiacutecie orientada para baixo


usando o Teorema de Stokes quando

C

F d rrarr rarr

sdotint

( ) ( ) F x y z xy yz zx=

e C eacute o triangulo no plano x + y + z = 1 de veacutertices (1 0 0) (0 1 0) e (0 0 1) com orientaccedilatildeo anti-horaacuteria

3 Utilizando o Teorema de Stokes calcule o trabalho

realizado pelo campo vetorial

τrarr rarr

= sdotintC

F d r

( ) 2 3 2 4 F x y z x i xy j y x k= + +

numa partiacutecula que percorre o retacircngulo C limitado pelos planos x = 0 x = 1 y = 0 e y = 2 no plano z = x + y com orientaccedilatildeo horaacuteria

210


numa partiacutecula que percorre o ciacuterculo C x2 + y2 = 1 com orientaccedilatildeo horaacuteria


numa partiacutecula que percorre o ciacuterculo C x2 + y2 = 1 com orientaccedilatildeo anti-horaacuteria



τrarr rarr

= sdotintC

F d r

τrarr rarr

= sdotintC

F d r

( ) 2 2 = + +

F x y z xyi x j z k

( ) 2 2 = + +

F x y z xyi x j z k

211

REFEREcircNCIAS

ANDRADE A A DA SILVA W M Aplicaccedilotildees de limites de funccedilotildees na fiacutesico-quiacutemica 5ordf Jornada de Iniciaccedilatildeo Cientiacutefica e Extensatildeo IFT 2014

ANTON H BIVENS I DAVIS S Caacutelculo II 8 ed v 2 Porto Alegre Bookman 2007

BASSALO J M F Uma breve histoacuteria da aviaccedilatildeo [sd] Disponiacutevel em httpwwwsearadacienciaufcbrfolclorefolclore291htm Acesso em 15 jan 2019

BATISTA Roberto Junior Uma breve introduccedilatildeo agrave histoacuteria do caacutelculo diferencial e integral Curitiba Coleacutegio Militar de Curitiba 2010

CASTELLAN G W Fundamentos de fiacutesico-quiacutemica Rio de Janeiro Editora LTC 2010

CASTRO Fernando Andrade CASTRO Karine Oliveira VILELA Luana Cruz Aplicaccedilatildeo praacutetica de caacutelculo integral e diferencial em um balatildeo de ar quente Curitiba UNIBRASIL 2016

FLEMMING D GONCcedilALVES M Caacutelculo A B 2 ed Satildeo Paulo Pearson Prentice Hall 2007

GUIDORIZZI H L Um curso de Caacutelculo 5 ed v 1 2 3 e 4 Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Ed Ltda 2001

GUIDORIZZI H L Um curso de caacutelculo v 3 5 ed Rio de Janeiro LTC 2001

HOFFMANN L D BRADLEY G L Caacutelculo um curso moderno e suas aplicaccedilotildees 7 ed Rio de Janeiro LTC Editora Ltda 2002 311 p

MESQUITA FILHO A Introduccedilatildeo agrave fiacutesico-quiacutemica das soluccedilotildees Disponiacutevel em httpecientificoculturalcomECC3solu03htm Acesso em 3 jul 2014

STEWART J Caacutelculo v 1 5 ed Satildeo Paulo Thomson 2008

STEWART J Caacutelculo 5 ed Satildeo Paulo Pioneira 2005

THOMAS G B Caacutelculo v 1 e 2 10 ed Boston Addison Wesley 2003

WHITE F M Mecacircnica dos fluidos 6 ed Porto Alegre ARTMED 2011 101 p

Copyright copy UNIASSELVI 2019

Elaboraccedilatildeo

Profa Jaqueline Luiza Horbach

Prof Leonardo Garcia Santos

Revisatildeo Diagramaccedilatildeo e Produccedilatildeo

Centro Universitaacuterio Leonardo da Vinci ndash UNIASSELVI

Ficha catalograacutefica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri

UNIASSELVI ndash Indaial

Impresso por

H811c

Horbach Jaqueline Luiza

Caacutelculo diferencial e integral III Jaqueline Luiza Horbach Leonardo Garcia Santos ndash Indaial UNIASSELVI 2019

211 p il

ISBN 978-85-515-0347-8

1 Caacutelculo diferencial ndash Brasil 2 Caacutelculo integral ndash Brasil I Santos Leonardo Garcia II Centro Universitaacuterio Leonardo Da Vinci

CDD 5153

III








IV







NOTA


Bons estudos


V


UNI

VI

VII
















sumaacuterio

VIII







REFEREcircNCIAS 211

1

UNIDADE 1



PLANO DE ESTUDOS















2

3







43 2 2 3 2

4

= = +




4



dado por

( ) b

a

f x dxint

2 sube rarr f D




FONTE Os autores


x

y


5












m n




6


FONTE Os autores


( )0 0

= =

= ∆ ∆sumsumn m

m n i ji j

S f u v x y



( ) 0

0 0

lim ( )rarr

= =


i jm ni j D



NOTA


7


Teorema de Fubini


entatildeo

em que



D c a


( ) ( ) ( ) d b d b b d

c a c a a c


= =



( ) b

a

f x y dxint




( ) 2 f x y xy=


8


1 1

0 0

sup2 xy dxdyintint


1 12

0 0

y x dx dy

sdot

int int


11 12 2 22 2

0 00

1 0 2 2 2xy dy y dy

sdot = minus

int int1 2

0

2y dy= int


112

00

1 1 sup3 1 2 2 3 6

yy dy = sdot = int



IMPORTANTE

1 1

0 0

sup2 intintxy dydx


9




FONTE Os autores


1 1

0 0



1 1

0 0

2 x y dx dy

minus minus

int int


11 12

0 00

32 2 2xx xy dy y dy

minus minus = minus

int int


10


11 2

0 0

3 3 3 1 12 2 2 2 2

y yy dy


int




FONTE Os autores


1 12

10

1V x dydxminus

= minusint int1 1

1 0

1 sup2 x dy dxminus

= minus

int int1

2

1

10minus


12

1

1 x dxminus

= minusint


11


12

1

1 V x dxminus

= minusint13

13xx

minus

= minus

( ) ( )311 41 1 3 3 3





FONTE Os autores



12






FONTE Os autores


( )( )

( )

( )1

2

=

intint int intx

g xb

R a g x




( ) 2 f x y xy=




13


2 21 1 1 12 2

0 0 0 0

x x


= sdot


0 03

xyx dx

minus

= sdot

int1 3

2 2

0

1 1 3



1 1 332 22

0 0

1 11 3 6


152

0

1 26 5

u

= minus sdot

( )15

2 2

0

1 2 11 6 5 15

x



( )

3

3 D

x y dA+intint




14


FONTE Os autores




( )2 2

22 2 2 23 3

0 0

33 2

xx

x x

yx y dy dx x y dx

+ = +

int int int

( ) ( )22 223 3 2

0

33 22

2 2xx

x x x x dxsdotsdot


4 2 5

0


( )2

5 4 2

0

1 2 12 2


0

1 2 122 6 5 3

x x x = minus + +

6 5 31 2 2 2 12 2

2 6 5 3 sdot sdot

= minus + +

1 64 32 12832 2 3 5 15

= minus + + =


15


2 2 16 2 4x y e x y+ = + =


( )

1 D

A D dA= intint


e

2 216 82 2

x xy minus= = minus

4 22 2

x xy minus= = minus





16


FONTE Os autores


( )2

2 3 4 e 2 82 2


x xD x y x y


2 284 42

3 322

821

22

minus

minus minusminus

minus =

minus

int int intx

x

x

dy dx y dxx

4 2

3

8 22 2x x dx

minus


3

62 2x x dx

minus

= + minusint

( )4

3

1 34312 sup2 2 12

x x dxminus

= sdot + minus =int


17



( )2

1 12

0 0

1 x

x

dy dx x x dx

= minus

int int int13 3

2

0

2 1 3 3 3

= minus =

xx






FONTE Os autores


( )( )

( )

( )2

1

=

intint int intx

h xd

R c h x



18



( )

3

3 D

x y dA+intint




FONTE Os autores


( ) 2 e 0 4 2

= isin le le le le

yD x y x y y



19

( )4 4 4

3

0 022

3 3 4

yy

yy

xx y dx dy yx dy

+ = + int int int

( )4

44

0

23 34 4 2

yy yy y y dy


4 32 4 22

0


2

0

5 34 64y yy dyminus

= + minusint45

3 52

0

5 612 5 320y y y

= minus + minus

53 525 4 6 44

12 5 320sdot

= minus + minus

80 192 16 128 3 5 5 15

= minus + minus =

( )2

1 12

0 0

1 y

y


int int int13 3

2

0

2 1 3 3 3

= minus =

yy






20


NOTA

( ) ( ) ( )1 2





( ) intintintR

f x y z dV



NOTA


21





( ) fb d

a c e

f x y z dz dy dx

int int int





2 1 2

1 0 1

xyz dx dy dzminus


1 0 1 01


minus

= = sdot


1 10

3 3 9 2 2 4 8

y z dz z dz

= sdot = sdot =

int int



22


2 2 2

R





FONTE Os autores




22 22 2 2

0 0 0

x yx


+ +

int int int

( ) ( )2 2

2 2

0 0

1 2 3 3 2 sup2 3

x



int int

( ) ( )2

2 2

0

1 82 2 1 3 5


23










D c a


( ) ( ) ( ) d b d b b d

c a c a a c


= =


( )( )

( )

( )1

2

=

intint int intx

g xb

R a g x


( )( )

( )

( )2

1

=

intint int inty

h xd

R c h x


( )

1 D

A D dA= intint

24



( )

R

f x y z dVintintint

( ) fb d

a c e

f x y z dz dy dx

int int int

25



a)






b)

AUTOATIVIDADE

( )3 2

2 0

2 6xy dydx+intint

( )3 4

1 2


26

a) ( ) 16b) ( ) 12c) ( ) 13 d) ( ) 14e) ( ) 15



( ) = intintintmR

V F F dV

05 24

0 0

8 2 4 x

x y dydxminus +

minus minusint int

2 42

0 0

8 2 4 y

x y dxdyminus +

minus minusint int


a) ( ) 512b) ( ) 643c) ( ) 64 d) ( ) 8


a) ( ) 13b) ( ) 23c) ( ) 56d) ( ) 76



27




a) ( )

b) ( )

c) ( )

d) ( )

( )22

0 6

x

x

f x y dx dyminus

int int

( )2

2 6

3

x

x

f x y dy dxminus

minusint int

( )2

2 6

0

x

x

f x y dy dxminus

int int

( )2 sup2

36

x

x


28

29

TOacutePICO 2



UNIDADE 1




( )

( )

( ) ( )( ) ( ) acute g d d

g c c



Logo

1

0

1 sup2 x dxminusint




( )1 2

2

0 0


π

minus =int int


30



( )( )1 2

2

0 0

11 1 cos 2 2

x dx u du

π


( )21 22 2 40

ππ

+ =

sen uu





( )( )

x x u v

Ty y u v

= =



( ) u v

u v

x xJ T

y y=


31


( ) ( ) ( )( ) ( )

xy uvR R











FONTE Os autores


32


( )( )

cos

senθθ

= sdot = sdot

x rT

y r



( ) ( ) ( )( ) ( )

cos sensen cos

rJ T

rθ θθ θ

minus sdot=

sdot







NOTA


( )

2 2

log xyR

x y dA+int int


33




FONTE Os autores






( ) ( ) 2 2

2 2 2

0 1

log log xyR

x y dA r r drdπ


( )2 2

2

0 1

log r r dr dπ

θ

= sdot

int int



34

sup2u r=

2 2

= =dudu r dr r dr

Assim sendo

( ) ( )2 4

2

1 1

1log log 2


( )( )4

1


( )( ) ( )( )4 1log 4 1 log 1 12 2

= minus minus minus

( ) ( )1 32log 4 2 0 2log 4 2 2



( ) ( ) ( )2

0

3 3 32log 4 2 log 4 log 4 22 2 40


int d


UNI


2

14 sup2 xyR




35


( ) 2 3

2

0 2

14 ( sup2) 14 sup2 π


x y dA r r drd


32 3 2 2 43

0 2 0 2


π π

θ θ

minus = minus

int int int2 4 4

2 2

0

3 27 3 7 24 4

dπ

θ


int

( )2

0

8163 28 44

dπ


22

00

81 81 81 4 4 2



2 2

xyR

x x y dxdy+int int




( ) 22

2 2 2

0 1

π




36


( ) ( ) 2 42 2

3

0 1 0

2cos cos

41

rr drd d

π π


( )42

0

2 1cos 4 4

d

π

θ θ

= minus

int

( ) ( )2

0

15 15cos 24 4 0


( )15 15 150 4 2 4 4

sen senπ = minus =





3 3 T rarr


( )( )( )


z z u v w

=

= =


37



( ) u v w

u v w

u v w

x x xJ T y y y

z z z=


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

xyz uvwR R







θ =


( )

R

f x y z dVintintint


38


( ) ( ) ( )( )

θ





NOTA

= intintintD

Volume dV




E assim

[ ]2 2

00 0 0 0 0

R h R



0 0

R

h r drdπ

θ= sdotint int2 2

0 0

2

Rrh d

π

θ

= sdot

int2



39


D

xy dVintintint



( ) ( )( ) 2 1 1

0 0 0

D




( ) ( ) 2 1 1

2

0 0 0

cos D

xy dV r sen dzdrdπ


( ) ( )2 1

2

0 0

1cos

0r sen z drd

π


( ) ( )2 1

2

0 0

cos r sen drdπ


( ) ( )12 3

0 0

cos3r sen d

π

θ θ θ

=

int

( ) ( )2

0

1 cos 3

sen dπ

θ θ θ= int


2

0

1 3D

xy dV u duπ


( )2

2

2 21 1 cos 3 2 6

0 0

uπ π

θ= minus = minus

( ) ( )2 21 1cos 2 cos 0 06 6

π= minus + =


40



D

dxdydzint int int



2 2

2 2

2minus minus


xy

x y

x yD D

dxdydz dz dxdy

2 2

2 2

2 minus minus=

+intintxyD

x yz dx dy


xyD

x y dxdy

Vamos considerar

2 2 2r x y= +

( )cosx r θ=

( ) y r sen θ=


( )2 1 2

0 02 2


D

dxdydz r rdrd

2 1 3

0 02 2


42 22

0 0

1 102 2


rr d d

21 02π

θ π= =


41





ou seja


z = ρ cos(ϕ)

ou ainda

2 2 2x y zρ = + +

yarctgx

θ =

2 2 2arccos z

x y zφ

= + +



FONTE Os autores


42


( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )2

cos cos cos cos cos

cos 0


φ ρ φ

minus= + =

minus


sen


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2

cos cos ρθφ





2 2 2

( )32 x y z

D





2 2 2 2x y zρ = + +


FONTE Os autores

11

ndash1

x

y

z


43


( )2 2 2 32 3 2 1

( ) 2

0 0 0


D


( ) 32 1

2

0 0 0

sen e d d dπ π



31 1

2

0 0

13


( )1

1 1 1 3 3

0

ue e= = minus

Assim

( ) ( )2 2 2 32 2

( )

0 0

1 13

π π


D

e dxdydz e sen d d

( ) ( )2

0

1 1 cos 3

0e d


( )2

0

2 13

e dπ

θ= minus int

( ) ( )2

2 41 1 3 3

0e e



( )23 sup2 z x y= +



44


FONTE Os autores


( ) ( )2 2 2 23 sup2 3 sup2x y x y x y+ + + = +

( ) ( )2 2 24 3 sup2x y x y+ = +

( ) ( )22 2 2 216 3x y x y+ = +


2 2 316

x y+ =



2 2 2x y z z+ + =


( )2 cosρ ρ φ=

ou seja

( )cosρ φ=


45


( )2 23z x y= +


( ) ( )2 2cos 3 senρ φ ρ φ=


( ) 1 63

tg πφ φ= sdot =


( )

( ) ( )( )cos2 2 36 6

2

0 0 0 0 0

cos

30

sen d d d sen d d

π πφπ π φ


( ) ( )32 6

0 0

cos

3sen d d

ππ φ

φ φ θ= int int


( ) ( )36

0

cos

3sen d

π

φφ φint


( ) ( )3 36 6

0 0

cos

3 3usen d du

π π


( )44 cos6

12 12 0

πφ= minus = minus

u


46

( )4 44cos cos 0 1 3 1612 12 12 2 12


9 1 7

192 12 192= minus + =


( )

( )cos2 26

2

0 0 0 0

7 192

sen d d d d d

πφπ π


7 7 192 96

0

ππθ= =


NOTA

47







( ) ( ) ( )( ) ( )

xy uvR R


( )( ) ( )2 2 2 θ

θθ

= sdot = + = = sdot



( ) ( ) ( )( ) ( )

cos sen

sen cosr

J T rr

θ θθ θ

minus sdot= =

sdot

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

xyz uvR R


( ) ( ) ( )( )

θ



( ) ( )

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ρθφ



48

em que

ou ainda



θ = 2 2 2

arccos zx y z

φ = + +

49



a)





b)

a)

a)

b)

b)

AUTOATIVIDADE

22 22 2

0 0

x

x y dy dxminus

+int int21 1

0 0

x

x dy dxminus

int int

2

2 2

2 4 22 2

0 0

x

x y

x y dz dy dxminus

+

+int int int

2112 2

1 0 0

y x

x y dz dx dyminus

minus

+int int int




z dxdydz D x y z z

50



a) ( ) πb) ( ) 4

π

c) ( ) 2πd) ( ) 2

π

e ( ) 4π





( )2

2 22 4

0 0

minus

+int intx

x ye dydx

z

yx

(0 0 1)

0

D

51

TOacutePICO 3


UNIDADE 1







δ(x y)



( ) δ= intintD

m x y dxdy


52





FONTE Os autores





m x y dxdy xy dxdy

2 4 2 4

0 0 0 0


= =

int int int int

2 22

0 0

43 24

20


22

24 482

0

y= =


53




R R

(x y)

2 2d x y= +


( ) 2 2x y k x yδ = +






2

0 0

R

m kr dr dπ

θ

=

int int

3 3

0 0

3 3

0

Rr kRk d d

π π

θ θ= =int int

3 3

3 3

0

kR k Rπ

πθ= =

54







( ) δ= intintD

q x y dxdy




FONTE Os autores




55



q x y dxdy x ydxdy

2 3 2 32 2

0 0 0 0

x y dx dy y x dx dy

= =

int int int int

2 23

0 0

3 9

30


22

9 9 2 182

0

y= = sdot =






( ) ( )( )1

2 2

0 0


D


( )1

2 2

0 0

x

x x y y dy dx

= minus minus

int int

( )1 2 3

2

0

2 3

0

xy yx x dx

= minus minus

int

( )1 2 3

2

0 2 3x xx x dx

= minus minus

int

1 3 4 5

0


56


4 5 61

1 1 1 8 6 18 8 6 18

0


9 12 4 1 72 72

minus += =


coulombs



( )

( )

δ

δ= =

intint

intinty D

D

x x y dxdyM

xm x y dxdy

e

( )

( )

δ

δ= =

intint

intintx D

D







57


FONTE Os autores





m x y dxdy x y dxdy

1 2 2

0 0

1 3 x

x y dy dxminus

= + +

int int

1 2

0

2 23

20

xyy xy dx

minus

= + +

int

( ) ( )21

0

2 22 2 3 2 2

2x

x x x dxminus


1 32

0

144 4 4 3

0


4 84 3 3

= minus =

58





1 2 22

0 0

3 x

y xy y dy dxminus

= + +

int int

1 2 2 3

0

2 23

2 2 30

xy xy y dx

minus

= + +

int

( ) ( ) ( )2 2 31

0

2 2 3 2 2 2 22 2 3

x x x xdx


1 3 22 2 3

0

8 24 24 82 4 2 6 12 63


1 32

0

14 106 2 3 3


3 42

114 2 53

3 3 60


14 2 5 113 3 3 6 6

= minus minus + =



1 2 22

0 0

3 x

x x xy dy dxminus

= + +

int int

1 22

0

2 23

20

xxyxy x y dx

minus

= + +

int

( ) ( ) ( )212

0

2 22 2 3 2 2

2x x

x x x x dxminus


2 2 3 2 3

0


13 4 2

0

14 4 2



59

1 2 1= minus + =

Assim segue que

e

11 e 16x yM M= =


1 38 8 3

yMx

m= = =

11116 8 16

3

xMym

= = =


x y =



FONTE Os autores

( ) 3 11 8 16

x y =

()311 816

xy =

60




e

( ) 2 2 x y k x yδ = +


3


( ) ( )3

0 0

π


xD


( )4

0

4

0

Rrk sen d

π

θ θ= int

( )4

04Rk sen d

π

θ θ= int

( )4 4

cos 4 2

0

R kRkπ

θ= minus =

( ) ( )3

0 0

π


yD


( )4

0

4

0

Rrk cos d

π

θ θ= int

( )4

04kR cos d

π

θ θ= int

( )4

sen 04

0

Rkπ

θ= =


61

e


30 0

3

yMx

k Rm π= = =

4

332 2

3

x

kRM Ry

k Rm π π= = =






( )2 δ= intintxD

I y x y dxdy

( )2 δ= intintyD

I x x y dxdy


62


0 x yI I I= +



( )2 2( ) δ= +intintD

x y x y dxdy




Calculando Ix temos

( ) ( )( )2

22

0 0

π


xD



( )2 4

2

0

4

0x

arI k sen d

π

θ θ= int

( )24

2

04ka sen d

π

θ θ= int


( )24

0

1 cos 28x

kaI dπ

θ θ= minusint

( )42

2

8 20

senkaπ

θθ

= minus

4 4

2 8 4

ka k aππ= sdot =


63


4xk aI π

=


( ) ( )( )2

22

0 0

π


yD



( )2 4

2

0

cos 4

0y

arI k d

π

θ θ= int

( )24

2

0

cos4

ka dπ

θ θ= int


( )24

0

1 cos 28y

kaI dπ

θ θ= +int

( )42

2

8 20

senkaπ

θθ

= +

4 4

2 8 4

ka k aππ= sdot =


4yk aI π

=



4 4 4

0 4 4 2x y

k a k a k aI I I π π π= + = + =

64



FONTE Os autores


( )4 2

2 2

0 0


xD

I y x y dxdy y dydx

4 4 332

0 0

28

3 30


5522

48 16 512 453 15 15

02

x= = =


0 2k aI π

=




65

e

( )4 2

2 2

0 0


yD

I x x y dxdy x dydx

4 4 52 2

0 0

2 2 0


7722

44 5122 4 7 7 7

02

x= = =


0512 512 11264 15 7 105x yI I I= + = + =

66












67








68




KMOL







69


2 2

0

R

R r r drminusint

2

2 20

2 2

2

R

u R rduu du rdr

durdr

= minus

= minusminus =

minus

int

2

0

1 2

R

u duint2

321

30

Ru

( )3

2 321 13 3

R R=

23

0

1 2 3V R d

π

θ= int

3

21

2 30

V Rπ

θ=

31 2 2 3V R π=

34 3

V Rπ=





70









e

( ) δ= intintD

m x y dxdy

( ) δ= intintD

q x y dxdy

( )

( )

δ

δ= =

intint

intinty D

D

x x y dxdyM

xm x y dxdy

( )

( )

δ

δ= =

intint

intinty D

D

x x y dxdyM

xm x y dxdy

( )2 δ= intintxD

I y x y dxdy

( )2 δ= intintyD

I x x y dxdy

( ) ( )2 20 δ= + = +intintx y

D

I I I x y x y dxdy

yy

71









AUTOATIVIDADE

72

73

UNIDADE 2



PLANO DE ESTUDOS











74

75

TOacutePICO 1


UNIDADE 2









( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 nf t f t f t f t=


76



com i

e j


e ( ) 01 j =

com i

j

e k


( ) 01 0j =

e ( ) 0 01 k =

( ) ( ) ( )1 2 f t f t i f t j= +


( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 f t f t i f t j f t k= + +


( ) ( )2 3 1f t t t= minus +









77






a) ( ) ( ) f t g t+













por h






78


e g

como a seguir

( ) ( ) 3

2

3 2 2

2

i j kf t g t t t


minus





( ) ( ) ( )( )0 0 0


rarr rarr rarr=


22

2 2lim 4 4t

ttt trarr

minus minus


2 22 2 2 2




Como

2

2 2lim 12t trarr

= =

2lim 4 4 2 8t

trarr

= sdot =


79

( )( )22 2 2

2 2 1 1 1 lim lim lim4 2 2 2 2 2 4t t t


minus minus= = = =

minus minus + + +

concluiacutemos que

22

2 2 1lim 4 1 8 4 4t

ttt trarr

minus = minus


estaacute definido

existe

( )0) i f t

( )0) i f t

( )0

) lim t t

ii f trarr

( )

0

) lim t t

ii f trarr

( ) ( )0

0) lim t t

iii f t f trarr

=

( ) ( )0

0) lim t t

iii f t f trarr

=



( ) 2 1 2 1) 1 4 1 2 41 1 4 3


21

2 2 1) lim 4 2 44 3t

tii tt trarr


1) lim 1

tiii f t f

rarr=


3 CURVAS






80



z

y

x

C

f(t)


( ) 2 3 f t t i j= +



t (xy)

0 (03)

1 (23)

2 (43)

ndash1 (ndash23)

( ) f t

( ) 0 0 3 f i j= +

( ) 1 2 3 f i j= +

( ) 2 4 3 f i j= +



81


FONTE Os autores


[ ]2 para todo 1 2

3=

isin minus =

x tt

y





( )x x t=

( )y y t=

( )z z t=



82


a) ( ) ( ) f t t t t=


b) ( ) ( ) ( )( ) cos f t t sen t t=


1

1-1

-1-1

-2

-2

-3

-3

-4

-40

0

1

2

2

2

3

3

3

4

4

1

11

-1

-1 -1-2 -2-3 -3-4 -4

00 0

2

22

3

33

4

44

5

6


83

c) ( ) ( ) ( )( ) cosf t t sen t t=



para 0 le t le 2π




estudadas

DICAS

-1

1

11

00 0

2

2234

3 4

-1-1

-2

-2-2 -3-3-4 -4

-1

-1-1

1

1

00

0

2

2

23

34

-2

-2

-2-3

-3-4


84






( ) 0 r t P vt= +





( ) ( ) ( )123 111 012v B A= minus = minus =


( ) ( ) ( )111 012r t t= +

ou ainda

( )( )

( )( )

11

1 2

x tr t y t t

z t t

== = + = +

2 3


85


FONTE Os autores



( ) ( )2 22 11

4 9x yminus +

+ =


2 22 1 12 3

x yminus + + =


( ) ( )2 2cos 1t sen t+ =

-1

-1

-1

10

00

1

2

3

4

12

23

3

-2

-2-3

-2-3


86

assim se igualarmos

( )2 cos2

x tminus=

( )13

y sen t+=

temos

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2cos

1 3x t t

r ty t sen t

= += = minus +



( ) ( ) ( )( ) ( )

0

0

cos

x t x a tr t

y t y b sen t = += = +



( )( ) ( )( ) ( )( )

0

0

0

cos

= += = + =

x t x a t




87





( ) ( ) ( )( ) ( )

4cos4

y t tr t

z t sen t == =


( )( )( ) ( )( ) ( )

2 4cos4

x tr t y t t

z t sen t

== = =


FONTE Os autores

2ndash2

ndash2ndash2

ndash4

ndash4

ndash4

ndash6

00

0

2

2

4

4

4

6

6


88


NOTA







( )

( )

( ) ( )( ) ( )

24cos4

tx t

r t y t tz t sen t

=

= = =




89


FONTE Os autores

AUTOATIVIDADE




( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 nf t f t f t f t=



nf t f t f t f t


6

4

2

20

00 2

ndash2

ndash2ndash2

ndash4

ndash4ndash6ndash6

ndash8

ndash8ndash10

44

6

6

8

8

10

10

1214

8


90







( ) 4 0 f t ti j kprime = + +


( )3 12 0 f i j kprime = + +


i)

ii)

iii)

com c uma constante

iv)








( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 nf t f t f t f t=


91


( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 =int int int int



( ) ( ) ( )( ) 2 4cos 4 f t t sen t=




12 2= +int dt t c



temos que



( ) ( ) ( )2 2 2 2

0 0 0 0


=

int int int int


92

como

2

0

22 2 2 2 2 0 4

0dt t


( ) ( ) ( ) ( )2

0

24cos 4 4 2 4 0 0

0t dt sen t sen sen


( ) ( ) ( ) ( )2

0


0


temos

( ) ( )2

0

4 0 0 π

π=intf t dt



( ) ( )a t v t=



1 2 34 6 2 2t tc c t c

= + + +


( ) ( ) ( )1 2 31 11 0 v c c cminus = =


93


( )2 24 61 1 1

2 2t tv t t

= + minus +

41RETA TANGENTE




( ) 0r t P vt= +







no ponto t0 eacute

( ) ( ) ( )0 0 r t g t g t tprime= +


( ) ( )( )

g tT t

g t=





94



( ) ( )2 2v t t=prime


( ) ( )22 2 22 2 4 4 2 1v t t t tprime = + = + = +


( ) ( )2 2 2

2 2 1 2 1 1 1

t tT tt t t

= =

+ + +


( ) ( )( ) ( )

2

3 2 32 2

1 11 1

minus = = minus

+ +prime

+

t tN t T ttt t


( ) ( )1 1 1 11 e 1 2 2 2 2 2 2

minus = =

T N



95


FONTE Os autores




( ) b

a

C f t dtprime= int



( )( ) ( )( )2 2

b

a




( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 2

b

a



96



eacute

( ) ( ) ( )( ) f t r cos t r sen t=



( )( ) ( )( )2

2 2

0

cos π


( ) ( )( )2

2 2 2

0

cosr sen t t dtπ

= +int


2

0

2 2 0 2

0C r dt rt r r r



NOTA


97



( )

( )

( ) ( )( ) ( )

24cos4

tx t

r t y t tz t sen t

=

= = =




( ) 12

x tprime =



( )( ) ( )( )26

2 2

2

1 4 4cos2

π

π


( ) ( )( )6

2 2

2

1 16 cos4

sen t t dtπ

π

= + +int6 6

2 2

1 6516 4 2

dt dtπ π

π π

= + =int int6

65 65 65 6 2 2 65 2 2 2

2t

ππ π π




( )( )( )| |

κprime

= T t

tf t


98




( ) ( )( ) ( 1 )f t r cos t r sen t=



e sua norma eacute



( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( ) 0 ( 0)

minusprime= = =

prime

r sen t r cos tf t

T t sen t cos trf t


( ) ( ) ( )2 2 cos sen 1= + =T t t t


( )( )( )

1 | |

κprime

= =T t

trf t



NOTA


99




( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 ng t g t g t g t=









( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 nf t f t f t f t=



( ) ( ) ( )( )0 0 0


rarr rarr rarr=

( ) ( ) ( )( ) ( )

0

0

cos

x t x a tr t

y t y b sen t = += = +


100















( )( ) ( )( ) ( )( )

0

0

0

cos

= += = + =

x t x a t



nf t f t f t f t

( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 = int int intint


( ) ( )( )

g t

T tg t

prime=

prime


( ) b

a

C f t dtprime= int

( )( )( )| |

κprime

= T t

tf t

101

AUTOATIVIDADE





a) ( ) ( )f t g t+




e) ( ) ( )1 1f t g t+ + minus


a) ( ) 2 4f t t i tj= +

b) ( ) ( )22 1f t ti t j= + minus

c) ( ) ( ) ( )( )3cos 3f t t sen t=

para [ ]02t πisin



a) ( ) ( )( )1 2 2 1mm

π +

b) ( ) ( )( )1 0 2 1mm

π +

c) ( ) ( )( )1 2 2 1mm

π minus

d) ( ) ( )( )1 0 2 1mm

π minus

( ) ( ) ( )1 cos2

t t sen tg t i t j

m m minus minus

= + +

102


a) ( ) 2

0 lim t

sen tt

trarr

b) ( ) ( )2

320

lim cos 2t

t

te tsen t

minus

rarr

c) ( )2

1lim 8 cos 2

1t

t t t ttrarr

minus+ minus

d) 3

31lim

2 1t

t

t tte tsent t

minus

rarrinfin

+ minus


a) ( ) ( )( )2 32 3 1 2f t t sen t= + minus

b) ( ) ( ) ( )( )4 cos 3 f t t sen t= + +


d) ( ) ( )2





a) ( ) ( )202

4 0 2f t t t tt

= isin infin =


c) ( ) ( ) ( )( ) [ ] 04 3 0 3



( )2

1 2 22tr t t

= + minus +

( ) ( )278 7 1 2


103




a) ( ) ( ) ( )( )2 2f t t sen t t tcos t=

b) ( ) ( ) ( )( )4 cos 3 f t t sen t= + +

c) ( ) 3 5 3f t t i t j t k= minus +



a) ( ) ( ) ( )( ) cos 3 f t t t sen t t π= =

b) ( ) ( )2 22 3 4 2f t t t t= minus + + =

c) ( ) ( ) ( )( )4 3 2





104









2

P0

(xy) = P0 + tvv

105


a) ( ) 1b) ( ) 2c) ( ) frac12d) ( ) radic2

106

107

TOacutePICO 2

CAMPOS VETORIAIS

UNIDADE 2











108









e ( )01j =





109


( )01 0j =

e ( )0 01 k =






FONTE Os autores



110


FONTE Os autores

FONTE Os autores



(xy) F(xy)

(00) (00)

(10) (01)

(ndash10) (0ndash1)

(01) (ndash10)

(0ndash1) (10)



111



FONTE Os autores






112

( ) 2 3 4 f x y y x y= minus



( ) 3 2f x y xyx

part= minus

part

( ) 2 2 4 3 f x y x yy

part= minus

part





n

f fx x

part partpart part


( )11

nn

f ff x xx x



partpart

e fy

partpart


( ) f ff x yx y



partpart

fy

partpart

e fz

partpart





113




( ) ( ) 2 2 f ff x y x yx y




FONTE Os autores


114





FONTE Os autores



115


FONTE Os autores



0 0 Q Prot Fx y


Q Prot F kx y


com ( )0 01 k =




x

y


116


FONTE Os Autores

3 20

-1

-1

0

1

-3

-3-2

-1

12

34

-4

-2









com i j e k




2R yy

part= minus

part0R

xpart

=part

Q xyz

part=

partQ yzx

part=

part

0Pz

part=

partP xy

part=

part


117








FONTE Os autores



eacute conservativo


x

y


118

26R xyzy

part=

part2 23R y z

xpart

=part

26Q xyzz

part=

part32Q yz

xpart

=part

2 23P y zz

part=

part32P yz

ypart

=part





( )0 0 0 =





( ) ndiv F rarr

e dado por

( ) 1

1

n

n

FFdiv Fx x

partpart= + +

part part




119

( ) ( ) ( ) P Qdiv F x y x yx y

part part= +

part part



part part part= + +

part part part






( ) P x y z yx

part=

part

( ) Q x y z xzy

part=

part

( ) 0R x y zz

part=

part


( ) div F y xz= +




120









( )( ) ( ) ( )3 2 2 2 4 3div f x y xy x yx y




( ) ( )( ) ( ) ( )2 2

1 1 1 12 21


part part n n n n

n




121








como P Q e 3 R rarr




( ) f ff x yx y






122








( ) 1

1

n

n

FFdiv Fx x

partpart= + +

part part

( ) ( )( ) ( ) ( )2 2

1 1 1 12 21

n n n nn



part part

123

AUTOATIVIDADE











e) ( ) 2 2 2 2 y xF x y i jx y x y

minus= +

+ +

f) ( ) ( ) ( )( ) 1 F x y z sen z ycos z=





124


e






125











volume


126

127

TOacutePICO 3

INTEGRAIS DE LINHA

UNIDADE 2










( ) ( ) ( )( ) ( )

cosx t tt

y t sen tγ

== =


128



FONTE Os autores

ndash1 0

y

x1



FONTE Os autores


( ) ( )( )0

n

i i ii

massa f x t y t ds=

cong sdotsum



129


FONTE Os autores

FONTE Os autores




ndash1 0

y

xγ(t0)γ(tn)

γ(ti-1)γ(ti)

1

1

ndash1 0

1 1

y

x

γ(ti-1)γ(ti)

γ(ti)

a) b)

1 ndash1 0

y

x

γ (ti-1)γ (ti)

γ(ti) ∆ti

1

130



0( ( ) ( )) | ( ) |

n

i i i ii


cong ∆sum


0lim ( ( ) ( ) | ( ) |

n


rarrinfinminus

= ∆sum


( )( ) ( )2

0

massa f t t dtπ

γ γ= primesdotint


( ) ( )( )

sen t

tcos t

γminus=




( ) ( )2

2

0


= +int

( ) ( )2 2

2

0 0


= +int int


131


2

0

22 2 4

0dt t

π ππ= =int


( ) ( ) ( )32 32 2

0

2cos 1 1 0

3 3 3 30






( ) ( )( ) ( )

b

a

f x y ds f t t dtγ






( )

1 b

a



1( ) ( ( )) ( )b


132







4

0

22 2 2 2

0

t

C dt tγ

ππ= = =int




NOTA



133


FONTE Os autores

FONTE Os autores


( )( ) ( )( )i

tF t

tγ

γγ

sdotprime

prime



xγ(a)

γ(b)γ(t)

y

z

x

γ(b)

y

z

γ(a)

134




γγ γ γ γγ

sdot sdot ∆ = ∆



( )( ) ( ) b

a



( )( ) ( )

b

a

Fd F t t dtγ




( ) ( )2 t t t tγ =

para 0 le t le 1


( ) 12 1 2

t tt

γ prime =


135


( ) 1

3 2

0

1 2 1 2

Fd t t t t dttγ

γ = minus sdot

int int1 2

3

0

22tt t t dt

t= + minusint

1 13 3 33 32 2 2

0 0

1 32 2 2


4 21

3 1 3 2 54 2 4 2 502

t t= + = + sdot

1 3 17 4 5 20

= + =


( )( ) ( )

γ


a

Fd F t t dt


( ) ( ) F x y z x y z=


( ) ( ) ( )( )2cos t t t sen tγ π π=

para 0 le t le 1

136





( ) ( )( ) ( ) ( )( )1

2

0


( ) ( ) ( ) ( )1

3

0


1 43

0

12 2 12 4 4 2

0

tt dt= = = =int



FONTE Os autores



( ) ( )( ) ( ) ( )( )2

0


= sdot minusint

( ) ( ) ( ) ( )2

0


= minus + +int

2 2 22

0

24 2

2 20

ttdtπ π

π π= = = =int


137



1 2

1 2Fd Fdγ γ

γ γ= minusint int


e


Mostre que

1 2

1 2Fd Fdγ γ

γ γ= minusint int

para F(xy) = (21)









138



Para γ1 temos que

logo


( ) ( ) ( )( )1

10


γ


( ) ( )0

2 cos sen t t dtπ

= minus +int

( ) ( )2cos 0

t sen tπ

= +


Para γ2 temos que


logo

( ) ( ) ( )( )2

2


γ π


( ) ( )2

2 cos sen s s dsπ

π


( ) ( )2

2cos s sen sπ

π ππ




1 2

1 2Fd Fdγ γ

γ γ= minusint int


139




RESUMO





140





A ORIGEM DOS VENTOS







141












1PV NRT Eq=

2dP g Eqdz

ρ= minus

12 3TdV V g F Eqdt

ρρ



+ nabla =part

142


em que


g =








143






144


Vento gradiente




145









800 mb900 mb

1000 mb

146









147








( ) ( )( ) ( )

1 b

na

f x x ds f t t dtγ


( )

1 b

a



( )( ) ( )

b

a

Fd F t t dtγ


1 2

1 2Fd Fdγ γ

γ γ= minusint int

148



a) ( ) ( )( )

3 3 0 2


y t tγ

γ == le le =

int





densidade

AUTOATIVIDADE


γ

γ+ + =int

( ) 2 1

=+xF x y zy

149







a) ( ) 2 umb) ( ) 4 umc) ( ) 6 um d) ( ) 8 um


a)

a)

b)

c)

b)

c)

d)

e)

( ) ( ) 3 2 4F x y z y x z=

( ) 21 0 0

1F x y z

x = +



( ) ( )2 3 3 3 1 F x y z x x z= minus




( )( )( )( )

1 cos

2 1 cos

t

t sen tt

γ

+

= minus

150




2 y dx x dy

γ

+int

151

UNIDADE 3



PLANO DE ESTUDOS










152

153

TOacutePICO 1

TEOREMA DE GREEN

UNIDADE 3








154








( ) ( ) ( ) F x y P x y i Q x y j= +


ou ainda

+

rarr rarr

part


int intintDD

Q PF d r dxdyx y

+part


int intintDD

Q PP dx Qdy dxdyx y



155



FONTE Os autores

y

xD

Dpart




( ) (2 ) (3 4 ) F x y x y i y x j= + + +



FONTE Os autores


156



1

0

( 0)AO


sdot =int int

12

0

12 1

0xdx x= = =int


[ ] [ ]

1

01

01

01

0

(1 )( ) (1 )

2(1 ) 3 4(1 )

2 2 3 4 4

12 2 2

0

rarr rarr




= = =

int int

int

int

int

AB


y y dy y y dy

y y y ydy

dy y


1

0

21

0

(0 )

13 33 02 2

rarr rarr

sdot = minus


int int

int

BO

F dr Q y dy

yydy



157

3 31 22 2D

F drrarr

part +

sdot = + minus =int



intint intintD D

Q P dxdy dxdyx y

jaacute que

e

assim

(3 4 ) 4Q y xx x

part part= + =

part part


part partP x yy y


intint intintD D

Q P dxdy dxdyx y1 1

0 0 0

3 30

= =int int inty y

dxdy x dy

1 2

0

13 33 02 2

= = =intyydy


DICAS


158





FONTE Os autores


e

( )2 2Q xy yx x

part part= =

part part

( )2 2P x y xy y


part part


2 2( )+

rarr rarr

part





159



2

1 23 3

0 0

41 3

0

12 2

04 2

θ

θ

π

θ

θ θ

ππ π

+

rarr rarr

part

sdot = sdot

= =

= = =

int intint

intint int int

int

r

r

DD

D

F d r r r drd

r drd r d dr

rr dr



( ) 2 2 sup2 sup2

y xF x y i jx y x y

= minus + + +



160


FONTE Os autores



Assim temos que


Entatildeo

2 2 2 2

2

2 20

22 2

02

0

( ) cos( )( ( ) ) cos( )

( ) cos ( )

2

C C



sen t t dt

dt

π

π

π

π

+ +

rarr rarr

sdot = minus ++ +

= minus minus +

= +

= =

int int

int

int

int

x0 andasha

ndasha

a

y


161




= minus +





( ) ( ) ( ) F x y P x y i Q x y j= +


+

rarr rarr rarr

part

sdot = int intint

DD

F n ds div F dxdy


( ) ( )( ) ( )( ) div F P x y Q x yx y

part part= +

part part


C

sF n drarr

sdotint


162

onde

( ) ( ) ( )2





FONTE Os autores


3

D C C




CF n dsrarr rarr

sdotint


163


( ) ( ) ( )2





( )2 2

0 0

3

0

4

0

2 ( )

22 ( )03

2 ( )3

16 32( cos( )) 03 3

π

π

π

θ θ

θ θ

θ θ

πθ

rarr rarr

partsdot =

=

=

=

= minus =

int intint

int int

int

int

D

D

F n ds div F dxdy

r sen dr d

r sen d

sen d




e assim sendo

3

2

0

2 22

02

rarr rarr

sdot =

= =

int intCF n ds x dx

x


164


3 3

32 382 3 3



= + =

int int int

165






+

rarr rarr

part +part


int int intint D DD


+

rarr rarr rarr

part

sdot = int intint

DD

F n ds div F dxdy

166










AUTOATIVIDADE

2

C

x dx y dy+int

2

2 ( )1minus

= ++int

C

x yI dx arctg x dyx

2 2 2 2minus

++ +int

C

y xdx dyx y x y

( ) ( )( )3 3 ( ) cos= minus + +

xF x y e y i y x j

167

a) ( ) 2π

a) ( ) 2503

c) ( ) 1512

b) ( ) 32π

b) ( ) 87

d) ( ) 32

d) ( ) 127

c) ( ) π



( ) 21 2

= +

F x y xy x xy

168

169

TOacutePICO 2

TEOREMA DE GAUSS

UNIDADE 3







170








171







172





onde



dS



= timespart part




intintS

xy dS




part partu v


173


( )1 1 2 1 3 2 1 1 1

i j k

u vϕ ϕpart part


minus





14 dS du dv=


2 2

1 2 2

0 0

31 2

0

1 3

0

4

( )( ) 14

14

14

1403

2 143

12 14 14 03 4 6

= minus +

= minus

= minus

= minus

=

= =

intint intint

intint

int int

int

int

S S

Du

xy dS u v u v du dv

u v du dv

u v dv du

uvu v du

u du

u




174


rarr rarr rarr rarr

minus


F d r F d r





rarr rarr

Φ = sdotintintS

F n dS



FONTE Os autores


NOTA

ϕ ϕϕ ϕ

times=

times u v

u v

n


175




e







1 0 2 (2 2 1)0 1 2

ϕ ϕ

rarr rarr rarr


u v u u vv

i j k


2 2

2 2

1 1 2 2

0 0131 2

00

2

( ( ))

( ( )) ( )

(2 2 ) (2 2 1)

(4 2 2 2 )

(4 2 )

(4 2 )

4 23

4 23

ϕ ϕϕ ϕ ϕϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

rarr rarr rarr

rarr


times

= sdot times

= + minus sdot

= + + minus

= +

= +

= +

= +

intint intint

intint

intint

intint

intint

int int

int

u vu v

u vS D

u vD

D

D

D

F n dS F u v dudv

F u v dudv

u u v uv u v dudv

u uv v uv dudv

u v dudv

u v dudv

u uv dv

v1

0

13

0

4 23 3

4 23 32

= +

= +

=

int dv

v v

176


2 2

2 2

1 1 2 2

0 0131 2

00

2

( ( ))

( ( )) ( )

(2 2 ) (2 2 1)

(4 2 2 2 )

(4 2 )

(4 2 )

4 23

4 23

ϕ ϕϕ ϕ ϕϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

rarr rarr rarr

rarr


times

= sdot times

= + minus sdot

= + + minus

= +

= +

= +

= +

intint intint

intint

intint

intint

intint

int int

int

u vu v

u vS D

u vD

D

D

D

F n dS F u v dudv

F u v dudv

u u v uv u v dudv

u uv v uv dudv

u v dudv

u v dudv

u uv dv

v1

0

13

0

4 23 3

4 23 32

= +

= +

=

int dv

v v





( ) rarr rarr rarr

=part




se F = (P Q R)

NOTA

( ) P Q Rdiv Fx y z

part part part= + +

part part part


177





2 2 2 1x y z+ + =


entatildeo

2 2 2

2 2 2

( ) ( )

( ) 4 π

rarr rarr

sdot = minus + sdot

= minus + + +

= + +

= = =

intint intint

intint

intint

intint

S S

S

S

S


x xy xy y z dS

x y z dS

dS Aacuterea S


( ) 1 1 1 3div F = + + =

Portanto temos que

3 3 ( )=intintintW

dxdydz V W


( )34 4

3 3rV W π π

= =

178


concluiacutemos que

43 4 3π π

rarr rarr


F n dS



UNI



rarr rarr

sdotintintS

F n dS





179


FONTE Os autores

z

n

n

n

y

ndash2ndash1 1

1

y

x1

1

ndash1


eacute

( ) 1 1 2 2 2 div F z z= + + = +


( )

2 2

rarr rarr rarr

=part

sdot =

= +

intint intintint

intintintS W W

W


z dx dy dz


2

0

2

2

2

2 2

22

0

2( 2) ( 2)

6 8

+rarr rarr

=part

sdot = +

+= +

= + + +

= + +

intint intint int

intint

intint

intint

x

S W D

D

D

D

F n dS z dz dx dy

xz z dx dy

x x dx dy

x x dx dy

180



logo


2 1 220 0

2 13 2 2

0 02 4 3 2

2

02

0

( cos ( ) 6 cos( ) 8)

cos ( ) 6 cos( ) 8

16 8cos ( ) cos( )04 3 2

1 cos 2( ) 2cos( ) 4 4

π

π

π

π

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

rarr rarr

=part

sdot = + +

= + +

= + +

= + +

intint int int

int int

int

int

S W

F n dS r r rdr d

r r r dr d

r r r d

d


e

2 2

0

21 1 (2 )cos ( )04 4 2 4 4


send

2

0

22cos( ) 4 2 ( ) 4 8

0π π



338 4 4π ππ

rarr rarr

=part

sdot = + =intintS W

F n dS


DICAS


181


( ) 2 2 2 4 F x y z x i y j y x k= + +




FONTE Os autores


2 2 2( ) ( ) (4 ) ( )

2 8

div F x y y xx y z

x y

part part part= + +

part part part= +

portanto

( )

2 8

rarr rarr rarr

=part

sdot =

= +

intint intintint

intintintS W W

W


x y dx dy dz

0 y

z

x

182



2 3 2

0 0 0

2 3 2 2

0 0

3 32

0

2

0

(2 cos( ) 8 ( ))

2(2 cos( ) 8 ( ))

0

34 16cos( ) ( )03 3

102cos( ) 144 ( )

2102 ( ) 144cos( ) 0

0

π

π

π

π

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

πθ θ

rarr rarr

=part

sdot = +

= +

= +

= +

= minus =

intint int int int

int int

int

int

S W


r r sen z dr d

r r sen d

sen d

sen


0rarr rarr

=part

sdot =intintS W

F n dS

183








Onde



dS



= timespart part

rarr rarr

Φ = sdotintintS

F n dS

div rarr rarr rarr

=part


F n dS F dxdydz

184

AUTOATIVIDADE












( ) ( ) F x y z x y z=

( ) ( ) F x y z x y z=


( )2 2 2 F x y z=

( )2 3F x xz z=

185





( ) 3 3 2 F x y z x i y j z k= + +

( ) 2 2 3 F x y z xi yj z k= + +

186

187

TOacutePICO 3

TEOREMA DE STOKES

UNIDADE 3










188








189



FONTE Os autores

FONTE Os autores



y

z

x

y

z

x


190





part


rot F n dS F d r



( )

i j k

rot Fx y z

P Q R

part part part=

part part part





DICAS



F(xyz)= (3z4xy)


191




FONTE Os autores

-2

-2

-2

-3

-3

-4

-4

-5

-5

-6

-1

-1-1

1

2

3

4

5

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

11

0


x = 2cos(t) y = 2sen(t) e z = 0



2

0

3 4

3 0 ( 2 ( ) ) 4(2cos( )) (2cos( ) ) 2 ( ) 0

C C

F d r z dx x dy ydz


rarr rarr

sdot = + +


int int

int



192

2 2

016cos ( )

216 16 (2 ) 16 02 4

π

ππ

rarr rarr

sdot =

= + =

int intC

F d r t dt

t sen t


( ) ( )

1 3 4

3 4

i j k

rot Fx y zz x y

part part part= =

part part part



( ) (13 4) ( 2 2 1)

( 2 6 4)

rarr rarr


= minus minus +

intint intint

intintD D

D


x y dx dy


2 2

0 0

2 2 2 2

0 0

32 3 2

0

2

0

( ) ( 2 cos( ) 6 ( ) 4)

( 2 cos( ) 6 ( ) 4 )

22 cos( ) 2 ( ) 203

16 cos( ) 16 ( ) 83

216 ( ) 16cos( ) 803

0 0 16 16 16 0 16

π

π

π

π

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

πθ θ θ

π π

rarr rarr


= minus minus +

= minus minus +

= minus minus +

= minus + +


intint int int

int int

int

int

D


r r sen r drd

r r sen r d

sen d

sen



193





z znx y

UNI






FONTE Os autores

xy

z

1

1

1

C



194


FONTE Os autores

FONTE Os autores

z

xy1

1

1

S nC S= part



y

y = 01

1

y = 1 ndash x

D x + y = 1

x


normalizando N

teremos

( )111 = =n e dS dxdy




F d r rot F n dS


195


( ) ( )2

0 1

i j k



part part part


( )

( 0 1) (111)

( 1)

rarr rarr rarr rarr

sdot = sdot

= minus minus sdot

= minus + minus

int intint

intint

intint

CD

D

D

F d r rot F n dS

x z dxdy

x z dxdy


1 1

0 0

21

0

21

0

21 2

0

21

0

3 2

( )

2

12

02

(1 )2 (1 )2

12 22 2

3 12 2

1 1 1 1 1 02 2 2 2 2 2 2

rarr rarr

minus


= minus minus

minus= minus minus



= minus minus


int intint

int int

int

int

int

int

CD

x

F d r x x y dxdy

x y dydx

xyxy dx

xx x dx

xx x x dx

x x dx

x x x


( ) 2 3 2 4 F x y z x i xy j y x k= + +



196


FONTE Os autores



( ) ( )2 3

2 2

2 4

4

i j k

rot F xy y yx y z

x xz y x


part part part


( ) 1 1 11z znx y



2 3

2 3

( )

(2 4 ) ( 1 11)

( 2 4 )

rarr rarr rarr rarr

sdot = sdot


= minus + +

int intint

intint

intint

CD

D

D

F d r rot F n dS

xy y y dx dy

xy y y dx dy

y

z

x

1

01

2


197


1 2 2 3

0 0

31 2 4

0

1

0

1

0

2

( 2 4 )

203

84 163

56 43

156 56 502 2 03 3 3

rarr rarr

sdot = minus + +

= minus + +

= minus + +

= minus

= minus = minus =

int int int

int

int

int

CF d r xy y y dy dx

yxy y dx

x dx

x dx

x x


198




1 HOMEM




[]

2 O TEOREMA



199



2 1 ( ) σ


intint intD


(21)







200





201








202


( ) ( )1 F x y y b x ar

= minus + minus


( ) ( ) v t

tωρ

=



( ) t dtβ

αωΩ = int


203


0

1( ) ( ( )) ( )

1 ( ( )) ( )

2

t dt F t t dt

G t t dtr

n

β β

α α

β

α

ω σ σρ

σ σρ

π

Ω = = sdot

= sdot

=

int int

int (22)

(23)


2 1 σ


int intintD

G GG dr dxdyx y



( ) ( )2 1 2 2 x yG G a b Div a bx y



204


( ) ( )

2 2 2

2 2 2

a b R

x a y b r

+ =

minus + minus =(24)

(25)



( )( ) ( )( )2 2 0

2 1 2 0

x x

x x

aa bbx a a y b b


Assim

( )( ) ( )( )

1 0

xx

x x

aabb

x a a y b b


Logo ( )( ) ( )1 0xx

aax a a y bb


( ) ( ) ( ) 0x

a y ba x a x a


isto eacute

( )xaya x x ab


e por conseguinte

( ) x

b x aa

xb yaminus

=minus


205

(26)

(27)


( )( ) ( )( )2 2 0

2 2 1 0

y y

y y

aa bb

x a a y b b


Assim

( )( ) ( )( )

1 0

yy

y y

bba

ax a a y b b

= minus


Logo ( ) ( )( )1 0yy

bbx a y b b


( ) ( ) ( ) 0ybb x a y b y ba


isto eacute

( ) yxbb y y ba

minus = minus minus

e por conseguinte

( ) y

a y bb

xb yaminus minus

=minus





minus minus

1 bx ayxb ya

minus= =

minus


206


2 1 1G Gx y

part partminus =

part part


2 1 ( ) D



int (28)

(29)




( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) r aq st t t t G tr r



( ( )) ( )

( ( )) ( ) ( ( )) ( ( ) ( ))

( ( )) ( ( ))

r

a

r G t t dt


s dG t G tr dt

β

α

β β

α α

β

α

ρ σ σ

σ σ σ σ σ

σ σ

Ω = sdot

= sdot + sdot minus

+ sdot

int

int int

int


207





( )t dtβ

αθint


[]


208









S

S


part


( )

i j k

rot Fx y z

P Q R

part part part=

part part part



209

AUTOATIVIDADE



F(xyz) = (3z4xy)




C

F d rrarr rarr

sdotint





τrarr rarr

= sdotintC

F d r

( ) 2 3 2 4 F x y z x i xy j y x k= + +


210







τrarr rarr

= sdotintC

F d r

τrarr rarr

= sdotintC

F d r

( ) 2 2 = + +

F x y z xyi x j z k

( ) 2 2 = + +

F x y z xyi x j z k

211

REFEREcircNCIAS
















III








IV







NOTA


Bons estudos


V


UNI

VI

VII
















sumaacuterio

VIII







REFEREcircNCIAS 211

1

UNIDADE 1



PLANO DE ESTUDOS















2

3







43 2 2 3 2

4

= = +




4



dado por

( ) b

a

f x dxint

2 sube rarr f D




FONTE Os autores


x

y


5












m n




6


FONTE Os autores


( )0 0

= =

= ∆ ∆sumsumn m

m n i ji j

S f u v x y



( ) 0

0 0

lim ( )rarr

= =


i jm ni j D



NOTA


7


Teorema de Fubini


entatildeo

em que



D c a


( ) ( ) ( ) d b d b b d

c a c a a c


= =



( ) b

a

f x y dxint




( ) 2 f x y xy=


8


1 1

0 0

sup2 xy dxdyintint


1 12

0 0

y x dx dy

sdot

int int


11 12 2 22 2

0 00

1 0 2 2 2xy dy y dy

sdot = minus

int int1 2

0

2y dy= int


112

00

1 1 sup3 1 2 2 3 6

yy dy = sdot = int



IMPORTANTE

1 1

0 0

sup2 intintxy dydx


9




FONTE Os autores


1 1

0 0



1 1

0 0

2 x y dx dy

minus minus

int int


11 12

0 00

32 2 2xx xy dy y dy

minus minus = minus

int int


10


11 2

0 0

3 3 3 1 12 2 2 2 2

y yy dy


int




FONTE Os autores


1 12

10

1V x dydxminus

= minusint int1 1

1 0

1 sup2 x dy dxminus

= minus

int int1

2

1

10minus


12

1

1 x dxminus

= minusint


11


12

1

1 V x dxminus

= minusint13

13xx

minus

= minus

( ) ( )311 41 1 3 3 3





FONTE Os autores



12






FONTE Os autores


( )( )

( )

( )1

2

=

intint int intx

g xb

R a g x




( ) 2 f x y xy=




13


2 21 1 1 12 2

0 0 0 0

x x


= sdot


0 03

xyx dx

minus

= sdot

int1 3

2 2

0

1 1 3



1 1 332 22

0 0

1 11 3 6


152

0

1 26 5

u

= minus sdot

( )15

2 2

0

1 2 11 6 5 15

x



( )

3

3 D

x y dA+intint




14


FONTE Os autores




( )2 2

22 2 2 23 3

0 0

33 2

xx

x x

yx y dy dx x y dx

+ = +

int int int

( ) ( )22 223 3 2

0

33 22

2 2xx

x x x x dxsdotsdot


4 2 5

0


( )2

5 4 2

0

1 2 12 2


0

1 2 122 6 5 3

x x x = minus + +

6 5 31 2 2 2 12 2

2 6 5 3 sdot sdot

= minus + +

1 64 32 12832 2 3 5 15

= minus + + =


15


2 2 16 2 4x y e x y+ = + =


( )

1 D

A D dA= intint


e

2 216 82 2

x xy minus= = minus

4 22 2

x xy minus= = minus





16


FONTE Os autores


( )2

2 3 4 e 2 82 2


x xD x y x y


2 284 42

3 322

821

22

minus

minus minusminus

minus =

minus

int int intx

x

x

dy dx y dxx

4 2

3

8 22 2x x dx

minus


3

62 2x x dx

minus

= + minusint

( )4

3

1 34312 sup2 2 12

x x dxminus

= sdot + minus =int


17



( )2

1 12

0 0

1 x

x

dy dx x x dx

= minus

int int int13 3

2

0

2 1 3 3 3

= minus =

xx






FONTE Os autores


( )( )

( )

( )2

1

=

intint int intx

h xd

R c h x



18



( )

3

3 D

x y dA+intint




FONTE Os autores


( ) 2 e 0 4 2

= isin le le le le

yD x y x y y



19

( )4 4 4

3

0 022

3 3 4

yy

yy

xx y dx dy yx dy

+ = + int int int

( )4

44

0

23 34 4 2

yy yy y y dy


4 32 4 22

0


2

0

5 34 64y yy dyminus

= + minusint45

3 52

0

5 612 5 320y y y

= minus + minus

53 525 4 6 44

12 5 320sdot

= minus + minus

80 192 16 128 3 5 5 15

= minus + minus =

( )2

1 12

0 0

1 y

y


int int int13 3

2

0

2 1 3 3 3

= minus =

yy






20


NOTA

( ) ( ) ( )1 2





( ) intintintR

f x y z dV



NOTA


21





( ) fb d

a c e

f x y z dz dy dx

int int int





2 1 2

1 0 1

xyz dx dy dzminus


1 0 1 01


minus

= = sdot


1 10

3 3 9 2 2 4 8

y z dz z dz

= sdot = sdot =

int int



22


2 2 2

R





FONTE Os autores




22 22 2 2

0 0 0

x yx


+ +

int int int

( ) ( )2 2

2 2

0 0

1 2 3 3 2 sup2 3

x



int int

( ) ( )2

2 2

0

1 82 2 1 3 5


23










D c a


( ) ( ) ( ) d b d b b d

c a c a a c


= =


( )( )

( )

( )1

2

=

intint int intx

g xb

R a g x


( )( )

( )

( )2

1

=

intint int inty

h xd

R c h x


( )

1 D

A D dA= intint

24



( )

R

f x y z dVintintint

( ) fb d

a c e

f x y z dz dy dx

int int int

25



a)






b)

AUTOATIVIDADE

( )3 2

2 0

2 6xy dydx+intint

( )3 4

1 2


26

a) ( ) 16b) ( ) 12c) ( ) 13 d) ( ) 14e) ( ) 15



( ) = intintintmR

V F F dV

05 24

0 0

8 2 4 x

x y dydxminus +

minus minusint int

2 42

0 0

8 2 4 y

x y dxdyminus +

minus minusint int


a) ( ) 512b) ( ) 643c) ( ) 64 d) ( ) 8


a) ( ) 13b) ( ) 23c) ( ) 56d) ( ) 76



27




a) ( )

b) ( )

c) ( )

d) ( )

( )22

0 6

x

x

f x y dx dyminus

int int

( )2

2 6

3

x

x

f x y dy dxminus

minusint int

( )2

2 6

0

x

x

f x y dy dxminus

int int

( )2 sup2

36

x

x


28

29

TOacutePICO 2



UNIDADE 1




( )

( )

( ) ( )( ) ( ) acute g d d

g c c



Logo

1

0

1 sup2 x dxminusint




( )1 2

2

0 0


π

minus =int int


30



( )( )1 2

2

0 0

11 1 cos 2 2

x dx u du

π


( )21 22 2 40

ππ

+ =

sen uu





( )( )

x x u v

Ty y u v

= =



( ) u v

u v

x xJ T

y y=


31


( ) ( ) ( )( ) ( )

xy uvR R











FONTE Os autores


32


( )( )

cos

senθθ

= sdot = sdot

x rT

y r



( ) ( ) ( )( ) ( )

cos sensen cos

rJ T

rθ θθ θ

minus sdot=

sdot







NOTA


( )

2 2

log xyR

x y dA+int int


33




FONTE Os autores






( ) ( ) 2 2

2 2 2

0 1

log log xyR

x y dA r r drdπ


( )2 2

2

0 1

log r r dr dπ

θ

= sdot

int int



34

sup2u r=

2 2

= =dudu r dr r dr

Assim sendo

( ) ( )2 4

2

1 1

1log log 2


( )( )4

1


( )( ) ( )( )4 1log 4 1 log 1 12 2

= minus minus minus

( ) ( )1 32log 4 2 0 2log 4 2 2



( ) ( ) ( )2

0

3 3 32log 4 2 log 4 log 4 22 2 40


int d


UNI


2

14 sup2 xyR




35


( ) 2 3

2

0 2

14 ( sup2) 14 sup2 π


x y dA r r drd


32 3 2 2 43

0 2 0 2


π π

θ θ

minus = minus

int int int2 4 4

2 2

0

3 27 3 7 24 4

dπ

θ


int

( )2

0

8163 28 44

dπ


22

00

81 81 81 4 4 2



2 2

xyR

x x y dxdy+int int




( ) 22

2 2 2

0 1

π




36


( ) ( ) 2 42 2

3

0 1 0

2cos cos

41

rr drd d

π π


( )42

0

2 1cos 4 4

d

π

θ θ

= minus

int

( ) ( )2

0

15 15cos 24 4 0


( )15 15 150 4 2 4 4

sen senπ = minus =





3 3 T rarr


( )( )( )


z z u v w

=

= =


37



( ) u v w

u v w

u v w

x x xJ T y y y

z z z=


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

xyz uvwR R







θ =


( )

R

f x y z dVintintint


38


( ) ( ) ( )( )

θ





NOTA

= intintintD

Volume dV




E assim

[ ]2 2

00 0 0 0 0

R h R



0 0

R

h r drdπ

θ= sdotint int2 2

0 0

2

Rrh d

π

θ

= sdot

int2



39


D

xy dVintintint



( ) ( )( ) 2 1 1

0 0 0

D




( ) ( ) 2 1 1

2

0 0 0

cos D

xy dV r sen dzdrdπ


( ) ( )2 1

2

0 0

1cos

0r sen z drd

π


( ) ( )2 1

2

0 0

cos r sen drdπ


( ) ( )12 3

0 0

cos3r sen d

π

θ θ θ

=

int

( ) ( )2

0

1 cos 3

sen dπ

θ θ θ= int


2

0

1 3D

xy dV u duπ


( )2

2

2 21 1 cos 3 2 6

0 0

uπ π

θ= minus = minus

( ) ( )2 21 1cos 2 cos 0 06 6

π= minus + =


40



D

dxdydzint int int



2 2

2 2

2minus minus


xy

x y

x yD D

dxdydz dz dxdy

2 2

2 2

2 minus minus=

+intintxyD

x yz dx dy


xyD

x y dxdy

Vamos considerar

2 2 2r x y= +

( )cosx r θ=

( ) y r sen θ=


( )2 1 2

0 02 2


D

dxdydz r rdrd

2 1 3

0 02 2


42 22

0 0

1 102 2


rr d d

21 02π

θ π= =


41





ou seja


z = ρ cos(ϕ)

ou ainda

2 2 2x y zρ = + +

yarctgx

θ =

2 2 2arccos z

x y zφ

= + +



FONTE Os autores


42


( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )2

cos cos cos cos cos

cos 0


φ ρ φ

minus= + =

minus


sen


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2

cos cos ρθφ





2 2 2

( )32 x y z

D





2 2 2 2x y zρ = + +


FONTE Os autores

11

ndash1

x

y

z


43


( )2 2 2 32 3 2 1

( ) 2

0 0 0


D


( ) 32 1

2

0 0 0

sen e d d dπ π



31 1

2

0 0

13


( )1

1 1 1 3 3

0

ue e= = minus

Assim

( ) ( )2 2 2 32 2

( )

0 0

1 13

π π


D

e dxdydz e sen d d

( ) ( )2

0

1 1 cos 3

0e d


( )2

0

2 13

e dπ

θ= minus int

( ) ( )2

2 41 1 3 3

0e e



( )23 sup2 z x y= +



44


FONTE Os autores


( ) ( )2 2 2 23 sup2 3 sup2x y x y x y+ + + = +

( ) ( )2 2 24 3 sup2x y x y+ = +

( ) ( )22 2 2 216 3x y x y+ = +


2 2 316

x y+ =



2 2 2x y z z+ + =


( )2 cosρ ρ φ=

ou seja

( )cosρ φ=


45


( )2 23z x y= +


( ) ( )2 2cos 3 senρ φ ρ φ=


( ) 1 63

tg πφ φ= sdot =


( )

( ) ( )( )cos2 2 36 6

2

0 0 0 0 0

cos

30

sen d d d sen d d

π πφπ π φ


( ) ( )32 6

0 0

cos

3sen d d

ππ φ

φ φ θ= int int


( ) ( )36

0

cos

3sen d

π

φφ φint


( ) ( )3 36 6

0 0

cos

3 3usen d du

π π


( )44 cos6

12 12 0

πφ= minus = minus

u


46

( )4 44cos cos 0 1 3 1612 12 12 2 12


9 1 7

192 12 192= minus + =


( )

( )cos2 26

2

0 0 0 0

7 192

sen d d d d d

πφπ π


7 7 192 96

0

ππθ= =


NOTA

47







( ) ( ) ( )( ) ( )

xy uvR R


( )( ) ( )2 2 2 θ

θθ

= sdot = + = = sdot



( ) ( ) ( )( ) ( )

cos sen

sen cosr

J T rr

θ θθ θ

minus sdot= =

sdot

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

xyz uvR R


( ) ( ) ( )( )

θ



( ) ( )

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ρθφ



48

em que

ou ainda



θ = 2 2 2

arccos zx y z

φ = + +

49



a)





b)

a)

a)

b)

b)

AUTOATIVIDADE

22 22 2

0 0

x

x y dy dxminus

+int int21 1

0 0

x

x dy dxminus

int int

2

2 2

2 4 22 2

0 0

x

x y

x y dz dy dxminus

+

+int int int

2112 2

1 0 0

y x

x y dz dx dyminus

minus

+int int int




z dxdydz D x y z z

50



a) ( ) πb) ( ) 4

π

c) ( ) 2πd) ( ) 2

π

e ( ) 4π





( )2

2 22 4

0 0

minus

+int intx

x ye dydx

z

yx

(0 0 1)

0

D

51

TOacutePICO 3


UNIDADE 1







δ(x y)



( ) δ= intintD

m x y dxdy


52





FONTE Os autores





m x y dxdy xy dxdy

2 4 2 4

0 0 0 0


= =

int int int int

2 22

0 0

43 24

20


22

24 482

0

y= =


53




R R

(x y)

2 2d x y= +


( ) 2 2x y k x yδ = +






2

0 0

R

m kr dr dπ

θ

=

int int

3 3

0 0

3 3

0

Rr kRk d d

π π

θ θ= =int int

3 3

3 3

0

kR k Rπ

πθ= =

54







( ) δ= intintD

q x y dxdy




FONTE Os autores




55



q x y dxdy x ydxdy

2 3 2 32 2

0 0 0 0

x y dx dy y x dx dy

= =

int int int int

2 23

0 0

3 9

30


22

9 9 2 182

0

y= = sdot =






( ) ( )( )1

2 2

0 0


D


( )1

2 2

0 0

x

x x y y dy dx

= minus minus

int int

( )1 2 3

2

0

2 3

0

xy yx x dx

= minus minus

int

( )1 2 3

2

0 2 3x xx x dx

= minus minus

int

1 3 4 5

0


56


4 5 61

1 1 1 8 6 18 8 6 18

0


9 12 4 1 72 72

minus += =


coulombs



( )

( )

δ

δ= =

intint

intinty D

D

x x y dxdyM

xm x y dxdy

e

( )

( )

δ

δ= =

intint

intintx D

D







57


FONTE Os autores





m x y dxdy x y dxdy

1 2 2

0 0

1 3 x

x y dy dxminus

= + +

int int

1 2

0

2 23

20

xyy xy dx

minus

= + +

int

( ) ( )21

0

2 22 2 3 2 2

2x

x x x dxminus


1 32

0

144 4 4 3

0


4 84 3 3

= minus =

58





1 2 22

0 0

3 x

y xy y dy dxminus

= + +

int int

1 2 2 3

0

2 23

2 2 30

xy xy y dx

minus

= + +

int

( ) ( ) ( )2 2 31

0

2 2 3 2 2 2 22 2 3

x x x xdx


1 3 22 2 3

0

8 24 24 82 4 2 6 12 63


1 32

0

14 106 2 3 3


3 42

114 2 53

3 3 60


14 2 5 113 3 3 6 6

= minus minus + =



1 2 22

0 0

3 x

x x xy dy dxminus

= + +

int int

1 22

0

2 23

20

xxyxy x y dx

minus

= + +

int

( ) ( ) ( )212

0

2 22 2 3 2 2

2x x

x x x x dxminus


2 2 3 2 3

0


13 4 2

0

14 4 2



59

1 2 1= minus + =

Assim segue que

e

11 e 16x yM M= =


1 38 8 3

yMx

m= = =

11116 8 16

3

xMym

= = =


x y =



FONTE Os autores

( ) 3 11 8 16

x y =

()311 816

xy =

60




e

( ) 2 2 x y k x yδ = +


3


( ) ( )3

0 0

π


xD


( )4

0

4

0

Rrk sen d

π

θ θ= int

( )4

04Rk sen d

π

θ θ= int

( )4 4

cos 4 2

0

R kRkπ

θ= minus =

( ) ( )3

0 0

π


yD


( )4

0

4

0

Rrk cos d

π

θ θ= int

( )4

04kR cos d

π

θ θ= int

( )4

sen 04

0

Rkπ

θ= =


61

e


30 0

3

yMx

k Rm π= = =

4

332 2

3

x

kRM Ry

k Rm π π= = =






( )2 δ= intintxD

I y x y dxdy

( )2 δ= intintyD

I x x y dxdy


62


0 x yI I I= +



( )2 2( ) δ= +intintD

x y x y dxdy




Calculando Ix temos

( ) ( )( )2

22

0 0

π


xD



( )2 4

2

0

4

0x

arI k sen d

π

θ θ= int

( )24

2

04ka sen d

π

θ θ= int


( )24

0

1 cos 28x

kaI dπ

θ θ= minusint

( )42

2

8 20

senkaπ

θθ

= minus

4 4

2 8 4

ka k aππ= sdot =


63


4xk aI π

=


( ) ( )( )2

22

0 0

π


yD



( )2 4

2

0

cos 4

0y

arI k d

π

θ θ= int

( )24

2

0

cos4

ka dπ

θ θ= int


( )24

0

1 cos 28y

kaI dπ

θ θ= +int

( )42

2

8 20

senkaπ

θθ

= +

4 4

2 8 4

ka k aππ= sdot =


4yk aI π

=



4 4 4

0 4 4 2x y

k a k a k aI I I π π π= + = + =

64



FONTE Os autores


( )4 2

2 2

0 0


xD

I y x y dxdy y dydx

4 4 332

0 0

28

3 30


5522

48 16 512 453 15 15

02

x= = =


0 2k aI π

=




65

e

( )4 2

2 2

0 0


yD

I x x y dxdy x dydx

4 4 52 2

0 0

2 2 0


7722

44 5122 4 7 7 7

02

x= = =


0512 512 11264 15 7 105x yI I I= + = + =

66












67








68




KMOL







69


2 2

0

R

R r r drminusint

2

2 20

2 2

2

R

u R rduu du rdr

durdr

= minus

= minusminus =

minus

int

2

0

1 2

R

u duint2

321

30

Ru

( )3

2 321 13 3

R R=

23

0

1 2 3V R d

π

θ= int

3

21

2 30

V Rπ

θ=

31 2 2 3V R π=

34 3

V Rπ=





70









e

( ) δ= intintD

m x y dxdy

( ) δ= intintD

q x y dxdy

( )

( )

δ

δ= =

intint

intinty D

D

x x y dxdyM

xm x y dxdy

( )

( )

δ

δ= =

intint

intinty D

D

x x y dxdyM

xm x y dxdy

( )2 δ= intintxD

I y x y dxdy

( )2 δ= intintyD

I x x y dxdy

( ) ( )2 20 δ= + = +intintx y

D

I I I x y x y dxdy

yy

71









AUTOATIVIDADE

72

73

UNIDADE 2



PLANO DE ESTUDOS











74

75

TOacutePICO 1


UNIDADE 2









( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 nf t f t f t f t=


76



com i

e j


e ( ) 01 j =

com i

j

e k


( ) 01 0j =

e ( ) 0 01 k =

( ) ( ) ( )1 2 f t f t i f t j= +


( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 f t f t i f t j f t k= + +


( ) ( )2 3 1f t t t= minus +









77






a) ( ) ( ) f t g t+













por h






78


e g

como a seguir

( ) ( ) 3

2

3 2 2

2

i j kf t g t t t


minus





( ) ( ) ( )( )0 0 0


rarr rarr rarr=


22

2 2lim 4 4t

ttt trarr

minus minus


2 22 2 2 2




Como

2

2 2lim 12t trarr

= =

2lim 4 4 2 8t

trarr

= sdot =


79

( )( )22 2 2

2 2 1 1 1 lim lim lim4 2 2 2 2 2 4t t t


minus minus= = = =

minus minus + + +

concluiacutemos que

22

2 2 1lim 4 1 8 4 4t

ttt trarr

minus = minus


estaacute definido

existe

( )0) i f t

( )0) i f t

( )0

) lim t t

ii f trarr

( )

0

) lim t t

ii f trarr

( ) ( )0

0) lim t t

iii f t f trarr

=

( ) ( )0

0) lim t t

iii f t f trarr

=



( ) 2 1 2 1) 1 4 1 2 41 1 4 3


21

2 2 1) lim 4 2 44 3t

tii tt trarr


1) lim 1

tiii f t f

rarr=


3 CURVAS






80



z

y

x

C

f(t)


( ) 2 3 f t t i j= +



t (xy)

0 (03)

1 (23)

2 (43)

ndash1 (ndash23)

( ) f t

( ) 0 0 3 f i j= +

( ) 1 2 3 f i j= +

( ) 2 4 3 f i j= +



81


FONTE Os autores


[ ]2 para todo 1 2

3=

isin minus =

x tt

y





( )x x t=

( )y y t=

( )z z t=



82


a) ( ) ( ) f t t t t=


b) ( ) ( ) ( )( ) cos f t t sen t t=


1

1-1

-1-1

-2

-2

-3

-3

-4

-40

0

1

2

2

2

3

3

3

4

4

1

11

-1

-1 -1-2 -2-3 -3-4 -4

00 0

2

22

3

33

4

44

5

6


83

c) ( ) ( ) ( )( ) cosf t t sen t t=



para 0 le t le 2π




estudadas

DICAS

-1

1

11

00 0

2

2234

3 4

-1-1

-2

-2-2 -3-3-4 -4

-1

-1-1

1

1

00

0

2

2

23

34

-2

-2

-2-3

-3-4


84






( ) 0 r t P vt= +





( ) ( ) ( )123 111 012v B A= minus = minus =


( ) ( ) ( )111 012r t t= +

ou ainda

( )( )

( )( )

11

1 2

x tr t y t t

z t t

== = + = +

2 3


85


FONTE Os autores



( ) ( )2 22 11

4 9x yminus +

+ =


2 22 1 12 3

x yminus + + =


( ) ( )2 2cos 1t sen t+ =

-1

-1

-1

10

00

1

2

3

4

12

23

3

-2

-2-3

-2-3


86

assim se igualarmos

( )2 cos2

x tminus=

( )13

y sen t+=

temos

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2cos

1 3x t t

r ty t sen t

= += = minus +



( ) ( ) ( )( ) ( )

0

0

cos

x t x a tr t

y t y b sen t = += = +



( )( ) ( )( ) ( )( )

0

0

0

cos

= += = + =

x t x a t




87





( ) ( ) ( )( ) ( )

4cos4

y t tr t

z t sen t == =


( )( )( ) ( )( ) ( )

2 4cos4

x tr t y t t

z t sen t

== = =


FONTE Os autores

2ndash2

ndash2ndash2

ndash4

ndash4

ndash4

ndash6

00

0

2

2

4

4

4

6

6


88


NOTA







( )

( )

( ) ( )( ) ( )

24cos4

tx t

r t y t tz t sen t

=

= = =




89


FONTE Os autores

AUTOATIVIDADE




( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 nf t f t f t f t=



nf t f t f t f t


6

4

2

20

00 2

ndash2

ndash2ndash2

ndash4

ndash4ndash6ndash6

ndash8

ndash8ndash10

44

6

6

8

8

10

10

1214

8


90







( ) 4 0 f t ti j kprime = + +


( )3 12 0 f i j kprime = + +


i)

ii)

iii)

com c uma constante

iv)








( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 nf t f t f t f t=


91


( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 =int int int int



( ) ( ) ( )( ) 2 4cos 4 f t t sen t=




12 2= +int dt t c



temos que



( ) ( ) ( )2 2 2 2

0 0 0 0


=

int int int int


92

como

2

0

22 2 2 2 2 0 4

0dt t


( ) ( ) ( ) ( )2

0

24cos 4 4 2 4 0 0

0t dt sen t sen sen


( ) ( ) ( ) ( )2

0


0


temos

( ) ( )2

0

4 0 0 π

π=intf t dt



( ) ( )a t v t=



1 2 34 6 2 2t tc c t c

= + + +


( ) ( ) ( )1 2 31 11 0 v c c cminus = =


93


( )2 24 61 1 1

2 2t tv t t

= + minus +

41RETA TANGENTE




( ) 0r t P vt= +







no ponto t0 eacute

( ) ( ) ( )0 0 r t g t g t tprime= +


( ) ( )( )

g tT t

g t=





94



( ) ( )2 2v t t=prime


( ) ( )22 2 22 2 4 4 2 1v t t t tprime = + = + = +


( ) ( )2 2 2

2 2 1 2 1 1 1

t tT tt t t

= =

+ + +


( ) ( )( ) ( )

2

3 2 32 2

1 11 1

minus = = minus

+ +prime

+

t tN t T ttt t


( ) ( )1 1 1 11 e 1 2 2 2 2 2 2

minus = =

T N



95


FONTE Os autores




( ) b

a

C f t dtprime= int



( )( ) ( )( )2 2

b

a




( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 2

b

a



96



eacute

( ) ( ) ( )( ) f t r cos t r sen t=



( )( ) ( )( )2

2 2

0

cos π


( ) ( )( )2

2 2 2

0

cosr sen t t dtπ

= +int


2

0

2 2 0 2

0C r dt rt r r r



NOTA


97



( )

( )

( ) ( )( ) ( )

24cos4

tx t

r t y t tz t sen t

=

= = =




( ) 12

x tprime =



( )( ) ( )( )26

2 2

2

1 4 4cos2

π

π


( ) ( )( )6

2 2

2

1 16 cos4

sen t t dtπ

π

= + +int6 6

2 2

1 6516 4 2

dt dtπ π

π π

= + =int int6

65 65 65 6 2 2 65 2 2 2

2t

ππ π π




( )( )( )| |

κprime

= T t

tf t


98




( ) ( )( ) ( 1 )f t r cos t r sen t=



e sua norma eacute



( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( ) 0 ( 0)

minusprime= = =

prime

r sen t r cos tf t

T t sen t cos trf t


( ) ( ) ( )2 2 cos sen 1= + =T t t t


( )( )( )

1 | |

κprime

= =T t

trf t



NOTA


99




( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 ng t g t g t g t=









( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 nf t f t f t f t=



( ) ( ) ( )( )0 0 0


rarr rarr rarr=

( ) ( ) ( )( ) ( )

0

0

cos

x t x a tr t

y t y b sen t = += = +


100















( )( ) ( )( ) ( )( )

0

0

0

cos

= += = + =

x t x a t



nf t f t f t f t

( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 = int int intint


( ) ( )( )

g t

T tg t

prime=

prime


( ) b

a

C f t dtprime= int

( )( )( )| |

κprime

= T t

tf t

101

AUTOATIVIDADE





a) ( ) ( )f t g t+




e) ( ) ( )1 1f t g t+ + minus


a) ( ) 2 4f t t i tj= +

b) ( ) ( )22 1f t ti t j= + minus

c) ( ) ( ) ( )( )3cos 3f t t sen t=

para [ ]02t πisin



a) ( ) ( )( )1 2 2 1mm

π +

b) ( ) ( )( )1 0 2 1mm

π +

c) ( ) ( )( )1 2 2 1mm

π minus

d) ( ) ( )( )1 0 2 1mm

π minus

( ) ( ) ( )1 cos2

t t sen tg t i t j

m m minus minus

= + +

102


a) ( ) 2

0 lim t

sen tt

trarr

b) ( ) ( )2

320

lim cos 2t

t

te tsen t

minus

rarr

c) ( )2

1lim 8 cos 2

1t

t t t ttrarr

minus+ minus

d) 3

31lim

2 1t

t

t tte tsent t

minus

rarrinfin

+ minus


a) ( ) ( )( )2 32 3 1 2f t t sen t= + minus

b) ( ) ( ) ( )( )4 cos 3 f t t sen t= + +


d) ( ) ( )2





a) ( ) ( )202

4 0 2f t t t tt

= isin infin =


c) ( ) ( ) ( )( ) [ ] 04 3 0 3



( )2

1 2 22tr t t

= + minus +

( ) ( )278 7 1 2


103




a) ( ) ( ) ( )( )2 2f t t sen t t tcos t=

b) ( ) ( ) ( )( )4 cos 3 f t t sen t= + +

c) ( ) 3 5 3f t t i t j t k= minus +



a) ( ) ( ) ( )( ) cos 3 f t t t sen t t π= =

b) ( ) ( )2 22 3 4 2f t t t t= minus + + =

c) ( ) ( ) ( )( )4 3 2





104









2

P0

(xy) = P0 + tvv

105


a) ( ) 1b) ( ) 2c) ( ) frac12d) ( ) radic2

106

107

TOacutePICO 2

CAMPOS VETORIAIS

UNIDADE 2











108









e ( )01j =





109


( )01 0j =

e ( )0 01 k =






FONTE Os autores



110


FONTE Os autores

FONTE Os autores



(xy) F(xy)

(00) (00)

(10) (01)

(ndash10) (0ndash1)

(01) (ndash10)

(0ndash1) (10)



111



FONTE Os autores






112

( ) 2 3 4 f x y y x y= minus



( ) 3 2f x y xyx

part= minus

part

( ) 2 2 4 3 f x y x yy

part= minus

part





n

f fx x

part partpart part


( )11

nn

f ff x xx x



partpart

e fy

partpart


( ) f ff x yx y



partpart

fy

partpart

e fz

partpart





113




( ) ( ) 2 2 f ff x y x yx y




FONTE Os autores


114





FONTE Os autores



115


FONTE Os autores



0 0 Q Prot Fx y


Q Prot F kx y


com ( )0 01 k =




x

y


116


FONTE Os Autores

3 20

-1

-1

0

1

-3

-3-2

-1

12

34

-4

-2









com i j e k




2R yy

part= minus

part0R

xpart

=part

Q xyz

part=

partQ yzx

part=

part

0Pz

part=

partP xy

part=

part


117








FONTE Os autores



eacute conservativo


x

y


118

26R xyzy

part=

part2 23R y z

xpart

=part

26Q xyzz

part=

part32Q yz

xpart

=part

2 23P y zz

part=

part32P yz

ypart

=part





( )0 0 0 =





( ) ndiv F rarr

e dado por

( ) 1

1

n

n

FFdiv Fx x

partpart= + +

part part




119

( ) ( ) ( ) P Qdiv F x y x yx y

part part= +

part part



part part part= + +

part part part






( ) P x y z yx

part=

part

( ) Q x y z xzy

part=

part

( ) 0R x y zz

part=

part


( ) div F y xz= +




120









( )( ) ( ) ( )3 2 2 2 4 3div f x y xy x yx y




( ) ( )( ) ( ) ( )2 2

1 1 1 12 21


part part n n n n

n




121








como P Q e 3 R rarr




( ) f ff x yx y






122








( ) 1

1

n

n

FFdiv Fx x

partpart= + +

part part

( ) ( )( ) ( ) ( )2 2

1 1 1 12 21

n n n nn



part part

123

AUTOATIVIDADE











e) ( ) 2 2 2 2 y xF x y i jx y x y

minus= +

+ +

f) ( ) ( ) ( )( ) 1 F x y z sen z ycos z=





124


e






125











volume


126

127

TOacutePICO 3

INTEGRAIS DE LINHA

UNIDADE 2










( ) ( ) ( )( ) ( )

cosx t tt

y t sen tγ

== =


128



FONTE Os autores

ndash1 0

y

x1



FONTE Os autores


( ) ( )( )0

n

i i ii

massa f x t y t ds=

cong sdotsum



129


FONTE Os autores

FONTE Os autores




ndash1 0

y

xγ(t0)γ(tn)

γ(ti-1)γ(ti)

1

1

ndash1 0

1 1

y

x

γ(ti-1)γ(ti)

γ(ti)

a) b)

1 ndash1 0

y

x

γ (ti-1)γ (ti)

γ(ti) ∆ti

1

130



0( ( ) ( )) | ( ) |

n

i i i ii


cong ∆sum


0lim ( ( ) ( ) | ( ) |

n


rarrinfinminus

= ∆sum


( )( ) ( )2

0

massa f t t dtπ

γ γ= primesdotint


( ) ( )( )

sen t

tcos t

γminus=




( ) ( )2

2

0


= +int

( ) ( )2 2

2

0 0


= +int int


131


2

0

22 2 4

0dt t

π ππ= =int


( ) ( ) ( )32 32 2

0

2cos 1 1 0

3 3 3 30






( ) ( )( ) ( )

b

a

f x y ds f t t dtγ






( )

1 b

a



1( ) ( ( )) ( )b


132







4

0

22 2 2 2

0

t

C dt tγ

ππ= = =int




NOTA



133


FONTE Os autores

FONTE Os autores


( )( ) ( )( )i

tF t

tγ

γγ

sdotprime

prime



xγ(a)

γ(b)γ(t)

y

z

x

γ(b)

y

z

γ(a)

134




γγ γ γ γγ

sdot sdot ∆ = ∆



( )( ) ( ) b

a



( )( ) ( )

b

a

Fd F t t dtγ




( ) ( )2 t t t tγ =

para 0 le t le 1


( ) 12 1 2

t tt

γ prime =


135


( ) 1

3 2

0

1 2 1 2

Fd t t t t dttγ

γ = minus sdot

int int1 2

3

0

22tt t t dt

t= + minusint

1 13 3 33 32 2 2

0 0

1 32 2 2


4 21

3 1 3 2 54 2 4 2 502

t t= + = + sdot

1 3 17 4 5 20

= + =


( )( ) ( )

γ


a

Fd F t t dt


( ) ( ) F x y z x y z=


( ) ( ) ( )( )2cos t t t sen tγ π π=

para 0 le t le 1

136





( ) ( )( ) ( ) ( )( )1

2

0


( ) ( ) ( ) ( )1

3

0


1 43

0

12 2 12 4 4 2

0

tt dt= = = =int



FONTE Os autores



( ) ( )( ) ( ) ( )( )2

0


= sdot minusint

( ) ( ) ( ) ( )2

0


= minus + +int

2 2 22

0

24 2

2 20

ttdtπ π

π π= = = =int


137



1 2

1 2Fd Fdγ γ

γ γ= minusint int


e


Mostre que

1 2

1 2Fd Fdγ γ

γ γ= minusint int

para F(xy) = (21)









138



Para γ1 temos que

logo


( ) ( ) ( )( )1

10


γ


( ) ( )0

2 cos sen t t dtπ

= minus +int

( ) ( )2cos 0

t sen tπ

= +


Para γ2 temos que


logo

( ) ( ) ( )( )2

2


γ π


( ) ( )2

2 cos sen s s dsπ

π


( ) ( )2

2cos s sen sπ

π ππ




1 2

1 2Fd Fdγ γ

γ γ= minusint int


139




RESUMO





140





A ORIGEM DOS VENTOS







141












1PV NRT Eq=

2dP g Eqdz

ρ= minus

12 3TdV V g F Eqdt

ρρ



+ nabla =part

142


em que


g =








143






144


Vento gradiente




145









800 mb900 mb

1000 mb

146









147








( ) ( )( ) ( )

1 b

na

f x x ds f t t dtγ


( )

1 b

a



( )( ) ( )

b

a

Fd F t t dtγ


1 2

1 2Fd Fdγ γ

γ γ= minusint int

148



a) ( ) ( )( )

3 3 0 2


y t tγ

γ == le le =

int





densidade

AUTOATIVIDADE


γ

γ+ + =int

( ) 2 1

=+xF x y zy

149







a) ( ) 2 umb) ( ) 4 umc) ( ) 6 um d) ( ) 8 um


a)

a)

b)

c)

b)

c)

d)

e)

( ) ( ) 3 2 4F x y z y x z=

( ) 21 0 0

1F x y z

x = +



( ) ( )2 3 3 3 1 F x y z x x z= minus




( )( )( )( )

1 cos

2 1 cos

t

t sen tt

γ

+

= minus

150




2 y dx x dy

γ

+int

151

UNIDADE 3



PLANO DE ESTUDOS










152

153

TOacutePICO 1

TEOREMA DE GREEN

UNIDADE 3








154








( ) ( ) ( ) F x y P x y i Q x y j= +


ou ainda

+

rarr rarr

part


int intintDD

Q PF d r dxdyx y

+part


int intintDD

Q PP dx Qdy dxdyx y



155



FONTE Os autores

y

xD

Dpart




( ) (2 ) (3 4 ) F x y x y i y x j= + + +



FONTE Os autores


156



1

0

( 0)AO


sdot =int int

12

0

12 1

0xdx x= = =int


[ ] [ ]

1

01

01

01

0

(1 )( ) (1 )

2(1 ) 3 4(1 )

2 2 3 4 4

12 2 2

0

rarr rarr




= = =

int int

int

int

int

AB


y y dy y y dy

y y y ydy

dy y


1

0

21

0

(0 )

13 33 02 2

rarr rarr

sdot = minus


int int

int

BO

F dr Q y dy

yydy



157

3 31 22 2D

F drrarr

part +

sdot = + minus =int



intint intintD D

Q P dxdy dxdyx y

jaacute que

e

assim

(3 4 ) 4Q y xx x

part part= + =

part part


part partP x yy y


intint intintD D

Q P dxdy dxdyx y1 1

0 0 0

3 30

= =int int inty y

dxdy x dy

1 2

0

13 33 02 2

= = =intyydy


DICAS


158





FONTE Os autores


e

( )2 2Q xy yx x

part part= =

part part

( )2 2P x y xy y


part part


2 2( )+

rarr rarr

part





159



2

1 23 3

0 0

41 3

0

12 2

04 2

θ

θ

π

θ

θ θ

ππ π

+

rarr rarr

part

sdot = sdot

= =

= = =

int intint

intint int int

int

r

r

DD

D

F d r r r drd

r drd r d dr

rr dr



( ) 2 2 sup2 sup2

y xF x y i jx y x y

= minus + + +



160


FONTE Os autores



Assim temos que


Entatildeo

2 2 2 2

2

2 20

22 2

02

0

( ) cos( )( ( ) ) cos( )

( ) cos ( )

2

C C



sen t t dt

dt

π

π

π

π

+ +

rarr rarr

sdot = minus ++ +

= minus minus +

= +

= =

int int

int

int

int

x0 andasha

ndasha

a

y


161




= minus +





( ) ( ) ( ) F x y P x y i Q x y j= +


+

rarr rarr rarr

part

sdot = int intint

DD

F n ds div F dxdy


( ) ( )( ) ( )( ) div F P x y Q x yx y

part part= +

part part


C

sF n drarr

sdotint


162

onde

( ) ( ) ( )2





FONTE Os autores


3

D C C




CF n dsrarr rarr

sdotint


163


( ) ( ) ( )2





( )2 2

0 0

3

0

4

0

2 ( )

22 ( )03

2 ( )3

16 32( cos( )) 03 3

π

π

π

θ θ

θ θ

θ θ

πθ

rarr rarr

partsdot =

=

=

=

= minus =

int intint

int int

int

int

D

D

F n ds div F dxdy

r sen dr d

r sen d

sen d




e assim sendo

3

2

0

2 22

02

rarr rarr

sdot =

= =

int intCF n ds x dx

x


164


3 3

32 382 3 3



= + =

int int int

165






+

rarr rarr

part +part


int int intint D DD


+

rarr rarr rarr

part

sdot = int intint

DD

F n ds div F dxdy

166










AUTOATIVIDADE

2

C

x dx y dy+int

2

2 ( )1minus

= ++int

C

x yI dx arctg x dyx

2 2 2 2minus

++ +int

C

y xdx dyx y x y

( ) ( )( )3 3 ( ) cos= minus + +

xF x y e y i y x j

167

a) ( ) 2π

a) ( ) 2503

c) ( ) 1512

b) ( ) 32π

b) ( ) 87

d) ( ) 32

d) ( ) 127

c) ( ) π



( ) 21 2

= +

F x y xy x xy

168

169

TOacutePICO 2

TEOREMA DE GAUSS

UNIDADE 3







170








171







172





onde



dS



= timespart part




intintS

xy dS




part partu v


173


( )1 1 2 1 3 2 1 1 1

i j k

u vϕ ϕpart part


minus





14 dS du dv=


2 2

1 2 2

0 0

31 2

0

1 3

0

4

( )( ) 14

14

14

1403

2 143

12 14 14 03 4 6

= minus +

= minus

= minus

= minus

=

= =

intint intint

intint

int int

int

int

S S

Du

xy dS u v u v du dv

u v du dv

u v dv du

uvu v du

u du

u




174


rarr rarr rarr rarr

minus


F d r F d r





rarr rarr

Φ = sdotintintS

F n dS



FONTE Os autores


NOTA

ϕ ϕϕ ϕ

times=

times u v

u v

n


175




e







1 0 2 (2 2 1)0 1 2

ϕ ϕ

rarr rarr rarr


u v u u vv

i j k


2 2

2 2

1 1 2 2

0 0131 2

00

2

( ( ))

( ( )) ( )

(2 2 ) (2 2 1)

(4 2 2 2 )

(4 2 )

(4 2 )

4 23

4 23

ϕ ϕϕ ϕ ϕϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

rarr rarr rarr

rarr


times

= sdot times

= + minus sdot

= + + minus

= +

= +

= +

= +

intint intint

intint

intint

intint

intint

int int

int

u vu v

u vS D

u vD

D

D

D

F n dS F u v dudv

F u v dudv

u u v uv u v dudv

u uv v uv dudv

u v dudv

u v dudv

u uv dv

v1

0

13

0

4 23 3

4 23 32

= +

= +

=

int dv

v v

176


2 2

2 2

1 1 2 2

0 0131 2

00

2

( ( ))

( ( )) ( )

(2 2 ) (2 2 1)

(4 2 2 2 )

(4 2 )

(4 2 )

4 23

4 23

ϕ ϕϕ ϕ ϕϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

rarr rarr rarr

rarr


times

= sdot times

= + minus sdot

= + + minus

= +

= +

= +

= +

intint intint

intint

intint

intint

intint

int int

int

u vu v

u vS D

u vD

D

D

D

F n dS F u v dudv

F u v dudv

u u v uv u v dudv

u uv v uv dudv

u v dudv

u v dudv

u uv dv

v1

0

13

0

4 23 3

4 23 32

= +

= +

=

int dv

v v





( ) rarr rarr rarr

=part




se F = (P Q R)

NOTA

( ) P Q Rdiv Fx y z

part part part= + +

part part part


177





2 2 2 1x y z+ + =


entatildeo

2 2 2

2 2 2

( ) ( )

( ) 4 π

rarr rarr

sdot = minus + sdot

= minus + + +

= + +

= = =

intint intint

intint

intint

intint

S S

S

S

S


x xy xy y z dS

x y z dS

dS Aacuterea S


( ) 1 1 1 3div F = + + =

Portanto temos que

3 3 ( )=intintintW

dxdydz V W


( )34 4

3 3rV W π π

= =

178


concluiacutemos que

43 4 3π π

rarr rarr


F n dS



UNI



rarr rarr

sdotintintS

F n dS





179


FONTE Os autores

z

n

n

n

y

ndash2ndash1 1

1

y

x1

1

ndash1


eacute

( ) 1 1 2 2 2 div F z z= + + = +


( )

2 2

rarr rarr rarr

=part

sdot =

= +

intint intintint

intintintS W W

W


z dx dy dz


2

0

2

2

2

2 2

22

0

2( 2) ( 2)

6 8

+rarr rarr

=part

sdot = +

+= +

= + + +

= + +

intint intint int

intint

intint

intint

x

S W D

D

D

D

F n dS z dz dx dy

xz z dx dy

x x dx dy

x x dx dy

180



logo


2 1 220 0

2 13 2 2

0 02 4 3 2

2

02

0

( cos ( ) 6 cos( ) 8)

cos ( ) 6 cos( ) 8

16 8cos ( ) cos( )04 3 2

1 cos 2( ) 2cos( ) 4 4

π

π

π

π

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

rarr rarr

=part

sdot = + +

= + +

= + +

= + +

intint int int

int int

int

int

S W

F n dS r r rdr d

r r r dr d

r r r d

d


e

2 2

0

21 1 (2 )cos ( )04 4 2 4 4


send

2

0

22cos( ) 4 2 ( ) 4 8

0π π



338 4 4π ππ

rarr rarr

=part

sdot = + =intintS W

F n dS


DICAS


181


( ) 2 2 2 4 F x y z x i y j y x k= + +




FONTE Os autores


2 2 2( ) ( ) (4 ) ( )

2 8

div F x y y xx y z

x y

part part part= + +

part part part= +

portanto

( )

2 8

rarr rarr rarr

=part

sdot =

= +

intint intintint

intintintS W W

W


x y dx dy dz

0 y

z

x

182



2 3 2

0 0 0

2 3 2 2

0 0

3 32

0

2

0

(2 cos( ) 8 ( ))

2(2 cos( ) 8 ( ))

0

34 16cos( ) ( )03 3

102cos( ) 144 ( )

2102 ( ) 144cos( ) 0

0

π

π

π

π

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

πθ θ

rarr rarr

=part

sdot = +

= +

= +

= +

= minus =

intint int int int

int int

int

int

S W


r r sen z dr d

r r sen d

sen d

sen


0rarr rarr

=part

sdot =intintS W

F n dS

183








Onde



dS



= timespart part

rarr rarr

Φ = sdotintintS

F n dS

div rarr rarr rarr

=part


F n dS F dxdydz

184

AUTOATIVIDADE












( ) ( ) F x y z x y z=

( ) ( ) F x y z x y z=


( )2 2 2 F x y z=

( )2 3F x xz z=

185





( ) 3 3 2 F x y z x i y j z k= + +

( ) 2 2 3 F x y z xi yj z k= + +

186

187

TOacutePICO 3

TEOREMA DE STOKES

UNIDADE 3










188








189



FONTE Os autores

FONTE Os autores



y

z

x

y

z

x


190





part


rot F n dS F d r



( )

i j k

rot Fx y z

P Q R

part part part=

part part part





DICAS



F(xyz)= (3z4xy)


191




FONTE Os autores

-2

-2

-2

-3

-3

-4

-4

-5

-5

-6

-1

-1-1

1

2

3

4

5

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

11

0


x = 2cos(t) y = 2sen(t) e z = 0



2

0

3 4

3 0 ( 2 ( ) ) 4(2cos( )) (2cos( ) ) 2 ( ) 0

C C

F d r z dx x dy ydz


rarr rarr

sdot = + +


int int

int



192

2 2

016cos ( )

216 16 (2 ) 16 02 4

π

ππ

rarr rarr

sdot =

= + =

int intC

F d r t dt

t sen t


( ) ( )

1 3 4

3 4

i j k

rot Fx y zz x y

part part part= =

part part part



( ) (13 4) ( 2 2 1)

( 2 6 4)

rarr rarr


= minus minus +

intint intint

intintD D

D


x y dx dy


2 2

0 0

2 2 2 2

0 0

32 3 2

0

2

0

( ) ( 2 cos( ) 6 ( ) 4)

( 2 cos( ) 6 ( ) 4 )

22 cos( ) 2 ( ) 203

16 cos( ) 16 ( ) 83

216 ( ) 16cos( ) 803

0 0 16 16 16 0 16

π

π

π

π

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

πθ θ θ

π π

rarr rarr


= minus minus +

= minus minus +

= minus minus +

= minus + +


intint int int

int int

int

int

D


r r sen r drd

r r sen r d

sen d

sen



193





z znx y

UNI






FONTE Os autores

xy

z

1

1

1

C



194


FONTE Os autores

FONTE Os autores

z

xy1

1

1

S nC S= part



y

y = 01

1

y = 1 ndash x

D x + y = 1

x


normalizando N

teremos

( )111 = =n e dS dxdy




F d r rot F n dS


195


( ) ( )2

0 1

i j k



part part part


( )

( 0 1) (111)

( 1)

rarr rarr rarr rarr

sdot = sdot

= minus minus sdot

= minus + minus

int intint

intint

intint

CD

D

D

F d r rot F n dS

x z dxdy

x z dxdy


1 1

0 0

21

0

21

0

21 2

0

21

0

3 2

( )

2

12

02

(1 )2 (1 )2

12 22 2

3 12 2

1 1 1 1 1 02 2 2 2 2 2 2

rarr rarr

minus


= minus minus

minus= minus minus



= minus minus


int intint

int int

int

int

int

int

CD

x

F d r x x y dxdy

x y dydx

xyxy dx

xx x dx

xx x x dx

x x dx

x x x


( ) 2 3 2 4 F x y z x i xy j y x k= + +



196


FONTE Os autores



( ) ( )2 3

2 2

2 4

4

i j k

rot F xy y yx y z

x xz y x


part part part


( ) 1 1 11z znx y



2 3

2 3

( )

(2 4 ) ( 1 11)

( 2 4 )

rarr rarr rarr rarr

sdot = sdot


= minus + +

int intint

intint

intint

CD

D

D

F d r rot F n dS

xy y y dx dy

xy y y dx dy

y

z

x

1

01

2


197


1 2 2 3

0 0

31 2 4

0

1

0

1

0

2

( 2 4 )

203

84 163

56 43

156 56 502 2 03 3 3

rarr rarr

sdot = minus + +

= minus + +

= minus + +

= minus

= minus = minus =

int int int

int

int

int

CF d r xy y y dy dx

yxy y dx

x dx

x dx

x x


198




1 HOMEM




[]

2 O TEOREMA



199



2 1 ( ) σ


intint intD


(21)







200





201








202


( ) ( )1 F x y y b x ar

= minus + minus


( ) ( ) v t

tωρ

=



( ) t dtβ

αωΩ = int


203


0

1( ) ( ( )) ( )

1 ( ( )) ( )

2

t dt F t t dt

G t t dtr

n

β β

α α

β

α

ω σ σρ

σ σρ

π

Ω = = sdot

= sdot

=

int int

int (22)

(23)


2 1 σ


int intintD

G GG dr dxdyx y



( ) ( )2 1 2 2 x yG G a b Div a bx y



204


( ) ( )

2 2 2

2 2 2

a b R

x a y b r

+ =

minus + minus =(24)

(25)



( )( ) ( )( )2 2 0

2 1 2 0

x x

x x

aa bbx a a y b b


Assim

( )( ) ( )( )

1 0

xx

x x

aabb

x a a y b b


Logo ( )( ) ( )1 0xx

aax a a y bb


( ) ( ) ( ) 0x

a y ba x a x a


isto eacute

( )xaya x x ab


e por conseguinte

( ) x

b x aa

xb yaminus

=minus


205

(26)

(27)


( )( ) ( )( )2 2 0

2 2 1 0

y y

y y

aa bb

x a a y b b


Assim

( )( ) ( )( )

1 0

yy

y y

bba

ax a a y b b

= minus


Logo ( ) ( )( )1 0yy

bbx a y b b


( ) ( ) ( ) 0ybb x a y b y ba


isto eacute

( ) yxbb y y ba

minus = minus minus

e por conseguinte

( ) y

a y bb

xb yaminus minus

=minus





minus minus

1 bx ayxb ya

minus= =

minus


206


2 1 1G Gx y

part partminus =

part part


2 1 ( ) D



int (28)

(29)




( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) r aq st t t t G tr r



( ( )) ( )

( ( )) ( ) ( ( )) ( ( ) ( ))

( ( )) ( ( ))

r

a

r G t t dt


s dG t G tr dt

β

α

β β

α α

β

α

ρ σ σ

σ σ σ σ σ

σ σ

Ω = sdot

= sdot + sdot minus

+ sdot

int

int int

int


207





( )t dtβ

αθint


[]


208









S

S


part


( )

i j k

rot Fx y z

P Q R

part part part=

part part part



209

AUTOATIVIDADE



F(xyz) = (3z4xy)




C

F d rrarr rarr

sdotint





τrarr rarr

= sdotintC

F d r

( ) 2 3 2 4 F x y z x i xy j y x k= + +


210







τrarr rarr

= sdotintC

F d r

τrarr rarr

= sdotintC

F d r

( ) 2 2 = + +

F x y z xyi x j z k

( ) 2 2 = + +

F x y z xyi x j z k

211

REFEREcircNCIAS
















IV







NOTA


Bons estudos


V


UNI

VI

VII
















sumaacuterio

VIII







REFEREcircNCIAS 211

1

UNIDADE 1



PLANO DE ESTUDOS















2

3







43 2 2 3 2

4

= = +




4



dado por

( ) b

a

f x dxint

2 sube rarr f D




FONTE Os autores


x

y


5












m n




6


FONTE Os autores


( )0 0

= =

= ∆ ∆sumsumn m

m n i ji j

S f u v x y



( ) 0

0 0

lim ( )rarr

= =


i jm ni j D



NOTA


7


Teorema de Fubini


entatildeo

em que



D c a


( ) ( ) ( ) d b d b b d

c a c a a c


= =



( ) b

a

f x y dxint




( ) 2 f x y xy=


8


1 1

0 0

sup2 xy dxdyintint


1 12

0 0

y x dx dy

sdot

int int


11 12 2 22 2

0 00

1 0 2 2 2xy dy y dy

sdot = minus

int int1 2

0

2y dy= int


112

00

1 1 sup3 1 2 2 3 6

yy dy = sdot = int



IMPORTANTE

1 1

0 0

sup2 intintxy dydx


9




FONTE Os autores


1 1

0 0



1 1

0 0

2 x y dx dy

minus minus

int int


11 12

0 00

32 2 2xx xy dy y dy

minus minus = minus

int int


10


11 2

0 0

3 3 3 1 12 2 2 2 2

y yy dy


int




FONTE Os autores


1 12

10

1V x dydxminus

= minusint int1 1

1 0

1 sup2 x dy dxminus

= minus

int int1

2

1

10minus


12

1

1 x dxminus

= minusint


11


12

1

1 V x dxminus

= minusint13

13xx

minus

= minus

( ) ( )311 41 1 3 3 3





FONTE Os autores



12






FONTE Os autores


( )( )

( )

( )1

2

=

intint int intx

g xb

R a g x




( ) 2 f x y xy=




13


2 21 1 1 12 2

0 0 0 0

x x


= sdot


0 03

xyx dx

minus

= sdot

int1 3

2 2

0

1 1 3



1 1 332 22

0 0

1 11 3 6


152

0

1 26 5

u

= minus sdot

( )15

2 2

0

1 2 11 6 5 15

x



( )

3

3 D

x y dA+intint




14


FONTE Os autores




( )2 2

22 2 2 23 3

0 0

33 2

xx

x x

yx y dy dx x y dx

+ = +

int int int

( ) ( )22 223 3 2

0

33 22

2 2xx

x x x x dxsdotsdot


4 2 5

0


( )2

5 4 2

0

1 2 12 2


0

1 2 122 6 5 3

x x x = minus + +

6 5 31 2 2 2 12 2

2 6 5 3 sdot sdot

= minus + +

1 64 32 12832 2 3 5 15

= minus + + =


15


2 2 16 2 4x y e x y+ = + =


( )

1 D

A D dA= intint


e

2 216 82 2

x xy minus= = minus

4 22 2

x xy minus= = minus





16


FONTE Os autores


( )2

2 3 4 e 2 82 2


x xD x y x y


2 284 42

3 322

821

22

minus

minus minusminus

minus =

minus

int int intx

x

x

dy dx y dxx

4 2

3

8 22 2x x dx

minus


3

62 2x x dx

minus

= + minusint

( )4

3

1 34312 sup2 2 12

x x dxminus

= sdot + minus =int


17



( )2

1 12

0 0

1 x

x

dy dx x x dx

= minus

int int int13 3

2

0

2 1 3 3 3

= minus =

xx






FONTE Os autores


( )( )

( )

( )2

1

=

intint int intx

h xd

R c h x



18



( )

3

3 D

x y dA+intint




FONTE Os autores


( ) 2 e 0 4 2

= isin le le le le

yD x y x y y



19

( )4 4 4

3

0 022

3 3 4

yy

yy

xx y dx dy yx dy

+ = + int int int

( )4

44

0

23 34 4 2

yy yy y y dy


4 32 4 22

0


2

0

5 34 64y yy dyminus

= + minusint45

3 52

0

5 612 5 320y y y

= minus + minus

53 525 4 6 44

12 5 320sdot

= minus + minus

80 192 16 128 3 5 5 15

= minus + minus =

( )2

1 12

0 0

1 y

y


int int int13 3

2

0

2 1 3 3 3

= minus =

yy






20


NOTA

( ) ( ) ( )1 2





( ) intintintR

f x y z dV



NOTA


21





( ) fb d

a c e

f x y z dz dy dx

int int int





2 1 2

1 0 1

xyz dx dy dzminus


1 0 1 01


minus

= = sdot


1 10

3 3 9 2 2 4 8

y z dz z dz

= sdot = sdot =

int int



22


2 2 2

R





FONTE Os autores




22 22 2 2

0 0 0

x yx


+ +

int int int

( ) ( )2 2

2 2

0 0

1 2 3 3 2 sup2 3

x



int int

( ) ( )2

2 2

0

1 82 2 1 3 5


23










D c a


( ) ( ) ( ) d b d b b d

c a c a a c


= =


( )( )

( )

( )1

2

=

intint int intx

g xb

R a g x


( )( )

( )

( )2

1

=

intint int inty

h xd

R c h x


( )

1 D

A D dA= intint

24



( )

R

f x y z dVintintint

( ) fb d

a c e

f x y z dz dy dx

int int int

25



a)






b)

AUTOATIVIDADE

( )3 2

2 0

2 6xy dydx+intint

( )3 4

1 2


26

a) ( ) 16b) ( ) 12c) ( ) 13 d) ( ) 14e) ( ) 15



( ) = intintintmR

V F F dV

05 24

0 0

8 2 4 x

x y dydxminus +

minus minusint int

2 42

0 0

8 2 4 y

x y dxdyminus +

minus minusint int


a) ( ) 512b) ( ) 643c) ( ) 64 d) ( ) 8


a) ( ) 13b) ( ) 23c) ( ) 56d) ( ) 76



27




a) ( )

b) ( )

c) ( )

d) ( )

( )22

0 6

x

x

f x y dx dyminus

int int

( )2

2 6

3

x

x

f x y dy dxminus

minusint int

( )2

2 6

0

x

x

f x y dy dxminus

int int

( )2 sup2

36

x

x


28

29

TOacutePICO 2



UNIDADE 1




( )

( )

( ) ( )( ) ( ) acute g d d

g c c



Logo

1

0

1 sup2 x dxminusint




( )1 2

2

0 0


π

minus =int int


30



( )( )1 2

2

0 0

11 1 cos 2 2

x dx u du

π


( )21 22 2 40

ππ

+ =

sen uu





( )( )

x x u v

Ty y u v

= =



( ) u v

u v

x xJ T

y y=


31


( ) ( ) ( )( ) ( )

xy uvR R











FONTE Os autores


32


( )( )

cos

senθθ

= sdot = sdot

x rT

y r



( ) ( ) ( )( ) ( )

cos sensen cos

rJ T

rθ θθ θ

minus sdot=

sdot







NOTA


( )

2 2

log xyR

x y dA+int int


33




FONTE Os autores






( ) ( ) 2 2

2 2 2

0 1

log log xyR

x y dA r r drdπ


( )2 2

2

0 1

log r r dr dπ

θ

= sdot

int int



34

sup2u r=

2 2

= =dudu r dr r dr

Assim sendo

( ) ( )2 4

2

1 1

1log log 2


( )( )4

1


( )( ) ( )( )4 1log 4 1 log 1 12 2

= minus minus minus

( ) ( )1 32log 4 2 0 2log 4 2 2



( ) ( ) ( )2

0

3 3 32log 4 2 log 4 log 4 22 2 40


int d


UNI


2

14 sup2 xyR




35


( ) 2 3

2

0 2

14 ( sup2) 14 sup2 π


x y dA r r drd


32 3 2 2 43

0 2 0 2


π π

θ θ

minus = minus

int int int2 4 4

2 2

0

3 27 3 7 24 4

dπ

θ


int

( )2

0

8163 28 44

dπ


22

00

81 81 81 4 4 2



2 2

xyR

x x y dxdy+int int




( ) 22

2 2 2

0 1

π




36


( ) ( ) 2 42 2

3

0 1 0

2cos cos

41

rr drd d

π π


( )42

0

2 1cos 4 4

d

π

θ θ

= minus

int

( ) ( )2

0

15 15cos 24 4 0


( )15 15 150 4 2 4 4

sen senπ = minus =





3 3 T rarr


( )( )( )


z z u v w

=

= =


37



( ) u v w

u v w

u v w

x x xJ T y y y

z z z=


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

xyz uvwR R







θ =


( )

R

f x y z dVintintint


38


( ) ( ) ( )( )

θ





NOTA

= intintintD

Volume dV




E assim

[ ]2 2

00 0 0 0 0

R h R



0 0

R

h r drdπ

θ= sdotint int2 2

0 0

2

Rrh d

π

θ

= sdot

int2



39


D

xy dVintintint



( ) ( )( ) 2 1 1

0 0 0

D




( ) ( ) 2 1 1

2

0 0 0

cos D

xy dV r sen dzdrdπ


( ) ( )2 1

2

0 0

1cos

0r sen z drd

π


( ) ( )2 1

2

0 0

cos r sen drdπ


( ) ( )12 3

0 0

cos3r sen d

π

θ θ θ

=

int

( ) ( )2

0

1 cos 3

sen dπ

θ θ θ= int


2

0

1 3D

xy dV u duπ


( )2

2

2 21 1 cos 3 2 6

0 0

uπ π

θ= minus = minus

( ) ( )2 21 1cos 2 cos 0 06 6

π= minus + =


40



D

dxdydzint int int



2 2

2 2

2minus minus


xy

x y

x yD D

dxdydz dz dxdy

2 2

2 2

2 minus minus=

+intintxyD

x yz dx dy


xyD

x y dxdy

Vamos considerar

2 2 2r x y= +

( )cosx r θ=

( ) y r sen θ=


( )2 1 2

0 02 2


D

dxdydz r rdrd

2 1 3

0 02 2


42 22

0 0

1 102 2


rr d d

21 02π

θ π= =


41





ou seja


z = ρ cos(ϕ)

ou ainda

2 2 2x y zρ = + +

yarctgx

θ =

2 2 2arccos z

x y zφ

= + +



FONTE Os autores


42


( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )2

cos cos cos cos cos

cos 0


φ ρ φ

minus= + =

minus


sen


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2

cos cos ρθφ





2 2 2

( )32 x y z

D





2 2 2 2x y zρ = + +


FONTE Os autores

11

ndash1

x

y

z


43


( )2 2 2 32 3 2 1

( ) 2

0 0 0


D


( ) 32 1

2

0 0 0

sen e d d dπ π



31 1

2

0 0

13


( )1

1 1 1 3 3

0

ue e= = minus

Assim

( ) ( )2 2 2 32 2

( )

0 0

1 13

π π


D

e dxdydz e sen d d

( ) ( )2

0

1 1 cos 3

0e d


( )2

0

2 13

e dπ

θ= minus int

( ) ( )2

2 41 1 3 3

0e e



( )23 sup2 z x y= +



44


FONTE Os autores


( ) ( )2 2 2 23 sup2 3 sup2x y x y x y+ + + = +

( ) ( )2 2 24 3 sup2x y x y+ = +

( ) ( )22 2 2 216 3x y x y+ = +


2 2 316

x y+ =



2 2 2x y z z+ + =


( )2 cosρ ρ φ=

ou seja

( )cosρ φ=


45


( )2 23z x y= +


( ) ( )2 2cos 3 senρ φ ρ φ=


( ) 1 63

tg πφ φ= sdot =


( )

( ) ( )( )cos2 2 36 6

2

0 0 0 0 0

cos

30

sen d d d sen d d

π πφπ π φ


( ) ( )32 6

0 0

cos

3sen d d

ππ φ

φ φ θ= int int


( ) ( )36

0

cos

3sen d

π

φφ φint


( ) ( )3 36 6

0 0

cos

3 3usen d du

π π


( )44 cos6

12 12 0

πφ= minus = minus

u


46

( )4 44cos cos 0 1 3 1612 12 12 2 12


9 1 7

192 12 192= minus + =


( )

( )cos2 26

2

0 0 0 0

7 192

sen d d d d d

πφπ π


7 7 192 96

0

ππθ= =


NOTA

47







( ) ( ) ( )( ) ( )

xy uvR R


( )( ) ( )2 2 2 θ

θθ

= sdot = + = = sdot



( ) ( ) ( )( ) ( )

cos sen

sen cosr

J T rr

θ θθ θ

minus sdot= =

sdot

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

xyz uvR R


( ) ( ) ( )( )

θ



( ) ( )

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ρθφ



48

em que

ou ainda



θ = 2 2 2

arccos zx y z

φ = + +

49



a)





b)

a)

a)

b)

b)

AUTOATIVIDADE

22 22 2

0 0

x

x y dy dxminus

+int int21 1

0 0

x

x dy dxminus

int int

2

2 2

2 4 22 2

0 0

x

x y

x y dz dy dxminus

+

+int int int

2112 2

1 0 0

y x

x y dz dx dyminus

minus

+int int int




z dxdydz D x y z z

50



a) ( ) πb) ( ) 4

π

c) ( ) 2πd) ( ) 2

π

e ( ) 4π





( )2

2 22 4

0 0

minus

+int intx

x ye dydx

z

yx

(0 0 1)

0

D

51

TOacutePICO 3


UNIDADE 1







δ(x y)



( ) δ= intintD

m x y dxdy


52





FONTE Os autores





m x y dxdy xy dxdy

2 4 2 4

0 0 0 0


= =

int int int int

2 22

0 0

43 24

20


22

24 482

0

y= =


53




R R

(x y)

2 2d x y= +


( ) 2 2x y k x yδ = +






2

0 0

R

m kr dr dπ

θ

=

int int

3 3

0 0

3 3

0

Rr kRk d d

π π

θ θ= =int int

3 3

3 3

0

kR k Rπ

πθ= =

54







( ) δ= intintD

q x y dxdy




FONTE Os autores




55



q x y dxdy x ydxdy

2 3 2 32 2

0 0 0 0

x y dx dy y x dx dy

= =

int int int int

2 23

0 0

3 9

30


22

9 9 2 182

0

y= = sdot =






( ) ( )( )1

2 2

0 0


D


( )1

2 2

0 0

x

x x y y dy dx

= minus minus

int int

( )1 2 3

2

0

2 3

0

xy yx x dx

= minus minus

int

( )1 2 3

2

0 2 3x xx x dx

= minus minus

int

1 3 4 5

0


56


4 5 61

1 1 1 8 6 18 8 6 18

0


9 12 4 1 72 72

minus += =


coulombs



( )

( )

δ

δ= =

intint

intinty D

D

x x y dxdyM

xm x y dxdy

e

( )

( )

δ

δ= =

intint

intintx D

D







57


FONTE Os autores





m x y dxdy x y dxdy

1 2 2

0 0

1 3 x

x y dy dxminus

= + +

int int

1 2

0

2 23

20

xyy xy dx

minus

= + +

int

( ) ( )21

0

2 22 2 3 2 2

2x

x x x dxminus


1 32

0

144 4 4 3

0


4 84 3 3

= minus =

58





1 2 22

0 0

3 x

y xy y dy dxminus

= + +

int int

1 2 2 3

0

2 23

2 2 30

xy xy y dx

minus

= + +

int

( ) ( ) ( )2 2 31

0

2 2 3 2 2 2 22 2 3

x x x xdx


1 3 22 2 3

0

8 24 24 82 4 2 6 12 63


1 32

0

14 106 2 3 3


3 42

114 2 53

3 3 60


14 2 5 113 3 3 6 6

= minus minus + =



1 2 22

0 0

3 x

x x xy dy dxminus

= + +

int int

1 22

0

2 23

20

xxyxy x y dx

minus

= + +

int

( ) ( ) ( )212

0

2 22 2 3 2 2

2x x

x x x x dxminus


2 2 3 2 3

0


13 4 2

0

14 4 2



59

1 2 1= minus + =

Assim segue que

e

11 e 16x yM M= =


1 38 8 3

yMx

m= = =

11116 8 16

3

xMym

= = =


x y =



FONTE Os autores

( ) 3 11 8 16

x y =

()311 816

xy =

60




e

( ) 2 2 x y k x yδ = +


3


( ) ( )3

0 0

π


xD


( )4

0

4

0

Rrk sen d

π

θ θ= int

( )4

04Rk sen d

π

θ θ= int

( )4 4

cos 4 2

0

R kRkπ

θ= minus =

( ) ( )3

0 0

π


yD


( )4

0

4

0

Rrk cos d

π

θ θ= int

( )4

04kR cos d

π

θ θ= int

( )4

sen 04

0

Rkπ

θ= =


61

e


30 0

3

yMx

k Rm π= = =

4

332 2

3

x

kRM Ry

k Rm π π= = =






( )2 δ= intintxD

I y x y dxdy

( )2 δ= intintyD

I x x y dxdy


62


0 x yI I I= +



( )2 2( ) δ= +intintD

x y x y dxdy




Calculando Ix temos

( ) ( )( )2

22

0 0

π


xD



( )2 4

2

0

4

0x

arI k sen d

π

θ θ= int

( )24

2

04ka sen d

π

θ θ= int


( )24

0

1 cos 28x

kaI dπ

θ θ= minusint

( )42

2

8 20

senkaπ

θθ

= minus

4 4

2 8 4

ka k aππ= sdot =


63


4xk aI π

=


( ) ( )( )2

22

0 0

π


yD



( )2 4

2

0

cos 4

0y

arI k d

π

θ θ= int

( )24

2

0

cos4

ka dπ

θ θ= int


( )24

0

1 cos 28y

kaI dπ

θ θ= +int

( )42

2

8 20

senkaπ

θθ

= +

4 4

2 8 4

ka k aππ= sdot =


4yk aI π

=



4 4 4

0 4 4 2x y

k a k a k aI I I π π π= + = + =

64



FONTE Os autores


( )4 2

2 2

0 0


xD

I y x y dxdy y dydx

4 4 332

0 0

28

3 30


5522

48 16 512 453 15 15

02

x= = =


0 2k aI π

=




65

e

( )4 2

2 2

0 0


yD

I x x y dxdy x dydx

4 4 52 2

0 0

2 2 0


7722

44 5122 4 7 7 7

02

x= = =


0512 512 11264 15 7 105x yI I I= + = + =

66












67








68




KMOL







69


2 2

0

R

R r r drminusint

2

2 20

2 2

2

R

u R rduu du rdr

durdr

= minus

= minusminus =

minus

int

2

0

1 2

R

u duint2

321

30

Ru

( )3

2 321 13 3

R R=

23

0

1 2 3V R d

π

θ= int

3

21

2 30

V Rπ

θ=

31 2 2 3V R π=

34 3

V Rπ=





70









e

( ) δ= intintD

m x y dxdy

( ) δ= intintD

q x y dxdy

( )

( )

δ

δ= =

intint

intinty D

D

x x y dxdyM

xm x y dxdy

( )

( )

δ

δ= =

intint

intinty D

D

x x y dxdyM

xm x y dxdy

( )2 δ= intintxD

I y x y dxdy

( )2 δ= intintyD

I x x y dxdy

( ) ( )2 20 δ= + = +intintx y

D

I I I x y x y dxdy

yy

71









AUTOATIVIDADE

72

73

UNIDADE 2



PLANO DE ESTUDOS











74

75

TOacutePICO 1


UNIDADE 2









( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 nf t f t f t f t=


76



com i

e j


e ( ) 01 j =

com i

j

e k


( ) 01 0j =

e ( ) 0 01 k =

( ) ( ) ( )1 2 f t f t i f t j= +


( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 f t f t i f t j f t k= + +


( ) ( )2 3 1f t t t= minus +









77






a) ( ) ( ) f t g t+













por h






78


e g

como a seguir

( ) ( ) 3

2

3 2 2

2

i j kf t g t t t


minus





( ) ( ) ( )( )0 0 0


rarr rarr rarr=


22

2 2lim 4 4t

ttt trarr

minus minus


2 22 2 2 2




Como

2

2 2lim 12t trarr

= =

2lim 4 4 2 8t

trarr

= sdot =


79

( )( )22 2 2

2 2 1 1 1 lim lim lim4 2 2 2 2 2 4t t t


minus minus= = = =

minus minus + + +

concluiacutemos que

22

2 2 1lim 4 1 8 4 4t

ttt trarr

minus = minus


estaacute definido

existe

( )0) i f t

( )0) i f t

( )0

) lim t t

ii f trarr

( )

0

) lim t t

ii f trarr

( ) ( )0

0) lim t t

iii f t f trarr

=

( ) ( )0

0) lim t t

iii f t f trarr

=



( ) 2 1 2 1) 1 4 1 2 41 1 4 3


21

2 2 1) lim 4 2 44 3t

tii tt trarr


1) lim 1

tiii f t f

rarr=


3 CURVAS






80



z

y

x

C

f(t)


( ) 2 3 f t t i j= +



t (xy)

0 (03)

1 (23)

2 (43)

ndash1 (ndash23)

( ) f t

( ) 0 0 3 f i j= +

( ) 1 2 3 f i j= +

( ) 2 4 3 f i j= +



81


FONTE Os autores


[ ]2 para todo 1 2

3=

isin minus =

x tt

y





( )x x t=

( )y y t=

( )z z t=



82


a) ( ) ( ) f t t t t=


b) ( ) ( ) ( )( ) cos f t t sen t t=


1

1-1

-1-1

-2

-2

-3

-3

-4

-40

0

1

2

2

2

3

3

3

4

4

1

11

-1

-1 -1-2 -2-3 -3-4 -4

00 0

2

22

3

33

4

44

5

6


83

c) ( ) ( ) ( )( ) cosf t t sen t t=



para 0 le t le 2π




estudadas

DICAS

-1

1

11

00 0

2

2234

3 4

-1-1

-2

-2-2 -3-3-4 -4

-1

-1-1

1

1

00

0

2

2

23

34

-2

-2

-2-3

-3-4


84






( ) 0 r t P vt= +





( ) ( ) ( )123 111 012v B A= minus = minus =


( ) ( ) ( )111 012r t t= +

ou ainda

( )( )

( )( )

11

1 2

x tr t y t t

z t t

== = + = +

2 3


85


FONTE Os autores



( ) ( )2 22 11

4 9x yminus +

+ =


2 22 1 12 3

x yminus + + =


( ) ( )2 2cos 1t sen t+ =

-1

-1

-1

10

00

1

2

3

4

12

23

3

-2

-2-3

-2-3


86

assim se igualarmos

( )2 cos2

x tminus=

( )13

y sen t+=

temos

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2cos

1 3x t t

r ty t sen t

= += = minus +



( ) ( ) ( )( ) ( )

0

0

cos

x t x a tr t

y t y b sen t = += = +



( )( ) ( )( ) ( )( )

0

0

0

cos

= += = + =

x t x a t




87





( ) ( ) ( )( ) ( )

4cos4

y t tr t

z t sen t == =


( )( )( ) ( )( ) ( )

2 4cos4

x tr t y t t

z t sen t

== = =


FONTE Os autores

2ndash2

ndash2ndash2

ndash4

ndash4

ndash4

ndash6

00

0

2

2

4

4

4

6

6


88


NOTA







( )

( )

( ) ( )( ) ( )

24cos4

tx t

r t y t tz t sen t

=

= = =




89


FONTE Os autores

AUTOATIVIDADE




( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 nf t f t f t f t=



nf t f t f t f t


6

4

2

20

00 2

ndash2

ndash2ndash2

ndash4

ndash4ndash6ndash6

ndash8

ndash8ndash10

44

6

6

8

8

10

10

1214

8


90







( ) 4 0 f t ti j kprime = + +


( )3 12 0 f i j kprime = + +


i)

ii)

iii)

com c uma constante

iv)








( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 nf t f t f t f t=


91


( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 =int int int int



( ) ( ) ( )( ) 2 4cos 4 f t t sen t=




12 2= +int dt t c



temos que



( ) ( ) ( )2 2 2 2

0 0 0 0


=

int int int int


92

como

2

0

22 2 2 2 2 0 4

0dt t


( ) ( ) ( ) ( )2

0

24cos 4 4 2 4 0 0

0t dt sen t sen sen


( ) ( ) ( ) ( )2

0


0


temos

( ) ( )2

0

4 0 0 π

π=intf t dt



( ) ( )a t v t=



1 2 34 6 2 2t tc c t c

= + + +


( ) ( ) ( )1 2 31 11 0 v c c cminus = =


93


( )2 24 61 1 1

2 2t tv t t

= + minus +

41RETA TANGENTE




( ) 0r t P vt= +







no ponto t0 eacute

( ) ( ) ( )0 0 r t g t g t tprime= +


( ) ( )( )

g tT t

g t=





94



( ) ( )2 2v t t=prime


( ) ( )22 2 22 2 4 4 2 1v t t t tprime = + = + = +


( ) ( )2 2 2

2 2 1 2 1 1 1

t tT tt t t

= =

+ + +


( ) ( )( ) ( )

2

3 2 32 2

1 11 1

minus = = minus

+ +prime

+

t tN t T ttt t


( ) ( )1 1 1 11 e 1 2 2 2 2 2 2

minus = =

T N



95


FONTE Os autores




( ) b

a

C f t dtprime= int



( )( ) ( )( )2 2

b

a




( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 2

b

a



96



eacute

( ) ( ) ( )( ) f t r cos t r sen t=



( )( ) ( )( )2

2 2

0

cos π


( ) ( )( )2

2 2 2

0

cosr sen t t dtπ

= +int


2

0

2 2 0 2

0C r dt rt r r r



NOTA


97



( )

( )

( ) ( )( ) ( )

24cos4

tx t

r t y t tz t sen t

=

= = =




( ) 12

x tprime =



( )( ) ( )( )26

2 2

2

1 4 4cos2

π

π


( ) ( )( )6

2 2

2

1 16 cos4

sen t t dtπ

π

= + +int6 6

2 2

1 6516 4 2

dt dtπ π

π π

= + =int int6

65 65 65 6 2 2 65 2 2 2

2t

ππ π π




( )( )( )| |

κprime

= T t

tf t


98




( ) ( )( ) ( 1 )f t r cos t r sen t=



e sua norma eacute



( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( ) 0 ( 0)

minusprime= = =

prime

r sen t r cos tf t

T t sen t cos trf t


( ) ( ) ( )2 2 cos sen 1= + =T t t t


( )( )( )

1 | |

κprime

= =T t

trf t



NOTA


99




( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 ng t g t g t g t=









( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 nf t f t f t f t=



( ) ( ) ( )( )0 0 0


rarr rarr rarr=

( ) ( ) ( )( ) ( )

0

0

cos

x t x a tr t

y t y b sen t = += = +


100















( )( ) ( )( ) ( )( )

0

0

0

cos

= += = + =

x t x a t



nf t f t f t f t

( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 = int int intint


( ) ( )( )

g t

T tg t

prime=

prime


( ) b

a

C f t dtprime= int

( )( )( )| |

κprime

= T t

tf t

101

AUTOATIVIDADE





a) ( ) ( )f t g t+




e) ( ) ( )1 1f t g t+ + minus


a) ( ) 2 4f t t i tj= +

b) ( ) ( )22 1f t ti t j= + minus

c) ( ) ( ) ( )( )3cos 3f t t sen t=

para [ ]02t πisin



a) ( ) ( )( )1 2 2 1mm

π +

b) ( ) ( )( )1 0 2 1mm

π +

c) ( ) ( )( )1 2 2 1mm

π minus

d) ( ) ( )( )1 0 2 1mm

π minus

( ) ( ) ( )1 cos2

t t sen tg t i t j

m m minus minus

= + +

102


a) ( ) 2

0 lim t

sen tt

trarr

b) ( ) ( )2

320

lim cos 2t

t

te tsen t

minus

rarr

c) ( )2

1lim 8 cos 2

1t

t t t ttrarr

minus+ minus

d) 3

31lim

2 1t

t

t tte tsent t

minus

rarrinfin

+ minus


a) ( ) ( )( )2 32 3 1 2f t t sen t= + minus

b) ( ) ( ) ( )( )4 cos 3 f t t sen t= + +


d) ( ) ( )2





a) ( ) ( )202

4 0 2f t t t tt

= isin infin =


c) ( ) ( ) ( )( ) [ ] 04 3 0 3



( )2

1 2 22tr t t

= + minus +

( ) ( )278 7 1 2


103




a) ( ) ( ) ( )( )2 2f t t sen t t tcos t=

b) ( ) ( ) ( )( )4 cos 3 f t t sen t= + +

c) ( ) 3 5 3f t t i t j t k= minus +



a) ( ) ( ) ( )( ) cos 3 f t t t sen t t π= =

b) ( ) ( )2 22 3 4 2f t t t t= minus + + =

c) ( ) ( ) ( )( )4 3 2





104









2

P0

(xy) = P0 + tvv

105


a) ( ) 1b) ( ) 2c) ( ) frac12d) ( ) radic2

106

107

TOacutePICO 2

CAMPOS VETORIAIS

UNIDADE 2











108









e ( )01j =





109


( )01 0j =

e ( )0 01 k =






FONTE Os autores



110


FONTE Os autores

FONTE Os autores



(xy) F(xy)

(00) (00)

(10) (01)

(ndash10) (0ndash1)

(01) (ndash10)

(0ndash1) (10)



111



FONTE Os autores






112

( ) 2 3 4 f x y y x y= minus



( ) 3 2f x y xyx

part= minus

part

( ) 2 2 4 3 f x y x yy

part= minus

part





n

f fx x

part partpart part


( )11

nn

f ff x xx x



partpart

e fy

partpart


( ) f ff x yx y



partpart

fy

partpart

e fz

partpart





113




( ) ( ) 2 2 f ff x y x yx y




FONTE Os autores


114





FONTE Os autores



115


FONTE Os autores



0 0 Q Prot Fx y


Q Prot F kx y


com ( )0 01 k =




x

y


116


FONTE Os Autores

3 20

-1

-1

0

1

-3

-3-2

-1

12

34

-4

-2









com i j e k




2R yy

part= minus

part0R

xpart

=part

Q xyz

part=

partQ yzx

part=

part

0Pz

part=

partP xy

part=

part


117








FONTE Os autores



eacute conservativo


x

y


118

26R xyzy

part=

part2 23R y z

xpart

=part

26Q xyzz

part=

part32Q yz

xpart

=part

2 23P y zz

part=

part32P yz

ypart

=part





( )0 0 0 =





( ) ndiv F rarr

e dado por

( ) 1

1

n

n

FFdiv Fx x

partpart= + +

part part




119

( ) ( ) ( ) P Qdiv F x y x yx y

part part= +

part part



part part part= + +

part part part






( ) P x y z yx

part=

part

( ) Q x y z xzy

part=

part

( ) 0R x y zz

part=

part


( ) div F y xz= +




120









( )( ) ( ) ( )3 2 2 2 4 3div f x y xy x yx y




( ) ( )( ) ( ) ( )2 2

1 1 1 12 21


part part n n n n

n




121








como P Q e 3 R rarr




( ) f ff x yx y






122








( ) 1

1

n

n

FFdiv Fx x

partpart= + +

part part

( ) ( )( ) ( ) ( )2 2

1 1 1 12 21

n n n nn



part part

123

AUTOATIVIDADE











e) ( ) 2 2 2 2 y xF x y i jx y x y

minus= +

+ +

f) ( ) ( ) ( )( ) 1 F x y z sen z ycos z=





124


e






125











volume


126

127

TOacutePICO 3

INTEGRAIS DE LINHA

UNIDADE 2










( ) ( ) ( )( ) ( )

cosx t tt

y t sen tγ

== =


128



FONTE Os autores

ndash1 0

y

x1



FONTE Os autores


( ) ( )( )0

n

i i ii

massa f x t y t ds=

cong sdotsum



129


FONTE Os autores

FONTE Os autores




ndash1 0

y

xγ(t0)γ(tn)

γ(ti-1)γ(ti)

1

1

ndash1 0

1 1

y

x

γ(ti-1)γ(ti)

γ(ti)

a) b)

1 ndash1 0

y

x

γ (ti-1)γ (ti)

γ(ti) ∆ti

1

130



0( ( ) ( )) | ( ) |

n

i i i ii


cong ∆sum


0lim ( ( ) ( ) | ( ) |

n


rarrinfinminus

= ∆sum


( )( ) ( )2

0

massa f t t dtπ

γ γ= primesdotint


( ) ( )( )

sen t

tcos t

γminus=




( ) ( )2

2

0


= +int

( ) ( )2 2

2

0 0


= +int int


131


2

0

22 2 4

0dt t

π ππ= =int


( ) ( ) ( )32 32 2

0

2cos 1 1 0

3 3 3 30






( ) ( )( ) ( )

b

a

f x y ds f t t dtγ






( )

1 b

a



1( ) ( ( )) ( )b


132







4

0

22 2 2 2

0

t

C dt tγ

ππ= = =int




NOTA



133


FONTE Os autores

FONTE Os autores


( )( ) ( )( )i

tF t

tγ

γγ

sdotprime

prime



xγ(a)

γ(b)γ(t)

y

z

x

γ(b)

y

z

γ(a)

134




γγ γ γ γγ

sdot sdot ∆ = ∆



( )( ) ( ) b

a



( )( ) ( )

b

a

Fd F t t dtγ




( ) ( )2 t t t tγ =

para 0 le t le 1


( ) 12 1 2

t tt

γ prime =


135


( ) 1

3 2

0

1 2 1 2

Fd t t t t dttγ

γ = minus sdot

int int1 2

3

0

22tt t t dt

t= + minusint

1 13 3 33 32 2 2

0 0

1 32 2 2


4 21

3 1 3 2 54 2 4 2 502

t t= + = + sdot

1 3 17 4 5 20

= + =


( )( ) ( )

γ


a

Fd F t t dt


( ) ( ) F x y z x y z=


( ) ( ) ( )( )2cos t t t sen tγ π π=

para 0 le t le 1

136





( ) ( )( ) ( ) ( )( )1

2

0


( ) ( ) ( ) ( )1

3

0


1 43

0

12 2 12 4 4 2

0

tt dt= = = =int



FONTE Os autores



( ) ( )( ) ( ) ( )( )2

0


= sdot minusint

( ) ( ) ( ) ( )2

0


= minus + +int

2 2 22

0

24 2

2 20

ttdtπ π

π π= = = =int


137



1 2

1 2Fd Fdγ γ

γ γ= minusint int


e


Mostre que

1 2

1 2Fd Fdγ γ

γ γ= minusint int

para F(xy) = (21)









138



Para γ1 temos que

logo


( ) ( ) ( )( )1

10


γ


( ) ( )0

2 cos sen t t dtπ

= minus +int

( ) ( )2cos 0

t sen tπ

= +


Para γ2 temos que


logo

( ) ( ) ( )( )2

2


γ π


( ) ( )2

2 cos sen s s dsπ

π


( ) ( )2

2cos s sen sπ

π ππ




1 2

1 2Fd Fdγ γ

γ γ= minusint int


139




RESUMO





140





A ORIGEM DOS VENTOS







141












1PV NRT Eq=

2dP g Eqdz

ρ= minus

12 3TdV V g F Eqdt

ρρ



+ nabla =part

142


em que


g =








143






144


Vento gradiente




145









800 mb900 mb

1000 mb

146









147








( ) ( )( ) ( )

1 b

na

f x x ds f t t dtγ


( )

1 b

a



( )( ) ( )

b

a

Fd F t t dtγ


1 2

1 2Fd Fdγ γ

γ γ= minusint int

148



a) ( ) ( )( )

3 3 0 2


y t tγ

γ == le le =

int





densidade

AUTOATIVIDADE


γ

γ+ + =int

( ) 2 1

=+xF x y zy

149







a) ( ) 2 umb) ( ) 4 umc) ( ) 6 um d) ( ) 8 um


a)

a)

b)

c)

b)

c)

d)

e)

( ) ( ) 3 2 4F x y z y x z=

( ) 21 0 0

1F x y z

x = +



( ) ( )2 3 3 3 1 F x y z x x z= minus




( )( )( )( )

1 cos

2 1 cos

t

t sen tt

γ

+

= minus

150




2 y dx x dy

γ

+int

151

UNIDADE 3



PLANO DE ESTUDOS










152

153

TOacutePICO 1

TEOREMA DE GREEN

UNIDADE 3








154








( ) ( ) ( ) F x y P x y i Q x y j= +


ou ainda

+

rarr rarr

part


int intintDD

Q PF d r dxdyx y

+part


int intintDD

Q PP dx Qdy dxdyx y



155



FONTE Os autores

y

xD

Dpart




( ) (2 ) (3 4 ) F x y x y i y x j= + + +



FONTE Os autores


156



1

0

( 0)AO


sdot =int int

12

0

12 1

0xdx x= = =int


[ ] [ ]

1

01

01

01

0

(1 )( ) (1 )

2(1 ) 3 4(1 )

2 2 3 4 4

12 2 2

0

rarr rarr




= = =

int int

int

int

int

AB


y y dy y y dy

y y y ydy

dy y


1

0

21

0

(0 )

13 33 02 2

rarr rarr

sdot = minus


int int

int

BO

F dr Q y dy

yydy



157

3 31 22 2D

F drrarr

part +

sdot = + minus =int



intint intintD D

Q P dxdy dxdyx y

jaacute que

e

assim

(3 4 ) 4Q y xx x

part part= + =

part part


part partP x yy y


intint intintD D

Q P dxdy dxdyx y1 1

0 0 0

3 30

= =int int inty y

dxdy x dy

1 2

0

13 33 02 2

= = =intyydy


DICAS


158





FONTE Os autores


e

( )2 2Q xy yx x

part part= =

part part

( )2 2P x y xy y


part part


2 2( )+

rarr rarr

part





159



2

1 23 3

0 0

41 3

0

12 2

04 2

θ

θ

π

θ

θ θ

ππ π

+

rarr rarr

part

sdot = sdot

= =

= = =

int intint

intint int int

int

r

r

DD

D

F d r r r drd

r drd r d dr

rr dr



( ) 2 2 sup2 sup2

y xF x y i jx y x y

= minus + + +



160


FONTE Os autores



Assim temos que


Entatildeo

2 2 2 2

2

2 20

22 2

02

0

( ) cos( )( ( ) ) cos( )

( ) cos ( )

2

C C



sen t t dt

dt

π

π

π

π

+ +

rarr rarr

sdot = minus ++ +

= minus minus +

= +

= =

int int

int

int

int

x0 andasha

ndasha

a

y


161




= minus +





( ) ( ) ( ) F x y P x y i Q x y j= +


+

rarr rarr rarr

part

sdot = int intint

DD

F n ds div F dxdy


( ) ( )( ) ( )( ) div F P x y Q x yx y

part part= +

part part


C

sF n drarr

sdotint


162

onde

( ) ( ) ( )2





FONTE Os autores


3

D C C




CF n dsrarr rarr

sdotint


163


( ) ( ) ( )2





( )2 2

0 0

3

0

4

0

2 ( )

22 ( )03

2 ( )3

16 32( cos( )) 03 3

π

π

π

θ θ

θ θ

θ θ

πθ

rarr rarr

partsdot =

=

=

=

= minus =

int intint

int int

int

int

D

D

F n ds div F dxdy

r sen dr d

r sen d

sen d




e assim sendo

3

2

0

2 22

02

rarr rarr

sdot =

= =

int intCF n ds x dx

x


164


3 3

32 382 3 3



= + =

int int int

165






+

rarr rarr

part +part


int int intint D DD


+

rarr rarr rarr

part

sdot = int intint

DD

F n ds div F dxdy

166










AUTOATIVIDADE

2

C

x dx y dy+int

2

2 ( )1minus

= ++int

C

x yI dx arctg x dyx

2 2 2 2minus

++ +int

C

y xdx dyx y x y

( ) ( )( )3 3 ( ) cos= minus + +

xF x y e y i y x j

167

a) ( ) 2π

a) ( ) 2503

c) ( ) 1512

b) ( ) 32π

b) ( ) 87

d) ( ) 32

d) ( ) 127

c) ( ) π



( ) 21 2

= +

F x y xy x xy

168

169

TOacutePICO 2

TEOREMA DE GAUSS

UNIDADE 3







170








171







172





onde



dS



= timespart part




intintS

xy dS




part partu v


173


( )1 1 2 1 3 2 1 1 1

i j k

u vϕ ϕpart part


minus





14 dS du dv=


2 2

1 2 2

0 0

31 2

0

1 3

0

4

( )( ) 14

14

14

1403

2 143

12 14 14 03 4 6

= minus +

= minus

= minus

= minus

=

= =

intint intint

intint

int int

int

int

S S

Du

xy dS u v u v du dv

u v du dv

u v dv du

uvu v du

u du

u




174


rarr rarr rarr rarr

minus


F d r F d r





rarr rarr

Φ = sdotintintS

F n dS



FONTE Os autores


NOTA

ϕ ϕϕ ϕ

times=

times u v

u v

n


175




e







1 0 2 (2 2 1)0 1 2

ϕ ϕ

rarr rarr rarr


u v u u vv

i j k


2 2

2 2

1 1 2 2

0 0131 2

00

2

( ( ))

( ( )) ( )

(2 2 ) (2 2 1)

(4 2 2 2 )

(4 2 )

(4 2 )

4 23

4 23

ϕ ϕϕ ϕ ϕϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

rarr rarr rarr

rarr


times

= sdot times

= + minus sdot

= + + minus

= +

= +

= +

= +

intint intint

intint

intint

intint

intint

int int

int

u vu v

u vS D

u vD

D

D

D

F n dS F u v dudv

F u v dudv

u u v uv u v dudv

u uv v uv dudv

u v dudv

u v dudv

u uv dv

v1

0

13

0

4 23 3

4 23 32

= +

= +

=

int dv

v v

176


2 2

2 2

1 1 2 2

0 0131 2

00

2

( ( ))

( ( )) ( )

(2 2 ) (2 2 1)

(4 2 2 2 )

(4 2 )

(4 2 )

4 23

4 23

ϕ ϕϕ ϕ ϕϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

rarr rarr rarr

rarr


times

= sdot times

= + minus sdot

= + + minus

= +

= +

= +

= +

intint intint

intint

intint

intint

intint

int int

int

u vu v

u vS D

u vD

D

D

D

F n dS F u v dudv

F u v dudv

u u v uv u v dudv

u uv v uv dudv

u v dudv

u v dudv

u uv dv

v1

0

13

0

4 23 3

4 23 32

= +

= +

=

int dv

v v





( ) rarr rarr rarr

=part




se F = (P Q R)

NOTA

( ) P Q Rdiv Fx y z

part part part= + +

part part part


177





2 2 2 1x y z+ + =


entatildeo

2 2 2

2 2 2

( ) ( )

( ) 4 π

rarr rarr

sdot = minus + sdot

= minus + + +

= + +

= = =

intint intint

intint

intint

intint

S S

S

S

S


x xy xy y z dS

x y z dS

dS Aacuterea S


( ) 1 1 1 3div F = + + =

Portanto temos que

3 3 ( )=intintintW

dxdydz V W


( )34 4

3 3rV W π π

= =

178


concluiacutemos que

43 4 3π π

rarr rarr


F n dS



UNI



rarr rarr

sdotintintS

F n dS





179


FONTE Os autores

z

n

n

n

y

ndash2ndash1 1

1

y

x1

1

ndash1


eacute

( ) 1 1 2 2 2 div F z z= + + = +


( )

2 2

rarr rarr rarr

=part

sdot =

= +

intint intintint

intintintS W W

W


z dx dy dz


2

0

2

2

2

2 2

22

0

2( 2) ( 2)

6 8

+rarr rarr

=part

sdot = +

+= +

= + + +

= + +

intint intint int

intint

intint

intint

x

S W D

D

D

D

F n dS z dz dx dy

xz z dx dy

x x dx dy

x x dx dy

180



logo


2 1 220 0

2 13 2 2

0 02 4 3 2

2

02

0

( cos ( ) 6 cos( ) 8)

cos ( ) 6 cos( ) 8

16 8cos ( ) cos( )04 3 2

1 cos 2( ) 2cos( ) 4 4

π

π

π

π

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

rarr rarr

=part

sdot = + +

= + +

= + +

= + +

intint int int

int int

int

int

S W

F n dS r r rdr d

r r r dr d

r r r d

d


e

2 2

0

21 1 (2 )cos ( )04 4 2 4 4


send

2

0

22cos( ) 4 2 ( ) 4 8

0π π



338 4 4π ππ

rarr rarr

=part

sdot = + =intintS W

F n dS


DICAS


181


( ) 2 2 2 4 F x y z x i y j y x k= + +




FONTE Os autores


2 2 2( ) ( ) (4 ) ( )

2 8

div F x y y xx y z

x y

part part part= + +

part part part= +

portanto

( )

2 8

rarr rarr rarr

=part

sdot =

= +

intint intintint

intintintS W W

W


x y dx dy dz

0 y

z

x

182



2 3 2

0 0 0

2 3 2 2

0 0

3 32

0

2

0

(2 cos( ) 8 ( ))

2(2 cos( ) 8 ( ))

0

34 16cos( ) ( )03 3

102cos( ) 144 ( )

2102 ( ) 144cos( ) 0

0

π

π

π

π

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

πθ θ

rarr rarr

=part

sdot = +

= +

= +

= +

= minus =

intint int int int

int int

int

int

S W


r r sen z dr d

r r sen d

sen d

sen


0rarr rarr

=part

sdot =intintS W

F n dS

183








Onde



dS



= timespart part

rarr rarr

Φ = sdotintintS

F n dS

div rarr rarr rarr

=part


F n dS F dxdydz

184

AUTOATIVIDADE












( ) ( ) F x y z x y z=

( ) ( ) F x y z x y z=


( )2 2 2 F x y z=

( )2 3F x xz z=

185





( ) 3 3 2 F x y z x i y j z k= + +

( ) 2 2 3 F x y z xi yj z k= + +

186

187

TOacutePICO 3

TEOREMA DE STOKES

UNIDADE 3










188








189



FONTE Os autores

FONTE Os autores



y

z

x

y

z

x


190





part


rot F n dS F d r



( )

i j k

rot Fx y z

P Q R

part part part=

part part part





DICAS



F(xyz)= (3z4xy)


191




FONTE Os autores

-2

-2

-2

-3

-3

-4

-4

-5

-5

-6

-1

-1-1

1

2

3

4

5

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

11

0


x = 2cos(t) y = 2sen(t) e z = 0



2

0

3 4

3 0 ( 2 ( ) ) 4(2cos( )) (2cos( ) ) 2 ( ) 0

C C

F d r z dx x dy ydz


rarr rarr

sdot = + +


int int

int



192

2 2

016cos ( )

216 16 (2 ) 16 02 4

π

ππ

rarr rarr

sdot =

= + =

int intC

F d r t dt

t sen t


( ) ( )

1 3 4

3 4

i j k

rot Fx y zz x y

part part part= =

part part part



( ) (13 4) ( 2 2 1)

( 2 6 4)

rarr rarr


= minus minus +

intint intint

intintD D

D


x y dx dy


2 2

0 0

2 2 2 2

0 0

32 3 2

0

2

0

( ) ( 2 cos( ) 6 ( ) 4)

( 2 cos( ) 6 ( ) 4 )

22 cos( ) 2 ( ) 203

16 cos( ) 16 ( ) 83

216 ( ) 16cos( ) 803

0 0 16 16 16 0 16

π

π

π

π

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

πθ θ θ

π π

rarr rarr


= minus minus +

= minus minus +

= minus minus +

= minus + +


intint int int

int int

int

int

D


r r sen r drd

r r sen r d

sen d

sen



193





z znx y

UNI






FONTE Os autores

xy

z

1

1

1

C



194


FONTE Os autores

FONTE Os autores

z

xy1

1

1

S nC S= part



y

y = 01

1

y = 1 ndash x

D x + y = 1

x


normalizando N

teremos

( )111 = =n e dS dxdy




F d r rot F n dS


195


( ) ( )2

0 1

i j k



part part part


( )

( 0 1) (111)

( 1)

rarr rarr rarr rarr

sdot = sdot

= minus minus sdot

= minus + minus

int intint

intint

intint

CD

D

D

F d r rot F n dS

x z dxdy

x z dxdy


1 1

0 0

21

0

21

0

21 2

0

21

0

3 2

( )

2

12

02

(1 )2 (1 )2

12 22 2

3 12 2

1 1 1 1 1 02 2 2 2 2 2 2

rarr rarr

minus


= minus minus

minus= minus minus



= minus minus


int intint

int int

int

int

int

int

CD

x

F d r x x y dxdy

x y dydx

xyxy dx

xx x dx

xx x x dx

x x dx

x x x


( ) 2 3 2 4 F x y z x i xy j y x k= + +



196


FONTE Os autores



( ) ( )2 3

2 2

2 4

4

i j k

rot F xy y yx y z

x xz y x


part part part


( ) 1 1 11z znx y



2 3

2 3

( )

(2 4 ) ( 1 11)

( 2 4 )

rarr rarr rarr rarr

sdot = sdot


= minus + +

int intint

intint

intint

CD

D

D

F d r rot F n dS

xy y y dx dy

xy y y dx dy

y

z

x

1

01

2


197


1 2 2 3

0 0

31 2 4

0

1

0

1

0

2

( 2 4 )

203

84 163

56 43

156 56 502 2 03 3 3

rarr rarr

sdot = minus + +

= minus + +

= minus + +

= minus

= minus = minus =

int int int

int

int

int

CF d r xy y y dy dx

yxy y dx

x dx

x dx

x x


198




1 HOMEM




[]

2 O TEOREMA



199



2 1 ( ) σ


intint intD


(21)







200





201








202


( ) ( )1 F x y y b x ar

= minus + minus


( ) ( ) v t

tωρ

=



( ) t dtβ

αωΩ = int


203


0

1( ) ( ( )) ( )

1 ( ( )) ( )

2

t dt F t t dt

G t t dtr

n

β β

α α

β

α

ω σ σρ

σ σρ

π

Ω = = sdot

= sdot

=

int int

int (22)

(23)


2 1 σ


int intintD

G GG dr dxdyx y



( ) ( )2 1 2 2 x yG G a b Div a bx y



204


( ) ( )

2 2 2

2 2 2

a b R

x a y b r

+ =

minus + minus =(24)

(25)



( )( ) ( )( )2 2 0

2 1 2 0

x x

x x

aa bbx a a y b b


Assim

( )( ) ( )( )

1 0

xx

x x

aabb

x a a y b b


Logo ( )( ) ( )1 0xx

aax a a y bb


( ) ( ) ( ) 0x

a y ba x a x a


isto eacute

( )xaya x x ab


e por conseguinte

( ) x

b x aa

xb yaminus

=minus


205

(26)

(27)


( )( ) ( )( )2 2 0

2 2 1 0

y y

y y

aa bb

x a a y b b


Assim

( )( ) ( )( )

1 0

yy

y y

bba

ax a a y b b

= minus


Logo ( ) ( )( )1 0yy

bbx a y b b


( ) ( ) ( ) 0ybb x a y b y ba


isto eacute

( ) yxbb y y ba

minus = minus minus

e por conseguinte

( ) y

a y bb

xb yaminus minus

=minus





minus minus

1 bx ayxb ya

minus= =

minus


206


2 1 1G Gx y

part partminus =

part part


2 1 ( ) D



int (28)

(29)




( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) r aq st t t t G tr r



( ( )) ( )

( ( )) ( ) ( ( )) ( ( ) ( ))

( ( )) ( ( ))

r

a

r G t t dt


s dG t G tr dt

β

α

β β

α α

β

α

ρ σ σ

σ σ σ σ σ

σ σ

Ω = sdot

= sdot + sdot minus

+ sdot

int

int int

int


207





( )t dtβ

αθint


[]


208









S

S


part


( )

i j k

rot Fx y z

P Q R

part part part=

part part part



209

AUTOATIVIDADE



F(xyz) = (3z4xy)




C

F d rrarr rarr

sdotint





τrarr rarr

= sdotintC

F d r

( ) 2 3 2 4 F x y z x i xy j y x k= + +


210







τrarr rarr

= sdotintC

F d r

τrarr rarr

= sdotintC

F d r

( ) 2 2 = + +

F x y z xyi x j z k

( ) 2 2 = + +

F x y z xyi x j z k

211

REFEREcircNCIAS
















V


UNI

VI

VII
















sumaacuterio

VIII







REFEREcircNCIAS 211

1

UNIDADE 1



PLANO DE ESTUDOS















2

3







43 2 2 3 2

4

= = +




4



dado por

( ) b

a

f x dxint

2 sube rarr f D




FONTE Os autores


x

y


5












m n




6


FONTE Os autores


( )0 0

= =

= ∆ ∆sumsumn m

m n i ji j

S f u v x y



( ) 0

0 0

lim ( )rarr

= =


i jm ni j D



NOTA


7


Teorema de Fubini


entatildeo

em que



D c a


( ) ( ) ( ) d b d b b d

c a c a a c


= =



( ) b

a

f x y dxint




( ) 2 f x y xy=


8


1 1

0 0

sup2 xy dxdyintint


1 12

0 0

y x dx dy

sdot

int int


11 12 2 22 2

0 00

1 0 2 2 2xy dy y dy

sdot = minus

int int1 2

0

2y dy= int


112

00

1 1 sup3 1 2 2 3 6

yy dy = sdot = int



IMPORTANTE

1 1

0 0

sup2 intintxy dydx


9




FONTE Os autores


1 1

0 0



1 1

0 0

2 x y dx dy

minus minus

int int


11 12

0 00

32 2 2xx xy dy y dy

minus minus = minus

int int


10


11 2

0 0

3 3 3 1 12 2 2 2 2

y yy dy


int




FONTE Os autores


1 12

10

1V x dydxminus

= minusint int1 1

1 0

1 sup2 x dy dxminus

= minus

int int1

2

1

10minus


12

1

1 x dxminus

= minusint


11


12

1

1 V x dxminus

= minusint13

13xx

minus

= minus

( ) ( )311 41 1 3 3 3





FONTE Os autores



12






FONTE Os autores


( )( )

( )

( )1

2

=

intint int intx

g xb

R a g x




( ) 2 f x y xy=




13


2 21 1 1 12 2

0 0 0 0

x x


= sdot


0 03

xyx dx

minus

= sdot

int1 3

2 2

0

1 1 3



1 1 332 22

0 0

1 11 3 6


152

0

1 26 5

u

= minus sdot

( )15

2 2

0

1 2 11 6 5 15

x



( )

3

3 D

x y dA+intint




14


FONTE Os autores




( )2 2

22 2 2 23 3

0 0

33 2

xx

x x

yx y dy dx x y dx

+ = +

int int int

( ) ( )22 223 3 2

0

33 22

2 2xx

x x x x dxsdotsdot


4 2 5

0


( )2

5 4 2

0

1 2 12 2


0

1 2 122 6 5 3

x x x = minus + +

6 5 31 2 2 2 12 2

2 6 5 3 sdot sdot

= minus + +

1 64 32 12832 2 3 5 15

= minus + + =


15


2 2 16 2 4x y e x y+ = + =


( )

1 D

A D dA= intint


e

2 216 82 2

x xy minus= = minus

4 22 2

x xy minus= = minus





16


FONTE Os autores


( )2

2 3 4 e 2 82 2


x xD x y x y


2 284 42

3 322

821

22

minus

minus minusminus

minus =

minus

int int intx

x

x

dy dx y dxx

4 2

3

8 22 2x x dx

minus


3

62 2x x dx

minus

= + minusint

( )4

3

1 34312 sup2 2 12

x x dxminus

= sdot + minus =int


17



( )2

1 12

0 0

1 x

x

dy dx x x dx

= minus

int int int13 3

2

0

2 1 3 3 3

= minus =

xx






FONTE Os autores


( )( )

( )

( )2

1

=

intint int intx

h xd

R c h x



18



( )

3

3 D

x y dA+intint




FONTE Os autores


( ) 2 e 0 4 2

= isin le le le le

yD x y x y y



19

( )4 4 4

3

0 022

3 3 4

yy

yy

xx y dx dy yx dy

+ = + int int int

( )4

44

0

23 34 4 2

yy yy y y dy


4 32 4 22

0


2

0

5 34 64y yy dyminus

= + minusint45

3 52

0

5 612 5 320y y y

= minus + minus

53 525 4 6 44

12 5 320sdot

= minus + minus

80 192 16 128 3 5 5 15

= minus + minus =

( )2

1 12

0 0

1 y

y


int int int13 3

2

0

2 1 3 3 3

= minus =

yy






20


NOTA

( ) ( ) ( )1 2





( ) intintintR

f x y z dV



NOTA


21





( ) fb d

a c e

f x y z dz dy dx

int int int





2 1 2

1 0 1

xyz dx dy dzminus


1 0 1 01


minus

= = sdot


1 10

3 3 9 2 2 4 8

y z dz z dz

= sdot = sdot =

int int



22


2 2 2

R





FONTE Os autores




22 22 2 2

0 0 0

x yx


+ +

int int int

( ) ( )2 2

2 2

0 0

1 2 3 3 2 sup2 3

x



int int

( ) ( )2

2 2

0

1 82 2 1 3 5


23










D c a


( ) ( ) ( ) d b d b b d

c a c a a c


= =


( )( )

( )

( )1

2

=

intint int intx

g xb

R a g x


( )( )

( )

( )2

1

=

intint int inty

h xd

R c h x


( )

1 D

A D dA= intint

24



( )

R

f x y z dVintintint

( ) fb d

a c e

f x y z dz dy dx

int int int

25



a)






b)

AUTOATIVIDADE

( )3 2

2 0

2 6xy dydx+intint

( )3 4

1 2


26

a) ( ) 16b) ( ) 12c) ( ) 13 d) ( ) 14e) ( ) 15



( ) = intintintmR

V F F dV

05 24

0 0

8 2 4 x

x y dydxminus +

minus minusint int

2 42

0 0

8 2 4 y

x y dxdyminus +

minus minusint int


a) ( ) 512b) ( ) 643c) ( ) 64 d) ( ) 8


a) ( ) 13b) ( ) 23c) ( ) 56d) ( ) 76



27




a) ( )

b) ( )

c) ( )

d) ( )

( )22

0 6

x

x

f x y dx dyminus

int int

( )2

2 6

3

x

x

f x y dy dxminus

minusint int

( )2

2 6

0

x

x

f x y dy dxminus

int int

( )2 sup2

36

x

x


28

29

TOacutePICO 2



UNIDADE 1




( )

( )

( ) ( )( ) ( ) acute g d d

g c c



Logo

1

0

1 sup2 x dxminusint




( )1 2

2

0 0


π

minus =int int


30



( )( )1 2

2

0 0

11 1 cos 2 2

x dx u du

π


( )21 22 2 40

ππ

+ =

sen uu





( )( )

x x u v

Ty y u v

= =



( ) u v

u v

x xJ T

y y=


31


( ) ( ) ( )( ) ( )

xy uvR R











FONTE Os autores


32


( )( )

cos

senθθ

= sdot = sdot

x rT

y r



( ) ( ) ( )( ) ( )

cos sensen cos

rJ T

rθ θθ θ

minus sdot=

sdot







NOTA


( )

2 2

log xyR

x y dA+int int


33




FONTE Os autores






( ) ( ) 2 2

2 2 2

0 1

log log xyR

x y dA r r drdπ


( )2 2

2

0 1

log r r dr dπ

θ

= sdot

int int



34

sup2u r=

2 2

= =dudu r dr r dr

Assim sendo

( ) ( )2 4

2

1 1

1log log 2


( )( )4

1


( )( ) ( )( )4 1log 4 1 log 1 12 2

= minus minus minus

( ) ( )1 32log 4 2 0 2log 4 2 2



( ) ( ) ( )2

0

3 3 32log 4 2 log 4 log 4 22 2 40


int d


UNI


2

14 sup2 xyR




35


( ) 2 3

2

0 2

14 ( sup2) 14 sup2 π


x y dA r r drd


32 3 2 2 43

0 2 0 2


π π

θ θ

minus = minus

int int int2 4 4

2 2

0

3 27 3 7 24 4

dπ

θ


int

( )2

0

8163 28 44

dπ


22

00

81 81 81 4 4 2



2 2

xyR

x x y dxdy+int int




( ) 22

2 2 2

0 1

π




36


( ) ( ) 2 42 2

3

0 1 0

2cos cos

41

rr drd d

π π


( )42

0

2 1cos 4 4

d

π

θ θ

= minus

int

( ) ( )2

0

15 15cos 24 4 0


( )15 15 150 4 2 4 4

sen senπ = minus =





3 3 T rarr


( )( )( )


z z u v w

=

= =


37



( ) u v w

u v w

u v w

x x xJ T y y y

z z z=


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

xyz uvwR R







θ =


( )

R

f x y z dVintintint


38


( ) ( ) ( )( )

θ





NOTA

= intintintD

Volume dV




E assim

[ ]2 2

00 0 0 0 0

R h R



0 0

R

h r drdπ

θ= sdotint int2 2

0 0

2

Rrh d

π

θ

= sdot

int2



39


D

xy dVintintint



( ) ( )( ) 2 1 1

0 0 0

D




( ) ( ) 2 1 1

2

0 0 0

cos D

xy dV r sen dzdrdπ


( ) ( )2 1

2

0 0

1cos

0r sen z drd

π


( ) ( )2 1

2

0 0

cos r sen drdπ


( ) ( )12 3

0 0

cos3r sen d

π

θ θ θ

=

int

( ) ( )2

0

1 cos 3

sen dπ

θ θ θ= int


2

0

1 3D

xy dV u duπ


( )2

2

2 21 1 cos 3 2 6

0 0

uπ π

θ= minus = minus

( ) ( )2 21 1cos 2 cos 0 06 6

π= minus + =


40



D

dxdydzint int int



2 2

2 2

2minus minus


xy

x y

x yD D

dxdydz dz dxdy

2 2

2 2

2 minus minus=

+intintxyD

x yz dx dy


xyD

x y dxdy

Vamos considerar

2 2 2r x y= +

( )cosx r θ=

( ) y r sen θ=


( )2 1 2

0 02 2


D

dxdydz r rdrd

2 1 3

0 02 2


42 22

0 0

1 102 2


rr d d

21 02π

θ π= =


41





ou seja


z = ρ cos(ϕ)

ou ainda

2 2 2x y zρ = + +

yarctgx

θ =

2 2 2arccos z

x y zφ

= + +



FONTE Os autores


42


( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )2

cos cos cos cos cos

cos 0


φ ρ φ

minus= + =

minus


sen


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2

cos cos ρθφ





2 2 2

( )32 x y z

D





2 2 2 2x y zρ = + +


FONTE Os autores

11

ndash1

x

y

z


43


( )2 2 2 32 3 2 1

( ) 2

0 0 0


D


( ) 32 1

2

0 0 0

sen e d d dπ π



31 1

2

0 0

13


( )1

1 1 1 3 3

0

ue e= = minus

Assim

( ) ( )2 2 2 32 2

( )

0 0

1 13

π π


D

e dxdydz e sen d d

( ) ( )2

0

1 1 cos 3

0e d


( )2

0

2 13

e dπ

θ= minus int

( ) ( )2

2 41 1 3 3

0e e



( )23 sup2 z x y= +



44


FONTE Os autores


( ) ( )2 2 2 23 sup2 3 sup2x y x y x y+ + + = +

( ) ( )2 2 24 3 sup2x y x y+ = +

( ) ( )22 2 2 216 3x y x y+ = +


2 2 316

x y+ =



2 2 2x y z z+ + =


( )2 cosρ ρ φ=

ou seja

( )cosρ φ=


45


( )2 23z x y= +


( ) ( )2 2cos 3 senρ φ ρ φ=


( ) 1 63

tg πφ φ= sdot =


( )

( ) ( )( )cos2 2 36 6

2

0 0 0 0 0

cos

30

sen d d d sen d d

π πφπ π φ


( ) ( )32 6

0 0

cos

3sen d d

ππ φ

φ φ θ= int int


( ) ( )36

0

cos

3sen d

π

φφ φint


( ) ( )3 36 6

0 0

cos

3 3usen d du

π π


( )44 cos6

12 12 0

πφ= minus = minus

u


46

( )4 44cos cos 0 1 3 1612 12 12 2 12


9 1 7

192 12 192= minus + =


( )

( )cos2 26

2

0 0 0 0

7 192

sen d d d d d

πφπ π


7 7 192 96

0

ππθ= =


NOTA

47







( ) ( ) ( )( ) ( )

xy uvR R


( )( ) ( )2 2 2 θ

θθ

= sdot = + = = sdot



( ) ( ) ( )( ) ( )

cos sen

sen cosr

J T rr

θ θθ θ

minus sdot= =

sdot

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

xyz uvR R


( ) ( ) ( )( )

θ



( ) ( )

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ρθφ



48

em que

ou ainda



θ = 2 2 2

arccos zx y z

φ = + +

49



a)





b)

a)

a)

b)

b)

AUTOATIVIDADE

22 22 2

0 0

x

x y dy dxminus

+int int21 1

0 0

x

x dy dxminus

int int

2

2 2

2 4 22 2

0 0

x

x y

x y dz dy dxminus

+

+int int int

2112 2

1 0 0

y x

x y dz dx dyminus

minus

+int int int




z dxdydz D x y z z

50



a) ( ) πb) ( ) 4

π

c) ( ) 2πd) ( ) 2

π

e ( ) 4π





( )2

2 22 4

0 0

minus

+int intx

x ye dydx

z

yx

(0 0 1)

0

D

51

TOacutePICO 3


UNIDADE 1







δ(x y)



( ) δ= intintD

m x y dxdy


52





FONTE Os autores





m x y dxdy xy dxdy

2 4 2 4

0 0 0 0


= =

int int int int

2 22

0 0

43 24

20


22

24 482

0

y= =


53




R R

(x y)

2 2d x y= +


( ) 2 2x y k x yδ = +






2

0 0

R

m kr dr dπ

θ

=

int int

3 3

0 0

3 3

0

Rr kRk d d

π π

θ θ= =int int

3 3

3 3

0

kR k Rπ

πθ= =

54







( ) δ= intintD

q x y dxdy




FONTE Os autores




55



q x y dxdy x ydxdy

2 3 2 32 2

0 0 0 0

x y dx dy y x dx dy

= =

int int int int

2 23

0 0

3 9

30


22

9 9 2 182

0

y= = sdot =






( ) ( )( )1

2 2

0 0


D


( )1

2 2

0 0

x

x x y y dy dx

= minus minus

int int

( )1 2 3

2

0

2 3

0

xy yx x dx

= minus minus

int

( )1 2 3

2

0 2 3x xx x dx

= minus minus

int

1 3 4 5

0


56


4 5 61

1 1 1 8 6 18 8 6 18

0


9 12 4 1 72 72

minus += =


coulombs



( )

( )

δ

δ= =

intint

intinty D

D

x x y dxdyM

xm x y dxdy

e

( )

( )

δ

δ= =

intint

intintx D

D







57


FONTE Os autores





m x y dxdy x y dxdy

1 2 2

0 0

1 3 x

x y dy dxminus

= + +

int int

1 2

0

2 23

20

xyy xy dx

minus

= + +

int

( ) ( )21

0

2 22 2 3 2 2

2x

x x x dxminus


1 32

0

144 4 4 3

0


4 84 3 3

= minus =

58





1 2 22

0 0

3 x

y xy y dy dxminus

= + +

int int

1 2 2 3

0

2 23

2 2 30

xy xy y dx

minus

= + +

int

( ) ( ) ( )2 2 31

0

2 2 3 2 2 2 22 2 3

x x x xdx


1 3 22 2 3

0

8 24 24 82 4 2 6 12 63


1 32

0

14 106 2 3 3


3 42

114 2 53

3 3 60


14 2 5 113 3 3 6 6

= minus minus + =



1 2 22

0 0

3 x

x x xy dy dxminus

= + +

int int

1 22

0

2 23

20

xxyxy x y dx

minus

= + +

int

( ) ( ) ( )212

0

2 22 2 3 2 2

2x x

x x x x dxminus


2 2 3 2 3

0


13 4 2

0

14 4 2



59

1 2 1= minus + =

Assim segue que

e

11 e 16x yM M= =


1 38 8 3

yMx

m= = =

11116 8 16

3

xMym

= = =


x y =



FONTE Os autores

( ) 3 11 8 16

x y =

()311 816

xy =

60




e

( ) 2 2 x y k x yδ = +


3


( ) ( )3

0 0

π


xD


( )4

0

4

0

Rrk sen d

π

θ θ= int

( )4

04Rk sen d

π

θ θ= int

( )4 4

cos 4 2

0

R kRkπ

θ= minus =

( ) ( )3

0 0

π


yD


( )4

0

4

0

Rrk cos d

π

θ θ= int

( )4

04kR cos d

π

θ θ= int

( )4

sen 04

0

Rkπ

θ= =


61

e


30 0

3

yMx

k Rm π= = =

4

332 2

3

x

kRM Ry

k Rm π π= = =






( )2 δ= intintxD

I y x y dxdy

( )2 δ= intintyD

I x x y dxdy


62


0 x yI I I= +



( )2 2( ) δ= +intintD

x y x y dxdy




Calculando Ix temos

( ) ( )( )2

22

0 0

π


xD



( )2 4

2

0

4

0x

arI k sen d

π

θ θ= int

( )24

2

04ka sen d

π

θ θ= int


( )24

0

1 cos 28x

kaI dπ

θ θ= minusint

( )42

2

8 20

senkaπ

θθ

= minus

4 4

2 8 4

ka k aππ= sdot =


63


4xk aI π

=


( ) ( )( )2

22

0 0

π


yD



( )2 4

2

0

cos 4

0y

arI k d

π

θ θ= int

( )24

2

0

cos4

ka dπ

θ θ= int


( )24

0

1 cos 28y

kaI dπ

θ θ= +int

( )42

2

8 20

senkaπ

θθ

= +

4 4

2 8 4

ka k aππ= sdot =


4yk aI π

=



4 4 4

0 4 4 2x y

k a k a k aI I I π π π= + = + =

64



FONTE Os autores


( )4 2

2 2

0 0


xD

I y x y dxdy y dydx

4 4 332

0 0

28

3 30


5522

48 16 512 453 15 15

02

x= = =


0 2k aI π

=




65

e

( )4 2

2 2

0 0


yD

I x x y dxdy x dydx

4 4 52 2

0 0

2 2 0


7722

44 5122 4 7 7 7

02

x= = =


0512 512 11264 15 7 105x yI I I= + = + =

66












67








68




KMOL







69


2 2

0

R

R r r drminusint

2

2 20

2 2

2

R

u R rduu du rdr

durdr

= minus

= minusminus =

minus

int

2

0

1 2

R

u duint2

321

30

Ru

( )3

2 321 13 3

R R=

23

0

1 2 3V R d

π

θ= int

3

21

2 30

V Rπ

θ=

31 2 2 3V R π=

34 3

V Rπ=





70









e

( ) δ= intintD

m x y dxdy

( ) δ= intintD

q x y dxdy

( )

( )

δ

δ= =

intint

intinty D

D

x x y dxdyM

xm x y dxdy

( )

( )

δ

δ= =

intint

intinty D

D

x x y dxdyM

xm x y dxdy

( )2 δ= intintxD

I y x y dxdy

( )2 δ= intintyD

I x x y dxdy

( ) ( )2 20 δ= + = +intintx y

D

I I I x y x y dxdy

yy

71









AUTOATIVIDADE

72

73

UNIDADE 2



PLANO DE ESTUDOS











74

75

TOacutePICO 1


UNIDADE 2









( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 nf t f t f t f t=


76



com i

e j


e ( ) 01 j =

com i

j

e k


( ) 01 0j =

e ( ) 0 01 k =

( ) ( ) ( )1 2 f t f t i f t j= +


( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 f t f t i f t j f t k= + +


( ) ( )2 3 1f t t t= minus +









77






a) ( ) ( ) f t g t+













por h






78


e g

como a seguir

( ) ( ) 3

2

3 2 2

2

i j kf t g t t t


minus





( ) ( ) ( )( )0 0 0


rarr rarr rarr=


22

2 2lim 4 4t

ttt trarr

minus minus


2 22 2 2 2




Como

2

2 2lim 12t trarr

= =

2lim 4 4 2 8t

trarr

= sdot =


79

( )( )22 2 2

2 2 1 1 1 lim lim lim4 2 2 2 2 2 4t t t


minus minus= = = =

minus minus + + +

concluiacutemos que

22

2 2 1lim 4 1 8 4 4t

ttt trarr

minus = minus


estaacute definido

existe

( )0) i f t

( )0) i f t

( )0

) lim t t

ii f trarr

( )

0

) lim t t

ii f trarr

( ) ( )0

0) lim t t

iii f t f trarr

=

( ) ( )0

0) lim t t

iii f t f trarr

=



( ) 2 1 2 1) 1 4 1 2 41 1 4 3


21

2 2 1) lim 4 2 44 3t

tii tt trarr


1) lim 1

tiii f t f

rarr=


3 CURVAS






80



z

y

x

C

f(t)


( ) 2 3 f t t i j= +



t (xy)

0 (03)

1 (23)

2 (43)

ndash1 (ndash23)

( ) f t

( ) 0 0 3 f i j= +

( ) 1 2 3 f i j= +

( ) 2 4 3 f i j= +



81


FONTE Os autores


[ ]2 para todo 1 2

3=

isin minus =

x tt

y





( )x x t=

( )y y t=

( )z z t=



82


a) ( ) ( ) f t t t t=


b) ( ) ( ) ( )( ) cos f t t sen t t=


1

1-1

-1-1

-2

-2

-3

-3

-4

-40

0

1

2

2

2

3

3

3

4

4

1

11

-1

-1 -1-2 -2-3 -3-4 -4

00 0

2

22

3

33

4

44

5

6


83

c) ( ) ( ) ( )( ) cosf t t sen t t=



para 0 le t le 2π




estudadas

DICAS

-1

1

11

00 0

2

2234

3 4

-1-1

-2

-2-2 -3-3-4 -4

-1

-1-1

1

1

00

0

2

2

23

34

-2

-2

-2-3

-3-4


84






( ) 0 r t P vt= +





( ) ( ) ( )123 111 012v B A= minus = minus =


( ) ( ) ( )111 012r t t= +

ou ainda

( )( )

( )( )

11

1 2

x tr t y t t

z t t

== = + = +

2 3


85


FONTE Os autores



( ) ( )2 22 11

4 9x yminus +

+ =


2 22 1 12 3

x yminus + + =


( ) ( )2 2cos 1t sen t+ =

-1

-1

-1

10

00

1

2

3

4

12

23

3

-2

-2-3

-2-3


86

assim se igualarmos

( )2 cos2

x tminus=

( )13

y sen t+=

temos

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2cos

1 3x t t

r ty t sen t

= += = minus +



( ) ( ) ( )( ) ( )

0

0

cos

x t x a tr t

y t y b sen t = += = +



( )( ) ( )( ) ( )( )

0

0

0

cos

= += = + =

x t x a t




87





( ) ( ) ( )( ) ( )

4cos4

y t tr t

z t sen t == =


( )( )( ) ( )( ) ( )

2 4cos4

x tr t y t t

z t sen t

== = =


FONTE Os autores

2ndash2

ndash2ndash2

ndash4

ndash4

ndash4

ndash6

00

0

2

2

4

4

4

6

6


88


NOTA







( )

( )

( ) ( )( ) ( )

24cos4

tx t

r t y t tz t sen t

=

= = =




89


FONTE Os autores

AUTOATIVIDADE




( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 nf t f t f t f t=



nf t f t f t f t


6

4

2

20

00 2

ndash2

ndash2ndash2

ndash4

ndash4ndash6ndash6

ndash8

ndash8ndash10

44

6

6

8

8

10

10

1214

8


90







( ) 4 0 f t ti j kprime = + +


( )3 12 0 f i j kprime = + +


i)

ii)

iii)

com c uma constante

iv)








( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 nf t f t f t f t=


91


( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 =int int int int



( ) ( ) ( )( ) 2 4cos 4 f t t sen t=




12 2= +int dt t c



temos que



( ) ( ) ( )2 2 2 2

0 0 0 0


=

int int int int


92

como

2

0

22 2 2 2 2 0 4

0dt t


( ) ( ) ( ) ( )2

0

24cos 4 4 2 4 0 0

0t dt sen t sen sen


( ) ( ) ( ) ( )2

0


0


temos

( ) ( )2

0

4 0 0 π

π=intf t dt



( ) ( )a t v t=



1 2 34 6 2 2t tc c t c

= + + +


( ) ( ) ( )1 2 31 11 0 v c c cminus = =


93


( )2 24 61 1 1

2 2t tv t t

= + minus +

41RETA TANGENTE




( ) 0r t P vt= +







no ponto t0 eacute

( ) ( ) ( )0 0 r t g t g t tprime= +


( ) ( )( )

g tT t

g t=





94



( ) ( )2 2v t t=prime


( ) ( )22 2 22 2 4 4 2 1v t t t tprime = + = + = +


( ) ( )2 2 2

2 2 1 2 1 1 1

t tT tt t t

= =

+ + +


( ) ( )( ) ( )

2

3 2 32 2

1 11 1

minus = = minus

+ +prime

+

t tN t T ttt t


( ) ( )1 1 1 11 e 1 2 2 2 2 2 2

minus = =

T N



95


FONTE Os autores




( ) b

a

C f t dtprime= int



( )( ) ( )( )2 2

b

a




( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 2

b

a



96



eacute

( ) ( ) ( )( ) f t r cos t r sen t=



( )( ) ( )( )2

2 2

0

cos π


( ) ( )( )2

2 2 2

0

cosr sen t t dtπ

= +int


2

0

2 2 0 2

0C r dt rt r r r



NOTA


97



( )

( )

( ) ( )( ) ( )

24cos4

tx t

r t y t tz t sen t

=

= = =




( ) 12

x tprime =



( )( ) ( )( )26

2 2

2

1 4 4cos2

π

π


( ) ( )( )6

2 2

2

1 16 cos4

sen t t dtπ

π

= + +int6 6

2 2

1 6516 4 2

dt dtπ π

π π

= + =int int6

65 65 65 6 2 2 65 2 2 2

2t

ππ π π




( )( )( )| |

κprime

= T t

tf t


98




( ) ( )( ) ( 1 )f t r cos t r sen t=



e sua norma eacute



( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( ) 0 ( 0)

minusprime= = =

prime

r sen t r cos tf t

T t sen t cos trf t


( ) ( ) ( )2 2 cos sen 1= + =T t t t


( )( )( )

1 | |

κprime

= =T t

trf t



NOTA


99




( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 ng t g t g t g t=









( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 nf t f t f t f t=



( ) ( ) ( )( )0 0 0


rarr rarr rarr=

( ) ( ) ( )( ) ( )

0

0

cos

x t x a tr t

y t y b sen t = += = +


100















( )( ) ( )( ) ( )( )

0

0

0

cos

= += = + =

x t x a t



nf t f t f t f t

( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 = int int intint


( ) ( )( )

g t

T tg t

prime=

prime


( ) b

a

C f t dtprime= int

( )( )( )| |

κprime

= T t

tf t

101

AUTOATIVIDADE





a) ( ) ( )f t g t+




e) ( ) ( )1 1f t g t+ + minus


a) ( ) 2 4f t t i tj= +

b) ( ) ( )22 1f t ti t j= + minus

c) ( ) ( ) ( )( )3cos 3f t t sen t=

para [ ]02t πisin



a) ( ) ( )( )1 2 2 1mm

π +

b) ( ) ( )( )1 0 2 1mm

π +

c) ( ) ( )( )1 2 2 1mm

π minus

d) ( ) ( )( )1 0 2 1mm

π minus

( ) ( ) ( )1 cos2

t t sen tg t i t j

m m minus minus

= + +

102


a) ( ) 2

0 lim t

sen tt

trarr

b) ( ) ( )2

320

lim cos 2t

t

te tsen t

minus

rarr

c) ( )2

1lim 8 cos 2

1t

t t t ttrarr

minus+ minus

d) 3

31lim

2 1t

t

t tte tsent t

minus

rarrinfin

+ minus


a) ( ) ( )( )2 32 3 1 2f t t sen t= + minus

b) ( ) ( ) ( )( )4 cos 3 f t t sen t= + +


d) ( ) ( )2





a) ( ) ( )202

4 0 2f t t t tt

= isin infin =


c) ( ) ( ) ( )( ) [ ] 04 3 0 3



( )2

1 2 22tr t t

= + minus +

( ) ( )278 7 1 2


103




a) ( ) ( ) ( )( )2 2f t t sen t t tcos t=

b) ( ) ( ) ( )( )4 cos 3 f t t sen t= + +

c) ( ) 3 5 3f t t i t j t k= minus +



a) ( ) ( ) ( )( ) cos 3 f t t t sen t t π= =

b) ( ) ( )2 22 3 4 2f t t t t= minus + + =

c) ( ) ( ) ( )( )4 3 2





104









2

P0

(xy) = P0 + tvv

105


a) ( ) 1b) ( ) 2c) ( ) frac12d) ( ) radic2

106

107

TOacutePICO 2

CAMPOS VETORIAIS

UNIDADE 2











108









e ( )01j =





109


( )01 0j =

e ( )0 01 k =






FONTE Os autores



110


FONTE Os autores

FONTE Os autores



(xy) F(xy)

(00) (00)

(10) (01)

(ndash10) (0ndash1)

(01) (ndash10)

(0ndash1) (10)



111



FONTE Os autores






112

( ) 2 3 4 f x y y x y= minus



( ) 3 2f x y xyx

part= minus

part

( ) 2 2 4 3 f x y x yy

part= minus

part





n

f fx x

part partpart part


( )11

nn

f ff x xx x



partpart

e fy

partpart


( ) f ff x yx y



partpart

fy

partpart

e fz

partpart





113




( ) ( ) 2 2 f ff x y x yx y




FONTE Os autores


114





FONTE Os autores



115


FONTE Os autores



0 0 Q Prot Fx y


Q Prot F kx y


com ( )0 01 k =




x

y


116


FONTE Os Autores

3 20

-1

-1

0

1

-3

-3-2

-1

12

34

-4

-2









com i j e k




2R yy

part= minus

part0R

xpart

=part

Q xyz

part=

partQ yzx

part=

part

0Pz

part=

partP xy

part=

part


117








FONTE Os autores



eacute conservativo


x

y


118

26R xyzy

part=

part2 23R y z

xpart

=part

26Q xyzz

part=

part32Q yz

xpart

=part

2 23P y zz

part=

part32P yz

ypart

=part





( )0 0 0 =





( ) ndiv F rarr

e dado por

( ) 1

1

n

n

FFdiv Fx x

partpart= + +

part part




119

( ) ( ) ( ) P Qdiv F x y x yx y

part part= +

part part



part part part= + +

part part part






( ) P x y z yx

part=

part

( ) Q x y z xzy

part=

part

( ) 0R x y zz

part=

part


( ) div F y xz= +




120









( )( ) ( ) ( )3 2 2 2 4 3div f x y xy x yx y




( ) ( )( ) ( ) ( )2 2

1 1 1 12 21


part part n n n n

n




121








como P Q e 3 R rarr




( ) f ff x yx y






122








( ) 1

1

n

n

FFdiv Fx x

partpart= + +

part part

( ) ( )( ) ( ) ( )2 2

1 1 1 12 21

n n n nn



part part

123

AUTOATIVIDADE











e) ( ) 2 2 2 2 y xF x y i jx y x y

minus= +

+ +

f) ( ) ( ) ( )( ) 1 F x y z sen z ycos z=





124


e






125











volume


126

127

TOacutePICO 3

INTEGRAIS DE LINHA

UNIDADE 2










( ) ( ) ( )( ) ( )

cosx t tt

y t sen tγ

== =


128



FONTE Os autores

ndash1 0

y

x1



FONTE Os autores


( ) ( )( )0

n

i i ii

massa f x t y t ds=

cong sdotsum



129


FONTE Os autores

FONTE Os autores




ndash1 0

y

xγ(t0)γ(tn)

γ(ti-1)γ(ti)

1

1

ndash1 0

1 1

y

x

γ(ti-1)γ(ti)

γ(ti)

a) b)

1 ndash1 0

y

x

γ (ti-1)γ (ti)

γ(ti) ∆ti

1

130



0( ( ) ( )) | ( ) |

n

i i i ii


cong ∆sum


0lim ( ( ) ( ) | ( ) |

n


rarrinfinminus

= ∆sum


( )( ) ( )2

0

massa f t t dtπ

γ γ= primesdotint


( ) ( )( )

sen t

tcos t

γminus=




( ) ( )2

2

0


= +int

( ) ( )2 2

2

0 0


= +int int


131


2

0

22 2 4

0dt t

π ππ= =int


( ) ( ) ( )32 32 2

0

2cos 1 1 0

3 3 3 30






( ) ( )( ) ( )

b

a

f x y ds f t t dtγ






( )

1 b

a



1( ) ( ( )) ( )b


132







4

0

22 2 2 2

0

t

C dt tγ

ππ= = =int




NOTA



133


FONTE Os autores

FONTE Os autores


( )( ) ( )( )i

tF t

tγ

γγ

sdotprime

prime



xγ(a)

γ(b)γ(t)

y

z

x

γ(b)

y

z

γ(a)

134




γγ γ γ γγ

sdot sdot ∆ = ∆



( )( ) ( ) b

a



( )( ) ( )

b

a

Fd F t t dtγ




( ) ( )2 t t t tγ =

para 0 le t le 1


( ) 12 1 2

t tt

γ prime =


135


( ) 1

3 2

0

1 2 1 2

Fd t t t t dttγ

γ = minus sdot

int int1 2

3

0

22tt t t dt

t= + minusint

1 13 3 33 32 2 2

0 0

1 32 2 2


4 21

3 1 3 2 54 2 4 2 502

t t= + = + sdot

1 3 17 4 5 20

= + =


( )( ) ( )

γ


a

Fd F t t dt


( ) ( ) F x y z x y z=


( ) ( ) ( )( )2cos t t t sen tγ π π=

para 0 le t le 1

136





( ) ( )( ) ( ) ( )( )1

2

0


( ) ( ) ( ) ( )1

3

0


1 43

0

12 2 12 4 4 2

0

tt dt= = = =int



FONTE Os autores



( ) ( )( ) ( ) ( )( )2

0


= sdot minusint

( ) ( ) ( ) ( )2

0


= minus + +int

2 2 22

0

24 2

2 20

ttdtπ π

π π= = = =int


137



1 2

1 2Fd Fdγ γ

γ γ= minusint int


e


Mostre que

1 2

1 2Fd Fdγ γ

γ γ= minusint int

para F(xy) = (21)









138



Para γ1 temos que

logo


( ) ( ) ( )( )1

10


γ


( ) ( )0

2 cos sen t t dtπ

= minus +int

( ) ( )2cos 0

t sen tπ

= +


Para γ2 temos que


logo

( ) ( ) ( )( )2

2


γ π


( ) ( )2

2 cos sen s s dsπ

π


( ) ( )2

2cos s sen sπ

π ππ




1 2

1 2Fd Fdγ γ

γ γ= minusint int


139




RESUMO





140





A ORIGEM DOS VENTOS







141












1PV NRT Eq=

2dP g Eqdz

ρ= minus

12 3TdV V g F Eqdt

ρρ



+ nabla =part

142


em que


g =








143






144


Vento gradiente




145









800 mb900 mb

1000 mb

146









147








( ) ( )( ) ( )

1 b

na

f x x ds f t t dtγ


( )

1 b

a



( )( ) ( )

b

a

Fd F t t dtγ


1 2

1 2Fd Fdγ γ

γ γ= minusint int

148



a) ( ) ( )( )

3 3 0 2


y t tγ

γ == le le =

int





densidade

AUTOATIVIDADE


γ

γ+ + =int

( ) 2 1

=+xF x y zy

149







a) ( ) 2 umb) ( ) 4 umc) ( ) 6 um d) ( ) 8 um


a)

a)

b)

c)

b)

c)

d)

e)

( ) ( ) 3 2 4F x y z y x z=

( ) 21 0 0

1F x y z

x = +



( ) ( )2 3 3 3 1 F x y z x x z= minus




( )( )( )( )

1 cos

2 1 cos

t

t sen tt

γ

+

= minus

150




2 y dx x dy

γ

+int

151

UNIDADE 3



PLANO DE ESTUDOS










152

153

TOacutePICO 1

TEOREMA DE GREEN

UNIDADE 3








154








( ) ( ) ( ) F x y P x y i Q x y j= +


ou ainda

+

rarr rarr

part


int intintDD

Q PF d r dxdyx y

+part


int intintDD

Q PP dx Qdy dxdyx y



155



FONTE Os autores

y

xD

Dpart




( ) (2 ) (3 4 ) F x y x y i y x j= + + +



FONTE Os autores


156



1

0

( 0)AO


sdot =int int

12

0

12 1

0xdx x= = =int


[ ] [ ]

1

01

01

01

0

(1 )( ) (1 )

2(1 ) 3 4(1 )

2 2 3 4 4

12 2 2

0

rarr rarr




= = =

int int

int

int

int

AB


y y dy y y dy

y y y ydy

dy y


1

0

21

0

(0 )

13 33 02 2

rarr rarr

sdot = minus


int int

int

BO

F dr Q y dy

yydy



157

3 31 22 2D

F drrarr

part +

sdot = + minus =int



intint intintD D

Q P dxdy dxdyx y

jaacute que

e

assim

(3 4 ) 4Q y xx x

part part= + =

part part


part partP x yy y


intint intintD D

Q P dxdy dxdyx y1 1

0 0 0

3 30

= =int int inty y

dxdy x dy

1 2

0

13 33 02 2

= = =intyydy


DICAS


158





FONTE Os autores


e

( )2 2Q xy yx x

part part= =

part part

( )2 2P x y xy y


part part


2 2( )+

rarr rarr

part





159



2

1 23 3

0 0

41 3

0

12 2

04 2

θ

θ

π

θ

θ θ

ππ π

+

rarr rarr

part

sdot = sdot

= =

= = =

int intint

intint int int

int

r

r

DD

D

F d r r r drd

r drd r d dr

rr dr



( ) 2 2 sup2 sup2

y xF x y i jx y x y

= minus + + +



160


FONTE Os autores



Assim temos que


Entatildeo

2 2 2 2

2

2 20

22 2

02

0

( ) cos( )( ( ) ) cos( )

( ) cos ( )

2

C C



sen t t dt

dt

π

π

π

π

+ +

rarr rarr

sdot = minus ++ +

= minus minus +

= +

= =

int int

int

int

int

x0 andasha

ndasha

a

y


161




= minus +





( ) ( ) ( ) F x y P x y i Q x y j= +


+

rarr rarr rarr

part

sdot = int intint

DD

F n ds div F dxdy


( ) ( )( ) ( )( ) div F P x y Q x yx y

part part= +

part part


C

sF n drarr

sdotint


162

onde

( ) ( ) ( )2





FONTE Os autores


3

D C C




CF n dsrarr rarr

sdotint


163


( ) ( ) ( )2





( )2 2

0 0

3

0

4

0

2 ( )

22 ( )03

2 ( )3

16 32( cos( )) 03 3

π

π

π

θ θ

θ θ

θ θ

πθ

rarr rarr

partsdot =

=

=

=

= minus =

int intint

int int

int

int

D

D

F n ds div F dxdy

r sen dr d

r sen d

sen d




e assim sendo

3

2

0

2 22

02

rarr rarr

sdot =

= =

int intCF n ds x dx

x


164


3 3

32 382 3 3



= + =

int int int

165






+

rarr rarr

part +part


int int intint D DD


+

rarr rarr rarr

part

sdot = int intint

DD

F n ds div F dxdy

166










AUTOATIVIDADE

2

C

x dx y dy+int

2

2 ( )1minus

= ++int

C

x yI dx arctg x dyx

2 2 2 2minus

++ +int

C

y xdx dyx y x y

( ) ( )( )3 3 ( ) cos= minus + +

xF x y e y i y x j

167

a) ( ) 2π

a) ( ) 2503

c) ( ) 1512

b) ( ) 32π

b) ( ) 87

d) ( ) 32

d) ( ) 127

c) ( ) π



( ) 21 2

= +

F x y xy x xy

168

169

TOacutePICO 2

TEOREMA DE GAUSS

UNIDADE 3







170








171







172





onde



dS



= timespart part




intintS

xy dS




part partu v


173


( )1 1 2 1 3 2 1 1 1

i j k

u vϕ ϕpart part


minus





14 dS du dv=


2 2

1 2 2

0 0

31 2

0

1 3

0

4

( )( ) 14

14

14

1403

2 143

12 14 14 03 4 6

= minus +

= minus

= minus

= minus

=

= =

intint intint

intint

int int

int

int

S S

Du

xy dS u v u v du dv

u v du dv

u v dv du

uvu v du

u du

u




174


rarr rarr rarr rarr

minus


F d r F d r





rarr rarr

Φ = sdotintintS

F n dS



FONTE Os autores


NOTA

ϕ ϕϕ ϕ

times=

times u v

u v

n


175




e







1 0 2 (2 2 1)0 1 2

ϕ ϕ

rarr rarr rarr


u v u u vv

i j k


2 2

2 2

1 1 2 2

0 0131 2

00

2

( ( ))

( ( )) ( )

(2 2 ) (2 2 1)

(4 2 2 2 )

(4 2 )

(4 2 )

4 23

4 23

ϕ ϕϕ ϕ ϕϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

rarr rarr rarr

rarr


times

= sdot times

= + minus sdot

= + + minus

= +

= +

= +

= +

intint intint

intint

intint

intint

intint

int int

int

u vu v

u vS D

u vD

D

D

D

F n dS F u v dudv

F u v dudv

u u v uv u v dudv

u uv v uv dudv

u v dudv

u v dudv

u uv dv

v1

0

13

0

4 23 3

4 23 32

= +

= +

=

int dv

v v

176


2 2

2 2

1 1 2 2

0 0131 2

00

2

( ( ))

( ( )) ( )

(2 2 ) (2 2 1)

(4 2 2 2 )

(4 2 )

(4 2 )

4 23

4 23

ϕ ϕϕ ϕ ϕϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

rarr rarr rarr

rarr


times

= sdot times

= + minus sdot

= + + minus

= +

= +

= +

= +

intint intint

intint

intint

intint

intint

int int

int

u vu v

u vS D

u vD

D

D

D

F n dS F u v dudv

F u v dudv

u u v uv u v dudv

u uv v uv dudv

u v dudv

u v dudv

u uv dv

v1

0

13

0

4 23 3

4 23 32

= +

= +

=

int dv

v v





( ) rarr rarr rarr

=part




se F = (P Q R)

NOTA

( ) P Q Rdiv Fx y z

part part part= + +

part part part


177





2 2 2 1x y z+ + =


entatildeo

2 2 2

2 2 2

( ) ( )

( ) 4 π

rarr rarr

sdot = minus + sdot

= minus + + +

= + +

= = =

intint intint

intint

intint

intint

S S

S

S

S


x xy xy y z dS

x y z dS

dS Aacuterea S


( ) 1 1 1 3div F = + + =

Portanto temos que

3 3 ( )=intintintW

dxdydz V W


( )34 4

3 3rV W π π

= =

178


concluiacutemos que

43 4 3π π

rarr rarr


F n dS



UNI



rarr rarr

sdotintintS

F n dS





179


FONTE Os autores

z

n

n

n

y

ndash2ndash1 1

1

y

x1

1

ndash1


eacute

( ) 1 1 2 2 2 div F z z= + + = +


( )

2 2

rarr rarr rarr

=part

sdot =

= +

intint intintint

intintintS W W

W


z dx dy dz


2

0

2

2

2

2 2

22

0

2( 2) ( 2)

6 8

+rarr rarr

=part

sdot = +

+= +

= + + +

= + +

intint intint int

intint

intint

intint

x

S W D

D

D

D

F n dS z dz dx dy

xz z dx dy

x x dx dy

x x dx dy

180



logo


2 1 220 0

2 13 2 2

0 02 4 3 2

2

02

0

( cos ( ) 6 cos( ) 8)

cos ( ) 6 cos( ) 8

16 8cos ( ) cos( )04 3 2

1 cos 2( ) 2cos( ) 4 4

π

π

π

π

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

rarr rarr

=part

sdot = + +

= + +

= + +

= + +

intint int int

int int

int

int

S W

F n dS r r rdr d

r r r dr d

r r r d

d


e

2 2

0

21 1 (2 )cos ( )04 4 2 4 4


send

2

0

22cos( ) 4 2 ( ) 4 8

0π π



338 4 4π ππ

rarr rarr

=part

sdot = + =intintS W

F n dS


DICAS


181


( ) 2 2 2 4 F x y z x i y j y x k= + +




FONTE Os autores


2 2 2( ) ( ) (4 ) ( )

2 8

div F x y y xx y z

x y

part part part= + +

part part part= +

portanto

( )

2 8

rarr rarr rarr

=part

sdot =

= +

intint intintint

intintintS W W

W


x y dx dy dz

0 y

z

x

182



2 3 2

0 0 0

2 3 2 2

0 0

3 32

0

2

0

(2 cos( ) 8 ( ))

2(2 cos( ) 8 ( ))

0

34 16cos( ) ( )03 3

102cos( ) 144 ( )

2102 ( ) 144cos( ) 0

0

π

π

π

π

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

πθ θ

rarr rarr

=part

sdot = +

= +

= +

= +

= minus =

intint int int int

int int

int

int

S W


r r sen z dr d

r r sen d

sen d

sen


0rarr rarr

=part

sdot =intintS W

F n dS

183








Onde



dS



= timespart part

rarr rarr

Φ = sdotintintS

F n dS

div rarr rarr rarr

=part


F n dS F dxdydz

184

AUTOATIVIDADE












( ) ( ) F x y z x y z=

( ) ( ) F x y z x y z=


( )2 2 2 F x y z=

( )2 3F x xz z=

185





( ) 3 3 2 F x y z x i y j z k= + +

( ) 2 2 3 F x y z xi yj z k= + +

186

187

TOacutePICO 3

TEOREMA DE STOKES

UNIDADE 3










188








189



FONTE Os autores

FONTE Os autores



y

z

x

y

z

x


190





part


rot F n dS F d r



( )

i j k

rot Fx y z

P Q R

part part part=

part part part





DICAS



F(xyz)= (3z4xy)


191




FONTE Os autores

-2

-2

-2

-3

-3

-4

-4

-5

-5

-6

-1

-1-1

1

2

3

4

5

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

11

0


x = 2cos(t) y = 2sen(t) e z = 0



2

0

3 4

3 0 ( 2 ( ) ) 4(2cos( )) (2cos( ) ) 2 ( ) 0

C C

F d r z dx x dy ydz


rarr rarr

sdot = + +


int int

int



192

2 2

016cos ( )

216 16 (2 ) 16 02 4

π

ππ

rarr rarr

sdot =

= + =

int intC

F d r t dt

t sen t


( ) ( )

1 3 4

3 4

i j k

rot Fx y zz x y

part part part= =

part part part



( ) (13 4) ( 2 2 1)

( 2 6 4)

rarr rarr


= minus minus +

intint intint

intintD D

D


x y dx dy


2 2

0 0

2 2 2 2

0 0

32 3 2

0

2

0

( ) ( 2 cos( ) 6 ( ) 4)

( 2 cos( ) 6 ( ) 4 )

22 cos( ) 2 ( ) 203

16 cos( ) 16 ( ) 83

216 ( ) 16cos( ) 803

0 0 16 16 16 0 16

π

π

π

π

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

πθ θ θ

π π

rarr rarr


= minus minus +

= minus minus +

= minus minus +

= minus + +


intint int int

int int

int

int

D


r r sen r drd

r r sen r d

sen d

sen



193





z znx y

UNI






FONTE Os autores

xy

z

1

1

1

C



194


FONTE Os autores

FONTE Os autores

z

xy1

1

1

S nC S= part



y

y = 01

1

y = 1 ndash x

D x + y = 1

x


normalizando N

teremos

( )111 = =n e dS dxdy




F d r rot F n dS


195


( ) ( )2

0 1

i j k



part part part


( )

( 0 1) (111)

( 1)

rarr rarr rarr rarr

sdot = sdot

= minus minus sdot

= minus + minus

int intint

intint

intint

CD

D

D

F d r rot F n dS

x z dxdy

x z dxdy


1 1

0 0

21

0

21

0

21 2

0

21

0

3 2

( )

2

12

02

(1 )2 (1 )2

12 22 2

3 12 2

1 1 1 1 1 02 2 2 2 2 2 2

rarr rarr

minus


= minus minus

minus= minus minus



= minus minus


int intint

int int

int

int

int

int

CD

x

F d r x x y dxdy

x y dydx

xyxy dx

xx x dx

xx x x dx

x x dx

x x x


( ) 2 3 2 4 F x y z x i xy j y x k= + +



196


FONTE Os autores



( ) ( )2 3

2 2

2 4

4

i j k

rot F xy y yx y z

x xz y x


part part part


( ) 1 1 11z znx y



2 3

2 3

( )

(2 4 ) ( 1 11)

( 2 4 )

rarr rarr rarr rarr

sdot = sdot


= minus + +

int intint

intint

intint

CD

D

D

F d r rot F n dS

xy y y dx dy

xy y y dx dy

y

z

x

1

01

2


197


1 2 2 3

0 0

31 2 4

0

1

0

1

0

2

( 2 4 )

203

84 163

56 43

156 56 502 2 03 3 3

rarr rarr

sdot = minus + +

= minus + +

= minus + +

= minus

= minus = minus =

int int int

int

int

int

CF d r xy y y dy dx

yxy y dx

x dx

x dx

x x


198




1 HOMEM




[]

2 O TEOREMA



199



2 1 ( ) σ


intint intD


(21)







200





201








202


( ) ( )1 F x y y b x ar

= minus + minus


( ) ( ) v t

tωρ

=



( ) t dtβ

αωΩ = int


203


0

1( ) ( ( )) ( )

1 ( ( )) ( )

2

t dt F t t dt

G t t dtr

n

β β

α α

β

α

ω σ σρ

σ σρ

π

Ω = = sdot

= sdot

=

int int

int (22)

(23)


2 1 σ


int intintD

G GG dr dxdyx y



( ) ( )2 1 2 2 x yG G a b Div a bx y



204


( ) ( )

2 2 2

2 2 2

a b R

x a y b r

+ =

minus + minus =(24)

(25)



( )( ) ( )( )2 2 0

2 1 2 0

x x

x x

aa bbx a a y b b


Assim

( )( ) ( )( )

1 0

xx

x x

aabb

x a a y b b


Logo ( )( ) ( )1 0xx

aax a a y bb


( ) ( ) ( ) 0x

a y ba x a x a


isto eacute

( )xaya x x ab


e por conseguinte

( ) x

b x aa

xb yaminus

=minus


205

(26)

(27)


( )( ) ( )( )2 2 0

2 2 1 0

y y

y y

aa bb

x a a y b b


Assim

( )( ) ( )( )

1 0

yy

y y

bba

ax a a y b b

= minus


Logo ( ) ( )( )1 0yy

bbx a y b b


( ) ( ) ( ) 0ybb x a y b y ba


isto eacute

( ) yxbb y y ba

minus = minus minus

e por conseguinte

( ) y

a y bb

xb yaminus minus

=minus





minus minus

1 bx ayxb ya

minus= =

minus


206


2 1 1G Gx y

part partminus =

part part


2 1 ( ) D



int (28)

(29)




( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) r aq st t t t G tr r



( ( )) ( )

( ( )) ( ) ( ( )) ( ( ) ( ))

( ( )) ( ( ))

r

a

r G t t dt


s dG t G tr dt

β

α

β β

α α

β

α

ρ σ σ

σ σ σ σ σ

σ σ

Ω = sdot

= sdot + sdot minus

+ sdot

int

int int

int


207





( )t dtβ

αθint


[]


208









S

S


part


( )

i j k

rot Fx y z

P Q R

part part part=

part part part



209

AUTOATIVIDADE



F(xyz) = (3z4xy)




C

F d rrarr rarr

sdotint





τrarr rarr

= sdotintC

F d r

( ) 2 3 2 4 F x y z x i xy j y x k= + +


210







τrarr rarr

= sdotintC

F d r

τrarr rarr

= sdotintC

F d r

( ) 2 2 = + +

F x y z xyi x j z k

( ) 2 2 = + +

F x y z xyi x j z k

211

REFEREcircNCIAS
















VI

VII
















sumaacuterio

VIII







REFEREcircNCIAS 211

1

UNIDADE 1



PLANO DE ESTUDOS















2

3







43 2 2 3 2

4

= = +




4



dado por

( ) b

a

f x dxint

2 sube rarr f D




FONTE Os autores


x

y


5












m n




6


FONTE Os autores


( )0 0

= =

= ∆ ∆sumsumn m

m n i ji j

S f u v x y



( ) 0

0 0

lim ( )rarr

= =


i jm ni j D



NOTA


7


Teorema de Fubini


entatildeo

em que



D c a


( ) ( ) ( ) d b d b b d

c a c a a c


= =



( ) b

a

f x y dxint




( ) 2 f x y xy=


8


1 1

0 0

sup2 xy dxdyintint


1 12

0 0

y x dx dy

sdot

int int


11 12 2 22 2

0 00

1 0 2 2 2xy dy y dy

sdot = minus

int int1 2

0

2y dy= int


112

00

1 1 sup3 1 2 2 3 6

yy dy = sdot = int



IMPORTANTE

1 1

0 0

sup2 intintxy dydx


9




FONTE Os autores


1 1

0 0



1 1

0 0

2 x y dx dy

minus minus

int int


11 12

0 00

32 2 2xx xy dy y dy

minus minus = minus

int int


10


11 2

0 0

3 3 3 1 12 2 2 2 2

y yy dy


int




FONTE Os autores


1 12

10

1V x dydxminus

= minusint int1 1

1 0

1 sup2 x dy dxminus

= minus

int int1

2

1

10minus


12

1

1 x dxminus

= minusint


11


12

1

1 V x dxminus

= minusint13

13xx

minus

= minus

( ) ( )311 41 1 3 3 3





FONTE Os autores



12






FONTE Os autores


( )( )

( )

( )1

2

=

intint int intx

g xb

R a g x




( ) 2 f x y xy=




13


2 21 1 1 12 2

0 0 0 0

x x


= sdot


0 03

xyx dx

minus

= sdot

int1 3

2 2

0

1 1 3



1 1 332 22

0 0

1 11 3 6


152

0

1 26 5

u

= minus sdot

( )15

2 2

0

1 2 11 6 5 15

x



( )

3

3 D

x y dA+intint




14


FONTE Os autores




( )2 2

22 2 2 23 3

0 0

33 2

xx

x x

yx y dy dx x y dx

+ = +

int int int

( ) ( )22 223 3 2

0

33 22

2 2xx

x x x x dxsdotsdot


4 2 5

0


( )2

5 4 2

0

1 2 12 2


0

1 2 122 6 5 3

x x x = minus + +

6 5 31 2 2 2 12 2

2 6 5 3 sdot sdot

= minus + +

1 64 32 12832 2 3 5 15

= minus + + =


15


2 2 16 2 4x y e x y+ = + =


( )

1 D

A D dA= intint


e

2 216 82 2

x xy minus= = minus

4 22 2

x xy minus= = minus





16


FONTE Os autores


( )2

2 3 4 e 2 82 2


x xD x y x y


2 284 42

3 322

821

22

minus

minus minusminus

minus =

minus

int int intx

x

x

dy dx y dxx

4 2

3

8 22 2x x dx

minus


3

62 2x x dx

minus

= + minusint

( )4

3

1 34312 sup2 2 12

x x dxminus

= sdot + minus =int


17



( )2

1 12

0 0

1 x

x

dy dx x x dx

= minus

int int int13 3

2

0

2 1 3 3 3

= minus =

xx






FONTE Os autores


( )( )

( )

( )2

1

=

intint int intx

h xd

R c h x



18



( )

3

3 D

x y dA+intint




FONTE Os autores


( ) 2 e 0 4 2

= isin le le le le

yD x y x y y



19

( )4 4 4

3

0 022

3 3 4

yy

yy

xx y dx dy yx dy

+ = + int int int

( )4

44

0

23 34 4 2

yy yy y y dy


4 32 4 22

0


2

0

5 34 64y yy dyminus

= + minusint45

3 52

0

5 612 5 320y y y

= minus + minus

53 525 4 6 44

12 5 320sdot

= minus + minus

80 192 16 128 3 5 5 15

= minus + minus =

( )2

1 12

0 0

1 y

y


int int int13 3

2

0

2 1 3 3 3

= minus =

yy






20


NOTA

( ) ( ) ( )1 2





( ) intintintR

f x y z dV



NOTA


21





( ) fb d

a c e

f x y z dz dy dx

int int int





2 1 2

1 0 1

xyz dx dy dzminus


1 0 1 01


minus

= = sdot


1 10

3 3 9 2 2 4 8

y z dz z dz

= sdot = sdot =

int int



22


2 2 2

R





FONTE Os autores




22 22 2 2

0 0 0

x yx


+ +

int int int

( ) ( )2 2

2 2

0 0

1 2 3 3 2 sup2 3

x



int int

( ) ( )2

2 2

0

1 82 2 1 3 5


23










D c a


( ) ( ) ( ) d b d b b d

c a c a a c


= =


( )( )

( )

( )1

2

=

intint int intx

g xb

R a g x


( )( )

( )

( )2

1

=

intint int inty

h xd

R c h x


( )

1 D

A D dA= intint

24



( )

R

f x y z dVintintint

( ) fb d

a c e

f x y z dz dy dx

int int int

25



a)






b)

AUTOATIVIDADE

( )3 2

2 0

2 6xy dydx+intint

( )3 4

1 2


26

a) ( ) 16b) ( ) 12c) ( ) 13 d) ( ) 14e) ( ) 15



( ) = intintintmR

V F F dV

05 24

0 0

8 2 4 x

x y dydxminus +

minus minusint int

2 42

0 0

8 2 4 y

x y dxdyminus +

minus minusint int


a) ( ) 512b) ( ) 643c) ( ) 64 d) ( ) 8


a) ( ) 13b) ( ) 23c) ( ) 56d) ( ) 76



27




a) ( )

b) ( )

c) ( )

d) ( )

( )22

0 6

x

x

f x y dx dyminus

int int

( )2

2 6

3

x

x

f x y dy dxminus

minusint int

( )2

2 6

0

x

x

f x y dy dxminus

int int

( )2 sup2

36

x

x


28

29

TOacutePICO 2



UNIDADE 1




( )

( )

( ) ( )( ) ( ) acute g d d

g c c



Logo

1

0

1 sup2 x dxminusint




( )1 2

2

0 0


π

minus =int int


30



( )( )1 2

2

0 0

11 1 cos 2 2

x dx u du

π


( )21 22 2 40

ππ

+ =

sen uu





( )( )

x x u v

Ty y u v

= =



( ) u v

u v

x xJ T

y y=


31


( ) ( ) ( )( ) ( )

xy uvR R











FONTE Os autores


32


( )( )

cos

senθθ

= sdot = sdot

x rT

y r



( ) ( ) ( )( ) ( )

cos sensen cos

rJ T

rθ θθ θ

minus sdot=

sdot







NOTA


( )

2 2

log xyR

x y dA+int int


33




FONTE Os autores






( ) ( ) 2 2

2 2 2

0 1

log log xyR

x y dA r r drdπ


( )2 2

2

0 1

log r r dr dπ

θ

= sdot

int int



34

sup2u r=

2 2

= =dudu r dr r dr

Assim sendo

( ) ( )2 4

2

1 1

1log log 2


( )( )4

1


( )( ) ( )( )4 1log 4 1 log 1 12 2

= minus minus minus

( ) ( )1 32log 4 2 0 2log 4 2 2



( ) ( ) ( )2

0

3 3 32log 4 2 log 4 log 4 22 2 40


int d


UNI


2

14 sup2 xyR




35


( ) 2 3

2

0 2

14 ( sup2) 14 sup2 π


x y dA r r drd


32 3 2 2 43

0 2 0 2


π π

θ θ

minus = minus

int int int2 4 4

2 2

0

3 27 3 7 24 4

dπ

θ


int

( )2

0

8163 28 44

dπ


22

00

81 81 81 4 4 2



2 2

xyR

x x y dxdy+int int




( ) 22

2 2 2

0 1

π




36


( ) ( ) 2 42 2

3

0 1 0

2cos cos

41

rr drd d

π π


( )42

0

2 1cos 4 4

d

π

θ θ

= minus

int

( ) ( )2

0

15 15cos 24 4 0


( )15 15 150 4 2 4 4

sen senπ = minus =





3 3 T rarr


( )( )( )


z z u v w

=

= =


37



( ) u v w

u v w

u v w

x x xJ T y y y

z z z=


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

xyz uvwR R







θ =


( )

R

f x y z dVintintint


38


( ) ( ) ( )( )

θ





NOTA

= intintintD

Volume dV




E assim

[ ]2 2

00 0 0 0 0

R h R



0 0

R

h r drdπ

θ= sdotint int2 2

0 0

2

Rrh d

π

θ

= sdot

int2



39


D

xy dVintintint



( ) ( )( ) 2 1 1

0 0 0

D




( ) ( ) 2 1 1

2

0 0 0

cos D

xy dV r sen dzdrdπ


( ) ( )2 1

2

0 0

1cos

0r sen z drd

π


( ) ( )2 1

2

0 0

cos r sen drdπ


( ) ( )12 3

0 0

cos3r sen d

π

θ θ θ

=

int

( ) ( )2

0

1 cos 3

sen dπ

θ θ θ= int


2

0

1 3D

xy dV u duπ


( )2

2

2 21 1 cos 3 2 6

0 0

uπ π

θ= minus = minus

( ) ( )2 21 1cos 2 cos 0 06 6

π= minus + =


40



D

dxdydzint int int



2 2

2 2

2minus minus


xy

x y

x yD D

dxdydz dz dxdy

2 2

2 2

2 minus minus=

+intintxyD

x yz dx dy


xyD

x y dxdy

Vamos considerar

2 2 2r x y= +

( )cosx r θ=

( ) y r sen θ=


( )2 1 2

0 02 2


D

dxdydz r rdrd

2 1 3

0 02 2


42 22

0 0

1 102 2


rr d d

21 02π

θ π= =


41





ou seja


z = ρ cos(ϕ)

ou ainda

2 2 2x y zρ = + +

yarctgx

θ =

2 2 2arccos z

x y zφ

= + +



FONTE Os autores


42


( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )2

cos cos cos cos cos

cos 0


φ ρ φ

minus= + =

minus


sen


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2

cos cos ρθφ





2 2 2

( )32 x y z

D





2 2 2 2x y zρ = + +


FONTE Os autores

11

ndash1

x

y

z


43


( )2 2 2 32 3 2 1

( ) 2

0 0 0


D


( ) 32 1

2

0 0 0

sen e d d dπ π



31 1

2

0 0

13


( )1

1 1 1 3 3

0

ue e= = minus

Assim

( ) ( )2 2 2 32 2

( )

0 0

1 13

π π


D

e dxdydz e sen d d

( ) ( )2

0

1 1 cos 3

0e d


( )2

0

2 13

e dπ

θ= minus int

( ) ( )2

2 41 1 3 3

0e e



( )23 sup2 z x y= +



44


FONTE Os autores


( ) ( )2 2 2 23 sup2 3 sup2x y x y x y+ + + = +

( ) ( )2 2 24 3 sup2x y x y+ = +

( ) ( )22 2 2 216 3x y x y+ = +


2 2 316

x y+ =



2 2 2x y z z+ + =


( )2 cosρ ρ φ=

ou seja

( )cosρ φ=


45


( )2 23z x y= +


( ) ( )2 2cos 3 senρ φ ρ φ=


( ) 1 63

tg πφ φ= sdot =


( )

( ) ( )( )cos2 2 36 6

2

0 0 0 0 0

cos

30

sen d d d sen d d

π πφπ π φ


( ) ( )32 6

0 0

cos

3sen d d

ππ φ

φ φ θ= int int


( ) ( )36

0

cos

3sen d

π

φφ φint


( ) ( )3 36 6

0 0

cos

3 3usen d du

π π


( )44 cos6

12 12 0

πφ= minus = minus

u


46

( )4 44cos cos 0 1 3 1612 12 12 2 12


9 1 7

192 12 192= minus + =


( )

( )cos2 26

2

0 0 0 0

7 192

sen d d d d d

πφπ π


7 7 192 96

0

ππθ= =


NOTA

47







( ) ( ) ( )( ) ( )

xy uvR R


( )( ) ( )2 2 2 θ

θθ

= sdot = + = = sdot



( ) ( ) ( )( ) ( )

cos sen

sen cosr

J T rr

θ θθ θ

minus sdot= =

sdot

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

xyz uvR R


( ) ( ) ( )( )

θ



( ) ( )

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ρθφ



48

em que

ou ainda



θ = 2 2 2

arccos zx y z

φ = + +

49



a)





b)

a)

a)

b)

b)

AUTOATIVIDADE

22 22 2

0 0

x

x y dy dxminus

+int int21 1

0 0

x

x dy dxminus

int int

2

2 2

2 4 22 2

0 0

x

x y

x y dz dy dxminus

+

+int int int

2112 2

1 0 0

y x

x y dz dx dyminus

minus

+int int int




z dxdydz D x y z z

50



a) ( ) πb) ( ) 4

π

c) ( ) 2πd) ( ) 2

π

e ( ) 4π





( )2

2 22 4

0 0

minus

+int intx

x ye dydx

z

yx

(0 0 1)

0

D

51

TOacutePICO 3


UNIDADE 1







δ(x y)



( ) δ= intintD

m x y dxdy


52





FONTE Os autores





m x y dxdy xy dxdy

2 4 2 4

0 0 0 0


= =

int int int int

2 22

0 0

43 24

20


22

24 482

0

y= =


53




R R

(x y)

2 2d x y= +


( ) 2 2x y k x yδ = +






2

0 0

R

m kr dr dπ

θ

=

int int

3 3

0 0

3 3

0

Rr kRk d d

π π

θ θ= =int int

3 3

3 3

0

kR k Rπ

πθ= =

54







( ) δ= intintD

q x y dxdy




FONTE Os autores




55



q x y dxdy x ydxdy

2 3 2 32 2

0 0 0 0

x y dx dy y x dx dy

= =

int int int int

2 23

0 0

3 9

30


22

9 9 2 182

0

y= = sdot =






( ) ( )( )1

2 2

0 0


D


( )1

2 2

0 0

x

x x y y dy dx

= minus minus

int int

( )1 2 3

2

0

2 3

0

xy yx x dx

= minus minus

int

( )1 2 3

2

0 2 3x xx x dx

= minus minus

int

1 3 4 5

0


56


4 5 61

1 1 1 8 6 18 8 6 18

0


9 12 4 1 72 72

minus += =


coulombs



( )

( )

δ

δ= =

intint

intinty D

D

x x y dxdyM

xm x y dxdy

e

( )

( )

δ

δ= =

intint

intintx D

D







57


FONTE Os autores





m x y dxdy x y dxdy

1 2 2

0 0

1 3 x

x y dy dxminus

= + +

int int

1 2

0

2 23

20

xyy xy dx

minus

= + +

int

( ) ( )21

0

2 22 2 3 2 2

2x

x x x dxminus


1 32

0

144 4 4 3

0


4 84 3 3

= minus =

58





1 2 22

0 0

3 x

y xy y dy dxminus

= + +

int int

1 2 2 3

0

2 23

2 2 30

xy xy y dx

minus

= + +

int

( ) ( ) ( )2 2 31

0

2 2 3 2 2 2 22 2 3

x x x xdx


1 3 22 2 3

0

8 24 24 82 4 2 6 12 63


1 32

0

14 106 2 3 3


3 42

114 2 53

3 3 60


14 2 5 113 3 3 6 6

= minus minus + =



1 2 22

0 0

3 x

x x xy dy dxminus

= + +

int int

1 22

0

2 23

20

xxyxy x y dx

minus

= + +

int

( ) ( ) ( )212

0

2 22 2 3 2 2

2x x

x x x x dxminus


2 2 3 2 3

0


13 4 2

0

14 4 2



59

1 2 1= minus + =

Assim segue que

e

11 e 16x yM M= =


1 38 8 3

yMx

m= = =

11116 8 16

3

xMym

= = =


x y =



FONTE Os autores

( ) 3 11 8 16

x y =

()311 816

xy =

60




e

( ) 2 2 x y k x yδ = +


3


( ) ( )3

0 0

π


xD


( )4

0

4

0

Rrk sen d

π

θ θ= int

( )4

04Rk sen d

π

θ θ= int

( )4 4

cos 4 2

0

R kRkπ

θ= minus =

( ) ( )3

0 0

π


yD


( )4

0

4

0

Rrk cos d

π

θ θ= int

( )4

04kR cos d

π

θ θ= int

( )4

sen 04

0

Rkπ

θ= =


61

e


30 0

3

yMx

k Rm π= = =

4

332 2

3

x

kRM Ry

k Rm π π= = =






( )2 δ= intintxD

I y x y dxdy

( )2 δ= intintyD

I x x y dxdy


62


0 x yI I I= +



( )2 2( ) δ= +intintD

x y x y dxdy




Calculando Ix temos

( ) ( )( )2

22

0 0

π


xD



( )2 4

2

0

4

0x

arI k sen d

π

θ θ= int

( )24

2

04ka sen d

π

θ θ= int


( )24

0

1 cos 28x

kaI dπ

θ θ= minusint

( )42

2

8 20

senkaπ

θθ

= minus

4 4

2 8 4

ka k aππ= sdot =


63


4xk aI π

=


( ) ( )( )2

22

0 0

π


yD



( )2 4

2

0

cos 4

0y

arI k d

π

θ θ= int

( )24

2

0

cos4

ka dπ

θ θ= int


( )24

0

1 cos 28y

kaI dπ

θ θ= +int

( )42

2

8 20

senkaπ

θθ

= +

4 4

2 8 4

ka k aππ= sdot =


4yk aI π

=



4 4 4

0 4 4 2x y

k a k a k aI I I π π π= + = + =

64



FONTE Os autores


( )4 2

2 2

0 0


xD

I y x y dxdy y dydx

4 4 332

0 0

28

3 30


5522

48 16 512 453 15 15

02

x= = =


0 2k aI π

=




65

e

( )4 2

2 2

0 0


yD

I x x y dxdy x dydx

4 4 52 2

0 0

2 2 0


7722

44 5122 4 7 7 7

02

x= = =


0512 512 11264 15 7 105x yI I I= + = + =

66












67








68




KMOL







69


2 2

0

R

R r r drminusint

2

2 20

2 2

2

R

u R rduu du rdr

durdr

= minus

= minusminus =

minus

int

2

0

1 2

R

u duint2

321

30

Ru

( )3

2 321 13 3

R R=

23

0

1 2 3V R d

π

θ= int

3

21

2 30

V Rπ

θ=

31 2 2 3V R π=

34 3

V Rπ=





70









e

( ) δ= intintD

m x y dxdy

( ) δ= intintD

q x y dxdy

( )

( )

δ

δ= =

intint

intinty D

D

x x y dxdyM

xm x y dxdy

( )

( )

δ

δ= =

intint

intinty D

D

x x y dxdyM

xm x y dxdy

( )2 δ= intintxD

I y x y dxdy

( )2 δ= intintyD

I x x y dxdy

( ) ( )2 20 δ= + = +intintx y

D

I I I x y x y dxdy

yy

71









AUTOATIVIDADE

72

73

UNIDADE 2



PLANO DE ESTUDOS











74

75

TOacutePICO 1


UNIDADE 2









( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 nf t f t f t f t=


76



com i

e j


e ( ) 01 j =

com i

j

e k


( ) 01 0j =

e ( ) 0 01 k =

( ) ( ) ( )1 2 f t f t i f t j= +


( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 f t f t i f t j f t k= + +


( ) ( )2 3 1f t t t= minus +









77






a) ( ) ( ) f t g t+













por h






78


e g

como a seguir

( ) ( ) 3

2

3 2 2

2

i j kf t g t t t


minus





( ) ( ) ( )( )0 0 0


rarr rarr rarr=


22

2 2lim 4 4t

ttt trarr

minus minus


2 22 2 2 2




Como

2

2 2lim 12t trarr

= =

2lim 4 4 2 8t

trarr

= sdot =


79

( )( )22 2 2

2 2 1 1 1 lim lim lim4 2 2 2 2 2 4t t t


minus minus= = = =

minus minus + + +

concluiacutemos que

22

2 2 1lim 4 1 8 4 4t

ttt trarr

minus = minus


estaacute definido

existe

( )0) i f t

( )0) i f t

( )0

) lim t t

ii f trarr

( )

0

) lim t t

ii f trarr

( ) ( )0

0) lim t t

iii f t f trarr

=

( ) ( )0

0) lim t t

iii f t f trarr

=



( ) 2 1 2 1) 1 4 1 2 41 1 4 3


21

2 2 1) lim 4 2 44 3t

tii tt trarr


1) lim 1

tiii f t f

rarr=


3 CURVAS






80



z

y

x

C

f(t)


( ) 2 3 f t t i j= +



t (xy)

0 (03)

1 (23)

2 (43)

ndash1 (ndash23)

( ) f t

( ) 0 0 3 f i j= +

( ) 1 2 3 f i j= +

( ) 2 4 3 f i j= +



81


FONTE Os autores


[ ]2 para todo 1 2

3=

isin minus =

x tt

y





( )x x t=

( )y y t=

( )z z t=



82


a) ( ) ( ) f t t t t=


b) ( ) ( ) ( )( ) cos f t t sen t t=


1

1-1

-1-1

-2

-2

-3

-3

-4

-40

0

1

2

2

2

3

3

3

4

4

1

11

-1

-1 -1-2 -2-3 -3-4 -4

00 0

2

22

3

33

4

44

5

6


83

c) ( ) ( ) ( )( ) cosf t t sen t t=



para 0 le t le 2π




estudadas

DICAS

-1

1

11

00 0

2

2234

3 4

-1-1

-2

-2-2 -3-3-4 -4

-1

-1-1

1

1

00

0

2

2

23

34

-2

-2

-2-3

-3-4


84






( ) 0 r t P vt= +





( ) ( ) ( )123 111 012v B A= minus = minus =


( ) ( ) ( )111 012r t t= +

ou ainda

( )( )

( )( )

11

1 2

x tr t y t t

z t t

== = + = +

2 3


85


FONTE Os autores



( ) ( )2 22 11

4 9x yminus +

+ =


2 22 1 12 3

x yminus + + =


( ) ( )2 2cos 1t sen t+ =

-1

-1

-1

10

00

1

2

3

4

12

23

3

-2

-2-3

-2-3


86

assim se igualarmos

( )2 cos2

x tminus=

( )13

y sen t+=

temos

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2cos

1 3x t t

r ty t sen t

= += = minus +



( ) ( ) ( )( ) ( )

0

0

cos

x t x a tr t

y t y b sen t = += = +



( )( ) ( )( ) ( )( )

0

0

0

cos

= += = + =

x t x a t




87





( ) ( ) ( )( ) ( )

4cos4

y t tr t

z t sen t == =


( )( )( ) ( )( ) ( )

2 4cos4

x tr t y t t

z t sen t

== = =


FONTE Os autores

2ndash2

ndash2ndash2

ndash4

ndash4

ndash4

ndash6

00

0

2

2

4

4

4

6

6


88


NOTA







( )

( )

( ) ( )( ) ( )

24cos4

tx t

r t y t tz t sen t

=

= = =




89


FONTE Os autores

AUTOATIVIDADE




( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 nf t f t f t f t=



nf t f t f t f t


6

4

2

20

00 2

ndash2

ndash2ndash2

ndash4

ndash4ndash6ndash6

ndash8

ndash8ndash10

44

6

6

8

8

10

10

1214

8


90







( ) 4 0 f t ti j kprime = + +


( )3 12 0 f i j kprime = + +


i)

ii)

iii)

com c uma constante

iv)








( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 nf t f t f t f t=


91


( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 =int int int int



( ) ( ) ( )( ) 2 4cos 4 f t t sen t=




12 2= +int dt t c



temos que



( ) ( ) ( )2 2 2 2

0 0 0 0


=

int int int int


92

como

2

0

22 2 2 2 2 0 4

0dt t


( ) ( ) ( ) ( )2

0

24cos 4 4 2 4 0 0

0t dt sen t sen sen


( ) ( ) ( ) ( )2

0


0


temos

( ) ( )2

0

4 0 0 π

π=intf t dt



( ) ( )a t v t=



1 2 34 6 2 2t tc c t c

= + + +


( ) ( ) ( )1 2 31 11 0 v c c cminus = =


93


( )2 24 61 1 1

2 2t tv t t

= + minus +

41RETA TANGENTE




( ) 0r t P vt= +







no ponto t0 eacute

( ) ( ) ( )0 0 r t g t g t tprime= +


( ) ( )( )

g tT t

g t=





94



( ) ( )2 2v t t=prime


( ) ( )22 2 22 2 4 4 2 1v t t t tprime = + = + = +


( ) ( )2 2 2

2 2 1 2 1 1 1

t tT tt t t

= =

+ + +


( ) ( )( ) ( )

2

3 2 32 2

1 11 1

minus = = minus

+ +prime

+

t tN t T ttt t


( ) ( )1 1 1 11 e 1 2 2 2 2 2 2

minus = =

T N



95


FONTE Os autores




( ) b

a

C f t dtprime= int



( )( ) ( )( )2 2

b

a




( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 2

b

a



96



eacute

( ) ( ) ( )( ) f t r cos t r sen t=



( )( ) ( )( )2

2 2

0

cos π


( ) ( )( )2

2 2 2

0

cosr sen t t dtπ

= +int


2

0

2 2 0 2

0C r dt rt r r r



NOTA


97



( )

( )

( ) ( )( ) ( )

24cos4

tx t

r t y t tz t sen t

=

= = =




( ) 12

x tprime =



( )( ) ( )( )26

2 2

2

1 4 4cos2

π

π


( ) ( )( )6

2 2

2

1 16 cos4

sen t t dtπ

π

= + +int6 6

2 2

1 6516 4 2

dt dtπ π

π π

= + =int int6

65 65 65 6 2 2 65 2 2 2

2t

ππ π π




( )( )( )| |

κprime

= T t

tf t


98




( ) ( )( ) ( 1 )f t r cos t r sen t=



e sua norma eacute



( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( ) 0 ( 0)

minusprime= = =

prime

r sen t r cos tf t

T t sen t cos trf t


( ) ( ) ( )2 2 cos sen 1= + =T t t t


( )( )( )

1 | |

κprime

= =T t

trf t



NOTA


99




( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 ng t g t g t g t=









( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 nf t f t f t f t=



( ) ( ) ( )( )0 0 0


rarr rarr rarr=

( ) ( ) ( )( ) ( )

0

0

cos

x t x a tr t

y t y b sen t = += = +


100















( )( ) ( )( ) ( )( )

0

0

0

cos

= += = + =

x t x a t



nf t f t f t f t

( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 = int int intint


( ) ( )( )

g t

T tg t

prime=

prime


( ) b

a

C f t dtprime= int

( )( )( )| |

κprime

= T t

tf t

101

AUTOATIVIDADE





a) ( ) ( )f t g t+




e) ( ) ( )1 1f t g t+ + minus


a) ( ) 2 4f t t i tj= +

b) ( ) ( )22 1f t ti t j= + minus

c) ( ) ( ) ( )( )3cos 3f t t sen t=

para [ ]02t πisin



a) ( ) ( )( )1 2 2 1mm

π +

b) ( ) ( )( )1 0 2 1mm

π +

c) ( ) ( )( )1 2 2 1mm

π minus

d) ( ) ( )( )1 0 2 1mm

π minus

( ) ( ) ( )1 cos2

t t sen tg t i t j

m m minus minus

= + +

102


a) ( ) 2

0 lim t

sen tt

trarr

b) ( ) ( )2

320

lim cos 2t

t

te tsen t

minus

rarr

c) ( )2

1lim 8 cos 2

1t

t t t ttrarr

minus+ minus

d) 3

31lim

2 1t

t

t tte tsent t

minus

rarrinfin

+ minus


a) ( ) ( )( )2 32 3 1 2f t t sen t= + minus

b) ( ) ( ) ( )( )4 cos 3 f t t sen t= + +


d) ( ) ( )2





a) ( ) ( )202

4 0 2f t t t tt

= isin infin =


c) ( ) ( ) ( )( ) [ ] 04 3 0 3



( )2

1 2 22tr t t

= + minus +

( ) ( )278 7 1 2


103




a) ( ) ( ) ( )( )2 2f t t sen t t tcos t=

b) ( ) ( ) ( )( )4 cos 3 f t t sen t= + +

c) ( ) 3 5 3f t t i t j t k= minus +



a) ( ) ( ) ( )( ) cos 3 f t t t sen t t π= =

b) ( ) ( )2 22 3 4 2f t t t t= minus + + =

c) ( ) ( ) ( )( )4 3 2





104









2

P0

(xy) = P0 + tvv

105


a) ( ) 1b) ( ) 2c) ( ) frac12d) ( ) radic2

106

107

TOacutePICO 2

CAMPOS VETORIAIS

UNIDADE 2











108









e ( )01j =





109


( )01 0j =

e ( )0 01 k =






FONTE Os autores



110


FONTE Os autores

FONTE Os autores



(xy) F(xy)

(00) (00)

(10) (01)

(ndash10) (0ndash1)

(01) (ndash10)

(0ndash1) (10)



111



FONTE Os autores






112

( ) 2 3 4 f x y y x y= minus



( ) 3 2f x y xyx

part= minus

part

( ) 2 2 4 3 f x y x yy

part= minus

part





n

f fx x

part partpart part


( )11

nn

f ff x xx x



partpart

e fy

partpart


( ) f ff x yx y



partpart

fy

partpart

e fz

partpart





113




( ) ( ) 2 2 f ff x y x yx y




FONTE Os autores


114





FONTE Os autores



115


FONTE Os autores



0 0 Q Prot Fx y


Q Prot F kx y


com ( )0 01 k =




x

y


116


FONTE Os Autores

3 20

-1

-1

0

1

-3

-3-2

-1

12

34

-4

-2









com i j e k




2R yy

part= minus

part0R

xpart

=part

Q xyz

part=

partQ yzx

part=

part

0Pz

part=

partP xy

part=

part


117








FONTE Os autores



eacute conservativo


x

y


118

26R xyzy

part=

part2 23R y z

xpart

=part

26Q xyzz

part=

part32Q yz

xpart

=part

2 23P y zz

part=

part32P yz

ypart

=part





( )0 0 0 =





( ) ndiv F rarr

e dado por

( ) 1

1

n

n

FFdiv Fx x

partpart= + +

part part




119

( ) ( ) ( ) P Qdiv F x y x yx y

part part= +

part part



part part part= + +

part part part






( ) P x y z yx

part=

part

( ) Q x y z xzy

part=

part

( ) 0R x y zz

part=

part


( ) div F y xz= +




120









( )( ) ( ) ( )3 2 2 2 4 3div f x y xy x yx y




( ) ( )( ) ( ) ( )2 2

1 1 1 12 21


part part n n n n

n




121








como P Q e 3 R rarr




( ) f ff x yx y






122








( ) 1

1

n

n

FFdiv Fx x

partpart= + +

part part

( ) ( )( ) ( ) ( )2 2

1 1 1 12 21

n n n nn



part part

123

AUTOATIVIDADE











e) ( ) 2 2 2 2 y xF x y i jx y x y

minus= +

+ +

f) ( ) ( ) ( )( ) 1 F x y z sen z ycos z=





124


e






125











volume


126

127

TOacutePICO 3

INTEGRAIS DE LINHA

UNIDADE 2










( ) ( ) ( )( ) ( )

cosx t tt

y t sen tγ

== =


128



FONTE Os autores

ndash1 0

y

x1



FONTE Os autores


( ) ( )( )0

n

i i ii

massa f x t y t ds=

cong sdotsum



129


FONTE Os autores

FONTE Os autores




ndash1 0

y

xγ(t0)γ(tn)

γ(ti-1)γ(ti)

1

1

ndash1 0

1 1

y

x

γ(ti-1)γ(ti)

γ(ti)

a) b)

1 ndash1 0

y

x

γ (ti-1)γ (ti)

γ(ti) ∆ti

1

130



0( ( ) ( )) | ( ) |

n

i i i ii


cong ∆sum


0lim ( ( ) ( ) | ( ) |

n


rarrinfinminus

= ∆sum


( )( ) ( )2

0

massa f t t dtπ

γ γ= primesdotint


( ) ( )( )

sen t

tcos t

γminus=




( ) ( )2

2

0


= +int

( ) ( )2 2

2

0 0


= +int int


131


2

0

22 2 4

0dt t

π ππ= =int


( ) ( ) ( )32 32 2

0

2cos 1 1 0

3 3 3 30






( ) ( )( ) ( )

b

a

f x y ds f t t dtγ






( )

1 b

a



1( ) ( ( )) ( )b


132







4

0

22 2 2 2

0

t

C dt tγ

ππ= = =int




NOTA



133


FONTE Os autores

FONTE Os autores


( )( ) ( )( )i

tF t

tγ

γγ

sdotprime

prime



xγ(a)

γ(b)γ(t)

y

z

x

γ(b)

y

z

γ(a)

134




γγ γ γ γγ

sdot sdot ∆ = ∆



( )( ) ( ) b

a



( )( ) ( )

b

a

Fd F t t dtγ




( ) ( )2 t t t tγ =

para 0 le t le 1


( ) 12 1 2

t tt

γ prime =


135


( ) 1

3 2

0

1 2 1 2

Fd t t t t dttγ

γ = minus sdot

int int1 2

3

0

22tt t t dt

t= + minusint

1 13 3 33 32 2 2

0 0

1 32 2 2


4 21

3 1 3 2 54 2 4 2 502

t t= + = + sdot

1 3 17 4 5 20

= + =


( )( ) ( )

γ


a

Fd F t t dt


( ) ( ) F x y z x y z=


( ) ( ) ( )( )2cos t t t sen tγ π π=

para 0 le t le 1

136





( ) ( )( ) ( ) ( )( )1

2

0


( ) ( ) ( ) ( )1

3

0


1 43

0

12 2 12 4 4 2

0

tt dt= = = =int



FONTE Os autores



( ) ( )( ) ( ) ( )( )2

0


= sdot minusint

( ) ( ) ( ) ( )2

0


= minus + +int

2 2 22

0

24 2

2 20

ttdtπ π

π π= = = =int


137



1 2

1 2Fd Fdγ γ

γ γ= minusint int


e


Mostre que

1 2

1 2Fd Fdγ γ

γ γ= minusint int

para F(xy) = (21)









138



Para γ1 temos que

logo


( ) ( ) ( )( )1

10


γ


( ) ( )0

2 cos sen t t dtπ

= minus +int

( ) ( )2cos 0

t sen tπ

= +


Para γ2 temos que


logo

( ) ( ) ( )( )2

2


γ π


( ) ( )2

2 cos sen s s dsπ

π


( ) ( )2

2cos s sen sπ

π ππ




1 2

1 2Fd Fdγ γ

γ γ= minusint int


139




RESUMO





140





A ORIGEM DOS VENTOS







141












1PV NRT Eq=

2dP g Eqdz

ρ= minus

12 3TdV V g F Eqdt

ρρ



+ nabla =part

142


em que


g =








143






144


Vento gradiente




145









800 mb900 mb

1000 mb

146









147








( ) ( )( ) ( )

1 b

na

f x x ds f t t dtγ


( )

1 b

a



( )( ) ( )

b

a

Fd F t t dtγ


1 2

1 2Fd Fdγ γ

γ γ= minusint int

148



a) ( ) ( )( )

3 3 0 2


y t tγ

γ == le le =

int





densidade

AUTOATIVIDADE


γ

γ+ + =int

( ) 2 1

=+xF x y zy

149







a) ( ) 2 umb) ( ) 4 umc) ( ) 6 um d) ( ) 8 um


a)

a)

b)

c)

b)

c)

d)

e)

( ) ( ) 3 2 4F x y z y x z=

( ) 21 0 0

1F x y z

x = +



( ) ( )2 3 3 3 1 F x y z x x z= minus




( )( )( )( )

1 cos

2 1 cos

t

t sen tt

γ

+

= minus

150




2 y dx x dy

γ

+int

151

UNIDADE 3



PLANO DE ESTUDOS










152

153

TOacutePICO 1

TEOREMA DE GREEN

UNIDADE 3








154








( ) ( ) ( ) F x y P x y i Q x y j= +


ou ainda

+

rarr rarr

part


int intintDD

Q PF d r dxdyx y

+part


int intintDD

Q PP dx Qdy dxdyx y



155



FONTE Os autores

y

xD

Dpart




( ) (2 ) (3 4 ) F x y x y i y x j= + + +



FONTE Os autores


156



1

0

( 0)AO


sdot =int int

12

0

12 1

0xdx x= = =int


[ ] [ ]

1

01

01

01

0

(1 )( ) (1 )

2(1 ) 3 4(1 )

2 2 3 4 4

12 2 2

0

rarr rarr




= = =

int int

int

int

int

AB


y y dy y y dy

y y y ydy

dy y


1

0

21

0

(0 )

13 33 02 2

rarr rarr

sdot = minus


int int

int

BO

F dr Q y dy

yydy



157

3 31 22 2D

F drrarr

part +

sdot = + minus =int



intint intintD D

Q P dxdy dxdyx y

jaacute que

e

assim

(3 4 ) 4Q y xx x

part part= + =

part part


part partP x yy y


intint intintD D

Q P dxdy dxdyx y1 1

0 0 0

3 30

= =int int inty y

dxdy x dy

1 2

0

13 33 02 2

= = =intyydy


DICAS


158





FONTE Os autores


e

( )2 2Q xy yx x

part part= =

part part

( )2 2P x y xy y


part part


2 2( )+

rarr rarr

part





159



2

1 23 3

0 0

41 3

0

12 2

04 2

θ

θ

π

θ

θ θ

ππ π

+

rarr rarr

part

sdot = sdot

= =

= = =

int intint

intint int int

int

r

r

DD

D

F d r r r drd

r drd r d dr

rr dr



( ) 2 2 sup2 sup2

y xF x y i jx y x y

= minus + + +



160


FONTE Os autores



Assim temos que


Entatildeo

2 2 2 2

2

2 20

22 2

02

0

( ) cos( )( ( ) ) cos( )

( ) cos ( )

2

C C



sen t t dt

dt

π

π

π

π

+ +

rarr rarr

sdot = minus ++ +

= minus minus +

= +

= =

int int

int

int

int

x0 andasha

ndasha

a

y


161




= minus +





( ) ( ) ( ) F x y P x y i Q x y j= +


+

rarr rarr rarr

part

sdot = int intint

DD

F n ds div F dxdy


( ) ( )( ) ( )( ) div F P x y Q x yx y

part part= +

part part


C

sF n drarr

sdotint


162

onde

( ) ( ) ( )2





FONTE Os autores


3

D C C




CF n dsrarr rarr

sdotint


163


( ) ( ) ( )2





( )2 2

0 0

3

0

4

0

2 ( )

22 ( )03

2 ( )3

16 32( cos( )) 03 3

π

π

π

θ θ

θ θ

θ θ

πθ

rarr rarr

partsdot =

=

=

=

= minus =

int intint

int int

int

int

D

D

F n ds div F dxdy

r sen dr d

r sen d

sen d




e assim sendo

3

2

0

2 22

02

rarr rarr

sdot =

= =

int intCF n ds x dx

x


164


3 3

32 382 3 3



= + =

int int int

165






+

rarr rarr

part +part


int int intint D DD


+

rarr rarr rarr

part

sdot = int intint

DD

F n ds div F dxdy

166










AUTOATIVIDADE

2

C

x dx y dy+int

2

2 ( )1minus

= ++int

C

x yI dx arctg x dyx

2 2 2 2minus

++ +int

C

y xdx dyx y x y

( ) ( )( )3 3 ( ) cos= minus + +

xF x y e y i y x j

167

a) ( ) 2π

a) ( ) 2503

c) ( ) 1512

b) ( ) 32π

b) ( ) 87

d) ( ) 32

d) ( ) 127

c) ( ) π



( ) 21 2

= +

F x y xy x xy

168

169

TOacutePICO 2

TEOREMA DE GAUSS

UNIDADE 3







170








171







172





onde



dS



= timespart part




intintS

xy dS




part partu v


173


( )1 1 2 1 3 2 1 1 1

i j k

u vϕ ϕpart part


minus





14 dS du dv=


2 2

1 2 2

0 0

31 2

0

1 3

0

4

( )( ) 14

14

14

1403

2 143

12 14 14 03 4 6

= minus +

= minus

= minus

= minus

=

= =

intint intint

intint

int int

int

int

S S

Du

xy dS u v u v du dv

u v du dv

u v dv du

uvu v du

u du

u




174


rarr rarr rarr rarr

minus


F d r F d r





rarr rarr

Φ = sdotintintS

F n dS



FONTE Os autores


NOTA

ϕ ϕϕ ϕ

times=

times u v

u v

n


175




e







1 0 2 (2 2 1)0 1 2

ϕ ϕ

rarr rarr rarr


u v u u vv

i j k


2 2

2 2

1 1 2 2

0 0131 2

00

2

( ( ))

( ( )) ( )

(2 2 ) (2 2 1)

(4 2 2 2 )

(4 2 )

(4 2 )

4 23

4 23

ϕ ϕϕ ϕ ϕϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

rarr rarr rarr

rarr


times

= sdot times

= + minus sdot

= + + minus

= +

= +

= +

= +

intint intint

intint

intint

intint

intint

int int

int

u vu v

u vS D

u vD

D

D

D

F n dS F u v dudv

F u v dudv

u u v uv u v dudv

u uv v uv dudv

u v dudv

u v dudv

u uv dv

v1

0

13

0

4 23 3

4 23 32

= +

= +

=

int dv

v v

176


2 2

2 2

1 1 2 2

0 0131 2

00

2

( ( ))

( ( )) ( )

(2 2 ) (2 2 1)

(4 2 2 2 )

(4 2 )

(4 2 )

4 23

4 23

ϕ ϕϕ ϕ ϕϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

rarr rarr rarr

rarr


times

= sdot times

= + minus sdot

= + + minus

= +

= +

= +

= +

intint intint

intint

intint

intint

intint

int int

int

u vu v

u vS D

u vD

D

D

D

F n dS F u v dudv

F u v dudv

u u v uv u v dudv

u uv v uv dudv

u v dudv

u v dudv

u uv dv

v1

0

13

0

4 23 3

4 23 32

= +

= +

=

int dv

v v





( ) rarr rarr rarr

=part




se F = (P Q R)

NOTA

( ) P Q Rdiv Fx y z

part part part= + +

part part part


177





2 2 2 1x y z+ + =


entatildeo

2 2 2

2 2 2

( ) ( )

( ) 4 π

rarr rarr

sdot = minus + sdot

= minus + + +

= + +

= = =

intint intint

intint

intint

intint

S S

S

S

S


x xy xy y z dS

x y z dS

dS Aacuterea S


( ) 1 1 1 3div F = + + =

Portanto temos que

3 3 ( )=intintintW

dxdydz V W


( )34 4

3 3rV W π π

= =

178


concluiacutemos que

43 4 3π π

rarr rarr


F n dS



UNI



rarr rarr

sdotintintS

F n dS





179


FONTE Os autores

z

n

n

n

y

ndash2ndash1 1

1

y

x1

1

ndash1


eacute

( ) 1 1 2 2 2 div F z z= + + = +


( )

2 2

rarr rarr rarr

=part

sdot =

= +

intint intintint

intintintS W W

W


z dx dy dz


2

0

2

2

2

2 2

22

0

2( 2) ( 2)

6 8

+rarr rarr

=part

sdot = +

+= +

= + + +

= + +

intint intint int

intint

intint

intint

x

S W D

D

D

D

F n dS z dz dx dy

xz z dx dy

x x dx dy

x x dx dy

180



logo


2 1 220 0

2 13 2 2

0 02 4 3 2

2

02

0

( cos ( ) 6 cos( ) 8)

cos ( ) 6 cos( ) 8

16 8cos ( ) cos( )04 3 2

1 cos 2( ) 2cos( ) 4 4

π

π

π

π

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

rarr rarr

=part

sdot = + +

= + +

= + +

= + +

intint int int

int int

int

int

S W

F n dS r r rdr d

r r r dr d

r r r d

d


e

2 2

0

21 1 (2 )cos ( )04 4 2 4 4


send

2

0

22cos( ) 4 2 ( ) 4 8

0π π



338 4 4π ππ

rarr rarr

=part

sdot = + =intintS W

F n dS


DICAS


181


( ) 2 2 2 4 F x y z x i y j y x k= + +




FONTE Os autores


2 2 2( ) ( ) (4 ) ( )

2 8

div F x y y xx y z

x y

part part part= + +

part part part= +

portanto

( )

2 8

rarr rarr rarr

=part

sdot =

= +

intint intintint

intintintS W W

W


x y dx dy dz

0 y

z

x

182



2 3 2

0 0 0

2 3 2 2

0 0

3 32

0

2

0

(2 cos( ) 8 ( ))

2(2 cos( ) 8 ( ))

0

34 16cos( ) ( )03 3

102cos( ) 144 ( )

2102 ( ) 144cos( ) 0

0

π

π

π

π

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

πθ θ

rarr rarr

=part

sdot = +

= +

= +

= +

= minus =

intint int int int

int int

int

int

S W


r r sen z dr d

r r sen d

sen d

sen


0rarr rarr

=part

sdot =intintS W

F n dS

183








Onde



dS



= timespart part

rarr rarr

Φ = sdotintintS

F n dS

div rarr rarr rarr

=part


F n dS F dxdydz

184

AUTOATIVIDADE












( ) ( ) F x y z x y z=

( ) ( ) F x y z x y z=


( )2 2 2 F x y z=

( )2 3F x xz z=

185





( ) 3 3 2 F x y z x i y j z k= + +

( ) 2 2 3 F x y z xi yj z k= + +

186

187

TOacutePICO 3

TEOREMA DE STOKES

UNIDADE 3










188








189



FONTE Os autores

FONTE Os autores



y

z

x

y

z

x


190





part


rot F n dS F d r



( )

i j k

rot Fx y z

P Q R

part part part=

part part part





DICAS



F(xyz)= (3z4xy)


191




FONTE Os autores

-2

-2

-2

-3

-3

-4

-4

-5

-5

-6

-1

-1-1

1

2

3

4

5

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

11

0


x = 2cos(t) y = 2sen(t) e z = 0



2

0

3 4

3 0 ( 2 ( ) ) 4(2cos( )) (2cos( ) ) 2 ( ) 0

C C

F d r z dx x dy ydz


rarr rarr

sdot = + +


int int

int



192

2 2

016cos ( )

216 16 (2 ) 16 02 4

π

ππ

rarr rarr

sdot =

= + =

int intC

F d r t dt

t sen t


( ) ( )

1 3 4

3 4

i j k

rot Fx y zz x y

part part part= =

part part part



( ) (13 4) ( 2 2 1)

( 2 6 4)

rarr rarr


= minus minus +

intint intint

intintD D

D


x y dx dy


2 2

0 0

2 2 2 2

0 0

32 3 2

0

2

0

( ) ( 2 cos( ) 6 ( ) 4)

( 2 cos( ) 6 ( ) 4 )

22 cos( ) 2 ( ) 203

16 cos( ) 16 ( ) 83

216 ( ) 16cos( ) 803

0 0 16 16 16 0 16

π

π

π

π

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

πθ θ θ

π π

rarr rarr


= minus minus +

= minus minus +

= minus minus +

= minus + +


intint int int

int int

int

int

D


r r sen r drd

r r sen r d

sen d

sen



193





z znx y

UNI






FONTE Os autores

xy

z

1

1

1

C



194


FONTE Os autores

FONTE Os autores

z

xy1

1

1

S nC S= part



y

y = 01

1

y = 1 ndash x

D x + y = 1

x


normalizando N

teremos

( )111 = =n e dS dxdy




F d r rot F n dS


195


( ) ( )2

0 1

i j k



part part part


( )

( 0 1) (111)

( 1)

rarr rarr rarr rarr

sdot = sdot

= minus minus sdot

= minus + minus

int intint

intint

intint

CD

D

D

F d r rot F n dS

x z dxdy

x z dxdy


1 1

0 0

21

0

21

0

21 2

0

21

0

3 2

( )

2

12

02

(1 )2 (1 )2

12 22 2

3 12 2

1 1 1 1 1 02 2 2 2 2 2 2

rarr rarr

minus


= minus minus

minus= minus minus



= minus minus


int intint

int int

int

int

int

int

CD

x

F d r x x y dxdy

x y dydx

xyxy dx

xx x dx

xx x x dx

x x dx

x x x


( ) 2 3 2 4 F x y z x i xy j y x k= + +



196


FONTE Os autores



( ) ( )2 3

2 2

2 4

4

i j k

rot F xy y yx y z

x xz y x


part part part


( ) 1 1 11z znx y



2 3

2 3

( )

(2 4 ) ( 1 11)

( 2 4 )

rarr rarr rarr rarr

sdot = sdot


= minus + +

int intint

intint

intint

CD

D

D

F d r rot F n dS

xy y y dx dy

xy y y dx dy

y

z

x

1

01

2


197


1 2 2 3

0 0

31 2 4

0

1

0

1

0

2

( 2 4 )

203

84 163

56 43

156 56 502 2 03 3 3

rarr rarr

sdot = minus + +

= minus + +

= minus + +

= minus

= minus = minus =

int int int

int

int

int

CF d r xy y y dy dx

yxy y dx

x dx

x dx

x x


198




1 HOMEM




[]

2 O TEOREMA



199



2 1 ( ) σ


intint intD


(21)







200





201








202


( ) ( )1 F x y y b x ar

= minus + minus


( ) ( ) v t

tωρ

=



( ) t dtβ

αωΩ = int


203


0

1( ) ( ( )) ( )

1 ( ( )) ( )

2

t dt F t t dt

G t t dtr

n

β β

α α

β

α

ω σ σρ

σ σρ

π

Ω = = sdot

= sdot

=

int int

int (22)

(23)


2 1 σ


int intintD

G GG dr dxdyx y



( ) ( )2 1 2 2 x yG G a b Div a bx y



204


( ) ( )

2 2 2

2 2 2

a b R

x a y b r

+ =

minus + minus =(24)

(25)



( )( ) ( )( )2 2 0

2 1 2 0

x x

x x

aa bbx a a y b b


Assim

( )( ) ( )( )

1 0

xx

x x

aabb

x a a y b b


Logo ( )( ) ( )1 0xx

aax a a y bb


( ) ( ) ( ) 0x

a y ba x a x a


isto eacute

( )xaya x x ab


e por conseguinte

( ) x

b x aa

xb yaminus

=minus


205

(26)

(27)


( )( ) ( )( )2 2 0

2 2 1 0

y y

y y

aa bb

x a a y b b


Assim

( )( ) ( )( )

1 0

yy

y y

bba

ax a a y b b

= minus


Logo ( ) ( )( )1 0yy

bbx a y b b


( ) ( ) ( ) 0ybb x a y b y ba


isto eacute

( ) yxbb y y ba

minus = minus minus

e por conseguinte

( ) y

a y bb

xb yaminus minus

=minus





minus minus

1 bx ayxb ya

minus= =

minus


206


2 1 1G Gx y

part partminus =

part part


2 1 ( ) D



int (28)

(29)




( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) r aq st t t t G tr r



( ( )) ( )

( ( )) ( ) ( ( )) ( ( ) ( ))

( ( )) ( ( ))

r

a

r G t t dt


s dG t G tr dt

β

α

β β

α α

β

α

ρ σ σ

σ σ σ σ σ

σ σ

Ω = sdot

= sdot + sdot minus

+ sdot

int

int int

int


207





( )t dtβ

αθint


[]


208









S

S


part


( )

i j k

rot Fx y z

P Q R

part part part=

part part part



209

AUTOATIVIDADE



F(xyz) = (3z4xy)




C

F d rrarr rarr

sdotint





τrarr rarr

= sdotintC

F d r

( ) 2 3 2 4 F x y z x i xy j y x k= + +


210







τrarr rarr

= sdotintC

F d r

τrarr rarr

= sdotintC

F d r

( ) 2 2 = + +

F x y z xyi x j z k

( ) 2 2 = + +

F x y z xyi x j z k

211

REFEREcircNCIAS
















VII
















sumaacuterio

VIII







REFEREcircNCIAS 211

1

UNIDADE 1



PLANO DE ESTUDOS















2

3







43 2 2 3 2

4

= = +




4



dado por

( ) b

a

f x dxint

2 sube rarr f D




FONTE Os autores


x

y


5












m n




6


FONTE Os autores


( )0 0

= =

= ∆ ∆sumsumn m

m n i ji j

S f u v x y



( ) 0

0 0

lim ( )rarr

= =


i jm ni j D



NOTA


7


Teorema de Fubini


entatildeo

em que



D c a


( ) ( ) ( ) d b d b b d

c a c a a c


= =



( ) b

a

f x y dxint




( ) 2 f x y xy=


8


1 1

0 0

sup2 xy dxdyintint


1 12

0 0

y x dx dy

sdot

int int


11 12 2 22 2

0 00

1 0 2 2 2xy dy y dy

sdot = minus

int int1 2

0

2y dy= int


112

00

1 1 sup3 1 2 2 3 6

yy dy = sdot = int



IMPORTANTE

1 1

0 0

sup2 intintxy dydx


9




FONTE Os autores


1 1

0 0



1 1

0 0

2 x y dx dy

minus minus

int int


11 12

0 00

32 2 2xx xy dy y dy

minus minus = minus

int int


10


11 2

0 0

3 3 3 1 12 2 2 2 2

y yy dy


int




FONTE Os autores


1 12

10

1V x dydxminus

= minusint int1 1

1 0

1 sup2 x dy dxminus

= minus

int int1

2

1

10minus


12

1

1 x dxminus

= minusint


11


12

1

1 V x dxminus

= minusint13

13xx

minus

= minus

( ) ( )311 41 1 3 3 3





FONTE Os autores



12






FONTE Os autores


( )( )

( )

( )1

2

=

intint int intx

g xb

R a g x




( ) 2 f x y xy=




13


2 21 1 1 12 2

0 0 0 0

x x


= sdot


0 03

xyx dx

minus

= sdot

int1 3

2 2

0

1 1 3



1 1 332 22

0 0

1 11 3 6


152

0

1 26 5

u

= minus sdot

( )15

2 2

0

1 2 11 6 5 15

x



( )

3

3 D

x y dA+intint




14


FONTE Os autores




( )2 2

22 2 2 23 3

0 0

33 2

xx

x x

yx y dy dx x y dx

+ = +

int int int

( ) ( )22 223 3 2

0

33 22

2 2xx

x x x x dxsdotsdot


4 2 5

0


( )2

5 4 2

0

1 2 12 2


0

1 2 122 6 5 3

x x x = minus + +

6 5 31 2 2 2 12 2

2 6 5 3 sdot sdot

= minus + +

1 64 32 12832 2 3 5 15

= minus + + =


15


2 2 16 2 4x y e x y+ = + =


( )

1 D

A D dA= intint


e

2 216 82 2

x xy minus= = minus

4 22 2

x xy minus= = minus





16


FONTE Os autores


( )2

2 3 4 e 2 82 2


x xD x y x y


2 284 42

3 322

821

22

minus

minus minusminus

minus =

minus

int int intx

x

x

dy dx y dxx

4 2

3

8 22 2x x dx

minus


3

62 2x x dx

minus

= + minusint

( )4

3

1 34312 sup2 2 12

x x dxminus

= sdot + minus =int


17



( )2

1 12

0 0

1 x

x

dy dx x x dx

= minus

int int int13 3

2

0

2 1 3 3 3

= minus =

xx






FONTE Os autores


( )( )

( )

( )2

1

=

intint int intx

h xd

R c h x



18



( )

3

3 D

x y dA+intint




FONTE Os autores


( ) 2 e 0 4 2

= isin le le le le

yD x y x y y



19

( )4 4 4

3

0 022

3 3 4

yy

yy

xx y dx dy yx dy

+ = + int int int

( )4

44

0

23 34 4 2

yy yy y y dy


4 32 4 22

0


2

0

5 34 64y yy dyminus

= + minusint45

3 52

0

5 612 5 320y y y

= minus + minus

53 525 4 6 44

12 5 320sdot

= minus + minus

80 192 16 128 3 5 5 15

= minus + minus =

( )2

1 12

0 0

1 y

y


int int int13 3

2

0

2 1 3 3 3

= minus =

yy






20


NOTA

( ) ( ) ( )1 2





( ) intintintR

f x y z dV



NOTA


21





( ) fb d

a c e

f x y z dz dy dx

int int int





2 1 2

1 0 1

xyz dx dy dzminus


1 0 1 01


minus

= = sdot


1 10

3 3 9 2 2 4 8

y z dz z dz

= sdot = sdot =

int int



22


2 2 2

R





FONTE Os autores




22 22 2 2

0 0 0

x yx


+ +

int int int

( ) ( )2 2

2 2

0 0

1 2 3 3 2 sup2 3

x



int int

( ) ( )2

2 2

0

1 82 2 1 3 5


23










D c a


( ) ( ) ( ) d b d b b d

c a c a a c


= =


( )( )

( )

( )1

2

=

intint int intx

g xb

R a g x


( )( )

( )

( )2

1

=

intint int inty

h xd

R c h x


( )

1 D

A D dA= intint

24



( )

R

f x y z dVintintint

( ) fb d

a c e

f x y z dz dy dx

int int int

25



a)






b)

AUTOATIVIDADE

( )3 2

2 0

2 6xy dydx+intint

( )3 4

1 2


26

a) ( ) 16b) ( ) 12c) ( ) 13 d) ( ) 14e) ( ) 15



( ) = intintintmR

V F F dV

05 24

0 0

8 2 4 x

x y dydxminus +

minus minusint int

2 42

0 0

8 2 4 y

x y dxdyminus +

minus minusint int


a) ( ) 512b) ( ) 643c) ( ) 64 d) ( ) 8


a) ( ) 13b) ( ) 23c) ( ) 56d) ( ) 76



27




a) ( )

b) ( )

c) ( )

d) ( )

( )22

0 6

x

x

f x y dx dyminus

int int

( )2

2 6

3

x

x

f x y dy dxminus

minusint int

( )2

2 6

0

x

x

f x y dy dxminus

int int

( )2 sup2

36

x

x


28

29

TOacutePICO 2



UNIDADE 1




( )

( )

( ) ( )( ) ( ) acute g d d

g c c



Logo

1

0

1 sup2 x dxminusint




( )1 2

2

0 0


π

minus =int int


30



( )( )1 2

2

0 0

11 1 cos 2 2

x dx u du

π


( )21 22 2 40

ππ

+ =

sen uu





( )( )

x x u v

Ty y u v

= =



( ) u v

u v

x xJ T

y y=


31


( ) ( ) ( )( ) ( )

xy uvR R











FONTE Os autores


32


( )( )

cos

senθθ

= sdot = sdot

x rT

y r



( ) ( ) ( )( ) ( )

cos sensen cos

rJ T

rθ θθ θ

minus sdot=

sdot







NOTA


( )

2 2

log xyR

x y dA+int int


33




FONTE Os autores






( ) ( ) 2 2

2 2 2

0 1

log log xyR

x y dA r r drdπ


( )2 2

2

0 1

log r r dr dπ

θ

= sdot

int int



34

sup2u r=

2 2

= =dudu r dr r dr

Assim sendo

( ) ( )2 4

2

1 1

1log log 2


( )( )4

1


( )( ) ( )( )4 1log 4 1 log 1 12 2

= minus minus minus

( ) ( )1 32log 4 2 0 2log 4 2 2



( ) ( ) ( )2

0

3 3 32log 4 2 log 4 log 4 22 2 40


int d


UNI


2

14 sup2 xyR




35


( ) 2 3

2

0 2

14 ( sup2) 14 sup2 π


x y dA r r drd


32 3 2 2 43

0 2 0 2


π π

θ θ

minus = minus

int int int2 4 4

2 2

0

3 27 3 7 24 4

dπ

θ


int

( )2

0

8163 28 44

dπ


22

00

81 81 81 4 4 2



2 2

xyR

x x y dxdy+int int




( ) 22

2 2 2

0 1

π




36


( ) ( ) 2 42 2

3

0 1 0

2cos cos

41

rr drd d

π π


( )42

0

2 1cos 4 4

d

π

θ θ

= minus

int

( ) ( )2

0

15 15cos 24 4 0


( )15 15 150 4 2 4 4

sen senπ = minus =





3 3 T rarr


( )( )( )


z z u v w

=

= =


37



( ) u v w

u v w

u v w

x x xJ T y y y

z z z=


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

xyz uvwR R







θ =


( )

R

f x y z dVintintint


38


( ) ( ) ( )( )

θ





NOTA

= intintintD

Volume dV




E assim

[ ]2 2

00 0 0 0 0

R h R



0 0

R

h r drdπ

θ= sdotint int2 2

0 0

2

Rrh d

π

θ

= sdot

int2



39


D

xy dVintintint



( ) ( )( ) 2 1 1

0 0 0

D




( ) ( ) 2 1 1

2

0 0 0

cos D

xy dV r sen dzdrdπ


( ) ( )2 1

2

0 0

1cos

0r sen z drd

π


( ) ( )2 1

2

0 0

cos r sen drdπ


( ) ( )12 3

0 0

cos3r sen d

π

θ θ θ

=

int

( ) ( )2

0

1 cos 3

sen dπ

θ θ θ= int


2

0

1 3D

xy dV u duπ


( )2

2

2 21 1 cos 3 2 6

0 0

uπ π

θ= minus = minus

( ) ( )2 21 1cos 2 cos 0 06 6

π= minus + =


40



D

dxdydzint int int



2 2

2 2

2minus minus


xy

x y

x yD D

dxdydz dz dxdy

2 2

2 2

2 minus minus=

+intintxyD

x yz dx dy


xyD

x y dxdy

Vamos considerar

2 2 2r x y= +

( )cosx r θ=

( ) y r sen θ=


( )2 1 2

0 02 2


D

dxdydz r rdrd

2 1 3

0 02 2


42 22

0 0

1 102 2


rr d d

21 02π

θ π= =


41





ou seja


z = ρ cos(ϕ)

ou ainda

2 2 2x y zρ = + +

yarctgx

θ =

2 2 2arccos z

x y zφ

= + +



FONTE Os autores


42


( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )2

cos cos cos cos cos

cos 0


φ ρ φ

minus= + =

minus


sen


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2

cos cos ρθφ





2 2 2

( )32 x y z

D





2 2 2 2x y zρ = + +


FONTE Os autores

11

ndash1

x

y

z


43


( )2 2 2 32 3 2 1

( ) 2

0 0 0


D


( ) 32 1

2

0 0 0

sen e d d dπ π



31 1

2

0 0

13


( )1

1 1 1 3 3

0

ue e= = minus

Assim

( ) ( )2 2 2 32 2

( )

0 0

1 13

π π


D

e dxdydz e sen d d

( ) ( )2

0

1 1 cos 3

0e d


( )2

0

2 13

e dπ

θ= minus int

( ) ( )2

2 41 1 3 3

0e e



( )23 sup2 z x y= +



44


FONTE Os autores


( ) ( )2 2 2 23 sup2 3 sup2x y x y x y+ + + = +

( ) ( )2 2 24 3 sup2x y x y+ = +

( ) ( )22 2 2 216 3x y x y+ = +


2 2 316

x y+ =



2 2 2x y z z+ + =


( )2 cosρ ρ φ=

ou seja

( )cosρ φ=


45


( )2 23z x y= +


( ) ( )2 2cos 3 senρ φ ρ φ=


( ) 1 63

tg πφ φ= sdot =


( )

( ) ( )( )cos2 2 36 6

2

0 0 0 0 0

cos

30

sen d d d sen d d

π πφπ π φ


( ) ( )32 6

0 0

cos

3sen d d

ππ φ

φ φ θ= int int


( ) ( )36

0

cos

3sen d

π

φφ φint


( ) ( )3 36 6

0 0

cos

3 3usen d du

π π


( )44 cos6

12 12 0

πφ= minus = minus

u


46

( )4 44cos cos 0 1 3 1612 12 12 2 12


9 1 7

192 12 192= minus + =


( )

( )cos2 26

2

0 0 0 0

7 192

sen d d d d d

πφπ π


7 7 192 96

0

ππθ= =


NOTA

47







( ) ( ) ( )( ) ( )

xy uvR R


( )( ) ( )2 2 2 θ

θθ

= sdot = + = = sdot



( ) ( ) ( )( ) ( )

cos sen

sen cosr

J T rr

θ θθ θ

minus sdot= =

sdot

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

xyz uvR R


( ) ( ) ( )( )

θ



( ) ( )

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ρθφ



48

em que

ou ainda



θ = 2 2 2

arccos zx y z

φ = + +

49



a)





b)

a)

a)

b)

b)

AUTOATIVIDADE

22 22 2

0 0

x

x y dy dxminus

+int int21 1

0 0

x

x dy dxminus

int int

2

2 2

2 4 22 2

0 0

x

x y

x y dz dy dxminus

+

+int int int

2112 2

1 0 0

y x

x y dz dx dyminus

minus

+int int int




z dxdydz D x y z z

50



a) ( ) πb) ( ) 4

π

c) ( ) 2πd) ( ) 2

π

e ( ) 4π





( )2

2 22 4

0 0

minus

+int intx

x ye dydx

z

yx

(0 0 1)

0

D

51

TOacutePICO 3


UNIDADE 1







δ(x y)



( ) δ= intintD

m x y dxdy


52





FONTE Os autores





m x y dxdy xy dxdy

2 4 2 4

0 0 0 0


= =

int int int int

2 22

0 0

43 24

20


22

24 482

0

y= =


53




R R

(x y)

2 2d x y= +


( ) 2 2x y k x yδ = +






2

0 0

R

m kr dr dπ

θ

=

int int

3 3

0 0

3 3

0

Rr kRk d d

π π

θ θ= =int int

3 3

3 3

0

kR k Rπ

πθ= =

54







( ) δ= intintD

q x y dxdy




FONTE Os autores




55



q x y dxdy x ydxdy

2 3 2 32 2

0 0 0 0

x y dx dy y x dx dy

= =

int int int int

2 23

0 0

3 9

30


22

9 9 2 182

0

y= = sdot =






( ) ( )( )1

2 2

0 0


D


( )1

2 2

0 0

x

x x y y dy dx

= minus minus

int int

( )1 2 3

2

0

2 3

0

xy yx x dx

= minus minus

int

( )1 2 3

2

0 2 3x xx x dx

= minus minus

int

1 3 4 5

0


56


4 5 61

1 1 1 8 6 18 8 6 18

0


9 12 4 1 72 72

minus += =


coulombs



( )

( )

δ

δ= =

intint

intinty D

D

x x y dxdyM

xm x y dxdy

e

( )

( )

δ

δ= =

intint

intintx D

D







57


FONTE Os autores





m x y dxdy x y dxdy

1 2 2

0 0

1 3 x

x y dy dxminus

= + +

int int

1 2

0

2 23

20

xyy xy dx

minus

= + +

int

( ) ( )21

0

2 22 2 3 2 2

2x

x x x dxminus


1 32

0

144 4 4 3

0


4 84 3 3

= minus =

58





1 2 22

0 0

3 x

y xy y dy dxminus

= + +

int int

1 2 2 3

0

2 23

2 2 30

xy xy y dx

minus

= + +

int

( ) ( ) ( )2 2 31

0

2 2 3 2 2 2 22 2 3

x x x xdx


1 3 22 2 3

0

8 24 24 82 4 2 6 12 63


1 32

0

14 106 2 3 3


3 42

114 2 53

3 3 60


14 2 5 113 3 3 6 6

= minus minus + =



1 2 22

0 0

3 x

x x xy dy dxminus

= + +

int int

1 22

0

2 23

20

xxyxy x y dx

minus

= + +

int

( ) ( ) ( )212

0

2 22 2 3 2 2

2x x

x x x x dxminus


2 2 3 2 3

0


13 4 2

0

14 4 2



59

1 2 1= minus + =

Assim segue que

e

11 e 16x yM M= =


1 38 8 3

yMx

m= = =

11116 8 16

3

xMym

= = =


x y =



FONTE Os autores

( ) 3 11 8 16

x y =

()311 816

xy =

60




e

( ) 2 2 x y k x yδ = +


3


( ) ( )3

0 0

π


xD


( )4

0

4

0

Rrk sen d

π

θ θ= int

( )4

04Rk sen d

π

θ θ= int

( )4 4

cos 4 2

0

R kRkπ

θ= minus =

( ) ( )3

0 0

π


yD


( )4

0

4

0

Rrk cos d

π

θ θ= int

( )4

04kR cos d

π

θ θ= int

( )4

sen 04

0

Rkπ

θ= =


61

e


30 0

3

yMx

k Rm π= = =

4

332 2

3

x

kRM Ry

k Rm π π= = =






( )2 δ= intintxD

I y x y dxdy

( )2 δ= intintyD

I x x y dxdy


62


0 x yI I I= +



( )2 2( ) δ= +intintD

x y x y dxdy




Calculando Ix temos

( ) ( )( )2

22

0 0

π


xD



( )2 4

2

0

4

0x

arI k sen d

π

θ θ= int

( )24

2

04ka sen d

π

θ θ= int


( )24

0

1 cos 28x

kaI dπ

θ θ= minusint

( )42

2

8 20

senkaπ

θθ

= minus

4 4

2 8 4

ka k aππ= sdot =


63


4xk aI π

=


( ) ( )( )2

22

0 0

π


yD



( )2 4

2

0

cos 4

0y

arI k d

π

θ θ= int

( )24

2

0

cos4

ka dπ

θ θ= int


( )24

0

1 cos 28y

kaI dπ

θ θ= +int

( )42

2

8 20

senkaπ

θθ

= +

4 4

2 8 4

ka k aππ= sdot =


4yk aI π

=



4 4 4

0 4 4 2x y

k a k a k aI I I π π π= + = + =

64



FONTE Os autores


( )4 2

2 2

0 0


xD

I y x y dxdy y dydx

4 4 332

0 0

28

3 30


5522

48 16 512 453 15 15

02

x= = =


0 2k aI π

=




65

e

( )4 2

2 2

0 0


yD

I x x y dxdy x dydx

4 4 52 2

0 0

2 2 0


7722

44 5122 4 7 7 7

02

x= = =


0512 512 11264 15 7 105x yI I I= + = + =

66












67








68




KMOL







69


2 2

0

R

R r r drminusint

2

2 20

2 2

2

R

u R rduu du rdr

durdr

= minus

= minusminus =

minus

int

2

0

1 2

R

u duint2

321

30

Ru

( )3

2 321 13 3

R R=

23

0

1 2 3V R d

π

θ= int

3

21

2 30

V Rπ

θ=

31 2 2 3V R π=

34 3

V Rπ=





70









e

( ) δ= intintD

m x y dxdy

( ) δ= intintD

q x y dxdy

( )

( )

δ

δ= =

intint

intinty D

D

x x y dxdyM

xm x y dxdy

( )

( )

δ

δ= =

intint

intinty D

D

x x y dxdyM

xm x y dxdy

( )2 δ= intintxD

I y x y dxdy

( )2 δ= intintyD

I x x y dxdy

( ) ( )2 20 δ= + = +intintx y

D

I I I x y x y dxdy

yy

71









AUTOATIVIDADE

72

73

UNIDADE 2



PLANO DE ESTUDOS











74

75

TOacutePICO 1


UNIDADE 2









( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 nf t f t f t f t=


76



com i

e j


e ( ) 01 j =

com i

j

e k


( ) 01 0j =

e ( ) 0 01 k =

( ) ( ) ( )1 2 f t f t i f t j= +


( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 f t f t i f t j f t k= + +


( ) ( )2 3 1f t t t= minus +









77






a) ( ) ( ) f t g t+













por h






78


e g

como a seguir

( ) ( ) 3

2

3 2 2

2

i j kf t g t t t


minus





( ) ( ) ( )( )0 0 0


rarr rarr rarr=


22

2 2lim 4 4t

ttt trarr

minus minus


2 22 2 2 2




Como

2

2 2lim 12t trarr

= =

2lim 4 4 2 8t

trarr

= sdot =


79

( )( )22 2 2

2 2 1 1 1 lim lim lim4 2 2 2 2 2 4t t t


minus minus= = = =

minus minus + + +

concluiacutemos que

22

2 2 1lim 4 1 8 4 4t

ttt trarr

minus = minus


estaacute definido

existe

( )0) i f t

( )0) i f t

( )0

) lim t t

ii f trarr

( )

0

) lim t t

ii f trarr

( ) ( )0

0) lim t t

iii f t f trarr

=

( ) ( )0

0) lim t t

iii f t f trarr

=



( ) 2 1 2 1) 1 4 1 2 41 1 4 3


21

2 2 1) lim 4 2 44 3t

tii tt trarr


1) lim 1

tiii f t f

rarr=


3 CURVAS






80



z

y

x

C

f(t)


( ) 2 3 f t t i j= +



t (xy)

0 (03)

1 (23)

2 (43)

ndash1 (ndash23)

( ) f t

( ) 0 0 3 f i j= +

( ) 1 2 3 f i j= +

( ) 2 4 3 f i j= +



81


FONTE Os autores


[ ]2 para todo 1 2

3=

isin minus =

x tt

y





( )x x t=

( )y y t=

( )z z t=



82


a) ( ) ( ) f t t t t=


b) ( ) ( ) ( )( ) cos f t t sen t t=


1

1-1

-1-1

-2

-2

-3

-3

-4

-40

0

1

2

2

2

3

3

3

4

4

1

11

-1

-1 -1-2 -2-3 -3-4 -4

00 0

2

22

3

33

4

44

5

6


83

c) ( ) ( ) ( )( ) cosf t t sen t t=



para 0 le t le 2π




estudadas

DICAS

-1

1

11

00 0

2

2234

3 4

-1-1

-2

-2-2 -3-3-4 -4

-1

-1-1

1

1

00

0

2

2

23

34

-2

-2

-2-3

-3-4


84






( ) 0 r t P vt= +





( ) ( ) ( )123 111 012v B A= minus = minus =


( ) ( ) ( )111 012r t t= +

ou ainda

( )( )

( )( )

11

1 2

x tr t y t t

z t t

== = + = +

2 3


85


FONTE Os autores



( ) ( )2 22 11

4 9x yminus +

+ =


2 22 1 12 3

x yminus + + =


( ) ( )2 2cos 1t sen t+ =

-1

-1

-1

10

00

1

2

3

4

12

23

3

-2

-2-3

-2-3


86

assim se igualarmos

( )2 cos2

x tminus=

( )13

y sen t+=

temos

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2cos

1 3x t t

r ty t sen t

= += = minus +



( ) ( ) ( )( ) ( )

0

0

cos

x t x a tr t

y t y b sen t = += = +



( )( ) ( )( ) ( )( )

0

0

0

cos

= += = + =

x t x a t




87





( ) ( ) ( )( ) ( )

4cos4

y t tr t

z t sen t == =


( )( )( ) ( )( ) ( )

2 4cos4

x tr t y t t

z t sen t

== = =


FONTE Os autores

2ndash2

ndash2ndash2

ndash4

ndash4

ndash4

ndash6

00

0

2

2

4

4

4

6

6


88


NOTA







( )

( )

( ) ( )( ) ( )

24cos4

tx t

r t y t tz t sen t

=

= = =




89


FONTE Os autores

AUTOATIVIDADE




( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 nf t f t f t f t=



nf t f t f t f t


6

4

2

20

00 2

ndash2

ndash2ndash2

ndash4

ndash4ndash6ndash6

ndash8

ndash8ndash10

44

6

6

8

8

10

10

1214

8


90







( ) 4 0 f t ti j kprime = + +


( )3 12 0 f i j kprime = + +


i)

ii)

iii)

com c uma constante

iv)








( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 nf t f t f t f t=


91


( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 =int int int int



( ) ( ) ( )( ) 2 4cos 4 f t t sen t=




12 2= +int dt t c



temos que



( ) ( ) ( )2 2 2 2

0 0 0 0


=

int int int int


92

como

2

0

22 2 2 2 2 0 4

0dt t


( ) ( ) ( ) ( )2

0

24cos 4 4 2 4 0 0

0t dt sen t sen sen


( ) ( ) ( ) ( )2

0


0


temos

( ) ( )2

0

4 0 0 π

π=intf t dt



( ) ( )a t v t=



1 2 34 6 2 2t tc c t c

= + + +


( ) ( ) ( )1 2 31 11 0 v c c cminus = =


93


( )2 24 61 1 1

2 2t tv t t

= + minus +

41RETA TANGENTE




( ) 0r t P vt= +







no ponto t0 eacute

( ) ( ) ( )0 0 r t g t g t tprime= +


( ) ( )( )

g tT t

g t=





94



( ) ( )2 2v t t=prime


( ) ( )22 2 22 2 4 4 2 1v t t t tprime = + = + = +


( ) ( )2 2 2

2 2 1 2 1 1 1

t tT tt t t

= =

+ + +


( ) ( )( ) ( )

2

3 2 32 2

1 11 1

minus = = minus

+ +prime

+

t tN t T ttt t


( ) ( )1 1 1 11 e 1 2 2 2 2 2 2

minus = =

T N



95


FONTE Os autores




( ) b

a

C f t dtprime= int



( )( ) ( )( )2 2

b

a




( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 2

b

a



96



eacute

( ) ( ) ( )( ) f t r cos t r sen t=



( )( ) ( )( )2

2 2

0

cos π


( ) ( )( )2

2 2 2

0

cosr sen t t dtπ

= +int


2

0

2 2 0 2

0C r dt rt r r r



NOTA


97



( )

( )

( ) ( )( ) ( )

24cos4

tx t

r t y t tz t sen t

=

= = =




( ) 12

x tprime =



( )( ) ( )( )26

2 2

2

1 4 4cos2

π

π


( ) ( )( )6

2 2

2

1 16 cos4

sen t t dtπ

π

= + +int6 6

2 2

1 6516 4 2

dt dtπ π

π π

= + =int int6

65 65 65 6 2 2 65 2 2 2

2t

ππ π π




( )( )( )| |

κprime

= T t

tf t


98




( ) ( )( ) ( 1 )f t r cos t r sen t=



e sua norma eacute



( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( ) 0 ( 0)

minusprime= = =

prime

r sen t r cos tf t

T t sen t cos trf t


( ) ( ) ( )2 2 cos sen 1= + =T t t t


( )( )( )

1 | |

κprime

= =T t

trf t



NOTA


99




( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 ng t g t g t g t=









( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 nf t f t f t f t=



( ) ( ) ( )( )0 0 0


rarr rarr rarr=

( ) ( ) ( )( ) ( )

0

0

cos

x t x a tr t

y t y b sen t = += = +


100















( )( ) ( )( ) ( )( )

0

0

0

cos

= += = + =

x t x a t



nf t f t f t f t

( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 = int int intint


( ) ( )( )

g t

T tg t

prime=

prime


( ) b

a

C f t dtprime= int

( )( )( )| |

κprime

= T t

tf t

101

AUTOATIVIDADE





a) ( ) ( )f t g t+




e) ( ) ( )1 1f t g t+ + minus


a) ( ) 2 4f t t i tj= +

b) ( ) ( )22 1f t ti t j= + minus

c) ( ) ( ) ( )( )3cos 3f t t sen t=

para [ ]02t πisin



a) ( ) ( )( )1 2 2 1mm

π +

b) ( ) ( )( )1 0 2 1mm

π +

c) ( ) ( )( )1 2 2 1mm

π minus

d) ( ) ( )( )1 0 2 1mm

π minus

( ) ( ) ( )1 cos2

t t sen tg t i t j

m m minus minus

= + +

102


a) ( ) 2

0 lim t

sen tt

trarr

b) ( ) ( )2

320

lim cos 2t

t

te tsen t

minus

rarr

c) ( )2

1lim 8 cos 2

1t

t t t ttrarr

minus+ minus

d) 3

31lim

2 1t

t

t tte tsent t

minus

rarrinfin

+ minus


a) ( ) ( )( )2 32 3 1 2f t t sen t= + minus

b) ( ) ( ) ( )( )4 cos 3 f t t sen t= + +


d) ( ) ( )2





a) ( ) ( )202

4 0 2f t t t tt

= isin infin =


c) ( ) ( ) ( )( ) [ ] 04 3 0 3



( )2

1 2 22tr t t

= + minus +

( ) ( )278 7 1 2


103




a) ( ) ( ) ( )( )2 2f t t sen t t tcos t=

b) ( ) ( ) ( )( )4 cos 3 f t t sen t= + +

c) ( ) 3 5 3f t t i t j t k= minus +



a) ( ) ( ) ( )( ) cos 3 f t t t sen t t π= =

b) ( ) ( )2 22 3 4 2f t t t t= minus + + =

c) ( ) ( ) ( )( )4 3 2





104









2

P0

(xy) = P0 + tvv

105


a) ( ) 1b) ( ) 2c) ( ) frac12d) ( ) radic2

106

107

TOacutePICO 2

CAMPOS VETORIAIS

UNIDADE 2











108









e ( )01j =





109


( )01 0j =

e ( )0 01 k =






FONTE Os autores



110


FONTE Os autores

FONTE Os autores



(xy) F(xy)

(00) (00)

(10) (01)

(ndash10) (0ndash1)

(01) (ndash10)

(0ndash1) (10)



111



FONTE Os autores






112

( ) 2 3 4 f x y y x y= minus



( ) 3 2f x y xyx

part= minus

part

( ) 2 2 4 3 f x y x yy

part= minus

part





n

f fx x

part partpart part


( )11

nn

f ff x xx x



partpart

e fy

partpart


( ) f ff x yx y



partpart

fy

partpart

e fz

partpart





113




( ) ( ) 2 2 f ff x y x yx y




FONTE Os autores


114





FONTE Os autores



115


FONTE Os autores



0 0 Q Prot Fx y


Q Prot F kx y


com ( )0 01 k =




x

y


116


FONTE Os Autores

3 20

-1

-1

0

1

-3

-3-2

-1

12

34

-4

-2









com i j e k




2R yy

part= minus

part0R

xpart

=part

Q xyz

part=

partQ yzx

part=

part

0Pz

part=

partP xy

part=

part


117








FONTE Os autores



eacute conservativo


x

y


118

26R xyzy

part=

part2 23R y z

xpart

=part

26Q xyzz

part=

part32Q yz

xpart

=part

2 23P y zz

part=

part32P yz

ypart

=part





( )0 0 0 =





( ) ndiv F rarr

e dado por

( ) 1

1

n

n

FFdiv Fx x

partpart= + +

part part




119

( ) ( ) ( ) P Qdiv F x y x yx y

part part= +

part part



part part part= + +

part part part






( ) P x y z yx

part=

part

( ) Q x y z xzy

part=

part

( ) 0R x y zz

part=

part


( ) div F y xz= +




120









( )( ) ( ) ( )3 2 2 2 4 3div f x y xy x yx y




( ) ( )( ) ( ) ( )2 2

1 1 1 12 21


part part n n n n

n




121








como P Q e 3 R rarr




( ) f ff x yx y






122








( ) 1

1

n

n

FFdiv Fx x

partpart= + +

part part

( ) ( )( ) ( ) ( )2 2

1 1 1 12 21

n n n nn



part part

123

AUTOATIVIDADE











e) ( ) 2 2 2 2 y xF x y i jx y x y

minus= +

+ +

f) ( ) ( ) ( )( ) 1 F x y z sen z ycos z=





124


e






125











volume


126

127

TOacutePICO 3

INTEGRAIS DE LINHA

UNIDADE 2










( ) ( ) ( )( ) ( )

cosx t tt

y t sen tγ

== =


128



FONTE Os autores

ndash1 0

y

x1



FONTE Os autores


( ) ( )( )0

n

i i ii

massa f x t y t ds=

cong sdotsum



129


FONTE Os autores

FONTE Os autores




ndash1 0

y

xγ(t0)γ(tn)

γ(ti-1)γ(ti)

1

1

ndash1 0

1 1

y

x

γ(ti-1)γ(ti)

γ(ti)

a) b)

1 ndash1 0

y

x

γ (ti-1)γ (ti)

γ(ti) ∆ti

1

130



0( ( ) ( )) | ( ) |

n

i i i ii


cong ∆sum


0lim ( ( ) ( ) | ( ) |

n


rarrinfinminus

= ∆sum


( )( ) ( )2

0

massa f t t dtπ

γ γ= primesdotint


( ) ( )( )

sen t

tcos t

γminus=




( ) ( )2

2

0


= +int

( ) ( )2 2

2

0 0


= +int int


131


2

0

22 2 4

0dt t

π ππ= =int


( ) ( ) ( )32 32 2

0

2cos 1 1 0

3 3 3 30






( ) ( )( ) ( )

b

a

f x y ds f t t dtγ






( )

1 b

a



1( ) ( ( )) ( )b


132







4

0

22 2 2 2

0

t

C dt tγ

ππ= = =int




NOTA



133


FONTE Os autores

FONTE Os autores


( )( ) ( )( )i

tF t

tγ

γγ

sdotprime

prime



xγ(a)

γ(b)γ(t)

y

z

x

γ(b)

y

z

γ(a)

134




γγ γ γ γγ

sdot sdot ∆ = ∆



( )( ) ( ) b

a



( )( ) ( )

b

a

Fd F t t dtγ




( ) ( )2 t t t tγ =

para 0 le t le 1


( ) 12 1 2

t tt

γ prime =


135


( ) 1

3 2

0

1 2 1 2

Fd t t t t dttγ

γ = minus sdot

int int1 2

3

0

22tt t t dt

t= + minusint

1 13 3 33 32 2 2

0 0

1 32 2 2


4 21

3 1 3 2 54 2 4 2 502

t t= + = + sdot

1 3 17 4 5 20

= + =


( )( ) ( )

γ


a

Fd F t t dt


( ) ( ) F x y z x y z=


( ) ( ) ( )( )2cos t t t sen tγ π π=

para 0 le t le 1

136





( ) ( )( ) ( ) ( )( )1

2

0


( ) ( ) ( ) ( )1

3

0


1 43

0

12 2 12 4 4 2

0

tt dt= = = =int



FONTE Os autores



( ) ( )( ) ( ) ( )( )2

0


= sdot minusint

( ) ( ) ( ) ( )2

0


= minus + +int

2 2 22

0

24 2

2 20

ttdtπ π

π π= = = =int


137



1 2

1 2Fd Fdγ γ

γ γ= minusint int


e


Mostre que

1 2

1 2Fd Fdγ γ

γ γ= minusint int

para F(xy) = (21)









138



Para γ1 temos que

logo


( ) ( ) ( )( )1

10


γ


( ) ( )0

2 cos sen t t dtπ

= minus +int

( ) ( )2cos 0

t sen tπ

= +


Para γ2 temos que


logo

( ) ( ) ( )( )2

2


γ π


( ) ( )2

2 cos sen s s dsπ

π


( ) ( )2

2cos s sen sπ

π ππ




1 2

1 2Fd Fdγ γ

γ γ= minusint int


139




RESUMO





140





A ORIGEM DOS VENTOS







141












1PV NRT Eq=

2dP g Eqdz

ρ= minus

12 3TdV V g F Eqdt

ρρ



+ nabla =part

142


em que


g =








143






144


Vento gradiente




145









800 mb900 mb

1000 mb

146









147








( ) ( )( ) ( )

1 b

na

f x x ds f t t dtγ


( )

1 b

a



( )( ) ( )

b

a

Fd F t t dtγ


1 2

1 2Fd Fdγ γ

γ γ= minusint int

148



a) ( ) ( )( )

3 3 0 2


y t tγ

γ == le le =

int





densidade

AUTOATIVIDADE


γ

γ+ + =int

( ) 2 1

=+xF x y zy

149







a) ( ) 2 umb) ( ) 4 umc) ( ) 6 um d) ( ) 8 um


a)

a)

b)

c)

b)

c)

d)

e)

( ) ( ) 3 2 4F x y z y x z=

( ) 21 0 0

1F x y z

x = +



( ) ( )2 3 3 3 1 F x y z x x z= minus




( )( )( )( )

1 cos

2 1 cos

t

t sen tt

γ

+

= minus

150




2 y dx x dy

γ

+int

151

UNIDADE 3



PLANO DE ESTUDOS










152

153

TOacutePICO 1

TEOREMA DE GREEN

UNIDADE 3








154








( ) ( ) ( ) F x y P x y i Q x y j= +


ou ainda

+

rarr rarr

part


int intintDD

Q PF d r dxdyx y

+part


int intintDD

Q PP dx Qdy dxdyx y



155



FONTE Os autores

y

xD

Dpart




( ) (2 ) (3 4 ) F x y x y i y x j= + + +



FONTE Os autores


156



1

0

( 0)AO


sdot =int int

12

0

12 1

0xdx x= = =int


[ ] [ ]

1

01

01

01

0

(1 )( ) (1 )

2(1 ) 3 4(1 )

2 2 3 4 4

12 2 2

0

rarr rarr




= = =

int int

int

int

int

AB


y y dy y y dy

y y y ydy

dy y


1

0

21

0

(0 )

13 33 02 2

rarr rarr

sdot = minus


int int

int

BO

F dr Q y dy

yydy



157

3 31 22 2D

F drrarr

part +

sdot = + minus =int



intint intintD D

Q P dxdy dxdyx y

jaacute que

e

assim

(3 4 ) 4Q y xx x

part part= + =

part part


part partP x yy y


intint intintD D

Q P dxdy dxdyx y1 1

0 0 0

3 30

= =int int inty y

dxdy x dy

1 2

0

13 33 02 2

= = =intyydy


DICAS


158





FONTE Os autores


e

( )2 2Q xy yx x

part part= =

part part

( )2 2P x y xy y


part part


2 2( )+

rarr rarr

part





159



2

1 23 3

0 0

41 3

0

12 2

04 2

θ

θ

π

θ

θ θ

ππ π

+

rarr rarr

part

sdot = sdot

= =

= = =

int intint

intint int int

int

r

r

DD

D

F d r r r drd

r drd r d dr

rr dr



( ) 2 2 sup2 sup2

y xF x y i jx y x y

= minus + + +



160


FONTE Os autores



Assim temos que


Entatildeo

2 2 2 2

2

2 20

22 2

02

0

( ) cos( )( ( ) ) cos( )

( ) cos ( )

2

C C



sen t t dt

dt

π

π

π

π

+ +

rarr rarr

sdot = minus ++ +

= minus minus +

= +

= =

int int

int

int

int

x0 andasha

ndasha

a

y


161




= minus +





( ) ( ) ( ) F x y P x y i Q x y j= +


+

rarr rarr rarr

part

sdot = int intint

DD

F n ds div F dxdy


( ) ( )( ) ( )( ) div F P x y Q x yx y

part part= +

part part


C

sF n drarr

sdotint


162

onde

( ) ( ) ( )2





FONTE Os autores


3

D C C




CF n dsrarr rarr

sdotint


163


( ) ( ) ( )2





( )2 2

0 0

3

0

4

0

2 ( )

22 ( )03

2 ( )3

16 32( cos( )) 03 3

π

π

π

θ θ

θ θ

θ θ

πθ

rarr rarr

partsdot =

=

=

=

= minus =

int intint

int int

int

int

D

D

F n ds div F dxdy

r sen dr d

r sen d

sen d




e assim sendo

3

2

0

2 22

02

rarr rarr

sdot =

= =

int intCF n ds x dx

x


164


3 3

32 382 3 3



= + =

int int int

165






+

rarr rarr

part +part


int int intint D DD


+

rarr rarr rarr

part

sdot = int intint

DD

F n ds div F dxdy

166










AUTOATIVIDADE

2

C

x dx y dy+int

2

2 ( )1minus

= ++int

C

x yI dx arctg x dyx

2 2 2 2minus

++ +int

C

y xdx dyx y x y

( ) ( )( )3 3 ( ) cos= minus + +

xF x y e y i y x j

167

a) ( ) 2π

a) ( ) 2503

c) ( ) 1512

b) ( ) 32π

b) ( ) 87

d) ( ) 32

d) ( ) 127

c) ( ) π



( ) 21 2

= +

F x y xy x xy

168

169

TOacutePICO 2

TEOREMA DE GAUSS

UNIDADE 3







170








171







172





onde



dS



= timespart part




intintS

xy dS




part partu v


173


( )1 1 2 1 3 2 1 1 1

i j k

u vϕ ϕpart part


minus





14 dS du dv=


2 2

1 2 2

0 0

31 2

0

1 3

0

4

( )( ) 14

14

14

1403

2 143

12 14 14 03 4 6

= minus +

= minus

= minus

= minus

=

= =

intint intint

intint

int int

int

int

S S

Du

xy dS u v u v du dv

u v du dv

u v dv du

uvu v du

u du

u




174


rarr rarr rarr rarr

minus


F d r F d r





rarr rarr

Φ = sdotintintS

F n dS



FONTE Os autores


NOTA

ϕ ϕϕ ϕ

times=

times u v

u v

n


175




e







1 0 2 (2 2 1)0 1 2

ϕ ϕ

rarr rarr rarr


u v u u vv

i j k


2 2

2 2

1 1 2 2

0 0131 2

00

2

( ( ))

( ( )) ( )

(2 2 ) (2 2 1)

(4 2 2 2 )

(4 2 )

(4 2 )

4 23

4 23

ϕ ϕϕ ϕ ϕϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

rarr rarr rarr

rarr


times

= sdot times

= + minus sdot

= + + minus

= +

= +

= +

= +

intint intint

intint

intint

intint

intint

int int

int

u vu v

u vS D

u vD

D

D

D

F n dS F u v dudv

F u v dudv

u u v uv u v dudv

u uv v uv dudv

u v dudv

u v dudv

u uv dv

v1

0

13

0

4 23 3

4 23 32

= +

= +

=

int dv

v v

176


2 2

2 2

1 1 2 2

0 0131 2

00

2

( ( ))

( ( )) ( )

(2 2 ) (2 2 1)

(4 2 2 2 )

(4 2 )

(4 2 )

4 23

4 23

ϕ ϕϕ ϕ ϕϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

rarr rarr rarr

rarr


times

= sdot times

= + minus sdot

= + + minus

= +

= +

= +

= +

intint intint

intint

intint

intint

intint

int int

int

u vu v

u vS D

u vD

D

D

D

F n dS F u v dudv

F u v dudv

u u v uv u v dudv

u uv v uv dudv

u v dudv

u v dudv

u uv dv

v1

0

13

0

4 23 3

4 23 32

= +

= +

=

int dv

v v





( ) rarr rarr rarr

=part




se F = (P Q R)

NOTA

( ) P Q Rdiv Fx y z

part part part= + +

part part part


177





2 2 2 1x y z+ + =


entatildeo

2 2 2

2 2 2

( ) ( )

( ) 4 π

rarr rarr

sdot = minus + sdot

= minus + + +

= + +

= = =

intint intint

intint

intint

intint

S S

S

S

S


x xy xy y z dS

x y z dS

dS Aacuterea S


( ) 1 1 1 3div F = + + =

Portanto temos que

3 3 ( )=intintintW

dxdydz V W


( )34 4

3 3rV W π π

= =

178


concluiacutemos que

43 4 3π π

rarr rarr


F n dS



UNI



rarr rarr

sdotintintS

F n dS





179


FONTE Os autores

z

n

n

n

y

ndash2ndash1 1

1

y

x1

1

ndash1


eacute

( ) 1 1 2 2 2 div F z z= + + = +


( )

2 2

rarr rarr rarr

=part

sdot =

= +

intint intintint

intintintS W W

W


z dx dy dz


2

0

2

2

2

2 2

22

0

2( 2) ( 2)

6 8

+rarr rarr

=part

sdot = +

+= +

= + + +

= + +

intint intint int

intint

intint

intint

x

S W D

D

D

D

F n dS z dz dx dy

xz z dx dy

x x dx dy

x x dx dy

180



logo


2 1 220 0

2 13 2 2

0 02 4 3 2

2

02

0

( cos ( ) 6 cos( ) 8)

cos ( ) 6 cos( ) 8

16 8cos ( ) cos( )04 3 2

1 cos 2( ) 2cos( ) 4 4

π

π

π

π

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

rarr rarr

=part

sdot = + +

= + +

= + +

= + +

intint int int

int int

int

int

S W

F n dS r r rdr d

r r r dr d

r r r d

d


e

2 2

0

21 1 (2 )cos ( )04 4 2 4 4


send

2

0

22cos( ) 4 2 ( ) 4 8

0π π



338 4 4π ππ

rarr rarr

=part

sdot = + =intintS W

F n dS


DICAS


181


( ) 2 2 2 4 F x y z x i y j y x k= + +




FONTE Os autores


2 2 2( ) ( ) (4 ) ( )

2 8

div F x y y xx y z

x y

part part part= + +

part part part= +

portanto

( )

2 8

rarr rarr rarr

=part

sdot =

= +

intint intintint

intintintS W W

W


x y dx dy dz

0 y

z

x

182



2 3 2

0 0 0

2 3 2 2

0 0

3 32

0

2

0

(2 cos( ) 8 ( ))

2(2 cos( ) 8 ( ))

0

34 16cos( ) ( )03 3

102cos( ) 144 ( )

2102 ( ) 144cos( ) 0

0

π

π

π

π

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

πθ θ

rarr rarr

=part

sdot = +

= +

= +

= +

= minus =

intint int int int

int int

int

int

S W


r r sen z dr d

r r sen d

sen d

sen


0rarr rarr

=part

sdot =intintS W

F n dS

183








Onde



dS



= timespart part

rarr rarr

Φ = sdotintintS

F n dS

div rarr rarr rarr

=part


F n dS F dxdydz

184

AUTOATIVIDADE












( ) ( ) F x y z x y z=

( ) ( ) F x y z x y z=


( )2 2 2 F x y z=

( )2 3F x xz z=

185





( ) 3 3 2 F x y z x i y j z k= + +

( ) 2 2 3 F x y z xi yj z k= + +

186

187

TOacutePICO 3

TEOREMA DE STOKES

UNIDADE 3










188








189



FONTE Os autores

FONTE Os autores



y

z

x

y

z

x


190





part


rot F n dS F d r



( )

i j k

rot Fx y z

P Q R

part part part=

part part part





DICAS



F(xyz)= (3z4xy)


191




FONTE Os autores

-2

-2

-2

-3

-3

-4

-4

-5

-5

-6

-1

-1-1

1

2

3

4

5

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

11

0


x = 2cos(t) y = 2sen(t) e z = 0



2

0

3 4

3 0 ( 2 ( ) ) 4(2cos( )) (2cos( ) ) 2 ( ) 0

C C

F d r z dx x dy ydz


rarr rarr

sdot = + +


int int

int



192

2 2

016cos ( )

216 16 (2 ) 16 02 4

π

ππ

rarr rarr

sdot =

= + =

int intC

F d r t dt

t sen t


( ) ( )

1 3 4

3 4

i j k

rot Fx y zz x y

part part part= =

part part part



( ) (13 4) ( 2 2 1)

( 2 6 4)

rarr rarr


= minus minus +

intint intint

intintD D

D


x y dx dy


2 2

0 0

2 2 2 2

0 0

32 3 2

0

2

0

( ) ( 2 cos( ) 6 ( ) 4)

( 2 cos( ) 6 ( ) 4 )

22 cos( ) 2 ( ) 203

16 cos( ) 16 ( ) 83

216 ( ) 16cos( ) 803

0 0 16 16 16 0 16

π

π

π

π

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

πθ θ θ

π π

rarr rarr


= minus minus +

= minus minus +

= minus minus +

= minus + +


intint int int

int int

int

int

D


r r sen r drd

r r sen r d

sen d

sen



193





z znx y

UNI






FONTE Os autores

xy

z

1

1

1

C



194


FONTE Os autores

FONTE Os autores

z

xy1

1

1

S nC S= part



y

y = 01

1

y = 1 ndash x

D x + y = 1

x


normalizando N

teremos

( )111 = =n e dS dxdy




F d r rot F n dS


195


( ) ( )2

0 1

i j k



part part part


( )

( 0 1) (111)

( 1)

rarr rarr rarr rarr

sdot = sdot

= minus minus sdot

= minus + minus

int intint

intint

intint

CD

D

D

F d r rot F n dS

x z dxdy

x z dxdy


1 1

0 0

21

0

21

0

21 2

0

21

0

3 2

( )

2

12

02

(1 )2 (1 )2

12 22 2

3 12 2

1 1 1 1 1 02 2 2 2 2 2 2

rarr rarr

minus


= minus minus

minus= minus minus



= minus minus


int intint

int int

int

int

int

int

CD

x

F d r x x y dxdy

x y dydx

xyxy dx

xx x dx

xx x x dx

x x dx

x x x


( ) 2 3 2 4 F x y z x i xy j y x k= + +



196


FONTE Os autores



( ) ( )2 3

2 2

2 4

4

i j k

rot F xy y yx y z

x xz y x


part part part


( ) 1 1 11z znx y



2 3

2 3

( )

(2 4 ) ( 1 11)

( 2 4 )

rarr rarr rarr rarr

sdot = sdot


= minus + +

int intint

intint

intint

CD

D

D

F d r rot F n dS

xy y y dx dy

xy y y dx dy

y

z

x

1

01

2


197


1 2 2 3

0 0

31 2 4

0

1

0

1

0

2

( 2 4 )

203

84 163

56 43

156 56 502 2 03 3 3

rarr rarr

sdot = minus + +

= minus + +

= minus + +

= minus

= minus = minus =

int int int

int

int

int

CF d r xy y y dy dx

yxy y dx

x dx

x dx

x x


198




1 HOMEM




[]

2 O TEOREMA



199



2 1 ( ) σ


intint intD


(21)







200





201








202


( ) ( )1 F x y y b x ar

= minus + minus


( ) ( ) v t

tωρ

=



( ) t dtβ

αωΩ = int


203


0

1( ) ( ( )) ( )

1 ( ( )) ( )

2

t dt F t t dt

G t t dtr

n

β β

α α

β

α

ω σ σρ

σ σρ

π

Ω = = sdot

= sdot

=

int int

int (22)

(23)


2 1 σ


int intintD

G GG dr dxdyx y



( ) ( )2 1 2 2 x yG G a b Div a bx y



204


( ) ( )

2 2 2

2 2 2

a b R

x a y b r

+ =

minus + minus =(24)

(25)



( )( ) ( )( )2 2 0

2 1 2 0

x x

x x

aa bbx a a y b b


Assim

( )( ) ( )( )

1 0

xx

x x

aabb

x a a y b b


Logo ( )( ) ( )1 0xx

aax a a y bb


( ) ( ) ( ) 0x

a y ba x a x a


isto eacute

( )xaya x x ab


e por conseguinte

( ) x

b x aa

xb yaminus

=minus


205

(26)

(27)


( )( ) ( )( )2 2 0

2 2 1 0

y y

y y

aa bb

x a a y b b


Assim

( )( ) ( )( )

1 0

yy

y y

bba

ax a a y b b

= minus


Logo ( ) ( )( )1 0yy

bbx a y b b


( ) ( ) ( ) 0ybb x a y b y ba


isto eacute

( ) yxbb y y ba

minus = minus minus

e por conseguinte

( ) y

a y bb

xb yaminus minus

=minus





minus minus

1 bx ayxb ya

minus= =

minus


206


2 1 1G Gx y

part partminus =

part part


2 1 ( ) D



int (28)

(29)




( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) r aq st t t t G tr r



( ( )) ( )

( ( )) ( ) ( ( )) ( ( ) ( ))

( ( )) ( ( ))

r

a

r G t t dt


s dG t G tr dt

β

α

β β

α α

β

α

ρ σ σ

σ σ σ σ σ

σ σ

Ω = sdot

= sdot + sdot minus

+ sdot

int

int int

int


207





( )t dtβ

αθint


[]


208









S

S


part


( )

i j k

rot Fx y z

P Q R

part part part=

part part part



209

AUTOATIVIDADE



F(xyz) = (3z4xy)




C

F d rrarr rarr

sdotint





τrarr rarr

= sdotintC

F d r

( ) 2 3 2 4 F x y z x i xy j y x k= + +


210







τrarr rarr

= sdotintC

F d r

τrarr rarr

= sdotintC

F d r

( ) 2 2 = + +

F x y z xyi x j z k

( ) 2 2 = + +

F x y z xyi x j z k

211

REFEREcircNCIAS
















cálculo diferencial e integral iii

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