cálculo diferencial e integral. borrador 1

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(c)López Mateos Editores. (c)Manuel López Mateos.

Esta edición es un borrador, se difunde por tiempo limitado para efectos de recabar comentarios.

Prohibida su modificación, copia o distribución. https://tienda.lopezmateos.com.mx

Borrador 1, 2014, en López Mateos Editoresc©2014 López Mateos Editores, s.a. de c.v.

Ave. Insurgentes Sur 1863-301Guadalupe InnÁlvaro Obregón, D. F.C.P. 01020México

ISBN En trámite

Información para catalogación bibliográfica:López Mateos, Manuel.Cálculo diferencial e integral/ Manuel López Mateos — 1a ed.p. cm.ISBN En trámite

1. Matemáticas 2. Análisis matemático 3. Cálculo 4. Diferencial 5. Integral 6.Aplicaciones I. López Mateos, Manuel, 1945- II. Título.

Todos los derechos reservados. Queda prohibido reproducir o transmitir todo oparte de este libro, en cualquier forma o por cualquier medio, electrónico o me-cánico, incluyendo fotocopia, grabado o cualquier sistema de almacenamientoy recuperación de información, sin permiso de López Mateos Editores, s.a. dec.v.

Producido en México

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ISBN En trámite

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(pagina vii)

CONTENIDO

PRESENTACION v

CAPITULO 0

INTRODUCCION 1

1. Calculos y piedras 1

2. Tangentes 3

3. Areas 6

4. Mas y mas cerca 8

5. Puntos y numeros 10

6. Estar o no estar 11

7. Presentacion del Calculo 12

8. Nota historica 13

CAPITULO 1

EL LENGUAJE DE LOS CONJUNTOS 17

1. Consideraciones iniciales 17

2. Complemento y subconjuntos 20

3. Igualdad y operaciones 25

4. Propiedades basicas 29

5. Algo de logica 31

6. Como razonar 41


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viii Contenido

CAPITULO 2

PUNTOS EN LA RECTA REAL 39

1. Naturales 39

2. Enteros 22

3. Racionales 27

4. Los numeros reales 32

5. Propiedades de los numeros reales 33

6. Desigualdades e intervalos 34


CAPITULO 3

FUNCIONES REALES 53

1. Relaciones 53

2. Definicion de funcion 57

3. Funciones reales de variable real 63

4. Representacion geometrica 68

5. Ecuacion de una recta 71


CAPITULO 4

EL CONCEPTO DE LIMITE 104

0. El concepto intuitivo 104

1. Mas cerca que . . . 111

2. Definicion de lımite: primer intento 119

3. Segundo 123

4. Propiedades 127

5. Dos lımites basicos 133


CAPITULO 5

FUNCIONES CONTINUAS 143

1. ¡Que no se rompa! 143

2. Definicion de continuidad 149

3. Propiedades 159


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Contenido ix

CAPITULO 6

LA DERIVADA DE UNA FUNCION 163

1. Cambio y razon de cambio 163

2. Razones y rectas 166

3. Tangente a la curva 169

4. La funcion derivada de una funcion 175


CAPITULO 7

PROPIEDADES DE LA DERIVADA 196

1. Operaciones con la derivada 196

2. Calculo de casos 201

3. Derivadas trigonometricas 204


CAPITULO 8

MAXIMOS Y MINIMOS 214

1. ¿Arriba o abajo? 214

2. El logaritmo 224

3. La funcion exponencial general 230

4. Algunas aplicaciones 236

5. Orden de magnitud 241

6. El logaritmo como el area bajo la curva 1/x 247

CAPITULO 9

LA INTEGRAL DEFINIDA 257

1. Area bajo una curva 257

2. Funciones continuas 260

3. Area 261

4. Sumas superiores e inferiores 264

5. El teorema fundamental 275

CAPITULO 10

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL 279

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x Contenido

1. Otras conexiones con la derivada 279

2. Sumas 285

3. Desigualdades 292

4. Integrales impropias 294

CAPITULO 11

METODOS DE INTEGRACION 300

1. Sustitucion 300

2. Integracion por partes 305

3. Integrales trigonometricas 310

4. Fracciones parciales 319

5. Sustituciones exponenciales 330

CAPITULO 12

EL CALCULO EN EL ESTUDIO DE LA CIENCIA 336

1. Volumenes de revolucion 338

2. Area en coordenadas polares 343

3. Longitud de curvas 347

4. Curvas parametricas 353

5. Superficie de revolucion 362

6. Trabajo 369

7. Momentos y centro de gravedad 372

APENDICE A

MUSEO 336

APENDICE B

LA DEFINICION DE LIMITE 336

APENDICE C

ANALISIS EN R 336

APENDICE D

SOLUCION A PROBLEMAS 336

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(c)López Mateos Editores. (c)Manuel López Mateos.

Esta edición es un borrador, se difunde por tiempo limitado para efectos de recabar comentarios.

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(pagina 1)

CAPITULO 0INTRODUCCION

1. CALCULOS Y PIEDRAS

Desde la escuela primaria usamos la palabra calcular con el significado de obtener

un resultado mediante operaciones aritmeticas, tambien se dice hacer cuen-

tas. La palabra ‘calculo’ viene del latın, calculus, que significa piedra o gui-jarro y se refiere al mas antiguo procedimiento matematico conocido usado porel ser humano desde epocas prehistoricas, el de establecer correspondencias

biunıvocas:

Suponemos que al salir con su rebano, el pastor prehistoricocolocaba una piedrecilla en una bolsa, o en una pila, por cadaoveja a su cuidado. Al regresar, por cada oveja que entraba,quitaba una piedra. Si quedaban piedras en la bolsa habrıa quebuscar las ovejas extraviadas.

El pastor verificaba que existiera una correspondencia biunıvoca entre las piedrasdepositadas, que representan las ovejas que salieron, y las ovejas que iban en-trando, es decir, que llegaran tantas ovejas como salieron. Quiza la calculadoraportatil mas antigua fue una bolsa de piedras o, en su forma mas elaborada, uncollar de cuentas. Despues inventamos los numeros y mas adelante otros obje-tos matematicos, a los procedimientos para manipularlos seguimos llamandoles‘calculos’. Se habla de calcular el area de un terreno, de calcular la distancia aun astro, de calcular la velocidad de un proyectil, o de calcular el tiempo trans-currido durante un suceso. Hay calculo numerico (hoy dıa con grandes cifras,o de mediciones muy precisas, efectuados mediante poderosas computadoras),calculo vectorial (con vectores que, entre otras cosas, representan fuerzas o ve-locidades), calculo matricial (con matrices podemos representar grandes sistemasde ecuaciones), y calculo diferencial e integral (tema del presente libro).

Tambien usamos el termino “calculo infinitesimal” para referirnos al calculo

diferencial y al calculo integral. ¿Por que les llamamos ası, y les mencionamosjuntos? ¿De que tratan? Veamos la pagina siguiente y comencemos . . .

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2 Capıtulo 0 Introduccion

Dicho en pocas palabras, el termino “calculo infinitesimal” significa calculode infinitesimos y se referıa, en una epoca, a procedimientos para manipularesos objetos —considerados cantidades distintas de cero pero tan pequenas quecarecıan de multiplos.

Un tipo de manipulacion de infinitesimos se realiza comparando diferencias.Si queremos comparar avance con tiempo dividimos la diferencia en posicionentre la diferencia en tiempo. Restamos de la posicion final la posicion inicial ydividimos entre la diferencia que hay del tiempo final al tiempo inicial. Estamoscomparando dos diferencias, posicion final menos posicion inicial, el espaciorecorrido, y tiempo final menos tiempo inicial, el tiempo transcurrido. Aldividir el espacio recorrido entre el tiempo transcurrido obtenemos la llamadarazon de cambio de la posicion respecto del tiempo. Cuando nos interesan loscambios de posicion en intervalos mas y mas pequenos de tiempo transcurridoestamos en el terreno del calculo diferencial.

Tenemos un segundo tipo de manipulacion de infinitesimos; anadiendo, su-mando o integrando para, mediante consideraciones sobre partes de un objeto,concluir propiedades sobre el total, al estilo de cuando cubrimos un cırculo conrectangulos y consideramos la suma de las areas de los rectangulos como una

aproximacion al area del cırculo. Al cubrir el contorno del cırculo con rectangulosmas y mas pequenos, mas cenidos le quedaran y mejor sera la aproximacion queobtengamos del area del cırculo mediante la suma del area de los rectangulosque lo cubren. Estamos en el terreno del calculo integral.

Sucede que estos dos tipos de manipulacion constituyen ope-raciones inversas, ası como la suma y la resta (casi), de ahı sutratamiento conjunto.

La sorpresa es que los procedimientos inversos entre sı del calculo diferencial ydel calculo integral, llamados diferenciacion e integracion, en realidad no operan

sobre “cantidades distintas de cero pero tan pequenas que carecen de multiplos”llamadas, alguna vez, infinitesimos sino que los cocientes de diferencias y lasanadiduras o sumas se manipulan mediante el concepto de lımite que involucra,a su vez, nuestra concepcion de numero real.

Ası,

el termino “calculo infinitesimal” se refiere, hoy dıa, a la mani-

pulacion de diferencias y sumas mediante el proceso de lımite.

Empleando de nuevo unas cuantas palabras, el termino “lımite” no se refierea una situacion de la cual no podemos pasar —para ello usamos, en matematicas,el termino “cota”, como una valla— sino un estado el cual finalmente obten-dremos, continuando un proceso. La idea de numero real es parte del nucleoprofundo de nuestra concepcion de espacio.


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0.2 Tangentes 3

Dijimos muchas cosas en una sola pagina pero emplearemos buena parte dellibro para explicarlas. Mientras tanto, en las secciones de este capıtulo introduc-torio, presentaremos algunos problemas que originaron la necesidad o condujerona manipular diferencias y sumas, particularmente en pequenos intervalos, y des-cribiremos las herramientas usadas. El estudio de cada herramienta ocupara,mas adelante, varios capıtulos. Finalizaremos con un breve repaso historico dela construccion de tan importante disciplina matematica, obra de generacionesde cientıficos: el calculo diferencial e integral.

2. TANGENTES

Ya mencionamos un problema que nos lleva a comparar diferencias, el de obtenerla razon de cambio de la posicion respecto del tiempo, que estudiaremos amplia-mente a lo largo del libro. Tambien veremos, en el capıtulo 6, que comparardiferencias es como trazar secantes a una curva, y que estudiar el comportamientode una razon de cambio en intervalos mas y mas pequenos de tiempo transcurrido—tratando de averiguar lo que sucede en un instante— es como trazar una tan-gente a una curva. Debemos tener cuidado para definir este importante conceptode tangente a una curva.

La primera definicion que se nos ocurre es de una recta que toca a la curvaen un solo punto. ¿Como esta?:

FIGURA 0.1 Recta que toca a la curva en solo el punto P . ¿Es la tangente?

En realidad no es lo que esperabamos, cuando dijimos que la recta tangentetocara en un solo punto a la curva pensamos que la curva estuviera de un solo

lado de la recta, no que la recta cruzara, imaginamos algo ası:

FIGURA 0.2 La recta no cruza la curva.


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Pero no imaginamos la situacion presentada en la figura 0.3 en donde alrededor

del punto P la curva esta de un solo lado de la recta que nos gustarıa llamartangente, sin embargo esa recta cruza la curva en el punto Q. Algo falla en lapropuesta para definir recta tangente en un punto, parece que debemos pedircondiciones sobre la recta tangente alrededor del punto en cuestion.

FIGURA 0.3 La recta cruza la curva en Q pero ¿no es tangente en P ?

Modifiquemos la propuesta e intentemos otra definicion, que la recta tangentea una curva en un punto P sea una recta que, en su comportamiento alrededor

del punto P , toque a la curva en ese punto, sin cruzarla (si la recta cruza a lacurva, que lo haga lejos del punto P ). La descripcion de esta definicion incluyea la recta de la figura anterior, pero ¿que hacemos entonces con la figura 0.4?

FIGURA 0.4 Ahora la recta, aunque cruza la curva en R, es tangente en R.

Sucede que las supuestas definiciones de recta tangente a una curva no describenlo que pensamos.


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0.2 Tangentes 5

Desde los griegos se trazaban tangentes a figuras determinadas, EUCLIDES

definio tangente a un cırculo como una recta que toca al cırculo sin cruzarlo,y encuentra la manera de trazarla, APOLONIO ensena a trazar la tangente a unpunto de una parabola, a una elipse y a una hiperbola, sin tener un metodo deaplicacion general. Fueron DESCARTES (con sus normales) y, de manera indepen-diente y polemica, FERMAT (mediante sus adecuaciones), en el siglo XVII, quienesesbozaron el metodo de aproximar la tangente a la curva en el punto P me-diante secantes —rectas que atraviesan la curva en dos puntos— que pasan porP y por otros puntos de la curva mas y mas cercanos a P , que lleva al conceptode lımite.

Se puede hacer de varias maneras, una es trazando una recta del punto P(donde se quiere encontrar la tangente) en la curva a otro punto Q cualquierasobre la curva en cuestion.

FIGURA 0.5 La recta de P a Q es una secante a la curva.

Despues, trazar otra secante de P a un punto mas cercano que Q, sobre la curva,a P , digamos R. Continuar de la misma manera y trazar la secante de P a S,y acercarnos a P por medio de puntos sobre la curva trazando las secantes de Pa esos puntos cada vez mas y mas cercanos a P .

FIGURA 0.6 Secantes que pasan por P y por puntos Q, R, S y T sobre la curva mas

y mas cercanos a P .

Tenemos, ası, un proceso de obtener un estado, la recta tangente en P ,como estado lımite de otros, las secantes trazadas de P a puntos sobre

la curva mas y mas cerca de P .

La posicion lımite de las secantes trazadas de P a puntos situa-dos sobre la curva, mas y mas cercanos a P , es la tangente a lacurva en el punto P .


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Esta manera de considerar una recta tangente a una curva lleva al conceptode derivada (ver capıtulo 6), idea desarrollada por NEWTON y LEIBNIZ alrededorde pero formalizada 140 anos mas tarde con las aportaciones de CAUCHY

en la primera mitad del siglo XIX.

3. AREAS

El problema que nos lleva a manipular sumas es hallar el area de una figura.Hay tres ideas principales para atacar el problema. Una idea fundamental pararesolver el problema era conocida desde las antiguas civilizaciones:

Para hallar el area de una figura hay que descomponerla enotras cuya area sea conocida, el area de la figura original es lasuma de las areas de las figuras en que se descompone.

FIGURA 0.7 Ejemplo sencillo donde una figura se descompone en dos cuya area cono-

cemos: area total = area del rectangulo + area del triangulo = ab + 1

2ac.

Otra idea importante, atribuida a EUDOXO, presentada por EUCLIDES, es elmetodo de exhaucion, que aplicada para hallar el area de un cırculo consiste en

Aproximar el area del cırculo mediante polıgonos inscritos in-

crementando mas y mas el numero de sus lados.

FIGURA 0.8 Los polıgonos inscritos en el cırculo tienen area cada vez mas y mas

parecida al area del cırculo.


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0.3 Areas 7

La tercer idea se conoce como el metodo de las rebanadas. Se descompone unafigura en delgadas rebanadas, metodo que se aprecia mejor en una generalizaciondel problema de hallar el area, que es hallar el volumen.

Se piensa, por ejemplo, a una esfera rebanada en infinidad decırculos, sumando el area de cada uno de ellos se obtendrıa elvolumen de la esfera.

FIGURA 0.9 Esfera rebanada

Presentado de manera simplista, el rectangulo de base b y altura a se reba-

narıa en infinidad de rectas verticales, cada una de longitud a, tendrıamos lalongitud a considerada tantas veces como puntos hubiera en la longitud b, esebarrido de los segmentos de longitud a a lo largo del segmento de longitud bdarıa el area del rectangulo A = ab.

FIGURA 0.10 El rectangulo de base b y altura a rebanado y barrido por segmentos de

longitud a.

El concepto moderno para determinar areas de figuras planas cuyos contornosson lıneas curvas se basan en estas tres ideas. En general,

La figura se cubre con rectangulos, la suma de sus areas serauna aproximacion al area de la figura.

Subdividimos mas y mas los rectangulos y sumamos las areasde los que cubren la figura. Obtenemos una mejor aproximacion de su area.

Continuando este proceso, en el lımite, obtendremos el areade la figura.

Al proceso le llamamos integracion.


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FIGURA 0.11 Si subdividimos mas y mas los rectangulos, la suma del area de los que

cubren la figura sera mas y mas parecida al area de la figura. En el lımite

obtenemos el area de la figura original.

Quienes aplican esta idea para obtener el area bajo una curva son FERMAT yROBERVAL en el siglo XVII con su manera de calcular el area bajo una parabola.

FIGURA 0.12 El area bajo la parabola se atrapa entre rectangulos por arriba de la curva

y rectangulos por abajo. Se obtienen sumas aproximadoras por exceso y

por defecto.

De aquı solo hay un paso al concepto de integral desarrollado de maneraindependiente y casi simultanea por NEWTON y LEIBNIZ a quienes se les consideralos inventores del Calculo pues, a diferencia de sus antecesores inmediatos quetambien se ocuparon de los problemas de hallar tangentes y areas, fueron quienescomprendieron que los procesos de derivacion e integracion son procesos inversos—a manera de la suma y la resta— pero esto es tema del capıtulo 10.

4. MAS Y MAS CERCA

Consideramos la tangente a una curva en un punto como la posicion lımite desecantes, generando el concepto de derivada. Al area de una figura la obtenemos


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0.4 Mas y mas cerca 9

como lımite de areas de rectangulos inscritos, o rectangulos aproximadores, cons-truyendo el concepto de integral. La pregunta obligada es ¿que es lımite?

En matematicas,

el concepto de lımite es la expresion formal de nuestra concep-

cion intuitiva de cercanıa, o de muy aproximado.

Como siempre que se trate de definir un concepto —y hacer, de dicha defini-cion, objeto de manipulacion algebraica— debemos verificar que la definicionadoptada realmente describa el objeto, concepto o situacion que pretendemosdefinir, pero que, ademas, describa solo a ese tipo de objeto.

Al hablar de una posicion lımite pensamos en una posicion a la cual mas

y mas nos acercamos conforme mas y mas tiempo transcurra. Pero esnecesario ser mas energicos con la expresion “mas y mas” para que exprese elsignificado que le queremos asignar —como dijera HUMPTY DUMPTY.

La clave del asunto radica en expresar no solo que nos acerquemos a la posicionlımite, sino que nos acerquemos tanto como queramos.

De hecho el concepto a formalizar es que si L es la posicionlımite, P denota la posicion del proceso y damos una medida decercanıa ε (letra griega epsilon) arbitraria, por pequena que sea,siempre sera posible hallar la cantidad de tiempo transcurridosuficiente para que el proceso P diste de la posicion L en menosque la medida ε.

Ası, cuando usamos la expresion “mas y mas cerca conforme mas y mas

tiempo transcurra” la empleamos en el sentido de que podemos decir apartir de que momento el proceso dista del lımite en menos que una cantidadprefijada.

Estamos usando la medida prefijada de cercanıa como un reto. Retamos alproceso P a que se acerque a L en menos que ε. Si L es realmente el lımite debepoder responder al reto. La respuesta, en este caso, consiste en decir en que

momento el proceso P va a lograr la cercanıa prefijada.

ε

FIGURA 0.13 A partir de cierto momento la posicion esta mas cerca del lımite L que

la distancia prefijada ε.


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Como en las otras secciones de este capıtulo introductorio, lo dicho en estosparrafos es descripcion informal del concepto mencionado. En el capıtulo 4trataremos el concepto de lımite, analizaremos con detenimiento su definicion yestudiaremos sus propiedades para poder manejarlo algebraicamente.

5. PUNTOS Y NUMEROS

Hemos hablado de tiempo transcurrido y de espacio recorrido presuponiendo uncomportamiento continuo de dichas magnitudes de tiempo y espacio. Falta to-davıa describir de manera formal el objeto matematico con el cual representamostiempo y espacio: los numeros reales.

Se recorrio un largo camino desde la concepcion de numero de los griegoshasta la necesidad expresada por DEDEKIND y CANTOR en el siglo XIX de que eltratamiento riguroso del Calculo debıa tener fundamento aritmetico en lugar debasarse en la intuicion geometrica —util como recurso didactico.

Aunque ha sido tratado de diferentes maneras, el procedimiento se conocecomo la construccion de los numeros reales. Partimos de los conocidos que-

brados, fracciones o razones —llamados los numeros racionales, denotados conQ. Identificamos cada numero racional con un punto en una recta. Segun elprocedimiento que estudiaremos en el capıtulo 2 identificamos con cada puntode una recta un numero racional y percibimos que hay puntos de la recta que no

corresponden a racionales, como√

2, a los cuales llamamos numeros irracionales—en lugar de fracciones, corresponden a decimales que no terminan (sin serperiodicos). A la coleccion de esos dos tipos de numeros, los racionales y losirracionales, le llamamos los numeros reales, que denotamos con R.

FIGURA 0.14 La longitud de la hipotenusa del triangulo rectangulo cuyos catetos miden

la unidad no se puede expresar como fraccion.

Ya sea que la construccion de los numeros reales se realice mediante las cor-

taduras de DEDEKIND o las sucesiones fundamentales de CANTOR, disponemosde la estructura de los numeros reales, que representan de manera satisfacto-ria nuestra idea intuitiva del comportamiento del transcurrir del tiempo o deldesplazamiento de un cuerpo por una trayectoria recta.

En el ambito del recurso didactico —que es la referencia geometrica— dispo-nemos ahora, para nuestro estudio, de la identificacion de la recta numerica con


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0.6 Estar o no estar 11

los numeros reales. Podemos representar, por ejemplo, el transcurrir del tiempocon un desplazamiento de un punto a otro en la recta numerica.

FIGURA 0.15 La recta real.

De hecho, mediante los numeros reales representaremos varios tipos de can-tidades variables cuyo comportamiento nos aparezca como el de los numerosreales, como serıan temperaturas, distancias, volumenes, presion y muchas mas.

6. ESTAR O NO ESTAR

Lograda la construccion de los numeros reales a partir de los racionales, paracompletar el proceso de formalizacion de los fundamentos del Calculo, segunlo percibio DEDEKIND, es necesario caracterizar los numeros naturales, y juntocon ellos a los racionales, en terminos de la nueva teorıa de conjuntos, teorıacreada por CANTOR cuando en su descripcion de los numeros reales habla depuntos lımite de un conjunto, introduce el concepto de vecindad de un puntoy distingue cuando en dicha vecindad hay infinidad de puntos.

En el fundamento de la teorıa de conjuntos esta el concepto de corresponden-

cia biunıvoca que usaba el pastor prehistorico del comienzo del presente capıtuloy que CANTOR uso en para comparar conjuntos infinitos y caracterizarlossegun su potencia o su numero cardinal —cardinalidad del conjunto— generali-zando el concepto de numero de elementos en un conjunto finito.

Los conjuntos finitos tienen un cierto numero de elementos. Losconjuntos infinitos tienen un numero transfinito de elementoso cardinalidad transfinita.

A la cardinalidad o potencia de los numeros naturales se le llama “alef cero”

que se escribe ℵ0 (alef es la primera letra del alfabeto hebreo), a la cardinalidadde los numeros reales se le llama la potencia del continuo y se denota con c

(una letra “c” minuscula en tipo gotico).

Dos conjuntos tienen la misma potencia o cardinalidad si existe

una correspondencia biunıvoca entre ellos.

DEDEKIND considera que un conjunto C queda determinado como tal —estabien definido— si dado cualquier objeto queda determinado, a su vez, si elobjeto en cuestion es un elemento del conjunto C o no lo es. A partir deconjuntos bien definidos se construyen operaciones entre ellos, como la union


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y la interseccion, ası como la relacion de contencion que se refiere a que loselementos de un conjunto sean elementos de otro, dando origen al concepto desubconjunto.

Ademas, al concepto de correspondencia biunıvoca se anade el de funcion

como manera de asociar a elementos de un conjunto, elementos de otro (o de sımismo), en particular el de funcion inyectiva, en que a elementos distintos se lesasocian, mediante la funcion, elementos distintos.

Estos conceptos de conjunto, conjunto infinito, funcion inyectiva y sucesor

(referente a que, en un conjunto, cada elemento tenga asociado el elemento

“siguiente”) estan en la base de la caracterizacion de los numeros naturales,tema estudiado en la decada de por PEANO y FREGE ademas de DEDEKIND.

Al caracterizar los numeros naturales basados en los concep-tos de conjunto y funcion obtenemos una base aritmetica delCalculo desprendiendolo, ası, de su referencia al mundo fısicoque le dio origen. Podemos construir entonces una teorıa delCalculo diferencial e integral a partir de objetos matematicos.Su caracter abstracto nos permite usar sus conceptos para es-tudiar fenomenos en distintos campos de la ciencia.

7. PRESENTACION DEL CALCULO

Hemos dado un esbozo de como evoluciono el Calculo partiendo de los problemasde trazo de tangentes a curvas y de busqueda de areas de figuras mediante aproxi-maciones, que dan lugar al concepto de lımite, y a los conceptos fundamentales einversos del Calculo, la derivada y la integral. Como, a lo largo del siglo XVIII yen el siglo XIX, se trabajo en formalizar el concepto de lımite, la construccion delos numeros reales a partir de los racionales y la caracterizacion de los numerosnaturales a partir de la teorıa de conjuntos. En esta evolucion hay un temaprincipal, las sumas infinitas o series, que trataremos en su momento.

Ahora debemos comenzar con una exposicion sistematica del tema —es elobjetivo del libro. Para que la presentacion elegida se nutra de como evolucionocada tema particular, al final de cada capıtulo hay una NOTA HISTORICA. Al finalde la obra tenemos un MUSEO donde exhibimos material biografico de quienesaportaron al tema. Tambien damos una CRONOLOGIA donde podran ubicar fa-cilmente epocas, personas y aportes.

La exposicion elegida no es una presentacion que siga el desarrollo concep-tual del Calculo sino que, echando mano del recurso didactico de la referenciageometrica y de fenomenos fısicos —el problema de trazar la tangente es identico,desde el punto de vista matematico, al de calcular velocidades—, trataremos eltema segun su estructura formal. Partiremos del estudio del lenguaje de losconjuntos —que no la teorıa— para describir la correspondencia entre el objeto


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0.8 Nota historica 13

geometrico de recta y el algebraico o aritmetico de numero real. Despuesveremos las mas importantes propiedades de la estructura de los numeros reales,definiendo los conceptos —como vecindad— que nos permitiran, mas adelante,hablar de lımite. Definiremos el concepto de funcion y veremos como resolverel problema de trazo de la tangente a una curva para el caso en que la curvase pueda expresar como la grafica de una funcion, pero de un tipo de funcionmuy particular: una funcion real de variable real —soluciones mas generales seanalizan en temas mas avanzados, como el Calculo en varias variables. Despuesestudiaremos los conceptos de derivada e integral de funciones reales de variablereal, y sus propiedades. Mas adelante veremos como se utilizan estos concep-tos para estudiar problemas del mundo real —se llaman sus aplicaciones— ydaremos presentaciones elementales de temas avanzados.

8. NOTA HISTORICA

En tanto que un esbozo muy general —que describimos brevemente en estaseccion— podemos ubicar cinco etapas fundamentales en el desarrollo historicodel Calculo, la antiguedad, los griegos, la epoca de FERMAT, DESCARTES y

otros, la epoca de NEWTON y LEIBNIZ, y la formalizacion del Calculo. Enla NOTA HISTORICA de cada capıtulo presentaremos de manera mas amplia losaportes de cada etapa al tema que nos ocupe, dejando al MUSEO los detalles devidas y epocas.

LA ANTIGUEDAD

Alrededor de A.C., en la cultura babilonica tenıan una manera de calcularel area de un cırculo conociendo la medida de la circunferencia: A = (C/2)(d/2),donde C es la circunferencia y d el diametro. Se especula que usaron el metodode las rebanadas.

En el papiro de Rhind, documento jeroglıfico de la cultura egipcia, escritoalrededor de A.C., se afirma que el area del cırculo de diametro d es igualal area del cuadrado de lado 8

9d

Quiza desde 1500 anos A.C., en versos llamados Vedas, en la India, aunquelas primeras referencias escritas son apenas de alrededor del A.C., se planteael problema de la cuadratura del cırculo en referencia a la construccion de unaltar cuadrado que tenga la misma area que uno circular.

Durante los anos A.C.- D.C., se compilaron los Jiuzhang suanshu

(Nueve capıtulos acerca del arte matematico), la obra clasica de la matematicachina, donde hay una aproximacion al area de un semicırculo mediante el areade un trapecio.

LOS GRIEGOS

Alrededor del A.C. HIPOCRATES de QUIOS plantea el problema de la cuadra-tura de lunulas —con la forma de fase lunar— que son figuras acotadas por dosarcos circulares de distinto radio.


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A los pitagoricos se les atribuye la frase de que “el numero es la substancia

de todas las cosas”. Al descubrir que el lado de un cuadrado y su diagonal sonlongitudes inconmensurables, es decir que no se pueden medir a partir de unaunidad comun, se causo un escandalo, ¿como comparar razones entre magnitudesinconmensurables?

EUDOXO (- A.C.) establecio la base del metodo de exhaucion. Juntocon el aporte de ARQUIMEDES segun la propiedad que lleva su nombre —suele lla-marse tambien la propiedad del continuo— forman parte del concepto de numeroreal desarrollado en el siglo XIX, tienen ya la idea de lımite y son parte de laconstruccion de la definicion de integral.

Aportacion fundamental de ARISTOTELES (- A.C.) fue distinguir dostipos de cantidades: la discreta, referida al numero, cuya base es la unidad indi-visible, usado para contar, y la continua, referida a la magnitud, que es “divisi-ble en divisibles que son infinitamente divisibles”, asignada a rectas, superficies,volumenes y tiempo.

Realmente nada se sabe de la vida de EUCLIDES, se ha deducido que vivio enla epoca de PTOLOMEO I SOTER quien goberno del A.C. al aproximadamente A.C., impartio clases y escribio en el MUSEO Y BIBLIOTECA DE ALEXANDRIA,vivio antes que ARQUIMEDES pero despues que PLATON. Escribio los Elementos

hace aproximadamente 2, 300 anos. En los Elementos, sistematizo varios teore-mas de EUDOXO y dio bases firmes a lo expuesto de manera informal por suspredecesores. En la definicion 2 del Libro III, describe lo que hoy entenderıamoscomo una tangente a un cırculo.

Sobre las mediciones del cırculo es una breve obra de ARQUIMIDES de SIRACUSA (- A.C.) donde muestra como hallar el area de un cırculo de radiodado conocida la circunferencia. Un resultado —antecedente del concepto deintegral— esta en su tratado Cuadratura de la parabola donde inscribe figurasrectilıneas cada vez mas cenidas al area del segmento de parabola. Logra queel area de las figuras inscritas —obtenida por medio de una suma infinita—difiera del area del segmento de parabola en menos de un valor prefijado. Sudemostracion esta basada en el metodo de exhaucion.

APOLONIO de PERGA (- A.C.) en su obra Conicas, en el Libro I, analizoel problema de trazar la tangente a una parabola en un punto dado, pensandola,como EUCLIDES, como recta que toca pero no cruza la curva. Asimismo mostrocomo trazar tangentes a elipses y a hiperbolas.

FERMAT, DESCARTES Y MUCHOS MAS

Recordemos que desde el mundo antiguo se disponıa solo de algunas curvaspara la investigacion, esencialmente las conicas descritas por APOLONIO, quienestrataban con ellas resolvıan sus problemas, en particular el trazo de tangentes yel calculo de areas, pero no existıa un metodo, o procedimiento con validez gene-ral —tampoco era necesario. Se podıan trazar tangentes y calcular areas en cadacaso particular conocido. Con el revolucionario aporte de FERMAT y DESCARTES

que proponen una manera de tratar algebraicamente problemas geometricos, el


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mundo cientıfico dispone subitamente de multitud de nuevas figuras geometricasrepresentantes de situaciones algebraicas y se renuevan los esfuerzos por hallartangentes y calcular areas.

CAVALIERI y las rebanadas, WALLIS y los infinitesimales, HUDDE y SLUSE consus metodos para obtener “derivadas” de expresiones algebraicas

NEWTON Y LEIBNIZ

FORMALIZACION


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(pagina 17)

CAPITULO 1EL LENGUAJE DE LOS CONJUNTOS

1. CONSIDERACIONES INICIALES

G. CANTOR definio, en , un conjunto como “cualquier coleccion en un uni-verso M de objetos definidos y separados m, producto de nuestra intuicion ode nuestro pensamiento”, concepcion que requirio de una posterior formaliza-cion por ZERMELO, en , pues es difıcil concebir una definicion de conjuntoexpresada en lenguaje cotidiano —siempre usarıamos sinonimos.

Es muy util la caracterizacion que dio DEDEKIND en , aunque uso lavaga descripcion de que “un conjunto es un objeto de nuestro pensamiento, escomo una cosa”. Afirmo que un conjunto C esta bien definido si dado cualquierobjeto esta determinado si es un elemento del conjunto C o no lo es, locual permite trabajar con conjuntos sin tener que definirlos estrictamente, te-niendo cuidado de no colocarnos en situaciones paradojicas, como en la llamadaparadoja del barbero donde se plantea la situacion de un unico barbero queafeita solo a quien no puede hacerlo por sı mismo y se “define” a B como el“conjunto” de las personas a quienes afeita el barbero.

B no esta bien definido como conjunto pues no esta determinado si el barbero,a quien denotaremos con b, pertenece o no a B. Si b pertenece a B, entonces bes una de las personas a quienes afeita el barbero ¡pero b es el barbero! Es decir,b es afeitado por b, luego b se afeita a sı mismo y, por lo tanto, b no puede ser delas personas que afeita el barbero, es decir, no es elemento de B. Suponer que bpertenece a B implica que b no pertenece a B. Es facil obtener la conclusionrecıproca: suponer que b no pertenece a B y concluir que b sı pertenece a B.

B no esta bien definido como conjunto pues no esta deter-

minado si el objeto b es o no es un elemento de B.

Nos ahorrarıamos el problema si desde un principio excluyeramos al barbero yescogieramos un cierto universo de objetos con los cuales obtuvieramos conjuntosbien definidos, y ası lo haremos de ahora en adelante al usar el lenguaje de los

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18 Capıtulo 1 El lenguaje de los conjuntos

conjuntos. Trataremos con objetos pertenecientes a un universo, o total, deno-tado con Ω —omega mayuscula, la ultima letra del alfabeto griego— con loscuales formaremos (siempre) conjuntos bien definidos, es decir que

dado un conjunto C y un objeto x de Ω, esta determinado si x

es un elemento de C o no lo es.

Para efectos practicos no siempre se menciona, de manera explıcita, cual es elconjunto universo Ω, supondremos que del contexto esta claro cuales son losobjetos considerados y que los conjuntos estan bien definidos.

Si C es un conjunto y x es un objeto (de Ω) que pertenece a C escribimos

x ∈ C,

que se lee x es un elemento de C , x pertenece a C , o simplemente x esta en C .El sımbolo ‘∈’ para denotar pertenencia viene de la letra griega epsilon, ε, seusa como abreviacion de la palabra griega esti que significa esta.

En caso de que el objeto x no pertenezca al conjunto C , es decir no sea unelemento de C , escribimos

x /∈ C.

Al referirnos a los elementos de un conjunto podemos describirlos:

El conjunto de los nombres de mis hermanos y hermanas,

o podemos listarlos:

Miguel Angel, Rocıo y Amelia.

Podemos considerar el universo Ω como los nombres de personas.La descripcion la escribimos ası:

H = nombres | son los de mis hermano(a)s ,

que se lee: H es el conjunto de nombres tales que (la raya vertical “|” se lee tal,o tales, que) son los de mis hermano(a)s.

La lista la colocamos entre llaves:

H = Miguel Angel, Rocıo, Amelia.

Con sımbolos escribimos

Amelia ∈ H, mientras que Dora /∈ H.

EJEMPLO 1. Escribimos la descripcion del conjunto de los continentes de nuestroplaneta como:

C = continentes | son del planeta Tierra ,

los listamos como:

C = Africa, America, Asia, Europa, Oceanıa.

Simbolicamente,

Asia ∈ C, mientras que Italia /∈ C.

Podemos considerar el conjunto universo Ω como los nombres de continentes, sinimportar el planeta.

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1.1 Consideraciones iniciales 19

EJEMPLO 2. La Comision del Oceano Indico se creo en julio de con elobjetivo de fomentar el desarrollo economico y la cooperacion entre los paıses dela region del Oceano Indico. Creada originalmente como una comision bilateralentre Mauricio y Seychelles, la Comision del Oceano Indico crecio al incluir entresus miembros a Comores, Francia (en representacion del departamento francesde ultramar de Reunion) y Madagascar en . La comision patrocina comitestecnicos sobre pesca, turismo, transporte, educacion y otros asuntos. La comisionrecibe donaciones de la Union Europea, el Fondo de Desarrollo de las NacionesUnidas y otras organizaciones.

Describimos a los paıses participantes en la Comision del Oceano Indico como

P = paıses | participan en la Comision del Oceano Indico ,

los listamos como

P = Comores, Francia, Madagascar, Mauricio, Seychelles.

Podemos escribir que

Seychelles ∈ P, y que, por ejemplo, Haitı /∈ P.

El contexto en el que ubicamos este conjunto P es de paıses, y ese sera el universoconsiderado.

EJEMPLO 3. Caracas, capital y principal ciudad de Venezuela, es el centro comer-cial e industrial del paıs. Las principales industrias de la ciudad son plantas demontaje de automoviles, de procesado de azucar, cerveza y petroleo, fabricas depapel, tabaco, textiles y productos farmaceuticos. Describimos el conjunto

I = industrias | son principales en Caracas ,

lo listamos como

I = montaje de automoviles, procesado de azucar, cerveza,

petroleo, papel, tabaco, textiles, productos farmaceuticos.

Usando el sımbolo de pertenencia a conjuntos, escribimos que tabaco ∈ I y queacero /∈ I . El universo se considera como los nombres de industrias.

t

En algun artıculo periodıstico escojan una noticia de actualidad yubiquen varios ejemplos de conjuntos, descrıbanlos, listen sus com-ponentes y digan en que universo estan considerando los objetos.Escriban simbolicamente la pertenencia de algunos de sus elemen-tos y ubiquen objetos del universo que no pertenezcan al conjunto encuestion.

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El lenguaje de los conjuntos es muy util para describir situaciones, no soloen matematicas; pero para usar conjuntos deben estar bien definidos —no loolvidemos—, que dado un objeto del universo este determinado si elobjeto pertenece o no al conjunto en cuestion.

En las secciones siguientes definiremos operaciones entre conjuntos y veremoscomo usarlas para expresarnos de manera precisa acerca de diversos objetos seguncumplan propiedades de pertenencia a diversos conjuntos.

PROBLEMAS 1.1

Describe, por medio de conjuntos, las situaciones siguientes:

1. Las temperaturas promedio de los 5 dıas anteriores.

2. Los dıas festivos del presente ano.

3. Los estados del agua.

4. La vegetacion de tu paıs.

5. Tus fronteras.

6. El producto interno bruto de los ultimos diez anos.

7. Los fenomenos meteorologicos que incidieron en tu region el ano pasado.

8. Los planetas cercanos al Sol.

2. COMPLEMENTO Y SUBCONJUNTOS

Denotemos con Ω el universo de donde consideramos objetos y conjuntos biendefinidos. Dado un objeto x de Ω y un conjunto C , esta determinado si x ∈ C ox /∈ C . Por ejemplo, en la figura 1.1 vemos varios conjuntos y objetos o puntos—de hecho, a los elementos de un conjunto les llamaremos puntos del conjunto.

Ω

FIGURA 1.1 En el universo Ω vemos conjuntos y puntos.

Son evidentes las siguientes relaciones de pertenencia,

z ∈ B, z /∈ A, y /∈ C, u ∈ A, u ∈ B, x ∈ C.

Hay un conjunto que no vemos, el conjunto vacıo que no tiene elementos ydenotamos con ∅. Dado cualquier objeto x del universo Ω tenemos que x /∈ ∅.

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1.2 Complemento y subconjuntos 21

No debe asustarnos este conjunto sin elementos, lo podemos pensar como elnumero cero: Si tengo 4 naranjas, doy 3 a Lupita y 1 a Juanito, ¿con cuantasnaranjas me quedo? Pues con 0 naranjas. De manera analoga, si tengo una cajacon pelotas rojas, amarillas y verdes, ¿cual es el conjunto de las pelotas azules?Pues el conjunto vacıo.

Hay una manera formal para definir, dado un determinado universo Ω, alconjunto vacıo:

∅ = x ∈ Ω | x 6= x

es decir, los elementos del conjunto vacıo son los objetos de Ω que son distintosde sı mismos, ¿quien cumple esto? ¡Nadie! Luego el conjunto vacıo no tieneelementos. Conforme avancemos veran la utilidad de disponer del conjunto vacıo.

Dado un conjunto A los objetos del universo Ω pueden clasificarse en dos, losque pertenecen a A y los que no pertenecen a A. Al conjunto de los objetos deΩ que no pertenecen a A le llamamos el complemento de A y lo denotamoscon Ac, que se lee “A complemento”, o con ∁ΩA, que se lee el complemento de Arespecto a Ω, o escribimos ∁A cuando no hay confusion respecto a que universotomamos el complemento del conjunto A.

Ω

FIGURA 1.2 A y el complemento de A.

EJEMPLO 4. Segun datos de la ONU, las principales ciudades del Peru cuentancon la siguiente poblacion.

Lima 7,500,000Callao 637,755Arequipa 620,471Trujillo 508,716Chiclayo 410,486Cusco 257,751

De las ciudades mencionadas, el conjunto A de las ciudades que tienen menosde 600,000 habitantes es A = Trujillo, Chiclayo, Cusco, el complemento de Aes Ac = Lima, Callao, Arequipa, cuyos elementos son las ciudades del Peruque tienen 600,000 o mas habitantes.

Si B es el conjunto de esas ciudades cuyo nombre comienza con la letraC, Bc = Lima, Arequipa, Trujillo. Del contexto se infiere que el conjuntouniverso considerado es

Ω = Lima, Callao, Arequipa, Trujillo, Chiclayo, Cusco.

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EJEMPLO 5. El grupo de pueblos indıgenas mesoamericanos perteneciente a la fa-milia Maya tradicionalmente han habitado en los estados mexicanos de Yucatan,Campeche, Tabasco y Chiapas, en la mayor parte de Guatemala y en regiones deBelice y Honduras. Denotemos con M al conjunto de paıses americanos dondehabitan pueblos mayas, ası,

M = Mexico, Guatemala, Belice, Honduras.

Vemos que Ecuador /∈ M , es decir, Ecuador esta en el complemento de M quees el conjunto de los paıses americanos que no estan en M .

t

¿Que saben de astronautas? Averiguen sus nombres y clasifıquenlosusando el lenguaje de los conjuntos segun el ano en que viajaron, sugenero, nacionalidad y otros datos que les parezcan relevantes o inte-resantes. Comparen los resultados y presenten algunos de maneraexcluyente usando el concepto de complemento.

Puede suceder que objetos de un universo pertenezcan a varios conjuntos,como en la figura 1.1 donde u ∈ A pero ademas u ∈ B, de hecho en esa figuratodos los puntos de A pertenecen, a su vez, a B. Podemos decir que A estacontenido en B, o que A es un subconjunto de B.

EJEMPLO 6. Consideremos el conjunto universo Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10y los conjuntos A = x ∈ Ω | x es multiplo de 4 = 4, 8 y B = x ∈ Ω |x es multiplo de 2 = 2, 4, 6, 8. Claramente cada multiplo de 4 es un multiplode 2, luego A esta contenido en B.

DEFINICION 1.1. Si A y B son dos conjuntos y sucede que cada elemento de Aes a su vez un elemento de B, es decir, que

si x ∈ A entonces x ∈ B,

decimos que A es un subconjunto de B y lo escribimos

A ⊆ B,

que tambien se lee “A esta contenido en B”. Decimos tambien que B contienea A, lo cual escribimos B ⊇ A.

Si A no es subconjunto de B, es decir, existe algun elemento de A que nopertenece a B, escribimos A * B.

EJEMPLO 7. La palabra planeta significa vagabundo. Se usaba para describir a lasluces que se movıan de manera regular en el cielo a lo largo del ano, a diferenciade las estrellas, que permanecen fijas. Debido al descubrimiento de mas objetos,

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que si bien orbitan alrededor del Sol no se perciben como vagabundos a simplevista, la XXVI Asamblea General de la UNION ASTRONOMICA INTERNACIONAL

realizada en Praga en , resolvio, el 24 de agosto, dividir en tres categorıaslos cuerpos celestes de nuestro Sistema Solar, de la siguiente manera:

1. Un planeta es un cuerpo celeste que: (a) esta en orbita alrededor del Sol,(b) debido a su masa es casi redondo, y (c) ha limpiado su orbita de vecinos.

2. Un planeta enano*, que debido a la observacion en la nota al pie de pagina,nos tomaremos la libertad de llamar planetoide, es un cuerpo celeste que:(a) esta en orbita alrededor del Sol, (b) debido a su masa es casi redondo, (c)no ha limpiado su orbita de vecinos y (d) no es un satelite.

3. Los objetos pequenos del sistema solar, conjunto que denotaremos conOPSS, son todos los demas que estan en orbita alrededor del Sol, exceptolos satelites.Si denotamos con P al conjunto de los planetas del Sistema Solar, tenemos

P = Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Jupiter, Saturno, Urano, Neptuno

y con PE al conjunto de los planetas enanos del Sistema Solar, tenemos que

Ceres ∈ PE, Pluton ∈ PE y Eris ∈ PE.

Ceres tiene una orbita localizada en la region principal de asteroides que estaentre Marte y Jupiter, y Eris esta en una orbita que llega mas alla que la dePluton.

Tambien se resolvio que Pluton es el prototipo de una nueva clase de ob-jetos llamada objetos transneptunianos, que denotaremos con OTN . Dehecho, la categorıa de los objetos pequenos del Sistema Solar (OPSS) esta for-mada actualmente por los asteroides del Sistema Solar, la mayorıa de los objetostransneptunianos (OTN ), los cometas y otros objetos pequenos.

Si denotamos por CCSS al conjunto de los cuerpos celestes del sistema solar,vemos que el conjunto de los planetas enanos PE = Ceres, Pluton, Eris es unsubconjunto de CCSS, PE ⊆ CCSS.

* Aquı cabe una aclaracion. Si nos referimos a una camisa azul, intentamos describirun objeto que, antes que nada, es una camisa, y de entre ellas, es una camisa de colorazul. Es decir que el conjunto de las camisas azules esta contenido en el conjunto delas camisas.

Realmente parece un desacierto que, segun la definicion, un planeta enano no seaplaneta. En todo caso, si la intencion de la UIA era que Pluton, Ceres, Eris y otros nofueran planetas, convendrıa designarlos con otro nombre, por ejemplo planetoide, pordecir algo, pero se podrıa usar cualquier otra palabra, como calcetın o flarios.

Lo desafortunado es que al usar como nombre de la categorıa un sustantivo (planeta)

seguido de un adjetivo (enano), por gramatica elemental, implica la pertenencia de sus

elementos a la categorıa mas amplia de quienes describe el sustantivo, sin especificar

el adjetivo; que es lo opuesto a lo que se pretende. En fin, esperemos que para la

XXVII Asamblea en afinen sus definiciones. (Agradezco la sabrosa charla con Julia

Espresate.)

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Los planetas no son todos los cuerpos celestes del Sistema Solar. Es decir,hay algun cuerpo celeste (Pluton) que no esta considerado entre los planetas.Decimos entonces que el conjunto de los planetas es un subconjunto propio delconjunto de los cuerpos celestes del Sistema Solar.

t

En una conferencia, Julia Espresate propuso describir un modelo delSistema Solar en una escala en la que 1metro equivale a 73,298 km.Colocando al Sol en el centro una ciudad, y utilizando esta escala paralos demas objetos del sistema solar (tamanos y distancias), es posiblepercibir la magnitud y posiciones relativas de los Cuerpos Celestesdel Sistema Solar. Ubiquen un lugar en su poblacion y comparen laposicion de los planetas con lugares conocidos de su poblacion. ¿Dondeubican en ese modelo al Cinturon de Kuiper?

Observamos que dado un conjunto A en un universo Ω, se cumplen las siguien-tes propiedades:

(i) ∅ ⊆ A, (ii) A ⊆ A, (iii) A ⊆ Ω.

La manera de verificar que las propiedades enunciadas son verdaderas esproceder a demostrarlas a partir de la definicion. Sin entrar en detalles daremosuna idea de como proceder.

La afirmacion (ii) es evidente, cada elemento de A es un elemento de A, luegoA ⊆ A. No se queda atras la afirmacion (iii) pues el conjunto A esta formadode objetos de Ω, luego si x ∈ A tenemos que x ∈ Ω.

Presentamos una idea de demostracion de la afirmacion (i) con la intencionde ejemplificar un tipo de razonamiento usado en matematicas, se llama unademostracion por vacuidad (dicho de manera directa, los elementos del conjuntovacıo, ¡como no existen!, cumplen cualquier propiedad).

Para hacer ver que ∅ ⊆ A habrıa que verificar que cada elemento de ∅ estambien un elemento de A. ¡Esto sucede! pues no es posible exhibir algunelemento de ∅ que no sea elemento de A (¡como exhibirlo, si no hay elementosen ∅!), luego todos los elementos de ∅ estan tambien en A, es decir, ∅ ⊆ A.

Truculento ¿verdad?, no se trata de que se aprendan el parrafo anterior, perode seguro los pondra a pensar.

Podemos resumir diciendo que:

(i) El vacıo es subconjunto de cualquier conjunto, ∅ ⊆ A.

(ii) Cualquier conjunto es subconjunto de sı mismo, A ⊆ A.

(iii) Cualquier conjunto es subconjunto del total, A ⊆ Ω.

Hay un concepto que permite expresar la situacion de que un conjunto A estecontenido en B pero no sea todo B, como en el ejemplo de los planetas.

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DEFINICION 1.2. Sean A y B dos conjuntos tales que A ⊆ B. Si existe algunelemento y ∈ B tal que y /∈ A decimos que A es un subconjunto propio de By lo expresamos simbolicamente como

A ⊂ B.

Decimos tambien que “A esta contenido propiamente en B” o que “B con-tiene propiamente a A”, lo cual escribimos B ⊃ A.

Las relaciones de contencion y contencion propia entre dos conjuntos cumplencon una propiedad importante, son transitivas, es decir que si A esta contenidoen B, y B esta contenido en C , entonces A esta contenido en C .

Con frecuencia se afirma que los matematicos escriben con sımbolos que nadieentiende y gozan con ser parte de los elegidos que los comprenden. Sucede queconforme avanzamos en una disciplina usamos lenguajes simbolicos que facilitanla comunicacion. En matematicas —tambien en musica y hasta en tejido—usamos lenguaje simbolico para describir y transmitir situaciones que resulta-rıan practicamente incomprensibles si se comunicaran en lenguaje cotidiano, porejemplo la expresion simbolica f ′(x) encierra multitud de consideraciones, segunveremos en el capıtulo 6. ¿Creen posible y practico describir en lenguaje coti-diano la musica escrita en una partitura de una sinfonıa?

Tampoco se trata de usar exceso de simbologıa, de hecho la reduciremos lomas posible, pero este es un buen momento para comenzar a comprenderla.¿Practicamos?, la propiedad transitiva de la contencion entre conjuntos dice que

si A ⊆ B y B ⊆ C , entonces A ⊆ C .

La expresion anterior tiene la forma “si expresion 1 entonces expresion 2”,que transformamos en

expresion 1 implica expresion 2,

en lugar de la palabra “implica” colocamos la flecha =⇒, obteniendo

expresion 1 =⇒ expresion 2.

La transitividad de la contencion entre conjuntos se expresa simbolicamente como

A ⊆ B y B ⊆ C =⇒ A ⊆ C,

que se lee “A subconjunto de B y B subconjunto de C implica que A es unsubconjunto de C”.

No es tan complicado, poco a poco introduciremos mas sımbolos. Acabamosde exponer la propiedad transitiva de la contencion, pero debemos demostrar quese cumple. Es relativamente facil demostrar afirmaciones relacionadas con losconjuntos, primero enunciemoslo claramente. Dependiendo del peso que tengaen nuestra exposicion, podemos enunciar el resultado como una AFIRMACION,una PROPOSICION o de plano un TEOREMA, cuando el resultado se desprenda delteorema recientemente expuesto le llamamos COROLARIO. La transitividad de lacontencion en conjuntos la exponemos como una:

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AFIRMACION 1.1. Si A, B y C son conjuntos tales que A ⊆ B y B ⊆ C , entoncesA ⊆ C .

DEMOSTRACION. La hipotesis de la afirmacion es que los conjuntos cumplen conque A ⊆ B y B ⊆ C . Queremos demostrar que A ⊆ C , es decir, que si x ∈ Aentonces x ∈ C . Sea pues x ∈ A.

Como A ⊆ B y x ∈ A, entonces x ∈ B, pero B ⊆ C y x ∈ B, luego x ∈ C .Dado x ∈ A hemos concluido que x ∈ C , luego A ⊆ C .

Otra afirmacion relaciona la contencion de dos conjuntos con la contencionde sus complementos, cuya demostracion quedara como ejercicio.

AFIRMACION 1.2. Si A ⊆ B entonces Bc ⊆ Ac.

Misma que ilustramos en la figura siguiente,

Ω

FIGURA 1.3 A ⊆ B ¿pueden ver que Bc

⊆ Ac?

PROBLEMAS 1.2

1. Sea Ω = 1, 2, 3. Halla todos los subconjuntos de Ω.

2. Si Ω es el conjunto de los elementos que aparecen en la Tabla Periodica delos Elementos, halla los siguientes subconjuntos de Ω: A el conjunto de losmetales alcalinos, B el conjunto de los actınidos y C el conjunto de losgases nobles.

3. Denotemos con A el conjunto de paıses del continente americano. ¿Cuales el subconjunto S de A formado por los paıses del subcontinente llamadoAmerica del Sur? Halla los siguientes subconjuntos de S: Los paıses andi-nos, los paıses donde el idioma predominante es el espanol, el complementodel anterior.

3. IGUALDAD Y OPERACIONES

Debemos trabajar con conjuntos bien definidos —ya lo sabemos— y tenemoslas nociones de pertenencia, complemento y subconjunto, definamos ahora laigualdad entre conjuntos.

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1.3 Igualdad y operaciones 27

DEFINICION 1.3. Dos conjuntos A y B son iguales, lo escribimos A = B, si

A ⊆ B y B ⊆ A.

Podemos expresar la definicion de igualdad entre conjuntos usando el sımbolo‘⇐⇒’ que representa la equivalencia logica entre dos afirmaciones:

A = B ⇐⇒ A ⊆ B y B ⊆ A,

que se lee

“A es igual a B si, y solo si, A esta contenido en B y B esta

contenido en A”.

La expresion “si, y solo si,” empleada en el recuadro anterior significa que lasexpresiones “A = B” y “A ⊆ B y B ⊆ A” son equivalentes, que significan lomismo, es decir que se cumplen estas dos afirmaciones:

(i) Si A = B entonces A ⊆ B y B ⊆ A.

(ii) Si A ⊆ B y B ⊆ A entonces A = B.

Cuando debamos verificar que dos conjuntos A y B son iguales,debemos corroborar que cada elemento de A es elemento de By viceversa: que cada elemento de B es elemento de A.

EJEMPLO 8. El conjunto P de los numeros primos menores que 10 es igual alconjunto T = 2, 3, 5, 7 pues cada elemento de P es un elemento de T y cadaelemento de T esta en P .

EJEMPLO 9. El complemento del conjunto vacıo es el total: ∅c = Ω.

SOLUCION. Segun dice en el recuadro anterior, para verificar que dos conjuntos,digamos A y B, son iguales debemos corroborar que cada elemento del primerconjunto es un elemento del segundo y viceversa: que cada elemento del segundoconjunto es un elemento del primero. En este caso los conjuntos son ∅c y Ω,debemos hacer ver que ∅c ⊆ Ω y que Ω ⊆ ∅c.

Sabemos que cualquier conjunto es subconjunto del total, ası que ∅c ⊆ Ω.Ahora bien, si x esta en Ω no puede estar en el vacıo (nadie esta), luego esta ensu complemento, es decir x ∈ ∅c.

EJEMPLO 10. El complemento del total es el vacıo.

SOLUCION. ¿La intentan?

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Emplea como universo al conjunto de tus companeros y companerasde grupo. Describe diferentes situaciones de manera que resultenconjuntos iguales. Convence al grupo de que, en efecto, son iguales.

Las dos operaciones principales entre conjuntos son la interseccion y launion. La primera describe a los objetos comunes a los dos conjuntos, lasegunda describe a los objetos de los dos conjuntos.

DEFINICION 1.4. El conjunto interseccion de los conjuntos A y B esta formadopor los objetos que pertenecen a A y que pertenecen a B. Lo denotamos conA ∩ B y escribimos

A ∩ B = x ∈ Ω | x ∈ A y x ∈ B ,

que se lee “A interseccion B es igual al conjunto de los puntos x en Ω tales quex pertenece a A y x pertenece a B”.

DEFINICION 1.5. El conjunto union de los conjuntos A y B esta formado porlos objetos que pertenecen a A o que pertenecen a B, o pertenecen a ambos.Lo denotamos con A ∪ B y escribimos

A ∪ B = x ∈ Ω | x ∈ A o x ∈ B ,

que se lee “A union B es igual al conjunto de los puntos x en Ω tales que xpertenece a A o x pertenece a B, o pertenece a ambos”.

Para que un objeto x pertenezca a A ∩ B debe estar en A yen B, debe estar en los dos conjuntos.

Para que un objeto x pertenezca a A∪B basta con que perte-nezca a alguno de los dos, basta con que este en uno de ellos.

Ω Ω

FIGURA 1.4 Las partes sombreadas representan la interseccion y union

de dos conjuntos.

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1.3 Igualdad y operaciones 29

EJEMPLO 11. Cualquier aleacion de cobre y estano se llama bronce. Hay muchasaleaciones que contienen pequenas cantidades de otros materiales. Al anadirfosforo se obtiene resistencia al uso, el bronce con plomo sirve para hacer partesmoviles, con nıquel se obtiene dureza y sirve para hacer engranes, con siliconse hace mas fuerte para rodamientos y es resistente a la corrosion, se usa parahacer partes de barcos. Hay otras aleaciones de cobre sin estano que tambiense llaman bronce, como el cobre con aluminio llamado bronce de aluminio, elcobre con zinc llamado laton y el cobre con zinc y manganeso llamado bronce demanganeso.

Expresamos como conjuntos a las aleaciones anteriores:

B = cobre, estano,

F = cobre, estano, fosforo,

P = cobre, estano, plomo,

N = cobre, estano, nıquel,

S = cobre, estano, silicon,

A = cobre, aluminio,

L = cobre, zinc,

M = cobre, manganeso.

Claramente F ∩ N = B, M ∩ A = cobre, S ∪ P = cobre, estano, silicon,plomo y L ∪ B = cobre, estano, zinc.

EJEMPLO 12. Sea Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 y los conjuntos A = 2, 3, 5, 6, B =1, 2, 4, 5 y C = 1, 3, 5.

Tenemos que A ∩ B = 2, 5, A ∩ C = 3, 5, y que A ∪ C = 1, 2, 3, 5, 6 yA ∪ B = Ω.

t

Considera el conjunto de paıses del continente americano. Averiguaque organismos o asociaciones de paıses representan las siguientes si-glas y establece relaciones de contencion entre ellas, analiza las inter-secciones y ve si la union de varios organismos constituyen otro. De-termina a que organismos pertenece tu paıs y a cuales no: FAO, OCI,ODECA, OEA, OLADE, OLAS, ONU, OPANAL, OPEP, OSPAAL,OTAN, TLC, UNESCO.

DEFINICION 1.6. Dos conjuntos A y B son ajenos si su interseccion es vacıa, esdecir

A y B son ajenos ⇐⇒ A ∩ B = ∅.

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EJEMPLO 13. Como no existe cuerpo celeste del Sistema Solar que sea, simulta-neamente, planeta y planeta enano, tenemos que P ∩ PE = ∅, luego P y PEson conjuntos ajenos.

EJEMPLO 14. Sea Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6, A = 1, 3, 5 y B = 2, 4, 6. Los conjun-tos A y B son ajenos pues A ∩ B = ∅.

PROBLEMAS 1.3

Para los problemas del 1 al 5 considera que A es el conjunto de paıses delcontinente americano, y define:

T = x ∈ A | x limita con el Oceano Atlantico ,

P = x ∈ A | x limita con el Oceano Pacıfico .

1. Obten T ∩ P .

2. ¿Es cierto que T c = P ? ¿Por que?

3. Halla (T ∪ P )c.

4. Define dos conjuntos, Q y R, de elementos de A que sean ajenos y queQ ∪ R ⊆ T .

5. Encuentra un conjunto S tal que S ⊂ T ∩ P .

6. Si E es el conjunto de los paıses que tienen frontera con Peru y N es elconjunto de los paıses que tienen frontera con Venezuela, ¿Cual es E ∩ N yE ∪ N .

7. Usa los conjuntos definidos en el ejemplo 7. Halla OTN c y P ∪ PE. ¿Escierto que OTN c = P ∪ PE?

8. Menciona un cuerpo celeste c del Sistema Solar tal que c /∈ P ∪ PE.

4. PROPIEDADES BASICAS

En esta seccion, que servira de referencia, enunciaremos las principales propie-dades que cumplen las operaciones entre conjuntos y demostraremos algunas.

Cada operacion es:

i) Idempotente, es decir, que A ∩ A = A y A ∪ A = A.

ii) Conmutativa, es decir, que A ∩ B = B ∩ A y A ∪ B = B ∪ A.

iii) Asociativa, es decir, que A ∩ (B ∩C) = (A ∩B) ∩C y A ∪ (B ∪C) =(A ∪ B) ∪ C

iv) Se cumplen las dos leyes distributivas, es decir, la union distribuye ala interseccion y la interseccion distribuye a la union: A ∩ (B ∪ C) =(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) y A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

Veamos algunas demostraciones. Recuerden que para demostrar que dosconjuntos son iguales hay que demostrar que se cumple la doble contencion.

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1.4 Propiedades basicas 31

AFIRMACION 1.3. Sean A, B y C tres conjuntos, las operaciones de intersecciony union cumplen estas dos propiedades llamadas leyes asociativas:

1. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C,

2. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.

DEMOSTRACION. Para demostrar la propiedad (1) de que los conjuntos A∩(B∩C) y (A∩B)∩C son iguales, debemos mostrar que se cumple la doble contencion,es decir que

(i) A ∩ (B ∩ C) ⊆ (A ∩ B) ∩ C

(ii) (A ∩ B) ∩ C ⊆ A ∩ (B ∩ C).y

Para comprobar que se cumple la contencion (i) debemos verificar que cadaelemento del primer conjunto tambien es un elemento del segundo conjunto, seapues x en A ∩ (B ∩ C), como x ∈ A ∩ (B ∩ C) entonces x ∈ A y x ∈ B ∩ C ,pero esto ultimo implica que x ∈ B y x ∈ C , tenemos ası que x ∈ A y x ∈ By x ∈ C , por lo tanto, x ∈ A ∩ B y x ∈ C , de donde x ∈ (A ∩ B) ∩ C , luegoA ∩ (B ∩ C) ⊆ (A ∩ B) ∩ C .

De manera parecida comprobamos la contencion (ii) —es como regresar porlos pasos dados en el parrafo anterior— sea x ∈ (A∩B)∩C , entonces x ∈ A∩By x ∈ C , es decir x ∈ A y x ∈ B y x ∈ C , por lo tanto, x ∈ A y x ∈ B ∩ C , dedonde x ∈ A ∩ (B ∩ C), luego (A ∩ B) ∩ C ⊆ A ∩ (B ∩ C).

Al comprobar la doble contencion (i) y (ii) hemos demostrado la veracidadde la primera propiedad, siguiendo un razonamiento analogo podran demostrarla segunda.

La distributividad es otra propiedad de las operaciones de interseccion yunion entre conjuntos, nos dice de que manera combinarlas.

AFIRMACION 1.4. Sean A, B y C tres conjuntos, las operaciones de intersecciony union cumplen estas dos propiedades llamadas leyes distributivas:

1. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),

2. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

DEMOSTRACION. Demostremos la propiedad (1), se trata de demostrar la igual-dad A∩ (B ∪C) = (A∩B)∪ (A∩C), para ello debemos mostrar que se cumplela doble contencion

(i) A ∩ (B ∪ C) ⊆ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),

(ii) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⊆ A ∩ (B ∪ C).y

Para demostrar la contencion (i) debemos mostrar que cada elemento x en A ∩(B ∪ C) es, a su vez, un elemento de (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),

sea pues x ∈ A ∩ (B ∪ C),

esto implica que x ∈ A y x ∈ B ∪ C,

pero x ∈ B ∪ C =⇒ x ∈ B o x ∈ C.

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Tenemos entonces que x esta en A, eso es seguro, y, ademas, que x esta en Bo x esta en C , es decir que x esta en A y en B, o x esta en A y en C , luegox ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), lo cual implica que A ∩ (B ∪ C) ⊆ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

Como en la afirmacion anterior, para demostrar la contencion (ii) regresamospor los pasos que dimos para demostrar (i). Sea x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), por lotanto, x ∈ (A ∩ B) o x ∈ (A ∩ C), es decir x esta en A y en B, o x esta en A yen C lo cual significa que x necesariamente esta en A y puede estar en B o enC , de donde x ∈ A∩ (B ∪C), obteniendo que (A∩B)∪ (A∩C) ⊆ A∩ (B ∪C).Hemos demostrado la doble contencion y con ello la propiedad (1). De maneraanaloga podemos demostrar la propiedad (2).

En la siguiente afirmacion presentamos dos propiedades que relacionan lasoperaciones de interseccion y union con el concepto de complemento, se conocencomo leyes de DE MORGAN.

AFIRMACION 1.5. Si A y B son dos conjuntos, se cumplen las propiedades:

1. (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc,

2. (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc.

La primera se lee “el complemento de la interseccion es la union de los com-plementos” y la segunda: “el complemento de la union es la interseccion de loscomplementos”.

DEMOSTRACION. Para demostrar la propiedad (1) es necesario mostrar la doblecontencion

(i) (A ∩ B)c ⊆ Ac ∪ Bc,

(ii) Ac ∪ Bc ⊆ (A ∩ B)c.y

Ataquemos la contencion (i),

sea x ∈ (A ∩ B)c,

luego x /∈ A ∩ B.

Si x no esta en la interseccion de A y B entonces x no pertenece a A o nopertenece a B (pues si estuviera en los dos estarıa en la interseccion), luegox /∈ A o x /∈ B, es decir x ∈ Ac o x ∈ Bc, de donde x ∈ Ac ∪ Bc, mostrando asıla contencion (i).

Recıprocamente, para mostrar la veracidad de la contencion (ii) suponemosque x ∈ Ac ∪Bc, luego x ∈ Ac o x ∈ Bc, es decir x no esta en A o x no esta enB, luego no puede estar en la interseccion de A y B, es decir x /∈ A∩B, de dondex ∈ (A ∩ B)c, con lo cual mostramos la contencion (ii). Estas dos contencionesimplican que se cumple la propiedad (1). La propiedad (2) se demuestra demanera analoga.

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1.5 Algo de logica 33

PROBLEMAS 1.4

1. Demuestra que cada operacion —la interseccion y la union— es idempo-tente, esto es, si A es un conjunto se cumple que A ∩ A = A y A ∪ A = A.

2. Demuestra que cada operacion —la interseccion y la union— de conjuntos esconmutativa, esto es, si A y B son dos conjuntos se cumple que A ∩ B =B ∩ A y A ∪ B = B ∪ A.

3. Sean Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, A = 3, 5, 7, B = 1, 3, 6, 7 y C = 2, 3, 4, 6.Verifica que se cumplen las leyes distributivas

4. Verifica que se cumplen las leyes de DE MORGAN para los conjuntos delproblema anterior.

5. ¿Cual sera el resultado de A ∩ ∅ y de A ∪ ∅? Demuestralo.

6. ¿Cual sera el resultado de A ∩ Ω y de A ∪ Ω? Demuestralo.

Demuestra las afirmaciones en los problemas del 7 al 10.

7. Si A ⊆ B entonces A ∩ B = A y A ∪ B = B.

8. A ∩ B ⊆ A, para cualquier B.

9. A ⊆ A ∪ B, para cualquier B.

10. Afirmacion 1.2, si A ⊆ B entonces Bc ⊆ Ac.

5. ALGO DE LOGICA

Sucede, cuando avanzamos en el empleo del lenguaje, que no siempre logramoscomunicar de manera precisa lo que pensamos y nos vemos en discusiones dondecada quien entiende lo que quiere entender y cada uno de nuestros interlocutoresperciben cosas distintas. El lenguaje de los conjuntos ayuda para expresarnoscon claridad de manera que personas distintas perciban la misma idea.

Hay quien piensa que lo contrario de “todas las pelotas son azules” es que“ninguna pelota es azul”, por lo que resultara util ponernos de acuerdo en comousar la expresion “lo contrario”, asimismo debemos cultivar la capacidad depercibir las consecuencias logicas de una afirmacion.

ARISTOTELES escribio su LOGICA en la antigua Grecia, en el siglo IV A.C.,donde expuso la manera de razonar por medio de silogismos, muy famoso es:

Todos los hombres son mortales,

Socrates es hombre,

luego Socrates es mortal.

Mas de dos mil anos despues, en , el ingles BOOLE baso la logica mate-matica en el calculo proposicional, esto es, la manipulacion de proposiciones

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las cuales son afirmaciones que —a semejanza de los conjuntos bien definidos—tienen dos posibles valores de verdad, V o F.

Dada una proposicion es verdadera, V, o es falsa, F. Si una proposicionp es verdadera, su negacion, que se escribe ¬p y se lee “no p”, es falsa. Dehecho, dada una proposicion p tenemos que p es verdadera o que ¬p es verdadera.Resumimos lo anterior en la siguiente tabla de verdad donde se ilustran losvalores de verdad de ¬p dados los de p.

p ¬p

V FF V

EJEMPLO 15. La proposicion

p: Todos los hombres son mortales,

es verdadera. Luego su negacion

¬p: No todos los hombres son mortales,

es falsa.

EJEMPLO 16. La proposicion

q: 10 es multiplo de 3,

es falsa, luego su negacion

¬q: 10 no es multiplo de 3,

es verdadera.

Usaremos la expresion “lo contrario” de una afirmacion para referimos asu negacion, ası, la negacion de “todas las pelotas son azules” es “no todas laspelotas son azules”, ahora bien, dado un cierto conjunto P de pelotas, si laproposicion

p: todas las pelotas de P son azules

es verdadera, ello significa que tenemos la certeza de que dado cualquier ele-mento de P , que es una pelota, es azul. Pero si la proposicion p anterior no esverdadera, es decir es falsa, la proposicion que sera verdadera es ¬p, es decir,lo cierto sera que “no todas las pelotas de P son azules”. ¿Esto significa queninguna pelota de P es azul? La respuesta es NO, sucedera que en P habrapelotas de otros colores, no importa de cual otro color, pero no todas las pelotasde P son azules. Si la proposicion

¬p: no todas las pelotas de P son azules

es verdadera, significa que al menos una pelota en P no es azul, es decir,que existe alguna pelota en P que no es azul.

Cuando es falsa una afirmacion sobre todos los elementos deun conjunto, sucede que al menos un elemento del conjunto nocumple con la afirmacion.

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EJEMPLO 17. ¿Es cierto que todos los nombres de los dıas de la semana, enespanol, comienzan con la letra “M”? La respuesta es no, ya que puedo exhibiral menos un nombre de dıa de la semana, a saber “Lunes”, que no empieza conla letra “M”.

EJEMPLO 18. “Los planetas giran alrededor del Sol describiendo orbitas circu-lares.” No es cierto. Al menos la Tierra gira alrededor del Sol describiendo unaorbita elıptica. Hasta aquı llega la constatacion de que la afirmacion inicial no esverdadera. Hay mas, KEPLER demostro que todos los planetas giran alrededordel Sol describiendo orbitas elıpticas, pero ello no constituye la negacion de laprimera afirmacion, sino que constituye una nueva afirmacion.

Si afirmamos que todos los elementos de un conjunto C cumplen con deter-minada propiedad p, debemos mostrar que dado cualquier elemento x ∈ C setiene que x cumple la propiedad p.

Si, por lo contrario, afirmamos que no es cierto que todos los elementosde C cumplen la propiedad p, lo cierto es que existe al menos un elementox ∈ C tal que x no cumple con la propiedad p.

EJEMPLO 19. ¿Es cierto que los nombres de los dıas de la semana, en espanol,tienen menos de diez letras? Dado cualquiera de los nombres podemos exami-narlo y constatar que el nombre mas largo “miercoles” tiene nueve letras, luegocada elemento del conjunto de los nombres de los dıas de la semana tiene menosde diez letras y la respuesta es sı.

N.B. No es para el texto definitivo, pero no resisto ponerlo en el borrador:

EJEMPLO 20. Hay una expresion machista sobre las mujeres que dice

¡Todas son iguales!

La autoflagelacion masculina asegura que lo anterior no es cierto pues

¡Hay algunas que son peores!

(Entra mariachi tocando La que se fue.)

EJEMPLO 21. “No todo lo que brilla es oro.” Cierto, hasta el cobre brilla.

Presentamos una tabla con algunas afirmaciones y su respectiva negacion.

Afirmacion Negacion

Todos los x son p. Algun x no es p.Ningun x es p. Algun x es p.Algun x es p. Ningun x es p.Algun x no es p. Todos los x son p.

Cuando afirman que una proposicion es verdadera establecen una conjetura,es decir, una presuncion de que su afirmacion es verdadera. Las conjeturas, esdecir las presunciones, habrıan de confirmarse. Deben demostrar que se cumpleuna conjetura verificando que se cumple la afirmacion realizada. Cuando unaconjetura sea falsa debemos exhibir un contraejemplo, alguien para quien nose cumpla la afirmacion.

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EJEMPLO 22. CONJETURA: Todos aprobamos el examen. COMPROBACION: ¿Cadauno del grupo aprobo el examen? Si la respuesta es afirmativa la conjeturafue cierta. Si algun elemento de los que presentaron examen no lo aprobo, laconjetura resulto falsa.

t

Construyan proposiciones acerca de un grupo de amigas y amigos.Establezcan conjeturas, demuestren las que sean ciertas y exhibancontraejemplos de las que resulten falsas.

Hemos tratado con el concepto de proposicion. Dada una pro-posicion (una afirmacion), sucede que es verdadera o falsa, unade dos, no puede haber indefinicion —ası como con un conjunto,dado un objeto sucede que pertenece al conjunto o no pertenece.

Un tipo de proposiciones son abiertas, se trata de afirmaciones cuyo valor deverdad, es decir, que la proposicion sea verdadera, o que sea falsa, depende delobjeto acerca del cual se realice la afirmacion. Como el valor de verdad de laproposicion depende de a quien se refiera la proposicion, la denotaremos conp(x), que se lee “p de x”.

EJEMPLO 23. Sea la proposicion abierta

p(x): x tiene frontera con Peru,

donde x es un elemento de A, el conjunto de paıses del continente americano.Depende del valor de x el valor de verdad que tenga p, por ejemplo, si x =Ecuador, entonces la proposicion p es verdadera mientras que si x = Paraguay,la proposicion p es falsa. Escrito de otra manera, p(Ecuador) es una proposicionverdadera, mientras que p(Paraguay) es una proposicion falsa. Podemos definirel conjunto E como el conjunto de los paıses x para los cuales la proposicionp(x) es verdadera,

E = x | es verdad que x tiene frontera con Peru ,

o bien,

E = x | p(x) es verdadera .

Generalizando lo expuesto en el ejemplo anterior, sea Ω un conjunto universoy p(x) una proposicion abierta acerca de los objetos de Ω.

DEFINICION 1.7. El conjunto A de objetos de Ω para los cuales p(x) es unaproposicion verdadera se llama el conjunto de verdad de p y se describe como

A = x ∈ Ω | p(x) es verdadera ,

A = x ∈ Ω | p(x) ,o, simplemente,

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que se lee “A es el conjunto de las x en Ω tales que p de x”.

AFIRMACION 1.6. Si A = x ∈ Ω | p(x) es el conjunto de verdad de p, entoncesel conjunto de verdad de ¬p es Ac.

DEMOSTRACION. SeaB = x ∈ Ω | ¬p(x)

el conjunto de verdad de ¬p. Queremos demostrar que B = Ac para lo cualdebemos mostrar que se cumple la doble contencion B ⊆ Ac y Ac ⊆ B. Para verque se cumple la primera contencion tenemos que hacer ver que cada elementode B es un elemento de Ac. Si x ∈ B entonces ¬p(x) es verdadera, pero, segunvimos en su tabla de verdad, ¬p(x) es verdadera cuando p(x) es falsa, lo cualimplica que x no esta en el conjunto de verdad de p, por lo tanto, esta en sucomplemento, es decir x ∈ Ac. Hemos visto que x ∈ B ⇒ x ∈ Ac, luego B ⊆ Ac.Podemos regresar por los mismos pasos y mostrar que Ac ⊆ B, concluyendo lademostracion de que B = Ac.

Dadas dos proposiciones p y q es posible construir otras nuevas por mediode las operaciones de conjuncion y disyuncion. La conjuncion de p y q esverdadera si el valor de verdad de ambas, p y q, es verdadero. Para que ladisyuncion de p y q sea verdadera basta que alguna de las dos sea verdadera.

DEFINICION 1.8. Sean p y q dos proposiciones, la conjuncion de p y q, que seescribe p ∧ q (se lee “p y q”), es verdadera si p es verdadera y q es verdadera,la tabla de verdad de p ∧ q es:

p q p ∧ q

V V VV F FF V FF F F

EJEMPLO 24. Veamos las proposiciones siguientes:

p: Todos los hombres son mortales,

q: Socrates es hombre.

La proposicion p ∧ q es:

Todos los hombres son mortales y Socrates es hombre.

Segun el estado actual de las cosas, sabemos que si es verdad que todos loshombres son mortales, luego el valor de p es V, y tambien sabemos que Socrates,el filosofo, es un ser humano, es decir el valor de q es V. Luego la proposicionp∧q es verdadera. ¿ Que desprendemos de aquı? Nada, simplemente verificamosla veracidad de una conjuncion de proposiciones.

EJEMPLO 25. Consideremos las siguientes afirmaciones:

p: 7 es par,

q: Santiago es la capital de Chile.

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La conjuncion de las proposiciones p y q, a saber,

7 es par y Santiago es la capital de Chile,

es falsa pues p es falsa (el 7 no es un numero par). No importa que q seaverdadera (sabemos que es verdad que Santiago es la capital de Chile). Paraque la conjuncion de dos proposiciones sea verdadera es necesario que las dosproposiciones sean verdaderas.

EJEMPLO 26. Averiguemos el valor de la conjuncion de p ∧ q en el caso de lasproposiciones:

p: Soy millonario,

q: Nadie me quiere.

¡Uf! Las proposiciones parecen demasiado subjetivas como para someterlas aanalisis, pero veamos las cosas con calma. Para que la conjuncion de p y q, quese denota con p∧ q, sea verdadera es necesario que tanto p como q lo sean. Eneste caso la conjuncion de p y q se lee:

Soy millonario y nadie me quiere.

Como podran imaginar, la veracidad de la conjuncion depende de quien realicela afirmacion. El ejemplo consiste en que cada lector se coloque como el emisor delas proposiciones p y q. Les pregunto, de manera individual: ¿Eres millonario?si me respondes que no lo eres, tendremos que p es falsa. Ahora es el turno deq: ¿Nadie te quiere? Si hay alguna persona que te quiera entonces q es falsa y,por lo tanto, la conjuncion p ∧ q es falsa.

Recuerden,

para que la conjuncion de dos proposiciones sea verdadera es

necesario que las dos lo sean.

DEFINICION 1.9. Sean p y q dos proposiciones, la disyuncion de p y q, que seescribe p∨ q (se lee “p o q”), es verdadera si p es verdadera o q es verdadera, oambas lo son, la tabla de verdad de p ∨ q es:

p q p ∨ q

V V VV F VF V VF F F

Es decir, p ∨ q es verdadera si p y/o q es verdadera.

EJEMPLO 27. Consideremos las mismas afirmaciones del ejemplo 25:

p: 7 es par,

q: Santiago es la capital de Chile.

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La disyuncion de las proposiciones p y q, a saber,

p ∨ q: 7 es par o Santiago es la capital de Chile,

es verdadera pues aunque p es falsa (el 7 no es par) sucede que q si es verdaderapues sabemos que es verdad que Santiago es la capital de Chile.

EJEMPLO 28. Sean las proposiciones p y q las siguientes:

p: 6 es par,

q: 6 es multiplo de 3.

La disyuncion p∨ q es verdadera —para que sea verdadera basta que una de lasproposiciones lo sea— pues sucede que, en este caso, las dos proposiciones sonverdaderas.

Para que sea verdadera la disyuncion p∨q de dos proposiciones

basta que una de las dos, sea p o sea q, sea verdadera.

La disyuncion logica descrita choca con el uso cotidiano de la frase “p oq”, empleada para expresar la eleccion entre dos alternativas, consideradas ex-cluyentes: “¿subes o bajas?”. Para expresar esa disyuncion excluyente —endonde se pide que, una de dos, p sea verdadera o que q sea verdadera, peroque no ambas lo sean (el termino excluyente se usa en el sentido de que laveracidad de una proposicion excluye la veracidad de la otra)—, se pueden usarlas operaciones de conjuncion y disyuncion definidas anteriormente, junto con lanegacion.

DEFINICION 1.10. Sean p y q dos proposiciones, la disyuncion excluyente dep y q, que se denota con p⊻q y se lee “una de dos, p o q”, es verdadera cuandop es verdadera o q es verdadera, y , ademas, es falso que p y q. Es decir,

p ⊻ q tiene el mismo valor de verdad que (p ∨ q) ∧(

¬(p ∧ q))

.

Podemos construir la tabla de verdad de la disyuncion excluyente en basea las operaciones basicas de negacion, conjuncion y disyuncion, procedamospor partes:

p q p ∨ q p ∧ q ¬(p ∧ q)

V V V V FV F V F VF V V F VF F F F V

De lo anterior obtenemos que

p q p ∨ q ¬(p ∧ q) (p ∨ q) ∧

(

¬(p ∧ q))

V V V F FV F V V VF V V V VF F F V F

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Es decir, la tabla de verdad de la disyuncion excluyente es:

p q p ⊻ q

V V FV F VF V VF F F

Si p y q fueran proposiciones abiertas y pensamos que A es el conjunto deverdad de p y B es el conjunto de verdad de q, el conjunto de verdad de p ⊻ q es

(A ∪ B) ∩ (A ∩ B)c.

DEFINICION 1.11. La diferencia simetrica de A y B, se denota con A Bque se lee “A diferencia simetrica B”, y se define como:

A B = (A ∪ B) ∩ (A ∩ B)c.

El conjunto A B representa a los puntos que estan en A o estan en B perono estan en ambos.

W

A

B

FIGURA 1.5 Los puntos que estan en A o en B pero no en ambos.

EJEMPLO 29. Si p y q son las siguientes proposiciones,

p: 20 es multiplo de 5,

q: 20 es par,

enunciar las proposiciones ¬p, p ∧ q, p ∨ q, p ⊻ q y dar su valor de verdad.

SOLUCION. Tenemos que p es verdadera pues, en efecto, el numero 20 es multiplode 5 porque 20 = 5 × 4. Asimismo q es verdadera pues 20 = 2 × 10. Entonces

¬p: 20 no es multiplo de 5, es falsa.

p ∧ q: 20 es multiplo de 5 y es par, es verdadera.

p ∨ q: 20 es multiplo de 5 o es par, es verdadera.

p ⊻ q: 20 es, una de dos, multiplo de 5 o es par, es falsa.

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t

Junto con un grupo de amigas y amigos escriban una lista de afirma-ciones. Analicen las afirmaciones, digan cuales son proposiciones yden su valor de verdad. Enuncien y den el valor de verdad de la nega-cion de cada proposicion. Construyan nuevas proposiciones por mediode las operaciones de conjuncion, disyuncion y disyuncion excluyente,digan el valor de verdad de cada una.

EJEMPLO 30. Sea Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 un conjunto universo y las proposi-ciones abiertas

p(x): x es par,

q(x): x es multiplo de 3.

Halla los conjuntos de verdad de ¬p, ¬q, p ∧ q, p ∨ q y p ⊻ q.

SOLUCION. Los conjuntos de verdad de p y q son

A = x ∈ Ω | p(x)

= x ∈ Ω | x es par

= 2, 4, 6, 8,

y

B = x ∈ Ω | q(x)

= x ∈ Ω | x es multiplo de 3

= 3, 6, 9.

El conjunto de verdad de ¬p es Ac = 1, 3, 5, 7, 9 y el de ¬q es Bc = 1, 2, 4,5, 7, 8, tenemos, ademas, que el conjunto de verdad de p ∧ q —los pares de Ωque son multiplos de 3— es

A ∩ B = 6,

el conjunto de verdad de p ∨ q es

A ∪ B = 2, 3, 4, 6, 8, 9,

y el conjunto de verdad de p ⊻ q —una de dos, es par o es multiplo de 3— es

A B = (A ∪ B) ∩ (A ∩ B)c

= 2, 3, 4, 6, 8, 9 ∩ 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9

= 2, 3, 4, 8, 9.

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PROBLEMAS 1.5

1. Di cuales de las siguientes expresiones constituyen proposiciones, da su valorde verdad y enuncia su negacion.

p: Ayer llovio,

q: Las aventuras de Sherlock Holmes,

r: 7 es mayor que 15,

s: Los paıses de America,

t: Los caballos jadean,

u: 3 × 2 = 6,

v: ‘Perenifolia’ significa siempre con follaje,

w: Ni tu ni yo.

2. Enuncia la negacion de las siguientes afirmaciones y di cual es verdadera.

a. Todos los gatos son pardos,

b. Nadie es profeta en su tierra,

c. Algunas aves emigran,

d. Algunas serpientes no son venenosas,

e. Ninguna maquina funciona,

f. Hay ejercicios anaerobicos,

g. Todas las flores tienen pistilo,

h. Algun planeta no tiene agua.

3. Dadas las conjeturas siguientes, explica como demostrar que es cierta, o comose probarıa que es falsa.

a. Todos asistiran a la Cumbre,

b. Ningun huracan tocara tierra,

c. Algun rıo se desbordara,

d. Algunos paıses no firmaran el acuerdo,

4. Si Ω es el conjunto universo formado por las palabras en espanol, halla elconjunto de verdad de las siguientes proposiciones abiertas,

p(x): x es dıa de la semana,

q(y): y es el nombre de un dıgito,

r(z): z contiene todas las vocales,

s(w): w es un personaje de ‘100 Anos de Soledad’.

5. Completa la demostracion de la afirmacion 1.6.

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1.6 Como razonar 43

6. Enuncia las proposiciones ¬p, p ∧ q, p ∨ q, p ⊻ q y da su valor de verdad.

a. p: El helio es un gas inerte, b. p: El hielo es agua solida,

q: Madrid es la capital de Espana. q: Las ostras son mamıferos.

c. p: Alhaja proviene del arabe, d. p: Acabo la pobreza,

q: 9 es par. q: El aro es cuadrado.

7. Construye la tabla de verdad de ¬(¬p), ¬p ∨ q y (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p).

8. Sea el conjunto universo

Ω = lunes, martes, miercoles, jueves, viernes, sabado, domingo

y las proposiciones abiertas

p(x): x comienza con m,

q(x): x tiene tres vocales distintas,

r(x): x tiene una a,

s(x): x comienza con e.

Halla los conjuntos de verdad de ¬p, ¬r, p ∧ r, q ∨ s y p ⊻ q.

6. COMO RAZONAR

A las operaciones de disyuncion y conjuncion de la seccion anterior se les llamaconectivos logicos. Los podemos combinar, junto con la negacion, y obtenerlos importantes conectivos de implicacion y bicondicionalidad.

DEFINICION 1.12. Sean p y q dos proposiciones, la implicacion “si p entoncesq”, que se escribe p → q y tambien se lee p implica q, tiene el mismo valor deverdad que ¬p ∨ q.

Que la proposicion p → q tenga el mismo valor de verdad que ¬p∨ q significaque la tabla de verdad de ambas proposiciones es identica.

Como la tabla de verdad de ¬p ∨ q es:

p q ¬p ¬p ∨ q

V V F VV F F FF V V VF F V V

la tabla de verdad de la implicacion es

p q p → q

V V VV F FF V VF F V

Es muy importante notar que para que la implicacion sea verdadera no esnecesario que haya una relacion de causa-efecto entre las proposiciones.

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EJEMPLO 31. Sean p y q las proposiciones

p: Ecuador tiene frontera con Peru,

q: El 8 es par.

La implicacion p → q, que se enuncia “si Ecuador tiene frontera con Peru,entonces el 8 es par”, es verdadera pues segun la tabla anterior, como p esverdadera y q es verdadera sucede que la implicacion es verdadera.

A la proposicion p en la implicacion p → q se le llama la hipotesis de laimplicacion, y a la proposicion q se le llama la conclusion. Segun se nota en latabla de verdad de p → q,

la implicacion solo es falsa cuando la hipotesis p es verdadera

y la conclusion q es falsa.

Esto significa que no admitiremos como implicacion verdadera que, de una hipo-tesis verdadera se siga una conclusion falsa. Sin embargo,

es una implicacion verdadera que una hipotesis falsa implique

una conclusion falsa,

y tambien

es una implicacion verdadera que una hipotesis falsa implique

una conclusion verdadera.

Ilustremos con un ejemplo el significado de las afirmaciones anteriores y veamosque no van tan en contra de nuestro sentido comun.

EJEMPLO 32. Consideremos la proposicion “si llueve entonces voy al cine”. Clara-mente es la implicacion p → q de

p: Llueve,

q: Voy al cine.

La implicacion puede ser verdadera o falsa. Veamos por casos:

CASO 1. Resulta que si llovio y, en efecto, fui al cine. Hice lo que dije, sin dudala implicacion es verdadera.

CASO 2. Si llovio y decidı no ir al cine. No cumplı con lo pactado, la implicaciones falsa.

CASO 3. No llovio y, aun ası, decidı ir al cine. ¿Deje de cumplir lo pactado? No,no deje de cumplir (de hecho no llovio), luego la implicacion es verdadera.

CASO 4. No llovio y no fui al cine. ¿Alguien puede acusarme de no cumplir mipromesa? No, luego la implicacion es verdadera.

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1.6 Como razonar 45

Hemos verificado, en este ejemplo, que la implicacion es falsa solo cuando lahipotesis es verdadera y la conclusion es falsa.

En la implicacion p → q, a la proposicion p se le llama una condicion suficientepara q. Tambien se dice que q es una condicion necesaria para p.

Podemos interpretar lo anterior de la siguiente manera, si la implicacion p → qes verdadera,

SUFICIENCIA: Para que q sea verdadera basta que p sea ver-dadera.

NECESIDAD: Si p es verdadera, necesariamente q es verdadera.

EJEMPLO 33. Del ejemplo anterior, en los casos en que la implicacion es ver-dadera, la suficiencia significa que para que sea cierto que fui al cine basta quehaya llovido, y la misma implicacion verdadera expresada en terminos de necesi-dad es que si es cierto que llovio necesariamente fui al cine.

DEFINICION 1.13. Sean p y q dos proposiciones, la bicondicional “p si, y solosi, q”, que se escribe p ↔ q y tambien se lee p es condicion necesaria ysuficiente para q, tiene el mismo valor de verdad que (p → q) ∧ (q → p).

De la tabla de verdad de p → q y de q → p

p q p → q q → p

V V V VV F F VF V V FF F V V

obtenemos la tabla de verdad de p ↔ q

p q p ↔ q

V V VV F FF V FF F V

Vemos que la bicondicional p ↔ q es verdadera solo en los casos en que tanto pcomo q tienen, ambas, el mismo valor de verdad.

La expresion “si, y solo si,” se interpreta, en caso de que la bicondicionalsea verdadera, como que p ocurre si q ocurre, pero, ademas, que q ocurre solosi p ocurre. En terminos de suficiencia, para que se cumpla q basta que p seaverdadera y, de manera recıproca, para que p se cumpla basta que q sea ver-dadera. En terminos de necesidad, para que q se cumpla debe cumplirse p y, demanera recıproca, para que se cumpla p debe cumplirse q. Las consideracionesanteriores acerca de la bicondicional p ↔ q explican por que, en caso de que labicondicional sea verdadera, p es condicion necesaria y suficiente para q.

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EJEMPLO 34. Analicemos esta version ampliada del ejemplo 32, “si llueve escondicion necesaria y suficiente para que vaya al cine”. O, dicho de otra mane-ra, con el mismo significado, “llueve si, y solo si, voy al cine”. Se trata de labicondicional de las proposiciones

p: Llueve,

q: Voy al cine.

Nuevamente, veamos por casos:

CASO 1. Resulta que si llovio y, en efecto, fuı al cine. Hice lo que dije, sin dudala bicondicional es verdadera.

CASO 2. Si llovio y decidı no ir al cine. No cumplı con lo pactado, la bicondicionales falsa.

CASO 3. No llovio y, aun ası, decidı ir al cine. No cumplı lo pactado. Dije queirıa solo si lloviera, luego la bicondicional es falsa.

CASO 4. No llovio y no fui al cine. No falte a lo pactado (no hubo condiciones),luego la bicondicional es verdadera.

Hemos verificado, en este ejemplo, que la bicondicional es verdadera solocuando las dos proposiciones tienen el mismo valor de verdad (ambas son ver-daderas o ambas son falsas). Y hemos ilustrado como la bicondicional p ↔ q,cuando es verdadera, obliga a que si se cumple p tambien se cumple q y, vice-versa, si se cumple q debe cumplirse p.

Disponemos ahora de los conectivos logicos, a saber, conjuncion, disyuncion,disyuncion excluyente, implicacion y bicondicional, ademas de la negacion, conlos cuales podemos construir nuevas proposiciones cuyo valor de verdad dependede los valores de verdad de las proposiciones constituyentes y se obtienen de latabla de verdad de los conectivos.

EJEMPLO 35. A partir de las afirmaciones

p: Voy a la playa,

q: Hace calor,

r: Llueve,

construimos nuevas proposiciones y las enunciamos.

(q ∧ ¬r) → p: Si hace calor y no llueve, voy a la playa.

q → (¬r → p): Si hace calor entonces, si no llueve voy a la playa.

p ↔ q: Voy a la playa si, y solo si, hace calor.

(r ∧ ¬q) → ¬p: Llueve y no hace calor, entonces no voy a la playa.

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1.6 Como razonar 47

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Quienes no vivan cerca de la playa podran construir afirmaciones si-milares y adecuadas a sus condiciones climaticas y de posibilidades dediversion.

Un tipo de proposicion que nos interesa de manera particular, es la que siem-pre es verdadera, independientemente de los valores de verdad de sus proposi-ciones constituyentes, quiza el ejemplo mas sencillo sea p ∨ ¬p.

Otro tipo de proposicion que nos interesa es la que siempre es falsa, inde-pendientemente de los valores de verdad de sus proposiciones constituyentes, elejemplo mas sencillo es p ∧ ¬p.

p ¬p p ∨ ¬p p ∧ ¬p

V F V FF V V F

DEFINICION 1.14. Una tautologıa es una proposicion que siempre es verdadera,una contradiccion es una proposicion que siempre es falsa, independientementede los valores de verdad de sus proposiciones constituyentes. Cualquier tautologıase denota con V0 y cualquier contradiccion se denota con F0.

EJEMPLO 36. Demostrar que p → (p ∨ q) es una tautologıa.

SOLUCION. Construimos la tabla de verdad de p → (p ∨ q)

p q p ∨ q p → (p ∨ q)

V V V VV F V VF V V VF F F V

y vemos que la proposicion p → (p ∨ q) siempre es verdadera, independiente-mente de los valores de las proposiciones constituyentes, luego se trata de unatautologıa.

EJEMPLO 37. Demostrar que (p ∧ ¬q) ∧ q es una contradiccion.

SOLUCION. Construimos la tabla de verdad de (p ∧ ¬q) ∧ q

p q p ∧ ¬q (p ∧ ¬q) ∧ q

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vemos que la proposicion (p∧¬q)∧q siempre es falsa, independientemente de losvalores de sus proposiciones constituyentes, luego se trata de una contradiccion.

La leccion es que

para saber si una proposicion es tautogıa debemos corroborarque siempre sea verdadera, independientemente de los valoresde sus proposiciones constituyentes.

EJEMPLO 38. Si p y q son proposiciones, demostrar que ¬(p ∨ ¬q) → ¬p es unatautologıa.

SOLUCION. Hagamoslo en varios pasos, en una primera tabla colocaremos losvalores de p, q, ¬p, ¬q y p ∨ ¬q,

p q ¬p ¬q p ∨ ¬q

V V F F VV F F V VF V V F FF F V V V

A continuacion construyamos la tabla para p, q, ¬(p ∨ ¬q), ¬p y, finalmente,¬(p ∨ ¬q) → ¬p.

p q ¬(p ∨ ¬q) ¬p ¬(p ∨ ¬q) → ¬p

V V F F VV F F F VF V V V VF F F V V

DEFINICION 1.15. Si p y q son proposiciones tales que p → q es una tautologıa,decimos que p implica logicamente a q y lo escribimos p ⇒ q

DEFINICION 1.16. Si p y q son proposiciones tales que p ↔ q es una tautologıa,decimos que p es logicamente equivalente a q y lo escribimos p ⇔ q

Quiza convenga que la parte siguiente que serıa leyes de la logica, reglas deinferencia y cuantificadores, fueran en un anexo (siento que este capıtulo se estaalargando demasiado, reconsiderar esto despues). El anexo incluirıa desde laseccion ‘Como razonar’. La seccion llamada ‘Algo de logica’ se llamarıa proposi-ciones. Pensar bien esto, rehacerlo al final.

OJOJOJOJ: Ya esta bien, hay que concluir y pasar a la NOTA HISTORICA delcapıtulo.

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(pagina 51)

CAPITULO 2PUNTOS EN LA RECTA REAL

1. NUMEROS NATURALES

Tradicionalmente se consideran numeros naturales a los que usamos para contar:uno, dos, tres, cuatro, . . . . Algunos autores incluyen al cero, cosa que no hare-mos. Denotamos con N al conjunto de los numeros naturales,

N = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , n − 1, n, n + 1, . . ..Los negativos no son numeros naturales, ni las fracciones, ni los decimales sonnumeros naturales.

EJEMPLO 1. 5831 ∈ N, −7 /∈ N, π /∈ N, 264 − 1 ∈ N, 0 /∈ N, 35 /∈ N,

√2 /∈ N.

Pensemos los numeros naturales como fila de personas: hay quien comienzala fila, le llamamos el 1, a quien le sigue le llamamos el 2. No hay personas entre1 y 2. Despues del 2 hay quien le sigue, le llamamos el 3, y ası sucesivamente.Vemos que cualquier persona en la fila tiene un lugar, digamos el lugar n: ellugar que le antecede es el n − 1 y el lugar que le sigue es el n + 1, no hay

personas colocadas entre dos sucesivas, es decir, no hay numeros naturales entreel n y el n + 1. Si consideramos varias personas de la fila siempre habra quieneste situado mas adelante.

EJEMPLO 2. Si n ∈ N, el conjunto

A = 2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . .de los numeros pares es un subconjunto propio de los numeros naturales, escri-bimos A ⊂ N.

EJEMPLO 3. Si n ∈ N, el conjunto

B = 1, 3, 5, 7, . . . , 2n − 1, . . .de los numeros impares es otro subconjunto propio de los numeros naturales.

De los ejemplos anteriores vemos que dado un numero natural, una de dos,esta en A o esta en B, es decir, si m ∈ N, una de dos, m es par o es impar. Losnumeros pares son de la forma 2n, con n ∈ N, son multiplos de 2. Los imparesson de la forma 2n − 1, con n ∈ N, no son multiplos de 2.

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52 Capıtulo 2 Puntos en la recta real

AFIRMACION 2.1. Si p2 es par entonces p es par.

DEMOSTRACION. Supongamos que p no es par, entonces es de la forma 2n − 1para algun n ∈ N. Por lo tanto, p2 = (2n − 1)2 = 4n2 − 4n + 1, que es impar.Es decir, si tengo que p2 es par y supongo que p es impar, llego a la conclusionde que p2 es impar, lo cual constituye una contradiccion. Luego la hipotesis deque p es impar es insostenible, luego p necesariamente es par.

DEFINICION 2.1. Dado un numero natural n, el numero natural siguiente es n+1,

llamado su sucesor.

Todo numero natural tiene sucesor y decimos que cada natural n es menor

que su sucesor n + 1 lo cual escribimos n < n + 1.

DEFINICION 2.2. La relacion de orden introducida por el concepto de sucesor es

transitiva, es decir si m, n y p ∈ N, tenemos que

si m < n y n < p, entonces m < p,

lo cual se lee: “si m, n y p son numeros naturales y si m es menor que n y n es

menor que p, entonces m es menor que p”.

Hay dos propiedades de N que son equivalentes:

DEFINICION 2.3. (PRINCIPIO DEL BUEN ORDEN) Cualquier subconjunto no vacıo

de N tiene un elemento mınimo.

EJEMPLO 4. El conjunto C de los multiplos de 7 es un subconjunto no vacıo deN, pues 28 ∈ C , y 7 es el menor elemento de C . Noten que C ¡no tiene elementomaximo!, pues si c ∈ C , tenemos c < 7c ∈ C . Es decir, dado cualquier elementode C podemos hallar otro elemento de C , a saber 7c, mayor que el dado.

EJEMPLO 5. Sea D el conjunto de naturales cuyo cuadrado es mayor que 2. Hallael elemento menor de D.

SOLUCION. El 1 no puede ser el menor pues 12 = 1 no es mayor que 2. Pero22 = 4 es mayor que 2. Como entre 1 y 2 no hay otro natural, resulta que el 2es el mınimo de D.

DEFINICION 2.4. (PRINCIPIO DE INDUCCION FINITA) Si una afirmacion acerca de

un numero se cumple para el 1 y si sucediendo que se cumple para el natural kse cumple para el sucesor k + 1, entonces la afirmacion se cumple para todos los

numeros naturales.

El siguiente ejemplo tiene su anecdota, en una ocasion estando en la escuelael despues llamado prıncipe de las matematicas, CARL FRIEDRICH GAUSS, a laedad de 9 anos, el maestro pregunto a los alumnos la suma de los 100 primerosnumeros con afan de mantenerlos ocupados. La sorpresa fue que el nino GAUSS,no bien hubo enunciado el maestro el problema dio la solucion: 5,050.

¿Como hizo para sumar casi de inmediato 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + · · · +98 + 99 + 100? En lugar de sumar 1 + 2 = 3, 3 + 4 = 7, 7 + 5 = 12 y seguir ası,

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2.1 Numeros Naturales 53

GAUSS se percato que tomados por parejas los sumandos, comenzando por losextremos, es decir 1 y 100, despues 2 y 99, despues 3 y 98, y ası, hasta 50 y 51,la suma de cada pareja es 101. ¿Cuantas parejas hay? Como hay 100 sumandos,hay 50 parejas. Cada pareja suma 101 luego el total es 50 × 101 = 5, 050.

Actividad

Digan, y expliquen como lo obtuvieron, cual es el resultado de sumarlos primeros 17 numeros naturales.

La anecdota anterior viene al caso porque hay una formula para hallar lasuma de los primeros n naturales, cuya validez se demuestra usando el principio

de induccion finita —tambien llamado principio de induccion matematica.

AFIRMACION 2.2. Para todo numero natural n se cumple que

1 + 2 + 3 + · · · + n =n(n + 1)

2.

DEMOSTRACION. Tenemos una afirmacion acerca de todos los numeros natu-rales: si n es un numero natural, la suma de los primeros n naturales es el

numeron(n + 1)

2. Para verificar que dicha afirmacion cumple con las premisas

del principio de induccion matematica debemos verificar que:

(i) La afirmacion se cumple para el numero natural n = 1.Veamos, la suma del primer sumando es, evidentemente, 1. Por otro lado, apli-

cando la formula para n = 1, la suma es1(1 + 1)

2=

1 × 2

2=

2

2= 1. Es decir, la

formula da el resultado correcto para n = 1, luego se verifica el primer punto: laafirmacion se cumple para el numero natural n = 1.

(ii) Suponiendo que la afirmacion se cumple para el numero natural n = k, secumple la afirmacion para el natural k + 1.

Suponer que se cumple la formula para k significa suponer que

1 + 2 + 3 + · · · + k =k(k + 1)

2, (1)

a partir de lo cual verificaremos la validez de la formula para k + 1 que es lasuma de los primeros k + 1 naturales:

1 + 2 + 3 + · · · + k + (k + 1).

De la formula (1) sabemos que los primeros k terminos sumank(k + 1)

2, ası, a

la fraccion anterior anadimos k + 1 para hallar la suma de los k + 1 terminos:

1 + 2 + 3 + · · · + k + (k + 1) =(1 + 2 + 3 + · · · + k

)+ (k + 1)

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=k(k + 1)

2+ (k + 1)

=k(k + 1) + 2(k + 1)

2=

(k + 1)(k + 2)

2.

Es decir,

1 + 2 + 3 + · · · + (k + 1) =(k + 1)

((k + 1) + 1

)

2.

Luego al suponer que la formula se cumple para n = k obtenemos que se cumplepara n = k + 1.

Hemos verificado que se cumplen las premisas del principio de induccionmatematica para el caso de la afirmacion que nos ocupa, por lo tanto, dichaafirmacion se cumple para todos los numeros naturales. Es decir: para todonumero natural n sucede que

1 + 2 + 3 + · · · + n =n(n + 1)

2.

El ejemplo anterior ilustra una tecnica de demostracion llamada demostracion

por induccion finita, demostracion por induccion matematica o, simplemente,demostracion por induccion.

Actividad

Formen una fila de fichas de domino, una ficha a continuacion de otra,de manera que al derribar la primera derribe a la segunda y esta, asu vez, derribe a la que le sucede y ası hasta derribar toda la fila.

DEFINICION 2.5. Sea n un numero natural, al conjunto de los primeros n natu-

rales le llamamos el segmento Sn, es decir,

Sn = 1, 2, 3, . . . , n.El segmento Sn tiene n elementos. Decimos que un conjunto A es finito y tiene

n elementos si es posible establecer una correspondencia biunıvoca entre

A y Sn, lo escribimos |A| = n, que leemos: la cardinalidad de A es n.

EJEMPLO 6. El conjunto B de las letras de la palabra ‘murcielago’ tiene 10 ele-mentos pues hay una correspondencia biunıvoca, a saber,

m u r c i e l a g ol l l l l l l l l l1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

entre B = m,u, r, c, i, e, l, a, g, o y S10, luego |B| = 10 .

Claramente no hay segmento Sn que pueda ponerse en correspondencia biunı-voca con todo N, luego N no es un conjunto finito, decimos que tiene un numeroinfinito de elementos, que es un conjunto infinito y que su cardinalidad es ℵ0,que se lee “alef cero” (alef es la primera letra del alfabeto hebreo), |N| = ℵ0.

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DEFINICION 2.6. Si un conjunto infinito A se puede poner en correspondencia

biunıvoca con N, decimos que A tiene cardinalidad ℵ0 y lo escribimos |A| = ℵ0.

Segun mencionamos en la seccion 0.6, hay varios tipos de conjuntos infini-tos. El conjunto de los numeros naturales es un representante de la cardinalidadℵ0. A los conjuntos que puedan ponerse en correspondencia biunıvoca con losnaturales, es decir que tengan cardinalidad ℵ0, se les llama conjuntos nume-rables o enumerables, en referencia al hecho de que podemos formar en filaa sus elementos y comenzar a llamarlos o enumerarlos con los numeros natu-rales: uno (senalando al primero), dos (senalando al que sigue), tres, . . . , y asısucesivamente.

Una peculiaridad de los conjuntos infinitos es que pueden ponerse en corres-pondencia biunıvoca con subconjuntos propios.

AFIRMACION 2.3. Hay el mismo numero de pares que de naturales.

DEMOSTRACION. Lo que afirma el enunciado es que existe una correspondenciabiunıvoca entre el conjunto A = 2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . de los numeros paresy el conjunto N de los numeros naturales. Para demostrarlo hay que exhibirla correspondencia biunıvoca, es decir, a cada numero par asociar un numeronatural y a cada numero natural asociar un numero par,

2 4 6 8 . . . 2n . . .l l l l l1 2 3 4 . . . n . . .

Vemos que, en efecto, es posible establecer dicha correspondencia biunıvoca, porlo tanto, podemos afirmar que hay el mismo numero de pares que de naturales,es decir, que

|N| = |A| = ℵ0.

Observamos, ademas, que hemos colocado en correspondencia biunıvoca al con-junto de los naturales con un subconjunto propio, mostrando una parte delmismo tamano que el todo, lo cual nos lleva a pensar que la famosa frase quedice ‘el todo es mayor que cada una de sus partes’ es valida solo en el caso deconjuntos finitos.

Actividad

Describan varios subconjuntos de los numeros naturales, digan cualesson finitos y cuales infinitos. Digan cuantos elementos tienen los con-juntos finitos y exhiban una correspondencia biunıvoca con algun sub-conjunto propio de cada conjunto infinito.

Ahora que estamos familiarizados con los numeros naturales, veamos comorepresentarlos en una recta. Para ello tracemos una recta horizontal pensandolacomo dirigida de izquierda a derecha, lo que indicamos con una flecha:

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FIGURA 2.1 Recta dirigida.

A continuacion ubiquemos un punto al cual llamaremos origen:

O

FIGURA 2.2 Un punto arbitrario O es el origen (sospechamos que despues sera el 0).

Despues de senalar un origen en la recta dirigida, con un compas, con centroen O y radio U , que seleccionamos de manera arbitraria pero mantenemos fijode ahora en adelante, trazamos un arco marcando un segmento a la derecha deO sobre la recta, al punto de cruce del arco con la recta le asignamos el numeronatural 1.

1O

U

FIGURA 2.3 Al segmento U lo llamamos unidad, ubicamos el natural 1.

Esta construccion geometrica es la base la construccion de la recta real:consiste de una recta dirigida, un punto llamado origen (el cero), un segmentoarbitrario considerado como unidad y el numero 1 colocado en el extremo dere-cho de dicho segmento. Con centro en 1 y radio U , localizamos el 2, con centroen 2 y radio U ubicamos el 3 y ası sucesivamente. Hemos identificado cadanumero natural con un punto en la recta real.

10 2 3 R

FIGURA 2.4 Los naturales en la recta real.

Hay, sin embargo, multitud de puntos de la recta real que no estan ocupadospor numeros naturales. Los numeros naturales estan colocados sobre la rectareal de manera que los separa un segmento unidad. Los naturales N son unconjunto discreto en la recta real. Con ello queremos expresar que dado unelemento hay un elemento sucesor, que existe el elemento que le sigue.

EJEMPLO 7. Los numeros pares forman un conjunto discreto en la recta real.

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SOLUCION. Dado un numero par, al ser multiplo de 2 tiene que ser de la forma2n donde n ∈ N, luego el numero 2n + 2 es el numero par que sigue al 2n.

EJEMPLO 8. Localiza los multiplos de 3 en la recta real.

SOLUCION. A partir de O medimos 3 unidades (con nuestro segmento U ). Elprimer natural que dista del origen en 3 unidades es el numero 3. Con centroen 3 y radio 3U , localizamos el 6, con centro en 6 y radio 3U localizamos el 9,y ası, el 12, 15, 18, continuando sucesivamente.

En el conjunto N de los numeros naturales tenemos definidas dos opera-ciones: suma y producto. Son operaciones cerradas, lo cual significa que lasuma de dos numeros naturales es un natural, y que el producto de dos numerosnaturales es un numero natural. Las operaciones cumplen con estas propiedades:

Suma Producto

Cerradura a, b ∈ N =⇒ a + b ∈ N a, b ∈ N =⇒ ab ∈ N

Conmutatividad a + b = b + a ab = ba

Asociatividad a + (b + c) = (a + b) + c a(bc) = (ab)c

Distributividad a(b + c) = ab + ac

Ademas, en los numeros naturales tenemos definido un orden: cada numeronatural es menor que su sucesor. La relacion de orden cumple con:

Orden

Tricotomıa Si a y b ∈ N, entonces a < b, a = b ob < a.

Transitividad Si a < b y b < c, entonces a < c.

Buen orden Si C ⊆ N y C 6= ∅, entonces existe algunelemento m ∈ C tal que m ≤ c para todoc ∈ C .

En resumen, en esta seccion hemos identificado a los numeros naturales conciertos puntos de la recta real.

PROBLEMAS 2.1

Para los conjuntos en los problemas del 1 al 4 contesta:

i) ¿Cuantos elementos tiene?

ii) ¿Esta bien ordenado?

iii) ¿Hay algun subconjunto propio del conjunto dado que sea infinito?,¿puedes exhibir una correspondencia biunıvoca entre el conjunto dadoy un subconjunto propio?

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1. El conjunto T de los multiplos de 3.

2. El conjunto P de los numeros primos menores que 100 (Los numeros primosson los naturales divisibles solo entre sı mismos y la unidad.)

3. Los naturales que al dividirlos entre 8 dejan residuo 3.

4. Las potencias de 2.

5. Demuestra, por induccion, que

1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2.

6. Ubica en la recta real los siguientes subconjuntos de los numeros naturales:

a. B = n ∈ N | 120 < 2n < 5000, b. H = n ∈ N | n = 16m, m ∈ N,c. C = n ∈ N | 500 < n3, d. F = 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34.

2. NUMEROS ENTEROS

Una descripcion breve y facil de los numeros enteros es pensar a los naturalesjunto con su reflejo en un espejo colocado en el origen O. En lugar del origen Ocolocamos el numero 0 (cero) y a la imagen en el espejo del natural n le llamamos−n. Denotamos con Z al conjunto de los numeros enteros,

Z = 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, . . . , n, −n, . . . .La representacion de los numeros enteros como puntos de la recta real la obte-nemos a partir de los naturales colocando el numero 0 en el origen y, con el mismoradio que hay de 0 a 1, con centro en 0 trazamos un arco del lado izquierdo del0 y le llamamos −1. De la misma manera hallamos el reflejo del natural n: concentro en 0 y radio la abertura de 0 a n trazamos un arco, a la interseccion delarco con el lado izquierdo de la recta real le llamamos −n.

-1-3 2 3 R0 1-2 n-n

FIGURA 2.5 El conjunto Z en la recta real.

A los numeros a la derecha del cero les llamamos los enteros positivos y alos de la izquierda les llamamos los enteros negativos. Como ven, el conjuntode los numeros naturales es un subconjunto propio del conjunto de los numerosenteros, N ⊂ Z, es el conjunto de los enteros positivos. Es util referirnos alconjunto de los enteros no negativos, que denotaremos con Z, formado porlos enteros positivos y el cero.

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2.2 Numeros enteros 59

Noten que Z, el conjunto de los numeros enteros es discreto, es decir, estaacomodado de manera sucesiva, dado un entero p existe su sucesor p + 1 y suantecesor p − 1, manteniendo la siguiente relacion de orden,

p − 1 < p < p + 1,

pero no esta bien ordenado pues es posible hallar subconjuntos de Z, no vacıos,que carecen de elemento mınimo.

EJEMPLO 9. Halla un subconjunto de Z que no tenga elemento mınimo.

SOLUCION. Es facil ver que el conjunto de los enteros negativos no tiene elementomınimo. Dado q, un entero negativo, debe ser de la forma −n donde n es unnumero natural (q es el reflejo de n). Sabemos que n < n + 1, es decir que, enla recta real, n + 1 esta a la derecha, de n y, por lo tanto, el reflejo de n + 1esta a la izquierda del reflejo de n. Esto significa que −(n + 1) < q. Luego dadocualquier entero negativo q tenemos que q − 1 esta a la izquierda de q.

Los enteros, en la recta real, estan formados en lınea, como los naturales,pero no hay quien comience la fila. Sin embargo podemos contarlos. Para veri-ficarlo debemos exhibir una correspondencia biunıvoca entre Z, el conjunto delos enteros y N, el conjunto de los naturales.

A primera vista parece cosa imposible que exista dicha correspondencia siendoque los enteros incluyen a los naturales y a otro conjunto tan grande como losnaturales, como son los enteros negativos. Pero ya nos vimos en situaciones pare-cidas, cuando establecimos una correspondencia biunıvoca entre los naturales ylos pares. La cuestion es como formar a los enteros, independientemente de suposicion en la recta real, para contarlos, hagamoslo ası:

0 1 −1 2 −2 3 −3 · · · n −n · · · .

Noten que estamos formando a los enteros de manera que podamos contarlos,no significa que esten en orden y que de esta formacion infiramos que hay unelemento mınimo. Ası, senalando al 0 decimos uno, senalando al 1 decimosdos, senalando al −1 decimos tres, y continuamos, dado un numero en la filaes natural o es un reflejo. En caso de ser un natural, digamos n, lo senalamos ydecimos 2n, en caso de ser un reflejo, digamos que sea −n, el reflejo del naturaln, lo senalamos y decimos 2n + 1, y seguimos ası contando a los enteros,

0 1 −1 2 −2 3 −3 · · · n −n · · ·l l l l l l l l l1 2 3 4 5 6 7 · · · 2n 2n + 1 · · · .

Claramente esta asociacion de enteros con naturales constituye una correspon-dencia biunıvoca entre los conjuntos Z y N pues a cada entero corresponde unnatural, segun acabamos de ver, y a cada natural corresponde un entero: dadoun natural n 6= 1 es par o impar. Al natural 1 lo asociamos con el entero 0. Si nes par es de la forma n = 2m, con m ∈ N, entonces al natural n le correspondeel entero m. Si n 6= 1 es impar es de la forma n = 2m + 1, m ∈ N, entonces

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al natural impar n le corresponde el entero −m. Por lo tanto, Z y N tienen lamisma cardinalidad, es decir, Z es numerable y

|Z| = ℵ0.

Hay dos operaciones definidas en los numeros enteros, la suma y el producto,que cumplen con las siguientes propiedades:

Suma Producto

Cerradura a, b ∈ Z =⇒ a + b ∈ Z a, b ∈ Z =⇒ ab ∈ Z

Conmutatividad a + b = b + a ab = ba

Asociatividad a + (b + c) = (a + b) + c a(bc) = (ab)c

Existen Neutros a + 0 = 0 + a = a a1 = 1a = a

Inverso Aditivo Si a ∈ Z, a + (−a) = 0

Distributividad a(b + c) = ab + ac

Si a ∈ Z, 2a = a + a, 3a = a + a + a, son multiplos de a, ası como a2 = a · ay a3 = a · a · a son potencias de a, tenemos, en general, que:

DEFINICION 2.7. Si n es un entero positivo y a es un entero, na es un multiplo

positivo de a, y an es la n-esima potencia de a. Ası,

na = a + a + · · · + a︸︷︷︸

n veces

,

y

an = a · a · · · a︸︷︷︸

n veces

.

En realidad la definicion anterior es mas bien intuitiva, nos permite argumen-

tar, por ejemplo, que ma + na = (m + n)a, para a ∈ Z y m, n ∈ N , se hacevisualmente:

ma + na =

m veces︷︸︸︷

a + · · · + a +

n veces︷︸︸︷

a + · · · + a︸︷︷︸

m+n veces

= (m + n)a.

De manera analoga se tratan las propiedades de los exponentes:

am · an =

m veces︷︸︸︷a · · · a ·

n veces︷︸︸︷a · · · a

︸︷︷︸

m+n veces

= am+n.

En un buen curso de algebra superior trataran lo anterior con menos ligerezay definiran, por ejemplo,

DEFINICION 2.8. Si a ∈ Z y n ∈ N, definimos, de manera recursiva

a1 = a, an+1 = an · a.

Con la definicion anterior, usando el principio de induccion, podemos de-mostrar la siguiente

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2.2 Numeros enteros 61

AFIRMACION 2.4. Si a y b son enteros y m y n son naturales se cumplen las

siguientes propiedades de los exponentes:

1. aman = am+n,

2. (am)n = amn,

3. (ab)m = ambm.

DEMOSTRACION. Usemos el principio de induccion. Demostremos la propiedad(1) por induccion en n. En primer lugar verifiquemos que se cumple la formulapara n = 1.

Si n = 1 entonces aman = ama1 = ama, y am+n = am+1 def= ama.

Es decir cuando n = 1 ambos lados de la formula dan el resultado ama, luego lapropiedad (1) se cumple para n = 1.

Ahora debemos verificar que, suponiendo que se cumple para n = k, secumple para n = k +1. Suponer que se cumple para n = k significa suponer queamak = am+k . Veamos que sucede con n = k + 1,

amak+1 = am(aka) pues por definicion ak+1 = aka,

= (amak)a porque el producto es asociativo,

= am+ka por la hipotesis de induccion para n = k,

= a(m+k)+1 por definicion de potencia,

= am+(k+1) porque la suma es asociativa.

Hemos verificado que se cumple la propiedad para n = k +1 a partir de suponersu validez para n = k. Por lo tanto, hemos demostrado que la propiedad (1) secumple para cualquier numero natural n.

La demostracion de las otras propiedades las dejamos como ejercicio.

Como sucede con los numeros naturales tambien hay un orden definido en losnumeros enteros.

DEFINICION 2.9. Si a y b son dos numeros enteros, decimos que a es menor que

b, y lo escribimos a < b, si existe algun numero natural n tal que a + n = b.

Es decir, el entero a es menor que el entero b si a esta a la izquierda de b.

EJEMPLO 10. Demuestra que −5 < −3.

SOLUCION. Al sumar el natural 2 al −5 obtenemos −3,

−5 + 2 = 3.

Luego el entero −5 esta a la izquierda del entero −3.

El orden ası definido cumple:

Orden en Z

Tricotomıa Si a y b ∈ Z, entonces a < b, a = b ob < a.

Transitividad Si a < b y b < c, entonces a < c.

(c)L

óp

ez M

ateo

s E

dit

ore

s. (

c)M

anu

el L

óp

ez M

ateo

s.

Est

a ed

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s u

n b

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r, s

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ifu

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or

tiem

po

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reca

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co

men

tari

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Pro

hib

ida

su m

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n, c

op

ia o

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trib

uci

ón

. h

ttp

s:/

/ti

end

a.lo

pez

mat

eos.

com

.mx


Hemos ubicado a los numeros enteros en la recta real.

Actividad

Considera la ecuacion ax + b = c. Supon que a, b y c son numerosnaturales, es decir a, b, c ∈ N. Analiza si la ecuacion tiene solucion.Ahora para a, b, c ∈ Z ¿hay solucion de la ecuacion? En cada caso daejemplos, y exhibe contraejemplos que apoyen tus afirmaciones.

Hasta ahora hemos asignado puntos en la recta real a los numeros naturalesy a los enteros. Los vemos formados, con sus respectivos sucesores y antecesores,como un conjunto discreto. Notemos que dicha asignacion no agota los puntos dela recta. Quedan todavıa puntos —por ejemplo, los que estan entre dos enterossucesivos— sin que tengan un numero asignado. Pero no hemos terminado,continuemos despues de resolver algunos

PROBLEMAS 2.2

1. Exhibe un subconjunto infinito de Z, el conjunto de los numeros enteros, quecontenga positivos y negativos, que este bien ordenado.

2. Define recursivamente el concepto de multiplo de un entero.

3. Basado en la definicion del ejercicio anterior, demuestra, por induccion en n,que ma + na = (m + n)a.

4. Demuestra, por induccion en n, la propiedad (2) de la afirmacion 2.4.

5. Demuestra, por induccion en m, la propiedad (3) de la afirmacion 2.4.

3. NUMEROS RACIONALES

Llamamos numeros racionales a las fracciones de numeros enteros sin factorcomun y denominador distinto de cero.

Q =p

q

∣∣ p, q ∈ Z, q 6= 0, (p, q) = 1

En donde (p, q) = 1 significa que p y q no tienen factor comun, es decir, que sonprimos relativos, que ninguno es multiplo del otro.

Ası,2

3es un numero racional. Noten que todos los numeros enteros son

racionales, si a ∈ Z, a =a

1. Es decir

N ⊂ Z ⊂ Q.

EJEMPLO 11. ¿Es10

6un numero racional?

(c)L

óp

ez M

ateo

s E

dit

ore

s. (

c)M

anu

el L

óp

ez M

ateo

s.

Est

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.mx

2.3 Numeros Racionales 63

SOLUCION. Ası como esta escrito y segun nuestra definicion, como (10, 6) = 2

—es decir el 10 y el 6 tienen a 2 como factor comun— entonces10

6/∈ Q.

Pero veamos mas de cerca, si reducimos la fraccion10

6, dividiendo entre 2

el numerador y el denominador, es decir, si reducimos la fraccion a su mınima

expresion, tenemos que10

6=

5

3. Ahora bien (5, 3) = 1, es decir, son primos

relativos, por lo que5

3∈ Q. ¿Como es esto?

Sucede que vamos a considerar a los racionales como las frac-

ciones en su mınima expresion.

Sabemos ası que al referirnos a la fraccion6

3, para considerarla como numero

racional, debemos tratar con su mınima expresion6

3=

2

1= 2.

EJEMPLO 12. ¿Es−12

5un numero racional?

SOLUCION. En vista de que −12 y 5 son numeros enteros, 5 6= 0 y (−12, 5) = 1,

la respuesta es sı,−12

5∈ Q.

Bien, tenemos el conjunto de los numeros racionales, denotado por Q. Veamosahora como representar estos numeros en la recta real.

EJEMPLO 13. Localiza el numero racional5

3en la recta real.

SOLUCION. Trazamos la recta real, la cual consiste en una recta horizontal,orientada con una flecha hacia el lado derecho, con un punto O como el origeny un segmento arbitrario, pero fijo, como unidad. Vamos a dividir el segmentounidad, es decir el segmento de recta que va del 0 al 1, en 3 partes congruentes,o sea, de igual longitud.

Dividir un segmento de recta dado en un numero determinado de partescongruentes, constituye un problema de geometrıa, cuya solucion se basa en susaxiomas y en propiedades de triangulos semejantes:

Dividir el segmento OA en 3 partes congruentes.

O

A

FIGURA 2.6 El segmento OA.

(c)L

óp

ez M

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s E

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ore

s. (

c)M

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Est

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Para ello trazamos un recta cualquiera l que pase por O, pero que no contengaal segmento OA.

O

l

A

FIGURA 2.7 La recta l pasa por O, pero no contiene a OA.

Con un compas con abertura cualquiera, pero sin cambiarla, senalese, a partirde O y sobre la recta l, 3 veces esa longitud, marcando los puntos P , Q y R.

RQ

P

O

l

A

FIGURA 2.8 Tres segmentos de igual longitud sobre l.

A continuacion unase los puntos R y A por una recta y tracense paralelas a estarecta por los puntos P y Q obteniendo ası los puntos B y C , donde cortan lasparalelas al segmento OA.

RQ

PO

l

C

B

A

FIGURA 2.9 Unimos R y A, y trazamos paralelas por Q y P .

Los puntos B y C dividen al segmento OA en 3 partes congruentes.

Volvamos al ejemplo, por medio del procedimiento recien ilustrado dividimos

el segmento unidad en 3 partes congruentes ubicando, ası, el numero racional1

3.

(c)L

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10 R1/3

FIGURA 2.10 Dividimos el segmento unidad en 3 partes congruentes y ubicamos 1

3.

Ahora, usando un compas con abertura de 0 a1

3, con centro en

1

3ubicamos en

la recta real el punto2

3, despues, con centro en

2

3ubicamos

3

3= 1; de manera

sucesiva, ubicamos4

3y finalmente

5

3.

10 R1/3 2/3 4/3 5/3

FIGURA 2.11 El segmento de longitud 1

3nos permite ubicar 5

3.

El procedimiento realizado en el ejemplo anterior se puede aplicar para lo-calizar cualquier fraccion cuyo numerador y denominador sean enteros positivos,se denotan con Z+ —si el numerador es igual a 0, la fraccion es 0. Vamos en-tonces a representar en la recta real la parte positiva de los numeros racionales:las fracciones con denominador distinto de cero, con numerador y denominadorpositivos y primos relativos,

Q+ =p

q

∣∣ p, q ∈ Z+, q 6= 0, (p, q) = 1

.

Sea, pues,p

q∈ Q+ un numero racional positivo, para ubicarlo en la recta real

actuamos de la siguiente manera:

1. Dividimos el segmento unidad en q partes congruentes, el racional 1/q estarasituado a la derecha del 0, entre el 0 y el 1.

2. A partir de 0 y en la misma direccion de 1/q, trazamos p veces, una a con-tinuacion de otra, la longitud del 0 a 1/q para ubicar ahı el racional p/q.

10 R1/q-1 p q/

FIGURA 2.12 p veces la longitud 1/q.

Hemos entonces ubicado cada numero racional positivo en la recta real. Losnegativos se ubicaran de manera simetrica al otro lado del 0 en la recta real.

Ası, hemos asociado a cada numero racional un punto en la recta real.

(c)L

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En el conjunto Q de los numeros racionales estan definidas las operacionesde suma y producto, ası como una relacion de orden.

DEFINICION 2.10. Sip

q,

r

s∈ Q la suma y el producto se definen como

p

q+

r

s=

ps + rq

qs,

p

q· r

s=

pr

qs.

Se dice quep

qes menor que

r

s, y se escribe

p

q<

r

s, si ps < qr.

Las operaciones ası definidas cumplen las propiedades siguientes:

Suma Producto

Cerradurap

q,

r

s∈ Q =⇒ p

q+

r

s∈ Q

p

q,

r

s∈ Q =⇒ p

q

r

s∈ Q

Conmutatividadp

q+

r

s=

r

s+

p

q

p

q

r

s=

r

s

p

q

Asociatividadp

q+

(r

s+

t

u

)

=(p

q+

r

s

)

+t

u

p

q

(r

s

t

u

)

=(p

q

r

s

) t

u

Neutrosp

q+ 0 = 0 +

p

q=

p

q

p

q1 = 1

p

q=

p

q

Inversosp

q+

(

−p

q

)

= 0p

q6= 0 =⇒ p

q

(p

q

)−1

= 1

Distributividadp

q

(r

s+

t

u

)

=p

q

r

s+

p

q

t

u

El orden cumple con estas propiedades:

Orden en Q

Tricotomıa Sip

qy

r

s∈ Z, entonces

p

q<

r

s,

p

q=

r

so

r

s<

p

q.

Transitividad Sip

q<

r

sy

r

s<

t

u, entonces

p

q<

t

u.

Densidad Sip

q<

r

sentonces existe

t

u∈ Q tal que

p

q<

t

u<

r

s.

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En un curso de algebra superior se estudian los numeros racionales a profun-didad. Aquı, sin entrar en mas detalle, usaremos las propiedades de las fraccionescomunes,

−5

3=

5

−3= −5

3= (−1)

5

3.

Y, generalizando, si p, q ∈ Z y q 6= 0,

−p

q=

p

−q= (−1)

p

q= −p

q,

p

q− r

s=

p

q+

(

−r

s

)

,(p

q

)−1

=q

p, con p 6= 0.

Donde sı conviene analizar un poco mas es lo que sucede con el orden. A dife-rencia de los naturales y los enteros, el conjunto Q de los numeros racionales no esun conjunto discreto, en el que cada elemento tenga un sucesor. Precisamente,la propiedad de densidad significa que dado un numero racional no existe elracional que le sigue, sino que:

AFIRMACION 2.5. Entre dos numeros racionales hay siempre otro racional.

DEMOSTRACION. Basta demostrar la afirmacion para dos racionales positivos.

Ası, si tenemos dos racionales tales quep

q<

r

sdemostraremos que su media

aritmetica esta entre los dos, esto es,

p

q<

ps + rq

2qs<

r

s.

Partamos de quep

q<

r

s,

como p, q, r y s son enteros positivos, diferentes de 0, podemos aplicar laspropiedades elementales para las desigualdades entre enteros positivos, tenemosentonces que, por la definicion de orden,

ps < rq.

Sumando ps en ambos lados de la desigualdad tenemos

2ps < ps + rq,

dividiendo ambos lados entre 2qs,

p

q<

ps + rq

2qs. (2)

Ahora, partiendo de nuevo dep

q<

r

s,

tenemos, como antes, queps < rq.

Sumando rq en ambos lados tenemos

ps + rq < 2rq,

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dividiendo ambos lados entre 2qs,

ps + rq

2qs<

r

s. (3)

Las desigualdades (2) y (3) demuestran que la media aritmetica esta entre losdos racionales dados.

Hasta aquı hemos demostrado que entre dos racionales positivos hay otroracional. Dejamos como ejercicio el resto de la demostracion

La afirmacion anterior tiene importantes consecuencias:

AFIRMACION 2.6. Entre dos numeros racionales dados hay un numero infinito

de numeros racionales.

DEMOSTRACION. La demostracion completa y formal escapa del ambito de estelibro, pero demos una idea.

Dados dos numeros racionales, ya demostramos que hay uno entre ellos, bien,consideremos el racional de la izquierda y el que recien hallamos; pues entre esosdos, por la afirmacion anterior, hay uno. Consideremos de nuevo el de la extremaizquierda; entre ese y el recien hallado hay otro, y ası, y ası, podemos repetir elprocedimiento ad infinitum y, finalmente, entre los dos racionales dados hemoshallado un numero infinito de racionales entre ellos.

Es importante comprender el significado de la densidad de los racionales.

Imaginen dos racionales cercanos, digamos1

1,000,000y

2

1,000,000, practicamen-

te inindistinguibles si fueran fracciones de milımetro, pues bien, por la afirmacion2.6, entre esos dos hay un numero infinito de racionales.

Es decir, los numeros racionales parecen tan apretujados en la recta real quenos harıa pensar que la cubren. Cosa que no sucede, pero eso es el tema delsiguiente paragrafo.

Actividad

Compitan entre un grupo de personas dando dos numeros racionales,retando a encontrar un numero racional entre ellos, y a esbozar lamanera de encontrar un numero infinito, hallar 5, o 10, y explicarcomo se podrıan encontrar mas.

La densidad de Q, el conjunto de los numeros racionales, podrıa inducirnos apensar que hay muchos mas racionales que enteros. En los paragrafos anterioresvimos que

|N| = |Z| = ℵ0.

Ahora nos preguntamos ¿cual es cardinalidad de los racionales? ¿quien es |Q|?La sorpresa es que la cardinalidad de los racionales tambien es ℵ0, lo cual significa

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que podemos establecer una correspondencia biunıvoca entre Q y N. Dicho enlenguaje coloquial, que hay la misma cantidad de racionales que de naturales.

No es facil de explicar dicha correspondencia, para ilustrar partamos de la ideade que un conjunto de cardinalidad ℵ0 se puede formar para contarlo —como lohicimos con los enteros—, formarlos pero no ordenarlos de manera consecutiva.

Aun ası, para ilustrar la manera en como vamos a contar los racionales, loharemos con los racionales positivos, ya que los negativos tendran la mismacardinalidad y, como ya percibimos de los enteros positivos y los negativos, launion de dos conjuntos de cardinalidad ℵ0 tiene, a su vez, cardinalidad ℵ0.

Vamos, entonces, a contar los racionales positivos. Primero los colocamos,pero no en una fila, sino en varias, en una tabla: fila tras fila. Primero colocamosuna fila con los racionales con denominador igual a 1, debajo colocamos a losracionales con denominador 2, y ası sucesivamente:

11 → 2

131 → 4

151 → 6

171 → · · ·

ւ ր ւ ր ւ ր12

22

32

42

52

62

72 · · ·

↓ ր ւ ր ւ ր13

23

33

43

53

63

73 · · ·

ւ ր ւ ր14

24

34

44

54

64

74 · · ·

↓ ր ւ ր15

25

35

45

55

65

75 · · ·

ւ ր16

26

36

46

56

66

76 · · ·

↓ ր17

27

37

47

57

67

77 · · ·

...

Contemos los racionales segun la direccion de las flechas, comenzamos con 11 =

1, a quien asociamos el natural 1, a continuacion asociamos el 2 a 21 = 2, despues

el 3 se asocia a 12 , continuando asociamos el natural 4 a 1

3 , y continuamos deesa manera, verificando, antes de asociar un numero natural, que la fraccion esteformada por primos relativos. Segun la direccion de las flechas el 5 corresponderıaa 2

2 = 1 que ya fue considerada (fue contada con el 1), ası, el 5 corresponde,

en realidad a 31 = 3. Seguimos de esta manera y asociamos 6, 7, 8, 9 y 10,

respectivamente, a 41 = 4, 3

2 , 23 , 1

4 y 15 . Despues, segun la sucesion de fracciones

indicada por las flechas, siguen tres fracciones cuyo numerador y denominador

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no son primos relativos, a saber 24 , 3

3 y 42 , por lo cual las saltamos y asignamos

el 11 a 51 = 5.

Al seguir el camino marcado por las flechas, cuando hallamos una fraccioncuyo numerador y denominador no son primos relativos, se trata de un racionalya contado. Es decir, en la tabla aparecen, ademas de los racionales, como32 , otras fracciones: las obtenidas al multiplicar numerador y denominador del

racional por un numero natural, por ejemplo 32 = 9

6 = 2416 = 6

4 . Es por ello quesaltamos esas fracciones.

Dada cualquier fraccionp

qocupa un lugar en la tabla recien mostrada y, segun

el camino senalado por las flechas, llegara el turno de contarla.Ilustramos, ası, una manera de establecer una correspondencia biunıvoca en-

tre los naturales y la parte positiva de Q. Al considerar todos los racionales semantiene la cardinalidad. Concluimos que |Q| = ℵ0.

Veamos otra apariencia de los numeros racionales. Dadop

q∈ Q (sabemos

que q 6= 0 y que (p, q) = 1) efectuemos la division del numerador p entre eldenominador q obteniendo, ası, su expresion decimal. Ilustremos.

EJEMPLO 14. Halla la expresion decimal de271

25.

SOLUCION.271

25= 10.84 .

Al dividir numerador entre denominador, obtuvimos un numero con 2 cifrasdecimales, es decir despues de obtener en el cociente el ultimo decimal, el 4,obtuvimos el residuo 0. El procedimiento para dividir se detuvo. A este tipo deexpresiones le llamamos decimal que termina.


3.

SOLUCION.1

3= 0.33333 . . . .

Los puntos suspensivos indican que el proceso de la division no se detiene, siemprese obtiene residuo 1, se baja el cero y de nuevo tenemos 10 entre 3, que colocaotro 3 en el cociente, obteniendo residuo 1. Para indicar lo anterior se colocauna barra sobre el numero que se repite en el cociente, ası,

1

3= 0.3 .

A esta expresion le llamamos decimal periodico, en este caso el periodo es 3.


13.

SOLUCION.482

13= 37.076923076923076923 . . . ,

= 37.076923 .

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2.4 Los numeros reales 71

Se trata de un decimal periodico, cuyo periodo es 076923.

Observemos que, dicho de manera estricta, un decimal que termina tieneperiodo 0, digamos 9.67857 = 9.678570, o, simplemente, 4 = 4.0. De todos losdecimales periodicos vamos a excluir las ‘colas’ de 9 debido a que no son masque otra representacion de decimales que terminan.

AFIRMACION 2.7. 1 = 0.9.

DEMOSTRACION. Sea

x = 0.9,

multiplicando por 10 en cada lado,

10x = 9.9 .

Restando ambas ecuaciones tenemos,

10x − x = 9,

9x = 9,

x = 1 .

De manera analoga podemos demostrar que 2.139 = 2.14 y que 0.189 = 0.19.Ası, la expresion decimal de un racional es un decimal periodico, excluyendo

las colas de 9’s.

PROBLEMAS 2.3

1. Resuelve las ecuaciones siguientes, para x ∈ Q:

−5

3+ x =

5

−3,

−5

3+ x = 0,

−5

3x =

5

−3,

−5

3x = 1.

2. Completa la demostracion de la afirmacion 2.5.

3. Al contar los racionales ¿que lugar le corresponde a 53 ?

4. ¿Que racional esta en el lugar 17?

5. Explica por que al dividir dos numeros naturales el procedimiento se detieneo se vuelve periodico.

6. Halla la expansion decimal de2

5, y de

2

77. Halla el racional que corresponde a 3.5, y a 0.153846

4. LOS NUMEROS REALES

Entre dos racionales siempre hay otro racional, es mas, entre dos racionales hayun numero infinito de ellos. Sin embargo hay la misma cantidad de racionalesque de naturales. La densidad de los racionales nos harıa pensar que cubren

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la recta real, cosa que no sucede. Localicemos en la recta real el numero√

2.Trazamos sobre la recta real el cuadrado con lado igual al segmento unidad. Porel teorema de Pitagoras, la longitud de la hipotenusa es

√2. Con centro en

0 y radio igual a la hipotenusa trazamos un arco hasta intersecar la recta reallocalizando, ası, el punto

√2 sobre la recta.

FIGURA 2.13 Ubicacion de√

2 en la recta real.

AFIRMACION 2.8. El numero√

2 no es racional.

DEMOSTRACION. Para demostrar que√

2 no es un numero racional tenemosque demostrar que es imposible expresarlo como cociente de dos enteros, conel denominador distinto de 0 y que sean primos relativos. Es decir, debemosdemostrar que es imposible que existan p, q ∈ Z, con q 6= 0 y (p, q) = 1, tales

quep

q=

√2. Bien, vamos a proceder por contradiccion, es decir vamos a suponer

que sı es posible expresar√

2 como el cociente de dos primos relativos y partiendode dicha suposicion vamos a caer en una contradiccion, lo que nos indicara quela hipotesis de la cual partimos es insostenible, obteniendo, ası, la conclusiondeseada. Procedamos: supongamos que sı es posible expresar

√2 como cociente

de dos enteros primos relativos, sean, entonces, p, q ∈ Z tales quep

q=

√2, con (p, q) = 1.

Recordemos que (p, q) = 1, que p y q sean primos relativos, significa que no tienenfactor comun. De la hipotesis, multiplicando ambos lados por q obtenemos que

p =√

2q,

Elevando ambos lados al cuadrado tenemos que

p2 = 2q2. (4)

Vemos que p2 es un numero par, pues es multiplo de 2. Sabemos, por la Afir-macion 2.1, que si p2 es par entonces p es par, es decir, podemos expresar

p = 2n para algun n ∈ N. (5)

Substituyendo en (4) obtenemos

(2n)2 = 2q2,

4n2 = 2q2,

2n2 = q2.

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2.4 Los numeros reales 73

Lo cual nos dice que q2 es par, pues es multiplo de 2, y, de nuevo por la Afir-macion 2.1, q es par,

q = 2m para algun m ∈ N. (6)

De (5) y (6) vemos que, contrario a la hipotesis, p y q tienen a 2 como factorcomun pues

p = 2n,

q = 2m.

Suponer la existencia de primos relativos cuyo cociente fuera√

2 nos llevo a lacontradiccion de que esos primos relativos tienen factor comun. Por lo tanto, esahipotesis es insostenible y la conclusion es que no existen enteros primos relativoscuyo cociente sea

√2. Es decir,

√2 no es racional.

A los puntos de la recta real que no corresponden a numeros racionales les lla-mamos irracionales. La union de los racionales y los irracionales son los numerosreales, que denotamos con R.

Nos preguntamos: ¿que apariencia tienen los numeros reales?, ¿cuantos son?Ası como los numeros racionales los representamos como decimales periodicos,

los irracionales estaran representados por decimales que no son periodicos, que

no terminan. El conjunto de las expresiones decimales (exceptuando las colas de9’s) conforman el conjunto de los numeros reales.

EJEMPLO 17. Segun ya demostramos√

2 no es racional, por lo tanto, es un deci-mal que no termina, veamos sus primeros cincuenta dıgitos significativos,

√2 = 1.4142135623730950488016887242096980785696718753769 . . . .

Los puntos suspensivos indican que el decimal continua.

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CAPITULO 3FUNCIONES REALES

Funcion es dependencia. A velocidad fija, la distancia recorrida depende deltiempo transcurrido. El tiempo que tarda en caer una piedra depende de laaltura que la soltemos. El area de un triangulo con dos lados iguales depende

del angulo formado entre ellos. El valor de la longitud de la circunferencia deun cırculo depende del valor de su radio. En fin, hay multitud de situacionesen que un valor depende de cual es otro valor. Al valor que depende —como ladistancia recorrida, el tiempo que tarda la piedra en caer, el area del triangulo,o la longitud de la circunferencia— lo llamamos variable dependiente, y al valordel cual depende se le llama variable independiente, como serıa el tiempo trans-currido del viaje, la altura a que se suelta la piedra, el angulo entre los dos ladosiguales del triangulo, o el valor del radio del cırculo.

La situacion de dependencia de la longitud de la circunferencia de un cırculorespecto al valor de su radio se expresa como C = 2πr. Es decir, que dadoel valor r del radio, al efectuar la operacion 2πr, se obtiene el valor C de lalongitud de la circunferencia. Se dice que la circunferencia es funcion del radio,o que C es funcion de r, que se escribe C = C(r) y la manera en que se expresaesa dependencia es mediante la regla de correspondencia C(r) = 2πr, lo cualsignifica que a cada valor de r se le asocia el valor C(r). Asimismo es posible,mediante una grafica, ver como se comporta C segun varıa r.

En este capıtulo formalizaremos, mediante conjuntos, el concepto general defuncion expresado de manera intuitiva en los parrafos anteriores. Trataremos, enparticular, con funciones cuyas variables independientes y variables dependientesson numeros reales. Definiremos operaciones entre ellas y veremos la manera deexpresarlas graficamente.

1. PRODUCTO CARTESIANO

DEFINICION 3.1. La pareja ordenada (a, b) es el conjunto

(a, b) =a, a, b

.

Vemos claramente que los conjuntos (a, b) =a, a, b

y (b, a) =

b, a, b

son diferentes. En una pareja ordenada cuenta, a diferencia de un conjunto condos elementos, quien es el primer elemento y quien es el segundo.

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82 Capıtulo 3 Funciones reales

DEFINICION 3.2. Sean A y B dos conjuntos, el producto cartesiano A×B es

el conjunto de parejas ordenadas (a, b) tales que a ∈ A y b ∈ B, es decir:

A × B = (a, b) | a ∈ A y b ∈ B .EJEMPLO 1. Si A = 1, 3, 5 y B = r, s, entonces

A × B = (1, r), (1, s), (3, r), (3, s), (5, r), (5, s).Las parejas estan ordenadas, hay un primer elemento y un segundo elemento;son diferentes las parejas (1, r) y (r, 1), lo cual implica que no es lo mismo, engeneral, A × B que B × A. En este caso,

B × A = (r, 1), (r, 3), (r, 5), (s, 1), (s, 3), (s, 5).

EJEMPLO 2. Sea R el conjunto de numeros reales, al producto cartesiano R × R

se le conoce como R2, que se lee ‘erre dos’, y se le llama el plano cartesiano,

R2 = R × R = (x, y) | x, y ∈ R .

Actividad

Considera dos conjuntos, uno de cuatro fechas y otro de seis sucesos;describe el producto cartesiano de esos dos conjuntos. Despues con-sidera el subconjunto del producto cartesiano formado por las parejas(fecha, suceso) tales que el suceso haya ocurrido en la fecha.

Mas adelante, en este capıtulo, representaremos ciertas funciones como sub-conjuntos del plano.

PROBLEMAS 3.1

1. Di que parejas de conjuntos son iguales:

i)a, a, b

y

b, a, a

.

ii)b, a, b

y

a, b, a

.

iii)a, a, b

y

a, b, a

.

2. ¿Como definirıas una terna ordenada?

3. Sean A = n ∈ N | n < 5 y B el conjunto de vocales en la palabra ‘apache’,encuentra el conjunto A × B.

4. ¿Es cierto, en general, que A × B = B × A? Ilustra con varios ejemplos.

5. Sean X = 2, 3, 5, 8 y Y = a, e, f, p.i) Halla X × Y y Y × X .

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3.2 Definicion de funcion 83

ii) Exhibe un subconjunto de X × Y tal que no se repitan los primeroselementos de las parejas, y uno de Y ×X tal que los primeros elementossean los segundos elementos del anterior.

6. Considera R2 el producto cartesiano R×R, describe en una figura los siguien-tes subconjuntos de R2,

a. (x, y) | x = a , b. (x, y) | y > x ,c. (x, y) | y = x2 , d. (x, y) | y =

√x ,

e. (x, y) | x2 + y2 = 1 , f. (x, y) | y > 0 ,g. (x, y) | x2 + y2 ≤ 1 , h. (x, y) | x + y > 1 .

2. DEFINICION DE FUNCION

DEFINICION 3.3. Una funcion consta de tres objetos: un conjunto llamado el

dominio de la funcion, que denotamos con Df , otro conjunto llamado el con-

tradominio de la funcion y una regla de correspondencia que asocia a cada

elemento del dominio de la funcion, uno y solo un elemento del contradominio.

Lo escribimos

f :Df → C,

y la regla de correspondencia que nos indica que al elemento x ∈ Df le corres-ponde el elemento y ∈ C , se escribe y = f(x). Ası,

f :Df → C

x 7→ y = f(x).

Al elemento f(x) del contradominio se le llama la imagen de x bajo f .

EJEMPLO 3. Sea A = 1, 3, 5 el dominio de la funcion f , B = r, s el con-tradominio y la regla de correspondencia la podemos expresar como una tablaque indique el elemento del contradominio que corresponde a cada elemento deldominio:

x y

1 s3 s5 r

Ası, vemos que f(1) = s, f(3) = s y f(5) = r, es decir que s es la imagen del 1y del 3, y que r es la imagen de 5 bajo f .

DEFINICION 3.4. Sea f :X → Y una funcion con dominio X , contradominio Y y

regla de correspondencia y = f(x). Al subconjunto de Y de los puntos imagen

de todos los puntos x ∈ X bajo f , se le llama la imagen de la funcion y se denota

con Imf , ası,Imf = y ∈ Y | y = f(x), x ∈ X .

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A la imagen de la funcion tambien se le llama el rango, es el subconjunto de

puntos del contradominio que ‘barre’ f .

EJEMPLO 4. Sea A = 1, 3, 5 el dominio de f y B = r, s, t, u, v el contrado-minio. La regla de correspondencia esta dada por la tabla:

x y

1 s3 s5 r

El subconjunto de B formado por los puntos imagen de f es

Imf = r, s.Ası, s es un punto imagen, o esta en la imagen de la funcion, mientras que u noes punto imagen, no esta en la imagen de la funcion.

DEFINICION 3.5. Sea f :X → Y una funcion con dominio X , contradominio

Y y regla de correspondencia y = f(x), y sea A un subconjunto de X . Al

subconjunto de Y formado por los puntos imagen de los elementos de A se le

llama la imagen de A bajo f y se le denota por f(A) o por Imf A, es decir,

f(A) = Imf A = y ∈ Y | y = f(x), para algun x ∈ A .De hecho, la imagen de la funcion es f(X).

A f |A:X → Y se le lama la funcion f restringida a A y tambien se escribecomo f :A → Y , o de manera mas explıcita, f :A ⊆ X → Y .

EJEMPLO 5. Sea X = 1, 2, 3, 4 el dominio de f , Y = a, b, c, d, e, f el con-tradominio y la regla de correspondencia dada por la tabla

x f(x)

1 c2 a3 e4 e

Sea A = 1, 2, 4 un subconjunto de X . Los puntos imagen de los elementos deA son f(A) = c, a, e. Es decir, la imagen de A bajo f es f(A), que tambienes, en este caso, f(X).

Hay dos funciones particulares. La funcion identica y la funcion constante.

DEFINICION 3.6. Sea una funcion f :A → A, con regla de correspondencia y =f(x). La funcion identica de A, que se denota por IA, tiene como regla de

correspondencia f(x) = x, para toda x ∈ A

IA:A → A, IA(x) = x,∀x ∈ A.

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EJEMPLO 6. Sea A = 1, 3, 5, la funcion IA tiene la regla de correspondenciaexpresada en la tabla siguiente:

x y

1 13 35 5

DEFINICION 3.7. La f :A → B es una funcion constante si existe c ∈ B tal

que f(x) = c, para toda x ∈ A.

EJEMPLO 7. Sea A = 1, 3, 5 el dominio de f y B = r, s, t, u, v el contrado-minio. La regla de correspondencia de una funcion constante esta dada por latabla:

x y

1 t3 t5 t

La funcion constante expresada le podrıamos llamar la funcion t, es decir lafuncion tal que f(x) = t, para toda x ∈ A.


regla de correspondencia y = f(x). La funcion f es:

i) Inyectiva si a puntos diferentes en el dominio corresponden, bajo la

funcion, puntos diferentes en el contradominio, es decir,

si x 6= y entonces f(x) 6= f(y),

o, de manera equivalente, si f(x) = f(y) entonces x = y.

ii) Suprayectiva si todos los puntos del contradominio son imagen de los

elementos del dominio, es decir, que para toda y ∈ Y existe x ∈ X tal

que f(x) = y, o dicho en terminos de la imagen, que f(X) = Y .

iii) Biyectiva si es inyectiva y suprayectiva. A las funciones biyectivas se

les suele llamar correspondencia biunıvoca.

EJEMPLO 8. Sean A = 1, 3, 5 y B = s, t, u, v. La funcion que asocia 1 7→f(1) = t, 3 7→ f(3) = v y 5 7→ f(5) = s es inyectiva pues a puntos distintos lescorresponden puntos distintos.

EJEMPLO 9. Sean A = 1, 3, 5, 7 y B = s, t, u. La funcion que asocia 1 7→g(1) = t, 3 7→ g(3) = u, 5 7→ g(5) = s y 7 7→ g(7) = t es suprayectiva pues cadapunto del contradominio es imagen de al menos uno en el dominio.

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EJEMPLO 10. Sean A = 1, 3, 5 y B = s, t, u. La funcion que asocia 1 7→h(1) = t, 3 7→ h(3) = u y 5 7→ h(5) = s es biyectiva pues es inyectiva (puntosdistintos van a puntos distintos) y suprayectiva (todos los puntos del contrado-minio son imagen), es decir, se trata de una correspondencia biunıvoca.


regla de correspondencia y = f(x). La grafica de f , que se denota por Gf es el

subconjunto del producto cartesiano X ×Y tal que el segundo elemento de cada

pareja ordenada es la imagen del primer elemento bajo f , es decir,

Gf = (x, y) ∈ X × Y | y = f(x), x ∈ X .Ası, la grafica de una funcion es un conjunto de parejas ordenadas donde el

primer elemento de cada pareja es un punto del dominio de la funcion y el segundoelemento es la imagen del primero bajo la funcion, es decir, la grafica de unafuncion es el conjunto de parejas

(x, f(x)

), que es, claramente, un subconjunto

del producto cartesiano X × Y .

EJEMPLO 11. Si A = 1, 3, 5, la grafica de la funcion identica de A es GIA=

(1, 1), (3, 3), (5, 5).EJEMPLO 12. Sea R el conjunto de los numeros reales. La funcion identica (oidentidad) de R es IR: R → R tal que IR(x) = x, para toda x ∈ R. La graficade la funcion identidad es el subconjunto de R × R, es decir de R2 (el planocartesiano), tal que,

GIR= (x, x) | x ∈ R .

Es decir que la grafica de la funcion identica es el subconjunto del plano carte-siano formado por los puntos (x, y) cuya abscisa y es igual a su ordenada x, setrata de la recta y = x que forma un angulo de 45 con el eje de las x y quepasa por el origen y el primer y tercer cuadrante.

EJEMPLO 13. Si A = 1, 2, 3, 4 es el dominio de f , B = a, b, c, d, e, f el con-tradominio y la regla de correspondencia esta dada por la tabla

x f(x)

1 c2 a3 e4 e

La grafica de la funcion es el conjunto de parejas de la forma(x, f(x)

), subcon-

junto del producto cartesiano A × B,

Gf = (1, c), (2, a), (3, e), (4, e).

Algunos autores mezclan el concepto de funcion y el de grafica de una funciony definen a una funcion con dominio A y contradominio B, como un subcon-junto del producto cartesiano A × B de manera que las parejas tienen la forma(x, f(x)

), donde x ∈ A y f(x) ∈ B es la imagen de x bajo f .

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Si f :X → Y es una funcion inyectiva, es decir, que a puntos diferentes losenvıa a puntos diferentes, entonces podemos definir una funcion que tenga comodominio a f(X) y como contradominio a X y su regla de correspondencia searegresar a y ∈ f(X) a la x ∈ X de la que provino bajo f . Le llamaremos lafuncion inversa de la funcion f .

DEFINICION 3.10. Sea f :X → Y una funcion inyectiva. La funcion inversa dela funcion f , que denotamos con f−1, tiene como dominio la imagen de f , esdecir f(X), como contradominio X y como regla de correspondencia f−1(y) = x,

donde f(x) = y, para toda y ∈ f(X). Ası,

f−1: f(X) → X

y 7→ x = f−1(y), tal que y = f(x).

El elemento x ∈ X es la imagen de y bajo f−1 y tambien se le llama la imagen

inversa de y bajo f .

La funcion inversa de f regresa a cada elemento del contrado-

minio de f al elemento del dominio del cual provino.

EJEMPLO 14. Sean A = 1, 3, 5 y B = r, s, t, u, v y f la funcion con regla decorrespondencia definida por la tabla siguiente:

x f(x)

1 u3 s5 v

La imagen de la funcion es f(A) = s, u, v, luego es ahı donde esta definida lafuncion inversa de f , la tabla de f−1 es

y f−1(y)

s 3u 1v 5

Es decir,

x y = f(x)

1 u3 s5 v

y x = f−1(y)

s 3u 1v 5

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El proposito de que la funcion f sea inyectiva es que cada punto imagen enel contradominio lo sea de solo un elemento del dominio y ası poder definir a esepunto como la imagen bajo f−1. Insistimos, se puede definir la funcion inversasolo en donde la funcion f sea inyectiva.

Sin embargo, dada una funcion cualquiera f :X → Y , y un punto y ∈ Y ,podemos definir el conjunto imagen inversa de y ∈ Y .

DEFINICION 3.11. Sea f :X → Y una funcion y y ∈ Y un elemento del contrado-minio. La imagen inversa de y, que denotamos con f−1(y), es el conjunto de

los elementos del dominio de la funcion f cuya imagen es y,

f−1(y) = x ∈ X | f(x) = y .Como se ve claramente, si y es un elemento del contradominio que no es

imagen bajo f , entonces su imagen inversa sera el conjunto vacıo. Si la funcionf no es inyectiva entonces la imagen inversa de algunos puntos sera un conjuntocon dos o mas elementos, y si la funcion es inyectiva, entonces la imagen inversade cada punto en el contradominio sera vacıa o constara de un solo punto (encuyo caso podemos definir la funcion inversa en la imagen de la funcion).

EJEMPLO 15. Sean A = 1, 3, 5, 8 y B = r, s, t, u, v y f la funcion con reglade correspondencia definida por la tabla siguiente:

x f(x)

1 u3 s5 v8 s

Digan cual es la imagen inversa de cada punto de B.

SOLUCION. De la tabla vemos que r no es imagen, es decir, no existe x ∈ A talque f(x) = r, luego f−1(r) = ∅. Lo mismo sucede con t, f−1(t) = ∅. Veamosahora s, segun la tabla s es la imagen de 3 y de 8 bajo f , luego f−1(s) = 3, 8.De la tabla obtenemos que f−1(u) = 1 y que f−1(v) = 5.

De lo anterior obtenemos como criterio que,

si f :X → Y es una funcion, la funcion inversa estara definidasolo en los puntos del contradominio cuya imagen inversa constede uno y solo un punto.

Sean dos funciones f y g de manera que la imagen de la primera este contenidaen el dominio de la segunda. Si x esta en el dominio de f , y f(x) esta enel dominio de g, es posible aplicar g al punto f(x) y obtener g

(f(x)

). Esta

operacion es la aplicacion sucesiva de las funciones f y g, se llama la composicion

de las funciones f y g. Noten que primero se aplica f y despues se aplica g, poreso al resultado se le nombra f seguida de g, y considerando que g se aplica a la

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imagen de f , se acostumbra escribir g f lo cual se lee f seguida de g, de hechoprimero escribimos f (y decimos efe), despues, a la izquierda de la f escribimosla bolita (y decimos seguida de) y, finalmente, a la izquierda de la bolitaescribimos g (y decimos ge). Si x ∈ X es un punto del dominio de f , aplicamosf y obtenemos f(x) en el dominio de g —el contradominio de f , por hipotesis,esta contenido en el dominio de g—, y por ello, a f(x) le podemos aplicar g,obteniendo g

(f(x)

). Tenemos como resultado una funcion cuyo dominio es el

dominio de f y cuyo contradominio en el contradominio de g, le llamamos efe

seguida de ge y denotamos con g f , tambien se lee ge compuesta con efe (peroentonces primero se escribe g, despues la bolita y despues f ).

DEFINICION 3.12. Sean f y g dos funciones tales que la imagen de f esta con-

tenida en el dominio de g, f :X → Y y g:Y → Z . La composicion de las

funciones f y g, que se escribe gf y se lee efe seguida de ge o ge compuesta

con efe, es una funcion cuyo dominio es el dominio de f , su contradominio es

el contradominio de g y su regla de correspondencia es

(g f)(x) = g(f(x)

),para toda x ∈ X.

Se ilustra con el siguiente diagrama:

x ∈ Xf f(x) ∈ Y

s

g f

g

g(f(x)

)∈ Z

FIGURA 3.1 f seguida de g envıa x ∈ X a g(f(x)

)∈ Z .

EJEMPLO 16. Sean A1, 3, 5, B = s, t, u, v y C = i, j, k, l y las funcionesf :A → B y g:B → C dadas por las tablas:

x y = f(x)

1 u3 s5 v

y z = g(y)

s it lu jv k

Entonces la tabla de g f es,

x z = g(f(x)

)

1 j3 i5 k

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Actividad

Junta tres grupos de personas y define funciones entre ellos, verificaque lo sean, analiza cuales son, o no, inyectivas y/o suprayectivas.Realiza la operacion de composicion y describe la imagen inversa devarios subconjuntos.

La operacion de composicion de funciones no es, en general, conmutativa,mientras que sı es asociativa.

AFIRMACION 3.1. Sean las funciones f :X → Y , g:Y → Z y h:Z → W , entonces

(h g) f = h (g f).

DEMOSTRACION. Partiendo de la definicion de composicion de funciones, tene-mos que

((h g) f

)(x) =

(h g

)(f(x)

)

= h(g(f(x)

))

= h((g f)(x)

)

=(h (g f)

)(x).

PROBLEMAS 3.2

1. Sean A = a, b, c y B = 7, 5, 4 dos conjuntos. Di cual de los conjuntos esla grafica de una funcion con dominio A y contradominio B.

a. (a, 4), (b, 7), (a, 5), b. (b, 2), (a, 7), (c, 4),c. (c, 4), (a, 4), (b, 4), d. (7, c), (4, a), (5, a),e. (b, 7), (c, 7), (a, 4), f. (1, 7), (b, 2), (a, 7),g. (a, 7), (b, 5), (c, 4), h. (a, a), (b, b), (c, c).

2. Si A = 2, 5, 7, 8 y B = p, q, r, define una funcion inyectiva de A a By otra de B a A, y escribe su grafica como conjunto de parejas ordenadas.¿Cual es la grafica de la funcion identica de B?

3. Sea f la funcion que asocia a cada numero entero entre −10 y 10 su cuadrado.¿Cual es la imagen inversa de 64?

4. Si f(n) = 2n, para n ∈ N y g(m) = m2 para m ∈ N, ¿cual es la regla decorrespondencia de g f , y de f g? describe la grafica de cada una de lascomposiciones.

5. Sea f una funcion biyectiva de A a B, ¿que funcion es f−1 f , y f f−1?

6. Sea f una funcion cualquiera de A en B, f :A → B, ¿en donde esta definida lafuncion f−1?, contesta, para esta funcion, las preguntas del ejercicio anterior.

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3.3 Funciones reales de variable real 91

3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

Por funciones reales entendemos funciones que toman valores en el conjuntode los numeros reales, es decir que su contradominio es un subconjunto de losnumeros reales. Que la funcion sea de variable real significa que su dominio esun subconjunto de los numeros reales.

DEFINICION 3.13. Una funcion real de variable real es una funcion cuyo do-

minio es un subconjunto de los numeros reales y cuyo contradominio tambien es

un subconjunto de los numeros reales. De manera general nos referiremos a las

funciones reales de variable real como funciones de R a R. es decir f : R → R,

donde a cada x ∈ R se le asocia, por medio de la regla de correspondencia, el

valor y = f(x) ∈ R.

EJEMPLO 17. La funcion IR: R → R cuya regla de correspondencia es IR(x) = x,para x ∈ X , es una funcion real de variable real. Su grafica es,

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(pagina 163)

CAPITULO 6LA DERIVADA DE UNA FUNCION

1. CAMBIO Y RAZON DE CAMBIO

Cambio es modificacion en posicion.

Temprano en la manana estamos en casa, a mediodıa estamosen la escuela. Una posicion es estar en casa, otra es estar enla escuela. En el transcurso de la manana modifique posicion,cambie de lugar, estaba en casa ahora estoy en la escuela.

La razon de cambio, hablando de movimiento, es la comparacion del cambioefectuado en la posicion con el tiempo que transcurrio para efectuarlo.

Usamos el termino razon para comparar dos cantidades, o dos longitudes, conel afan de ver cuantas veces contiene una a la otra, se expresa como cociente dedos numeros.

Muy famosa es la razon de la circunferencia al diametro, lasveces que contiene la circunferencia de un cırculo a su diametro

C

d= 3.1415926535897932384626434 . . . ,

comunmente llamada π. La vemos aquı con 25 cifras de aproxi-macion decimal.

En nuestro caso queremos comparar cambio de posicion con tiempo, paraello dividimos la diferencia en posicion entre la diferencia en tiempo. Estamoscomparando dos diferencias, posicion final menos posicion inicial, el espaciorecorrido, y tiempo final menos tiempo inicial, el tiempo transcurrido.

Al dividir el espacio recorrido entre el tiempo transcurrido obte-

nemos la razon de cambio de la posicion respecto del tiempo.

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164 Capıtulo 6 La derivada de una funcion

Hablando de funciones reales de variable real nos referiremos a la razon decambio de la funcion, que sera comparar la diferencia de dos valores de la funcioncon la diferencia de los puntos en el dominio de donde provienen esos valores.

Sea f : R → R una funcion real de variable real, es decir una funcion cuyodominio y contradominio es el conjunto R de los numeros reales, con regla decorrespondencia y = f(x). Consideremos dos puntos a y b en su dominio, y suimagen f(a) y f(b) respectivamente.

La razon de cambio de la funcion en el intervalo (a, b) es

f(b) − f(a)

b − a,

donde a y b pertenecen al dominio de la funcion.

Veamoslo en la grafica de la funcion,

FIGURA 6.1 La razon que compara el cambio en el contradominio con el cambio en el

dominio esf(b) − f(a)

b − a.

EJEMPLO 1. Sea f(x) = x2+1 la regla de correspondencia de la funcion f definidaen el conjunto R de todos los numeros reales, obtener la razon de cambio de lafuncion f(x) = x2 + 1 en el intervalo (1, 5).

SOLUCION. La razon de cambio de una funcion en el intervalo (a, b) esta dadapor

f(b) − f(a)

b − a,

luego la razon de cambio de f(x) = x2 + 1 en el intervalo (1, 5) esta dada por elcociente

f(5) − f(1)

5 − 1=

26 − 2

4=

24

4= 6.

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6.1 Cambio y razon de cambio 165

En el ejemplo anterior el valor de la funcion sube 24 mientras en el dominiola variable avanza del 1 al 5, lo cual equivale a decir que en promedio, en elintervalo (1, 5), la funcion sube 6 por cada unidad de avance. Al cociente tambiense le conoce como la razon de cambio promedio. En la figura 6.2 vemos que ladiferencia de los valores de la funcion esta dada por la diferencia de ordenadasde los puntos (1, 2) y (5, 26), mientras que la diferencia en el dominio esta dadapor la diferencia de abscisas.

FIGURA 6.2 En la grafica de f(x) = x2 + 1 La razon de cambio en el intervalo (1, 5) es24

4= 6.

La razon de cambio de una funcion en el intervalo que va de un punto deldominio x0 a un incremento x0 + h, con h 6= 0, se llama el cociente de Newton

de la funcion en el punto x0, se expresa como

f(x0 + h) − f(x0)

h

y se puede describir como la razon de cambio de la funcion f en el punto x0

respecto del incremento h.

El cociente de Newton de una funcion compara el cambio de lafuncion de f(x0) a f(x0 +h) con el cambio de la variable de x0

a x0 + h.

EJERCICIOS 6.1

En los ejercicios del 1 al 6, halla la razon de cambio promedio de la funcion enlos intervalos indicados.

1. f(x) = x2 + 1 (2, 6) 2. g(x) = 2x − x2 (0, 2)

3. c(t) = −5t2 + 45 (1, 3) 4. h(x) =√

x (9, 16)

5. f(x) = x2 − x + 1 (a, a + 2) 6. g(x) = 2x2 (a, a + h)

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2. RAZONES Y RECTAS

El cociente de Newton es una buena manera de relacionar rectas con curvas quesean grafica de alguna funcion. Geometricamente representa la pendiente de larecta que cruza la grafica de la funcion por los puntos de coordenadas

(x0, f(x0)

)

y(x0 + h, f(x0 + h)

).

Ası, para describir algebraicamente una recta secante a la grafica de unafuncion f , que pase por el punto

(x0, f(x0)

), usamos el cociente de Newton de

la funcion en el punto x0 para algun incremento h 6= 0.Recordemos de nuestro curso de geometrıa analıtica la forma punto-pendiente

de la ecuacion de una recta, es decir, hallar la ecuacion de una recta dada supendiente y un punto por el cual pasa.

Supongamos que la recta en cuestion no es vertical, tiene pendiente m y pasapor el punto (x1, y1). Sea (x, y) cualquier otro punto de la recta. La pen-diente m de la recta es precisamente la diferencia de ordenadas dividida entrela diferencia de abscisas, ¡claro, es una razon! muestra cuan empinada esta larecta, compara lo que sube contra lo que avanza. Ası, se cumple que

m =y − y1

x − x1,

de donde obtenemos la conocida forma punto-pendiente de la ecuacion de larecta:

y − y1 = m(x − x1).

EJEMPLO 2. Halla la ecuacion de la recta en el plano cartesiano con pendientem = 6 que pasa por el punto de coordenadas (1, 2).

SOLUCION. En la forma punto-pendiente de la ecuacion de una recta con pen-diente m que pasa por el punto (x1, y1) substituimos los datos m = 6, x1 = 1 yy1 = 2, obtenemos

y − 2 = 6(x − 1),

despejando y tenemos

y = 6x − 4.

Observemos en la figura 6.3 que la recta del ejemplo 2 pasa por el punto(1, 2), tiene pendiente 6 y pasa, tambien, por el punto (5, 26). Comparemos conel resultado del ejemplo 1, ahı estudiamos la razon promedio de cambio de lafuncion f(x) = x2 + 1 en el intervalo (1, 5). El valor de dicha razon de cambioes 6. Ahora vemos que la recta que une los puntos (1, 2) y (5, 26) sobre la curvatiene pendiente 6, lo cual significa que al estudiar la razon promedio de cambiode una funcion f en el intervalo (a, b) estudiamos asimismo la pendiente de larecta que une a los puntos

(a, f(a)

)y

(b, f(b)

)sobre la grafica de la funcion.

Volviendo al problema de trazar una recta secante a la curva formada por lagrafica de una funcion f , que pase por el punto

(x0, f(x0)

)donde x0 es un punto

del dominio, consideremos el numero real h 6= 0 de manera que x0 + h ∈ Df .

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6.2 Razones y rectas 167

FIGURA 6.3 La recta y = 6x − 4 tiene pendiente 6 y pasa por el punto (1, 2). Noten

que pasa tambien por el punto (5, 26).

Una secante a la curva formada por la grafica de la funcion f es la recta conpendiente

f(x0 + h) − f(x0)

hque pase por el punto

(x0, f(x0)

).

O, de manera equivalente, la recta que pasa por los puntos(x0, f(x0)

)y

(x0 + h, f(x0 + h)

).

La ecuacion de esta recta tangente es, partiendo de la forma punto-pendiente,

y − y1 = m(x − x1)

substituyendo los valores de la pendiente y las coordenadas del punto,

y − f(x0) =

(f(x0 + h) − f(x0)

h

)

(x − x0).

x 0

f x( )0

f x h( + )0

x h0+

h

f x h f x( + )- ( )0 0

y f x= ( )

FIGURA 6.4 La recta secante a la grafica de f(x) que pasa por(x0, f(x0)

)y

(x0 + h,

f(x0 + h))

tiene pendientef(x0 + h) − f(x0)

h.

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EJEMPLO 3. Trazar las secantes a la grafica de la funcion en el ejemplo 1 quepasen por el punto (1, 2), y por los puntos de la grafica correspondientes a losvalores 4, 3 y 2 ∈ Df .

SOLUCION. La funcion del ejemplo 1 es f(x) = x2 + 1, el punto (1, 2) es, enefecto, un punto de la grafica de f(x) pues f(1) = 2, ası que tiene sentido lapregunta. Ahora bien, cuando nos piden trazar secantes, dada la traduccion entregeometrıa y algebra construıda alrededor de por FERMAT y DESCARTES, demanera independiente, basta con dar la ecuacion de dicha recta secante.

Hemos entonces de trazar rectas del punto (1, 2) a los puntos(4, f(4)

)=

(4, 17),(3, f(3)

)= (3, 10) y

(2, f(2)

)= (2, 5). Para ello obtenemos la razon de

cambio de la funcion f(x) = x2 + 1 en cada uno de los intervalos (1, 4), (1, 3) y(1, 2) subconjuntos del dominio de la funcion (no confundan a los intervalos queson subconjuntos de R, la recta real, con las parejas ordenadas que representanpuntos en el plano cartesiano). La razon de cambio de la funcion en cada unode los intervalos —llamemoslas q, r y s— es la pendiente de la recta buscada.

q =17 − 2

4 − 1= 5, r =

10 − 2

3 − 1= 4 y s =

5 − 2

2 − 1= 3

Ası la ecuacion de la recta que pasa por (1, 2) y (4, 17) es

y − 2 = 5(x − 1) o, simplificando, y = 5x − 3.

De manera analoga, la ecuacion de la recta que pasa por (1, 2) y (3, 10) es


Finalmente, la ecuacion de la recta que pasa por (1, 2) y (2, 5) es


1 2 3 4 5 6

f (2)=5

f (3)=10

15

20

25

30

35

f (1)=2

f (4)=17

y x=3 -1

y x=4 -2

y x=5 -4

f x x( )= +12

FIGURA 6.5 Secantes trazadas de(1, f(1)

)a

(4, f(4)

),(3, f(3)

)y

(2, f(2)

).

Usamos la razon de cambio de una funcion en un intervalo para obtener lapendiente de la recta que cruza la grafica de la funcion en los puntos correspon-dientes a los valores de los extremos del intervalo.

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6.3 Tangente a la curva 169

Observemos como, en el ejemplo anterior, esbozamos la manera de lograr unode los principales objetivos del presente libro, explicar como trazar la tangentea una curva en un punto dado . Pueden ver en la figura 6.5 que trazamos variasrectas secantes que pasan por el punto

(x0, f(x0)

)en este caso (1, 2), es decir,

x0 = 1 y, respectivamente, por otros puntos sobre la curva situados mas y mascerca del mismo (1, 2), a saber los puntos

(x0 + h, f(x0 + h)

)correspondientes

a los valores de h = 3, 2 y 1, cuyas pendientes tomaron los valores respectivosde 5, 4 y 3. ¿Que sucederıa si consideramos valores de h cada vez mas y maspequenos, por ejemplo h = 1

2 , 13 , 1

4 , . . . ? Evidentemente tendrıamos, aplicandoel mismo procedimiento que en el ejemplo 3, secantes que van de (1, 2) a puntos

mas y mas cercanos. Segun mencionamos en el capitulo 0, de continuar ob-tendrıamos la tangente a la curva en (1, 2) como estado lımite del procedimientomencionado. Pero eso es tema de la siguiente seccion, mientras tanto resolvamosestos ejercicios.

EJERCICIOS 6.2

En los ejercicios del 1 al 6, trazar secantes que crucen la grafica de la funcionmencionada en el punto correspondiente a x0 y a x0 + h para los valores de hindicados

1. f(x) = x2 + 1, 2. g(x) = 3x − x2,x0 = 1, h = −3, −2, −1. x0 = 1, h = 1, 2, 3.

3. c(t) = −5t2 + 45, 4. h(x) =√

x,t0 = 3, h = −3, −2, −1. x0 = 0, h = 1

4 , 19 , 1

16 .

5. f(x) = x3 − x, 6. g(x) = |x| − 2,x0 = 0, h = 1, 0.5, 0.05. x0 = 0, h = −2, 2, −1.

3. TANGENTE A LA CURVA

Las curvas presentadas en las explicaciones de las dos secciones anteriores fueronexpresadas, en el plano cartesiano, como graficas de funciones. En lugar dehablar de la curva C nos referimos a la grafica de una funcion f . Es decir estamostratando con curvas que son graficas de funciones, a la manera explicada en elcapıtulo 3. Durante la exposicion supusimos tambien, de manera implıcita, quela curva era continua, es decir que tratamos con graficas de funciones continuas,al estilo del capıtulo 5, ya veremos si ello es necesario. Para dar el siguiente pasoemplearemos la herramienta expuesta en el capıtulo 4, el concepto de lımite.

Tenemos el problema planteado:

Dada una curva C y un punto P sobre la curva, definir la

tangente a C que pase por P .

(c)L

óp

ez M

ateo

s E

dit

ore

s. (

c)M

anu

el L

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ez M

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. h

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.mx


Resolvemos, en esta seccion, la siguiente modalidad del problema expuestoen la pagina anterior:

Sea f :Df → R una funcion real de variable real, el dominioDf ⊆ R, y x0 un punto cualquiera en el dominio de f , definir

la recta tangente a la grafica de la funcion, que llamaremos lacurva y = f(x), en el punto

(x0, f(x0)

).

Insistimos, se trata de una modalidad pues no toda curva se puede expresarcomo grafica de una funcion de R en R. En cursos avanzados de Calculo estu-diaran una clase mucho mas amplia de curvas, las parametrizadas, expresadascomo funciones de R en R2, el plano cartesiano, y, en general, de R en Rn, paraellas la recta tangente se definira de manera similar, como un proceso lımite devectores que unen dos puntos de la curva.

DEFINICION 6.1. Sea x0 un punto del dominio de la funcion f(x), definimos la

pendiente de la recta tangente a la grafica de f(x) en el punto correspondiente

a x0 como el lımite, si es que existe, de las pendientes de las secantes que pasanpor

(x0, f(x0)

)y por puntos mas y mas cercanos a el sobre la grafica de la

funcion, es decir, la pendiente de la recta tangente es

lımh→0

f(x0 + h) − f(x0)

h,

si existe el lımite.

La pendiente de la tangente es el lımite del cociente de Newton

cuando h → 0.

x 0

f x( )0

y f x= ( )

y f x f x x x- ( )= ( )( - )0 0 0’

FIGURA 6.6 La recta tangente tiene pendiente f ′(x0) = lımh→0

f(x0 + h) − f(x0)

h.

Por comodidad, como ya dijimos, llamamos a la grafica de la funcion la curva

y = f(x). La pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto(x0, f(x0)

)se denota con f ′(x0).

(c)L

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Ası,

la ecuacion de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto(x0, f(x0)

)esta dada por

y − f(x0) = f ′(x0)(x − x0),

siempre que el lımite

f ′(x0) = lımh→0

f(x0 + h) − f(x0)

h

exista.

EJEMPLO 4. Halla la pendiente de la recta tangente a la curva y = x2 + 1 en elpunto correspondiente a x = 1, da la ecuacion de esa recta tangente.

SOLUCION. La curva en R2, el plano cartesiano, la podemos expresar comografica de la funcion de R en R con regla de correspondencia f(x) = x2 + 1.La pendiente de la recta tangente a la curva en el punto

(1, f(1)

), que corres-

ponde en la grafica al punto x = 1 en el dominio de la funcion esta dada por ellımite del cociente de Newton en ese punto cuando h → 0. La pendiente es

f ′(1) = lımh→0

f(1 + h) − f(1)

h,

siempre que el lımite exista.

1 2 3 4 5 6

f (2)=5

f (3)=10

15

20

25

30

35

f (1)=2

f (4)=17y x=3 -1

y x=4 -2

y x=5 -4

f x x( )= +12

y x=2

FIGURA 6.7 La recta tangente a la curva y = x2 + 1 en (1, 2) es y = 2x.

Procedamos,

lımh→0

f(1 + h) − f(1)

h= lım

h→0

(1 + h)2 + 1 − (12 + 1)

h

= lımh→0

2h + h2

hpara h 6= 0, tenemos que lo anterior es igual a

(c)L

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lımh→0

(2 + h) = 2

Y, por lo tanto, la ecuacion de la recta tangente en(1, f(1)

)= (1, 2) es

y − 2 = 2(x − 1)

o, simplificando,

y = 2x.

Lo cual se ilustra en la figura 6.7 en la pagina anterior.

Simple, ¿verdad?, ası sucede, despues de hallada una solucion da la aparienciade algo que siempre fue del dominio publico, sin embargo ya para los antiguosgriegos, hace mas de 2,300 anos, era un reto. FERMAT y DESCARTES, alrededordel ano , dieron elementos para esbozar esa definicion, LEIBNIZ y NEWTON

la proponen, casi simultaneamente, alrededor de , pero es CAUCHY hasta —140 anos despues— quien da pleno sentido al concepto de lımite y conello a la definicion. Ver, al final del capıtulo, la NOTA HISTORICA.

EJEMPLO 5. Halla la pendiente de la recta tangente a y =√

x en x0 = 1.

SOLUCION. La curva mencionada es grafica de la funcion con regla de corres-pondencia f(x) =

√x, definida en R+, el conjunto de los numeros reales no

negativos, es decir mayores o iguales que 0. Sabemos, ademas, por convencion,que la funcion toma solo valores no negativos.

FIGURA 6.8 La pendiente de la tangente a la curva y =√

x en x0 = 1 es 1

2.

El cociente de Newton de la funcion en el punto es√1 + h −

√1

h.

Vemos que es necesario manipular esta fraccion para deshacernos de una ex-presion indeterminada que aparecerıa al hacer tender h a 0. Racionalizando,√

1 + h −√

1

h=

(√1 + h −

√1)(√

1 + h +√

1)

(√1 + h +

√1)h

haciendo operaciones y simplificando, para h 6= 0,

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√1 + h −

√1

h=

1√1 + h +

√1

,

lo cual tiende a 12 cuando h → 0. Ası, la pendiente de la recta tangente a y =

√x

en x0 = 1 es m = 12 , segun se ilustra en la figura 6.8.

EJEMPLO 6. Halla la pendiente de la tangente a la curva f(x) = x3 − x2 paracualquier punto x0 en el dominio de la funcion.

FIGURA 6.9 La curva f(x) = x3− x2 y tangentes en x0 = −

1

2, 1

2y 1.

SOLUCION. La pendiente de la tangente esta dada por el lımite del cociente deNewton de la funcion f(x) = x3 − x2 en el punto x0 cuando h → 0, es decir

Pendiente en x0 = lımh→0

(x0 + h)3 − (x0 + h)2 − (x03 − x0

2)

h,

haciendo operaciones, el lımite anterior es igual a

lımh→0

x03 + 3x0

2h + 3x0h2 + h3 − (x0

2 + 2x0h + h2) − x03 + x0

2

h,

simplificando,

= lımh→0

3x02h + 3x0h

2 + h3 − 2x0h − h2

h,

para h 6= 0,

Pendiente en x0 = lımh→0

(3x02 + 3x0h + h2 − 2x0 − h),

= 3x02 − 2x0.

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La pendiente de la tangente en cualquier punto x0 esta dada por la expresionf ′(x0) = 3x0

2−2x0. Para hallar la pendiente en un punto particular substituımosese valor en el lugar de x0, por ejemplo, para la pendiente de la tangente para lospuntos x0 = 1

2 , − 12 y 1 se substituye cada valor de x0 en la expresion f ′(x0) =

3x02 − 2x0, obteniendo f ′(− 1

2 ) = 74 , f ′( 1

2 ) = − 14 y f ′(1) = 1 respectivamente,

segun se ilustra en la figura 6.9(B).Es interesante ver el comportamiento de la tangente a la curva f(x) = x3−x2

en x0 = 12 . Es tangente en el punto mencionado y cruza la curva en el origen

segun se puede apreciar en esta ampliacion (donde estiramos un poco el ejevertical para apreciar la separacion entre la curva y la recta).

-0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.4

-0.2

0.2

0.5

FIGURA 6.9(B) Acercamiento a f(x) = x3− x2 y a la tangente en x0 = 1

2.

En la seccion anterior estudiamos razon de cambio en intervalos, conocidacomo razon promedio de cambio. Ahora, con el concepto de lımite obtenemos larazon de cambio en un punto.

La pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en elpunto x0 se conoce como la razon instantanea de cambio de lafuncion en x0. Tambien se le llama la pendiente de la curva enese punto.

EJERCICIOS 6.3

En los ejercicios del 1 al 6, halla la pendiente de la tangente a la curva en elpunto indicado y da la ecuacion de la recta tangente.

1. f(x) = x2 + 1, x0 = 1. 2. g(x) = 3x − x2, x0 = 1.

3. c(t) = −5t2 + 45t, t0 = 3. 4. h(x) =√

x, x0 = 0.

5. f(x) = x3 − x, x0. 6. g(x) = |x| − 2, x0 = 0.

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6.4 La funcion derivada de una funcion 175

4. LA FUNCION DERIVADA DE UNA FUNCION

La definicion de recta tangente a la grafica de una funcion de R en R sera la basepara definir una de las mas importantes herramientas del Calculo, el conceptode derivada.

Como vimos en la seccion anterior, es posible trazar la tangente a la graficade una funcion f(x) solo en los puntos x0 del dominio de la funcion en dondeexiste el lımite del cociente de Newton cuando h → 0. La funcion derivada dela funcion f(x) esta definida en esos puntos donde la grafica de la funcion f(x)tiene tangente, la regla de correspondencia de la funcion derivada asigna a cadapunto de su dominio el valor de la pendiente de dicha tangente.

DEFINICION 6.2. Sea f : R → R una funcion real de variable real con regla de

correspondencia y = f(x), la funcion derivada de f , que denotamos con f ′, es

una funcion cuyo dominio Df ′ ⊆ R consta de los puntos x ∈ Df para los cuales

existe el lımite del cociente de Newton cuando h → 0. La regla de correspon-

dencia de f ′ esta dada por

f ′(x) = lımh→0

f(x + h) − f(x)

h.

Dada y = f(x) analizamos la expresion

lımh→0

f(x + h) − f(x)

h,

los puntos x del dominio de la funcion f(x) para los que existael lımite anterior forman el dominio de la funcion derivada.

La funcion derivada f ′ de la funcion f asocia a cada punto x

de su dominio el valor de la pendiente de la curva y = f(x)

Para simplificar, a la funcion derivada f ′ de la funcion f le llamamos simple-mente la derivada de f .

La derivada f ′(x) de una funcion y = f(x), tambien se denota con

dy

dxque se lee “dy en dx”, la derivada de y respecto a x,

o, de otra manera,

y′ = f ′(x) que se lee “y prima igual a f prima de x”.

Recordemos que a la pendiente de la tangente a la grafica de la funcion enun punto determinado le llamamos razon instantanea de cambio o pendiente de

la curva en ese punto.

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Podemos concluir que

la derivada de una funcion representa el comportamiento de la

pendiente de la grafica de la funcion.

La derivada en un punto nos dice cuan empinada esta la funcion en ese punto.Al analizar la grafica de la derivada de una funcion obtenemos informacion sobrecomo va cambiando la grafica de la funcion.

EJEMPLO 7. Halla la derivada de f(x) = x2 + 1 y traza la grafica de la funcionderivada. Observa la relacion entre la graficas.

SOLUCION. Analicemos para que valores de x existe

lımh→0

(x + h)2 + 1 − (x2 + 1)

h.

Desarrollando y simplificando para h 6= 0,

lımh→0

(x + h)2 + 1 − (x2 + 1)

h= lım

h→0(2x + h)

= 2x.

La expresion 2x esta definida para todo x ∈ R por lo que Df ′ = R y f ′(x) = 2x.

−6 −4 −2 2 4

f x x( ) 1= +2

5

10

15

20

−6−4 −2 2 4

f x x'( ) 2=

−10 f ´( 4)= 8− −

−6−4

2

f ´(2) 4=f( 4) 17− =

y x=− −8 15

y=1

y x= −4 3

FIGURA 6.10 Grafica de f(x) = x2+1 con tangentes en x0 = −4, 0 y 2, y de f ′(x) = 2x,

mostrando los valores de f ′(−4), f ′(0) y f ′(2).

Vemos, en la figura 6.10, que la grafica de la derivada corta al eje de las xen el origen, el valor de la derivada pasa de tomar valores negativos antes delorigen, como en x = −4 donde f ′(−4) = −8, llega a cero en x0 = 0, y tomavalores positivos, como en x = 2 donde f ′(2) = 4. En la grafica de la funcionapreciamos como las tangentes a la curva en los puntos x0 = −4, 0 y 2, queson las rectas y = −8x − 15, y = 1 y y = 4x − 3 respectivamente, cambian suinclinacion pasando, en x0 = 0, por la posicion horizontal.

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6.4 La funcion derivada de una funcion 177

Las tangentes pasan de inclinarse a la derecha (antes de 0), a ser horizontal(en x0 = 0), y (despues de 0) estar inclinadas hacia la izquierda.

Conforme x se acerca a 0 desde los numeros negativos, la grafica de laderivada va creciendo hasta llegar a 0, despues toma valores positivos cada vezmas grandes.

Es posible obtener informacion sobre el comportamiento de la funcion a partirdel comportamiento de la derivada de la funcion. Aunque hablaremos in extenso

sobre dicho tema en el capıtulo 8, veamos el ejemplo a manera de ilustracion.

EJEMPLO 8. Halla la derivada de f(x) = x3 − x2 y traza la grafica de la funcionderivada. Estudia las graficas.

SOLUCION. La funcion f(x) esta definida para todo numero real x, luego Df =R. En el EJEMPLO 6 vimos que el lımite del cociente de Newton de la funcionesta definido para todo x ∈ R, luego Df ′ = R, y el valor del lımite da la reglade correspondencia de la derivada, es decir

f ′(x) = 3x2 − x.

−0.5 0.5 1 1.5

−1

−0.5

0.5

1

−0.5 0.5 1

−1

−0.5

0.5

1

FIGURA 6.11 Grafica de f(x) = x3− x2 y de f ′(x) = 3x2

− 2x.

En la grafica de la derivada (lado derecho de la figura 6.11) vemos que en elintervalo (−∞, 0] la pendiente es positiva y va disminuyendo hasta 0 conformex esta mas y mas cerca de 0, lo cual describe el comportamiento de la grafica dellado izquierdo en donde vemos que conforme nos acercamos a 0 desde los neg-ativos, la curva esta cada vez menos empinada, hasta tener tangente horizontal—ahı el valor de la derivada es 0. En la grafica de la derivada vemos que en elintervalo [0, 2

3 ] la pendiente es negativa,

f ′(x) = 3x2 − 2x = 0 en x = 0 y x =2

3,

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mientras x varıa de 0 a 23 , la pendiente disminuye hasta que despues de x = 1

3vuelve a aumentar —manteniendose en los negativos—, cruza el eje de las x enx = 2

3 y es positiva en el intervalo [23 ,∞) tomando valores mas y mas grandes

conforme x esta mas lejos de x = 23 .

Podemos apreciar, de los ejemplos anteriores, que cuando la derivada tomavalores negativos la tangente a la grafica de la funcion tiene una inclinacion comoy = −x, mientras que si la derivada toma valores positivos la inclinacion de latangente a la grafica de la funcion es como y = x. En el capıtulo 8 usaremosestas propiedades para estudiar la forma de la grafica de una funcion a partirdel comportamiento de su funcion derivada.

Resumiendo el contenido de esta seccion, el procedimiento paraencontrar la funcion derivada a partir de su definicion es:

1. Dada f(x), halla el cociente de Newton f(x+h)−f(x)h

.

2. Ubicar los puntos para los cuales existe lımh→0

f(x+h)−f(x)h

, el

dominio de la funcion derivada es el conjunto de esos puntospara los que existe dicho lımite.

3. La regla de correspondencia de la funcion derivada es

f ′(x) = lımh→0

f(x + h) − f(x)

h.

El estudio de la funcion derivada nos ayuda a comprender laforma de la funcion original.

EJERCICIOS 6.4

En los ejercicios del 1 al 6, describir el dominio y dar la regla de correspondenciade la funcion derivada de la funcion dada. Describir las conclusiones obtenidasal estudiar la grafica de la funcion y de su derivada.

1. f(x) = x3 + 1. 2. g(x) = 3x − x2.

3. c(t) = −5t2 + 45t. 4. h(x) =√

x.

5. f(x) = x3 − x. 6. g(x) = |x| − 2.

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5. NOTA HISTORICA

El problema de hallar la tangente a una curva fue estudiado y resuelto paramultitud de casos particulares a traves de los anos. Casi todos los casos resueltos,sobre todo antes de los griegos, durante los griegos o por sus sucesores islamicos,la solucion requerıa de ingeniosas construcciones. Nadie desarrollo un metodo oalgoritmo que permitiera resolver facilmente el problema en nuevas situaciones.

EUCLIDES en los Elementos, la obra matematica mas importante de la epocade los griegos escrita hace aproximadamente 2,300 anos, en la definicion 2 delLibro III, describe lo que hoy entenderıamos como una tangente a un cırculo.

Se dice que una recta toca un cırculo si al trazarla y llegar al

cırculo, no lo corta.

Para EUCLIDES una tangente a un cırculo es una recta que toca al cırculo, sincruzarlo. Demostro, en la proposicion 16 del Libro III que la recta perpendicular

a un diametro de un cırculo trazada por uno de sus extremos queda fuera del

cırculo, y entre el espacio que hay entre esa recta y la circunferencia no se puede

interponer otra recta.

Mas adelante, en un corolario, muestra que dicha recta toca al cırculo. Laparte de la proposicion 16 respecto a que ninguna recta se puede interponer entre

la curva y la recta en cuestion, paso a formar parte de la definicion de tangenteantes de la introduccion del Calculo.

Posteriormente APOLONIO (– A.C.) en su obra Conicas, en el Libro I,analizo el problema de trazar la tangente a una parabola en un punto dado, pen-sandola, como EUCLIDES, como recta que toca pero no cruza la curva. Asimismomostro como trazar tangentes a elipses y a hiperbolas.

Cuando a principios del siglo diecisiete surge la geometrıa analıtica, los mate-maticos pudieron subitamente construir multitud de nuevas figuras, enfrentandoel problema de hallar nuevas maneras de trazar tangentes. En esa epoca todavıano se trabajaba con funciones, sino con curvas definidas mediante alguna relacionentre dos variables.

En KEPLER en su Nueva Geometrıa de Botellas de Vino, refiriendose ala variacion de volumen con la altura del maximo paralelepıpedo inscrito en unaesfera decıa

“Cerca del maximo, los decrementos en ambos lados son ini-

cialmente imperceptibles.”

KEPLER afirmaba que si se varıa en una pequena cantidad la altura del paralele-pıpedo maximo, la variacion en volumen es inicialmente imperceptible, casi nula

o, empleando el lenguaje de esta seccion, la tasa de cambio promedio alrededor

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del maximo es casi cero, y, en terminos de tangentes, la tangente en el maximo

es horizontal.

Alrededor de FERMAT mostro que su metodo de las adecuaciones desa-rrollado para resolver un problema de maximos se podıa adaptar para determinarla tangente a una curva.

Simultaneamente DESCARTES trabajaba en el problema de determinar la pen-diente de la normal a una curva, de donde facilmente se puede obtener la tan-gente.

A fines de los ’s, ROBERVAL (–) descubrio un metodo para deter-minar tangentes considerando que una curva esta generada por un punto enmovimiento, pero su metodo depende de la descripcion geometrica de la curva.

En una edicion de de la Geometrıa de DESCARTES, en el capıtulo Sobre

maximos y mınimos el holandes HUDDE simplifica los calculos necesarios en elmetodo de Descartes para hallar normales.

Tambien durante la segunda mitad del siglo diecisiete SLUSE nacido en Liege,desarrollo un metodo para encontrar la pendiente de tangentes a curvas descritasmediante ecuaciones polinomiales. Aunque no sabemos como llego a su resultado,quiza fue la generalizacion de multitud de ejemplos, su importancia radica, juntocon HUDDE, en que proporcionaron algoritmos generales mediante los cuales sepueden trazar tangentes a curvas representadas por medio de ecuaciones polino-miales.

El problema de trazar la tangente, junto con los conceptos de velocidad yaceleracion instantaneas origino a la larga el potente y comodo Calculo Infinite-

simal de LEIBNIZ y el metodo de las fluxiones de NEWTON. Hallar la tangente auna curva en un punto y hallar la velocidad de una partıcula que describe esacurva cuando alcanza ese punto son problemas matematicamente identicos.

Los metodos del cociente diferencial de Leibniz y de la fluxion de Newtonfueron descubiertos de manera independiente y casi simultanea. Parece queNEWTON lo descubrio primero pero fue LEIBNIZ el primero en publicarlo en .

En la leccion 3 de su Resumen de las clases impartidas en la Escuela Real

Politecnica sobre Calculo Infinitesimal, publicado en , CAUCHY define laderivada de una funcion de la manera que la expusimos en el presente capıtulo, yse considera el primero en usar explıcitamente la definicion moderna de derivadapara demostrar teoremas.

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cálculo diferencial e integral. borrador 1

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