clases de matematicas 4

UNIDAD 1: FUNCIONES POLINOMIALES.

CLASE 1FUNCIÓN.

Para comprender el concepto de función veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.Se les pidió a 10 alumnos de tercer semestre que escribieran su nombre y su calificación del curso de Matemáticas I:

Conjunto 1 Conjunto 2

Cecilia 10Miguel 7Joel 8Francisco 5Verónica Regla de 4Carolina correspondencia 6Norma 9

Dominio Rango

Regla de correspondencia: Es una situación real o un modelo matemático que asocia los elementos de los dos conjuntos.

En este caso la regla de correspondencia es: __________________________________________¿En este caso la regla de correspondencia es una situación real o un modelo matemático?______________________________________________________________________________

Ejemplo 2: Los siguientes conjuntos están relacionados por la regla de correspondencia y=2x+1 Conjunto x Conjunto y

01234 Regla de5 correspondencia

Dominio Rango

En este caso la regla de correspondencia es: __________________________________________¿En este caso la regla de correspondencia es una situación real o un modelo matemático?______________________________________________________________________________

A la regla de correspondencia también se le llama función.

1

Con los ejemplos anteriores ya podemos comprender el concepto de función.

Función: Es una regla de correspondencia en el cual todo elemento de un conjunto llamado Dominio (D) está asociado con uno y solo un elemento de otro conjunto llamado Rango (R).

Los ejemplos 1 y 2 ¿cumplen con el concepto de función? ______

Ejemplo 3. Los siguientes conjuntos asocian la música favorita de 5 amigos.

Conjunto 1 Conjunto 2

Carlos RockMiguel SalsaJuan Cha-cha-chaCarlos SalsaVerónica Función Grupera

Dominio Rango

Vamos a contestar lo siguiente:

a) Si en el conjunto 1 los elementos “Carlos” son los mismos, ¿Los dos conjuntos forman una función? _______ ¿Por qué?_______________________________________________________

b) Si en el conjunto 1 los elementos “Carlos” son diferentes, ¿Los dos conjuntos forman una función? _______ ¿Por qué?_______________________________________________________

Es muy importante distinguir los elementos de un conjunto, en este caso si los elementos “Carlos” son diferentes se les puede colocar las letras de su primer apeido.

Cabe aclarar que en la vida real si puede existir que a un Carlos le guste el Rock y la salsa, pero esos conjuntos no forman una función.

Ejemplo 4: Los siguientes conjuntos están relacionados por la regla de correspondencia y=±√x Conjunto x Conjunto y


Dominio Rango

¿Los conjuntos anteriores formen una función? ___________¿Por qué? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

Notación de una función.

Los siguientes conjuntos están relacionados por la regla de correspondencia y=x2+1

Conjunto x Conjunto y


Dominio Rango

El valor de “y” esta en función o depende del valor de “x”.

Es decir y=x2+1 también se puede escribir como f ( x )=x2+1

Grafica de una función.Toda función tiene una grafica que se puede obtener tabulando o por otros métodos.

Ejemplo 5: Graficar la siguiente función f ( x )=x2+1 por medio de una tabulación.

x f ( x )=x2+10123

D R

Vemos en la grafica que cada elemento del dominio (eje x) le corresponde uno del rango (eje y).

En este curso de Matemáticas 4 solo estudiaremos las funciones de modelos matemáticos.Las funciones que estudiaremos en el curso son las siguientes:

- constante - de primer grado

- Polinomiales - de segundo grado - Racionales - de tercer grado, etc.

Funciones - Con radicales - Trigonometricas

- Exponenciales- Logarítmicas

3

Ejercicio 1. Da un ejemplo de función indicando Dominio, Rango y regla de correspondencia.

Ejercicio 2. Da un ejemplo de no función indicando Dominio, Rango y regla de correspondencia.

Ejercicio 3. Indicar si la siguiente relación de dos conjuntos es una función y porque.

Amigas Novios

Cecilia JuanVerónica PedroNorma Lorenzo

Roberto Dominio Rango

Ejercicio 4. Indica si las siguientes graficas son funciones e indica porque.y y y

x x x

______________________ __________________________ ______________________________________________ __________________________ ________________________

4

CLASE 2FUNCION POLINOMIAL CONSTANTE Y FUNCIÓN POLINOMIAL DE PRIMER

GRADO.

La clase anterior vimos el concepto de función y también quedo establecido que solo trabajaríamos con funciones matemáticas.

El objetivo del curso es adquirir las herramientas para encontrar las raíces (soluciones), el dominio y el rango de dichas funciones matemáticas.

Raíz o solución de una función matemática: son los valores de la incógnita que satisfacen la igualdad.En una forma grafica la raíz o solución es la intersección(es) con el eje x f(x) f(x)

Dominio: Son los valores en el eje x para la cual la función existe.

Rango: Son los valores en el eje y para la cual la función existe.

FUNCIONES POLINOMIALES.

5

Los términos se separan por el signo “+” o “-“, Polinomios por 2 términos: Binomioen este caso el polinomio tiene ____ términos. su numero de 3 términos: Trinomio términos. etc.

y=4 x5 + 3x3−5 x + 4 Termino independiente (el que no tiene variable “x”)Coeficientes son los números que En este caso el termino independiente es _____Multiplican a la variable.

coeficiente de x5

es ____ El grado de un polinomio es el exponente de la incógnita

coeficiente de x3

es ____ de mayor grado, en este caso el polinomio es de ______coeficiente de x es ____ grado

Reducir términos semejantes y ordenar un polinomio. Si hay términos semejantes se reducen y el polinomio se ordena del término de mayor exponente al menor.

Ejemplo: Reducir y ordenar la siguiente función polinomial y=4 x5+3 x2−5x+4+x2+15−x3

Solución: y=4 x5+3 x2−5x+4+x2+15−x3

Llena la siguiente tabla:

Función polinomial

Reducir y ordenar

Nº de términos

Coeficientes Grado de la función

Terminoindependiente

y=4 x5+15−x33 (trinomio)

y=x5 +3x2−5 x

y=3

y=5−x

Para estudiar las funciones polinomiales es mas fácil hacer una división e irlas estudiando una por una.

6

- Función constante. - Función de primer grado (rectas)

División de las funciones polinomiales. - Función de segundo grado (cuadráticas) - Función de tercer grado

- etc.

FUNCIÓN CONSTANTE.

La función constante es de la forma y = cte. ó f(x) = cte.

Ejemplo 1: Sea la función y = 6, obtener a) grafica, b) raíces, c) dominio y rango.

Solución: a) Para obtener la grafica se obtiene una tabla de valores

D Rb) no tiene raíces por que no intersecta al eje x.

c) Dominio = (- ∞, ∞) Rango = Solo existe para y = 6

Ejemplo 2: Sea la función y = 0, obtener a) grafica, b) raíces, c) dominio y rango.

Solución:a) Para obtener la grafica se obtiene una tabla de valores

7

x f ( x )=5-2-10123

D R

b) Todos los Reales.

c) Dominio = (- ∞, ∞) Rango = Solo existe para y = 0

FUNCIONES POLINOMIALES DE 1er GRADO.

Son de la forma y=mx+b (la variable x esta elevada a la primera potencia)

¿De donde se obtienen las funciones de 1er grado? Veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1. El pago base de un vendedor de vajillas es de $1000 al mes, mas una comisión de $50 por cada vajilla que vende. El sueldo total mensual del vendedor se integra con el pago base más la comisión, determina:a) La función o el modelo matemático que representa el sueldo total mensual del vendedor.b) La grafica.c) Raíz (intersección con el eje x.)d) Dominio y Rango.Solución:

a) y = sueldo total, x = Nº de vajillas que vende. y=50 x+1000

b) Recuerda el postulado que dice “dos puntos determinan una recta”.

8

x f ( x )=0-2-10123

x y=50 x+1000010

c) Para y = 0

y=50 x+10000=50x+1000−1000=50x−100050

=x

−20=x d) Dominio = (- ∞, ∞) Rango = (- ∞, ∞)

Ejemplo 2. Elabora la grafica de la función f ( x )=2 x+3 .Determina: a) La grafica. b) Raíces c) Dominio y Rango.

Solución: a)

9

x f ( x )=2 x+3010

b) Para y = 0

f ( x )=2 x+30=2x+3−3=2x−32

=x

−1 .5=x c) Dominio = (- ∞, ∞) Rango = (- ∞, ∞)

Ejercicio 1: Sea la función y = -2, obtener a) grafica, b) raíces, c) dominio y rango.

Ejercicio 2. Elabora la grafica de la función f ( x )=−3 x .Determina: a) La grafica. b) Raíces c) Dominio y Rango.

10

CLASE 3FUNCIONES POLINOMIALES DE SEGUNDO GRADO.

En la clase anterior vimos como obtener la grafica, las raíces, el dominio y el rango de la función constante y la función polinomial de 1er. grado, en esta clase estudiaremos la función de 2º grado.

FUNCIONES POLINOMIALES DE 2º GRADO (FUNCIONES CUADRÁTICAS).

Son de la forma y=ax2+bx+c

11

¿De donde se obtienen las funciones cuadráticas? Veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1: Un ganadero desea construir un corral rectangular con 120 metros de malla de alambre. Calcular el área cercada en función de uno de sus lados.

Solución:

A=xy área en función de dos lados y

Obtenemos el perímetro (función de apoyo) x

Despejamos y

120−2x=2 y120−2x2

= y

Sustituimos en la función del área

A=x(120−2 x2 )

A=x(1202

−2x2 )

A=x (60−x )A=60 x−x2

A=−x2+60 x

Vemos el resultado que es una función cuadrática, el área (A) esta en función del lado x.

También podemos poner el resultado como A( x )=−x2+60 x

Como este ejemplo hay infinidad de problemas que se pueden representar por medio de una función cuadrática.

Características de la ecuación cuadrática:

Vértice. Punto a donde la parábola cambia de dirección.

El vértice lo obtenemos por medio de la siguiente formula:

V=(−( b2a ) , c−( b2

4 a )) .

V

12

P=2 x+2 y120=2x+2 y

Grafica. La grafica de una función cuadrática es una parábola.

si a < 0, abre hacia abajo (concavidad positiva)

si a > 0 abre hacia arriba (concavidad negativa)

eje de simetría eje de simetría

Raíces (Intersección con el eje x.) Igualamos la ecuación a cero y obtenemos los valores de x

y

x

Ejemplo 1: Obtener a)raíces b)grafica c)dominio y rango de la función cuadrática:A=−x2+50 x .

a) Raíces (Intersección con el eje x).

a = -1b = 50

13

A=−x2+50 x0=−x2+50 x

x=−b±√b2−4ac2a

=−50±√502−4 (−1)(0 )2(−1 )

x=−50±√2500−2

=−50±50−2

x1=−50+50−2

=0−2

=0

x2=−50−50−2

=−100−2

=50

c = 0

c) Grafica

a____ 0, abre hacia ______ concavidad __________

Vértice

Sustituyendo valores en la formula

V=(−(502(−1) ) ,−(502

4 (−1 ) ))=(−(50−2 ) ,−(2500

−4 ))=(−(−25 ) ,−(−625 ) )=(25 , 625 )

Vamos a obtener otros 4 puntos para colocarlos en la grafica.

14

x A=−x2+50 x0 05,0 22510,0 40015,0 52520,0 60025,0 62530,0 60035,0 52540,0 40045,0 22550 0

d) Dominio = (- ,) Rango = (- , 625)Ejemplo 2: Obtener a)raíces b)grafica c)dominio y rango de la función

cuadrática: y=x2+ x−6 .


y=x2+ x−60=x2+x−6

a = 1b = 1c = -6

b) Grafica

a____ 0, abre hacia ______ concavidad __________

Vértice


V=(−(12(1) ) ,−6−(12

4 (1) ))=(−(12 ) ,−6−(14 ))=(−1

2,−6−1

4 )=(−12,−24

4−1

4 )¿(−1

2,−

254 )== (−0 .5 ,−6 .25 )

15

x A=−x2+50 x10

400

20

600

30

600

40

400

x y-3,0 0-2,5 -2,25-2,0 -4,0-1,5 -5,25-1,0 -6,0-0,5 -6,250 -6,00,5 -5,251,0 -4,01,5 -2,252,0 0

x=−1±√12−4(1 )(−6 )2(1 )

x=−1±√1+242

=−1±√252

=−1±52

x1=−1+52

=42

=2

x2=−1−52

=−62

=−3

Vamos a obtener otros 4 puntos para colocarlos en la grafica.

d) Dominio = (- ,) Rango = (-6.25, )

Ejercicio : Obtener a)raíces b)grafica c)dominio y rango de la función cuadrática: y=− x2−1 .


y=− x2−10=−x2−1

16

x y=x2+ x−6-2-101

a = 1b = 1c = -6

No tiene solución en los números reales, no interseca al eje x.

b) Grafica

Vértice


V=(−(02(−1) ) ,−1−(02

4 (−1) ))=(0 ,−1 )

b) Raíces (Intersección con el eje x.)

21

x y-3,0

-10,0

-2,5

-7,25

-2,0

-5,0

-1,5

-3,25

-1,0

-2,0

-0,5

-1,25

0 -1,00,5 -1,251,0 -2,01,5 -3,252,0 -5,02,5 -7,253,0 -10,03,5 -13,25

x=±√−4(−1)(−1)2(−1)

x=±√−4−2

En este caso hacemos una tabulación. (3 valores a la izquierda del vértice y 3 a la derecha)

d) Dominio = (- , ) Rango = (-, -1)

CLASE 4FUNCIONES POLINOMIALES DE TERCER GRADO DE LA FORMA

y=ax3+bx2+cx

Algunos ejemplos de las funciones polinomiales de tercer grado de la forma y=ax3+bx2+cxson:

etc.

Para las funciones de este tipo se obtienen las raíces (intersección con el eje x) igualando la función a cero y factorizando, se realiza la grafica y se encuentra su dominio y rango.

Ejemplo 1. Obtener a) las raíces b) grafica y c) dominio y rango de la siguiente función

Solución: a) igualamos a cero la función y factorizamos.

Para obtener las raíces igualamos a cero ambos factores de la multiplicación.

22

x y=− x2−1-3-1013

a ) y=x3+2 x2+xb ) y=x3−x2

c ) y=−2x3+2x2+xd ) y=x3+x

y=x3 +2x2+ x

x3+2 x2+x=0x ( x2+2 x+1 )=0

x = 0 primera raíz.

Esta es una ecuación de segundo grado, tiene dos raíces, las obtenemos por medio de la formula general.

a = 1b = 2c = 1

Segunda y tercera raíz.

Las tres raíces son x1=0

x2 = -1, x3 = -1

b) grafica. Colocamos las raíces y obtenemos otros puntos intermedios

23


x=−2±√22−4(1 )(1)2(1 )

x=−2±√4−42

=−2±02

x=−2+02

=−22

=−1

x=−2−02

=−22

=−1

x2+2 x+1=0

c) Dominio = (- , ) Rango = (-,)


24

x y-2,0 -2,0-1,5 -0,375-1,0 0-0,5 -0,1250 00,5 1,1251,0 4,0

y=−2x3+2x2

Solución: a) igualamos a cero la función y factorizamos.

Para obtener las raíces igualamos a cero ambos factores de la multiplicación.


Esta es una ecuación de segundo grado, tiene dos raíces, las obtenemos por medio de la formula general.

a = 0b = 0c = 1 se cambio

Las tres raíces son x1= 0, x2 = 0, x3 = -1

b) grafica. Colocamos las raíces y obtenemos otros puntos intermedios

x y-1,0 4,00 00,1 0,0180,5 0,25

25

−2 x3+2 x2=0x (−2x2+2 x )=0


=−2±√22−4 (−2 )(0 )2(−2 )

=−2±√4−2

=−2±2−2

x1=−2+2−2

=0−2

=0

x2=−2−0−2

=−2−2

=1

−2 x2+2 x=0

1,0 01,5 -2,25

c) Dominio = (- , ) Rango = (-,)Ejercicio. Obtener a) las raíces b) grafica y c) dominio y rango de la siguiente función

y=x3 +2x2+3xSolución: a) igualamos a cero la función y factorizamos.

x3+2 x2+3 x=0x ( x2+2 x+3 )=0 Para obtener las raíces igualamos a cero ambos factores de la multiplicación.


x2+2 x+3=0 Esta es una ecuación de segundo grado, tiene dos raíces, las obtenemos por medio de la formula general.

a = 1b = 2c = 3 Recordemos que cuando el radical es negativo no existen raíces reales, las raíces son imaginarias. Las tres raíces son x1= 0, x2 = imaginaria, x3 = imaginaria.

b) grafica. Colocamos las raíces en el eje “x” y obtenemos otros puntos intermedios

26

x=−b±√b2−4 ac2a

=−2±√22−4(1 )(3)

2(1)=−2±√4−12

−2=−2±√−8

−2

x y-2,0 -6,0-1,0 -2,00 01,0 6,02,0 22,0

c) Dominio = (- , ) Rango = (-,)

CLASE 5DIVISIÓN DE POLINOMIOS (DIVISIÓN NORMAL)

Hay ocasiones en que un polinomio de tercer grado no se puede factorizar:

a ) y=x3+2 x2+x+3b ) y=x3−x2−5c ) y=−2x3+2x2+x+1

La división de polinomios nos servirá para encontrar las raíces de funciones polinomiales de tercer ó mayor grado que no se pueden factorizar.

Recordemos la división de números enteros. Si queremos dividir 275 8 cociente

divisor 8 275 dividendo La comprobación es 8 * 34 + 2 = 274

residuo

Lo mismo sucede con la división de polinomios

Ejemplo 1: dividir (3 x2+x−1 ) ÷ ( x+2 )

cociente

3 x−5

divisor x+2 3 x2 + x − 1 dividendo 9

residuo

comprobación.

27

Ejemplo 2: Dividir (2 x3− x2+x−1 )÷ (x−2 )

2 x2+3 x+7 comprobación.

x−2 2x3 − x2 + x − 113

Ejemplo 3: Dividir (−5 x+7−x2+2x3 ) ÷ (−3+x )

ordenando (2 x3− x2−5 x+7 ) ÷ ( x−3 )


x−3 2 x3 − x2 − 5x + 737

28

Ejemplo 4: Dividir (−5 x+7+2 x3) ÷ ( x−1 )

Ordenando: (2 x3−5x+7 ) ÷ (x−1 )

2 x2+2 x−3 comprobación.

x−1 2x3 − 5x + 74

Ejercicio 1: Dividir (2 x−x2+3−x3) ÷ ( x+2 )

Ordenando: (−x3−x2+2 x+3 ) ÷ ( x+2 )

−x2+x comprobación.

x+2 −x 3 − x2 + 2x + 3 3

29

Ejercicio 2: Dividir (−x2−1+x3) ÷ ( x−3 )

Ordenando: (x3−x2−1 ) ÷ (x−3 )

x2+2 x+6 comprobación.

x−3 x3 − x2 − 117

30

CLASE 6DIVISIÓN DE POLINOMIOS (DIVISIÓN SINTETICA)

División sintética.

Si queremos dividir polinomios (4 x3−x2−6 x+7) ÷( x−2 )es decir x−2 4 x3−x2−6x+7la división sintética nos ayuda

Procedimiento para efectuar la división sintética:

1. En el primer renglón se escribe el dividendo y el divisor.2. En el segundo renglón escribir los coeficientes del dividendo con su signo y el término

independiente del divisor con signo contrario.3. En el cuarto renglón se escribe el primer coeficiente del dividendo.4. El primer coeficiente se multiplica por el término independiente del divisor y el resultado se

escribe en el 3er. renglón, se suman los valores del 1er y 2º renglón y el resultado se coloca en el cuarto renglón, este resultado se vuelve a multiplicar hasta terminar todas las multiplicaciones..- El último número del cuarto renglón es el residuo- Los números del cuarto renglón son los coeficientes del cociente.- El polinomio obtenido es un grado menor que el original.

Ejemplo: Dividir (2 x3−x2−5 x+7 )÷( x−3 )

1er renglón 2x² +5x +10

2º renglón x−3 2 x3−x2−5 x+73er renglón --------4º renglón 37

2x² +5x +10

Comprobación

31

Dividendo Divisor2x3 -x2 -5x +7 x-3 2 -1 -5 7 3 6 15 30 2 5 10 37

2x2+5 x+10∗ x−3−6 x2−15 x−30

2 x3+5 x2+10 x ____2 x3−x2−5 x−30

+372 x3−x2−5 x+7

Ejemplo 1: dividir (x2−4 x−12 ) ÷ (x+2 )

comprobación.x−6

x+2 x2−4 x−12

Ejemplo 2: Dividir (2 x3− x2+x−1 )÷ (x−2 )


x−2 2x3 − x2 + x − 113

32

Ejemplo 3: Dividir (−5 x+7−x2+2x3 ) ÷ (−3+x )

ordenando (2 x3− x2−5 x+7 ) ÷ ( x−3 )


x−3 2 x3 − x2 − 5x + 737

Ejemplo 4: Dividir (−5 x+7+2 x3) ÷ ( x−1 )

Ordenando: (2 x3−5x+7 ) ÷ (x−1 )

2 x2+2 x−3 comprobación.

x−1 2x3 − 5x + 74

33

Ejercicio 1: Dividir (2 x−x2+3−x3) ÷ ( x+2 )

Ordenando: (−x3−x2+2 x+3 ) ÷ ( x+2 )

−x2+x comprobación.

x+2 −x 3 − x2 + 2x + 3 3

Ejercicio 2: Dividir (−x2−1+x3) ÷ ( x−3 )

Ordenando: (x3−x2−1 ) ÷ (x−3 )

x2+2 x+6 comprobación.

x−3 x3 − x2 − 1

34

17

CLASE 7FUNCIONES POLINOMIOS DE TERCER O MAYOR GRADO.


y=x3 +2x2−x−2Solución:

a) Se buscan los divisores del término independiente en este caso 2: _______________estos valores son las posibles raíces, se busca la primera raíz haciendo una tabulación y verificando el resultado, si el resultado es cero entonces es una raíz.

el resultado es cero 1 es raíz, se hace la división sintética.

raíz

x2 +3 x +2

buscamos las otras dos raíces por medio de la formula general

x2 +3 x +2a = 1b = 3

35

x y=x3 +2x2−x−21 y=13 +2(1)2−1−2=0

x3 +2 x2 −x −21 2 -1 -2 1

1 3 21 3 2 0

c = 2

Las tres raíces son: x1= 1, x2 = -1, x2 = -2.

b) grafica. Se colocan las raíces en el eje x y se buscan otros valores intermedios.

x y=x3 +2x2−x−2-3,0 -8,0

36


=−3±√32−4 (1)(2 )2(1)

=−3±√9−82

=−3±√12

=−3±12

x=−3+12

=−22

=−1

x=−3−12

=−42

=−2

0 -2,02,0 12,0

c) Dominio = (- , ) Rango = (-, )


y=x3−7 x+6Solución: a) se buscan los divisores del término independiente en este caso 6: _______________estos valores son las posibles raíces, se busca la primera raíz haciendo una tabulación y verificando el resultado, si el resultado es cero entonces es una raíz.


raíz

x2 +x −6

37

x y=x3−7 x+61 y=13−7 (1)+6=0

x3 −7 x +61 -7 6 1 1 1 -6 1 1 -6 0

buscamos las otras dos raíces por medio de la formula general x2+x−6 a = 1, b = 1, c = -6

Las tres raíces son: x1= 1, x2 = 2, x3 = -3

b) grafica. Se colocan las raíces en el eje “x” y se buscan otros valores intermedios.

c) Dominio = (- , ) Rango = (-, )Ejercicio. Obtener a) las raíces b) grafica y c) dominio y rango de la

siguiente función

y=x 4+4x3 -x2 -16x-12Solución:

a) Se buscan los divisores del término independiente en este caso 12: _______________estos valores son las posibles raíces, se busca la primera raíz haciendo una tabulación y verificando el resultado, si el resultado es cero entonces es una raíz.

el resultado no es cero 1 no es raíz.

el resultado es cero -1 es raíz, se hace la división sintética.

38

x y=x3−7 x+6-4 -300 63 12

x y=x 4+4x3 -x2 -16x-121 14+4(1 )3−(1)2 -16 (1)-12=

1+4-1-16-12=-24-1 (−1)4+4(-1 )3−(-1 )2 -16 (-1 )-12=

1−4 +1+16-12=0


=−1±√12−4 (1 )(−6)2(1)

=−1±√1+242

=−1±√252

=−1±52

x=−1+52

=42

=2

x=−1−52

=−62

=−3

raíz

x3 +3 x2 −4 x −12

Ahora tenemos un polinomio de 3er. grado repetimos el paso anterior.Se buscan los divisores del término independiente en este caso 12: _______________

el resultado no es cero 1 no es raíz.

el resultado no es cero -1 no es raíz.


x2 +5 x 6

buscamos las otras dos raíces por medio de la formula general

x2 +5 x 6a = 1b = 5c = 6

39

x4 +4x3 -x2 -16x -121 4 -1 -16 -12 -1 -1 -3 4 121 3 -4 -12 0

x y=x3 +3 x2−4 x−121 (1)3+3(1)2 -4 (1 )-12=

1+3-4-12=−12-1 (-1 )3+3( -1)2 -4 ( -1 ) -12=

-1+3+4-12=−62 (2)3+3(2)2 -4 (2)-12=

8+12-8-12=0

x3 +3 x2 −4 x −121 3 -4 -12 2 2 10 12 1 5 6 0


=−5±√52−4 (1)(6 )2(1)

=−5±√25−242

=−5±√12

=−5±12

x=−5+12

=−42

=−2

x=−5−12

=−62

=−3

Las tres raíces son: x1= -1, x2 = 2, x3 = -2, x4 = -3

b) Grafica. Se colocan las raíces en el eje “x” y se buscan otros valores intermedios.

x y=x 4+4x3 -x2 -16x-12-2.5

-1.68

0 -12

c) Dominio = (- , ) Rango = (-24, )

UNIDAD 2: FUNCIONES RACIONALES Y CON RADICALES.

CLASE 8FUNCIONES RACIONALES I.

Una Función Racional es una función formada por el cociente de 2 funciones.

Sean f(x) y g(x) dos funciones entonces la función F es una función racional de la forma:

F ( x )=f ( x )g ( x )

Ejemplos de funciones racionales:

40

a ) F( x )= 1x

b ) F ( x )= x+1

x2c ) F ( x )= 1

x+1d ) F ( x )= 3

x3+x2+3x−6

Asíntota: es una recta perpendicular al eje x ó al eje y en la cual la función se acerca cada vez más sin llegar a tocarla.

Ejemplo 1. Encontrar a) las asíntotas, b) la grafica, c) el dominio y el rango de la función

a) Asíntota en el eje x: se encuentra el valor para el cual el denominador es igual a cero x

= 0 una asintota en x = 0

Asíntota en el eje y: se obtiene de la grafica.

b) Gráfica.

41

xH ( x )= 1

xValores lejanos negativos.

-1000

-0.001

-500 -0.002

Valores a la izquierda de la asintota

-5,0 -0,2

-4,0 -0,25

-3,0 -0,3333

-2,0 -0,5

-1,0 -1,0

Valores cercanos a laasintota

-0.5 -2

-0.25 -4

0 0.25 4

0.5 2

Valores a la derecha de la asintota

1,0 1,0

2,0 0,5

3,0 0,3333

4,0 0,25

Valores lejanos positivos.

500 0.002

1000 0.001

H ( x )= 1x

c) Dominio: son todos los números reales en el eje x excepto el valor de la asíntota Dominio = (- ,0) U (0,) Rango = (- ,0) U (0,)

43

Ejemplo 2. Encontrar a) las asíntotas, b) la grafica, c) el dominio y el rango de la función

R( x )= 1x−1

a) Asíntota en el eje x: se encuentra el valor para el cual el denominador es igual a cero x−1=0x=1 una asintota en x = 1


b) Gráfica.

44

xR( x )= 1

x−1

Valores lejanos negativos.

-1000 -0.001

-500 -0.002


-4-0.20

-3-0.25

-2-0.33

-1-0.50

0-1.00

Valores cercanos a la

asintota

0.5-2.00

0.75-4.00

1

1.254.00

1.52.00


21.00

30.50

40.33

50.25


500 0.002

1000 0.001

c) Dominio: son todos los números reales en el eje x excepto el valor de la asíntota Dominio = (- ,1) U (1,) Rango = (- ,0) U (0,)

Ejercicio: Encontrar a) las asíntotas, b) la grafica, c) el dominio y el rango de la funcióna) Asíntota en el eje x: se encuentra el valor para el cual el denominador es igual a cero 6−x=0x=6 una asintota en x = 6


b) Gráfica.

45

xy= 2 x−x

6−x= x

6−xValores lejanos negativos.

-1000 -0,994

-500 -0,9881


0 01,0 0,2

2,0 0,5

3,0 1

4,0 2,0

5,0 5,0

Valores cercanos a laasintota

5.511

5.7523

6

6.25-25

6.5-13


7,0 -7

8,0 -4

9,0 -3

10,0 -2.5


500 -1,0121

1000 -1,006

c) Dominio: son todos los números reales en el eje x excepto el valor de la asíntota Dominio = (- ,6) U (6,) Rango = (- ,-1) U (-1,)

46

CLASE 9FUNCIONES RACIONALES II.

Ejemplo. Encontrar a) las asíntotas, b) la grafica, c) el dominio y el rango de la función

y= 5 x−3

x2−4a) Asíntota en el eje x: se encuentra el valor para el cual el denominador es igual a cero

x2−4=0 x2=4 x=±√4=±2x1=2x2=−2 dos asíntotas.Asíntota en el eje y: se obtiene de la grafica.

b) Gráfica.

47

c) Dominio: son todos los números reales en el eje x excepto el valor de la asíntota

Dominio = (- ,-2) U (-2,2) U (2,) Rango = (- ,)

Ejercicio 1. Encontrar a) las asíntotas, b) la grafica, c) el dominio y el rango de la función

y= 1

( x+1 )2

a) Asíntota en el eje x: se encuentra el valor para el cual el denominador es igual a cero


48

x y= 5 x−3

x2−4Valores lejanos negativos.

-1000

-0.005

-500 -0.01


-5-1.33

-4-1.91

-3-3.6

Valores cercanos a lasasintota

-2.5-6.88

-2.25-13.41

-2 -1.75 -8.32

-1.56

-12.66

00.75

1-0.66

1.5-2.57

1.75-6.13

2

2.257.76

2.54.22


32.4

41

51.04


500 0.01

1000 0.005

b) Gráfica.

c) Dominio: son todos los números reales en el eje x excepto el valor de la asíntota Dominio = (- ,-1) U (-1,) Rango = (0,)

49

xy= 1

( x+1 )2

Valores lejanos negativos.

-1000 1.02 x 10-6

-500 4.0160 x 10 -6


-5 0.062

-40.1111

-30.25

-21

Valores cercanos a las

asintota

-1.54

-1.2516

-1

-0.7516

-0.54


01

10.25

20.11

30.062


500 3.99x10-8

1000 9.99x10-9

Ejercicio 2. Encontrar a) las asíntotas, b) la grafica, c) el dominio y el rango de la función

y= 1

x3−8 x2+19 x−12

a) Asíntota en el eje x: se encuentra el valor para el cual el denominador es igual a cero.

x1=1x2=3x3=4Asíntota en el eje y: se obtiene de la grafica.

50

b) Gráfica.

c) Dominio: son todos los números reales en el eje x excepto el valor de la asíntota

51

x y= 1

x3−8 x2+19 x−12Valores lejanos negativos.

-1000 -9.9 x 10 -10

-500 -7.8 x 10 -9


-2-0.011

-1-0.025

0-0.083

Valores cercanos a las asintota

0.5-0.22

0.75-0.54

1

1.250.83

1.50.52

20.5

2.50.88

2.751.82

3

3.25-2.37

3.5-1.6

3.75 -1.934

4.250.98

4.50.38


50.125

60.033

70.013


500 8.1 x 10 -9

1000 1 x 10 -9

Dominio = (- ,1) U (1,3) U (3,) Rango = (-,0) U (0,)

CLASE 10FUNCIONES CON RADICALES I.

Ejemplo 1. Encontrar a) los valores para los cuales existe la raíz cuadrada, b) la grafica, c) el dominio y el rango de la función h ( x )=+√ x

Solución:a) valores para los cuales existe la raíz cuadrada de h ( x )=+√ x → x 0

b) Grafica.

52

x h ( x )=+√ x0 0.001 1.002 1.413 1.734 2.005 2.246 2.457 2.658 2.839 3.0010 3.16

x

y

0 2 4 6 8 10

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

Dominio = [0 , ) el símbolo [ indica que incluye a ese número.

Rango = [0 , )

Ejemplo 2. Encontrar a) los valores para los cuales existe la raíz cuadrada, b) la grafica, c) el dominio y el rango de la función h ( x )=+√ x+1

a) valores para los cuales existe la raíz cuadrada de h ( x )=+√ x+1 x+1≥0 x≥−1

b) Grafica.

53

x h ( x )=+√ x+1

-1 0.000 1.001 1.412 1.733 2.004 2.245 2.456 2.657 2.838 3.009 3.1610 3.32

x

y

0 2 4 6 8 10

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

Dominio = [-1 , ) el símbolo [ indica que incluye a ese número.

Rango = [0 , ) Ejemplo 3. Encontrar a) los valores para los cuales existe la raíz cuadrada, b) la grafica,

c) el dominio y el rango de la función h ( x )=+√4−x

a) valores para los cuales existe la raíz cuadrada de h ( x )=+√4−x 4−x ≥0−x≥−4

Regla: Cuando cambiamos signo a ambos miembros de la inecuación, la inecuación cambia. x≤ 4

54

x h ( x )=+√4−x

-7 3.32-6 3.16-5 3.00-4 2.83-3 2.65-2 2.45-1 2.240 2.001 1.732 1.413 1.004 0.00

x

y

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

Dominio = (- , 4] el símbolo [ indica que incluye a ese número.

Rango = [0 , )

Ejercicio. Encontrar a) los valores para los cuales existe la raíz cuadrada, b) la grafica, c) el dominio y el rango de la función h ( x )=−√4−x

a) valores para los cuales existe la raíz cuadrada de h ( x )=−√4−x 4−x ≥0−x≥−4

Regla: Cuando cambiamos signo a ambos miembros de la inecuación, la inecuación cambia. x≤ 4

55

x h ( x )=−√4−x

-7 -3.32-6 -3.16-5 -3.00-4 -2.83-3 -2.65-2 -2.45-1 -2.240 -2.001 -1.732 -1.413 -1.004 0

x

y

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4

-4

-3

-2

-1

0

Dominio = (- , 4] el símbolo [ indica que incluye a ese número.

Rango = (-, 0]

CLASE 11FUNCIONES CON RADICALES II.

Ejemplo 1. Encontrar a) los valores para los cuales existe la raíz cuadrada, b) la grafica, c) el dominio y el rango de la función h ( x )=√−16 +x2

a) valores para los cuales existe la raíz cuadrada de h ( x )=√−16 +x2

−16+x2≥0x2≥16x≥±√16

x≥4x≥±4

x≤-4 La raiz negativa hace que cambie el sentido de la inecuación.

56

y

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

1

2

3

4

5

6

7

Dominio = (- , 4] U [4, ) el símbolo [ indica que incluye a ese número.Rango = [0 , )

Ejemplo 2. Encontrar a) los valores para los cuales existe la raíz cuadrada, b) la grafica, c) el dominio y el rango de la función h ( x )=+√25−x2

a) valores para los cuales existe la raíz cuadrada de h ( x )=+√25−x2

25−x2≥0−x2≥−25

57

x h ( x )=√−16 +x2

-8,0 6.92-7,0 5.74-6,0 4.47-5,0 3-4,0 0-3,0 --2,0 --1,0 -0 -1,0 -2,0 -3,0 -4,0 05,0 36,0 4.477,0 5.748,0 6.92

x2≤25x≤±√25

x≤+5 x≤±5 x≥−5

La raiz negativa hace que cambie el sentido de la inecuación.

x

y

-6 -4 -2 0 2 4 6

0

1

2

3

4

5

58

x

h ( x )=¿+√25−x2

-5 0.00-4 3.00-3 4.00-2 4.58-1 4.900 5.001 4.902 4.583 4.004 3.005 0.00

Dominio = [-5, 5] el símbolo [ indica que incluye a ese número.

Rango = [0 , 5]

Ejemplo 3. Encontrar a) los valores para los cuales existe la raíz cuadrada, b) la grafica, c) el dominio y el rango de la función h ( x )=−√15−x2

3) valores para los cuales existe la raíz cuadrada de h ( x )=−√15−x2

15−x2≥0−x2≥−15x2≤15x≤±√15

x≤3.87 x≤±3.87 x≥−3.87

La raiz negativa hace que cambie el sentido de la inecuación.

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3,5

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

59

x

h ( x )=¿−√15−x2

-3.87 0-3 -2.44-2 -3.31-1 -3.740 -3.871 -3.872 -3.313 -2.443.87 0

Dominio = [-3.87, 3.87] el símbolo [ indica que incluye a ese número.

Rango = [-3.87 , 0]

Ejercicio. Encontrar a) los valores para los cuales existe la raíz cuadrada, b) la grafica, c) el dominio y el rango de la función h ( x )=−√ x2−10

a) valores para los cuales existe la raíz cuadrada de h ( x )=−√ x2−10

x2−10≥0

x2≥10x≥±√10

x≥3.16x≥±3.16

x≤−¿3.16 La raiz negativa hace que cambie el sentido de la inecuación.

60

xy

-6 -4 -2 0 2 4 6

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

Dominio = (- , 3.16] U [3.16, ) el símbolo [ indica que incluye a ese número.Rango = (- ,0]

CLASE 12FUNCIONES CON RADICALES III.

61

x h ( x )=¿−√ x2−10

-7,0 -6.24-6,0 -5.09-5,0 -3.83-4,0 -2.44-3.16 0-3,0 --2,0 --1,0 -0 -1,0 -2,0 -3,0 -3.16 04,0 -2.445,0 -3.876,0 -5.097,0 -6.24

Ejercicio 1. De la función: h ( x )=√ x2−4 x−5 Encontrar: a) Los valores para los cuales existe la raíz cuadrada, b) la grafica, c) El dominio y el rango de la función.

Solución: a) Los valores para los cuales existe la raíz cuadrada de h ( x )=√ x2−4 x−5

x2−4 x−5≥0Vamos a igualar a cero el polinomio y obtener las raíces

x2−4 x−5=0x1=5x2=−1

Tomamos valores dentro de los intervalos:Para x = -2 → h ( x )=√(−2)2−4 (−2 )−5=√4+8−5=√7=2.64Para x = 0 → h ( x )=√(0)2−4 (0 )−5=√−5→Notiene raíz realPara x = 6 → h ( x )=√(6)2−4 (6 )−5=√36−24−5=√7=2.64

x

y

-6 -4 -2 0 2 4 6 8

0

2

4

6

8

Dominio = (- , -1] U [5, ) Rango = [0, ) Ejercicio 2. De la función: h ( x )=√−x2+3x+4 Encontrar: a) Los valores para los cuales existe la raíz cuadrada, b) la grafica, c) El dominio y el rango de la función.

62

x y-5

6,32

-4

5,2

-3

4,0

-2

2,65

-1

0

5 06 2,657 4,08 5,29 6,32

Solución: a) Los valores para los cuales existe la raíz cuadrada de: h ( x )=√−x2+3x+4

Vamos a igualar a cero el polinomio y obtener las raíces−x2+3x+4=0

x1=−1x2=4

Tomamos valores dentro de los intervalos:Para x = -2 → h ( x )=√−(−2)2+3 (−2 )+4=√−4−6+4=√−6→No tieneraíz realPara x = 0 → h ( x )=√−(0)2+3 (0 )+4=√4=2Para x = 5 → h ( x )=√−(5)2+3 (5 )+4=√−25+15+4=√−6→Notiene raíz real

63

x

y

-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

0

0,5

1

1,5

2

2,5

Dominio = [- 1,4] Rango = [0,)

Ejercicio 3. De la función: h ( x )=−√−x2+4 x+12−1 Encontrar: a) Los valores para los cuales existe la raíz cuadrada, b) la grafica, c) El dominio y el rango de la función.

Solución: a) Los valores para los cuales existe la raíz cuadrada de: h ( x )=−√−x2+4 x+12

Vamos a igualar a cero el polinomio y obtener las raíces−x2+4 x+12=0

x1=−2x2=6

64

x y-1 00 2,01 2,451.5

2.5

2 2,453 2,04 0

Tomamos valores dentro de los intervalos:Para x = -3 → h ( x )=√−(−3)2+4 (−3 )+12=√−9−12+12=√−9→Notiene r .realPara x = 0 → h ( x )=√−(0)2+4 (0 )+12=√12=3.46Para x = 7 → h ( x )=√−(7)2+4 (7 )+12=√−49+28+12=√−9=→Notiene r .real

x

y

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-5

-4

-3

-2

-1

0

Dominio = [- 2,6] Rango = [-5,-1]UNIDAD 3: FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.

CLASE 13MEDIDAS DE ANGULOS Y SISTEMAS DE MEDICION.

Angulo: Es la unión de dos segmentos que tienen el mismo origen.

B BAC (la letra de en medio Es el vértice) A C

65

x y-2 -1,0-1 -3,650 -4,461 -4,872 -5,03 -4,874 -4,465 -3,65

Sistema sexagesimal

360°

Los ángulos se miden en grados (º).

En el sistema sexagesimal una circunferencia se divide en 360 grados, a su vez un grado se divide en 60 partes llamadas minutos (60’) y el minuto en 60 partes llamadas segundos(60’’)

60’ 60’’

1º 1’60’’

Conversión de grados-minutos-segundos.Por 60 Por 60

Grados minutos segundos

Sistema cíclico

Los ángulos se miden en radianes (rad).

Radian: medida angular, equivalente al ángulo que teniendo su vértice en el centro de un círculo, intercepta en la circunferencia de este círculo un arco de longitud igual a la del radio.

Conversión de grados a radianes.

(π/180) Grados Radianes

(180/ π)

El numero π.

De las siguientes circunferencias medir obtener el valor:

16.33/5.2

22.93/7.3

66

27.64/8.8

En cualquier circunferencia, el perímetro dividido entre el diámetro nos da un numero que

siempre es el mismo, es decir un numero constante, a este número se le llama π y vale

aproximadamente 3.141592…, para fines prácticos tomaremos π =3.1416

Ejercicios:

1. Convertir los siguientes grados a minutos y segundos.

a) 40.32º → 40º 0.32 * 60 = 19.2 → 19’ 0.2 * 60 = 12 “ 40.32º = 40º19’12”

b) 50.3º → 50º 0.3*60= 18’ 50.3º = 50º18`

c) 18.255º → 18º 0.255*60=15.3→15’

67

0.3*60=18” 18.255º=18º15’18”

b) 61.24º →61º 0.24*60=14.4→14’ 0.4*60=24” 61.24º = 61º14’24”

2. ¿Cuántos grados hay en una circunferencia?360 °

3. ¿Cuántos radianes hay en una circunferencia?

4. ¿Cuántos radianes hay en un grado?1º → 1(π/180) = 1(3.1416/180) = 0.01745 rad1º = 0.01745rad

5. ¿Cuántos grados hay en un radian? 1rad→ 1(180/ π) = 57.29º1rad = 57.29º

6. Convierte los siguientes ángulos a radianes y comprobar que la suma de radianes es 6.28

7. Convertir los siguientes radianes a grados y comprobar que la suma de ángulos es igual a 360°.

68

8. completa los siguientes valores:

x

G 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360R 0 /6

= 0.523

CLASE 14FUNCION SENO Y COSENO (CARACTERISTICAS)

Las Funciones trigonométricas son funciones periódicas, es decir se repiten cada ciertos grados.En la gráfica siguiente podemos observar una función periódica.

69

x

y

-1

-0,5

0

0,5

1

x

y

-1

-0,5

0

0,5

1

Funciones seno y coseno en su forma general:

y = A sen (B x+C)+D y = A cos (B x+C)+D

Características de las funciones trigonométricas:

Amplitud: valor pico apico

2 → A

Periodo: cada cuantos grados se repite la función → P=360 º

B

Defasamiento: donde empieza y termina la función → donde empieza donde termina

Def e=−C

B Def t=

360−CB

Desplazamiento: desplazamiento hacia arriba o hacia abajo en el eje y → D

Ejemplo 1. De las funciones y , a) Obtener las características, b) Graficar en el mismo plano cartesiano, c) Dominio y rango

Solución.

a) Características.

y = sen x y = 2sen x

Características. A = 1, B = 1, C = 0, D = 0 Características. A = 2, B = 1, C = 0, D = 0

70

A=1 P=360 º

1=360 º

Def e=− 01

=0

Def t=360−0

1=360

1=360 º

(estos 2 valores se utilizan para tabular)

No hay desplazamiento

A=1 º360

1

º360P

Def e=− 01

=0

Def t=360−0

1=360

1=360 º



x(grados) y = sen x y = 2sen x

0Sen(0) = 0

2sen(0) = 2(0) = 0

30Sen (30) = 0.5

2sen(30) = 2(0.5) = 1

60Sen (60) = 0.87

2sen(60) = 2(0.87) = 1.74

901.00

2

1200.87

1.74

1500.50

1

1800.00

0

210-0.50

-1

240-0.87

-1.73

270-1.00

-2

300-0.87

-1.73

330-0.50

-1

3600.00

0

b) grafica.

71

c) Dominio y Rango D = (-∞, ∞) R= (-1, 1)

D = (-∞, ∞) R= (-2, 2)

Ejemplo 2. De las funciones y , a) Obtener las características, b) Graficar en el mismo plano cartesiano, c) Dominio y rango Solución. a) Características.

b) grafica.

x(grados) y = cos x y = 2cos x

0Cos (0) = 1

2 cos (0) = 2(1) = 2

30Cos (30) = 0.86

2 cos (30) = 2(0.86) = 1.72

60Cos (60) = 0.5

2 cos (60) = 2(0.5) = 1

900.00

0

120-0.50

-1

150-0.87

-1.73

180-1.00

-2

210-0.87

-1.73

240 -0.50 -1

72

y = cos x y = 2cos xCaracterísticas. A=1, B=1, C=0, D=0

A=1 P=360 º

1=360 º

Def e=− 01

=0

Def t=360−0

1=360

1=360 º



Características. A=2, B=1, C=0, D=0

A=1 º360

1

º360P

Def e=− 01

=0

Def t=360−0

1=360

1=360 º



2700.00

0

3000.50

1

3300.87

1.73

3601.00

2

73

c) Dominio y Rango D = (-∞, ∞) R= (-1, 1)

D = (-∞, ∞) R= (-2, 2)

CLASE 15FUNCION SENO Y COSENO II

En la clase anterior vimos que pasa con la grafica de una función trigonométrica si cambiamos el valor de A, observamos que la amplitud cambia:


en esta clase vamos a observar que pasa con la grafica de una función trigonométrica si cambiamos el valor de B:


Ejemplo 1. De las funciones y=3 sen x y y=3 sen2 x , a) Obtener las características, b) Graficar en el mismo plano cartesiano, c) Dominio y rango

Solución.


y = 3 sen x y = 3 sen 2x

Características. A = 3, B = 1, C = 0, D = 0

A=3

P=360 º1

=360 º

Def e=− 01

=0

Def t=360−0

1=360

1=360 º


A=1

P= 360−02

=180°

Def e=− 02

=0

Def t=360−0

2=360

2=180 º

74


D = No hay desplazamiento



75

x(grados) y = 3 sen x

0

3 Sen(0) = 0

301.5

60

2.6

903

1202.6

1501.5

1800

210-1.5

240-2.6

270-3

300-2.6

330-1.5

3600

x(grados) y = 3 sen 2x

03 sen 2(0) = 3 sen 0 = 3(0)

151.5

302.6

45

3

60 2.6

75 1.5

90 0

105 -1.5

120 -2.6

135 -3

150 -2.6

165 -1.5

180 0

¿Qué pasa con la grafica de una función trigonométrica si cambiamos el valor de B? ________________________________________________________________________________________

c) Dominio y Rango: y = 3 sen x D = (-∞, ∞) R= (-3, 3)

y = 3 sen 2x D = (-∞, ∞) R= (-3, 3)

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3

76

Ejemplo 2. De las funciones y=4 cos x y y=4 cos 2x , a) Obtener las características, b) Graficar en el mismo plano cartesiano, c) Dominio y rango Solución. a) Características.

y = 4 cos x y = 4 cos 2x


A= 4 P=360 º

1=360 º

Def e=− 01

=0

Def t=360−0

1=360

1=360 º




A= 4 P= 360−02 =180°

Def e=− 02

=0

Def t=360−0

2=360

2=180 º



b) Gráfica

77

78

x(grados) y = 4 cos x

0 4

303.46

602

90 0

120 -2

150-3.46

180-4

210-3.46

240 -2

2700

3002

3303.46

3604

x(grados) y = 4 cos 2x0 4

15 3.46

302

450

60-2

75-3.46

90-4

105-3.46

120-2

1350

1502

1653.46

1804

¿Qué pasa con la grafica de una función trigonométrica si cambiamos el valor de B? ________________________________________________________________________________________

c) Dominio y Rango: y = 4 cos x D = (-∞, ∞) R= (-4, 4)

y = 4 cos 2x D = (-∞, ∞) R= (-4, 4)

x

y

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

79

CLASE 16FUNCION SENO Y COSENO III

En la clase 14 vimos que pasa con la grafica de una función trigonométrica si cambiamos el valor de A, observamos que la amplitud cambia:


En la clase 15 vimos que pasa con la grafica de una función trigonométrica si cambiamos el valor de B, observamos que el periodo y el defasamiento cambian.


En esta clase vamos a ver que pasa con la grafica de una función trigonométrica si cambiamos el valor de C.


Ejemplo 1. De las funciones y=3 sen x y y=3 sen(x+30 °) a) Obtener las características, b) Graficar en el mismo plano cartesiano, c) Dominio y rango

Solución.


y = 3 sen x y = 3 sen (x+30°)


A=3

P=360 º1

=360 º

Def e=− 01

=0

Def t=360−0

1=360

1=360 º



Características. A = 3, B = 1, C = 30°, D = 0

A=3

P= 3601

=360 °

Def e=−30 °1

=−30 °

Def t=360−30°

1=330 °

1=330 º



80

81

x(grados) y = 3 sen x

0

3 Sen(0) = 0

301.5

60

2.6

903

1202.6

1501.5

1800

210-1.5

240-2.6

270-3

300-2.6

330-1.5

3600

x(grados) y = 3 sen (x+30°)

-303sen(-30+30) = 3 sen0=3(0) = 0

01.5

302.6

603

902.6

1201.5

1500

180-1.5

210-2.6

240-3

270-2.6

300-1.5

3300

¿Qué pasa con la grafica de una función trigonométrica si cambiamos el valor de C? ________________________________________________________________________________________

c) Dominio y Rango: y = 3 sen x D = (-∞, ∞) R= (-3, 3)

y = 3 sen (x+30°) D = (-∞, ∞) R= (-3, 3)

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3

82

Ejemplo 2. De las funciones y= 72

cos x y y= 72co s(x−15 °) , a) Obtener las características, b)

Graficar en el mismo plano cartesiano, c) Dominio y rango Solución. a) Características.

y= 72

cos x y= 72

cos(x−15° )

Características. A = 3.5, B = 1, C = 0, D = 0

A=3.5 P=360 º

1=360 º

Def e=− 01

=0

Def t=360−0

1=360

1=360 º


Características. A = 3.5, B = 1, C = -15°, D = 0

A=3 P= 3601

=360 °

Def e=−−15 °1

=15 °

Def t=360−(−15° )

1=375 °

1=375º


83

x(grados)

y= 72

cos x

0 3.5 cos (0) = 3.5

30 3.5 cos (30) = 3.03

60 1.75

90 0

120 -1.75

150 0

180 -3.5

210 -3.03

240 -1.75

270 0

300 1.75

330 3.03

360 3.5

x(grados)

y= 72

cos(x−15° )

15 3.5cos( 15-15)= 3.5cos 0 =3.5(1) = 3.5

45 3.5cos( 45-15)= 3.5cos 30 =3.03

75 1.75

105 0

135 -1.75

165 -3.03

195 -3.5

225 -3.03

255 -1.75

285 0

315 1.75

345 3.03

3753.5

¿Qué pasa con la grafica de una función trigonométrica si cambiamos el valor de C? ________________________________________________________________________________________

c) Dominio y Rango: y = 3.5cos x D = (-∞, ∞) R= (-3.5, 3.5)

x

y

-3

-2

-1

0 1 2 3

84

y = 3.5 cos (x-15°) D = (-∞, ∞) R= (-3.5, 3.5)

CLASE 17FUNCION SENO Y COSENO IV

En la clase 14 vimos que pasa con la grafica de una función trigonométrica si cambiamos el valor de A, observamos que la amplitud cambia:


En la clase 15 vimos que pasa con la grafica de una función trigonométrica si cambiamos el valor de B, observamos que el periodo y el defasamiento cambian.


En la clase 16 vimos que pasa con la grafica de una función trigonométrica si cambiamos el valor de C. observamos que el defasamiento cambia.


En esta clase vamos a ver que pasa con la grafica de una función trigonométrica si cambiamos el valor de D.


Ejemplo 1. De las funciones y=sen ( x+10 ° ) y y=sen ( x+10 ° )+1 a) Obtener las características.b) Graficar en el mismo plano cartesiano, c) Dominio y rango

Solución.a) Características.

y=sen ( x+10 ° ) y=sen ( x+10 ° )+1


A=1 P=360 º

1=360 º

Def e=−101

=−10

Def t=360−10

1=350

1=350 º



A = 1 P= 3601

=360 °

Def e=−10 °1

=−10 °

Def t=360−10°

1=350 °

1=350 º

D = 1

85

86

x(grados)

y=s en (x+10 ° )

-10Sen (-10+10)

Sen 0 = 0

20 0.5

50

0.86

801

1100.86

1400.5

1700

200-0.5

230-0.86

260-1

290-0.86

320-0.5

3500

x(grados)

y=sen ( x+10 ° )+1

-10sen(-10+10) + 1

sen(0)+10+1 = 1

20 1.5

501.87

802

1101.87

1401.5

1701

2000.5

2300.13

2600

2900.13

3200.5

3501

¿Qué pasa con la grafica de una función trigonométrica si cambiamos el valor de D? ________________________________________________________________________________________

c) Dominio y Rango: y = sen (x+10) D = (-∞, ∞) R= (1, 1)

y = sen (x+10°) +1 D = (-∞, ∞) R= (0, 2)Ejemplo 2. De las funciones y=2cos (x+20 ° ) y y=2cos (x+20 ° )+2 a) Obtener las característicasb) Graficar en el mismo plano cartesiano, c) Dominio y rango

Solución.a) Características.

y=2cos (x+20 ° ) y=2cos (x+20 ° )+2


A=2 P=360 º

1=360 º

Def e=−201

=−20

Def t=360−20

1=340

1=340 º



A = 2 P= 3601

=360 °

Def e=−20°1

=−20 °

Def t=360−20°

1=340 °

1=340 º

D = 2

87

x(grados)

y=2cos (x+20 ° )

-20 2.00

10 1.73

40 1.00

70 0.00

100 -1.00

130 -1.73

160 -2.00

190 -1.73

220 -1.00

250 0.00

280 1.00

310 1.73

340 2.00

x(grados)

y=2cos (x+20 ° )+2

-20 4.00

10 3.73

40 3.00

70 2.00

100 1.00

130 0.27

160 0.00

190 0.27

220 1.00

250 2.00

280 3.00

310 3.73

340 4.00

¿Qué pasa con la grafica de una función trigonométrica si cambiamos el valor de D? ________________________________________________________________________________________

c) Dominio y Rango: y = 2 cos (x + 20) D = (-∞, ∞) R= (2, 2)

y = 2 cos (x + 20) + 2 D = (-∞, ∞) R= (0, 4)

x

y

-2 -1 0 1 2 3 4

88

CLASE 18FUNCION EXPONENCIAL CRECIENTE.

1. ¿Cómo podemos hacerle para calcular cuántos granos de arroz le dará el rey al vasallo? ______ _____con una tabla de valores____________________________________________________

xcuadro

yGranos de arroz

1 1 2x−1

2 2 2x−1

3 4 2x−1

4 8 2x−1

5 16 2x−1

6 32 2x−1

7 64 2x−1

8 128 2x−1

9 256 2x−1

10 512 2x−1

11 1024 2x−1

12 2048 2x−1

13 4096 2x−1

14 8192 2x−1

15 16384 2x−1

… … …

x

y

-1

-0,5 0

0,5 1

1,5 2

89

64 2x−1

2. Elabora la grafica para los 10 primeros valores, obtén el dominio y el rango.

x

y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0

5000

10^4

1,5x10^4

3. ¿Cuál es el modelo matemático 4. Ahora utilizando la función obtenida calcula los que me represente esa situación? siguientes valores

y=2x−1

4. ¿Qué conclusión obtienes sobre el vasallo, fue muy ingenuo o muy listo y porque? _________ ____________________________________________________________________________

5. ¿Qué conclusión obtienes sobre el rey, fue muy ingenuo o muy listo y porque? _____________ ____________________________________________________________________________

90

x y

20y=220−1=219=¿

40

50

60

64

Función Exponencial: es una función de la forma xay donde a es un número real positivo

diferente de uno.Ejercicio 1: A una empresa le ofrecen dos empleos con duración de 14 días. En el primero le pagan de tal manera que se duplica su salario cada día y gana 2 pesos el primer día de trabajo, 4 pesos el segundo, 8 pesos el tercero, y así sucesivamente. En el segundo empleo le pagan $1300 pesos diarios.

1. Elabora una tabla que contenga los 14 días de la primera opción y una tabla para los 14 días de la segunda opción.

1er empleo xdía

ypago

1234567891011121314

91

x

y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0

5000

10^4

1,5x10^4

3. Obtén el modelo matemático para cada empleo.

4. ¿Cuál de los dos empleos representa una función exponencial? _________________________

5. ¿Cuál empleo le conviene tomar a la empresa? ______________________________________

Ejercicio 2. Si un lirio de un lago se reproduce de manera que el primer día cubre 3 m2 de superficie y cada mes que pasa se va triplicando.

a) Elabora una tabla con 8 meses.b) Elabora la grafica y obtén Dominio y Rangoc) Obtén el modelo matemático.

Solución:

Mes Superficie (m2)1 32 9

92

2° empleox

díay

pago 1234567891011121314

3 274 815 2436 7297 21878 6561

x

y

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0

2000

4000

6000

CLASE 19FUNCION EXPONENCIAL DECRECIENTE.

Decaimiento exponencial: No todas las cosas crecen, algunas decrecen o decaen. Una cantidad decrece exponencialmente cuando su disminución es proporcional a lo que ya existía. Se habla entonces de un decaimiento exponencial.

Ejercicio 1. Los isotopos radioactivos (átomos cuyos núcleos tienen el mismo número de protones, pero con diversas combinaciones de neutrones) decaen de acuerdo con la formula:

A=A0(2¿¿ −th

)¿ A= masa en gramos del isotopo después de un tiempo dado t

A0 = masa inicial del isotopo en gramos. t = tiempo transcurrido h = vida media del isotopo.Si se sabe que la vida media del isotopo radioactivo Ti-110 es de 4 horas, si la cantidad inicial es de 257.6 gramos.

En este caso A0 = ________ h = _________

Si sustituimos los valores, la función nos queda: A=257.6(2¿¿ −t4

)¿

93

a) Graficar la función. de 0 a 10 horasb) Obtener Dominio y Rango

Solución:

94

a) grafica Ejercicio 2. El dueño de una papelería estima que el valor V(t)de una fotocopiadora disminuye con el paso del tiempo de acuerdo a la función: V (t )=15000 (2−0.15 t ), donde t es el número de años transcurridos desde la adquisición de la maquina, y V(t) está dado en pesos

a) Graficar la función. de 0 a 35 añosb) Obtener Dominio y Rango

t(años)

Valor(pesos)

0

95

thoras

masa(gramos)

1

2

3

4

5

6

7

864.1

9

10

5891.9

10

15

20

25

30

35

b) grafica

Ejercicio 3. Se estima que el valor V(t) de un automóvil disminuye de acuerdo con la función: V ( t )=200,000(2−0.15t), donde t es el número de años transcurridos desde la adquisición del carro y V(t) está en pesos. a) Graficar la función. de 0 a 10 años b) Obtener Dominio y Rango c) ¿En cuanto se estima el valor del carro para 20 años?Solución:

t(años)

Valor(pesos)

0123

96

45678910

b) Grafica

x

y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

5x10^4

10^5

1,5x10^5

2x10^5

2,5x10^5

CLASE 20FUNCION LOGARITMICA (I)

¿Si tenemos el numero 4 a que potencia hay que elevarlo para obtener el numero 16?______Potencia

4 x=16

Base (numero al que hay que elevar la potencia) Número dado

Obtén las siguientes potencias a las que hay que elevar la base para obtener el número dado.

a) 2x=16 x = ___ b) 3x=27 x = ___ c) 7x=7 x = ___ d) 10x=50 x = ___

97

En el inciso d) no es tan fácil obtener la potencia, para ello se utiliza una operación llamada logaritmo, colocamos los números de acuerdo a la siguiente operación y utilizamos nuestra calculadora.

Número dado

log10 50=1.69Potencia

Base

Hay que notar que nuestra calculadora solo calcula logaritmos en base 10, y en base e (2.71), ¿Qué pasa si queremos hacer la siguiente operación?

3x=5 El logaritmo nos queda: log3 5=x

Utilizamos la siguiente propiedad: loga x=log x

log a ó log a x=ln x

ln a

Entonces la operación nos queda: log3 5= log5log3

= 0.690.47

=1.46 x = 1.46

Ejercicio 1. Calcular las siguientes potenciasa) 5x=15 log 5 15 = x

log5 15=log15

log5= 1. 17

0. 69=1 . 69

o log5 x=ln 15

ln 5= 2 .7

1 .6=1.68

b) 4 x=18 log 4 18 = x

c) 10x=160 log 10 160 = x

Ejercicio 2. Graficar la siguiente función, obtener dominio y rango: xy log

(si no está indicada la base significa que su valor es10, se obtiene directo de la calculadora)

Ejercicio 3. Graficar la siguiente función, obtener dominio y

98

x y = log x-1 --0.5 -0.1 -1,00.5 -0,3011 02 0,3013 0,47714 0,60215 0,6996 0,77827 0,84518 0,90319 0,95410 1

y = ln x

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 2 4 6 8 10 12

obtener dominio y rango: xy log

(si es logaritmo natural la base es 2.7182, se obtiene directo de la calculadora)

Graficar la función: y=log3 x

x y=log3 x-1

-0.5

0.1

0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

99

x y = ln x-1

-0.50,1 2,302585090,5 0,693147181 02 0,693147183 1,098612294 1,386294365 1,609437916 1,791759477 1,945910158 2,079441549 2,1972245810 2,30258509

9

10

CLASE 21FUNCION LOGARITMICA (II)

Propiedades de los logaritmos

log a x=log xlog a

log a x=ln xln a

loga xy=loga x+loga y ln xy=ln x+ ln y

logaxy

= loga x−loga y lnxy

=ln x−ln y

log a x

n=n loga x ln xn=n ln x

Para “x”, “y”, “a”, “n” reales positivos y “a” diferente de 1.

Desarrollar los siguientes logaritmos utilizando las propiedades.

100

clases de matematicas 4

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