Nmeros naturales. ndice

1.1El conjunto de los nmeros naturales 1.2Suma de nmeros naturales. Propiedades 1.3Diferencia de nmeros naturales. Propiedades 1.4Producto de nmeros naturales. Propiedades 1.5Cociente de nmeros naturales. Propiedades 1.6Potencias de exponente natural. 1.7Operaciones combinadas. Prioridad de las operaciones 1.8La operacin raz cuadrada. 1.9Clculo de una raz cuadrada paso a paso. 1.10Resumen. Ejercicios de nmeros naturales Problemas de nmeros naturalesNmeros naturalesElconjunto de los nmeros naturalesestformado por:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}Con losnmeros naturalescontamos los elementos de un conjunto (nmero cardinal). O bien expresamos la posicin u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal).

Losnmeros naturalesestnordenados, lo que nos permite comparar dosnmeros naturales:

5>3; 5 esmayor que3.

3 9, tomamos como resultado 9.

5El cociente que se obtenga se coloca detrs del duplo de la raz, multiplicando el nmero formado por l, y restndolo a la cantidad operable del radicando.

Si hubisemos obtenido un valor superior a la a la cantidad operable del radicando, habramos probado por 8, por 7...hasta encontrar un valor inferior.

6El cociente obtenido es la segunda cifra de la raz.

7Bajamos el siguiente par de cifras y repetimos los pasos anteriores.

Como 5301 > 5125, probamos por 8.

Subimos el 8 a la raz.

8Prueba de la raz cuadrada.Para que el resultado sea correcto, se tiene que cumplir:

Radicando = (Raz entera)2+ Resto89 225 = 2982+ 421Operaciones combinadas con nmeros naturales

Prioridad de las operaciones

1.Efectuar las operaciones entreparntesis, corchetes y llaves.2.Calcular laspotencias y races.

3.Efectuar losproductosycocientes.

4.Realizar lassumasyrestas.

Tipos de operaciones combinadas

1.Operaciones combinadas sin parntesis

1.1Combinacin de sumas y diferencias.9 7 + 5 + 2 6 + 8 4 =

Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones segn aparecen.

= 9 7 + 5 + 2 6 + 8 4 =71.2Combinacin de sumas, restas y productos.3 2 5 + 4 3 8 + 5 2 =

Realizamosprimerolasmultiplicacionpor tener mayorprioridad.

= 6 5 + 12 8 + 10 =

Efectuamos lassumas y restas.

= 6 5 + 12 8 + 10 =151.3Combinacin de sumas, restas , productos y divisiones.10 : 2 + 5 3 + 4 5 2 8 + 4 2 16 : 4 =

Realizamos losproductos y cocientesen el orden en el que los encontramos porque las dos operaciones tienen la mismaprioridad.

= 5 + 15 + 4 10 8 + 8 4 =

Efectuamos lassumas y restas.

= 5 + 15 + 4 10 8 + 8 4 =101.4Combinacin de sumas, restas , productos , divisiones y potencias.23+ 10 : 2 + 5 3 + 4 5 2 8 + 4 22 16 : 4 =

Realizamos en primer lugar laspotenciaspor tener mayorprioridad.

= 8 + 10 : 2 + 5 3 + 4 5 2 8 + 4 4 16 : 4 =

Seguimos con losproductos y cocientes.

= 8 + 5 + 15 + 4 10 8 + 16 4 =

Efectuamos lassumas y restas.

=262.Operaciones combinadas con parntesis(15 4) + 3 (12 5 2) + (5 + 16 : 4) 5 + (10 23) =

Realizamos en primer lugar lasoperaciones contenidas en ellos.

= (15 4) + 3 (12 10) + (5 + 4) 5 + (10 8 )=

Quitamos parntesisrealizando las operaciones.

= 11 + 3 2 + 9 5 + 2 =183.Operaciones combinadas con parntesis y corchetes

[15 (23 10 : 2 )] [5 + (3 2 4 )] 3 + (8 2 3 ) =

Primerooperamos con laspotencias, productos y cocientes de los parntesis.

= [15 (8 5 )] [5 + (6 4 )] 3 + (8 6 ) =Realizamos lassumas y restas de los parntesis.= [15 3] [5 + 2 ] 3 + 2 =

En vez de poner corchetes pondremos parntesis directamente:

= (15 3) (5 + 2) 3 + 2=Operamos en losparntesis.

= 12 7 3 + 2

Multiplicamos.

= 84 3 + 2=

Restamos y sumamos.

= 83Resumen

Losnmeros naturalesse utilizan paracontarlos elementos de un conjunto (nmero cardinal). O para expresar la posicin uordenque ocupa un elemento en un conjunto (ordinal).

Propiedades de la suma

1.Interna:a + b

INCLUDEPICTURE "http://www.vitutor.com/images/numeros/N.gif" \* MERGEFORMATINET 2.Asociativa:(a + b) + c = a + (b + c)3.Conmutativa:a + b = b + a4.Elemento neutro:a + 0 = aPropiedades de la resta

1.No es una operacin interna: 2 5

INCLUDEPICTURE "http://www.vitutor.com/images/numeros/N.gif" \* MERGEFORMATINET 2.No es Conmutativa: 5 2 2 5

Propiedades de la multiplicacin

1.Interna:a b

INCLUDEPICTURE "http://www.vitutor.com/images/numeros/N.gif" \* MERGEFORMATINET 2.Asociativa:(a b) c = a (b c)3.Conmutativa:a b = b a4.Elemento neutro:a 1 = a5.Distributiva:a (b + c) = a b + a c6.Sacar factor comn:a b + a c = a (b + c)Propiedades de la divisin

1.Divisin exacta:D = d c

2.Divisin entera:D = d c + r3.No es una operacin interna: 2 : 6

INCLUDEPICTURE "http://www.vitutor.com/images/numeros/N.gif" \* MERGEFORMATINET 4.No es Conmutativo: 6 : 2 2 : 6

5.Cero dividido entre cualquier nmero da cero.0 : 5 =0

6.No se puede dividir por 0.Propiedades de las potencias

1.a0= 12.a1= a3.Producto de potencias con la misma base:am an= am+n4.Cocointe de potencias con la misma base:am: an= am - n5.Potencia de una potencia:(am)n= am n

6.Producto de potencias con el mismo exponente:an bn= (a b)n7.Cociente de potencias con el mismo exponente:an: bn= (a : b)nPropiedades de las races

1.Raz exacta:Radicando= (Raz)22.Razentera:Radicando= (Raz)2+ RestoPrioridades en las operaciones

1.Efectuar las operaciones entreparntesis, corchetes y llaves..2.Calcular laspotencias y races.

3.Efectuar losproductosycocientes.

4.Realizar lassumasyrestas.

Ejercicios de nmeros naturales

1.Busca el trmino desconocido e indica su nombre en las siguientes operaciones:1.327 + ....... = 1.208

2........ 4.121 = 626

3.321 ....... = 32 100

4.28.035 : ....... = 623

2.Busca el trmino desconocido en las siguientes operaciones:

1.4 (5 + ...) = 36

2.(30 ...) : 5 + 4 = 8

3.18 ... + 4 ... = 56

4.30 ... : 8 = 25

3.Calcular de dos modos distintos la siguiente operaciones:

1.17 38 + 17 12 =

2.6 59 + 4 59 =

3.(6 + 12) : 3

4.Sacar factor comn:

1.7 5 3 5 + 16 5 5 4 =

2.6 4 4 3 + 4 9 5 4 =

3.8 34 + 8 46 + 8 20 =

5.Expresa en forma de potencias:

1.50 000

2.3 200

3.3 000 000

6.Escribe en forma de una solapotencia:

1.33 34 3 =

2.57: 53=

3.(53)4=

4.(5 2 3)4=

5.(34)4=

6.[(53)4]2=

7.(82)38.(93)29.25 24 2 =

10.27: 26=

11.(22)4=

12.(4 2 3)4=

13.(25)4=

14.[(23)4]0=

15.(272)5=

16.(43)2=

7.Utilizando potencias, haz ladescomposicin polinmicade estos nmeros:1.3 257

2.10 256

3.125 368

8.Calcular las races:

1.2.3.9.Realiza las siguientesoperaciones combinadasteniendo en cuenta su prioridad:

1.27 + 3 5 16 =

2.27 + 3 45 : 5 + 16 =

3.(2 4 + 12) (6 4) =

4.3 9 + (6 + 5 3) 12 : 4 =

5.2 + 5 (2 3) =

6.440 [30 + 6 (19 12)] =

7.2{4 [7 + 4 (5 3 9)] 3 (40 8)} =

8.7 3 + [6 + 2 (23: 4 + 3 2) 7 ] + 9 : 3 =

Problemas de nmeros naturales

1Dados los nmeros 5, 7 y 9 forma todos los nmeros posibles de tres cifras distintas, ordnalos de menor a mayor y smalos.

2El cociente de unadivisin exactaes 504, y el divisor 605. Cul es el dividendo?

3El cociente de una divisin entera es 21, el divisor 15 y el dividendo 321. Cul es el resto?

4Pedro compr una finca por 643 750 y la vendi ganando 75 250 . Por cunto lo vendi?

5Con el dinero que tengo y 247 ms, podra pagar una deuda de 525 y me sobraran 37 . Cunto dinero tengo?

6Se compran 1600 Kg de boquerones, a razn de 4 /Kg. Si los portes cuestan 400 y se desea ganar con la venta 1200. A cunto debe venderse el kilogramo de boquerones?

7Cuntos aos son 6 205 das? Consideramos que un ao tiene 365 das.

8Pedro quiere comprar un automvil. En la tienda le ofrecen dos modelos: uno de dos puertas y otro de cuatro puertas. En ambos modelos los colores disponibles son: blanco, azul, rojo, gris y verde. Halla el nmero de posibles elecciones que tiene Pedro.

9En una piscina caben 45 000 litros. Cunto tiempo tarda en llenarse mediante un grifo que echa 15 litros por minuto?

10En un aeropuerto aterriza un avin cada 10 minutos. Cuntos aviones aterrizan en un da?

11En una urbanizacin viven 4 500 personas y hay un rbol por cada 90 habitantes. Cuntos rboles hay en la urbanizacin? Cuntos rboles habr que plantar para tener un rbol por cada 12 personas?

Ejercicios de nmeros naturales

1 Busca el trmino desconocido e indica su nombre en las siguientes operaciones:1.327 + ....... = 1.208Sumando.

1.208 327 =8812........ 4.121 = 626

Minuendo.

4.121 + 626 =47473.321 ....... = 32 100

Factor.

32 100 : 321 =1004.28 035: ....... = 623

Divisor.

28 035 : 623 =452 Busca el trmino desconocido en las siguientes operaciones:

1.4 (5 + ...) = 3642.(30 ...) : 5 + 4 = 8103.18 ... + 4 ... = 562y54.30 ... : 8 = 25403Calcular de dos modos distintos la siguiente operacin:

1.17 38 + 17 12 =

1.17 38 + 17 12 = 646 + 204 =8502.17 38 + 17 12 = 17 (38 + 12) = 17 50 =8502.6 59 + 4 59 =

1.6 59 + 4 59 = 354 + 236 =5902.6 59 + 4 59 = 59 (6 + 4) = 59 10 =5903.(6 + 12) : 3

1.(6 + 12) : 3 = 18 : 3 =62.(6 + 12) : 3 = (6 : 3) + (12 : 3) = 2 + 4 =64 Extraer factor comn:

1.7 5 3 5 + 16 5 5 4 =

7 5 3 5 + 16 5 5 4 = 5 (7 3 + 16 4)

2.6 4 4 3 + 4 9 5 4 =

6 4 4 3 + 4 9 5 4 = 4 (6 3 + 9 5)

3.8 34 + 8 46 + 8 20 =

8 (34 + 46 + 205 Expresa en forma de potencias:

1.50 000 =5 1042.3 200 =32 1023.3 000 000 =3 1066 Escribe en forma de una sola potencia:

1.33 34 3 =382.57: 53=543.(53)4=5124.(5 2 3)4=3045.(34)4=3166.[(53)4]2= (512)2=5247.(82)3=[( 23)2]3= (26)3=2188.(93)2= [(32)3]2= (36)2=3129.25 24 2 =21010.27: 26=211.(22)4=2812.(4 2 3)4=24413.(25)4=22014.[(23)4]0= (212)0= 20=115.(272)5=[(33)2]5= (36)5=33016.(43)2= [(22)3]2= (26)2=2127 Utilizando potencias, haz la descomposicin polinmica de estos nmeros:

1.3 257

3 257 = 3 103+ 2 102+ 5 10 + 72.10 256

10 256 = 1 104+ 0 103+ 2 102+ 5 10 + 63.125 368

125 368 = 1 105+ 2 104+5 103+ 3 102+ 6 10 + 88 Calcula:

1.

2.

3.

9 Realiza las siguientes operaciones:

1.27 + 3 5 16 =

= 27 + 15 16 =262.27 + 3 45 : 5 + 16=

27 + 3 9 + 16 =373.(2 4 + 12) (6 4) =

= (8 + 12) (2) = 20 2 =404.3 9 + (6 + 5 3) 12 : 4 =

= 27 + 8 3 =325.2 + 5 (2 3) =

= 2 + 5 (6) = 2 + 5 216 = 2 + 1080 =10826.440 [30 + 6 (19 12)] =

= 440 (30 + 6 7)] = 440 (30 + 42) =

= 440 (72) =3687.2{4[7 + 4 (5 3 9)] 3 (40 8)} =

= 2[4 (7 + 4 6) 3 (32)] = 2[4 (7 + 24) 3 (32)]=

2[4 (31) 3 (32)]= 2 (124 96)= 2 (28)=568.7 3 + [6 + 2 (23: 4 + 3 2) 7 ] + 9 : 3 =

= 21 + [ 6 + 2 (2+ 6) 14] +3 =

= 21 + ( 6 + 2 8 14) +3 =

= 21 + ( 6 + 16 14) + 3 =

= 21 + 8 + 3 =32Problemas resueltos de nmeros naturales

1 Dados los nmeros 5, 7 y 9 formar todos los nmeros posibles de tres cifras, ordenarlos de menor a mayor y sumarlos.579 + 597 + 759 + 795 + 957 + 975 =4662

2 El cociente de una divisin exacta es 504, y el divisor 605. Cul es el dividendo?

504 605 =304 9203 El cociente de una divisin entera es 21, el divisor 15 y el dividendo 321. Cul es el resto?321 21 15 = 321 315 =64 Pedro compr una finca por 643 750 y la vendi ganando 75 250 . Por cunto lo vendi?643 750 + 75 250 =719 0005 Con el dinero que tengo y 247 ms, podra pagar una deuda de 525 y me sobraran 37 . Cunto dinero tengo?

525 + 37 = 562;

562 247 =315 6 Se compran 1600 Kg de boquerones, a razn de 4 /Kg. Si los portes cuestan 400 y se desea ganar con la venta 1200 . A cunto debe venderse el kilogramo de boquerones?1600 4 = 6400

6400 + 400 + 1200 = 8000

8000 : 1600 =5 7 Cuntos aos son 6 205 das? Se considera que un ao tiene 365 das.

6205 : 365 =17 aos8 Pedro quiere comprar un automvil. En la tienda le ofrecen dos modelos: uno de dos puertas y otro de cuatro puertas. En ambos modelos los colores disponibles son: blanco, azul, rojo, gris y verde. Halla el nmero de posibles elecciones que tiene Pedro.2 5 =10elecciones

9 En una piscina caben 45 000 litros. Cunto tiempo tarda en llenarse mediante un grifo que echa 15 litros por minuto?

45 000 : 15 = 3000 minutos

3 000 : 60 =50 horas10 En un aeropuerto aterriza un avin cada 10 minutos. Cuntos aviones aterrizan en un da?

24 60 = 1 440 minutos por da1 440 : 10 =144 aviones al da11 En una urbanizacin viven 4500 personas y hay un rbol por cada 90 habitantes. Cuntos rboles hay en la urbanizacin? Cuntos rboles habr que plantar para tener un rbol por cada 12 personas?

4 500 : 90 = 50 rboles hay en la urbanizacin.4 500 :12 = 375 tendra que haber, para que a cada 12 habitantes les correspondiese un rbol.375 50 =325 rboles