0a6cap 4 funciones matematicas

7/31/2019 0A6CAP 4 FUNCIONES MATEMATICAS

http://slidepdf.com/reader/full/0a6cap-4-funciones-matematicas 1/40

Funciones matemáticas

4.1 FUNCIONES

4.2 TIPOS DE FUNCIONES

4.3 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS FUNCIONES

Términos y conceptos claveFórmulas importantes

Ejercicios adicionalesEvaluación del capítulo

C A P T U L O 4



La aplicación de las matemáticas yace en la capacidad de identificar una representaciónmatemática relevante de un fenómeno del mundo real. Esta relación a menudo se conocecomo modelo matemático. Un modelo es relevante si capta con éxito los atributos delfenómeno que son significativos para el constructor del modelo. Al igual que un modelo aescala de un avión muestra la apariencia física de un avión real, un modelo matemático deuna función de la demanda representa las interrelaciones entre, digamos, el precio de unamercancía y la cantidad demandada.

Es importante repetir que los modelos matemáticos pueden reflejar una realidad exac-

tamente; no obstante, con frecuencia se aproximan a la realidad. Si el modelo es una bue-na aproximación, puede ser muy útil en el estudio de la realidad y toma de decisionesrelacionadas con ésta. Si un modelo no es una buena aproximación, es importante que com-prenda esto. Ya sea que efectúe por sí mismo el análisis matemático o si se le proporcio-nan los resultados de un análisis matemático, es importante que entienda las suposiciones,fuerzas y limitaciones de los modelos utilizados. ¡Haga preguntas! Realice análisis y tomedecisiones de manera informada.

FuncionesEn los modelos matemáticos, por lo general se representan las relaciones significativas pormedio de funciones matemáticas o simplemente funciones. Las funciones constituyen unapiedra angular de gran parte de lo que sigue en este libro. El propósito de este capítulo espresentar este importante tema.

Definición de funciones

Se puede considerar una función como un dispositivo de entrada/salida. A un dato de en-trada (o conjunto de datos de entrada) se le aplica (o se les aplica) la regla matemática quetransforma (manipula) el dato (o datos) de entrada en un dato de salida específico. (Véasela figura 4.1.) Considere la ecuación y ϭ x 2 Ϫ 2 x ϩ 1. Si los datos de entrada son valoresde x , arbitrariamente elegidos, la ecuación produce valores de y como datos de salida. Pa-ra ilustrarlo:

4.1

Al inicio de la crisis del Golfo Pérsico en 1990, Estados Unidos desplegó cien-tos de miles de tropas en Arabia Saudita. A causa del potencial de guerra quími-ca, las tropas necesitaban usar con urgencia máscaras antigas. El Departamentode Defensa negoció un contrato con un fabricante para surtir dos tipos de más-caras antigas. Los dos tipos costaban $175 y $225, respectivamente. Dada lanecesidad urgente, el contrato especificaba que si el número combinado de más-

caras antigas entregado cada semana era mayor que 5000, el gobierno pagaríaal fabricante un bono de $50000 más $25 por cada unidad por encima de las5000. Para esto se desea una fórmula que exprese la relación matemática en-

tre las ventas semanales en dólares al gobierno y el número de unidades surti-

das de los dos tipos de máscaras antigas. [Ejemplo 10]

ESCENARIO DEMOTIVACIÓN:Acumulaciónmilitar progresiva



Entrada Salida correspondiente

La ecuación proporciona la regla que nos permite transformar un valor de x en un valor co-rrespondiente de y. Es posible expresar verbalmente la regla para esta ecuación como “to-me el valor de entrada y elévelo al cuadrado, reste dos veces el valor de entrada y sume 1”.

Nótese que para cualquier valor de entrada, se determina un valor único de salida.

Si x 1 y (1) 2 2(1) 1 0

Si x 5 y ( 5)2 2( 5) 1 36

Si x 10 y (10) 2 2(10) 1 81

“Entrada” “Función” “Salida”Figura 4.1 Representaciónde entrada/salida de unafunción.

A menudo el proceso de asignación de valores de salida a los correspondientes valo-res de entrada es conocido como mapeo. La notación

representa el mapeo del conjunto de valores de entrada x en el conjunto de valores de sali-da y, usando la regla de mapeo f.

La figura 4.2 ilustra algunos puntos importantes en relación con las funciones. El ma-peo indicado en la figura 4.2a) cumple con la definición de una función. A cada valor in-dicado en el dominio corresponde un valor único en el rango de la función. De manerasimilar, el mapeo de la figura 4.2b) cumple con la definición. El hecho de que dos valoresdiferentes en el dominio se “transformen” en el mismo valor en el rango no viola la defini-

ción. Sin embargo, el mapeo de la figura 4.2c) no representa una función, ya que a un va-lor en el dominio se le asignan dos valores en el rango.

La naturaleza y la notación de las funciones

Las funciones, como las trataremos, sugieren que el valor de algo depende del valor de una

o más cosas diferentes. Hay incontables relaciones funcionales en el mundo que nos rodea.

f : x : y

Definición: FunciónUna función es una regla matemática que asigna a cada valor de entrada uno y sólo

un valor de salida.

Dominio/rango

Ul dominio de una función es el conjunto que consiste en todos los valores de en-trada posibles. El rango de una función es el conjunto de todos los valores de sali-da posibles.



El número de personas en una playa puede depender de la temperatura y el día de la sema-na, las cantidades vendidas de un producto pueden depender del precio que se cobra porproducto y los precios de las marcas competidoras, las calificaciones pueden depender deltiempo que un estudiante dedica al estudio, las tasas de impuestos de una ciudad puedendepender del nivel del gasto municipal y la cantidad de dólares que un estado paga puede

depender del número de personas desempleadas.El lenguaje matemático proporciona una manera de describir cómo se relacionan fun-

cionalmente las variables. La ecuación

denota una relación funcional entre las variables x y y. Se puede describir verbalmente es-ta ecuación como si “y es igual a f de x” o “y es una función de x”. No se debe interpretar

esta ecuación como “y es igual a f por x”. Cuando decimos que y es una función de x, que-remos decir que el valor de la variable y depende de x y se determina únicamente por el va-lor de la variable x ; x es la variable de entrada y y la variable de salida. Los papelesrespectivos de las dos variables hacen que la variable x reciba el nombre de variable inde-

pendiente y la variable y se denomine variable dependiente. De forma alternativa, a menu-do nos referimos a la variable y como el valor de la función. “ f ” es el nombre de la funcióno regla de mapeo.

Aunque y representa por lo general la variable dependiente, x la variable independien-

te y f el nombre de la función, se puede utilizar cualquier letra para representar las varia-bles dependiente e independiente y el nombre de la función. La ecuación

es una manera de expresar que se determina el valor de una variable dependiente u por elvalor de la variable independiente v. Y el nombre de la función o regla que relaciona lasdos variables es g.

u ϭ g(v)

y f ( x)

X

Dominio

Y

Rango

a) Cumple con la definición de función

c) No cumple con la definición de función

f X

Y

Dominio Rango

b) Cumple con la definición de función

X f

Dominio Rango

Y

f

Figura 4.2 Mapeos de la muestra.



Imagine que se le ha contratado como vendedor. Su patrón le indicó que su salario dependerá del nú-mero de unidades que venda cada semana. Si suponemos que

y ϭ salario semanal en dólares

x ϭ número de unidades vendidas cada semana

se puede representar la dependencia definida por su patrón mediante la ecuación

donde f es el nombre de la función del salario. ❑

Suponga que su patrón le dio la ecuación siguiente para determinar su salario semanal:

(4.1)

Dado cualquier valor para x , la sustitución de este valor en f dará como resultado el valorcorrespondiente de y. Por ejemplo, si deseamos calcular su salario semanal cuando vende100 unidades, sustituir x ϭ 100 en la ecuación (4.1) da

y ϭ 3(100) ϩ 25

ϭ $325

y ϭ f ( x) ϭ 3 x ϩ 25

y ϭ f ( x)

Figura 4.3 Función delsalario semanal.

En la ecuación (4.1) se puede definir el salario asociado con la venta de 75 unidadescomo f (75). Para evaluar f (75), sólo sustituya el valor 75 en la ecuación (4.1) en cualquierlado en donde aparezca x , o bien

De modo similar, con f (0) se denota el valor de y que corresponde a x ϭ 0 y se calcula co-mo f (0) ϭ 3(0) ϩ 25 ϭ $25.

La figura 4.3 es un diagrama esquemático de la función del salario que ilustra la natu-raleza de los datos de entrada/salida.

f (75) ϭ 3(75) ϩ 25ϭ $250

Ejemplo 1

Para la función y ϭ f ( x ), el valor de y que corresponde al valor de entrada x ϭ b sedenota con f (b).

EntradaFunción

f ( x) = 3 x + 25Salida

x

Unidadesvendidas

por semana

y

Salariosemanal ($)



Dada la relación funcional

Observe que en el inciso c, el valor de entrada para t es la suma u ϩ v. Para evaluar h(u ϩ v), el pro-cedimiento es exactamente el mismo que en las partes a) y b). En cualquier parte en donde aparezcat en la función, sustituimos la cantidad u ϩ v.

z ϭ h(t)

ϭ t ϩ t Ϫ 10

a) h(0) ϭ (0) ϩ (0) Ϫ 10 ϭ Ϫ10

b) h(Ϫ5) ϭ (Ϫ5) ϩ (Ϫ5) Ϫ 10 ϭ 25 Ϫ 5 Ϫ 10 ϭ 10

c) h(u ϩ v) ϭ (u ϩ v) ϩ (u ϩ v) Ϫ 10ϭ u ϩ 2uv ϩ v ϩ u ϩ v Ϫ 10 ϭ u ϩ u ϩ 2uv ϩ v ϩ v Ϫ 10

El departamento de policía de una ciudad pequeña contempla la compra de un auto patrulla adicio-nal. Los analistas de la policía estiman que el costo de la compra de un automóvil totalmente equi-pado (subcompacto, pero con mucha potencia) es de $18 000. También estiman un costo operativo

promedio de $0.40 por milla.a) Determine la función matemática que representa el costo total C de la posesión y operación del au-

tomóvil en términos de las x millas conducidas.b) ¿Cuáles son los costos totales proyectados si se conduce el automóvil 50000 millas durante su

tiempo de vida?c) ¿Si se conduce 100000 millas?

SOLUCIÓN

a) En este ejemplo, se nos pidió determinar la función que relaciona el costo total C con las x millasconducidas. Por el momento excluiremos cualquier consideración sobre el valor de recuperación (oreventa). La primera pregunta es: ¿qué variable depende de la otra? Una segunda lectura del proble-ma y algo de reflexión sobre las dos variables deben llevar a la conclusión de que el costo total de-pende del número de millas conducidas o

En esta etapa se debe ser capaz de escribir la función del costo como

Si no puede escribir de inmediato la función del costo, suponga dos valores de muestra del mi-llaje (variable independiente) y determine el costo asociado (variable dependiente). Examine los res-pectivos valores de las variables y vea si comienza a surgir un patrón. Si es así, entonces articule su

modelo mental (o de manera más simple, escriba la función).

C ϭ f ( x) ϭ 0.40 x ϩ 18 000

C ϭ f ( x)

Para t ϭ u(v) ϭ 2v2Ϫ 5v, determine a) u(Ϫ5) y b) u( x Ϫ y). Respuesta: a) 75, b) 2 x 2 Ϫ 5 x Ϫ

4 xy ϩ 5 y ϩ 2 y2.

Ejercicio de práctica

Ejemplo 3

Ejemplo 2



Probemos este planteamiento. ¿Cuál sería el costo total si el auto se condujera 0 millas (suponien-do que se comprara)? Su modelo mental debería responder “$18 000”. ¿Cuál sería el costo total si secondujera el vehículo 10 000 millas? $22 000. ¿Qué sucedería si se condujera 20 000 millas? $26 000.Si no le es difícil encontrar estas respuestas, de hecho tiene algún modelo mental del costo. Ahora es elmomento de expresar ese modelo matemáticamente. El costo total de posesión y operación del auto pa-trulla es la suma de dos costos componentes: costo de compra y costo de operación. Y el tipo de cálcu-lo que debería hacer al responder cada pregunta es multiplicar el número de millas por $0.40 y sumareste resultado al costo de compra de $18000. O bien

C ϭ f ( x )

ϭ costo total de operación ϩ costo de compraϭ (costo de operación por milla) (número de millas) ϩ costo de compra

o sea C ϭ 0.40 x ϩ 18000

b) Si se conduce el automóvil 50 000 millas, se estima que el costo total equivale a

c) De modo similar, con 100 000 millas

❑

Consideraciones de dominio y rango

Con anterioridad se definió el dominio de una función como el conjunto de todos los valo-res de entrada posibles. Dado que nos enfocaremos en funciones con valores reales, el do-minio consiste en todos los valores reales de la variable independiente para los cuales sedefine y es real la variable dependiente. Para determinar el dominio, en ocasiones es más

fácil identificar los valores que no se incluyen en el dominio (es decir, encontrar las excep-ciones). Dado el dominio, el rango de una función es el conjunto correspondiente de valo-res para la variable dependiente. Es posible que sea más difícil identificar el rango quedefinir el dominio. En este momento nos preocuparemos menos por este proceso. Analiza-remos el rango con mayor detalle cuando estudiemos la representación gráfica más adelan-te en este capítulo.

Dada la función

se puede sustituir cualquier valor real por x , lo que da como resultado un valor correspondiente y úni-co de y. Si se define D como el dominio de f ,

D ϭ { x| x es real}

y ϭ f ( x)ϭ x Ϫ 2 x ϩ 1

C ϭ f (100 000)

ϭ 0.40(100 000) ϩ 18 000

ϭ $58 000

C ϭ f (50 000)

ϭ 0.40(50 000) ϩ 18 000

ϭ $38 000

Ejemplo 4



La función

tiene la forma de un cociente. Se debe excluir del dominio cualquier valor de v que dé como resul-

tado el denominador igual a cero, ya que la división entre 0 es indefinida. El denominador es iguala cero cuando v

2Ϫ 4 ϭ 0 o cuando v tiene el valor ya sea de ϩ2 o de Ϫ2. El dominio de la función

incluye todos los números reales excepto ϩ2 y Ϫ2, o bien D ϭ {v|v es real y v Ϯ2}.

Para la función

x puede tener cualquier valor para el cual la expresión debajo del signo de la raíz cuadrada es positi-va o cero. (¿Por qué sucede esto?) Para determinar estos valores,

cuando

Por consiguiente, el dominio de la función incluye todos los números reales que son mayores o igua-les que 5, o D ϭ { x | x es real y x Ն 5}.

La función

está definida para todos los valores de x que dan como resultado x 2 ϩ x Ϫ 12 Ն 0. En forma equiva-lente, los valores son aquellos para los que

El producto de los dos factores es igual a cero cuando cualquiera de los dos factores equivale a cero.Por tanto, dos miembros del dominio son x ϭ Ϫ4 y x ϭ 3. El producto será positivo en dos circuns-tancias: ambos factores son positivos o ambos factores son negativos. Es decir,

o

Los dos factores son positivos, respectivamente, cuando

o sea

x ϩ 4 Ͼ 0 y x Ϫ 3 Ͼ 0

x Ͼ Ϫ4 y x Ͼ 3

( x ϩ 4) ( x Ϫ 3) Ͼ 0

ϩ ϩ

Ϫ Ϫ

( x ϩ 4)( x Ϫ 3) Ն 0

y ϭ f ( x) ϭ √ x ϩ x Ϫ 12

x Ϫ 5 Ն 0

x Ն 5

y ϭ f ( x)

ϭ √ x Ϫ 5

u ϭ f (v)

ϭ1

v Ϫ 4

cuando

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7



Al usar la recta numérica de la figura 4.4a) para reflejar estos resultados, vemos que los valores de x

que tienen como resultado ambos factores positivos son x Ͼ 3. De modo similar, los dos factores sonnegativos cuando

o

La figura 4.4b) ilustra que ambos factores son negativos cuando x Ͻ Ϫ4.La figura 4.4c) fusiona ambos resultados de nuestro análisis (incluyendo los valores de x que

causan que el radicando sea igual a cero) para ilustrar que el dominio de f ( x ) es

❑ D ϭ { x| x Յ Ϫ4 o x Ն 3

x ϩ 4 Ͻ 0 y x Ϫ 3 Ͻ 0

x Ͻ Ϫ4 y x Ͻ 3

x 4 > 0 y x 3 > 0

x > 3

x > 4

x

a )

5

0 5

0 5

x 4 < 0 y x 3 < 0

x < 3

x < 4

x

b )5

x

x 4 x 3

Dominio de f ( x ) x2 x 12

c )

5

Determine el dominio de la función . Respuesta: x Յ 10. y f ( x ) √10 x


Figura 4.4



a cualquier ahorro incremental que incluya fracciones de hora [por ejemplo, si se completa unaunidad en 14.5 horas, el salario por hora equivaldría a $8 ϩ 0.5($1.50) ϭ $8.75]. Determine lafunción w ϭ f (n), donde w es la tasa salarial promedio en dólares y n es el número de horas re-queridas para completar una unidad del producto.

SOLUCIÓN

La función de la tasa salarial tiene un dominio restringido de n ≥ 0, ya que los tiempos de producciónnegativa no tienen significado. Además, se describirá la función en dos partes. El incentivo salarialse aplica sólo cuando el tiempo de producción es menor a 15 horas. Por ello, si n ≥ 15, w ϭ 8. Si eltiempo de producción es menor que 15 horas, se determina el incentivo salarial como

o bien

Evaluemos esta parte de la función. Si se produce una unidad en 13 horas, se mejoró el tiempo están-

dar por 2 horas y el trabajador debería ganar $11 por hora. Sustituir n ϭ 13 en la función da

Por ello, el enunciado formal de la función del salario es

❑

Funciones de varias variables

En el caso de muchas funciones matemáticas, el valor de una variable dependiente dependede más de una variable independiente. Las funciones que contienen más de una variableindependiente se denominan funciones de varias variables. En la mayoría de las aplicacio-nes del mundo real es más apropiado usar funciones de varias variables. Por ejemplo, esprobable que indicar que la utilidad depende sólo del número de unidades vendidas sobre-simplifique la situación. Normalmente muchas variables interactúan entre sí con el fin dedeterminar la utilidad de una empresa.

Las funciones de dos variables son un tipo de funciones de varias variables. Las fun-ciones de dos variables (en comparación con las funciones de una variable) tienen dos va-riables independientes. La notación

sugiere que la variable dependiente z depende de los valores de las dos variables indepen-dientes x y y. Éste es un ejemplo de una función con dos variables

z ϭ f ( x, y) ϭ x Ϫ 2 xy ϩ y Ϫ 5

z ϭ f ( x, y)

w ϭ f (n) ϭ

30.5 Ϫ 1.5n

8

0 Յ n Ͻ 15

n Ն 15

w ϭ 30.5 Ϫ 1.5(13)ϭ 30.5 Ϫ 19.5ϭ 11.0

w ϭ 8 ϩ 1.5 (número de horas por deba jo del estándar de 15 horas)

w ϭ 8 ϩ 1.5 (15 Ϫ n) ϭ 30.5 Ϫ 1.5n



La notación para evaluar funciones de varias variables es muy similar a la de las fun-ciones de una variable independiente. Si deseamos evaluar f ( x , y) cuando x ϭ 0 y y ϭ 0,esto se denota como f (0, 0). Para la función anterior

La figura 4.5 ilustra la naturaleza de entrada/salida de las funciones de dos variables.

f (0, 0) ϭ (0) Ϫ 2(0)(0) ϩ (0) Ϫ 5

ϭ Ϫ5

f (Ϫ10, 5) ϭ (Ϫ10) Ϫ 2(Ϫ10)(5) ϩ 5 Ϫ 5ϭ 100 ϩ 100 ϩ 25 Ϫ 5

ϭ 220

f (u, v) ϭ u Ϫ 2uv ϩ v Ϫ 5

Paresordenados ( x, y)

f ( x, y) zFigura 4.5 Naturaleza deentrada/salida de las funcionesde dos variables.

y

Dominio Rango

( x, y)

x f ( x, y)

z

Figura 4.6 Representacióndel dominio de f ( x , y).

Para determinar el dominio de funciones de dos variables, se busca la combinación depares ordenados para los cuales la función está bien definida, como se ilustra en la figura 4.6.

Por ejemplo, considere la función

(4.2) z ϭ f ( x, y) ϭ x Ϫ 2 y ϩ 4 xy

3 x Ϫ y

Dada z ϭ f ( x , y) ϭ x 3 Ϫ x 2 y ϩ 5 y, determine f (5, Ϫ2). Respuesta: 165.




El numerador de esta función está definido para cualquier combinación de valores realesde x y y. De modo similar, el denominador está definido para cualesquiera valores reales de x y y. Sin embargo, la función f no es definida para valores donde 3 x Ϫ y ϭ 0.

Se puede especificar el dominio de f como

En la figura 4.7 se representa gráficamente el dominio.

D ϭ {( x, y)|3 x Ϫ y 0}

y

x

–20 –10 10 20

3 x – y = 0

o

y = 3 x

Excluido del

dominioFigura 4.7 Dominio de

Conforme aumenta el número de variables independientes, la convención de usar unaletra diferente para representar cada variable independiente puede resultar complicada. Deahí que una manera conveniente de representar funciones de varias variables es el uso devariables con subíndices. Una forma general de expresar una función donde el valor de una

variable dependiente y depende del valor de n variables independientes es

El subíndice es el índice entero positivo que se encuentra a la derecha y debajo de cada x . Elíndice simplemente numera las variables independientes y le permite distinguir una de otra.En este libro usaremos con frecuencia la notación de subíndice.

y ϭ f ( x , x , x , . . . , x )

f ( x, y) ϭ x Ϫ 2 y ϩ 4 xy

3 x Ϫ y.



Dada la función

(Acumulación militar progresiva; escenario de motivación) Al inicio de la crisis del Golfo Pérsi-co en 1990, Estados Unidos desplegó cientos de miles de tropas en Arabia Saudita. A causa del po-tencial de guerra química, las tropas necesitaban usar con urgencia máscaras antigas. El Departamentode Defensa negoció un contrato con un fabricante para surtir dos tipos de máscaras antigas. Los dostipos costaban $175 y $225, respectivamente. Dada la necesidad urgente, el contrato especificaba quesi el número combinado de máscaras antigas entregado cada semana era mayor que 5000, el gobier-no pagaría al fabricante un bono de $50000 más $25 por cada unidad por encima de las 5000. Deter-

mine la función que expresa las ventas semanales en dólares como una función del número demáscaras surtidas de cada tipo.

SOLUCIÓN

Si S ϭ ventas semanales, dólares

x1 ϭ número de máscaras antigas tipo 1 surtidas cada semana

x2 ϭ número de máscaras antigas tipo 2 surtidas cada semana

se definirá la función S ϭ f ( x 1, x 2) en dos partes, como se hizo en el ejemplo 8. El pago del produc-tor depende de la producción semanal combinada. Si la producción semanal combinada es menor oigual a 5 000 unidades, el pago se realiza con la tasa regular o

Si la producción semanal combinada es menor o igual a 5000 unidades, el fabricante recibe un bonototal de $50000 más $25 adicionales por unidad por encima de las 5 000. Esto se expresa matemáti-

camente como

La función completa de las ventas es

Suponga que durante una semana dada el productor surte 1500 máscaras del tipo 1 y 3000 deltipo 2. Ya que x 1 ϩ x 2 ϭ 4500 Ͻ 5000, el productor recibiría una compensación igual a

f (1 500, 3 000) ϭ 175(1 500) ϩ 225(3 000)ϭ 262 500 ϩ 675 000ϭ $937 500

S ϭ f ( x , x ) ϭ175 x ϩ 225 x200 x ϩ 250 x Ϫ 75 000

x ϩ x Յ 5 000 x ϩ x Ͼ 5 000

S ϭ 175 x ϩ 225 x ϩ 50 000 ϩ 25( x ϩ x Ϫ 5 000)

ϭ 175 x ϩ 225 x ϩ 50 000 ϩ 25 x ϩ 25 x Ϫ 125 000

ϭ 200 x ϩ 250 x Ϫ 75 000

S ϭ 175 x ϩ 225 x

y ϭ f ( x , x , x , x )

ϭ x12

Ϫ 2 x x ϩ x2

3 x Ϫ 25

f (Ϫ2, 0, 1, 4) ϭ (Ϫ2) Ϫ 2(Ϫ 2)(0) ϩ (1) (4) Ϫ 25

ϭ 4 Ϫ 0 ϩ 4 Ϫ 25

ϭ Ϫ 17

Ejemplo 9

Ejemplo 10



41 L f ió C( ) 15 ϩ 80000 l l C( ) ( dól ) d f b i id d d



41. La función C ( x ) ϭ 15 x ϩ 80000 expresa el costo total C ( x ) (en dólares) de fabricar x unidades deun producto. Si el número máximo de unidades que se pueden producir es 50000, determine eldominio restringido y el rango para esta función del costo.

42. Función de la demanda La función q ϭ f ( p) ϭ 280000 Ϫ 35 p es una función de la demanda

que expresa la cantidad demandada de un producto q como una función del precio cobrado delproducto p, expresado en dólares. Determine el dominio restringido y el rango de esta función.

43. Función de la demanda La función q ϭ f ( p) ϭ 180000 Ϫ 30 p es una función de la deman-

da que expresa la cantidad demandada de un producto q como una función del precio cobradodel producto p, indicado en dólares. Determine el dominio restringido y el rango de esta fun-ción.

44. Primas de seguros Una compañía de seguros tiene un método simplificado para determinar laprima anual para una póliza de seguro de vida. Se cobra una cuota anual sencilla de $150 anua-les para todas las pólizas más $2.50 por cada mil dólares de la cantidad de la póliza. Por ejemplo,una póliza de $20 000 costaría $150 por la cuota fija más $50, que corresponden al valor nomi-nal de la póliza. Si p es igual a la prima anual en dólares y x equivale al valor de la póliza (expre-

sado en miles de dólares), determine la función que se puede utilizar para calcular las primasanuales.

45. En el ejercicio 44, suponga que la póliza mínima que se emitirá es de $10 000 y la máxima can-tidad asegurada será $500000. Determine el dominio restringido y el rango de la ecuación encon-trada en el ejercicio 44.

46. Una compañía eléctrica local usa el método siguiente para calcular las cuentas eléctricas men-suales para un tipo de clientes. Se evalúa un cargo de servicio mensual de $5 por cada cliente.Además, la compañía cobra $0.095 por kilowatt hora. Si c es igual a la cuota mensual expresa-

da en dólares y k es el número de kilowatts hora usados durante un mes:a) Determine la función que expresa el cargo mensual de un cliente como una función del nú-

mero de kilowatts hora.b) Use esta función para calcular la cuota mensual para un cliente que usa 850 kilowatts hora.

47. Refiérase al ejercicio 46 y suponga que el método de cálculo de cuentas de electricidad se aplicapara clientes que usan entre 200 y 1 500 kilowatts hora por mes. Determine el dominio restringi-do y el rango de la función de ese ejercicio.

48. Arrendamiento de automóviles Una agencia de arrendamiento de automóviles renta autos con

una tasa de $15 por día más $0.08 por milla conducida. Si y

es igual al costo de la renta de unauto en dólares por un día y x equivale al número de millas conducidas en un día:a) Determine la función y ϭ f ( x ) que expresa el costo diario de la renta de un automóvil.b) ¿Cuál es f (300)? ¿Qué representa f (300)?c) Comente sobre el dominio restringido de la función.

49. En la fabricación de un producto, una empresa incurre en dos tipos de costos. Se incurre en cos-tos anuales fijos de $250000 sin importar el número de unidades producidas. Además, para la em-presa cada unidad producida tiene un costo de $6. Si C es igual al costo total anual en dólares y x es igual al número de unidades producidas en un año:a) Determine la función C ϭ f ( x ) que expresa el costo anual.b) ¿Cuál es f (200 000)? ¿Qué representa f (200000)?c) Indique el dominio restringido y el rango restringido de la función si la capacidad máxima

de producción es de 300000 unidades por año.50. Plan de incentivo salarial Un productor de un producto perecedero ofrece un incentivo salarial a

los conductores de sus camiones. Una entrega estándar toma un promedio de 20 horas. Se paga

a los conductores con una tasa de $10 por hora hasta un máximo de 20 horas Hay un incentivo



a los conductores con una tasa de $10 por hora hasta un máximo de 20 horas. Hay un incentivopara los conductores que hagan el viaje en menos de 20 horas (¡pero no en mucho menos!).Por cada hora por debajo de las 20, el salario aumenta $2.50. (El incremento salarial de $2.50 porhora se aplica a fracciones de hora. Es decir, si un viaje toma 19.5 horas, el aumento en el sala-rio es de 0.5 ϫ $2.50 o $1.25.) Determine la función w ϭ f (n), donde w es el salario por hora (endólares) y n el número de horas para completar el viaje.

51. Impulso de las membresías Un pequeño club de salud trata de estimular nuevas membresías.

Por tiempo limitado se reducirá la cuota anual normal de $300 a $200. Como un incentivo adi-cional, para cada miembro nuevo por encima de los 60, el cargo anual por cada miembro se re-ducirá $2 más. Determine la función p ϭ f (n), donde p es la cuota de membresía para miembrosnuevos y n es el número de miembros nuevos.

52. Dada f ( x , y ) ϭ x 2 Ϫ 6 xy ϩ 2 y2, determine a) f (0, 0), b) f (Ϫ1, 2) y c) f (5, 10).53. Dada g(u, v) ϭ 2u2

ϩ 5uv ϩ v3, determine a) g(0, 0), b) g(Ϫ5, 2), c) g(5, 10) y d ) g( x , y).

54. Dada v(h, g) ϭ h2 /2 Ϫ 5hg ϩ g2 ϩ 10, determine a) v (0, 0), b) v(4, 2) y c) v(Ϫ2, Ϫ5).55. Dada f ( x 1, x 2, x 3) ϭ ( x 1 Ϫ x 2 ϩ 2 x 3)2, determine a) f (1, 1, 1), b) f (2, 3, Ϫ1) y c) f (2, 0, Ϫ4).

56. Dada f ( x 1, x 2, x 3) ϭ x 31 ϩ 2 x 21 x 2 Ϫ 3 x 2 x 3 Ϫ 10, determine a) f (0, 2, Ϫ3), b) f (Ϫ2, 1, 5) y c) f (3,0, Ϫ5).

57. Dada f ( x 1, x 2, x 3, x 4) ϭ 2 x 1 x 2 Ϫ 5 x 2 x 4 ϩ x 1 x 3 x 4, determine a) f (0, 1, 0, 1) y b) f (2, 1, 2, Ϫ3).58. Dada f (a, b, c, d ) ϭ 4ab Ϫ a2bd ϩ 2c2d , determine a) f (1, 2, 3, 4) y b) f (2, 0, 1, 5).59. Dada f ( x 1, x 2, x 3, x 4) ϭ x 1 x 2 Ϫ 5 x 3 x 4, determine a) f (1, 10, 4, Ϫ5), b) f (2, 2, 2, 2) y c) f (a, b, c, d ).60. Una compañía estima que el número de unidades que vende cada año es una función de los gas-

tos en publicidad por radio y televisión. La función específica es

donde z es igual al número de unidades vendidas por año, x equivale a la cantidad gastada en pu-blicidad televisiva y y es la cantidad gastada en publicidad por radio (ambas en miles de dólares).a) Determine las ventas anuales esperadas si se gastan $50000 en publicidad en televisión y

$20 000 en publicidad en radio.b) ¿Cuáles son las ventas esperadas si se gastan $80000 y $100 000, respectivamente?

61. Modelo de asignación de precios Un fabricante vende dos productos relacionados, cuyas de-mandas se caracterizan por las dos funciones de la demanda siguientes:

donde p jes igual al precio (en dólares) del producto j y q j

es la demanda (en miles de unidades)del producto j.a) ¿Cuántas unidades de cada producto se espera que se demanden si se cobra $20/unidad del

producto 1 y $40/unidad del producto 2?b) ¿Cuántas unidades se esperan si los precios unitarios son $40 y $30, respectivamente?

62. Albergue familiar Un centro de apoyo para mujeres que proporciona albergue para mujeres yniños provenientes de hogares con abuso emprende una campaña popular de recaudación de fon-dos en la comunidad. Un componente de la campaña es la venta de dos tipos de caramelos. Lautilidad del dulce es $0.50 y $0.75 por barra para los dos tipos, respectivamente. El proveedorde los dulces ofreció un incentivo si el número total de barras de caramelo vendidas es demás de 2000. Por cada barra por encima de las 2000, el centro ganará $0.25 adicionales. Deter-

q ϭ f ( p , p ) ϭ 250 Ϫ 4 p Ϫ p

q ϭ f ( p , p ) ϭ 200 Ϫ p Ϫ 3 p

z ϭ f ( x, y) ϭ 20 000 x ϩ 40 000 y Ϫ 20 x Ϫ 30 y Ϫ 10 xy

mine la función P ϭ f(x x ) donde P es igual a la utilidad total en dólares y x es igual al nú



mine la función P ϭ f ( x 1, x 2), donde P es igual a la utilidad total en dólares y x j es igual al nú-mero de barras vendidas del tipo j. Si se venden 750 y 900 barras, respectivamente, ¿cuál es lautilidad esperada? ¿Si se venden 1500 y 2250, respectivamente?

63. Se paga a un vendedor un salario base semanal y gana una comisión por cada unidad vendida detres productos diferentes. El salario base es de $60 y las comisiones por unidad vendida son$2.50, $4.00 y $3.00, respectivamente. Si S equivale al salario semanal del vendedor y x j es igualal número de unidades vendidas del producto j durante una semana dada, determine la función

del salario S ϭ f ( x 1, x 2, x 3). ¿Cuál sería el salario semanal si el vendedor vende 20, 35 y 15 uni-dades, respectivamente, de los tres productos?

64. En el ejercicio previo, suponga que el vendedor puede ganar un bono si la venta combinada delos tres productos excede las 50 unidades por semana. El bono es igual a $25 más una comisiónadicional de $1.25 por todas las unidades vendidas por encima de las 50. Determine la funcióndel salario semanal S ϭ f ( x 1, x 2, x 3). ¿Cuál sería el salario ganado por las 20, 35 y 15 unidadesvendidas en el ejercicio anterior?

Tipos de funcionesEs posible clasificar las funciones de acuerdo con sus características estructurales. A con-tinuación se presenta un análisis de algunas de las funciones más comunes. En los capítu-los 5 y 6 se tratan estas funciones de manera más detallada. Se analizarán las funcionesexponenciales y logarítmicas en el capítulo 7.

Funciones constantesUna función constante tiene la forma general

(4.3)

donde a0 es real. Por ejemplo, la función

es una función constante. No obstante el valor de x , el rango consiste en el valor único 20.Es decir,

Como se muestra en la figura 4.8, para las funciones constantes cada valor en el domi-nio se mapea en el mismo valor en el rango.

(Ingreso marginal) El ingreso marginal es un importante concepto en la economía. El ingreso mar-ginal es el ingreso adicional derivado de la venta de una unidad más un producto o un servicio.

f (Ϫ 10) ϭ 20

f (1 000) ϭ 20

f (a ϩ b) ϭ 20

yϭ f ( x)

ϭ20

y f ( x) a0

4.2

Ejemplo 11



Dominio Rango

f ( x) = a0 a0

Figura 4.8 Mapeo de

una función constante.

Si se vende cada unidad de un producto al mismo precio, el ingreso marginal es siempre igual al pre-cio. Por ejemplo, si un producto se vende en $7.50 por unidad, se puede definir una función del in-greso marginal como una función constante

donde MR representa el ingreso marginal y x es igual al número de unidades vendidas del producto.❑

Funciones lineales

Una función lineal tiene la forma general (pendiente-intersección)

(4.4)

donde a0 y a1 son constantes. Debe reconocer esta forma del capítulo 2. Esta función serepresenta gráficamente por medio de una línea que tiene una pendiente de a1 e intersec-ción de y en (0, a0). La función

es una función lineal que se grafica como una línea con una pendiente de Ϫ2 e intersecciónde y en (0, 15).

(Costo total) Los contadores y economistas a menudo definen el costo total (dólares que salen deuna organización) en términos de dos componentes: costo variable total y costo fijo total . Se debensumar estos dos componentes al determinar el costo total . El costo de posesión y operación de la pa-trulla del ejemplo 3 es un ejemplo de una función lineal del costo total. La función del costo

representaba los costos variables totales por medio del término 0.40x y el costo fijo con el término18000. Compare la estructura de la función del costo con la ecuación (4.4) para confirmar que enefecto se trata de un ejemplo de una función lineal. ❑

En el capítulo siguiente nos enfocaremos en este importante tipo de funciones.

C( x) ϭ 0.40 x ϩ 18 000

y ϭ f ( x) ϭ Ϫ 2 x ϩ 15

y f ( x) a 1 x a0

MR ϭ f ( x) ϭ 7.5

Ejemplo 12

Funciones cuadráticas



Funciones cuadráticas

Una función cuadrática tiene la forma general

(4.5)

donde a2, a1 y a0 son constantes con a2

0. La función

es una función cuadrática con a2 ϭ 3, a1 ϭ Ϫ20 y a0 ϭ 100. La función

es una función cuadrática con a2 ϭ ᎏ12ᎏ y a1 ϭ a0 ϭ 0.

(Función de la demanda) Una función de la demanda es una relación matemática que expresa elmodo en que varía la cantidad demandada de un artículo con el precio que se cobra por el mismo. Lafunción de la demanda para un producto particular es

o bien

donde qd equivale al número de unidades demandadas y p es igual al precio expresado en dólares.

Nótese que esta función de la demanda particular es cuadrática. En relación con la ecuación (4.5),a2 ϭ 1, a1 ϭ Ϫ70 y a0 ϭ 1 225. De acuerdo con esta función, se espera que la cantidad demandadaa un precio de $10 sea igual a

A un precio de $30,

❑

f (30) ϭ (30) Ϫ 70(30) ϩ 1 225

ϭ 900 Ϫ 2 100 ϩ 1 225

ϭ 25 unidades

f (10) ϭ (10) Ϫ 70(10) ϩ 1 225

ϭ 100 Ϫ 700 ϩ 1 225

ϭ 625 unidades

q ϭ f ( p)

qϭ p

Ϫ70 p

ϩ1 225

y ϭ f ( x) ϭ Ϫ x

2

y f ( x) 3 x2 20 x 100

y f ( x) a x a x a

Se estudiarán con detalle las funciones cuadráticas en el capítulo 6.

¿Qué precio se debe cobrar para eliminar cualquier demanda del producto? Respuesta: $35.


Ejemplo 13

Funciones cúbicas



Una función cúbica tiene la forma general

(4.6)

donde a3, a2, a1 y a0 son constantes con a3 0. La función

es una función cúbica con a3 ϭ 1, a2 ϭ Ϫ40, a1 ϭ 25 y a0 ϭ Ϫ1000.

(Control de epidemias) Una epidemia se propaga en un estado grande del oeste. Funcionarios desalud estiman que el número de personas que se verán afectadas por la enfermedad es una funcióndel tiempo desde que se detectó la enfermedad por primera vez. Específicamente, la función es

donde n es igual al número estimado de personas afectadas (determinado en cientos) y t es igual alnúmero de días desde que se detectó la epidemia por primera vez. Se supone que esta función de

aproximación sea razonablemente precisa para 0 Յ t Յ 30. Después de 30 días, la enfermedad siguiósu curso histórico. ¿Cuántas personas se espera que se vean afectadas después de 10 días?

SOLUCIÓN

El número esperado de personas contagiadas con la enfermedad después de 10 días es

❑

f (10) ϭ 0.05(10) ϩ 1.4

ϭ 0.05(1 000) ϩ 1.4ϭ 50 ϩ 1.4

ϭ 51.4 (cientos de personas)

n ϭ f (t) ϭ 0.05t ϩ 1.4

y ϭ f ( x) ϭ x Ϫ 40 x ϩ 25 x Ϫ 1 000

y f ( x) a x a x a x a

Ejemplo 14

¿Cuántas personas se espera que contraigan la enfermedad después de 30 días? ¿Quéinterpretación se puede dar a la constante 1.4 de la función? Respuesta: 1 351.4 o 135140 per-

sonas. Aproximadamente se contagiarán 140 personas para cuando se detecte.


Función polinomial



Cada una de las funciones anteriores es un ejemplo de una función polinomial. Una fun-

ción polinomial de grado n tiene la forma general

(4.7)

donde an, anϪ1, . . . , a1, a0 son constantes con an 0. El exponente en cada x debe ser un

entero no negativo y el grado del polinomio es la mayor potencia (exponente) en la fun-ción. La función

es una función polinomial de quinto grado con a0 ϭ a1 ϭ a2 ϭ a3 ϭ a4 ϭ 0 y a5 ϭ 1.Observe que las funciones constantes, lineales, cuadráticas y cúbicas son funciones de

grado 0, 1, 2 y 3, respectivamente.

Funciones racionales

Una función racional tiene la forma general

(4.8)

donde tanto g como h son funciones polinomiales. Las funcionas racionales se llaman así a causa de su estructura de razón. La función

es un ejemplo de una función racional donde g( x ) ϭ 2 x y h( x ) ϭ 5 x 3 Ϫ 2 x ϩ 10.

(Rehabilitación de discapacidad) A menudo los terapeutas físicos encuentran que el proceso de re-habilitación se caracteriza por un efecto de rendimientos decrecientes. Es decir, la funcionalidad reco-brada aumenta normalmente con la duración de un programa de terapia, pero con el paso del tiempoen menores cantidades respecto de los esfuerzos adicionales del programa. Para una discapacidadparticular, los terapeutas desarrollaron una función matemática que describe el costo C de un progra-

ma de terapia como una función del porcentaje de funcionalidad recuperada x . La función es una fun-ción racional de forma

C ϭ f ( x)

ϭ5 x

120 Ϫ x 0 Յ x Յ 100

y ϭ f ( x) ϭ2 x

5 x Ϫ 2 x ϩ 10

y f ( x)g( x)

h( x)

y ϭ f ( x) ϭ x

y f (q) a x a x a x a

Ejemplo 15

donde C se mide en miles de dólares. Por ejemplo, se estima que el costo de la terapia para obtenerió d 30 i t i l



una recuperación de 30 por ciento es igual a

❑

f (30) ϭ5(30)

120 Ϫ 30

ϭ150

90

ϭ 1.667 (miles de dólares)

Combinación de funciones

Aparte de las formas funcionales mencionadas hasta ahora, se pueden combinar las funcio-nes algebraicamente para crear una función resultante. Si

es posible combinar estas funciones de ciertas maneras para formar nuevas funciones. Lossiguientes son ejemplos de suma, diferencia producto y cociente de funciones.

El dominio de una función suma, diferencia o producto consiste en el conjunto de va-lores de la variable independiente para los cuales ambas funciones están bien definidas. Demodo similar, el dominio de funciones cociente que tienen la forma general u( x )/ v( x ) con-siste en los valores de x para los que tanto u como v están bien definidas, excepto para va-lores que dan como resultado v( x ) ϭ 0.

Funciones compuestas

Además de la combinación algebraica de funciones para formar funciones nuevas, se pue-den relacionar funciones compuestas de otra manera. Existe una función compuesta cuan-do se puede ver una función como una función de los valores de otra.

1 p( x) ϭ f ( x) ϩ g( x) ϭ (3 x Ϫ 5) ϩ ( x Ϫ 2 x ϩ 1) ϭ x ϩ x Ϫ 4 (función suma)

2 q( x) ϭ h( x) Ϫ j ( x)ϭ x Ϫ1/2 x (función diferencia)

3r( x)

ϭ f ( x)h( x)

ϭ(3 x

Ϫ5) x

ϭ3 x

Ϫ5 x (función producto)

4 s( x) ϭ h( x)/ j ( x) ϭ x /(1/2 x ) ϭ x (2 x /1) ϭ 2 x (función cociente)

f ( x) ϭ 3 x Ϫ 5 g( x) ϭ x Ϫ 2 x ϩ 1 h( x) ϭ x y j ( x) ϭ 1/2 x

Determine el costo de la terapia para obtener una funcionalidad de 10 por ciento. 60 porciento. 100 por ciento. Respuesta: $454; $5000; $25 000


Si y ϭ g(u) y u ϭ h( x ), la función compuesta y ϭ f ( x ) ϭ g(h( x )) se crea al sustituir h( x )l f ió ( ) l i l d d Y d fi i f( ) (h( )) d



en la función g(u) en cualquier lugar donde u aparece. Y para definir f(x) ϭ g(h(x)), x de-

be estar en el dominio de h y h(x) debe estar en el dominio de g. Es decir, el valor de en-trada x debe permitir un valor de salida único y definible u, y la entrada de la u resultantecuando ingresa en g(u) debe producir una salida única y definible y. La figura 4.9 ilustraesquemáticamente la naturaleza de las funciones compuestas.

Para ilustrar estas funciones, suponga que la función

indica que el salario semanal y de un vendedor se determina por el número de unidades x

vendidas cada semana. Suponga que un análisis reveló que la cantidad vendida cada sema-na por el vendedor depende del precio cobrado por el producto. Se da esta función h por laregla

donde p es igual al precio, expresado en dólares.

x ϭ h( p) ϭ 150 Ϫ 2.5 p

y ϭ g( x) ϭ 2 x ϩ 50

h( x)

= números reales

Dominio de h( x)

x

Entrada

Salida

= números reales

Dominio de g(u)

u

Rango de h( x)

g(u)

Entrada

Salida

y

Figura 4.9 La naturalezade las funciones compuestas

Por tanto, para calcular el salario de un vendedor, la entrada inicial es el precio deventa para la semana dada Esto determinará la salida de h(p) el número de unidades que



venta para la semana dada. Esto determinará la salida de h( p), el número de unidades quese espera vender. Esta salida se convierte en una entrada de g( x ) para determinar el sala-rio semanal. Se ilustran estas relaciones en la figura 4.10a). Por ejemplo, suponga que elprecio en una semana dada es $30. El número de unidades que se espera vender en la se-mana es

Ya que se conoce el número de unidades que se espera vender, se calcula el salario sema-nal como

Puesto que el salario semanal depende del número de unidades vendidas cada semanay que el número de unidades vendidas depende del precio por unidad, se puede determinarel salario semanal como una función del precio por unidad. O bien

y ϭ f ( p) ϭ g(h( p))

y ϭ g(75)

ϭ 2(75) ϩ 50 ϭ $200

x ϭ h(30)

ϭ 150 Ϫ 2.5(30) ϭ 150 Ϫ 75 ϭ 75 unidades

h( p) = 150 – 2.5 p

Entrada

Salida

x = 75

p = 30

g( x) = 2 x + 50

Entrada

Salida

y = 200

g(h( p)) = f ( p) = 350 – 5 p

Entrada

Salida

y = 200

p = 30

a) Funciones componentes b) Función compuesta

Figura 4.10



17. f ( x) 10 x 18. f ( x) x16 / √ x19. f (t) t 5 /(36 t8 ) 20. f ( x) 32 x



25. Dada la forma general de una función constante expresada por medio de la ecuación (4.3), de-termine el dominio de estas funciones.

26. Dada la forma general de una función polinomial indicada por la ecuación (4.7), determine el

dominio de dichas funciones.27. Dada la forma general de una función racional expresada mediante la ecuación (4.8), determine

el dominio de estas funciones.28. La ganancia total de plantar x j acres en una granja j se expresa como la función

a) Cuál es la utilidad total si se plantan 200 acres en la granja 1 250 acres en la granja 2 y 150acres en la granja 3?

b) Cuál es la utilidad total si se plantan 500, 300 y 700 acres, respectivamente, en las tres granjas?c) Identifique una combinación de plantaciones que dé como resultado una utilidad igual a cero.

29. Se estima el valor de un camión por medio de la función

donde V es igual al valor expresado en dólares y t es igual a la antigüedad del camión expresa-da en años.a) ¿Qué tipo de función es ésta?b) ¿Cuál es el valor después de 3 años?c) ¿Cuándo será el valor igual a 0?

30. Un departamento de policía determinó que se puede estimar el número de crímenes graves queocurren por semana como una función del número de policías asignados al patrullaje preventi-vo. Específicamente, la función matemática es

donde c es igual al número de crímenes por semana y p equivale al número de oficiales asigna-dos al patrullaje preventivo.a) ¿Qué tipo de función es ésta?b) ¿Cuál es el número esperado de crímenes por semana si se asignan 150 oficiales al patrulla-

je preventivo?c) ¿Cuántos oficiales se deberían asignar si se desea reducir los niveles de criminalidad a 500?d ) ¿Cuántos oficiales se tendrían que asignar para reducir los niveles de criminalidad a 0?

31. El ingreso total de la venta de un producto particular depende del precio cobrado por unidad. Es-pecíficamente, la función del ingreso es

donde R equivale al ingreso total en dólares y p es el precio, también expresado en dólares.

R ϭ f ( p) ϭ 1 500 p Ϫ 50 p

c ϭ f ( p) ϭ 900 Ϫ 3.5 p

V ϭ f (t) ϭ 20 000 Ϫ 3 000t

P( x , x , x ) ϭ 500 x ϩ 650 x ϩ 450 x Ϫ 300 000

f ( ) ( ) f ( )21. f ( x) log 10 ( x 5) 22. v(h) log

eh

23. f ( x) [( x 9)0 ]3 24. f ( x) [( x 4)5 ]0

a) ¿Qué tipo de función es ésta?b) ¿Qué ingreso total se espera obtener si el precio es de $10?



¿ g p pc) ¿Qué precio(s) daría(n) como resultado un ingreso total igual a cero?

32. Funciones de la oferta Una función de la oferta indica el número de unidades de un productoque los proveedores quieren llevar al mercado como una función del precio que los consumido-res están dispuestos a pagar. La función siguiente es una función de la oferta

donde qses igual al número de unidades vendidas y p equivale al precio de venta.

a) ¿Qué tipo de función es ésta?b) ¿Qué cantidad se debería entregar si el precio de mercado es $30? ¿$50?c) ¿Qué precio daría como resultado 0 unidades llevadas al mercado?

33. La función de la utilidad de una empresa es

donde q equivale al número de unidades vendidas y P es igual a la utilidad anual en dólares.a) ¿Qué tipo de función es ésta?b) ¿Cuál es la utilidad esperada si se venden 1500 unidades?

34. Valor de recuperación Una aerolínea importante compra un tipo particular de avión en $75 mi-llones. La compañía estima que el precio de recuperación (reventa) se pondera bien por mediode la función

donde S equivale al valor de recuperación (en millones de dólares) y x es igual al número de ho-

ras de tiempo de vuelo del avión.a) ¿Qué tipo de función es ésta?b) ¿Cuál es el valor de recuperación esperado después de 10000 horas de tiempo de vuelo?c) ¿Cuántas horas debe volar el avión para que el valor de recuperación sea igual a cero?d ) ¿Qué interpretación daría a la intersección de y? ¿Por qué piensa que esto no es igual a 75?

35. La función de demanda de un producto es

donde qd es el número de unidades demandadas y p es el precio por unidad, expresado en dó-lares.a) ¿Qué tipo de función es ésta?b) ¿Cuántas unidades se demandarán con un precio de $30?c) ¿Qué precio(s) daría(n) como resultado una demanda cero del producto?

36. Una epidemia se propaga en un rebaño de ganado bovino. Se estima el número esperado de ga-nado contagiado por la enfermedad mediante la función

donde n equivale al número de cabezas de ganado contagiadas y t es igual al número de díasdesde que se detectó la enfermedad por vez primera. ¿Cuánto ganado se espera que se con-tagie después de 10 días? ¿Después de 20 días?

n ϭ f (t) ϭ 0.08t ϩ 5

q ϭ p Ϫ 90 p ϩ 2 025 0 Յ p Յ 45

S ϭ f ( x) ϭ 72 Ϫ 0.0006 x

P(q) ϭ Ϫ10q ϩ 36 000q Ϫ 45 000

q ϭ 0.5 p Ϫ 200

37. Dada f ( x ) ϭ x 2 Ϫ 3 y g( x ) ϭ 10 Ϫ 2 x , determine a) f ( x ) ϩ g( x ), b) f ( x ) · g( x ) y c) f ( x )/ g( x ).38. Dada f ( x ) ϭ x ෆ y g( x ) ϭ 3/( x Ϫ 1), determine a) f ( x ) Ϫ g( x ), b) f ( x ) · g( x ) y c) f ( x )/ g( x ).



f y g f g f g y f g

39. Si y ϭ g(u) ϭ u2Ϫ 4u ϩ 10 y u ϭ h( x ) ϭ x Ϫ 4, determine a) g(h( x )), b) g(h(Ϫ2)) y c) g(h(1)).

40. Dada y ϭ g(u) ϭ 3u2ϩ 4u y u ϭ h( x ) ϭ x ϩ 8, determine a) g(h( x )), b) g(h(Ϫ2)) y c) g(h(1)).

41. Si y ϭ g(u) ϭ u2ϩ 2u y u ϭ h( x ) ϭ x 3, determine a) g(h( x )), b) g(h(0)) y c) g(h(2)).

42. Dada c ϭ h(s) ϭ s2 Ϫ 8s ϩ 5 y s ϭ f (t ) ϭ 10, determine a) h( f (t )), b) h( f (3)) y c) h( f (Ϫ2)).43. Dada y ϭ g(u) ϭ (2)u y u ϭ h( x ) ϭ x ϩ 2, determine a) g(h( x )), b) g(h(3)) y c) g(h(Ϫ2)).

44. Dada y ϭ g(u) ϭ (u Ϫ 5)2 y u ϭ h( x ) ϭ x 2 ϩ 1, determine a) g(h( x )), b) g(h(5)) y c) g(h(Ϫ3)).

Representación gráfica de las funcionesA lo largo de este libro se utiliza el modelo visual con tanta frecuencia como es posible pa-ra reforzar su comprensión de diferentes conceptos matemáticos. El modelo visual más fre-cuentemente tomará la forma de una representación gráfica. En esta sección estudiamos larepresentación gráfica de funciones que implican dos variables.

Representación gráfica de funciones en dos dimensiones

Las funciones que tienen una o dos variables independientes se pueden representar gráfi-camente. Esta presentación gráfica ofrece una dimensión adicional para entender las fun-ciones matemáticas. Llegará a apreciar la mayor comprensión y discernimiento que ofrecenlas gráficas.

La representación gráfica requiere una dimensión para cada variable independiente con-

tenida en una función y una para el valor funcional o variable dependiente. Por consiguien-te, las funciones con una variable independiente se grafican en dos dimensiones o en unespacio bidimensional . Las funciones con dos variables independientes se grafican en tresdimensiones o en un espacio tridimensional . Cuando una función contiene más de tres va-riables, se pierde la representación gráfica.

Las funciones que contienen dos variables se grafican en un conjunto de ejes de coorde-nadas rectangulares. Normalmente, se selecciona el eje vertical para representar la variabledependiente de la función; por lo general, se selecciona el eje horizontal para representar la

variable independiente.Para graficar una función matemática, simplemente podemos asignar diferentes valoresdel dominio a la variable independiente y calcular el valor correspondiente para la variable de-pendiente. Los pares de valores ordenados resultantes para las dos variables representan valo-res que satisfacen la función. También especifican las coordenadas de puntos que caen en lagráfica de la función. Para trazar la función, determine un número adecuado de pares ordena-

dos de valores que satisfacen la función; localice sus coordenadas respecto de un par de ejes.Una estos puntos con una curva suave para determinar un trazo de la gráfica de la función.

(A pesar de que este planteamiento bastará por el momento, más adelante aprenderemos ma-neras más eficientes de trazar funciones.)

4.3

Ya sabemos cómo graficar relaciones lineales. Para trazar la función linealEjemplo 18



simplemente necesitamos las coordenadas de dos puntos. Debería reconocer ésta como la forma dependiente-intersección de una línea recta con pendiente de 2 e intersección de y en (0, Ϫ4). Al esta-blecer y igual a cero, identificamos la intersección de x como (2, 0). La figura 4.11 es una represen-

tación gráfica de la función.

y ϭ f ( x) ϭ 2 x Ϫ 4

v Ϫ6 Ϫ5 Ϫ4 Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1 0 1 2 3 4u 140 50 Ϫ20 Ϫ70 Ϫ100 Ϫ110 Ϫ100 Ϫ70 Ϫ20 50 140

x

5 –5 10 –10

y

5

–5

–10

(–4, –12)

(–3, –10)

(–2, –8)

(–1, –6)

(0, –4)

(1, –2)

(2, 0)

(3, 2)

(4, 4)

y = f ( x) = 2 x – 4

Figura 4.11 Trazo de f ( x ) ϭ 2 x Ϫ 4.

Ejemplo 19

Tabla 4.1

Para trazar la función cuadrática

se calculan los pares de muestra para u y v como se indica en la tabla 4.1. Estos puntos se trazan enla figura 4.12 y se unieron para ofrecer un trazo de la función. Nótese que el eje horizontal se iden-tifica con la variable independiente v y el eje vertical con la variable dependiente u. En contraposi-ción a la función lineal del ejemplo anterior, es evidente que no se puede representar esta funcióncuadrática por medio de una línea recta.

u ϭ f (v)

ϭ 10v ϩ 20v Ϫ 100

❑

u



v

5 –5 10 –10

250

200

150

100

50

–50

–150

–200

–250

(3, 50)

u = f(v) = 10v 2 + 20v – 100

(4, 140)

(2, –20)

(1, –70)

(0, –100)

(–1, –110)

(–2, –100)

(–3, –70)

(–5, 50)

(–6, 140)

(–4, –20)

Figura 4.12 Trazo de f (v) ϭ 10v2

ϩ 20v Ϫ 100.

NOTA Cabe señalar algunos puntos relacionados con la representación grá-fica de las funciones. En primer lugar, siempre es útil determinar elconjunto de puntos muestra que quiere graficar antes de establecer

las escalas de los ejes. Al hacer esto, determina el rango de valoresque desea graficar para las dos variables. Una vez que ha determina-

do estos rangos, puede determinar la escala adecuada que se debeusar en cada eje. En segundo término, no es necesario que los dosejes tengan la misma escala. Las unidades de un eje pueden repre-sentar millones y las del otro eje unidades individuales. De modo si-milar, los intervalos que se utilizan para establecer la escala de cadaeje no necesitan tener la misma anchura (analice las escalas de la fi-gura 4.12). Si pasa por alto esta posibilidad, su gráfica puede llegarmás allá de los bordes de su papel. (El autor ha tenido en clase si-tuaciones en que las gráficas requerían puntos por debajo del sueloy por encima del techo.) Por último, la unidad de medida para unavariable no tiene que ser la misma que para la otra variable. La fun-ción del costo en el ejemplo de las patrullas mostraría el costo en

dólares en un eje y las millas conducidas en el otro.

PUNTO PARA

PENSAR

¿Cuál sería el efecto sobre la forma de la gráfica del ejemplo ante-rior si el eje vertical tuviera la misma escala que el eje horizontal?



Para trazar la función cúbica

se calculan los puntos muestra como aparecen en la tabla 4.2. Se trazan estos puntos, dando como re-sultado el trazo de f en la figura 4.13.

y ϭ f ( x) ϭ x

x 0 1 2 3Ϫ

1Ϫ

2Ϫ

3 y 0 1 8 27 Ϫ1 Ϫ8 Ϫ27

x –15 15 –10

y

25

15

10

5

–5

–15

–20

–25

(3, 27)

–5 5 10

20

–10

(2, 8)

(1, 1)(0, 0)

(–1, –1)

(–2, –8)

(–3, –27)

y = f ( x ) = x3

Figura 4.13 Trazo de f ( x ) ϭ x 3.

PENSAR

Y ANALIZAR

¿Qué sucedería si el eje horizontal tuviera la misma escala que el ejevertical? Dada la figura 4.12 , determine el rango de f (v).

Ejemplo 20

Tabla 4.2

❑

Como hemos visto en este capítulo, la relación funcional existente entre variables en ocasiones sedescribe con más de una ecuación. Para ilustrarlo, suponga que y equivale al salario semanal en dó-

Ejemplo 21



lares de un vendedor y x es igual al número de unidades de un producto vendido durante una sema-na. Dado que el salario semanal depende del número de unidades vendidas, suponga que se aplica lasiguiente función.

Si el número de unidades vendidas durante una semana es menor que 40, el vendedor percibe un salariobase de $50 y una comisión de $2 por unidad vendida. Si el número de unidades es 40 o más, un bo-no de $25 aumenta la porción básica del salario a $75. Además, la comisión sobre todas las unida-des se incrementa a $2.25 por unidad.

La figura 4.14 ilustra la gráfica de la función. Nótese que la gráfica sólo usa el cuadrante I, don-

de tanto x como y son positivas. El trazo de la función se hace en dos “secciones” lineales rectas. Ca-da sección de la gráfica es válida para cierta porción del dominio de la función. Se utiliza el círculoabierto (᭺) en el extremo del primer segmento para indicar que el punto no es parte de la gráfica. Co-rresponde a una división en la función en x ϭ 40. El punto correspondiente a x ϭ 40 es el primer pun-to en el segundo segmento de la función y se representa por medio del círculo sólido (᭹). Trace estafunción y verifique su forma. ❑

y ϭ f ( x) ϭ 2 x ϩ 502.25 x ϩ 75

donde 0 Յ x Ͻ 40donde x Ն 40

❑

10 20 30 40 50 60 70

y = f ( x) =

y

50

100

150

200

$250

x

Unidades vendidas por semana

S a l a r i o s e m

a n a l

2 x+ 50, 0 x < 402.25 x+ 75, x 40

Figura 4.14 Funciónlineal seccionada.

Prueba de la línea recta vertical

Por la definición de una función, cada elemento del dominio debe corresponder a uno y só-l l i d d i i l i ió áfi d



y

x

No es una función

y1

y2

x0

Figura 4.15 Prueba de la línearecta vertical para una función.

lo un elemento en ese rango. Esta propiedad permite una simple revisión gráfica para de-terminar si una gráfica representa una función matemática. Si se traza una línea rectavertical a través de cualquier valor en el dominio, sólo intersecará en un punto la gráfica dela función. En contraste, si una línea recta vertical interseca una curva en más de un pun-to, la curva no es la gráfica de una función. La curva de la figura 4.15 no representa unafunción puesto que la línea recta vertical punteada interseca la curva en dos puntos. Dos va-lores en el rango, y1 y y2, están asociados con un valor en el dominio, x 0. La gráfica repre-senta una relación pero no una función.

En esta sección hemos introducido la representación gráfica de las funciones mate-máticas. El procedimiento que se ha presentado se debe denominar método de “fuerzabruta” en el sentido de que es necesario determinar un número “adecuado” de puntoscon el fin de tener una idea razonable de la forma de la gráfica de una función. Sin em-bargo, ¡sí funciona! La experiencia responderá la pregunta de cuántos puntos serán

apropiados.A lo largo del libro de texto seguiremos aprendiendo sobre las funciones matemáticas.

Pronto podrá reconocer las diferencias estructurales entre las funciones lineales y las diversasfunciones no lineales y con este conocimiento le será más fácil determinar una contraparte vi-sual o gráfica. Por ejemplo, nuestros análisis de las ecuaciones lineales del capítulo 2 nos per-miten reconocer que las funciones de los ejemplos 18 y 21 son lineales; por consiguiente,sabemos que se trazarán como líneas rectas que se pueden definir por medio de dos puntos.

1. f ( x) 8 3 x 2. f ( x) 4 x /23. f ( x) x2 2 x 1 4. f ( x) x2 9

Sección 4.3 Ejercicios de seguimiento

Trace cada una de las siguientes funciones.

5. f ( x) x2 5 x 6. f ( x) x 2 47. f ( x) x3 2 8. f ( x) x3 19. f ( x) x4 10. f ( x) x4 2



15. Función de la demanda. En el ejemplo 13 analizamos la función cuadrática de la demanda

Trace esta función si el dominio restringido es 0 Յ p Յ 20.16. Control de epidemias. En el ejemplo 14 analizamos la función cúbica

donde n era el número (en cientos) de personas que se esperaba que contrajeran una enferme-dad t días después de ser detectada por el departamento de salud. Trace esta función suponien-do un dominio restringido 0 Յ t Յ 30.

17. En la figura 4.16, identifique las gráficas que sí representan funciones.18. En la figura 4.17, identifique las gráficas que sí representan funciones.19. Dada la gráfica de alguna función f ( x ) en la figura 4.18, explique cómo cambiaría la gráfica si qui-

siéramos trazar f ( x ) ϩ c, donde c es un número real positivo. ¿Cómo se vería la gráfica de f ( x ) Ϫ c?[Sugerencia: Grafique f ( x ) ϭ x 2 y compárela con las gráficas de g( x ) ϭ x 2 ϩ 1 y h( x ) ϭ x 2 Ϫ 1.]

20. Dada la gráfica de alguna función f ( x ) en la figura 4.19, explique cómo cambiaría la gráfica si de-

seáramos trazar Ϫ f ( x ). [Sugerencia: Grafique f ( x ) ϭ x 2 y compárela con la gráfica de g( x ) ϭ Ϫ x 2.]

n ϭ f (t) ϭ 0.05t ϩ 1.4

q ϭ f ( p) ϭ p Ϫ 70 p ϩ 1 225

11. f ( x)x 2 x 2

x 0 x 0

12. f ( x)x2

x 2 x 0 x 0

4 x 2 x2 4 2 x 213. f ( x) | x| 2 x 2 14. f ( x) x 3 x 2

4 x 2 x 3 x 2

y

x

a)

y

x

b)

y

x

c)

y

x

d)

y

x

e)

y

x

f )Figura 4.16

y y y



x

a)

x

b)

x

c)

y

x

d)

y

x

e)

y

x

f )

Figura 4.17

x

y

f ( x )

x

y

f ( x )

Figura 4.18 Figura 4.19

❑ TÉRMINOS Y CONCEPTOS CLAVE

dominio 143 función lineal 159



❑ FÓRMULAS IMPORTANTES

y ϭ f ( x) ϭ a0

Función constante (4.3) y ϭ f ( x) ϭ a1 x ϩ a0 Función lineal (4.4) y ϭ f ( x) ϭ a2 x

2ϩ a1 x ϩ a0 Función cuadrática (4.5)

y ϭ f ( x) ϭ a3 x3

ϩ a2 x2

ϩ a1 x ϩ a0 Función cúbica (4.6) y ϭ f ( x) ϭ a n x

nϩ a nϪ1 x

nϪ1ϩ · · · ϩ a1 x ϩ a0 Función polinomial (4.7)

y ϭ f ( x) ϭᎏ h g(

( x x ) )ᎏ Para polinomios g y h Función racional (4.8)

❑ EJERCICIOS ADICIONALESSECCIÓN 4.1

En los ejercicios 1 a 12, determine a) f (1), b) f (Ϫ2) y c) f (a Ϫ b).

dominio 143dominio y rango restringidos 150función 143función compuesta 164función constante 158

función cuadrática 160función cúbica 161función de dos variables 151función de varias variables 151

función lineal 159función polinomial 162función racional 162funciones de una variable 151mapeo 143

rango 143variable dependiente 144variable independiente 144variables con subíndices 153

13. f ( x) 100 x 14. f ( x) 4 x /( x9 256 x)

15. f ( x) √ x /(8 x) 16. f ( x) √ x2 3 x 2/(4 x2 )

17. f ( x) √( x 2)/( x2 16) 18. f ( x) √ x3 819. f ( x) (2)2 x 20. f ( x) e x2, donde e 2.718 . . .

21. g(u) √10u

4(u2 64) 22. h(t) (2)t / √t2 7t 12

23. f (v) √v2 9/(v3 4v) 24. r ( s) √25 s /(3) s

1. f ( x) 5 x 2 2. f ( x) x2 3 x 10

3. f (t) 10 t t3 4. f (u) √85. f ( x) x /( 2 x) 6. f (r) r3 5r2 3

7. f ( x) √ x2 4 8. f (v) (v 1)/( 4 v2 )

9. f ( z) z4 / √64 10. f ( x) 2 x

11. f ( x) ( x 2)2 x 12. f (t) (3t2 5)/(1 t 2 t10 )

En los ejercicios 13 a 24, determine el dominio de la función.

25. Dada f (a, b) ϭ 3a2Ϫ 2ab ϩ 5b2, determine a) f (Ϫ2, 3) y b) f ( x ϩ y, x Ϫ y).

26. Dada f (a, b, c, d ) ϭ a3Ϫ 2abc ϩ cd 2 Ϫ 5, determine a) f (Ϫ1, 2, 0, 1) y b) f (0, 0, 0, 0).

27. Dada f ( x 1, x 2, x 3) ϭ x 21 Ϫ 2 x 1 x 2 ϩ x 2 x 3 Ϫ 10, determine a) f (0, 1, Ϫ3) y b) f (10, Ϫ10, 10).28. Dada h( x , y, z) ϭ x 2 yz3, determine a) h(2, Ϫ3, 1) y b) h(a ϩ b, a, b).29 S h d d ió d di l l l d h l i d i



29. Se ha dado a una estación de radio local el derecho exclusivo de promover un concierto enla arena cívica de la ciudad, la cual tiene capacidad para 30 000 personas. La comisión pa-ra la estación de radio es $5 000 más $2.50 por cada boleto vendido para el concierto.a) Determine la función C ϭ f (n), donde C equivale a la comisión pagada a la estación de

radio, expresada en dólares, y n es igual al número de boletos vendidos.b) Determine el dominio restringido y el rango para esta función.30. Se ha contratado a un vendedor para vender tres productos. Se paga al vendedor sobre una

base de comisión, ganando $2.50, $3.00 y $2.00 por unidad, respectivamente, para los pro-ductos 1, 2, y 3. Además, el vendedor recibe un salario base de $40 por semana. x j represen-ta el número de unidades vendidas por semana del producto j para j ϭ 1, 2, 3 y s es igual alsalario semanal en dólares.a) Determine la función del salario s ϭ f ( x 1, x 2, x 3).b) Si se estima que las ventas semanales máximas para los tres productos son 20, 35 y 25

unidades, determine el dominio restringido y el dominio y el rango para la función del sa-lario.

SECCIÓN 4.2

En los ejercicios 31 a 44, clasifique cada función por tipo (constante, lineal, cuadrática, etc.), sies posible.

45. Inscripciones en la universidad Una universidad proyecta que las inscripciones disminui-rán mientras el grupo de solicitantes en edad universitaria empieza a reducirse. Han estima-do que el número de solicitudes para los próximos años se comportarán de acuerdo con lafunción

donde a equivale al número de solicitudes de admisión a la universidad y t es igual al tiem-po en años medido desde el año actual (t ϭ 0).a) ¿Esta función es un ejemplo de qué clase de funciones?b) ¿Cuál es el número de solicitudes esperadas dentro de 5 años? ¿Dentro de 10 años?c) ¿Cree que esta función es precisa como un indicador de pronóstico indefinidamente en

el futuro? ¿Qué tipos de factores influirían el dominio restringido en t ?46. Control de armas de fuego Con los índices de criminalidad al alza, se estima que el nú-

mero de pistolas en circulación está aumentando. El FBI utiliza la función

n ϭ f (t) ϭ 25.5 ϩ 0.025t

a ϭ f (t ) ϭ 6 500 Ϫ 250t

31. g 32. f (24 x 3 x 2 x 10 )/( x 50)

33. g 34. f (5t 3 3t 2 )0

35. f 36. f log 5( x 1)37. f 38. f (5)n /25

39. f 40. f 3√ x 12

41. f 42. g (3h /2)/15

43. f

(

(((

((

(

u

h s

x

x

x

x

)

)))

))

)

(u 2 10u)/3

log 10(0.01)(0.25) s2 3 s

3 x /(25 x 5)

( x 2 4)4

7.5( x 5 )0

√ x / x 3 44. f

(

(((

((

(

x

t x

n

x

h

t

)

)))

))

) (t 2 3t 12)/ √(t 4 t 2 )0

donde n equivale al número de pistolas en circulación (expresado en millones) y t represen-ta el tiempo medido en años desde este año en curso (t ϭ 0).a) ¿Esta función es un ejemplo de qué clase de funciones?



b) ¿Cuál es el número estimado de pistolas dentro de 20 años?c) ¿Cuánto tiempo tomará para que el número de pistolas sea 26.5 millones?

47. Se calcula el costo total de producir x unidades de un producto por medio de la función delcosto

donde C es el costo total medido en dólares.a) ¿Esta función es un ejemplo de qué clase de funciones?b) ¿Cuál es el costo asociado con la producción de 25 000 unidades?c) ¿Cuál es el costo asociado con la producción de 0 unidades? ¿Qué término se podría em-

plear para describir este costo?48. Un minorista ha determinado que el costo anual C de la compra, posesión y mantenimiento

de sus productos se comporta de acuerdo con la función

donde q es el tamaño (en unidades) de cada pedido comprado a los proveedores.a) ¿Cuál es el costo anual si el tamaño del pedido es igual a 1 000 unidades? ¿2 000 unida-

des?b) Vea si puede determinar el dominio restringido para esta función. (Sugerencia: No podrá

llegar a un número determinado en el caso del límite superior; en su lugar, analice losfactores que influirán en ese valor.)

49. Si y ϭ g(u) ϭ u3Ϫ 5u y u ϭ h( x ) ϭ x 2 Ϫ 4, determine a) g(h( x )) y b) g(h(2)).

50. Si y ϭ g(u) ϭ u Ϫ 5 y u ϭ h( x ) ϭ x 2 Ϫ 3 x ϩ 6, determine a) g(h( x )) y b) g(h(Ϫ2)).51. Si y ϭ f (r ) ϭ r 2, r ϭ g(s) ϭ s2 Ϫ 4 y s ϭ h( x ) ϭ x Ϫ 3, determine las funciones com-

puestas a) g(h( x )) y b) f (g(h( x ))).

SECCIÓN 4.3

Trace las siguientes funciones

58. Un vendedor recibe un salario base mensual de $250 más una comisión de $4 por cada

unidad vendida. Si las ventas mensuales exceden 500 unidades, el vendedor recibe un bo-no de $150 más $2.50 adicionales por todas las unidades vendidas por encima de las 500unidades.a) Formule la función de la compensación mensual S ϭ f ( x ), donde S equivale a la compen-

sación mensual en dólares y x es igual al número de unidades vendidas por mes.b) Trace la función de la compensación.

C ϭ f (q) ϭ20 000

qϩ 0.5q ϩ 50 000

C ϭ f ( x) ϭ 60 x ϩ 0.2 x ϩ 25 000

52. f ( x) 3 53. f ( x) x2 954. f ( x) x5 55. f ( x) 2 x

x x 056. f ( x) 2 0 x 3 57. f ( x)

x2

x2

x 0 x 0

x x 3

❑ EVALUACIÓN DEL CAPÍTULO1. Determine el dominio de la función

f (x) ϭ √x ϩ x 6



2. La función V ϭ f (t ) ϭ 36000 Ϫ 4500t expresa que el valor de una pieza de equipo es unafunción de su antigüedad. V representa el valor (en dólares) y t es la antigüedad del equi-po (en años). Determine el dominio restringido y el rango para esta función.

3. Una agente de viajes planea un viaje de una semana para esquiar para los estudiantes de unauniversidad local. El paquete incluye el boleto de avión, transferencias, hospedaje, desayu-no y comida todos los días y boletos de airfare. El boleto es de $450 por persona a menosque el número de personas que contrata exceda 150. En este caso, el precio del paquete pa-ra todas las personas disminuye $2.50 por cada persona por encima de las 150. Si p equiva-le al precio del paquete en dólares y n es igual al número de personas que contratan el viaje,determine la función p ϭ f (n).

4. Si y ϭ g(u) ϭ u2 /(1 Ϫ 2u) y u ϭ h( x ) ϭ x ϩ 5, determine las funciones compuestasa) g(h( x )) y b) g(h(Ϫ5)).

5. Clasifique cada una de las siguientes funciones (constantes, lineales, etc.), si es posible.

6. Trace la función

f ( x) ϭ

x

Ϫ x

x Ն 0

x Ͻ 0

f ( x) ϭ √ x ϩ x Ϫ6

a) f ( x) ϭ x / √ x

b) f ( x) ϭ x /(1 Ϫ 3 x ϩ x )

c) f ( x) ϭ 1/(10 Ϫ x ϩ x )

d) f ( x) ϭ (120 Ϫ 5 x)/24

0a6cap 4 funciones matematicas

Documents