L1

L2

0 x

y

• ¿Cuál de las ¿Cuál de las rectas está más rectas está más inclinada?inclinada?

• ¿Cómo medimos ¿Cómo medimos esa inclinación?esa inclinación?

x

yencambio

recorrido

elevaciónm

∆∆===

en x cambio

y

La pendiente m de la recta l es:

y2 - y1

x2 - x1

Cálculo de la pendiente de una recta

0 x

y

P1(x1;y1)

P2(x2; y2)

∆x=x2 - x1

∆y=y2 - y1

m =

Sea l una recta no vertical que pasa por los puntos P1(x1;y1) y P2(x2; y2).

Ubique los puntos en el plano y Ubique los puntos en el plano y determine la pendiente de estos determine la pendiente de estos segmentos:segmentos:

1.1. A(-6; 1) y B(1; 2)A(-6; 1) y B(1; 2)

3.3. C(-1; 4) y D(3; 1)C(-1; 4) y D(3; 1)

5.5. E(3; 2) y F(8; 2)E(3; 2) y F(8; 2)

7.7. G(2; 1) y H(2; -3) G(2; 1) y H(2; -3)

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

mAB = 1/7

mCD = -3/4

mEF = 0

mGH = ¿?

x

y

Si mSi m>>0 la recta 0 la recta ll es crecientees creciente

Si mSi m<<0 la recta 0 la recta ll es decreciente es decreciente

Toda recta horizontal tiene m Toda recta horizontal tiene m = = 0 0

Las rectas verticales no tienen Las rectas verticales no tienen

pendiente definida. pendiente definida.

Ejemplo:

Un doctor compro un automóvil nuevo en

1991 por $32 000. En 1994, él lo vendió a un

amigo en $26 000.Dibuje una recta que

muestre la relación entre el precio de venta

del automóvil y el año en que se vendió.

Determine e interprete la pendiente.

La ecuación de la recta de pendiente m, y La ecuación de la recta de pendiente m, y punto de paso punto de paso (x(x11, y, y11)) es: es:

(x1, y1) y - y1 = m(x - x1)

X

Y

La gráfica de una recta de pendiente m y ordenada en el origen b, es:

by = mx + b

X

Y

Ecuación de la recta 2.

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTAECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

La gráfica de una ecuación lineal:Ax + By + C = 0, es una recta, y recíprocamente, toda recta es la gráfica de una ecuación lineal.

Ax + By + C = 0

Ejercicios:

3. Determine la ecuación de la recta que pasa por (-5/2; 5) y tiene pendiente 1/3.

2. Determine la ecuación de la recta que pasa por (-6;1) y (1;4).

3. Determine la pendiente y la intersección con el eje y de la recta determinada por la ecuación x- 9 = 5y+3.

4. Determine la ecuación general de la recta que pasa por (3; -1) y (-2;-9).

recta recta // ecuaciónhorizontal al eje X y = b

recta recta // ecuaciónvertical al eje Y x = a

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5 b

a

y = b

x = a

RECTA HORIZONTAL Y VERTICAL

En resumen:

Formas de la ecuación de una recta:Formas de la ecuación de una recta:

• Forma punto pendiente: y-y1=m(x-x1)

• Forma pendiente ordenada y = mx+b al origen

• Forma general Ax + By + C = 0

• Recta vertical x = a

• Recta horizontal y = b

• La ecuación general de la recta es de la siguiente forma: Ax+By+C=0

• A partir de la ecuación anterior podemos analizar cuatro casos diferentes

• Caso 1. Recta paralela al eje x: Si A=0, B≠0, C ≠ 0; la ecuación se reducirá a By+C=0, de la cual se obtiene que y=-C/B, que representa una recta paralela al eje x.

• Haciendo a=-C/B, donde a es la distancia de la recta al eje de la abscisas, es decir, y=a, como se aprecia en la figura.

• Caso 2. Recta paralela al eje y: Si A≠0, B=0, C ≠ 0; la ecuación se reducirá a Ax+C=0, de la cual se obtiene que x=-C/A, que representa una recta paralela al eje y.

• Gráficamente x=a, donde a=-C/A, y es la distancia de la recta al eje de las ordenadas.

• Caso 3. Ecuación de una recta que pasa por el origen: Si A=1, B=1, C=0; la ecuación se reducirá a y=-x o x=-y, o bien y=|x|, que representa una línea recta con pendiente de 45º que pasa por el origen como lo muestra la figura.

• Caso 4. Ecuación de una recta en cualquier posición: Si A≠1, B≠1, C≠ 0; al despejar y la ecuación general toma la forma

• Reduciéndose así a la ecuación de la recta de la forma pendiente dada y ordenada al origen, donde la pendiente sería m=-A/B y la ordenada al origen b=-C/B; que puede ser representada como se muestra

B

Cx

B

Ay −=

m1 = m2

Dos rectasDos rectas ll11 yy ll2 2 cuyas pendientes soncuyas pendientes son

mm11 yy mm22 , , son paralelasson paralelas ( (ll11 //// ll22) ) si y sólo si y sólo

si tienen la misma pendiente o si ambas si tienen la misma pendiente o si ambas

son verticales .son verticales .

Es decir:Es decir:

° Dos rectas l1 y l2 cuyas pendientes son m1 y m2 , son perpendiculares (l1 ⊥l2) si y sólo si el producto de sus pendientes es -1.

Es decir:

Además, una recta horizontal y una vertical son perpendiculares entre sí.

m1 . m2 = -1

Ejercicios:

Determine la ecuación de la recta que satisfaga:

pasa por (3;-4) y es paralela a

y= 3+ 2x.