clase diseño y analisis de experimentos final.docx

Instituto Tecnológico de Durango Maestría en Sistemas Ambientales

Instituto Tecnológico de Durango

Maestría en Sistemas Ambientales

Diseño y Análisis de experimentos

“Portafolio”

Catedrático: Dr. Carlo Francisco Cruz Fierro.

Alumna: I.Q. Susana Citlaly Gaucin Gutierrez 07040234

Victoria de Durango, Dgo. A 18 de Junio de 2012

i


ii


ContenidoUnidad 1............................................................................................................................. 1Diseño estadístico de experimentos...................................................................................2

Etapas.............................................................................................................................2Principios Básicos...........................................................................................................2

1.2. Principales estadísticos descriptivos...........................................................................3Ejercicio 1...............................................................................................................................6

Pruebas de Hipótesis........................................................................................................12Hipótesis Nula H0..........................................................................................................12Hipótesis Alternativa H1.................................................................................................12

Interferencia estadística para medias poblacionales (Prueba T)......................................13PRUEBA t DE UNA MUESTRA............................................................................................14

Estadístico de prueba t0....................................................................................................14Ejercicio #2...........................................................................................................................17Problema 3...........................................................................................................................21Problema 4...........................................................................................................................26Problema 5...........................................................................................................................29

PRUEBA T DE DOS MUESTRAS....................................................................................32Hipótesis nula...................................................................................................................32Hipótesis alterna...............................................................................................................32Hipótesis nula...................................................................................................................32Hipótesis alterna...............................................................................................................32Estadístico de prueba.......................................................................................................33

Dos casos dependiendo de σ1 y σ1......................................................................................33Caso 1: Si σ1 se asume igual que σ2.................................................................................33Caso 2: Si se asume que σ1 y σ2 son diferentes...............................................................33

Prueba t Pareada.................................................................................................................34Hipótesis...........................................................................................................................34Estadístico de prueba.......................................................................................................34

Resistencia...........................................................................................................................34Estrategia para valores extremos.....................................................................................34

Robustez..............................................................................................................................35Problema 6...........................................................................................................................36Unidad 2...............................................................................................................................38Análisis de varianza (ANOVA)..............................................................................................38

Herramientas del análisis de varianza..............................................................................38iii


Prueba F....................................................................................................................... 38Comparación entre medias...........................................................................................38Combinaciones lineales................................................................................................38

Prueba F (Fisher)..............................................................................................................38Hipótesis....................................................................................................................... 38

Modelo matemático...........................................................................................................38Modelo de Medias.........................................................................................................38Modelo de Efectos.........................................................................................................38Suposiciones de modelo...............................................................................................39

Definición de sumas y promedios.........................................................................................39Definición de residuales.......................................................................................................39

Modelo completo:.............................................................................................................39Modelo reducido:..........................................................................................................39Sumas de cuadrados........................................................................................................39Modelo completo..........................................................................................................39Modelo reducido...........................................................................................................39Partición de la suma de cuadrados......................................................................................40Estadístico F......................................................................................................................40Tabla ANOVA....................................................................................................................41Ejercicio 7.............................................................................................................................41Comparaciones Múltiples...............................................................................................44

Prueba de Fisher..............................................................................................................44 Para balanceados................................................................................................44 Para no balanceados...........................................................................................44

Prueba de Fisher..............................................................................................................44Prueba de Dunnett............................................................................................................45Prueba de HSV.................................................................................................................45Comparaciones planeadas...............................................................................................45

Ejercicio 8.............................................................................................................................45

iv


Unidad 1

Introducción al diseño estadístico de experimentos.

1.1 Conceptos Básicos

Estadística:

Estudia la recolección análisis e interpretación de datos generalmente se

considera una ciencia matemática pero no una rama de las matemáticas.

Tiene influencia transversal en prácticamente todas las ciencias dese la física

hasta la ciencias sociales.

Viene del latín STATISCUM COLLEGIUM que quiere decir consejo del

estado.

Estadística matemática:

Establece las bases teóricas de la estadística

Estadística Descriptiva:

Es el resumen y visualización de datos así como la abstención de valores

estadísticos que representan a los fenómenos estudiados

Estadística Inferencial:

Se encarga de la generación de modelos deducciones y predicciones de los

fenómenos considerando la naturaleza aleatoria de las observaciones.

Inferencia Estadística

Es una conclusión justificada por un modelo probabilístico de que los patrones

o tendencias observadas en los datos están presentes en un contexto más

amplio.

1


Población:

Es un conjunto de identidades reales o realizables que poseen ciertas

características en común, pero que generalmente es demasiado extenso

como para obtener información de todas las entidades. Una población puede

estar formada por personas, objetos o resultados de mediciones o

experimentos.

Muestra

Es el subconjunto de entidades obtenido a partir de una población. Al ser de

tamaño reducido se obtiene información de todas las entidades en la muestra

y se espera que esta información sea representativa de las características de

la población.

“Con estadística se puede probar cualquier cosa, incluso a veces la verdad”

Diseño estadístico de experimentosEs el proceso que tiene como objeto obtener respuestas claras a las preguntas de interés, empleando el mínimo de recursos.

Etapas1. Identificación del problema2. Selección de la variables de respuesta3. Selección de factores y sus niveles4. Identificación de variables que pudieran interferir5. Elección del diseño experimental6. Realización del experimento o estudio7. Análisis de resultados8. Generación de conclusiones identificando significación estadística y practica

Principios Básicos1. Muestreo representativo2. Aleatorización.- Es la piedra angular del diseño experimental y consiste en la

asignación al azar de las unidades experimentales y del orden en que se realizan los experimentos individuales.

2.1. Tipos de estudiosa) Estudio Aleatorizado

Hay una asignación al azar de las unidades experimentales y es el único en el que se puede identificar relaciones causa- efecto y hacer inferencia a poblaciones.

b) Estudio observacional

2


No hay asignación aleatoria de las unidades experimentales, se puede identificar correlaciones pero no causa-efecto.

3. ReplicaciónEs la repetición de experimentos bajo las mismas condiciones. Permite estimar el error experimental y obtener parámetros más precisos. Es importante designar la replicación de las mediciones repetidas.

4. Formación de bloquesConsiste en agrupar las unidades experimentales en subconjuntos los más homogéneos posibles, reduce o elimina la variación debido a factores perturbantes.

5. BalanceConsiste en tener el mismo número de unidades experimentales en cada grupo o tratamiento

6. ControlesProporcionan una base para comparación. Puede haber controles positivos y negativos en los que se asegura tener una cierta respuesta.

7. CegamientoLas personas involucradas desconocen que tratamiento se aplica a las unidades experimentales y sirve para evitar que las expectativas del investigador influyan en el resultado.

1.2. Principales estadísticos descriptivos

Histograma

DistribuciónDiscreta (Histograma) y Continua.

3


Distribución de probabilidad

∫−∞

∞

f ( x )dx=1

Probabilidad de estar entre 0 y 1 en donde 0 representa un procesos imposible y 1 representa un procesos certero.

∫−∞

∞

f ( x ) dx=P(a≤ x ≥b)

4


Población Muestra

5


Media μ=1n∑i=1

n

yi ӯ=1n∑i=1

n

yi

Varianza σ 2=1n∑i=1

n

( y1−μ) s2= 1n−1∑i=1

n

¿¿

Desviación Estándar σ=√σ2 s=√s2

Grados de Libertad

Es el número de valores que en teoría podrían cambiarse arbitrariamente y aun así

obtener el mismo valor de un parámetro estadístico.

Ejercicio 1

6


Para el siguiente conjunto de datos, generar un histograma. Una gráfica de caja y bigotes y

obtener los estadísticos descriptivos básicos (Media, mediana, cuartiles inferior y superior,

varianza y desviación estándar)

55 125 51 147 68 91 61 19 14143 115 133 176 67 191 1 147 11067 179 112 135 156 145 47 193 9

155 196 20 118 106 54 59 2 180147 129 42 27 94 110 76 122 50

Se introdujeron los datos en el software estadístico “Minitab 17” en la columna nombrada como “Datos” lo cual se muestra en la Ilustración 1

Con los datos podemos generar un gráfico como se muestra en la Ilustración 2, se puede seleccionar el tipo de gráfico que queremos en este caso el Histograma o grafico de caja y bigotes.

En los Gráficos 1 y 2 nos muestra los gráficos generados.

7

Ilustración 1 Datos ingresados

Gráfico 2 Gráfico de caja y bigotes


20016012080400

12

10

8

6

4

2

0

Datos

Frec

uenc

ia

Histograma de Datos

Gráfico 1 Histograma

8

Ilustración 2 Como generar Histograma

200

150

100

50

0

Dato

s

Gráfica de caja de Datos


Para obtener los datos estadísticos descriptivos básicos se realizó como se muestra en la Ilustración 2

Ilustración 3 Selección de estadísticos descriptivos

Los resultados obtenidos son los siguientes:

Estadísticos descriptivos: Datos

Variable Media Desv.Est. Varianza Q1 Mediana Q3Datos 99.36 55.96 3131.10 52.50 110.00 146.00

9


PercentilEs un cierto porcentaje de valores menores que el valor dado P20%

CuartilesQ1= P25% = Cuartil inferior

Q2 = P50% = Mediana

Q3 = P75% = Cuartil Superior

Coeficiente de asimetría

Muestra Población

γ1=1n∑i=1

n

¿¿¿ y1=n

(n−1)(n−2)∑i=1n

¿¿

10


Curtosis

Muestra Población

γ2=1n∑i=1

n

¿¿¿ y1=n(n+1)

(n−1)(n−2)(n−3)∑i=1n

¿¿

Variable Aleatoria

Es una característica que al ser medida en diferentes ocasiones es

susceptible de tomar diferentes valores es decir es un valor observable que

tienen cierto grado de variación.

Parámetro estadístico

Es un valor obtenido del estudio de una variable aleatoria, calculado

aplicando una funciono algoritmo a os valores de un conjunto de datos. Un

estadístico que corresponde a alguna característica de una población se

denomina el estimador de dicha característica

Estimadores

Insesgados y sesgados

11


Pruebas de Hipótesis

Es el criterio por medio del cual se establece si se rechaza o no la hipótesis nula, basado en el resultado de una prueba estadística.

Hipótesis Nula H0

Corresponden al estado natural de las cosas. Corresponde a algún parámetro estadístico teniendo valor cero.

Hipótesis Alternativa H1

Las hipótesis H0 y H1 no se pueden demostrar, se pueden aceptar o rechazar

Situación realH0 es verdadera H0 es falsa

Conclusión obtenida de la prueba estadística

Aceptar H0

OK

Error Tipo II(Falso negativo Probabilidad β)

Rechazar H1

Error tipo I (Falso positivo probabilidad α

OK

α=Probabilidad de cometer un error tipo I nivel de significación

(1-α)x100%= Nivel de confianzaα=0.05 es igual al 95% de confianza

β=Probabilidad de cometer un error tipo II

(1-β)x100= Poder o potencia estadísticaΒ=0.05 “Típico” pero puede ser tan alto como β=0.4

Se utiliza para obtener el tamaño de muestra

12


Interferencia estadística para medias poblacionales (Prueba T)

Muestra y1, y2, y3, …etc. =ӯ, s

Estadístico t

t ≡ ӯ−µσ

=mediamuestra−media poblaciondesviacionestandar de poblacion

Con ν =n-1 (Grados de libertad)

Σ se aproxima con el “error estándar” de la media

“error estándar de la media”(SE(ӯ))=S

√N

t= ӯ−µSE ( ӯ )

O ӯ−µS

√N

13


PRUEBA t DE UNA MUESTRAPara saber si la media de la población es igual a un valor supuesto µ0 (puede ser 0)

H0: µ=µ0 H1: µ<µ0

H1: µ≠µ0

H1: µ>µ0

Estadístico de prueba t0

t 0=ӯ−µSE ( ӯ )

Si t0 es un valor cercano a 0 entonces ӯ está cerca del valor supuesto de µ0 y se aceptaría H0.

Si t0 es un valor muy grande entonces ӯ está muy lejos del valor supuesto de µ0 y se rechaza H0.

H0: µ=µ0

H1: µ≠µ0

α=0.05

Opción 1.- Prueba de región Hipótesis: Aceptación /rechazo

14


Cuando t0 se encuentra en la región de aceptación se acepta H0

Cuando t0 se encuentra en la región de rechazo se acepta H1 y se rechaza H0

Opción 2.- Prueba de valor pValor p: Es la probabilidad de obtener un valor t tan extremo o más extremo que el

estadístico de prueba t0, en su evidencia contra H0, si H0 fuera correcta.

Si t0 es un valor cercano a 0

Cuando t0 es un valor muy lejano de 0

Valor P Conclusión0

a Hay evidencia convincente de que hay que rechazar H0

0.01

a Hay evidencia moderada de que hay que rechazar H0

0.05

15


a Hay evidencia sugestiva pero no concluyente de que hay que rechazar H0

0.1

a No hay evidencia de que hay que rechazar H0(Se acepta H0)1

Ejercicio 2El protocolo de control de calidad de un laboratorio indica que entre las muestras se

incluyan aleatoriamente soluciones de control con una concentración de 50 mg/L de

carbono orgánico total (TOC). Los analistas desconocen cuales muestras son las de

control. Los siguientes datos son una muestra de los resultados de las soluciones.

50.13 51.2 50.5 50.2 49.9 50.2 50.3 50.5 49.3 50.0 50.4 5.01 51.0 49.8 50.7 50.6

Efectuar una prueba t de una muestra para determinar si la medida de estaos datos es 50

mg/L, empleando como prueba de hipótesis (A) la región de aceptación/rechazo con

α=0.05 y (β) valor de p.

Se introducen los datos en una columna llamada COT (Ilustración 1)

16

Ilustración 4 Datos


Posteriormente de procede a realizar la prueba t como se muestra en la Ilustración 2.

Para realizar la prueba t se define como

H0 ӯ=50 mg/L

H1 ӯ≠ 50 mg/L

A un nivel de confianza de 95% los estos datos se capturan en la pantalla mostrada en la

Ilustración 3

17

Ilustración 5 Prueba t


Los resultados de la prueba t son los mostrados en la Ilustración 4.

Ilustración 7 Resultado prueba t

Y que el valor obtenido de P=0.016 podemos obtener que Hay evidencia moderada para

rechazar H0. Como definimos en el siguiente esquema.

Valor P Conclusión0

a Hay evidencia convincente de que hay que rechazar H0

0.01

a Hay evidencia moderada de que hay que rechazar H0

0.05

a Hay evidencia sugestiva pero no concluyente de que hay que rechazar H0

0.1

a No hay evidencia de que hay que rechazar H0 (Se acepta H0)1

Para hacer el análisis de la región de aceptación y rechazo podemos encontrar las áreas

que van a estar definidas con aceptación y rechazo en la Tabla 1 ya que contamos con

que α=0.05 y ν=15 por lo tanto el área de aceptación estará de -2.131 a 2.131 esta se

muestran gráficamente en la Grafica 1.18

Ilustración 6 Pruebas de Hipótesis


Se realiza el grafico de distribución de probabilidad, como se muestra en la Ilustración 5.

19

Tabla 1 Distribución t de Student

Ilustración 8 Selección de grafico de probabilidad


La Grafica 1 es la obtenida, en la cual se muestran las áreas de aceptación y

rechazo y en la cual podemos comprar si el valor de t0 se encentra en el área de aceptación

o rechazo.

Grafico 3 Distribución t

En el cual podemos concluir que como t0 se encuentra en el área de rechazo se rechaza H0

(H0: ӯ=50).

Problema 3El gas producido de una fermentación biológica se ofrece a la venta con garantía de que su

contenido promedio de metano es de 75%. Al finalizar una muestra aleatoria de n=7

cilindros de gas se obtuvo las siguientes concentraciones (en porcentaje) de metano 64,

65, 75, 67, 65, 74 y 75 A) Efectuar una prueba de hipótesis (Aceptación / rechazo) con un

nivel de significancia de 0.05, para determinar si la concentración promedio de metano es

menor que 75% B) Repetir con un nivel de significancia de 0.01 ¿Cambia la conclusión

obtenida?

20


Se introdujeron los datos del problema en el software como se muestra en la Ilustración 1


Posteriormente se procede a realizar la prueba de Hipótesis con una prueba t para una

muestra (Ilustración 2)

Ilustración 10 Selección de prueba t

Introducimos la Hipótesis nula H0: μ = 75% de la manera que se muestra en la Ilustración

3.

21


Ilustración 11 H0

A) Y seleccionamos el Nivel de confianza para el inciso a es de 95%, y en el mismo

apartado definimos la hipótesis alterna H1 : μ < 75% (Ilustración 4)

Ilustración 12 H1

Loa resultados de la Prueba de Hipótesis son los de la Ilustración 5.

Ilustración 13 Prueba de Hipótesis a)

Como el valor de P es de 0.013 podemos decir que “Hay evidencia moderada de que hay

que rechazar H0” Por lo cual podemos hacer el grafico de distribución t para efectuar la

prueba de aceptación o rechazo, mostrada en la Grafica 1

22


0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

Dens

idad

-1.943

0.05

0

Gráfica de distribuciónT, df=6

Grafico 4 Área de aceptación y rechazo con 95% de confianza

Como el valor de t0 = -2.95 este valor se encuentra dentro del área de rechazo en la gráfica

de distribución por lo tanto podemos concluir que se Rechaza H0 la cual nos dice que el

promedio de la concentración de los tanques es de 75%.

B ) Procedemos a realizar la prueba de hipótesis con un nivel de confianza de 99%

Los pasos son los mismos que se siguieron en la prueba anterior hasta la Ilustración 3,

Cambiamos el nivel de confianza como se muestra en la Ilustración 6.

Los resultados obtenidos de la prueba de Hipótesis se muestran en la Ilustración 7.

23

Ilustración 14 H1 Y nivel de confianza de 99%


Ilustración 15 Resultados prueba de hipótesis a 99% de confianza

Como el valor P no cambio la conclusión es la misma que en el inciso anterior para valor p

“Hay evidencia moderada de que hay que rechazar H0”.

Realizamos el grafico de área de aceptación y rechazo (Grafico 2) con 99% de confianza.

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

Dens

idad

-3.1430.01

0


Grafico 5 Área de aceptación y rechazo con 99% de confianza

Como el valor de t0 = -2.95 se encuentra en el área de aceptación y podemos aceptar H 0 el

cual nos dice que la concentración promedio de los tanques es de 75%, así también podemos concluir que dependiendo del nivel de confianza que manejemos puede ser aceptada o rechazada nuestra Hipótesis.

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Problema 4Biosólidos provenientes de una planta de tratamiento de agua residual se aplicaron a 10

terrenos que fueron seleccionados aleatoriamente de un total de 20 terrenos de prueba, Se

cultivo maíz tanto en los terrenos tratados (T) como en los no tratados (NT). Obteniendo los

siguientes rendimientos:

T 9.03 7.67 8.47 7.63 4.83 9.35 7.66 7.34 8.22 9.35

NT 7.90 7.64 5.64 8.47 5.96 11.29 4.26 6.21 7.65 7.09

¿Hay evidencia estadística de que el rendimiento de cultivo sea diferente cuando se aplican

los biosólidos? ¿Cuál es el intervalo de confianza del 95% para diferencia de medidas?

Los datos se introducen como se muestra en la Ilustración 1.

Debido a que si se acomodaran en el programa en dos

columnas estaríamos diciendo que en cada renglón que hay los

datos tienen algún tipo de relación entre ellos lo cual no ocurre

en este problema.


Según lo que nos dice el problema podemos definir nuestras Hipótesis las cuales son:

H0: μ1 =μ2

H1: μ1 ≠μ2

Mediante el software podemos realizar la prueba T de dos muestras como se muestra en el

Ilustración 2.

25


Ilustración 17 Prueba t de dos muestras

En la Ilustración 3 se define la prueba de hipótesis y el nivel de confianza el cual será de

95%

Ilustración 18 Definir Prueba de Hipótesis


26


Con los resultados podemos evaluar la prueba en las siguientes maneras para poder llegar

a una conclusión:

Valor pComo p = 0.327 podemos decir que “No hay evidencia de que hay que rechazar H 0 (Se

acepta H0)”

Intervalo de confianza

El intervalo de confianza obtenido es (-2.302, 0.814)La diferencia estimada obtenida es de -0.744 la cual se encuentra dentro del intervalo de

confianza por lo cual se Acepta H0.

Área de aceptación y rechazo

El valor obtenido de t0 =-1.01 con lo cual podemos observar en la Grafico 1 t0 se encuentra

dentro del área de aceptación por lo cual podemos concluir que la H0 se acepta.

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

Dens

idad

-2.093

0.025

2.093

0.025

0


Ilustración 19 Distribución t

Mediante el anterior análisis estadístico podemos concluir que el rendimiento del cultivo no

es diferente cuando se aplica el tratamiento con biosólidos a cuando no se aplican.

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Problema 5Biosólidos provenientes de una planta de tratamiento de agua residual se aplicaron a 10

terrenos que fueron seleccionados aleatoriamente de un total de 20 terrenos de prueba, Se

cultivo maíz tanto en los terrenos tratados (T) como en los no tratados (NT). Obteniendo los

siguientes rendimientos:

T 9.03 7.67 8.47 7.63 4.83 9.35 7.66 7.34 8.22 9.35

NT 7.90 7.64 5.64 8.47 5.96 11.29 4.26 6.21 7.65 7.09

¿Hay evidencia estadística de que el rendimiento de cultivo sea diferente cuando se

aplicaron los biosólidos? ¿Cuál es el intervalo de confianza del 95% para la diferencia de

medias?

Se observó que uno de los terrenos no tratados tuvo un rendimiento inusualmente

elevando. Al checar los registros, se descubrió que la temporada anterior se le había

aplicado una fuerte dosificación de un fertilizante inorgánico. Con base en esta información

se decidió eliminar esa observación del conjunto de datos. ¿Cambia la

conclusión estadística obtenida?

Los datos se introducen como se muestra en la Ilustración 1. Debido a

que si se acomodaran en el programa en dos columnas estaríamos

diciendo que en cada renglón que hay los datos tienen algún tipo de

relación entre ellos lo cual no ocurre en este problema.


Según lo que nos dice el problema podemos definir nuestras Hipótesis las cuales son:

H0: Ȳ1 =Ȳ2

H1: Ȳ1 ≠Ȳ2

Mediante el software podemos realizar la prueba T de dos muestras como se muestra en el

Ilustración 2.

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Ilustración 21 Prueba t de dos muestrasEn la Ilustración 3 se define la prueba de hipótesis y el nivel de confianza el cual será de

95%

Ilustración 22 Definir Prueba de Hipótesis


Two-Sample T-Test and CI: Biosólidos, TRATAMIENTOS

Two-sample T for Biosólidos

TRATAMIENTOS N Mean StDev SE Mean

NT 9 6.76 1.34 0.45

T 10 7.96 1.33 0.42

29


Difference = mu (NT) - mu (T)

Estimate for difference: -1.197

95% CI for difference: (-2.488, 0.094)

T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = -1.96 P-Value = 0.067 DF = 17

Both use Pooled StDev = 1.3317

Con los resultados podemos evaluar la prueba en las siguientes maneras para poder llegar

a una conclusión:

Valor pComo p = 0.067 podemos decir que “Hay evidencia sugestiva pero no concluyente de que

hay que rechazar H0”

Intervalo de confianza

El intervalo de confianza obtenido es (-2.488, 0.094)La diferencia estimada obtenida es de 1.3317 la cual se encuentra fuera del intervalo de

confianza por lo cual se rechaza H0

Los resultados considerando el valor extremo son los siguientes:

Difference = mu (NT) - mu (T)

Estimate for difference: -0.744

95% CI for difference: (-2.288, 0.800)

T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = -1.01 P-Value = 0.325 DF = 18

Both use Pooled StDev = 1.6437

El valor p= 0.325 con el que podemos decir “No hay evidencia para rechazar H0”

Mediante el anterior análisis estadístico podemos concluir que el rendimiento del cultivo es diferente cuando se aplica el tratamiento con biosólidos a cuando no se aplican, y el valor extremo si cambia la conclusión.

30


PRUEBA T DE DOS MUESTRAS

Muestra n1 Muestra n2

ӯ1, S1 ӯ2, S2

Si n1=n2 es

balanceada

Hipótesis nula

H0: μ1- μ2 = (μ1 – μ2)0 (Diferencia hipotética que creemos que hay)

Hipótesis alterna

H1 : μ1- μ2 ≠ (μ1 – μ2)0

H1 : μ1- μ2 < (μ1 – μ2)0

H1 : μ1- μ2 > (μ1 – μ2)0

Si (μ1 – μ2)0 = 0

Hipótesis nulaH0 : μ1= μ2

Hipótesis alterna H1: μ1≠μ2

H1: μ1<μ2

H1: μ1>μ2

Estadístico de prueba

t 0=( ӯ1− ӯ 2 )−(μ1−μ2)

SE ( ӯ1− ӯ2 )

31


Dos casos dependiendo de σ1 y σ1

Caso 1: Si σ1 se asume igual que σ2

Calcular varianza colectiva

Sp=√ (n1−1 ) S12+(n2−1 )S22

n1+n2−2

SE ( ӯ1− ӯ 2)=SP√ 1n1+ 1n2ν= n1+n2-2

Caso 2: Si se asume que σ1 y σ2 son diferentes.

SE ( ӯ1− ӯ 2)=√ S12n1 + S22

n2

V=( S1

2

n1+S22

n2 )2

( S12

n1 )2

n1−1+( S2

2

n2 )2

n2−1

Prueba t PareadaA cada valor de yi1 de una población le corresponde uno y solo uno de los valores y i2 de la

otra población.

Se define la diferencia como:

diΞ y1i – y2i

Diferencia de la población: δ

32


Hipótesis

H0: δ= δ0

H1: δ ≠ δ0

H1: δ < δ0

H1: δ > δ0

Estadístico de prueba

t 0=d−δ0SE (d )

SE(d¿)= Sd√n

¿

v=n-1 grados de libertad

n= numero de pares

d = promedio de las diferencias

ResistenciaUn método estadístico es resistente si el resultado obtenido no cambia mucho si una

pequeña parte de los datos cambia (tal vez drásticamente). Normalmente es de importancia

si hay valores extremos.

Las pruebas t no son resistentes por que se basan en promedios

Estrategia para valores extremos1. Realizar el análisis estadístico con y sin el valor extremo sospechoso.

2. Si las conclusiones estadísticas no cambian significativamente dejar el valor

sospechoso en los datos y reportar los resultados.

3. Si las conclusiones si cambian investigar las observaciones buscando una

explicación. Si se puede determinar que la observación no proviene de la población

de interés, se puede remover. En caso de no poder encontrar una causa es posible

que se requiera un estudio más detallado.

RobustezSe dice que un método estadístico es robusto si proporciona resultados validos incluso si

hay desviaciones respecto a alguna de las suposiciones del modelo.

Las pruebas t son razonablemente robustas respecto a desviaciones de la normalidad

especialmente cuando la muestra es grande debido al teorema del límite central.

33


En el caso de la prueba t de dos muestras si ambas poblaciones tienen la misma

desviación estándar y aproximadamente la misma forma y si las muestras son se igual

tamaño, la prueba se ve afectada moderadamente por distribución con colas largas y muy

poco por la asimetría de la distribución. Si las muestras no son aproximadamente del

mismo tamaño la asimetría afecta mucho más. Por último si la asimetría es muy diferente

en ambas poblaciones la prueba t de dos muestras puede dar resultados muy equivocados.

La robustez de la prueba t de dos muestras respecto a desviaciones de la suposición de

varianzas iguales, la prueba es razonablemente robusta si las muestras son de

aproximadamente el mismo tamaño. La peor situación es cuando las varianzas son muy

diferentes y la muestra más pequeña proviene de la población con la mayor varianza.

σ1 >> σ2

n1 << n2

Problema 6

34


Dicen que la mejor comida es la del hogar. Cada domingo, Armando Esteban Quito (estudioso de la estadística) va a casa de sus padres a comer. A Armando le preocupa que, como la comida es tan buena, tal vez está comiendo en exceso. Así que en varios fines de semana, seleccionados aleatoriamente, se pesó el domingo en la mañana, y nuevamente el lunes en la mañana. Estos pesos, en kilogramos, se muestran en la tabla. ¿Hay evidencia estadística de que Armando aumenta de peso del domingo al lunes? En caso afirmativo, ¿cuánto es el aumento promedio?

Los datos se introducen como se muestra en la Ilustración 1.

Ilustración 23 Datos en Minitab

Las hipótesis a evaluar son las siguientes:H0 : µL -µD =0 (no hay diferencia del peso del Domingo al Lunes)H1: µL > µD (Hay diferencia de peso del Domingo al Lunes)

Se realizo un análisis estadístico de prueba t pareada ya que cada lunes corresponde un peso del domingo. Los resultados obtenidos de la prueba son los siguientes:

35

Tabla 2 Datos


Como el valor p es de 0 podemos inferir que “Hay evidencia convincente de que hay que rechazar H0”

El valor de t0 se evalúa en al área de aceptación y rechazo con el grafico 1.

Ya que el valor obtenido de t0 es de 4.53 se encuentra en el área de rechazo se rechaza H0 Podemos concluir que si hay un aumento de peso del los domingos al lunes y la diferencia promedio de aumento de peso es de 0.2010 kg.

36

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0X

Dens

ity

1.667

0.05

0

Distribution PlotT, df=69


Unidad 2Análisis de varianza (ANOVA)

Se emplea para comparar la media de varios grupos (número de grupos a).

Herramientas del análisis de varianzaPrueba FEs para saber si alguna media de los grupos es diferente.

Comparación entre medias

Comparaciones PlaneadasComparaciones no planeadas

Combinaciones linealesPermiten agrupar la información o los datos de diversas formas.

Prueba F (Fisher)

Hipótesis

H0: μ1 = μ2 = μ3 =……= μa = μ (todas la medias son iguales)

H1: Al menos una μ es diferente

Modelo matemáticoModelo de Medias.

yij = μi + εji

Donde:i = Numero de grupoj= dato individual.μi = Media de grupoεji = Error o desviación de cada dato.

Modelo de Efectos.yij = μ + τi + εji

Donde:Ti = efecto del grupoμ = Media globalni= numero de datos del grupoN = número total de datos.

37


Suposiciones de modelo.Poblaciones tienen distribución normalTodas tienen la misma varianza

El análisis de varianza es relativamente robusto respecto a la normalidad, aunque no tanto si no es balanceado y α es muy chico.No es resistente por que se basa en cálculo de medias.

Definición de sumas y promedios

y i ·≡∑j=1

n

y ij y i·≡y i ·n

y ∙∙≡∑i=1

a

∑j=1

¿

yij=∑i=1

a

y i∙ y ∙ ∙=y ∙ ∙N

Definición de residuales.

Modelo completo:

y ij− y i ∙Representa que tan diferente es cada dato con respecto a la media.

Modelo reducido:y ij− y ∙∙

Representa que tan diferente es cada dato con respecto a la media global.

Sumas de cuadrados.

Modelo completo.

SSERROR=∑i=1

a

∑j=1

¿

¿¿¿

Modelo reducido.

SSERROR=∑i=1

a

∑j=1

¿

¿¿¿

Si H0 fuera cierta.Ho: μ1 = μ2 = μ3 …Por lo tanto las sumas de cuadrados deberían ser esencialmente iguales.

38


Partición de la suma de cuadrados.

SSTOT = SSTRATAMIENTOS + SSerror

Variabilidad total observada en

los datos

Variabilidad debida a que viene

de diferentes poblaciones

Variabilidad natural de los

datos (“error experimental”)Normalmente se calcula SStotal. Y SSTratamientos Y SS error se determina por diferencia.El número de grados de libertad también se divide entre tratamientos (a-1) y error (N-a)

N-1=(a-1)+(N+a)

Estadístico F

F=

(sumadecuadrados extra)(grados de libertad extra)

σ2Completo“Extra” : Los obtenidos al agrupar los datos (es decir de los tratamientos)SStratamiento =Suma de cuadrados extra(a-1)=grados de libertad extra.

σ2Completo se estima con la varianza colectiva

SPp2=

(n1−1 ) S12+(n2−1 )S22+…+(na−1)Sa2

(n1−1 )+(n2−1 )+…+(na−1)

Spp2=

SSerrorN−a

Tabla ANOVA

Fuente de variación

Suma de Cuadrados

Grados de libertad Cuadro medio Estadístico F

Tratamiento (entre grupos)

SSTratamiento a-1 (v1) M strat=SStrata−1 F0=

M stratamientoM S ERROR

Error (detro de grupos)

SSError N-a (v2)M serror=

SS ERROR

N−aTotal (Modelo SSTotal N-1

39


reducido)

Se rechaza H0 si F0 es mayor que Fα,V1,V2 .*Alternativamente usar el valor p

Ejercicio 7

Se pide a cuatro analistas de laboratorio que determinen por triplicado la concentración de

un contaminante en una misma muestra de agua. Los resultados (en partes por millón) se

muestran en la tabla. ¿Hay evidencia estadística de que los analistas difieran

significativamente?

Analista 1 Analista 2 Analista 3 Analista 449.9 51.5 42.0 47.240.4 51.3 41.0 44.843.8 48.8 45.5 51.6

Se introdujeron los datos al software estadístico Minitab de la siguiente manera:


Al querer hacer comparación si existen diferencia éntrelos resultados de cada uno de los

analistas las hipótesis a aceptar o rechazar son las siguientes:

H0: µ1 = µ2 = µ3 = µ4

H1: Alguna µ es diferente

40


Se realiza el análisis estadístico de la tabla ANOVA y los resultados obtenidos son los

siguientes:

Podemos observar que l valor obtenido de P = 0.081 con lo cual podemos decir que “Hay evidencia sugestiva pero no concluyente de que hay que rechazar H0”Al realizar el análisis con el valor de F0= 3.25 hacemos el grafico de distribución F (Grafico 1) para un α= 0.05, ν1 = 3 y ν2=8. (Valores obtenidos de la Columna DF de la tabla anova)

Grafica 1 Distribución F

41


El grafico podemos observar que F0 se encuentra dentro del área de aceptación por lo

cual se acepta Ho y podemos concluir que no hay evidencia estadística de que sean diferentes las medias de cada analista.

Comparaciones Múltiples.Comparaciones planeadas No planeadas

α = nivel de significancion de la familia de pruebas α i = Nivel de significancia de una prueban= Numero de pruebas

α=1−¿*Si son independientesSi no se pueden asumir independientes al menos

α ≤nα 1

Prueba de Fisher Para balanceados

42


LSD=t α2 , N−a

SP√ 2nSp= desv. Estándar combinada

Para no balanceados

LS Dij=t α2,N−a

SP√ 1n1 + 1n2Las medias de dos grupos se declaran diferentes si se cumple

|y i ∙− y j ∙|>LSD

Prueba de FisherSe basa en el rango estudentizado (q).

q≡max( y¿¿ i)−min ¿¿¿

Para construir intervalos de confianza para cada par de grupos.

y i ∙− y j ∙∓qα, a , N−a

√2SP√ 1n1 + 1n2

Si el Intervalo de Confianza contiene el cero se declara que no hay diferencia.Prueba de Dunnett

Es utilizado para comparar con un control.Prueba de HSV

Sirve para comparar cada grupo con el mejor o peor de los otros grupos.

Comparaciones planeadas.Una prueba t de dos muestras usando Sp como desviación estándar (prueba con datos resumidos)

“a” grupos de medidas μ1, μ2,… μa

Definición de combinación

λ=C1μ1+C2 μ2+…+Caμa

Algunas constantes © pueden ser cero.Cuando se cumple :

∑i=1

a

C1=0

Se le llama “Contraste”

43


El estadístico correspondiente a λ es:

l=C1 y1 ∙+C2 y2∙+C3 y3 ∙+…+Ca ya ∙

L tiene su error estándar:

SE (l )=SP√C12

n1+C22

n2+C32

n3+…+

Ca2

na

Con v= N-a grados de libertad

Prueba estadística.

Usar prueba t de una muetra usando SE(l) y N-a grados de libertad.

Si se tienen dos contrastes con coeficientes

CI y di

λ1=C1 μ1+C2μ2+…+Caμaλ2=d1μ1+d2 μ2+…+da μa

Con la condición

∑i=1

a

C1d i=0

Son contrastes ortogonales: Son estadísticamente independientes.

44


Ejercicio 8Se efectuaron mediciones de conductividad eléctrica (en μS/cm) en cuatro puntos de

muestreo en una laguna aireada en una planta de tratamiento de agua. El agua de la

laguna se supone que es completamente homogénea debido al mezclado producido por los

aereadores.

(A) Efectúe una prueba F del análisis de varianza para estos datos. ¿Qué conclusión se

obtiene respecto a la homogeneidad del agua de la laguna?

(B) ¿Qué puede comentar respecto al valor de 1209 μS/cm del punto de muestreo D?

(C) Si considera necesario, analice de nuevo los datos tomando las acciones pertinentes

respecto al dato mencionado en el inciso anterior. ¿A qué conclusión se llega ahora?

(D) ¿Cuáles puntos de muestreo presentan (estadísticamente hablando) igual

conductividad eléctrica?

HipótesisH0: μ1= μ2= μ3 = μ4

45


H1: Alguna de las μ es diferente

A) Los fatos se introducen al Software estadístico MINITAB. Se Hace una prueba F

para poder evaluar si hay diferencia entre los diferentes puntos de los cuales el

resultado del análisis es el siguiente:

Al obtener el valor de P= 0.753 se puede concluir que “ No hay evidencia estadística para

rechazar H0 “ y podemos decir que la laguna está completamente mezclada .

B) Al observar que hay un dato anormal con respecto a los demás datos se elimina este

para realizar la prueba F de nuevo obteniendo los siguientes resultados:

46


Donde obtenemos el valor P<0.00005 con lo que podemos concluir que “ Hay evidencia

convincente de que hay que rechazar H0” y por lo tanto se acepta H1 y podemos decir que

al menos una media de medición de los puntos es diferente.

C) Como al eliminar el dato la conclusión de nuestro análisis estadístico cambio el dato

se omitirá en el análisis siguiente y se tomara como conclusión previa la expresada

en el inciso B).

D) Al saber nosotros que al menos una de las medias es diferente haremos una

comparación de Fisher para saber cuáles son diferentes.

El resultado obtenido se muestra a continuación:

47


Como podemos observar en las comparaciones los puntos A y D no tienen diferencias

entre ellas pero en al caso de B Y C pero si entre los dos grupos respectivamente.

Al evaluar los resultados obtenemos una intervalo de confianza de entre el punto A y D esta

el 0 el cual es un probable resultado entre la diferencia de la medias de las mediciones en

los puntos, lo mismo para los puntos B y C. y representan igual conductividad eléctrica

entre ellos

48


Ejercicio 9

Respecto al ejercicio anterior, se pudieron identificar dos grupos de puntos de muestreo estadísticamente diferentes.Construir un intervalo de confianza del 95% para el contraste entre los promedios de ambos grupos de puntos de muestreo.

Hipótesis:

H0: μ A+μD2

=μB+μC2

H1: μ A+μD2

≠μB+μC2

Contraste H0

μ A+μD2

−μB+μC2

=0

μ A

2+μD2

−μB2

−μC2

=0

12μA+

12μD−

12μB−

12μC=0

C1=1/2 C2= - 1/2 C3= -1/2 C4= ½

Grupo ӯ nA 610.0 4B 660.0 6C 686.0 6D 617.0 7

Sp= 20.95α= 19Determinamos el estadístico l

l=C1 y1 ∙+C2 y2∙+C3 y3 ∙+…+Ca ya ∙l=12

(610 )−12

(660 )−12

(680 )+ 12

(617 )=−57

49


Determinamos el error de l

SE (l )=SP√C12

n1+C22

n2+C32

n3+C42

n4

SE (l )=20.95√(1 /2)2

4+(1 /2)2

6+(1 /2)2

6+(1 /2)2

7=8.92

Para determinar el intervalo de confianza se busca en las tablas de distribución t

T0.025,19=2.093 Y obtenemos que: I.C = 57± (2.093*8.92)

I.C.= 57 ± 18.66

50


ANEXOS

51

clase diseño y analisis de experimentos final.docx

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