esferas deformadas
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SAMUEL DAVID AGUILAR BRAVO
Samuel David Aguilar Bravo
Facultad de ingeniería
Carrera Sistemas
PROYECTO ESFERAS DEFORMADAS
ABSTRACT
ste Proyecto de esferas deformadas, consiste en hallar la solución de los
volúmenes de dos tipos diferentes de esferas deformadas con la ayuda de
software; así como existen deducciones para coordenadas rectangulares,
existen también deducciones para el cálculo de volumen en coordenadas
esféricas. Las integrales pueden desarrollar una gran cantidad de cálculos, es
por eso que lo tomamos en cuenta en la solución del proyecto (integrales triples),
está basado en modelos que se usan para examinar tumores en el campo
medico, el objetivo es lograr aplicar integrales múltiples por medio del uso de
Mathematica para poder resolver problemas reales de una manera fácil y
práctica. Aplicar y aumentar el conocimiento en integrales triples a las funciones
con coordenadas esféricas utilizando el diferencial de volumen; mediante la
posición espacial de un punto, usando una distancia y dos ángulos.
his Project of deformed spheres, consists in to find the solution of the
volumes of two types different from spheres deformed with the software aid;
as well as deductions for rectangular coordinates exist, also exist
deductions for the calculation of volume in space polar coordinates. The integrals
can develop a great amount of calculations, is we took why it into account in the
solution from the project (integral triples), is based on models that are used to
examine tumors in the medical field, the objective is to manage to apply integral
manifolds by means of the use of Mathematica to be able to solve real problems
of a easy and practical way. To apply and to increase the knowledge in triple
integrals to the functions with space polar coordinates using the differential of
volume; by means of the space position of a point, using one distance and two
angles.
E
T
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SAMUEL DAVID AGUILAR BRAVO
Introducción:
uando se hace uso de las
integrales se pueden hacer
una gran cantidad de
cálculos.
En este proyecto, se realizará el
cálculo del volumen de dos esferas
deformadas, modelos que se usan
para examinar tumores en el campo
medico.
Ambas superficies presentan las
siguientes funciones en forma
esféricas:
El volumen de estas “esferas” será
calculado por medio de integrales
triples.
El cálculo se hizo en el programa de
computadora Mathematica 5.
Se incluye también el marco teórico
de las correspondientes operaciones
utilizadas para calcular estos
volúmenes.
C
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SAMUEL DAVID AGUILAR BRAVO
Coordenadas Esféricas
El sistema de coordenadas
esféricas se basa en la misma idea
que las coordenadas polares y se
utiliza para determinar la posición
espacial de un punto mediante una
distancia y dos ángulos.
En consecuencia, un punto P
queda representado por un conjunto
de tres magnitudes: el radio r, el
ángulo polar o colatitud θ y el azimuth
φ.
Algunos autores utilizan la
latitud, en lugar de colatitud, en cuyo
caso su margen es de 90º a -90º (de
-π/2 a π/2 radianes), siendo el cero el
plano XY. También puede variar la
medida del acimut, según se mida el
ángulo en sentido reloj o contrarreloj,
y de 0º a 360º (0 a 2π en radianes) o
de -180º a +180º (-π a π).
Convención norteamericana:
Hablando en términos de
coordenadas cartesianas, la
convención usada por los
matemáticos de Estados Unidos es:
P (Radio): es la distancia entre
el punto P y el origen.
φ (colatitud o ángulo polar ) de
0º a 180º es el ángulo entre el
eje z y la línea que une el
origen y el punto P, y
θ (acimut o longitud) de 0º a
360º es el ángulo entre el eje X
positivo y la línea que une el
origen con la proyección del
punto P en el plano XY.
Convención no-norteamericana:
Sin embargo, la mayoría de los
físicos, ingenieros y matemáticos no
norteamericanos intercambian los
símbolos θ y φ, siendo:
θ la colatitud
φ el acimut.
Esta es la convención que se
sigue en este artículo. En el sistema
internacional, los rangos de variación
de las tres coordenadas son:
La coordenada radial es
siempre positiva. Si reduciendo el
valor de r llega a alcanzarse el valor
0, a partir de ahí, r; vuelve a
aumentar, pero θ pasa a valer π-θ y φ
aumenta o disminuye en π radianes.
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Relación con las coordenadas
cartesianas:
Sobre los conjuntos abiertos:
Existe una correspondencia unívoca
entre las coordenadas
cartesianas y las esféricas, definidas
por las relaciones:
Estas relaciones se hacen
singulares cuando tratan de
extenderse al propio eje , donde x2
+ y2 = 0, en el cual φ, no está
definida. Además, φ no es continua
en ningún punto tal que
.
La función inversa F − 1 entre
los dos mismos abiertos puede
escribirse en términos de las
relaciones inversas:
Integrales Triples en
Coordenadas Esféricas
Diferencial de volumen
El volumen de un elemento en
coordenadas curvilíneas equivale al
producto del jacobiano de la
transformación, multiplicado por los
tres diferenciales. El jacobiano, a su
vez, es igual al producto de los tres
factores de escala, por lo que
que para coordenadas esféricas da
Solución:
En los apartados a) y b), hallar el
volumen de las esferas deformadas.
Estos sólidos se usan como modelos
de tumores.
a) Esfera deformada
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Teniendo ya el recorrido
de y solo faltaría definir el
recorrido (o límite superior de
integración) de para poder
aplicar la integral triple de
orden .
Para eso hacemos y = 0
Y encontramos que el valor
máximo que tomaría es 1.
El volumen de un sólido en
coordenadas esféricas está definido
por:
Elevando :
Con los límites de integración ya
definidos pasamos a integrar:
b) Esfera deformada
Teniendo ya el recorrido de
y solo faltaría definir el recorrido (o
límite superior de integración) de
para poder aplicar la integral triple
de orden .
Para eso hacemos y = 0
Y encontramos que el valor máximo
que tomaría es 1.
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SAMUEL DAVID AGUILAR BRAVO
El volumen de un sólido en
coordenadas esféricas está definido
por:
Elevando :
Con los límites de integración
ya definidos pasamos a integrar:
.
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SAMUEL DAVID AGUILAR BRAVO
Conclusión:
1) Se puede concluir que además
de las integrales dobles se
pueden usar las integrales triples
para calcular volúmenes.
2) El uso de Mathematica facilita el
cálculo de integrales triples:
3) Así como existen deducciones
para coordenadas rectangulares,
existen también deducciones
para el cálculo de volumen en
coordenadas esféricas, donde así
como en rectangulares se está en
función de z; el valor de y
dan como resultado el valor de .
4) Aunque parezca que alcanza
un valor mayor a 1; basta con
integrar con limites 01 ya que al
barrer (integrar) se llega al valor
esperado no importando el valor
de porque y lo definen.
5) Los ángulos tienen sus límites:
no puede pasar de , si se
pasa de este valor no es
necesario; basta con ubicarse en
un valor menor a y girar con los
valores de .
puede pasar de 2 ; pero
basta con llegar a este valor.
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SAMUEL DAVID AGUILAR BRAVO
Bibliografía:
CALCULO
8ta. Edición
Larson, Hostetler, Edwards
Mc Graw Hill
CALCULO INTEGRAL
Pedro Puig Adam
PRECALCULO
5ta Edición
James Stewart
Uso de programas
Mathematica 5
Wolfram Research
Internet
Información teórica:
http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_esféricas