INSTITUTO TECNOLGICO DE PACHUCA

Cilindros de pared gruesa

La teora de los cilindros y esferas de pared delgada se basa en la suposicin de que la distribucin de esfuerzos es uniforme a travs del espesor de las paredes. En la figura se muestra la distribucin real v la distribucin supuesta en las paredes del cilindro.Como se muestra en la figura el esfuerzo real no est uniformemente distribuido, sino que es mayor en la cara interior que en la cara exterior. Si la diferencia entre los dos esfuerzos es pequea, y por consiguiente, el esfuerzo promedio no es mucho menor que el esfuerzo mximo, puede suponerse que est uniformemente distribuido. Conforme el espesor de la pared se incrementa, esta diferencia entre el esfuerzo promedio y el esfuerzo mximo se vuelve ms significativa.Se usa lo siguiente como gua para diferenciar entre cilindros de pared delgada y de pared gruesa. Si el espesor de la pared es 1/10 del dimetro, el esfuerzo mximo ser aproximadamente 10% mayor que el esfuerzo real. Para un espesor mayor esta diferencia crece rpidamente. Por consiguiente, una relacin del espesor de la pared al dimetro de los cilindros de pared delgada descritos en esta seccin y los cilindros de pared gruesa

En el anlisis de cilindros de pared delgada, relativamente no tiene importancia si se usa en los clculos el dimetro interior, el dimetro medio o el exterior. Considerando la deduccin de la fuerza resultante debida a la presin, probablemente deberamos usar el dimetro interior, pero el erros es pequeo cuando se usa otro dimetro.El problema de la determinacin del esfuerzo tangencial t y del esfuerzo radial r en cualquier punto de la pared de un cilindro de pared gruesa, en trminos de las presiones aplicadas al cilindro, fue resuelto por el especialista en elasticidad el francs G. Lame, en 1833. Los resultados pueden aplicarse a una amplia variedad de situaciones de diseo que incluyen recipientes cilndricos a presin, cilindros hidrulicos, sistemas de tuberas y aplicaciones de ajuste por contraccin y ajuste a presin.Al considerarse un cilindro de pared gruesa que tiene un radio interior a y un radio exterior b, como se muestra en la figura. El cilindro est sujeto a una presin interna pi y a una presin externa p0. Para propsitos de anlisis, puede considerarse que el cilindro de pared gruesa consta de una serie de anillos delgados. Tambin se muestra con lneas discontinuas un anillo comn ubicado a una distancia radial a partir del eje del cilindro y que tiene un espesor dp. Como resultado de las cargas de presin internas y externas, se desarrollara un esfuerzo radial en la interfase entre los anillos ubicados en la posicin radial , mientras que se generara un esfuerzo radial ligeramente diferente (t + dr) en la posicin radial ( + d). Estos esfuerzos estaran uniformemente distribuidos sobre sobre las superficies interna y externa del anillo. No se produciran esfuerzos cortantes en la superficie interna y externa del anillo, ya que las cargas de presin no tienden a forzar a los anillos a girar uno con respecto al otro. Al analizar los recipientes a presin de pared delgada, se mostr que se genera una componente de esfuerzo tangencial o de zuncho cuando existe una diferencia de presiones entre las superficies interna y externa de un cascarn o anillo delgados. Los planos sobre los cuales actan estos esfuerzos tangenciales pueden exponerse considerando solamente una parte pequea de un anillo, como la que se muestra sombreada en el inciso b de la figura. Ya que se supone que el anillo es delgado, se puede considerar que el esfuerzo tangencial t est uniformemente distribuido por todo el espesor del anillo. A partir de las consideraciones de equilibrio puede obtenerse una relacin entre el esfuerzo radial r y el esfuerzo tangencial t.

Un diagrama de cuerpo libre de una pequea parte de un anillo, como el mostrado en la figura siguiente para la parte sombreada del inciso b, es til para esta determinacin. El esfuerzo axial a, que puede estar presente en el cilindro, ha sido omitido de este diagrama, ya que no contribuye al equilibrio en las direcciones radial o tangencial. Se supone que el diagrama de cuerpo libre tiene una longitud dL a lo largo del eje del cilindro.

Haciendo una suma de fuerzas en la direccin radial, se obtiene

Despreciand los trminos de orden superior y observando que para ngulos pequeos sen d/2 d/2, la ecuacin (a) puede reducirse a:

La ecuacin (b) no puede integrarse directamente, ya que tanto r como t son funciones de la posicin radial . En otros casos, cuando se encontraban estas situaciones estticamente indeterminadas, el problema se resolva considerando deformaciones de la estructura.En el caso de un cilindro de pared gruesa, la deformacin unitaria axial a en cualquier punto de la pared del cilindro puede expresarse en trminos de a, r y t usando la ley de Hooke generalizada, por tanto:

La suposicin que normalmente se hace en relacin con las deformaciones unitarias en el cilindro de pared gruesa, que ha sido verificada con una medicin cuidadosa, es que la deformacin unitaria axial es uniforme. Esto significa que las secciones transversales que son planas antes de la carga, permanecen planas y paralelas despus de aplicar las presiones internas y externas. Por lo que respecta al esfuerzo axial a, dos casos son de inters en una amplia variedad de aplicaciones de diseo. En el primer caso, las cargas axiales inducidas por la presin no son soportadas por las paredes del cilindro (a=0).Esta situacin se presenta en los caones de las armas de fuego y en muchos tipos de cilindros hidrulicos, en los cuales los pistones soportan las cargas axiales. En el segundo caso, las paredes del cilindro soportan las cargas. Esta situacin se presenta en recipientes a presin con diferentes tipos de taponamientos o cabezas. En este segundo caso, en regiones del cilindro que se encuentran apartadas de los extremos, se ha encontrado que el esfuerzo axial est uniformemente distribuido en la seccin transversal. As, a, a, E y son constantes para los dos casos considerados; por lo tanto, de la ecuacin (c) resulta

La constante se toma como 2C1 por conveniencia en la siguiente demostracin.Cuando el valor de t que proviene de la ecuacin (d) sustituye al de la ecuacin (b), esta ltima ecuacin puede escribirse como

Si la ecuacin (e) se multiplica por , los trminos antes del signo de igualdad pueden expresarse como

La integracin nos da

Donde C2 es una constante de integracin. As,

Entonces se obtiene el esfuerzo tangencial t de la ecuacin (d) como

Los valores para las constantes C1 y C2 en las ecuaciones (f) y (g) pueden determinarse usando los valores conocidos para las presiones en las superficies interior y exterior del cilindro. Estos valores, normalmente denominados condiciones de frontera, son

El signo negativo indica que las presiones (normalmente consideradas como cantidades positivas) producen esfuerzos normales de compresin en las superficies sobre las que se aplican. Reemplazando a las variables de la ecuacin (f) con las condiciones de frontera, se obtiene

Las expresiones deseadas de r y t se obtienen sustituyendo a los valores de C1 y C2 de las ecuaciones (f) y (g) con los valores anteriores obtenidos. As, se tiene

Las deformaciones radiales y circunferenciales p y c juegan papeles importantes en todos los problemas de ajuste a presin o ajuste por contraccin. El cambio c de la circunferencia del anillo delgado, cuando se aplican al cilindro las presiones pi y po, se expresa en trminos del desplazamiento radial p de un punto en el anillo como

La deformacin circunferencial c tambin se expresa en trminos de la deformacin unitaria tangencial t como

Donde c=2p es la circunferencia del anillo. As,

En la mayora de las aplicaciones que incluyen ajustes por contraccin, el esfuerzo axial a = 0. La deformacin unitaria tangencial t puede expresarse en trminos del esfuerzo radial r y del esfuerzo tangencial t usando la ley generalizada de Hooke. As, se tiene El desplazamiento radial de un punto en la pared se obtiene entonces en trminos de los esfuerzos radial y tangencial presentes en el punto, como

Se usan formas reducidas de las ecuaciones anteriores con suficiente frecuencia como para requerir la consideracin de los siguientes casos especiales.

CASO 1 (Slo presin interna)Si la carga est limitada a una presin interna pi (p0=0)

El examen de estas ecuaciones indica que r siempre es un esfuerzo de compresin, mientras que t siempre es un esfuerzo de tensin. Adems, t siempres es mayor que r y es mximo en la superficie interior del cilindro. Con los valores de r y t de las dos ecuaciones anteriores, se sustituye a la ya mencionada ecuacin y se obtiene la ecuacin de deformacin aplicable para este caso especial ( p0=0 y a=0 ). As se tiene

CASO 2 (Slo presin externa)

Si la carga est limitada a una presin externa po (pi=0)

En este caso, tanto r como t son siempre de compresin. El esfuerzo tangencial siempre es mayor que el esfuerzo radial y asume su valor mximo en la superficie interna del cilindro. Con los calores de r y t de las dos ecuaciones anteriores, se sustituye a los anteriores y se obtiene la ecuacin de deformacin aplicable para este caso especial ( pi=0 y a=0 ). As

CASO 3 (Presin externa sobre un cilindro circular slido)

Los esfuerzos radial y tangencial r y t y el desplazamiento radial p para este caso especial pueden obtenerse de la expresin definida, haciendo que desaparezca el agujero en el cilindro (a=0). As, se tiene

El signo negativo en estas ecuaciones indica que ambos esfuerzos son de compresin y que el radio del cilindro se reduce cuando se aplica la presin externa po. En este caso, los esfuerzos son independientes de la posicin radial y tienen una magnitud constante igual a la presin aplicada.