calculo de vf van y tir

Método para calcular el valor futuro de una suma de dinero y su proceso de capitalización

Este método sirve para hacer proyecciones del incremento del

capital, en base al análisis histórico del comportamiento de la

inflación. Por ejemplo, si la inflación promedio de los últimos 10

años es del 5% y se tienen costos de producción de

$100,000.00 en un ejercicio anual de operación, significa que

para el próximo año el valor de los costos será del orden de los

$105,000:00. Para el año subsiguiente será del orden de los

$110,250.00. En consecuencia, para el tercer año, el valor

será de $115,762.50, y así sucesivamente. ¿Cómo se calculó?

Con una formula sencilla:

VF = gasto anual x (1 + por ciento de inflación anual expresado en decimales)

VF = CT x (1 + i/100)

VF = 100,000 x (1 + 5/100)

VF = 100,000 x (1 + .05)

VF = 105,000

Proyección de VF a cinco años

año

gasto anual

Inflación (%)

Conversión con formula

1100,000.0

0 5 100,000 x 1.05

2105,000.0

0 5 105,000 x 1.053 110,250.0 5 110,250 x 1.05

0

4115,762.5

0 5 115,763 x 1.05

5121,550.6

3 5Si se quiere conocer el gasto anual en un año determinado,

considerando la misma constante del primer año, se aplica la

siguiente formula:

VF = gasto anual x (1+ por ciento de inflación anual expresado en decimales) ⁿˉ¹

donde el exponencial n es igual al número del año que se

quiere calcular.

Otro ejemplo sería efectuar una inversión fija depositada en

una cuenta bancaria, capitalizando los intereses. Si se

depositan $100,000.00 pesos con una tasa de interés pactada

al 7.5% anual, al año se tendrá un capital de $107,500.00. Al

capitalizar este monto, al siguiente año se tendrá la cantidad de

$115,562.50, y así sucesivamente.

VF = CAPITAL x (1 + tasa de interés anual expresado en decimales)

O bien se puede utilizar la tabla para ir calculando la

capitalización del dinero invertido tal como se muestra a

continuación:

Incremento de un capital inicial a cinco años

AñoCapital al

inicioTasa de

interés (%) FórmulaCapital al

final

1 100,000.00 7.5 Capital x 1.075 107,500.002 107,500.00 7.5 115,562.503 115,562.50 7.5 124,229.694 124,229.69 7.5 133,546.915 133,546.91 7.5 143,562.93

Método para calcular el valor futuro de una suma de dinero y su proceso de capitalización de una corriente de ingresos:

En un supuesto de una corriente de ingresos en el tiempo, los intereses

pueden ser o no capitalizados a decisión del beneficiario. En este caso,

el capital final obtenido de cada año se adiciona al ingreso

correspondiente del siguiente año para generar el capital acumulado y

sobre este se calcula el interés generado, que sumado al capital

acumulado refleja el resultado del año analizado, y así sucesivamente,

como se observa en la siguiente tabla, ejemplo calculado con un ingreso

anual de 10,000 pesos y una tasa anual del 7%. Con ingresos anuales

de 10,000 pesos, al final del tercer año se obtiene un capital final de

34,399 pesos.

AñoCorriente de

ingresosCapital

acumuladoIntereses generado Capital final

1 10,000 0.00 700 10,7002 10,000 20,700 1,449 22,1493 10,000 32,149 2,250 34,399

30,000 4,399

Los resultados obtenidos en la tabla anterior están respaldados por la

siguiente formula:

VF = C1 + C0 x (1 + i)1 + C2 + C1 (1 + i)2 + Cx + Cn (1 + i)n

En caso de decidir no capitalizar los intereses, el capital final sería de

30,000 pesos tal como se calcula en la siguiente tabla. Se aplica las

misma formula.

AñoCorriente de

ingresosCapital

acumuladoIntereses

generados Capital final1 10,000 0.00 700 10,0002 10,000 20,000 1,400 20,0003 10,000 30,000 2,100 30,000

30,000 4,200

Método para calcular el valor actual y su

proceso de descuento:

Este método de valor actual se refiere al valor presente de una suma de

dinero que se haya de recibir en un futuro. Para ello, los valores

actuales se podrán calcular utilizando un procedimiento que se le

denomina “descontar”. Esto significa que una suma de dinero en el

futuro habrá de descontarse al valor presente para determinar su valor

actual. Esto se puede interpretar como la perdida de adquisición del

dinero. Si se tiene dinero en papel moneda guardado en la caja fuerte,

en el colchón, en el closet o enterrado en el piso de la casa, con el

tiempo ese dinero va tener un valor nominal igual, pero un valor

adquisitivo menor.

Por ejemplo, si actualmente se tiene una suma de $100,000.00 y la

ahorro en un banco que paga el 7.5% anual, a la vuelta de cinco años

ese capital va a tener un valor de $143,562.93, según se observa en la

tabla. Si esa misma suma no se invierte, sino que se guarda en la caja

fuerte, a la vuelta del mismo lapso de tiempo, va a tener un valor actual

de $69,637.90.

¿Cómo se obtuvo este valor? Utilizándose la siguiente formula:

Valor Actual (VA) = Suma de Dinero ÷ (1 + tasa de interés/100)ⁿ

O

Valor Actual (VA) = Suma de Dinero x 1 ÷ (1 + tasa de interés/100)ⁿ

VA = $100,000.00 ÷ (1 + 0.075)5

VA = $100,000.00 ÷ (1.436)

... VA = $69,637.90

ⁿ = número de años

La obtención de valores futuros es un procedimiento inverso a la

obtención de valores actuales, según se puede observar en la gráfica.

Cuando una suma de dinero se invierte, se capitaliza y crece su valor,

mientras que si no se invierte y se mantiene estático, se descapitaliza,

se descuenta y su valor decrece.

Relación entre capitalización y proceso de descuento.

capitalización

Valor ($)

Descuento

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tiempo (años)

Al tener dominio del valor actual de una suma de dinero, se cuenta con la

herramienta para calcular el valor actual de una corriente de ingresos.

Método del proceso de descuento para calcular el valor

actual de una corriente de ingresos:

El valor actual de una corriente de ingresos que se espera recibir, es posible

calcularlo a través de la tabla 39, o en forma más práctica, aplicando la fórmula de la

sumatoria de cada valor actual anual, tal como se describe a continuación.

VA = ∑ fi1 x 1÷ (1 + ti) 1 + fi2 x 1÷ (1 + ti) 2 + fi3 x 1÷ (1 + ti) 3 + …… + fin x 1÷ (1 + ti) n

Dónde: fi = flujo de ingresos anual; ti = tasa de interés anual; y n = el último año de la

corriente o flujo de ingresos.

Una anualidad de $100,000.00 que se supone se recibirá al final cada uno de los

años, durante 3 años, con una tasa de interés del 8%, al usar el método de la tabla

el valor actual se calcula de la siguiente manera:

Valor presente de una corriente de ingresos

Años Flujo de Factor de Valoringresos ($) Valor Actual Actual ($)

1 100,000 0.926 92,6002 100,000 0.857 85,7003 100,000 0.794 79,400

Total: 300,000 257,700

El factor de valor actual se calcula dividiendo 1÷ (1 + ti) n donde n corresponde al

año respectivo de análisis. El valor actual se calcula multiplicando el flujo de

ingresos por el factor de valor actual. La suma del flujo de ingresos refleja el valor

nominal al último año de la corriente de ingresos, siendo en el ejemplo de

$300,000.00, mientras que la suma del valor actual es de $257,700.00, siendo esta

suma el valor del dinero que un inversionista va a recibir a futuro. Este cálculo en

forma más práctica, se puede efectuar con la formula sin necesidad de hacerlo con

la tabla observada.

Valor actual neto (VAN)

El método de valor actual neto considera el valor del dinero en el tiempo, a través de

una corriente de flujos netos de efectivo, tomando en cuenta la vida útil de la

inversión. A este método también se le denomina método de flujo de efectivo

descontado. El valor actual neto de una inversión se representa por la suma de los

valores actuales de los flujos netos en efectivo, conocidos también como ingresos

netos en efectivo, de cada año, restando el costo de la inversión inicial. En otras

palabras, el VAN se calcula mediante la siguiente ecuación:

VAN = ∑ fi1 x 1÷ (1 + ti) 1 + fi2 x 1÷ (1 + ti) 2 + fi3 x 1÷ (1 + ti)3 ...+ fin x 1÷ (1 + ti) n - ci

Donde: fi = flujo de ingresos anual; ti = tasa de interés anual; y n = el último año de la

corriente o flujo de ingresos; y ci = inversión inicial.

Si una inversión presenta un VAN positivo, se acepta, conforme a este

procedimiento. En contraparte, si el VAN es negativo, se rechaza. El razonamiento

para la aceptación de inversiones con VAN positivo descansa en dos vertientes:

1. En primer lugar significa que la tasa de rendimiento real es mayor que

la tasa de descuento.

2. Un inversionista estaría dispuesto a pagar mayor cantidad por la

inversión y aún alcanzar una tasa de rendimiento igual a la tasa de

descuento utilizada.

En los ejemplos de las siguientes tablas se pueden observar los VAN de tres

inversiones, donde: capital inicial = $ 1, 000,000.00; tasa de descuento = 8%; y una

vida útil de cinco años.

Inversión “a”

flujo neto factor de ValorAño de efectivo ($) valor actual actual ($)

1 500,000 0.925925926 462,9632 400,000 0.857338820 342,9363 300,000 0.793832241 238,1504 200,000 0.735029853 147,0065 100,000 0.680583197 68,058

total: 1,500,000 1,259,112menos capital inicial: 1,000,000valor actual neto: 259,112

Inversión “b”


1 100,000 0.925925926 92,5932 200,000 0.857338820 171,4683 300,000 0.793832241 238,1504 400,000 0.735029853 294,012

5 500,000 0.680583197 340,292total: 1,500,000 1,136,514menos capital inicial: 1,000,000valor actual neto: 136,514

Inversión “c”


1 300,000 0.925925926 277,7782 300,000 0.857338820 257,2023 300,000 0.793832241 238,1504 300,000 0.735029853 220,5095 300,000 0.680583197 204,175


Entre más alto sea el valor actual neto más aceptable es la inversión y viceversa.

Este comportamiento depende de la tasa de descuento, entre mayor sea la tasa,

menor será el valor actual neto. Al obtener comportamientos de flujos netos de

mayor a menor, el VAN es mayor que cuando estos son a la inversa, tal como se

observa en los ejemplos anteriores. Bajo este esquema de análisis, un inversionista

estaría dispuesto a seleccionar la inversión con mayor VAN. En otras palabras,

invertiría en el siguiente orden de inversiones: “a”, “c” y “b”

En el caso de que el flujo de efectivo de cualquier ejercicio anual tuviera una

modificación, tal como se observa en la tabla de la inversión “d”, siendo esta

prácticamente el mismo comportamiento de la inversión “b”, pero incrementándose

el flujo del quinto año, el VAN también sufre modificación, incrementándose con

respecto a la inversión “b” y “c”. En este caso, un inversionista estaría dispuesto

seleccionar la inversión “d” sobre la “c”.

Inversión “d”


1 100,000 0.925925926 92,5932 200,000 0.857338820 171,4683 300,000 0.793832241 238,1504 400,000 0.735029853 294,0125 600,000 0.680583197 408,350


La selección de inversiones con mayores VANs, no necesariamente reflejan que

sean más rentables comparadas con otras de menor valor actual neto. Para

conocer la rentabilidad real de una inversión se utiliza el método de tasa interna de

rendimiento o rentabilidad (TIR).

Tasa interna de rendimiento (TIR)

El TIR es otro método de análisis de inversión, reflejándose también el valor del

dinero en el tiempo. A la TIR se le conoce también como rendimiento sobre

capital o eficiencia marginal de capital.

En los ejemplos anteriores, tablas 40 al 43, el valor actual neto se calculó con una

tasa de descuento del 8%. ¿Pero cual es la tasa real de rendimiento de estas

inversiones? Para calcular esa tasa real, se debe usar la siguiente formula:

VAN = ∑ fi1 x 1÷ (1 + ti) 1 + fi2 x 1÷ (1 + ti) 2 + fi3 x 1÷ (1 + ti) 3 +… + fin x 1÷ (1 + ti) n - ci

Donde el VAN = 0; en consecuencia la ti se convierte en incógnita. En la ecuación

se procede a despejar la ti para determinar la tasa que iguale el VAN a cero,

concluyéndose que esto no es posible ya que es una ecuación difícil de resolver.

Por lo tanto se procede a utilizar el método del tanteo, según se observa en las

tablas siguientes, donde se analizan diferentes inversiones. Todo indica que el

tanteo debe iniciarse con una tasa por arriba del 8%, la cual fue usada para el

cálculo del VAN, cuyo resultado es muy por arriba de cero. En la tabla 44, en el

análisis de la inversión “a”, se inició el tanteo con dos tasas, una del 15% y otra del

25%. En la tasa 15%, el cálculo refleja un VAN de $98,563.00, muy por arriba del

valor cero, mientras que la tasa del 25%, se tiene un VAN negativo, muy por debajo

del valor cero. Se va ajustando la banda de tanteo hasta que se encuentran las

tasas que se acercan al valor cero. En este ejemplo, se encontró en el ajuste que

las tasas que se acercan a cero están entre el 20 y 21%, por lo que se deduce que

el TIR esta por arriba del 20%, tal como se observa en la tabla.

Cálculo de TIR para la inversión “a”

tasa 15% tasa 25%flujo neto factor de valor flujo neto factor de Valor

Año de efectivo ($) valor actual actual ($) de efectivo ($) valor actual actual ($)

1 500,0000.86956521

7 434,783 500,000 0.800000000 400,000

2 400,0000.75614366

7 302,457 400,000 0.640000000 256,000

3 300,0000.65751623

2 197,255 300,000 0.512000000 153,600

4 200,0000.57175324

6 114,351 200,000 0.409600000 81,920

5 100,0000.49717673

5 49,718 100,000 0.327680000 32,768total: 1,500,000 1,098,563 1,500,000 924,288

menos capital inicial: 1,000,000 1,000,000valor actual neto: 98,563 -75,712



1 500,0000.83333333

3 416,667 500,000 0.826446281 413,223

2 400,0000.69444444

4 277,778 400,000 0.683013455 273,205

3 300,0000.57870370

4 173,611 300,000 0.564473930 169,342

4 200,0000.48225308

6 96,451 200,000 0.466507380 93,301

5 100,0000.40187757

2 40,188 100,000 0.385543289 38,554total: 1,500,000 1,004,694 1,500,000 987,627


El valor real de la TIR es 20.28% ¿Cómo se calcula la parte decimal? Por una

simple interpolación lineal. A la tasa con VAN negativo, se le elimina el signo, y se le

suma a la tasa con VAN positivo, por lo que el valor entre 20 y 21, es:

4,694 + 12,373 = 17,067

Esto significa que el punto porcentual entre 20 y 21 tiene un valor de $17,067, por lo

que para llegar a cero, a la tasa 20% le faltan $4,694, mientras que a la tasa 21% le

sobran $12,373, según se observa en las siguientes figuras.

Figura 5. Valor de un punto porcentual, para la inversión “a”.

│ 1% │

17,067

Figura 6. Valores diferenciales entre el valor actual neto positivo y el negativo.

20% (+) (-) 21%

│_____________________│__________________________________│

4,694 0 12,373

Por lo que al interpolar se obtiene la fracción decimal = X

17,067 ------------ 1%

4,694 ------------ X

Por lo tanto, X = 0.28

Como se tomó la parte proporcional de la tasa menor que es positiva, la fracción

decimal se le suma a dicha tasa, por lo que:

TIR = 20 + 0.28

TIR = 20.28%

Si se toma la parte proporcional de la tasa mayor, que es la negativa, la fracción

decimal se le resta a esta tasa, por lo que:

17,067 ------------ 1%

12,373 ------------ X

Por lo tanto, X = 0.72

TIR = 21 - 0.72

TIR = 20.28%

Cálculo de TIR para la inversión “b”



1 100,0000.90909090

9 90,909 100,000 0.833333333 83,333

2 200,0000.82644628

1 165,289 200,000 0.694444444 138,889

3 300,0000.75131480

1 225,394 300,000 0.578703704 173,6114 400,000 0.68301345 273,205 400,000 0.482253086 192,901

5

5 500,0000.62092132

3 310,461 500,000 0.401877572 200,939total: 1,500,000 1,065,259 1,500,000 789,673




1 100,0000.89285714

3 89,286 100,000 0.884955752 88,496

2 200,0000.79719387

8 159,439 200,000 0.783146683 156,629

3 300,0000.71178024

8 213,534 300,000 0.693050162 207,915

4 400,0000.63551807

8 254,207 400,000 0.613318728 245,327

5 500,0000.56742685

6 283,713 500,000 0.542759936 271,380total: 1,500,000 1,000,179 1,500,000 969,747

menos capital inicial: 1,000,000 1,000,000valor actual neto: 179 -30,253

Se toma la parte proporcional de la tasa menor, por lo que se procede a su

interpolación para determinar el TIR de esta inversión “b”.

30,432 ------------ 1%

179 ------------ X

Por lo que X = 0.01

Por lo tanto:

TIR = 12 + 0.01

TIR = 12.01%

Cálculo de TIR para la inversión “c”



1 300,000 0.892857143 267,857 300,000 0.833333333 250,0002 300,000 0.797193878 239,158 300,000 0.694444444 208,3333 300,000 0.711780248 213,534 300,000 0.578703704 173,6114 300,000 0.635518078 190,655 300,000 0.482253086 144,6765 300,000 0.567426856 170,228 300,000 0.401877572 120,563

total: 1,500,000 1,081,433 1,500,000 897,184menos capital inicial: 1,000,000 1,000,000valor actual neto: 81,433 -102,816


Año de efectivo ($) valor actual actual ($) de efectivo ($) valor actual actual ($)1 300,000 0.869565217 260,870 300,000 0.862068966 258,6212 300,000 0.756143667 226,843 300,000 0.743162901 222,9493 300,000 0.657516232 197,255 300,000 0.640657674 192,1974 300,000 0.571753246 171,526 300,000 0.552291098 165,6875 300,000 0.497176735 149,153 300,000 0.476113015 142,834



interpolación para determinar el TIR de esta inversión “c”.

23,359 ------------ 1%

5,647 ------------ X

Por lo que X = 0.24

Por lo tanto:

TIR = 15 + 0.24

TIR = 15.24%

Cálculo de TIR para la inversión “d”

tasa 10% tasa 20%flujo neto factor de Valor flujo neto factor de Valor

Año de efectivo ($) valor actual actual ($) de efectivo ($) valor actual actual ($)1 100,000 0.909090909 90,909 100,000 0.833333333 83,3332 200,000 0.826446281 165,289 200,000 0.694444444 138,8893 300,000 0.751314801 225,394 300,000 0.578703704 173,611

4 400,000 0.683013455 273,205 400,000 0.482253086 192,9015 600,000 0.620921323 372,553 600,000 0.401877572 241,127


tasa 13% tasa 14%flujo neto factor de Valor flujo neto factor de Valor

Año de efectivo ($) valor actual actual ($) de efectivo ($) valor actual actual ($)1 100,000 0.884955752 88,496 100,000 0.877192982 87,7192 200,000 0.783146683 156,629 200,000 0.769467528 153,8943 300,000 0.693050162 207,915 300,000 0.674971516 202,4914 400,000 0.613318728 245,327 400,000 0.592080277 236,8325 600,000 0.542759936 325,656 600,000 0.519368664 311,621



interpolación para determinar el TIR de esta inversión “d”.

31,465 ------------ 1%

24,023 ------------ X

Por lo que X = 0.76

Por lo tanto:

TIR = 13 + 0.76

TIR = 13.76%

Cuadro comparativo de VAN y TIR de las cuatro inversiones.

Inversión "a" "b" "c" "d"

flujo total $1,500,000.00 $1,500,000.00 $1,500,000.00 $1,600,000.00

VAN $259,112.00 $136,514.00 $197,813.00 $204,572.00

TIR 20.28% 12.01% 15.24% 13.76%

De los cuatro ejemplos, la inversión “a” presenta la mayor TIR, seguidas por la “c” y

la “d”, presentando la “b” la rentabilidad más baja, respectivamente. Referente a los

VAN de las inversiones, la “a”, “b” y “c”, reflejan valores proporcionalmente paralelos

a las TIR, no así la inversión “d”. La inversión “d” presenta un flujo neto total y un

VAN mayor que la “c”. Con esto se reafirma que un VAN mayor comparado con otro

menor, no necesariamente es más rentable, tal como se observa en la tabla anterior.

El análisis de éstos métodos de evaluación se facilitan y se eficientizan a través del

uso de tecnologías modernas. Hoy en día, es común formular y evaluar proyectos

mediante el uso de equipos computacionales. Para el análisis de la inversión, es

común usar la hoja de cálculo Excel, ya que al capturar toda la información numérica

en matrices, se pueden utilizar fórmulas que van a facilitar los cálculos de los

estados de resultados y de los flujos de efectivo. En consecuencia, al conocer los

flujos netos en efectivo, a través del uso de funciones, en la misma hoja de cálculo

Excel, se facilita la obtención del VAN, TIR, PE y el análisis de sensibilidad.

Los cálculos de VAN y TIR se calculan de la siguiente manera:

Ejemplos en Excel……

calculo de vf van y tir

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