bracho, javier - en qué espacio vivimos

8/3/2019 Bracho, Javier - En qué espacio vivimos

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¿EN QUE ESPACIO VIVIMOS?

Autor: JAVIER BRACHO

COMITÉ DE SELECCIÓN

EDICIONES

DEDICATORIA

1. ¿EN QUÉ ESPACIO VIVIMOS? 2. EL CUENTO DE ESTE LIBRO

3.RELATIVIDAD EN LA CORTE DE LOS REYES CATÓLICOS

5. PLANOTITLÁN

8. SOÑATA EN TRES TIEMPOS Y CUATRO ESPACIOS

LECTURAS RECOMENDADAS

COLOFÓN

CONTRAPORTADA

http://omega.ilce.edu.mx:3000/sites/ciencia/html/matematicas.htm



COMITÉ DE SELECCIÓN

Dr. Antonio Alonso

Dr. Juan Ramón de la Fuente

Dr. Jorge Flores

Dr. Leopoldo García-Colín

Dr. Tomás Garza

Dr. Gonzalo Halffter

Dr. Guillermo Haro †

Dr. Jaime Martuscelli

Dr. Héctor Nava Jaimes

Dr. Manuel Peimbert

Dr. Juan José Rivaud

Dr. Emilio Rosenblueth †

Dr. José Sarukhán

Dr. Guillermo Soberón

Coordinadora Fundadora:

Física Alejandra Jaidar †

Coordinadora:

María del Carmen Farías



EDICIONES

Primera edición, 1989

Cuarta reimpresión, 1996

La Ciencia para todos es proyecto y propiedad del Fondo de Cultura Económica, al que pertenecen también susderechos. Se publica con los auspicios de la Subsecretaría de Educación Superior e Investigación Científica de laSEP y del Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología.

D. R. © 1989, FONDO DE CULTURA ECONÓMICA, S. A. DE C. V.

D. R. © 1995, FONDO DE CULTURA ECONÓMICA

Carretera Picacho-Ajusco 227; 14200 México, D.F.

ISBN 968-16-3039-4

Impreso en México



DEDICATORIA

Al espacio en que viven

Andrea Palma,

mi padre,

Carlos Cruz-González

y Marielena Uribe.

Por no decir

a todos los que quiero.



1. ¿EN QUÉ ESPACIO VIVIMOS?

(Donde el autor se hace una pregunta)

LA PREGUNTA ¿en qué espacio vivimos?, (con sus relativas: ¿qué forma tiene el mundo? o ¿de los posiblesuniversos, cuál es el nuestro?) no encuentra respuesta en este libro, ni en ningún otro, aunque se trate en muchos.Es una pregunta profunda, humana y vigente desde el origen de la historia. Preguntárnosla, con cualquiera de susposibles matices o acepciones y en alguno de sus niveles de generalidad, sin duda nos ayudó a abandonar laprehistoria. Y desde entonces, mucho se ha trabajado sobre ella con los enfoques y los resultados más diversos:harto se ha dicho. Con la atención suficiente, siempre es posible escuchar en las raíces de las culturas que hablanalgún esbozo de esta misma pregunta; aunque venga en tono de respuesta.

Al preguntarnos ¿en qué espacio vivimos? se incluyen ¿de dónde venimos? y ¿hacia dónde vamos? tras lareciente amalgama einsteiniana del espacio y el tiempo; cabe, incluso ¿qué somos? al dirigir la mirada a nuestroespacio orgánico, cognoscitivo, sensitivo, íntimo.

Pero en vez de pasmarnos al ampliar el espectro, o al rastrear en la cultura la fuerza motriz de esta inocuapregunta, enfrentémosla.

¿En qué espacio vivimos?

Si como buen lector, o como simple autor, le entramos al torito, se antoja de volón husmear en el morral denuestra cultura personal a ver si aparece por ahí alguna latita que destapar, algún rollito prefabricado que soltar.Es grande la tentación de compendiar lo que sabemos sobre el tema. Pero sería, en cierta forma, evadir lapregunta, sepultarla bajo erudición al dejar que otros hablen por nosotros. No. Como simples seres humanos,transcurriendo cotidianamente en este universo, ¿qué podemos decir sobre él? Tenemos la asombrosa capacidadde conmovernos y hasta de angustiarnos u obsesionarnos con nuestra inmensa ignorancia sobre nuestro entorno:usémosla. Dudemos de todo lo que sabemos, pues gran parte de ello es un acto de fe; y si no lo fuera, sólo seafianzaría con el embate del cuestionamiento. Podemos enfrentarnos sin más herramientas que nuestraexperiencia cotidiana y nuestra razón al problema de describir nuestro espacio. Intentémoslo.

Recordemos que son innumerables los modelos de universo que han sido fielmente creídos y apasionadamentedefendidos por algún ser humano en alguna época. ¿Qué nos hace suponer que el nuestro, explícito o no, esmejor? ¿Qué es lo que hace a alguno de estos modelos mas "realista" que otro? La mejor opción no tiene nada quever con quienes sostienen el modelo en cuestión, o dónde, o cuándo lo sostienen (podemos suponer que somosnosotros), es simplemente la que resiste mejor el ataque crudo y descarnado del razonamiento, del sentido común,que, a su vez, varía conforme al tiempo y en relación directa con el uso que de él hagan las culturas: el destiladoque va produciendo este proceso milenario es quizá lo que llamamos ciencia.

Pero recordemos también que en nuestros primeros meses de vida aprendimos a percibir nuestro espacio y que enlos años subsecuentes empezamos a desplazarnos en él, a dominar, en pequeña escala y con torpezas, su materia,a convivir con sus imposiciones ineludibles: los cuerpos caen y duele, el día y la noche, las estaciones —deperdis: las vacaciones—, la Luna, el Sol y las estrellas. Aprendimos también a pensar. Los años se han idoacumulando. Algo debemos saber o suponer sobre el espacio en que transcurre nuestra vida. Qué podemos decirsobre ¿cómo es?

¿En qué espacio vivimos?

Ésta es la pregunta que se plantea el autor en esta obra; abordándola en diversos tiempos, a través de variadospersonajes, con distintos enfoques, y con resultados parciales independientes. El formato es el de un libro decuentos. Todos ellos giran en torno al mismo tema, la pregunta que los compendia, con el único afán deaproximarse a la geometría del Universo; es decir, de transmitirle al lector que empieza a hojearlos alguna idea,aunque sea vaga, de hacia dónde nos lleva, desde la humilde perspectiva de uno de sus trabajadores, la geometríade este siglo.



2. EL CUENTO DE ESTE LIBRO

PARA un matemático, la pregunta "¿qué haces?" es difícil de responder con más precisión que un vago"matemáticas", "álgebra" o, en mi caso, "topología". Para el común de los mortales estos vocablos tienen muypoco contenido concreto, o bien, si llegan a tenerlo, con frecuencia dista mucho de lo que en realidad son losobjetos de nuestro estudio o los motivos de nuestros desvelos y frecuentes divagaciones.

Hace ya algunos años enfrenté la pregunta "¿qué haces?" con un poco más de gallardía: "estudio espaciosdiversos", contesté, mordiéndome la lengua en el "topológicos" para no cortar de tajo la conversación. "¿Cómo?"—arremetió mi interlocutor— "¿qué no es éste el único espacio que hay?"... "Bueno, sí: es el espacio físico. Peroaún no sabemos cuál es él, dentro de las posibilidades matemáticas que hay. Es más, ni siquiera conocemos conprecisión la lista de estas posibilidades." Para mis adentros pensaba en el gran problema de clasificar lasvariedades de dimensión tres. La sonrisa de escéptico reconocimiento que recibí me hizo sentir en buen camino.Con este enfoque, que me hacía aparecer como un científico con preocupaciones de gran envergadura y arraigohistórico, me aventuré a dar algunas pláticas de divulgación; a la estimulante respuesta que tuve de aquel público—ya de por sí ligado a la divulgación de la ciencia, para mi fortuna— se debe este libro. Aunque había algo deteatral en presentarme como alguien preocupado profesionalmente en la pregunta "¿en qué espacio vivimos?",daba con esto pie para hablar de bandas de Moëbius, Toros (donas), geometrías no euclidianas y espacios demúltiples o de infinitas dimensiones, en un contexto que los situaba más acá que meros, extravagantes o

intrascendentes "divertimentos matemáticos". Me aproximaba al tema que trabajaba en aquella época, la nociónde variedad y de sus estructuras, a la vez que rozaba un área que a lo largo de este siglo en agonía ha sidofundamental: la topología de dimensiones bajas; y le tiraba a este par de pájaros con uno de sus posiblessubproductos para siglos venideros: "a los matemáticos nos gustaría" —decía yo— "entregarles a los físicos y alos astrónomos una lista completa, clara y racional de las posibles formas del Universo; al confrontarla con susobservaciones, quizás puedan decidir cuál es la buena". Y lo teatral, debo aclarar, derivaba del hecho de queningún matemático piensa en esto cuando hace matemáticas. Nuestros móviles son mucho más concretos ymundanos, la belleza intrínseca de los entes que tratamos, la obsesión por entender lo que no entendemos, porafianzar lo efímero, o bien, la simple "gloria". Sin embargo, me convencí de que para la divulgación este enfoqueera fértil.

Inclusive, me senté a escribir un articulillo. En él me lanzaba al ruedo contra el siguiente torito: "A ver: como

simple matemático, es decir, sin necesidad de salir de este cuarto y con base en razonamientos precisos que partende un mínimo de hipótesis —que, como parte del problema, también hay que establecer—, ¿puedes demostrar quela Tierra es redonda?" Ejercicio nada sencillo del que pretendía derivar la necesidad de formalizar la definición devariedad, en particular la de superficie y, ya entrados en gastos, dar su clasificación (uno de los teoremas másbellos y redondos de la topología, al que se asocian grandes nombres como Euler, Riemann y Poincaré); proyectodemasiado ambicioso que nunca pasó de un borrador inconcluso, inédito y perdedizo.

Pasaron los años, y un día un amigo irrumpió en mi cubículo: "Te invito a escribir un libro de divulgación, la serieya está armada, pero todavía no hay nada de matemáticas, tú dices, ¿le entras?"

—¡Sale!

A la vuelta de la esquina tuvo título y un primer índice. Empezaría con lo que ya tenía, era cosa de desempolvar loque llegó a ser conocido como "el de Colón", y trabajar lo que le faltaba (toda la parte técnica); seguiría con lasbases matemáticas mínimas para poder introducir al lector a las 3-variedades y sus estructuras geométricas: conesto concluiría. Y para romper el miedo a "doblar" la tercera dimensión y a trabajar con dimensiones más altas,¡qué mejor que Flatland! Reseñaría en el capítulo 5 el libro de Edwin Abott, clásico en la línea trazada casicontemporáneamente por Lewis Carroll (sí: el de Alicia en el país de las maravillas). Definitivamente tenía algoqué decir sobre Flatland, antes que nada, traducirlo "Planotitlán" en vez de "Planilandia". Con este índice comode diez capítulos firmé el contrato con el Fondo, para su serie "La Ciencia desde México".

Pasaron los meses, tuve que negociar un nuevo plazo de entrega, pues la parte técnica —la que faltaba— nolograba atarme a la máquina. Además, "el de Colón" y el rápido borrador de "Planotitlán" no tenían continuidad, obien, necesitaban de un contrapeso literario más hacia el final del libro. Así, maduró la idea de hacerlo como libro



de cuentos que trenzaran una malla, una trama literaria, en la cual la formalización matemática quedaraentretejida, intercalada pero bien separada; de tal forma que al hojearlo con prisa, el lector aburrido o perdidopudiera regresar a la superficie, a la trama principal y empezar de nuevo, fresco y desde cero, con un cuentoindependiente.

Me gustaba esta idea, pues asemejaba la forma en que se atacan los textos matemáticos: primero pasa uno agrandes zancadas en busca de las ideas principales, luego escudriña por los huecos y los va rellenando, más tardese miran con lupa los detalles para ir reconstruyendo lo que está detrás del texto, las matemáticas a las que alude,para, finalmente, tratar de ir más allá de lo que está escrito. En este proceso uno se ayuda de lápiz y papel, deotros textos o de lo que pueda; cada lector sigue su itinerario, no tiene por qué seguir el orden arriba establecido,

inclusive el orden lineal del texto; y se dedica a este objetivo el tiempo-pensamiento que puede ir desde cero hastatoda una vida productiva.

El plan de trabajo se aclaraba. Había que terminar primero la trama literaria, esqueleto del libro. El nombremágico y liberador de "cuento", junto con fraternales palmaditas de "síguele", me encerraron contra el capítulo 8,pariendo así, tras largos meses arreando el teclado, lo que acabó por llamarse la "Soñata".

Ésta exigió de mi parte mucho más de lo matemático que tengo, que lo que hubiera yo esperado en un principio.De tal manera que al concluir, meses después, con los "Apuntes del escenógrafo", me di por bien servido encuanto al entretejido técnico del libro, que acabó por concentrarse en dos cúmulos, uno de física y otro degeometría, que, amenizando sus intermedios, hacen referencia únicamente a la Soñata, en búsqueda de laautocontención.

Este enfoque definido me hacía ver el material geométrico que había yo usado en una nueva perspectiva;asaltándome entonces problemas a la vuelta de cada esquina. Algunos los resolví, otros más quedaron comoejercicios o imprecisiones, y otros, no menos difíciles, los resolví en silencio.

Decidí, para sacar del silencio un problema relevante, que la terminología debe estar al servicio de las ideas, ynunca a la inversa, dejando así que los bautizos de los términos que debía nombrar corrieran a cargo del contexto.Se produjeron choques con los términos que en la matemática actual se usan para el mismo objeto, por ejemplo,"universito" vs "3-variedad riemanniana compacta" o "espacio perceptivo" vs "espacio tangente". Si llego aconfundir a los estudiantes por esta decisión, tómenlo como un reto. Aunque, a decir verdad, esta luchaterminológica nunca fue desigual debido a mi formación matemática.

Engordó el manuscrito. Había pasado ya mi segunda fecha de entrega, y quedaban aún grandes huecos en elíndice. Pero éstos habían perdido su relevancia pues pretendían llenar generalidades, mientras que la Soñata mehabía concentrado en ejemplos concretísimos. Decidí entonces que era más importante dejar al lector con esasvivencias mínimas que atiborrarlo de "conocimiento"; además, el fin de esta aventura quedaba al alcance de lamano. Con un brochazo "al de Colón", que se sacudió en "el oso de Fernando", un retoque a la introducción y unapintadita de fachadas en Planotitlán en unos meses entregué una versión completa a mis editoras y cuates. Elcomité se tomó su tiempo, fundamental para que yo pudiera ver el libro en perspectiva. Y a la voz de ¡újule!concluí con esto.

Este cuento, aunque de la narrativa parezca, no es de un solo personaje; en distintos tiempos y a distintasfrecuencias, intervinieron en él muchísimas personas, más de las que voy a mencionar. Marisela, las Alicias,Gerardo, Lucy y Antonio en el arranque. Irene, Julio, Pilar, Ana Teresa y Juan al meter segunda, con los acentos,

eses, ces y zetas. No faltaron estímulos como los de Andrea, Jaime, Roberto y Mario. Felipe, desprendiéndose concariño de un epígrafe básico. Héctor Manjarrez, Marcelo Uribe y mi Coral dándome seguridad y aliento enmomentos precisos. Eduardo Sepúlveda con su asentado oficio fotográfico. Y tuvo también, además de mi estudioitinerante, otros escenarios. El Instituto de Matemáticas de la UNAM, que me ha dado la libertad de perseguir missueños para concretarlos. Ahí, guiaban Alberto Barajas y Víctor Neumann sin percatarse; acompañaban LuisMontejano —trabajando duro en el hermano que balancea la imagen de las matemáticas en esta serie—, PeterGreenberg, Hamish Short, y El Irracional en pleno, Isabel Puga y Socorro Soberón, opinando con vara alta en laempresa, así como Irene Cruz González y Alfonso Serrano, desde el Instituto vecino. Además, empujaban Luceroy Concha con la nube de moscos que las persigue y nos motiva con su ebullición. Y por otro lado estuvo elFondo, a través de sus dos encantadoras editoras, María del Carmen Farías y Alejandra Jaidar, y el amigo queirumpió en mi cubículo: Juan José Rivaud, quien acaba de dar la voz de ¡újule! Y colorín colorado, lo que tratabaeste cuento, no se ha acabado.



3.RELATIVIDAD EN LA CORTE DE LOS REYES CATÓLICOS

Colón —representando a todos aquellos valientes y visionarios que lucharon en pos de la total redondez de la

Tierra— hizo con nuestra idea de mundo lo que Einstein con la de Universo: nos la curveó. Pasaron —ambos—

de la plana rigidez euclidiana a nuevas geometrías. En este episodio nos tomamos la libertad de fantasear sobre

el tema.

VAYAMOS quinientos años atrás. Pero quedémonos aquí, en la Gran Tenochtitlán, la región más transparente delaire, extendiéndose infinita en sus pequeñas ramificaciones urbanas. ¿Qué responderíamos, siendo alguno de sushabitantes, a la pregunta: qué forma tiene el mundo?

Diríamos, por supuesto, que la Tierra es plana. Vivimos en nuestras casas, transitamos por las calzadas, y cuandoel diario trajinar por la ciudad nos permite echar un vistazo al horizonte, más allá del mercado, vemos unaplanicie inmensa rodeada de montañas, su volcán y su volcana. Para salir de ese valle usaríamos los mismosrecursos que para movernos en nuestra casa o en nuestro barrio, caminar hacia adelante girando al gusto. Esto secontinúa y se continúa, y luego, dicen los viajados, llega el mar. Así es la Tierra, plana. Aunque en lo pequeño,como nosotros, haya una tercera dimensión que nos permite mover objetos, vivir y ver que todo lo material estápegado a la Tierra, que se extiende como un gran manto arrugado. Y además están los dioses: pero que de elloshablen los que dicen saber.

Esta visión del mundo no difiere en nada de la que tienen, como cultura, los europeos; ni de la que aún usamospara lidiar con el mundo cotidiano: la Tierra es un plano que nos tiene agarrados, pegados cuan pesados somos, alpiso de este cuarto que se continúa en un lago de asfalto y luego, dicen los viajados, lejos muy lejos, están elcampo y el mar. La idea de una tierra redonda es antinatural o, mejor dicho, choca con nuestra experienciacotidiana, requiere de mucha elaboración y lucubración, de saber y de pensar, de entrar en un mundo abstractoque no es el de este cuarto. Recordemos que enfrentarnos a esa idea nos causó risa de chiquillos —los chinosquedaban de cabeza, porque nosotros: ¿cómo? Concedámosle esa ingenuidad añeja y terrenal a la voz deFernando, rey de Castilla, quien en este mismo tiempo, pero del otro lado del mar y enfundado en sus bombachoscalzones, está a punto de enfrentar el punto central del proyecto que le presenta... "el tío éste ¡hombre!, viajero deideas estrafalarias".

COLÓN. —...porque la Tierra, Su Majestad, es redonda.FERNANDO. —¡Joder! (sacudiendo una mano para ayudarse a pensar) ¿Cómo dijo?

COLÓN. —Sí, Señor, la tierra es redonda. Como esta naranja, pero a lo bestia.

FERNANDO. —¿Ah, sí?... (mira la naranja que sostiene Colón con dos dedos en los huecos del eje

horizontalizado)... ¿Y yo, dónde estaría?

(Colón señala con pomposo índice vertical el casco superior de la naranja.)

FERNANDO (sonriendo). —¿Y los de...? ¿el reino éste a dónde va? ¿Cómo dijo que se llamaba?

COLÓN. —El Oriente.

FERNANDO .—Sí: ¿ésos?

COLÓN. —(Baja el índice rodeando un lado.)

FERNANDO. —¡Hostia! Ahora entiendo, es por eso que dice mi cartógrafo que son amarillos ¿Se marean porestar de costado?

COLÓN. —Bueno, no exactamente, Su Señoría...

FERNANDO. —¿Y entonces, cómo?



COLÓN. —¿....?

FERNANDO. —¿Usted ha estado ahí?... En el oeste, digo. (Señalando al tímido índice que aún apunta,

horizontal, a la naranja.)

COLÓN. —... ¡Ah! Sí.

FERNANDO. —¿Y dígame: cómo es estar de lado?... (Iluminándose de pronto.) ¿Puede caminar por las paredes?¿Qué se siente?

COLÓN. —No. Verá... no se siente.

FERNANDO. — Hombre, pero cómo no se va a sentir. Mire (se inclina de a poquitos, evidenciando cómo el peso

de su cuerpo abandona la pompa de su pie cruzado, hasta que lo sorprende el hombro de Isabel, quien

permanece impávida a su lado, como joya. El rey se rehace de su malabar, quedando un poco más enconchado).

COLÓN. —No lo sienten en el Oriente porque, respecto a la Tierra, Su Alteza, son chiquitos.

FERNANDO. —¡Son chiquitos! ¿Así? (bajando su palma horizontal hasta muy cerca del zapato). ¡Además deamarillos! ¿De veras? ¿Chiquitos?

COLÓN. — Bueno, no. Digo... respecto a la naranja...

Fernando aprovecha el desconcierto en su corte, la llamada "católica", para hacerse consciente de que ésta

tiende a pequeños grupos, sin abandonar del todo el anillo que rodea al trono. El obispo, cerca del bonete; en

ademán de "loco", gira un dedito que podría dirigir el coro gestual y cuchicheante de desaprobación. El rey se

levanta. Arrebata la naranja a Colón y la alza. Gana de nuevo la atención y el silencio. Titubea, pero la deja

caer, picando ésta en el filo del escalón real. Las miradas se dividen hasta que se detiene la naranja en el borde

de un pilar y acaban reconcentrándose. Fernando piensa...

FERNANDO. —¡Caramba! Hombre, que si fuese redonda, pues rodábase.

Asiente ruidosamente la corte, casi al borde del aplauso, pero implicando inteligentemente la negación. Colón le

pide a señas tiempo y otra oportunidad a Isabel. El obispo busca la palabra, pero Isabel se levanta y toca el

hombro de Fernando que se sienta, aliviado.

ISABEL . —Debo recordar, Majestad, que hemos olvidado convidar de nuestro vino a tan distinguidos invitados.

Asiente la corte, ahora con sinceridad. Se sirve vino, desmoronándose el círculo que rodeaba a Colón.

Isabel conduce la ceremonia, platica brevemente con Colón, y con muchos otros grupitos; esparce su fragancia

en el cuarto, cosecha sonrisas y miradas que parece jalar como hilos que rigidizan la elipse perceptiva de un

círculo perfecto con sólo subir el escalón real. Fernando se sienta mirándola girar como corona con su joya al

anillo, llegándose a la vez al silencio. Sólo queda un pequeño tumulto que desaparece en el centro; ella observa

la conclusión con benevolencia. Han mandado llamar a un personaje que había pasado desapercibido. Su

vestuario de tiempo inmemorial parece desempolvar su holgura al ser conducido al centro de la escena, que no

acaba por conquistar su interés, pese a la leve algarabía que decrece a su alrededor, dejándolo solo y distraído,ahí, detrás de Colón, rodeado por la corte.

ISABEL. —El valiente navegante Cristóbal Colón, en quien percibo y siento verdad, fe y honestidad en palabra yobra, solicita otra oportunidad para justificar su arriesgada empresa, mediante las palabras del cartógrafoilustradísimo que lo guía en sus viajes, diseñándoselos, y en cuyo saber probado deposita su confianza: maeseAlbert, oriundo de cualquier parte del mundo. (Colón se hace con gracia a un lado, acentuando con su caravaneo

la presentación dulce de la reina. Albert empieza a mostrar interés en ella, quien concluye.) ¿Fernando, esposomío, seríais tan bondadoso de escuchar sus razones?

FERNANDO (sigue contemplando a la reina, pero el silencio le recuerda que le toca). —Mhh. ¿Bien?



ALBERT. —Sí. Bien. ¿Y usted?

FERNANDO. —También, gracias... (la serenidad con que lo enfrenta maese Albert le ayuda a retomar el hilo).

¡Ah! Sí: que dice este tío que la Tierra es redonda como una naranja.

ALBERT. —Sí, es posible.

FERNANDO. —Pero hombre, que digo yo que si fuese redonda, rodaría.

ALBERT. —Pues sí, lo comprendo. Ha visto que todo lo que sube, o que se suelta, baja tanto como le es posible;

ha vivido siempre sujeto al influjo de una dirección implacable, arriba-abajo, la vertical. Y en su idea de "rodarse"un cuerpo se desplaza en esa dirección, ¿o no?

FERNANDO. —Sí. (Interesado, al sentirse expresado.)

ALBERT. —Pues bien, la dirección vertical es más que absoluta, relativa. La vertical en Castilla no tiene por quéser la de Alejandría: es una dirección que depende del punto de la Tierra en el que estemos. En este cuarto,"abajo", "caerse", "rodarse", tiene sentido, y eso nos permite edificar palacios, aquí y en todas partes, midiendo lavertical por la plomada. Pero a nivel de toda la Tierra, "arriba" y "abajo" pierden su sentido. Por tanto, su objeciónes intrínsecamente incongruente: presupone absoluto algo que sólo es relativo.

FERNANDO. —... ¿Ah? (Anonadado. Sin entender nada, como el resto de la corte.)

COLÓN (pasando a la ofensiva y sabiendo que Albert ha dado por concluida la cuestión). —¿Maese Albert,sería tan amable de explicarnos un poco más a fondo su teoría?

ALBERT. —Claro que sí, Cristóbal, vieras cómo he avanzado en estos meses que has andado cortejando...

COLÓN. —¡De cortesano, Albert! Y explícale a Su Majestad.

ALBERT. —Bueno... —¿Le interesa la forma de la Tierra?

FERNANDO (asiente, dudando, volteando y encontrando apoyo en Isabel). —¿Sí?

ALBERT (pausado y reflexivo, como si fuese la primera vez que expresara en palabras sus ideas). — Yo soycartógrafo. Mi noble y ancestral oficio es describir la Tierra: he trazado las cartas de continentes, reinos,comarcas, ciudades, bahías y catedrales por ser. A veces formo con cartas escogidas pequeños atlas que entrego amis benefactores (leve caravana a Colón). Pero puedo decir aún más. Que todas mis cartas, junto con las de todoslos cartógrafos que han existido, el trabajo entero de mi oficio, en cuanto a descripciones locales de una mismarealidad, forman un solo Atlas. Y ese Atlas aún está incompleto. La Tierra no ha sido descrita globalmente puesquedan puntos no incluidos en nuestros pergaminos. Supongamos, en concordancia con la experiencia milenariade mi oficio, que de cada pequeño lugar se puede dar cuenta en una carta; que ese Atlas existe, aunque le faltensiglos para hacerse una realidad tangible. ¿Qué podemos decir sobre la Tierra? ¿Que es plana? Con los datosvertidos, puede ser, pero también puede no ser, pues la planaridad, ser descriptible localmente en pergamino,vuelve a ser un concepto relativo, como el de arriba-abajo.

La Tierra puede ser perfectamente una esfera y describirse en un pequeño folio (toma, imaginariamente, un gran

libro entre sus manos y luego cachetea una esfera) que se detallará con el resto de nuestro trabajo (golpea su

morral repleto de pergaminos). La tierra puede ser redonda, como ya los antiguos griegos habían imaginado, y serdescrita en un Atlas.

Pero también, siendo estrictos con el razonamiento, puede no ser esférica. Recién caigo en la cuenta, debido aestos meses en que se me ha concedido tiempo para el espíritu (busca comprensión en Colón, y se conforma, al

descubrir de inmediato su nerviosismo, con la atención de Fernando).

¿Se da cuenta? No necesariamente es como le aseguraba yo a Cristóbal. Sin faltar a la experiencia de mi oficio,aseguro que hay aún —mientras el Gran Atlas se concluye— muchas tierras posibles: pudiera tener chipotes tangrandes que dejaríamos de percibirlos (manipula en el aire un sólido inexistente); o bien (acariciando una

superficie complicada con sus manos), pudiera conectarse, más allá de lo conocido, con otra gran masa, que a su



vez se conecta con otras; o podría tener agujeros, sin dejar de ser relativamente plana. Sin embargo, creo podercontrolar su complicación con lo grueso del Atlas que la describiría, dando lugar a una teoría muy interesante enla que estoy trabajando. Si le interesa, luego le platico con calma.

Pero regresemos al caso concreto de la Tierra, incorporando a nuestro análisis nuevos datos: los astros, objeto deestudio de otro respetable oficio. Su movimiento relativo inmediato, el día y la noche, se explicanimpecablemente si se pone a la Tierra a girar como trompo y se la convierte en uno más de ellos; pero entonces sumasa se verá sujeta a lo inevitable de este movimiento, obligándonos a tomar preferencia por Tierras con simetríarotacional. Reduciendo, al menos intuitivamente, nuestras posibilidades a...

Nunca se habían visto Albert y Cristóbal tan aislados de la corte; la corte tan compacta en su cuchicheantedesaprobación. Hace tiempo que sólo Fernando mantiene la atención, pero nadie más que él ha permanecido al

margen de los sucesos, mucho más graves, que explican la interrupción que aliviará la tensión acumulada. El

nerviosismo de Colón, al ver que Albert va por caminos inesperados, se concentró en una mirada dirigida a

Isabel. Ella responde, cuestionante. Entablan un diálogo silencioso cuya intensidad es captada por el obispo,

quien se secretea con su vecino mientras mira alternadamente a Colón e Isabel. El vecino hace lo propio, y cunde

el chisme más rápido que la voz por la lluvia de vistazos que cae sobre nuestros héroes, trenzados por los ojos.

Isabel, nunca Colón, se percata de su indiscreción. Se sonroja sin que llegue a notarse, pues el inminente

movimiento del obispo la obliga.

ISABEL. —Maese Albert... (su voz, profundamente suave, y contrapunteando justo lo necesario sobre la de

Albert, restablece el silencio en la corte, cautivando para sí la atención) ... ¿me permite interrumpirlo?

ALBERT (pasando distraídamente de un sueño a otro, embelesado). —Por supuesto, mi señora.

ISABEL. —Fernando, esposo mío: habéis oído a estos buenos hombres que van en pos de un sueño. Lo único quepiden de ti son tres carabelitas. Ten por seguro que nunca se pondrán en contra tuya, que son honestos. Lo peorque puede pasar es que en su empresa pierdan la vida, que nunca más regresen a esta corte. ¿Qué piensa usted,señor obispo? ¿Ustedes, ministros y nobles amigos míos?, ¿les concedemos esa gracia?

Asienten, algunos como hipnotizados, pero tomando confianza mientras más cabezas se mueven en su vertical.

FERNANDO (contento, marcando orgulloso la cercanía). —Como tú digas, Isabelita... (aliviado: ha dado una

orden).

La corte se distiende en múltiples conversaciones, una de ellas, selecta, alrededor del trono. Albert la observa, ha

quedado solo y su distracción podría ser tristeza.

NARRADOR. — Acerquémonos a él. ¿Maese Albert, sería tan amable de explicarnos eso de que son varias lastierras posibles?

ALBERT. —¿A usted le interesa? Sí. Sí, cómo no. Pero ¡qué mujer!, ¿verdad? (se toma su tiempo para

resintonizar el canal). Ah, sí: decía yo que creo, aunque no acabo de ver toda la demostración, que lasposibilidades más fuertes son la esfera y... mire, por aquí debo traer un dibujo. (Busca entre sus pergaminos y

desenrolla algo así como:)



Figura 1.

Vea usted. Un gran hoyo redondeado en el eje de rotación, una rosca. Concuerda bien con las observaciones

astronómicas y no veo razón para desecharla. Y ¡se imagina! Las condiciones del hoyo serían diferentes a lasnuestras, a lo mejor ahí hasta podríamos volar. Pero tampoco serían tan distintas; con el eje inclinado, tendríamosnoche y día, además de condiciones climáticas similares, aunque habría que trasladarse de norte a sur conforme alas estaciones. ¡Es maravillosa la posibilidad de encontrarse ahí con otros seres! De que viajando siempre hacia eleste regresaría uno por el oeste, no me cabe la menor duda: Colón tendrá éxito. Pero ahora lo que me interesa esviajar al norte o al sur, hacia el eje: quizás ahí descubramos un nuevo mundo interior, conviviendo paralelo alnuestro...

El ruido cortesano hace imposible la conversación. Colón ha vuelto a tener amigos jubilosos que pasan

enérgicos a través de nosotros, llevándose, entre ellos, al cartógrafo que desaparece al reintegrarse incógnito al

espacio relativo del tiempo.

Transcurren cinco siglos hasta este instante, y nos preguntamos en qué momento dejó de ser posible la fantasía demaese Albert: ¿cuando Newton desarrolló la mecánica y la gravitación universal?, ¿cuando alguien creyó llegar aun polo? o ¿cuando un satélite nos transmitió su carta? En fin, la Tierra se redondeó hasta hace menos de lo quecreíamos.



5. PLANOTITLÁN

Donde se reseña y autoctoniza a Flatland, novela clásica de Edwin Abbott, pionera de la fantasía geométrica,

aventura multidimensional que se atrevió a sugerir, en 1884, que quizá vivamos en más de tres dimensiones.

MR. A. SQUARE, como su nombre intocable lo implica, es un ser común y corriente, clasemediero clásico, singran talento para nada en especial, aunque hay que admirarle que realiza su trabajo, enseñar matemáticas, congusto, dignidad y quizás hasta pasión; siendo además reconocido por su sociedad. Su vida plácida y su mentecuadrada se ven alteradas violentamente por sucesos tan fuera de lo común que se siente obligado a relatarlos enel libro que traemos entre manos. Empieza describiendo el orden social y físico del mundo en el que vive,Flatland, con la candidez del que cree fielmente en su naturalidad, del que duda poco de la justeza o de laracionalidad de las reglas o leyes que oficialmente lo rigen. Y es a través de su ingenua descripción de un mundoy una sociedad limitadísimos que acabamos encariñándonos con este ser tan falto de visión crítica, tan cotidiano,tan cuadradote, tan criticable y tan cercano a nosotros. Y entonces relata su aventura.

En el año nuevo de un fin de milenio, poco después de un sueño y un incidente premonitorios, al reposar la cenaen la soledad de su biblioteca, se le aparece un ser magnífico. No quiere creer a sus ojos, ante los cuales sematerializa, cambia de forma, crece y decrece este ser extraño. Dice vivir en un mundo con una dimensión más,que puede ver todo de un golpe, los interiores de las casas y de sus habitantes, sus pensamientos, y que viene a

revelarle los secretos, el evangelio, de esa dimensión extra. Entablan entonces una discusión sobre lasdimensiones. Square se enterca en que no puede haber más que aquéllas del mundo en el que vive. Y por su parteel extranjero, que se llama a sí mismo Sphere, procede racionalmente por analogía: habla de un mundo dedimensión cero, el punto; de un mundo con una dimensión, la línea, al cual Square acaba de visitar en sueños; delmundo de dos dimensiones, hábitat de Square, e infiere de estos ejemplos algunas propiedades del espaciotridimensional y de los cuerpos que, como Sphere, lo habitan. Al negarse Square a creer en la existencia de unadimensión más, Sphere pasa a los hechos. Se desvanece (ascendiendo un poco sobre el plano de Flatland), aunquesu voz siga audible —"parece provenir del corazón", siente Square—, saca objetos de cajas cerradas (simplementelos toma desde arriba), que reaparecen en otro lado, y llega inclusive a tocar las entrañas del aterrorizado Square,quien, encolerizado por los "trucos del mago", se abalanza sobre él en cuanto reaparece, armando así unescándalo. Sphere, entercado como está en demostrar la existencia de la tercera dimensión emplea su últimorecurso. Desprende a Square, como calcomanía, del plano en el que vive, de su mundo.

Square queda a merced de Sphere, que lo guía en este "extraespacio". Observa su mundo desde "arriba" con unamirada que comprende todo, interiores, exteriores y límites. Le son presentadas las maravillas de los"extracuerpos". En una experiencia mística y gozosa, reconoce en Sphere a una divinidad. No habiendo conocidomás que círculos y habiéndolos visto, además, sólo de canto, se postra ante la magnificencia de una esfera yasimila su evangelio. (En este punto el libro alcanza su clímax literario, pues el autor Edwin Abbott es, además dematemático aficionado, teólogo de profesión.) Pero no solamente lo asimila, sino que lo lleva a sus consecuenciaslógicas. "Por analogía —le reza a Sphere— como tú, Maestro, me has enseñado, debe existir un Universo aúnmás amplio, el de las cuatro dimensiones; y sólo tú, Señor, que todo lo sabes, puedes llevarme a él. Apiádate demí, muéstramelo aunque sea sólo un instante. Sphere, ante esta subversión rampante y absurda, se enfurece yregresa al irrespetuoso Square a su plano de origen. Y aquí, al tratar de convencer a sus coterráneos del evangeliode la tercera dimensión, éste es reprimido. Condenado a cadena perpetua, escribe sus memorias desde su celda,

sufriendo el drama de dudar cada día más de sus ambiguos recuerdos, de sus visiones y de sus descabelladosrazonamientos.

La trama de Flatland no podía ser más clásica. El iluminado que es sacrificado por el statu quo. Sin embargo,Abbott introduce un elemento novedoso. Aunque el libro esté escrito en primera persona, por Square, el lector nopuede más que identificarse geométricamente con Sphere, que comparte nuestra dimensionalidad, y vemosentonces el mismo drama pero desde el punto de vista de los dioses que hacen contacto con los seres inferiores.En el momento en que Square nos pide que le mostremos la cuarta dimensión y que lo llevemos a ella, sentimosque su súplica nos trasciende, haciéndose nuestra. Y ante esta insubordinación del planosapiens, del vil cuadritoque obviamente requiere de nuestra imaginación para su "vida'', Sphere actúa como ser humano,desentendiéndose del monito, untándolo de nuevo en su Planotitlán; dejándolo a merced de sus congéneres que secomportan como tantas veces lo hemos hecho en este otro mundo¿ t r i d i m e n s i o n a l ?



8. SOÑATA EN TRES TIEMPOS Y CUATRO ESPACIOS

(con dos intermedios)

The ball I threw while playing in the park

Has not yet reached the ground.

DYLAN THOMAS

TIEMPO I: FLOTAR

INTERMEDIO

TIEMPO II

1. AGORAFOBIA

2. CLAUSTROFOBIA SEGUIDA DE UN REVIRE A LA CAVERNA EN TENIS

INTERMEDIO

TIEMPO III EL MAGO DEL DODECAÉDROMO



TIEMPO I: FLOTAR

ESTO no es volar y tiene que tener nombre. Me gusta "flotar", aunque sea bien distinto de flotar de muertito o deperrito, porque no hay que mover nada ni ponerse como tabla preocupado de que no se hundan los pies o de quese meta el agua por las narices. "Flotar", así solito, está bien. Se parece a volar, pero no es lo mismo. Otros niñosy niñas también saben volar, pero yo de flotar nunca había oído. A veces platicamos en secreto de volar, de cómole hacemos y de lo bonito que se siente. Cada quien vuela un poquito distinto, y no sabemos decir bien bien cómose le hace, cómo se empieza; igual que tratar de explicar cómo se duerme o cómo se sueña. Pero no importa,porque sabemos que sabemos y es fácil agarrar a un hablador. Yo vuelo casi siempre para escapar de algúnpeligro, de alguien que me persigue o algo así. Hay que dejar de correr, estarse quieto, cerrar los ojos y, diría ungrande, concentrarse, pero es mucho más fácil que eso, sólo como volver a saber de a deveras cómo se vuela,recordarlo y vivirlo, y estar seguro, no asustarse, y entonces ya estás elevándote, despacito. Ya puedes volver aver el piso allá abajo y a la gente que se quedó o que te perseguía, aunque no están muy lejos porque nunca sevuela demasiado alto. Ya que estás a la altura, hay que empezar a mover las manos para avanzar. Se muevencomo cuando se nada de ranita, pero mucho más suave y delicado, pues el aire es más aguado que el agua y hayque saber sentirle su espesito, para agarrárselo y así empujarse, deslizarse, de a poquitos; no es cosa de fuerza, escalmadito. Ya no se oye igual, y casi siempre lo que estaba pasando ya no importa porque ya estás volando,encimita de los árboles o de las azoteas, como acostado bocabajo y muy tranquilo, sintiendo rico. A Supermán lohan de haber inventado unos señores que nunca volaron, porque sólo sirve para jugar despierto con tus cuates y

para volar de a mentiras, porque volar de a de veras es bien distinto, así como lo cuento. Y por eso digo que estose debe llamar flotar, porque tampoco es volar. Nunca me había pasado.

Esta vez, lo único diferente fue que quise volar así nada más; antes de que pasara nada, antes de que mepersiguieran o de que estuviera en el parque o en una azotea. Sólo quise volar. Antes que hubiera piso. Y entoncestuve que cerrar los ojos muy fuerte y mucho rato; hasta estar bien seguro de que estaba volando. Movía los brazosmás despacito que de costumbre, no fuera a ser que anduviera muy alto pues no sabía bien si estaba elevándome osi ya estaba panza pa'bajo. Revisaba con cuidado lo que sentía y no había duda, era la delicia de volar. Reconocíatodo mi cuerpo —con ese gusto de regresar después de mucho tiempo a mi lugar secreto, en casa de los abuelos,para encontrarlo igual—, tratando de olvidar el miedito a saber en dónde estaba yo y en dónde el piso. Me quedécon los ojos cerrados un momento más para saborear lo agrito de estas dudas, como cuando te quitan la venda dela gallina ciega y te aguantas con los ojos cerrados un instante para ser tú, cuando los abres, el que regresa al

cuarto junto con todas su cosas y sus gentes, al lugar que se les había perdido.

Abrí los ojos. Estaba en un lugar donde nunca había estado. No distinguía bien, y seguía sin saber dónde era elpiso. Miré mis pies. Pero al sentir que la pared —digo pared porque no era ni techo ni piso— se movió siguiendoa mi cabeza, cerré los ojos. ¡Volaba! Estaba bien seguro cuando volaba. Empecé a mover los brazos haciaadelante para girar hacia atrás buscando el jalón del piso, pero aunque diera vueltas, me sentía bien sin sentir elabajo. Recordé entonces las paredes, redondas y de color... ¡Claro! Estaba en una caverna. Acabo de ir a las grutascon mi papá y ésta no era gruta porque le faltaban los chorritos y las lamitas. Tampoco era cueva porque conozcodos, y una está llena de murciélagos. Seguro que era caverna, aunque fuera la primera vez que estaba en una.Sería una caverna como del tamaño de mi salón ¡no!, era más alta, como de dos salones, uno encima del otro, nitan grandota como las grutas ni tan chica como mi cuarto; como son las cavernas, pues. Me dio risa pensarmedando vueltas de tonina, para atrás y hecho bolita, mero en medio de una caverna redonda. Pero al acordarme que

las cavernas son oscuras, abrí los ojos de golpe. Vi mis rodillas, y cómo las abracé por el gusto de verlas. La luzestaba prendida. No había problema. Flotaba.

Tenía que investigar mi caverna. Pero ahora con mucho más cuidado, sin mover la cabeza. Muy despacito yfijándome bien, subí los ojos de las rodillas a la pared. Era la misma de hace rato. Muy rara. Color cafecito, perocomo nebulosa o borrosa. No la entendía porque no me podía fijar enfrente. Tenía unas manchas... cuatro, muyparecidas. Las de los dos lados, casi donde ya no ve uno, se veían mejor, eran unas manchotas de color comorosita. Moví los ojos hacia una, pero con cuidado de no llevarme también la cabeza. Cerré el ojo que menos meservía, porque no todos pueden cerrar un solo ojo y yo sí puedo; y también sé hacer taquito la lengua, aunque megustaría saber mover las orejas. Y entonces, vi más claro. La mancha era una orejota. Me ganó la risa. De verasque era una orejota al revés, lo de arriba para abajo y volteando hacia atrás. Como cuando te levantas, yamareadito, después de un rato de estar colgado de cabeza en la changuera, esa pirámide inmensa de tubos rojos



donde no hay más que niños, y al voltear la cabeza vas viendo el pelo de uno que sigue colgado y luego su oreja.Ahora la veía muy bien, era grandotota porque estaba pegada a la pared, y también el pelo que era lo de enfrente.Pero no se colgaba como en la changuera. Quién sabe cómo aguantaba peinado para arriba, tan grande y sincaerse, y curveado como en cazuela, no como coco, para poder hacerse pared de caverna. Moviendo el ojo paraabajo pude ver que el piso seguía como debía de ser, de pelito, más bien de pelote; ahí estaba la raya. Seguí, y alsaltar mis rodillas con la vista, moví sin querer la cabeza; de nuevo sentí, cuando empezaba a fijarme en el pisodel otro lado, que se movió todo muy rápido, pero esta vez no me asusté, sólo me apreté muy fuerte. Aguanté unmomento, y con mucho cuidado regresé la cabeza para enfrente; despuesito, igual de despacito, me siguieron lasorejotas junto con la caverna. Estaba todo como al principio. Abrí el ojo. Se volvió a nublar. Cerré el otro y sevolvió a aclarar. Ese lado era igual, pelo con su orejota hacia abajo y hacia atrás. Abrí uno cerrando el otro

muchas veces y variando la velocidad; los que no saben cerrar un solo ojo tienen que taparse con las manos yentonces ya no les quedan dedos para verlos y jugar a ver cómo brincan las cosas de lugar: mientras más cerquita,como un gordo, brincan más. Pero esta caverna, con su pared, sus ricitos, sus orejotas y todo lo demás, le ganabaal dedo pero fácil. Cada vez podía fijarme mejor en el mismo rizo o hacer que se quedara mi mano en su lugar.Hasta que me dolieron los ojos, pero qué bueno porque para descansar tenía los dos abiertos. Ya sabía ver en micaverna.

Quería ver la pared de atrás, volteé rapidísimo, y le alcancé a ver la cara, como la que aparece cuando te asomas auna de esas cacerolas brillantes que cuidan las mamás y te la quitan. Miré otra vez, y otra y muchas más. Para losdos lados primero, y luego para abajo y para arriba haciendo machincuepas cada vez más complicadas a ver si laengañaba, pero nunca se equivocó. La caverna sabía jugar a "lo que hace la mano hace la tras" como nadie.Siempre me ponía enfrente a la pared peluda y cada cosa que yo hacía, ella la repetía un instante después pero asu manera: si yo ponía una mano detrás de mi cabeza, aparecía su manota por el otro lado y se pegaba a la pared.También tenía pies, colgaban del techo, junto con un cuerpo que se hacía gordote y, poco a poco, se volteaba alrevés, como calcetín, para hacerse pared de caverna, el pelo adelante y abajo de mí, la cara atrás; la imagino comoun globo con el nudito, que era su cuerpo, para adentro, y conmigo flotando mero en medio. Para verle el cuerpotenía que juntar, bueno, acercar mi cabeza a mis pies; por atrás, le veía sus pompas y cómo repetía, despuesitopero igualito, lo que yo hacía. Si movía un pie, ella movía el otro, y así con todo; lo más bonito era hacerla pegarsu mano a la cabeza y ver cómo crecía hasta tapar casi toda la pared, o hacer viboritas y ruedas con la cabezaviendo cómo toda la caverna iba atrasito haciendo la tras; pero ¡qué mareadas! No podría verle su cara más de uninstante pero seguro que era la mía, vista en cazuela y de cabeza, porque hasta la ropa, los zapatos y los pelos erancomo los míos.

Después de tratar un par de veces, me di cuenta de que no iba a poder llegar a tocar la pared, porque la caverna semovía detrás de mí y hacia el mismo lado. Se me ocurrió una idea. Busqué en mis bolsillos. Traía mi pelota deesponja y no demasiado mascada. Si la aventaba, la caverna tendría que decidir entre irse con ella o quedarseconmigo. Seguro se quedaría conmigo: yo era más importante. Pero había otro problema. Si la aventaba quedito, alo mejor se enredaba en los pelos, o rebotaba mal, dándole tiempo a la caverna de quedarse con ella. La aventaríamuy duro (no era tan malo para el frontón). Lo hice, apuntando al centro, y entonces, antes de que viera a lapelota rebotar, ¡zas!, sentí un pelotazo en la cabeza; volteé y lo mismo, la pelota yéndose despacio, y cuando seempezaba a hacer grandota, ¡cuaz!, otro pelotazo; volteé otra vez y ahí iba la bola, igual... y ¡sí!, otro bolazo, peroesta vez me lo aguanté, bien apretado, y esperando un pelotazo encogido con las manos enfrente: la caché. Mepude sobar.

Revisé mi pelota. Pensé un rato. ¡Claro!, se me había olvidado su hacelamano-hacelatrás. Me puse la pelota en la

cabeza y la caverna me enseñó la suya: del mismo color y con las mismas marcas, pero grandotota y apachurraday curveada como plato. Tenía que jugar con la caverna, confiar en ella, acoplarme a sus trucos.

Aventé la pelota. Esta vez más despacio y sin apuntar al centro; me volteé rapidísimo y ahí venía la suya: lacaché. Ella también, porque nos las enseñamos, yo se la ponía en mi cabeza para que sus ojos la vieran, ella me laponía enfrente. Revisé su pelota, que ahora tenía en mis manos, era igualita, o a lo mejor era la mía, después delos pelotazos no sabía, tampoco importaba. Jugamos mucho rato con las pelotas hasta que dominamos el juegocomo magos. El chiste era esperar la bola justo donde la soltaba pero viniendo del otro lado. El tiro más difícil erahacia abajo y duro, pues llegaba por arriba y te podía pegar en la cara al voltear a cacharla. Pero también habíatiros bonitos, como ese de niñita, por debajo y despacio para poder ver la curva increíble que hacía la pelotasiguiendo la pared, sin acercarse mucho, hasta caer en las manos de la caverna un instante después de cachar yo lamía, juntito a las rodillas, llegando por detrás, y sin ver. Si lo vieran mis cuates no lo creerían; nunca me había



salido un buen chanfle. Tiré la bola y me alejé un poco. Dejé pasar la de la caverna, siguió el mismo camino y aldejar de verla aparecía la otra por el otro lado, daban vueltas solitas pero bien separadas. Me fui alejando hastaque parecieron mayates amarrados por un hilo, pero yo no hacía nada, sólo veía cómo pasaba una y al perderse devista salía la otra... ¡como luna!, pensé, al verle ese cráter mascado; pero la siguiente salió sin cacarizas, y luegootra vez con, y así: sin, y con, y... no sé, creo que me quedé dormido.



INTERMEDIO

—... Y es así, amigos telescuchas, como concluye "'Flotar", acto primero de la Soñata en tres tiempos y cuatro

espacios cuyo estreno mundial transmitimos hoy, en vivo y a todo color por XFCE, desde la ciudad de México.

Agradecemos la atención que nos prestan, invitándolos a permanecer con nosotros durante el intermedio. Pues,mientras el público presente en la sala se despabila un rato, tendremos la oportunidad de charlar con el asesorescenográfico de la obra, quien amablemente nos acompaña en representación del escritor. Bienvenido pues, anuestra cabina, señor... ¿mh?

—Br....

—¡Bracho! claro. Muy buenas noches.

—Buenas.

—Bien. Para entrar en materia, ¿podría usted hablarnos acerca de su formación como escenógrafo?

—...Mh... (gesticula, balbucea, hurgando con sus dedos en la barba; algo en la situación le incomoda)...

—... ¿Hablarnos de, por decir algo, su inicio en la escenografía?

— Mire usted: en realidad yo no soy escenógrafo.

—¿Cómo?

—Sí, yo no soy escenógrafo.

—Pero, es que aquí debe haber algún malentendido. Según mis indicaciones, y el programa, usted...

—Sí, sí, no se preocupe. Soy quien usted cree que soy y quien debe de ser, mas no escenógrafo: mi profesión es lade matemático.

— Ahh.... ... mire nada más, ¿y entonces?

—Lo de "escenógrafo" salió de mis apuntes a la Soñata, la base de la obra, y ahora, si me permite, voy a hablarcomo matemático y de matemáticas.

—Eso sí que no. Me disculpa, pero el señor escritor me explicó qué preguntarle y cómo ayudarle...

—¡Discúlpeme usted! Compañerito, no necesito su ayuda. Al susodicho escritor lo invité yo a este proyecto. Ynada más me faltaba, después de todo el espacio que ha robado, dejándome a mí —el de las ideas— comocomercial para los pinches intermedios; que ahora tenga el descaro de mandarlo a usted con sus entrevistitaspendejas. ¡Carajo! ¡Si el que firmó el contrato con el Fondo fui yo! Así que...

—¡Óigame! Bájele al tono, ¿no ve que estamos en el aire? Nos vayan a censurar. Además, mire, aquí en elprograma dice clarito que yo debo entrevis... ay, perdón, in-tro-du-cirlo: ¡a ver! cámaras y micrófonos, apuntenadonde señale el señor:

Apuntes del escenógrafo 1

(NOTAS GENERALES)

EN LA Soñata mi labor es esencialmente la de un escenógrafo. Yo defino el espacio escénico y los efectosespeciales. El escritor y sus personajes (hasta el momento, el niño), tienen que ceñirse al entorno que yo dicto: y,a su vez, cuando ellos actúan impulsivamente por su cuenta, yo debo interpretar cómo afectan la escenografía ysometerlos, en consecuencia, a los efectos de sus actos. Pero mis decisiones no son tomadas por iluminación



segundo término el prurito de simular la física elaborada. Pido por esto disculpas a los físicos. Sin embargo, esreconfortante redescubrir que guiado por simples cuestiones de estética, de sentido común o de intuiciónmatemática, llega uno a símiles armoniosos de la física del Universo real que uno cree entender. Esto no debesorprender, pues las leyes e hipótesis físicas que rigen a los universitos de la Soñata (así como las de a de veras,según entiendo al señor Einstein) están supeditadas a, dictadas por, la geometría. A fin de cuentas, un geómetraes, quizás, alguien con mente de matemático y corazón o sensibilidad de físico.

Pero seamos más precisos.

APUNTES FÍSICOS

Las hipótesis físicas que surgieron en el proceso de creación de la Soñata y que fungieron como axiomas paradeducir los fenómenos que se relatan, básicamente son:

Volumen fijo y cómodo; es decir, el volumen de un universito es aproximadamente el de un cuarto de juegos paraun niño o el de un estudio amplio, por lo acogedor, para nosotros; digamos que es el de este cuarto, donde el autorescribe o donde el lector muy probablemente lee. Salvo en la escena de la contracción (pasaje que vendrá en elpróximo Tiempo), este volumen es fijo.

La materia presente en cada universito, y en todo momento, es únicamente el cuerpo del personaje (claro, con laropa y accesorios que requiera) y el aire que lo rodea (con el espesito exacto para desplazarse con comodidad).Las leyes que rigen a esta materia son, salvo por la ingravidez (pues todo flota), aquellas con las que convivimos

todos los días, es decir, las leyes de Newton en su versión popular. Hay que subrayar que el movimiento inercialde los objetos (la pelota, por ejemplo) corre a lo largo de las geodésicas del espacio (las trayectorias mínimas queunen a los puntos) y en su primera aproximación, es decir, sin considerar fricción o gravedad.

LA LUZ

Su emisión. En vez de que la materia refleje una luz ambiental (como en este cuarto), suponemos que cadapartícula, o mejor dicho, que cada punto del universito está emitiendo su propia luz. Además, suponemos que laemite en la frecuencia y con la intensidad con que la reflejaría su equivalente en este cuarto agradable yhomogéneamente iluminado. De tal manera que no tenemos que meter y prender un foco en el universito para quela retina del personaje reciba estímulos interpretables por su cerebro. En particular, nótese que el aire, aunqueespesito, resulta transparente, y los objetos cercanos (las manos, por ejemplo) se ven normalmente aunque sin

sombras.

Su propagación. La luz viaja por las geodésicas a una velocidad constante c. De cada punto en el universito,

digamos p|∈|U (léase " p en U " y piénsese por ejemplo en el centro de una uña), salen rayos de luz en todasdirecciones y en cada momento. Un estímulo luminoso, llamémoslo e , constará entonces de un punto p , una

dirección d que sale de él y un tiempo determinado t. Podemos escribir e = ( p, d,t,ζ), donde ζ representa alresto de sus cualidades que en estudios más detallados pudieran ser útiles, por ejemplo color e intensidad, oinclusive podría representar algún estímulo no luminoso, sonoro quizá. Sin embargo, obviaremos esta

información extra, dejándolo entonces como e = (p, d, t). Este estímulo luminoso se propaga por la únicageodésica por p con dirección d y a velocidad constante c. Si (en el ejemplo) d apunta hacia adentro del dedo, e tendrá una historia efímera, pero si apunta hacia afuera, viajará más tiempo y quizá corra con mejor suerte.

Su recepción. Sea o el punto donde se aloja el centro del cerebro de nuestro personaje (que bautizaremos como

ΩTo para dibujarlo , aunque en realidad la o viene de la jerga matemática como pnemotecnia de "el

origen"). Por convención, o es el único punto de U que puede percibir estímulos, recibiéndolos en un tiempo

determinado. Donde, recibe a e = (p, d, t) en el tiempo t0 si y sólo si saliendo de p hacia d con velocidad

constante c , llegamos a o en un tiempo t0 - t. Obviamente, ΩT o sólo procesa algunos de los estímulos que

recibe (los que lleguen por enfrente, que no hayan pasado por algún objeto material pero que vengan de uno, etc.)para así percibir, hacerse una imagen, de su entorno. (Ahondaremos más adelante en la fisiología de este procesoal tratar la óptica tridimensional en el espacio proyectivo.)



Su velocidad: perceptible. Es decir, la luz viaja a una velocidad que razonablemente puede manejar quien la estápercibiendo, el personaje. En nuestro caso, la luz atravesaría este cuarto en algo así como uno o dos segundos,poco más o menos; no hubo necesidad de precisarlo. (Este axiomita, instituido a iniciativa estética del escritor,nos llevó a decretar que el sonido, es decir, un estímulo sonoro, viaja aún más lento, aproximadamente a la mitadde la velocidad de la luz.) ¿Puede el lector afirmar si al jugar el niño en la caverna con su pelota, ésta rebasó, o no,la velocidad de la luz? En caso negativo, ¿con qué datos podría ser concluyente? Es decir, ¿cómo saber si lapelota rebasa la velocidad de la luz? ¿Qué pasaría?

Queda claro que en las hipótesis que rigen el comportamiento de la luz es donde nos apartamos más de la física

cotidiana. Sin embargo, haciendo el símil del universito con el Universo real, más que con este cuarto, resultan serno tan descabelladas. La velocidad de la luz es conmensurable con el radio del universo y en él los objetos sedejan ver. Aunque, insisto, nuestros móviles para adoptarlas fueron estéticos, pues rigen a la Soñata en cuanto aefectos visuales se refiere e influyeron, además, considerablemente en su ritmo; mismo que —dice el escritor—ya hemos violentado demasiado. Regresemos, pues, a la juventud de la Soñata —a menos que el lector prefieraescudriñar antes las "Notas particulares", donde este rollo continuará en el siguiente intermedio.



TIEMPO II

Because the wind is high

It blows my mind

Because the wind is high.

LENNON-McCARTNEY



1. AGORAFOBIA

(Allegro ma non tanto — Poco adagio)

NO SÉ mucho del tiempo que pasó hasta el momento aquel en el que otra vez creí volar; yo había cambiado, ydesde mi infancia renegada irrumpía de repente la nítida sensación del vuelo. Pero no, flotaba, me lo decía esemiedo "agrito" a abrir los ojos, a saber dónde estaba.

Abrí los ojos. El golpe de soledad de un vacío oscuro se diluía en la vaga intuición de ver mi cuerpo, cuando notéa un chavo arriba-a-mi-derecha. Traía mi uniforme, de espaldas, con las suelas de sus tenis al aire, igual que yo,flotando. La duda de cómo no había visto en el primer momento a ese otro cuate, abajo-a-mi-izquierda, que se ibaesbozando al dirigirle mi mirada, se esfumó al aparecerse otro, así nada más, ante mis ojos. Vestía como todos losdemás que me rodeaban. Ya eran bastantes pero seguían brotando, cada vez más lejanos, como destellos desdetodas direcciones. Inclusive hacia abajo, que empezaba a jalarme. Tenía que actuar rápido. Caminar, es lo que hayque hacer cuando te encuentras a mitad de una barda bastante alta y volteas hasta el suelo, más bajo todavía, yantes de que te paralice el terror, mejor le apuras a lo seguro donde te observa el resto de la palomilla. Pero nohabía suelo para caminar, ya ni digamos barda. Entonces, pues, ¡marchar y no ver para abajo! Con la fuerza de eseprincipio de "La Quinta", daba la entrada a ese inmenso silencio de marchar sin piso que golpear, en el vacío,cuando el camarada de arriba-a-mi-derecha se movió, animándome así a tararear mientras volteaba a verlo,

marchando a destiempo. Con un brinquillo de ésos de fila de escuela, y pulido en el servicio militar, le agarré elpaso. Los que estaban más cerca marchaban también. Tenía que agarrarme de ellos. Ya se echaban sus brincos,me remedaban. Y no sólo por sus, mis, chamarras roídas o mis huaraches, también traían mi pelo, que enseguidaocultaba perfiles de mi cara y su brinco fue el mío. Era mi imagen y yo la suya. El de arriba-a-mi-derecha tenía,igual que yo, a un remedo abajo-a-su-izquierda que a su vez tenía al suyo y siguiendo esa línea seguía otro y otroy... ahí ése brincaba, y en un momento de angustia, veíamos todos que no se equivocara el que seguía; peroseguían y seguían hasta esos que como yo, ya no se movían, muy lejos, al final de esa línea que se seguíaalargando con sus apariciones y que se continuaba en ese abajo enorme que me estaba chupando. No respiraba.Los de junto, con sus manos crispadas como agarrándose del pasto y sus raíces para no caerse, me infundían eseterror callado de la asfixia. Nos tragaba el silencio del vacío. Pero no, algo zumbaba sobre esa nada, un cuchicheo,un tarareo lejano que se iba apagando. Entonces, ¡cantar!... ¿qué? —a todo pulmón— ¿pero qué? —respíraleduro— pero con un carajo: ¿qué? Pues... ¡"La Novena"!: Te-le-funken oish-trish por-chse tra-va-ritza lí-sium...

Mis contlapaches le habían entrado (pude tomar aire). Se les oía a destiempo, desafinados y en mi voz degrabadora, sí, pero con huevos. Le entré con lo que salió como siguiente frase, apoyado esta vez por un buenademán de director. Observé a mi pandilla cercana. Respondieron. Primero el ademán, luego la voz seguida deotras cuatrapeándome el ritmo. Intentar dirigirlos me recordó que flotaba y que podía moverme. Me le lancé alcuate de arriba-a-mi-derecha. Mi ilusión de agarrarlo flaqueó al reaccionar él y salir volando; aunque si me leacercaba, rodeado por la algarabía de una parvada que levanta canturreante el vuelo. Y hubiera seguido echándolelos kilos de no ser por la sensación de que, al acortarse mi distancia a sus pies, se achaparraba. Esto me hizovoltear; los que me seguían se veían más largos y peor aún el de abajo, que además venía más lejos. Se agrandabael abajo. Paré mi vuelo imposible y, mientras frenaba, me eché un Tele Funken completo, hasta el bajo profundo.Poco a poco retomaban sus posiciones mis camaradas; cuatro se alineaban conmigo, giré para que dos fueransubiendo a mis lados y los otros dos enfrente y atrás. Íbamos como formando una tabla gimnástica. Lentamenteascendían en su tiempo preciso a su lugar, su columna y su fila con una exactitud asombrosa y un tanto

desquiciante. Entré con unos chelos-contrabajos; no acababa de agarrar el tono ni de ajustarme al ritmo que meimponían mis mismas frases resonando desde puntos y tiempos distantes. Dirigir, cantar, quitarme la chamarra,mantenerme en acción, me permitía aceptar que arriba y abajo de la mía se formaban sendas tablas gimnásticasrepitiéndose y repitiéndose idénticas; éramos un timbiriche tridimensional de imágenes mías, de yos,extendiéndose en todas direcciones. Agité mi chamarra para ver cómo agitaban las suyas en su justo momento;cómo esta agitación se iba alejando hasta parecer una especie de esfera en expansión, creciendo al cubrirse demás, y más pequeños, azulitos espirales; una onda, una ola que se va. La ola del canto (que de plano no era La

Novena: remedaba a algún final de Sgt. Peppers) se esparcía más lenta, se volvía con el tiempo un continuoindescifrable. Una entrada seca, dura, el contrabajo sobre un piano: repeticiones diferenciadas y precisas en cadapunto del timbiriche, más y más cuanto más lejanas, hasta llegar a formar un eco continuo en fuga, una notasombría resonando patética desde todos lados junto con todo lo que ya habías cantado. Me alejaba de mí, meacercaba al terror. Ahí está. Al acecho, esperando gustoso a que tus oídos, tu mente, tus ojos, se fijen en esa



lejanía que asemeja a tu pasado. Sí, allá a lo lejos, en ese huequito, visto en miniatura como caricatura que teabsorbe, estás tú, volteando para acá, recordándote algo que ya viviste, haciendo justo lo que hiciste hace un rato.¿Cuándo? No tienes ni la más puta idea, sólo un vago recuerdo restándose a esa nada tan vacía que ya ni abajo nipasado tiene. ¡Agárrate! Me quité la camisa, los pantalones, los amarré a las mangas de la chamarra; me faltaba elaire. Agarrando una manga me dirigí hacia el compa de al lado. Él ya hacía lo propio; al alejarse se extendía sucordón, que se movió en mi primer intento, haciéndome fallar y sentir que me iba. Pero al segundo, pepené elextremo de su pantalón. Jalé de los dos lados con una respiración profunda. Volvía el aire. Volvía a tararear, leve,alguna de Bob Dylan: Write a song for me. Justo para no perderme en la imagen de unas líneas de tendedero conCristos intercalados tendiéndose raudas, paralelas y cada vez más lejanas. "A agarrarse de los cuates", iba arecordarme, cuando noté que mis manos estaban más cerca. Jalaba hacia el centro del pecho en el cual, adentro,

sentía algo raro; quizás el dolorcito eléctrico que se continuaba por los hombros era por esa forma estúpida deemplear mi fuerza. Volví a estirar los brazos, retomé prendas y, respirando duro, jalé. Cedía. Tras esa fuerza quese controla al transmitirse por un trapo de brazo a brazo, como al chirriar de un zapato, pero ahora a lo bestia,crucificado y jalando con todo. ¡Cedió un nudo! Siguió un trapazo con estoperoles, precedido quizás de sendosmanotazos a la cabeza. Al encogerme al golpe, vi hacia abajo: mi soledad reflejada en un tenis flotando, en esosbultos de ropa que no se dignaban pender de mis manos para indicarme siquiera si eso era realmente abajo;porque se veía mucho peor. Va de nuez. Con mis prendas en las manos, como al final de una botella en que tetupieron duro, volé de ladito dejando una estela de camisa con chamarra de corbata. Fallé una, y dos, pero a latercera, soltando finalmente el pantalón, logré pepenarme de la chamarra que me tendía el de junto. Jalé con mástiento pues no había revisado el nudo. Nos acercábamos. Había algo más en esa extraña sincronía de fuerzas entrelos brazos extendidos y jalando cada uno de su lado, cediendo en ritmos coordinados que parecían venir de fueray cotinuarse en una línea placentera a través de mi cuerpo. Ya daba la tal la para pasar el nudo. Desde esaposición de señorita midiendo tela por su pecho, lancé el zarpazo para pepenar la chamarra al alcance de mi manofuerte, que trocaba así su manga de camisa por aquella anudada de chamarra. La agarré sintiendo el jalón por elotro lado. Ahora si, éstas sí aguantan, y jalé con todo. Las chamarras crujieron. La línea eléctrica a través de mipecho, que en un sabroso escalofrío se expandía por el resto de mi cuerpo, era ya un hecho contundente. Seextendía un respirar agitado. Quizás ya alcanzaríamos a tocarnos las manos.

Me entró el miedo de que no estuvieran allí; debían ser un sueño que esfumaría con mi torpeza. El horror asentirme completamente solo en este vacío inmenso y absurdo me congelaba como la imagen de dos manos quese entrecruzan sin siquiera tocarse, fantasmagóricas. Pero no había de otra; era necesidad. Acabé de soltar lachamarra. Tendí mi mano a quien, a su vez, volteaba a ver a un segundón, ocultado casi completamente por sucuerpo. Me daba sus espaldas. Pero sabía que por más que me concentrara, que por más que lo repitiera con mi

mente, ensayando inclusive mi peor tono de mando o de súplica, jamás se movería por su cuenta.Giré para mirar a quien, sin destenderme su mano, volteaba hacia atrás.

Alzándola lentamente, acerqué mi zurda; pero, esperando lo peor al sentir su torpeza, concluí de golpe. Agarré, ytambién me agarraron. Volteé. Mi mano fuerte tenía una mano, como mi débil, alrededor de la muñeca. La girésintiendo mi fuerza entre sus dedos, y sintiendo en la pulsera de los míos, al otro extremo, el roce de un giroidéntico, hasta trenzarme entre antebrazos. Con hueso, como las manos que apretaban mis huesos. De carne,como mi carne, ahuecada ese poquito inverso de las yemas. Afiancé. Jalé, echándole todo. Sentí el escalofrío conalgo de alegría... tele funken oish trish... por primera vez. Podría acortar las distancias en las dos direcciones quefaltaban y así disminuir la sensación de espacio abierto que tanto me angustiaba...



2. CLAUSTROFOBIA SEGUIDA DE UN REVIRE A LA CAVERNA EN TEN

(Final en la agujeta)

Se está haciendo tarde

JOSÉ AGUSTÍN

"Yo casi siempre vuelo para escapar de algún peligro...", y ahora estaba en uno serio. La idea de volar era locontrario de lo que estaba viviendo, del mazacote que se había formado y que iba consumiendo, enrareciendo, elaire. Pero para volar debía dejar de sentir en todo el cuerpo réplicas de partes lejanas de mi cuerpo, que, a su vez,sienten lo que deben, el otro lado de lo que yo siento. Mi cabeza entre dos caderas asentándose en mis hombros,mis muslos oprimiendo al abrirlos dos cabezas, untándose de carne como mis cachetes. Respiro sobre unaespalda, y el calorcito húmedo de la cercanía enchina mi columna. Empujo con mis manos la cintura frente a mivientre, y opongo la fuerza del tórax contra las manos que empujan mi cadera, cuyos vellos del dorso se jalancontra mis orejas. Los escalofríos, que en todas direcciones originan los empujones con pies, rodillas, codos oantebrazos que expando contra un cascarón amorfo pero vivo y en asible contorsión, parecen continuarse en laslíneas eléctricas que atraviesan y en la fuerza que oprime, desde todos lados, mi cabeza, aprisionada por nalgasagarradas, espaldas, un pie por ahí y chance hasta un codazo. Empujar no sirve de nada, sólo produce reacomodos

que no alivian el avance implacable de la asfixia, de la pesadez húmeda del aire, de la idea de la muerte, de lamuerte.

—No seas dramático, puedes despertar fácil: hazte pipí.

Pero la humillación de retirarse sin jugar la última carta y una extraña certeza de estar arruinando una oportunidadúnica, de estar fallando en una iniciación, me hicieron desechar la idea de despertar. No, tenía que volar ymantener mi conciencia.

"Sólo como volver a saber de a de veras cómo se vuela... concentrarse, volver a vivirlo." Cierra los ojos. Afloja.Siente a tu cuerpo desde dentro, llega lentamente a sus límites y erízale sus vellos. Deja que el calor que irradiasiga siendo tuyo un momentito más, consérvalo ahí, arremolinado, untado ligeramente, y que sea él quien te vaya

separando de otras pieles. Retrae tu cuerpo. Haz que se apriete la carne a tus huesos para que los nuevos límitessean dados por tu vieja piel, para que puedas liberar el peso que oprimía ese brazo, el cual, al retraerse, vareviviendo su sensación de flotar. Sigue encogiéndote, recogiendo en tu mente tus fibras íntimas al recorrerlas conla tibieza clara de la conciencia. El brazo ya está libre, puede expanderse, muy despacio, sintiendo unosmilímetros delante de él; ahí se esboza algo. Sí, es tu espalda que con un leve arqueo le da paso a tu manosubiendo sin tocarla, haciéndose su espacio, como el resto del cuerpo que expande su coraza y se empieza aextender, relajándose. Evitas, con delicados y precisos contorneos, un par de contactos futuros, anunciados por elcalor de pieles aún lejanas. Una pequeña luz es tu caverna; obsérvala sin prisa, sin verla, sin enjuiciarla; déjalaque te guíe, que se te ofrezca, que te convide de sus olores dulzones, de sus sabores agritos o amarguitos. Te vasquedando en paz al írsete dando momentos que viviste ahí, la sensación nítida de flotar, de que "ya no importanlos que te perseguían".

— Eras tú, bien lo sabías.

Abrí los ojos. Estaba en mi caverna, llena de ese aire fresco, temerario y despreocupado que rodea a la infancia;su bienestar me invitaba a pensar mientras desamarraba y me ponía la ropa que flotaba dispersa a mi alrededor;sentía algo de frío. La pared, con sus orejotas, rodeadas y semiocultas ahora por los pelos, era yo, sin duda. Así como era yo a quien con ansias jalé, aproximé, palpé y, no contento con eso, volví a jalar en otra dirección, y enotra, hasta que acabé apretujándome contra mí mismo consumiendo a mi espacio. Tenía la certeza de que, así como había transformado aquel espacio que se sentía infinito en un marasmo humano de un solo cuerpo —elmío—, yo podría controlar mi caverna, ese pequeño universo que me permitía verme como horizonte. Pero mefaltaba aún aprender a manejarla. Se me ofrecía altanera a través de todos mis sentidos como reto contundente ami entendimiento, al control de mis emociones que, como en la paranoia que acababa de sobrepasar, afectaban,bien lo sabía, el entorno de este viaje increíble.



¿En dónde estaba? ¿Qué tenían en común las dos experiencias que había vivido? ¿Qué leyes nos regían? ¿Cómoera posible que aquello de enfrente fuera mi mano recorriendo mis pelos, que aquel cuerpo que acababa de tocarextendiendo mi mano fuera el mío? ¿Era esta realmente "mi caverna", la de niño? Sentía que algo indefiniblehabía pasado con el tamaño, quizás era sólo que yo había crecido o, al revés, que aunque yo fuera más grande lasentía igual. ¿Cómo saberlo?

Ya no me puse el segundo tenis y lo aventé hacia adelante, despacio y gustoso, no sólo por el recuerdo de mi juego de pelota, sino también por esa sensación de empezar una aventura apasionante. Giré para recibirlo comoantes, sin perderlo de vista, y, a mitad de su viaje, creció, deformándose redondamente hasta casi hacer

desaparecer la pared lateral, y decreció de nuevo, recuperando su forma, para llegar a mis manos en el lugarexacto que mi experiencia en el juego de pelota dictaba, justo donde había empezado; yo, en media vueltaobservando al panorama concluir su movimiento.

Me estremeció la escena. Ésta no era mi caverna. Pero ¿cómo estar seguro? Dejé flotando el tenis y me alejévolando hacia atrás, controlando con mis deslizamientos la manera en que se alejaba: llegaba a un mínimo yempezaba a crecer, a deformarse, contorneándose conforme yo me movía, en algo cóncavo y creciente que nodejaba de ser mi tenis, y así, retrocediendo poco a poco, localicé el punto donde se hacía tan grande que sentí degolpe que se cerraba, se convertía en una pared esférica entre la otra, mi cabeza lejana e invertida, y yo, estacabeza que al girar sin perder su centro puede ver al tenis desde todos sus ángulos, haciendo de su adentroapestoso y de hule un afuera sorprendente de esa caverna-tenis interpuesta justo a la mitad de mí y la caverna-yo;un altorrelieve leve pero perfectamente texturizado de mi tenis sobre el lado interior de una gran esfera. El más

leve movimiento de mi cabeza se veía amplificado orgánicamente y un instante después por la caverna-tenis.Intentando controlar, torpemente al principio, esta relación, logré poner la suela como una media naranja, inmensay limpia de bagazo, a mi izquierda; y a mi derecha, la lengüeta colgando, como oreja de perro, continuando en laentrada como arete blancuzco que culmina con el remache de cinta azul del talón, y abajo, justo entre mis piernas,se extendía —rodeando el eje de mis brazos, perdiendo apenas su armonía de huella estilizada para convertirse enanillo perfecto— la banda de goma lateral. Al subir yo subían también los lados, acumulándose en la bóveda deltecho; me sentí cómodo con la lengüeta retraída arriba y la entrada blanca de toallita mugrosa remedando mioreja, rodeándola a la distancia.

Hacia ella deslicé mi cabeza. Un movimiento extraño me hizo ir más lento. Ahora, el movimiento se percibíamejor en el otro lado: la suela se iba derramando del centro hacia los bordes, que se retiraban más despacio. Veíacon claridad amplificada el dibujo de la suela ámbar polvoso. Una de las viboritas del dibujo se trazaba ya como

gran franja oblicua por casi toda la pared esférica, cuyo centro se convertía en un punto cada vez más discerniblepor la velocidad creciente con que expulsaba a la suela, saltando briznas de polvo como pedradas, paraamplificarse. Hasta que ¡zap! todo cambió de pronto.

Bueno, no todo; el silencio, la suela que seguía estando en su lado, y en el otro el tenis, pero por en medio, comosiguiendo al hilo que se enrolla en un yoyo desde su eje, se veía de nuevo la impasible pared peluda regresando asu lugar exacto. El borde del lóbulo azul del yoyo era la banda de goma lateral, que, aunque parecía seguir untadaa una esfera, se contorneaba ahora siguiendo con simetría exquisita la orilla de alguna alberca-zapato de Temixco,y el linde de la suela, al otro lado, no le correspondía, seguía una curva similar, pero invertida: arriba la marca deltalón.

Deslicé mi cabeza hacia la suela para observar de nuevo, y en reversa, la escena de la separación. Nuevamente

empezó el aumento y la expulsión de la suela desde un centro, un punto que sin voltear a ver localizaba conclaridad al extremo del eje de mis orejas, la línea de movimiento. La creciente eyección radial, agitaciónmembranal, vibración microscópica, en ese lado contrastaba con la serenidad azul del tenis en el otro, y laserenidad oscura de la banda de pelo enfrente más perfectamente circular cuanto más delgada se iba haciendo alacercarse su borde impasible al otro labio, vibrante pero de límites exactos, convirtiéndose en una línea negra queal alcanzar su perfección desaparece como sol poniente en una ráfaga que le pone su tapa, su media naranjahueca, a la caverna-tenis.

Sentí, en el justo momento de la simbiosis, que algo entraba en la suela de ese pinche tenis. Claro, el centro deampliación en la línea de mis orejas. Pero no era un punto de tenis. Era un punto del espacio en apabullantesincronía conmigo que ahora estaría cruzando el hule de la suela y aparecería por la planta.



Giré, controlando mi centro que ya más o menos dominaba, para enfrentar su amanecer.

Mi movimiento, ahora, era hacia atrás. La tela azul gastada, con sus costuras y remate blancos, daba un marco fijoa la lupa donde ya se veían los pelos de toallita maltratada corriendo a esconderse debajo del marco de lona,aclarándose el punto de donde partían y amplificándose su entorno, descubriéndose su hábitat íntimo. Con máscontrol y destreza podría ver la infinitud minúscula que yo quisiera; pero, por el momento, pasé esa etapa vibrantede ráfagas radiales. Salió el punto con un golpe brusco e inasible de la imagen, y van de regreso a su lugar lospelitos, aplastados y mugrosos, deslizándose por debajo de la lona que, a su vez, se iba abriendo como diafragma.El punto subía por el vacío talón, chupándose la visión amplificada de la planta que se encoge. Apareció entoncessu borde, pellizcando pelusas de calcetín y jalando tras de sí a la lona blanca, contraparte interior de la azul que,

ya en franca apertura y en el punto de salir hacia atrás de mi campo visual, se traslapa con el blanco borde interiorque va hacia enfrente, descubriéndose mis orejas: su vista en la caverna.

Detuve el movimiento. Sentí la presencia de una línea luminosa saliendo por mis orejas que pasa rozando loslindes del tenis, justo por la ondulación para los huesitos del tobillo, y que atravesaba el punto aquel para regresar,de alguna manera, a mis orejas.

Me sentía a un paso de entender al dichoso punto, mi antipunto en la región del tenis, que al acariciarlo,coqueteando con sus bordes, me lo mostraba en su intimidad. Me quité el otro tenis, aún desabrochado. Y, al tactode empalmarlo y sobarlo, de manosearlo devotamente en el hueco de mi pecho, fui reconstruyéndolo dentro de micabeza, buscando la posición de mi antipunto al recubrir con su antitenis a mi centro. Ayudado por él podríaorientarme, guiado por las dos líneas básicas que ya había descubierto: la que une a las orejas pasando por los

bordes de los huesitos de mi tenis interno y hacia enfrente por la entreceja atravesándolo por la planta; el tenisinterior pendía de ellas: en su cruce estaba mi centro, correspondiendo a mi antipunto en el tenis real, queobservaba de nuevo. Hacia abajo se le veía la punta por adentro; ¡correspondía con mi imagen interior! Ahí estabala mancha oscura roída por el dedo gordo. Podría sumergirme a inspeccionarla, pues la veía, era cosa de movercon tiento mi cabeza hacia abajo.

Inicié mi zambullida. Pero algo pasó rápido por la esfera a mi derecha. Frené, y regresé lentamente la cabeza paraobservar su retorno. Era la agujeta. La amplifiqué moviéndome apenas en su dirección. La recorrí un pequeñotramo, pasando por el ribete de plástico y concluyendo con un levísimo giro de cabeza, que puso a la felpita comoinmensa alcachofa-coliflor ante mis ojos. Entraría en ella. Como antes lo había hecho en la suela, creció como unamancha discoidal cubriendo media esfera que al colmarse en su círculo máximo, linde de mi campo visual, sevoltea de golpe y decrece de nuevo, pero jalando ahora tras de sí al ribete, lustroso como tallo de brócoli visto

desde dentro, su raíz en mi espalda y culminando enfrente con algo redondo parecido a un mechudo con peloshacia adentro.

Temblaba todo. Vibraban por todos lados centros de confluencia y de expulsión que podía hacer conscientes alcorresponderse, un instante después, con mis micromovimientos. Para fijar la imagen tendría que llegar al reposoabsoluto. Lo intenté, pero el latido de mi corazón y la excitación de mis pensamientos lo impedían; abandoné laidea de reprimirlos. Los dejé fluir.

Podría salirme de la agujeta por donde yo quisiera. Entendí que por todas las direcciones de mi centro se llegaba ami anticentro, y que de él se seguían para retornar a mí, en sentido inverso, buscando continuarse otra vuelta. (Mevino a la cabeza la imagen de una esfera con sus meridianos dibujados, todos del polo norte al polo sur.) Entendí que ese punto vibrando mis vibraciones en la punta de la agujeta pertenecía aquí, y que de él ya no se seguía estelugar que me acogía en su perfección deslumbrante; allí, por decirlo así, se cerraba, a imagen y semejanza de micentro, "la caverna" —no, la llamaría "extrásfera"— se redondeaba este pequeño universo donde cada punto teníasu antipunto; todo lo demás era la ilusión óptica que esto producía, que esto implicaba. Empezaba a entender, losabía por ese saborcito dulce de las nuevas dudas, surgiendo incisivas, altaneras, bellas, sensuales y atrayentes.

Because the world is round

It turns me on

Because the world is round.

LENNON-McCARTNEY



INTERMEDIO

Omnívora

esfera

opaca, el tiempo fluye.

....

Tiempo

sin luz ni tacto.

....

¿En quién revienta esta luz?

CORAL BRACHO

Apuntes del escenógrafo II

(PARTICULARIDADES GEOMÉTRICAS)

EN ESTA segunda parte de mis apuntes, quiero inmiscuirme en algunas particularidades geométricas de losescenarios que escogimos. Pero si en las "Notas generales" di mis disculpas a los físicos, aquí tengo que prevenira mis colegas, los matemáticos. Sacrificaré, en algunos pasajes, la formalidad y el rigor en aras de la exposición,la extensión y la claridad intuitiva. Además, siendo esto lo que más me duele, enunciaré por ahí algunos hechoscomo si fueran consumados, como si fueran verdades divinas, sin detenerme a cuestionarlos, argumentarlos ydemostrarlos; la manera en que se hace de la matemática algo nuestro, terrenal, humano. Ni hablar, el espacio-tiempo de este libro es finito. Obligándome a dejar mis errores e inconsistencias para que el lector las detecte, lasrellene y las lime como ejercicio.

Dedicamos una sección a cada espacio visitado en la Soñata.

EL ESPACIO PROYECTIVO

(Escenario del Tiempo I)

VISIÓN EN "LA CAVERNA"

En porciones pequeñas, el espacio proyectivo es como el nuestro (éste en el que vivimos). Se tienen en él las

nociones de plano, de recta (o línea) y, por supuesto, de punto. Nociones que además están sujetas y se comportande acuerdo con ciertas reglas mínimas o axiomas que se parecen mucho a los que Euclides usó hará más de dosmilenios para definir y empezar a trabajar el plano y el espacio, que en su honor llamamos euclidianos; ese planoque medio vimos en secundaria, ese espacio en el que creemos vivir. Se tiene, por ejemplo, que ( a1): por

cualquier par de puntos pasa exactamente una línea, y ( a2)por cualesquiera tres puntos no colineales pasa un

único plano. Pero además, en el espacio proyectivo se cumplen:

( a3) Dos planos distintos se intersectan en una recta.

( a4) Un plano y una recta no contenida en él se intersectan en un punto.



( a5) Un par de rectas se intersectan si y sólo si están contenidas en un mismo plano, y en este caso, se intersectan

en un único punto.

Éstos no son todos los axiomas que definen al espacio proyectivo, pero son los que usaremos aquí. Obsérvese, delos tres últimos, que en el espacio proyectivo, así como en el plano proyectivo (modelo teórico de cualesquiera desus planos), no hay excepciones; es decir, que no existe la noción de paralelismo como la hay en sus versioneseuclidianas. En el plano proyectivo, todas las rectas se intersectan igual: en un punto; y en el espacio proyectivo,planos y rectas se cortan siempre de la misma manera. ¿Cómo es esto posible?, se preguntará por ahí algún lectorque aprendió a trazar paralelas. O "esto contradice a nuestra intuición y a nuestra experiencia", afirmará otro quecursó bien la secundaria, "es claro que hay rectas paralelas que nunca se cortan".

Reitero. El espacio proyectivo en pequeñas porciones es como éste. Nuestra experiencia del espacio en quevivimos está confinada a una porción minúscula de la Tierra, que a su vez es una minurria del Universo. Nuestraintuición del plano euclidiano se basa en esta hoja de papel o en un pizarrón o en una pared, que nos dan idea decómo es él en una pequeña parte y, a la vez, en cualquiera de ellas. Esta intuición funciona igualito para el planoproyectivo; así como este cuarto nos da idea de cómo es el espacio euclidiano o el proyectivo o el Universo real(suponiendo su homogeneidad) en un entornito de cualquiera de sus puntos. Nuestra vivencia cotidiana no daelementos para afirmar si las "rectas paralelas" se juntan o no. Al adoptar un sistema axiomático, creamos unmodelo teórico sobre el cual se puede trabajar con pasos firmes. Y no hay aún ninguna razón de peso para decidirsi es el espacio euclidiano o es el proyectivo el que se asemeja más al real. Ambos son modelos teóricos,axiomáticamente consistentes, matemáticamente coexistentes, congruentes con nuestra experiencia cotidiana, y siel primero tiene preponderancia en la cultura popular como modelo del espacio en que vivimos se debeprincipalmente a su veteranía histórica. No hay más. Soltémonos el chongo un rato, y, de los axiomas que hemosenunciado, deduzcamos algunos hechos del escenario donde, por un ratito, metimos a vivir al niño.

Nos será útil, para la fluidez del texto y la concreción de las ideas, introducir algo de notación. Sea P3 el espacioproyectivo, y análogamente, sean P2 y P1 el plano y la recta (o línea) proyectivos respectivamente (modelosteóricos que podemos pensar como cualquier plano, o recta, de P3 ). Obsérvese que los superíndices denotandimensión y no exponenciación, se lee por tanto "P-tres" en lugar de "P-cúbica" o "P-a-la-tres". Análogamente, seusará más adelante la notación E3 , E2 y E1 para el espacio, el plano y la línea euclidianos.

Veamos primero cómo es una recta proyectiva. Para esto, tomemos a P2 , pensando que esta hoja es una porciónde él, de cualquier plano de P3. Tomemos el punto p de la figura, y una línea l que no lo contenga; de l sólo

vemos un pequeño cachito, pero queremos averiguar cómo es.

Figura 2. Una línea y un punto fuera de ella.

Sea L p el conjunto de rectas en el plano que pasan por p; el haz de rectas por p, podríamos llamarlo. El axioma

( a5) implica que todas estas rectas intersectan a l en algún punto. Hagamos corresponder a cada línea de L p su



punto de intersección en l . El axioma ( a1) nos dice que por cada punto de l pasa una única recta de L p (la que

también contiene a p), implicando que la correspondencia entre L p y los puntos de l es biunívoca.

Figura 3. Los puntos de una recta y las rectas por un punto, fuera de ella,

se corresponden biunívocamente.

Tomemos ahora una línea l 0 ∈ L p. Y sea p0 su punto correspondiente en l , es decir, p0 = l 0 ∩ l * Al girar

lentamente a l 0 (como si p fuera una tachuela atravesándola, para que se mueva en L p), el punto correspondiente,

p0 , se va deslizando continuamente en l : se saldrá de nuestra figura en poco tiempo, pero hemos demostrado que

sigue su camino a lo largo de l . Detengamos el giro al llegar a 180°.

Figura 4. Al viajar un punto por una recta proyectiva, regresa por el otro

lado.



Observemos que l 0 está en su posición inicial; aunque se haya "invertido en p", es ahora la misma recta con la que

empezamos. Además, hemos barrido al haz de rectas L p; es decir, salvo por l 0 donde comenzamos y acabamos,

pasamos por todas las rectas de L p, y sobre cada una un solo instante. Por tanto, p0 recorrió toda la recta l para

regresar a sí mismo por el lado opuesto a su partida. Y esto lo hizo en un tiempo finito (¿por qué?).

Esto es suficiente para explicar la "visión de la caverna". Cerremos un ojo (me refiero al de ΩTo, nuestropersonaje inmerso en el espacio proyectivo). Pongámoslo en reposo. ¿Qué ve?

Figura 5. En cada dirección se percibe la superficie del cuerpo en dirección

opuesta.

Sea p0 el foco del ojo abierto. Por la línea l , que sale de p0 , va a recibir los estímulos luminosos que hayan salidode puntos en l y que viajen por esta línea recta. Siguiéndola como en el párrafo anterior, vemos que el primerobjeto material con que se topa esta línea l es la propia cabeza de ΩTo, poco antes de que p0 regrese a sí mismo

por el lado opuesto. Por tanto, en la dirección de l y hacia adelante, hay que especificar —en la dirección d , digamos—, ΩTo observa el punto en que abandona su cuerpo un rayo saliendo de p0 en la dirección opuesta a d ,

punto también de la recta l .

ÓPTICA TRIDIMENSIONAL EN EL ESPACIO PROYECTIVO

Todos hemos oído que el tener dos ojos, la estereovisión, nos permite percibir la tridimensionalidad del mundo enque vivimos. Veamos brevemente cómo funciona este mecanismo, para observar después los problemas queacarrearía al trasladarlo tal cual a un espacio proyectivo chico ("la caverna"), y concluir con el modelo óptico que,para la percepción tridimensional, hemos adoptado al producir la Soñata.



Figura 6. Percepción tridimensional con estereovisión. La separación de las

imágenes produce la sensación de cercanía.

Tomemos una sección plana de una cabeza que incluya a los dos focos de los ojos que numeraremos 0 y 1.Supongamos que tomamos la sección horizontal para fijar ideas, aunque funcione igual para cualquier otra. Sean p0 y p1, estos dos puntos, los dos focos; véase la figura, donde hemos abstraído el portento lenticular de un ojo,

adoptando un modelo simplificado: la retina percibe únicamente los rayos que pasan por el foco de su ojo paraformarse una imagen del exterior; sean I 0 e I 1 , correspondientemente como en el resto de la notación, estas

imágenes, que podemos pensar como placas fotográficas fijas en un círculo máximo de una esfera (su ojo). Sea A un punto visible, y sean a0 y a1 , sus imágenes. Tenemos un mecanismo, integrado en las conexiones neuronales

de nuestro cerebro, que conjuga las dos imágenes; proceso que podemos pensar como volver a invertirlas ysobreponerlas en una nueva imagen I , "la pantalla en el cerebro" que hemos amplificado en la figura. Y ahora:según qué tan lejos queden los destinatarios en I de a0 y a1 , denotados a0' y a1', nos indica qué tan cerca está el

punto A de donde provienen. Para convencerse, juegue el lector un rato a mover el punto A; o el dedo gordoenfrente, mientras cierra y abre alternadamente los ojos enfocando al infinito.

Veámoslo con más detenimiento. Sean α0 y α1 los ángulos que forman los rayos de A a los focos p0 y p1 con el

segmento que une a estos últimos (figura 7); información equivalente a a0 y a1 , nótese, y que además determina a

A. Al acercarse A , los ángulos decrecen; y al alejarse A , aumentan, aproximándose al límite (que nunca se alcanzaen el espacio euclidiano) de que su suma llegue a 180° (cuando los rayos que inciden en los ojos son paralelos, A

está en el infinito)



Demostremos que ∞(o,l) solamente depende de l y no de la dirección en que se alejó A , girando la figura 9(i) 180°alrededor de o , y observando que cae sobre sí misma. Por tanto, esta transformación de P2 (la rotación) tiene quedejar fijo a ∞ (o,l) pero ha intercambiado las direcciones de l en o. ¿Puede el lector demostrar que el efecto de estarotación en la figura 9(ii), que retrata la situación cerca de ∞ (o,l) , es reflejar en la perpendicular a l ?. Peroobservemos además que el triángulo ∆ = ( p0, p1, ∞(o,l)) que contiene a A, ha caído sobre ∆' = ( p0, p1, ∞(o,l)) conteniendo a A'; por tanto, los segmentos que unen a o con su infinito en la línea l , y que juntos la cubren, midenlo mismo; es decir, la distancia de o a ∞ (o,l), llamémosla r , se realiza por los dos segmentos en que se parte laúnica línea que los une, l .

Este número r es una constante del espacio proyectivo al que nos hemos metido, su radio. Es la distancia máximaa la que pueden estar dos puntos de él. Si el radio del P3 en que estamos rebasa nuestros límites perceptivos, notendríamos mayor problema. Pero recordemos que hemos metido a un niño en un P3 con volumen comparable alde este cuarto, con sus radios iguales, digamos. Nos hemos inmiscuido entonces en algo comprendido dentro de laesfera de su infinito visual para la estereovisión cotidiana. ¿Qué sucede entonces?

Figura 9.i. Cuando A llega al infinito de o en l (α0+α1= 180° ).



Figura 9.ii. Retrato de ∞ (0, l).

Pensemos de nuevo en nuestro ayudante luminoso, el punto A , poniéndolo justo en ∞ (o,l) Dando media vuelta ala cabeza con centro en o , observamos su otra imagen, A', que en realidad es el mismo punto. Sabemos que ambosestán a la mismita distancia de nosotros, dos o tres metros. Pero nuestro mecanismo de estereovisión los pondría

en nuestro infinito visual, ∞v, pues los ángulos que se forman suman 180°. De haberse alejado A continuamentede nosotros para posarse en ∞(o,l) , habríamos sentido que aceleraba rápidamente hasta situarse en el infinito, o enla zona donde deja de servir nuestro procesador de distancias. De haber recubierto A con una pelota de gomamascada, se hubiera convertido, en este simple viaje, en una inmensa Luna gorda, con su lado oculto expuesto enla dirección contraria. Contengamos la tentación de alejar A un poquito más para explorar otro poco al infinito de o.

Hemos hablado del infinito de o en la recta l , pero notemos que la línea l fue escogida arbitrariamente. Tenemosentonces para cada l que pasa por o un infinito. Sea ∞(o) el conjunto de todos estos puntos; podemos escribir

∞(o) = ∞(o,1); l ∈ L0

donde L o es el haz de rectas que pasan por o (la diferencia con el L p que consideramos al principio es sólo que

ahora estamos en P3 y el punto en cuestión es o). Por lo que ya sabemos, ∞(o) se podría también definir como elconjunto de puntos a distancia r de o. Resulta que ∞(o) es un plano de P3 , que no tiene nada de especial, es comocualquier otro plano, simplemente le corresponde a o; pero si movemos o, su plano al infinito también se moverá.

Para demostrar que ∞(o) es efectivamente un plano de P3 , consideremos dos puntos en él: p = ∞(o,l) y p' = ∞(o,

l'). Y ahora rotemos al plano generado por l y l', 180— alrededor de o. Esta rotación deja fijo a p (argumentaciónque sigue a la figura 9), pero entonces también deja fijo a p' (y a todos los infinitos de o en ese plano pues larotación sólo depende de o y el plano); luego entonces deja fija a la recta que pasa por p y por p'. Por otro lado,como la rotación intercambia los rayos que salen de o con sus opuestos y preserva distancias, si deja fijo a unpunto distinto de o , los rayos de o a él en ambas direcciones miden lo mismo, es decir, están en ∞(o). Esto

demuestra que la recta por p y p' está contenida en ∞(o); que es la recta al infinito de o en el plano considerado.Tomando un nuevo punto p"∈∞( o), se concluye de lo anterior que el plano generado por p , p' y p" es ∞(o).

Regresemos a la estereovisión en P3. Recordemos (figura 6) que desde nuestro origen perceptivo o, observábamospor enfrente a A , un punto luminoso, que alejamos hasta ∞(o,l) (figura 9). Si alejamos A un poquito más,experimentamos algo completamente nuevo para nuestra máquina perceptiva: que el estímulo luminoso querecibimos de un mismo objeto, llega por rayos que, saliendo de nuestros dos ojos, se separan (α0+α1 ha rebasado

los 180°). Siendo ésta la primera vez que el cerebro enfoca en algo que produce este efecto, la luna-pelota sesepararía en dos imágenes superpuestas (enfóquese en el pulgar cercano y obsérvese cómo el horizonte se separaen dos).

Recordemos, además, que al momento de abrir los ojos por primera vez, el niño de la Soñata ve puntos cercanos ao (su cabeza), pero por "el otro lado", cuando la suma de ángulos se aproxima a 360° ( A' en la figura 8). Y, aprimera de cambios, no podemos esperar que su cerebro decodifique esta información contradictoria. Por tanto, lohicimos ver borroso, ver cuatro orejas. Pero al cerrar un ojo, la imagen es nítida, aunque plana. Nos deja así en eldilema de cómo hacer que perciba tridimensionalmente.

Las células de la retina son capaces de medir la intensidad, la luminosidad del estímulo que las excita (no es lomismo ver un foco a 3 metros que a 10 centímetros). Teniendo el cerebro la información adicional de haber vistouna cabeza a 10 cm de distancia, no es descabellado asumir que pueda interpretar la diferencia (o el cociente)entre la luminosidad aparente (medida en el momento y en la célula correspondiente) y la luminosidad real(archivada en la memoria) como indicador de la distancia que ha viajado el estímulo. En otras palabras, si unpunto, prendido como foquito de luminosidad constante, se va alejando, excitará cada vez menos a las células



correspondientes, y de esta variación podemos deducir su distancia. Así, interpretando adecuadamente los rayoslumínicos que pasan por el foco de un solo ojo, el cerebro se puede formar una imagen tridimensional. (Por cierto,según mi asesoría astronómica, de un análisis similar al aquí propuesto se deduce la distancia de los cuerposcelestes.)

Figura 10. Se interpretan únicamente los estímulos que pasarían por el

origen perceptivo.

Para acabar de precisar el modelo óptico de la Soñata, tomamos como foco no al de un ojo, ni al punto medio deambos, sino que lo empujamos hacia adentro un poco, internándonos hasta la línea de las orejas, hasta un punto enel centro del cráneo del personaje, punto que, en las "Notas generales", ya habíamos bautizado como o , el origen

perceptivo de ΩTo. Y suponemos que la imagen tridimensional que se forma en el cerebro toma en cuentaúnicamente a los rayos que pasarían por o , analizando puntualmente sus propiedades. Cuando el niño se puso a jugar a abrir y cerrar alternadamente los ojos para ver, con interés, cómo brincan las cosas de lugar, asumimos quesu aparato perceptivo (ojos, lentes, músculos, retinas, cerebro e inclusive piel) estaba aprendiendo a simular esteproceso con cierta precisión. Quizá suene biológicamente descabellado, pero concuerda con nuestra percepcióncotidiana del mundo y es justo el modelo con el que estudiamos al Universo real; salvo que en este caso —algoaún más descabellado— todos los procesos se llevan a cabo en el mismísimo o, el foco, la Tierra.

Habiendo, entonces, logrado que el niño vea en su caverna, lo dejamos ahí, jugando y gozando un rato más con su



geometría.

EL ESPACIO TOROIDAL

(Primer escenario del Tiempo II)

Para adentramos con mayor libertad en el toro tridimensional, o espacio toroidal, nos será de gran utilidaddescribir y definir nuestro espacio perceptivo.

EL ESPACIO PERCEPTIVO

Construyámoslo basados en una famosa observación de Descartes con evidente trasfondo griego.Observemosprimero que la línea euclidiana, E1, se corresponde con los números. Para esto, se toma uno un origen o en E1 yse escoge, además, algún otro chalán para que la haga como 1. El segmento de 0 a 1 la hará entonces de "metro",de vara de medir; la jalamos para que reinicie en 1, y donde caiga, ponemos al 2; lo hacemos otra vez, igual con el3; y le seguimos otro rato hasta que nos damos cuenta de que podríamos seguir por siempre. Entonces le paramosy eso decimos. Podemos embelesarnos con esto un rato, hemos descubierto a los números naturales, esos quesirven para sumar y multiplicar, que usamos para mercar, esos que aguantan cualquier inflación; y soñamos enrestar. Regresemos al origen para observar que queda una mitad de línea totalmente vacía; tendemos en ella, convarita de medir en mano, a los números negativos. Así, hemos puesto en E1 a los números enteros; esos quesabemos sumar al grado de incluir a la resta; esos que sabemos multiplicar, aunque prometo no abusar de estacomplicadísima operación en estas notas; esos que tantas y tantas ensoñaciones matemáticas han causado; los

denotaremos como Z; usanza tradicional y universalizada que no sé de dónde proviene.

Figura 11. Los números enteros en la recta euclidiana.

Quedan aún grandes huecos en E1; partimos entonces nuestra vara en partes iguales y metemos a todos losracionales; ya sabemos dividir. Pero aún quedan hoyos, que ya no son tan fáciles de detectar; números hermosos

como , la diagonal de un cuadrado hecho con nuestra varita (el primer irracional en descubrirse) o π, lo querecorre el 1 al girar la varita media vuelta alrededor de 0. Y aquí, hay que invertirle un poco más de coco y tiempopara entender —si es que se puede— lo que está pasando. En fin, los números reales se pueden pensar como larecta euclidiana E1, sus elementos o puntos se corresponden, simbiotizándose en la recta real R; un continuo

unidimensional ideal, ricamente algebraizado.Llegó entonces Descartes y observó que de aquí se concluye que los puntos del plano euclidiano E2 correspondena parejas ordenadas de números reales. Esto se sigue del axioma de las paralelas; el célebre quinto postulado deEuclides, el que no vale en el plano proyectivo, el que hace excepciones, el que dice que dados una línea l y un

punto p, existe una única línea 1(p) paralela a 1 y que contiene a p; donde hemos convenido en que una recta esparalela a sí misma, es decir, que dos rectas son no paralelas cuando se intersectan (en un único punto). Para vercómo razonó Descartes, tómense dos rectas en E2 , l 0 y l 1 , no paralelas. Dado cualquier punto p ∈ E2, sean p0 =

l 0 ∩ l 1 (p) y p1 = l 1 ∩ l 0 (p).Y al revés, dados p0 ∈ l 0 y p1 ∈ l 1 , sea p = l 1 ( p0 ) ∩ l 0 ( p1). Es fácil deducir de los

axiomas que hemos establecido una correspondencia entre E2 (sus puntos) y parejas que constan de un punto en l 0

y otro en l 1 ; pero ya habíamos visto que tanto l 0 como l 1 se pueden poner en correspondencia con R.



Figura 12. Los puntos del plano euclidiano corresponden a parejas de puntos

en dos rectas no paralelas.

La usanza común para hacer explícita esta correspondencia, y que aquí adoptamos por simplicidad, es tomarortogonales a las rectas, superponer los orígenes en la intersección y medir en ambas con la misma vara. Puesentonces las fórmulas algebraicas —que presionan para aparecer en escena, aunque intentaremos mantenerlas araya— se nos simplifican bastante. Por ejemplo, la distancia —medida con la vara escogida— de cualquier punto

p al origen o, queda determinada por el teorema de Pitágoras:

Figura 13. La distancia de un punto al origen en función de sus coordenadas

cartesianas.

donde x0 y x1 son los números reales que corresponden a p.



Cuando las frases se nos van haciendo demasiado largas, es tiempo de introducir notación. Dados dos conjuntos X y Y , sea X x Y el conjunto producto cartesiano de X y Y , que consta de las parejas de elementos formadas por unoen X y otro en Y ; es decir, la pareja ( α , β ) ∈ X x Y si y sólo si α ∈ X y β ∈Y ; o bien

X x Y = (x,y);x ∈ X , y ∈ Y .

Es claro que podemos tomar productos cartesianos cuyos factores a su vez son productos cartesianos. Y ésta es lamaravillosa implicación a la observación de Descartes. Ya que conocemos R y R x R rápido reconocemos a R x R

x R como el espacio que percibimos; y nos aventuramos a trabajar con R x R x R x R , pero nos damos cuenta de

que podemos seguir por siempre; lo decimos, y denotamos con Rn

a R x R x ... x R cuando el factor se repite n veces. Nótese que el superíndice aquí sí denota exponenciación (con el producto cartesiano), correspondiendoademás a nuestra idea intuitiva de dimensión. Hemos encontrado la manera de entrar a un espacio n-dimensional,de trabajar en él, con él. Pero no nos asustemos. Aquí no pasaremos, en un buen tiempo, de cuatro.

Por el momento sólo nos interesa el tres. Hemos demostrado que (donde denotará unacorrespondencia biunívoca —correspondencia, simplemente, le llamamos arriba— entre los conjuntos X y Y .)

Hemos visto también, en el caso del plano, que , y por tanto, que

. Y ya con este vuelo, se demuestra el análogo en dimensión tres,

, pero fácil.

Definamos que el espacio perceptivo de ΩTo es R3; trabajar con números reales, aunque nos los entreguen enternas, nos hace sentir una herramienta algebraica poderosísima a nuestro alcance. O lo podemos pensar tambiéncomo el espacio euclidiano tridimensional, E3, ese vacío ideal en toda su serenidad griega, con un foco prendido,el origen perceptivo o , y una vara de medir en la mano. Cuando queramos ponernos el espacio perceptivo ennosotros mismos, situemos el origen o = (0, 0, 0) en el centro del cerebro, que el primer 1 quede hacia enfrentepor la entreceja, el otro en alguna oreja, al gusto de orientación del sujeto, y el 1 faltante arriba; así, sabremosllegar a cualquier punto x del espacio perceptivo tan pronto nos den sus coordenadas x = ( x0, x1, x2). No

necesariamente hay que llegar a él, sabemos que ahí está, y lo denotaremos simplemente como x mientras nos seaposible.

EL TORO TRIDIMENSIONAL; SU TOPOLOGÍA

Otra gran puerta que nos abre la observación de Descartes es la de jugar con productos cartesianos de conjuntos oespacios varios para formar otros nuevos. Tomemos, por ejemplo, los siguientes espacios, o dibujos, pocodimensionales:



Figura 14. Espacios sencillos de dimensión 0 y 1.

para luego combinarlos:

Figura 15. Tablita de multiplicar con el producto cartesiano y espacios de

dimensión 0 y 1.

Así, vemos por ejemplo que S1 x I se puede interpretar como un círculo de intervalos, o bien un intervalo decírculos; el conocido "cilindro", el siempre bien ponderado "tubo".

Y, de aquí en adelante, nuestro interés se dirige hacia el toro, llamado así por los griegos: el círculo de círculos(los meridianos o paralelos —da lo mismo— en el siguiente dibujo: gírese un aro vertical una vuelta entera en suplano horizontal).

Figura 16. S1 x S1 = T 2.



Para el lector que siga dudando de la última figura, sale otro argumento. Obsérvese que el círculo se puede pensarcomo el intervalo identificando sus extremos, es decir, decretando al 0 y al 1 (extremos de I ) como el mismopunto; esto lo denotamos S1 = I /0 ~ 1, leyendo "I módulo (o sobre) la relación: 0 equivalente a 1". Y por tanto,el toro se obtendrá del cilindro identificando sus extremos, pegando sus dos bordes, simbiotizando sus bocas, esdecir, S1 x S1 = S1 x I /( p, 0) ~ ( p, 1). Análogamente (ver figura 15), el cilindro se obtiene del cuadrado alidentificar dos lados opuestos, S1 x I = I x I /(0, x) ~ (1, x); o bien, el toro se obtiene del cuadrado al identificar,por parejas, sus lados opuestos S1 x S1 = I x I /( x, 0) ~ ( x, 1), (0, x) ~ (1, x).

Figura 17. El toro (S1 x S1) se obtiene identificando lados opuestos de un

cuadrado, pues S1 se obtiene de I, identificando extremos.

Definimos finalmente al toro tridimensional como:

T 3 = S1 x S1 x S1 ,

el espacio de tripletas cuyas tres coordenadas son puntos de un círculo. Ya no podemos hacer un dibujo de él,pero hemos metido ahí un joven personaje para que lo viva y nos relate su experiencia.

EL TORO; SU GEOMETRÍA

Para entender la visión, la imagen que tendríamos al estar solos en T 3, estudiemos primero a sus hermanos

pequeños, T 2 = S1 x S1 en dimensión dos, y en una, S1, un solo factor, que coincide también con P1 , nuestraconocida línea proyectiva.

El caso unidimensional

Consideremos a un ser perceptivo e inteligente —tanto como podamos— de dimensión 1. Será un sólidounidimensional, es decir, un intervalo a quien llamaremos — o— para dibujarlo — o—, y de quien nos interesaprincipalmente su origen perceptivo o, situado en su centro: su punto medio. Metámoslo a vivir en S1 . Hemos



visto que si su radio de percepción es menor que la circunferencia de su universo, se sentirá en una recta queasumirá infinita y que identificará con R por las distancias que puede, en principio, viajar. Pero si su radioperceptivo aumenta, hasta sobrepasar de plano al radio de su universo, se sentirá encerrado en algo quecorresponde a la frontera de su cuerpo (recuérdese la caverna). Llamemos menos y más a sus extremos: (-)— o—(+). Por la dirección menos recibirá un estímulo más y viceversa. Se formará entonces la siguiente imagen:

Figura 18.— o —, su universo y su espacio perspectivo.

Llamemos instante al tiempo que tarda la luz —un estímulo— en atravesar a este universito. Los movimientos oseñales que manda nuestro ser inteligente tardarán entonces cerca de un instante en ser "repetidos" por la imagencorrespondiente.

Démosle ese instante para pensar, y, por un momento, démosle también más cancha a nuestro ser aumentándolesu dimensionalidad. Pero controlándolo, dejando trivial, chiquita, infinitesimal, a la segunda dimensión.Hagámoslo usar su nueva cancha, bajándole el volumen a la luz, a su velocidad, e involucrémoslo, fintando a sucaverna, su menos vecino. Le hemos dado espacio suficiente para que serpentee, abandonando su mundo, medioinstante antes de retornar a él, reposado, observando atento por su frente, su más. Llegado el instante, el menosque ve se desvanecerá y descubrirá un nuevo menos, al doble de la distancia aproximadamente: al abandonar porcompleto su universo, o serpentearlo simplemente, pero acoplado al ritmo de la velocidad de la luz; la luz que

recibiría de su menos por su más ha pasado de largo; al concluir el instante recibe de lleno un estímulo que hadado dos vueltas al universo.



Figura 19. — o — se percata de un equivalente a distancia 2.

Pensemos el serpenteo como un volverse transparente. Si nos transparentamos poco más de un instante,percibiremos un tercer menos —y un tercer más en la dirección opuesta—, pues los primeros dos setransparentarán el tiempo suficiente para traslaparse en el acto; y así, tras unos cuantos experimentos conmensajes inteligentes, aprendiendo a serpentear y a percibir los serpenteos, concluiríamos que en nuestro espaciohay un ser equivalente a nos — o—tros para cada entero n∈ Z, llamémosle — n—, repitiendo nuestrocomportamiento de hace [ n] instantes (donde [ n] denota magnitud de n , la distancia al origen, nunca negativa);aunque para comunicarnos con — n— tengamos que poner de acuerdo a sus anteriores ( n - 1) chalanes, ahí está,ahí lo tenemos. En nuestro espacio perceptivo R, parametrizándolo en instantes-luz (es decir, midiendo lasdistancias con lo que viaja la luz en un instante, con la circunferencia del universo, la distancia al centro delvecino), pondríamos a — n—, centrado en su correspondiente punto de R , su distancia dirigida, quedandonosotros situados en el origen o, dándole su tiempo y su ritmo al transcurrir de este universo —corriendo elpeligro de caer en la tentación del "Line-King" de Abbott, del pequeño tirano de Lineatitián, hubiésemos dicho enel capítulo 5: la tentación de creerse "el rey", y seguir siendo sólo uno, y todos los demás, bien comandados,sirviendo, complaciendo.

(¿Puede el lector describir qué pasaría si el niño de la caverna tuviera la capacidad de hacerse transparente y jugara con ella; qué idea de su universo se formaría?)

Hemos dado cuenta de Z ⊂ R; y completaríamos la imagen de nuestro espacio perceptivo al darnos cuenta de queentre cada par de imágenes nuestras consecutivas, entre — n— y —(n + 1)—, hay un espacio que las separa, unintervalo vacío equivalente al que tenemos en cualquiera de nuestros lados, dependiendo sus longitudes exactasdel movimiento que hayam— o—s realizado en el pasado correspondiente. Pensaríamos entonces que nuestrouniverso es una recta, correspondiendo sus puntos a potenciales emisores de estímulos. Estaríamos parcialmenteen lo cierto. Pero dejemos ya al "gusanit— o—" regocijándose en la inmensa y tumultuaria imagen de suminúsculo y desolado universo, abstraigámoslo de él quedándonos únicamente con sus puntos y un origen. De unmismo punto, p∈S1 , o puede recibir estímulos por diversas trayectorias, pero no de manera arbitraria, ciñéndoseéstas a una lógica precisa.



Figura 20. Donde o representa las posibles imágenes de p siendo o = o.

Podemos agrupar a los números reales de acuerdo con su posición relativa respecto a los enteros. La recta real R se parte, al subrayar a los enteros Z , en intervalos equivalentes. Cualquiera de ellos podría obtenerse al sumarle un

entero adecuado a cualquier otro (transladarlo); todos ellos imagen fiel del intervalo [0, 1] = I , del cual se obtieneel círculo S1 al identificar los extremos (los enteros que caen en él). Una visión más acertada de S1, en cuanto a lahomogeneidad o continuidad que proporciona, será entonces la de los números reales R, identificando a dos deellos, x y x' digamos, cuando guardan la misma relación con los enteros, cuando difieren por uno de ellos, esdecir, cuando x - x'∈ Z podríamos escribir S1 = R / x ~ x'; x- x'∈ Z , esto es, el círculo son los reales al identificardos de ellos siempre y cuando su diferencia sea entera.

Figura 21. Se identifican dos puntos cuando su distancia es entera.

A esta identificación la simulamos cada vez que enrollamos una cuerda. Sólo su tridimensionalidad nos impidehacerlo idealmente: si enrollamos la recta real sin alterar sus distancias sobre un círculo de circunferencia unitaria,caerán entonces todos los enteros sobre el mismo punto, o , y cada real guardará su posición, relativa a ellos; loque equivale a poder guardar, idealmente, series de foquitos de Navidad.



Figura 22. La recta real cubriendo homogénea, isométrica e indefinidamente

al círculo.

Paréntesis algebraico. Hemos hecho uso de una "relación de equivalencia" en los números reales, refiriéndolos,por medio de la suma, a los números enteros. Este es un caso particular de una operación que relaciona gruposcon grupos a través de subgrupos que valdrá la pena fijar en abstracto en el caso abeliano.

Sea G un grupo abeliano, es decir, un conjunto con suma; donde esta suma es conmutativa, tiene su cero y dacuenta de su resta (piénsese en los números reales). Y sea H un subgrupo de G , es decir, los de H se bastan entreellos con la suma de G para formar un grupo propio, sumándose y restándose por sí solos (piénsese en losenteros). Decimos que dos G-itas g y g', es decir, g , g' ∈ G, son equivalentes módulo H , escrito g ~ g' (mod H ),siempre y cuando difieran por un H-ita, esto es, si y sólo si g - g' ∈ H . Al conjunto de clases de equivalenciamódulo H en G (piénsese en "las posiciones relativas" que manejamos arriba), se le llama cociente de G módulo

H , y se le denota G/H (leyendo, "G-módulo- H " o "G-entre- H " o G-sobre- H "); podemos escribir:

G/H = G / g ~ g'; g - g' ∈ H .

O bien,G/H = g+ H , g∈G; donde g+ H = g+ h; h∈ H es la clase de equivalencia de g , consiste de los equivalentesa g módulo H , y, como conjunto de G , no cambia cuando cambiamos g por cualquier equivalente; es uno de lospuntos del nuevo conjunto que hemos construido, G/H , que vuelve a ser un grupo. Es interesante observar, paradejar los detalles al buen estudiante, que el cociente hereda la suma para convertirse en un nuevo grupo sólocuando se valía en G la ley conmutativa (g + g' = g' + g) , la que lo hace abeliano en vez de simple grupo, o biencuando H es muy especial respecto a su ambiente; pues, si queremos definir la suma de dos G/H -itas, tenemosque tener claro que son clases de equivalencia, conjuntos de G, y no siempre resultan equivalentes las sumas consumandos equivalentes. Pero, en nuestro caso, el abeliano, si p y p' son los G/H -itas que queremos sumar,

sabemos que habrá por ahí un par de G-itas g y g', llamados representantes de p y p', tales que p = g + H y p' = g'+ H , y la definición natural:

p+p' =(g+g')+H

funciona de maravilla. Pero brinquémonos los detalles, y regresemos al caso particular que nos atañe, dondehemos conceptualizado lo suficiente para escribir sin pruritos formales:

S1 = R/Z.

Y nos atreveríamos a dejar de ejercicio el probar que la estructura de grupo de este cociente es la de las rotacionesde un círculo rígido, aquella suma de ángulos de la secundaria.



Figura 23. La suma de ángulos res el cociente de la suma de números reales.

Resumiendo, tenemos una función R → S1 = R/Z que a cada real le asocia su clase de equivalencia. Podemosinterpretarla como una función del espacio perceptivo de — o— en su verdadero universo. Las imágenes quepotencialmente se podrían formar en el espacio perceptivo, suponiendo inmovilidad salvo por transparentaciones,de un mismo punto p∈S1 van a dar a ese punto bajo la función, y corresponden a un conjunto de puntos en elespacio perceptivo que entre sí distan enteros, determinándose esta clase por cualesquiera de ellos.

El toro: su geometría plana

Definámosla de un golpe para el caso bi y el tridimensional, usando a n como comodín que remplace al 2 o al 3,

pero ya entrados en gastos y viendo que también podría ser 1, y haciendo bien las analogías, hasta 0, pues que sequede como n, un natural.

Es muy fácil ver que los elementos de R n se pueden volver a sumar y restar tal cual lo hacían cuando estabansolitos, en R , haciendo todo coordenada por coordenada. Y además, cargan con sus enteros Zn, aquéllos de puras

coordenadas enteras, que se suman sólo entre ellos para formar su grupito, un subgrupo de R n. Y habiendo pasadopor las definiciones generales pertinentes, nos aventuramos a definir al toro n-dimenszonal, n-toro pa' los cuates,como:

R n= R n /Zn

entiendiéndolo ahora con toda la geometría que herede de R n

.Para demostrar que coincide con nuestra anterior definición topológica, obsérvese, con el detalle que se quiera,que, de nuestras definiciones coordenada por coordenada, se tiene que R n / Z n= (R/Z) n, pero hemos visto que S1= R/Z.

Pensemos, para fluidificar las explicaciones, que R n se encuentra sobre el n-toro, y que la función que los une (laque a cada x ∈ R n le asocia su clase de equivalencia módulo Z n, x + Z n, la que lo ve como simple posiciónrespecto a los enteros), es el acto de "cubrirlo". Lo que entendemos por "entenderlo con toda la geometría quehereda de su espacio cubriente", para el lector que se haya sentido abrumado por la frase, es que en todas lasnociones que queramos definir abajo, en el n-toro, subimos al espacio euclidiano donde las reconocemos, y lasregresamos, recubriendo. Por ejemplo, si queremos soltar un estímulo luminoso abajo, pues lo soltamos arriba,



dejándolo viajar por una trayectoria recta y a velocidad constante y luego veremos qué describe, qué cubre, abajo;si queremos medir esta trayectoria, pues lo hacemos antes de bajarla; así con todo lo que se nos vaya ocurriendo.Arriba, desde Euclides, ya tenemos cierta experiencia. Abajo, aunque haya costado trabajo, como que yaconocemos el caso unidimensional.

Vayamos al siguiente, n=2. Caso del que ya no pasaremos en esta sección dedicada al espacio toroidal; dejando elanálogo tridimensional al lector afanoso o bien a las ensoñaciones que aún reververen desde los tiempos aquellosde la Soñata, la literaria, en su Tiempo II.

Retomemos a nuestro personaje, a ΩTo; a quien daremos ahora el don de la bidimensionalidad inteligente; a

quien podemos dibujar cómodamente en esta hoja, y pensarlo en R2, con su origen perceptivo, o, el centro de sucabecita discoidal, en el origen de R 2, su cero para la suma: o = (0, 0). Y metámoslo al toro, poco a poco, connuestra consigna geométrica siempre en mente. Si le hacemos un pequeño cuartito —de lados más chicos que 1,por lo pronto— se sentirá, por consigna, tal como en la figura:

Figura 24. ΩTo en un cuadrito, I x I.

Con nuestra experiencia unidimensional, podemos concluir que, manteniendo piso y techo fijos, mientras

separamos las paredes hasta desvanecerlas, ΩTo tendrá el siguiente espacio perceptivo; y se podrá dar cuenta deello con simples cabeceos que emulen las transparentaciones de — o—.

Figura 25.

Aún tenemos chance de aclarar por completo qué pasó. Sabemos que en realidad ΩTo estaba, manteniéndolo



entre techo y piso, en un cilindro.

Figura 26.

Si entintamos a ΩTo y tomamos su "cuartito" como rodillo que gira y que presiona su plano cubriente, el quesirvió para modelar la geometría, obtenemos lo que horizontalmente se percibe (figura 25). A cada vuelta delrodillo, los puntos del universito marcaron su huella sobre un representante módulo enteros. Cualquiera de losentintados emitirá luz en la dirección de o. Esta trayectoria se puede seguir abajo, y ΩTo deberá ser losuficientemente inteligente para esquivar con su cuerpo el paso de este rayo antes de que sea percibido, antes deque dé tantas vueltas al cilindro como lo requería la imagen en cuestión, el punto entintado en R2 que escogimosdentro de la pequeña franja.

Figura 27.

Pensemos un momento que esta franja del espacio perceptivo es un universo en sí, donde todas las imágenes sonentes separados, que manejan muy bien su hacelamano-hacelatrás. Y quitemos piso y techo. Tendremos ahora uncilindro horizontal infinito, pues la segunda coordenada del universito es un S1 . Entintemos de nuevo, y rodemosel rodillo por todo el piano; corolario del trabajo en dimensión 1, obtenemos el espacio perceptivo de ΩTo, en T 2



: una imagen, ΩTo- n llamésmola, para cada n ∈ Z2, centrada ahí, y con todos sus puntos correspondiendo(módulo enteros) a los de ΩTo, el único ser que habita este pequeño universo de volumen, área, mejor dicho eneste caso, igual a un cuadrado unitario, cuarto cómodo para ΩTo. Si pensamos a ΩTo- o como subconjunto de R2 , centrado en el origen, entonces ΩTo- n será el transladado de ΩTo- n por n, es decir (ΩTo- n) = (ΩTo-o) + n.

Figura 28. Percepción de W To en el toro bidimensional.

Apaguemos la luz. Y pensemos que al momento de abrir los ojos en T 2 , ΩTo empieza a emitir su luz cotidiana.Un instante después, al concluir la luz su primera vuelta, aparecerán sus cuatro canchanchanes vecinos, y antes de

concluir el segundo instante, por ahí del tiempo , surgirán cuatro más en las esquinas, etc., etc. Después de Ninstantes, se podrá ver a ΩTo- n siempre y cuando | n| ≤ N, donde | n| es la distancia al origen, medida siguiendo a

Pitágoras, por | n| = donde n = ( n0, n1). ΩTo irá sintiendo la enormidad de R2, su espacio

perceptivo.

Nótese por último, antes de entrar en movimiento, que desde la sección de su topología, no hemos intentadodibujar al toro bidimensional más que en pequeños pedazos. Esto es causal.

Habiendo definido su geometría por un producto cartesiano cuyos factores corresponden a los haces paralelos"horizontal" y "vertical" en los dibujos, así como al uso dado al postulado quinto, hemos obligado a T 2 a que enporciones pequeñas (que no se autodesborden) sea como esta hoja de papel; lo hemos decretado a imagen ysemejanza local del plano euclidiano (de la geometría plana o euclidiana, diríamos para las demás dimensiones).

De allí su apellido, el toro plano, que habíamos usado en títulos pasados; y de allí, también, que no hayamosintentado dibujarlo, pues ni siquiera en R3 = E3 cabe sin que haya que deformar, torturar hasta distorsionar, suverdadera geometría; sumergirlo en R3 sería tanto como diseñar un rodillo rígido, de superficie toroidallocalmente plana —papel sin dobladuras—, que gire como birrodillo que imprime impecable sobre dosdirecciones perpendiculares; T 2 es una imposibilidad física del espacio tridimensional, una realidad matemáticasumergible isométricamente sólo hasta R4, el espacio plano tetradimensional. Como ejemplo indicativo de laveracidad de este teorema, que no demostramos, nótese que en la figura 16, que representa a un toro en R3, loscírculos de uno de los factores (el horizontal) cambian cíclicamente de tamaño, algo que nunca sucedería ennuestro toro plano; o bien, obsérvese que al cubrirlo con papel maché habrá que usar pedacitos y mucho engrudopara flexibilizarlos; no es localmente isométrico a un plano.

EFECTOS ESPECIALES



Hemos rendido cuentas de la panorámica general que nuestro joven personaje de la agorafobia en el Tiempo IIpercibe al estar solo en el toro plano. Para concluir nuestros apuntes sobre/en este espacio, comentamos, breve eintuitivamente, la fundamentación matemática de dos escenitas que ocurrieron ahí; dejando el efecto sonoro—canta ΩTo el tema de La Novena de Beethoven, se escucha, y trata de hacer música, ¿qué sucede?— al trabajode ejercitación y entendimiento del lector estudioso, y manteniéndose, para las figuras y el pensamientogeométrico —como ya habíamos establecido—, en el caso bidimensional.

Ilusión óptica relativista

El problema que nos planteamos aquí es ¿qué ve ΩTo al moverse en T 2?

Para responder en forma precisa, habría que describir en forma precisa su movimiento:

Podemos pensar que T 2 está fijo y que ΩTo se desplaza en él. Pensemos a ΩTo como un simple conjunto depuntos, Ω, cohesionados entre sí de alguna manera, biológica quizá, para mencionar, aunque sea de paso, untérmino mágico. Y tenemos que para cada tiempo t , ΩTo ocupa un determinado lugar en su universo. Entonces, elmovimiento estará determinado por una función

f :: Ω x R → T 2;

donde el factor R parametriza al tiempo. Así, si z ∈ Ω (que representa, por decir algo, la punta de un zapato), f (z,

t) es la posición de z en el tiempo t.

Lo que ΩTo verá en un tiempo determinado t0 está dictado por el tiempo pasado. De hecho, como ya habíamos

acordado desde las "Notas generales", recibirá un estímulo e = (p, d, t) asociado a algún punto z ∈ Ω, si y sólo si:i) p = f (z, t) , es decir, z estuvo en p en el tiempo t (para lanzar su estímulo), y ii) saliendo de p en la dirección d avelocidad-luz y sin volante —como rayo de luz— llegamos en un tiempo t0 - t a f (o, t0), es decir, origen

perceptivo y estímulo luminoso se dan cita a las t0 en el punto p0 = f (o, t0), y llegan justos.

Figura 29. Foto en tiempo t0.



Nos ahorramos el exigir que el viaje de e no haya sido obstruido por ΩTo en su recorrido incógnito —dictado por f —, pues hemos aprendido ya de las transparentaciones.

Veamos un ejemplo sencillo. En T 2, pues, cabe subrayar que lo que llevamos de sección y algo de lo que sigue esgeneralizable a otros universos, aunque lo mantengamos en silencio para no pecar de abstractos y salir rápido deltrance. En T 2, decíamos, y con el movimiento más simple de todos: el inercial a velocidad constante v, no cero ymenor a la de la luz, es decir 0 <v < 1, pues recordemos que la velocidad-luz ha quedado determinada por el 1 ennuestra parametrización de T 2. ΩTo viaja, sin esforzarse, en movimiento rectilíneo uniforme; y, para simplificarloaún más, supongamos que es "hacia arriba" la dirección positiva del segundo factor de nuestro toro (siendo v más-menos a medio cuerpo por instante en los dibujos que siguen, aunque el texto proceda en general para cualquier v entre 0 y 1, dejándole rebasar esta cota superior al lector). En este caso, la función de movimiento es sencilla, asaber f (( x0, x1), t) = ( x0, x1 + tv), donde z ∈ Ω se identifica con su posición ( x0, x1) en el tiempo 0.

Figura 30.

Revivamos pues a ΩTo, quien, tras parametrizar su espacio perceptivo en relación nítida con su universo, regresade un sueño bien merecido. Abrámosle los ojos en el tiempo t0 para que tome una foto de lo que percibe en el

instante justo t0 = 0. Y supongamos que viene moviéndose como indicamos arriba desde siempre, es decir, con

todo el tiempo que requiera para estudiar su situación.

Sabiendo que estamos en T 2, instintivamente buscamos a ΩTo-1 (donde 1 = (1,0) ∈ Z2), nuestra imagen vecina.



Figura 31.

A distancia uno no hay nadie. Pues hace un instante estábamos en (0, - v) (1, - v), y en (1, 0) = 1 ~ o no habíanadie; a menos que ΩTo sea cabezón respecto a la velocidad. Notemos, inclusive, que la luz que salió de o ∈ Ω en t = - 1 con la dirección de la figura, todavía no llega a (0, 0) en el tiempo t0; la distancia de (1, - v) a (0, 0) es

mayor que 1.

Figura 32.

Para encontrar a ΩTo-l, nuestro fiel compañero de andanzas que debe andar por ahí, tenemos que retroceder másen el tiempo, y por ende, bajar en su línea vertical, equivalente a la de nuestro movimiento perceptual. Su centrodeberá llegar al punto 1(~o) en un tiempo igual a su distancia al origen. Es decir, hay que resolver la ecuación.

Figura 33.

Sea entonces t1 la solución negativa a esta ecuación, que existe por hipótesis. El estímulo luminoso que sale del

origen de ΩTo en la dirección de (1, t1 v) a (0, 0), es percibido en el tiempo t0 ; "autopase completo de ΩTo a

ΩTo".



Figura 34.

Y ya que descubrimos el centro de ΩTo-l, busquemos sus zapatos, o bien, un punto z bajo su centro, para ser másprecisos. Fijémonos en z en el tiempo t1 ; el rayo que emite hacia o no llegará a tiempo a su cita para ser percibido

en t

0

.

Figura 35.

Sin embargo, nuestra intuición nos dice que debe haber un z-equivalente rondando a un o-equivalente; un zapatose conecta por un cuerpo a su cabeza. En efecto, pero debemos buscar al z de ΩTo-l más en el pasado; y notandoque z viaja rígidamente pegado a o y por la mismita vía, obtenemos la siguiente figura, "foto en t0".



Figura 36.

Nuestra imagen vecina (lateral a nuestro movimiento), ΩTo-l, se ha retrasado y alargado.

¿Puede el lector dar las coordenadas precisas de z ∈ ΩTo-l (figura 36)?

¿Puede explicar por qué la imagen que viene persiguiendo ΩTo se verá más cerca y achaparrada?

Figura 37.

¿Se aventura a añadir imágenes a la figura anterior?

¿Puede imaginar qué pasa si ΩTo empieza a maniobrar, cambiando la dirección de su vuelo?, ¿si empieza aacelerar, se acerca, juega con, y rebasa la velocidad de la luz?

¿Puede demostrar que un punto x + Z2 ∈ T 2 presenta como imágenes en el espacio perceptivo en el tiempo t0 = 0,



al siguiente conjunto

donde v = (v0, v1) es el vector velocidad del movimiento rectilíneo uniforme en que viaja ΩTo desde tiempoinfinito?

¿Puede usar esta fórmula para hacer que una computadora dibuje espacios perceptivos de T 2, bajo distintas yvariables condiciones de movimiento —inercial, para empezar?

Deformación de la geometría (topología)

Es claro que si ΩTo (viviendo en T 2) lanza un mecate por su lado derecho lo recibirá con su mano izquierda.¿Qué pasa si buscando aproximarse a sus imágenes jala con fuerza de ambos lados?

La física de nuestros universitos no ha sido definida con la precisión suficiente como para deducir una respuesta.

Podemos, sin embargo, tomar dos caminos: decretarlos rígidos, de tal manera que la geometría permaneceinalterada, siendo entonces infructuoso el jaloneo —y esta sección— o bien, suponer que la energía—concentrada universalmente en los músculos de ΩTo— es capaz de modificar la estructura geométrica.

Para la Soñata (en el pasaje que enlaza los dos subtiempos del Tiempo II, cuando nuestro joven personaje,huyendo de la agorafobia, cayó jalándose a sí mismo en la claustrofobia, acabando a punto de orinarse ante latortura, o bien, de perecer por asfixia) tomamos la segunda ruta, guiados por la intuición topológica. Me ciño alson de la Soñata.

Al jalar ΩTo de una geodésica cerrada, de una curva de longitud mínima entre sus vecinas, la dejamos ceder, esdecir, permitimos que se acerquen sus manos reduciendo un poco el largo de su cuerpo.

Figura 38. Figura 39.

La geometría cambia; la topología permanece. Se acortó una curva, una cuerda tensa por la resistencia deluniverso, pero a la topología las distancias la tienen sin cuidado. En el justo momento del jalón, suponemos que eltoro con el cinturón apretándose se vería en foto instantánea y con la geometría de vivir en R3, como algo así:



Figura 40.

Pero si dejamos las cosas tal cual vagamente están, perderíamos la planaridad del toro, su definición precisa, ytoda la herramienta que con tanta paciencia hemos construido.

Suponemos entonces —aunque me gustaría invocar alguna ley pomposa, es simple hipótesis de trabajo— que esteuniversito tiende a aplanarse; que busca homogeneizarse y después de unas vibraciones (que no me atrevo adefinir) por su espacio continuo de geometrías, regresa a un estado de planaridad local, ganando ΩTo un poquitode terreno. Es fácil precisarlo: reducimos el tamaño de un factor S1, el que se apretó.

Figura 41.



(Anoto que) ΩTo no tuvo tiempo de montar en su aparato descriptivo de la realidad perceptivo-visual quéaconteció al irse incorporando al pasado este simple fenómeno de propinarle un jalón que le duela y afecte a suuniverso (para que quede como ejercicio avanzado), pues se fijó más bien en el "dolorcito" aquel que sintió en elpecho y que significaba la deformación local de la geometría, la salida momentánea y tensa de la planaridad puntoa punto. Pero regresó a ella y siguió jalando, aprendiendo a sentir (disfrutar) los "escalofríos eléctricos", hastaagarrarse de sus manos extendidas y abrazarse gustoso a sí mismo. Sin dificultad, encaramándose ahora sobre lostocados, hizo lo mismo con la dirección perpendicular, reduciendo el otro factor.

Figura 42.

Puede ahora tomar su pie izquierdo, extendiendo hacia arriba su mano derecha y jalar fuerte con sendosmiembros.



Figura 43.

Ha cambiado la geometría, y quizás el área se haya resentido un poquito; pero, guiados por la intuición de la rejaque se reclina sobre un eje, o por el último dibujo, podemos definirle su geometría al nuevo toro: es el cociente de R2 módulo el subgrupo de combinaciones (posibles sumas) enteras de 1 y 2 (véase la figura). Podríamos pensaren una reparametrización a la Descartes, en que sólo hemos cambiado las varas de medir, puesto que la suma de R2 coincide con tomar distancias dirigidas de un origen fijo en el plano euclidiano, para luego usarlas como pasosde un mapa del tesoro. Tenemos que, dados dos tipos de pasos dirigidos, no colineales, retornos permitidos,

podremos llegar saltando a unas islitas parametrizadas por Z2 (parejas de números): "cuántos brincos de uno ycuántos del otro tipo". El nuevo toro consiste entonces en las posiciones relativas a nuestros puntos-islotes, con lageometría heredada por el plano euclidiano que lo cubre; las varas de medir en este nuevo universo se han"descuadrado" (abandonado la perpendicularidad) y se han acortado respecto a su único habitante.

En este proceso de jaloneo (que terminó, al avanzar la agorafobia, en patadas y empujones desesperados) noshemos movido por las geometrías del toro. Y ahora estamos hablando del toro topológico: el que se mantuvoinamovible ante las deformaciones; el que siempre siguió dando su forma básica, su cohesión puntual al universo,sin importarle distancias, áreas, volúmenes o ángulos. (El que, con alguna de sus geometrías y en la dimensiónadecuada, podría ser el nuestro.)

Notemos además que le estamos dando al toro geometrías planas, es decir, que fuera de perturbacionesdespreciables el espacio sigue siendo localmente euclidiano, justo como éste que ocupa nuestro cuerpo. Podemosentonces reducir el volumen del universo hasta hacerlo casi coincidir con el de su único habitante, dejando apenasun poquito de aire bordeando las pequeñas áreas de piel que no están presionadas por otras partes de la mismapiel, sin necesidad de especular sobre el comportamiento fisiológico —de los huesos, por ejemplo— antegeometrías que localmente no son planas, ante curvaturas extrañas a la de nuestra experiencia cotidiana.Supusimos, por cierto, que para reexpander su universo se requería algo más que la fuerza bruta, haciéndoseloimposible a nuestro cautivo personaje; de ahí que empujar se traducía en presión desde otras direcciones, y queirremediablemente se fuera reduciendo su universo hasta casi coincidir con su cuerpo. No nos atrevimos a llegaral límite. Sin embargo, Escher, con hermosas parejas de seres bidimensionales, sí lo ha logrado.

Figura 44

LA ESFERA



VISIÓN CON DEFINICIÓN

La caverna en que se refugió nuestro atormentado personaje claustrofóbico, el escenario donde transcurre elTiempo II en su parte segunda y última, la que se hizo caverna-tenis para finalizar en la agujeta-caverna-brócoli,es la hermana tridimensional de la distinguida familia de las esferas:

Sn = x ∈ Rn+1; x = 1.

La n-esfera, Sn, consta de los puntos a distancia uno del origen, de los "vectores" de magnitud unitaria, en Rn+1;podemos entonces explicitar

y dibujar los tres primeros casos:

Figura 45. Las esferas de dimensión 0, 1 y 2.

Las esferas obtienen su geometría al vivir, por decreto definitorio, dentro de un espacio euclidiano: el dedimensión siguiente.

Es fácil ver que las geodésicas, las trayectorias mínimas que unen los puntos, corren a lo largo de círculosmáximos. Nótese, para husmear el ¿por qué?, que entre más grande es un círculo en esta hoja, más se parece a unarecta. Así que para irse de un punto p0 con prisa de llegar a p1 , en el entendido de no salirse de esa esfera

"cascarita", lo mejor será agarrar por su intersección con el plano que pasa por el origen, p0 y p1 . Esta

intersección es un círculo máximo; un S1 tal cual se acaba de definir (los puntos a distancia unitaria del origen enun plano euclidiano); sobre ese S1, viajará la luz de p0 a p1 .



Figura 46. La geodésica de p0 a p1 en S2.

Obsérvese —de los mismísimos axiomas de Euclides, si se quiere— que el plano que acabamos de utilizar esúnico, salvo en el caso en que o, p0 y p1 sean colineales; y en este caso especial decimos que p0 y p1 , son

antípodas, forman un S0, su relación es distinguida, y cada punto en la esfera distingue a su antípoda de todos lospuntos de su universo, pues vienen en parejas.

Figura 47. Par de antípodas.

Un punto en la esfera comparte a todas sus geodésicas con su punto antípoda, es su Roma para los caminos de luzque de él emanan, su inverso para la suma, obtenido al cambiar los signos de todas sus coordenadas, o bien,multiplicando por -1.

Se explica entonces la escenografía.

Se mueve un origen perceptivo ó en la esfera. Si su antípoda - o , que se mueve conforme a o aunque esté muy



lejos, de hecho, lo más lejos posible para este universito —dos, tres metros en la Soñata—, está transparente, esdecir, si - o no afecta en nada a los rayos de luz que pasan por él, entonces este ser perceptivo se verá a sí mismoinvertido (en cada dirección ve el punto en que abandona su cuerpo el rayo que pasa por o en la dirección dada).Se sentirá en la caverna.

Pero en el momento en que ese punto antípoda al origen perceptivo, el "anticentro", se hace opaco, se recubre,digamos, de algún objeto material, verbigracia, un tenis, las cosas habrán cambiado drásticamente. Todos losrayos de atención que salgan de nuestro centro o , viajando por geodésicas hacia el pasado, chocarán con el objetoque cubre al anticentro - o. Lo veremos entonces en todas direcciones, interpretando, con nuestro mecanismo devisión tridimensional, a cada punto de su superficie visible como puesto a una distancia aproximada a la mitad de

la circunferencia del universo; llamémosle instante-luz; π radios o la distancia entre antípodas. En el espacioperceptivo (el euclidiano de la misma dimensión que la esfera-universo y que debemos identificar con el tangentea ella en o) veremos, desde su justo centro, toda una esfera —la hermanita menor del universo con el radiocitado— de estímulos luminosos rodeándonos, pero en la realidad, esos estímulos que forman una pantalla-caverna salieron todos del mismo punto, el antípoda, hace exactamente un instante, y vienen empapados con lainformación —el color, el tiempo— del punto por donde emergieron de la opacidad. Basta que el anticentro secubra, se opaque con un granito de arena, para que aparezca una caverna intermedia esbozando luminosamente auna hermanita menor, mostrándonos la superficie de aquel polvo alejado al máximo de nosotros.

Dejamos al lector que se explique solito los efectos visuales de los amaneceres del anticentro, o de suintroducción pausada y cuidadosa a una región opaca del espacio. Quizás ayude el siguiente boceto coreográficopara el movimiento escénico del punto antípoda al origen perceptivo en la escena de exploración del tenis.

Figura 48. Viaje del anticentro de acuerdo al tiempo II.ii.

ACCIÓN DE LA HERMANITA MENOR CON REINTEGRO

DEFINITORIO A LA CAVERNA

(Final en el dodecaedro)

S0, la hermanita menor de nuestra familia, la cero-esfera, es el conjunto 1, -1 de números reales que, con elproducto, forma un grupo, el más chico no trivial: al multiplicar por uno nada pasa, y al multiplicar por menos-uno se permutan (se comportan, pues, como pares e impares sumándose en los enteros. Por eso a este grupo se le



conoce también como los enteros modulo 2).

Ya que cualquiera de sus hermanas mayores admite a su vez ser multiplicada por S0 (por el uno fijándola y por elmenos uno permutando antípodas), tenemos una acción de S0 en S n y podemos pensar en su cociente, S n / S0:espacio continuo y métrico de órbitas (parejas de antípodos en nuestro caso). Podemos pensar así en estas órbitascomo puntos, e identificarlas (cada órbita entre sí) para formar un nuevo espacio de "posiciones relativas" a unaórbita dada, el cociente bajo la acción.

Esto ya lo hemos vivido.

Recordemos que al discutir nuestra visión en el espacio proyectivo descubrimos un plano al infinito de un puntoo, que llamamos ∞ (o); vimos también que cada punto en él se percibía al mismo tiempo-distancia en direccionesopuestas, es decir, los puntos del plano proyectivo ∞(o) , tal como los de cualquier otro, corresponden a las líneaspor o, o bien, a las parejas antípodas en una dos-esfera perceptiva. Generalizando, definimos entonces al n-espacio proyectivo como:

P n = S n / S0

Podríamos invitar al lector interesado a repasar, con esta definición en mente, la sección dedicada al espacioproyectivo, demostrando todo a su paso, empezando por los axiomas. Sin embargo, tendrá que aventurarse élsolo, pues en este punto el libreto nos obliga a concluir en un dodecaedro:

Considérese un pentágono (plano y regular por definición), pensándolo como lo acotado por cinco líneas cuyasintersecciones por parejas contiguas en un orden cíclico —llamadas vértices— limitan, en sus líneas respectivas,segmentos iguales —lados— que se encuentran en ángulos iguales, o bien, que distan lo mismo de un mismopunto —su centro.

Figura 49. Pentágono equilátero.

Este pentágono euclidiano, independientemente del tamaño de sus lados, tiene los ángulos fijos, entre 90° y 120°(tres pentágonos no ajustan pero cuatro sobran para una vuelta).



Figura 50. Para una vuelta, cuatro pentágonos sobran y tres no alcanzan.

Y será esencialmente el mismo si lo metemos a vivir en una esfera inmensa (sus medidas no cambian aunquerecordemos que la Tierra es redonda); pero cambiará su geometría conforme sus dimensiones se aproximen a lasde su universo. Fijemos, para ver esto, un origen o en S2 Si lanzamos desde o cinco estímulos regularmentedistribuidos, y pensamos en los segmentos geodésicos, que cíclicamente los unen en todo momento, tendremos,con centro fijo, a una familia creciente de pentágonos esféricos regulares. Cuando los cinco vértices emisarioslleguen al ecuador ortogonal del centro de partida, los cinco lados se ajustarán para formar una sola geodésica(¿qué sucede con este experimento en P2 ?); el ángulo del pentágono ha llegado a 180°, y éste se ha convertido enla cascarita de una media naranja, perdiendo los "picos".

Figura 51. El ángulo de los pentágonos esféricos varía conforme al radio.

Podemos concluir que en algún punto de su viaje los emisarios forman un pentágono regular cuyos ángulos miden120° tres de éstos se acomodan justos por sus esquinas:



Figura 52. Pentágonos esféricos con ángulo de 120—.

En los nuevos huecos van embonando otros de estos pentágonos, y otros más. Con doce de ellos se ha cubiertopor completo a la esfera, que queda enmosaicada con pentágonos iguales, dispuestos con la estructura deldodecaedro (esférico, especifiquemos). Los vértices de cada mosaico están en un plano euclidiano (como loestarían los de cualquier pentágono o polígono esférico regular; al espacio que queda acotado por estos doceplanos en R3 , se le conoce, desde los griegos y asociado al nombre de Platón, como dodecaedro (que aquí apellidaremos euclidiano). Este sólido queda inscrito en la esfera original y comparte con ella sólo sus veintevértices.

Figura 53. Dodecaedro esférico y dodecaedro euclidiano (uno de los sólidos

platónicos).

Consideremos ahora...



TERCERA LLAMADA, TERCERA

¡Shh!...

—...Finaliza el intermedio; regresa cuchicheante el público a sus lugares; y, para variar, nos ha ganado el tiempo.Sólo nos queda entonces, amigos televidentes, pedirle al escenógrafo que tan gentilmente nos ha acompañado enla cabina, un apunte brevísimo sobre el escenario del último acto de la Soñata que estamos a punto de reiniciarpara conluir, en su estreno mundial que transmitimos hoy, en vivo y a todo color, por XFCE. ¿Tiene algo rápidocon qué concluir, señor escenógrafo?

—Bueno. A ver... Recojamos nuestro tinglado. En la Soñata nos habíamos quedado dentro de la tres-esfera, S3 , lacaverna-tenis-agujeta: reingresemos a ella. Y estábamos a punto, en los Apuntes, de considerar al dodecaedroesférico, figura 53, como dibujado en el plano, dos-esfera máxima, S2, ecuador de distancias entre nuestro origenperceptivo y su anticentro o antípoda (recuerden, estamos en S3).

Mandemos llamar a nuestros veinte emisarios (vértices del dodecaedro ecuatorial) jalándolos por sus hilos-luz anuestro origen. Notemos que un instante imperceptible, un infinitesimal antes de llegar, forman un dodecaedroeuclidiano indiferenciable de estos de ónix que tengo en mis manos. Observen ustedes cómo puedo juntar a tresde ellos por una arista, sobrando algo de espacio para el ajuste impecable; conclúyase, pues, que en algúnmomento pasamos por un dodecaedro esférico de empaque ideal: caras encontrándose en ángulos de 120 grados.Quedémonos en el interior sólido en S3 de este dodecaedro esférico específico, ajustando su volumen al de este

cuarto inflando a toda la esfera. Y ahora, deshagámonos de su frontera: identifíquense piso y techo pentagonalestirando de ellos hacia el centro y empalmándolos isométricamente al llegar a él por el giro de mínimo esfuerzo,anulándoles así su condición de frontera. Procédase asimismo con las cinco parejas restantes de caras opuestas. Sehan borrado los límites. Estamos ya en el espacio dodecaédrico, también conocido como la variedad de Poincaré,definible como el espacio fase de dodecaedros inscritos en una esfera euclidiana fija, o como cociente de ciertoshermosos grupos, o por medio de cirugía en el nudo trébol, o de algunas otras maneras muy bien documentadasen la cuarta sección de mis apuntes. Sin embargo, lo importante no es que...

—Discúlpenos, señor escenógrafo, pero nos piden ya silencio absoluto, concrete rápido.

—Bueno, agradecer la atención del público... de nuestros patrocinadores... y que en el mundo matemático actual,lo que no sabemos es lo que dice el Mago que...

—Muchas gracias por su presencia en esta cabina, señor escenógrafo. Y ahora, de acuerdo con el programa,retornemos a la Soñata.



[Nota 1] [<--]

ota, ∈ es el símbolo que denota pertenencia a un conjunto; se lee "en" o "es elemento de". El símbolo ∩ denota intersección de

juntos



TIEMPO III EL MAGO DEL DODECAÉDROMO

.... porque entonces el tiempo,

todo entero, no es más que una

larga noche.

...

Porque temer la muerte, atenienses,

no es otra cosa que creerse sabio

sin serlo

y creer conocer lo que no se sabe.

...

Sólo sé que nada sé.

...

Pero ya es tiempo de que nos

retiremos de aquí, yo para morir,

vosotros para vivir.

PLATÓN: Apología de Sócrates

LAS dudas, esos tenues trazos de saber acariciando la virgen superficie blanca de lo que no sabemos, vanesbozándose como musas. Mis dudas, esas hermosas niñas que una vez precisas y vistas a los ojos descubren suíntima amplitud en una presencia contundente, obsesiva, luminosa y coqueta, y que entonces podríamoscontemplar y explorar con tiento placentero por largo y tendido rato, han sido la guía y el motor de misinnumerables viajes. Sin embargo, las claves que hoy busco están en los inicios. Nunca, como ahora, los habíarevivido con esta minucia, pero es que ahora sé que en los pequeños detalles, escondrijos y emociones, que tantotiempo había pasado por alto, están las bases para construir el puente sólido que ansío tender aquí con midurmiente.

Me es extraña la sensación que siento al repasar mi vida. Invitan la paz y la serenidad que siempre me ha

infundido este pequeño universo dodecaédrico; dodecaédromo, he acabado por llamarlo. Se conjugan en él elcalorcito dulce de la caverna, ahora más espaciosa —"como gruta", hubiera dicho de niño—, con las ciento veinteimágenes mías que en simetría nítida, racional y armoniosa me acompañan. Estas ya no me asustan ni me atraencomo aquéllas de mi estancia juvenil en el triciclo, que al dejarse sentir en primera instancia como trilínea, miespacio perceptivo, hacía que mis imágenes se repitieran por siempre sobre tres líneas básicas a intervalosconstantes y combinándose conmutativamente entre ellos para formar el "timbiriche" de igualitos. No, ahora lasentiendo, soy yo y sé porqué soy yo. He aprendido a trascender la vista y sus imágenes para percibir la curvatura,para adaptar, acoplar y modificar la geometría con mi entendimiento. He aprendido también a controlar elvolumen y sintonizar la forma de mis pequeños universos con las manivelas de mi conciencia y mis emociones.Explorar, entender, clasificar estos espacios ha sido la causa de mi existencia. Y hoy puedo decir que sé todosobre ellos; bueno, a sabiendas de lo obvio, de que siempre quedan por ahí pequeñas dudas, musas de luminososojos cautivadores que quizás atraparán a algún corazón furtivo guiándolo por parajes majestuosos que ya no me es



dado recorrer. Está bien, digamos que no sé nada, o todo lo que de aquí me interesaba. Y es a este dodecaédricoespacio —que conocí poco tiempo después de cerrar por la agujeta de un tenis a la extrásfera— a donde siemprevengo a pensar, reflexionar, sintetizar, planear rutas o definir preguntas; acabo aquí cuando necesito paz ylibertad, alimentos de las mentes errantes y creativas; aquí aparezco por la fuerza de las dudas que me llevo aldesaparecer, casi siempre por agotamiento. Aquí, morada de mis más intensos tiempos, se me han abierto grandespuertas y aquí las he ido cerrando.

Aquí, donde se ven diez docenas de yos.

Primero está mi séquito. Mis doce canchanchanes vecinos, una docena de yos trasladados y rotados una hora en

un reloj de diez a lo largo de los ejes que unen mi centro con los suyos, dispuestos como centros de las caras deun dodecaedro imaginario, que, de haberse expandido radial desde mi origen, desde mi centro, se hubierarepetido, rebosado en la realidad de este universo, sobre sí mismo justo a la mitad del camino que, en lo quepercibo, lo lleva a posar sus caras pentagonales en mis doce discípulos. De cada uno de ellos se sigue, consucesivas rotaciones de décimos de vuelta, un collar helicoidal de diez cuentas, de diez yos que confluyen en mí al retornar por el lado opuesto, pasando por mi antiyó —"la caverna": esa primera visión del primer viaje, esaimagen mía que la forma de este universo hace aparecer en la extrásfera hecha de los antipunto de todos lospuntos de mi ser. Así, he dado cuenta de cincuenta: seis collares decénicos que veo, desde su centro, como losdoce pistilos de un diente de león que confluyen después de cuatro yos, en mi antiyó.

Todos vemos lo mismo, pues soy yo.

El séquito de cada uno de mi séquito comparte cinco con el mío —los lados de una cara del dodecaedro,invisibles como aristas de empaque perfecto de tres cuerpos—, me tiene a mí y al que le sigue en su helicoide, ensu pistilo, completándose con cinco del segundo estrato relativo a mí. Esta segunda capa está formada por veinte,rotado cada uno dos horas de doce alrededor del eje que dibuja el vértice del dodecaedro que se expande otropoco para posar sus vértices, veinte, sobre los centros de mis imágenes en el segundo estrato, las cuales, junto conlas correspondientes a mi antiyó, él y yo, conformamos diez collares helicoidales de seis cuentas. Llevamosnoventa.

Los otros treinta son rotaciones rectas en los centros de las aristas del dodecaedro que se ha expandido más hastaposarse, ya sin picos o aristas, o hasta dibujarse apenas, pues de hecho se ha convertido, al momento de alcanzarsu área máxima, en la esfera ecuatorial simétrica de mí y mi antiyó. Ese ecuador esférico, que corresponde tanto ami centro como a su antipunto, constituye en la extrásfera uno de tantos planos así como uno de tantos puntos;

pero en la realidad del dodecaédromo, consiste en los doce pentágonos de mi dodecaedro íntimo, aquél que agotaa este universo justo en el momento de tocarse a sí mismo, pasando además por mi centro treinta veces, en quinceparejas de hexágonos de orientación opuesta; pero estas figuras no se fragmentan, se pegan, se continúan, como seobserva en el plano ecuatorial; recordándome algo del mundo de mi durmiente: los gajos de uno de esos balonesde futbol.

Pero hace tiempo que no veo a mis diez docenas, doce decenas de mís, con dudas, relacionándolos conmigo comoellos se relacionan entre ellos, los entiendo y más bien los abstraigo dejando que su armonía cobije, que susimetría fermente a mis reflexiones.

Aquí, decía, he logrado mis síntesis y redondeado mi entendimiento; aquí he balbuceado, ideado, razonado ydescubierto a los enunciados claros y precisos que rigen a los universos. Sé enumerarlos, describir de muy

diversas formas su infinito armonioso, diferenciarlos entre sí como buena maestra. Reconozco sus formas,entiendo sus continuos de geometrías y estructuras, y sé cómo se deforman. He luchado con ellos tierna eintensamente y ya los tengo acojinados en su cajita envuelta para regalo; y hoy lo que busco es entregarla. Sé quemi única salida es mi durmiente, pues sólo conversando con él concluyo mi trabajo; necesito transmitirlo porqueya estoy cansado. Sé bien que las preguntas que me quedan, las musas que aún se dignan mirarme, rebasan mitalento. Sé que la certeza sobre este espacio y sobre todos los posibles, esencia de mi vida, no vale nada si no esofrendada, despojada, trascendida.

Hoy, aquí, busco a mi durmiente. ¿Quién es?

Aquí, hoy, busco al durmiente que me sueña para entregarle algo de mi certeza. Lo veo, con sus atuendos, gozos ytemores, adentrándose a mi joven y niño, y entonces algo de él comprendo, pero del de hoy sé poco, casi nada.



Debe tener cultura, es decir, ser humano en alguna de sus formas bellas, persistentes y profundas, pues me hasoñado, me sueña, con ternura, alentando mis pasiones y dándome grandes libertades. Debe parecerse a mí peroya no estoy cierto si su cuerpo es el mío pues sé bien que mi alma no abarca por completo a la suya; aunquequizás ese extraño peso que hoy se posa en mi ser viene de él... Pero ¡qué hago! Me concentro en mi durmiente alcuetionármelo, floto hacia él sin dudas, desasiéndome de mis musas, olvidándome de mi universo, o, peor aún,dejándolo en la certeza como ésa de la fuerza inmensa que me está jalando

—Tierra, creo que la llaman— ¿dónde?...

-¿Dónde es aquí?

SHOULD LANTERNS SHINE, the holy face,

Caught in an Octagon of unaccustomed light,

Would wither up, and any boy of love

Look twice before he fell from grace.

The features in their private dark

Are formed of flesh, but let the false day come

And from her lips the faded pigments fall,

The mummy cloths expose an ancient breast.

I have been told to reason by the heart,

But heart, like head, leads helplessly;

I have been told to reason by the pulse,

And, when it quickens, alter the action's pace

Till field and roof he level and the same

So fast I move defying time, the quiet gentleman

Whose beard wags in Egyptian wind.

I have heard many years of telling,

And many years should see some change.

The ball I threw while playing in the park

Has not yet reached the ground.

DYLAN THOMAS

Si relumbraran linternas, la cara sacra,

presa en un Octágono de luz insólita,

marchitaríase, y todo niño del amor

miraría con tiento antes de perder la gracia.



Los semblantes en su tiniebla propia

están formados de carne, pero llegará el día falso

y de los labios caerán percudidos pigmentos,

los paños de momia expondrán un seno antiquísimo.

Se me dijo que razone según el corazón,

pero corazón, como cabeza, desvalido rige;se me dijo que razone según el pulso

y que, cuando se avive, altere el paso al acto

hasta que techo y llano yazgan al ras e iguales

Así veloz me muevo desafiando al tiempo,

el caballero apacible cuya barba se mesa en viento egipciaco

He escuchado años y años lo que nos dicen

y en muchos años debería darse un cambio.

La pelota que lancé cuando jugaba en el parque

aún no toca tierra.

DYLAN THOMAS

(Versión al español de Héctor Manjarrez y Javier Bracho)



LECTURAS RECOMENDADAS

Abbott, Edwin A., Flatland. Dover, Nueva York, 1975.

Un clásico de reciente centenario (1884), de cuyos personajes, estilo, trama y espíritu se conocen ya múltiplessecuelas, tanto en la literatura como en la tradición oral con que se enseña la geometría. A la vez, un documentohistriónico de la sociedad victoriana en que fue escrito. Existe una traducción al español editada por EdicionesGuadarrama, Madrid, 1976.

Hernández Lamoneda, Luis, Varias formas de ver la Esfera de Poincaré. Tesis Facultad de Ciencias, UNAM,1983.

A nivel de licenciatura se demuestra la equivalencia de algunas definiciones de la variedad de Poincaré. Basadoen el artículo de Kirby y Scharlemann y el libro de Montesinos.

Kirby, R. C. y Scharlemann, M. G., "Eight Faces of the Poincaré Homology 3-Sphere", en Proceedings of the1977 Georgia Topology Conference, James C. Cantrell (comp.), Academic Press, 1979.

Micha, Elías, Introducción a la topología (clasificación de superficies). Notas del III Coloquio del Departamentode Matemáticas del CINVESTAV, La Trinidad, Tlaxcala, agosto de 1983.

Dirigido a estudiantes en diversas ramas y sin prerrequisitos matemáticos, además del interés por saber qué es latopología, este libro expone una demostración elegante y moderna de un hermoso teorema clásico. Simplementele antepondría "excelente" al título.

Montejano, Luis, La cara oculta de las esferas, La Ciencia desde México, Fondo de Cultura Económica.

¿Qué son las matemáticas? es una pregunta que quizá sólo se puede responder con ejemplos; y este libro es unoimpresionante. De los objetos cotidianos (las piedras, las papas, los focos y los cuchillos) Montejano construyeuna teoría geométrica que cuestiona a la esfera misma y pone en nuestras manos a la matemática viva.

Montesinos, José Ma., Variedades de Mosaicos. Sexta Escuela Latinoamericana de Matemáticas, Oaxtepec,

Morelos, julio de 1982. Publicaciones del CINVESTAV.

Se requiere de cierta "madurez matemática" para abordar este texto. Empezando por las definiciones generales devariedad, llega a tratar temas de actualidad en topología geométrica, aunque mantiene siempre un innegable saborclásico. Basado en este libro, Montesinos publicó recientemente una nueva versión en Springer Verlag.

Rucker, Rudolf v. B., Geometry, Relativity and The Fourth Dimension. Dover, Nueva York, 1977.

Reviviendo a los personajes de Flatland, Rucker expone en forma clara, amena y accesible la nueva visión delUniverso que se ha gestado en este siglo. Reúne material diverso (físico, geométrico y filosófico), integrándolo enun todo armónico con amplio y agradable sustento gráfico. Un gran libro de divulgación, que incluye unaestupenda bibliografía comentada. (Parece ser que hay una revisión reciente publicada por Houghton-Mifflin,

1984.)

Short, Hamish, "Un diario británico anuncia la demostración de la Conjetura de Poincaré", en El Irracional, periódico de la Sociedad Matemática Mexicana, núm. 1, 1986.

Reportaje sobre el más reciente anuncio de una demostración a la conjetura clásica en topología, la de Poincaré.Posteriormente, se encontró una falla a esta propuesta de demostración (véase El Irracional, núm. 2).

Thurston, William P., Three-dimensional Geometry and Topology. Princeton University Press.

Quizás el texto más citado en topología y geometría en los últimos años. Las primeras páginas dan una clara ideade lo que sería vivir en las diversas geometrías. Para seguirlo se necesita una buena formación matemática, pero



hasta donde llegue uno es un placer.

Thurston, William P. y Weeks, Jeffrey R., "Matemática de las variedades tridimensionales", en Investigación y

Ciencia, núm. 96.

El original se publicó en la revista Scientific American. Por tanto, debe poder leerse, y en ciertos casos, debeleerse.

Weeks, Jeffrey R., The Shape of Space: How to Visualize Surfaces and Three-Dimensional Manifolds. MarcelDekker Inc., Nueva York y Basilea, 1985.

Por muchos años la topología se distanció de la geometría (en el sentido de estructura más rígida sobre unespacio), pero recientemente, su reunificación ha cobrado gran ímpetu. El papel que en este proceso representó elcitado libro de Thurston para la investigación lo tomará este libro a nivel de divulgación y enseñanza. Conejercicios, experimentos y juegos (como el "gato toroidal", por ejemplo) que desafían la imaginación, y con algode secundaria en la vida como prerrequisito, Weeks conduce al lector a los umbrales de esta corriente viva yenérgica de las matemáticas.



COLOFÓN

Este libro se terminó de imprimir y encuadernar en el mes de diciembre de 1996 en Impresora y EncuadernadoraProgreso, S. A. de C. V. (IEPSA), Calz. de San Lorenzo, 244; 09830 México, D.F.

Se tiraron 2 000 ejemplares.

La Ciencia desde México es coordinada editorialmente por MARCO ANTONIO PULIDO Y MARIA DELCARMEN FARÍAS.



CONTRAPORTADA

Se dice con frecuencia que las matemáticas se ocupan del número y de la forma; ésta es una manera muyesquemática de describir sus preocupaciones más importantes. En realidad, desde hace dos siglos los matemáticoscrean y estudian espacios geométricos que después son utilizados por el resto de los científicos en el desarrollo delas más variadas teorías.

Al profano le sorprende esta idea pues, en general, el concepto más extendido de espacio es el del espacio que nosrodea, al que concebimos amorfo y único. En este libro el autor no sólo aclara la noción moderna de espacio, sinoque permite al lector vivir en su compañía en varios de estos mundos, compartiendo las más diversasexperiencias, que en un principio nos parecen completamente fantásticas, pero que, poco a poco, se vanadmitiendo como más naturales para, finalmente, movernos en ellos como pez en el agua.

El libro invita a su relectura, pues se encontrará en ella sorpresas y nuevos niveles de entendimiento.

Sin proponérselo, el lector entrará en contacto con la geometría de hoy en día.

Javier Bracho es investigador del Instituto de Matemáticas de la UNAM profesor de la Facultad de Ciencias de lamisma en donde realizó su licenciatura. El doctorado lo obtuvo en el Instituto Tecnológico de Massachusetts(EUA). Su trabajo de investigación está centrado en el campo de la topología, donde también queda enmarcadala presente obra.

Portada: Maqueta, diseño de Roli Bracho y realización de Juan José Barreiro/

Fotografía: Eduardo Sepúlveda/Diseño Gráfico: Carlos Haces.

bracho, javier - en qué espacio vivimos

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