bonos y obligaciones

Matemáticas Financieras Capítulo 4. Bonos y obligaciones

Ricardo Coronado Velasco 1

4. Bonos y obligaciones

4.1 Conceptos básicos

Las obligaciones o bonos son documentos o títulos de crédito emitidos por un go-bierno o una empresa privada, a un plazo establecido, que ganan intereses pagaderos a intervalos de tiempo claramente determinados. Constituyen los instrumentos de finan-ciamiento, por medio de los cuales un gobierno o una empresa privada se agencia del dinero necesario para financiar sus proyectos a largo plazo. Pueden ser adquiridos tanto por personas físicas como morales: la empresa o gobierno que emite las obliga-ciones o bonos se obliga a pagarles un interés periódico y a reintegrarles su inversión al cabo de cierto tiempo.

4.2 Tipos de bonos y obligaciones

Cuando los títulos los emite un gobierno, se les denomina bonos; cuando una empresa privada, obligaciones o bonos corporativos.

De acuerdo con el destinatario se clasifican en:

a. Al portador, los que no tienen el nombre de su propietario. b. Nominativos, los que lo tienen.

Por el tipo de garantía que los respalda se dividen en:

a. Fiduciarios, aquellos cuya protección la constituye un fideicomiso. b. Hipotecarios, los que se avalan con hipoteca sobre bienes propiedad de la em-

presa emisora. c. Prendarios, si los respaldan diversos bienes. d. Quirografarios, cuando la buena reputación de la empresa emisora, en cuanto

al cumplimiento de sus obligaciones contraídas, los asegura.

Ahora bien, para el pago de intereses los bonos y obligaciones se emiten generalmente acompañados de cupones. Éstos son pagarés impresos en serie, vienen unidos al título y contienen impresa la fecha de su vencimiento. El tenedor del documento puede co-brar el interés ganado en un determinado periodo, desprendiendo el cupón correspon-diente y presentándolo al banco. Sin embargo, algunos bonos y obligaciones carecen de cupones: en estos casos el interés generado se capitaliza y se paga al vencimiento del documento. Por otro lado, existen bonos y obligaciones que no pagan intereses en absoluto. Son los llamados de cupón cero y se venden con una tasa de descuento: su valor de venta es inferior a su valor nominal.

4.3 Valor de una obligación

El título o documento del bono u obligación, tiene tres elementos esenciales:



1. Valor nominal: marcado en el documento, constituye el capital que el inver-sionista inicial proporciona al emisor del título, excepto en el caso en el que el documento se coloca con descuento.

2. Valor de redención: la cantidad que el emisor del título deberá entregar al te-nedor del documento, cuando se venza el plazo estipulado.

3. Fecha de emisión: aquella en la que el emisor coloca en el mercado de valores sus obligaciones o bonos.

Así, si el valor de redención es superior al valor nominal, se dice que se redime con prima; si inferior, se redime con descuento; y, si igual, se redime a la par.

Si bien un bono u obligación tiene una fecha de vencimiento o redención (estipulada claramente en el documento), el emisor puede redimirla antes de dicha fecha. Por su-puesto que para poder hacerlo es necesario que el documento contenga una cláusula de redención anticipada. Este mecanismo le permite a la empresa emisora retirar sus títulos en circulación cuando las tasas de interés en el mercado bajan, y sustituirlos por otros que paguen esas tasas de interés reducidas.

En cuanto a los intereses, el emisor los determina a través de una tasa de interés no-minal, también llamada tasa de cupón. Esta tasa, dependiendo de las condiciones del mercado financiero, puede ser:

a. Fija: vigente durante la vida del documento (y, por supuesto, establecida desde el momento de la emisión). Previene al inversionista contra las caídas de las tasas de interés.

b. Variable: fluctúa reflejando las condiciones del mercado prevalecientes y está vinculada a una tasa de referencia (Cetes, TIIE, etc.).

c. Real: se calcula periódicamente con base en el valor nominal del título ajusta-do con la inflación. Protege al inversionista contra la pérdida de poder adquisi-tivo de su inversión.

El organismo emisor le paga los intereses al inversionista a través de una serie de cu-pones que éste cobrará periódicamente. El valor de los cupones se calcula en términos de interés simple con la fórmula

R = N r

p⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

(4.1)

donde R es el valor del cupón; N, el valor nominal del bono; r, la tasa nominal o de cupón; y p, la frecuencia de capitalización al año.

EJEMPLO 4.3.1

Una compañía emite obligaciones con valor nominal de $150.00, el 1 de octubre de 2011. Los títulos se redimen a la par, el 1 de octubre de 2012. La empresa ofrece in-



tereses de 5.5%, pagaderos en cupones que se vencen los días primeros de los meses de enero, abril, julio y octubre de cada año. (a) Calcule el valor de los cupones. (b) Dibuje el diagrama de tiempo correspondiente.

SOLUCIÓN

(a) De acuerdo con los datos, la frecuencia de capitalización (p) es 4. De la Ec. 4.1 tenemos

R =150 0.0554

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = $2.06

(b) El diagrama de tiempo, incluyendo todas las cantidades es:

4.4 Compra y venta

El tenedor de un bono u obligación puede transferirlo (venderlo) a otro inversionista, antes de la fecha de su vencimiento. Se dice que la transferencia es con prima, si el valor de compra venta es mayor que el de redención; con descuento, si aquél es menor que éste; a la par, si son iguales.

El precio que paga un inversionista interesado en la compra de los títulos se denomina valor de mercado. La operación puede darse al vencimiento de alguno de los cupones, denominada en fechas; o bien, antes del vencimiento del siguiente cupón, pero des-pués del último, llamada entre fechas. En esta curso nos limitaremos al primer caso.

Además del tipo de garantía del título y de las condiciones económicas prevalecientes, el valor de mercado se fija de acuerdo con los siguientes factores:

ü La tasa de interés nominal. ü La tasa de interés deseada por el inversionista, conocida como de rendimiento. ü El intervalo de tiempo para el pago de los intereses (cupones). ü El valor de redención. ü El tiempo que hay desde la fecha de compra hasta la de redención.



Con ellos el inversionista puede calcular cuánto está dispuesto a pagar en la compra de un bono u obligación, suponiendo que desea un rendimiento determinado.

Para el inversionista la compra de un bono equivale a un préstamo que él hace al or-ganismo emisor. Por lo tanto, espera un beneficio. Éste se mide en función de una tasa de interés o rendimiento deseado, que aquí denominamos i. Esta tasa es independiente del de la tasa de cupón r que ofrece la emisora.

Si el inversionista quiere saber cuánto debe pagar por un bono para obtener un rendi-miento i, debe sumar el valor presente —a la fecha de la transacción— de las cantida-des que recibirá con la compra del título.

Éstas son dos:

1. El valor M de redención del documento, al vencimiento del plazo. 2. Un número explícito de cupones de valor R, que el inversionista cobrará perió-

dicamente en el banco

El valor presente del valor de redención se obtiene con la fórmula

M 1+ i

p( )−np (4.2)

donde np coincide con el número de cupones que faltan por cobrar, a partir de la fecha de la operación.

El valor presente del total de pagos R se calcula con la fórmula del de una anualidad vencida,

R1− 1+ i

p( )−npip

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

(4.3)

Sumando las Ecs. 4.2 y 4.3, obtenemos el valor de compra de un bono u obligación para un rendimiento deseado:

C = M 1+ ip( )−np + R 1− 1+ i

p( )−npip

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

(4.4)

donde, C es el valor de compra venta; M es el valor de redención del título; N, el valor nominal; r, la tasa de cupón o de interés que ofrece el emisor; i, la tasa de rendimiento



deseada por el inversionista; p, la frecuencia de capitalización por año; n, el plazo, en años, entre la fecha de compra y la de redención; y np, el número de periodos o el número de cupones que el inversionista recibirá a partir de la fecha de compra.

EJEMPLO 4.4.1

Una compañía emite obligaciones de $150 que se redimen a la par el 1 de julio de 2017, con intereses del 23.5%, pagaderos en cupones que vencen los días primeros de los meses de enero, abril, julio y octubre de cada año. ¿Cuánto debería pagarse por cada bono el 1 de octubre de 2012, si se pretende obtener rendimientos del 35% anual con capitalización trimestral? ¿A cuánto ascienden las utilidades para el inversionista que las compra?

SOLUCIÓN

Ya que los cupones se pagan en enero, abril, julio y octubre de cada año, se trata, por lo tanto, de cupones trimestrales. En consecuencia, se puede decir que el interés que la compañía ofrece es de 23.5% anual con capitalización trimestral.

Es importante verificar que las tasas i y r se expresan en el mismo periodo de capitali-zación, lo cual en este problema se cumple.

Además, entre el 1 de octubre de 2012 y el 1 de julio de 2017 hay 19 trimestres. Por otro lado, como el título se vence a la par, el valor de redención es igual al valor no-minal.

Así, los datos con los que contamos son:

Variable Valor N 150 M 150 p 4 np 19

De la ecuación (4.1), el valor de cada cupón es:

R =150× 0.2354

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= $8.81

Luego, sustituyendo en la Ec. 4.2, el valor presente del de redención:

150 1+ 0.354( )−19 = 30.47



De la misma forma, de acuerdo con la Ec. 4.3, el valor presente de los 19 cupones que falta por cobrar es:

8.81×1− 1+ 0.354( )−19

0.354

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥= 80.25

Sustituyendo ambas cantidades en la Ec. 4.4,

C = 30.47+ 80.25 =110.73

Con esto queda respondida la primera pregunta: el bono tiene un valor de compraven-ta de $110.73.

Ahora bien, la utilidad por bono es la diferencia entre lo que el inversionista recibe en total por cada bono y su valor de compra venta.

Lo que recibe corresponde a dos rubros: (1) el valor M de redención del bono, y (2) la suma de los 19 cupones, cada uno de valor R. Es decir, recibe

150 +19 ×8.81=150 +167.44 = 317.44

Lo que invierte es el valor de compraventa, o sea: $110.73.

Así, si simbolizamos con U la utilidad, U = 317.44−110.73 = $206.71, que es res-puesta a la segunda pregunta del problema.

COMENTARIO ADICIONAL

Nótese que el valor de compra venta es menor que el de redención (110.73 < 150.00). Entonces, la transferencia se hizo con descuento.

EJEMPLO 4.4.2

¿Cuál es el valor de compraventa de una obligación quirografaria con valor nominal de 150, intereses del 26.75% nominal en cupones mensuales, suponiendo que se redi-men a 115? La operación se realizó 5 años antes del vencimiento y se ofrecen al in-versionista con un rendimiento del 27.5% de interés anual compuesto por semestres.

SOLUCIÓN

Para comenzar, recordemos que las dos tasas, r e i, se deben capitalizar en el mismo periodo. En este caso, mensualmente. Ya que r es la tasa de cupón, su periodo es el



que rige. La tasa de rendimiento de 27.5% anual compuesto por semestres debe con-vertirse a una equivalente compuesta por meses.

Esta tasa se puede calcular con la relación de tasas equivalentes, o bien, con las fun-ciones financieras de una hoja de cálculo (MS Excel, por ejemplo). En el caso prime-ro, la fórmula es

i1 = p1 1+ i2 p2( )p2p1 −1

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

o sea,

i1 =12 × 1+ 0.2752( )212 −1

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = 26.05%

es decir: la tasa del 27.5% anual de capitalización semestral es equivalente a la de 26.05% anual con capitalización mensual.

Con la hoja de cálculo de MS Excel, la tasa semestral se convierte primero a una tasa efectiva con la función INT.EFECTIVO, luego, esa tasa se convierte a nominal con la función TASA.NOMINAL.

Una vez realizado lo anterior, los datos del problema se resumen en la siguiente tabla:

Variable Valor N 150

M (1.15N) 172.5 p 12 n 5 np 60 r 26.75% i 26.05%

De la Ec. 4.1, el valor de cada cupones es

R =150 × 0.267512

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 3.34



De las Ecs. 4.2 y 4.3, los valores presentes de redención y de los 60 cupones por co-brar son, respectivamente,

150 × 1+ 0.260512( )−60 = 47.56

y

3.34 ×1− 1+ 0.260512( )−60

0.260512

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥=111.58

Sumando ambas cantidades, de acuerdo con la Ec. 4.4, C = $159.14, el valor de com-pra venta.

COMENTARIO ADICIONAL

El bono se compró con un descuento de $13.36 (M – C). Además, cada bono tiene una utilidad de $213.98.

EJEMPLO 4.4.3. CÁLCULO DEL RENDIMIENTO

Con frecuencia el inversionista conoce el valor de redención del título y el de compra, pero desconoce cuál es la tasa de rendimiento que le proporciona el título.

Existen varias formas de resolver este problema. Una muy sencilla es utilizar la hoja de cálculo de MS Excel. Las herramientas de análisis BUSCAR OBJETIVO o la herra-mienta SOLVER resultan muy eficaces.

Otra manera, es emplear métodos de prueba y error.

Uno de ellos es ensayar con varias tasas en la Ec. 4.4 hasta obtener un valor de com-para venta muy aproximado al del título. La eficacia de este método depende de la habilidad del calculador para establecer un intervalo numérico dentro del cual esté la tasa correcta. Un buen inicio se obtiene suponiendo i cercano a r.

También se puede empezar el proceso de prueba y error a partir de la ecuación:

[ ]( )

2 np R M Ci

np M C⋅ + −

=+

(4.5)

Esta fórmula proporciona la tasa de rendimiento i en términos de la frecuencia de ca-pitalización de r. Por lo tanto, para expresarla en términos anuales hay que multipli-carla por p.



Para ilustrar lo anterior, suponga que le interesa calcular el rendimiento que dará un bono comprado a $108.00, 3 años antes de su vencimiento. El título tiene un valor nominal de $100, se redime a la par, y paga intereses del 28% anual con cupones se-mestrales.

SOLUCIÓN

Para comenzar, el valor de los cupones es R =100 × 0.282

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = $14.00 .

Con la Ec. 4.5 calculamos el primer intento,

i =2 np ⋅R +M −C⎡⎣ ⎤⎦np M +C( ) =

2 6 ⋅14+100−108⎡⎣ ⎤⎦6 ⋅ 100+108( ) = 0.12179

que es la tasa semestral. La anual será: 0.12179 × 2 = 0.24359 . O sea, i = 24.359%.

Calculando el valor de compraventa (Ec. 4.4) con esta tasa, tenemos, C = 107.45. Un valor menor al real de 108.

Ahora hay que probar con varias tasas ligeramente mayores y menores que el obteni-do, hasta acercarse lo más posible al 108. Así, obtenemos la siguiente tabla:

24.550% 107.0372821 24.420% 107.3158555 24.359% 107.44692 24.300% 107.5739001 24.200% 107.7895998 24.100% 108.005904 24.050% 108.1142834

Como puede verse, la tasa de rendimiento que mejor se ajusta al precio de compra venta dado es 24.1% anual, con capitalización semestral.

Para generar esta tabla el MS Excel cuenta con la poderosa herramienta de análisis TABLA DE DATOS DE UNA COLUMNA.

4.5 Emisión

El principal emisor de bonos en México es el Gobierno Federal. Entre los más impor-tantes están los siguientes:



§ Bonos de Desarrollo del Gobierno Federal con Tasa de Interés Fija (BO-‐NOS). Pagan intereses cada 6 meses a una tasa que se fija al momento de la emisión y, por lo general, el plazo es de 3 y 5 años.

§ Bonos de Desarrollo del Gobierno Federal (BONDES). Hay dos tipos: con pago de intereses semestral y protección contra la inflación (BONDES 182), y con pago de intereses trimestral (BONDEST).

§ Bonos de Regulación Monetaria del Banco de México (BREMS). Este bono es de reciente creación y lo emite el Banco de México con el objeto de re-‐gular la liquidez en el mercado de dinero. Paga intereses cada 28 días. La tasa de interés es variable y el plazo es, por lo general, de tres años.

§ Bonos de Desarrollo del Gobierno Federal Denominados en Unidades de Inversión (UDIBONOS). Su valor nominal es de 100 UDIS y operan a des-‐cuento. Su principal característica es que están ligados al Índice Nacional de Precios al Consumidor con el fin de proteger al inversionista de las al-‐zas inflacionarias. El plazo de este tipo de bonos es de 182 días y sus múl-‐tiplos. Los intereses se generan en UDIS y se pagan cada 182 días.

§ Bonos de Protección al Ahorro Bancario (BPAs). El emisor de estos bonos es el Instituto de Protección al Ahorro Bancario (IPAB). El plazo es de 3 o 5 años y el pago de los intereses es cada 28 días.

4.6 Tasa de interés a largo plazo

Un bono o una obligación constituye la promesa de realizar dos acciones: hacer pagos periódicos de intereses y redimir el título a su vencimiento.

Los rendimientos de los bonos y obligaciones tienden a aumentar o disminuir con el tiempo. A medida que las tasas de interés suben, los precios de las obligaciones dis-minuyen; y viceversa: si aquellas bajan, estos aumentarán hasta el punto cercano al precio que una sociedad anónima pueda recurrir al retiro de las obligaciones de la cir-culación.

Una forma de evitar problemas concernientes al riesgo de que las obligaciones sean retiradas anticipadamente, consiste en comprar la que hayan estado en mercado duran-te varios años. El rendimiento al vencimiento sobre emisiones ya maduras constante-mente se ajustan a las tasas vigentes respecto de nuevas emisiones.

En cualquier momento determinado, el rendimiento sobre emisiones más viejas será inferior al de las nuevas emisiones, pero esto se compensará en parte por impuestos sobre la renta más bajos que se pagarán sobre las ganancias de capital que representan diferencias entre los precios de compra y redención.



4.7 Problemas

Transferencia de bonos y obligaciones

1. La compañía Aeronaves del Sureste, emite obligaciones con valor nominal de $200 pagando intereses del 33% anual con cupones que vencen al decimoquin-to día de los meses de enero, mayo y septiembre de cada año. ¿Cuál es el pre-cio de cada obligación el 15 de mayo de 2002, si se redimen a la par el 15 de septiembre de 2009 y se pretenden rendimientos del 42% anual compuesto por cuatrimestres?

2. ¿Una obligación de $100 de la Siderúrgica del Norte, paga intereses del 18% anual compuesto por cuatrimestres. ¿Cuál es el valor de compraventa el 1 de febrero si vence a la par el 1 de octubre del año siguiente y se pretende un ren-dimiento del 16% nominal cuatrimestral?

3. Encuentre el precio de compraventa el 15 de agosto de 2002, de una obliga-ción hipotecaria con valor nominal de $300, paga intereses del 16% anual en cupones trimestrales, se desea un rendimiento del 18% anual compuesto por trimestres y además:

a. Se redime a la par el 15 de agosto de 2006 b. Se redime a 120 el 15 de noviembre de 2005 c. Se redime a 72 el 15 de febrero de 2007

Prima y descuento

1. El 15 de abril de 2000, Arrendamiento Dinámico, S. A. emitió obligaciones quirografarias con valor nominal de $150, y vencimiento el 15 de junio de 2007. Obtenga el valor de compraventa y la prima el 15 de octubre de 2001 suponiendo que se redimen a la par, pagan intereses del 26.4% en cupones bi-mestrales que vencen el decimoquinto día de los meses pares de cada año, y ofrecen rendimientos del 23.70% anual capitalizable por bimestres.

2. El 10 de enero de 2002, una compañía de televisión emite obligaciones con va-lor nominal de $300, que se redimen a 98 el 10 de enero de 2007 y pagan in-tereses del 33% anual, el décimo día de enero, abril, julio y octubre de cada año. Obtenga el valor de compraventa y la prima, o descuento, el 10 de octubre de 2003 considerando rendimientos del 36.8% anual capitalizable por trimes-tres.

3. Una obligación con valor nominal de $100 devenga intereses del 30% pagade-ros en cupones que se cobran el tercer día de los meses de enero, mayo y sep-tiembre de cada año. Obtenga el valor de compraventa, las utilidades y la pri-ma o el descuento para un inversionista, que las adquiere el 3 de septiembre de 2001, ganando el 30.6% anual capitalizable por cuatrimestres, suponiendo que:

a) Se redimen a la par el 3 de enero de 2005 b) Se redimen a 95 el 3 de mayo de 2004



Valor contable

1. ¿En cuánto se negocian el 10 de octubre de 2001, las obligaciones con valor nominal de $200, se redimen a 112 dentro de 3 años, pagan intereses del 11% en cupones semestrales y ofrecen rendimiento con intereses del 28.6% anual capitalizable por semestre? Haga el cuadro de amortización de la prima o acumulación del descuento.

2. La compañía Galletas Mexicanas, S A, colocó en el mercado bursátil, obliga-ciones hipotecarias con valor nominal de $100, vencimiento a la par en 5 años e intereses del 33.6% anual pagaderos en cupones cuatrimestrales. Obtenga el valor de compraventa 2 anos después de su emisión con el 30% de rendimiento anual compuesto por cuatrimestres. Haga el cuadro de amortización de la pri-ma en sus primeros cuatro renglones.

3. Una empresa del ramo automotriz, emitió y colocó en el mercado de valores, obligaciones quirografarias con denominación de $300 vencimiento a 6 años de plazo e intereses del 25.6% anual pagaderos en cupones cuatrimestrales. ¿Cuál es su precio en el mercado, 2 años después de su emisión, si se ofrecen con el 27.3% de rendimiento anual capitalizable por cuatrimestres? Haga el cuadro de amortización de la prima o acumulación del descuento en sus prime-ros renglones-y suponga que:

a) Se redimen a la par b) Se redimen a 115

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