bloque a2 y b2 teoria
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RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TEORIA
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A2 Y B2 TEORIA
VECTORES, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO:
RECTA
π΄(1,2,3)π¦π΅(0,1, β1)
Crea el vector con los puntos:
π΄π΅-----β = π΅ β π΄ = (0,1, β1) β (1,2,3) = (β1,β1,β4)
π΅π΄-----β = π΄ β π΅ = (1,2,3) β (0,1, β1) = (1,1,4)
Ecuaciones de la recta:
ππππ‘πππππ β (π₯, π¦, π§) = (1,2,3) + π‘(1,1,4)
πππππππ‘ππππ β @π₯ = 1 + 1π‘π¦ = 2 + 1π‘π§ = 3 + 4π‘
πΆπππ‘πππ’π βπ₯ β 11
=π¦ β 21
=π§ β 34
πΌππ‘πππ ππππΓ³ππππππ ππππππ β Iπ₯ β π¦ + 1 = 04π¦ β π§ β 5 = 0
Para que dos rectas sean paralelas deben tener el mismo vector director o proporcional.
Algo importante para tener en cuenta:
Para encontrar el vector director de una recta representada de la siguiente manera:
π β‘π₯ β 21
=π¦ + 20
= π§ β π!----β = (1,0,1)
Para saber el vector director de la
recta:"π€ π₯ π'β1 β1 00 4 β1
" = 1π + 1π + 4π
Para saber un punto le damos un valor
a cualquier incΓ³gnita y
despejamos el resto
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Cuando tenemos la siguiente expresiΓ³n, hallar el vector es:
ππ₯1=π¦ + 11
=π§ + 21
β πππ£πππ‘ππππ’ππππ πππ!----β = (1π, 1,1)ππ!----β = (1,π,π)
π₯1π=ππ₯1
POSICIΓN RELATIVA DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO
Sus vectores directores son proporcionales
En este caso las rectas son paralelas o coincidentes (la misma recta). Es decir, se cumple:
π0π£0=π1π£1=π2π£2
Para diferenciar entre paralelas o coincidentes tenemos que coger el punto de la recta π y sustituirlo en la recta π .
Coincidentes:
El punto de la recta r cumple las ecuaciones de la recta s.
Paralelas:
El punto de la recta r NO cumple las ecuaciones de la recta s.
r
s
s r
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Sus vectores directores NO son proporcionales
En este caso, los vectores al no ser proporcionales, las recta o se cruzan o se cortan.
Para diferenciar ambas opciones necesitamos los vectores directores de cada una de las rectas y crear un nuevo vector con los puntos de cada recta.
Entonces;
Mπ0 π1 π2π£0 π£1 π£2
π₯0 β π₯1 π¦0 β π¦1 π§0 β π§1M
Si el determinante anterior es igual a cero: las rectas se cortan en un punto. Para hallar dicho punto de corte tenemos que igualar ambas rectas teniendo en cuenta que las rectas deben de estar en paramΓ©tricas.
Si el determinante anterior es distinto de cero entonces ambas rectas se cruzan en el espacio.
r
s
r
s
πππ‘(π΄) = 0
πππ‘(π΄) β 0
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PLANO
Necesitamos por lo menos tres puntos, con esos tres puntos calculamos dos vectores y
escribimos las ecuaciones: A, B y C puedo calcular: π΄π΅-----β π¦π΄πΆ-----β
EcuaciΓ³n vectorial
(π₯, π¦, π§) = (π₯3, π¦3, π§3) + π(π0, π1, π2) + π(π£0, π£1, π£2)
EcuaciΓ³n paramΓ©trica
@π₯ = π₯3 + ππ0 + ππ£0π¦ = π¦3 + ππ1 + ππ£1π§ = π§3 + ππ2 + ππ£2
EcuaciΓ³n general o implΓcita
Para preparar esta ecuaciΓ³n del plano tenemos dos procedimientos dependiendo de la informaciΓ³n:
Primer procedimiento
Cuando tenemos dos vectores y un punto que pertenecen al plano:
Mπ0 π1 π2π£0 π£1 π£2
π₯ β π₯3 π¦ β π¦3 π§ β π§3M = 0
resolviendo este determinante obtendremos la ecuaciΓ³n general del plano:
π΄π₯ + π΅π¦ + πΆπ§ + π· = 0
Punto Vector Vector
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Segundo procedimiento
Cuando nos proporcionan el vector normal del plano y un punto:
π-β = (π΄, π΅, πΆ)
π(π₯3, π¦3, π§3)
π΄(π₯ β π₯3) + π΅(π¦ β π¦3) + πΆ(π§ β π§3) = 0
π΄π₯ + π΅π¦ + πΆπ§ + π· = 0
POSICIΓN RELATIVA DE UNA RECTA Y UN PLANO
Obtenemos el vector director de la recta π!----β y el vectro normal del plano π-β :
Rπ!----β β π-β = 0 β ππ’ππ‘ππππππππππ‘ππππππππππ β πππππππππ
ππ’ππ‘ππππππππ‘ππππππππππππ β πΆπππππππππ‘ππ π!----β β π-β β 0 β πΏπππππ‘ππ¦ππππππ πππππ‘ππ
π
π
π
π
π
π
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POSICIΓN RELATIVA DE DOS PLANOS
Dos planos pueden ser coincidentes, paralelos o secantes.
π = πβ² π
πβ²
π
πβ² π
π΄π΄β²=π΅π΅β²=πΆπΆβ²=π·π·β²
π΄π΄β²=π΅π΅β²=πΆπΆβ²β π·π·β²
π΄π΄β²β π΅π΅β²β πΆπΆβ²
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POSICIΓN RELATIVA DE TRES PLANOS
Dados los planos
π = π΄π₯ + π΅π¦ + πΆπ§ + π· = 0
πβ² = π΄β²π₯ + π΅β²π¦ + πΆβ²π§ + π·β² = 0
πβ²β² = π΄β²β²π₯ + π΅β²β²π¦ + πΆβ²β²π§ + π·β²β² = 0
Podemos conocer su posiciΓ³n relativa estudiando el rango de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada:
π = Xπ΄ π΅ πΆπ΄β² π΅β² πΆβ²π΄β²β² π΅β²β² πΆβ²β²
Yπβ = Xπ΄ π΅ πΆ π·π΄β² π΅β² πΆβ² π·β²π΄β²β² π΅β²β² πΆβ²β² π·β²β²
Y
π ππππ(π) π ππππ(πβ) PosiciΓ³n 3 3 Planos secantes en un punto 2 3 Planos secantes dos a dos
Dos planos paralelos y el tercero secante 2 2 Planos secantes y distintos
Dos planos coincidentes y uno secante 1 2 Planos paralelos y distintos dos a dos
Planos paralelos y dos coincidentes 1 1 Planos coincidentes
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Con el dominio de estos procedimientos seremos capaces de resolver cualquier problema.
Dos planos paralelos:
Si tenemos dos planos que son paralelos debemos tener claro que sus vectores normales van a ser iguales o proporcionales:
π0----β = π1----β
Recta y plano perpendiculares:
Cuando tenemos una recta y un plano perpendiculares estamos trabajando con una situaciΓ³n en la que el vector normal del plano es igual al vector director de la recta:
π0----β = ππ----β = (π΄, π΅, πΆ)
Con ese vector y un punto ya podrΓamos crear la ecuaciΓ³n del plano o de la recta, dependiendo de la informaciΓ³n que nos den y de lo que nos pidan.
π΄(π₯ β π₯3) + π΅(π¦ β π¦3) + πΆ(π§ β π§3) = 0
π΄π₯ + π΅π¦ + πΆπ§ + π· = 0
π0----β
π1----β
π0----β
ππ----β
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RECTA Y PLANO PARALELOS
Cuando tienes esta posiciΓ³n de la recta y el plano, tienes que asumir que π! β π-β = 0, ya que sus vectores forman un Γ‘ngulo de noventa grados. Esta informaciΓ³n suele ser de interΓ©s para resolver ejercicios.
Plano paralelo a dos rectas:
Cuando nos dicen que un plano es paralelo a dos rectas, el vector π-β del plano es perpendicular a los dos vectores directores de las rectas, entonces:
\π€ π₯ π-βπ0 π1 π2π£0 π£1 π£2
\ = π-β = (π΄, π΅, πΆ)
Recta paralela a dos planos:
Cuando nos dicen que una recta es paralela a dos planos, el vector πde la recta es perpendicular a los dos vectores normales de los planos, entonces:
\π€ π₯ π-βπ π ππ0 π0 π0
\ = π!----β = (π₯, π¦, π§)
π-β
π
π£
π-β
π
π-β = (π0, π0, π0)
π-β = (π, π, π)
ππ----β
ππ----β
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Punto simΓ©trico respecto de un plano:ππ¦π
Creamos la representaciΓ³n de la derecha, teniendo en cuenta lo siguiente:
π-β = π!----β β
πππ£πππ‘πππππππππππππππππ¦π£πππ‘ππππππππ‘ππππππππππ‘ππ πππππ’ππππ
Observa que la recta (en discontinua) la vas a crear utilizando el vector normal del plano y el punto P
Cuando creas la recta con ππ¦π!----β = π-β , tienes que calcular el punto medio π. Para eso tienes que introducir en el plano las ecuaciones de la recta:
π β‘ π΄π₯ + π΅π¦ + πΆπ§ + π· = 0π: bπ₯ = β―π¦ = β―π§ = β―
π΄(β¦) + π΅(β¦) + πΆ(β¦ ) + π· = 0
ππππ π‘πππππππππππ’πππ πππ£πππππππ’ππππππππ‘ππππ’ππ π’π π‘ππ‘π’ππππππ πππππππ’πππΓ³πππππππππ‘π.
π¦πππ‘πππππππ πππππππππ (π₯, π¦, π§)πππππ’ππ‘ππ
Para finalmente halla punto simΓ©trico: π5 = 2π β π
π-β
ππ----β
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Punto simΓ©trico respecto de una recta:ππ¦π
Creamos la representaciΓ³n de la derecha, sabiendo que:
π-β = π!----β β
πππ£πππ‘πππππππππππππππππ¦π£πππ‘ππππππππ‘ππππππππππ‘ππ πππππ’ππππ .
Observa que el plano (en discontinuo) lo vas a crear utilizando el vector director de la recta y el punto P que esta dentro del plano.
Cuando creas el plano con ππ¦π!----β = π-β , tienes que calcular el punto medio π. Para eso tienes que introducir en el plano las ecuaciones de la recta:
π β‘ π΄π₯ + π΅π¦ + πΆπ§ + π· = 0π: bπ₯ = β―π¦ = β―π§ = β―
π΄(β¦) + π΅(β¦) + πΆ(β¦ ) + π· = 0
ππππ π‘πππππππππππ’πππ πππ£πππππππ’ππππππππ‘ππππ’ππ π’π π‘ππ‘π’ππππππ πππππππ’πππΓ³πππππππππ‘π.
π¦πππ‘πππππππ πππππππππ (π₯, π¦, π§)πππππ’ππ‘ππ
Para finalmente halla punto simΓ©trico: π5 = 2π β π
Entendiendo este procedimiento podrΓ‘s ser capaz de determinar la distancia entre un punto y una recta o un punto y un plano de forma mucho mas sencilla que aplicando las formulas. El calculo se reduce al calcula de la distancia entre dos puntos.
π-β
ππ----β
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La distancia entre dos puntos:
π(π΄, π΅) = hπ΄π΅-----β h = iπ₯1 + π¦1 + π§1
La distancia entre un plano y un punto:
π(π, π) =|π΄π₯3 + π΅π¦3 + πΆπ§3 + π·|
βπ΄1 + π΅1 + πΆ1
La distancia entre dos planos paralelos:
π(π, π0) = lπ· β π·β²
βπ΄1 + π΅1 + πΆ1l
ΓNGULO ENTRE ELEMENTOS
β’ Entre dos rectas:
πππ πΌ =π’-β β π£|π’-β | β |οΏ½βοΏ½|
β’ Entre dos planos:
πππ πΌ =π0----β β π1----β|π0----β | β |π1----β |
β’ Entre recta y plano:
πππ (90 β πΌ) = π!----β β π0----βhπ!----β h β |π0----β |