análisis de datos y gestión veterinaria · a1.regularmente a2.ocasionalmente a3.nunca...

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Probabilidad

Análisis de datos y gestión veterinariaAnálisis de datos y gestión veterinaria

Departamento de Producción Animal – Facultad de Veterinaria

Universidad de Córdoba

Córdoba, 2 de Noviembre de 2011

¿y esto para qué sirve?

el servicio de radiologíaincrementa los ingresos un30%

Hipótesis

10% de las clínicas veterinarias

Muestreo

100% clínicas

- Sin radiología: 100.000 + 50.000 €- Con radiología 130.000 + 60.000 €

Contraste de la hipótesis

2

¿y esto para qué sirve?

100% clínicas

en la muestra, el servicio deradiología incrementa losingresos un 30%

Entonces… ¿en la población,el servicio de radiologíatambién incrementa losingresos un 30%?

Inferencia

Incertidumbre. No es posible deducirafirmaciones precisas sobre la población basadas enuna muestra.

En la población, el servicio deradiología incrementa losingresos un 30%, con unaprobabilidad del 95%

Experimentos aleatorios, resultados, sucesos

Experimento aleatorio. Proceso que puedeconcretarse en al menos dos resultados posibles,con incertidumbre en cuanto a cuál de ellostendrá lugar.

3


Los resultados posibles de un experimentoaleatorio se denominan resultados básicos, y elconjunto de resultados básicos es el espaciomuestral.

S = [1, 2, 3, 4, 5, 6] S = [cruz, cara]


Un suceso es un conjunto de resultados básicosde un espacio muestral, que ocurre si elexperimento aleatorio da lugar a uno de losresultados básicos que lo constituyen.

S = [1, 2, 3, 4, 5, 6]

“el resultado será un número par”

S = [1, 2, 3, 4, 5, 6]

4


El lanzamiento de una moneda

El lanzamiento de un dado

Preferencia por una marca de refresco

El examen de Análisis de Datos

Analizar un alimento para determinar si contiene tóxicos


A: “el resultado será un número par”

B: “el resultado será como máximo 4”

S = [1, 2, 3, 4, 5, 6]

S = [1, 2, 3, 4, 5, 6]

62 41 3

5

5




S = [1, 2, 3, 4, 5, 6]

S = [1, 2, 3, 4, 5, 6]

62 41 3

5

A ∩ B. Intersección de sucesos. Ocurre si

tanto A como B ocurren.




S = [1, 2, 3, 4, 5, 6]

S = [1, 2, 3, 4, 5, 6]

62 41 3

5

A U B. Unión de sucesos. Ocurre si A y/o

B ocurren. (“…al menos…”)

6


A: “el resultado será mayor que 4”


S = [1, 2, 3, 4, 5, 6]

62 4

1 3

5

S = [1, 2, 3, 4, 5, 6]

Sucesos mutuamente excluyentes. A yB no tienen en común resultados básicos. A∩ B = conjunto vacío, no puede ocurrir.


A: “el resultado será mayor que 4”

S = [1, 2, 3, 4, 5, 6]

62 4

1 3

5

Suceso complementario. Conjunto deresultados básicos que no pertenece alsuceso en cuestión (Ᾱ).

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A ∩ B. Intersección de sucesos. Ocurre si tanto A

como B ocurren.

A U B. Unión de sucesos. Ocurre si A y/o B ocurren.

(“…al menos…”)

Sucesos mutuamente excluyentes. A y B no tienenen común resultados básicos. A ∩ B = conjunto vacío,

no puede ocurrir.

Suceso complementario. Conjunto de resultadosbásicos que no pertenece al suceso en cuestión (Ᾱ).

Probabilidad

A: “el resultado será 3”

S = [1, 2, 3, 4, 5, 6]

A = [3]

NA 1P(A) = =

N 6

Medida numérica de la verosimilitud de ocurrencia deun suceso.

Escala de 0 a 1:0 = imposible (seguro que no ocurrirá)1 = el suceso ocurrirá con seguridad

8

Postulados de probabilidad

1. Si A es un suceso cualquiera en el espacio muestral S:

2. Sea A un suceso en S y Oi los resultados básicos:

3.

0 ( ) 1

( ) ( )

( ) 1

i

A

P A

P A P O

P S

≤ ≤

=

=

∑

A: “el resultado será 3”

Consecuencias de los postulados

a. Si el espacio muestral S está constituido por n resultados básicosigualmente probables, O1, O2, …, On, entonces cada uno de ellostiene una probabilidad 1/n,

1( ) ( 1,2,..., )

iP O i n

n= =

P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 1/6

S = [1, 2, 3, 4, 5, 6]

9


b. Si el espacio muestral S está constituido por n resultados básicosigualmente probables, y el suceso A está formado por nA de estosresultados, entonces,

P(A) = 1/6 + 1/6 = 1/3

( ) An

P An

=

A: “el resultado será menor de 3”

S = [1, 2, 3, 4, 5, 6]


c. Si E1, E2, …, Ek son sucesos mutuamente excluyentes, laprobabilidad de la unión es

P(E1 U E2 U … U Ek) = 1

P(A U B U C) = 1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6= 1

A: “el resultado será menor de 3”

S = [1, 2, 3, 4, 5, 6]

B: “el resultado será mayor de 3”

C: “el resultado será 3”

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d. Sean A y B dos sucesos mutuamente excluyentes. Entonces laprobabilidad de la unión es la suma de las probabilidadesindividuales, es decir,

P(A U B) = P(A) + P(B)

P(A U B) = 1/6 + 1/6 + 1/6= 1/2

A: “el resultado será menor de 3”S = [1, 2, 3, 4, 5, 6]

( ) ( ) ( )i i i

A B A B

P O P O P O= +∑ ∑ ∑U


Permutaciones y combinaciones

A B C

ABC

BCA

CBA

ACB

BAC

CAB

el número de posibles ordenaciones de x objetos es:x�(x-1)�(x-2)� … 2�1 = x!

11


El número de permutaciones de n objetos tomados

de x en x: !

( )!n x

nP

n x=

−

Posibles ordenaciones de A, B, C, D, E, tomadas de 2 en 2

AB AC AD AE BCBA CA DA EA CBBD BE CD CE DEDB EB DC EC ED

5 2

5! 5·4·3·2·1 12020

(5 2)! 3·2·1 6P = = = =

−


A B C D

AB

BC

AC

AD

BD

CD

el número de selecciones posibles se denominacombinaciones, n objetos han de ser escogidosentre x

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El número de combinaciones de n objetos tomados

de x en x:

Posibles combinaciones de A, B, C, D, E, tomados de 2 en 2

AB AC AD AE BCBD BE CD CE DE

!

!( )!n x

nC

x n x=

−

5 2

5! 5·4·3·2·1 12010

2!(5 2)! 2·1·3·2·1 12C = = = =

−


Se le pide a una persona que escoja entre 5 marcas de refresco.¿Cuál es la probabilidad que las tres primeras sean escogidas enun orden determinado?

Se le pide a una persona que escoja entre 5 marcas de refresco.¿Cuál es la probabilidad que escoja 3 de ellas, sin importar elorden?

5 3

5! 5·4·3·2·1 12060

(5 3)! 2·1 2P = = = =

−

5 3

5! 5·4·3·2·1 12010

3!(5 3)! 3·2·1·2·1 12C = = = =

−

13


Un gerente tiene 8 candidatos para cubrir 4 puestos. De estos, 5son hombres y 3 mujeres. Si todos tienen la misma probabilidadde ser contratados. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna mujersea contratada?

1. ¿Cuáles son las posibles combinaciones?

8C4 = 8!/4!�4! = 70

2. Si ninguna mujer es contratada, los candidatos seleccionadosdeben ser 4 de 5 hombres

5C4 = 5!/4!�1! = 5

3. 5 combinaciones favorables sobre 70 combinaciones totales:P(ninguna mujer) = 5/70 = 1/14

Reglas de probabilidad

Sea A un suceso y Ᾱ su complementario. Entonces,

P(Ᾱ) = 1-P(A)

¿Cuál es la probabilidad de que al menos una mujer sea contratada?

Un gerente tiene 8 candidatos para cubrir 4 puestos. De estos, 5son hombres y 3 mujeres. Si todos tienen la misma probabilidadde ser contratados. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna mujersea contratada?

P(ninguna mujer) = 5/70 = 1/14

Suceso A. ninguna mujer sea contratada: P(A) = 1/14Suceso Ᾱ. = al menos una mujer: P(Ᾱ) = 1 – 1/14 = 13/14

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d. Sean A y B dos sucesos mutuamente excluyentes. Entonces laprobabilidad de la unión es la suma de las probabilidadesindividuales, es decir,

P(A U B) = P(A) + P(B)

P(A U B) = 1/6 + 1/6 + 1/6= 1/2

A: “el resultado será menor de 3”S = [1, 2, 3, 4, 5, 6]

( ) ( ) ( )i i i

A B A B

P O P O P O= +∑ ∑ ∑U



Suma de probabilidades. Sean A y B dos sucesos. La probabilidadde la unión es:

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

BA

BA

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Probabilidad condicional. Sean A y B dos sucesos. La probabilidadcondicional del suceso A, dado el suceso B, denominada P(A|B), sedefine como:

( )( )

( )

P A BP A B

P B

∩=

El 75% de los clientes de una clínica vacuna regularmente a susanimales, el 80% los desparasita, y el 65% hace ambas cosas.¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que desparasita,también vacune?

Suceso A = vacuna. Suceso B = desparasita

P(vacuna|desparasita) = 0,65/0,80 = 0,8125


Producto de probabilidades. Sean A y B dos sucesos. Laprobabilidad de la intersección es:

( ) ( ) ( )P A B P A B P B∩ =

Producto de probabilidades. Sean A y B dos sucesosindependientes. La probabilidad de la intersección es:

( ( ) ( )P A B P A P B∩ =

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El 90% de los microscopios de una marca determinada funcionan5 años antes de ser reparados. Un veterinario compra 3microscopios. ¿Cuál es la probabilidad de que los tresmicroscopios funcionen 5 años antes de ser reparados?

¿los sucesos son independientes?

P(A∩B∩C) = P(A)P(B)P(C) = (0,9)3 = 0,729

Probabilidades bivariantes

Población totalConsume ecológicos ocasionalmente

Nunca consume ecológicos

Consume ecológicos regularmente

Ingresos altos

Ingresos medios

Ingresos bajos

Ingresos altos

Ingresos medios

Ingresos bajos

Ingresos altos

Ingresos medios

Ingresos bajos

Sucesos A. Consumo de alimentos ecológicosA1. RegularmenteA2. OcasionalmenteA3. Nunca

Sucesos B. Nivel de ingresosB1. AltosB2. MediosB3. Bajos

Los sucesos A (A1, A2, A3) son mutuamente excluyentes ycolectivamente exhaustivos.

Los sucesos B (B1, B2, B3) son mutuamente excluyentes ycolectivamente exhaustivos.

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Ingresos altos

Ingresos medios

Ingresos bajos

Ingresos altos

Ingresos medios

Ingresos bajos

Ingresos altos

Ingresos medios

Ingresos bajosIntersección.P(Consumo ecológico ∩ Nivel de ingresos)

P

P

P

P

P

P

P

P

P


Altos Medios Bajos Total

0,04 0,13 0,04 0,21

0,10 0,11 0,06 0,27

0,13 0,17 0,22 0,52

0,27 0,41 0,32 1,00

Nunca

Total

IngresosFrecuencia de consumo

alimentos ecológicos

Regular

Ocasional

Intersección.P(Consumo ecológico ∩ Nivel de ingresos)

Probabilidades conjuntas.P(Consumo ecológico ∩ Nivel de ingresos)

Probabilidades marginales.

P(Consumo ecológico)P(Nivel de ingresos)

18



0,04 0,13 0,04 0,21

0,10 0,11 0,06 0,27

0,13 0,17 0,22 0,52

0,27 0,41 0,32 1,00

Nunca

Total



Regular

Ocasional

P(A1)=P(A1∩B1)+P(A2∩B2)+P(A3∩B3)

P(consumo regular ecológico)=0,04+0,13+0,04=0,21



0,04 0,13 0,04 0,21

0,10 0,11 0,06 0,27

0,13 0,17 0,22 0,52

0,27 0,41 0,32 1,00

Nunca

Total



Regular

Ocasional

P(B1)=P(B1∩A1)+P(B2∩A1)+P(B3∩A3)

P(ingreso alto)=0,04+0,10+0,03=0,27

19



P=0,27


P=0,52


P=0,21

Ingresos altos P=0,04

Ingresos medios P=0,13

Ingresos bajos P=0,04







¿Cuál es la probabilidad de tener ingresos altos, si se sabe que

consume regularmente alimentos ecológicos?



0,04 0,13 0,04 0,21

0,10 0,11 0,06 0,27

0,13 0,17 0,22 0,52

0,27 0,41 0,32 1,00

Nunca

Total



Regular

Ocasional

Probabilidades condicionales.

( )( )

( )

P A BP A B

P B

∩=

P(ing altos|con regular) = 0,04/0,21 = 0,19

20



0,04 0,13 0,04 0,21

0,10 0,11 0,06 0,27

0,13 0,17 0,22 0,52

0,27 0,41 0,32 1,00

Nunca

Total



Regular

Ocasional

Independencia. Dos sucesos, A1, B1, son independientes si:

P(A1∩B1)=P(A1)P(B1)

¿Tener ingresos altos y consumir ocasionalmente alimentos ecológicos son

independientes?

P(ing altos ∩ consumo ocasional) = 0,10

P(ing altos)P(consumo ocasional) = 0,27·0,27 = 0,07

Teorema de Bayes

Sean A y B dos sucesos con probabilidades P(A) y P(B)

Regla del producto.

Despejando y suponiendo que P(A) no es cero:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )

P A B P A B P B

P B A P B A P A

P A B P B P B A P A

P A B P BP B A

P A

∩ =

∩ =

=

=

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Teorema de Bayes

Un inspector de alimentos examina los registros antiguos de unsupermercado y descubre un 15% de errores. Además, el 60% delos registros incorrectos fueron considerados inusuales. El 20% detodos los registros fueron considerados inusuales. El inspectorvuelve al supermercado y examina un registro que es inusual.¿Qué probabilidad hay de que el registro sea incorrecto?

P(error) = 0,15 P(inusual) = 0,2 P(inusual|error) = 0,6

Usando el teorema de Bayes:

( ) ( )( )

( )

P A B P BP B A

P A=

( ) ( )( )

( )

0,60·0,15( ) 0,45

0,20

P inusual error P errorP error inusual

P inusual

P error inusual

=

= =

Teorema de Bayes

Sean A y B dos sucesos con probabilidades P(A) y P(B)

( ) ( )( )

( )

P A B P BP B A

P A=

Si B es un suceso excluyente y mutuamente exhaustivo con C y D:

De modo genérico, si E1, E2, ..., En son sucesos exluyentes y

mutuamente exhaustivos:

1 1

1

1 1 2 2

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )n n

P A B P BP B A

P A B P B P A C P C P A D P D

P A E P EP E A

P A E P E P A E P E P A E P E

=+ +

=+ + +

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Teorema de Bayes

Un veterinario examina las perspectivas de la cirugía de uncaballo. El 25% de los caballos con la misma patología que fueronoperados tuvieron una recuperación óptima. El 25% murieron enla cirugía y el 50% tuvieron una recuperación difícil. El 40% de loscaballos que tuvieron una recuperación óptima fueronpronosticados como “bueno”. El 20% de los que tuvieron unarecuperación difícil también fueron pronosticados como “bueno”, aligual que el 10% que murieron en la cirugía. ¿Cuál es laprobabilidad de que el caballo tenga una recuperación óptima siha sido pronosticado como “bueno”?

Se definen los sucesos y sus probabilidades:A: el pronóstico es “bueno” P(A)=?¿E1: recuperación óptima P(E1)=0,25E2: recuperación difícil P(E2)=0,50E3: no se recupera P(E3)=0,25

P(A|E1)=0,4P(A|E2)=0,2P(A|E3)=0,1

Teorema de Bayes

Un veterinario examina las perspectivas de la cirugía de uncaballo. El 25% de los caballos con la misma patología que fueronoperados tuvieron una recuperación óptima. El 25% murieron enla cirugía y el 50% tuvieron una recuperación difícil. El 40% de loscaballos que tuvieron una recuperación óptima fueronpronosticados como “bueno”. El 20% de los que tuvieron unarecuperación difícil también fueron pronosticados como “bueno”, aligual que el 10% que murieron en la cirugía. ¿Cuál es laprobabilidad de que el caballo tenga una recuperación óptima siha sido pronosticado como “bueno”?

Se definen los sucesos y sus probabilidades:A: el pronóstico es “bueno” P(A)=?¿E1: recuperación óptima P(E1)=0,25E2: recuperación difícil P(E2)=0,50E3: no se recupera P(E3)=0,25

P(A|E1)=0,4P(A|E2)=0,2P(A|E3)=0,1

1 11

1 2 31 2 3

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0, 4·0, 250,444

0,4·0, 25 0,2·0,5 0,1·0, 25

P A E P EP E A

P A E P E P A E P E P A E P E= =

+ +

= =+ +

análisis de datos y gestión veterinaria · a1.regularmente a2.ocasionalmente a3.nunca...

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