banco de reactivos de cÆlculo...
TRANSCRIPT
Banco de reactivos de Cálculo Diferencial
Recopilación: Ochoa Cruz Rita
Julio de 2006
1 Funciones
1. ¿Cuál o cuales de las siguientes a�rmaciones son siempre VERDADERAS?
i. Una función nunca es una relación.
ii. Una función es siempre una relación.
iii. Todas las relaciones son funciones.
a) Sólo i b) Sólo ii c) Sólo iii d) Sólo i y ii
2. ¿Cuál de las siguientes a�rmaciones NO describe una función?
i. Asignarle a cada triángulo su área.
ii. Asignarle a cada libro su número de páginas.
iii. Asignarle a cada hora del día la temperatura correspondiente a esa hora.
iv. Asignarle a cada día su fecha.
a) Sólo iv b) Sólo i y ii c) Sólo i, ii y iii d) Sólo i, ii, iii y iv
3. ¿Cúal de las siguientes grá�cas representa una función?
i) ii) iii)
a) Sólo i b) Sólo i y ii c) Sólo i, ii y iii d) Sólo i,y iii
1
4. ¿Cúal de las siguientes grá�cas representa una función?
i)
52. 50 2. 5 5
10
5
0
5
10
15
20
x
y
x
y
ii)
52. 50 2. 5 5
10
5
0
5
10
x
y
x
y
iii)
52. 50 2. 5 5
5
2. 5
0
2. 5
5
x
y
x
y
a) Sólo i b) Sólo i y ii c) Sólo i, ii y iii d) Sólo i,y iii
5. De las siguientes expresiones:
(a) 2xy + x� 3y � 4 = 0;(b) 5x+ 7y � 2 = 0;(c) 2x2 � 5x+ 4y � 3 = 0;(d) 3y2 � 2x� 5y + 7 = 0;
Las que representan una función de x son:
a) a y d b) b y d c) a;b y c d) a, b, c, d
6. ¿Cúal de los siguientes conjuntos representa una función?
a)�(x; y) : y = x3
b) f(x; y) : x = jyjg c) f(x; y) : y = �
pxg d) f(x; y) : y > xg
7. El largo de un paralelepípedo rectangular es tres veces el ancho y su altura es un medio dellargo. El área total del paralelepípedo en función de su volumen es
a)At =3
q�92V
�2b) At =
3
q�2V9
�2c) At = 2
3
q�2V9
�2d) At = 18
3
q�2V9
�28. Sea f una función, entonces la grá�ca de f(x� 3) + 5 con respecto a la de f se desplaza:
(a) 3 unidades a la derecha y 5 hacia arriba.
(b) 3 unidades a la izquierda y 5 hacia arriba.
(c) 5 unidades a la derecha y 3 hacia abajo.
(d) 5 unidades a la izquierda y 3 hacia abajo.
2
9. Una función de uso común en el estudio de circuitos eléctricos es la función de Heaviside H,
la cual está de�nida como H(t) =�0 si t < 01 si t � 2 . ¿Qué grá�ca representa g (t) = tH (t)?
a) . b)
c) . d) .
10. La grá�ca de la función f (x) = cosx para x en el intervalo [0; 2�] es creciente en
a)�0; �2
�b)��2 ; �
�c) [�; 2�] d) [0; �]
11. Cierto tipo de células se reproduce por le fenómeno denominado bipartición (división en dos),cada 5 horas. En este momento se empieza a observar una de ellas. ¿Cuántas células existirán2004 horas después?
a) 4012 b) 2 (401) c) 2 (401) + 1 d) 2401
12. Sea f una función tal que f (z) = az + b. ¿Cuál es el valor de f(b)�f(a)b�a (b 6= a)?
a) z b) b c) az d) a
13. Sea f una función tal que f (x) = 3x� 95 . ¿Cuál es el valor de
f(a)�f(b)a�b (a 6= b)?
a) �3 b) 3 c) 1 d) �1
14. Si f (x) = 3x2 + kx� 2 y f (�2) = 2, entonces k es:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
15. Si f (x) = 1x + x+
1x + x , marca la opción que sea verdadera.
a) f (x) = f�1x
�b) f (x) = f (�x) c) f (x) = x d) f (x) = 1
f(x)
16. El dominio de la función f (x) = x�4x2+9 es:
a) R b) R= f�3g c) R= f�3; 3g d) R= f2g
3
17. El dominio de la función f (x) =p3� x2 es:
a)hp3;1
�b)��1;
p3i
c)��p3;p3�
d)h�p3;p3i
18. El dominio de la función f (x) =px2 � 9 es
a) x 6= �3 b) (�1;�3) [ (3;1) c) [�3; 3] d) (�1;�3] [ [3;1)
19. El dominio de f (x) =px+1
2x+1 es:
a) (�1;1) b) (�1;�1] c) [�1;1) d)��1;� 1
2
�[�� 12 ;1
�20. El dominio de la función f (x) =
px�1
2x�5 es:
a)�1; 52
�b) [1;1) c)
�52 ;1
�d)�1; 52
�[�52 ;1
�21. El dominio de la función f (x) = 3x�2p
4�x2 es:
a) R b) (�1;�2) [ (2;1) c) (�2; 2) d) [�2; 2]
22. El dominio de la función f (x) = 3x�2px2�4 es:
a) (�1;�2] [ [2;1) b) (�1;�2) [ (2;1) c) (�2; 2) d) [�2; 2]
23. El dominio de la función f (x)=q
x2+1x2�1 es:
a) (�1; 1] b) (�1; 1) c) (�1;�1] [ (1;1) d) (�1;�1) [ (1;1)
24. El dominio de la función f(x) =q
5�xx2�9 es:
a) (�1;�3) [ (3; 5) b) (�1;�3) [ (3; 5] c) (�1;�3) [ [3; 5] d) (�1;�3] [ [3; 5]
25. El dominio de la función f(x) = ln(2� x) es:
a) [2;1) b) (�1; 2] c) (�1; 2) d) (2;1)
26. La imagen, el rango o recorrido de la función f (x) =p2x� 4 es:
a) (�1; 1) b) (�1; 0) [ (0;1) c) f�1; 1g d) f�1; 0; 1g
27. La imagen, el rango o recorrido de la función g (x) =p9� x2 es:
a) (�1;1) b) [0;1) c) [�3; 3] d) [0; 3]
4
28. La imagen, rango o recorrido de la función y = � (x� 2)2 � 3 es:
a) (3;1) b) [3;1) c) y � �3 d) (�1;�3)
29. El rango de la función de�nida g(t) =
8<: 1 si t � 0t+ 1 si 0 < t < 2t2 � 1 si t � 2
es:
a) a) (�1;+1) b) [0;+1) c) [1;+1) d) (�1; 1]
30. Encuentra el dominio y contradominio de f (x) =q
x�3x+1
a) Domf = [�1; 3] y Rf = R n f�1g b) Domf = (�1;�1] [ [3;1) y Rf = R n f�1gc) .Domf = (�1;�1) [ (3;1) y Rf = R n f1g. d) .Domf = (�1; 3) y Rf = R n f�1g
31. Dadas las funciones f(x) = 2x+3 y g(x) = lnx; la función resultante de la composición f � ges:
a) 2 (lnx+ 3) b) 2 lnx+ 3 c) ln (2x+ 3) d) 2 ln (x+ 3)
32. Dadas las funciones f (x) = lnx y g (x) = x2�3x+2. La operación (g � f) (x) esta dada por:
a) a)ln2 x� 3 lnx+ 2. b) lnx2 � 3 lnx+ 2 c) ln�x2 � 3x+ 2
�d) lnx2 � 3 lnx+ ln 2
33. Si f(px) = x y g
�1
x
�= x2, entonces la función composición (f � g) (�1) es:
a) 2 b) 1 c) No existe. d) �1
34. Si f � g (x) =p9x2 � 16, f(x) = 3x� 4, ¿cuál expresión es la de la función g(x)?
a) a) g(x) =p3x� 4 b) g (x) =
p3x� 4 c)
p9x2�163 + 4 d)
p9x2�16+4
3
35. La función composición f � g donde f (x) = 1x+2 y g (x) = x
2 � 2 es igual a:
a) x2 b)2
x2c)
1
x2d) x2 + 2
36. Si f (x) = 3x2 + x y g (x) =px+ 1 entonces (f � g) (x) es igual a
a) 3�px+ 1
�2+ x b) 3
�px+ 1
�2+px+ 1 c)
p3x2 + x+ 1 d)
p3x2 + 1 + x
37. Encuentra g � f si f (x) = x2 + 15 y g (x) =p5x� 15.
a) (g � f) (x) =p5x2 + 60 b) (g � f) (x) =
p5x2 + 30
c) (g � f) (x) =p5x2 � 60. d) (g � f) (x) =
p5x2 + 90.
5
38. Si f (x) = 2x� 1 y g (x) = x2 � 2 entonces (f � g) (x) es igual a
a) (2x� 1)2 b) 4x2 � 4x� 1 c) 4x� 3 d) 2x2 � 5
39. Sea f una función tal que f (x) = x3 � 2x, entonces f (3t) =
a) t3 � 2t b) 3t c) 3t3 � 6t d) 27t3 � 6t
40. Si f (x) = 2x, g (x) = 12x , ¿Cuál debe ser el valor de x para que f (g(x)) = 6?
a) 4 b) 6 c) 12 d) 3
41. Si f(x) = x+ 1 y g(x) = x2 � 1, ¿para qué valores de x se cumple que g(f(x)) = 0?
a) Sólo el 0 b) Sólo 0 y �2 c) Sólo �2 d) Sólo 1 y �1
42. Si f (x) = 3x+1x y f(2b) = 2f(b), entonces b es:
a) fb 2 R; b 6= 0g b) Sólo el � 12 c) Ningún número real d) Sólo el 0 y el .� 1
2
43. La función inversa de f (x) = 3x� 2 es
a) g (x) =1
3x� 2 b) g (x) =1
3x+
2
3c) g (x) = x+
2
3d) g (x) = �1
3x+
2
3
44. Sea f una función tal que f (x) = 3x+ 2 ¿cuál es la inversa de f?
a) �3x� 2 b) 3x� 2 c)1
3x� 2
3d)1
3x+
2
3
45. Sea una función tal que f (x) = ex y sea g la inversa de f . Marca la opción que contenga lainversa de f.
a) g (x) = e�x b) g (x) = �ex c) g (x) = lnx d) g (x) = ln ex
46. La función inversa de f (x) = x2x�1 es
a) g (x) =x
2x� 1 b) g (x) =2x� 1x
c) g (x) =x
2x+ 1d) g (x) =
x+ 1
2x
47. La siguiente �gura muestra la grá�ca de la función f .
6
¿Cuál de las opciones contiene la grá�ca de la inversa de f?
a) . b) .
c) . d) Ninguna de las anteriores.
48. ¿Cuál de las siguientes funciones NO tiene inversa?
a) y =px b) y = x3 c) y = x+ 3 d) y = x2
2 Limites y Continuidad
En los siguientes ejercicios marca la opción verdadera
1. El límite es:
a) una función b) un número d) un punto e) una operación
2. El limx!a
f (x) existe si el valor de sus límites unilaterales:
a) son iguales b) tienen el mismo signo c) son diferentes d) Ninguna de las anteriores
3. Si el limx!a
f (x) existe entonces es
a) negativo b) único c) positivo d) Ninguna de las anteriores
4. Si el limx!a
f (x) existe entonces:
i. el limx!a
f (x) es único.
ii. limx!a
f (x) = f (a).
iii. limx!a�
f (x) = limx!a+
f (x).
a) Sólo i. b) Sólo i y ii. c) Sólo i y iii. d) Sólo i, ii y iii.
5. La función f es continua en x0 si:
i. f (x0) existe.
7
ii. el limx!x0
f (x) existe.
iii. Si limx!x0
f (x) = f (x0).
a) Sólo i. b) Sólo i y ii. c) Sólo i y iii. d) Sólo i, ii y iii.
6. Si n 2 R entonces el limx!a
1(x�a)n
a) es a b) es 0 c) no existe d) Ninguna de las anteriores
7. Supongase que x2 � x4
3 � f (x) � x2entonces el limx!0
f(x)x2 =
a) es 1 b) es 0 c) no existe d) Ninguna de las anteriores
8. Supongase que limx!a
f (x) = 4 y limx!a
g (x) = 2 entonces el limx!a
[f(x)]2�4[g(x)]2f(x)�2g(x) =
a) es 0 b) es 4 c) no existe d) Ninguna de las anteriores
9. Para que el limx!a
f (x) existe se requiere que:
(a) f (a) este de�nida.
(b) limx!a
f (x) exista.
(c) limx!a
f (x) exista.
(d) limx!a
f (x) = limx!a
f (x).
a) Sólo d b) Sólo a y c c) Sólo a d) Sólo a, b y c
10. Si se tiene que el limx!a
f (x) y el limx!a
g (x) existe, siempre es cierto que:
(a) el límite de f (x) + g (x) es la suma de los límites..
(b) el límite de f (x) � g (x) es el producto de los límites.(c) el límite de f (x) =g (x) es el cociente de los límites.
a) Sólo a y b. b) Sólo a c) Sólo a y c d) Sólo a, b y c
11. El (o los) valor(es) de x en los que f (x) = xjxj�4 es discontinua es (o son):
a) 4 b) �4 y 0 c)4 y �4 d) 4, 0, �4
12. Se sabe que una función f (x) es continua en x0 entonces necesariamente:
a) Existe la derivada de la función en x0. b) No existe limx!x0 f (x)c) f (x) no esta de�nida en x0 d) limx!x0 f (x) 6= f (x0)
8
13. Sea la función f : < ! < f(x) =
�x3 � k si x < 13kx+ 5 si x � 1 : El valor de k que hace a f(x)
continua es:a) �2 b)�1 c) 0 d) 1
14. Para la función cuya grá�ca se muestra en la �gura siguiente:
a) limx!3+ f (x) = 4. b) limx!3+ f (x) = 3. c) limx!3+ f (x) = 2. d) limx!3+ f (x) no existe.
15. Sea f una función tal que: limx!�2
f (x) NO EXISTA. ¿Quién podría ser f?
i.x2 � 4x+ 2
ii.x+ 2
x� 2iii.
x
x+ 2
a) Sólo I y II b) Sólo I y III c) Sólo III d) I, II y III
16. Sea f una función cuya grá�ca se muestra abajo
Marca la opción que sea FALSA:
a) limx!�3
f(x) = 1 b) limx!�2
f(x) = 0 c) limx!�1
f(x) = 1 d) f(�3) = 2
9
17. Sea f una función cuya grá�ca se muestra abajo.
Marca la opción que sea FALSA:
a) limx!�2
f(x) = 1 b) limx!�1+
f(x) = 0 c) limx!0�
f(x) = 1 d) limx!0
f(x) = 0
18. Sea f una función tal que f(x) =
8<:p1� x si x < 1
�2 si x = 1px+ 1 si x > 1
. Marca la opción que sea FALSA:
a) limx!1�
f(x) = 0 b) limx!1+
f(x) =p2 c) lim
x!1f(x) = �2 d) lim
x!0f(x) = 1
19. Sea f una función tal que f(x) =jxjx¿Cuál o cuáles de las siguientes opciones son FALSAS?
i. limx!0
f(x) = 0
ii. limx!0
f(x) = 1
iii. limx!0
f(x) no existe.
a) Sólo I b) Sólo I y II c) Sólo I y III d) Sólo III
20. Sea f una función tal que: f (x) =sin (x)
x¿Cuál o cuáles de las siguientes a�rmaciones son
FALSAS?
i. limx!0
f (x) = 1
ii. limx!0
f (x) = 0
iii. limx!0
f (x)no existe.
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo II y III
21. Sea f una función tal que: f (x) = x2 sin�1
x
�. ¿Cuál o cuáles de las siguientes a�rmaciones
son VERDADERAS?
10
i. limx!0
f (x) = 1
ii. limx!0
f (x) = 0
iii. limx!0
f (x) no existe
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo II y III
22. Sean P y Q dos polinomios. Para que limx!1
P
Qexista, se requiere:
i. Que el grado de P sea mayor al de Q
ii. Que el grado de Q sea mayor al de P
iii. Que P y Q tengan el mismo grado.
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo II y IIII
23. Sea f una función tal que f (x) =
(1
x2si x 6= 0
1 si x = 0Marca la opción que sea FALSA.
a) limx!0
f (x) no existe b) limx!1
f (x) = 1 c) f (0) = 1 d) limx!0
f (x) = 1
24. El valor de limx!�
�� es:
a) � b) �� c)p� d) �
p�
25. El valor del límite limx!1
(x�1)3x3�1 es:
a) 0 b) 1 c) 0 d) 13
26. El valor del limx!3
x2+x�12x�3 es igual a:
a) 7. b) 1. c) 0. d) �1.
27. ¿Qué valor tiene el limx!3
2x3�17x�3x4�23x�12?
a) 00 b) 1223 c) 3785 d) 1
28. Encuentra el valor del límite si es que existe de limh!�2
h2�4h2+4h+4 :
a) 1 b) �4 c) no existe d) 0.
11
29. El valor de limz!�2
z � 4z2 � 2z � 8 es:
a) 0 b) no existe c)1
z + 2d)1
4
30. El valor de limh!2
h3 � 8h2 � 4 es:
a) 1 b) 0 c) no existe d) 3
31. El valor de limx!�2
x2 � 4x3 + 8
es:
a) �13
b)1
3c) �3 d) 3
32. El valor del limh!0
(x+ h)3 � x2h
es:
a) x2 b) no existe c) 2x d) 0
33. Calcula el valor de limh!0
(2+h)�3�2�3h :
a) 0 b) � 316 c) � 3
32 d) � 932
34. Calcula el valor de limy!0
�1y
��1p1+y
� 1�:
a) � 12 b)�1 c)0 d) no está determinado
35. Si f (x) = x2 � 5, encuentra el limh!0
f(x+h)�f(x)h :
a) �2x b) 0 c) no existe d) 2x
36. Si f (x) = 5x , encuentra el limx!10
f(x)�f(10)x�10
a) 14 b) � 14 c) no existe. d) 18
37. Si f (x) =px, encuentra el lim
x!4
f(x)�f(4)x�4
a) 14 b) � 14 c) no existe d) 18
38. El valor del limx!�1
px+5�2x+1 es igual a
a) 0. b) 1: c) 14 . d) � 14 .
12
39. Al calcular el límite limx!64
3px�4px�8 obtenemos:
a) �3 b) � 13 c) 3 d) 13
40. El valor del limx!1
1�x2+6x34+3x�2x3 es igual a
a) 3. b) �3. c) 0. d) 14 .
41. El valor del limx!1
�2 + 2
x
�es igual a:
a) 4. b) 2. c) 1. d) 2 +1.
42. El valor del limx!1
�x2+x3�x
�es igual a:
a) 13 . b) �2. c) 3. d) �1.
43. Encuentra el valor del límite, si es que existe, de limx!1
x4�x2�25x3x6�10x+25 :
a) 13 b) � 13 c) no existe d) 0
44. Sea f una función discontinua en x = a: ¿Cuál de las siguientes a�rmaciones es FALSA?
i. limx!a
f(x) = f(a)
ii. f(a) no existe.
iii. limx!a
f(x) no existe.
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo I y II
45. Sea f una función tal que f(x) =
8<:p2� x si x < 2x� 2 si 2 � x � 5px� 5 si x > 5
. ¿Cuál de las siguientes
opciones es verdadera?
i. f(x) es discontinua en 2.
ii. f(x) es discontinua en 5.
iii. f(5) = 3a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I, II y III
46. Sea f una función tal que: f(x) =�cx2 � 3 si x < 2cx+ 2 si x � 2 El valor que debe tener c para que
f sea continua en todo su dominio es:
a) �25
b)5
2c) �5
2d)2
5
13
47. Si f y g son dos funciones continuas en a y c es una constante, entonces cada una de lassiguientes funciones también son continuas, excepto:
a) f � g b) f � g c) cf d) fg
48. Sean f y g dos funciones continuas en a. Para que f � g sea continua en a se requiere ademásque:
i. g sea continua en f(a).
ii. f sea continua en g(a)
iii. g(a) = f(a)
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo II y III
49. La función f cuya regla de correspondencia es: f (x) =x2 � 2x+ 1
(x2 � 1) (x+ 3) tiene:
a) Solo una asíntota vertical. b) Sólo dos asíntotas verticales.c) Tres asíntotas verticales. d) Ninguna asíntota vertical.
50. Sea f una función tal que: f(x) =x2 + 4
(x+ 2) (x� 5) Marca la opción que contenga las ecuacionesde sus asíntotas verticales.
a) Sólo x = 5 b) x = 2 y x = �5 c) x = �2 y x = 5 d) Sólo x = �5
51. Sea f (a) = a�6a2�9a+18 averigüe si hay discontinuidad y en caso de existir clasi�quela (s):.
(a) Existe un discontinuidad en a = 6 y a = 3. En a = 6 la discontinuidad es in�nita oinevitable. En a = 3 la discontinuidad es evitable.
(b) La función es continua en todos los reales.
(c) Existe un discontinuidad en a = 6 y a = 3. En a = 3 la discontinuidad es in�nita oinevitable. En a = 6 la discontinuidad es evitable.
(d) Existe un discontinuidad en a = 3. En a = 3 la discontinuidad es inevitable.
3 Derivadas
1. La derivada de una función f en un número a es:
a) limh!a
f(a+h)�f(a)h b) lim
h!a
f(a+h)+f(a)x�a c) lim
h!0
f(a+h)�f(a)h d) lim
h!0
f(a�h)+f(a)0
2. ¿Cúal de las siguientes a�rmaciones es verdadera.?
i. Si f es diferenciable en a, entonces f es continua en a.
ii. Si f es continua en a, entonces f es diferenciable en a.
14
iii. Si f (a) existe, entonces f es continua en a.
a) Sólo i. b) Sólo ii c) Sólo i y ii d) Sólo i, ii y ii
3. La derivada de una función no existe en un número a porque:
a) la función es discontinua en x = a.
b) la grá�ca tiene una punta o un pico en (a; f (a)).
c) en el punto (a; f (a)) la tangente a la grá�ca es vertical.
a) Sólo a y b. b) Sólo a c) Sólo a y c d) Sólo a, b y c
4. Considere una función f y x0 un elemento de su dominio. Se sabe que existe la derivadaf 0 (x0). Entonces necesariamente en x0
a)f es continua en x0 b) Existe f 00 c) f > 0 d) f < 0
5. Considere una función f(x) y x0 elemento de su dominio. Se sabe que f 0(x0) = f00(x0) = 0.
Entonces necesariamente en x0:
a) f tiene un punto de in�exión c) f vale cerob) f tiene un valor extremo d) f es continua
6. Sea f una función diferenciable en a y sea f 0(a) = 0, entonces siempre es cierto que:
i. en a hay un máximo.
ii. en a hay un mínimo.
iii. en a hay una recta tangente a f horizontal.
a) Sólo i. b) Sólo ii c) Sólo iii d) Sólo i, ii y ii
7. Sea f una función c un número real. Para que c sea valor crítico de f se requiere que:
i. c esté en el dominio de f .
ii. f 0(c) = 0
iii. f 0(c) no exista.
a) Sólo i. b) Sólo ii ó iii c) Sólo i, ii y iii d) Sólo i, ii ó ii
8. La grá�ca muestra la velocidad con que se llena de agua un recipiente. Marca la opción quecontenga al recipiente representado en la grá�ca:
15
a) b) c) d)
9. La grá�ca muestra la velocidad con que se llena de agua un recipiente. Marca la opción quecontenga al recipiente representado en la grá�ca.
a) b) c) d)
10. La grá�ca muestra la velocidad con que se llena de agua un recipiente. Marca la opción quecontenga al recipiente representado en la grá�ca:
a) b) c) d)
11. La derivada de una función f en a está dada como: limh!0
p1+h�1h ¿Cuál de las siguientes
opciones contiene a la función f y el valor de a?
a) f (x) =p1 + x, a = 1 b) f (x) =
px, a = 1 c) f (x) =
px, a = �1 d) f (x) = �
px, a = 1
12. La derivada de una función f en a está dada como: limx!�1
x9+1x+1 ¿Cuál de las siguientes opciones
contiene a la función f y el valor de a?
a) f (x) = x9 y a = 1 b) f (x) = x9 y a = �1 c) f (x) = �x9 y a = 1 d) f (x) = �x9 y a = �1
13. Encuentra la derivada de h (z) = 3z8 � 4 5pz7 � 5
z12
a) h0 (z) = 24z7 � 285
5pz2 + 60
z13 . b) h0 (z) = 24z7 � 28
55pz2+ 60
z13 .
c) h0 (z) = 24z7 � 285
5pz2 � 60
z13 . d) h0 (z) = 24z7 � 285
5pz2 + 60
z11 .
16
14. Encuentra la derivada de h (x) = 5
q(x2 � 6x+ 3)15
a) h0 (x) =�x2 � 6x+ 3
�2(6x� 18). b) h0 (x) =
�3x2 � 18x+ 9
�2(6x� 18).
c) h0 (x) =�3x2 � 18x+ 9
�2(2x� 6). d) h0 (x) =
�x2 � 6x+ 3
�2(6x� 18).
15. La derivada de la función f (x) =�3 + 4x� x2
� 12
a) 12 (4x� 2x)� 12 b) �4+2x
2p4x�x2+3 c) 4�2xp
4x�x2+3 d) 4�2x2p4x�x2+3
16. La derivada de f(x) =q
1�x21+x2 es:
a) � 2x(1+x2)
p1�x4 b) � x
(1+x2)p1�x4 c) x
(1+x2)p1�x4 d) 2x
(1+x2)p1�x4
17. La derivada de la función f(x2) = sin2px2 + 1 + cos2
px2 + 1, es:
a)p5x b 5) c) 5 d) 0
18. La derivada de y = 1+sin x1�sin x es:
a) cos x2 b) 2 cos x(1�senx)2 c) cos 2x2 d) �2 secx
19. La derivada de y = sin x1+cos x es:
a) cos x+cos2 x�sin2 x
(1+cos x)2b) � sin
2 x�cos x�cos2 x(1+cos x)2
c) �11+cos x d) 1
1+cos x
20. La derivada de f(x) = ln(sinx):
a) cotx b) tanx c) 1sin x d) 1
cos x
21. La derivada de f(x) = ln(sinx+ cosx)
a) 1 b) �1 c) cos x�sin xsin x+cos x d) 1sin x+cos x
22. Sea f (x) = sinx2. Entonces f 0 (x) es
a) 2 sinx cosx b) 2x sinx2 cosx2 c) 2 sinx2 cosx2 d) cosx2
23. Sea f(x) = sin 2x, entonces f 0(x) es:
a) sin 2x b) sinx cosx c) 2 cosx d) sin 2x cos 2x
24. La derivada de y = tan2 x3 es:
a) tan2 x3 sec2 x3 b) 3x2 sec2 x3 c) 2 tanx3 sec2 x3 d) 6x2 tanx3 sec2 x3
17
25. Encuentra la derivada de f (�) = sin��2 + 3�
�:
a) (2� + 3) cos��2 + 3�
�. c) � (2� + 3) cos
��2 + 3�
�.
b) cos��2 + 3�
�. d)
��2 + 3�
�cos
��2 + 3�
�.
26. Encuentra la derivada de h (a) = ln�3a2 � 2a+ 5
�:
a) 6a�23a2�2a+5 b) 3a
2�2a+56a�2 c)
ln(3a2�2a+5)6a�2 d) (6a+ 2) ln
�3a2 � 2a+ 5
�.
27. La derivada de f(x) = esin x es:
a) cosxesin x b) sinxesin x�1 c) sinxecos x d) � cosxesin x.
28. La derivada de f (x) = sin�sin�x2 � x
��es:
a) cos�sin�x2 + x
��. c)cos
�sin�x2 + x
��cos
�x2 + x
�b) cos
�sin�x2 + x
��cos
�x2 + x
�d) cos
�sin�x2 + x
��cos
�x2 + x
�(2x+ 1)
29. Sea f (x) = � sin�x2�Encuentre f 00 (x)
a) 4x2 sinx2 + 2 cosx2. b) 2x2 sinx2 � 4 cosx2.c) 4x2 sinx2 � 2 cosx2. d) �4x2 sinx2 + 2 cosx2.
30. La derivada de orden quinto de la función y (t) = 1t es:
a) � 120t5 b) � 120
t6 c) 120t6 d) 120t5
31. Sea f(x) = sinx, entonces la vigésima derivada de f es:
a) sinnx b) � sinx c) 20 sinx d) 20 cosx
32. Sea f(x) = xex, entonces la n�ésima derivada de f es:
a) nxex b) nex + nxex c) nex + xex d) ex + nxex
33. La ecuación de la tangente a la función cuya regla es f(x) = x3 � 2x2 + 4 en x = 1 es:
a) y = �x� 2 b) y = �x+ 2 c) y = x� 4 d) y = �x+ 4
34. La ecuación de la recta normal a la grá�ca de f(x) = x3 � 2x2 + 4 en x = 1 es:
a) y = �x� 2 b) y = �x+ 2 c) y = x� 4 d) y = �x+ 4
35. Encuentra la ecuación de la recta normal en x0 = 2 de f (x) =�x2 � 3
�2(2x� 3)4
a) y = x� 3 b) y = x+ 3 c) y = x+ 7 d) y = �x� 3
18
36. ¿Cuál es la ecuación de la recta normal a la grá�ca de la función f(x) = (x2 � 3)3(2x � 3)4en x = 2?
a) 20x+ y � 41 = 0 c) y � 1 = (� 120 )(x� 2)
b) x� 20y + 18 = 0 d) 20x� y � 39 = 0
37. Las abscisas de los puntos máximos y mínimos de la curva f (x) = xpx+ 3 son:
a) mínimo: �2 c) mínimo: 0, máximo: �3b) máximo: �2 d) mínimo: �3, máximo: 0
38. Las abscisas de los puntos de in�exión de la curva f (x) = xpx+ 3 son:
a) no tiene puntos de in�exión b) �4 c)�4 y �3 d) 0 y �3
39. Los puntos máximos y mínimos relativos de f (x) = 2x3 + x2 � 4x+ 4, son respectivamente:
a) (1; 3) y�13 ;
7727
�b) (2; 16) y
�12 ;
52
�c)(�2; 0) y
�� 23 ;
17627
�d) (�1; 7) y
�23 ;
6427
�40. Usando el criterio de la primera derivada, encuentre los valores máximos y mínimos, así como
los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) = 2� 8x� x2
a) Max: f(�4) = 18; Crece (�1;�4); decrece (�4;+1)b) Max: f(5) = 20; Crece (�1; 5); decrece (5;+1)c) Max: f(�5) = �18; Crece (�1;�5); decrece (�5;+1)d) Max: f(4) = 9; Crece (�1; 4); decrece (4;+1)
41. La función f (x) = x�1x2+2x�3 es creciente o decreciente en los intervalos:
a) decreciente: (�1;1) c) creciente: (�1;�3) [ (1;1)b) creciente: (�1;�3) [ (�3; 1) [ (1;1) d) decreciente: (�1;�3) [ (�3; 1) [ (1;1)
42. La funcion f (x) = x3 � 5x2 + 3x+ 1 es estrictamente creciente en
a)�1
3; 3
�b)��1; 1
3
�[ (3;1) c)
�1
3; 3
�d)��1; 1
3
�[ [3;1)
43. Sea f(x) = 3x4 � 4x3 � 12x2 + 5, marca la opción que sea falsa:
a) f es creciente en (2;+1) c) f es creciente en (�1; 2)b) f es decreciente en (0; 2) d) f es decreciente en (�1;�1)
44. Sea f una función tal que f (x) = x23 (6� x)
13 , marca la opción que sea falsa:
a) f es creciente en (0; 4) c) f es creciente en (�1; 0)b) f es decreciente en (4; 6) d) f es decreciente en (6;+1)
19
45. Los ángulos que forman las curvas y2 = x y y = x2 cuando se intersectan son
a) 90� y 66:86� b) 90� y 60� c) 90� y 36:86� d) 90� y 30�
46. Una partícula se mueve sobre una recta horizontal, de acuerdo con la ley de movimientos (t) = 1
3 t3 � t. Los intervalos de tiempo en los que la partícula está reduciendo su marcha
son:
a) (�1;�1) y (�1; 0) b) (�1;�1) y (0; 1) c) (�1; 0) y (0;1) d) (0; 1) y (1;1)
47. Una partícula se mueve según la ley del movimiento s = f(t) = t3 � 6t2 +9t+1; t� 0; dondet se mide en segundos y s en metros. La aceleración cuando la velocidad es 0, es:
a) �18 y �30 b) �6 y 6 c) 1 y 3 d) 0 y 36
48. Se dispara un proyectil verticalmente hacia arriba con una rapidez inicial de 160 ft=s. Sualtura en pies esta dada por la función s(t) = �16t2+160t. La altura máxima que alcanza elproyectil es:
a) 1200 m b) 400 m c) 300 m d) 500 m
49. Un ranchero tiene 200m. de alambre con puas con los que quiere construir 2 corrales adya-centes, rectangulares y de las mismas dimensiones. ¿Cuáles deben ser los valores del ancho ydel largo para que el área de los corrales sea máxima?
a) Ancho 30m, largo 20:3m c) Ancho 35m, largo 30:3mb) Ancho 20:5m, largo 10:5m d) Ancho 25m, largo 33:3m
50. Encuentra la altura del trapecio isósceles de mayor área que está inscrito en la semicircunfer-encia y =
p9� x2 :
a) 1p2
b)p2 c) 2 d) 2
p2
51. Una pequeña empresa manufacturera puede vender todos los artículos que produce a un preciode $6:00 c/u. El costo de producir x artículos a la semana se obtiene mediante la funciónC (x) = 1000 + 6x � 0:003x3 + 10�6x3 ¿qué valor de x debemos seleccionar con objeto demaximizar las utilidades?
a0) b) 1000 c) 2000 d)20000
52. Un punto mínimo de la función f (x) = 2x3 � 3x2 � 12x+ 3 es:
a) P (2;�17) b)P (1;�10) c)P (�1; 10) d) P (�2;�1)
53. La derivada de la función f (x) = 20061+x2 vale cero en:
a)x = �2006 b) x = 0 c) x = 1 d) x = 2006
54. La derivada de y = eex
es:
a) y = exeex�1 b) y = ee
x
c) y = eex+x d) y = ee
x�x
20
55. Sea f una función tal que f(x) = x� 1x , entonces f :
a) Siempre crece. b) Siempre decrece.c) Primero crece y luego decrece. d) Primero decrece y luego crece..
56. Sea f una función tal que f(x) = � 1x3 y x 2
��10;� 1
10
�, entonces la función:
a) Siempre crece. b) Siempre decrece.c) Primero crece y luego decrece. d) Primero decrece y luego crece..
57. La función f (x) = x4 tiene el siguiente número de puntos de in�exión:
a) 6 b) 4 c) 2 d) 0
58. La función f cuya regla es f(x) = x4 � 4x3
i. un máximo relativo
ii. un mínimo relativo.
iii. dos mínimos relativos.
a) Sólo i. b) Sólo ii c) Sólo iii d) Sólo i y ii
59. La función f(x) = (x2 � 1)3 tiene:
i. un mínimo absoluto
ii. dos puntos de in�exión.
iii. tres puntos de in�exión.
a) Sólo i. b) Sólo ii c) Sólo iii d) Sólo i y ii
60. La suma de dos números positivos es 20. Si el producto del cuadrado de uno y el cubo delotro es un máximo, ¿cuáles son los números?
a) 9; 11 b) 10; 10 c) 8; 12 d) 18; 2
4 Problemas
1. Un rectángulo tiene un perímetro de 100 metros. Si x representa la longitud de la base:
(a) Exprese el área del rectángulo como función de x.
(b) ¿Cuál es el dominio de la función?
2. Un fabricante de cajas de cartón desea elaborar cajas abiertas a partir de piezas de cartónrectangulares de 10 pulgs por 17 pulgs cortando cuadrados iguales en las cuatro esqunas ydoblando hacia arriba los lados.
21
(a) Encuentre un modelo matemático que exprese el volumen de la caja como una funciónde la longitud del lado de los cuadrados que se cortarán.
(b) ¿Cuál es el dominio de la función obtenida en el inciso anterior?
(c) ¿Cuál es el volumen máximo?
3. Una ventana normada tiene el contorno de una semicircunferencia en la parte posterior de unrectángulo. El perimetro de la ventana es de 8 + � unidades, expresa el área en términos delradio r de la semicircunferencia.
4. Una página ha de contener 30 cm2 de texto. El margen superior es 34 partes del margen
inferior y los laterales miden cada uno la mitad del margen inferior. Encuentre el perimetrode la página en función de uno de sus lados.
5. Dibuje la gra�ca de una función f que satisface las siguientes condiciones:
(a) Su dominio es [�2; 2](b) f(�2) = f(�1) = f(1) = f(2) = 1(c) Es discontinua en �1 y 1:
(d) Es continua por la derecha en �1 y continua por la izquierda en 1:
6. En cierto país el impuesto sobre ingresos se evalúa como se indica enseguida:
(a) No se paga impuesto sobre ingresos de hasta 10 000 dólares
(b) Cualquier ingreso superior a 10 000 y hasta 20 000 dólares paga un impuesto del 10%del ingreso.
(c) Cualquier ingreso superior a 20 000 dólares paga impuesto de 15% del ingreso en cuestión.
(d) Traza la grá�ca del impuesto a pagar en función del ingreso.
7. Encuentra todos los valores de a tales que f (x) sea continua en todos los reales f (x) =�x+ 1 si x � ax2 si x > a
y haz la grá�ca.
8. Sea f (x) =
8<:c ; si x = �3
9�x24�px2+7
; si jxj < 3k ; si x = 3
Determine el valor de c y k, donde c, k 2 R, para los
que f sea continua en [�3; 3] :
9. Determine el valor de las constantes a y b de modo que la función siguiente sea contínua en
toda la recta real. f (x) =
8<: x2 + 2x� 1; six < 0ax+ b; si0 � x < 1
2; six � 1
10. Sea f(x) =�x3 � c si x < 13cx+ 5 si x � 1 donce c es una constante real. Obtenga el valor de c
que haga que la grá�ca sea continua en todos los reales.
22
11. Determine los valores de a; b; c; y d que permiten que la curva cuya ecuación es f(x) =ax3 + bx2 + cx+ d sea tangente al eje X en (2; 0) y que tenga un punto de in�exión en (0; 4)
12. Dada la función f(x) = x3 + bx2 + cx+ d;hallar:
(a) El valor de b; c y d, para que tenga un máxino en x = �4, un mínimo en x = 0, y tomeel valor de 1 para x = 1.
(b) Puntos de in�exión.
(c) Intervalos de crecimiento, decrecimiento y de concavidad.
(d) Traza la grá�ca de la función..
13. Un rectángulo tiene dos vértices sobre el eje x y los otros dos en la parábola y = 12� x2, cony � 0: ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo de este tipo con área máxima?
14. Se forma un triángulo rectángulo en el primer cuadrante por medio de los ejes x y y, y unarecta que pasa por el punto (1,2) (vease la �gura) Encuentre los vértices del triángulo tal quesu área sea mínima.
43210
4
3
2
1
0
x
y
x
y
15. Escribir el volumen de un cilindro en función de su radio si sabemos que está inscrito en unaesfera de radio igual a 10.
16. Con un alambre de 10 metros se hacen un cuadrado y un triángulo equilátero. Hallar lasdimensiones de ambos para que el área total sea mínima.
17. ¿Qué puntos de la grá�ca y = 4� x2 están más cercanos al punto (0; 2)?
18. Se elabora una lata cilíndrica sin tapa. Si el volumen de esta lata debe ser V , encuentra lasdimensiones que minimizarán el costo del metal usado para su construcción.
19. Se quiere construir una caja abierta con base cuadrada, empleando 108 in2 de material. ¿Quedimensiones produciran una caja de volumen máximo?
20. Se requiere construir una caja de base rectángular sin tapa. Para esto se cuenta con una hojade 20x30 cm. Se te pide encontrar el volumen máximo.
21. Una ventana gótica consta de un semicírculo montado en un rectángulo. Si el perímetro de laventana gótica debe ser de 32 ft, determine cual debe ser el radio del semicículo y la alturadel rectángulo para que pase la mayor cantidad de luz por la ventana.
22. Un trozo de alambre de 10 m de largo se usa para formar un cuadrado y un triánguloequilátero. ¿Cómo debe emplearse el alambre de modo que el área total encerrada sea máxima?
23
23. Un automóvil viaja durante la noche por una carretera en forma de parábola vertical, con suvértice en el origen. El auto parte de un punto 100 m al Oeste y 100 m al Norte del origen yviaja en dirección Este. Hay una estatua ubicada 100 m al Este y 50 m al Norte del origen.¿en cuál punto de la carretera los faros del automóvil la iluminarán?
24. Se dobla la esquina superior de un trozo de papel de 8 in de ancho por 12 in de largo parallevarla hasta el borde de la derecha, como en la �gura. ¿Cómo la doblaría de modo que seminimice la longitud del doblez? es decir, ¿cómo eligiría x para minimizar y?
25. Se tiene una Iglesia con una cupula con forma parábolica. Se necesita pintar la cupula y secoloca una escalera que esta apoyada sobre la cupula como se muestra en la �gura. Encuentrael ángulo entre la escalera y la cúpula.
26. Encuentra la altura del trapecio isosceles de mayor área que esta inscrito en la semicircunfer-encia de radio igual a 3:
27. El interior de una pista de carreras de 400 m consta de un rectángulo con dos semicirculos enlados opuestos. Encuentre las dimensiones para los cuales el área del rectángulo es máxima.
24
28. Una escalera de 13 metros de largo está apoyada contra una pared. El pie de la escalera seaparta de la pared con velocidad uniforme, a razón de 0:5 metros por segundo. Encuentra lavelocidad a la que se mueve la parte superior de la escalera cuando el pie está a 12 metros dela pared.
29. Si dos pasillos perpendiculares entre si miden c metros y k metros, donde c, k 2 R, respec-tivamente. ¿Cuál es la longitud de la viga de acero más larga que pueda transportarsehorizontalmente de modo que pueda doblar la esquina? No considere la anchura de la viga.
30. La posición de una partícula se puede expresar en base a su ecuación de movimiento comof (t) = 1
1+t , donde t se mide en segundos y x en metros, encuentre la rapidez de la partículaen el momento que t = 3 segundos
31. Una partícula se mueve según la ley del movimiento s = f(t) = t3 � 6t2 +9t+1; t� 0; dondet se mide en segundos y s en metros. La aceleración cuando la velocidad es 0, es:
32. ¿Cuál es la ecuación de la recta normal a la grá�ca de la función f(x) = (x2 � 3)3(2x � 3)4en x = 2?
33. Analizar la función f(x) =x4
x� 1 obteniendo sus valores críticos, puntos críticos, máximos,
mínimos y puntos de in�exión. Construya la grá�ca respectiva.
34. Analiza la función f (x) = x+ 1x obteniendo sus máximos, mínimos, concavidades e intervalos
de crecimiento y decrecimiento. Construya la grá�ca respectiva.
35. Grá�ca y analiza (dominio, rango, limites unilaterales, continuidad, derivada, máximos ymínimos) la siguiente función.
f (x) =
8<: 4 x � �2x2 �2 < x < 22x� 3 x � 2
Bibliografía:Stewart, James. Cálculo. Thompson editores.
Edwards y Penny. Cálculo con Geometría Analítica. Prentice HallZill, Dennis G.. Cálculo con Geometría Analítica. Grupo editorial Iberoamérica.
Swokowski, Earl W. Cálculo con Geometría Analítica. Grupo editorial Iberoamérica.
Material seleccionado por los docentes:Ochoa Cruz Rita
Nieves Medrano JaimeRivera Ramírez Francisco
25