NOTA

Universidad Nacional Experimental Antonio José de Sucre. Cátedra: Matemáticas IV Profesor: Julio Otero Alumno: ___________________________ C. I: _____________________ Sección: _____________

ASIGNACIÓN DE SERIES DE FOURIER

Haciendo uso del sitio web:

http://www.mathstools.com/section/main/fourier_series_online?lang=es

Realice las siguientes actividades correspondientes a la graficación de series de Fourier:

1) Una función 𝑓(𝑡) es periodica de 2𝜋 y esta definida por 𝑓(𝑡) = 𝑒𝑡 , −𝜋 < 𝑡 < 𝜋.

a) Dibuje la gráfica de 𝑓(𝑡) desde 𝑡 = −2𝜋 hasta 𝑡 = 2𝜋.

b) Demuestre que:

𝑓(𝑡) = 2sinh(𝜋)

𝜋{1

2+ ∑

(−1)𝑛

1 + 𝑛2[cos(𝑛𝑡) − 𝑛 sin(𝑛𝑡)]

∞

𝑛=1

}

c) Escriba la sucesiones de sumas parciales para cuando:

𝑆3 , 𝑆5, 𝑆8 , 𝑆10

d) Con la ayuda del sitio web, realice las gráficas de las sucesiones de sumas parciales

para:

𝑆3 , 𝑆5, 𝑆8 , 𝑆10

e) ¿Qué ocurrirá cuando 𝑛 → ∞?

2) Una función periódica 𝑓(𝑡) de periodo 2𝜋 esta definida en – 𝜋 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋 por:

𝑓(𝑡) = |𝑡| , − 𝜋 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋

a) Obtenga la expansión en series de Fourier para 𝑓(𝑡).

b) A partir de (𝑎) usando la identidad de Parseval, deduzca que:

1

96𝜋4 = ∑

1

(2𝑛 − 1)4

∞

𝑛=1

c) Usando derivación formal en la serie obtenida en (𝑎), obtenga la expansión en serie

de Fourier de la onda cuadrada:

𝑔(𝑡) = {−1 𝑠𝑖 – 𝜋 < 𝑡 < 0

0 𝑠𝑖 𝑡 = 01 𝑠𝑖 0 < 𝑡 < 𝜋

𝑔(𝑡 + 2𝜋) = 𝑔(𝑡)

d) Verifique la validez del resultado obtenido en (𝑐) determinando directamente la

expansión en series de Fourier de 𝑔(𝑡).