arquitectura y matemáticas según los tratados … · facilitar la interpretación de los textos....

Arquitectura y Matemáticassegún lostratados españolesdel siglo XVIIL

Implicaciones sociológicas

Comoconsecuenciade la universalidadalcanzadaen el racionalismoporel métodomatemático,desdesuantiguasistematizaciónelcuadrivium se ha-bía ampliadoconla incorporaciónen la épocamodernadel elevadonúmerode materiasqueponende manifiestolostitulos de lostratados.Figurabaentreellos laArquitecturaen sudoblevertientecivil y militar. Definidala Matemáti-ca comoestudiodel número,correspondíaa laAritmética ya la Geometríasuinvestigaciónmásabstracta,a la Música la del númerosonoroy a la Astro-nomiala del númerosideralo del movimientode losastros.Hay quepregun-tarse,portanto,porel ámbitodel númeropropio dela Arquitectura.Evidente-menteestainterrogaciónsuponeatribuira la mismaunasignficaciónteórica,biendistintade la artística,queconsisteencreary construirun edificio e impli-ca el saberno comoobjetoespeculativodirectosino en función del hacerSeplantea,pues,el problemade la determinaciónde la noción de Arquitecturaque los tratadistasde la épocatenían.La comparaciónconla Músicapuedefacilitar la interpretaciónde los textos.El empleoanalógicode estetérminoespatente:significa alavezla realidadsonoracompuestaeinterpretada,la teoríade las reglastécnicasaplicadasy la ciencia acústica.De modo no igual, perosemejante,segúnlos distintos autores,la Arquitecturaes consideradacomociencia,teoría de la construccióno artebella.

Aún los tratadistasmásempíricosseñalabansurelacióndedependenciadela matemáticaen cuantonecesitadade su apoyo. Desdeestepunto de vista esfrecuenteel comienzode loslibios sobreedificaciónconunaintroducciónarit-méticay geométrica(los dos componentesqueseconsiderabanprimordialesenel vastoconjuntomatemáticodel barroco),a las queseañadíaen ocasionesunabreveexposicióntrigonométrica:se produceen estoscasosuna diferen-ciaciónjuntoconel reconocimientodeunavinculaciónineludible.Otrasvecesse acentúael nexo, especialmenteen la Arquitecturamilitar, porquese conci-be laobracomoverificaciónconcretay materialde unafigura geométricaabs-tracta. Se adviertetambiénla intencióndebuscaren el apoyomatemáticounaparticipaciónen el prestigiode estacienciacomo medio de potenciarla esti-

Apia/es de/ .Se,ni,íar,ode Mctafisica. Núm Extra. Homenaje a .5. Rábade. Dl. Complutense,1992

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mación social del constructor.Esterazonamientoquedasin efectocuandolateoríadelaArquitecturase integrabaenla Matemática,lo queocurre,porejem-pío, enlostratadosdelmismosiglo XVIII, peropertenecientesa períodosesti-lísticos tan diversoscomoel de Toscay Bails; en estrictosentido,enestecasomásque la asignaciónde una parcelaen la investigacióndel número,lo quese producees una asimilaciónmetodológica:se asumeel rigor sistemáticoyel contenidoteóricode la Artimética y, particularmente,de la Geometría,yse explicala doctrinade laconstrucción(arcos.bóvedas,etc.)conelestiloma-temáticode laexposición,queimplica enunciadoy demostraciónde teoremas,corolarios,etc. Aunqueparezcaqueen estostratadosseproyectaunaconcep-ción reduecionistade la Arquitecturapor exclusiónde su carácterartístico, enrealidadseponede manifiestoquelaaccióncreadoradel arquitectono sepue-de ejercitarsin un precisodominiodel cálculode todosloselementosquecon-currenen la formaciónde laestructura.El análisisde estasvariantesesimpor-tanteporquepermitedeterminarla formación de nuestrosconstructoresantesy despuésde la fundaciónde las Academias,establecerladistinción entrear-quitecto y maestrode obraso albañil, mostrarla extensiónadquiridapor elconceptode Matemáticay observarsu aplicaciónal artede la edificaciónenel períodode nuestrainvestigación.Es obvio queéstahade efectuarseapartirde los tratadospublicadosduranteel mismo, aunquela comprobaciónargu-mental exija a vecesatendera los antecedentesinmediatos.

Comose ha adelantado,algunosautoresadviertenlanecesidadde conoci-mientosaún elementalesde Aritmética y Geometríapara resolvercuestionesquese presentabanen la tareacotidianaal constructor,desdela contabilidaddejornalesy materialesala resoluciónde problemasdc montea,trazadoy rea-lizaciónde armaduras,etc.; éstaes la razón de las sucesivasedicionesde li-brosdeestasdisciplinas,el interésde los maestrospordisponerde ejemplaresde los mismosy las referenciasquea suscontenidoshacenlos tratadistasprác-ticos: tambiénexplica la inserciónen buennúmerode libros de Arquitecturade una introducciónsomerade los temasmatemáticosmás usuales~,como eslógico, la profundidadde esta formación especulativaestabaen relación conlos trabajosquesehubiesende realizar,lo quepermitíadistinguiral verdaderoarquitectodel maestroalbañil; peroentodo casose trata cíe un criterio prope-déuticoqueestápresentetambiénenlaorganizaciónde los estudiosde lasRealesAcademiasy en las obrasde autoresacadémicos.Así, por ejemplo, en el Re-glamentodela Real Academiade Ingenierosse ordenaque«deberáel DirectorGeneralelegir los tratadosmás útiles de las Mathemáticas,ordenándolosconsucesivométodo».Un escritorcomoMilizia, tan conocidopor losacadémicosespañoles,considerabaobligatoriotenerun buendominio de las diversaspar-tes de estaciencia comoinstrucciónpreviaparael artede construir: pensabaquesi la Aritmética resultaesencial,tambiénla Geometríahabríade ser «fa-miliarísima»,asícomola mecánica,queproporciona«muchosprincipiosy re-glas» (no olvidemosque dentro de ésta se incluía la hidráulica);añadíatam-biénla perspectiva,la óptica, la gnómicay la astronomía,éstapor razón deltrazadoderelojessolares;esjusto señalarque Milizia hacíanotarigualmente

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el interés del estudiode la Físicaexperimentaly de la Historia natural,queenestaépocahabíanadquiridoun desarrolloquelas distinguíade su contenidoanterior.Por supuesto,incluíaenel planformativounasólidapreparaciónenel artedel diseño: el ejemplode Miguel Angel, Bernini, Cortona,etc., poníade manifiestola importanciadel dibujo en la concepciónde la obra, porqueno podíaolvidar que el arquitectono es sólo teórico y técnicosino artista.

Pero,segúnhemosindicado,hay otracorrientequeno se limita a propug-narel estudiopreviode la Matemáticasino queconcibeel edificio comounafigura geométrica,comoun espaciolimitadoporunaestructuradelíneasy su-perficiesparaconstituir un volumendeterminado,un sólido, como se decíaentonces;a la inversa,seobservabaquelas figuras geométricasinspiranal ar-quitect~lacreacióndesusmorfologías.Estainterpretaciónde laobrase mani-fiestaespecialmenteenlos tratadosdeArquitecturamilitar, quizáspor la regu-laridaddesusformasderivadasdepolígonossencilloso compuestosy de otrostipos defiguras. El trazadode la fortificaciónseriafruto dela reflexióncientí-fica másquede imaginaciónartística,por lo quese llega adefinicionescomola siguiente:«Architecturamilitar es ciencia que enseñaa conocertodos lossitios quedarsepueden,juzgandode su fortalezao flaqueza,queguíaalaelec-ción de la figura que más propiamentese debeaplicar a cadauno.., es arteoperativaqueexisteen principiosverdaderos,.,artehalladaporlaexperienciadeofensarecibidadepoderosoenemigo;sus reglasnacendela razón,la cons-trucción de susfábricasprocedede la meditacióny del ejercicio; mira comoúnico fin a quepocosse puedendefenderde muchos»;apartedeestosfines,se consideraque es unadisciplina teóricaque«tienesus fundamentosen lasmatemáticasy esunade las partesque se divide» 2 Asumentos tratadistaslauniversalidadconferidapor el cartesianismoa la Matemáticacomométodoparala investigaciónde la realidad:«no es otra cosasino cienciade estemundovi-sibleen laspartesy accidentes..- de maneraquelas Matemáticasno tratan si-no de las causasy efectosqueperfeccionanel mundo»~, lo que permitedis-tinguir «la Aritmética especulativaqueconsideralaspropiedadesocultasdelosnúmerosy la prácticael uso de ellos»4; se explicaasí la ampliacióndel anti-guocuadrivioy lajerarquíaquedentrodelasdistintaspanesconservanla Ant-inética y la Geometríacomofundamentode las restantes>~. Dávila vio bienes-ta función: «Es tan soberanala Geometríaque todas sus operacionesbienconsideradasson parael usoy aciertode las artes,porquesin ella el artíficeen ningunamateriapuedemoverse»6;no debeextrañarnosque Cepedaescri-

1. DE VILI.EGAs. Diego Enrique,Academiade fortificación deplazasynuevomododefr’rtiflcar una plaza real, Madrid, 1651, págs.5-6

2. Da VILLEGAs, DE.; ob. cit., pág. 9.3. D,ÑvíLA y HEREDIA, Andrés,Plazasforrifl cadasconun trazadode Geometríaprác-

fico para trazar figuras regulares...,pág. 6.4. Escuela de Palas o Cursos Maihemáticas Milán, 1693, fol. 15. DÁVILA, A., ob. cit., págs.25-26.6. DÁvILA, ob. cit., pág. 56.

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bieseunos«PreludiosgeométricosparalaArquitecturamilitar», porqueseaplicajunto conla Aritméticano sóloa la enseñanzadela construcciónde fortifica-cionessino parala docenciadel «modode impedir rechazary defenderde ene-migos impulsoscualquiersitio»7 Benaventey Laredo repitenliteralmentelasmismaspalabras.

FernándezMedranono selimita a unos«Preludios»sino queincluyeen sutratadoun «Libro quinto» que «tratade la Geometríapráctica, trigonometríay uso de la reglade proporción»en el queestudialas distintasclasesde figu-ras,polígonos,círculo y otras superficiescurvas,división delíneasperpendi-culares,inscripciónde círculos,lineascontinuasproporcionales,«Planimetría,dondese enseñaa medir las áreasde todasfiguras planas»,mensurade unafigura irregulary de distintos volúmenes,aplicaciónde la Trigonometríaalcálculode alturas,profundidades,montañas,«levantarel planodel recintodeunavilla», etc; convienerecordarqueesteautor fuetan eruditogeómetracomoprestigiosoingeniero~.

La deducciónde las estructurasde la arquitecturacivil de la Matemáticaes tambiénprincipio admitido normalmentepor los tratadistas.Se advierteyaenlos escritosde Herrera,Morelois,Clavio. etc. En el siglo XVIII es asumidoinclusopor autoresde formaciónmás empírica.A pesardel carácterprácticode su libro, Ferrervio bien la cuestión,comolo demuestrasu definición delaArquitectura:«artedeedificar y fortificar con ladebidaproporcióny reglasmatemáticas>’9; en otro texto posteriorsustituye«la debidaproporción»,porel término«fundamentos»queno alterael significado;pensabaque«con la luzde la Aritmética, la antorchade la Geometríay el sol resplandecientede laArquitectura»podíael alarife levantar«maravillosasobras, regios edificios,suntuosísimospalaciosy sagradosy santísimostemplosde Dios». Con no me-nos retóricaFranciscoAlvarezconsiderabaa laArquitecturacomo«Cienciadelas Cienciasy Arte de las Artes», y en su exaltaciónle confiere mayorjerar-quíaquea laAritmética y Geometría,ya queafirmaquees«la partemásnobledelas Matemáticas»,que«abarcaensímuchascienciasnaturales»,juicio que,como hemosvisto, no compartíanotros autores,aúnde mayorerudiciónma-temática;derivala etimologíadesudenominaciónde la importanciaqueenlaconstrucciónadquierenlos arcos «o la coberturaquecon ellosse hace»lO, Re-suelve los distintostemascomoproblemasde Geometríaplanaelementalporla reducciónsemióticade las distintaspartesdel edificio a diseñoeuclidiano.

La convergenciadela teoríay prácticasehacepatenteenGarcíaBerrugui-lía, constructorcuyo empirismose pone de manifiestotanto en las frecuentesalusionesa susanálisisde obrasy a susexperiencias,comoenel estiloespon-

7. CEPEDA Y ADRADA, Alonso, Epítomede laJhrt,ficaciónmodernareducidaa la re-gla y al compás...,Bruselas, 1669.

8. FERNÁNDEZ MEDRANO, Sebastián, El architecto pci-té cío en el arte militar, Bruse-las, 1700, Amberes, 1708 y 1735.

9. FERRER, Bartolomé, Arithmetica, Geometrícay Architecrónica Madrid. 1719.lO. ALVAREZ, Francisco,Breve tratado de Architectura, Madrid, 1727.

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táneoy poco atildado de su exposición;sin embargo,fundamentaéstaen laexplicaciónde láminasdeprecisodiseñogeométricoy dedicalosdos capítulosprimerosa ladocenciaderudimentosmatemáticosqueconsideraimprescindi-bIes; por supuesto,se tratade una introducciónrutinaria, singrandesaspira-cionesespeculativas,perola deducciónmatemáticade susnormasse hacepa-tente a travésde toda la obra; así,por ejemplo,en la parteterceradedicaunapartadoa establecerlas «reglasparasaberaumentaro disminuir cualquierafigura en la razón o proporciónque se pida y empiezodesdesumarfigurasplanas»:despuésde explicar la sumay reducciónde superficies(cuadradoacirculo,triánguloa cuadrado,etc.)abordael temade«aumentar,disminuiroreducir los sólidos»,de tantaaplicaciónen Arquitectura.Confíaen la validezdel métodomatemático:«todolo quellevo escritonadatocaen opinión, puestodo tienecomose ve suspruebasmuy demostradas»II, Estamisma seguri-dad en la fundamentaciónmatemáticade la construcciónmuestraPío y Co-mm, puesa pesarde que tampocoseaautor estrictamenteespeculativo,co-mienzasu obracon estaspalabras:«Es la Matemáticael tronco universaldetodaslas Ciencias:su raízy fundamentoes la Geometría,quejuntamenteconla Aritmética,dispone,pesa,mide y arreglatodaslas cosasnaturales»12.

La necesidadde conciliar especulacióny práctica,Cienciay Arte, consti-tuyenuna constanteen los libroscuyosautoresno eransólo teóricos, aunquemuestrenprofundaerudiciónhistóricay científica13, Se observaesto en lostratadosdelas diversasescuelas:Blondel indicabaqueparala redacciónde sulibro buscóla conversacióncon los grandesmaestrosy aúncon los quereali-zabanmodestosencargosde obras;basabatambiénsusteoríasen susreflexio-nessobreedificios determinados14, Porotra parte, los autoresneoclásicospro-ponenestaconjuncióncomoproyeccióndelosprincipiosdeequilibrioy armoníaqueaplicanen la Estéticay en la Pedagogía~. Rieger-Benaventeobservabanquela verdaderasignificacióndel edificio no sealcanzamásqueen su realiza-ción material, lo queimplica unavaloracióndela prácticade la edificación 6

En esteconjuntode textosenlosquela relaciónentreespeculacióny empi-ria alcanzabadistintaproporción,destacapor suoriginalidadtemáticaelescri-to por JuandeVillanueva,paraquienla Arquitecturasuponelacolaboraciónde diversosoficios como elementosnecesariosque ha de emplearel artista,perono puedenaspirara introducirseen sudefinición: albañilería,cantería,carpinteríade taller,cerrajería,etc., quedan,por tanto,comoprofesioneses-

II. G.~Rcíá BERRUGUILLA, Juan,Verdaderaprácticade las resolucionesde la Geo-inetría sobre las tres dimensionespara un perfectoarquitecto, Madrid, 1747.

12. PLO y COMíN, Antonio, El Arquitectopráctico, civil y militar..., Madrid, t767;otrasediciones: Madrid, 1793. 1819, 1844, 1855 y 1856.

13. ScAMozzí, Vicenzo, Lideadellarchirectura universale,Venecia, 1615.14. BLONDEI., JaequesFran9ois,Cours d’architecture, París, 1771-1777.15. MIUZIA, Francisco,Principi di Architectura civile, Bassano,1785.16. RIEGER, C., Elementosdetodala arquitecturacivil..., trad. deM. Benavente,Ma-

dríd, 1763. pág. 50,

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pecializadasy diversas;por estoreflejabael titulo de su obrala limitación desucontenido:no se propusorealizarun tratadogeneralde Arquitecturasinosólo de Albañilería, concebidacomo«artede construirel todo o partede unedificio colocando,enlazandoy uniendolos materialesde que usa, de modoqueformandoun cuerpounido se mantengana sí mismosy puedansostenerel pesoproporcionadoquese les cargue»17; no obstanteconvienerecordarquereconoceen su ejercicio un doble carácterteórico y práctico,por lo que noquedabaal margende los idealesnormativosde la Ilustración.

En la mayoría de los autoresmencionadosla vinculación queestablecenentrela Arquitecturacivil y la Matemáticano es intrínseca:comprendensim-plementequeéstaconstituyeunabasede conocimientosque, por sucaráctercientífico, fundamentanelartedelaedificación, lo dignificany, enciertomodo,lo hacenposible.En Toscael casoes distinto porqueen suslibros (como ocu-rre con losdeotrosteóricos)laArquitecturano sevinculaconlas Matemáticassino queseconsiderapartede ellas: no escribeun tratadode Arquitecturasinode Matemáticas,unade cuyasdivisioneses la Arquitectura.El racionalismodel maestrovalencianose hacepatenteentodasu obra; su teoríadelamontease explicacon la másrigurosametodologíadeteoremasy corolarios;su defi-niciónde los órdenescomportala determinaciónprecisadesusmensuras;susidealesconstructivosse exponencon expresiónnuméricade sus razonesdi-mensionales;su geometrismose proyectalo mismo en la Arquitecturarectaqueen la oblieua. El siguientetexto del libro tercerodel tratadode la monteasobrela génesisgeométricade la bóvedacónica puedeservirde ejemplodela inserciónmatemáticade su teoría arquitectónica:«concíbeseresultarlabó-vedacónica del movimientode un triángulo que da unavuelta sobreuno delos lados,de suertequeel lado sobrequiencomoejese mueveseráel ejedela bóveday de otros lados que se mueveny sobreel dicho formaránel unolaVueltade labóveday elotro subasao frente».Basay ejeestánbiendetermi-nados:«Basade unabóvedacónicaes elplanoverticalo casiverticaldedondeempiezaa correr, hastaremataren el ápice,o punto terminantey ladistanciaque hay de dicho plano a este punto es la longitud de bóveda,.. Eje de unabóvedacónicaes la línearecta quepasadel centro de subasahastadicho ápi-ce,o punto terminante.Si esteejefueraperpendicular,o rectode labasa,serála bóvedacónica recta y si oblicuo seráoblicua» ~. Los problemasquepre-sentaen estelibro son los siguientes:«Trazarunabóvedacónica recta;trazarunabóvedacónicacuadrada,cuyofrenteseacircular; trazarunabóvedacóni-caenun rectángulocuadrilongo;describirunabóvedacónicacuyaiconografíahorizontalsea circular, cóncavay convexa;trazarunabóvedacónicacuyafrenteestéescarpadao encuentreconun cañónde bóveda;trazarun nicho semiesfé-rico obóvedasemiesférica;trazarun nicho semiesféricoenángulo;formarun

17. DE VILLANUEVA, Juan,Arte de Albañilería Madrid, 1827.18. ToscA, TomásVicente, CompendioMathemá/ico...,Valencia, 1707-1715.9vols.;

otras ediciones:1727, 1757. 1794.

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nicho rebajadoo elíptico; formarun nichocuyafrenteseaun arcodepiesdesi-guales»‘~. Comopuedeobservarsededucela teoríade las formasde la teoríade las figuras geométricas.

Sin embargo,su talantecientífico no le impedíareconocerel valor de laexperiencia.Insertaen su tratadounainteresanteseriededefinicionesde ins-trumentosy procedimientosutilizadosen laarquitecturade sutiempo. En bas-tantesocasionesremite a la prácticadelos constructoresla resoluciónúltimade los problemas.Así, por ejemplo, acercade los contrafuertesseñala:«perolo ciertoes queen estepuntosehade estara lo experimentadopor los artíficesqueprudentementeatiendenlas variascircunstanciasquepuedenocurrir; y parecerequieremásestribosel arcoo la bóvedade piedraquela deladrillo de roscay éstemásquela detabicado»;conel mismocriterioempíricoresuelvela cuestióndel grosorconvenienteal arco: «encuantoala crasiciequehade tenerel arco,no hay regla fija, si que el prudentearquitecto,se la debedar atendiendoala firmeza de la materiade que se fabricay el peso queha de sustentar»~

Aunquesu tratadoverseexclusivamentesobrelaArquitectura,Bruno y Za-ragozacontinúaconsiderándolacomouna de las cienciasmatemáticas,entrelas cuales,por cierto,destacaríaporque«poseeespecialdignidady nobleza»21;

perosólo dedicauna seriedepáginasa la resoluciónde problemasgeométri-cos,explicados,eso sí, con buenailustraciónde láminas22

De acuerdocon las directricesrecibidasde la Academiaparasu realiza-ción, Bails desarrollabatambiénsu teoríade la Arquitecturadesdesu amplioconceptodela Matemática;no olvidemosquefueronsusconocimientosde es-ta ciencialos que le llevaron a la docenciaen la Academiade San Femandoy a escribirlos voluminosos tomosde sus tratados.Sin embargo,siguiendolas fuentesutilizadas,su atencióna laprácticade laedificaciónes muchomásextensaque la de Tosca23.Valzania partíade la definición de Vitruvio y re-conocíaen esteartedos aspectos:«es teóricay práctica;éstaes la que sead-quierecon el ejercicio de fabricar y aquéllala que enseñalos principios delaedificacióny sus leyes»;peroestablecesu estéticasobreunabasematemáti-caquejustifica su definicióncomo«cienciade las proporciones»24 Es lógicoque en el academicismoincidieraen la formación del arquitectoel progresode las Ciencias,no sólo de las Matemáticas,lo quepor otra partecontribuíaa su diferenciacióncadavez másestrictadel mero constructor:se hacemáspatentela distinciónjerárquicaentrelasdistintasactividadesquesuponelacons-trucción.

19. ToscA, TV., ob. eit. págs. 183-200.20. ToscA, TV., ob. ch., pág. 117.21. ZARAGOZA Y EBRÍ, AgustínBruno, EscueladeArquitectura civil Valencia, 1738,

1804.22. ZARAGOZA Y EBRÍ, A. Bruno, ob. cii., págs.847.23. BATís, Benito, Elementosde Matemáticas,Madrid, 1779-1887,10 tomos,en II

volúmenes.24. VALZANIA, Francisco.Institucionesde Arquitectura, Madrid, 1792.


Los tratadistasteníanocasiónde mostrarsus conocimientosmatemáticosen la fundamentaciónde las reglascorrespondientesa la Arquitecturarectayoblicua.El problemaaparecedebatidoenlosautoresdel Renacimiento;puederecordarse,cornoejemplo, queAlberti distinguíaseispartesen Ja prácticadelaedificacióny haceinteresantesobservacionessobrelaplantaredonday poli-gonal25 El desarrollomatemáticoderivadode la metodologíaracionalistaper-mitió profundizaren el tema. ParaCaramuel«Arquitectura recta es edificarmuros a línearectay junto aellos ponerestatuasy columnassegúnlas leyesquelas líneasrectasy paralelasy los ángulosprescriben...Arquitecturaobli-cuaes edificar murosqueconotros conquieneshaceángulooblicuo tenganbuenacorrespondencia»26;a travésde su amplia obraestudiaconextensión«cómode las rectasnacenlas delineacionesoblicuas»,«de qué figura han deserlas basesy columnasqueen lugar elípitico se colocaren»,de la superficieinclinada,de la cornisaanguladao circular (en ventanasy puertas),de las es-calerasy de los balaustresy columnasoblicuasconque se suelenadornar,delos arcos rectosy oblicuos, etc. Legabaasí a los tratadistasposterioresunaexposiciónsistematizadade losdistintosproblemasderivadosde los diferentestipos de plantas.

Por su preparacióny por los caracteresde su tratadoes comprensiblequela aportaciónde Toscaaestacuestiónseaunade las másinteresantes,eruditasy minuciosasdela teoríaespañoladel siglo XVIII. Señalaremosen primer lu-gar laclaridaddesu intepretacióndeestadivisión tradicionaldelaArquitectu-ra: «Arquitecturarectaes la quedirige los edificiossobresueloshorizontales,gobernándosepor la escuadray plomoerigelas paredesy columnasa ángulosrectosconel suelo.La Arquitecturaoblicuaedifica sus fábricassobresuelostnclinadoso en pasadizosy puertasquecorrenen viaje o en templosredondoso elípticos»27 De acuerdoconestasdefinicionesprecisaque,mientrasla rectaes la quereúnelacondiciónde serparalelógramay rectangular,la oblicuain-cluye todoslos restantescasos,ya quebastaríaconquecareciesede ángulosrectos:puedeserparalelógramapero no rectangular;la divide, por tanto, enrectilínea(plantade lineasrectas)y curvilínea(plantascurvascirculareso elíp-ticas); distinguetambiénentreperfil recto(con plantay terminaciónhorizon-tal) y oblicuo (con plantao terminacióninclinada)28

Establecela siguientereglageneralparalaconstrucciónoblicua: «todaslaslíneasque en la iconografíarectaeranparalelasa los muros,o paredonesdela fábrica, hande sertambiénparalelasa los mismosparedonesen la incono-grafía oblicua»29 Deduceen consecuenciaque las normasde la Arquitecturaoblicua derivande la rectilinea.Toscarefrita a esterespectounareglade Cara-muel: «el obispoCaramuel,en el tratadoseisde laArquitectura,establececomo

25. ALBERTI, León Bautista, Los diez libros de Arquitectura, Madrid, 1582.26. CARAMUEL, Juan,Architecturacivil, recta y ohlicua, Madrid, 1678.27. ToscA, TV., ob. cit. págs. 1-2.28. ToscA, TV., ob. cit. pág. 67.29. ToscA, TV., ob. cit. pág. 68.


cosamuy ciertae indubitablequelas plantasen lascolumnasqueenla Arqui-tecturarectaeranredondas,enla oblicuahandedegenerarenelípticas...Con-fieso serel artificio de estasdescripcionesmuy sutil y primoroso,perono veorazónalgunaquenosobligueaadmitir lasobredichatransformacióndelasco-lumnas; anteshay algunasquebastantementepersuadenno ser conveniente;y no es la másdébil el haberloasíobservadoni concusamentelosarquitectosantiguosen los magníficosedificiosdeArquitecturaoblicuaqueeligieron,cu-yas minas, ya que no sustentansus bóvedas,mantieneaúnen la posteridadsu memoria»~o.Estarelacióncon la rectilíneala refiere lo mismo a las lineasquea los muros, ala plantacircular quea la oval o elíptica: «siendopues,re-gla generalquetodaslas lineasqueen la iconografíarectaeranparalelasa losmurosde la fábrica, lo hande sertambiénen la oblicua, se siguequesiendocircularesestosmuros,o paredones,lo habrándesertambiénlaslíneassobre-dichas;y por consiguientelos pedestalesy basasde las columnasy pilastrastendráncircularesaquellosladosquepor sudisposiciónhande ser paralelosal muro... Estomismo quehedicho de la plantacircular, digo tambiénde laoval» ~‘.

No quedaen el planode la purateoría: ofrecenormasprecisaspara la rea-lización debasasy trazadodechapitelesenplantasrectilineas.oblicuas,curvi-lineascircularesy elípticas32.Analiza lasposibilidadesdetrazadode perfilesde las obrasverticalmenteoblicuasy planteaunaseriede problemasconcretoscomoéstos:«describirlasplantasde los cuerposdearquitecturaen lasfábricasverticalmenteoblicuas»33; «idem, el perfil de los cuerposde arquitecturaenlas fábricasverticalmenteoblicuas»34; «modocomose hande hacerestosper-files cuandoel suelodel edificio es horizontal y el techoes inclinadou obli-cuo»35; «formar las plantasy perfilesde los cuerposde arquitecturaen los edi-ficios y constande delineacióne inclinación»36; «formar las cornijasoblicuasy unirlas con las rectas»~ Frenteal parecerde otros tratadistas,opina que«nohay necesidadde transformarlacolumnacircularen elípticaporqueal cuerpocirculares de la mismasuerteadaptablela fábricaoblicuaquela recta»38, Estameraenumeraciónconfirma que Toscaconcibe su teoríade la construcciónsobrela basede la más rigurosageometría,aunqueefectuarasusreflexionesapartir de fuentesconcretas;pruebaasimismoel alto nivel científico queconsu tratadoalcanzala didácticaespañolade la Arquitectura; por otra parte,la

30. ToscA, TV., ob. cit. pág. 69.31. ToscA, TV., ob. cit. págs. 72-73.32. ToscA, TV., ob. ch. págs. 70-73.33. ToscA, TV., ob. ciÉ. pág. 75.34. Toset.,TV., ob. cit. págs. 76-77.35. ToscA, TV., ob. cit. págs.77-78.36. ToscA, TV., ob. cit. págs.78-79.37. TOSCA, TV., ob. cit. págs. 79-80.38. ToscA, TV., ob. cit. pág. 70.


difusión del mismomuestraqueno todo eraempiriaen laprácticahispanadela construccion.

Es lógico queno todoslos autoresdesarrollenestamateriacon la mismaextensión.Ladiferenciaentreel contenidodelos tratadosde losdos escritoresvalencianosToscay Bruno Zaragozase hacepatenteen la brevedadconqueéstela expone,puesse limita aunameradefinición: «trata la rectadeedificioscuyossuelosson paralelosal horizonte. Sobreestosplanoserigeparedesrec-tas,hacesalones,cámarasy galerías,gobernandosus ideascon la escuadra.Ocúpasela oblicuadondeel sueloseinclina. en los pasadizosy puertasaviaja-das;en los templosredondosy de figura oval» ~‘. Otros tratadistasson aúnmásparcos:Losadacaracterizabasimplementelaprimeracomoedificaciónsobresuelohorizontal y trazadode paredesy columnasa escuadray plomadaconángulorectoy la segundacomoconstrucciónsobresuelosinclinadoso en pa-sadizos y puertas que corren en viaje o bien en edificios redondosoelípticos40

Otro temaquevincula la Arquitecturacon la Geometríaes el de la repre-sentacióny trazadodeplanos.Toscalo relacionaconelcontenidode los enun-ciadosenumeradosanteriormentey conelestudiode la monteadel «vestigio»o iconografíahorizontal y vertical. La conexiónse estableceporque las va-riantesdel artedel diseñose integrantambiénen las Matemáticasy, comoenla edificación,se basansus principios en la Geometría41:de estamanerala ampliacióndel cuadriviose hacecon criteriojerárquico,pues,comoafirmaFernándezMedrano,«la Geometríano necesitadeotroartequedelaArtiméti-ca... la. Arquitecturacivil constade lineas, terminadasen longitud, latitud yprofundidad...Ja invencióndela perspectivaestáfundadasobrelas dimensio-nes,proporcionesde la Geometría;de ellas usatambiénla musical armonía,la fortificación, la cosmografíay la astronomía»42,

Al ladode estosprocedimientosabstractos,tanto el artistacomoel clientehandeseadosiemprepreverelefectodel edificio unavez terminadomediantesu contemplaciónen una imagenconcretadel mismo. El siguientetexto deRieger-Benaventepresentaen pocaslíneasun resumende los distintos méto-dos empleados:«Los modelosde losedificiosunosson la figuraciónde laobraen el plan, otros la figuración en sólido y otros son los que propiamentesellamanmodelos.La figuraciónenel planse representaenla iconografíao plan,enla ortografíao elevacióny enla perspectiva,segúnlas leyespropuestasdecadauna. Perolos modelosdandimensiónsólidade la fábrica, reducidaa pe-queñaspartesdel pitipié. La materiadequese hacenlos modeloses la made-

39. ZARAGOZA Y ERRÍ, A. B., ob, cd.40. LOSADA, Manuel, Crítica y compendioespeculativo-prácticode la Arquitectura

civil, Madrid, 1740.41. ToscA, TV.. ob. cit, págs.83-84.42. FERNÁNDEZ MEDRANO, S., ob. cit., prólogo.


ra, la cera,el yeso,elpapel, la argilla (sic) y tal vez la mismapiedra»‘~. Paraefectuarcualquierprocedimientoseestimabaque«experienciay Geometríasonlos requisitosesenciales»~, con lo que se confirma una vez más la primacíaatribuidaa laAritmética y laGeometríaentrelas restantesmateriasintegradasen la CienciaMatemática.Pero la diversidadde las relacionesde la Arquitec-tura con otras disciplinasno derivabade su inserciónen el amplio conjuntode las queconstituíanlas Matemáticassino de la complejidadde la construc-ción. La representacióndel edificio creadoporel arquitectohatenidotambiénuna significaciónhistóricade la mayor importancia:ante la desapariciónenel tiempode la mayorpartede la aportaciónde las sucesivasgeneracionesala Arquitectura,los proyectosse erigenen las únicas fuentesparael estudiode la historia de este arte.

La inclusiónde laArquitecturaentrelasdisciplinasmatemáticastieneunasconsecuenciassocialesmuy importantes.Durantesigloslosartistashabíanque-rido quese estimarala condición liberal de su trabajo; los músicos,al menoslos teóricos,no tuvieronese problemapor la integraciónde la músicaen elcuadrivio. CuandoGutiérrezde los Ríos escribeque las artesdel dibujo «noson mecánicasni entranen el númerode comunidadesde oficios, ni se debenmezclar con ellos»~ o cuandoTorija afirma que «la Arquitecturaes cien-cia» 46, estáclara la intenciónde ponerde manifiestoel carácterintelectualdelaprofesióndel arquitecto.La empiriaquecomportalaedificacióny la forma-ción rutinariade los constructoresconstituíanlos principalesobstáculosparala inclusióndela Arquitecturaentrelasartesliberales.El problemaimplicaba,portanto,la distinciónentrela actividaddel arquitectoy la del maestrodeobrasy del albañil. Los pintoresno teníanqueresolverestacuestiónprevia: les bas-tabacon reunir argumentosparaprobarla dignidadde su arte; pensabanquela organizacióngremialse manifestabainsuficienteporqueel artistahabíasu-peradola situaciónartesanal;se cotizabanlas obras;secelebrabanalmonedasde cuadrosquese hacíanfamosas,a vecesaescalainternacional.En elprimercuartodel siglo XVIII Palominoreúnelamásampliaseriedealegatosen favorde estaspretensiones.Ardemansconocía bienel libro del maestrocordobésporquefue unode suscensores;aunquela intencionalidady temáticadel suyoeranbiendiferentes,no renuncióa aplicara laArquitecturasusmismosrazo-namientos:señalala antigliedadde su origen y su brillantehistoria47;advier-te «la granestimaciónquede ella hanhechotodoslos reinosy provincias»tparamostrarsu noblezarecuerdaque«hasido experimentadade grandesper-

43. RIEGER-BENAVENTE, ob. ciÉ,, pág. 296.44. Mtuzíp., F., ob. ciÉ,, t. III. pág. 60.45. GUTIÉRREZDE LOS Rios,G., Noticia generalpara la estimaciónde las artes yde

la maneraen queSe conocenlas liberales de las que sonmecánicasy serviles, Madrid,1600, pág. 116.

46. DE TORnA, Juan,Brevetratadode todo génerode Bóvedas,Madrid, 166t,pág. 1.47. ARDEMANS. Teoaoro,OrdenanzasdeMadrid, Madrid, ~, a edición, 1720, pág. 19.48. ARDEMANS, T., ob. cit., pág. 5.


sonajescomoson emperadores,reyes,príncipesy grandescaballeros,los cua-les han hechoestudioparticular y se han fatigadopara su conocimiento»49;

enumeralos privilegios e inmunidadesqueseotorgana los arquitectos~<>. Cita,porejemplo,en la Corteespañolaloshonoresinherentesal oficio de Arquitec-to Mayor de Palacioy CasasReales~‘ que ostentabancon orgullo: «parade-beryo apreciarconjustavanidadladignacióncon quemeconfirió estehonrosotítulo el Rey mi SeñorDonFelipey»; observatambiénlaconsideraciónreco-nocidaal ArquitectoMayor de los Ayuntamientosy especialmenteal de Ma-drid, cargoque desempeñabaasimismo: «con cuyo título me honrótambiénestaNoble Villa, añode 1700»52; paraacentuarel valor probatoriode estasmotivacionessociológicas,interpretalasprebendascomounaconsecuenciadelhechode que la Arquitectura creacondicionesidóneasparael desarrollodelavida socialy haceposiblela realizaciónde las actividadeshumanasmásele-vadas:«fue cunade la racionalpolftica, puescon las habitacionesredujo a so-ciabilidadlas almas;conchade la preciosaperlade la religión y del culto conlasfábricasde los templosy las Aras».Adoptatambiénelargumentoteológicoempleadopor Palomino,cuyaaplicaciónle resultabamás fácil queal pintor,porqueve en la Arquitecturala «imitación del Altísimo, que siendoautor detodo,pareceseesmerósu omnipotenciaenserinmensoArquitectoy supremoArtífice» ~.

Al margende estasrazonesse estimaqueelcarácterliberal de laArquitec-turaderivaríade su mismaesencia.Ardemansse apoyaen la definiciónvitru-viana, porqueobservaque en ella se hacepatentequeel artífice realiza «unracionale intelectualorden»,No ignorabaque«no hanfaltadoautoresquere-fieren entrelas artesmecánicasla Arquitectura»~, basadosen unostextos le-galesde los emperadoresConstancioy Justiniano:refutael errorde interpre-taciónen elqueincurreny concluyeque«hasido siemprey es la ArquitecturaArte Noble, liberal y prestantísima»§5; ensu opinión «faltaríaal conocimien-to de su fin, efecto y pública actualidad»quienle negasesu inclusiónentrelas actividadesno serviles§6, yaqueconsideraevidentequereúnelas propie-dadesque la distinguen~ por ser «un intelectualregladoy cultivador del or-dende edificar» §8, Quizásno le hubierahechofalta seguira Palominopor-que, apartede las observacioneshistóricas,Los pintoresdirigían su principalesfuerzoamostrarlavinculaciónfilosóficay matemáticadesu artey deducían

49. ARDEMAN5, T., ob. cit., págs. 19-20.50. ARDEMANS, T., ob. cit., pág. 8.Sí. ARDEMANS, T., ob. cit,, pág. 12.52. ARDEMAN5, T., ob. eit,, pág. 14.53. ARDEMANS, T., ob. cit., pág. 4.54. ARDEMAN5, T., ob, cit., págs.9-12.55. ARDEMANS, T., ob. ciÉ., pág. 4.56. ARDEMAN5, T., ob, cit., pág. 5.57. ARDEMANS, T., ob. cit., pág. 8.58. ARDEMAN5, T,, ob, cit., pág. 15.


estaúltima delas teoríasde lacomposicióny perspectivaqueresolvíanelestu-dio del dibujo en puraespeculacióngeométrica.Perolosarquitectosteníanfa-cilitado el caminopor la ampliacióndel conceptode la matemáticaquese ha-bíaoperadodesdeel Renacimientoy estabavigenteaprincipios del siglo XVIIIcuandoArdemansescribesu tratado:segúnse ha afirmadono habíanecesidadde aumentarel cuadrotradicionaldelas artesliberalesporquela Arquitecturase integrabaen ellas, incluida entrelas disciplinasmatemáticas.Perosegura-mentequeríadejarbienpatentequeno se referíaal teóricosino quepretendíaque se reconocierael mismo derechoal arquitectoque edificaba.

En el academicismoel problemaquedaya zanjadomásque superado;sedistingueentreartesliberales,o mejoraúnbellas(como se indicaen la deno-minaciónde las RealesAcademias),y mecánicas.La diferenciaciónafectaala nomenclaturatradicional: el término artistaquedadefinitivamenteasignadoal profesordeBellasArtes(«asillamaremosal profesordelas noblesartes»)yel de artesanoal operariode las mecánicas.De acuerdocon la filosofía delaépoca,se atribuye a la doblefinalidad estéticay ética que se reconoceen elarteel origende la valoraciónde las primeras,la razónde la prioridad sobrelas mecánicasy el motivo de su mayor estimación.Peroconvieneprecisarquela política ilustradahabíafavorecidoa unasy aotras.Por esto se afirmabaenun discursoacadémicoque«no se creaqueaprueboyo y favorezcola ridículapreocupaciónde losquedesprecianlos artesanosy aun elestudiode las artesmecánicas;no porcierto, sé yo muy bienqueen ellas consistela riquezamássegurade la nación y que asícomosin el auxilio de las liberalesno puedenhacergrandesprogresoslasmecánicas,asítampocolas mecánicaspodránexistirsin las liberales;ambascontribuyenal bien de la sociedad,por consiguienteambasdebeserestimadas»~. Comopuedeobservarse,el texto respondefiel-mentea los principiosdegobiernode la Ilustracióny a los escritosde Jovella-nos, Campomanes,Foronda,etc.

Dadala universalidadde la prácticade la construcción,la distinciónentrearquitectoy maestrode obrasy la consideraciónliberal dela edificacióncons-tituye ciertamenteun interesantecapituloen la historia de esteartey de la so-ciología, perola integraciónde la teoría de la Arquitecturaen la Matemáticaofreceaspectosmásimportantes.La interrelaciónsuponeel principiode lare-ciprocidad:el arquitectobasaen el cálculo sus estructuras,pero a la vez, enel análisisde las creacionesartísticas;el matemáticopuedeencontrarestímu-los temáticosparaprofundizaren cuestionesconcretasde su ciencia,asícomosugerenciasde nuevosproblemas.Estacorrespondenciase ha producidoentodas las épocas:cambian los estilos y las finalidadesprácticasde los edifi-cios,perola ley del númeroy de la consonanciarige en la arquitecturagreco-romana,en laconstruccióngótica,en la restauraciónclásicarenacentistay aca-demicista.en la exhuberanciabarrocay en laasépticageometríade los gigan-

59. TEVA, Discursopronunciadoen la RA. Bellas Artes de San Fernando,Madrid,1796, págs.69-70.

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tescosrascacielos.No sólo en estearte. En nuestrotiempo, en la denominadaArquitecturade ordenadores,los más caracterizadosimpulsoresde su naci-mientoy desarrolloinicial fuerondestacadosmatemáticoscomo Boole, Bab-bage,Shanon,von Neumanny Turing, lo queha permitidoafirmaral profesorSáezVacas(en «Las tecnologíasde la tercerarevoluciónde la información»en«Mundoelectrónico»,núm. 133, págs.133-141.Ver también«Computado-respersonales:haciaun mundode máquinasinformáticas»,Madrid, 1987)quela cienciade la informáticaes matemática:tendríamosasíunanuevaamplia-ción del antiguo cuadrivio.

A travésde la historia de la teoría de las arteslos tratadistasfundamentanen la naturalezay en el propio artistala racionalidadde las formasartísticas.Como he mostradoen el libro «La teoría españolade la Músicaen los siglosXVII y XVIII» (Madrid,CSIC, 1974)y recientementeen el articulo: «La esté-ticamusicalespañolaen el reinadode Carlos III» («Estudioshistóricos»,Ma-drid, 1990,vol. II, págs.627-650)en la centuriacorrespondienteal objetodeestainvestigación.Eximenorealizó unacríticaacercadela tradiciónpitagóri-ca referidaa la música,que sustituyepor la doctrina del origen espontáneodel lenguajey de la amplificación desus valorestonalesen el canto. Sin em-bargo,el filósofo y matemáticovalencianono advirtió queno existíacontra-dicción entresutesisy el principiode la racionalidadmatemáticaaplicadoala poesíay a la música.Como hemoscomprobado,en estaépocasu observa-ción en la Arquitecturano se cuestiona,sino que se afirma.

FranciscoJoséLEÓN TELLO(U.C.M.)

arquitectura y matemáticas según los tratados … · facilitar la interpretación de los textos....

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