NDICE

ENUNCIADO DEL PROBLEMA2

ANLISIS3

CONECTIVIDAD3

MATRIZ DE RIGIDEZ4

ECUACIN DE RIGIDEZ4

ESFUERZOS5

DIAGRAMA DE FLUJO6

DIGITACION DEL PROGRAMA EN MATLAB10

EJECUCIN DEL PROGRAMA12

CONCLUSIONES15

ENUNCIADO DEL PROBLEMA

Determinar los desplazamientos de los nodos y los esfuerzos en las barras de una armadura plana, la cual est sometida bajo ciertas cargas en los nodos. Desprecie los efectos de la temperatura y el peso propio.

DATOS:

Dimetro de las secciones: 50mmModulo de Elasticidad: 3.1x105 N/mm2

SOLUCIN:

1. ANLISIS

2. CONECTIVIDAD

eNODOSGDLle(mm)Ae(mm2)Ee(N/mm2)lm

(1)(2)1234

112123415001963.493.1x10510

223345615001963.493.1x10510

33456782121.31963.493.1x105-0.70.7

424347815001963.493.1x10501

51412782121.31963.493.1x1050.70.7

6457891015001963.493.1x105-10

NODOX (mm)Y (mm)

100

215000

330000

415001500

501500

3. MATRIZ DE RIGIDEZ

Conectividad del modelo

1*105*

4. ECUACIN DE RIGIDEZ

Donde:

Reaccin en los apoyos.

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos:

5. ESFUERZOS

Reemplazando los valores de acuerdo con la tabla de conectividad, obtenemos:

6. DIAGRAMA DE FLUJO

7. DIGITACION DEL PROGRAMA EN MATLAB

clear allclc disp('ARMADURAS PLANAS')disp('================')ne=input('Ingrese el nmero de elementos: ')nn=input('Ingrese el nmero de nodos: ')diam=input('Ingrese el diametro de las secciones [mm]: ')E=input('Ingrese el Mdulo de Elasticidad del material [N/mm^2]: ')coord=[];CONECT=[];CD=[];k=zeros(2*nn);Z=[];K=zeros(2*nn);Q=zeros(2*nn,1);F=input('Ingrese el vector (columna) Fuerza [N]: ')CC=input('Ingrese las condiciones de contorno ')EQ=zeros(size(CC,2),2*nn);for i=1:nn fprintf('\nIngrese los datos de las coordenadas del nodo %d\n',i) coord(i,1)=i; coord(i,2)=input('N(X): '); coord(i,3)=input('N(Y): ');endfprintf('\nIngrese la Tabla de Conectividad de los elementos')for i=1:ne fprintf('\nElemento%d\n',i) CONECT(i,1)=i; CONECT(i,2)=input('(1): '); CONECT(i,3)=input('(2): ');end %TABLA DE COSENOS DIRECTORES%(colum1: elemento, colum2: long. del elemento,colum3: l, colum4: m)for i=1:ne for j=1:nn if coord(j,1)==CONECT(i,2) for k=1:nn if coord(k,1)==CONECT(i,3) CD(i,1)=i; CD(i,2)=((coord(k,2)-coord(j,2))^2+(coord(k,3)-coord(j,3))^2)^0.5; CD(i,3)=(coord(k,2)-coord(j,2))/CD(i,2); CD(i,4)=(coord(k,3)-coord(j,3))/CD(i,2); end end end endend for i=1:ne k=zeros(2*nn); Z=[CD(i,3) CD(i,4) 0 0;0 0 CD(i,3) CD(i,4)]'*[1 -1;-1 1]*[CD(i,3) CD(i,4) 0 0;0 0 CD(i,3) CD(i,4)]; KK=(E*(pi*diam^2*0.25)/CD(i,2))*Z; r=2*(CONECT(i,2))-1;s=r+1;rr=2*(CONECT(i,3))-1;ss=rr+1; k(r:s,r:s)=KK(1:2,1:2);k(rr:ss,r:s)=KK(3:4,1:2);k(r:s,rr:ss)=KK(1:2,3:4);k(rr:ss,rr:ss)=KK(3:4,3:4); K=K+k;enddisp('MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL: [N/mm]')K %ENFOQUE DE LA ELIMINACIONfor i=1:size(CC,2) EQ(i,:)=K(CC(i),:);end K(CC,:)=[];K(:,CC)=[];F(CC)=[];Qmod=K\F; cont2=1;for j=1:2*nn cont=0; for i=1:size(CC,2) if j~=CC(i) cont=cont+1; end end if cont==size(CC,2) Q(j)=Qmod(cont2); cont2=cont2+1; endend

disp('DESPLAZAMIENTO GLOBAL: [mm]')Q

disp('ESFUERZOS [N/mm^2]')for i=1:ne tc1=2*CONECT(i,2)-1;tc2=2*CONECT(i,2);tc11=2*CONECT(i,3)-1;tc22=2*CONECT(i,3); fprintf('\nEsfuerzo en el elemento %d\n',i) esf=(E/CD(i,2))*[-1*CD(i,3) -1*CD(i,4) CD(i,3) CD(i,4)]*[Q(tc1) Q(tc2) Q(tc11) Q(tc22)]'; disp(esf)end disp('REACCIONES [N] (Pertenecientes a las Condiciones de Contorno)')R=EQ*Q

8. EJECUCIN DEL PROGRAMA

ARMADURAS PLANAS==================

Ingrese el nmero de elementos: 7

Ingrese el nmero de nodos: 5

Ingrese el dimetro de las secciones [mm]: 50

Ingrese el Mdulo de Elasticidad del material [N/mm^2]: 3.1e5

Ingrese el vector columna de Fuerza [N]: [0 0 0 2000 5000 0 0 3000 0 0]'

F = 0 0 0 2000 5000 0 0 3000 0 0

Ingrese las condiciones de contorno: [1 2 9 10]

CC =

1 2 9 10

Ingrese los datos de las coordenadas del nodo 1N(X): 0N(Y): 0

Ingrese los datos de las coordenadas del nodo 2N(X): 1500N(Y): 0

Ingrese los datos de las coordenadas del nodo 3N(X): 3000N(Y): 0

Ingrese los datos de las coordenadas del nodo 4N(X): 1500N(Y): 1500

Ingrese los datos de las coordenadas del nodo 5N(X): 0N(Y): 1500

Ingrese la Tabla de Conectividad de los elementosElemento1(1): 1(2): 2

Elemento2(1): 2(2): 3

Elemento3(1): 3(2): 4

Elemento4(1): 2(2): 4

Elemento5(1): 1(2): 4

Elemento6(1): 4(2): 5

MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL: [N/mm]K =

DESPLAZAMIENTO GLOBAL: [mm]

Q = 0 0 0.0123 0.0521 0.0246 0.0841 -0.0123 0.0472 0 0

ESFUERZOS [N/mm^2]

Esfuerzo en el elemento 1 2.5465

Esfuerzo en el elemento 2 2.5465

Esfuerzo en el elemento 3 8.8818e-016

Esfuerzo en el elemento 4 -1.0186

Esfuerzo en el elemento 5 3.6013

Esfuerzo en el elemento 6 -2.5465

REACCIONES (Pertenecientes a los puntos de las Condiciones de Contorno)

R [N] = 1.0e+004 *

-1.0000 -0.5000 0.5000 09. CONCLUSIONES

La aplicacin del Clculo por Elementos Finitos para la solucin de problemas de armaduras planas nos arroja valores para los desplazamientos nodales y para los esfuerzos de cada elemento aproximadamente iguales a la solucin analtica, esto es debido a que los elementos que conforman la armadura son de tipo barra (longitud, seccin recta). Otra fuente de error es por las cifras significativas que fueron tomadas para el clculo.

Identificamos como punto crtico para el correcto desarrollo del problema la construccin de la Tabla de Conectividad, vital para el ensamblaje del modelo.

Como una comprobacin de los valores de las reacciones en los apoyos, se debe de cumplir con los principios de esttica (F=0), por lo que nuestro clculo es vlido.

El programa descrito en el presente informe es vlido para cualquier armadura plana, asumiendo despreciable el peso especfico, por facilidad de clculo.

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