FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

TEMA: MÉTODO MATRICIAL PARA ARMADURAS

CLASE: ANÁLISIS ESTRUCTURAL III

CATEDRÁTICO: ING. MARIO PINEDA

ALUMNO: ROMMY H. ARIAS RODRÍGUEZ

CUENTA: 20052001824

FECHA: 4 DE OCTUBRE DE 2012

Universidad Nacional Autónoma de Honduras en el Valla de Sula

Introducción

A continuación presento el tema del método matricial para armaduras, del cual hablaremos sobre sus precursores, la deducción del método y sus ventajas y desventajas.

Objetivos

Conocer el precursor del método matricial para armaduras.

  Deducir los teoremas

aplicados.  Identificar las ventajas y

desventajas del método.

Precursores del métodoRobert Hooke (Freshwater, Inglaterra, 1635 - Londres, 1703) Físico y astrónomo inglés. En 1655 Robert Hooke colaboró con Robert Boyle en la construcción de una bomba de aire. Cinco años más tarde formuló la ley de la elasticidad que lleva su nombre, que establece la relación de proporcionalidad directa entre el estiramiento sufrido por un cuerpo sólido y la fuerza aplicada para producir ese estiramiento. En esta ley se fundamenta el estudio de la

elasticidad de los materiales. Hooke aplicó sus estudios a la construcción de componentes de relojes.

Precursores del método

En 1954 Argyris y Kelsey desarrollaron el análisis estructural por medio de matrices empleando por primera vez métodos energéticos. Este desarrollo, marcaría una tendencia y ejemplificaría la importancia que jugaría tiempo después.

Una matriz, se define como un arreglo rectangular de cantidades, las cuales se disponen en columnas y filas, dichos arreglos de cantidades, son comúnmente usados para auxiliar en la expresión y solución de sistemas algebraicos de ecuaciones.

Precursores del métodoPara un mejor entendimiento de la matriz de rigidez es esencial entender que es el método de rigidez. Se define matriz de rigidez como el elemento K, el cual es la matriz que conforma la ecuación F=KD donde K se relaciona con la coordenada locales de desplazamiento D en donde afectan las fuerzas F para un solo elemento.

En un medio continuo o una estructura compuesta por una serie de elementos elásticos, la matriz de rigidez k relaciona las coordenadas globales (x,y,z), los desplazamientos nodales D y las fuerzas globales F de todo el medio o la estructura. Es importante recalcar que esta matriz global esta referenciada a la matriz que describe el comportamiento local para cada elemento que conforma todo el sistema.

{F} = [K]{D}

El papel de la computadora en la solución de matrices

Como ya ha sido mencionado anteriormente, ha principios de los años 50, los métodos matriciales no estaba listo para la solución de problemas complicados. A pesar de que el método ya había sido empleado para describir estructuras complejas

No fue hasta la aparición de la computadora, cuando la solución de miles de ecuaciones en cuestión de minutos se hizo posible.

El desarrollo de la computadora, impulso el desarrollo de nuevas tecnologías de software. Un gran número de programas enfocados a la solución de problemas generales y especiales fueron escritos para la solución de problemas estructurales.

Deducción de método matricial para armaduras

Se dice que una armadura es plana si todos sus miembros y las cargas aplicadas se encuentran en un solo plano. Para simplificar el análisis de las armaduras planas se hacen las siguientes hipótesis:

Los elementos de las armaduras están conectados por medio de pasadores sin fricción.

Los elementos de la estructura son rectos ya que si no lo fuesen, las fuerzas axiales ocasionaría en ellos momentos flexionantes.

Deducción de método matricial para armaduras

Las deformaciones de una armadura cargada, causadas por los cambios en la longitud de los elementos individuales, no son de suficiente magnitud para ocasionar cambios apreciables en la forma y dimensiones generales de la armadura. Debe darse atención especial a las armaduras muy largas y flexibles.

Los elementos están dispuestos de manera que las cargas y las reacciones se aplican solo en los nudos de las armaduras.

La razón para establecer estas hipótesis es obtener una armadura ideal, cuyos miembros solo estén sujetos a fuerzas axiales. Un elemento sujeto solo a fuerza axial esta sometido a tensión o bien a compresión, pero no a flexión.

Deducción de Teoremas

Rigidez y flexibilidad de una barra de armadura

Considere una barra recta de armadura, cuyo modulo de elasticidad E y su sección transversal A son constante en toda su longitud L. Dicha barra esta referida a los ejes X y Y. El sistema coordenado así definido se llama sistema local de coordenadas. Esta barra esta sometida a la acción de fuerzas internas Fi y Fj, aplicadas en los nudos i y j, respectivamente; la acción de estas fuerzas provoca desplazamientos en los nudos, llamados ui y uj.

L = Longitud de la barra.

A = Área de la sección transversal. E= Módulo de elasticidad del

material integrante de la barra.

i y j = Nudos inicial y final de la barra i-j, respectivamente.

x y y = Sistemas de coordenadas local para la barra.

Fi y Fj = Fuerzas axiales aplicadas

sobre los nudos i y j, respectivamente, en referencia local.

ui y uj = Desplazamientos lineales nodales de los extremos i y j, respectivamente, en referencia local.

m y n = Elemento diferencial longitudinal de la barra.

Las fuerzas aplicadas Fi y Fj, en el interior de la

barra, originan la fuerza interna F(x), tal como

se muestra en el diagrama de cuerpo libre, para la que se han realizado varios cortes transversales.

Condiciones de equilibrio nodal

Nudo i = fi + f(x) = 0 ó f(x) = -fi (1)

Nudo j = fj - f(L) = 0 ó f(L) = fj (2)

Condiciones de equilibrio del elemento diferencial de la barra

Δf(x) = 0, lo que implica f(x) = N, N = cte. (3)

Relación cinemática

ε(x) = du/dx (4)

ε(x) = deformación axial unitaria de la barra

u(x) = desplazamiento lineal para cualquier sección transversal de la barra.

Ecuación constitutiva: De la Ley de Hooke

σ(x) = E ε(x) (5)

donde, σ(x) = N/A (6)

N = Edu (7) A dx

Considerando N = cte la derivación de la ecuación (7) da:0 = d2 (8) dx2

cuya integración sucesiva es:

u(x) + a0 + a1 = 0 (9)

siendo a0 y a1 constantes e integración la cuales se obtienen a partir de las siguientes condiciones de borde: Si x = 0→u(x) = ui (10) Si x = L→u(x) = uj (11)a0 = -ui y a1 = (ui-uj)/L la consideración de este resultado en la ecuación (9) da:u(x) + (ui-uj)*x -ui = 0 → u(x) = ui - (ui-uj)x

L L→ u(x) = ui - uix + ujx L Lu(x)= ui 1-x + xuj (12) L L

Lo que matricialmente expresado es:U(x) = 1-x x ui (13) L L uj

 {D}(ij) = ui

(14) uj

{D}(ij) = es el vector de desplazamiento nodales i-j para la

barra de la armadura.

La derivada de la ecuación (13) da como resultado:

du = 1(-ui+ uj ) ó simplemente du = 1d → d = (uj- ui)

(15) dx L dx L

Siendo d la deformación total de la barra.

A continuación considerar la ecuación (7) en la ecuación (15) N = 1d N = Ed (7) AE L A dx N = EAd (16) LSe entiende por rigidez axial de una barra el valor de la fuerza axial que le produce una deformación (elongación) unitaria por lo que, si en la ecuación (16) d = 1 entonces  K = EA (17) L

Matriz de rigidez local de una barra de armadura

 Sistema local: En cada barra o elemento de la estructura definiremos un sistema local, al que referiremos los movimientos y fuerzas de cada barra.

De la ecuación (3) con (1) y (2) resulta que Fi = -N y Fj = N sustituyendo en la ecuación (16) da:

Fi = -N N = EAd (16) LFi = -EA(uj- ui) L d = (uj- ui)

Fi = EA(ui- uj) Fj = -EA(ui- uj) (20) L L

Lo que matricialmente puede expresarse como:

Fi EA 1 -1 ui ó simplemente {F}(ij) = [K] (ij){D}(ij) (21)Fj L -1 1 uj

Donde el vector de acciones nodales es:

{F }(ij) = Fi (22) Fj (ij)

mientras que la matriz de rigidez axial local para la barra i-j es:

[K](ij) = Kii Kij (23)

Kji Kjj

con Kii = Kjj = EA Kij = Kji = -EA (24 y 25) L L

En consecuencia las ecuaciones (23, 24 y 25) son:

[K](ij) = EA 1 -1 cuyo determinante es nulo esto es:

L -1 1 (26)

Det [K] (ij) = [K](ij)

Entonces, la matriz de rigidez local de la barra de armadura es una matriz singular, lo que significa que no existe su inversa.

Matriz de rigideces global para una barra de armadura

Considere un arreglo triangulado de la armadura referido al sistema global de coordenadas X y Y.

Cantidades de estado en referencia local  

 

 

Cantidades de estado en referencia global

La que ante la consideración de los desplazamientos Vi y Vj según el eje Y y las fuerzas nulas, también según el eje Y, puede ampliarse como a continuación.Fi 1 0 -1 0 Ui0 EA 0 0 0 0 Vi

Fj L -1 0 1 0 Uj0 0 0 0 0 Vj (27)

1 0 -1 0 [K](ij) EA 0 0 0 0 L -1 0 1 0

0 0 0 0 (29) Fuerzas internas y desplazamientos nodales en referencia local y global.

La suma de sus proyecciones sobre X de Fix y Fiy debe ser igual a Fi, es decir Fi = Fixcosθ + Fiysenθ, mientras que la suma de las proyecciones de ellas mismas sobre el eje Y debe ser nula 0 = -Fixsenθ + Fiycosθ. De manera análoga, para el nudo j se obtiene Fj = Fjxcosθ + Fjysenθ y 0 = -Fjxsenθ + Fjycosθ. La expresión matricial de estos resultados es:

Fi Cosθ Senθ 0 0 Fix0 EA -Senθ Cosθ 0 0 FiyFj L 0 0 Cosθ Senθ Fjx0 0 0 -Senθ Cosθ Fjy (30)

O simplemente {F}(ij) = [T](ij){F}(ij) (31)

Siendo {F}(ij) el vector de acciones nodales en referencia local {F}(ij)

el vector de acciones nodales en referencia global, y la matriz de transformación:

[T] (ij) = [T] (ii) [T] (ij) (32) [T] (ji) [T] (jj) donde:

[T] (ii) = [T] (jj) = Cosθ Senθ (33)

-Senθ Cosθ

[T] (ij) = [T] (ji)= 0 0 = [0] (34)

0 0

O bien

Cosθ Senθ 0 0 [T] (ij) = -Senθ Cosθ 0 0 0 0 Cosθ Senθ 0 0 -Senθ Cosθ (35)

Esta matriz de transformación, dada por la ecuación (35), es una matriz ortogonal, esto es [T]-1= [T]T (36) 

La premultiplicacion de la ecuación (31) por [T]T es:

[T]T(ij) {F} (ij) = [T]T

(ij) [T] (ij) {F} de donde:

{F}(ij) = [T]T(ij) {F} (ij) (37)

Debido a que, conforme a (36), es:

[T]T(ij) [T] (ij) = [T]-1

(ij) [T] (ij) = [I] siendo la [I] la matriz identidad.

De manera análoga a la ecuación (31), se tiene para los desplazamientos nodales que: {D}(ij) = [T] (ij){D}(ij)

(38)

La sustitución de las ecuaciones (31) y (38) en la ecuación (28) da:

{F}(ij) = [K] (ij) {D} (ij)

[T](ij){F}(ij) = [K] (ij) [T] (ij){D}(ij) {F}(ij) = [K](ij){D}(ij) (39)

Donde [K](ij) = [T]T(ij) [K](ij) [T] (ij) (40)

Es la matriz de rigidez de la barra en referencia global, cuyo valor es:

Cos2θ CosθSenθ -Cos2θ -CosθSenθ

[K](ij) = EA CosθSenθ Sen2θ -CosθSenθ -Sen2θ L

-Cos2θ -CosθSenθ Cos2θ CosθSenθ

-CosθSenθ -Sen2θ CosθSenθ Sen2θ (41)

O bien

Fix Cos2θ CosθSenθ -Cos2θ CosθSenθ UiFiy EA CosθSenθ Sen2θ -CosθSenθ -Sen2θ Vi Fjx L -Cos2θ -CosθSenθ Cos2θ CosθSenθ UjFjy -CosθSenθ -Sen2θ CosθSenθ Sen2θ Vj

Ejercicio