apuntes unidad no. 01 metodos numericos2.doc

8/17/2019 APUNTES UNIDAD NO. 01 METODOS NUMERICOS2.doc

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FUNDAMENTOS DE ANÁLISIS NUMÉRICOS

1 CONCEPTOS RELACIONADOS CON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS

1.1.1 ANÁLISIS NUMÉRICO

Es un proceso de información ue consis!e en e"a#uar $ desarro##ar m%!odosnum%ricos o a#&ori!mos num%ricos para aduirir resu#!ados num%ricos a par!ir de da!osnum%ricos por medios manua#es $ por e# uso de una compu!adora di&i!a#'

E# an(#isis num%rico !ra!a de dise)ar m%!odos para apro*imar+ de una maneraeficien!e+ #as so#uciones de pro,#emas e*presados ma!em(!icamen!e' La eficiencia de#m%!odo depende de #a precisión $ de #a faci#idad con ue se deri"a de un fenómenof-sico so,re e# cua# se .an .ec.o a#&unas suposiciones para simp#ificar $ represen!ar#oma!em(!icamen!e'

Cuando se re#a/an #as suposiciones f-sicas ##e&amos norma#men!e a un mode#oma!em(!ico m(s apropiado $ m(s dif-ci# o imposi,#e de reso#"er imp#-ci!amen!e' 0a uede !odos modos e# pro,#ema ma!em(!ico no resue#"e e# pro,#ema f-sico e*ac!amen!e+resu#!a con frecuencia apropiado encon!rar una so#ución apro*imada de# mode#oma!em(!ico m(s comp#icado ue encon!rar una so#ución e*ac!a de# pro,#emasimp#ificado' 1ara o,!ener !a# apro*imación se idea un m%!odo ##amado a#&ori!mo'

1.1.2 MÉTODOS NUMÉRICOS

Los m%!odos num%ricos son !%cnicas median!e #as cua#es es posi,#e formu#ar pro,#emas de !a# forma ue puedan reso#"erse u!i#i2ando operaciones ari!m%!icas'

Los m%!odos num%ricos ##e"an a ca,o un ,uen n3mero de !ediosos c(#cu#osari!m%!icos' No es raro ue con e# desarro##o de compu!adoras di&i!a#es eficien!es $r(pidas+ e# pape# de #os m%!odos num%ricos en #a so#ución de pro,#emas de in&enier-a.a$a ido aumen!ando considera,#emen!e en #os 3#!imos a)os'

Los m%!odos num%ricos com,inan dos de #as .erramien!as mas impor!an!es en e#reper!orio de #a in&enier-a4 La ma!em(!icas $ #a compu!adora' Los m%!odos num%ricos se

pueden definir como #as ma!em(!icas por compu!adora' Las ,uenas !%cnicas de pro&ramación aumen!an #a .a,i#idad para ap#icar #os conocimien!os de #os m%!odosnum%ricos' En par!icu#ar+ #as po!encia#idades $ #imi!aciones de #as !%cnicas num%ricas seaprecian me/or cuando se usan es!os m%!odos para reso#"er #os pro,#emas de in&enier-a

u!i#i2ando como .erramien!a una compu!adora'

1.1.3 ALGORITMO NUMÉRICO

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Un a#&ori!mo es una secuencia #ó&ica de pasos necesarios para e/ecu!ar una !areaespec-fica !a# como #a so#ución de un pro,#ema+ ue producen #a apro*imación a#

pro,#ema ma!em(!ico $ a# pro,#ema f-sico con una !o#erancia $ predisposición prede!erminada' Los a#&ori!mos siempre se de,en !erminar despu%s de una can!idad

fini!a de pasos $ de,en ser #o mas &enera# posi,#e para !ra!ar cua#uier paso par!icu#ar'De,en ser de!ermin-s!icos6 es!o es+ no de,en de/ar nada a# a2ar' Los resu#!ados fina#esno pueden ser dependien!es de uien es!e usando e# a#&ori!mo'

En es!e sen!ido+ un a#&ori!mo es an(#o&o a una rece!a' Una forma a#!erna!i"a derepresen!ar un a#&ori!mo es median!e un dia&rama de f#u/o' Es!a es una represen!ación"isua# o &r(fica de# a#&ori!mo ue emp#ea una serie de ,#oues $ f#ec.as' Cada ,#oueen e# dia&rama represen!a una operación par!icu#ar o un paso en e# a#&ori!mo' Lasf#ec.as indican #as secuencias en ue se imp#emen!an #as operaciones'

Los dia&ramas de f#u/o !ienen una u!i#idad par!icu#ar para ,osue/ar a#&ori!mos

comp#icados' Un ,osue/o &r(fico puede ser u!i#i2ado para "isua#i2ar e# f#u/o #ó&ico de#a#&ori!mo'

Un a#&ori!mo en!onces se puede decir en si ue es una serie de pasos or&ani2adosue descri,e e# proceso ue se de,e se&uir+ para dar so#ución a un pro,#ema'

En resumen #as carac!er-s!icas de un a#&ori!mo son4

FINITOS 4 Siempre de,e de !erminar en un n3mero de!erminado de pasos'

DEFINIDO4 Las secciones de,en definirse sin am,i&7edad' ENTRADA4 1uede !ener una o "arias en!radas'

SALIDA4 De,e !ener una o "arias sa#idas'

EFECTIVIDAD: Todas #as operaciones de,en ser #o suficien!emen!e ,(sicas para ue puedan .acerse e*ac!amen!e en un de!erminado !iempo+ no ma$or ue e# ue #e !ome auna persona !omando #(pi2 $ pape#'

EJEMPLO:

A#&ori!mo para de!erminar #as ra-ces de una ecuación de se&undo &rado4

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59 Definir #a ecuación de se&undo &rado6 f:*9; < '

89 De!erminar #os da!os o,!eni%ndo#os de #a ecuación4 A+=+C'

>9 Ca#cu#ar #as ra-ces ap#icando #a fórmu#a correspondien!e4

a9 X

; ?= @ [=8 @ B:AC9] 8A

,9 X2 ; ?= ?? [=8 @ B:AC9] 8A

B9 Repor!ar #os resu#!ados4 5+ 8

9 End'1.2 RAZONES POR LAS CUALES DEBEN DE ESTUDIARSE LOSMÉTODOS NUMÉRICOS

59 Los m%!odos num%ricos son .erramien!as sumamen!e poderosas para #a so#uciónde pro,#emas' Son capaces de mane/ar sis!emas de ecuaciones &randes+ #inea#idades $&eome!r-as comp#icadas ue son comunes en #a pr(c!ica de #a in&enier-a $ ue amenudo+ son imposi,#es de reso#"er ana#-!icamen!e' 1or #o !an!o+ amp#-an #a .a,i#idad deuien #os es!udia para reso#"er #os pro,#emas'

89 En e# !ranscurso de su carrera+ es posi,#e ue e# #ec!or !en&a #a ocasión de usar

sof!are disponi,#e comercia#men!e ue con!en&a m%!odos num%ricos' E# usoin!e#i&en!e de es!os pro&ramas depende de# conocimien!o de #a !eor-a ,(sica en #a ue se

,asan es!os m%!odos'

>9 a$ muc.os pro,#emas ue no pueden reso#"erse o ,ien como es!( presen!adoori&ina#men!e4 Gp#an!earse a# emp#earH+ en pro&ramas .ec.os' Si se es!( "ersado en #osm%!odos num%ricos $ si es un adep!o a #a pro&ramación por compu!adora+ en!onces se!iene #a capacidad de dise)ar pro&ramas propios para reso#"er pro,#emas sin !ener uecomprar un sof!are cos!oso'

B9 Los m%!odos num%ricos son un "e.-cu#o eficien!e para emprender a ser"irse de#as compu!adoras persona#es' Es ,ien sa,ido ue una manera eficien!e de aprender a

pro&ramar #as compu!adoras es .acer #os pro&ramas' Como #os m%!odos num%ricos+es!(n dise)ados para imp#emen!arse en #as compu!adoras+ resu#!an idea#es para es!e

propósi!o' Es!(n adap!ados para i#us!rar #a po!encia $ #imi!aciones de #as compu!adoras'

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Cuando e# #ec!or imp#emen!e con ,uen resu#!ado #os m%!odos num%ricos en sucompu!adora $ #os ap#iue para reso#"er pro,#emas ue de o!ro modo resu#!enin!ra!a,#es+ aprender( a reconocer $ con!ro#ar #os errores de apro*imación ue soninespera,#es de #os c(#cu#os num%ricos a &ran esca#a'

9 Los m%!odos num%ricos son un medio para refor2ar su comprensión de #asma!em(!icas' 1or ue una función de #os m%!odos num%ricos es reducir #as ecuacionesma!em(!icas superiores a operaciones ,(sicas+ $a ue profundi2an en #os !emas ue deo!ro modo resu#!an o,scuros' Es!a a#!erna!i"a aumen!a su capacidad de comprensión $conocimien!o de #a ma!eria'

1.3 IMPORTANCIA DEL ANÁLISIS NUMÉRICO

o$ en d-a #as compu!adoras $ #os m%!odos num%ricos proporcionan una a#!erna!i"a para c(#cu#os !an comp#icados' Los m%!odos num%ricos represen!an a#!erna!i"as ueamp#-an #a capacidad para confron!ar $ reso#"er #os pro,#emas+ como resu#!ados sedispone de m(s !iempo para apro"ec.ar #as .a,i#idades crea!i"as persona#es'

Con #os m%!odos num%ricos es posi,#e formu#ar pro,#emas de !a# forma ue puedanreso#"erse u!i#i2ando operaciones ari!m%!icas' Aunue .a$ muc.os !ipos de m%!odosnum%ricos !odos compar!en una carac!er-s!ica com3n4 #os m%!odos num%ricos ##e"an aca,o un ,uen n3mero de !ediosos c(#cu#os ari!m%!icos'

Son impor!an!es #os m%!odos num%ricos $a ue median!e e##os es posi,#e formu#ar pro,#emas de cua#uier forma ue se pueda reso#"er por operaciones ari!m%!icas'

Con #os m%!odos num%ricos !am,i%n se o,!ienen resu#!ados num%ricos por medio deda!os num%ricos'

1.4 CARACTERÍSTICAS DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS

Los m%!odos num%ricos disponi,#es para reso#"er un pro,#ema in"o#ucran #ossi&uien!es fac!ores4

CANTIDAD DE CONDICIONES O DE PUNTOS INICIALES4 A#&unos de #osm%!odos num%ricos para encon!rar ra-ces de ecuaciones o en #a so#ución de ecuacionesdiferencia#es+ reuieren ue e# usuario especifiue a#&unas condiciones' Los m%!odos

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simp#es reuieren en &enera# de un "a#or+ mien!ras ue #os m%!odos comp#icadosreuieren de m(s de un "a#or' Se de,en considerar #os e#emen!os de /uicio6 #as "en!a/asde #os m%!odos comp#icados es ue son compu!aciona#men!e eficien!es $ puedencompensar #os reuerimien!os de m3#!ip#es pun!os inicia#es' Se de,e ec.ar mano de #a

e*periencia $ de #os /uicios para cada pro,#ema en par!icu#ar'

VELOCIDAD DE CONVERGENCIA4 Cier!os m%!odos num%ricos con"er&en masr(pidos ue o!ros $ sin em,ar&o+ #a con"er&encia r(pida puede reuerir de m(s pun!osinicia#es $ de pro&ramación mas comp#e/a ue #a de con"er&encia mas #en!a'

Nue"amen!e de,e .acerse uso de /uicios para #a se#ección de cier!o m%!odo' Los m(sr(pidos no siempre son #os me/ores'

ESTABILIDAD: A#&unos m%!odos num%ricos para encon!rar ra-ces de ecuaciones oso#uciones de ecuaciones #inea#es+ en a#&unas ocasiones sue#en di"er&ir en "e2 decon"er&er a #a respues!a correc!a' Es!o es de,ido a ue es!os m%!odos pueden ser

a#!amen!e eficien!es cuando funcionan' 1or #o !an!o sur&en nue"amen!e #os e#emen!osde# /uicio' Se de,e decidir si #os reuisi!os de# pro,#ema /us!ifican e# esfuer2o necesario

para ap#icar un m%!odo ue no siempre funciona'

EXACTITUD Y PRECISIÓN4 Se refiere a #a o,!ención de cier!os mecanismos den!rode# a#&ori!mo para minimi2ar e# error en #a o,!ención de resu#!ados deseados uecump#an con e# o,/e!i"o de# pro,#ema'

A#&unos m%!odos num%ricos son mas e*ac!os $ precisos ue o!ros' Como e/emp#ose !ienen #as diferen!es ecuaciones disponi,#es para #a in!e&ración num%rica' Se puede

me/orar e# funcionamien!o de procedimien!os de poca e*ac!i!ud disminu$endo e#!ama)o de# paso o aumen!ando e# n3mero de !%rminos so,re un in!er"a#o'

ALCANCE DE LAS APLICACIONES4 A#&unos m%!odos num%ricos so#o puedenap#icarse a cier!a c#ase de pro,#emas ue sa!isfacen cier!as res!ricciones' Se de,ee"a#uar si "a#e #a pena e# esfuer2o de desarro##ar pro&ramas ue emp#een !%cnicasapropiadas 3nicamen!e para un n3mero #imi!ado de pro,#emas'

REUISITOS ESPECIALES4 A#&unas !%cnicas in!en!as incremen!ar #a e*ac!i!ud $ #a"e#ocidad de con"er&encia u!i#i2ando información adiciona#' Un e/emp#o seria e# uso de"a#ores es!imados o "a#ores !eóricos de #os errores para e# me/oramien!o de #a e*ac!i!ud'

Sin em,ar&o+ es!as !eor-as no se ##e"an a ca,o sin incon"enien!es como e# aumen!o en e#cos!o de# cómpu!o $ e# incremen!o en #a comp#e/idad de# pro&rama'

ES!UERZOS REUERIDOS DE PROGRAMACIÓN4 Los esfuer2os reueridos para me/orar #a "e#ocidad de con"er&encia+ es!a,i#idad+ e*ac!i!ud pueden ser creados ein&eniosos' Cuando se pueden .acer me/oras sin aumen!ar #a comp#e/idad en #a


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pro&ramación+ en!onces se puede encon!rar ue es!as me/oras son e#e&an!es $ encon!rar un uso inmedia!o en #a in&enier-a'

SENCILLO4 Tiene ue "er con e# desarro##o $ #a e"a#uación de# m%!odo+ un m%!odo

en!endi,#e por e# usuario para ue se represen!e por un pro&rama de compu!adora'

RÁPIDO4 Se de,e de ,uscar un m%!odo r(pido para #a o,!ención de resu#!ados en e#menor !iempo' E# m%!odo e#e&ido+ de,e de ap#ic(rse#e un an(#isis de con"er&encia paraminimi2ar e# n3mero de operaciones'

1." PASOS PARA LA SOLUCIÓN DE UN PROBLEMA MATEMÁTICOPOR MEDIO DE UNA COMPUTADORA DIGITAL

En e# proceso de so#ución de un pro,#ema por medio de una compu!adora sereuieren de #os si&uien!es pasos4

1# DE!INICIÓN DEL PROBLEMA' Se de,e iden!ificar perfec!amen!e e# pro,#ema $sus #imi!aciones+ #as "aria,#es ue in!er"ienen $ sus resu#!ados deseados+ para un

p#an!eamien!o de# enunciado de# pro,#ema+ e# cua# de,e ser c#aro $ comp#e!o'

2# ANÁLISIS DEL PROBLEMA' Es e# an(#isis de!a##ado de# compor!amien!o $descripción ma!em(!ica de #a so#ución de# pro,#ema para e# desarro##o de# mode#oma!em(!ico'3# APLICACIÓN DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS' Consis!e en iden!ificar deue !ipo es e# mode#o ma!em(!ico para e#e&ir e# m%!odo num%rico adecuado $ as-

desarro##ar e# a#&ori!mo correspondien!e+ de manera ue se !en&an una serie de pasosari!m%!icos ue resue#"an e# pro,#ema $ ue sean suscep!i,#es de e/ecu!arse con #acompu!adora+ es!o imp#ica e# conocimien!o de m%!odos num%ricos $ #a capacidad dee*presar #a so#ución en !%rminos de operaciones ari!m%!icas adecuados a #acompu!adora'

4# PROGRAMACIÓN' Es!e paso consis!e en !raducir e# a#&ori!mo de so#ución+e*pres(ndo#o con una serie de!a##ada de operaciones en!endi,#es por una compu!adora $se encuen!ra di"idida en dos par!es4

A# DIAGRAMA DE !LU$O O PSEUDOCODIGO4 Es #a represen!ación&r(fica de una sucesión de operaciones ue permi!e dar una idea &r(fica precisa

de #o ue se desea .acer+ e# pseudocódi&o es una .erramien!a de so#ución en ue#as ins!rucciones se descri,en en pa#a,ras simi#ares en ines $ espa)o#+ uefaci#i!an !an!o #a #ec!ura como #a escri!ura de pro&ramas' En esencia se puededescri,ir a# pseudocódi&o como un #en&ua/e de especificaciones de a#&ori!mos'


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La primera de,e es!ar in!e&rada por #os si&uien!es e#emen!os4

K DESCRI1CION DEL 1RO=LEMA

K NOM=RE DEL AUTOR

K DIARAMA DE FLUO

K LISTAS DE ARIA=LES 0 CONSTANTES

K CODIFICACION DE 1RORAMAS En #o ue se refiere a #a documen!ación in!erna es!a #a cons!i!u$en #os mensa/es o

comen!arios ue se a&re&an a# códi&o+ para .acer mas c#aro e# en!endimien!o de#

proceso'

A #a documen!ación para e# usuario se #e conoce como manua# de# usuario'

'# MANTENIMIENTO' Se ##e"a aca,o despu%s de !erminado e# pro&rama+ cuando se!ra,a/ado a#&3n !iempo+ $ se de!ec!a ue es necesario .acer a#&3n cam,io+ a/us!e oimp#emen!ación a# pro&rama para ue si&a !ra,a/ando de manera correc!a' 1ara poder rea#i2ar es!e !ra,a/o se reuiere ue e# pro&rama o sis!ema es!e correc!amen!edocumen!ado+ para poder rea#i2ar #a !area de man!enimien!o' De #o an!es e*pues!o se puede conc#uir ue es necesario un conocimien!o comp#e!o

de# pro&rama $ de #os campos de #as ma!em(!icas re#acionados con e#+ ue es precisamen!e e# o,/e!o de #os m%!odos num%ricos por compu!adora'

La adecuada se#ección de #os m%!odos de an(#isis es mu$ impor!an!e en #a so#uciónde pro,#emas recurriendo a# uso de compu!adoras' 1or e/emp#o #a so#ución de unsis!ema de seis ecuaciones con seis "aria,#es puede imp#icar !rein!a mi# operacionesu!i#i2ando e# m%!odo de #a rea de ramer+ un m%!odo de e#iminaciones sucesi"as

puede necesi!ar so#o doscien!as operaciones' No o,s!an!e .a$ ue !ener presen!e ue #os pro,#emas de pro&ramación pudieran ser ma$ores para m%!odos ue reuieran de unmenor n3mero de operaciones'

1.% CONCEPTOS DE ERROR

En #os c(#cu#os num%ricos e# op!imis!a pre&un!a+ ue !an precisos son #os resu#!adoso,!enidos6 e# pesimis!a pre&un!a+ ue !an!o error se a in!roducido' Desde #ue&o am,as

pre&un!as corresponden a #o mismo' So#o en raras ocasiones #os da!os proporcionadosser(n e*ac!os+ pues!o ue sue#en ori&inarse en procesos de medida' De modo ue .a$ unerror pro,a,#e en #a información de en!rada' Adem(s e# propio a#&ori!mo in!roduce

P


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error+ ui2(s redondeo ine"i!a,#es' La información de sa#ida con!endr( en!onces error &enerado por am,as fuen!es'

E# error es #a apro*imación #e/ana o cercana en!re un resu#!ado cua#uiera $ e# "a#or

e*ac!o' Es!e concep!o es ap#ica,#e en cua#uiera de #os m%!odos' Com3nmen!e seu!i#i2an dos cri!erios'

Los errores son par!e in!r-nseca en e# en!endimien!o $ uso de #os m%!odosnum%ricos+ #a impor!ancia de #os errores se menciona por primera "e2+ #os errores m(scomunes son4

A# POR SU !ORMA DE APLICAR 1.- Error absoluto 2.- Error relat!o

B# POR SU ORIGEN' 1.- Error "#ere"te 2.- Error $e tru"%a&e"to '.- Error $e re$o"$eo

(.- Error )ro)a*a$o +.- Error total ,.- Error #u&a"o .- Otros

1.%.1 ERROR RELATIVO Y ABSOLUTO

La precisión de un "a#or ca#cu#ado de ordinario se e*presa $a sea como e# error a,so#u!o ue es e# "a#or "erdadero menos e# "a#or apro*imado+ o como e# error re#a!i"oue es e# error a,so#u!o en!re e# "a#or "erdadero' Con frecuencia e# error re#a!i"o es #a me/or medida de #a precisión para errores mu$&randes o mu$ peue)os+ a#&unas "eces #a precisión se e*presa como #a can!idad ded-&i!os despu%s de# pun!o decima#' Cuando se desconoce e# "a#or "erdadero resu#!aimposi,#e e*presar #a precisión con e*ac!i!ud $ de,e especificarse #a precisiónapro*imada' Frecuen!emen!e pondremos co!as en e# !ama)o de# error'

ERROR RELATIVO: Es e# cocien!e de di"idir e# error a,so#u!o en!re #a can!idad

e*ac!a'

E# error re#a!i"o se e*presa de #a manera si&uien!e

Error relativo = (valor veraero ! valor a"ro#i$ao% & valor veraero 'r = 'e 'v

Q


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Donde4ce; Es #a can!idad e*ac!aca; Can!idad apro*imada

e ; Error a,so#u!o

ERROR ABSOLUTO: Sue#e ser un me/or indicador de #a precisión' Es masindependien!e de #a esca#a usada $ es!o es una propiedad m(s es!a,#e' Cuando e# "a#or "erdadero es cero+ e# "a#or re#a!i"o ueda indefinido' En!onces e# error de redondeode,ido a #a #on&i!ud fini!a de #a fracción en n3meros de un pun!o f#o!an!e es mascons!an!e cuando se #e e*presa con un "a#or re#a!i"o+ ue como un error a,so#u!o'O,s%r"ese ue #a perdida de d-&i!os si&nifica!i"os cuando se res!an n3meros de un pun!of#o!an!e casi i&ua#es+ produce un error re#a!i"o par!icu#armen!e se"ero

Con frecuencia se u!i#i2a e# error a,so#u!o de un resu#!ado dado como medida de #a precisión+ #a definición con"enciona# es4

Error a)ol*to = valor veraero! valor a"ro#i$ao 'e =

'v ! 'a

De manera ue e# "a#or "erdadero se uede sumando e# error a,so#u!o mas e# "a#or apro*imado' Sin em,ar&o+ un error dado es muc.o m(s serio cuando #a ma&ni!ud de#"a#or "erdadero es peue)a'

E/emp#o4 5'8 :@( )#


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Si #os errores aumen!an en forma con!inua con forme e# m%!odo se desarro##a+fina#men!e so,repasar(n por comp#e!o a# "a#or "erdadero des!ru$endo su "a#ide26 a es!e!ipo de m%!odo se ##ama /INESTA0LE/.

1ara e# m%!odo es!a,#e+ ue es #a c#ase deseada+ #os errores .ec.os en #os primeros pun!os se nu#ifican conforme e# m%!odo con!inua'

1.%." ERRORES DE REDONDEO

En e# c(#cu#o es conce,i,#e disminuir e# !ama)o de# paso para minimi2ar #oserrores de !runcamien!o só#o para descu,rir ue a# .acer#o+ #os errores de redondeoempie2an a dominar #a so#ución $ e# error !o!a# crece'

Los errores de redondeo se de,en a ue #as compu!adoras só#o &uardan un n3merofini!o de cifras si&nifica!i"as duran!e un c(#cu#o' Las compu!adoras rea#i2an es!a función

de manera diferen!e'

Los errores de redondeo se ori&inan de,ido a #as #imi!aciones propias de #asm(uinas para represen!ar can!idades se reuieren un &ran n3mero de d-&i!os'

ERROR DE REDONDEO IN!ERIOR 4 Se desprecian #os d-&i!os ue no puedenconser"arse den!ro de #a #oca#i2ación de memoria correspondien!e+ pensando de unamanera es!ric!a es!o es un error de !runcamien!o'

ERROR DE REDONDEO SUPERIOR 4 Es!e caso !iene dos a#!erna!i"as4

a Para "&eros )ost!os+ e# 3#!imo d-&i!o ue puede conser"arse seincremen!a en unidad si e# primer d-&i!o depreciado es i&ua# o ma$or ue cinco'

b Para "&eros "e*at!os+ e# 3#!imo d-&i!o puede conser"arse si e# primerd-&i!o depreciado es ma$or o i&ua# a cinco'

REGLAS DE REDONDEO EN EL CÁLCULO MANUAL:

5'? Es e# redondeo $ se o,ser"an #as cifras si&nifica!i"as $ e# res!o se descar!a'

8'? En #a suma :@9 $ en #a res!a :?9 e# redondeo se ##e"a aca,o de forma ue es3#!imo d-&i!o re!enido en #a respues!a corresponda a# 3#!imo d-&i!o m(ssi&nifica!i"o de #os n3meros ue es!(n sumando o res!ando'

>'? 1ara #a mu#!ip#icación :×

9 $ di"isión :÷9+ e# redondeo es !a# uien #a can!idadde cifras si&nifica!i"as de# resu#!ado es i&ua# a# n3mero m(s peue)o uecon!iene #a can!idad en #a operación'

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B'? 1ara com,inaciones de #as operaciones ari!m%!icas e*is!en dos casos&enera#es+ se puede sumar o res!ar e# resu#!ado de #a mu#!ip#icación de #a di"isión'

RESUMEN

Los errores de redondeo se producen cuando cier!os resu#!ados es!(n de!erminados por un n3mero de d-&i!os' Cuando e# resu#!ado !iene un n3mero ma$or de d-&i!os+ enes!e caso de redondeo simp#emen!e se pierden #os d-&i!os menos si&nifica!i"os'

EJEMPLO: 5'? Se dice ue e# n3mero se redondea a


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O+ER,LO- 4 En e# #en&ua/e !%cnico de compu!ación se emp#ea es!e anicismo+ $aue #as !raducciones posi,#es no proporcionan una idea c#ara de su si&nificado+ en es!ecurso se usar( e# !%rmino so,re f#u/o' Se dice ue cuando e*is!e un so,re f#u/o den!ro de

una #oca#i2ación de a#macenamien!o no ca,e un n3mero+ de,ido a ue es!e es ma$or ue#a capacidad de a#macenamien!o'

UNDER,LO- Se acos!um,ra u!i#i2ar es!e anicismo en e# #en&ua/e !%cnico decompu!ación+ $a ue #as !raducciones no proporcionan una idea c#ara de su si&nificadose u!i#i2ar( e# !%rmino su,f#u/o' Se dice ue .a$ un su,f#u/o cuando una #oca#i2ación dea#macenamien!o no se puede represen!ar un n3mero posi!i"o mu$ peue)o de,ido a ueEs!e es menor ue #a capacidad de a#macenamien!o'1.& EXACTITUD Y PRECISIÓN

Los errores asociados con #os c(#cu#os $ medidas se pueden carac!eri2ar o,ser"ando su precisión $ e*ac!i!ud'

La precisión se refiere a4 1.- El "&ero $e %3ras 4ue re)rese"ta u"a %a"t$a$

2.- La e5a%ttu$ e" las le%turas re)et$as $e u" "stru&e"to 4ue &$eal*u"a )ro)e$a$ 36s%a.

La e*ac!i!ud se refiere a4

1. Es el *ra$o e" el %ual la "3or&a%7" $e u" &a)a o e" u"a base $e $atos

$*tal se &uestra !er$a$era o %o" !alores a%e)tables.

2. Es u" asu"to )erte"e%e"te a la %ual$a$ $e los $atos al "&ero $e errores%o"te"$os e" u" %o"8u"to $e $atos o &a)a.

'. Es )osble %o"s$erar la e5a%ttu$ #or9o"tal !ert%al %o" res)e%to a la )os%7" *eo*r3%a; ta"to atrbut!a %o"%e)tual; %o&o e" la a*u$e9a l7*%a.

EJEMPLO: Es!os concep!os se pueden i#us!rar usando una ana#o&-a con un ,uen !irador a# ,#anco4

Los a&u/eros en e# cen!ro de !iro de cada esuema de #a fi&ura se puedenima&inar como #as predicciones de una !%cnica num%rica siendo e# cen!ro de# ,#anco+ #a"erdad ue se ,usca' 1or #o !an!o aunue #as ,a#as de #a fi&ura es!(n m(s /un!as ue #asde #a fi&ura 5 a #os dos casos son i&ua#men!e ine*ac!os $a ue am,os se cen!ran en #aesuina superior i2uierda de# ,#anco'

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La precisión por o!ro #ado se refiere a #a ma&ni!ud de #a esparcimien!o de #as ,a#as+as- ue aunue #a fi&' 5, $ 5d es!(n i&ua#men!e cen!radas respec!o a# ,#anco #a u#!ima esm(s precisa $a ue #as ,a#as es!(n en un &rupo m(s compac!o'

NOTA4 La par!e som,reada indica #a e*ac!i!ud o #a precisión

1.&.1 CI!RAS SIGNI!ICATIVAS

Es e# numero de d-&i!os+ m(s un d-&i!o es!imado ue se puede usar con confian2a'

E# concep!o de cifras si&nifica!i"as !iene dos imp#icaciones impor!an!es en #oses!udios de #os m%!odos num%ricos4

5'? Los m%!odos num%ricos se o,!ienen resu#!ados apro*imados+ por #o !an!o sede,en desarro##ar cri!erios para especificar ue !an precisos son #os resu#!ados

o,!enidos'

8'? Aunue cier!as can!idades como :1I9 o√

/ :o ra-2 de J9 represen!an n3merosespec-ficos no se pueden e*presar e*ac!amen!e como un n3mero fini!o de d-&i!os'De,ido a ue #as compu!adoras persona#es so#o re&is!ran apro*imadamen!e die2cifras+ !a#es n3meros /am(s se podr(n presen!ar e*ac!amen!e'

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DÍGITOS SIGNI!ICATIVOS4 Son aue##os n3meros diferen!es de cero en una cifra+#e$endo de i2uierda a derec.a6 empie2an con e# primer d-&i!o diferen!e de cero $!erminan con e# !ama)o ue permi!an #as ce#das ue &uardan #as man!isas'

1.' RECURSIVIDAD Fórmu#a recursi"a4 Re#aciona !%rminos sucesi"os de una sucesión par!icu#ar den3meros funciones o po#inomios+ para proporcionar medios+ para ca#cu#ar can!idadessucesi"as en !%rminos de #os an!eriores'

!ORMULA RECURSIVA M+LTIPLE: 1or e/emp#o encuen!re #a sucesión den3meros de Fi,onasi4 ++P+5>+85'''

en es!e caso #a fórmu#a recursi"a es!( en m(s de una función de una "aria,#ean!erior' #a fórmu#a es4

,- 2 / ,- 1 ,- para - ; 1;2...

1.0 MODELAMIENTO MATEMÁTICO

Es uno de #os pasos de #a in&enier-a ,(sica+ donde e# compor!amien!o de unde!erminado sis!ema f-sico+ se represen!a median!e una serie de ecuaciones+ deducidasde principios $ #e$es ,ien es!a,#ecidas'1.0.1 IMPORTANCIA

Una forma de ana#i2ar e# compor!amien!o de sis!emas f-sicos es median!e e# p#an!eamien!o de mode#os ma!em(!icos ue consis!en en una serie de ecuaciones ,asadas en #os principios $ #e$es ue &o,ierna #a operación de un sis!ema' E/emp#o4 #a#e$ de #os &ases idea#es+ #as #e$es de irc.off+ #a ecuación de #a onda #as #e$es de&ra"i!ación+ ener&-a+ masa+ #as in!eracciones nuc#eares+ e!c'

1.0.2 CONCEPTOS

Un $oelo es una represen!ación cua#i!a!i"a o cuan!i!a!i"a de un sis!ema+ ue de,emos!rar #as re#aciones en!re #os di"ersos fac!ores para e# an(#isis ue se es!( ##e"ando aca,o' E# n3mero de "aria,#es ue in!er"ienen en #a operación de un sis!ema puede ser mu$ &rande+ por #o ue+ en ocasiones+ es necesario a# imp#emen!ar un mode#o+ inc#uir só#o aue##os par(me!ros ue son re#e"an!es para e# an(#isis'

Un $oelo $ate$0tio consis!e en una serie de ecuaciones ue ri&en e#compor!amien!o de un sis!ema' E# mode#ado en in&enier-a es de &ran impor!ancia+ por

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2 Dse%%7". ' Se%a"te. ( Re*ula-Fals. + D!s7" s"t Muller. ? @rae33e.

C# M,5 6789;5 9> 55,?8>5#:

1 Iterat!o $e )u"to 38o. 2 Iterat!o se%ue"%al. ' Ne=to"-Ra)#so". ( 0ro$e".

+ Se*u&e"to o&ot7)%o. , Rela8a%7" No L"eal. Por Fu"%7" M6"&o.

ECUACIONES DI!ERENCIALES ORDINARIAS:

T=5: 59 Linea#es'

89 No Linea#es'

E5,97;,79> ? ;6;6?5 ? ?6,96: 59 Condiciones Inicia#es'

89 Condiciones Fron!era'

a9 Diric.e#!4 5 = G ( #%

,9 Neumman :F#u*94a56 = G (#%

c9 Ro,in4 a56 7 5 = G ( #%

MÉTODOS ANALÍTICOS:

1 I"te*ra%7" Dre%ta. 2 E%ua%7" Cara%ter6st%a.

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' Vara%7" $e Par&etros. ( Tra"s3or&a$a $e La)la%e. + Seres $e )ote"%a. , M


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a9 Diric.e#!4 5 = G ( #%

,9 Neumman :F#u*94

a56 = G (#%

c9 Ro,in4 a56 7 5 = G ( #%MÉTODOS ANALÍTICOS:

1 Se)ara%7" $e !arables. 2 Tra"s3or&a$a $e La)la%e. ' S&lar$a$.

MÉTODOS NUMÉRICOS : 1ara dos o !res dimensiones94

a D3ere"%as 3"tas. b Paseos aleatoros. % Res$uos Po"$era$os. $ Colo%a%7" Orto*o"al. e Ele&e"to 3"to.ECUACIONES DI!ERENCIALES PARCIALES PARABÓLICAS:

T=5: 59 Linea#es'

89 No Linea#es' E5,97;,79> ? ;6;6?5 ? ?6,96:

59 Condiciones Inicia#es' 89 Condiciones Fron!era'

a9 Diric.e#! ,9 Neumman :F#u*9' c9 Ro,in'

MÉTODOS ANALÍTICOS:

1 Se)ara%7" $e !arables. 2 Tra"s3or&a$a $e La)la%e. ' S&lar$a$.

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MÉTODOS NUMÉRICOS : 1ara dos o !res dimensiones9' En es!e caso se .acen endos e!apas discre!i2ación en #as coordenadas especia#es4

a D3ere"%as 3"tas.

b Res$uos Po"$era$os. % Colo%a%7" Orto*o"al.

INTEGRACIÓN DE LA COORDENADA TIEMPO:

a% E*ller. % R*4:e!;*tta (o4 )*) variale)%. % Co4trol e ta$aBo e eta"a ( 9role$a e ri:ie%. % M8too) 9reitor!orretor.

Tam,i%n e*is!en o!ros m%!odos mu$ espec-ficos como ADI+ CRAN?

NICOLSON+ Transformada R(pida de FOURIER'

1ara #a so#ución de# sis!ema ED16 en ocasiones se reuiere de euipo de cómpu!ocon &ran capacidad de procesamien!o $ de memoria RAM o "ir!ua# :mainframes9 $s3per compu!adoras4 C0=ER+ SISTEMA I=M RISC >8 Mf#ops+ con sis!ema opera!i"o 3nico J'< manera de comparación+ una1C BP D M.2+ rinde >' Mf#ops apro*imadamen!e'

E$ERCICIOS:

5'? Descri,a e/emp#os de mode#o ma!em(!icos ue se presen!an median!eecuaciones a#&e,raicas'

8'? Mencione "en!a/as $ des"en!a/as de #os #en&ua/es de pro&ramación C+ 1ASCAL+=ASIC+ FORTRAN'

>'? Se desea conocer #a !empera!ura T :r+!9 en una esfera iso!rópica+ de radio R+ concon"ención de #a superficie' 1#an!ee e# mode#o $ su m%!odo de so#ución ana#-!ica $num%rica'

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B'? V Cua#es son #as e*pec!a!i"as ue .a,r-a de esperar en un fu!uro cercano conrespec!o a #os paue!es de m%!odos num%ricosW

*ERRAMIENTAS PARA SOLUCIÓN NUMÉRICA

59 Len&ua/e de pro&ramación es!ruc!urada4 C+ 1ASCAL+ FORTRAN+ =ASIC+DELFI+ AA+ ISUAL =ASIC+ e!c' $ Su,?ru!inas disponi,#es :Linpac+Eispac+ Na&+ e!c'9'

89 1aue!es dise)ados para !a# fin :Ma!.em(!ica+ Ma!cad+ Fidap+ Ma!#a,+ Deri"e+auss+ Num%rico+ E#i?Co#+ 1arco#+ e!c'9'

>9 o/as e#ec!rónicas :ua!!ro pro+ E*ce#+ Lo!us+ e!c'9'

EUIPOS DISPONIBLES:

59 I=M 1C 0 COM1ATI=LES >B'>,; >B(>,; PENTIM Para uso *e"eral.

89 XOR STATION :C+ FORTRAN9

a I0M RISC ,BBB. b SN. % P APOLLO. $ SILICON @RAPICS. Para uso %e"t63%o $e "*e"er6a'

>9 ACCCESO A MAINFRAMES YA MODEM : =ITNET+ INTERNET+ LOINREMOTO+ e!c'9

a P. b C0ER.

% CRA. $ TEAS INSTRMENTAL e CASIO Para uso %e"t63%o $e "*e"er6a'

B9 OTRAS 1LATAFORMAS a GADDRA.

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b POHER PC. % MACINSTOS 1.0.4 COMPONENTES DE UNA COMPUTADORAS *ATD@ARE Y

SO!T@ARE

*ARD@ARE: Lo cons!i!u$en #os componen!es mec(nicos $ e#ec!rónicos de unacompu!adora' Se di"ide en4

59 C1U :Unidad cen!ra# de 1rocesamien!o9'

a Pro%esa$or I"tel >B>> a e" $esuso. >B2>, ,; 1B; 12; 1, M ta&bB'>, S D 1,; 2B; 2+; ''; (B M.

>B(>, S; D; S 2 ; D( 2+; ''; (B; +B; ,,; +;

1BB M. PENTIM ,B; ,,; ?B; 1BB; 1+B M. b Co-)ro%esa$or &ate&t%o I"tel Hete. % Me&ora ROM 0IOS; rut"as $e %o"trol. $ Me&ora RAM Co"!e"%o"al; E5te"$$a; E5)a"$$a. e 0us $e tra"s&s7" $e $atos ISA; EISA; PCI; &%ro- %a"al. 3 Ra"uras $e e5)a"s7" slots bus lo%al; VESA.

89 1ERIFÉRICOS4

a "$a$es $e $s%o 1.2 M0; 1.(( M0 1.> M0; 2.>> M0; 21 M0; '.1M0. b Ds%os Duros IDE; SCSI (B M0 a ' @0; $e 1? &s a 1B &s !elo%$a$ $e a%%eso. % Mo"tor C@A; V@A; SV@A; @A. $ I&)resoras Matr9 $e )u"tos; I"e%%7" $e t"ta;

Lser; et%.. e CD-ROM ,,B M0.

3 Mouse. * Mult&e$a. # FA K MODEM 2(BB a 1(BBB 0PS o &s. Te%la$o. 8 S%a""er. et%.

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SO!T@ARE: Lo cons!i!u$en !odos #os recursos !%cnicos necesarios para operar #acompu!adora' Se di"ide en4

59 SISTEMAS O1ERATIOS4

a DOS. b NI ALDISCO NI; SOLARIS; ORACLE; ETC.. % VA otros. $ HINDOHS NT. e No!ell s&lares. 3 OSK2 * MS-DOS

89 LENUAES DE 1RORAMACIZN4 a% Alto Nivel

PASCAL. FORTRAN. 0ASIC. C. C CLIPPER. JAVA DELPI VISAL 0ASIC VISAL 0ASIC..NET

: En sus moda#idades de in!%rpre!e $ compi#ador9'

% ao Nivel E"sa&bla$or. CO0OL

>9 1AUETES DE A1LICACIZN4 a Pro%esa&e"to $e te5to. b o8as ele%tr7"%as. % Ma"e8a$ores $e base $e $atos.

$ @ra3%a$otes. e CADKCAM. 3 E$u%at!os. * Cl%ulo %e"t63%o. # Co&u"%a%o"es. et%.

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BIBLIOGRA!ÍA

59 CA1RA S'C' 0 CANALE R'D' NUMERICAL METODS FOR INENEERS ED' MC' RAX ILL'

89 LUTER OLIERA 0 SUT[ MÉTODOS NUMÉRICOS ED' LIMUSA'

>9 =URDEN R'L' 0 FAIRES D'' ANÁLISIS NUMÉRICOS RU1O ED' I=EROAMERICANA'

B9 FRACIS SEID 0 ROSA E'D' CONSTAN[O MÉTODOS NUMÉRICOS ED' MC' RAX ILL

9 SUICIRO NAAMURA

MÉTODOS NUMÉRICOS A1LICADOS CON SOFTXARE ED' 1RENTICE ALL'

9 R'E' SCRATON MÉTODOS NUMÉRICOS =ÁSICOS ED' MC' RAX ILL'

CONTE S' D' 0 DE =OOR ANÁLISIS NUMÉRICO ELEMENTAL ED' MC' RAX \ ILL'

P9 AMES SMIT 0 XALFORD MÁTODOS NUMÉRICOS A1LICADOS A LA COM1UTACIZN DIITAL ED' RE1RESENTACIZN 0 SER' DE IN'

Q9 CONSTANTINIDE ALINS MÉTODOS NUMÉRICOS A1LICADOS CON COM1UTADORAS 1ERSONALES ED' MC' RAX \ ILL'

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559 ALLEN SMIT ANÁLISIS NUMÉRICOS ED' 1RENTICE ALL'

589' FAIRES \ =URDENANALISIS DE SISTEMAS

5>9' AMES? SMIT \ XAL1 METODOS NUMERICOS

apuntes unidad no. 01 metodos numericos2.doc

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