,

Indice General11

Clculo diferencialEspacios euclidianos 1.1 &pacios vectoriales de dimensin finita 1.2 Norma y distancia . . . . . . . .. 1.3 Producto interior y ortogonalidad. 1.4 La desigualdad de Cauchy-Schwarz 1.5 Propiedades de la norma . 1.6 El producto vectorial 1. 7 Problemas......... Funciones de dos o ms variables 2.1 Funciones reales y vectoriales 2.2 Rectas en el espacio JR3 2.3 Planos en el espacio 1K 3 2.4 Grficas en el plano 2.5 Superficies.... 2.6 Otras superficies. . 2.7 Curvas de nivel . . 2.8 Superficies de nivel 2.9 Problemas..... Elementos de topologa 3,1 Vecindades y conjuntos abi~rtos . . . . . . . . 3.2 Puntos de acumulacin y conJunt.os cerrados. 3.3 Regiones.. 3.4 Sucesiones. 3.5 Problemas. Lmites y continuidad 4.1 Nociones bsicas .. 4.2 Una condicin necesaria 4.3 Algebra de lmites. 4.4 Lmites iterados . 4.5 Continuidad...3

799

10

13 1820 20 22

2

27 27 30 32 34

36 39 41 4446

3

4949

5256 58 61

4

65 6571

7475 77

4

NDICE GENERAL4.6 1.7 4.8 AIgebra de funciones continua.s. Clases de funciones cominua" Problemas81 81 85

5

Derivadas parciales 5.1 Nociones bsicas 5.2 Interpretacin geomtrica . . . .5.:3 Derivadas parci,les de orden superior. 5.4 Frmula de Taylor en varias variables .5.5 lVlxmos y Mnimos 5.6 Criterio del hessiano 5.7 Problemas DiferenciabiUdad 6,1 Derivada, diferencial y diferenciabilidad 6.2 Interpretaciones geomtricas. 6,2.1 De la diferencial . . . . 6.2.2 De la difereneiabilidad . 6.3 Diferenciabilidad y continuidad 6.4 Funciones vectoriales diferenciables 6.5 Funciones clase Cn(G) 6.6 Problemas. Algebra de derivadas 7.1 Derivada de la suma, producto y cuociente . 7.2 La regla de la cadena,. ., . . . . 7.3 Gradiente , . . . . . , . . . . '. ,,7.4 El gradiente y la;; superficies de nivel 7.5 Derivada direccional /7.6 Problemas .. Funciones implcitas e inversas 8.1 Funciones implcitas . . . , , 8.2 Funcones nversas . 8.3 Multiplicadores de Lagrange . 8.4 Problemas . . , . . . . . . . Clculo de variaciones 9.1 El mtodo de las variaciones .

9191 9393

98 101104

111115

6

115118 118 119 122 123

125129133 133

7

135 138 139141 143

8

147147

156 162 170177 . 180

9

II

Clculo Integral

183185185 187

10 La Integral mltiple de Riemann 10.1 Integracin sobre rectngulot> lO.2 Integracn sobre regiones acotadas , 10.3 El teorema ,le Fubni en rect.ngulos

190

NDICE GENERAL10.4 El teorema de Fubini en regones acotadas 10.5 Descripcin de regiones en ;;2 y jR3 10.6 Cambio de variables 10.6.1 Coordenadas esfrica>, 10.6.2 Coordenadas cilndricas 10.6.3 Coordenadas polares 10.6.'1 Otros cambios de vari&bles 10.7 Centroidf'B y momentos de inercia. 10.8 Integrales impropias 10.9 Problemas

5194 196

201203 207 208 209

211217

220

III

Clculo vectorial

223225 225 232232 233 238 239 241 241 243 245

11 Integrales de lnea 11.1 Curvas y definiciones bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Campos vectoriales conservativos e independencia del camino 11.3 Funcin potencial . . . . . . . . . . . . 11.4 El Teorema de Creen en el Plano .. . 11.5 Dominios pianos simplemente conexos 11.6 Las identidades de Creen . . . . . . . 11. 7 Forma vectorial del teorema de Green 11.8 Regiones multiconexas . 11.9 Integrales de trayectoria 11.10Problemas .. , . , . , 12 Integrales de superficie 12.1 Definiciones bsicas, 12.2 Teorema de la Divergencia de Gauss 12.3 Teorema del rotacional de Stokes 12.4 Campos conservati'/os en ]R3, 12.5 Problemas 13 Certmenes 13.1 Ejemplos de Certmenes 13.2 Ejemplos de Problemas de Certmeneb 13.2.1 Miscelnea . . . . . . . . . . 13.2.2 Lmites . . . . . 13.2.3 Derivadas y planos tangentes 13.2.4 Taylor . . . . . . . . 13.2..'5 Funciones Implcitas 13.2.6 Mximos y Mnimos 13.2.7 Integracin mltiple 13.2.8 Integrales de lnea y superficies 14 Respuestas a Problemas Seleccionados

247 247 253

254 255256

259

259 263263 268 269 280 284 285

293 304315

6

NDICE GENERAL

PrefacioEste texto est dirip;ido a aquellos estudiar;tes de ciencias e ingeniera que necesitan dominar. en un semestre. el clculo en varias variables, incluyendo la seccin que usualmente recibe el nombre de clculo vectorial constituido por integrales mltiples, integrales de lnea e integrales de superficie y cuyos principales resultados son los teoremas de Green, Gauss y Stokes, En esta segunda edicin se aument el nmero de problemas, se agreg una seccin de respuest.as y un ndice temtco. Para t.erminar esta pequea pr(;'''3entaci6n deseo agradecer la confianza y colaboracin de todos aquellos colegas que han usado este texto en sus respectivas aulas y en especial a todos mis alumnos que se dedcaron a estudiar el texto y tuvieron la gentileza de informarme sobre los errores encontrados, sobre los cuales, al menos tengo la seguridad que esta segunda edicin tiene menos que la anterior, Finalmente, como siempre, deseo tambin expresar mis agradecimientos al Sr. Sergio Daz Henriquez, encargado del sistema de reprografas de nuestro Instituto.

Valparaso, Agosto 2002.

El autor

Parte 1

Clculo diferencial

.., ,

Captulo 1.

Espacios euclidianosLa idea de distancia en ~71 es un concepto fundamental, te,nto para el estudio de las propiedades geomtricas de lR n as como tambin para el estudio del clculo ya que os conc.~ptos bsicos relacionados eOIl e,;ta materia, conceptos tales como lmites, continuidad, diferenciabilidad, integmbildad, etc, de una u otra manera estn relaci.onaclos con la nocin de distancia (al menos en el espacio ]Rn). Comenzaremos definiendo en primer lugar el espa~io usual sobre el cual trabajaremos, esto es el espacio vectorial]RTI, cuyos elementos los denominaremos usualmente ve,~tores. Luego definiremos dos nociones bsicas que se relacionan con estos vectores: la no'rma de un vrctor y el producto interi.or entre vectores. Finalmente daremos, en base a este concepto de norma, nuestra definicin de distancia. El espacio R,n, junto con su estructura de espacio vectorial, su producto interior, su norma y su distancia, forman una estructura conocida como el espaczo eucldeo lR lI .

1.1

Espacios vectoriales de dimensin finita

El espacio vectorial (lR n , +, -), el cual para mayor simplicidad denotaremos simplemente por ]Rn (se pronuncia ern-ene) es el conjunto formado por las n-upIas o n-arreglos ordenados:xl.X2,X3)." ,xn ) de lltlmerOS realES. Estos arreglos los denotaremos por letra,> destacadas, como por ejen~pio x. JI.s, escribiremos:

Asociado a este cOlljunto de arreglos consideraremos dos operaciones algebraicas: la operacin suma, defidda de la mallera usual: (Xl, X2, ,:Z:n)

+ (Yl' Y2, ,y,J =

(Xl

+ Yl, ,T2 + Y2, ..

, :;n

+ Yn) ,

y la operacin producto por escalar:

9

JO

CAPiTULO.!.

E:iPACIOS EUCUDIASOS

b cual an(Jtareno.'; sinmlemente ((miO 0. (.r1 ..rz .. " ..T,,) vale decir, sin el punto ,. ," (no confunda el producto por escalar COlI el concepto de producto interior entre vectores que '/eremos mRs addantcL L conjunto ]R." junto con estas dos operaciones 8wna y vrodUdo por f;.~caiar, con amba,,; operacioIlf;S sujetas a las propiedad:oi algebraicas u:suaJes. forrnau lo qile :o:e conoce como el espacio \'ectorial(~~n. -r. '),

Las operaciones aigebraica" asociadas slo con la suma son: fsociatividad de la suma Existencia de la Identidad Existencift de Inversos C'ollmutatividad

(a + b) + c = a -t- (b + e)E: tt")(x -t-O = x~ (\7'x E R,")(3-x E::;;''')(x + (--xi c::: O) (\fx E. ~n)(\fy E R")(x..,...y y -1- x)(30 E~n)('v'x

=

La:s propiedades algebmica:s asociadas con la sum ver con el tipo de soluciones que se desc de e = 1,2 Y 3. la Figura 2.23, repre'ientan, de adentro haca afuera, aquellas superficies del espacio en donde la funcin f es constante para los valores de = 1, = 9, Y e = 18 respectivamente,

e

e

Ejemplo 55 Describa las superficies de nivei de respondiente a e = -3, e = o y e = 3.

f

(x,y,

z) = x2

+ y2

- .z2

cor-

Solucin. La primera superficie, correspondiente a boloide de dos hojas:

e = -a es

un hiper-

Su grfico es similar al de la Figura 2.9: en lugar de tener a x como eje de simetra, en este caso es z, La grfica de la superficie correspondiente l e = 0, un cono recto:

y su grfico es similar al de la Figura 2,13, con la diferencia que en este caso, el

cono tambin se prolonga en el sentido negativo del eje ~,. Finalmente la tercera superficie correspondiente a = 3 es un hiperboloide de una hoja. Su grfico es similar ai de la figura 2.8 y tienen el mismo eje de 3imetra,

e

46

CAPiTULO 2. FUNCIONES DE DOS O------,

MAs VARIABLES

I I!i

le2.9 Problemas---+

i

II

Figura :2.23: Superficies de nivel e la fundll :: = x2 + y2 - C. En la figura se representan tres superficies, de adentro hada afuera, para los valores e = 1, e = 9, Y = 18 respectivamente.

1. Halle el dominio A de f: A O tal que Vr (a) ~ A. Usando esta nomenclatura, se observa que un conjunto U ~ R", es abierto si y slo si todos sus puntos son puntos interiores. Al conjunto de todos Jos puntos interiores de A se lo acostumbra a denotar con el smbolo AO.

Observacin 59a) Debido a las relaciones existentes entre la mtrica d (distancia ordinaria) y las mtricas limax y d l definidas en el Problema 13, Pgina 23 da exactamente lo mismo definir conjuntos abiertos usando cualquiera de escas mtricas. As, en caso de conveniencid usaremos la que ms nos convenga. b) Debido a que las vecindades correspondiente a cada espacio ~n, son dimensonalmente diferentes, todo conjunto no vaco, abierto en un espacio no puede ser abierto en otro de dimensin superior (por supuesto considerndolo como subconjunt.o del segundo espacio mediante la identificacin naturai). Por ejemplo el interw,lIo ]0, I[ es abierto en ~, pero no es abierto en ~2 ~ X ~ (identificndolo con el subconjunto del plano JO, I[ x {O}), ni tampoco en ~3. Como ya se dijo, no es abierto en ningn espacio j?71 con la excepcin de n l. Esto hace importante el especificar claramente, respecto a cual espacio un conjunto es abierto.

=

=

8.1. VECINDADES Y CONJUNTOS ABIERTOS

51

Ejemplo 60 El conjunto de todos los puUt08 interions del 'intervalo [O, 1] ~ ~ es el conjunto JO, 1[. Ejemplo 61 Elc01~junto

de todos los pll'dcs mterores der- 7"')

\ / G = fl ( x ,i)) ,x 2, y 1. :::: 9', -+-J

~ ~~

,

es d coniunto fl'x' y\ '. x2 " l, J

+",:2,!J

1 < 9 f'

Ejemplo 62 Consideremos el intervalo [0.1 j, pero comu un subconjunto de R.2. es decir:[ 0,1 , J

==

{ (

J, O) E

~:2 ",'t :

- fo x "= , , l' J . 1~

Entonces, el conjunto de puntos inter1.Ores de [0,1] e8 el conju,nto vaco.

Ejemplo 63 El

co~junto

A = {(x, y) : y

= 3x}

no

fS

un conjunto abierto en

;it2 ya que los puntos de A forman una recta en el plano y es claro que una recta

no p'uede contener un disco, por muy pCiJueo que e8te sea,

Ejemplo 64 El plano = {(x, }, z) : 2 = ol no es abierto en ~a. la explicacin del porqu este conjunto no es ab'ierto, es similar a la dada en el ejemplo anterior: una esfe1'O, por muy pequea que sea, no puede estar contenida en un plano. Ejemplo 65 El conjunto D :::: {(x, y, z) : 0< z} es abierto en iR 3 , Note que D corresponde al "semiespacio superior" o hemisferio norte del sistema cartesiano~3,

e

Ejemplo 66 Los conjunt08 ~n y tI> son abie1'tos en lIt n , Proposicin 61 Sea {C>,} una colecci6n arbitraria de conjuntos abier'tos, Entonces el conjunto definido mediante su llniT!'G=UG).

tambin es abierto. Por otro lado, si C 1 , G 2 , . ,. G n es una coleccin finita de conjuntos abiertos, entonces S1l; interseccin:1

tambin es un conjunto abierto.La demostracin correspondiente a la unin es trivial Para demostrar la segunda parte, supongamos que GIl G 2 , .. , ,Gn es una coleccin finita de conjuntos abiertos y tomemos un punto p E G. Como p pertenece a la interseccin de los conjuntos, entonces debey se deja de ejercicio.

Demostracin.

52

CAPiTULO 3. ELE1'vIE:VTOS DE TOPOLOGA

pertenecer a cada uno de ellos. Como cada conjunto G k es abierto, entonces, para cada k::::: 1,2, ... n, exste un T'k > O tal que "~k (p) :;;; G k Si ahora elegimos1'= mill{l'l7'Z,'"

.T'n},

se tendr que r > O y adems,

Esto termina la demostracin.

Ejemplo 68 La zntfTseccin df una cantidad infinita conjuntos abiertos no siempre fS un conJunto abierto. Por ejemplo consideremos, en]R la coleccin de todos los intervalos abiertos ]0,,1 + 1/11,[ W donde 11 :::: 1,2,3, ... , es fcil ver que:

n=-l

nI00 ,

J

O, 1 +

- ::::: jO, 11- . n

1

l

3.2

Puntos de acumulacin y conjuntos cerrados

Definicin 69 Un subconjunto F de l!{" lo llamaremos conjunto cerrado en]Rn si Fe (complemento de F) es un conjunto abierto en ]Rn. Observacin 70a) Es importante notar que si un confunto A es ab'ierto en 'U,n espado ]Rn, entonces su complemento es cerrado en]Rn y viceversa. Sin embargo no hay que cometer el error- muy comn por lo dems~ de concluir que si un conjunto no es abierto, entonces tiene que ser cerrado o si no es cerrado, entonces tiene que ser abierto. Estas dos conclusiones son falsas: un conjunto no tiene que ser ni lo uno ni lo otro. Por ejemplo el conjunto JO, 1] no es abierto en IR., pero tampoco es cerrado. b) A diferencia de 10 que sucede con los cOllJuntos abierto, si un conjunto F es cerrado en algn ]Rn, entonce:-; tambin es cerrado en todo espacio ]Rm, con m > n. La demostracin de este aserto se plantea como problema al final de la seccin.

Ejemplo 71 El conjunto [1,6] es cerrado en R, ya que su complemento,"l~ --1 [1 , \) J -' CXJ, - [,v ,16 , CXJ [, 1 j

es la unin de dos conjuntos alnerlos en

a

y por ende es abierto,

3.2. PUNTOS DE ACWlfULACI6lY y CONJUNTOS CERRADOSEjemplo 72 El conJ',mto Aque su complemento,

53

= {(x, Y: 2') E;;;!.) : ;3 S

x ~ ~} es cerrado en Ji{3, ya

=corresponde a la unin de dos conjuntos ail'iertos ~n 3: 3 .

Ejemplo 73 Toda recta y todo plano son subconjuntos cerrados en ]13. Porejemplo el plano:

p = {(:r, y, z) E ~ 3

: X

+ 3y + z ::-..:: O} ,cor~junto:X

es cerrado ya que su complemento, pe es el { (x, y, z) : x + O} U

{ (x, y, z) :

+ 3x + Z : y '- Jl'l.

E [- 1 , ll}' ,

.

3.2. PUNTOS DE ACU!vIC'LA.CIN y COjV.JU:\i'lOS C'ERR4.D03._-------i~\ [',OJ

55

/~--I

!

,1, \

o

!~!\! I:!ji '1

[\ p,l;

/

"

/

I,U.2-r---;;-x

n6

-oJ

li

J

;

!

I I Jo

.1

r';gura ..

Q 1 v ...... '

A - - {(x1, y) ..," - \ . ':} __

clr.(l IIx\ ~ . -. . ~ \ }

O O tal que, A~ ~R(O).

b) "Un conjunto de A ~ IR" se d.ir que es compacto s es cerrado y acotado.

Teorema 86 (Bolzano-Weerstrass). Un conJunto dE, A ~ Rn. acotado y formado por infinitos puntos, debc tener al rne710S un punto de acumulacin en

JRn.Demostracin. (slo la idea matemtka). Supongamos que A ~ ~2. Decir que A es acotado significa que el conjunt,) A puede ser encerrado por un cuadrado. Esto es, debe exstir R > O tal que:A ~ [-R, R] x [--R, 11].Si dividimos este cuadrado en cuatro "subcuadrados", se deduce que al menos uno de esto" "subcuadrados" debe COl'tener inRnitos puntos de A. Se vuelve a dividir, pero ahora este subcuadrado, en cuatro partes. ='-'uevamente al menos uno de ellos debera contener infinitos puntos de A. La idea ahora es continuar con este proceso ad inf1nitllln. DE este modo se obtiene una secuencia de cuadrados, cadA uno de ellos contenido EH el antecesor y l a su vez conteniendo al sucesor (una suerte de cajas chinas), cada cuadrado cada vez ms pequeo y conteniendo, cada uno de ellos, infinitos puntos del conjunto original A. La idea ahora es que estos "cuadraditos" irn encerrando un punto q. Debido a la manera en que este punto q fue seleccionado. es claro que tendr a su alrededor un "nube" infinita de puntos de A. BlIeno, esta cualidad es justamente lo que se

56

CA PTUL O 3. FLEMENTOS DE TOPOLOGA

exige de un punto para que c.alifique c.omo punto de acumulacin de un conjunto. Fin de la idea. _ La nocin de punto de acumulacin puede ser usada para caracterizar en forma muy sencilla a los conjunto:3 cerradoE:

Proposicin 87 Sea F

e

Rn, entonCf8:~

F es 'un conjunto cer-rado

F'

~

F.

Demostracin. Primero probaremos que si F es cerrado entonces necesariamente F ' ~ F. La demostracin la haremos por el mtodo del absurdo: supongamos que F es cerrado y que hay un elemento a E F ' que no est en F. Esto equivale a decir que a est en el complemento de F, complemento que es abierto dado que F es cerrado. EJsto implica a su vez que existe una vecindad de a completamente cont~nida en e.-ste complemento y por ende esta vecindad no contendr puntos de F. Esto contradice el hecho de que a pertenece a F ' . Esto finaliza la demostracin de la condicin necesaria. La demostracin de la condicin ~;ufciente es an ms sencilla: suponga que F ' ~ F. Para demostrar que F es cerrado basta demostrar que su complemento FC es abierto. Debido a que todos los puntos de este ltimo conjunto no son puntos de acumulacin de F, elltonces deben ser puntos interiores de Fe. Esto demuestra que FC es abierto y finaliza la demostracin. _

3.3

RegionesEntonces al conjunto de todos

Definicin 88l. Sean P y q dos puntos en el espacio los puntos x en R" de la forma x = (1 - t) Pll{n.

+ tq,

con O:::; t :::; 1,

lo llamaremos el segmento lineal que une el punto P con el punto q y lo denotaremoA:

Seg [p, q).2. Una poligonal en formall{"

es una secuencia finita de segmentos lineales de la

3. Un conjunto se dice que es poligonalmentt' conexo en R" si cualquier parde puntos p y q del conjunto pueden ser unidos mediante una poligonal completamente contenida en el conjunto de modo tal que P = PI Y q = Pn. 4. Por una regin en lit" se entender un conjunto no vaco, abierto y poligonalmente conexo.

3.3. REGIONES

57

Figura 3.2: Regin R poligonalmente conexa,

Ejemplo 89 Sean p =(2) 0) Y q = (.'3.9) dos puntos de %2. Entonces Seg [p, q] es el segmento de recta que une los puntos (:1.5) Y (3,9). Para demostrar este aserto, a partir de la definicin de S'eg [p, q] observe qv,e los puntos x de la forma (1 - t) p + tq corresponden a los puntos l~uyas coordenadas son:

(x,y)=(2(J -t)+3t.5(1-t)+9t) conDe aqu se obtiene que:

O~t~l.\. .:,

'< . (

/ _ / i ; ". x = 2(1- t.) + 3t,

I

\

.

V=5(1-t)+9t,

x . 2. --\.( Despejando t de la primera ecuacin y reemplazndole, en la segunda, nos queda:1)

= 5(1 -

t) + 9t = ,'5(1 - (x - 2)) + 9(:r - 2) = 4x - 3,

lo que corresponde a la recta y = 4x - :3, que paso por los puntos dados.

Ejemplo 90 El conjunto:

R = {(x, y) : 4 IR, entonces en el caso que f tenga lmite tiende al punto (a, b) E G', se acostumbra a escribir:

L cuando

lim(x,y)->(a,b)

f(x,y) = L 6 tambin lim f(x,y)";,~;

= L,

y en este caso, usando la convencin que positivos, la DefinicinlOO queda:

f

y 8 representan nmeros reales

(Ve, 38, V (X,II) E G)(O < (x-- 0,)2

+ (y -

b)2 < 82

:=}

If(x, y) - LI < e.

4. Note que la condicin:

corresponde a exigir que el punto (:r:, y) pertenece a la vecindad agujereada de centro (a, b) y rallio 8, .5. Que se cumpla la desigualdad if(;r:, y) - LI

< e,

es equivalente a pedir que:

Ejemplo 103 Considere la funcin Demuestre que:

f : R2 --, :~. definida por (x, y)f(:r:,y) = 1..'\1"'.

= 7x--4y.

(x.1I)--~(3,5)

lim

O

(( '1-2;)

'\

Z( 'J"~

,..

L-~

---

< 6'1

-;:()

( +"1- y j- ~ ~...,

1

4.1.

NOCIONES BSICAS

67

Solucin. El ejemplo parece trivial pues resulta e\"ld~nte que cuando :r se aproxima a 3 e y se aproxima a .'). entonces la expresin 7x- 4y debiera aproximarse al valor L = 1. Sin embargo, si queremos SP~ rigurosos en la demostracin debemos usar la definicin. Esto es, debemos der:lOstrar que para todo E > 0, existe fj > 0, tal que para todo (x. y) E 11/. se cumple qLle:

I 7x- 4'- 1\", '-",

< .

Supongamos que para s > O hemos encontrado "j nmero positivo 5 que cumple con la implicacin. Veamos cuanto debera \det. Como el par ordenado (x, y) cumple con:

(4.1)se deduce que (x - 3)2 < b'.: Y tambin que (y '- 5)2 cuadradas, se obtienen las siguientes uesigualdadcs:

< {)". Tomando races

jx - 3; O Y demo':itrar que para cualquier par (x,y) que satisfaga la inecuacin 4.1, debe cumplir con:

!h - 4y - 11 < :.,En vista de ia desigualdad 4.2. basta tomar 8 que x e y cumplen con:

0= s/1l.

l

L Demttestre que

(T.y)~:O.O)

lim

I

(;c, JI) = O.

Solucin. Considere las desig11aldades Si;n;illte;-;;

II(x,y)-O

O - - = lim sin.r:

3

4,5. CONTINUIDADy.

77

lim ( lirr~f (x, y) ) ~'C ',:ll y~O x -l} l : r "~J

--;-SIr,

y

y

= 1.

Po'r lo tanto, de acuprdo al Corolario 1 u":IX,1I 1...,(.:1 . .,\

r]"r]-,Cf: q'Uf:

lim .

f (,;", .

no existe,

4.5

Continuidad

Las funciones continuas son, entre todas la:> poslblps funciones que pueden definirse en un cierto dominio, aquellas que son ms ampliamente usadas en matemtica. Esta realidad es debido a varias razones: son sumamente tiles para modelar procesos que trascurren o suceden de modo no abrupto ya que cualquier cambio de posicin, velocidad, forma. temperatura, etc. de un cuerpo, requiere, por motivos inerciales y energticos. de un cierto lapso de tiempo y sucede, en todo caso, de modo gradual. Por otro lado tienen una serie de ventajas operativas sobre funciones ms arbitrarias. Algunos ejemplos: es posible integrarlas; pueden ser aproximada." tanto como uno 10 desee por medio de funciones infinitamente diferendables (mediante un proceso conocido como "regularizacin"); transforman conjuntos compactos (cerrados y acotados) en conjuntos compactos; intervalos en intervalos y conexos en conex()s, Finalmente, adems de todas estas ventaja,;, es muy fcil construir una gran cantidad de ellas por medio de sumas, restas, productos, cHocientes y composiciones de funciones continuas ms simples Comencemos por 10 tamo con la definicin:

Definicin 120 Sea F G C;;;; ll{n --> En una fanC1n y a E C, en donde G es un conjunto no vaco. Diremos que F es co"tW en a si y 8010 si:(VIO> 0)(38 > O)(Vx E G) (x E ~( ~m, con G no vaco. Entonces F es continua en G si y slo si para todo a E G n G I se cumple:x--+.a

lim F(x)

=:'7

F(a).

o equivalentemente:(VE:

> 0)(36 > O)(Vx E G)(llx-ai! < 8 =;. !lF(x) - F(a)1I < E).

Por otro lado, si usamos la proposicn anterior junto con la Proposicin 101 de la seccin anterior, se tiene el siguiente resultado~

Proposicin 123 Sea F = (.tI, 12 .... , fm) 7lna funcin vectorial y a E G. Entonces F : G S Rn - 4 R,m es continua en un p71nto a si y solo si cada 'una de sus funciones componentes fj : G ~ ~n ........ ;; es continua en a.&ta ltima proposicin nos permite analizar la continuidad de funciones vectoriales, estudiando slo la continuidad de funciones reales. Por consiguiente, en lo sucesivo consideraremos slo funciones reales.

Ejemplo 124 Sea F ; ](n -+ ~m una funci6n localmente lipschitziana en el punto a E ~n. En otras palabra.s suponga qu,e existe 7' > O Y existe K > O tal que,

"Ix E Vr(a)

=>

ijF(x) -

F(a)l!

s: Ilx -

all

Demuestre que F es continua (;n a. Solucin. Hay que demostrar que.

('VE> O)(3f > O)(Vx E Rn)(ilx - al!Entonces, siE

< b => !!F(x) ~ }.

F(a)j

< E).

> O, basta tomar

8 = min {7',

Esto termina la demostracin.

Ejemplo 125 Sea F : lR n - 4 Rm una transformacin linea.l, esto es, una funcin vectorial definida por una expresin del tipo:

en donde A es una matriz m x n. Demuestre que F es continua en todo ]Rn. Ms aun, demuestre que F es Lipschitziana: existe K > O tal que, para. todo x e y en]Rn se cumple:

IIF(x) - F(y)i! :::; K lIx - yll.Solucin. Observe que,

4.5. CONTINUIDADAhora, de acuerdo al Probiema 16, pgin" 24, pxiste K > O tal qe:

79

IIF(x) - F(y)li S J( !!(x- y)Tl! :::: K :ix - yl!Esto termina la demostracin.

CelTaremos esta seccin con un teorema Hamado "Teorema de Enlace", mediante el cual es posible caracterizar 18. continuidad con el uso de sucesiones:

Teorema 126 Sea G

~ ~n

conjunto no vaco, ron a E G Y suponga que:f: G->~.

Entonces cumple:

f

es contin7Ja

f'h

a si y slo si paro toda sucesin {x7JJ

~ G, se

[n --400]

(4.8)

Demostracin. Condicin necesaria. Supongamos que la sucesin {xn} ~ G converge ai punto a. Demostraremos que la sucesin {f(x n )} converge al lmite f(a). En otras palabras. demostraremoo que:

(VE> O) (:3N

E~)

(\.in E N)(n:2: N

=-::;,

[f(x n )

-

f(a)

' f\X; !J i )

t"(')1, < a

t ..

.

(4.9)

Ahora bien, ya que tal que:

(j

> O. dado que X'1--> a.

SI' ti'2Il8

que debe existir un N E N,

Por lo tanto, de acuerdo a la Bcuacin 4.9, se tiene que:

n ;::: N

=?

:f(x,,) -- f(a)! O) (V6 > O) (3x E G)( lix - al! < 8

1\

!f(x) - f(a)1 > E).

80

CArTULO -4

LllvIITES Y CONTINUIDAD

Tomando 8 :.= l/n, con n E i~, este re::mltado nos indica que es posible hallar una sucesin {xn} ~ e, tal queXn--

a

"

f(xn)'-h (a).

[11 --400].Esto termina la

Luego no se cumple la condicin relativa a las sucesiones. demostracin,

***Finalmente daremos dos teoremas muy importantes que involucran a las funciones continUB.s:

Teorema 127 Suponga que K

~

iRn es un subconjunto compacto no vaco y,

f :K

--+]R,

una funcin continua. Entonces el conjunto f(K) ~ ~, es tambin compacto, esto es, cerrado y acotado.

Demostracin. Para demostrar que 1(1 IR definida por:7r j(x) =-Xj

para todo

x E lRi. n es continua en IR".J

Solucin. Sea a = (al, Q'2, , .. a,,) un punto arbitrario de ll{n. Demostraremos que g es continua en a. Esto significa que hay que demostrar que:

Esta expresin es equivalente a:

(V > 0)(38 > O)(Vx E I.{") (x E t';{a) =>o, usando normas y valores absolutos:

Xj

E

Ve

(aj)).

(V > 0)(36 > O)(Vx

E

lR") (11x -

all < {; =>

IXj -

ajl < f).

Ahora bien, esta implicacin tambin es trivial tomando 8 siempre se cumple la desigualdad:

= ( y observando que

Esto termina con la demostracin.

4.7. CLASES DE FUNCIONES CO;VTTNCA:,: Ejemplo 133 Demuestre que l.a funci6n nal.li",,, ~\ -_ .,.2 U .: . .,'2 J ,,_u_,..,,_} --.v ~. : '-

83

es continua en ~3. Solucin. Si llamam0S x a la variable vectorial (:r,y,z), tendremos, por el ejemplo anterior, que las si;uientffi funcione8 proyecciones sor, continuas en todo ]R3;I ,

Tz\Xj

= y;

Luego, aplicando Proposicin 129, se tiene que la funcin:

es continua en todo ~3.

Ejemplo 134 Demuestre qu.e la funcin real,

l(x. y, z)es continua en R3. Solucin. La funcin,

= sin.Jx 2 IUi +

z2

+ L,

h(:r,y,2) = iyi:es igual a la compuesta entre la fundn continua [uncin valor absoluto:7T2

del ejemplo anterior y la

Por lo tanto, la Proposicin 1.30 nos asegura q'le la fUllcin h es continua en ]R3. Ahora, de modo similar a Jo que se hizo en el tercer ejemplo, se deduce que la funcin.

tambin es continua y una nueva aplicaci6r; de la Proposicin 130 nos asegura la continuidad de,

,/72 v...v

,~+-::2+-1 , "'-'i.~:

Finalmente, como la funcin seno tambin

e3

continua. la cumpuesta,

tambin lo ser.

84 Ejemplo 135 Sea'

CAPTULO 4. Ll\l[ITES y CONTINUIDA.D

.(x,y) =

2 {X Sin(X+ Y):r - y

x:/:y ;;;=y.

O

Encuentre todos los puntos del p:ano en donde

f es continua.

Solucin. Dividiremos el problema en tres casos; Caso 1. a:/: b. Para estos puntos la funcin f es continua ya si (a, b) cumple con Q."I b, entonces exist.e una vecindad V((o"b)) centrada en dicho punto tal que todo par ordenado (x,y) E/d(a,b c~mpJe con x "1 y. En consecuencia en dicha vecindad la funcin est bien definida por la expresin:x'2

sin(x --j- y) x-y

y por lo tanto, siendo el numerador y el denominador de esta expresin funciones continuas, tambin io ser el cuociente entre estas dos funciones. Esto demuestra que f es continua en todos estos puntos (a,b). Caso n. a b, con a =F O. La funcin no es continua en estos puntos. Para probar esta afirmacin demostremos que la funcin no tiene lmite en el punto (a,a). Lograremos esto mostrando que el valor de los lmites radiales, es decir, a lo largo de rectas que pasan pt)r el punto (a, a) dependen de las pendientes de dichas rectas La ecuacin general de una recta con pendiente m que pasa por el punto (a, a) est dada por la ecuacin:

=

y(x) = mx + a - rnaSi m "1 1, entonces el valor de la funcin f a lo largo de esta recta, con la excepcin del punto (a, a), est dado por la expresin:

~sin(x +y)

x-yVea Figura 4.4. Por lo tamo:

im(x,lIl-(a,a)

f(x, y(x))

. x2 sin(x + mx + a - ma) l 1m --~-------~ x-a X - rnx - a +ma:.2.(1

hm

-~--------'

x->a

sin(x+mx+a-ma) X - mx - a + ma

Si x --> a, se tendr que el denominador de esta ltima expresin tiende a cero y por lo tanto, si queremos que el correspondiente lmite tambin exista, se deber cumplir que tambin el numerador tienda a cero. E,sto es:x->a

lim sin(x

+ mx + a - ma)

= O,

4.8. PROBLEMA.S

8.5

I\

I

Figura 4.4: Caso II Como la funcin sin es una funcin continua, esto itilno se cumple si y solo si: sin 20 = O. Esto implica que una condicin necesaria para que exista dicho imite, es que f O. Sin embargo, en estos casos e! lmite tampoco existe. En efecto, aplicando la regla de L'Hospital se tiene:2a = k7r, con k. sin(x+mx+a-ma) l 1mx->uX -

..x-a

!}

rnx - a + rna

11111 -'

+ m) cos(x + mx -i- a i 'In

ma)

(1

+ m) eos 201- m,

(~ +

rn) ('os k1!.1 -r

U+rn)(-l)k1- rn

Por consiguiente, como el limite radial depende de m se tiene que el lmite de la funcin no exste en los puntos (a, a) con a /: O. Caso IIl. a = b = O. Se deja al estudiante demostrar que f es continua en este punto. Indicacin: use la propiedad cero aniquila. Por consiguiente la funcin f es continua exact.amcute en el conjunto:

A.

= ~2_ ~(:r.x): x E R- {O}j'.l 'I ..

4.8

Problemas\ ( lim I limf(x,y)) , lim ('lilnf(r;,:)'):'

1. Calcule, en el caso que existan, los si!,:uientes lmites:I,im, , f(:;:,y) ,(X,l/}-"'(O,O)

x-+O

\y-O

y~-.;.O

x-'U

I

86

CAPTULO 4. tMITES y CONTINUIDADpara las siguiente.; funciones en el dominios que se indican:

a)

f (x,y).

=

Tj

b)e)

f

(X.?j). .

= -_.X2 + y2

;:2 _. y2

-;c---c~~ -'- 1/;/

A A A1

= R2 -

{(O, O)}E ~2:

= {(x,y)

yl

< x2 }

' . f( X, y) = x SInxy

(J;y) \XV

= {(x,)!) E ~2: y:i a}. = {(x,y) E JR2: xy =FO}< Iyl}

d)

f(x.y) = (x+y)sin-~f(x,y)

A

el

= -----:> X2 +y (O,o):!: --

lim

x

-f-

Yy

b) d)

sinxsiny

an (x,y)->(O.O)

, 1

l' + l' xi yl

JlXYI

6. Considere la siguiente fllnci61~:(,Y,y)

=1

(0,0)

(;r,y) = (OtO)(a) Es posible hallar un v-alor A tal que

f

sea continua en todo el plano?

(b) Si el dominio es el conjunto G = {lx,y) : Ixl la respuesta es afirmativa y que A = -l.(e) Si el dominio es el conjunto G = {(.T, y) ; es afirmativa, pero en este caso A = 1. 7. Considere la funcin,

< y2},

demuestre que

Ivl < x 2 }, entonces tambin

xy f(x,y) = {Demuestre que

Si (x,y)

=1 (0,0)

S; ('.c,y)

= (0,0)

f

es continua en todo el plano,

8. Considere la funcin,

"

f( _ . x.y ,)

{ sin (x'" +y~ - 4) x2 +y2 - 4,','

(1- x2 _ y2) yfX2+yi_l

Si x2 + y2 :::; 1 Si 1 < :r 2 + ,1j2:::; 4Si4

O si(n, 'V) 2f (a)

O fa(a) < O.

Por consiguiente, de acuerdo a la Proposicin 158 se cumple 1 y 2 de la proposicin. La demostracin de la parte 3 se hace de manera similar a como se

106

CAPTULO 5. DERIVADAS PARCIALES

demostr, en el Ejemplo anterior, que el punto al es un punto de ensilladura, esto es, consiste en hallar dos vectores unitarios nl Y nz apropiados de modo tal que (n 'V)2 f (a) cambie de signo con n. Se deja al lector el hallar estos vectores. Para demostrar la ltima afir!l1acin basta observar la total simetra entre las variables x e y. Esto termina la demostracin.

Ejemplo 160 Encuentre los puntos crtcos y determine su naturaleza para la siguiente funcin:!(x,y,:-:)

= x2 + 2x -

y3

+ 12y + z2 -

lOz.

Solucin.ecuaciones,

Para hallar los punt(>s crticos debemos resolver el sistema de

af =0 5) = O -

)

:~ =0.

ay

_3y'2

2X+2=O} + 12 = o 2z - 10 O,

=

de donde se deduce que x = -1, y2 = 4 Y z = 5. Por lo tanto tenemos dos puntos crticos:al

= (-1,2, .5);

a2

= (-1, -2, 5)

Como la funcin f es infinitamente diferenciable en todo el plano, el Corolario 154 de la pgina 102, nos asegura que los nicos candidatos a mximos mnimos son lo puntos al ya2. Apliquemos ahora Proposicin 158 para decidir su naturaleza: Ahora,

(n\,)2f

=

!) a a,2 71la:r+712ay+n30Z) f '2 r 2 '} nIJll + n2!z2 + n3h3 + 2uln2h2 + +2nln3i13 + 2n2n3!z3. (

Ahora como f(x, y, z)

= x2 + 2x 122 =( ,n'

y3

+ 12y + z2 -

lOz, se tiene:

fu = 2;Por lo tanto,

-6y;

133

= 2; ft2 = i13 = 123 = O.6yn2 -t:l.

'V J =

\2,

.. '2

..:.'11 1 -

2713'

2

Evaluando ahora en los puntos crticos, se obtiene:

(n 'V) '2 f (a)( ~n ( 'V) 2 faz)

+ 2n~ 2nr + 12n~ + 2n5-

271~

12n~

5.6. CRITERIO DEL HESSIA.NO

107

Como 2nt + 12n~ T 2n~ > O para todo vector unitaril) n = ("01,712, n;,) se deduce, de la Proposicin 158 que a2 es un mnimu iocal Por otro lado es fcil vei' que ei signo tIlO (ll' \;)'2f (a) cambia con n. Por ejemplo, si tomamos n (1, O, O) entonces (n V")2 f(aI) = 2 > 0, en cambio tomando n = (0,1, O) tendremos que (n \7)2 f(al) = -12 < 0, de modo que al es un punto de ensillad ura.

=

Ejemplo 161 Halle todos los puntos

C'ttCOS

dr la fu.ncin:

f (x,y)lj

= (3 - x)(3 - y)(x ."y - 3)

determine la naturaleza de cada uno de ellos.

Solucin: Las derivadas parciales de j8f Jox

son:x)(3 -

= =

(y - ;J)(x 4- y - 3) + (3 -

y)

8f lJy

(x - :3) (x +y - 3) + (1- x)(3- i)

Luego, igualando estas derivadas a cero y rcsoiviendo el sistema resultante, obtenemos que los puntos crticos de f son: P=(3,O), Q=(2,2j,R=(O,:~),

S=(3,3).

Para determinar la naturaleza de tale:: puntos, calculemos la matriz hessiana de la funcin f:ro

82f 8 2ffJx 2

02f{);r;(P:J 2

D(x,y)

==

8 f

L EJyoxD(?)D( R)

1r LJ

2y _. 6 2x+2y - 9

2x

+ 2y _. 92x - 6

l

J

(rj2

(2x - 6)(2y - 6) - (2:;:;

+ 2y -

9)2.

ReRmplazando ea los puntos crticos, se obtie~1e:

D(3, O} =-9:

=

D(O,3) =: -9;

D(Q) = D(2, 2) = 3 D(8) = D(,3, 3) = -9.[)2 {

Por lo tanto, de acuerdo a la Proposicin },"i9, se deduce que P, R Y .5 son puntos de ensilladura. Finalmente como 0J.:2 = 2y - 6. se tiene que ox~ (Q) = -2, lo que significa que Q es un mximo locRl. La Figura 5.2, muestra algunas curvas de ni'iel de la funcin z f(x,y): La Figura 5.3 representa la misma funcin en tres dimensiones:

0 2 f'

=

Ejemplo 162 Determine la naturaleza de los lJuntos crticos de a funcin:

f

(x, y, z)

= X2 + xy + y2 -:- yz.;..:.;2 + Sx -

6z.

108

CAPITULO 5, DERIV.ADAS PARCIALES

Figura 5,2: Curvas de nivel de la funcin z = (3 - x)(3 - y)(x valores de z corresponden aproximadamente?

+y -

3). A que

IIi

I

Figura 5,3: Funcin z = (3 - x)(3 - y)(x

+y -

3).

5.6. CRITERIO DEL HESSL4.NOSolucin. Puntos criticos:

109

01 - =''2 x+y+o'

ox

'

of

&y =

1:

+ 21/ + z;z = O

af-

eh

~~

y

, + 2z -

6.

Para hallar los puntol'> crticos debemos resolver el sistema:

2x

-t-.

Y -+- S = O:

x

+ '2y +

y + 22 - 6

= O.

Luego la fanCn tiene un nico punto crtcu:p-\x,y,~)_ f. . ",' _ (_

~ _ ~ 4' 2'4

13)

.

Para determinar su naturaleza debemos estudiar la funcin cuadrtica:

(n 'V)21 (P)

=

nifll + n~fz:2 + n~h3 + 2nlnd12 +- 2nl71:du +- 2nZn3fz3 2ni + 2n~ + 2n~ + 2nl1iZ +- 2n271

y=13!7

2) Haciendo y eje x. Esto es:

= O, obtenemos la coordenada en donde la recta intersecta al-18=5x-1O-21

===>

x=13/5

Por lo tanto, el rea busc-ada es:

A

= ~ 1313 = 16927.570

[u] 2 .

Ejemplo 174 Halle el volumen encerrado por los tres planos coordenados y el plano tangente a la superficie en el punto (2,3,18). Solucin. Como la ecuacin del plano tangente est dado por:

z - 18 = 5(x - 2) + 7(y - 3),para hallar el volumen encerrado por los cuatro planos indicados, hay que conocer las coordenadas de aquellos puntos de los ejes x, y, y z en donde el plano tangente corta a dichos ejes. Ahora bien, es claro que los interceptos con los ejes x e y son los mismos que hallamos en el problema anterior. Por lo tanto slo nos falta calcular el intercepto con el eje ~';. Para esto, hacemos x = y = O en la ecuacin del plano tangente:

z-18=-1O-21Por lo tanto, el volumen pedido es:

-==::;,

z=-13.

v

= ~ 13 13 _ 2197 6 7 .5 13 - 210'

122

CAPTULO 6. DIFERENCIABILIDAD

6.3

Diferenciabilidad y continuidad

En el caso unidimensional se tiene que si f es diferenciable, entonces tambin es continua. Este resultado tambin es cierto en varias variables:

Teorema 175 Sea f : G

~ ]R.n ~

a interior a la regin Ce Entonces

f es localmente lipschitziana en

1R una f?.mci6n diferenciable en el punto a. Por lo

tanto,

f es continua en a.

Demostracin. Demostraremos que f satisface una condicin local de Lipschitz en una vecindad de a. En efecto, como f es diferenciable en el punto a, se tiene que,

If(x) - fea) - :~~.~ Dkf (a)(xk - ak)1x-a

Iim

IIx - allE

= O.

Esto significa que si

> 0,

entonces debe existir un 8 > O tal que:

Ilx - all < 6 ~ Ilx - all < 8 =-

If(x) - fea) - :~~~ Dkf (a)(xk - ak)1

!Ix _ all

< E.~

Tomando f = 1, se tendr entonces que existe 6 > O tal que 11.5 (a)

C y adems,(6.7)

k(X) - fea) - ~ Dkf (a)(xk - ak)1 < Ilx - all

Por lo tanto, si Ilx - all < b, entonces se cumple la implicacin 6.7 y por consiguiente, de acuerdo al Ejemplo 125 de la Seccin 4.5 se tiene:

If(x)-f(a)1

If(x}-f(a}-:~ Dk! (a)(xk-ak) + :~~ Dd (a)(Xk-ak) I< If(X)- f(a)-1~ Dd (a)(Xk-ak)/ + I:~~ Dd (a)(Xk-ak)1 O tales que,

Ilx - all < TI

==!>

Ilg(x) - g(a) 11 ~ K Ilx - a!l.

Por otro lado, como la funcin .f es diferenciable en g(a), la Definicin 166 implica que, dado f > O existe 1'2 > G tal que si Ilg(x) - g(a)!I < 1'2 entonces se cumple que:

h(x) - h(a) - A(g(x) - g(aTLuego, si1'3

< 2~ IIg(x) - g(a)l!.se cumple que: (7.4)

2 = min { 1'1, r K

}

Y IIx - all

Como la funcin g es diferenciable en a (ver Definicin 177) se tiene que existe O tal que:

!Ix - all < 1'4 ==;.lIg(x) - g(a) - (x - a)BTII < 2~ IIx - allCombinando las Ecuaciones 7.5 y 7.6, se obtiene:

(7.6)

!Ix-al!

R. d'ijerenciable ena = (al, a2, ... , a m ). Suponga que V f (a) =1= O, entonces la derivada direccional de f en a toma su valor mximo en la direcci6n y sentido del vector V I(a) y su valor m{nmo para

-Vf(a).Demostracin. Caso m

= 3:

segn proposicin anterior

:~ (a) =af

vf(a) n = Ilvf(a)I!llnllcos1/l

= IIVf(a)lIcos1/l,

en donde 1/1 es el ngulo que hay entre n y V f(a}. Por lo tanto el valor mximo que toma -(a) es cuando 'IjJ = O, ya que en tal caso cos'I/J = 1 y el valor an mnimo cuando 'I/J = 'ir puesto que cos 'ir = -1. Ahora estos ngulos corresponden justamente cuando n tiene la direccin y sentido de V f(a) y-V f(a) respectivamente. Si m ::::- 4 use la desigualdad de Cauchy-Schwarz y el Problema 20 de la pgina 25. Fin de la demostracin.

Ejemplo 205 Encuentre el valor mximo que toma la derivada direccional la funci6n del ejemplo anterior en el punto a = (1,2,3).

de

Solucin. El valor mximo de la derivada direccional se alcanza para el vector unitario dado por:n=

Ilv f(a)11

vf(a) =~i+~-+~~k. J\1'6902V6902

v'6902

Ahora, este valor mximo es:

7.6

Problemas

1. Hallar la derivada direccional de la funcin z = x2 - xy - 2y 2, en el punto P (1,2) en la direccin que forma con el ~e OX un ngulo de 60.

=

2. Hallar la derivada direccionar de z x 3 - 2x2y + xy2 + 1, en el punto P = (1,2) en la direccin que va desde ste al punto Q = (4,6). 3. Hallar la derivada direccional deM==x,2.,.-]yz_5, en el punto P en la direccin que va de P a Q = (15,5,15).

=

= (2,1,3)

144

CAPiTULO 7. ALGEBRA DE DERIVADAS

4. Un punto en que la derivada direccional de una funcin es cero ( en todas las direcciones ), se llama "punto est.acionario". Halle todos los puntos estacionarios de las siguientes funciones:

a) b) c)

4x - 2y 3xy u = 2y 2 + z2 -- xy - yz + zxz

z = x2=

+ xy + y2 -

x3 y 3 -

15. Demuestre que la derivada direccional de f(x,y) = y2jx, en cualquier punto de la elipse 2x 2 + y2 = l en la direccin de la normal a la curva, es nula.6. Entre todas las rectas tangentes a la superficie z = x2 (2,1,8), determine la que tiene mxima pendiente.

+ 4y2

en el punto

7. Calcule la derivada direccional de f(x, y, z) = x 2 yz 3 - 8xy + Z2, en la direccin de la normal exterior al elipsoide x2 + 2y 2 + z2 = 18 en el punto

(1,2,3).8. Hallar la derivada direccional de u = 2x 3 y - xyz2 sin 7rX, en el punto (1,2,3) en la direccin y sentido del segmento que va desde dicho punto hasta el punto (3,2,1) En qu direccin la derivada direccional es mxima?Cul es este valor? 9. Suponga que UI demuestre que,

=

f(r), es diferenciable de r. Si r

=

Jx2 +y2 +z2,

vi = --(xi+yj +zk). r10. Suponga que

f '(r)

f : lRn-+lR

y g : ]Rn-+lR son diferenciables. Demuestre que:

\7(Jg) = f"VgQue sucede con \7(f + g)?

+ g"Vf.

1l. Encuentre el gradiente de las siguientes funciones:

a)b) e)

Xy

xyz

x In y + x Y + zY e-xv sin(x + 2y + z).

12. Sea UI = f(r) en donde f es una funcin diferenciable y r = Jx2 +y2 Demuest.re que:

+ z2.

7.6. PROBLEMAS13. Sea w que:

145Demuestre

= f(x+y, x-y) en donde f es una funcin diferenciable.aw&w

a;; ay = Ud - Lz) ....... l!!;,

.

2

1'2

14. Sea w = f(x,y,f(:r,y,z) en donde f: ~3 renciable. Calcule,aw

es una funcin di fe-

a;r (1, 2, 3) +

8w

ay (1,2,3)

sabiendo que f(1,2,3)

= f .. (1,2,3) =

f y (1,2,3)

= f,,(1,2,3) = 3.

15. Si f, u y V son funciones diferenciables en JR2, calcule ah! ax y ah! ay en los siguientes casos:

h(x,y) h(x, y)

=

f(xY+t(x,y),x+v(x,y) f(u(xy,y),v(x,x +y)).

16. Suponiendo que J, u, v y w son funciones diferenciables en JR4, ~3, JR2 Y lR respectivamente, calcule ah! ex y ah! ay para la funcin:

h(x,y)

= f(u(x,y,x+y),v(x,y),w(x),x+y).Defina w

17. Sea J una funcin diferenciable en R Demuestre que:

= f((x + y)!(x -

y.

18. Sea f : JR ...... JR una funcin con segunda derivada continua y e una constante. Demuestre que la funcin u(x, t) = f(x + ct) es una solucin de la ecuacin de onda:

19. Suponga que J : JR2 ...... R es una funcin diferenciable tal que, para todo tER Y para todo (x,y) E JR2 Re cumple que J(tx,ty) = tmf(x,y) para algn entero rn ~ 1. Demuestre la relacin de Euler:

af x exGeneralize a n variabies.

+x~

e{

= mf(x,y).

146

CpfrULO 7. ALGEBRA DE DERIVADAS

Figura 7.2: Trayectorias ortogonales. Problema 21.

20. Un insecto se encuentra sobre una superficie a una temperatura T(x,y) = x2 + 3y2. Si el insecto se halla en el punto (1, 1), encuentre la ecuacin de la curva y = 1(x) que debiera seguir si desea llegar lo ms rpidamente posible a algn punto que se encuentre a 20 grados. Cul es este punto?21. Halle una curva que, en cada punto del plano sea ortogonal a alguna curva de tipo y = cx 2 para algn e E ~, en otras palabras: halle una trayectoria ortogonal a la familia de parbolas y = cx 2 . Indicacin: Ud. busca elipses. Vea Figura 7.2.22. Suponga que r.p y F son dos funciones con segundas derivadas continuas definidas en R 3 con valores en R, y R,3 respectivamente. Demuestre que:

\7

v

(\7r.p) . (\7 X F)X

= =

O

O.

en donde el operador vectorial diferencial est definido para funciones vectoriales del tipo F =,hi + 12j + 13k, como,\7

vxj

X

F =det

a r !}x ay L 11 12 13

i

~ 1,

y recibe el nombre de " rotacional". El segundo operador diferencial \7. recibe el nombre de "divergencia" y se aplica a funciones vectoriales. Su definicin, es:

div(F) = \7. F

=ah + ah + aJa. ax ay az

23. n campo vectorial F se dice que es "irrotacional" si \7 X F = O Y se dice que es "selenoidal" si \7. F =0. Demuestre que si F y G son irrotacionales, entonces F X G es selenoidal. En particular demuestre que si U(x,y,z) y V(x,y,z) son flll1cionffi reales diferenciables, entonces (\7F) x (\7F) es selenoidal.

Captulo 8

Funciones implcitas e Inversas8.1Funciones implcitas

Sea F(x, y) una funcin real de dos variables continuamente diferenciable, digamos por ejemplo,

Si hacemos F( x, y) e ( con e constante) obtenemos una relacin entre x e y. En nuestro ejemplo si e 25 obtenemos la ecuacin de una circunferencia de radio 5, esto es

=

=

Supongamos que el punto P = (a, b) es tal que F( (" b) = e ( es decir (a, b) pertenece al grfico de la relacin). Por ejemplo, los puntos P (3,4) Y Q (5, O) son dos puntos que pertenecen al grfico de la relacin x2 + y2 = 25, Se puede observar del grfico que, para el caso en que P = (3,4) la funcin f(x) = J25 - x2 es una fundn difcrenciable definida en un intervalo abierto centr~do en x = 3, por ejemplo (2, 4) Y que c'umple con la relacin x 2 +(f(x))2 = 25 Y adems f(3) = 4 Ver Figura 8.l. Si consideramos ahora el punto (-3, -4), nuevamente vemos que existe una funcin dzferenciable y g(x) que cumpe con g( -3) = -4, satisface la relacin x2 + (g(X))2 25 Y est definida en una vecindad centrada en x -3, por ejemplo podemos tomar la vecindad (-4, -2). Obviamente esta funcin es g(x) -V25 - X2. En los dos casos considerados, se observa que existe una funcin diferenciable cuyo dominio es abierto e incluye, en el primer caso el valor x = 3 y en el segundo, al valor x = -;3. Es daro que, dado cualquier punto (a, b) sobre la circunferencia, con la nica excepcin de los puntos (-5, O) Y (5, O) siempre es

=

=

=

=

=

=

1 7

148

CAPTULO~.

FUNCIONES IMPLCITAS E INVERSAS

Figura 8.1: Funciones y relacin x2 + y2 = 25.

f(x) e y

g(;;;) definidas implcitamente por la

posible hallar una funcin dijf'renciable y tres condiciones:

=

f(x) que satisfaga las siguientes

X2

+ (f(x))2 = 25;f

el dominio de

f(a) = b Y que sea un conjunto abierto U

~ ~

y a E U.

En este punto podemos hacernos la siguiente pregunta: Pregunta: Cmo es posible distinguir entre todos los puntos (a, b) pertenecientes al grfico de una relacin,

F(x,y) = c,aquellos para los cuales existe una funcin diferenciable y = f(x) que cumpla con las condiciones:

F(x,f(x)) = c; f(a) = b, El dominio de .f es un conjunto abierto U

~

lR. y a E U.

Y aquellos puntos (a, b) pertenecientes al grfico para los cuales no existe tal funcin? Respuesta: La distincin se realiza del siguiente modo:

Paso 1. Asegrese que la funcin w = F( x, y) sea continuamente diferenciable en una vecindad del punto (a, b): Por Teorema 179 de la pgina 125, para que w sea continuamente diferenciable basta que las dos derivadas parciales de w sean continuas. En nuestro ejemplo como w = X2 + y2 sus derivadas parciales,=2x 8x

8w

}'

-=2y, &y~:Iue

8w

son obviamente continuas el] todo el plano ya cas.

son funciones polinmi-

Paso 2. El punto (a, b) cumplir con los requisitos exigidos, esto es que exista una funcin y = f(x) que cumpla con las tres condiciones siempre que:

a(a,b) i= O. y

&w

8.1. FUNCIONES IMPLCITAS

149

En nuestro ejemplo 8w 2y, por lo tanto esta condicin es equivalente a &y que 2b t- O, esto es, que b =f. O. Por consiguiente, dado cualquier punto (a, b) sobre la circunferencia, con la excepcin de los puntos (-5, O) Y (5, O) siempre existe una funcin diferenciable y = f(x) que cumple con las tres condiciones ya sealadas. Este resultado es conocido como el teorema de la funcin implcita:

=

Teorema 206 Sea F(x, y) una funcin real, continuamente diferenciable defi8F nida en una vecindad de (a, b). Suponga que F( a, b) = e y que 8y (a, b) =f. O. Entonces existe una vecindad V(a) del punto a y 'una nica funcin continuamente d'iferenciable y = f (x) definida en \', (a) satisfaciendo la igualdad f (a) = b Y tal que F (x,f(x = e, para todo x E V(a).

Observacin 207l. Este teorema nos indica en forma precisa la,> condiciones bajo las cuales es posible" despejar" una variable (digamos y) de una relacin arbitraria (digamos x2 + yx + y3x = 8 de modo que la variable despejada sea una funcin continuamente diferenciable de la otra. Note que el teorema de la funcin implcita slo nos f-l.segura este despeje en forma local, es decir, la funcin y = f(x) usualmente tiene las propiedadf'~ indicadas slo en una vecindad del punto x = a.2. An cuando el teorema de la uncin implcita nos asegura que existe una nica funcin y = f(x) que cumple con las condiciones sealadas, en general no existe una frmula algebraica para poder expresarla. Sin embargo, en muchas situaciones no es precisamente la funcin y j(x) lo que realmente interesa, sino slo su derivada dy / dx. Ms adelante veremos algunos ejemplos.

=

3. Si F fuera unn funcn de na." variables, d'l!,ftnlO:-i (x,y, z) y el punto (a, b, e) satisface la reiacin }'(a, b, e) d, entonces para poder afirmar que existe una vecindad Vr(a,b) del punto (a,b) y una nica funcin continuamente diferenciable z = j(x,y) definida en Vr(a,b) tal que, para todo (x,y) E l~ (a, b) se cumpla que:

=

a) F(x,y,f(x,y))

= d y b)

f(a,b) = e,

es suficiente que F sea continuamente diferel1ciable en una vecindad del punto (a, b. e) y adems~~a,b,c) uZ

81",

=f.O.

150

CAPTULO 8

FUNCIONES IMPLCITAS E INVERSAS

4. Supongamos ahora que tenemos dos funciones F y G"ambas funciones continuamente diferenciables de tres omasvariables. Para fijar ideas, supongamos que ambas son de cuatro variables, digamos x, y, u y v. Suponga adems que el punto (x, y, 11, u) = (a, b, e, d) satisface el sistema:

F(x,y,u,v) C(x,y,u.v)

(8.1)

entonces una condicin suficiente para que puedan "despejarse" dos de las variables en funcin de las otras dos, digamos las variables u y v en funcin de x e y en una vecindad del punto (x,y) = (a,b) de modo tal que u = u(x,y) y v = v(x,y) sean funciones continuamente diferenciables de x e y. cumplan con u(a, b) = e, v(a, b) = d Y por supuesto cumplan con el sistema 8.1, esto es que:

F(x, y, u(x,y), v(x,y)) G(x,y,u(x,y),v(x,y))y

= k1~

(8.2)

para todo (x, y) en la vecindad del punto (a, b), es que el jacobiano de F C respecto a-las variablf'.s que se desean despejar, vale decir 'u y v, sea distinto de cero en el punto P = (a, b, e, d). Esto es:

oFa(F, C) ( )_

oF(P) = (aF ac __ aF

atu,v)

.

P-

&u Ov oC oC ou Ov

ou

&v

au au

OC) (P) i- O.

El procedimiento con si..:;ternas de ms de dos ecuaciones con ms de tresvariables debiera ser ahora sencillo de generalizar ..5. Una vez que se ha demostrado que un "despeje" de la..,> variables elegidas (tantas como sea el nmero de ecuacionffi que se tenga) es posible de hacer de modo que tales variables resulten ser funciones continuamente diferendables del resto de las variables del sistema, podemos enfocar nuestra atencin a un segundo problema: cmo podemos calcular las derivadas parciales de estas funciones "despejadas" respecto al resto de las variables sin tener que darnos el trabajo de "despejarlas" realmente? Esto es, calcular estas derivadas parciales usando slo el hecho que sabemos que es posible despejar dichas variables. Recuerde que el saber que es posible despejarlas con las propiedades ya mencionadas no significa que exista una expresin algebraica estndar para poder expresar estas funciones, o incluso que exista alguna expresin algebraica con un nmero finito de trminos. A lo ms se puede decir que en algunos casos sera posible expresar dichas funciones mediante algn tipo de series de funciones. Por estas razonffi, resolver el problema plantt'.ado tiene una gran importancia prctica. Por ejemplo, en' el sistema anterior, si,

a(F, C)

o(-u;;) (a, b, r., d) i- O,

8.1. FUNCIONES IMPLCITAS

1.51

entonces existen dos funciones u = u(x,y) y v = v(x,y) continuamente diferenciables en una vecindad del punto (x, y) = (a, b) que satisfacen el sistema 8.1, esto es, tales que cumplen con el sistema 8.2:F(x,y,u(x,y),v(x,y)) C(x,y,u(x,y),v(x,y))

k1

=

k2.

Como las funciones del lado izquierdo son dferencables, para hallar las derivadas parciales de ambas funciones 1L y v, por ejemplo respecto a variable x, se derivan, usando la regla de ia caclem\, ambas ecuaciones respecto a x. &t(, es:

la

- - -1---- - -

F aF 8'1 ijj' Ju -+ 8x . 8v {Jx ' OL' ax ac; dG OV De {Ju -._- + _. -...,- ---};T Dv ():; (ji.) a::.'

O

0,

DI' DE' dE' oG oC oG en donde las derivadas parciales . , ",' . " . . y . O, cuya ecuaci6n es:x~

+ x~ + ... + x! =

r2

Solucin. Apliquemos el mtodo de los multiplicadores de Lagrange:

8.3. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

167

L---_ _ _ _ _ _ _

J

I I

Figura 8.4: Las curvas de nivel punteadas corresponden a valores negativos de z y las curvas de linea continua representan valores positivos. Este sistema es equivalente a:

(8.27)

=Si multiplicamos la primera ecuacin por Xl, la segunda por X2, Y as sucesivamente, obtenemos, despus de las obvias simplificaciones, el siguiente sistema:

=

Sumando las primeras n ecuaciones y haciendo uso de la ltima, obtenemos:

Por lo tanto:

Reemplazando el lado izquierdo de esta expresin en cada una de las primeras n ecuaciones del sistema, se obtiene, para todo k = 1,2, ... , n :2 r2 Xk= - .

n

168

CAPTULO 8. FUNCIONES IMPLCITAS E INVERSAS

Note que para todo k = 1,2, .... n se debe cumplir que Xk -. O, puesto que de otra manera el sistema 8.27 no tendra sentido puesto que A -. O. Por lo tanto todos los puntos de la forma:

son puntos crticos de la funcin f. Finalmente un simple anlisis usando la compacidad de la esfera unitaria (hueca) y la continuidad de la funcin j, nos permite asegurar que el valor mximo que asume la funcin en esta esfera es:

f(P)Observacin 223

= (~) n

Considerando que el valor f( P) = (1' 2 /n)n encontrado en el Ejemplo anterior es el mximo de la funcin f sobre la esfera XI + x~ + ... + = 1'2, podemos escribir que:

x;

Como

l'

> O es arbitrario,

podemos escribir entonces que:

tomando x;

= aj > O.

Obtenemos la clsica desigualdad:an)l/n

. ( ala2'"

'

< al + a2 + ... + Gn_

n

que establece que el promedio geomtrico de n cantidades positivas es menor o igual a su promedio aritmtico.

Ejemplo 224 Determine la ecuacin del plano que, pasando por el punto (1,2,3) forme con los planos coordenados x = O, Y = O, z = O el cuerpo de menor volumen posible. Solucin. Sea ux + vy + wz = 1 el plano buscado. Por la naturaleza del problema u, v y w deben ser distintos de cero. Los interceptas con los ejes coordenados son l/u, l/v, l/w por lo que el problema se reduce a minimizar la funcin:

V(u,v,w)

= -16vvw

8.3. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

169

sujeto a la condicin u+2v+3w = 1. Aplicando el mtodo de los multiplicadores de Lagrange, obtenemos:

8F 8'11 1

---..\' 6u 2 vw - . u+2v +3w

-1

8V --1 - = - - - =3..\ 2

BU'

6uvw

De las primeras tres ecuaciones se obtiene que:

UA = 2v,\

1 = :3wA = ---6uvw

(8.28)

Por otro lado, si multiplicamos la cuarta ecuacin por A se obtiene que

Por lo tanto, usando los valores obtenidos en la Ecuacin 8.28, se obtiene:..\ = UA

+ 2v'\ + 3w'\ =

- -- - -- - -- = --6uvw 6uvw 6uvw 2uvw2uvw 1 v= - - - =-: 12uvw 62uvw 1 c=---=18uvw9

1

1

1

1

Usando nuevamente la Ecuacin 8.28, se obtiene finalmente:

2uvw 1 '11=--=-: 6uvw 3'

de donde se obtiene que la ecuacin del plano pedido es:1 1 1

-X+-7'+-Z= 1. 3 6" 9o lo que es lo mismo 6x

+ 3y + 2z = 18.

Ejemplo 225 Sea ax+by+cz+d = O la ecuacin de un plano y sea (xo, Yo, zo)un punto en][{3. Demuestre, usando multiplicadores de Lagrange que la distancia D desde el punto al plano est dada por la siguiente f6rmula:

D = laxo

+ byo + cZo + di JQ:2 + b2 + c2

Solucin. Sea (x, y, z) un punto cualquiera sobre el plano. Para hallar la mnima distancia del punto xo, Yo, zo) al plano hay que minimizar la funcin distancia: (x - xO)2 + (y - YO)2 + (z - 20)2, funcin que representa la distancia del punto (xo.Yo,zo) al punto (x,y,z), pero por la monotoI1icidad de la funcin raz cuadrada, basta con minimizar la funcinf(x,y, z) = (x - XO)2

+ (y -

YO)2

+ (z -

71))2

Sea g (x. y, z) = ax siguiente:

+ by + cz + d.

Por consiguiente hay que resolver el sistema=

V'j(x,y,z)g(x,y,z)

'\V'g(x,y,z)O.

170Es decir:

CAPTULO 8. FUNCIONES IMPLCITAS E INVERSAB

2(x - xo)O

,\Q,;

'2(y - Yo)

= Ab;

2(z -

zo) = .\c

ax + by + C.z + d.

:vJultiplicando la primera ecuacin por a, la segunda por b, la tercera por e y sumando los resultados, obtenemos:

(8.29)Pero de la cuarta ecuacin se sabe que a:r reemplazando en &uacin 8.29, se obtiene:A=-

+ by + cz =

-d.

Por lo tanto,

2(axo

+ byo + czo + dI ' a 2 + b2 + c2

Reemplazando en las primeras tres ecuaciones, se obtiene:x-XO

Y-Yo

=

z- ZO

=

- - - a2 + b2

+ /)yo + czo + d) + b2 + c2 b(ax + /)yo + czo + d) a 2 + b2 + c2 c(axo + byo + czo + d)a(axoa2

+- c

2

Por lo tanto, la distancia buscada es:

D ==

J(x - XO)2a

=

+ (y - Yo)2 + (z - ZO)2 laxo + byo + czo + di J 2 2 2' 2+b 2 +c 2 a+b+G

la;ro + byo

+ cZO + di

-/a 2 + b2 + c28.4 Problemas-

1. Considere la funcin F(.r, y) = x 2 funcin:

y"" + 4x

+ 2y + 3.

Respecto a esta

a)

LPara cuales puntos (a, b) de la relacin F( x, y) = O el posible resolver y en funcin de x'?

b)c)

y donde es posible resolver x en funcin de y? Grafique la relacin y justifique sus resultados.

2. En los siguientes problemas muestre que F(x, y) = O puede ser representada en la forma y = f(x} en la vecindad del punto (a, b) indicado. Grafique

RA.

PROBLEMASy calcule F' (a) en cada ca.so: a)

171

b) e) d) e)

F(x,y)::::: X +y + ;1:siny F(x,y) =y3+ y _ x 3 F(:r,y)::::: x 2 / 3 +y2 j :3 - 4 F(x, y) = xy + ln(xy) - 1 F (x, y) ::::: x 5 + y5 + xy + 4

(0,0) (O, O)

(1,3V3) (1, 1) (2, -2)

3. En los siguientes problemas muestre que F(x,y,z) = O puede ser representada en la forma z = f(x, y) en una vecindad de (a, b, el. Halle f",(a, b)y

/y(a, b) : a) b)e)F(x,y,z) = x 3 +y3 + z3 - 3xyz - 4 F(x,y,z) = e Z _ Z2 _ X2 _ y2 F (x, y, z) ::::: X + Y + z + cos xy z

(1,1,2) (1,0,0) (0,0,-1)

4. En los siguientes problema.s demuestre que existe una vecindad del punto (a, b, e) indicado en donde todos los puntos que satisfacen el sistema F(x,y,z):::::O;tambin satisfacen el sistema

G(x,y,z)=O

y= f(x);con

z=g(x)

f

y g funciones diferenciables.

alb)c)\

F(x,y, z) = 2x + 4y - z G(x, y, z) = x+- 2y +;: F(x,y, z) = x2 + 2y2 - Z2 - 2 G(x,y,z)=2x-y+z-l F(x,y,z) = x 3 +y3 + z3 - 3xyz - 14 G(x,y,z) =X2+y2+Z2_6

(a.b,e)

= (2,-1,0)

(a,b,c) = (2,-1,-2)

(a, b, e) = (2, -1, 1)

5. Demuestre que existe una vecindad alrededor del punto (a, b, e) excepto para (2, -::\,6) y para (-10, -115,30) en donde es posible despejar y = (x), z = g(x) de la relacin 2z 2-

9:[2 - 4y2

O

x+y+-z-fiResuelva explcitamente. 6. Dadas la'3 ecuaciones:

O

F(x,V, u,v) = O;

G(x,y, u, v) = O

enuncie condiciones bajo las cuales se cumpla que

8u8y

nx au

+

ax fv

iJv8y =0

172

eAPTUL o 8.

FUNCIONES IMPLCITAS E INVERSAS

7. Sea y una funcin determinada por la ecuacinX2

+ y'2 + 2axy =

O

(a < 1).

Demuestre que

~x;

2

= O. Explique el resultado obtenido.

8. Halle dy/d:J;, d2 y/dx 2 si y

= x + lny.x2

9. La funcin z viene dada en un entorno del punto (-1,0,1) por la relacin:

+ y2

_

z2 _

xy = O

est bien definida? Calcule, si es que existen 8z/8x,8zjfJy. 10. S f(x, y, z) = O. Demuestre que bajo condiciones apropiadas

8x ay 8z __--=-1

ay

fJz

8x

11. Sea la funcin z dada por la ecuacin

en donde '0 es Ulla funcin continuamente diferenciable y a, b, e son constantes. Demuestre que bajo condiciones apropiadas se cumple que

(cz - by)..,., + (az - ex) ,q."uX

{)z

8z

L/y

= bx -

ay

cules son estas condiciones? 12. Considere la transformacin

(a) Para qu puntos (x,y) la transformacin es invertible? (b) Si se sabe que el punto (x, y) = (1,2) es llevado al punto (u, v) = (5,4) por la transformacin (x,y) ~ (u,v), halle en forma explcita la transformacin inversa (si es que existe) que lleva (u, v) en (x, y) y tal que (5, 4) ~ (1,2) erl dnde es vlida esta transformacin?

(c ) ea1cule

8(u,v) . . )

8('r ) (1,2 Y - 8 ( 5,4 w,y u,v )

8(x,y)(

)

13. Considere la transformacin:

Halle, en el caso quP exista Bu (3... ~y 2)

8.4. PROBLEMAS14. Dada la transformacin:

173

x=u-uv;encuentre

y=uv,

(a) a(x,y) a(u,v)(b) La transformacin inversa (c) Las imgenes de la..:; rectas 3/4, 1tl

= O,11

1/4, 1/2, :3/4, 1; v

= O,

1/4, 1/2,

(d) La imagen del cuadrado 1/2 :S 15. Considere la transformacin

:S 3/4, 1/4:S v :S 1/2

v = e smy.

x

.

Demuestre que:

. .2 8( u, v) (a ) 8(x,y0,\i(X,y)ElR.

(b) Determine la imagen en el plano (u, v) de los puntos (x, y) = (1, O) Y (x,y) = (1,271"). Su resultado entra en contradiccin con el teoremade la funcin inversa?. .. a( --) ., 16 . E n 1 slgment es eJerCICIOS h a 11 e -(u, v) y l 'trans f,ormaClOn. os . . a lllversa. E n 8 x,y. el plano (u, v) dibuje las imgenes de las rectas x = 1/4, 1/2, 3/4,1 e y = -1/2, -1/4, O, 1/4, 1/2 para las siguientes funciones:

a) b) c)d)

u=x u=2x-3y x u= 1+x u=xC06(2)

tJ -1) (x>O, -l ~, 1na funcin acotada sobre el conjunto acotado G. Suponga que f es continua en Ga (Interior de G) y que Pr( G) (frontera de G) tiene medida cero, entonces f es (Riernann) integrable en G. Demostracin. Sea R un rectngulo que contenga a G y definamos de acuerdo a la Definicin 240. Ahora, de acuerdo al Teorema 2:39, para demostrar que f es inte~rable en basta demostrar que el conjunto de puntos de discont.inuidad de f en el rectngulo R tiene medida cero. De acuerdo a la hiptesis f y por lo tanto tambin es continua en Por otro lado, tambin! es continua en (R - e)O puesto que en dicho conjunto

e

eo.

190

CA.PTULO 10. LA INTEGRAL MfLTIPLE DE RIEMANN

es constante.con:

Por lo tanto, el conjunto A en donde

no es continua cumple

Pero este ltimo conjunto, de acuerdo al Problema 11 de la pgina 62 es justamente la frontera de e. Como por hiptesis, la frontera de e_tiene medida cero, tambin la tendr el conjunto A y por lo tanto la funcin f es integrable en el rectngulo R. Esto termina la demostracin.

Ejemplo 243 La funcin f(x, y) es continua en el interior del crculo X2 + y2 S; 9. Adems es fcil demostra.r que la frontera del crculo (que corresponde evidentemente a la circunferencia respectiva) tiene medida (bidimensional) cero, entonces, si llamamos e al disco centmdo en el origen y de radio 3, se puede asegumr la existencia, en base a la pTOposici6n anterior, de la integral:

*** = x3 + y

Jla10.3

(x

3

+ y)d:xdy,

En la prxima seccin estudiaremos como calcular numricamente tales integrales.

El teorelua de Fubini en rectngulos

Como la definicin de la integral de una funcin acotada f sobre un subconjunto acotado de JRn se hace en base a la definicin de la integral sobre un rectngulo (ver Definicin 240) el problema del clculo de integrales mltiples quedar resuelto si aprendemos a calcular integrales slo sobre rectngulos. El siguiente teorema, que resuelve el problema del clculo de las integrales mltiples recibe el nombre de Teorema de F'u.bini, en honor a un matemtico del mismo nombre que demostr un teorema del cual el que presentamos a continuacin, es un caso especial. Con el fin de que el teorema sea fcilmente entendible nos restringiramos al caso en que R es un rectngulo en JR2:

R = [a,b] x [c,d].Teorema 244 Sea f : [a, b] x [c, d] ~ JR funcin Riemann integrable sobre el rectngulo R = [a, b] x [c, d] y suponga que para cada x E [a, b] fijo, la funci6n,fx ; [e, d] .... JR, dt:finida por frc(y)

= f(x, y)d

es una funcin integrable de y en t:l intervalo [e, d]. Entonces la funci6n,g: [a, bJ

.... JR,

definida por g(x)

=

frc(y)dy

10.3. EL TEOREMA DE FUBINI ES RECTA.NGTlLOSes integrable en el intervalo [a. b] y se cumple:

191

J

{{b iR f = la g(x)d.r =

1 (j'd,1;

e

f(x,y)dy

) dx.

Demostracin. Sea P = (H, P2) una particin del rectngulo R, es decir P l es una particin de [a, b] y P2 es particin de [e, d]. Si ri Y Tj son subintervalos arbitrarios de PI y P2 respectivamente, entonces un subrectnguJo arbitrario rjj de P queda determinado por:

Por lo tanto si llamamos 5. p (j) a la suma inferior relativa a la particin P en el rectngulo R tendremos:

s.p(j)

=

L)r~~t 1) v(r xJ'j),. J

(10.1)Por otro lado, para cada x fijo en ri se tiene:

Como esto es cierto para todo x E ri concluimos que:

Utilizando esta desigualdad en la Ecuacin 10.1, obtenemos:

!ip(f)

~ (~(":~!, f) VI',)) ver;) O. Entonces, debido a que (D 1 ,zf - Dz,r) f es continua en P se tendr que existe un rectngulo R = [a, bl x [e, d] centrado en P tal que:

(D1'lf - Dz,d) (x,y) > O,'V(x,y) E P.Esto es D1,zf(x,y) > DZ,lf(x,y) en todo el rectngulo R. Integrando esta desigualdad sobre este rectngulo R, se obtiene:

Jldxe

D1,z! (x,y)dxdy >

JlIde

Dz,r! (x,y)dxdy

Aplicando Fubini, en el orden dydx en la integral doble del lado izquierdo y en el orden inverso en el lado derecho, se obtiene:

,1b IdEsto es:

D1 ,zf (x,y) dy>

dy la D2,d (x,y) dx.

(b

lb

(Df(x,d) - Dt! (x, e)) dx >

Id

(D2f(b,y) - D2f(a.,y))dy.

Integrando una vez ms obtenemos finaimente que.

f(b, d) - f(b, e) - fea, d)

+ f(a, e) >

f(b, d) - fea, d) - f(b, e)

+ fea, e),

lo cual obviamente constituye una contradiccin. _

10.4

El teorenla de Fubini en regiones acotadas

Para simplificar el desarrollo slo consideraremos regiones en JRz. Sin embargo, del contexto se desprender que este desarrollo puede ser generalizado a ms variables sin mayores inconvenientes. Sea f : G ~ IR z --+ :IR, con f continua sobre el conjunto acotado G. Supongamos que la frontera de G est formada por dos curvas continuamente diferenciables determinadas por dos funciones gl y gz con 91 (x) :::; 92(X) para todo x en cierto intervalo [a. bl y (posiblemente) dos segmentos verticales. Ver Figura 10.2. De acuerd~ a la Definicin 240, para poder definir fa f necesitamos inscribir la regin G dentro de un rectngulo R = [a, bJ x [e, d]. En la Figura 10.2 este rectngulo est dibujado con lnea punteada. Para determinar la forma

J

10.4. EL TEOREMA DE FUBINI EN REGIOVES ACOTADAS

195

Figura 10.2: Re;in limitada por curvas simples. que adquieren las integrales iteradas en el teorema de Fubini, definamos, como anteriormente,

f(x)

= { ~(x)

si x E G si x E R - G

Como la frontera de G est formada precbamente por un nmero finito de curvas continuamente diferenciables y como toda curva continuamente diferenciables tiene medida cero (ver Pulks, Teorema 12.4(o) y 8. 9 (b) ) se tendr que la frontera de G tiene medida cero y por consiguiente de acuerdo a la Proposicin 242, la funcin f es Riemann integrable en G y adems, de acuerdo a la Definicin 240 y al Teorema 244 de Fubini, se tiene que: (10.2) esto es, siempre que para cada x fija, la funcin fx(y) = f(:r,y) sea integrable en [e, dJ, lo cual evidentemente es cierto, ya que los nicos puntos en donde puede dejar de ser continua es en donde la recta ,'enical que pasa por x intersecta a las curvas y = gl(X) e Y = g2(X), pero este conjunto de dos puntos obviamente tiene medida cero en [e, d]. Ahora, por la propiedad aditiva de la integral, para cada x fijo podemos escribir:

e

d

!(x,y)dy

=

1e

91

(x)

(x,y)dy+

1

90

(XI --, !(x,y)dy+

1d

!(x,y)dy.

91(X)

92(X)

Evident~mente la primera y la tercera int.egral del segundo miembro son nulas ya que f vale cero en los intervalos de integracin de las respectivas integrales, por 10 que de acuerdo a la Ecuacin 10.2, se tiene finalmente:

= l b id /fdxG

!(x,y)dy

a

e

= jra

b1dx

92 (X)

f(x,y)dy.

g(x)

ya que f = f en el intervalo [gl(X) g2(X)]. Por consiguiente hemos demostrado el siguiente teorema:

196

CAPTULO 10. LA INTEGRAL MLTIPLE DE RIEMANNr-------------------~

:

~

1

I S :r

2

1j

3

)

~

Figura 10.3:

~jemplo

250.

Teorema 249 Sea f : G ~ R,2 ~ R, una funcin continua sobre el conjunto acotado G. Suponga que la frontera de G est formada por dos curvas continuamente diferenciables gl y [J2 (con gl S; g2) en un cierto intervalo [a, b] y (posiblemente) dos segmentos verticales. Entonces se tiene que la integral doble f fe f existe y adems se cumple:

Ji lf=G

b

dx

192(X)91(X)

f(x,y)dy.

a

Ejemplo 250 Demuestre la existencia y calcule el valor de la siguiente integral doble:

JL +(x

2y)dxdy,

en donde G es la regin limitada por la curva y rectas verticales x = O Y x = 1r. Ver Figura 10.3.

= sinx,

la recta y

=x

y las

Solucin. De acuerdo al Teorema 249, tendremos que la integral doble f fe(x +2y)dxdy exb:te ya que f es continua en la regin acotada G y adems esta regin est limitada por dos curvas continuamente diferenciables y un segmento vertical. Por consiguiente, de acuerdo al mismo teorema, tenemos:

! !a10.5

rr

(x

+ 2y)dxdy

=

!dX (x +2y)dy = o sin:t

!

x

!~

(xy+y2) I:inxdx

O

!o

~

(2x 2 - x sin x - sin 2 x)dx =

~1f3 - ~1r.

Descripcin de regiones en JR2 y JR3

Como se mencion al inicio de esta seccin, el Teorema 249 de Fubini, es posible generalizarlo a tres o ms variables. En general la nica dificultad real en la aplicacin de este teorema reside en que, para poder utilizar integracin iterada

10.5. DESCRIPCIN DE REGIONES EN ~2 l' ~3

197

es necesario poder describir matem.ticam.ente la regin G. Los casos ms frecuentes por supuesto, se presentan en dos y tres variables, esto es, para regiones del plano y del espacio tridimensional. Analicemos el caso tridimensional. El caso bidimensional es simplemente un caso particular del anterior. En primer lugar, para poder describir matemticamente la regin e, es necesario determinar cual 5er el orden de integracin que se elegir, Con tres variables independientes existen seis posibilidades: dxclydzj dxdzdy; dydxdzj dydzdxj dzdxdy y dzdydx (esto es, por supuesto, usando coordenadas cartesianas. De usar otra.s coordenadas, como la. R, definida por glr O) (x, y) en donde:

=

x = r cosO;

y = 1''.,118

(10.18)

en donde r es la (li3tm lC ia desde el origen del s,.~jema al punto P y (J es el ngulo formado pOI' el ~ e positivo OX con el ray" que parte del origen y pasa por Po Con este cambi I de '.'ariables, la Frmula 10.11 asume la siguiente forma:

(r JJ

rH

f(:r. 11)dXd!I:=J}

r .

g'(H)

f(g(7"(}))I,~,((x.'oY))ldrd(J,o r,

(10.19)

01:1. v) en dondn el JOa:obiallo - - .:::._) estj dado por: ...[): r. ()

a(x, b

o(r,O)--

2--:

1

I '( d Y1 ,~ /~ cod'K-rsin ()

sill I ':'I/ ()"'--.11'""

,~

r cos (J

I= r

cos 1J +- i' sin

2

2

()

= r.

10.6. CAMBIO DE VARlABLES

209

II

Figura 10.8: Regines g-l (H) y H respectivamente. Por lo tanto, bajo el cambio de coordenadas 10.18, la Ecuacin 10.19 queda transformada en:

JJ

{{ f {x, y)dxdy =H

JJ

{{g-I(H)

f (g(r, B) )rdrdB.

(10.20)

Ejemplo 262 Sean a y b dos nmeros positivos. calcule la siguiente integral doble:

Usando la Frmula 10.20,

JJ

(r

ln(x2 + y2) dxdy H Jx2 -l-y2

en donde la regin H est dada por: H = {(x, y) : a2 ::; x2

+ y2

::; b2 1\

Iyl ::; x} .

Solucin.En primer lugar observe que la regin H corresponde a un sector de argolla. En la Figura 10.8 se muestra alIado derecho. Por otro lado, si usamos la transformacin a coordenadas polares dada en F..cuacin 10.18, se tendr que 1a regln g- l() corresponde al rectngulo r , -- x a, bJ, rectngulo que . 1f H se muestra al lado izquierdo de la Figura 10.8. Por lo tanto, de acuerdo a la frmula del cambio de variables se tiene:

l-

t] [=2

= {{=

JJ g-l(H)

In 1'2 rdrdfJl'

JJ g-l(H)

({

In rdrdB

2

J-11'/4

11'/4

b

de Jlnrdr=1f(rlnr-r)!~a

1f (In

!: + b) .a --

10.6.4

Otros cambios de variables~olumen

Ejemplo 263 Calcule el

del flipsode

{~r -+-

(tf + (~f : ;

1

210

('.4PITI ;LO lL. I A INTEGRAL M(rLTIPLE DE RIEMANN

en donde a. l ~' e SOII constanteG positivas. Solucin. Cunsidere ia transformacin g:.:.k 3 (x, , z) en donde: ;;=n/-,,..;in'l)cod);y=bpsinsinB:

->

R 3 , dada por g(p,B,cOSiJJ)dp =

.

,

1':/2 J '21r

sin (/) (-5-

3

+

sin 21> -8-)df/>

o.3l1f

o

o

2-10

10.7. CENTROIDES y MOMENTOS DE INERCIAAhora podemos calcular las componentes del centro de masa:

215

=Evidentemente, por la simetra del sector y de la funcin 8, la componente y del centro de masa es igual a x. La componente z sin embargo no tiene porqu ser igual a las dos primeras, El elculo de esta ltima componente se deja de tarea.

Ejemplo 271 Halle el momento de inercia, expresado en funcin de la masa, de un cilindro de radio R y altura h, de densidad uniforme, respecto al eje que pasa por el centro del cilindro, Solucin. Consideremos un cilindro como el descrito ubicado entre los planos z = O Y z = h, Y con el eje central del cilindro coincidente con el eje z. Usando coordenadas cilndricas, la dL'3tancia de un punto (x, y, z) a este eje est dada por d = r. Por lo tanto, si llamamos k a la densidad, se tendr que el momento de inercia est dado por:

I=k

f

JJ

e

rrRd2dxdydz=k 211' dO R dr h r 2 rdz=-'-"-2-=-2-' brhR4 M R2O O O

Ejemplo 272 Encuentre el momento de inercia de un cilindro recto de altura L y rado basal R, con respecto al eje que sirve de dimetro de la base del propio cilindro. Suponga que la densidad del cilindro es uniforme, esto es 8(x, y, z) == k. Solucin. 'Ubiquemos el cilindro en el espacio tridimensional de modo tal que el eje z pase por el eje de simetra del cilindro y que su hase inferior coincida con el plano z = O. Ahora, si (x, y, z) es un punto dentro del cilindro, se tendr que la distancia desde este punto al eje y (eje que consideraremos como el eje inercial) es d(x,y, z) = v'x2 + z2. Por lo tanto:

1=

Je

2 kd (x,y,z)dxdydz=

Ja

k(x 2 +z 2 )dxdydz

216

CAPiTULO 10. LA INTEGRAL MLTIPLE DE RlEMANN

Si usamos d orden de integracin dzdyd:c, entonces la descripcin matemtica de G es:

O:::;;:;:::;L;Por lo tanto:

_JR2-X2:::;Y:::;VR2-x2;

-R-:':;x:::;R.

1

k

J-R R

R

VRLx'l

da;

/_.,fRL;]"2

2 dy J(:C +2"2)dZ=4k/dX Jo(x"2

L

R

VR'Lx 2

dy

J{x 2+z2 )dZo

L

o

o

lR2_;;2

4k.f dx,)R()

Jo

L+ ~3) dy~3 v'R2 _

4k / (x"2 L Jli2 _ x 2 +

a,2) dx

Haciendo x := Rsin () en la integral anterior obtenemos que:

J R2 - x 2dx = R 2 cos 2 OdO.Por lo tanto:

1

=

4k

J(x2LJR2_x2+~5o1f2

v'R2_X 2 )dX3 '1r!2

=

4k

JO

te L SID & co..'l fJdO

T> O. Definamos:IR

2

..--rx 4 Ahora, como la elevacin a potenciae~

un operacin continua tendremos que:

R--+oc

lim IR

Vi = --, 2

lo que equivale a decir que:

Esto termina la demostracin.

220

CA.PTULO 10. L LVTEGRAL MrJLTIPLE DE RIEMANN

10.9

Problenlas

1. Evale la integral iterada dada y grafique la regin de integracin: a)

J dy J(x 2 -- y2 + xy 1

4

5

3)dx

dI J

'2

-32

J dy

3

.JiS-2y2

b)

J dx' J (X2 + 2xy 1

4

x"

-V2x2 x

J

xdx

18 - 2y2

c)

3y2)dy .JX 4 vY jdy j (;r;2y + xP)dx'~y

e)

of)

J dx J xcosydy1fj4

cosx

1

o

j dx

J o

ysinxdy

v

2. En los siguientes problemas evale la integral doble dada. Grafique laregin de integracin.

a)b)

jj(x 2R

+ y2)dxdy

R : O ::; Y ::; 2; R:y=O; R:x= 1;

y2 ::;

X

:s; 4.x= x

c)

X IJ -.--dxdy R x2 + y2 X Ji J? exp --dxdy R \y

y=x; y= 2;

x == 1; Y

J31.

== X2;

2':

3. Grafique la regin de integracin. Invierta el orden de integracin y evale.2

V4-x 2

al4. Calcule

J dx-- 2

I

;rydy

b)

J dy 1 vI + x 2 dxoy

1

1

_. /4- x2

a)

.r #' .rO

21f

a

1f/2

rdr

b)

1

3ws1'J

d1/J

JO

1'2 sin

2

1jJdr

u6in 1./.}

--1fj2

5. Describir matemticament.e de dos maneras, la regin de integracin para la integral doble f(x, y) (i:J:dy para la,> regiones que se indican:

JIR

a) El tringulo cuyos vrtices son (0,0),(1,0) y (1,1).

b) El trapecio de vrtices (O. O). (2. O), (1, 1) Y (O; 1).e) El sector circular OAB en donde O 6. Invierta el orden de integracin:RIv2

= (O, O), A = (1,1) Y B = (-1,1).y~

Jo

x

dx /f(x,Y)d Y + dx o RI -/2

R

-xo

f(x,y)dy.

10.9. PROBLEMAS7. Demuestre que,

221

8. En los siguientes problemas evale:

a)b)

J dx.r dy f dz o o o2

1

x

x-y

e) zdx d)

1dy 1 dz 1 xydxoy2

1

.y

y+z

o

v'4- z2

2-",

JdzO

1 o

dy

1 O

1 d:r; 1 dy 1O

1

:.!X

x+v

o

xdz

X2+y2

9. Exprese el valor de cada integral siguiendo otra secuencia de integracin:

a)

1 dy 1-1

1

4_y2

,jX

o

dx J 2y 2y'Xdz_,jX

b)

J dy 1-2

2

4_y2

y+2

dx

o

o

J (y2 + z2)dz

10. Exprese la integral

JII f(x,y, z)dxdydz, en donde S es la regin acotadas

por la superficie z = V16 - x2 - y2 Y los planos z coodenadas cartesianas y en coordenadas cilndricas.

=

O Y z = 2, en

11. Demuestre que JI xydxdy = 1/15, donde G es la regin dada en coordeG

nadas polares r12. Calcular

= sin 2(), O :::; () :::; 27r.

IIIx 2 cL-cdydz,donde G es el elipsoide (~)2 + on 2 + C~)2:::; 1.G

13. Encuentre la masa de una bola esfrica de radio a > O, si la densidad en el punto P es k veces la distancia al origen (k constante).

14. Encuentre la masa de un cascarn de radio interior a y radio exterior b, si la densidad en el punto P es inversamente proporcional a la distancia alorigen. 15. Calcule

111 x 2dxdydz, donde G es la regin acotada por el cilindro X2 +G

y2

= a2 y

los planos z

= O Y z = b > O.

16. Encuentre la masa de una esfera de radio a si la densidad en el punto P es proporcional a la distancia a un plano fijo que pasa por el origen. 17. Encuentre el volumen de la regin acotada por el cilindro y = cos x y los planos z = Y,x = O,X =lf/2 y z = 0"

222

CA.PTULO 10. LA LVTEGRA.L ML'LTIPLE DE RIEMANN

18. E.xprese el volumen de la regin interior a la esfera X2 + y2 + z2 == a 2 y fuera del cilindro r == asin (} usando: coordenadas cartesianas, cilndricasy esfricas.

19. En una esfera de 8 centmetros de dimetro se le perfora un orificio de seccin cuadrada de 4 centmetros por lado, conctrico con la esfera. Exprese el volumen remanente en coordenadas cilndricas y esfricas. 20. Encuentre el rea de la regin ubicada en el primer cuadrante y limitada por las rectas y = x e y = 4x y las hiprbolas y = l/x e y = 4/x. Grafique la regin. Haga un cambio de variables apropiado de modo que el rea buscada corresponda a un rectngulo en el nuevo sistema de coordenadas.

Parte III

Clculo vectorial

223

Captulo 11

Integrales de lnea11.1 Curvas y definiciones bsicas

Supongamos que tenemos una curva e en el espacio (ver Definicin 278). Uno de los objetivos de esta seccin es definir una integral a lo la'rgo de la curva e, de una funci6n vectorial F. De las varia.., maneras en que esto se puede hacer, una de las ms tiles en aplicaciones es la que da origen a la as llamada "integral de lnea". Para este propsito supongamos que la curva e est parametrizada. Representemos esta parametrizacin por medio de un vector posicin r(t) = (x(t),y(t), z(t)) de modo tal que el vector r(t) recorre la curva cuando el parmetro t vara en un intervalo, digamos [a, b]. Supongamos ahora que esta curva e est inmersa en una regin, en donde est definido un campo vectorial como por ejemplo un campo magntico, un campo elctrico o un campo de fuerza. lisando este ltimo tipo de campo para ilustrar nuestra idea, im~inemos que estamos interesados en calcular el trabajo hecho por esta fuerza F al mover lIn objeto a lo largo de la curva e. Si recordamos los fundamentos de fsica, recordaremos que para calcular el trabajo hecho por una fuerza al mover un cuerpo una cierta distancia, hay que multiplicar la distancia recorrida por la magnitud de componente de la fuerza en la direccin del movimiento, en otras palabras hay que calcular ell)r~ucto interior entre el vector fuerza y el vector desplazamiento, esto es F d. Debido a que el campo F no es constante, aproximemos el valor de este trabajo, particionando la curva e por medio de una particin del intervalo [a, b], digamos una particin P = {to, h, t2, ... ,tn }. De esta manera podemos aproximar el valor del trabajo W mediante una sumatoria W p formada por los pequeos trabajos hechos en cada uno de los segmentos de la curva. Entonces podemos escribir:

F,

L F(r(Tj)) . (r(t=

n

j ) -

r(tj_l))tj __ )

t,

j=1

F(r(Tj)) . (r(tj) - r(tj_)) (tj tJ-t J 1

)=1

:n.'

226

CAPTL'LO 11. INTEGRALES DE LNEA

Ahora, es posible demostrar que s la norma de la particin P tiende a cero (esto es IIPll-t O) entonces esta su matara tiende a la integral pe-r(t). r '(t) dt. Por lo tanto podemos definir el trabajo W justamente como esta integral.

J:

Definicin 2781. tina curva e en el espacio es una funcin diferenCable. 2. Suponga que

r : [a,b] -t ~3

continuamente

e es una curva en el espacio, definida por,r(t) = (x(t),y(t), z(t)),

con (x(t),y(t),z(t) E G para todo t E [a,b) y que P: G ~ ~3 -+ ~3 es una funcin vectorial continua en la regin G. Entonces si la integral F ("""if' (t)) . """if' I (t) dt existe, anotaremos:

f:

1F .

d"""if'

=

b

F("""if'(t ."""if' '(t) dt

(11.1)

y diremos que ella es la integral de lnea de3. Si la curva es cerrada, esto es si

F

a lo largo de la curva e.

! Fe

dY, escribiremos

f

-r(a)

=

r(b), en lugar de escribir

r

F dr.

Observacin 279 1. La razn que se tiene para usar la notacin dada en el lado izquierdo de la Ecuacin 11.1 est en que formalmente podemos escribir:

1F .

dr'

=

! F\r~(t Jb

. dr =

!b

F("""if'(t)).

d;f

dt

a

a

b

F(r(t . """if' '(t) dt.

a

2. Si consideramos solamente la integral como una funcin de todas las posibles curvas e, entonces es comn la siguiente notacin para F . d-r :

!-P.en donde

d"""if'

=

J

fdx+gdy+hdz,

F = J i + gj + hk Y dr = dxi + dyj + dzk. La expresin f dx + gdy + hdz usualmente recibe el nombre de forma diferencial de primer orden.

11.1. CURVAS Y DEFINICIONES BAsTeAS

227

3. No hay inconveniente en definir integral de lnea para curvas en el espacio ]Rn, sin embargo como nosotros nos limitaremo.'3 solamente a curvas planas y curvas en el espacio tridimensional no haremos un desarrollo en esta direccin.

Proposicin 280 Supongamos que C. es una curva en el espacio, representada por,

r(t) = (x(t),y(t), z(t, en donde x, y y z son funciones continuamente diferenciables. Suponga adems que para todo t [a, b] se tiene que (x(t),y(t), z(t)) E G Y que F : G ~ ]R3 ~]R3 es una funcin vectorial continua en la regin G. Entonces, bajo estas condiciones la integral f:F(r(t)). r'(t)dt existe.Demostracin. S denotamos el campo vectorial '[1 usando sus funciones componentes, esto es si escribimos que,

F (x,y, z)Entonces,

= f(x,y, z)i + g(x,y, z)j

+ h(x, y, z)k.

1e

-;=t

l' .

dr =

lbo.

dx dy dz f -dt + g~dt + h-dt

dt

dt

dt

(11.2)

Ahora como F = (J,g,h) es continua y = (x,y,z) es continuamente diferenciable, se dpuce que el integrando del lado derecho de la Ecuacin 11.2 es continuo y por lo tanto Riemann integrable. Esto termina la demostracin.

r

Obseryacin 281 La notacin fe F . dr nos recuerda que esta integral depende de la curva C. Esto es claro, pero debemos enfatizar que debemos entender por curva, la funcin r: [a, b) ~;R1l Y no el conjunto recorrido o rango de r. En otras palabras la curva no es un lugar geomtrico sino que es