1. Una pequeña isla está a 2 millas del punto más cercano, P, de

una playa rectilínea de un gran lago. Si una mujer en la isla

puede remar en una lancha a 3 millas por hora y caminar 4

millas por hora.

¿En dónde debe desembarcar el bote para llegar en el

menor tiempo, a un pueblo que se encuentra a 10 millas

del punto P medidas sobre la playa?

2 millas (di)

X 10 millas-X

Se identifica la función que se dese optimizar; en este caso es el tiempo, como se trata de un movimiento  rectilíneo cuando el cuerpo describe una trayectoria recta nuestra función de tiempo quedara determinada por:

tiempo= distanciavelocidad

por lo queT total=t 1+t 2

Por lo que al sustituir los valores que nos proporciona nuestro problema:

Velocidad remando= 3mh

Velocidad caminando= 4mh

x= distancia desconocida.

Sustituyendo :T total=distancia1

velocidad remando+ distancia2

velocidadcaminando=√x2+4

3mh

+ 10− x

4mh

P

entonces la funciónde tiempo aminimizar quedacomo : t(x )=13

( x2+4 )12+ 14

(10−x )

Secalcula la primera derivada→t ´=16

( x2+4 )−12 (2 x)+ 1

4(−1 )

Sesimplicica la función t'= x

3√x2+4−14

Se iguala a cero y se resuelvela ecuación paracalcular los valores críticos sean x1 , x2…, etc .

x

3√x2+4−14=0→

x

3√x2+4=14

x=3√x2+44

→ se eleva al cuadr ado paraeliminar laraíz x2=9 ( x2+4 )16

x2=9 x2+3616

16 x2=9 x2+36

16 x2−9 x2=36

7 x2=36

x2=367

→ x=±√ 367Estos sonlos valores para loscuales la función puedetener un máximo omínimo relativo :

x1=2.26x2=−2.26

Ahora veamos si para el valor de x1=2.26 hay un máximo o mínimo:Para un valor menor que x1=2.26; el 2, por ejemplo, tenemos:

t ´ (2 )= 2

3√22+4−14=−0.01429La función es DECRECIENTE .

Para un valor mayor que x1=2.26; el 3, por ejemplo, tenemos:

t ´ (3 )= 3

3 √32+4−14=+0.02735 La f unciónesCRECIENTE .

Puntos críticos

Como la derivada pasa de negativa a positiva, para el valor x1=2.26existe un MINIMO.

Asignamos valores a “x “para comprobar los resultados.

X t

0 3.16666667

1 2.99535599

1.25 2.97366509

1.5 2.95833333

1.75 2.94834548

2.26 2.94096002

3 2.95185043

3.5 2.96870962

4 2.99071198

4.5 3.0164763

5 3.04505494

0 1 2 3 4 52.9

2.95

3

3.05

3.1

3.15

3.2

Función t (x)

DIstancia (x)

Tiem

po (t

)

distancia= 2.26 millas en 2.94 hrs

Grafica 1

Suponga que, cuando llegue a la playa la mujer será

recogida por un automóvil que promedia 50 millas por

hora. Entonces, ¿En dónde debe desembarcar?

Por lo que al sustituir el nuevo valor a nuestro problema:

Velocidad remando= 3mh

Velocidad en automovil= 50mh

Sustituyendo :T total=distancia1

velocidad remando+ distancia 2

velocidaden automovil=√x2+4

3mh

+ 10−x

50mh

entonces la función de tiempo a minimizar quedacomo : t ¿

Secalcula la primera derivada→ t ´=16

( x2+4 )−12 (2 x)+ 1

50(−1 )

Sesimplicica la función t'= x

3√x2+4− 150

Se iguala a cero y se resuelvela ecuación paracalcular los valores críticos sean x1 , x2…, etc .x

3√x2+4− 150

=0→x

3√x2+4= 150

x=3√x2+450

→ se eleva al cuadrado paraeliminar lar aíz x2=9 ( x2+4 )2500

x2=9 x2+362500

2500 x2=9 x2+36

2500 x2−9 x2=36

2491 x2=36

x2= 362491

→ x=±√ 362491

Estos sonlos valores para loscuales la función puedetener un máximo omínimo relativo :

Ahora veamos si para el valor de x1=0.12 hay un máximo o mínimo:Para un valor menor que x1=0.12, el 0.10, por ejemplo, tenemos:

t ´ (2 )= 0.10

3√0.10+4− 150

=−0.00353784 La función es DECRECIENTE .

Para un valor mayor que x1=0.12 el .15 por ejemplo tenemos:

t ´ (3 )= .15

3 √.152+4− 150

=+0.00492998 La función esCRECIENTE .

Como la derivada pasa de negativa a positiva, para el valor x1=0.12existe un MINIMO.

Asignamos valores a “x” para comprobar los resultados.

x t0.01 0.8664750.03 0.86614166

0.05 0.865874970.07 0.865674880.09 0.865541330.12 0.865465590.15 0.865539040.18 0.865761220.21 0.86613159

Grafica 2

Suponga que la mujer utiliza una lancha de motor, que

viaja a 20 millas por hora. Entonces ¿en dónde debe

desembarcar?

Por lo que al sustituir el nuevo valor nuestro problema:

Velocidad motor= 20mh

Velocidad en automovil= 50mh

Sustituyendo :T total=distancia1

velocidad motor+ distancia2

velocidad automovil=√ x2+4

20mh

+ 10−x

50mh

entonces la función de tiempo a minimizar quedacomo : t ¿

0 0.05 0.1 0.15 0.20.8648

0.865

0.8652

0.8654

0.8656

0.8658

0.866

0.8662

0.8664

0.8666

Función t (x)

Distancia (x)

Tiem

po (t

)

x= 0.12 millas en t=0.86 horas.

Secalcula la primera derivada→t ´= 140

( x2+4 )−12 (2x )+ 1

50(−1 )

Sesimplicica la función t'= x

20√x2+4− 150

Se iguala a cero y se resuelvela ecuación paracalcular los valores críticos sean x1 , x2…, etc .x

20√x2+4− 150

=0→x

20√x2+4= 150

x=20√x2+450

se elevaal cuadrado para eliminar la raíz x2=400 ( x2+4 )2500

x2=400 x2+16002500

2500 x2=400 x2+1600

2500 x2−400 x2=1600

2100 x2=1600

x2=16002100

→ x=±√ 16002100

Estos sonlos valores para loscuales la función puedetener un máximo omínimo relativo :

Ahora veamos si para el valor de x1=0.87hay un máximo o mínimo:Para un valor menor que x1=0.87; el 0.7, por ejemplo, tenemos:

t (2 )= 0.7

20√0.7+4− 150

=−3.85 ¿10−3La función es DECRECIENTE.

Para un valor mayor que x1=0.87 ; el 1, por ejemplo, tenemos:

t (3 )= 1

20√12+4− 150

=+2.36¿10−3 La función esCRECIENTE .

Como la derivada pasa de negativa a positiva, para el valor x1=0.87existe un MINIMO.

Asignamos valores a “x” para comprobar los resultados.

x t-3 1.4618504

3-2 1.1828090

4-1 0.9653559

90.87 0.9096106

22 1.1028090

43 1.3418504

34 1.6107119

8

-1 0 1 2 3 40.80.9

11.11.21.31.41.51.61.7

Función t(x)

Distancia (x)

Tiempo (t)

x= 0.87millas en t=0.90horas

Grafica 3Con esta técnica básica utilizada en la solución iterativa de problemas de minimización sin restricciones podemos notar que:

Distancia TiempoRemando- Caminando.

2.26 millas 2.94 horas

Remando- Automóvil. 0.12 millas 0.86 horasMotor- Automóvil. 0.87 millas 0.90 horas

Es evidente que resulta más óptimo el traslado en un bote remando y que al

llegar a tierra haga uso de un automóvil, pues la distancia es menor, aunque

lo importante es el tiempo mínimo a comparación de los demás opciones.

Este método nos ofrece la forma más simple y directa de resolver estos

problemas, en términos prácticos. (Primera Derivada).

La optimización de una función es la metodología que permite determinar

dónde una función alcanza sus valores máximos o mínimos.

En la vida práctica, se requieren optimizar diversas funciones, por ejemplo:

maximizar ingresos, utilidades, o satisfacción, minimizar costos, tiempo, o

desperdicios, etc.